namai › Degalų sistema › Kaip iš lygties rasti mažiausią funkcijos reikšmę. Didžiausios ir mažiausios dviejų kintamųjų funkcijos reikšmės uždarame regione

Kaip iš lygties rasti mažiausią funkcijos reikšmę. Didžiausios ir mažiausios dviejų kintamųjų funkcijos reikšmės uždarame regione

Miniatiūrinė ir gana paprasta užduotis, kuri tarnauja kaip išsigelbėjimas plaukiojančiam studentui. Gamtoje – mieguista liepos vidurio karalystė, tad pats laikas su nešiojamu kompiuteriu įsikurti paplūdimyje. Žaidė anksti ryte saulės spindulys teoriją, kad netrukus sutelktų dėmesį į praktiką, kurioje, nepaisant tariamo lengvumo, smėlyje yra stiklo šukių. Šiuo atžvilgiu aš rekomenduoju sąžiningai apsvarstyti keletą šio puslapio pavyzdžių. Norint išspręsti praktines užduotis, reikia mokėti rasti išvestinių ir suprasti straipsnio medžiagą Funkcijos monotoniškumo ir ekstremumo intervalai.

Pirma, trumpai apie pagrindinį dalyką. Pamokoje apie funkcijos tęstinumas Pateikiau tęstinumo apibrėžimą taške ir tęstinumą intervale. Suformuluotas pavyzdinis funkcijos elgesys segmente panašiai. Funkcija yra ištisinė atkarpoje, jei:

1) jis yra tęstinis intervale ;
2) ištisinis taške Dešinėje ir taške paliko.

Antroje pastraipoje kalbama apie vadinamuosius vienašalis tęstinumas veikia taške. Yra keletas požiūrių į jo apibrėžimą, bet aš pasiliksiu prie anksčiau pradėtos linijos:

Funkcija yra ištisinė taške Dešinėje, jei jis apibrėžtas tam tikrame taške ir jo dešinioji riba sutampa su funkcijos reikšme tam tikrame taške: . Jis yra nenutrūkstamas taške paliko, jei apibrėžta tam tikrame taške, o jo kairioji riba yra lygi to taško reikšmei:

Įsivaizduokite, kad žali taškai yra nagai, ant kurių pritvirtinta stebuklinga guma:

Protiškai paimkite raudoną liniją į rankas. Akivaizdu, kad ir kiek temptume grafiką aukštyn ir žemyn (išilgai ašies), funkcija vis tiek išliks ribotas- gyvatvorė aukščiau, gyvatvorė apačioje, o mūsų produktas ganosi aptvaroje. Taigi, funkcija, kuri tęsiasi atkarpoje, yra ribojama. Matematinės analizės metu šis iš pažiūros paprastas faktas yra konstatuojamas ir griežtai įrodytas Pirmoji Weierstrasso teorema.... Daugelį erzina, kad matematikoje nuobodžiai pagrindžiami elementarūs teiginiai, tačiau yra svarbią reikšmę. Tarkime, tam tikras kilpinių viduramžių gyventojas ištraukė grafiką į dangų už matomumo ribos, tai buvo įterpta. Prieš išrandant teleskopą, ribota erdvė erdvėje nebuvo akivaizdi! Iš tiesų, kaip žinoti, kas mūsų laukia už horizonto? Juk kažkada Žemė buvo laikoma plokščia, todėl šiandien net įprasta teleportacija reikalauja įrodymų =)

Pagal antroji Weierstrasso teorema, ištisinis segmentefunkcija pasiekia savo tikslus viršutinis kraštas ir jo tikslus apatinis kraštas .

Taip pat skambinama numeriu maksimali funkcijos reikšmė segmente ir žymimas , o skaičius - mažiausia funkcijos reikšmė atkarpoje pažymėtas .

Mūsų atveju:

Pastaba : teoriškai įrašai yra įprasti .

Apytiksliai kalbant, didžiausia vertė yra ten, kur aukstas taskas grafika, o mažiausias – kur žemiausias taškas.

Svarbu! Kaip jau buvo nurodyta straipsnyje apie funkcijos ekstremumai, didžiausia funkcijos reikšmė Ir mažiausia funkcijos reikšmė – NE TAS PATS, Ką maksimali funkcija Ir funkcijos minimumas. Taigi, šiame pavyzdyje skaičius yra funkcijos minimumas, bet ne mažiausia reikšmė.

Beje, kas vyksta už segmento ribų? Taip, net potvynis, nagrinėjamos problemos kontekste, mūsų visiškai nedomina. Užduotis apima tik dviejų skaičių paiešką Štai ir viskas!

Be to, sprendimas yra grynai analitinis, todėl piešti nereikia!

Algoritmas yra ant paviršiaus ir siūlo save iš aukščiau esančio paveikslo:

1) Raskite funkcijų reikšmes kritinius taškus, kurie priklauso šiam segmentui.

Pagauk dar vieną gėrį: nereikia tikrinti, ar ekstremumas yra pakankamas, nes, kaip ką tik parodyta, ar yra minimumas arba maksimumas dar negarantuotas kokia yra mažiausia arba didžiausia vertė. Parodomoji funkcija pasiekia maksimumą ir likimo valia toks pat skaičius yra didžiausia funkcijos reikšmė intervale . Bet, žinoma, toks sutapimas įvyksta ne visada.

Taigi, pirmuoju žingsniu greičiau ir paprasčiau apskaičiuoti funkcijos reikšmes kritiniuose segmentui priklausančiuose taškuose, nesijaudinant, ar jie turi ekstremalų, ar ne.

2) Apskaičiuojame funkcijos reikšmes segmento galuose.

3) Tarp 1 ir 2 pastraipose rastų funkcijos reikšmių pasirenkame mažiausią ir didžiausią didelis skaičius, parašykite atsakymą.

Sėdime ant žydros jūros kranto ir daužome kulnus sekliame vandenyje:

1 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausia vertė funkcijos intervale

Sprendimas:
1) Apskaičiuokite funkcijos reikšmes kritiniuose taškuose, priklausančiuose šiam segmentui:

Apskaičiuokime funkcijos reikšmę antrajame kritiniame taške:

2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmes segmento galuose:

3) „Paryškinti“ rezultatai buvo gauti naudojant eksponentus ir logaritmus, o tai labai apsunkina jų palyginimą. Dėl šios priežasties apsiginkluosime skaičiuotuvu arba Excel ir apskaičiuosime apytiksles reikšmes, nepamiršdami, kad:

Dabar viskas aišku.

Atsakymas:

Dalinis-racionalus nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

6 pavyzdys

Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente

Didžiausia (mažiausia) funkcijos reikšmė yra didžiausia (mažiausia) priimta ordinatės reikšmė nagrinėjamame intervale.

Norėdami rasti didžiausią arba mažiausią funkcijos reikšmę, turite:

Patikrinkite, kurie stacionarūs taškai yra įtraukti į nurodytą atkarpą.
Apskaičiuokite funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir stacionariuose taškuose nuo 3 veiksmo
Iš gautų rezultatų pasirinkite didžiausią arba mažiausią vertę.

Norėdami rasti didžiausią arba mažiausią taškų skaičių, turite:

Raskite funkcijos $f"(x)$ išvestinę
Raskite stacionarius taškus išsprendę lygtį $f"(x)=0$
Faktorizuoti funkcijos išvestinę.
Nubrėžkite koordinačių liniją, įdėkite ant jos stacionarius taškus ir gautuose intervaluose nustatykite išvestinės ženklus, naudodami 3 punkto žymą.
Raskite maksimalų arba mažiausią taškų skaičių pagal taisyklę: jei taške išvestinė pakeičia ženklą iš pliuso į minusą, tai bus didžiausias taškas (jei iš minuso į pliusą, tai bus mažiausias taškas). Praktikoje patogu naudoti rodyklių atvaizdą ant intervalų: intervale, kuriame išvestinė yra teigiama, rodyklė brėžiama aukštyn ir atvirkščiai.

Kai kurių elementariųjų funkcijų išvestinių lentelė:

Funkcija	Darinys
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n, n∈N$	$nx^(n-1), n∈N$
$(1)/(x)$	$-(1)/(x^2)$
$(1)/x(^n), n∈N$	$-(n)/(x^(n+1)), n∈N$
$√^n(x), n∈N$	$(1)/(n√^n(x^(n-1)), n∈N$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx $
$tgx$	$(1)/(cos^2x)$
$ctgx$	$-(1)/(sin^2x)$
$cos^2x$	$-sin2x$
$sin^2x$	$sin2x$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^xlna$
$lnx$	$(1)/(x)$
$log_(a)x$	$(1)/(xlna)$

Pagrindinės diferenciacijos taisyklės

1. Sumos ir skirtumo išvestinė lygi kiekvieno nario išvestinei

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Raskite funkcijos $f(x) = 3x^5 – cosx + (1)/(x)$ išvestinę

Sumos ir skirtumo išvestinė yra lygi kiekvieno nario išvestinei

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+((1)/(x))"=15x^4+sinx-(1)/(x^2)$

2. Produkto darinys.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Raskite išvestinę $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Dalinio išvestinė

$((f(x))/(g(x)))"=(f^"(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)")/(g^2(x) )$

Raskite išvestinę $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"∙e^x-5x^5∙(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4∙e^x- 5x^5∙e^x)/((e^x)^2)$

4. Sudėtinės funkcijos išvestinė lygi išorinės funkcijos išvestinės ir vidinės funkcijos išvestinės sandaugai

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Raskite funkcijos $y=2x-ln⁡(x+11)+4$ mažiausią tašką

1. Raskite funkcijos ODZ: $x+11>0; x>-11 USD

2. Raskite funkcijos $y"=2-(1)/(x+11)=(2x+22-1)/(x+11)=(2x+21)/(x+11)$ išvestinę

3. Raskite stacionarius taškus prilygindami išvestinę nuliui

$(2x+21)/(x+11)=0$

Trupmena yra lygi nuliui, jei skaitiklis yra nulis, o vardiklis nėra nulis

$2x+21=0; x≠-11 USD

4. Nubrėžkite koordinačių liniją, uždėkite ant jos stacionarius taškus ir gautuose intervaluose nustatykite išvestinės ženklus. Norėdami tai padaryti, išvestinėje pakeičiame bet kurį skaičių iš kraštutinės dešinės srities, pavyzdžiui, nulį.

$y"(0)=(2∙0+21)/(0+11)=(21)/(11)>0$

5. Minimaliame taške išvestinė keičia ženklą iš minuso į pliusą, todėl $-10.5$ taškas yra minimalus taškas.

Atsakymas: -10,5 USD

Raskite maksimalią funkcijos $y=6x^5-90x^3-5$ reikšmę segmente $[-5;1]$

1. Raskite funkcijos $y′=30x^4-270x^2$ išvestinę

2. Išvestinę prilyginkite nuliui ir raskite stacionarius taškus

30 x ^ 4–270 x ^ 2 = 0 USD

Iš skliaustų paimkime bendrą koeficientą $30x^2$

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(x-3)(x+3)=0$

Nustatykite kiekvieną koeficientą lygų nuliui

$x^2=0 ; x-3=0; x+3=0$

$x=0;x=3;x=-3$

3. Pasirinkite stacionarius taškus, priklausančius duotam segmentui $[-5;1]$

Mums tinka stacionarūs taškai $x=0$ ir $x=-3$

4. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir stacionariuose taškuose pagal 3 punktą

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Būtinoji funkcijos maksimumo ir minimumo (ekstremumo) sąlyga yra tokia: jei funkcijos f(x) taške x = a yra ekstremumas, tai šiame taške išvestinė yra arba nulis, arba begalinė, arba neegzistuoja.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali išnykti, pereiti į begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba minimali)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai pačiame taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra neigiama į kairę nuo a ir teigiama į dešinę nuo a, tada pačiame taške x = a funkcija f(x) turi minimumas su sąlyga, kad funkcija f(x) čia yra ištisinė.

Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:

Tegu taške x = ir pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(а) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Tai funkcijos argumento reikšmė, kuriai esant funkcijai yra ekstremumas (t. y. maksimalus arba minimumas). Norėdami jį rasti, jums reikia rasti išvestinę funkcija f?(x) ir, prilyginant ją nuliui, išspręsti lygtį f?(x) = 0. Šios lygties šaknys, taip pat tie taškai, kuriuose šios funkcijos išvestinė neegzistuoja, yra kritiniai taškai, t.y. argumento reikšmės, kuriose gali būti ekstremumas . Juos nesunku atpažinti pažiūrėjus išvestinis grafikas: mus domina tos argumento reikšmės, kuriose funkcijos grafikas kerta abscisių ašį (Ox ašį), ir tos, kuriose grafikas nutrūksta.

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išsprendžiame lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

IN Ši byla kritinis taškas yra x0=-1/3. Šią argumento reikšmę funkcija turi ekstremumas. Gauti tai rasti, funkcijos išraiškoje rastą skaičių pakeičiame vietoj "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?

Jei išvestinės ženklas pereinant per kritinį tašką x0 pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai x0 yra maksimalus taškas; jei išvestinės ženklas pasikeičia iš minuso į pliusą, tai x0 yra minimalus taškas; jei ženklas nesikeičia, tai taške x0 nėra nei maksimumo, nei minimumo.

Dėl nagrinėjamo pavyzdžio:

Paimame savavališką argumento reikšmę kairėje nuo kritinis taškas: x = -1

Kai x = -1, išvestinės vertė bus y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. minuso ženklas).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Jei x = 1, išvestinės vertė bus y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. pliuso ženklas).

Kaip matote, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklą pakeitė iš minuso į pliusą. Tai reiškia, kad esant kritinei x0 vertei, turime mažiausią tašką.

Didžiausia ir mažiausia funkcijos reikšmė ant intervalo(segmente) randami ta pačia procedūra, tik atsižvelgiant į tai, kad galbūt ne visi kritiniai taškai bus nurodytame intervale. Tie kritiniai taškai, kurie yra už intervalo ribų, turi būti neįtraukti. Jei intervale yra tik vienas kritinis taškas, jis turės arba maksimumą, arba minimumą. Šiuo atveju, norėdami nustatyti didžiausias ir mažiausias funkcijos reikšmes, taip pat atsižvelgiame į funkcijos reikšmes intervalo galuose.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

intervalais:

Taigi funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arkos (0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) – 2π * 1 \u003d –4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijos reikšmes randame esant kritinėms argumento reikšmėms:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias - esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra y = 5,398.

Funkcijos reikšmę randame intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė yra

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubimo bei įgaubimo puses?

Norėdami rasti visus tiesės y \u003d f (x) vingio taškus, turite rasti antrąją išvestinę, prilyginti ją nuliui (išspręsti lygtį) ir išbandyti visas tas x reikšmes, kurių antroji išvestinė lygi nuliui. , begalinis arba neegzistuoja. Jei, einant per vieną iš šių reikšmių, antroji išvestinė keičia ženklą, tai funkcijos grafikas šiame taške turi linksnį. Jei nesikeičia, tada nėra linksniavimo.

Lygties f šaknys? (x) = 0, taip pat galimi funkcijos ir antrosios išvestinės nutrūkimo taškai, padalina funkcijos sritį į daugybę intervalų. Išgaubtumą kiekviename jų intervale lemia antrosios išvestinės ženklas. Jei antroji išvestinė tiriamo intervalo taške yra teigiama, tai tiesė y = f(x) čia yra įgaubta aukštyn, o jei neigiama, tai žemyn.

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus?

Norėdami rasti funkcijos f(x, y), skirtingą jos priskyrimo srityje, ekstremalumą, jums reikia:

1) Raskite kritinius taškus ir išspręskite lygčių sistemą

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

visuose taškuose (x; y) pakankamai arti P0. Jei skirtumas išlaiko teigiamą ženklą, tada taške P0 turime minimumą, jei neigiamą, tada maksimumą. Jei skirtumas neišlaiko savo ženklo, tada taške Р0 nėra ekstremumo.

Panašiai funkcijos ekstremumai nustatomi didesniam argumentų skaičiui.

Kas yra Shrek Forever After?
Animacinis filmas: Shrek Forever After Išleidimo metai: 2010 Premjera (Rusija): 2010 m. gegužės 20 d. Šalis: JAV Režisierius: Michael Pitchel Scenarijus: Josh Klausner, Darren Lemke Žanras: šeimos komedija, fantastika, nuotykiai Oficiali svetainė: www.shrekforeverafter.com siužetas mulas

Ar galiu duoti kraujo menstruacijų metu?
Gydytojai nerekomenduoja duoti kraujo menstruacijų metu, nes. kraujo netekimas, nors ir nežymus, yra kupinas hemoglobino kiekio sumažėjimo ir moters savijautos pablogėjimo. Kraujo donorystės procedūros metu savijauta gali pablogėti iki kraujavimo nustatymo. Todėl moterys turėtų susilaikyti nuo kraujo davimo menstruacijų metu. Ir jau 5 dieną po jų pabaigos

Kiek kcal per valandą sunaudojama plaunant grindis
Rūšys fizinė veikla Energijos sąnaudos, kcal/h Maisto gaminimas 80 Ruošimasis 30 Vairavimas 50 Dulkių valymas 80 Valgymas 30 Sodo tvarkymas 135 Lyginimas 45 Lovos klojimas 130 Apsipirkimas 80 Sėdimas darbas 75 Malkų smulkinimas 300 Grindų plovimas 130 Seksas 100-150 Mažas intensyvumas

Ką reiškia žodis "netikras"?
Sukčiai – tai vagis, užsiimantis smulkia vagyste, arba nesąžiningas žmogus, linkęs į apgaulingus triukus. Šio apibrėžimo patvirtinimas yra Krylovo etimologiniame žodyne, pagal kurį žodis „aferistas“ yra sudarytas iš žodžio „aferistas“ (vagis, aferistas), giminingo veiksmažodžiui &la.

Kaip vadinasi paskutinė paskelbta brolių Strugatskių istorija
Maža istorija Arkadijus ir Borisas Strugackiai „Apie ciklotacijos klausimą“ pirmą kartą buvo paskelbti 2008 m. balandžio mėn. mokslinės fantastikos antologijoje „Vidurdienis. XXI amžius“ (žurnalo „Vokrug sveta“, išleisto Boriso Strugatskio redakcijoje, priedas). Leidinys buvo skirtas Boriso Strugatskio 75-mečiui.

Kur galiu paskaityti Work And Travel USA programos dalyvių pasakojimus
Work and Travel USA (darbas ir kelionės JAV) yra populiari studentų mainų programa, kurios metu galite praleisti vasarą Amerikoje, legaliai dirbant paslaugų sektoriuje ir keliaujant. „Work & Travel“ programos istorija yra tarpvyriausybinių mainų programos „Cultural Exchange Pro“ dalis

Ausis. Kulinarinė ir istorinė nuoroda Jau daugiau nei du su puse amžiaus žodis „ukha“ buvo vartojamas sriuboms ar šviežios žuvies nuovirui apibūdinti. Tačiau buvo laikas, kai šis žodis buvo aiškinamas plačiau. Jie žymėjo sriubą – ne tik žuvį, bet ir mėsą, žirnius ir net saldžią. Taigi istoriniame dokumente - "

Informaciniai ir įdarbinimo portalai Superjob.ru – dirba įdarbinimo portalas Superjob.ru Rusijos rinka internetinis įdarbinimas nuo 2000 m. ir yra lyderis tarp išteklių, siūlančių darbo paiešką ir personalą. Kasdien į svetainės duomenų bazę įtraukiama daugiau nei 80 000 specialistų gyvenimo aprašymų ir daugiau nei 10 000 laisvų darbo vietų.

Kas yra motyvacija
Motyvacijos apibrėžimas Motyvacija (iš lot. moveo – judu) – impulsas veikti; dinamiškas fiziologinio ir psichologinio plano procesas, valdantis žmogaus elgesį, lemiantis jo kryptį, organizaciją, veiklą ir stabilumą; žmogaus gebėjimas patenkinti savo poreikius darbu. Motivac

Kas yra Bobas Dylanas
Bobas Dilanas (angl. Bob Dylan, tikrasis vardas – Robertas Allenas Zimmermanas, angl. Robertas Allenas Zimmermanas; g. 1941 m. gegužės 24 d.) yra amerikiečių dainų autorius, kuris, remiantis žurnalo „Rolling Stone“ apklausa, yra antras (

Kaip transportuoti kambarinius augalus
Po pirkimo kambariniai augalai, sodininkui tenka užduotis nenukentėjusį pristatyti įsigytas egzotines gėles. Žinodami pagrindines kambarinių augalų pakavimo ir transportavimo taisykles, padėsite išspręsti šią problemą. Norint transportuoti ar transportuoti, augalai turi būti supakuoti. Kad ir kokiu trumpu atstumu būtų nešami augalai, jie gali būti pažeisti, gali išdžiūti, o žiemą &m

Kas yra funkcijos ekstremumas ir kokia būtina ekstremumo sąlyga?

Funkcijos ekstremumas yra funkcijos maksimumas ir minimumas.

Ši sąlyga yra būtina, bet nepakankama. Išvestinė taške x = a gali išnykti, pereiti į begalybę arba neegzistuoti, jei funkcija šiame taške neturi ekstremumo.

Kokia yra pakankama funkcijos ekstremumo sąlyga (maksimali arba minimali)?

Pirmoji sąlyga:

Jei pakankamai arti taško x = a išvestinė f?(x) yra teigiama į kairę nuo a ir neigiama į dešinę nuo a, tai pačiame taške x = a funkcija f(x) turi maksimalus

Vietoj to galite naudoti antrąją pakankamą funkcijos ekstremumo sąlygą:

Tegu taške x = ir pirmoji išvestinė f?(x) išnyksta; jei antroji išvestinė f??(а) yra neigiama, tai funkcija f(x) turi maksimumą taške x = a, jei teigiama, tai minimumą.

Kas yra kritinis funkcijos taškas ir kaip jį rasti?

Pavyzdžiui, suraskime parabolės ekstremumas.

Funkcija y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funkcijos išvestinė: y?(x) = 6x + 2

Išsprendžiame lygtį: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Šiuo atveju kritinis taškas yra x0=-1/3. Šią argumento reikšmę funkcija turi ekstremumas. Gauti tai rasti, funkcijos išraiškoje rastą skaičių pakeičiame vietoj "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Kaip nustatyti funkcijos maksimumą ir minimumą, t.y. didžiausios ir mažiausios jo vertės?

Dėl nagrinėjamo pavyzdžio:

Paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško kairėje: x = -1

Kai x = -1, išvestinės vertė bus y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (t. y. minuso ženklas).

Dabar paimame savavališką argumento reikšmę kritinio taško dešinėje: x = 1

Jei x = 1, išvestinės vertė bus y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (t. y. pliuso ženklas).

Kaip matote, einant per kritinį tašką, išvestinė ženklą pakeitė iš minuso į pliusą. Tai reiškia, kad esant kritinei x0 vertei, turime mažiausią tašką.

Pavyzdžiui, suraskime didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

intervalais:

Taigi funkcijos išvestinė yra

y?(x) = 3cos(x) – 0,5

Išsprendžiame lygtį 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arkos (0,16667) + 2πk.

Mes randame kritinius taškus intervale [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (neįtraukta į intervalą)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) – 2π * 1 \u003d –4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 = 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 = 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (neįtraukta į intervalą)

Funkcijos reikšmes randame esant kritinėms argumento reikšmėms:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Matyti, kad intervale [-9; 9] funkcija turi didžiausią reikšmę, kai x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

o mažiausias - esant x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Ant intervalo [-6; -3] turime tik vieną kritinį tašką: x = -4,88. Funkcijos reikšmė, kai x = -4,88, yra y = 5,398.

Funkcijos reikšmę randame intervalo galuose:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Ant intervalo [-6; -3] turime didžiausią funkcijos reikšmę

y = 5,398, kai x = -4,88

mažiausia vertė yra

y = 1,077, kai x = -3

Kaip rasti funkcijos grafiko vingio taškus ir nustatyti išgaubimo bei įgaubimo puses?

Kaip rasti dviejų kintamųjų funkcijos kraštutinumus?

Norėdami rasti funkcijos f(x, y), skirtingą jos priskyrimo srityje, ekstremalumą, jums reikia:

1) Raskite kritinius taškus ir išspręskite lygčių sistemą

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) kiekvienam kritiniam taškui P0(a;b) ištirti, ar skirtumo ženklas išlieka nepakitęs

Panašiai funkcijos ekstremumai nustatomi didesniam argumentų skaičiui.

Kaip rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmes segmente?

Už tai vadovaujamės gerai žinomu algoritmu:

1 . Randame ODZ funkcijas.

2 . Funkcijos išvestinės radimas

3 . Išvestinę prilyginkite nuliui

4 . Randame intervalus, kuriais išvestinė išlaiko savo ženklą, ir iš jų nustatome funkcijos didėjimo ir mažėjimo intervalus:

Jei intervale I funkcijos išvestinė 0" title="f^(pirminis)(x)>0">, то функция !} per šį intervalą didėja.

Jei intervale I funkcijos išvestinė , tai funkcija per šį intervalą mažėja.

5 . Mes randame maksimalus ir minimalus funkcijos taškai.

IN funkcijos maksimalus taškas, išvestinė keičia ženklą iš „+“ į „-“.

IN minimalus funkcijos taškasišvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“.

6 . Funkcijos reikšmę randame segmento galuose,

tada lyginame funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir maksimaliuose taškuose, ir pasirinkite didžiausią iš jų, jei reikia rasti didžiausią funkcijos reikšmę
arba lyginame funkcijos reikšmę atkarpos galuose ir minimaliuose taškuose, ir pasirinkite mažiausią iš jų, jei reikia rasti mažiausią funkcijos reikšmę

Tačiau priklausomai nuo to, kaip funkcija elgiasi intervale, šis algoritmas gali būti žymiai sumažintas.

Apsvarstykite funkciją . Šios funkcijos grafikas atrodo taip:

Pažvelkime į keletą problemų sprendimo pavyzdžių iš atviras bankas užduotys

1 . Užduotis B15 (#26695)

Ant pjūvio.

1. Funkcija apibrėžta visoms tikrosioms x reikšmėms

Akivaizdu, kad ši lygtis neturi sprendinių, o išvestinė yra teigiama visoms x reikšmėms. Todėl funkcija didėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešiniajame intervalo gale, ty ties x=0.

Atsakymas: 5.

2 . Užduotis B15 (Nr. 26702)

Raskite didžiausią funkcijos reikšmę segmente.

1.ODZ funkcija title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Išvestinė yra nulis ties , tačiau šiuose taškuose ji nekeičia ženklo:

Todėl title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(cos^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} padidėja ir įgauna didžiausią reikšmę dešinėje intervalo pabaigoje, ties .

Kad būtų aišku, kodėl išvestinė nekeičia ženklo, išvestinės išraišką transformuojame taip:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

Atsakymas: 5.

3 . Užduotis B15 (#26708)

Raskite mažiausią funkcijos reikšmę intervale .

1. ODZ funkcijos: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

Padėkime šios lygties šaknis ant trigonometrinio apskritimo.

Intervalą sudaro du skaičiai: ir

Pastatykime ženklus. Norėdami tai padaryti, nustatome išvestinės ženklą taške x=0: . Einant per taškus ir išvestinė pasikeičia ženklas.

Pavaizduokime funkcijos išvestinės ženklų kitimą koordinačių tiesėje:

Akivaizdu, kad taškas yra minimalus taškas (kur išvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“), o norint rasti mažiausią funkcijos reikšmę intervale, reikia palyginti funkcijos reikšmes. minimaliame taške ir kairiajame atkarpos gale, .

Populiarus kategorijoje: