"സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദത്തിന്റെ ഗുണങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ" എന്ന് ടാഗ് ചെയ്ത എൻട്രികൾ. പവർ അല്ലെങ്കിൽ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ

പവർ ഫോർമുലകൾസങ്കീർണ്ണമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നതിനും ലളിതമാക്കുന്നതിനും, സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നമ്പർ സിആണ് എൻഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി എഎപ്പോൾ:

ഡിഗ്രികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

1. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളെ ഗുണിച്ചാൽ, അവയുടെ സൂചകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു:

ഒരു എംa n = a m + n .

2. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ വിഭജനത്തിൽ, അവയുടെ സൂചകങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു:

3. രണ്ടോ അതിലധികമോ ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന്റെ അളവ് ഈ ഘടകങ്ങളുടെ ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്:

(abc...) n = a n b n c n…

4. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ അളവ് ഡിവിഡന്റിന്റെയും ഡിവിസറിന്റെയും ഡിഗ്രികളുടെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്:

(a/b) n = a n / b n .

5. ഒരു ശക്തിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, ഘാതകങ്ങൾ ഗുണിക്കുന്നു:

(am) n = a m n .

മുകളിലുള്ള ഓരോ ഫോർമുലയും ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ടും തിരിച്ചും ദിശകളിൽ ശരിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

വേരുകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

1. നിരവധി ഘടകങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ റൂട്ട് ഈ ഘടകങ്ങളുടെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

2. അനുപാതത്തിന്റെ റൂട്ട് ഡിവിഡന്റിന്റെയും വേരുകളുടെ വിഭജനത്തിന്റെയും അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്:

3. ഒരു റൂട്ട് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, റൂട്ട് നമ്പർ ഈ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ മതി:

4. നമ്മൾ റൂട്ടിന്റെ ഡിഗ്രി വർദ്ധിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ എൻഒരിക്കൽ, ഒരേ സമയം വരെ ഉയർത്തുക എൻ th പവർ ഒരു റൂട്ട് നമ്പറാണ്, അപ്പോൾ റൂട്ടിന്റെ മൂല്യം മാറില്ല:

5. നമ്മൾ റൂട്ടിന്റെ അളവ് കുറച്ചാൽ എൻഒരേ സമയം റൂട്ട് എൻറാഡിക്കൽ നമ്പറിൽ നിന്ന് ഡിഗ്രി, അപ്പോൾ റൂട്ടിന്റെ മൂല്യം മാറില്ല:

നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ബിരുദം.പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത (പൂർണ്ണസംഖ്യ) ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, അതേ സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നോൺ-പോസിറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ കേവല മൂല്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു ഘാതം:

ഫോർമുല ഒരു എം:a n = a m - nവേണ്ടി മാത്രമല്ല ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും എം> എൻ, എന്നാൽ കൂടാതെ എം< എൻ.

ഉദാഹരണത്തിന്. എ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

ഫോർമുലയിലേക്ക് ഒരു എം:a n = a m - nയിൽ ഫെയർ ആയി m=n, നിങ്ങൾക്ക് പൂജ്യം ഡിഗ്രിയുടെ സാന്നിധ്യം ആവശ്യമാണ്.

പൂജ്യം എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ബിരുദം.പൂജ്യം എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഏത് പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യയുടെയും ശക്തി ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ബിരുദം.ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ ഉയർത്താൻ എഒരു ഡിഗ്രി വരെ m/n, നിങ്ങൾ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കേണ്ടതുണ്ട് എൻഎന്ന ബിരുദം എംഈ സംഖ്യയുടെ ശക്തി എ.

വ്യക്തമായും, മറ്റ് അളവുകൾ പോലെ ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകൾ ചേർക്കാവുന്നതാണ് , അവയുടെ അടയാളങ്ങൾക്കൊപ്പം അവയെ ഒന്നൊന്നായി ചേർത്തുകൊണ്ട്.

അതിനാൽ, a 3, b 2 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക ഒരു 3 + b 2 ആണ്.
ഒരു 3 - b n, h 5 -d 4 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 3 - b n + h 5 - d 4 ആണ്.

സാധ്യതകൾ ഒരേ വേരിയബിളുകളുടെ അതേ ശക്തികൾകൂട്ടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യാം.

അതിനാൽ, 2a 2, 3a 2 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 5a 2 ആണ്.

രണ്ട് ചതുരങ്ങൾ a, അല്ലെങ്കിൽ മൂന്ന് ചതുരങ്ങൾ a, അല്ലെങ്കിൽ അഞ്ച് ചതുരങ്ങൾ a എടുത്താൽ അത് വ്യക്തമാണ്.

പക്ഷേ ഡിഗ്രികൾ വിവിധ വേരിയബിളുകൾഒപ്പം വിവിധ ഡിഗ്രികൾ സമാന വേരിയബിളുകൾ, അവയെ അവയുടെ അടയാളങ്ങളിൽ ചേർത്തുകൊണ്ട് ചേർക്കേണ്ടതാണ്.

അതിനാൽ, 2, എ 3 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 2 + എ 3 യുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

a യുടെ ചതുരവും a യുടെ ക്യൂബും a യുടെ ഇരട്ടിയല്ല, a യുടെ ക്യൂബിന്റെ ഇരട്ടിയാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

a 3 b n, 3a 5 b 6 എന്നിവയുടെ ആകെത്തുക 3 b n + 3a 5 b 6 ആണ്.

കുറയ്ക്കൽഅധികാരങ്ങൾ സങ്കലനത്തിന്റെ അതേ രീതിയിലാണ് നടപ്പിലാക്കുന്നത്, സബ്ട്രഹെൻഡിന്റെ അടയാളങ്ങൾ അതിനനുസരിച്ച് മാറ്റണം എന്നതൊഴിച്ചാൽ.

അഥവാ:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

ശക്തി ഗുണനം

ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകൾ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി എഴുതുന്നതിലൂടെ, അവയ്ക്കിടയിലുള്ള ഗുണന ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചോ അല്ലാതെയോ മറ്റ് അളവുകളെപ്പോലെ ഗുണിക്കാം.

അതിനാൽ, a 3 നെ b 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലം a 3 b 2 അല്ലെങ്കിൽ aaabb ആണ്.

അഥവാ:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ഫലം അവസാന ഉദാഹരണംപോലെ വേരിയബിളുകൾ ചേർത്ത് ഓർഡർ ചെയ്യാം.
എക്സ്പ്രഷൻ ഫോം എടുക്കും: a 5 b 5 y 3 .

നിരവധി സംഖ്യകളെ (വേരിയബിളുകൾ) ശക്തികളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, അവയിൽ ഏതെങ്കിലും രണ്ടെണ്ണം ഗുണിച്ചാൽ, ഫലം തുല്യമായ പവർ ഉള്ള ഒരു സംഖ്യ (വേരിയബിൾ) ആണെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും. തുകനിബന്ധനകളുടെ ഡിഗ്രികൾ.

അതിനാൽ, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

ഇവിടെ 5 എന്നത് ഗുണനത്തിന്റെ ഫലത്തിന്റെ ശക്തിയാണ്, 2 + 3 ന് തുല്യമാണ്, നിബന്ധനകളുടെ ശക്തികളുടെ ആകെത്തുക.

അതിനാൽ, a n .a m = a m+n .

ഒരു n-ന്, n-ന്റെ ശക്തി എത്രയോ തവണ ഒരു ഘടകമായി കണക്കാക്കുന്നു;

കൂടാതെ ഒരു m , ഡിഗ്രി m എത്രയോ തവണ തുല്യമായ ഘടകമായി കണക്കാക്കുന്നു;

അതുകൊണ്ടാണ്, ഒരേ ബേസുകളുള്ള ശക്തികൾ എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ ചേർത്ത് ഗുണിക്കാവുന്നതാണ്.

അതിനാൽ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . കൂടാതെ x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6.

അഥവാ:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y) ഗുണിക്കുക.
ഉത്തരം: x 4 - y 4.
ഗുണിക്കുക (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള സംഖ്യകൾക്കും ഈ നിയമം ശരിയാണ് - നെഗറ്റീവ്.

1. അതിനാൽ, a -2 .a -3 = a -5 . ഇത് (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaa എന്ന് എഴുതാം.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b എന്നത് a - b കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, ഫലം 2 - b 2 ആയിരിക്കും: അതായത്

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസം ഗുണിക്കുന്നതിന്റെ ഫലം അവയുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ തുകയും വ്യത്യാസവും ഉയർത്തിയാൽ സമചതുരം Samachathuram, ഫലം ഈ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും നാലാമത്തെഡിഗ്രി.

അതിനാൽ, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

അധികാര വിഭജനം

ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകളെ മറ്റ് സംഖ്യകളെപ്പോലെ ഹരിക്കുന്നതിൽ നിന്ന് കുറച്ചോ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിൽ സ്ഥാപിച്ചോ വിഭജിക്കാം.

അതിനാൽ a 3 b 2 നെ b 2 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ a 3 ആണ്.

അഥവാ:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ $\frac(a^5)(a^3)$ പോലെ തോന്നുന്നു. എന്നാൽ ഇത് ഒരു 2 ന് തുല്യമാണ്. സംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പരയിൽ
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ഏത് സംഖ്യയും മറ്റൊന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാം, ഘാതം തുല്യമായിരിക്കും വ്യത്യാസംഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളുടെ സൂചകങ്ങൾ.

ശക്തികളെ ഒരേ അടിത്തറയിൽ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു..

അതിനാൽ, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . അതായത് $\frac(yyy)(yy) = y$.

കൂടാതെ a n+1:a = a n+1-1 = a n . അതായത് $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

അഥവാ:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

ഉള്ള നമ്പറുകൾക്കും ഈ നിയമം സാധുവാണ് നെഗറ്റീവ്ഡിഗ്രി മൂല്യങ്ങൾ.
-5-നെ -3 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കുന്ന ഫലം a -2 ആണ്.
കൂടാതെ, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 അല്ലെങ്കിൽ $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങൾ ബീജഗണിതത്തിൽ വളരെ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ, ശക്തികളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവും നന്നായി കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ശക്തികളുള്ള സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയ ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

1. $\frac(5a^4)(3a^2)$-ൽ എക്സ്പോണന്റുകൾ കുറയ്ക്കുക ഉത്തരം: $\frac(5a^2)(3)$.

2. $\frac(6x^6)(3x^5)$-ൽ എക്സ്പോണന്റുകൾ കുറയ്ക്കുക. ഉത്തരം: $\frac(2x)(1)$ അല്ലെങ്കിൽ 2x.

3. എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ a 2 / a 3, a -3 / a -4 എന്നിവ കുറയ്ക്കുകയും ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുക.
a 2 .a -4 ഒരു -2 ഫസ്റ്റ് ന്യൂമറേറ്റർ ആണ്.
a 3 .a -3 എന്നത് 0 = 1 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ന്യൂമറേറ്റർ.
a 3 .a -4 എന്നത് a -1 ആണ്, സാധാരണ ന്യൂമറേറ്റർ.
ലളിതമാക്കിയ ശേഷം: a -2 /a -1, 1/a -1 .

4. എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ 2a 4 /5a 3, 2 /a 4 എന്നിവ കുറയ്ക്കുകയും ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും ചെയ്യുക.
ഉത്തരം: 2a 3 / 5a 7, 5a 5 / 5a 7 അല്ലെങ്കിൽ 2a 3 / 5a 2, 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 (a - b)/3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

6. (a 5 + 1)/x 2 (b 2 - 1)/(x + a) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

7. b 4 /a -2 നെ h -3 /x കൊണ്ടും a n /y -3 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക.

8. ഒരു 4 /y 3 യെ 3 /y 2 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക. ഉത്തരം: a/y.

9. (h 3 - 1)/d 4 (d n + 1)/h കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

ആദ്യ നില

ബിരുദവും അതിന്റെ ഗുണങ്ങളും. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)

എന്തുകൊണ്ടാണ് ബിരുദങ്ങൾ ആവശ്യമായി വരുന്നത്? നിങ്ങൾക്ക് അവ എവിടെയാണ് വേണ്ടത്? അവ പഠിക്കാൻ നിങ്ങൾ സമയം ചെലവഴിക്കേണ്ടത് എന്തുകൊണ്ട്?

ബിരുദങ്ങൾ, അവ എന്തിനുവേണ്ടിയുള്ളതാണ്, നിങ്ങളുടെ അറിവ് എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കണം എന്നിവയെക്കുറിച്ച് എല്ലാം അറിയാൻ ദൈനംദിന ജീവിതംഈ ലേഖനം വായിക്കുക.

കൂടാതെ, തീർച്ചയായും, ഡിഗ്രികൾ അറിയുന്നത് നിങ്ങളെ കൂടുതൽ അടുപ്പിക്കും വിജയകരമായ ഡെലിവറി OGE അല്ലെങ്കിൽ ഉപയോഗിക്കുക കൂടാതെ നിങ്ങളുടെ സ്വപ്നങ്ങളുടെ സർവ്വകലാശാലയിൽ പ്രവേശിക്കാൻ.

നമുക്ക് പോകാം... (നമുക്ക് പോകാം!)

പ്രധാന കുറിപ്പ്! സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്ക് പകരം നിങ്ങൾ അസംബന്ധം കാണുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ കാഷെ മായ്‌ക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, CTRL+F5 (Windows-ൽ) അല്ലെങ്കിൽ Cmd+R (Mac-ൽ) അമർത്തുക.

ഫസ്റ്റ് ലെവൽ

സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം അല്ലെങ്കിൽ ഹരിക്കൽ എന്നിവ പോലെയുള്ള അതേ ഗണിത പ്രവർത്തനമാണ് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ.

ഇപ്പോൾ ഞാൻ മനുഷ്യ ഭാഷയിൽ എല്ലാം വിശദീകരിക്കും ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ശ്രദ്ധാലുവായിരിക്കുക. ഉദാഹരണങ്ങൾ പ്രാഥമികമാണ്, എന്നാൽ പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യങ്ങൾ വിശദീകരിക്കുക.

കൂട്ടിച്ചേർക്കലോടെ തുടങ്ങാം.

ഇവിടെ വിശദീകരിക്കാൻ ഒന്നുമില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം എല്ലാം അറിയാം: ഞങ്ങൾ എട്ട് പേരുണ്ട്. ഓരോരുത്തർക്കും രണ്ട് കുപ്പി കോളകളുണ്ട്. എത്ര കോള? അത് ശരിയാണ് - 16 കുപ്പികൾ.

ഇപ്പോൾ ഗുണനം.

കോളയുടെ അതേ ഉദാഹരണം മറ്റൊരു രീതിയിൽ എഴുതാം: . ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ തന്ത്രശാലികളും മടിയന്മാരുമാണ്. അവർ ആദ്യം ചില പാറ്റേണുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അവയെ വേഗത്തിൽ "എണ്ണാൻ" ഒരു മാർഗം കൊണ്ടുവരുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, എട്ട് പേർക്കും ഒരേ എണ്ണം കോള കുപ്പികൾ ഉണ്ടെന്ന് അവർ ശ്രദ്ധിച്ചു, കൂടാതെ ഗുണനം എന്ന സാങ്കേതികത കണ്ടുപിടിച്ചു. സമ്മതിക്കുക, ഇത് എളുപ്പത്തിലും വേഗത്തിലും കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

അതിനാൽ, വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും പിശകുകളില്ലാതെയും എണ്ണാൻ, നിങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഗുണന പട്ടിക. തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലാം സാവധാനത്തിലും കഠിനമായും തെറ്റുകളോടെയും ചെയ്യാൻ കഴിയും! പക്ഷേ…

ഗുണന പട്ടിക ഇതാ. ആവർത്തിച്ച്.

മറ്റൊന്ന്, മനോഹരമായ ഒന്ന്:

അലസരായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ മറ്റ് എന്ത് തന്ത്രപരമായ കൗണ്ടിംഗ് തന്ത്രങ്ങളാണ് കൊണ്ടുവന്നത്? വലത് - ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു.

ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നു

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യയെ അഞ്ച് തവണ ഗുണിക്കണമെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യയെ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, . രണ്ടിൽ നിന്ന് അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയാണെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഓർക്കുന്നു. അവർ അത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ അവരുടെ മനസ്സിൽ പരിഹരിക്കുന്നു - വേഗത്തിലും എളുപ്പത്തിലും പിശകുകളില്ലാതെയും.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് മാത്രം മതി സംഖ്യകളുടെ ശക്തികളുടെ പട്ടികയിൽ നിറത്തിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിരിക്കുന്നത് ഓർക്കുക. എന്നെ വിശ്വസിക്കൂ, ഇത് നിങ്ങളുടെ ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കും.

വഴിയിൽ, എന്തുകൊണ്ടാണ് രണ്ടാമത്തെ ബിരുദം വിളിക്കുന്നത് സമചതുരം Samachathuramഅക്കങ്ങൾ, മൂന്നാമത്തേത് ക്യൂബ്? എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? വളരെ നല്ല ചോദ്യം. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് സമചതുരവും സമചതുരവും ഉണ്ടായിരിക്കും.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #1

ഒരു സംഖ്യയുടെ ചതുരം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ ശക്തി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

ഒരു ചതുരശ്ര കുളം മീറ്ററിൽ മീറ്ററിൽ വലിപ്പം ഉണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. കുളം നിങ്ങളുടെ വീട്ടുമുറ്റത്താണ്. നല്ല ചൂടാണ്, എനിക്ക് നീന്താൻ ആഗ്രഹമുണ്ട്. പക്ഷേ... അടിയൊഴുക്കില്ലാത്ത കുളം! കുളത്തിന്റെ അടിഭാഗം ടൈലുകൾ കൊണ്ട് മൂടേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് എത്ര ടൈലുകൾ വേണം? ഇത് നിർണ്ണയിക്കാൻ, നിങ്ങൾ കുളത്തിന്റെ അടിഭാഗം അറിയേണ്ടതുണ്ട്.

കുളത്തിന്റെ അടിയിൽ മീറ്ററിൽ ക്യൂബുകൾ ഉണ്ടെന്ന് വിരൽ തുളച്ച് നിങ്ങൾക്ക് കണക്കാക്കാം. നിങ്ങളുടെ ടൈലുകൾ മീറ്ററിന് മീറ്റർ ആണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് കഷണങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. ഇത് എളുപ്പമാണ് ... എന്നാൽ അത്തരമൊരു ടൈൽ നിങ്ങൾ എവിടെയാണ് കണ്ടത്? ടൈൽ സെന്റീമീറ്റർ സെന്റിമീറ്ററായിരിക്കും. തുടർന്ന് "നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണുന്നത്" നിങ്ങളെ പീഡിപ്പിക്കും. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ വർദ്ധിപ്പിക്കണം. അതിനാൽ, കുളത്തിന്റെ അടിയിൽ ഒരു വശത്ത്, ഞങ്ങൾ ടൈലുകളും (കഷണങ്ങൾ) മറുവശത്തും ടൈലുകളും ഘടിപ്പിക്കും. ഗുണിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ടൈലുകൾ () ലഭിക്കും.

കുളത്തിന്റെ അടിഭാഗത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഒരേ സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചോ? എന്താണ് ഇതിനർത്ഥം? ഒരേ സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചതിനാൽ, നമുക്ക് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ ടെക്നിക് ഉപയോഗിക്കാം. (തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് സംഖ്യകൾ മാത്രമുള്ളപ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയെ ഗുണിക്കുകയോ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയോ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് അവയിൽ ധാരാളം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, കൂടാതെ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പിശകുകൾ കുറവുമാണ്. പരീക്ഷയ്ക്ക്, ഇത് വളരെ പ്രധാനമാണ്).
അതിനാൽ, മുപ്പത് മുതൽ രണ്ടാം ഡിഗ്രി വരെ () ആയിരിക്കും. അല്ലെങ്കിൽ മുപ്പത് സ്ക്വയർ ആകുമെന്ന് പറയാം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയെ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ചതുരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. തിരിച്ചും, നിങ്ങൾ ഒരു ചതുരം കാണുകയാണെങ്കിൽ, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയാണ്. ഒരു സംഖ്യയുടെ രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയുടെ ചിത്രമാണ് ചതുരം.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #2

ഇവിടെ നിങ്ങൾക്കായി ഒരു ടാസ്‌ക് ഉണ്ട്, സംഖ്യയുടെ ചതുരം ഉപയോഗിച്ച് ചെസ്സ്ബോർഡിൽ എത്ര ചതുരങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് കണക്കാക്കുക ... സെല്ലുകളുടെ ഒരു വശത്തും മറുവശത്തും. അവയുടെ എണ്ണം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ എട്ടിനെ എട്ടായി ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ ... ഒരു ചെസ്സ്ബോർഡ് ഒരു വശമുള്ള ചതുരമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് എട്ട് വർഗ്ഗീകരിക്കാം. സെല്ലുകൾ നേടുക. () അപ്പോൾ?

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #3

ഇപ്പോൾ ഒരു സംഖ്യയുടെ ക്യൂബ് അല്ലെങ്കിൽ മൂന്നാമത്തെ ശക്തി. അതേ കുളം. എന്നാൽ ഈ കുളത്തിലേക്ക് എത്ര വെള്ളം ഒഴിക്കണമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾ വോളിയം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. (വോള്യങ്ങളും ദ്രാവകങ്ങളും, വഴി, ക്യൂബിക് മീറ്ററിൽ അളക്കുന്നു. അപ്രതീക്ഷിതമല്ലേ, ശരിയല്ലേ?) ഒരു കുളം വരയ്ക്കുക: താഴെ ഒരു മീറ്റർ വലിപ്പവും ഒരു മീറ്റർ ആഴവുമുള്ള ഒരു കുളം വരയ്ക്കുക, ഒരു മീറ്ററിൽ ഒരു മീറ്റർ അളക്കുന്ന എത്ര ക്യൂബുകൾ നിങ്ങളിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുമെന്ന് കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കുക. കുളം.

വിരൽ ചൂണ്ടി എണ്ണുക! ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന്, നാല്...ഇരുപത്തിരണ്ട്, ഇരുപത്തിമൂന്ന്... അത് എത്രമാത്രം സംഭവിച്ചു? വഴിതെറ്റിയില്ലേ? നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണോ? അതിനാൽ! ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ നിന്ന് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കുക. അവർ മടിയന്മാരാണ്, അതിനാൽ കുളത്തിന്റെ അളവ് കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ അതിന്റെ നീളവും വീതിയും ഉയരവും പരസ്പരം ഗുണിക്കണമെന്ന് അവർ ശ്രദ്ധിച്ചു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, കുളത്തിന്റെ അളവ് ക്യൂബുകൾക്ക് തുല്യമായിരിക്കും ... എളുപ്പം, അല്ലേ?

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ അത് വളരെ എളുപ്പമാക്കിയാൽ എത്ര മടിയന്മാരും തന്ത്രശാലികളുമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ സങ്കൽപ്പിക്കുക. എല്ലാം ഒരു പ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് ചുരുക്കി. നീളവും വീതിയും ഉയരവും തുല്യമാണെന്നും അതേ സംഖ്യ തന്നെ ഗുണിക്കുമെന്നും അവർ ശ്രദ്ധിച്ചു ... എന്താണ് ഇതിന്റെ അർത്ഥം? ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾക്ക് ബിരുദം ഉപയോഗിക്കാം എന്നാണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ ഒരിക്കൽ ഒരു വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണിയത്, അവർ ഒരു പ്രവൃത്തിയിൽ ചെയ്യുന്നു: ഒരു ക്യൂബിൽ മൂന്ന് തുല്യമാണ്. അതിൽ ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു ഡിഗ്രികളുടെ പട്ടിക മനഃപാഠമാക്കുക. തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെപ്പോലെ മടിയനും തന്ത്രശാലിയുമാണ്. കഠിനാധ്വാനം ചെയ്യാനും തെറ്റുകൾ വരുത്താനും നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണുന്നത് തുടരാം.

ശരി, ഡിഗ്രികൾ കണ്ടുപിടിച്ചത് ലോഫർമാരും തന്ത്രശാലികളായ ആളുകളും ആണെന്ന് ഒടുവിൽ നിങ്ങളെ ബോധ്യപ്പെടുത്താൻ. ജീവിത പ്രശ്നങ്ങൾ, നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്‌നങ്ങൾ സൃഷ്‌ടിക്കാനല്ല, ജീവിതത്തിൽ നിന്നുള്ള കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി ഇതാ.

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #4

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദശലക്ഷം റൂബിൾസ് ഉണ്ട്. ഓരോ വർഷത്തിന്റെയും തുടക്കത്തിൽ, ഓരോ ദശലക്ഷത്തിനും നിങ്ങൾ മറ്റൊരു ദശലക്ഷം സമ്പാദിക്കുന്നു. അതായത്, ഓരോ വർഷത്തിന്റെയും തുടക്കത്തിൽ നിങ്ങളുടെ ഓരോ ദശലക്ഷവും ഇരട്ടിയാകുന്നു. വർഷങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര പണം ഉണ്ടാകും? നിങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ഇരുന്നു "നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് എണ്ണുക" ആണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ വളരെ കഠിനാധ്വാനിയും .. വിഡ്ഢിയുമാണ്. എന്നാൽ മിക്കവാറും നിങ്ങൾ കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ ഉത്തരം നൽകും, കാരണം നിങ്ങൾ മിടുക്കനാണ്! അതിനാൽ, ആദ്യ വർഷത്തിൽ - രണ്ട് തവണ രണ്ട് ... രണ്ടാം വർഷത്തിൽ - എന്താണ് സംഭവിച്ചത്, രണ്ടെണ്ണം കൂടി, മൂന്നാം വർഷത്തിൽ ... നിർത്തുക! സംഖ്യ ഒറ്റത്തവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചു. അതിനാൽ രണ്ട് മുതൽ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തി ഒരു ദശലക്ഷം ആണ്! ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മത്സരം ഉണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക, വേഗത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടുന്നയാൾക്ക് ഈ ദശലക്ഷക്കണക്കിന് ലഭിക്കും ... സംഖ്യകളുടെ ഡിഗ്രികൾ ഓർക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണോ, നിങ്ങൾ എന്താണ് ചിന്തിക്കുന്നത്?

യഥാർത്ഥ ജീവിത ഉദാഹരണം #5

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ദശലക്ഷം ഉണ്ട്. ഓരോ വർഷത്തിന്റെയും തുടക്കത്തിൽ, നിങ്ങൾ ഓരോ ദശലക്ഷത്തിനും രണ്ടെണ്ണം കൂടി സമ്പാദിക്കുന്നു. കൊള്ളാം അല്ലേ? ഓരോ ദശലക്ഷവും മൂന്നിരട്ടിയാണ്. ഒരു വർഷത്തിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾക്ക് എത്ര പണം ലഭിക്കും? നമുക്ക് എണ്ണാം. ആദ്യ വർഷം - കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, തുടർന്ന് ഫലം മറ്റൊന്ന് കൊണ്ട് ... ഇത് ഇതിനകം വിരസമാണ്, കാരണം നിങ്ങൾ ഇതിനകം എല്ലാം മനസ്സിലാക്കി: മൂന്ന് സ്വയം തവണ ഗുണിക്കുന്നു. അതിനാൽ നാലാമത്തെ ശക്തി ഒരു ദശലക്ഷം ആണ്. മൂന്ന് മുതൽ നാലാമത്തെ ശക്തി അല്ലെങ്കിൽ എന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങളുടെ ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കുമെന്ന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്കറിയാം. ഡിഗ്രികൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് എന്തുചെയ്യാനാകുമെന്നും അവയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതെന്താണെന്നും നമുക്ക് കൂടുതൽ നോക്കാം.

ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ നിബന്ധനകളും ആശയങ്ങളും

അതിനാൽ, ആദ്യം നമുക്ക് ആശയങ്ങൾ നിർവചിക്കാം. നീ എന്ത് ചിന്തിക്കുന്നു, എന്താണ് എക്‌സ്‌പോണന്റ്? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് - ഇത് സംഖ്യയുടെ ശക്തിയുടെ "മുകളിൽ" ഉള്ള സംഖ്യയാണ്. ശാസ്ത്രീയമല്ല, എന്നാൽ വ്യക്തവും ഓർക്കാൻ എളുപ്പവുമാണ് ...

ശരി, അതേ സമയം, എന്താണ് ബിരുദത്തിന്റെ അത്തരമൊരു അടിസ്ഥാനം? അതിലും ലളിതമാണ് അടിയിൽ, അടിത്തട്ടിലുള്ള സംഖ്യ.

നിങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പിക്കാൻ ഇതാ ഒരു ചിത്രം.

നന്നായി അകത്തും പൊതുവായ കാഴ്ചസാമാന്യവത്കരിക്കാനും നന്നായി ഓർമ്മിക്കാനും ... "" ഒരു ഘാതം "" ഉള്ള ഒരു ബിരുദം "ഡിഗ്രിയിലേക്ക്" എന്ന് വായിക്കുകയും ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി സ്വാഭാവിക സൂചകം

നിങ്ങൾ ഇതിനകം ഊഹിച്ചിരിക്കാം: കാരണം ഘാതം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്. അതെ, എന്നാൽ എന്താണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ? പ്രാഥമികം! ഇനങ്ങൾ ലിസ്റ്റുചെയ്യുമ്പോൾ എണ്ണുന്നതിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നവയാണ് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ: ഒന്ന്, രണ്ട്, മൂന്ന് ... ഞങ്ങൾ ഇനങ്ങൾ എണ്ണുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ പറയില്ല: "മൈനസ് അഞ്ച്", "മൈനസ് ആറ്", "മൈനസ് ഏഴ്". "മൂന്നാം ഭാഗം" എന്നോ "പൂജ്യം അഞ്ച് പത്തിലൊന്ന്" എന്നോ ഞങ്ങൾ പറയുന്നില്ല. ഇവ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളല്ല. ഈ നമ്പറുകൾ എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു?

"മൈനസ് അഞ്ച്", "മൈനസ് ആറ്", "മൈനസ് ഏഴ്" തുടങ്ങിയ സംഖ്യകൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു മുഴുവൻ സംഖ്യകൾ.പൊതുവേ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളും, സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്ക് വിപരീതമായ സംഖ്യകളും (അതായത്, ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്തത്), ഒരു സംഖ്യയും ഉൾപ്പെടുന്നു. പൂജ്യം മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ് - ഒന്നുമില്ലാത്ത സമയമാണിത്. നെഗറ്റീവ് ("മൈനസ്") സംഖ്യകൾ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? എന്നാൽ അവ പ്രാഥമികമായി കണ്ടുപിടിച്ചത് കടങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കാനാണ്: നിങ്ങളുടെ ഫോണിൽ റൂബിളിൽ ബാലൻസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ഓപ്പറേറ്റർ റൂബിളിന് കടപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

എല്ലാ ഭിന്നസംഖ്യകളും യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളാണ്. അവ എങ്ങനെ വന്നു, നിങ്ങൾ കരുതുന്നുണ്ടോ? വളരെ ലളിതം. ആയിരക്കണക്കിന് വർഷങ്ങൾക്ക് മുമ്പ്, നീളം, ഭാരം, വിസ്തീർണ്ണം മുതലായവ അളക്കാൻ ആവശ്യമായ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾ ഇല്ലെന്ന് നമ്മുടെ പൂർവ്വികർ കണ്ടെത്തി. അവർ കൂടെ വന്നു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ… രസകരമാണ്, അല്ലേ?

അവിഭാജ്യ സംഖ്യകളുമുണ്ട്. ഈ സംഖ്യകൾ എന്തൊക്കെയാണ്? ചുരുക്കത്തിൽ, അനന്തമായ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യ. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ചുറ്റളവ് അതിന്റെ വ്യാസം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യ ലഭിക്കും.

സംഗ്രഹം:

ബിരുദം എന്ന ആശയം നിർവചിക്കാം, അതിന്റെ ഘാതം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് (അതായത്, പൂർണ്ണസംഖ്യയും പോസിറ്റീവും).

1. ആദ്യ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും അതിന് തുല്യമാണ്:
2. ഒരു സംഖ്യയെ വർഗ്ഗീകരിക്കുന്നതിന് അതിനെ സ്വയം ഗുണിക്കുക എന്നതാണ്:
3. ഒരു സംഖ്യയെ ക്യൂബ് ചെയ്യുക എന്നത് അതിനെ മൂന്ന് തവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നതാണ്:

നിർവ്വചനം.ഒരു സംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക എന്നത് ആ സംഖ്യയെ പലതവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നതാണ്:
.

ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ

ഈ സ്വത്തുക്കൾ എവിടെ നിന്ന് വന്നു? ഞാൻ ഇപ്പോൾ കാണിച്ചുതരാം.

എന്താണെന്ന് നോക്കാം ഒപ്പം ?

എ-പ്രിയറി:

ആകെ എത്ര ഗുണിതങ്ങൾ ഉണ്ട്?

ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്: ഞങ്ങൾ ഘടകങ്ങളിലേക്ക് ഘടകങ്ങൾ ചേർത്തു, ഫലം ഘടകങ്ങളാണ്.

എന്നാൽ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രിയാണ്, അതായത്: , ഇത് തെളിയിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ഉദാഹരണം: പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം:

ഉദാഹരണം:പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം:നമ്മുടെ ഭരണത്തിൽ അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് നിർബന്ധമായുംഒരേ കാരണം ആയിരിക്കണം!
അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളെ അടിസ്ഥാനവുമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഒരു പ്രത്യേക ഘടകമായി തുടരുന്നു:

ശക്തികളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്ക് മാത്രം!

ഒരു സാഹചര്യത്തിലും നിങ്ങൾ അങ്ങനെ എഴുതരുത്.

2. അതായത് ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തി

മുമ്പത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി പോലെ, നമുക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിയാം:

പദപ്രയോഗം ഒരിക്കൽ സ്വയം ഗുണിച്ചതായി മാറുന്നു, അതായത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇതാണ് സംഖ്യയുടെ ശക്തി:

വാസ്തവത്തിൽ, ഇതിനെ "ബ്രാക്കറ്റിംഗ് ദി ഇൻഡിക്കേറ്റർ" എന്ന് വിളിക്കാം. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് മൊത്തത്തിൽ ഒരിക്കലും ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല:

ചുരുക്കിയ ഗുണനത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം: നമുക്ക് എത്ര തവണ എഴുതണം?

എന്നാൽ അത് സത്യമല്ല, ശരിക്കും.

നെഗറ്റീവ് അടിത്തറയുള്ള ബിരുദം

ഈ ഘട്ടം വരെ, എക്സ്പോണന്റ് എന്തായിരിക്കണം എന്ന് മാത്രമേ ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തിട്ടുള്ളൂ.

എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം എന്തായിരിക്കണം?

മുതൽ ഡിഗ്രികളിൽ സ്വാഭാവിക സൂചകംഅടിസ്ഥാനം ആയിരിക്കാം ഏതെങ്കിലും നമ്പർ. തീർച്ചയായും, നമുക്ക് ഏത് സംഖ്യയെയും പരസ്പരം ഗുണിക്കാം, അവ പോസിറ്റീവ് ആയാലും നെഗറ്റീവ് ആയാലും അല്ലെങ്കിൽ പോലും.

ഏത് അടയാളങ്ങൾക്ക് (" " അല്ലെങ്കിൽ "") പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം?

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമോ? എ? ? ആദ്യത്തേതിൽ, എല്ലാം വ്യക്തമാണ്: നമ്മൾ എത്ര പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പരസ്പരം ഗുണിച്ചാലും ഫലം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

എന്നാൽ നെഗറ്റീവ് ആയവ കുറച്ചുകൂടി രസകരമാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ആറാം ക്ലാസിലെ ലളിതമായ ഒരു നിയമം ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു: "ഒരു മൈനസ് തവണ ഒരു പ്ലസ് നൽകുന്നു." അതായത്, അല്ലെങ്കിൽ. എന്നാൽ നമ്മൾ ഗുണിച്ചാൽ അത് മാറുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് എന്ത് അടയാളമുണ്ടെന്ന് സ്വയം നിർണ്ണയിക്കുക:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തോ?

ഉത്തരങ്ങൾ ഇതാ: ആദ്യത്തെ നാല് ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു? ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനവും എക്‌സ്‌പോണന്റും നോക്കുകയും ഉചിതമായ നിയമം പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ഉദാഹരണം 5 ൽ), എല്ലാം തോന്നുന്നത്ര ഭയാനകമല്ല: അടിസ്ഥാനം തുല്യമായത് പ്രശ്നമല്ല - ബിരുദം തുല്യമാണ്, അതായത് ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

ശരി, അടിസ്ഥാനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഒഴികെ. അടിസ്ഥാനം ഒന്നല്ല, അല്ലേ? വ്യക്തമായും ഇല്ല, മുതൽ (കാരണം).

ഉദാഹരണം 6) ഇനി അത്ര ലളിതമല്ല!

6 പരിശീലന ഉദാഹരണങ്ങൾ

പരിഹാരത്തിന്റെ വിശകലനം 6 ഉദാഹരണങ്ങൾ

നമ്മൾ എട്ടാം ഡിഗ്രിയിൽ ശ്രദ്ധിച്ചില്ലെങ്കിൽ, നമ്മൾ ഇവിടെ എന്താണ് കാണുന്നത്? ഏഴാം ക്ലാസ്സിലെ പരിപാടി നോക്കാം. അപ്പോൾ, ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? ഇതാണ് ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം, അതായത് ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം! നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുന്നു. ഇത് ന്യൂമറേറ്റർ ഘടകങ്ങളിലൊന്നായി കാണപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ എന്താണ് തെറ്റ്? വ്യവസ്ഥകളുടെ തെറ്റായ ക്രമം. അവ മാറ്റിയാൽ, നിയമം ബാധകമാകും.

എന്നാൽ അത് എങ്ങനെ ചെയ്യണം? ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണെന്ന് മാറുന്നു: ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ഇരട്ട ബിരുദം ഇവിടെ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു.

നിബന്ധനകൾ മാന്ത്രികമായി സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റി. ഈ "പ്രതിഭാസം" ഏത് പദപ്രയോഗത്തിനും തുല്യമായ അളവിൽ ബാധകമാണ്: നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ അടയാളങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായി മാറ്റാൻ കഴിയും.

എന്നാൽ ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്: എല്ലാ അടയാളങ്ങളും ഒരേ സമയം മാറുന്നു!

നമുക്ക് ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം:

വീണ്ടും ഫോർമുല:

മുഴുവൻഞങ്ങൾ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും അവയുടെ വിപരീതങ്ങൾക്കും (അതായത്, "" ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം എടുത്തത്) സംഖ്യയ്ക്കും പേരിടുന്നു.

പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ, കൂടാതെ ഇത് സ്വാഭാവികത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമല്ല, അപ്പോൾ എല്ലാം മുമ്പത്തെ വിഭാഗത്തിൽ കൃത്യമായി കാണപ്പെടുന്നു.

ഇനി പുതിയ കേസുകൾ നോക്കാം. തുല്യമായ ഒരു സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്:

എല്ലായ്പ്പോഴും എന്നപോലെ, ഞങ്ങൾ സ്വയം ചോദിക്കുന്നു: എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത്?

ഒരു അടിത്തറയുള്ള കുറച്ച് ശക്തി പരിഗണിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന് എടുത്ത് ഗുണിക്കുക:

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചു, അത് പോലെ തന്നെ ലഭിച്ചു -. ഒന്നും മാറാതിരിക്കാൻ ഏത് സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം? അത് ശരിയാണ്, ഓൺ. അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും:

നമുക്ക് നിയമം ആവർത്തിക്കാം:

പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

എന്നാൽ പല നിയമങ്ങൾക്കും അപവാദങ്ങളുണ്ട്. ഇവിടെയും ഉണ്ട് - ഇതൊരു സംഖ്യയാണ് (അടിസ്ഥാനമായി).

ഒരു വശത്ത്, അത് ഏത് ഡിഗ്രിക്കും തുല്യമായിരിക്കണം - നിങ്ങൾ പൂജ്യത്തെ എത്രമാത്രം ഗുണിച്ചാലും നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും പൂജ്യം ലഭിക്കും, ഇത് വ്യക്തമാണ്. എന്നാൽ മറുവശത്ത്, പൂജ്യം ഡിഗ്രിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും പോലെ, അത് തുല്യമായിരിക്കണം. അപ്പോൾ എന്താണ് ഇതിന്റെ സത്യാവസ്ഥ? ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇടപെടേണ്ടതില്ലെന്ന് തീരുമാനിക്കുകയും പൂജ്യം പൂജ്യത്തിലേക്ക് ഉയർത്താൻ വിസമ്മതിക്കുകയും ചെയ്തു. അതായത്, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുക മാത്രമല്ല, പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയും ചെയ്യാം.

ഇനിയും പോകാം. സ്വാഭാവിക സംഖ്യകൾക്കും സംഖ്യകൾക്കും പുറമേ, പൂർണ്ണസംഖ്യകളിൽ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളും ഉൾപ്പെടുന്നു. നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കാൻ, കഴിഞ്ഞ തവണത്തെ പോലെ തന്നെ ചെയ്യാം: നമ്മൾ ചില സാധാരണ സംഖ്യകളെ നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രിയിൽ ഗുണിക്കുന്നു:

ഇവിടെ നിന്ന് ആവശ്യമുള്ളത് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് ഇതിനകം എളുപ്പമാണ്:

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന നിയമം ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ഡിഗ്രിയിലേക്ക് നീട്ടുന്നു:

അതിനാൽ, നമുക്ക് നിയമം രൂപപ്പെടുത്താം:

ഒരു സംഖ്യ ഒരു നെഗറ്റീവ് ശക്തിയിൽ നിന്ന് പോസിറ്റീവ് പവറിലേക്കുള്ള അതേ സംഖ്യയുടെ വിപരീതമാണ്. എന്നാൽ അതേ സമയം അടിസ്ഥാനം അസാധുവാകാൻ കഴിയില്ല:(കാരണം വിഭജിക്കുക അസാധ്യമാണ്).

നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം:

I. എക്സ്പ്രഷൻ കേസിൽ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. എങ്കിൽ, പിന്നെ.

II. പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്: .

III. പൂജ്യത്തിനും നെഗറ്റീവ് പവറിനും തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ, പോസിറ്റീവ് പവറിലേക്കുള്ള അതേ സംഖ്യയുടെ വിപരീതമാണ്: .

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ:

ശരി, പതിവുപോലെ, ഒരു സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകളുടെ വിശകലനം:

എനിക്കറിയാം, എനിക്കറിയാം, അക്കങ്ങൾ ഭയപ്പെടുത്തുന്നതാണ്, പക്ഷേ പരീക്ഷയിൽ നിങ്ങൾ എന്തിനും തയ്യാറായിരിക്കണം! നിങ്ങൾക്ക് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ അവയുടെ പരിഹാരം വിശകലനം ചെയ്യുക, പരീക്ഷയിൽ അവ എങ്ങനെ എളുപ്പത്തിൽ കൈകാര്യം ചെയ്യാമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കും!

"അനുയോജ്യമായ" സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി ഒരു എക്‌സ്‌പോണന്റ് ആയി വികസിപ്പിക്കുന്നത് തുടരാം.

ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കുക യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകൾ.ഏത് സംഖ്യകളെയാണ് യുക്തിസഹമെന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

ഉത്തരം: ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്നതെല്ലാം, എവിടെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമാണ്.

എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ "ഫ്രാക്ഷണൽ ഡിഗ്രി"നമുക്ക് ഒരു ഭാഗം പരിഗണിക്കാം:

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താം:

ഇപ്പോൾ നിയമം ഓർക്കുക "ഡിഗ്രി മുതൽ ഡിഗ്രി വരെ":

ലഭിക്കുന്നതിന് ഏത് സംഖ്യയെ പവറായി ഉയർത്തണം?

ഈ ഫോർമുലേഷൻ ആണ് ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ടിന്റെ നിർവചനം.

ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: ഒരു സംഖ്യയുടെ () ശക്തിയുടെ റൂട്ട് ഒരു സംഖ്യയാണ്, അത് ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ തുല്യമാണ്.

അതായത്, ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷന്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ്: .

അത് മാറുന്നു. വ്യക്തമായും ഇത് പ്രത്യേക കേസ്വിപുലീകരിക്കാൻ കഴിയും: .

ഇപ്പോൾ ന്യൂമറേറ്റർ ചേർക്കുക: അതെന്താണ്? പവർ-ടു-പവർ റൂൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉത്തരം ലഭിക്കും:

എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ ആയിരിക്കുമോ? എല്ലാത്തിനുമുപരി, എല്ലാ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല.

ഒന്നുമില്ല!

നിയമം ഓർക്കുക: ഇരട്ട ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയ ഏതൊരു സംഖ്യയും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. അതായത്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് ഇരട്ട ഡിഗ്രിയുടെ വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്!

ഇതിനർത്ഥം, അത്തരം സംഖ്യകളെ ഇരട്ട ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവറിലേക്ക് ഉയർത്താൻ കഴിയില്ല, അതായത്, പദപ്രയോഗത്തിന് അർത്ഥമില്ല.

ആവിഷ്കാരത്തിന്റെ കാര്യമോ?

എന്നാൽ ഇവിടെ ഒരു പ്രശ്നം ഉയർന്നുവരുന്നു.

സംഖ്യയെ മറ്റ്, കുറച്ച ഭിന്നസംഖ്യകളായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, അല്ലെങ്കിൽ.

അത് നിലവിലുണ്ട്, പക്ഷേ നിലവിലില്ല, ഇവ ഒരേ സംഖ്യയുടെ രണ്ട് വ്യത്യസ്ത റെക്കോർഡുകൾ മാത്രമാണ്.

അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം: ഒരിക്കൽ, നിങ്ങൾക്ക് അത് എഴുതാം. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ സൂചകം മറ്റൊരു രീതിയിൽ എഴുതുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് വീണ്ടും പ്രശ്‌നമുണ്ടാകുന്നു: (അതായത്, ഞങ്ങൾക്ക് തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ ഫലം ലഭിച്ചു!).

അത്തരം വിരോധാഭാസങ്ങൾ ഒഴിവാക്കാൻ, പരിഗണിക്കുക ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള പോസിറ്റീവ് ബേസ് എക്‌സ്‌പോണന്റ് മാത്രം.

അങ്ങനെയാണെങ്കില്:

• - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ;
• ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്;

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഒരു യുക്തിസഹമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ശക്തികൾ പദപ്രയോഗങ്ങളെ വേരുകളുള്ള പരിവർത്തനത്തിന് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്:

5 പരിശീലന ഉദാഹരണങ്ങൾ

പരിശീലനത്തിനുള്ള 5 ഉദാഹരണങ്ങളുടെ വിശകലനം

ശരി, ഇപ്പോൾ - ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളത്. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും ഒരു യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം.

ഇവിടെയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും ഗുണങ്ങളും ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ഡിഗ്രികൾക്ക് തുല്യമാണ്, ഒഴികെ

തീർച്ചയായും, നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളാണ്, എവിടെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളുമാണ് (അതായത്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ യുക്തിസഹമായവ ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്).

സ്വാഭാവിക, പൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹമായ സൂചകം എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ തവണയും ഞങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത "ചിത്രം", "സാദൃശ്യം" അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ പരിചിതമായ പദങ്ങളിൽ വിവരണം ഉണ്ടാക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം എന്നത് പല പ്രാവശ്യം ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യയാണ്;

...പൂജ്യം ശക്തി- ഇത്, ഒരു തവണ സ്വയം ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യയാണ്, അതായത്, ഇത് ഇതുവരെ ഗുണിക്കാൻ തുടങ്ങിയിട്ടില്ല, അതിനർത്ഥം ആ സംഖ്യ ഇതുവരെ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടിട്ടില്ല എന്നാണ് - അതിനാൽ ഫലം ഒരു നിശ്ചിത "സംഖ്യ ശൂന്യമാണ്" , അതായത് നമ്പർ;

...നെഗറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം- ഇത് ഒരു നിശ്ചിത "വിപരീത പ്രക്രിയ" നടന്നതുപോലെയാണ്, അതായത്, സംഖ്യ സ്വയം ഗുണിച്ചിട്ടില്ല, മറിച്ച് വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു.

വഴിയിൽ, ശാസ്ത്രം പലപ്പോഴും ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത്, ഒരു ഘാതം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ പോലുമല്ല.

എന്നാൽ സ്കൂളിൽ, അത്തരം ബുദ്ധിമുട്ടുകളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ചിന്തിക്കുന്നില്ല; ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ ഈ പുതിയ ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് അവസരം ലഭിക്കും.

നിങ്ങൾ എവിടെ പോകുമെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ഉറപ്പുണ്ട്! (അത്തരം ഉദാഹരണങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കുകയാണെങ്കിൽ :))

ഉദാഹരണത്തിന്:

സ്വയം തീരുമാനിക്കുക:

പരിഹാരങ്ങളുടെ വിശകലനം:

1. ഒരു ഡിഗ്രി ഒരു ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിനുള്ള സാധാരണ നിയമത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം:

ഇനി സ്കോർ നോക്കൂ. അവൻ നിങ്ങളെ എന്തെങ്കിലും ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നുണ്ടോ? ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിന്റെ സംക്ഷിപ്ത ഗുണനത്തിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ,

ഇത് മാറുന്നു:

ഉത്തരം: .

2. ഞങ്ങൾ ഘാതാങ്കങ്ങളിലെ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു: ഒന്നുകിൽ ദശാംശമോ സാധാരണമോ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

ഉത്തരം: 16

3. പ്രത്യേകിച്ചൊന്നുമില്ല, ഡിഗ്രികളുടെ സാധാരണ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു:

അഡ്വാൻസ്ഡ് ലെവൽ

ബിരുദത്തിന്റെ നിർവ്വചനം

ഡിഗ്രി എന്നത് ഫോമിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്: , എവിടെ:

• — ബിരുദത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം;
• - ഘാതം.

സ്വാഭാവിക ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം (n = 1, 2, 3,...)

ഒരു സംഖ്യയെ സ്വാഭാവിക ശക്തിയായ n-ലേക്ക് ഉയർത്തുക എന്നതിനർത്ഥം സംഖ്യയെ അതിന്റെ തവണ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നാണ്.

പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം (0, ±1, ±2,...) ഉള്ള പവർ

ഘാതം ആണെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യനമ്പർ:

ഉദ്ധാരണം പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്ക്:

പദപ്രയോഗം അനിശ്ചിതത്വമാണ്, കാരണം, ഒരു വശത്ത്, ഏത് അളവിലും ഇതാണ്, മറുവശത്ത്, ഡിഗ്രിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും ഇതാണ്.

ഘാതം ആണെങ്കിൽ പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ്നമ്പർ:

(കാരണം വിഭജിക്കുക അസാധ്യമാണ്).

നൾസിനെ കുറിച്ച് ഒരിക്കൽ കൂടി: പദപ്രയോഗം കേസിൽ നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. എങ്കിൽ, പിന്നെ.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

റേഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റോടുകൂടിയ ബിരുദം

• - സ്വാഭാവിക സംഖ്യ;
• ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്;

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ

പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് മനസിലാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം: ഈ പ്രോപ്പർട്ടികൾ എവിടെ നിന്ന് വന്നു? നമുക്ക് അവ തെളിയിക്കാം.

നമുക്ക് നോക്കാം: എന്താണ്, എന്താണ്?

എ-പ്രിയറി:

അതിനാൽ, ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ വലതുവശത്ത്, ഇനിപ്പറയുന്ന ഉൽപ്പന്നം ലഭിക്കും:

എന്നാൽ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇത് ഒരു ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാണ്, അതായത്:

ക്യു.ഇ.ഡി.

ഉദാഹരണം : പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം : .

ഉദാഹരണം : പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കുക.

പരിഹാരം : നമ്മുടെ ഭരണത്തിൽ അത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് നിർബന്ധമായുംഅതേ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ആയിരിക്കണം. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളെ അടിസ്ഥാനവുമായി സംയോജിപ്പിക്കുന്നു, പക്ഷേ ഒരു പ്രത്യേക ഘടകമായി തുടരുന്നു:

മറ്റൊരു പ്രധാന കുറിപ്പ്: ഈ നിയമം - അധികാരങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്ക് മാത്രം!

ഒരു സാഹചര്യത്തിലും ഞാൻ അങ്ങനെ എഴുതരുത്.

മുമ്പത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി പോലെ, നമുക്ക് ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിയാം:

നമുക്ക് ഇത് ഇതുപോലെ പുനഃക്രമീകരിക്കാം:

പദപ്രയോഗം സ്വയം ഒരിക്കൽ ഗുണിച്ചതായി മാറുന്നു, അതായത്, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇത് സംഖ്യയുടെ -th ശക്തിയാണ്:

വാസ്തവത്തിൽ, ഇതിനെ "ബ്രാക്കറ്റിംഗ് ദി ഇൻഡിക്കേറ്റർ" എന്ന് വിളിക്കാം. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് മൊത്തത്തിൽ ഒരിക്കലും ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല:!

ചുരുക്കിയ ഗുണനത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം: നമുക്ക് എത്ര തവണ എഴുതണം? എന്നാൽ അത് സത്യമല്ല, ശരിക്കും.

നെഗറ്റീവ് അടിത്തറയുള്ള പവർ.

ഇത് വരെ, ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തത് എന്തായിരിക്കണം എന്ന് മാത്രമാണ് സൂചികഡിഗ്രി. എന്നാൽ അടിസ്ഥാനം എന്തായിരിക്കണം? മുതൽ ഡിഗ്രികളിൽ സ്വാഭാവികം സൂചകം അടിസ്ഥാനം ആയിരിക്കാം ഏതെങ്കിലും നമ്പർ .

തീർച്ചയായും, നമുക്ക് ഏത് സംഖ്യയെയും പരസ്പരം ഗുണിക്കാം, അവ പോസിറ്റീവ് ആയാലും നെഗറ്റീവ് ആയാലും അല്ലെങ്കിൽ പോലും. ഏത് അടയാളങ്ങൾക്ക് (" " അല്ലെങ്കിൽ "") പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം?

ഉദാഹരണത്തിന്, നമ്പർ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമോ? എ? ?

ആദ്യത്തേതിൽ, എല്ലാം വ്യക്തമാണ്: നമ്മൾ എത്ര പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ പരസ്പരം ഗുണിച്ചാലും ഫലം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

എന്നാൽ നെഗറ്റീവ് ആയവ കുറച്ചുകൂടി രസകരമാണ്. എല്ലാത്തിനുമുപരി, ആറാം ക്ലാസിലെ ലളിതമായ ഒരു നിയമം ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു: "ഒരു മൈനസ് തവണ ഒരു പ്ലസ് നൽകുന്നു." അതായത്, അല്ലെങ്കിൽ. എന്നാൽ () കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും -.

അങ്ങനെ പരസ്യ അനന്തതയിൽ: ഓരോ തുടർന്നുള്ള ഗുണനത്തിലും, അടയാളം മാറും. നിങ്ങൾക്ക് ഈ ലളിതമായ നിയമങ്ങൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും:

1. പോലുംബിരുദം, - നമ്പർ പോസിറ്റീവ്.
2. നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി ഉയർത്തി വിചിത്രമായബിരുദം, - നമ്പർ നെഗറ്റീവ്.
3. പോസിറ്റീവ് നമ്പർഏതൊരു ശക്തിക്കും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.
4. ഏതൊരു ശക്തിയുടെയും പൂജ്യം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾക്ക് എന്ത് അടയാളമുണ്ടെന്ന് സ്വയം നിർണ്ണയിക്കുക:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

നിങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്തോ? ഉത്തരങ്ങൾ ഇതാ:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

ആദ്യത്തെ നാല് ഉദാഹരണങ്ങളിൽ, എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു? ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാനവും എക്‌സ്‌പോണന്റും നോക്കുകയും ഉചിതമായ നിയമം പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 5 ൽ), എല്ലാം തോന്നുന്നത്ര ഭയാനകമല്ല: അടിസ്ഥാനം തുല്യമായത് പ്രശ്നമല്ല - ബിരുദം തുല്യമാണ്, അതായത് ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും. ശരി, അടിസ്ഥാനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ ഒഴികെ. അടിസ്ഥാനം ഒന്നല്ല, അല്ലേ? വ്യക്തമായും ഇല്ല, മുതൽ (കാരണം).

ഉദാഹരണം 6) ഇനി അത്ര ലളിതമല്ല. ഏതാണ് കുറവ് എന്ന് ഇവിടെ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്: അല്ലെങ്കിൽ? നിങ്ങൾ അത് ഓർക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് വ്യക്തമാകും, അതായത് അടിസ്ഥാനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണ്. അതായത്, ഞങ്ങൾ നിയമം 2 പ്രയോഗിക്കുന്നു: ഫലം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രിയുടെ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കുന്നു:

എല്ലാം പതിവുപോലെ - ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രികളുടെ നിർവചനം എഴുതുകയും അവയെ പരസ്പരം വിഭജിക്കുകയും ജോഡികളായി വിഭജിക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഡിസ്അസംബ്ലിംഗ് ചെയ്യുന്നതിന് മുമ്പ് അവസാന ഭരണംഏതാനും ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുക:

പരിഹാരങ്ങൾ :

നമ്മൾ എട്ടാം ഡിഗ്രിയിൽ ശ്രദ്ധിച്ചില്ലെങ്കിൽ, നമ്മൾ ഇവിടെ എന്താണ് കാണുന്നത്? ഏഴാം ക്ലാസ്സിലെ പരിപാടി നോക്കാം. അപ്പോൾ, ഓർക്കുന്നുണ്ടോ? ഇതാണ് ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യം, അതായത് ചതുരങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം!

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഞങ്ങൾ ഡിനോമിനേറ്റർ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം നോക്കുന്നു. ഇത് ന്യൂമറേറ്റർ ഘടകങ്ങളിലൊന്നായി കാണപ്പെടുന്നു, പക്ഷേ എന്താണ് തെറ്റ്? വ്യവസ്ഥകളുടെ തെറ്റായ ക്രമം. അവ മറിച്ചാണെങ്കിൽ, റൂൾ 3 പ്രയോഗിക്കാമായിരുന്നു, പക്ഷേ ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാം? ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണെന്ന് മാറുന്നു: ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ ഇരട്ട ബിരുദം ഇവിടെ ഞങ്ങളെ സഹായിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ അതിനെ ഗുണിച്ചാൽ, ഒന്നും മാറില്ല, അല്ലേ? എന്നാൽ ഇപ്പോൾ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

നിബന്ധനകൾ മാന്ത്രികമായി സ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റി. ഈ "പ്രതിഭാസം" ഏത് പദപ്രയോഗത്തിനും തുല്യമായ അളവിൽ ബാധകമാണ്: നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ അടയാളങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായി മാറ്റാൻ കഴിയും. എന്നാൽ ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്: എല്ലാ അടയാളങ്ങളും ഒരേ സമയം മാറുന്നു!നമുക്ക് ആക്ഷേപകരമായ ഒരു മൈനസ് മാത്രം മാറ്റി പകരം വയ്ക്കാൻ കഴിയില്ല!

നമുക്ക് ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം:

വീണ്ടും ഫോർമുല:

അതിനാൽ ഇപ്പോൾ അവസാന നിയമം:

ഞങ്ങൾ അത് എങ്ങനെ തെളിയിക്കാൻ പോകുന്നു? തീർച്ചയായും, പതിവുപോലെ: ബിരുദം എന്ന ആശയം വികസിപ്പിക്കുകയും ലളിതമാക്കുകയും ചെയ്യാം:

ശരി, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം. എത്ര അക്ഷരങ്ങൾ ഉണ്ടാകും? ഗുണിതങ്ങൾ പ്രകാരം തവണ - അത് എങ്ങനെ കാണപ്പെടുന്നു? ഇത് ഒരു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ നിർവചനമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല ഗുണനം: ആകെ അവിടെ ഗുണിതങ്ങൾ ആയി മാറി. അതായത്, ഇത് നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഒരു ഘാതം ഉള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ ശക്തിയാണ്:

ഉദാഹരണം:

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

ശരാശരി തലത്തിനായുള്ള ഡിഗ്രികളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾക്ക് പുറമേ, യുക്തിരഹിതമായ സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രി വിശകലനം ചെയ്യും. ഇവിടെയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും ഗുണങ്ങളും ഒരു യുക്തിസഹമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ഡിഗ്രിക്ക് തുല്യമാണ്, ഒഴികെ - എല്ലാത്തിനുമുപരി, നിർവചനം അനുസരിച്ച്, അവിഭാജ്യ സംഖ്യകൾ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത സംഖ്യകളാണ്, എവിടെയും പൂർണ്ണസംഖ്യകളും (അതായത് , യുക്തിരഹിതമായ സംഖ്യകൾ യുക്തിസഹമായവ ഒഴികെ എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളാണ്).

സ്വാഭാവിക, പൂർണ്ണസംഖ്യ, യുക്തിസഹമായ സൂചകം എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രികൾ പഠിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ തവണയും ഞങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത "ചിത്രം", "സാദൃശ്യം" അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ പരിചിതമായ പദങ്ങളിൽ വിവരണം ഉണ്ടാക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സ്വാഭാവിക ഘാതം എന്നത് പല പ്രാവശ്യം ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യയാണ്; പൂജ്യം ഡിഗ്രിയിലേക്കുള്ള ഒരു സംഖ്യ, അത് പോലെ, ഒരു തവണ സ്വയം ഗുണിച്ച ഒരു സംഖ്യയാണ്, അതായത്, അത് ഇതുവരെ ഗുണിക്കാൻ തുടങ്ങിയിട്ടില്ല, അതായത് ആ സംഖ്യ ഇതുവരെ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടിട്ടില്ല - അതിനാൽ, ഫലം ഒരു മാത്രമാണ് ചില "ഒരു സംഖ്യയുടെ തയ്യാറെടുപ്പ്", അതായത് ഒരു നമ്പർ; ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ നെഗറ്റീവ് സൂചകമുള്ള ഒരു ബിരുദം - ഇത് ഒരു നിശ്ചിത "വിപരീത പ്രക്രിയ" സംഭവിച്ചതുപോലെയാണ്, അതായത്, സംഖ്യ സ്വയം ഗുണിച്ചിട്ടില്ല, മറിച്ച് വിഭജിക്കപ്പെടുന്നു.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം സങ്കൽപ്പിക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് (ഒരു 4-ഡൈമൻഷണൽ സ്പേസ് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ പ്രയാസമുള്ളതുപോലെ). മറിച്ച്, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒരു ബിരുദം എന്ന ആശയം സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ സ്ഥലത്തേക്കും വ്യാപിപ്പിക്കാൻ സൃഷ്ടിച്ച തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ ഒരു വസ്തുവാണ്.

വഴിയിൽ, ശാസ്ത്രം പലപ്പോഴും ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഘാതം ഉള്ള ഒരു ബിരുദം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത്, ഒരു ഘാതം ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യ പോലുമല്ല. എന്നാൽ സ്കൂളിൽ, അത്തരം ബുദ്ധിമുട്ടുകളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ചിന്തിക്കുന്നില്ല; ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ടിൽ ഈ പുതിയ ആശയങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് അവസരം ലഭിക്കും.

യുക്തിരഹിതമായ ഒരു ഘാതം കണ്ടാൽ നമ്മൾ എന്തുചെയ്യും? അത് ഇല്ലാതാക്കാൻ ഞങ്ങൾ പരമാവധി ശ്രമിക്കുന്നു! :)

ഉദാഹരണത്തിന്:

സ്വയം തീരുമാനിക്കുക:

1)

2)

3)

ഉത്തരങ്ങൾ:

1. സ്ക്വയർ ഫോർമുലയുടെ വ്യത്യാസം ഓർക്കുക. ഉത്തരം: .
2. ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒരേ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു: ഒന്നുകിൽ രണ്ട് ദശാംശങ്ങൾ, അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും സാധാരണമായവ. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്: .
3. പ്രത്യേകിച്ചൊന്നുമില്ല, ഡിഗ്രികളുടെ സാധാരണ ഗുണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു:

വിഭാഗം സംഗ്രഹവും അടിസ്ഥാന ഫോർമുലയും

ഡിഗ്രിഫോമിന്റെ എക്സ്പ്രഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു: , എവിടെ:

പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

ഡിഗ്രി, ഇതിന്റെ ഘാതം ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ് (അതായത് പൂർണ്ണസംഖ്യയും പോസിറ്റീവും).

റേഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റോടുകൂടിയ ബിരുദം

ഡിഗ്രി, ഇതിന്റെ സൂചകം നെഗറ്റീവ്, ഫ്രാക്ഷണൽ സംഖ്യകളാണ്.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

ഘാതം, അതിന്റെ ഘാതം അനന്തമായ ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയോ മൂലമോ ആണ്.

ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ

ഡിഗ്രിയുടെ സവിശേഷതകൾ.

• നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി ഉയർത്തി പോലുംബിരുദം, - നമ്പർ പോസിറ്റീവ്.
• നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയായി ഉയർത്തി വിചിത്രമായബിരുദം, - നമ്പർ നെഗറ്റീവ്.
• ഏതൊരു ശക്തിയുടെയും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്.
• പൂജ്യം ഏത് ശക്തിക്കും തുല്യമാണ്.
• പൂജ്യം ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും തുല്യമാണ്.

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വാക്ക് ഉണ്ട്...

നിങ്ങൾക്ക് ലേഖനം എങ്ങനെ ഇഷ്ടപ്പെട്ടു? നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഇഷ്ടപ്പെട്ടാലും ഇല്ലെങ്കിലും ചുവടെയുള്ള അഭിപ്രായങ്ങളിൽ എന്നെ അറിയിക്കുക.

പവർ പ്രോപ്പർട്ടികൾ സംബന്ധിച്ച നിങ്ങളുടെ അനുഭവത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങളോട് പറയുക.

ഒരുപക്ഷേ നിങ്ങൾക്ക് ചോദ്യങ്ങളുണ്ടാകാം. അല്ലെങ്കിൽ നിർദ്ദേശങ്ങൾ.

അഭിപ്രായങ്ങളിൽ എഴുതുക.

നിങ്ങളുടെ പരീക്ഷകളിൽ ആശംസകൾ!

ഒരു സംഖ്യയെ സ്വയം ഗുണിക്കുന്നതിന്റെ പ്രവർത്തനം എളുപ്പമാക്കുന്നതിന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, എഴുതുന്നതിനുപകരം, നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5))(അത്തരമൊരു പരിവർത്തനത്തിന്റെ വിശദീകരണം ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ആദ്യ വിഭാഗത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു). ദൈർഘ്യമേറിയതോ സങ്കീർണ്ണമോ ആയ പദപ്രയോഗങ്ങളോ സമവാക്യങ്ങളോ എഴുതുന്നത് ശക്തികൾ എളുപ്പമാക്കുന്നു; കൂടാതെ, അധികാരങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ കൂട്ടിച്ചേർക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, അതിന്റെ ഫലമായി ഒരു പദപ്രയോഗം അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യം ലളിതമാക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

കുറിപ്പ്:നിങ്ങൾക്ക് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യം പരിഹരിക്കണമെങ്കിൽ (അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിൽ, അജ്ഞാതമായത് എക്‌സ്‌പോണന്റിലാണ്) വായിക്കുക.

പടികൾ

അധികാരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

എക്‌സ്‌പോണന്റിനു തുല്യമായ നിരവധി തവണ ഘാടകത്തിന്റെ അടിത്തറയെ ഗുണിക്കുക.നിങ്ങൾക്ക് എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുമായുള്ള പ്രശ്‌നം സ്വമേധയാ പരിഹരിക്കണമെങ്കിൽ, എക്‌സ്‌പോണന്റിനെ ഒരു ഗുണന പ്രവർത്തനമായി മാറ്റിയെഴുതുക, അവിടെ ഘാതകത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം തന്നെ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ബിരുദം നൽകി 3 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3^(4)). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഡിഗ്രി 3 ന്റെ അടിസ്ഥാനം സ്വയം 4 തവണ ഗുണിക്കണം: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3*3*3*3). മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

ആദ്യം, ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുക.ഉദാഹരണത്തിന്, 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). വിഷമിക്കേണ്ട - കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രക്രിയ ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ തോന്നുന്നത്ര സങ്കീർണ്ണമല്ല. ആദ്യം ആദ്യത്തെ രണ്ട് ക്വാഡ്രപ്പിൾ ഗുണിക്കുക, തുടർന്ന് ഫലം ഉപയോഗിച്ച് അവയെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഇതുപോലെ:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4*4=16)

1. ഫലം (ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ 16) അടുത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.തുടർന്നുള്ള ഓരോ ഫലവും ആനുപാതികമായി വർദ്ധിക്കും. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, 16 നെ 4 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഇതുപോലെ:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • അവസാന ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതുവരെ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകളെ അടുത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചതിന്റെ ഫലം ഗുണിക്കുന്നത് തുടരുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുക, തുടർന്ന് ഫലം അടുത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഈ രീതി ഏത് ബിരുദത്തിനും സാധുവാണ്. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കണം: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം പരിശോധിക്കുക.

   • 8 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 8^(2))
   • 3 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3^(4))
   • 10 7 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 10^(7))

3. കാൽക്കുലേറ്ററിൽ, "exp" അല്ലെങ്കിൽ "എന്ന് ലേബൽ ചെയ്‌തിരിക്കുന്ന കീ തിരയുക x n (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(n))", അല്ലെങ്കിൽ "^".ഈ കീ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തും. ഒരു വലിയ എക്‌സ്‌പോണന്റ് (ഉദാഹരണത്തിന്, ഡിഗ്രി) ഉപയോഗിച്ച് ഡിഗ്രി സ്വമേധയാ കണക്കാക്കുന്നത് പ്രായോഗികമായി അസാധ്യമാണ് 9 15 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 9^(15))), എന്നാൽ കാൽക്കുലേറ്ററിന് ഈ ടാസ്ക് എളുപ്പത്തിൽ നേരിടാൻ കഴിയും. വിൻഡോസ് 7-ൽ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് കാൽക്കുലേറ്റർ എൻജിനീയറിങ് മോഡിലേക്ക് മാറ്റാം; ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, "കാണുക" -\u003e "എഞ്ചിനീയറിംഗ്" ക്ലിക്കുചെയ്യുക. സാധാരണ മോഡിലേക്ക് മാറുന്നതിന്, "കാണുക" -\u003e "സാധാരണ" ക്ലിക്കുചെയ്യുക.

   • ഒരു തിരയൽ എഞ്ചിൻ (Google അല്ലെങ്കിൽ Yandex) ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച ഉത്തരം പരിശോധിക്കുക.. കമ്പ്യൂട്ടർ കീബോർഡിലെ "^" കീ ഉപയോഗിച്ച്, തിരയൽ എഞ്ചിനിലേക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ നൽകുക, അത് ശരിയായ ഉത്തരം തൽക്ഷണം പ്രദർശിപ്പിക്കും (പഠനത്തിനായി സമാനമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുകയും ചെയ്യും).

   ശക്തികളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ, കുറയ്ക്കൽ, ഗുണനം

   1. ഒരേ അടിത്തറയുണ്ടെങ്കിൽ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് അധികാരങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാനും കുറയ്ക്കാനും കഴിയൂ.നിങ്ങൾക്ക് ഒരേ ബേസുകളും എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുമുള്ള പവർ ചേർക്കണമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് സങ്കലന പ്രവർത്തനം ഒരു ഗുണന പ്രവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷൻ നൽകി 4 5 + 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)+4^(5)). ഡിഗ്രി എന്ന് ഓർക്കുക 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5))ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം 1 ∗ 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 1*4^(5)); അങ്ങനെ, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(എവിടെ 1 +1 =2). അതായത്, സമാനമായ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം എണ്ണുക, തുടർന്ന് അത്തരമൊരു ബിരുദവും ഈ സംഖ്യയും ഗുണിക്കുക. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, 4 നെ അഞ്ചാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക, തുടർന്ന് ഫലം 2 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. സങ്കലന പ്രവർത്തനം ഒരു ഗുണന പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാമെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3+3=2*3). മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 - 4 5 + 2 = 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 - 2 x 2 = 2 x 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതകങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കപ്പെടുന്നു (അടിസ്ഥാനം മാറില്ല).ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷൻ നൽകി x 2 ∗ x 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(2)*x^(5)). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ സൂചകങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്, അടിസ്ഥാനം മാറ്റമില്ലാതെ അവശേഷിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(2)*x^(5)=x^(7)). ഈ നിയമത്തിന്റെ ഒരു ദൃശ്യ വിശദീകരണം ഇതാ:

      ഒരു ശക്തിയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, എക്സ്പോണന്റുകൾ ഗുണിക്കുന്നു.ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബിരുദം നൽകി. എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ ഗുണിച്ചതിനാൽ, അപ്പോൾ (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). നിങ്ങൾ ശക്തി വർദ്ധിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് ഈ നിയമത്തിന്റെ അർത്ഥം (x 2) (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (x^(2)))സ്വയം അഞ്ച് തവണ. ഇതുപോലെ:

      • (x 2) 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • അടിസ്ഥാനം ഒന്നുതന്നെയായതിനാൽ, എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\ ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. ഒരു നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉള്ള ഒരു ഘാതം ഒരു ഫ്രാക്ഷനിലേക്ക് (വിപരീത ശക്തിയിലേക്ക്) പരിവർത്തനം ചെയ്യണം.പരസ്‌പരം എന്താണെന്നറിയില്ലെങ്കിലും കാര്യമില്ല. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഉള്ള ഒരു ബിരുദം നൽകിയാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, 3 - 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 3^(-2)), ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഈ ശക്തി എഴുതുക (സംഖ്യയിൽ 1 ഇടുക), ഘാതം പോസിറ്റീവ് ആക്കുക. ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ: 1 3 2 (\പ്രദർശന ശൈലി (\frac (1)(3^(2)))). മറ്റ് ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

      ഒരേ അടിത്തറയുള്ള ശക്തികളെ വിഭജിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതം കുറയ്ക്കുന്നു (അടിസ്ഥാനം മാറില്ല).വിഭജന പ്രവർത്തനം ഗുണന പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വിപരീതമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, എക്സ്പ്രഷൻ നൽകി 4 4 4 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac (4^(4))(4^(2)))). ന്യൂമറേറ്ററിലെ എക്‌സ്‌പോണന്റിൽ നിന്ന് ഡിനോമിനേറ്ററിലെ ഘാതം കുറയ്ക്കുക (അടിസ്ഥാനം മാറ്റരുത്). അങ്ങനെ, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ (\frac (4^(4))(4^(2))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • ഡിനോമിനേറ്ററിലെ ബിരുദം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം: 1 4 2 (\പ്രദർശന ശൈലി (\frac (1)(4^(2)))) = 4 - 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(-2)). ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ എന്നത് നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണ് (പവർ, എക്സ്പ്രഷൻ).

   4. വൈദ്യുതി പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന ചില പദപ്രയോഗങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട്.മുകളിലുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഈ വിഭാഗത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന മെറ്റീരിയലിനെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഉത്തരം കാണുന്നതിന്, തുല്യ ചിഹ്നത്തിന് ശേഷം ശൂന്യമായ ഇടം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുക.

   ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

   ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ഒരു ബിരുദം (ഉദാഹരണത്തിന്, ) ഒരു റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്ഷൻ ഓപ്പറേഷനായി പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ: x 1 2 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(\frac (1)(2))) = x(\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ(\sqrt(x))). ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ ഏത് സംഖ്യയാണെന്നത് പ്രശ്നമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, x 1 4 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(\frac (1)(4)))"x" ന്റെ നാലാമത്തെ മൂലമാണ് x 4 (\പ്രദർശനശൈലി (\sqrt[(4)](x))) .

   1. എക്‌സ്‌പോണന്റ് ഒരു അനുചിതമായ ഭിന്നസംഖ്യയാണെങ്കിൽ, പ്രശ്‌നത്തിന്റെ പരിഹാരം ലളിതമാക്കുന്നതിന് അത്തരം ഒരു ഘാതം രണ്ട് ശക്തികളായി വിഘടിപ്പിക്കാം. ഇതിൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഒന്നും തന്നെയില്ല - ശക്തികളെ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഓർക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബിരുദം നൽകി. ആ ഘാതം ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിന് തുല്യമായ ഒരു റൂട്ടാക്കി മാറ്റുക, തുടർന്ന് ആ ഘാതം ഫ്രാക്ഷണൽ എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ ന്യൂമറേറ്ററിന് തുല്യമായ ഘാതത്തിലേക്ക് ഉയർത്തുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അത് ഓർക്കുക 5 3 (\പ്രദർശനശൈലി (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\പ്രദർശന ശൈലി ((\frac (1)(3)))*5). ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ:

      • x 5 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\ഡിസ്‌പ്ലേസ്റ്റൈൽ x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\പ്രദർശനശൈലി ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. ചില കാൽക്കുലേറ്ററുകൾക്ക് എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ബട്ടൺ ഉണ്ട് (ആദ്യം നിങ്ങൾ അടിസ്ഥാനം നൽകേണ്ടതുണ്ട്, തുടർന്ന് ബട്ടൺ അമർത്തുക, തുടർന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് നൽകുക). ഇത് ^ അല്ലെങ്കിൽ x^y ആയി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.
   3. ഏതൊരു സംഖ്യയും ആദ്യത്തെ ശക്തിക്ക് തുല്യമാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 4 1 = 4. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(1)=4.)മാത്രമല്ല, ഒന്നുകൊണ്ട് ഗുണിച്ചതോ ഹരിച്ചതോ ആയ ഏതൊരു സംഖ്യയും അതിന് തുല്യമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, 5 ∗ 1 = 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 5*1=5)ഒപ്പം 5 / 1 = 5 (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 5/1=5).
   4. ഡിഗ്രി 0 0 നിലവിലില്ലെന്ന് അറിയുക (അത്തരം ഡിഗ്രിക്ക് പരിഹാരമില്ല). നിങ്ങൾ ഒരു കാൽക്കുലേറ്ററിലോ കമ്പ്യൂട്ടറിലോ അത്തരമൊരു ബിരുദം പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പിശക് ലഭിക്കും. എന്നാൽ പൂജ്യത്തിന്റെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യയും 1 ന് തുല്യമാണെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, 4 0 = 1. (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ 4^(0)=1.)
   5. സാങ്കൽപ്പിക സംഖ്യകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), എവിടെ i = (− 1) (\ഡിസ്പ്ലേസ്റ്റൈൽ i=(\sqrt (())-1)); e എന്നത് ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ഏകദേശം 2.7 ന് തുല്യമാണ്; a എന്നത് ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ സ്ഥിരാങ്കമാണ്. ഈ സമത്വത്തിന്റെ തെളിവ് ഉന്നത ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏത് പാഠപുസ്തകത്തിലും കാണാം.

   മുന്നറിയിപ്പുകൾ

   • എക്‌സ്‌പോണന്റ് വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് അതിന്റെ മൂല്യം വളരെയധികം വർദ്ധിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഉത്തരം നിങ്ങൾക്ക് തെറ്റാണെന്ന് തോന്നുന്നുവെങ്കിൽ, വാസ്തവത്തിൽ അത് സത്യമായി മാറിയേക്കാം. ഏതെങ്കിലും പ്ലോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പരിശോധിക്കാം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 x .

ബീജഗണിതത്തിലെയും എല്ലാ ഗണിതത്തിലെയും പ്രധാന സ്വഭാവങ്ങളിലൊന്ന് ഒരു ബിരുദമാണ്. തീർച്ചയായും, 21-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകളും ഒരു ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്ററിൽ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ മസ്തിഷ്കത്തിന്റെ വികാസത്തിനായി ഇത് സ്വയം എങ്ങനെ ചെയ്യണമെന്ന് പഠിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഈ നിർവ്വചനം സംബന്ധിച്ച ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും. അതായത്, അത് പൊതുവായി എന്താണെന്നും അതിന്റെ പ്രധാന പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണെന്നും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ എന്ത് ഗുണങ്ങൾ നിലവിലുണ്ടെന്നും ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും.

കണക്കുകൂട്ടൽ എങ്ങനെയിരിക്കും, അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ് എന്നതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം. അളവുകളുടെ പ്രധാന തരങ്ങളും അവ മറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്നും ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും.

ഈ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും. പൂജ്യം ഡിഗ്രി, യുക്തിരഹിതം, നെഗറ്റീവ് മുതലായവ എങ്ങനെ ഉയർത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കാണിക്കും.

ഓൺലൈൻ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ കാൽക്കുലേറ്റർ

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി എന്താണ്

"ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക" എന്ന പ്രയോഗം എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

ഒരു സംഖ്യയുടെ ഡിഗ്രി n എന്നത് തുടർച്ചയായി ഒരു n മടങ്ങിന്റെ അളവിലുള്ള ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

a n = a * a * a * …a n .

ഉദാഹരണത്തിന്:

• മൂന്നാം ഘട്ടത്തിൽ 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 ഘട്ടത്തിൽ. രണ്ട് = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 ഘട്ടത്തിൽ. നാല് = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 5 ഘട്ടത്തിൽ 10 5 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 4 ഘട്ടത്തിൽ 10 4 \u003d 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സ്ക്വയറുകളുടെയും ക്യൂബുകളുടെയും ഒരു പട്ടിക ചുവടെയുണ്ട്.

1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള ഡിഗ്രികളുടെ പട്ടിക

സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളെ പോസിറ്റീവ് ശക്തികളിലേക്ക് ഉയർത്തുന്നതിന്റെ ഫലങ്ങൾ ചുവടെയുണ്ട് - "1 മുതൽ 100 ​​വരെ".

Ch-lo	രണ്ടാം ക്ലാസ്	മൂന്നാം ക്ലാസ്
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ

അത്തരമൊരു ഗണിത പ്രവർത്തനത്തിന്റെ സവിശേഷത എന്താണ്? അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ നോക്കാം.

ശാസ്ത്രജ്ഞർ ഇനിപ്പറയുന്നവ സ്ഥാപിച്ചു എല്ലാ ഡിഗ്രികളുടെയും സ്വഭാവ സവിശേഷതകൾ:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കാം:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. മറുവശത്ത് 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

അതുപോലെ: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. അല്ലെങ്കിൽ 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. ഇത് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നിയമങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

പക്ഷേ എങ്ങനെയിരിക്കും സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും? എല്ലാം ലളിതമാണ്. ആദ്യം എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യേഷൻ നടത്തുന്നു, അതിനുശേഷം മാത്രമേ സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും നടത്തൂ.

നമുക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾ ആദ്യം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ കണക്കാക്കണം, കാരണം ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

എങ്ങനെ ഉത്പാദിപ്പിക്കാം കൂടുതൽ കംപ്യൂട്ടിംഗ് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കേസുകൾ ? ഓർഡർ സമാനമാണ്:

• ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അവയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കേണ്ടതുണ്ട്;
• പിന്നെ എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ;
• തുടർന്ന് ഗുണനം, വിഭജനം എന്നിവയുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുക;
• സങ്കലനത്തിനു ശേഷം, കുറയ്ക്കൽ.

എല്ലാ ഡിഗ്രികളുടെയും സ്വഭാവമല്ലാത്ത പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

1. a മുതൽ ഡിഗ്രി m വരെയുള്ള nth ഡിഗ്രിയുടെ റൂട്ട് ഇങ്ങനെ എഴുതപ്പെടും: a m / n .
2. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ: ന്യൂമറേറ്ററും അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും ഈ നടപടിക്രമത്തിന് വിധേയമാണ്.
3. വ്യത്യസ്‌ത സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം ഒരു പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, ഈ സംഖ്യകളുടെ ഗുണനവുമായി ഒരു നിശ്ചിത ശക്തിയിലേക്ക് പദപ്രയോഗം പൊരുത്തപ്പെടും. അതായത്: (a * b) n = a n * b n .
4. ഒരു സംഖ്യയെ നെഗറ്റീവ് പവറിലേക്ക് ഉയർത്തുമ്പോൾ, അതേ ഘട്ടത്തിൽ നിങ്ങൾ 1-നെ ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്, എന്നാൽ ഒരു "+" ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച്.
5. ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ശക്തിയിലാണെങ്കിൽ, ഈ പദപ്രയോഗം ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ ഗുണനത്തിനും പോസിറ്റീവ് പവറിലെ ഡിനോമിനേറ്ററിനും തുല്യമായിരിക്കും.
6. 0 = 1 ന്റെ ശക്തിയിലേക്കും സ്റ്റെപ്പിലേക്കും ഏത് സംഖ്യയും. 1 = തനിക്കുതന്നെ.

ഈ നിയമങ്ങൾ പ്രധാനമാണ് വ്യക്തിഗത കേസുകൾ, ഞങ്ങൾ അവയെ കൂടുതൽ വിശദമായി ചുവടെ പരിഗണിക്കും.

നെഗറ്റീവ് എക്‌സ്‌പോണന്റുള്ള ബിരുദം

നെഗറ്റീവ് ഡിഗ്രി ഉപയോഗിച്ച് എന്തുചെയ്യണം, അതായത്, സൂചകം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ?

പ്രോപ്പർട്ടികൾ 4, 5 എന്നിവ അടിസ്ഥാനമാക്കി(മുകളിലുള്ള പോയിന്റ് കാണുക) അതു മാറുന്നു:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

തിരിച്ചും:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ആണെങ്കിലോ?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

സ്വാഭാവിക സൂചകത്തോടുകൂടിയ ബിരുദം

പൂർണ്ണസംഖ്യകൾക്ക് തുല്യമായ എക്‌സ്‌പോണന്റുകളുള്ള ഒരു ബിരുദമായാണ് ഇത് മനസ്സിലാക്കുന്നത്.

ഓർമ്മിക്കേണ്ട കാര്യങ്ങൾ:

എ 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1... തുടങ്ങിയവ.

എ 1 = എ, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3... തുടങ്ങിയവ.

കൂടാതെ, (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2... എങ്കിൽ ഫലം ഒരു “+” ചിഹ്നത്തിലായിരിക്കും. ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ഒറ്റ പവറിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ, തിരിച്ചും.

പൊതുവായ ഗുണങ്ങളും എല്ലാം നിർദ്ദിഷ്ട അടയാളങ്ങൾമുകളിൽ വിവരിച്ചതും അവയുടെ സവിശേഷതയാണ്.

ഫ്രാക്ഷണൽ ബിരുദം

ഈ കാഴ്ച ഒരു സ്കീം ആയി എഴുതാം: A m / n. ഇത് ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: എ സംഖ്യയുടെ n-ആം ഡിഗ്രിയുടെ മൂലവും m-ന്റെ ശക്തിയും.

ഒരു ഫ്രാക്ഷണൽ ഇൻഡിക്കേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് എന്തും ചെയ്യാൻ കഴിയും: കുറയ്ക്കുക, ഭാഗങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുക, മറ്റൊരു ഡിഗ്രിയിലേക്ക് ഉയർത്തുക തുടങ്ങിയവ.

യുക്തിരഹിതമായ ഘാതം ഉള്ള ബിരുദം

α ഒരു അവിഭാജ്യ സംഖ്യയും ΐ 0 ഉം ആകട്ടെ.

അത്തരമൊരു സൂചകം ഉപയോഗിച്ച് ബിരുദത്തിന്റെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കാൻ, സാധ്യമായ വ്യത്യസ്ത കേസുകൾ നോക്കാം:

• A \u003d 1. ഫലം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഒരു സിദ്ധാന്തം ഉള്ളതിനാൽ - 1 എല്ലാ ശക്തികളിലും ഒന്നിന് തുല്യമാണ്;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2, r 1 ˂ r 2 എന്നിവ യുക്തിസഹമായ സംഖ്യകളാണ്;

• 0˂A˂1.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തിരിച്ചും: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 രണ്ടാം ഖണ്ഡികയിലെ അതേ വ്യവസ്ഥകളിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഘാതം π എന്ന സംഖ്യയാണ്.അത് യുക്തിസഹമാണ്.

r 1 - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഇത് 3 ന് തുല്യമാണ്;

r 2 - 4 ന് തുല്യമായിരിക്കും.

തുടർന്ന്, A = 1, 1 π = 1.

A = 2, പിന്നെ 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, തുടർന്ന് (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

മുകളിൽ വിവരിച്ച എല്ലാ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളും നിർദ്ദിഷ്ട സവിശേഷതകളും അത്തരം ഡിഗ്രികളുടെ സവിശേഷതയാണ്.

ഉപസംഹാരം

നമുക്ക് സംഗ്രഹിക്കാം - ഈ മൂല്യങ്ങൾ എന്തിനുവേണ്ടിയാണ്, അത്തരം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങൾ എന്തൊക്കെയാണ്? തീർച്ചയായും, ഒന്നാമതായി, ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അവർ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെയും പ്രോഗ്രാമർമാരുടെയും ജീവിതം ലളിതമാക്കുന്നു, കാരണം അവർ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ചെറുതാക്കാനും അൽഗോരിതങ്ങൾ കുറയ്ക്കാനും ഡാറ്റ ചിട്ടപ്പെടുത്താനും മറ്റും അനുവദിക്കുന്നു.

ഈ അറിവ് മറ്റെവിടെ ഉപയോഗപ്രദമാകും? ഏത് പ്രവർത്തന സ്പെഷ്യാലിറ്റിയിലും: മെഡിസിൻ, ഫാർമക്കോളജി, ഡെന്റിസ്ട്രി, കൺസ്ട്രക്ഷൻ, ടെക്നോളജി, എഞ്ചിനീയറിംഗ്, ഡിസൈൻ മുതലായവ.