വീട് › വൈദ്യുത ഉപകരണം › ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഉദാഹരണങ്ങൾ. അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെയും സെനോയുടെ വിരോധാഭാസത്തിന്റെയും ആകെത്തുക

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഉദാഹരണങ്ങൾ. അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെയും സെനോയുടെ വിരോധാഭാസത്തിന്റെയും ആകെത്തുക

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠവും അവതരണവും: "സംഖ്യാ ക്രമങ്ങൾ. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി"

അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ
പ്രിയ ഉപയോക്താക്കളേ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും ഫീഡ്‌ബാക്കും നിർദ്ദേശങ്ങളും നൽകാൻ മറക്കരുത്! എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ഒരു ആന്റിവൈറസ് പ്രോഗ്രാം പരിശോധിക്കുന്നു.

ഗ്രേഡ് 9-ന് "ഇന്റഗ്രൽ" എന്ന ഓൺലൈൻ സ്റ്റോറിലെ അധ്യാപന സഹായങ്ങളും സിമുലേറ്ററുകളും
ശക്തികളും വേരുകളും പ്രവർത്തനങ്ങളും ഗ്രാഫുകളും

സുഹൃത്തുക്കളേ, ഇന്ന് നമ്മൾ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള പുരോഗതിയെ പരിചയപ്പെടും.
ഇന്നത്തെ പാഠത്തിന്റെ വിഷയം ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

നിർവ്വചനം. രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ പദവും മുമ്പത്തെ ഒന്നിന്റെയും ചില നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
നമുക്ക് നമ്മുടെ ക്രമം ആവർത്തനപരമായി നിർവചിക്കാം: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
ഇവിടെ b, q എന്നിവ നിശ്ചിത സംഖ്യകളാണ്. q എന്ന സംഖ്യയെ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം. 1,2,4,8,16… ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, അതിൽ ആദ്യത്തെ അംഗം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ $q=2$.

ഉദാഹരണം. 8,8,8,8… ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അതിന്റെ ആദ്യ ടേം എട്ട് ആണ്,
കൂടാതെ $q=1$.

ഉദാഹരണം. 3,-3,3,-3,3... ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അതിന്റെ ആദ്യ ടേം മൂന്ന്,
ഒപ്പം $q=-1$.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് ഏകതാനതയുടെ ഗുണങ്ങളുണ്ട്.
എങ്കിൽ $b_(1)>0$, $q>1$,
അപ്പോൾ ക്രമം വർദ്ധിക്കുന്നു.
$b_(1)>0$ ആണെങ്കിൽ, $0 ക്രമം സാധാരണയായി ഇതായി സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെന്നപോലെ, ഇൻ ആണെങ്കിൽ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിമൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണം പരിമിതമാണ്, തുടർന്ന് പുരോഗതിയെ പരിമിത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
ക്രമം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണെങ്കിൽ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പദങ്ങളുടെ ക്രമവും ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. രണ്ടാമത്തെ ശ്രേണിയിൽ ആദ്യ പദം $b_(1)^2$ ഉം $q^2$ എന്ന ഡിനോമിനേറ്ററും ഉണ്ട്.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയും ഒരു വിശകലന രൂപത്തിൽ വ്യക്തമാക്കാം. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാമെന്ന് നോക്കാം:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
നമുക്ക് പാറ്റേൺ എളുപ്പത്തിൽ കാണാൻ കഴിയും: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുലയെ "ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ n-th അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമുക്ക് നമ്മുടെ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് മടങ്ങാം.

ഉദാഹരണം. 1,2,4,8,16… ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അതിന്റെ ആദ്യ പദത്തിന് തുല്യമാണ്,
കൂടാതെ $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

ഉദാഹരണം. 16,8,4,2,1,1/2… ആദ്യ ടേം പതിനാറും $q=\frac(1)(2)$ ഉം ഉള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

ഉദാഹരണം. 8,8,8,8... ആദ്യ പദം എട്ട്, $q=1$ എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

ഉദാഹരണം. 3,-3,3,-3,3... ആദ്യ ടേം മൂന്ന്, $q=-1$ എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

ഉദാഹരണം. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകി $b_(1), b_(2), ..., b_(n), ... $.
a) $b_(1)=6, q=3$ എന്ന് അറിയാം. $b_(5)$ കണ്ടെത്തുക.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ എന്ന് അറിയാം. n കണ്ടെത്തുക.
c) $q=-2, b_(6)=96$ എന്ന് അറിയാം. $b_(1)$ കണ്ടെത്തുക.
d) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ എന്ന് അറിയാം. q കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.
a) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ മുതൽ $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
d) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

ഉദാഹരണം. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏഴാമത്തെയും അഞ്ചാമത്തെയും അംഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 192 ആണ്, പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെയും ആറാമത്തെയും അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 192 ആണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ പത്താമത്തെ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.
ഞങ്ങൾക്കറിയാം: $b_(7)-b_(5)=192$, $b_(5)+b_(6)=192$.
ഞങ്ങൾക്കും അറിയാം: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
അപ്പോൾ:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
ഞങ്ങൾക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം ലഭിച്ചു:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
സമീകരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങളുടെ സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നു:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ ലഭിച്ചു: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് തുടർച്ചയായി പകരം വയ്ക്കുക:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.
ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിച്ചു: $b_(1)=4, q=2$.
നമുക്ക് പത്താം പദം കണ്ടെത്താം: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

ഒരു പരിമിത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക

നമുക്ക് ഒരു പരിമിത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. നമുക്ക് ഒരു ഗണിത പുരോഗതിക്കായി, അതിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കാം.

ഒരു പരിമിത ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകട്ടെ: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
അതിന്റെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള നൊട്ടേഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
സന്ദർഭത്തിൽ $q=1$. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും ആദ്യ അംഗത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ $S_(n)=n*b_(1)$ എന്നത് വ്യക്തമാണ്.
ഇപ്പോൾ കേസ് പരിഗണിക്കുക $q≠1$.
മുകളിലുള്ള തുക q കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯+b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+(3)+
കുറിപ്പ്:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

പരിമിതമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ നേടിയിട്ടുണ്ട്.

ഉദാഹരണം.
ആദ്യ പദം 4 ഉം ഡിനോമിനേറ്റർ 3 ഉം ഉള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ ഏഴ് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

ഉദാഹരണം.
ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക, അത് അറിയപ്പെടുന്നു: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.

പരിഹാരം.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവ സവിശേഷത

സുഹൃത്തുക്കളേ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകി. അതിന്റെ തുടർച്ചയായ മൂന്ന് അംഗങ്ങളെ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
ഞങ്ങൾക്കത് അറിയാം:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
അപ്പോൾ:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
പുരോഗതി പരിമിതമാണെങ്കിൽ, ആദ്യത്തേതും അവസാനത്തേതും ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ നിബന്ധനകൾക്കും ഈ സമത്വം നിലനിൽക്കും.
ഏത് തരത്തിലുള്ള സീക്വൻസാണ് സീക്വൻസിനുള്ളതെന്ന് മുൻകൂട്ടി അറിയില്ലെങ്കിൽ, എന്നാൽ അത് അറിയാം: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
അപ്പോൾ ഇത് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണെന്ന് നമുക്ക് സുരക്ഷിതമായി പറയാൻ കഴിയും.

ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണി അതിന്റെ ഓരോ പദങ്ങളുടെയും വർഗ്ഗം അതിന്റെ രണ്ട് അയൽ പദങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രഷന്റെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാകുമ്പോൾ മാത്രമേ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാകൂ. പരിമിതമായ പുരോഗതിക്ക് ഈ വ്യവസ്ഥ ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും തൃപ്‌തികരമല്ലെന്ന് മറക്കരുത്.

നമുക്ക് ഈ ഐഡന്റിറ്റി നോക്കാം: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$-നെ a, b എന്നിവയുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തിന്റെ മോഡുലസ് അതിനോട് ചേർന്നുള്ള രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം.
$x+2 പോലെയുള്ള x കണ്ടെത്തുക; 2x+2; 3x+3$ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ മൂന്ന് അംഗങ്ങളായിരുന്നു.

പരിഹാരം.
നമുക്ക് സ്വഭാവ സവിശേഷത ഉപയോഗിക്കാം:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$, $x_(2)=-1$.
യഥാർത്ഥ എക്സ്പ്രഷനിൽ തുടർച്ചയായി പകരം വയ്ക്കുക, ഞങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ:
$x=2$ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ക്രമം ലഭിച്ചു: 4;6;9 എന്നത് $q=1.5$ ഉള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്.
$x=-1$ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ക്രമം ലഭിച്ചു: 1;0;0.
ഉത്തരം: $x=2.$

സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ

1. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ എട്ടാമത്തെ ആദ്യ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക 16; -8; 4; -2 ....
2. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പത്താമത്തെ അംഗത്തെ കണ്ടെത്തുക 11,22,44….
3. $b_(1)=5, q=3$ എന്ന് അറിയാം. $b_(7)$ കണ്ടെത്തുക.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ എന്ന് അറിയാം. n കണ്ടെത്തുക.
5. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ 11 അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക 3;12;48....
6. $3x+4 പോലെയുള്ള x കണ്ടെത്തുക; 2x+4; x+5$ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ മൂന്ന് അംഗങ്ങളാണ്.

പാഠത്തിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം: വിദ്യാർത്ഥികളെ ഒരു പുതിയ തരം ക്രമത്തിലേക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തുക - അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.
ചുമതലകൾ:
പരിധിയുടെ പ്രാരംഭ ആശയത്തിന്റെ രൂപീകരണം സംഖ്യാ ക്രമം;
അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അനന്തമായ ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യകളെ സാധാരണക്കാരാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു മാർഗ്ഗം പരിചയപ്പെടുക;
യുക്തിപരമായ ചിന്ത, മൂല്യനിർണ്ണയ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള കഴിവ്, പൊതുവൽക്കരണം തുടങ്ങിയ സ്കൂൾ കുട്ടികളുടെ വ്യക്തിത്വത്തിന്റെ ബൗദ്ധിക ഗുണങ്ങളുടെ വികസനം;
പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വിദ്യാഭ്യാസം, പരസ്പര സഹായം, കൂട്ടായ്മ, വിഷയത്തിൽ താൽപ്പര്യം.

ഡൗൺലോഡ്:

പ്രിവ്യൂ:

അനുബന്ധ പാഠം "അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി" (ബീജഗണിതം, ഗ്രേഡ് 10)

പാഠത്തിന്റെ ഉദ്ദേശ്യം: ഒരു പുതിയ തരം ക്രമത്തിലേക്ക് വിദ്യാർത്ഥികളെ പരിചയപ്പെടുത്തുന്നു - അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി.

ചുമതലകൾ:

സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ പരിധിയുടെ പ്രാരംഭ ആശയത്തിന്റെ രൂപീകരണം; അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് അനന്തമായ ആനുകാലിക ഭിന്നസംഖ്യകളെ സാധാരണക്കാരാക്കി മാറ്റുന്നതിനുള്ള മറ്റൊരു വഴി പരിചയം;

യുക്തിപരമായ ചിന്ത, മൂല്യനിർണ്ണയ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള കഴിവ്, സാമാന്യവൽക്കരണം തുടങ്ങിയ സ്കൂൾ കുട്ടികളുടെ വ്യക്തിത്വത്തിന്റെ ബൗദ്ധിക ഗുണങ്ങളുടെ വികസനം;

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വിദ്യാഭ്യാസം, പരസ്പര സഹായം, കൂട്ടായ്മ, വിഷയത്തിൽ താൽപ്പര്യം.

ഉപകരണം: കമ്പ്യൂട്ടർ ക്ലാസ്, പ്രൊജക്ടർ, സ്ക്രീൻ.

പാഠ തരം: പാഠം - ഒരു പുതിയ വിഷയത്തിൽ പ്രാവീണ്യം നേടുക.

ക്ലാസുകൾക്കിടയിൽ

I. Org. നിമിഷം. പാഠത്തിന്റെ വിഷയത്തെയും ലക്ഷ്യത്തെയും കുറിച്ചുള്ള സന്ദേശം.

II. വിദ്യാർത്ഥികളുടെ അറിവ് അപ്ഡേറ്റ് ചെയ്യുന്നു.

ഒമ്പതാം ക്ലാസിൽ, നിങ്ങൾ ഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമായ പുരോഗതി പഠിച്ചു.

ചോദ്യങ്ങൾ

1. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിർവ്വചനം.

(ഒരു ഗണിത പുരോഗതി എന്നത് ഓരോ അംഗവും ചെയ്യുന്ന ഒരു ക്രമമാണ്,

രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തെ പദത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യയിൽ ചേർത്തു).

2. ഫോർമുല n ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗം

3. ആദ്യത്തേതിന്റെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുലഎൻ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ.

( അഥവാ )

4. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിർവ്വചനം.

(ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ്,

രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ പദവും മുമ്പത്തെ പദത്തിന് തുല്യമാണ്, ഗുണിച്ചാൽ

അതേ നമ്പർ).

5. ഫോർമുല n ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദം

6. ആദ്യത്തേതിന്റെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുലഎൻ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ.

7. നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും എന്ത് ഫോർമുലകൾ അറിയാം?

(, എവിടെ ;;

; , )

ചുമതലകൾ

1. ഗണിത പുരോഗതി ഫോർമുലയാണ് നൽകുന്നത് a n = 7 - 4n. ഒരു 10 കണ്ടെത്തുക. (-33)

2. ഗണിത പുരോഗതി a 3 = 7 ഉം a 5 = 1 ഉം. ഒരു 4 കണ്ടെത്തുക. (4)

3. ഗണിത പുരോഗതി a 3 = 7 ഉം a 5 = 1 ഉം. ഒരു 17 കണ്ടെത്തുക. (-35)

4. ഗണിത പുരോഗതി a 3 = 7 ഉം a 5 = 1 ഉം. എസ് 17 കണ്ടെത്തുക. (-187)

5. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക്അഞ്ചാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.

6. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് nth term കണ്ടെത്തുക.

7. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ b 3 = 8 ഉം b 5 = 2 ഉം. ബി 4 കണ്ടെത്തുക. (4)

8. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ b 3 = 8 ഉം b 5 = 2 ഉം. b 1, q എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

9. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ b 3 = 8 ഉം b 5 = 2 ഉം. എസ് 5 കണ്ടെത്തുക. (62)

III. ഒരു പുതിയ വിഷയം പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നു(പ്രദർശന അവതരണം).

1 ന് തുല്യമായ ഒരു വശമുള്ള ഒരു ചതുരം പരിഗണിക്കുക. നമുക്ക് മറ്റൊരു ചതുരം വരയ്ക്കാം, അതിന്റെ വശം ആദ്യത്തെ ചതുരത്തിന്റെ പകുതിയാണ്, മറ്റൊന്ന്, അതിന്റെ വശം രണ്ടാമത്തേതിന്റെ പകുതി, അടുത്തത്, എന്നിങ്ങനെ. ഓരോ തവണയും പുതിയ ചതുരത്തിന്റെ വശം മുമ്പത്തേതിന്റെ പകുതിയാണ്.

തൽഫലമായി, നമുക്ക് ചതുരങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ ഒരു ക്രമം ലഭിച്ചുഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി രൂപപ്പെടുത്തുന്നു.

കൂടാതെ, വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം, നമ്മൾ അത്തരം ചതുരങ്ങൾ എത്രത്തോളം നിർമ്മിക്കുന്നുവോ അത്രയും ചതുരത്തിന്റെ വശം ചെറുതായിരിക്കും.ഉദാഹരണത്തിന് ,

ആ. നമ്പർ n വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ പൂജ്യത്തിലേക്ക് അടുക്കുന്നു.

ഈ കണക്കിന്റെ സഹായത്തോടെ, ഒരു ക്രമം കൂടി പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, ചതുരങ്ങളുടെ പ്രദേശങ്ങളുടെ ക്രമം:

പിന്നെ, വീണ്ടും, എങ്കിൽ n അനിശ്ചിതമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഏരിയ ഏകപക്ഷീയമായി അടുത്ത് പൂജ്യത്തെ സമീപിക്കുന്നു.

ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി പരിഗണിക്കാം. 1 സെ.മീ വശമുള്ള ഒരു സമഭുജ ത്രികോണം. ത്രികോണ മിഡ്‌ലൈൻ സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, 1-ആം ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളിലെ മധ്യഭാഗങ്ങളിൽ ലംബങ്ങളുള്ള അടുത്ത ത്രികോണം നിർമ്മിക്കാം - 2-ന്റെ വശം ആദ്യത്തേതിന്റെ പകുതി വശത്തിന് തുല്യമാണ്, 3-ആം വശം 2-ന്റെ പകുതി വശമാണ്, മുതലായവ. വീണ്ടും നമുക്ക് ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളുടെ നീളത്തിന്റെ ഒരു ക്രമം ലഭിക്കും.

യിൽ.

ഒരു നെഗറ്റീവ് ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ.

പിന്നെ, വീണ്ടും, വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന എണ്ണംഎൻ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ പൂജ്യത്തിലേക്കാണ്.

ഈ സീക്വൻസുകളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളിലേക്ക് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. എല്ലായിടത്തും ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ 1 മോഡുലോയിൽ കുറവായിരുന്നു.

നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം: ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ മോഡുലസ് 1 ൽ കുറവാണെങ്കിൽ അനന്തമായി കുറയും.

ഫ്രണ്ട് വർക്ക്.

നിർവ്വചനം:

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ മോഡുലസ് ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ അത് അനന്തമായി കുറയുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു..

നിർവചനത്തിന്റെ സഹായത്തോടെ, ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്ന ചോദ്യം പരിഹരിക്കാൻ സാധിക്കും.

ടാസ്ക്

ഫോർമുല നൽകിയാൽ, ക്രമം അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണോ:

പരിഹാരം:

നമുക്ക് q കണ്ടെത്താം.

; ; ; .

ഈ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നു.

b) ഈ ക്രമം അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയല്ല.

1 ന് തുല്യമായ വശമുള്ള ഒരു ചതുരം പരിഗണിക്കുക. അതിനെ പകുതിയായി വിഭജിക്കുക, പകുതിയിൽ ഒന്ന് വീണ്ടും പകുതിയായി വിഭജിക്കുക, അങ്ങനെ പലതും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന എല്ലാ ദീർഘചതുരങ്ങളുടെയും മേഖലകൾ അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു:

ഈ രീതിയിൽ ലഭിച്ച എല്ലാ ദീർഘചതുരങ്ങളുടെയും വിസ്തീർണ്ണം 1 ചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യവും 1 ന് തുല്യവുമാണ്.

എന്നാൽ ഈ സമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് അനന്തമായ പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

ആദ്യത്തെ n നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക പരിഗണിക്കുക.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, ഇത് തുല്യമാണ്.

എങ്കിൽ എൻ അനന്തമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അപ്പോൾ

അഥവാ . അതിനാൽ, അതായത്. .

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകഒരു സീക്വൻസ് പരിധി ഉണ്ട് S 1 , S 2 , S 3 , ..., S n , ....

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പുരോഗതിക്കായി,

നമുക്ക് ഉണ്ട്

കാരണം

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും.

III. പ്രതിഫലനവും ഏകീകരണവും(ജോലികളുടെ പൂർത്തീകരണം).

№13; №14; №15(1,3); №16(1,3); №18(1,3); №19; №20.

IV. സംഗ്രഹിക്കുന്നു.

ഇന്ന് നിങ്ങൾ ഏത് ക്രമത്തിലാണ് കണ്ടുമുട്ടിയത്?

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നിർവചിക്കുക.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നുവെന്ന് എങ്ങനെ തെളിയിക്കാം?

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല നൽകുക.

വി. ഗൃഹപാഠം.

2. № 15(2,4); №16(2,4); 18(2,4).

പ്രിവ്യൂ:

അവതരണങ്ങളുടെ പ്രിവ്യൂ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, ഒരു Google അക്കൗണ്ട് (അക്കൗണ്ട്) സൃഷ്ടിച്ച് സൈൻ ഇൻ ചെയ്യുക: https://accounts.google.com

സ്ലൈഡ് അടിക്കുറിപ്പുകൾ:

എല്ലാവർക്കും സ്ഥിരമായി ചിന്തിക്കാനും നിർണ്ണായകമായി വിധിക്കാനും തെറ്റായ നിഗമനങ്ങളെ നിരാകരിക്കാനും കഴിയണം: ഒരു ഭൗതികശാസ്ത്രജ്ഞനും കവിയും, ഒരു ട്രാക്ടർ ഡ്രൈവറും ഒരു രസതന്ത്രജ്ഞനും. E.Kolman ഗണിതത്തിൽ, ഒരാൾ ഓർക്കേണ്ടത് സൂത്രവാക്യങ്ങളല്ല, മറിച്ച് ചിന്താ പ്രക്രിയകളാണ്. VP Ermakov ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനെ മറികടക്കുന്നതിനേക്കാൾ ഒരു സർക്കിളിന്റെ ചതുരം കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അഗസ്റ്റസ് ഡി മോർഗൻ ഗണിതത്തെക്കാൾ ശ്രേഷ്ഠവും പ്രശംസനീയവും മനുഷ്യരാശിക്ക് കൂടുതൽ ഉപയോഗപ്രദവുമായ ശാസ്ത്രം ഏതാണ്? ഫ്രാങ്ക്ലിൻ

10-ാം ഗ്രേഡ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നു

ഐ. ഗണിതവും ജ്യാമിതീയവുമായ പുരോഗതികൾ. ചോദ്യങ്ങൾ 1. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിർവ്വചനം. രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ പദവും ഒരേ സംഖ്യയിൽ ചേർത്ത മുൻ പദത്തിന് തുല്യമാകുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണ് ഗണിത പുരോഗതി. 2. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല. 3. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല. 4. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിർവ്വചനം. സീറോ അല്ലാത്ത സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തെ അംഗത്തിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ 5. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല. 6. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല.

II. ഗണിത പുരോഗതി. ടാസ്‌ക്കുകൾ a n = 7 – 4 n 10 കണ്ടെത്തുക എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് ഗണിത പുരോഗതി നൽകുന്നത്. (-33) 2. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ a 3 = 7, a 5 = 1 . ഒരു 4 കണ്ടെത്തുക. (4) 3. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ a 3 = 7, a 5 = 1 . ഒരു 17 കണ്ടെത്തുക. (-35) 4. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ a 3 = 7, a 5 = 1 . എസ് 17 കണ്ടെത്തുക. (-187)

II. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. ടാസ്ക്കുകൾ 5. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക്, അഞ്ചാമത്തെ ടേം കണ്ടെത്തുക 6. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക്, n-th ടേം കണ്ടെത്തുക. 7. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ b 3 = 8, b 5 = 2. ബി 4 കണ്ടെത്തുക. (4) 8. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ b 3 = 8, b 5 = 2 . b 1, q എന്നിവ കണ്ടെത്തുക. 9. ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ b 3 = 8, b 5 = 2. എസ് 5 കണ്ടെത്തുക. (62)

നിർവ്വചനം: ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെ മോഡുലസ് ഒന്നിൽ കുറവാണെങ്കിൽ അത് അനന്തമായി കുറയുന്നതായി പറയപ്പെടുന്നു.

പ്രശ്നം №1 സൂത്രവാക്യം നൽകിയാൽ, ക്രമം അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണോ: പരിഹാരം: a) ഈ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നു. b) ഈ ക്രമം അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയല്ല.

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക S 1 , S 2 , S 3 , ..., S n , ... എന്ന ശ്രേണിയുടെ പരിധിയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പുരോഗതിക്കായി, നമുക്ക് ഉണ്ട് അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും

ടാസ്ക്കുകൾ പൂർത്തിയാക്കൽ ആദ്യ ടേം 3, രണ്ടാമത്തേത് 0.3 ഉപയോഗിച്ച് അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക. 2. നമ്പർ 13; നമ്പർ 14; പാഠപുസ്തകം, പേജ് 138 3. നമ്പർ 15 (1; 3); #16(1;3) #18(1;3); 4. നമ്പർ 19; നമ്പർ 20.

ഇന്ന് നിങ്ങൾ ഏത് ക്രമത്തിലാണ് കണ്ടുമുട്ടിയത്? അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നിർവചിക്കുക. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നുവെന്ന് എങ്ങനെ തെളിയിക്കാം? അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല നൽകുക. ചോദ്യങ്ങൾ

പ്രശസ്ത പോളിഷ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഹ്യൂഗോ സ്റ്റെയിൻഹോസ് തമാശയായി അവകാശപ്പെടുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയ ഒരു നിയമമുണ്ടെന്ന്: ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ അത് നന്നായി ചെയ്യും. അതായത്, നിങ്ങൾ രണ്ട് ആളുകളെ, അവരിൽ ഒരാൾ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനെ, അവർക്ക് അറിയാത്ത ഏതെങ്കിലും ജോലി ചെയ്യാൻ ഏൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും: ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ അത് നന്നായി ചെയ്യും. ഹ്യൂഗോ സ്റ്റീൻഹോസ് 14.01.1887-25.02.1972

നിർദ്ദേശം

10, 30, 90, 270...

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്താൻ ഇത് ആവശ്യമാണ്.
പരിഹാരം:

1 ഓപ്ഷൻ. നമുക്ക് പുരോഗതിയുടെ ഒരു ഏകപക്ഷീയ അംഗത്തെ എടുക്കാം (ഉദാഹരണത്തിന്, 90) അതിനെ മുമ്പത്തേത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുക (30): 90/30=3.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിരവധി അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക അറിയാമെങ്കിൽ, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ കണ്ടെത്താൻ, ഉചിതമായ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുക:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), ഇവിടെ Sn എന്നത് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെയും ആദ്യ n പദങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയാണ്
S = b1/(1-q), ഇവിടെ S എന്നത് അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയാണ് (ഒന്നിൽ താഴെയുള്ള ഒരു ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക).
ഉദാഹരണം.

കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതിന്റെ എല്ലാ പദങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക രണ്ടിന് തുല്യമാണ്.

ഈ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
പരിഹാരം:

ടാസ്ക്കിൽ നിന്നുള്ള ഡാറ്റ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റി സ്ഥാപിക്കുക. നേടുക:
2=1/(1-q), എവിടെ നിന്ന് – q=1/2.

സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ് പുരോഗതി. ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിൽ, ഓരോ തുടർന്നുള്ള പദവും മുമ്പത്തേതിനെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ q കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ലഭിക്കും, അതിനെ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർദ്ദേശം

ജ്യാമിതീയ b(n+1), b(n) എന്നീ രണ്ട് അയൽ അംഗങ്ങളെ അറിയാമെങ്കിൽ, ഡിനോമിനേറ്റർ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു വലിയ സംഖ്യയുള്ള സംഖ്യയെ അതിന് മുമ്പുള്ള ഒന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: q=b(n+1)/b(n). ഇത് പുരോഗതിയുടെയും അതിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററിന്റെയും നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു. ഒരു പ്രധാന വ്യവസ്ഥ, പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദവും ഡിനോമിനേറ്ററും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അല്ലാത്തപക്ഷം അത് അനിശ്ചിതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

അങ്ങനെ, പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾക്കിടയിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധങ്ങൾ സ്ഥാപിക്കപ്പെടുന്നു: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. b(n)=b1 q^(n-1) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏത് അംഗത്തെയും കണക്കാക്കാം, അതിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ q ഉം അംഗം b1 ഉം അറിയപ്പെടുന്നു. കൂടാതെ, ഓരോ പ്രോഗ്രഷൻ മോഡുലോയും അതിന്റെ അയൽ അംഗങ്ങളുടെ ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്: |b(n)|=√, അതിനാൽ പുരോഗതിക്ക് അതിന്റെ .

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അനലോഗ് ഏറ്റവും ലളിതമാണ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ y=a^x, എക്സ്പോണന്റിലാണെങ്കിൽ a എന്നത് ചില സംഖ്യയാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ ആദ്യ പദവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, ഇത് a എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. y എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം ഇങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം nth അംഗംപുരോഗമനങ്ങൾ, ആർഗ്യുമെന്റ് x ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയായി n (കൌണ്ടർ) ആയി എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നിലവിലുണ്ട്: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). ഈ ഫോർമുല q≠1-ന് സാധുതയുള്ളതാണ്. q=1 ആണെങ്കിൽ, ആദ്യത്തെ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുന്നത് S(n)=n b1 എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ്. വഴിയിൽ, പുരോഗതിയെ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ q ന് വർദ്ധിക്കുന്നതും പോസിറ്റീവ് b1 എന്ന് വിളിക്കും. പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ, മൊഡ്യൂളോ ഒന്നിൽ കവിയാത്തപ്പോൾ, പുരോഗതിയെ കുറയുന്നു എന്ന് വിളിക്കും.

പ്രത്യേക കേസ്ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി - അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി (b.u.g.p.). കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾ വീണ്ടും വീണ്ടും കുറയും, പക്ഷേ ഒരിക്കലും പൂജ്യത്തിൽ എത്തില്ല എന്നതാണ് വസ്തുത. ഇതൊക്കെയാണെങ്കിലും, അത്തരമൊരു പുരോഗതിയുടെ എല്ലാ നിബന്ധനകളുടെയും ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. S=b1/(1-q) എന്ന ഫോർമുലയാണ് ഇത് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. ആകെ n അംഗങ്ങൾ അനന്തമാണ്.

നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ സംഖ്യകൾ ചേർക്കാനും അനന്തത ലഭിക്കാതിരിക്കാനും എങ്ങനെ കഴിയുമെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കാൻ, ഒരു കേക്ക് ചുടേണം. അതിന്റെ പകുതി മുറിക്കുക. എന്നിട്ട് പകുതിയിൽ നിന്ന് 1/2 മുറിക്കുക, അങ്ങനെ. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്ന കഷണങ്ങൾ 1/2 ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററുള്ള അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല. ഈ കഷണങ്ങളെല്ലാം ഒരുമിച്ച് ചേർത്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ കേക്ക് ലഭിക്കും.

ജ്യാമിതി പ്രശ്നങ്ങളാണ് പ്രത്യേക ഇനംസ്പേഷ്യൽ ചിന്ത ആവശ്യമുള്ള വ്യായാമങ്ങൾ. നിങ്ങൾക്ക് ജ്യാമിതീയത പരിഹരിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ ചുമതലചുവടെയുള്ള നിയമങ്ങൾ പാലിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

നിർദ്ദേശം

പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ വളരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ഓർമ്മയില്ലെങ്കിലോ മനസ്സിലായില്ലെങ്കിലോ, അത് വീണ്ടും വായിക്കുക.

ഇത് ഏത് തരത്തിലുള്ള ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങളാണെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്: കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ, നിങ്ങൾക്ക് ചില മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടിവരുമ്പോൾ, യുക്തിസഹമായ ഒരു ശൃംഖല ആവശ്യമായി വരുന്നതിനുള്ള ചുമതലകൾ, ഒരു കോമ്പസും ഭരണാധികാരിയും ഉപയോഗിച്ച് നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതലകൾ. കൂടുതൽ ജോലികൾ മിശ്രിത തരം. പ്രശ്നത്തിന്റെ തരം കണ്ടെത്തിക്കഴിഞ്ഞാൽ, യുക്തിസഹമായി ചിന്തിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

ഈ പ്രശ്നത്തിന് ആവശ്യമായ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കുക, സംശയങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഓപ്ഷനുകളൊന്നുമില്ലെങ്കിൽ, പ്രസക്തമായ വിഷയത്തിൽ നിങ്ങൾ പഠിച്ച സിദ്ധാന്തം ഓർമ്മിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

പ്രശ്നത്തിന്റെ ഒരു ഡ്രാഫ്റ്റ് കൂടി ഉണ്ടാക്കുക. അപേക്ഷിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക അറിയപ്പെടുന്ന വഴികൾനിങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിന്റെ കൃത്യത പരിശോധിക്കുന്നു.

ബ്ലോട്ടുകളും സ്ട്രൈക്ക്ത്രൂകളും ഇല്ലാതെ ഒരു നോട്ട്ബുക്കിൽ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഹാരം ഭംഗിയായി പൂർത്തിയാക്കുക, ഏറ്റവും പ്രധാനമായി - ആദ്യത്തെ ജ്യാമിതീയ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ സമയവും പരിശ്രമവും വേണ്ടിവരും. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ ഈ പ്രക്രിയയുടെ ഹാംഗ് ലഭിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾ നട്ട്‌സ് പോലുള്ള ടാസ്‌ക്കുകളിൽ ക്ലിക്കുചെയ്യാനും അത് ആസ്വദിക്കാനും തുടങ്ങും!

b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n)=b(n-1)*q, b1≠0, q≠0 എന്നിങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയാണ് ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, പുരോഗതിയുടെ ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്നത്, പുരോഗതി q യുടെ പൂജ്യം അല്ലാത്ത ചില ഡിനോമിനേറ്റർ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാണ്.

നിർദ്ദേശം

പ്രോഗ്രഷൻ b1 ന്റെ ആദ്യ ടേമും പ്രോഗ്രഷൻ q ന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും സംബന്ധിച്ച് ഒരു സിസ്റ്റം കംപൈൽ ചെയ്ത് പിന്തുടരുന്നതിലൂടെയാണ് പുരോഗതിയിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ മിക്കപ്പോഴും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നത്. സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതാൻ, ചില സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗത്തിലൂടെയും പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്ററിലൂടെയും പുരോഗതിയുടെ n-th അംഗത്തെ എങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കാം: b(n)=b1*q^(n-1).

കേസ് പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കുക |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്നത് ഒരു സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, അതിന്റെ ആദ്യ പദം പൂജ്യമല്ല, കൂടാതെ ഓരോ അടുത്ത പദവും പൂജ്യമല്ലാത്ത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച മുൻ പദത്തിന് തുല്യമാണ്.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആശയം

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് b1,b2,b3, ..., bn, ... .

ജ്യാമിതീയ പിശകിന്റെ ഏതെങ്കിലും പദത്തിന്റെയും അതിന്റെ മുൻ പദത്തിന്റെയും അനുപാതം അതേ സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അതായത്, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn =… . ഇത് ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു. ഈ സംഖ്യയെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സാധാരണയായി ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ q എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

|q| എന്നതിനായുള്ള അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക<1

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗ്ഗം, അതിന്റെ ആദ്യ ടേം b1 ഉം ജ്യാമിതീയ പിശകിന്റെ ഡിനോമിനേറ്ററും സജ്ജീകരിക്കുക എന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, b1=4, q=-2. ഈ രണ്ട് അവസ്ഥകളും 4, -8, 16, -32, … ന്റെ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകുന്നു.

q>0 (q 1 ന് തുല്യമല്ല) എങ്കിൽ, പുരോഗതി ഒരു ഏകതാന ശ്രേണിയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 2, 4,8,16,32, ... എന്ന ക്രമം ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണ് (b1=2, q=2).

ജ്യാമിതീയ പിശകിൽ ഡിനോമിനേറ്റർ q=1 ആണെങ്കിൽ, ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളും പരസ്പരം തുല്യമായിരിക്കും. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിൽ, പുരോഗതി സ്ഥിരമായ ഒരു ക്രമമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു.

സംഖ്യാ ക്രമം (bn) ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ആകുന്നതിന്, അതിന്റെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, അയൽ അംഗങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരി ആയിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതായത്, ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം നിറവേറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്
(b(n+1))^2 = bn * b(n+2), ഏത് n>0 നും, ഇവിടെ n സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ N ഗണത്തിൽ പെടുന്നു.

ഇനി നമുക്ക് (Xn) - ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. |q|∞) ഉള്ള ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി q ന്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ.
അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എസ് കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല പിടിക്കും:
S=x1/(1-q).

ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക:

അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക 2, -2/3, 2/9, - 2/27, ... .

എസ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അനന്തമായ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. |-1/3|< 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ആണെങ്കിൽ എൻ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുത്തുക ഒരു എൻ , അപ്പോൾ അവർ പറഞ്ഞു കൊടുത്തു എന്ന് സംഖ്യാ ക്രമം :

എ 1 , എ 2 , എ 3 , . . . , ഒരു എൻ , . . . .

അതിനാൽ, ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം ഒരു സ്വാഭാവിക വാദത്തിന്റെ പ്രവർത്തനമാണ്.

നമ്പർ എ 1 വിളിച്ചു ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ അംഗം , നമ്പർ എ 2 — ക്രമത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം , നമ്പർ എ 3 — മൂന്നാമത് ഇത്യാദി. നമ്പർ ഒരു എൻ വിളിച്ചു nth അംഗംക്രമങ്ങൾ , കൂടാതെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും എൻ — അവന്റെ നമ്പർ .

രണ്ട് അയൽക്കാരിൽ നിന്ന് ഒരു എൻ ഒപ്പം ഒരു എൻ +1 അംഗ ക്രമങ്ങൾ ഒരു എൻ +1 വിളിച്ചു തുടർന്നുള്ള (നേരെ ഒരു എൻ ), എ ഒരു എൻ — മുമ്പത്തെ (നേരെ ഒരു എൻ +1 ).

ഒരു സീക്വൻസ് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഏത് നമ്പറിലും ഒരു സീക്വൻസ് അംഗത്തെ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു രീതി നിങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കണം.

കൂടെയാണ് പലപ്പോഴും ക്രമം നൽകിയിരിക്കുന്നത് nth term ഫോർമുലകൾ , അതായത്, ഒരു സീക്വൻസ് അംഗത്തെ അതിന്റെ നമ്പർ അനുസരിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല.

ഉദാഹരണത്തിന്,

പോസിറ്റീവ് ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ക്രമം ഫോർമുല വഴി നൽകാം

ഒരു എൻ= 2n- 1,

ആൾട്ടർനേറ്റ് ചെയ്യുന്നതിന്റെ ക്രമവും 1 ഒപ്പം -1 - ഫോർമുല

ബിഎൻ = (-1)എൻ +1 . ◄

ക്രമം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും ആവർത്തിച്ചുള്ള ഫോർമുല, അതായത്, ചിലതിൽ തുടങ്ങി, മുമ്പത്തെ (ഒന്നോ അതിലധികമോ) അംഗങ്ങളിലൂടെ, ക്രമത്തിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സൂത്രവാക്യം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

എങ്കിൽ എ 1 = 1 , എ ഒരു എൻ +1 = ഒരു എൻ + 5

എ 1 = 1,

എ 2 = എ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

എ 3 = എ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

എ 4 = എ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

എ 5 = എ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

എങ്കിൽ a 1= 1, ഒരു 2 = 1, ഒരു എൻ +2 = ഒരു എൻ + ഒരു എൻ +1 , സംഖ്യാ ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ ഏഴ് അംഗങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു:

a 1 = 1,

ഒരു 2 = 1,

ഒരു 3 = a 1 + ഒരു 2 = 1 + 1 = 2,

ഒരു 4 = ഒരു 2 + ഒരു 3 = 1 + 2 = 3,

ഒരു 5 = ഒരു 3 + ഒരു 4 = 2 + 3 = 5,

എ 6 = എ 4 + എ 5 = 3 + 5 = 8,

എ 7 = എ 5 + എ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

സീക്വൻസുകൾ ആകാം ഫൈനൽ ഒപ്പം അനന്തമായ .

ക്രമം വിളിക്കുന്നു ആത്യന്തികമായ അതിന് പരിമിതമായ അംഗങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ. ക്രമം വിളിക്കുന്നു അനന്തമായ അതിന് അനന്തമായ അംഗങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

രണ്ട് അക്ക സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമം:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

ഫൈനൽ.

പ്രൈം നമ്പർ സീക്വൻസ്:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

അനന്തമായ. ◄

ക്രമം വിളിക്കുന്നു വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന , അതിന്റെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ.

ക്രമം വിളിക്കുന്നു ക്ഷയിക്കുന്നു , അതിന്റെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

2, 4, 6, 8, . . . , 2എൻ, . . . ഒരു ആരോഹണ ക്രമമാണ്;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /എൻ, . . . ഒരു അവരോഹണ ക്രമമാണ്. ◄

സംഖ്യ കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് മൂലകങ്ങൾ കുറയാത്തതോ അല്ലെങ്കിൽ, വർദ്ധിക്കാത്തതോ ആയ ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ ക്രമം .

മോണോടോണിക് സീക്വൻസുകൾ, പ്രത്യേകിച്ച്, സീക്വൻസുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും സീക്വൻസുകൾ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഗണിത പുരോഗതി

ഗണിത പുരോഗതി ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു, ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യ ചേർത്തിരിക്കുന്നു.

എ 1 , എ 2 , എ 3 , . . . , ഒരു എൻ, . . .

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ് എൻ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു:

ഒരു എൻ +1 = ഒരു എൻ + ഡി,

എവിടെ ഡി - കുറച്ച് നമ്പർ.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അടുത്തതും മുമ്പത്തെ അംഗങ്ങളും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരമാണ്:

ഒരു 2 - എ 1 = ഒരു 3 - എ 2 = . . . = ഒരു എൻ +1 - ഒരു എൻ = ഡി.

നമ്പർ ഡി വിളിച്ചു ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ ആദ്യ പദവും വ്യത്യാസവും വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതിയാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്,

എങ്കിൽ എ 1 = 3, ഡി = 4 , തുടർന്ന് ക്രമത്തിന്റെ ആദ്യ അഞ്ച് നിബന്ധനകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കാണാം:

a 1 =3,

ഒരു 2 = a 1 + ഡി = 3 + 4 = 7,

ഒരു 3 = ഒരു 2 + ഡി= 7 + 4 = 11,

ഒരു 4 = ഒരു 3 + ഡി= 11 + 4 = 15,

എ 5 = എ 4 + ഡി= 15 + 4 = 19. ◄

ആദ്യ ടേമിനൊപ്പം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിക്കായി എ 1 വ്യത്യാസവും ഡി അവളുടെ എൻ

ഒരു എൻ = a 1 + (എൻ- 1)ഡി.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ മുപ്പതാം പദം കണ്ടെത്തുക

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, ഡി = 3,

ഒരു 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

ഒരു n-1 = a 1 + (എൻ- 2)d,

ഒരു എൻ= a 1 + (എൻ- 1)d,

ഒരു എൻ +1 = എ 1 + nd,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ഒരു എൻ=	a n-1 + a n+1
	2

രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്.

എ, ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകൾ ചില ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ അംഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്ന് മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു എൻ = 2എൻ- 7 , ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്.

മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവന നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ഒരു എൻ = 2എൻ- 7,

ഒരു n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2എൻ- 9,

ഒരു n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2എൻ- 5.

അതിനാൽ,

a n+1 + a n-1	=	2എൻ- 5 + 2എൻ- 9	= 2എൻ- 7 = ഒരു എൻ,
2		2

◄

അതല്ല എൻ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗത്തെ മാത്രമല്ല കണ്ടെത്താനാകും എ 1 , മാത്രമല്ല മുമ്പത്തെ ഏതെങ്കിലും ഒരു കെ

ഒരു എൻ = ഒരു കെ + (എൻ- കെ)ഡി.

ഉദാഹരണത്തിന്,

വേണ്ടി എ 5 എഴുതാം

ഒരു 5 = a 1 + 4ഡി,

ഒരു 5 = ഒരു 2 + 3ഡി,

ഒരു 5 = ഒരു 3 + 2ഡി,

ഒരു 5 = ഒരു 4 + ഡി. ◄

ഒരു എൻ = ഒരു എൻ-കെ + kd,

ഒരു എൻ = ഒരു n+k - kd,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ഒരു എൻ=	എ എൻ-കെ + എ n+k
	2

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഏതൊരു അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ഈ ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ പകുതി തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

കൂടാതെ, ഏതൊരു ഗണിത പുരോഗതിക്കും, തുല്യത ശരിയാണ്:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ

1) എ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (എ 9 + എ 11 )/2;

2) 28 = ഒരു 10 = ഒരു 3 + 7ഡി= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ഒരു 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, കാരണം

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

എസ് എൻ= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ഒരു എൻ,

ആദ്യം എൻ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ, പദങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് അങ്ങേയറ്റത്തെ പദങ്ങളുടെ പകുതി തുകയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്:

ഇതിൽ നിന്ന്, പ്രത്യേകിച്ചും, നിബന്ധനകൾ സംഗ്രഹിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ അത് പിന്തുടരുന്നു

ഒരു കെ, ഒരു കെ +1 , . . . , ഒരു എൻ,

അപ്പോൾ മുമ്പത്തെ ഫോർമുല അതിന്റെ ഘടന നിലനിർത്തുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

എസ് 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = എസ് 10 - എസ് 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

നൽകിയാൽ ഗണിത പുരോഗതി, പിന്നെ അളവുകൾ എ 1 , ഒരു എൻ, ഡി, എൻഒപ്പംഎസ് എൻ രണ്ട് ഫോർമുലകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, ഈ അളവുകളിൽ മൂന്നെണ്ണത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റ് രണ്ട് അളവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഈ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് സംയോജിപ്പിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഒരു ഏകതാന ശ്രേണിയാണ്. അതിൽ:

എങ്കിൽ ഡി > 0 , അപ്പോൾ അത് വർദ്ധിക്കുന്നു;
എങ്കിൽ ഡി < 0 , അപ്പോൾ അത് കുറയുന്നു;
എങ്കിൽ ഡി = 0 , അപ്പോൾ ക്രമം നിശ്ചലമായിരിക്കും.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഓരോ പദവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

ബി 1 , ബി 2 , ബി 3 , . . . , ബി എൻ, . . .

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് എൻ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു:

ബി എൻ +1 = ബി എൻ · q,

എവിടെ q ≠ 0 - കുറച്ച് നമ്പർ.

അതിനാൽ, ഈ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അടുത്ത പദത്തിന്റെ അനുപാതം മുമ്പത്തേതിലേക്കുള്ള അനുപാതം ഒരു സ്ഥിര സംഖ്യയാണ്:

ബി 2 / ബി 1 = ബി 3 / ബി 2 = . . . = ബി എൻ +1 / ബി എൻ = q.

നമ്പർ q വിളിച്ചു ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ ആദ്യ പദവും ഡിനോമിനേറ്ററും വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതി.

ഉദാഹരണത്തിന്,

എങ്കിൽ ബി 1 = 1, q = -3 , തുടർന്ന് ക്രമത്തിന്റെ ആദ്യ അഞ്ച് നിബന്ധനകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കാണാം:

ബി 1 = 1,

ബി 2 = ബി 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ബി 3 = ബി 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ബി 4 = ബി 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ബി 5 = ബി 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ബി 1 ഡിനോമിനേറ്ററും q അവളുടെ എൻ -ആം പദം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏഴാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക 1, 2, 4, . . .

ബി 1 = 1, q = 2,

ബി 7 = ബി 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = ബി 1 · q n -2 ,

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1 ,

ബി എൻ +1 = ബി 1 · q n,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ബി എൻ 2 = ബി എൻ -1 · ബി എൻ +1 ,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരി (ആനുപാതികം) തുല്യമാണ്.

സംഭാഷണവും സത്യമായതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന അവകാശവാദം നിലനിൽക്കുന്നു:

a, b, c എന്നീ സംഖ്യകൾ ചില ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ അംഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്നിന്റെ വർഗ്ഗം മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം, അതായത്, സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും ജ്യാമിതീയ ശരാശരിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഫോർമുല നൽകിയ ക്രമം തെളിയിക്കാം ബി എൻ= -3 2 എൻ , ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്. മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവന നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ബി എൻ= -3 2 എൻ,

ബി എൻ -1 = -3 2 എൻ -1 ,

ബി എൻ +1 = -3 2 എൻ +1 .

അതിനാൽ,

ബി എൻ 2 = (-3 2 എൻ) 2 = (-3 2 എൻ -1 ) (-3 2 എൻ +1 ) = ബി എൻ -1 · ബി എൻ +1 ,

ആവശ്യമായ ഉറപ്പ് തെളിയിക്കുന്നു. ◄

അതല്ല എൻ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദം വഴി മാത്രമല്ല കണ്ടെത്താനാകും ബി 1 , മാത്രമല്ല ഏതെങ്കിലും മുൻ ടേമും ബി കെ , ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി

ബി എൻ = ബി കെ · q n - കെ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

വേണ്ടി ബി 5 എഴുതാം

b 5 = ബി 1 · q 4 ,

b 5 = ബി 2 · q 3,

b 5 = ബി 3 · q2,

b 5 = ബി 4 · q. ◄

ബി എൻ = ബി കെ · q n - കെ,

ബി എൻ = ബി എൻ - കെ · q k,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ബി എൻ 2 = ബി എൻ - കെ· ബി എൻ + കെ

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തിന്റെ ചതുരം, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് തുല്യമായ ഈ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്.

കൂടാതെ, ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക്, തുല്യത ശരിയാണ്:

ബി എം· ബി എൻ= ബി കെ· ബി എൽ,

എം+ എൻ= കെ+ എൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

വിസ്തൃതമായി

1) ബി 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ബി 5 · ബി 7 ;

2) 1024 = ബി 11 = ബി 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ബി 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ബി 4 · ബി 8 ;

4) ബി 2 · ബി 7 = ബി 4 · ബി 5 , കാരണം

ബി 2 · ബി 7 = 2 · 64 = 128,

ബി 4 · ബി 5 = 8 · 16 = 128. ◄

എസ് എൻ= ബി 1 + ബി 2 + ബി 3 + . . . + ബി എൻ

ആദ്യം എൻ ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ q ≠ 0 ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

പിന്നെ എപ്പോൾ q = 1 - ഫോർമുല അനുസരിച്ച്

എസ് എൻ= എൻ.ബി. 1

നമുക്ക് നിബന്ധനകൾ സംഗ്രഹിക്കണമെങ്കിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക

ബി കെ, ബി കെ +1 , . . . , ബി എൻ,

അപ്പോൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

എസ് എൻ- എസ് കെ -1 = ബി കെ + ബി കെ +1 + . . . + ബി എൻ = ബി കെ ·	1 - q n - കെ +1	.
	1 - q

ഉദാഹരണത്തിന്,

വിസ്തൃതമായി 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

എസ് 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = എസ് 10 - എസ് 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അളവുകൾ ബി 1 , ബി എൻ, q, എൻഒപ്പം എസ് എൻ രണ്ട് ഫോർമുലകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, ഈ അളവുകളിൽ ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റ് രണ്ട് അളവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഈ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് സംയോജിപ്പിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ആദ്യ ടേമിനൊപ്പം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് ബി 1 ഡിനോമിനേറ്ററും q ഇനിപ്പറയുന്നവ നടക്കുന്നു monotonicity പ്രോപ്പർട്ടികൾ :

ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നു:

ബി 1 > 0 ഒപ്പം q> 1;

ബി 1 < 0 ഒപ്പം 0 < q< 1;

ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ പുരോഗതി കുറയുന്നു:

ബി 1 > 0 ഒപ്പം 0 < q< 1;

ബി 1 < 0 ഒപ്പം q> 1.

എങ്കിൽ q< 0 , അപ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ചിഹ്ന-ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് ആണ്: അതിന്റെ ഒറ്റ-അക്ക പദങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ ആദ്യ പദത്തിന്റെ അതേ ചിഹ്നവും ഇരട്ട-സംഖ്യയുള്ള പദങ്ങൾക്ക് വിപരീത ചിഹ്നവുമാണ്. ഒരു ഇതര ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഏകതാനമല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ആദ്യത്തേതിന്റെ ഉൽപ്പന്നം എൻ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:

പി എൻ= ബി 1 · ബി 2 · ബി 3 · . . . · ബി എൻ = (ബി 1 · ബി എൻ) എൻ / 2 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നു

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നു ഡിനോമിനേറ്റർ മോഡുലസിനേക്കാൾ കുറവുള്ള അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു 1 , അതാണ്

|q| < 1 .

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയുന്ന ഒരു ശ്രേണി ആയിരിക്കണമെന്നില്ല. ഇത് കേസിന് അനുയോജ്യമാണ്

1 < q< 0 .

അത്തരമൊരു ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, ക്രമം അടയാളം-ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് ആണ്. ഉദാഹരണത്തിന്,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ആദ്യത്തേതിന്റെ ആകെത്തുക വരുന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് പേര് നൽകുക എൻ എണ്ണത്തിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനയോടെയുള്ള പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ എൻ . ഈ സംഖ്യ എല്ലായ്പ്പോഴും പരിമിതമാണ്, അത് ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു