Logaritmai yra paprastas paaiškinimas. Žurnalo formulės

Kas yra logaritmas?

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač – lygtys su logaritmais.

Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netiki? gerai. Dabar kokias 10–20 minučių jūs:

1. Suprask kas yra logaritmas.

2. Išmokite spręsti visą klasę eksponentinės lygtys. Net jei apie juos negirdėjote.

3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.

Be to, tam jums reikės tik žinoti daugybos lentelę ir tai, kaip skaičius pakeliamas iki laipsnio ...

Jaučiu, kad abejoji... Na, laikykis! Pirmyn!

Pirmiausia mintyse išspręskite šią lygtį:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Instrukcija

Užrašykite pateiktą logaritminę išraišką. Jei išraiška naudoja 10 logaritmą, tada jo žymėjimas sutrumpinamas ir atrodo taip: lg b yra dešimtainis logaritmas. Jei logaritmo pagrindas yra skaičius e, tada išraiška rašoma: ln b yra natūralusis logaritmas. Suprantama, kad bet kurio rezultatas yra laipsnis, iki kurio turi būti padidintas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Surandant dviejų funkcijų sumą, tereikia jas atskirti po vieną ir sudėti rezultatus: (u+v)" = u"+v";

Surandant dviejų funkcijų sandaugos išvestinę, reikia padauginti pirmosios funkcijos išvestinę iš antrosios ir pridėti antrosios funkcijos išvestinę, padaugintą iš pirmosios funkcijos: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Norint rasti dviejų funkcijų dalinio išvestinę, iš dividendo išvestinės sandaugos, padauginto iš daliklio funkcijos, reikia atimti daliklio išvestinės sandaugą, padaugintą iš daliklio funkcijos, ir padalyti visa tai daliklio funkcija kvadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeigu duota kompleksinė funkcija, tai reikia padauginti vidinės funkcijos išvestinę ir išorinės išvestinę. Tegul y=u(v(x)), tada y"(x)=y"(u)*v"(x).

Naudodamiesi aukščiau pateikta informacija, galite atskirti beveik bet kurią funkciją. Taigi pažvelkime į keletą pavyzdžių:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Taip pat yra užduočių, skirtų išvestinei taške apskaičiuoti. Tegu funkcija y=e^(x^2+6x+5) duota, reikia rasti funkcijos reikšmę taške x=1.
1) Raskite funkcijos išvestinę: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę duotame taške y"(1)=8*e^0=8

Susiję vaizdo įrašai

Naudingas patarimas

Išmok elementariųjų išvestinių lentelę. Taip sutaupysite daug laiko.

Šaltiniai:

• pastovioji išvestinė

Taigi, kuo skiriasi neracionali lygtis nuo racionalios? Jei nežinomas kintamasis yra po kvadratinės šaknies ženklu, tada lygtis laikoma neracionalia.

Instrukcija

Pagrindinis tokių lygčių sprendimo būdas yra abiejų dalių pakėlimo metodas lygtysį aikštę. Tačiau. tai natūralu, pirmiausia reikia atsikratyti ženklo. Techniškai šis metodas nėra sunkus, tačiau kartais gali kilti problemų. Pavyzdžiui, lygtis v(2x-5)=v(4x-7). Padalinus abi puses kvadratu, gaunama 2x-5=4x-7. Tokią lygtį nesunku išspręsti; x=1. Bet numeris 1 nebus suteiktas lygtys. Kodėl? Vietoj x reikšmės lygtyje pakeiskite vienetą, o dešinėje ir kairėje pusėje bus išraiškos, kurios neturi prasmės, tai yra. Tokia reikšmė negalioja kvadratinei šakniai. Todėl 1 yra pašalinė šaknis, todėl ši lygtis neturi šaknų.

Taigi, neracionali lygtis išspręsta naudojant abiejų jos dalių kvadratūros metodą. Ir išsprendus lygtį, reikia nupjauti pašalines šaknis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastas šaknis pradinėje lygtyje.

Apsvarstykite kitą.
2x+vx-3=0
Žinoma, šią lygtį galima išspręsti naudojant tą pačią lygtį kaip ir ankstesnė. Perkėlimo junginiai lygtys, kurie neturi kvadratinės šaknies, į dešinę pusę ir tada naudokite kvadrato metodą. išspręskite gautą racionaliąją lygtį ir šaknis. Bet kitas, elegantiškesnis. Įveskite naują kintamąjį; vx=y. Atitinkamai gausite tokią lygtį kaip 2y2+y-3=0. Tai yra, įprasta kvadratinė lygtis. Raskite jo šaknis; y1=1 ir y2=-3/2. Tada išspręskite du lygtys vx=1; vx \u003d -3/2. Antroji lygtis neturi šaknų, iš pirmosios matome, kad x=1. Nepamirškite apie būtinybę patikrinti šaknis.

Išspręsti tapatybes yra gana paprasta. Tam reikia atlikti identiškas transformacijas, kol bus pasiektas tikslas. Taigi, paprasčiausių aritmetinių veiksmų pagalba bus išspręsta užduotis.

Jums reikės

• - popierius;
• - rašiklis.

Instrukcija

Paprasčiausios tokios transformacijos yra algebrinės sutrumpintos daugybos (pavyzdžiui, sumos kvadratas (skirtumas), kvadratų skirtumas, suma (skirtumas), sumos (skirtumo) kubas). Be to, yra daug trigonometrinių formulių, kurios iš esmės yra tos pačios tapatybės.

Iš tiesų, dviejų narių sumos kvadratas yra lygus pirmojo kvadratui plius du kartus pirmojo ir antrojo sandaugai plius antrojo kvadratui, tai yra (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Supaprastinkite abu

Bendrieji sprendimo principai

Pakartokite iš matematinės analizės arba aukštosios matematikos vadovėlio, kuris yra neabejotinas integralas. Kaip žinote, sprendimas apibrėžtasis integralas yra funkcija, kurios išvestinė duos integrandą. Ši funkcija vadinamas primityviuoju. Pagal šį principą konstruojami pagrindiniai integralai.
Pagal integrando formą nustatykite, kuris iš lentelės integralų tinka Ši byla. Ne visada tai įmanoma iš karto nustatyti. Dažnai lentelės forma tampa pastebima tik po kelių transformacijų, siekiant supaprastinti integrandą.

Kintamojo pakeitimo metodas

Jei integrandas yra trigonometrinė funkcija, kurio argumentas yra koks nors daugianario, tada pabandykite naudoti kintamųjų pakeitimo metodą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite daugianarį integrando argumente nauju kintamuoju. Remdamiesi naujojo ir senojo kintamojo santykiu, nustatykite naujas integracijos ribas. Išskirdami šią išraišką, raskite naują skirtumą . Taigi gausite naują senojo integralo formą, artimą ar net atitinkančią bet kurią lentelę.

Antrosios rūšies integralų sprendimas

Jei integralas yra antrojo tipo integralas, vektoriaus integrando forma, tuomet turėsite naudoti taisykles, kaip pereiti nuo šių integralų prie skaliarinių. Viena iš tokių taisyklių yra Ostrogradskio ir Gauso santykis. Šis dėsnis leidžia pereiti nuo tam tikros vektorinės funkcijos rotoriaus srauto į trigubą integralą per tam tikro vektoriaus lauko divergenciją.

Integracijos ribų pakeitimas

Radus antidarinį, būtina pakeisti integracijos ribas. Pirma, viršutinės ribos reikšmę pakeiskite antidarinio išraiška. Jūs gausite tam tikrą numerį. Tada iš gauto skaičiaus atimkite kitą skaičių, gautą apatinę antidarinio ribą. Jei viena iš integravimo ribų yra begalybė, tai pakeičiant ją į antiderivatinę funkciją, reikia pereiti prie ribos ir rasti, į ką linksta išraiška.
Jei integralas yra dvimatis arba trimatis, tuomet turėsite pavaizduoti geometrines integracijos ribas, kad suprastumėte, kaip apskaičiuoti integralą. Iš tiesų, tarkime, trimačio integralo atveju, integravimo ribos gali būti ištisos plokštumos, ribojančios integruojamą tūrį.

Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b * a c = a b + c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų skaičių rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą iki paprasto sudėjimo. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.

Apibrėžimas matematikoje

Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) "b" logaritmas pagal jo bazę "a" laikomas "c" galia. “, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai gautumėte reikšmę „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokį laipsnį, kad nuo 2 iki reikiamo laipsnio gautum 8. Mintyse atlikę tam tikrus skaičiavimus, gauname skaičių 3! Ir teisingai, nes 2 iki 3 laipsnio atsakyme suteikia skaičių 8.

Logaritmų atmainos

Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą reikšmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys tam tikrų tipų logaritminės išraiškos:

1. Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
2. Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
3. Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.

Kiekvienas iš jų yra išspręstas standartiniu būdu, įskaitant supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį sumažinimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norint gauti teisingas logaritmų reikšmes, reikia atsiminti jų savybes ir veiksmų eiliškumą priimant sprendimus.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra keletas taisyklių-ribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra teisingi. Pavyzdžiui, neįmanoma padalyti skaičių iš nulio, taip pat neįmanoma iš neigiamų skaičių išskirti lyginio laipsnio šaknies. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kuriomis vadovaudamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:

• bazė "a" visada turi būti didesnė už nulį ir tuo pačiu metu negali būti lygi 1, kitaip išraiška praras savo reikšmę, nes "1" ir "0" bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
• jei a > 0, tai a b > 0, išeina, kad „c“ turi būti didesnis už nulį.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, buvo duota užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x \u003d 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti tokią galią, pakeliant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 \u003d 100.

Dabar pavaizduokime šią išraišką kaip logaritminę. Gauname log 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai suartėja, kad būtų nustatytas laipsnis, iki kurio reikia įvesti logaritmo bazę, kad gautume duotą skaičių.

Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:

Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį mąstymą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau už didelės vertės jums reikia laipsnių lentelės. Ją gali naudoti net tie, kurie visiškai nieko nesupranta sudėtingose ​​matematinėse temose. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinėje skaičių eilutėje yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Ląstelių sankirtoje nustatomos skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!

Lygtys ir nelygybės

Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti parašytos kaip logaritminė lygtis. Pavyzdžiui, 3 4 =81 galima parašyti kaip logaritmą nuo 81 iki 3 bazės, kuri yra keturi (log 3 81 = 4). Neigiamų galių taisyklės tos pačios: 2 -5 = 1/32 rašome logaritmu, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena patraukliausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Lygčių pavyzdžius ir sprendimus svarstysime šiek tiek žemiau, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.

Pateikiama tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 – tai yra logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmo ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas bazėje du yra didesnis nei skaičius trys.

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) atsakyme reiškia vieną ar daugiau konkrečių skaitinių reikšmių, o sprendžiant nelygybę, tiek priimtinos reikšmės ir taškai, pažeidžiantys šią funkciją. Todėl atsakymas yra ne paprasta atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių serija arba rinkinys.

Pagrindinės teoremos apie logaritmus

Sprendžiant primityvias užduotis ieškant logaritmo reikšmių, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Su lygčių pavyzdžiais susipažinsime vėliau, pirmiausia išanalizuokime kiekvieną savybę išsamiau.

1. Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tuo atveju, jei a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
2. Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju būtina sąlyga: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritmų formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (laipsnio savybės ), o toliau pagal apibrėžimą: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kurį reikėjo įrodyti.
3. Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.

Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi įprastais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.

Leiskite įregistruoti a b \u003d t, pasirodo, a t \u003d b. Jei abi dalis pakelsite laipsniu m: a tn = b n ;

bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n , vadinasi, log a q b n = (n*t)/t, tai log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.

Problemų ir nelygybių pavyzdžiai

Dažniausiai pasitaikantys logaritmų uždaviniai yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra įtraukti į privalomą matematikos egzaminų dalį. Norint įstoti į universitetą ar išlaikyti stojamuosius matematikos testus, reikia žinoti, kaip teisingai išspręsti tokias užduotis.

Deja, nėra vieno plano ar schemos, kaip išspręsti ir nustatyti nežinomą logaritmo reikšmę, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Visų pirma turėtumėte išsiaiškinti, ar išraišką galima supaprastinti arba sumažinti iki bendras vaizdas. Supaprastinkite ilgai logaritmines išraiškas Galite, jei teisingai naudosite jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.

Sprendžiant logaritmines lygtis, būtina nustatyti, kokį logaritmą turime prieš mus: išraiškos pavyzdyje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.

Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad reikia nustatyti, kokiu laipsniu bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Dėl sprendimų natūralūs logaritmai reikia taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.

Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.

1. Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia plėsti didelę reikšmę skaičius b į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo laipsnio savybę, mums pavyko išspręsti iš pirmo žvilgsnio sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Pakanka tik koeficientuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.

Užduotys iš egzamino

Logaritmai dažnai aptinkami stojamuosiuose egzaminuose, ypač daug logaritminių uždavinių Vieningajame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia bandomoji dalis egzaminą), bet ir C dalyje (sunkiausios ir apimčiausios užduotys). Egzaminas reiškia tikslią ir nepriekaištingą temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymą.

Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialaus NAUDOTI parinktis. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.

Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2 , pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4 , todėl 2x = 17; x = 8,5.

• Visus logaritmus geriausia sumažinti iki tos pačios bazės, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
• Visos raiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl išimant reiškinio, esančio po logaritmo ženklą, rodiklį ir kaip jo bazę, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.

\(a^(b)=c\) \(\Rodyklė į kairę\) \(\log_(a)(c)=b\)

Paaiškinkime lengviau. Pavyzdžiui, \(\log_(2)(8)\) yra lygi galiai \(2\), kurią reikia padidinti iki, kad gautumėte \(8\). Iš to aišku, kad \(\log_(2)(8)=3\).

Pavyzdžiai:		\(\log_(5)(25)=2\)		nes \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		nes \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		nes \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumentas ir logaritmo pagrindas

Bet kuris logaritmas turi tokią „anatomiją“:

Logaritmo argumentas dažniausiai rašomas jo lygmenyje, o bazė rašoma apatiniu indeksu arčiau logaritmo ženklo. Ir šis įrašas skaitomas taip: „dvidešimt penkių logaritmas iki penkių bazės“.

Kaip apskaičiuoti logaritmą?

Norėdami apskaičiuoti logaritmą, turite atsakyti į klausimą: kokiu laipsniu reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą?

Pavyzdžiui, apskaičiuokite logaritmą: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Kokia galia turi būti padidinta \(4\), kad gautume \(16\)? Akivaizdu, kad antrasis. Štai kodėl:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(5)\), kad gautume \(1\)? O koks laipsnis bet kurį skaičių paverčia vienetu? Nulis, žinoma!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Kokia galia turi būti padidinta \(\sqrt(7)\), kad gautume \(\sqrt(7)\)? Pirmajame - bet koks skaičius pirmojo laipsnio yra lygus sau.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Kokia galia turi būti padidinta \(3\), kad gautume \(\sqrt(3)\)? Mes žinome, kad tai yra trupmeninė galia, todėl kvadratinė šaknis yra \(\frac(1)(2)\) laipsnis.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Pavyzdys : Apskaičiuokite logaritmą \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Sprendimas :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Turime rasti logaritmo reikšmę, pažymėkime ją x. Dabar naudokime logaritmo apibrėžimą: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Rodyklė į kairę\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Kas susieja \(4\sqrt(2)\) ir \(8\)? Du, nes abu skaičiai gali būti pavaizduoti dviem: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Kairėje pusėje naudojame laipsnio ypatybes: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ir \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazės yra lygios, pereiname prie rodiklių lygybės
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Padauginkite abi lygties puses iš \(\frac(2)(5)\)
		Gauta šaknis yra logaritmo reikšmė

Atsakymas : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Kodėl buvo išrastas logaritmas?

Norėdami tai suprasti, išspręskime lygtį: \(3^(x)=9\). Tiesiog suderinkite \(x\), kad lygybė veiktų. Žinoma, \(x=2\).

Dabar išspręskite lygtį: \(3^(x)=8\). Kam x lygus? Tai yra esmė.

Išradingiausi pasakys: „X yra šiek tiek mažiau nei du“. Kaip tiksliai turi būti parašytas šis skaičius? Norėdami atsakyti į šį klausimą, jie sugalvojo logaritmą. Jo dėka atsakymas čia gali būti parašytas kaip \(x=\log_(3)(8)\).

Noriu pabrėžti, kad \(\log_(3)(8)\), taip pat bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip, atrodo neįprastai, bet trumpas. Nes jei norėtume rašyti kaip dešimtainį skaičių, jis atrodytų taip: \(1.892789260714.....\)

Pavyzdys : išspręskite lygtį \(4^(5x-4)=10\)

Sprendimas :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ir \(10\) negali būti redukuojami į tą pačią bazę. Taigi čia neapsieisite be logaritmo. Naudokime logaritmo apibrėžimą: \(a^(b)=c\) \(\Rodyklė į kairę\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Apverskite lygtį taip, kad x būtų kairėje
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prieš mus. Perkelkite \(4\) į dešinę. Ir nebijokite logaritmo, traktuokite jį kaip įprastą skaičių.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Padalinkite lygtį iš 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Čia yra mūsų šaknis. Taip, atrodo neįprastai, bet atsakymas nepasirinktas.

Atsakymas : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dešimtainiai ir natūralūs logaritmai

Kaip nurodyta logaritmo apibrėžime, jo bazė gali būti bet kokia teigiamas skaičius, išskyrus vienetą \((a>0, a\neq1)\). Ir tarp visų galimų bazių yra du, kurie pasitaiko taip dažnai, kad logaritmams su jais buvo išrastas specialus trumpas žymėjimas:

Natūralusis logaritmas: logaritmas, kurio pagrindas yra Eulerio skaičius \(e\) (lygus apytiksliai \(2,7182818…\)), o logaritmas parašytas kaip \(\ln(a)\).

Tai yra, \(\ln(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(e)(a)\)

Dešimtainis logaritmas: logaritmas, kurio bazė yra 10, rašoma \(\lg(a)\).

Tai yra, \(\lg(a)\) yra toks pat kaip \(\log_(10)(a)\), kur \(a\) yra koks nors skaičius.

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Logaritmai turi daug savybių. Vienas iš jų vadinamas „Pagrindinis logaritminė tapatybė“ ir atrodo taip:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ši savybė tiesiogiai išplaukia iš apibrėžimo. Pažiūrėkime, kaip atsirado ši formulė.

Prisiminkime trumpa pastaba logaritmų apibrėžimai:

jei \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Tai reiškia, kad \(b\) yra toks pat kaip \(\log_(a)(c)\). Tada galime parašyti \(\log_(a)(c)\) vietoj \(b\) formulėje \(a^(b)=c\) . Paaiškėjo, kad \(a^(\log_(a)(c))=c\) - pagrindinė logaritminė tapatybė.

Galite rasti likusias logaritmų savybes. Su jų pagalba galite supaprastinti ir apskaičiuoti logaritmų išraiškų reikšmes, kurias sunku tiesiogiai apskaičiuoti.

Pavyzdys : Raskite išraiškos reikšmę \(36^(\log_(6)(5))\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(25\)

Kaip parašyti skaičių kaip logaritmą?

Kaip minėta aukščiau, bet koks logaritmas yra tik skaičius. Taip pat yra atvirkščiai: bet kurį skaičių galima parašyti logaritmu. Pavyzdžiui, žinome, kad \(\log_(2)(4)\) yra lygus dviem. Tada vietoj dviejų galite parašyti \(\log_(2)(4)\).

Tačiau \(\log_(3)(9)\) taip pat yra lygus \(2\), todėl taip pat galite parašyti \(2=\log_(3)(9)\) . Panašiai ir su \(\log_(5)(25)\) ir su \(\log_(9)(81)\) ir kt. Tai yra, pasirodo

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Taigi, jei reikia, galime užrašyti du kaip logaritmą su bet kuria baze bet kurioje vietoje (net lygtyje, net išraiškoje, net nelygybėje) – tiesiog kvadratinę bazę rašome kaip argumentą.

Tas pats ir su trigubu – jis gali būti parašytas kaip \(\log_(2)(8)\), arba kaip \(\log_(3)(27)\), arba kaip \(\log_(4)( 64) \) ... Čia kaip argumentą įrašome bazę kube:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ir su keturiais:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ir su minusu vienu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\)\(...\)

Ir su trečdaliu:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bet koks skaičius \(a\) gali būti pavaizduotas kaip logaritmas su baze \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Pavyzdys : Raskite išraiškos reikšmę \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Sprendimas :

Atsakymas : \(1\)

Vystantis visuomenei, gamybos sudėtingumui vystėsi ir matematika. Judėjimas nuo paprasto iki sudėtingo. Nuo įprasto sudėjimo ir atimties apskaitos metodo, juos kartojant, jie priėjo prie daugybos ir dalybos sampratos. Daugkartinio kartojimo operacijos sumažinimas tapo eksponencijos sąvoka. Pirmąsias skaičių priklausomybės nuo bazės ir eksponencijos skaičiaus lenteles dar VIII amžiuje sudarė indų matematikas Varasena. Iš jų galite suskaičiuoti logaritmų atsiradimo laiką.

Istorinis kontūras

Europos atgimimas XVI amžiuje paskatino ir mechanikos raidą. T pareikalavo daug skaičiavimų susiję su daugiaženklių skaičių daugyba ir dalyba. Senoviniai stalai labai pasitarnavo. Jie leido sudėtingas operacijas pakeisti paprastesnėmis - sudėtimi ir atimti. Didelis žingsnis į priekį buvo matematiko Michaelo Stiefelio darbas, paskelbtas 1544 m., kuriame jis įgyvendino daugelio matematikų idėją. Tai leido naudoti lenteles ne tik laipsniams pirminių skaičių pavidalu, bet ir savavališkai racionaliems skaičiams.

1614 m. škotas Johnas Napier, plėtodamas šias idėjas, pirmą kartą įvedė naują terminą „skaičiaus logaritmas“. Sinusų ir kosinusų logaritmams, taip pat liestims apskaičiuoti buvo sudarytos naujos sudėtingos lentelės. Tai labai sumažino astronomų darbą.

Pradėjo pasirodyti naujos lentelės, kurias sėkmingai naudojo mokslininkai tris šimtmečius. Prieš tai užtruko daug laiko nauja operacija algebroje įgavo baigtą formą. Buvo apibrėžtas logaritmas ir ištirtos jo savybės.

Tik XX amžiuje, atsiradus skaičiuotuvui ir kompiuteriui, žmonija atsisakė senovinių lentelių, kurios sėkmingai veikė visą XIII amžių.

Šiandien vadiname b logaritmu, kad pagrįstų a skaičių x, kuris yra a laipsnis, kad gautume skaičių b. Tai parašyta kaip formulė: x = log a(b).

Pavyzdžiui, log 3(9) bus lygus 2. Tai akivaizdu, jei laikotės apibrėžimo. Jei pakelsime 3 iki 2 laipsnio, gausime 9.

Taigi, suformuluotas apibrėžimas kelia tik vieną apribojimą, skaičiai a ir b turi būti tikri.

Logaritmų atmainos

Klasikinis apibrėžimas vadinamas tikruoju logaritmu ir iš tikrųjų yra lygties a x = b sprendimas. Parinktis a = 1 yra ribinė ir neįdomi. Pastaba: 1 bet kokiam laipsniui yra 1.

Tikroji logaritmo vertė apibrėžiamas tik tuo atveju, jei bazė ir argumentas yra didesni nei 0, o bazė neturi būti lygi 1.

Ypatinga vieta matematikos srityježaisti logaritmus, kurie bus pavadinti priklausomai nuo jų bazės vertės:

Taisyklės ir apribojimai

Pagrindinė logaritmų savybė yra taisyklė: sandaugos logaritmas yra lygus logaritminei sumai. log abp = log a(b) + log a(p).

Kaip šio teiginio variantas, tai bus: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), koeficiento funkcija yra lygi funkcijų skirtumui.

Iš ankstesnių dviejų taisyklių nesunku suprasti, kad: log a(b p) = p * log a(b).

Kitos savybės apima:

komentuoti. Nedarykite įprastos klaidos – sumos logaritmas nelygus logaritmų sumai.

Daugelį amžių logaritmo paieškos operacija buvo gana daug laiko reikalaujanti užduotis. Matematikai naudojo gerai žinomą logaritminės plėtimosi į daugianarį teorijos formulę:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), kur n yra didesnis už 1 natūralusis skaičius, nulemiantis skaičiavimo tikslumą.

Logaritmai su kitais pagrindais buvo apskaičiuoti naudojant teoremą apie perėjimą iš vienos bazės į kitą ir sandaugos logaritmo savybę.

Kadangi šis metodas yra labai sunkus ir sprendžiant praktines problemas sunkiai įgyvendinami, jie naudojo iš anksto sudarytas logaritmų lenteles, kurios labai paspartino visą darbą.

Kai kuriais atvejais buvo naudojami specialiai sudaryti logaritmų grafikai, kurie davė mažesnį tikslumą, tačiau žymiai pagreitino norimos reikšmės paiešką. Funkcijos y = log a(x) kreivė, sudaryta iš kelių taškų, leidžia naudojant įprastą liniuotę rasti funkcijos reikšmes bet kuriame kitame taške. Inžinieriai ilgas laikasšiems tikslams buvo naudojamas vadinamasis grafinis popierius.

XVII amžiuje atsirado pirmosios pagalbinės analoginio skaičiavimo sąlygos, kurios į XIX aįgavo užbaigtą išvaizdą. Sėkmingiausias įrenginys buvo vadinamas slydimo taisykle. Nepaisant prietaiso paprastumo, jo išvaizda žymiai paspartino visų inžinerinių skaičiavimų procesą, ir tai sunku pervertinti. Šiuo metu mažai žmonių yra susipažinę su šiuo įrenginiu.

Atsiradus skaičiuotuvams ir kompiuteriams, naudoti kitus įrenginius tapo beprasmiška.

Lygtys ir nelygybės

Šios formulės naudojamos įvairioms lygtims ir nelygybėms išspręsti naudojant logaritmus:

• Perėjimas iš vienos bazės į kitą: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Dėl ankstesnės versijos: log a(b) = 1 / log b(a).

Norint išspręsti nelygybes, naudinga žinoti:

• Logaritmo reikšmė bus teigiama tik tuo atveju, jei ir bazė, ir argumentas yra didesni arba mažesni už vieną; jei pažeidžiama bent viena sąlyga, logaritmo reikšmė bus neigiama.
• Jei logaritmo funkcija taikoma dešinėje ir kairėje nelygybės pusėje, o logaritmo pagrindas yra didesnis už vienetą, tai nelygybės ženklas išsaugomas; kitu atveju pasikeičia.

Užduočių pavyzdžiai

Apsvarstykite keletą logaritmų ir jų savybių naudojimo variantų. Lygčių sprendimo pavyzdžiai:

Apsvarstykite galimybę pateikti logaritmą laipsnyje:

• 3 užduotis. Apskaičiuokite 25^log 5(3). Sprendimas: uždavinio sąlygomis žymėjimas yra panašus į (5^2)^log5(3) arba 5^(2 * log 5(3)). Parašykime kitaip: 5^log 5(3*2), arba skaičiaus kvadratą kaip funkcijos argumentą galima parašyti kaip pačios funkcijos kvadratą (5^log 5(3))^2. Naudojant logaritmų savybes, ši išraiška yra 3^2. Atsakymas: atlikę skaičiavimus gauname 9.

Praktinis naudojimas

Atrodo, kad tai yra grynai matematinė priemonė Tikras gyvenimas kad logaritmas staiga įgavo didelę reikšmę aprašant objektus realus pasaulis. Sunku rasti mokslą, kur jis nebūtų naudojamas. Tai visiškai taikoma ne tik gamtos, bet ir humanitarinių mokslų srityse.

Logaritminės priklausomybės

Štai keletas skaitinių priklausomybių pavyzdžių:

Mechanika ir fizika

Istoriškai mechanika ir fizika visada vystėsi naudojant matematiniai metodai mokslinius tyrimus ir kartu pasitarnavo kaip paskata plėtoti matematiką, įskaitant logaritmus. Daugumos fizikos dėsnių teorija parašyta matematikos kalba. Pateikiame tik du fizinių dėsnių aprašymo pavyzdžius naudojant logaritmą.

Galima išspręsti tokio sudėtingo dydžio, kaip raketos greičio, apskaičiavimo problemą naudojant Ciolkovskio formulę, kuri padėjo pagrindą kosmoso tyrinėjimo teorijai:

V = I * ln(M1/M2), kur

• V – galutinis orlaivio greitis.
• Aš – specifinis variklio impulsas.
• M 1 yra pradinė raketos masė.
• M 2 – galutinė masė.

Kitas svarbus pavyzdys– tai panaudoja kito puikaus mokslininko Maxo Plancko formulėje, kuri padeda įvertinti termodinamikos pusiausvyros būseną.

S = k * ln (Ω), kur

• S yra termodinaminė savybė.
• k yra Boltzmanno konstanta.
• Ω yra skirtingų būsenų statistinis svoris.

Chemija

Mažiau akivaizdu, kad chemijoje būtų naudojamos formulės, kuriose būtų logaritmų santykis. Štai tik du pavyzdžiai:

• Nernsto lygtis, terpės redokso potencialo sąlyga medžiagų aktyvumo ir pusiausvyros konstantos atžvilgiu.
• Tokių konstantų, kaip autoprolizės indeksas ir tirpalo rūgštingumas, skaičiavimas taip pat nėra baigtas be mūsų funkcijos.

Psichologija ir biologija

Ir visiškai nesuprantama, ką su tuo turi psichologija. Pasirodo, kad jutimo stiprumą ši funkcija gerai apibūdina kaip atvirkštinį stimulo intensyvumo reikšmės ir mažesnio intensyvumo vertės santykį.

Po minėtų pavyzdžių nebestebina, kad logaritmų tema plačiai naudojama ir biologijoje. Apie logaritmines spirales atitinkančias biologines formas galima parašyti ištisus tomus.

Kitos sritys

Atrodo, kad pasaulio egzistavimas neįmanomas be ryšio su šia funkcija, ir jis valdo visus dėsnius. Ypač kai susiję su gamtos dėsniais geometrinė progresija. Verta kreiptis į „MatProfi“ svetainę ir yra daug tokių pavyzdžių šiose veiklos srityse:

Sąrašas gali būti begalinis. Įvaldę pagrindinius šios funkcijos dėsnius, galite pasinerti į begalinės išminties pasaulį.