വീട് › ഇന്ധന സംവിധാനം › വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുക. ഗണിത പുരോഗതി - സംഖ്യാ ക്രമം

വ്യത്യാസത്തിന്റെ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുക. ഗണിത പുരോഗതി - സംഖ്യാ ക്രമം

ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ.
ഗണിത പുരോഗതി പരിഹാരം.
നൽകിയിരിക്കുന്നത്: a n , d, n
കണ്ടെത്തുക: a 1

ഉപയോക്തൃ-നിർദ്ദിഷ്ട നമ്പറുകൾ $a_n, d $, $n $ എന്നിവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ $a_1$ ഈ ഗണിത പ്രോഗ്രാം കണ്ടെത്തുന്നു.
$a_n$, $d $ സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യകളായും വ്യക്തമാക്കാം. മാത്രമല്ല, ഒരു ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ (\ (2.5 \)) രൂപത്തിലും ഫോമിലും ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ നൽകാം. പൊതു അംശം($-5\frac(2)(7) $).

പ്രോഗ്രാം പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം മാത്രമല്ല, ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രക്രിയയും പ്രദർശിപ്പിക്കുന്നു.

ഈ ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്കൂളുകൾതയ്യാറെടുപ്പിലാണ് നിയന്ത്രണ ജോലികൂടാതെ പരീക്ഷകൾ, പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പ് അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലും ഉള്ള പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾ. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടറെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ ഇത് വളരെ ചെലവേറിയതാണോ? അതോ എത്രയും വേഗം അത് പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഹോം വർക്ക്ഗണിതമോ ബീജഗണിതമോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ ഒരു പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് അത് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും സ്വന്തം പരിശീലനംകൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ അവരുടെ ഇളയ സഹോദരന്മാരുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പരിശീലനം, പരിഹരിക്കേണ്ട ചുമതലകളുടെ മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർധിപ്പിക്കുന്നു.

നമ്പറുകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ, അവയുമായി സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

നമ്പറുകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ

$a_n$, $d $ സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായി മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യകളായും വ്യക്തമാക്കാം.
സംഖ്യ $n$ ഒരു പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ മാത്രമായിരിക്കും.

ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിലെ പൂർണ്ണസംഖ്യയും ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗങ്ങളും ഒരു ഡോട്ട് അല്ലെങ്കിൽ കോമ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കാം.
ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് 2.5 അല്ലെങ്കിൽ 2.5 പോലുള്ള ദശാംശങ്ങൾ നൽകാം

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ഒരു മുഴുവൻ സംഖ്യയ്ക്ക് മാത്രമേ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പൂർണ്ണസംഖ്യയും ആയി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയൂ.

ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

ഒരു സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യ നൽകുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ഒരു ഡിവിഷൻ ചിഹ്നത്താൽ വേർതിരിക്കുന്നു: /
ഇൻപുട്ട്:
ഫലം: $-\frac(2)(3) $

പൂർണ്ണസംഖ്യ ഭാഗം ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ആമ്പർസാൻഡ് ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കുന്നു: &
ഇൻപുട്ട്:
ഫലം: $-1\frac(2)(3) $

a n, d, n എന്നീ നമ്പറുകൾ നൽകുക ഒരു 1 കണ്ടെത്തുക

ഈ ടാസ്ക്ക് പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തി, കൂടാതെ പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ല.
നിങ്ങൾക്ക് AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ JavaScript പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു.
പരിഹാരം ദൃശ്യമാകുന്നതിന് JavaScript പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കണം.
നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ JavaScript എങ്ങനെ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ ഇതാ.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പരിഹാരം താഴെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ സെക്കന്റ്...

നിങ്ങൾ എങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്ബാക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ടാസ്ക് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകഎന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക വയലുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

കുറച്ച് സിദ്ധാന്തം.

സംഖ്യാ ക്രമം

ദൈനംദിന പരിശീലനത്തിൽ നമ്പറിംഗ് പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. വിവിധ ഇനങ്ങൾഅവരുടെ ഓർഡർ സൂചിപ്പിക്കാൻ. ഉദാഹരണത്തിന്, ഓരോ തെരുവിലെയും വീടുകൾക്ക് നമ്പർ നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ലൈബ്രറിയിൽ, വായനക്കാരുടെ സബ്‌സ്‌ക്രിപ്‌ഷനുകൾ അക്കമിട്ട് പ്രത്യേക ഫയൽ കാബിനറ്റുകളിൽ അസൈൻ ചെയ്‌ത നമ്പറുകളുടെ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിക്കുന്നു.

ഒരു സേവിംഗ്സ് ബാങ്കിൽ, നിക്ഷേപകന്റെ സ്വകാര്യ അക്കൗണ്ടിന്റെ നമ്പർ അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ഈ അക്കൗണ്ട് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനും അതിൽ ഏത് തരത്തിലുള്ള നിക്ഷേപമുണ്ടെന്ന് കാണാനും കഴിയും. അക്കൗണ്ട് നമ്പർ 1-ൽ a1 റൂബിൾ നിക്ഷേപം, അക്കൗണ്ട് നമ്പർ 2-ൽ a2 റൂബിൾ നിക്ഷേപം മുതലായവ ഉണ്ടാകട്ടെ. സംഖ്യാ ക്രമം
a 1, a 2, a 3, ..., a N
ഇവിടെ N എന്നത് എല്ലാ അക്കൗണ്ടുകളുടെയും സംഖ്യയാണ്. ഇവിടെ, 1 മുതൽ N വരെയുള്ള ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു n എന്ന സംഖ്യ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഗണിതവും പഠിക്കുന്നു അനന്തമായ സംഖ്യ ക്രമങ്ങൾ:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
നമ്പർ a 1 എന്ന് വിളിക്കുന്നു ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ അംഗം, നമ്പർ എ 2 - ക്രമത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം, നമ്പർ എ 3 - ക്രമത്തിലെ മൂന്നാമത്തെ അംഗംതുടങ്ങിയവ.
a n എന്ന സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു ക്രമത്തിലെ nth (nth) അംഗം, സ്വാഭാവിക സംഖ്യ n ആണ് നമ്പർ.

ഉദാഹരണത്തിന്, 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2, (n + 1) 2, ... കൂടാതെ 1 = 1 എന്ന സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ക്രമത്തിൽ, ഈ ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ അംഗമാണ്; കൂടാതെ n = n 2 ആണ് nth അംഗംക്രമങ്ങൾ; a n+1 = (n + 1) 2 എന്നത് ക്രമത്തിലെ (n + 1)th (en പ്ലസ് ഫസ്റ്റ്) അംഗമാണ്. പലപ്പോഴും ഒരു സീക്വൻസ് അതിന്റെ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, $a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) $ ഫോർമുല $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac(1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots $

ഗണിത പുരോഗതി

ഒരു വർഷത്തിന്റെ ദൈർഘ്യം ഏകദേശം 365 ദിവസമാണ്. കൂടുതൽ കൃത്യമായ മൂല്യം$365\frac(1)(4) $ ദിവസങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ ഓരോ നാല് വർഷത്തിലും ഒരു ദിവസത്തെ പിശക് അടിഞ്ഞു കൂടുന്നു.

ഈ പിശക് കണക്കാക്കാൻ, എല്ലാ നാലാമത്തെ വർഷത്തിലും ഒരു ദിവസം ചേർക്കുന്നു, നീണ്ട വർഷത്തെ അധിവർഷം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്നാം സഹസ്രാബ്ദത്തിൽ, അധിവർഷങ്ങൾ 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

ഈ ശ്രേണിയിൽ, ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യ 4-ൽ ചേർത്തിരിക്കുന്നു. അത്തരം സീക്വൻസുകളെ വിളിക്കുന്നു ഗണിത പുരോഗതികൾ.

നിർവ്വചനം.
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... എന്ന സംഖ്യാ ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു ഗണിത പുരോഗതി, എല്ലാവർക്കും സ്വാഭാവികമാണെങ്കിൽ തുല്യത
$a_(n+1) = a_n+d, $
ഇവിടെ d എന്നത് ചില സംഖ്യയാണ്.

ഈ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഒരു n+1 - a n = d. ഡി എന്ന സംഖ്യയെ വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഗണിത പുരോഗതി.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിർവ്വചനം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
എവിടെ
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $, എവിടെ $n>1 $

അങ്ങനെ, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, അതിനോട് ചേർന്നുള്ള രണ്ട് അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്. ഇത് "ഗണിത" പുരോഗതി എന്ന പേര് വിശദീകരിക്കുന്നു.

a 1 ഉം d ഉം നൽകിയാൽ, a n+1 = a n + d എന്ന ആവർത്തന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ശേഷിക്കുന്ന നിബന്ധനകൾ കണക്കാക്കാം. ഈ രീതിയിൽ, പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ കണക്കാക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, എന്നിരുന്നാലും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു 100-ന്, ഇതിനകം തന്നെ ധാരാളം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമായി വരും. സാധാരണയായി, nth term ഫോർമുലയാണ് ഇതിനായി ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
തുടങ്ങിയവ.
എല്ലാം,
$a_n=a_1+(n-1)d, $
കാരണം nth അംഗംസംഖ്യയുടെ d യുടെ (n-1) മടങ്ങ് ചേർത്തുകൊണ്ട് ആദ്യ പദത്തിൽ നിന്ന് ഗണിത പുരോഗതി ലഭിക്കും.
ഈ സൂത്രവാക്യം വിളിക്കുന്നു ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

1 മുതൽ 100 വരെയുള്ള എല്ലാ സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെയും ആകെത്തുക കണ്ടെത്താം.
ഞങ്ങൾ ഈ തുക രണ്ട് തരത്തിൽ എഴുതുന്നു:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
എസ് = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
ഞങ്ങൾ ഈ തുല്യതകൾ ടേം പ്രകാരം ചേർക്കുന്നു:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
ഈ തുകയിൽ 100 നിബന്ധനകളുണ്ട്.
അതിനാൽ, 2S = 101 * 100, എവിടെ നിന്ന് S = 101 * 50 = 5050.

ഇപ്പോൾ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ ഗണിത പുരോഗതി പരിഗണിക്കുക
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക S n ആയിരിക്കട്ടെ:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
പിന്നെ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

$a_n=a_1+(n-1)d $ എന്നതിനാൽ, ഈ ഫോർമുലയിൽ ഒരു n മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമുക്ക് മറ്റൊരു ഫോർമുല ലഭിക്കും. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

പുസ്തകങ്ങൾ (പാഠപുസ്തകങ്ങൾ) ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെയും OGE ഓൺലൈൻ ടെസ്റ്റുകളുടെയും സംഗ്രഹങ്ങൾ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫിംഗ് റഷ്യൻ ഭാഷയുടെ സ്പെല്ലിംഗ് നിഘണ്ടു യൂത്ത് സ്ലാങ്ങിന്റെ നിഘണ്ടു റഷ്യൻ സ്കൂളുകളുടെ കാറ്റലോഗ് റഷ്യയിലെ സെക്കൻഡറി സ്കൂളുകളുടെ കാറ്റലോഗ് റഷ്യൻ സർവകലാശാലകളുടെ കാറ്റലോഗ് ടാസ്ക്കുകളുടെ പട്ടിക

അല്ലെങ്കിൽ ഗണിതം - ഇത് ഒരു തരം ക്രമപ്പെടുത്തിയ സംഖ്യാ ശ്രേണിയാണ്, ഇതിന്റെ സവിശേഷതകൾ ഒരു സ്കൂൾ ബീജഗണിത കോഴ്സിൽ പഠിക്കുന്നു. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യം ഈ ലേഖനം വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യുന്നു.

എന്താണ് ഈ പുരോഗതി?

ചോദ്യത്തിന്റെ പരിഗണനയിലേക്ക് പോകുന്നതിനുമുമ്പ് (ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം), എന്താണ് ചർച്ച ചെയ്യപ്പെടുകയെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടതാണ്.

മുമ്പത്തെ ഓരോ സംഖ്യയിൽ നിന്നും ചില മൂല്യങ്ങൾ കൂട്ടി (കുറയ്ക്കൽ) വഴി ലഭിക്കുന്ന യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഏതെങ്കിലും ശ്രേണിയെ ബീജഗണിത (ഗണിത) പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്ത ഈ നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു:

ഇവിടെ i എന്നത് a i എന്ന ശ്രേണിയിലെ മൂലകത്തിന്റെ ഓർഡിനൽ സംഖ്യയാണ്. അങ്ങനെ, ഒരു പ്രാരംഭ നമ്പർ മാത്രം അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് മുഴുവൻ ശ്രേണിയും എളുപ്പത്തിൽ പുനഃസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും. ഫോർമുലയിലെ d എന്ന പരാമീറ്ററിനെ പുരോഗതി വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പരിഗണനയിലുള്ള സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വം ഉണ്ടെന്ന് എളുപ്പത്തിൽ കാണിക്കാനാകും:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

അതായത്, n-th മൂലകത്തിന്റെ മൂല്യം ക്രമത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ, വ്യത്യാസം d ആദ്യ ഘടകത്തിലേക്ക് a 1 n-1 തവണ ചേർക്കുക.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എന്താണ്: ഫോർമുല

സൂചിപ്പിച്ച തുകയുടെ ഫോർമുല നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, ഒരു ലളിതമായത് പരിഗണിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ് പ്രത്യേക കേസ്. 1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ പുരോഗതി കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. പുരോഗതിയിൽ (10) കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ ഉള്ളതിനാൽ, പ്രശ്‌നം നേരിട്ട് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്, എല്ലാ ഘടകങ്ങളും ക്രമത്തിൽ സംഗ്രഹിക്കുക.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

രസകരമായ ഒരു കാര്യം പരിഗണിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്: ഓരോ പദവും അടുത്തതിൽ നിന്ന് ഒരേ മൂല്യത്തിൽ d \u003d 1 വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതിനാൽ, ആദ്യത്തേതിന്റെ ജോടിയായി പത്താമത്തെയും രണ്ടാമത്തേത് ഒമ്പതാമത്തേയും സംയോജനം ഒരേ ഫലം നൽകും. . ശരിക്കും:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഈ തുകകളിൽ 5 എണ്ണം മാത്രമേ ഉള്ളൂ, അതായത്, ശ്രേണിയിലെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കൃത്യമായി രണ്ട് മടങ്ങ് കുറവാണ്. അപ്പോൾ തുകകളുടെ എണ്ണം (5) ഓരോ തുകയുടെയും ഫലം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ (11), നിങ്ങൾ ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ ലഭിച്ച ഫലത്തിലേക്ക് വരും.

ഞങ്ങൾ ഈ വാദങ്ങളെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം എഴുതാം:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

ഈ പദപ്രയോഗം കാണിക്കുന്നത് ഒരു വരിയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും സംഗ്രഹിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, ആദ്യത്തെ a 1 ന്റെയും അവസാനത്തെ a n ന്റെയും മൂല്യം അറിയാൻ ഇത് മതിയാകും. മൊത്തം എണ്ണംനിബന്ധനകൾ n.

തന്റെ സ്‌കൂൾ ടീച്ചർ നിശ്ചയിച്ച പ്രശ്‌നത്തിന് പരിഹാരം തേടുമ്പോഴാണ് ഗൗസ് ഈ സമത്വത്തെക്കുറിച്ച് ആദ്യം ചിന്തിച്ചതെന്ന് വിശ്വസിക്കപ്പെടുന്നു: ആദ്യത്തെ 100 പൂർണ്ണസംഖ്യകൾ സംഗ്രഹിക്കാൻ.

m മുതൽ n വരെയുള്ള മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക: ഫോർമുല

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ (ആദ്യ മൂലകങ്ങളുടെ) തുക എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നു, എന്നാൽ പലപ്പോഴും ടാസ്ക്കുകളിൽ പുരോഗതിയുടെ മധ്യത്തിൽ സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി സംഗ്രഹിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യാം?

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുക എന്നതാണ് ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാനുള്ള എളുപ്പവഴി: mth മുതൽ nth വരെയുള്ള പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ, പുരോഗതിയുടെ m മുതൽ n വരെയുള്ള ഒരു സെഗ്മെന്റ് ഒരു പുതിയ സംഖ്യ ശ്രേണിയായി പ്രതിനിധീകരിക്കണം. ഇത്തരം പ്രാതിനിധ്യം m-thഒരു m എന്ന പദം ആദ്യത്തേതും a n എന്നത് n-(m-1) എന്ന നമ്പറും ആയിരിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തുകയ്ക്കുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണം

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് അറിയുന്നത്, മുകളിലുള്ള ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കുന്നത് മൂല്യവത്താണ്.

ചുവടെയുള്ള ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം, നിങ്ങൾ അതിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തണം, 5-ൽ തുടങ്ങി 12-ൽ അവസാനിക്കുന്നു:

നൽകിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ d വ്യത്യാസം 3 ന് തുല്യമാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. n-ആം മൂലകത്തിനുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, പുരോഗതിയുടെ 5-ഉം 12-ഉം അംഗങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. ഇത് മാറുന്നു:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

പരിഗണനയിലുള്ള ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ അറ്റത്തുള്ള സംഖ്യകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ അറിയുക, കൂടാതെ സീരീസിലെ ഏത് സംഖ്യകളാണ് അവ ഉൾക്കൊള്ളുന്നതെന്നും അറിയുന്നത്, മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ലഭിച്ച തുകയുടെ ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. നേടുക:

എസ് 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

ഈ മൂല്യം വ്യത്യസ്തമായി ലഭിക്കുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്: ആദ്യം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യത്തെ 12 മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് ഒരേ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യത്തെ 4 മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുക, തുടർന്ന് ആദ്യ തുകയിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തേത് കുറയ്ക്കുക. .

എന്ത് പ്രധാന പോയിന്റ്സൂത്രവാക്യങ്ങൾ?

കണ്ടെത്താൻ ഈ ഫോർമുല നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലും അവന്റെ നമ്പർ പ്രകാരം" n" .

തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾ ആദ്യ പദം അറിയേണ്ടതുണ്ട് a 1പുരോഗതി വ്യത്യാസവും ഡി, നന്നായി, ഈ പാരാമീറ്ററുകൾ ഇല്ലാതെ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട പുരോഗതി എഴുതാൻ കഴിയില്ല.

ഈ ഫോർമുല മനഃപാഠമാക്കാൻ (അല്ലെങ്കിൽ ചതിച്ചാൽ) മാത്രം പോരാ. അതിന്റെ സാരാംശം സ്വാംശീകരിക്കുകയും വിവിധ പ്രശ്നങ്ങളിൽ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അതെ, ശരിയായ സമയത്ത് മറക്കരുത്, അതെ ...) എങ്ങനെ മറക്കരുത്- എനിക്കറിയില്ല. പിന്നെ ഇവിടെ എങ്ങനെ ഓർക്കുംആവശ്യമെങ്കിൽ, ഞാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സൂചന തരാം. അവസാനം വരെ പാഠം പഠിക്കുന്നവർക്ക്.)

അതിനാൽ, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ n-th അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

എന്താണ് പൊതുവെ ഒരു സൂത്രവാക്യം - ഞങ്ങൾ സങ്കൽപ്പിക്കുന്നു.) എന്താണ് ഒരു ഗണിത പുരോഗതി, ഒരു അംഗസംഖ്യ, ഒരു പുരോഗതി വ്യത്യാസം - മുൻ പാഠത്തിൽ വ്യക്തമായി പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. വായിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ ഒന്ന് നോക്കൂ. അവിടെ എല്ലാം ലളിതമാണ്. എന്താണെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു nth അംഗം.

പുരോഗതി പൊതുവായ കാഴ്ചസംഖ്യകളുടെ ഒരു പരമ്പരയായി എഴുതാം:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഒരു 3- മൂന്നാമത്തെ അംഗം ഒരു 4- നാലാമത്, തുടങ്ങിയവ. അഞ്ചാം ടേമിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ടെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് പറയുക ഒരു 5, നൂറ്റി ഇരുപതാമെങ്കിൽ - മുതൽ ഒരു 120.

പൊതുവായി എങ്ങനെ നിർവചിക്കാം ഏതെങ്കിലുംഒരു ഗണിത പുരോഗതി അംഗം, എസ് ഏതെങ്കിലുംനമ്പർ? വളരെ ലളിതം! ഇതുപോലെ:

ഒരു എൻ

അതാണ് അത് ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ n-th അംഗം. n എന്ന അക്ഷരത്തിന് കീഴിൽ എല്ലാ അംഗങ്ങളുടെ നമ്പറുകളും ഒരേസമയം മറച്ചിരിക്കുന്നു: 1, 2, 3, 4, മുതലായവ.

അത്തരമൊരു റെക്കോർഡ് നമുക്ക് എന്താണ് നൽകുന്നത്? ചിന്തിക്കുക, ഒരു നമ്പറിന് പകരം അവർ ഒരു കത്ത് എഴുതി ...

ഈ നൊട്ടേഷൻ ഗണിത പുരോഗതികളുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള ശക്തമായ ഒരു ഉപകരണം നൽകുന്നു. നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു ഒരു എൻ, നമുക്ക് പെട്ടെന്ന് കണ്ടെത്താനാകും ഏതെങ്കിലുംഅംഗം ഏതെങ്കിലുംഗണിത പുരോഗതി. പുരോഗതിയിൽ പരിഹരിക്കാനുള്ള ഒരു കൂട്ടം ജോലികളും. നിങ്ങൾ കൂടുതൽ കാണും.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുലയിൽ:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം;

എൻ- അംഗസംഖ്യ.

ഫോർമുല ഏത് പുരോഗതിയുടെയും പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു: ഒരു എൻ ; ഒരു 1; ഡിഒപ്പം എൻ. ഈ പാരാമീറ്ററുകൾക്ക് ചുറ്റും, എല്ലാ പസിലുകളും പുരോഗതിയിൽ കറങ്ങുന്നു.

ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട പുരോഗതി എഴുതാനും nth term ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രശ്നത്തിൽ, പുരോഗതി വ്യവസ്ഥയാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത് എന്ന് പറയാം:

a n = 5 + (n-1) 2.

അത്തരമൊരു പ്രശ്നം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാം ... ഒരു ശ്രേണിയും ഇല്ല, വ്യത്യാസവുമില്ല ... പക്ഷേ, ഈ അവസ്ഥയെ ഫോർമുലയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, ഈ പുരോഗതിയിൽ അത് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. a 1 \u003d 5, d \u003d 2.

അത് കൂടുതൽ ദേഷ്യപ്പെടാം!) നമ്മൾ ഇതേ അവസ്ഥ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ: a n = 5 + (n-1) 2,അതെ, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാനമായവ നൽകണോ? ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പുതിയ ഫോർമുല ലഭിക്കും:

ഒരു = 3 + 2n.

ഈ പൊതുവായതല്ല, ഒരു പ്രത്യേക പുരോഗതിക്കായി. ഇവിടെയാണ് ചതിക്കുഴി. ആദ്യത്തെ ടേം മൂന്ന് ആണെന്ന് ചിലർ കരുതുന്നു. യഥാർത്ഥത്തിൽ ആദ്യത്തെ അംഗം അഞ്ച് ആണെങ്കിലും ... അൽപ്പം താഴെ ഞങ്ങൾ അത്തരമൊരു പരിഷ്കരിച്ച ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കും.

പുരോഗതിക്കുള്ള ചുമതലകളിൽ, മറ്റൊരു നൊട്ടേഷൻ ഉണ്ട് - ഒരു n+1. ഇതാണ്, നിങ്ങൾ ഊഹിച്ചത്, പുരോഗതിയുടെ "n പ്ലസ് ആദ്യ" പദമാണ്. അതിന്റെ അർത്ഥം ലളിതവും നിരുപദ്രവകരവുമാണ്.) ഇത് പുരോഗതിയുടെ ഒരു അംഗമാണ്, ഇതിന്റെ എണ്ണം n എന്ന സംഖ്യയേക്കാൾ വലുതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ചില പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു ഒരു എൻഅഞ്ചാം ടേം, പിന്നെ ഒരു n+1ആറാമത്തെ അംഗമായിരിക്കും. തുടങ്ങിയവ.

മിക്കപ്പോഴും പദവി ഒരു n+1ആവർത്തന സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ സംഭവിക്കുന്നു. ഈ ഭയങ്കരമായ വാക്കിനെ ഭയപ്പെടരുത്!) ഇത് ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഒരു പദത്തെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു മാർഗം മാത്രമാണ്. മുമ്പത്തേതിലൂടെ.ആവർത്തിച്ചുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ രൂപത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നൽകിയിട്ടുണ്ടെന്ന് കരുതുക:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

നാലാമത്തേത് - മൂന്നാമത്തേത്, അഞ്ചാമത്തേത് - നാലാമത്തേത്, അങ്ങനെ. ഉടനെ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം, ഇരുപതാം ടേം പറയുക, ഒരു 20? പക്ഷേ വഴിയില്ല!) 19-ാം ടേം അറിയില്ലെങ്കിലും, 20-ആം ടേം കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല. ഇതാണ് ആവർത്തന സൂത്രവാക്യവും nth ടേമിന്റെ ഫോർമുലയും തമ്മിലുള്ള അടിസ്ഥാന വ്യത്യാസം. ആവർത്തനത്തിലൂടെ മാത്രമേ പ്രവർത്തിക്കൂ മുമ്പത്തെടേം, കൂടാതെ nth term ന്റെ ഫോർമുല - വഴി ആദ്യംഅനുവദിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു നേരിട്ട്ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ അതിന്റെ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുക. സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും ക്രമത്തിൽ കണക്കാക്കുന്നില്ല.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ, ഒരു ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം എളുപ്പത്തിൽ സാധാരണ ഒന്നാക്കി മാറ്റാൻ കഴിയും. തുടർച്ചയായി ഒരു ജോടി പദങ്ങൾ എണ്ണുക, വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുക d,ആവശ്യമെങ്കിൽ ആദ്യ പദം കണ്ടെത്തുക a 1, സാധാരണ രൂപത്തിൽ ഫോർമുല എഴുതുക, അതിനൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുക. GIA-യിൽ, അത്തരം ജോലികൾ പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ n-th അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുലയുടെ പ്രയോഗം.

ആദ്യം, ഫോർമുലയുടെ നേരിട്ടുള്ള പ്രയോഗം നോക്കാം. മുമ്പത്തെ പാഠത്തിന്റെ അവസാനം ഒരു പ്രശ്നം ഉണ്ടായിരുന്നു:

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നൽകി (a n). 1 =3, d=1/6 എന്നിവയാണെങ്കിൽ 121 കണ്ടെത്തുക.

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അർത്ഥത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സൂത്രവാക്യങ്ങളൊന്നുമില്ലാതെ ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ചേർക്കുക, അതെ ചേർക്കുക ... ഒന്നോ രണ്ടോ മണിക്കൂർ.)

ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, പരിഹാരം ഒരു മിനിറ്റിൽ താഴെ സമയമെടുക്കും. നിങ്ങൾക്ക് സമയമെടുക്കാം.) ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കും.

ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള എല്ലാ ഡാറ്റയും വ്യവസ്ഥകൾ നൽകുന്നു: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.എന്താണെന്ന് കണ്ടറിയേണ്ടിയിരിക്കുന്നു എൻ.ഒരു പ്രശ്നവുമില്ല! നമ്മൾ കണ്ടെത്തണം ഒരു 121. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക! ഒരു സൂചികയ്ക്ക് പകരം എൻഒരു പ്രത്യേക നമ്പർ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു: 121. ഇത് തികച്ചും യുക്തിസഹമാണ്.) ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട് നമ്പർ നൂറ്റി ഇരുപത്തിയൊന്ന്.ഇത് നമ്മുടേതായിരിക്കും എൻ.ഇതാണ് അർത്ഥം എൻ= 121 ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ ഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് കൂടുതൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും. ഫോർമുലയിലെ എല്ലാ അക്കങ്ങളും മാറ്റി കണക്കാക്കുക:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

അത്രയേ ഉള്ളൂ. ഒരാൾക്ക് അഞ്ഞൂറ്റി പത്താമത്തെ അംഗത്തെയും ആയിരത്തി മൂന്നാമത്തേയും ഏതെങ്കിലുമൊരു അംഗത്തെ കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്നതുപോലെ. പകരം ഞങ്ങൾ ഇട്ടു എൻഅക്ഷരത്തിന്റെ സൂചികയിൽ ആവശ്യമുള്ള നമ്പർ " ഒരു"ബ്രാക്കറ്റിലും, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു.

സാരാംശം ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: ഈ ഫോർമുല നിങ്ങളെ കണ്ടെത്താൻ അനുവദിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലുംഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പദം അവന്റെ നമ്പർ പ്രകാരം" n" .

സമർത്ഥമായി പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രശ്നമുണ്ടെന്ന് പറയാം:

a 17 =-2 ആണെങ്കിൽ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ (a n) ആദ്യ പദം കണ്ടെത്തുക; d=-0.5.

നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യ ഘട്ടം ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കും. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ nth ടേമിനുള്ള ഫോർമുല എഴുതുക!അതെ അതെ. കയ്യെഴുത്ത്, നിങ്ങളുടെ നോട്ട്ബുക്കിൽ തന്നെ:

a n = a 1 + (n-1)d

ഇപ്പോൾ, ഫോർമുലയുടെ അക്ഷരങ്ങൾ നോക്കുമ്പോൾ, നമ്മുടെ പക്കലുള്ള ഡാറ്റ എന്താണെന്നും എന്താണ് നഷ്ടപ്പെട്ടതെന്നും ഞങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു? ലഭ്യമാണ് d=-0.5,പതിനേഴാമത്തെ അംഗം ഉണ്ട് ... എല്ലാം? അത്രയേയുള്ളൂ എന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നുവെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, അതെ ...

ഞങ്ങൾക്കും ഒരു നമ്പർ ഉണ്ട് എൻ! അവസ്ഥയിൽ a 17 =-2മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു രണ്ട് ഓപ്ഷനുകൾ.ഇത് പതിനേഴാമത്തെ അംഗത്തിന്റെ (-2) മൂല്യവും അതിന്റെ സംഖ്യയും (17) ആണ്. ആ. n=17.ഈ "ചെറിയ കാര്യം" പലപ്പോഴും തല കടന്നുപോകുന്നു, കൂടാതെ, ("ചെറിയ കാര്യം" ഇല്ലാതെ, തലയല്ല!) പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും ... കൂടാതെ ഒരു തലയുമില്ലാതെ.)

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നമ്മുടെ ഡാറ്റയെ മണ്ടത്തരമായി ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

ഓ അതെ, ഒരു 17അത് -2 ആണെന്ന് ഞങ്ങൾക്കറിയാം. ശരി, നമുക്ക് ഇത് ഉൾപ്പെടുത്താം:

-2 \u003d ഒരു 1 + (17-1) (-0.5)

അത്, സാരാംശത്തിൽ, എല്ലാം. ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം പ്രകടിപ്പിക്കാനും കണക്കുകൂട്ടാനും ഇത് ശേഷിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കും: a 1 = 6.

അത്തരമൊരു സാങ്കേതികത - ഒരു ഫോർമുല എഴുതുന്നതും അറിയപ്പെടുന്ന ഡാറ്റയ്ക്ക് പകരം വയ്ക്കുന്നതും - ലളിതമായ ജോലികളിൽ വളരെയധികം സഹായിക്കുന്നു. ശരി, നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും, ഒരു ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഒരു വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ കഴിയണം, പക്ഷേ എന്തുചെയ്യണം!? ഈ വൈദഗ്ധ്യം കൂടാതെ, ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കാൻ കഴിയില്ല ...

മറ്റൊരു ജനപ്രിയ പ്രശ്നം:

a 1 =2 ആണെങ്കിൽ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ (a n) വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക; ഒരു 15 =12.

നമ്മള് എന്താണ് ചെയ്യുന്നത്? നിങ്ങൾ ആശ്ചര്യപ്പെടും, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല എഴുതുന്നു!)

a n = a 1 + (n-1)d

നമുക്കറിയാവുന്ന കാര്യങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക: a 1 =2; a 15 =12; കൂടാതെ (പ്രത്യേക ഹൈലൈറ്റ്!) n=15. ഫോർമുലയിൽ പകരം വയ്ക്കാൻ മടിക്കേണ്ടതില്ല:

12=2 + (15-1)d

നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രം ചെയ്യാം.)

12=2 + 14d

ഡി=10/14 = 5/7

ഇതാണ് ശരിയായ ഉത്തരം.

അതിനാൽ, ചുമതലകൾ a n, a 1ഒപ്പം ഡിതീരുമാനിച്ചു. നമ്പർ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

99 എന്ന സംഖ്യ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ (a n) അംഗമാണ്, ഇവിടെ a 1 =12; d=3. ഈ അംഗത്തിന്റെ നമ്പർ കണ്ടെത്തുക.

nth പദത്തിന്റെ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഞങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്ന അളവുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

a n = 12 + (n-1) 3

ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഇവിടെ രണ്ട് അജ്ഞാത അളവുകൾ ഉണ്ട്: a n ഉം n ഉം.പക്ഷേ ഒരു എൻസംഖ്യയുള്ള പുരോഗതിയിലെ ചില അംഗമാണ് എൻ... കൂടാതെ ഈ പുരോഗതിയിലെ അംഗവും നമുക്കറിയാം! ഇത് 99. അവന്റെ നമ്പർ ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല. n,അതിനാൽ ഈ നമ്പറും കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. സൂത്രവാക്യത്തിൽ പുരോഗതി പദമായ 99 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

99 = 12 + (n-1) 3

ഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു എൻ, നമ്മൾ വിചാരിക്കുന്നത്. നമുക്ക് ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നു: n=30.

ഇപ്പോൾ അതേ വിഷയത്തിൽ ഒരു പ്രശ്നം, എന്നാൽ കൂടുതൽ ക്രിയാത്മകമായി):

സംഖ്യ 117 ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ (a n) അംഗമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

നമുക്ക് ഫോർമുല വീണ്ടും എഴുതാം. എന്താണ്, ഓപ്ഷനുകൾ ഒന്നുമില്ലേ? ഹോ... നമുക്ക് എന്തിനാണ് കണ്ണുകൾ വേണ്ടത്?) പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗത്തെ നാം കാണുന്നുണ്ടോ? ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. ഇത് -3.6 ആണ്. നിങ്ങൾക്ക് സുരക്ഷിതമായി എഴുതാം: ഒരു 1 \u003d -3.6.വ്യത്യാസം ഡിപരമ്പരയിൽ നിന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയുമോ? ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ ഇത് എളുപ്പമാണ്:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

അതെ, ഞങ്ങൾ ഏറ്റവും ലളിതമായ കാര്യം ചെയ്തു. ഒരു അജ്ഞാത നമ്പർ കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു എൻകൂടാതെ മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്ത ഒരു സംഖ്യ 117. മുൻ പ്രശ്നത്തിൽ, കുറഞ്ഞത് അത് നൽകിയ പുരോഗതിയുടെ കാലാവധിയാണെന്ന് അറിയാമായിരുന്നു. പക്ഷെ ഇവിടെ നമുക്ക് അതൊന്നും അറിയില്ല... എങ്ങനെയിരിക്കും!? ശരി, എങ്ങനെയായിരിക്കണം, എങ്ങനെയായിരിക്കണം... ഓണാക്കുക സൃഷ്ടിപരമായ കഴിവുകൾ!)

ഞങ്ങൾ കരുതുകഎല്ലാത്തിനുമുപരി, 117 നമ്മുടെ പുരോഗതിയിലെ അംഗമാണ്. ഒരു അജ്ഞാത നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് എൻ. കൂടാതെ, മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിലെന്നപോലെ, ഈ നമ്പർ കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം. ആ. ഞങ്ങൾ ഫോർമുല എഴുതുന്നു (അതെ-അതെ!)) കൂടാതെ ഞങ്ങളുടെ നമ്പറുകൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

വീണ്ടും ഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നുഎൻ, ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുകയും നേടുകയും ചെയ്യുന്നു:

ശ്ശോ! നമ്പർ തെളിഞ്ഞു ഫ്രാക്ഷണൽ!നൂറ്റി ഒന്നര. പുരോഗതികളിലെ ഭിന്നസംഖ്യകളും കഴിയില്ല.ഞങ്ങൾ എന്ത് നിഗമനത്തിൽ എത്തിച്ചേരും? അതെ! നമ്പർ 117 അല്ലഞങ്ങളുടെ പുരോഗതിയിലെ അംഗം. ഇത് 101-ാം അംഗത്തിനും 102-ാം അംഗത്തിനും ഇടയിലാണ്. സംഖ്യ സ്വാഭാവികമാണെന്ന് തെളിഞ്ഞാൽ, അതായത്. പോസിറ്റീവ് പൂർണ്ണസംഖ്യ, അപ്പോൾ സംഖ്യ കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യയുടെ പുരോഗതിയുടെ അംഗമായിരിക്കും. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം ഇതായിരിക്കും: ഇല്ല.

GIA-യുടെ യഥാർത്ഥ പതിപ്പിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ടാസ്ക്ക്:

ഗണിത പുരോഗതിവ്യവസ്ഥ പ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു:

a n \u003d -4 + 6.8n

പുരോഗതിയുടെ ആദ്യത്തേയും പത്താമത്തെയും നിബന്ധനകൾ കണ്ടെത്തുക.

ഇവിടെ പുരോഗതി അസാധാരണമായ രീതിയിൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു. ചില തരത്തിലുള്ള ഫോർമുല ... അത് സംഭവിക്കുന്നു.) എന്നിരുന്നാലും, ഈ ഫോർമുല (ഞാൻ മുകളിൽ എഴുതിയത് പോലെ) - ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ n-th അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുലയും!അവളും അനുവദിക്കുന്നു പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ അതിന്റെ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ അംഗത്തെ തിരയുകയാണ്. ചിന്തിക്കുന്നവൻ. ആദ്യത്തെ പദം മൈനസ് നാലാണ്, അത് മാരകമായി തെറ്റിദ്ധരിക്കപ്പെടുന്നു!) കാരണം പ്രശ്നത്തിലെ ഫോർമുല പരിഷ്കരിച്ചതാണ്. അതിൽ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം മറഞ്ഞിരിക്കുന്നു.ഒന്നുമില്ല, ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തും.)

മുമ്പത്തെ ജോലികളിലെന്നപോലെ, ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു n=1ഈ ഫോർമുലയിലേക്ക്:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

ഇവിടെ! ആദ്യ പദം 2.8 ആണ്, അല്ല -4!

അതുപോലെ, ഞങ്ങൾ പത്താം ടേമിനായി തിരയുന്നു:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

അത്രയേ ഉള്ളൂ.

ഇപ്പോൾ, ഈ വരികൾ വരെ വായിച്ചവർക്ക്, വാഗ്ദാനം ചെയ്ത ബോണസ്.)

GIA അല്ലെങ്കിൽ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയുടെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു പോരാട്ട സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ n-th അംഗത്തിന്റെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഫോർമുല നിങ്ങൾ മറന്നുവെന്ന് കരുതുക. എന്തോ മനസ്സിൽ വരുന്നു, പക്ഷേ എങ്ങനെയോ അനിശ്ചിതത്വത്തിൽ ... ആണോ എൻഅവിടെ, അല്ലെങ്കിൽ n+1, അല്ലെങ്കിൽ n-1...എങ്ങനെയാകണം!?

ശാന്തം! ഈ ഫോർമുല ഉരുത്തിരിയാൻ എളുപ്പമാണ്. വളരെ കർശനമല്ല, പക്ഷേ ആത്മവിശ്വാസത്തിനും ശരിയായ തീരുമാനത്തിനും തീർച്ചയായും മതി!) ഉപസംഹാരത്തിന്, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പ്രാഥമിക അർത്ഥം ഓർമ്മിക്കുകയും കുറച്ച് മിനിറ്റ് സമയം ചെലവഴിക്കുകയും ചെയ്താൽ മതി. നിങ്ങൾ ഒരു ചിത്രം വരച്ചാൽ മതി. വ്യക്തതയ്ക്കായി.

ഞങ്ങൾ ഒരു സംഖ്യാ അക്ഷം വരച്ച് അതിൽ ആദ്യത്തേത് അടയാളപ്പെടുത്തുന്നു. രണ്ടാമത്തേത്, മൂന്നാമത്തേത്, മുതലായവ. അംഗങ്ങൾ. ഒപ്പം വ്യത്യാസം ശ്രദ്ധിക്കുക ഡിഅംഗങ്ങൾക്കിടയിൽ. ഇതുപോലെ:

ഞങ്ങൾ ചിത്രം നോക്കുകയും ചിന്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു: രണ്ടാമത്തെ പദം എന്തിന് തുല്യമാണ്? രണ്ടാമത് ഒന്ന് ഡി:

എ 2 =എ 1+ 1 ഡി

മൂന്നാമത്തെ ടേം എന്താണ്? മൂന്നാമത്പദം ആദ്യ ടേം പ്ലസ് തുല്യമാണ് രണ്ട് ഡി.

എ 3 =എ 1+ 2 ഡി

കിട്ടുമോ? ഞാൻ വെറുതെ ചില വാക്കുകൾ ബോൾഡിൽ ഇടാറില്ല. ശരി, ഒരു പടി കൂടി.)

നാലാമത്തെ ടേം എന്താണ്? നാലാമത്തെപദം ആദ്യ ടേം പ്ലസ് തുല്യമാണ് മൂന്ന് ഡി.

എ 4 =എ 1+ 3 ഡി

വിടവുകളുടെ എണ്ണം എന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ട സമയമാണിത്, അതായത്. ഡി, എപ്പോഴും നിങ്ങൾ തിരയുന്ന അംഗത്തിന്റെ എണ്ണത്തേക്കാൾ ഒന്ന് കുറവ് എൻ. അതായത്, എണ്ണം വരെ n, വിടവുകളുടെ എണ്ണംചെയ്യും n-1.അതിനാൽ, ഫോർമുല ഇതായിരിക്കും (ഓപ്ഷനുകളൊന്നുമില്ല!):

a n = a 1 + (n-1)d

പൊതുവേ, ഗണിതത്തിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന് വിഷ്വൽ ചിത്രങ്ങൾ വളരെ സഹായകരമാണ്. ചിത്രങ്ങളെ അവഗണിക്കരുത്. എന്നാൽ ഒരു ചിത്രം വരയ്ക്കാൻ പ്രയാസമാണെങ്കിൽ ... ഒരു സൂത്രവാക്യം മാത്രം!) കൂടാതെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മുഴുവൻ ശക്തമായ ആയുധശേഖരവും പരിഹാരവുമായി ബന്ധിപ്പിക്കാൻ nth പദത്തിന്റെ ഫോർമുല നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു - സമവാക്യങ്ങൾ, അസമത്വങ്ങൾ, സിസ്റ്റങ്ങൾ മുതലായവ. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സമവാക്യത്തിൽ ഒരു ചിത്രം ഇടാൻ കഴിയില്ല ...

സ്വതന്ത്ര തീരുമാനത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ.

സന്നാഹത്തിന്:

1. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ (a n) a 2 =3; ഒരു 5 \u003d 5.1. ഒരു 3 കണ്ടെത്തുക.

സൂചന: ചിത്രം അനുസരിച്ച്, പ്രശ്നം 20 സെക്കൻഡിനുള്ളിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടും ... ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, ഇത് കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. എന്നാൽ ഫോർമുലയിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടുന്നതിന്, ഇത് കൂടുതൽ ഉപയോഗപ്രദമാണ്.) സെക്ഷൻ 555 ൽ, ഈ പ്രശ്നം ചിത്രത്തിലൂടെയും ഫോർമുലയിലൂടെയും പരിഹരിക്കുന്നു. വ്യത്യാസം അനുഭവിക്കു!)

ഇത് മേലിൽ ഒരു സന്നാഹമല്ല.)

2. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. ഒരു 3 കണ്ടെത്തുക.

എന്ത്, ഒരു ചിത്രം വരയ്ക്കാൻ മടി?) ഇപ്പോഴും! മികച്ച ഫോർമുല, അതെ...

3. ഗണിത പുരോഗതി വ്യവസ്ഥയാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു:ഒരു 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. ഈ പുരോഗതിയുടെ നൂറ്റി ഇരുപത്തിയഞ്ചാം പദം കണ്ടെത്തുക.

ഈ ടാസ്ക്കിൽ, പുരോഗതി ഒരു ആവർത്തന രീതിയിലാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്. എന്നാൽ നൂറ്റി ഇരുപത്തിയഞ്ചാം ടേം വരെ എണ്ണുമ്പോൾ... എല്ലാവർക്കും ഇത്തരമൊരു നേട്ടം സാധ്യമല്ല.) എന്നാൽ nth term എന്ന സൂത്രവാക്യം എല്ലാവരുടെയും ശക്തിയിലാണ്!

4. ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നൽകി (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

പുരോഗതിയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ് പദത്തിന്റെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

5. ടാസ്ക് 4-ന്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, പുരോഗതിയുടെ ഏറ്റവും ചെറിയ പോസിറ്റീവ്, ഏറ്റവും വലിയ നെഗറ്റീവ് അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

6. വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെയും പന്ത്രണ്ടാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ഗുണനം -2.5 ആണ്, മൂന്നാമത്തെയും പതിനൊന്നാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമാണ്. ഒരു 14 കണ്ടെത്തുക.

ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള ജോലിയല്ല, അതെ ...) ഇവിടെ "വിരലുകളിൽ" രീതി പ്രവർത്തിക്കില്ല. നിങ്ങൾ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ എഴുതുകയും സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുകയും വേണം.

ഉത്തരങ്ങൾ (അരാജകത്വത്തിൽ):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

സംഭവിച്ചത്? കൊള്ളാം!)

എല്ലാം പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലേ? സംഭവിക്കുന്നു. വഴിയിൽ, ഇൻ അവസാന അസൈൻമെന്റ്ഒരു സൂക്ഷ്മമായ പോയിന്റ് ഉണ്ട്. പ്രശ്നം വായിക്കുമ്പോൾ ശ്രദ്ധ ആവശ്യമാണ്. ഒപ്പം യുക്തിയും.

ഈ പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കെല്ലാം പരിഹാരം സെക്ഷൻ 555-ൽ വിശദമായി ചർച്ചചെയ്യുന്നു. നാലാമത്തേതിനുള്ള ഫാന്റസി ഘടകം, ആറാമത്തെ സൂക്ഷ്മമായ നിമിഷം, nth ടേമിന്റെ ഫോർമുലയ്‌ക്ക് എന്തെങ്കിലും പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതുവായ സമീപനങ്ങൾ - എല്ലാം വരച്ചിരിക്കുന്നു. ഞാൻ ശുപാർശചെയ്യുന്നു.

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും പരിചയപ്പെടാം.

അതെ, അതെ: ഗണിത പുരോഗതി നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കളിപ്പാട്ടമല്ല :)

ശരി, സുഹൃത്തുക്കളേ, നിങ്ങൾ ഈ വാചകം വായിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഗണിത പുരോഗതി എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇപ്പോഴും അറിയില്ലെന്ന് ആന്തരിക തൊപ്പി തെളിവുകൾ എന്നോട് പറയുന്നു, എന്നാൽ നിങ്ങൾ ശരിക്കും (ഇല്ല, ഇതുപോലെ: SOOOOO!) അറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അതിനാൽ, നീണ്ട ആമുഖങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞാൻ നിങ്ങളെ പീഡിപ്പിക്കില്ല, ഉടൻ തന്നെ ബിസിനസ്സിലേക്ക് ഇറങ്ങും.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ. നിരവധി സെറ്റ് സംഖ്യകൾ പരിഗണിക്കുക:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ഈ സെറ്റുകൾക്കെല്ലാം പൊതുവായി എന്താണുള്ളത്? ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ ഒന്നുമില്ല. എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ എന്തെങ്കിലും ഉണ്ട്. അതായത്: ഓരോ അടുത്ത മൂലകവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ഒരേ സംഖ്യയിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

സ്വയം വിധിക്കുക. ആദ്യ സെറ്റ് തുടർച്ചയായ സംഖ്യകൾ മാത്രമാണ്, ഓരോന്നും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ. രണ്ടാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ, അടുത്തുള്ള സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഇതിനകം അഞ്ചിന് തുല്യമാണ്, എന്നാൽ ഈ വ്യത്യാസം ഇപ്പോഴും സ്ഥിരമാണ്. മൂന്നാമത്തെ കേസിൽ, പൊതുവായി വേരുകൾ ഉണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, അതേസമയം $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, അതായത്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഓരോ അടുത്ത ഘടകവും $\sqrt(2)$ കൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുന്നു (ഈ സംഖ്യ യുക്തിരഹിതമാണെന്ന് ഭയപ്പെടരുത്).

അതിനാൽ: അത്തരം എല്ലാ ശ്രേണികളെയും ഗണിത പുരോഗതികൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നമുക്ക് കർശനമായ നിർവചനം നൽകാം:

നിർവ്വചനം. ഓരോ അടുത്തതും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ഒരേ അളവിൽ വ്യത്യസ്തമാകുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയെ ഗണിത പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അക്കങ്ങൾ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന തുകയെ പുരോഗതി വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് മിക്കപ്പോഴും $d$ എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

കുറിപ്പ്: $\left(((a)_(n)) \right)$ എന്നത് പുരോഗതി തന്നെയാണ്, $d$ എന്നത് അതിന്റെ വ്യത്യാസമാണ്.

കൂടാതെ രണ്ട് പ്രധാനപ്പെട്ട പരാമർശങ്ങൾ മാത്രം. ഒന്നാമതായി, പുരോഗതി മാത്രമേ പരിഗണിക്കൂ ചിട്ടയായസംഖ്യകളുടെ ക്രമം: അവ എഴുതിയിരിക്കുന്ന ക്രമത്തിൽ കർശനമായി വായിക്കാൻ അനുവദിച്ചിരിക്കുന്നു - മറ്റൊന്നുമല്ല. നിങ്ങൾക്ക് നമ്പറുകൾ പുനഃക്രമീകരിക്കാനോ സ്വാപ്പ് ചെയ്യാനോ കഴിയില്ല.

രണ്ടാമതായി, ക്രമം തന്നെ പരിമിതമോ അനന്തമോ ആകാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സെറ്റ് (1; 2; 3) വ്യക്തമായും ഒരു പരിമിതമായ ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. എന്നാൽ നിങ്ങൾ ആത്മാവിൽ എന്തെങ്കിലും എഴുതുകയാണെങ്കിൽ (1; 2; 3; 4; ...) - ഇത് ഇതിനകം തന്നെ അനന്തമായ പുരോഗതി. നാലിനു ശേഷമുള്ള ദീർഘവൃത്തം, ഒരുപാട് സംഖ്യകൾ കൂടുതൽ മുന്നോട്ട് പോകുന്നുവെന്ന് സൂചന നൽകുന്നു. അനന്തമായ നിരവധി, ഉദാഹരണത്തിന്. :)

പുരോഗതികൾ വർദ്ധിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു എന്നതും ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. വർദ്ധിച്ചുവരുന്നവ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടു - അതേ സെറ്റ് (1; 2; 3; 4; ...). പുരോഗതി കുറയുന്നതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ശരി ശരി: അവസാന ഉദാഹരണംവളരെ സങ്കീർണ്ണമായി തോന്നിയേക്കാം. എന്നാൽ ബാക്കി, ഞാൻ കരുതുന്നു, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ പുതിയ നിർവചനങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

നിർവ്വചനം. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയെ വിളിക്കുന്നു:

ഓരോ അടുത്ത മൂലകവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു;

കുറയുന്നു, നേരെമറിച്ച്, തുടർന്നുള്ള ഓരോ മൂലകവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ.

കൂടാതെ, "സ്റ്റേഷണറി" സീക്വൻസുകൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയുണ്ട് - അവ ഒരേ ആവർത്തന സംഖ്യ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, (3; 3; 3; ...).

ഒരു ചോദ്യം മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു: വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പുരോഗതിയെ കുറയുന്നതിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വേർതിരിക്കാം? ഭാഗ്യവശാൽ, ഇവിടെ എല്ലാം $d$ എന്ന സംഖ്യയുടെ ചിഹ്നത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത്. പുരോഗതി വ്യത്യാസങ്ങൾ:

$d \gt 0$ ആണെങ്കിൽ, പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുകയാണ്;
$d \lt 0$ ആണെങ്കിൽ, പുരോഗതി വ്യക്തമായി കുറയുന്നു;
അവസാനമായി, $d=0$ - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മുഴുവൻ പുരോഗതിയും ഒരേ സംഖ്യകളുടെ ഒരു നിശ്ചല ശ്രേണിയിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു: (1; 1; 1; 1; ...), മുതലായവ.

മുകളിൽ കുറഞ്ഞുവരുന്ന മൂന്ന് പുരോഗതികൾക്കുള്ള $d$ വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അടുത്തുള്ള രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ എടുത്താൽ മതിയാകും (ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതും രണ്ടാമത്തേതും) വലതുവശത്തുള്ള സംഖ്യയിൽ നിന്ന്, ഇടതുവശത്തുള്ള സംഖ്യയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, മൂന്ന് കേസുകളിലും വ്യത്യാസം ശരിക്കും നെഗറ്റീവ് ആയി മാറി. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ നിർവചനങ്ങൾ കൂടുതലോ കുറവോ കണ്ടെത്തിയതിനാൽ, പുരോഗതികൾ എങ്ങനെ വിവരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്നും അവയ്ക്ക് എന്ത് ഗുണങ്ങളുണ്ടെന്നും കണ്ടെത്താനുള്ള സമയമാണിത്.

പുരോഗതിയുടെയും ആവർത്തന ഫോർമുലയുടെയും അംഗങ്ങൾ

ഞങ്ങളുടെ സീക്വൻസുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ പരസ്പരം മാറ്റാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, അവയെ അക്കമിടാം:

\[\ഇടത്(((എ)_(n)) \right)=\ഇടത്$(((എ)_(1)),\ ((എ)_(2)),((എ)_(3) )),... \right$\]

ഈ സെറ്റിന്റെ വ്യക്തിഗത ഘടകങ്ങളെ പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു സംഖ്യയുടെ സഹായത്തോടെ അവ ഈ രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: ആദ്യ അംഗം, രണ്ടാമത്തെ അംഗം മുതലായവ.

കൂടാതെ, നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്നതുപോലെ, പുരോഗതിയുടെ അയൽ അംഗങ്ങൾ ഫോർമുലയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

ചുരുക്കത്തിൽ, പുരോഗതിയുടെ $n$th ടേം കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ $n-1$th ടേമും $d$ വ്യത്യാസവും അറിയേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരമൊരു ഫോർമുലയെ ആവർത്തനമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിന്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് ഏത് സംഖ്യയും കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, മുമ്പത്തേത് മാത്രം അറിയുക (വാസ്തവത്തിൽ, മുമ്പത്തെ എല്ലാ കാര്യങ്ങളും). ഇത് വളരെ അസൗകര്യമാണ്, അതിനാൽ ഏത് കണക്കുകൂട്ടലും ആദ്യ ടേമിലേക്കും വ്യത്യാസത്തിലേക്കും കുറയ്ക്കുന്ന കൂടുതൽ തന്ത്രപ്രധാനമായ ഒരു ഫോർമുലയുണ്ട്:

\[((എ)_(n))=((എ)_(1))+\ഇടത്(n-1 \right)d\]

ഈ സൂത്രവാക്യം നിങ്ങൾ മുമ്പ് കണ്ടിട്ടുണ്ടാകാം. എല്ലാത്തരം റഫറൻസ് പുസ്തകങ്ങളിലും റെഷെബ്നിക്കുകളിലും അത് നൽകാൻ അവർ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു. ഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വിവേകപൂർണ്ണമായ ഏതൊരു പാഠപുസ്തകത്തിലും, ഇത് ആദ്യത്തേതിൽ ഒന്നാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, കുറച്ച് പരിശീലിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 1. $(a)_(1))=8,d=-5$ ആണെങ്കിൽ $\left((((a)_(n)) \right)$ എന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ മൂന്ന് നിബന്ധനകൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം. അതിനാൽ, ആദ്യ പദം $((a)_(1))=8$ ഉം പുരോഗതി വ്യത്യാസം $d=-5$ ഉം ഞങ്ങൾക്കറിയാം. ഇപ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുകയും $n=1$, $n=2$, $n=3$ എന്നിവയ്ക്ക് പകരം വയ്ക്കുകയും ചെയ്യാം:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\ഇടത്(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\ഇടത്(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\ഇടത്(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഉത്തരം: (8; 3; -2)

അത്രയേയുള്ളൂ! നമ്മുടെ പുരോഗതി കുറയുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക.

തീർച്ചയായും, $n=1$ പകരം വയ്ക്കാൻ കഴിയുമായിരുന്നില്ല - ആദ്യ പദം ഞങ്ങൾക്കറിയാം. എന്നിരുന്നാലും, യൂണിറ്റ് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, ആദ്യ ടേമിൽ പോലും ഞങ്ങളുടെ ഫോർമുല പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കി. മറ്റ് സന്ദർഭങ്ങളിൽ, എല്ലാം നിസ്സാരമായ ഗണിതത്തിലേക്ക് വന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 2. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഏഴാമത്തെ പദവും പതിനേഴാം പദവും −50 ഉം ആണെങ്കിൽ അതിന്റെ ആദ്യ മൂന്ന് പദങ്ങൾ എഴുതുക.

പരിഹാരം. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ ഞങ്ങൾ സാധാരണ പദങ്ങളിൽ എഴുതുന്നു:

\[((എ)_(7))=-40;\ക്വാഡ് ((എ)_(17))=-50.\]

\[\ഇടത്\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \ അവസാനം (വിന്യസിക്കുക) \വലത്.\]

\[\ഇടത്\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \വലത്.\]

ഈ ആവശ്യകതകൾ ഒരേസമയം പാലിക്കേണ്ടതിനാൽ ഞാൻ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അടയാളം ഇട്ടു. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ (ഇത് ചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവകാശമുണ്ട്, കാരണം ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു സിസ്റ്റം ഉണ്ട്), ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ലഭിക്കും:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((എ)_(1))+16d-((എ)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അത് പോലെ, ഞങ്ങൾ പുരോഗതി വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തി! സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളിൽ കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യയ്ക്ക് പകരമായി ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യത്തേതിൽ:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((എ)_(1))=-40+6=-34. \\ \ അവസാനം(മാട്രിക്സ്)\]

ഇപ്പോൾ, ആദ്യ പദവും വ്യത്യാസവും അറിയുന്നത്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അവശേഷിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((എ)_(3))=((എ)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

തയ്യാറാണ്! പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചു.

ഉത്തരം: (-34; -35; -36)

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ പുരോഗതിയുടെ കൗതുകകരമായ ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി ശ്രദ്ധിക്കുക: $n$th, $m$th എന്നീ നിബന്ധനകൾ എടുത്ത് അവ പരസ്പരം കുറച്ചാൽ, $n-m$ എന്ന സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം നമുക്ക് ലഭിക്കും:

\[((എ)_(n))-((എ)_(എം))=d\cdot \left(n-m \right)\]

ലളിതം എന്നാൽ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ സ്വത്ത്, നിങ്ങൾ തീർച്ചയായും അറിഞ്ഞിരിക്കണം - അതിന്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് പുരോഗതിയിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കാൻ കഴിയും. ഇതിന്റെ ഒരു പ്രധാന ഉദാഹരണം ഇതാ:

ടാസ്ക് നമ്പർ 3. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അഞ്ചാമത്തെ പദം 8.4 ആണ്, അതിന്റെ പത്താം പദം 14.4 ആണ്. ഈ പുരോഗതിയുടെ പതിനഞ്ചാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, കൂടാതെ $((a)_(15))$ കണ്ടെത്തേണ്ടതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((എ)_(10))-((എ)_(5))=5ഡി. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

എന്നാൽ വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, അങ്ങനെ $5d=6$, എവിടെ നിന്നാണ് നമുക്ക്:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((എ)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഉത്തരം: 20.4

അത്രയേയുള്ളൂ! സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനവും ഞങ്ങൾ രചിക്കുകയും ആദ്യത്തെ ടേമും വ്യത്യാസവും കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടതില്ല - എല്ലാം വെറും രണ്ട് വരികളിൽ തീരുമാനിച്ചു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നം പരിഗണിക്കാം - പുരോഗതിയുടെ നെഗറ്റീവ്, പോസിറ്റീവ് അംഗങ്ങൾക്കായുള്ള തിരയൽ. പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ആദ്യ പദം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് പോസിറ്റീവ് പദങ്ങൾ അതിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുമെന്നത് രഹസ്യമല്ല. തിരിച്ചും: കുറയുന്ന പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ താമസിയാതെ അല്ലെങ്കിൽ പിന്നീട് നെഗറ്റീവ് ആയി മാറും.

അതേസമയം, മൂലകങ്ങളിലൂടെ ക്രമാനുഗതമായി അടുക്കുന്ന ഈ നിമിഷം “നെറ്റിയിൽ” കണ്ടെത്തുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. പലപ്പോഴും, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അറിയാതെ, കണക്കുകൂട്ടലുകൾക്ക് നിരവധി ഷീറ്റുകൾ എടുക്കുന്ന തരത്തിലാണ് പ്രശ്നങ്ങൾ രൂപകൽപ്പന ചെയ്തിരിക്കുന്നത് - ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ ഉറങ്ങും. അതിനാൽ, ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ വേഗത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ശ്രമിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 4. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിൽ എത്ര നെഗറ്റീവ് പദങ്ങൾ -38.5; -35.8; ...?

പരിഹാരം. അതിനാൽ, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, അതിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഉടനടി വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുന്നു:

വ്യത്യാസം പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നു. ആദ്യ പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ നമ്മൾ പോസിറ്റീവ് നമ്പറുകളിൽ ഇടറിവീഴും. ഇത് എപ്പോൾ സംഭവിക്കും എന്നതാണ് ഏക ചോദ്യം.

നമുക്ക് കണ്ടെത്താൻ ശ്രമിക്കാം: നിബന്ധനകളുടെ നെഗറ്റീവ് എത്രത്തോളം (അതായത്, ഏത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യ $n$ വരെ) സംരക്ഷിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & (a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ വലത്. \\ & -385+27\cdot \ഇടത്(n-1 \വലത്) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അവസാന വരിയിൽ വ്യക്തത ആവശ്യമാണ്. അതിനാൽ $n \lt 15\frac(7)(27)$ എന്ന് നമുക്കറിയാം. മറുവശത്ത്, സംഖ്യയുടെ പൂർണ്ണസംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമാകൂ (കൂടുതൽ: $n\in \mathbb(N)$), അതിനാൽ അനുവദനീയമായ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ കൃത്യമായി $n=15$ ആണ്, ഒരു സാഹചര്യത്തിലും 16 ആണ്.

ടാസ്ക് നമ്പർ 5. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. ഈ പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പോസിറ്റീവ് പദത്തിന്റെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക.

ഇത് മുമ്പത്തെ പ്രശ്‌നത്തിന്റെ അതേ പ്രശ്‌നമായിരിക്കും, പക്ഷേ ഞങ്ങൾക്ക് $((a)_(1))$ അറിയില്ല. എന്നാൽ അയൽ പദങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു: $((a)_(5))$, $((a)_(6))$, അതിനാൽ നമുക്ക് പുരോഗതി വ്യത്യാസം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

കൂടാതെ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ആദ്യത്തേതിന്റെയും വ്യത്യാസത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ അഞ്ചാമത്തെ പദം പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((എ)_(5))=((എ)_(1))+4d; \\ & -150=((എ)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((എ)_(1))=-150-12=-162. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ മുമ്പത്തെ പ്രശ്നവുമായി സാമ്യം പുലർത്തുന്നു. ഞങ്ങളുടെ ക്രമത്തിൽ ഏത് ഘട്ടത്തിലാണ് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ദൃശ്യമാകുന്നത് എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഈ അസമത്വത്തിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പൂർണ്ണസംഖ്യ പരിഹാരം 56 എന്ന സംഖ്യയാണ്.

അവസാന ടാസ്ക്കിൽ എല്ലാം കർശനമായ അസമത്വത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ $n=55$ എന്ന ഓപ്ഷൻ ഞങ്ങൾക്ക് അനുയോജ്യമാകില്ല.

ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായവയിലേക്ക് പോകാം. എന്നാൽ ആദ്യം, ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ മറ്റൊരു സ്വത്ത് പഠിക്കാം, അത് ഭാവിയിൽ ധാരാളം സമയവും അസമമായ സെല്ലുകളും ലാഭിക്കും. :)

ഗണിത ശരാശരിയും തുല്യ ഇൻഡന്റുകളും

വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ നിരവധി നിബന്ധനകൾ പരിഗണിക്കുക $\left(((a)_(n)) \right)$. അവയെ ഒരു നമ്പർ ലൈനിൽ അടയാളപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിക്കാം:

നമ്പർ ലൈനിൽ ഗണിത പുരോഗതി അംഗങ്ങൾ

$((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, കൂടാതെ ഏതെങ്കിലും $((a)_(1)) , അനിയന്ത്രിതമായ അംഗങ്ങളെ ഞാൻ പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിച്ചു. \ ((എ)_(2)),\ ((എ)_(3))$ തുടങ്ങിയവ. കാരണം, ഞാൻ ഇപ്പോൾ നിങ്ങളോട് പറയുന്ന നിയമം, ഏത് "സെഗ്മെന്റുകൾക്കും" സമാനമാണ് പ്രവർത്തിക്കുന്നത്.

കൂടാതെ ഭരണം വളരെ ലളിതമാണ്. നമുക്ക് ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം ഓർമ്മിക്കുകയും അടയാളപ്പെടുത്തിയ എല്ലാ അംഗങ്ങൾക്കും എഴുതുകയും ചെയ്യാം:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((എ)_(n-1))=((എ)_(n-2))+d; \\ & ((എ)_(n))=((എ)_(n-1))+d; \\ & ((എ)_(n+1))=((എ)_(n))+d; \\ & ((എ)_(n+2))=((എ)_(n+1))+d; \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

എന്നിരുന്നാലും, ഈ തുല്യതകൾ വ്യത്യസ്തമായി മാറ്റിയെഴുതാം:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((എ)_(n-2))=((എ)_(n))-2d; \\ & ((എ)_(n-3))=((എ)_(n))-3d; \\ & ((എ)_(n+1))=((എ)_(n))+d; \\ & ((എ)_(n+2))=((എ)_(n))+2d; \\ & ((എ)_(n+3))=((എ)_(n))+3d; \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ശരി, അപ്പോൾ എന്താണ്? എന്നാൽ $((a)_(n-1))$, $((a)_(n+1))$ എന്നീ പദങ്ങൾ $((a)_(n)) $ എന്നതിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ് എന്നതാണ് വസ്തുത. . ഈ ദൂരം $d$ ന് തുല്യമാണ്. $((a)_(n-2))$, $((a)_(n+2))$ എന്നീ നിബന്ധനകളെക്കുറിച്ചും ഇതുതന്നെ പറയാം - അവയും $((a)_(n) എന്നതിൽ നിന്ന് നീക്കം ചെയ്‌തിരിക്കുന്നു. )$ $2d$ ന് തുല്യമായ ദൂരത്തിൽ. നിങ്ങൾക്ക് അനിശ്ചിതമായി തുടരാം, പക്ഷേ ചിത്രം അർത്ഥം നന്നായി ചിത്രീകരിക്കുന്നു

പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് ഒരേ അകലത്തിലാണ് കിടക്കുന്നത്

ഇത് ഞങ്ങൾക്ക് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? അയൽ സംഖ്യകൾ അറിയാമെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് $((a)_(n))$ കണ്ടെത്താനാകുമെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:

\[((എ)_(n))=\frac(((എ)_(n-1))+((എ)_(n+1)))(2)\]

ഞങ്ങൾ ഗംഭീരമായ ഒരു പ്രസ്താവന നടത്തി: ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും അയൽ അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്! മാത്രമല്ല, നമുക്ക് ഞങ്ങളുടെ $((a)_(n))$-ൽ നിന്ന് ഇടത്തോട്ടും വലത്തോട്ടും വ്യതിചലിക്കാനാകും, ഒരു ചുവടിലൂടെയല്ല, $k$ ഘട്ടങ്ങളിലൂടെ - എന്നിട്ടും ഫോർമുല ശരിയായിരിക്കും:

\[((എ)_(n))=\frac(((എ)_(n-k))+((എ)_(n+k)))(2)\]

ആ. $((a)_(100))$, $((a)_(200))$ എന്നിവ അറിയാമെങ്കിൽ ചില $((a)_(150))$ നമുക്ക് എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താൻ കഴിയും, കാരണം $((a)_ (150))=\frac(((എ)_(100))+((എ)_(200)))(2)$. ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ, ഈ വസ്തുത നമുക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായ ഒന്നും നൽകുന്നില്ലെന്ന് തോന്നിയേക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗികമായി, ഗണിത ശരാശരിയുടെ ഉപയോഗത്തിനായി പല ജോലികളും പ്രത്യേകമായി "മൂർച്ച കൂട്ടുന്നു". ഒന്നു നോക്കൂ:

ടാസ്ക് നമ്പർ 6. $x$ ന്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക, അതായത് $-6((x)^(2))$, $x+1$, $14+4((x)^(2))$ എന്നിവ തുടർച്ചയായി അംഗങ്ങളാണ് ഒരു ഗണിത പുരോഗതി (നിർദ്ദിഷ്ട ക്രമത്തിൽ).

പരിഹാരം. ഈ സംഖ്യകൾ ഒരു പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങളായതിനാൽ, ഗണിത ശരാശരി അവസ്ഥ അവർക്ക് തൃപ്തികരമാണ്: കേന്ദ്ര മൂലകം $x+1$ അയൽ ഘടകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & (((x)^(2))+x-6=0. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അത് ക്ലാസിക് ആയി മാറി ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അതിന്റെ വേരുകൾ: $x=2$, $x=-3$ എന്നിവയാണ് ഉത്തരങ്ങൾ.

ഉത്തരം: -3; 2.

ടാസ്ക് നമ്പർ 7. $$ ന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക, അതായത് $-1;4-3;(()^(2))+1$ അക്കങ്ങൾ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു (ആ ക്രമത്തിൽ).

പരിഹാരം. വീണ്ടും, അയൽ പദങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ മധ്യ പദം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\വലത്.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & (((x)^(2))-7x+6=0. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

മറ്റൊരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. വീണ്ടും രണ്ട് വേരുകൾ: $x=6$, $x=1$.

ഉത്തരം: 1; 6.

ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ നിങ്ങൾക്ക് ചില ക്രൂരമായ സംഖ്യകൾ ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ കണ്ടെത്തിയ ഉത്തരങ്ങളുടെ കൃത്യതയെക്കുറിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണമായി ഉറപ്പില്ലെങ്കിൽ, പരിശോധിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു അത്ഭുതകരമായ ട്രിക്ക് ഉണ്ട്: ഞങ്ങൾ പ്രശ്നം ശരിയായി പരിഹരിച്ചോ?

പ്രശ്നം 6-ൽ നമുക്ക് ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിച്ചുവെന്ന് പറയാം -3, 2. ഈ ഉത്തരങ്ങൾ ശരിയാണോ എന്ന് നമുക്ക് എങ്ങനെ പരിശോധിക്കാം? നമുക്ക് അവയെ യഥാർത്ഥ അവസ്ഥയിലേക്ക് പ്ലഗ് ചെയ്ത് എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് നോക്കാം. ഞങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് സംഖ്യകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ ($-6(()^(2))$, $+1$, $14+4(()^(2))$), അത് ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കും. പകരക്കാരൻ $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഞങ്ങൾക്ക് അക്കങ്ങൾ ലഭിച്ചു -54; -2; 52 കൊണ്ട് വ്യത്യസ്‌തമായ 50 എന്നത് നിസ്സംശയമായും ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. $x=2$ എന്നതിനും ഇതുതന്നെ സംഭവിക്കുന്നു:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

വീണ്ടും ഒരു പുരോഗതി, പക്ഷേ 27 വ്യത്യാസത്തിൽ. അങ്ങനെ, പ്രശ്നം ശരിയായി പരിഹരിച്ചു. ആഗ്രഹിക്കുന്നവർക്ക് രണ്ടാമത്തെ ജോലി സ്വയം പരിശോധിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ ഞാൻ ഉടൻ തന്നെ പറയും: അവിടെയും എല്ലാം ശരിയാണ്.

പൊതുവേ, അവസാന ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ മറ്റൊന്നിൽ ഇടറി രസകരമായ വസ്തുത, ഇതും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

മൂന്ന് സംഖ്യകൾ രണ്ടാമത്തേത് ആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും ശരാശരിയാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകൾ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു.

ഭാവിയിൽ, ഈ പ്രസ്താവന മനസ്സിലാക്കുന്നത്, പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ആവശ്യമായ പുരോഗതികൾ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ "നിർമ്മാണം" ചെയ്യാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ അത്തരമൊരു "നിർമ്മാണത്തിൽ" ഏർപ്പെടുന്നതിന് മുമ്പ്, ഇതിനകം പരിഗണിച്ചതിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്ന ഒരു വസ്തുത കൂടി നാം ശ്രദ്ധിക്കണം.

ഘടകങ്ങളുടെ ഗ്രൂപ്പിംഗും ആകെത്തുക

നമുക്ക് വീണ്ടും നമ്പർ ലൈനിലേക്ക് മടങ്ങാം. പുരോഗതിയുടെ നിരവധി അംഗങ്ങളെ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, അവയ്ക്കിടയിൽ, ഒരുപക്ഷേ. മറ്റ് നിരവധി അംഗങ്ങൾക്ക് വിലയുണ്ട്:

നമ്പർ ലൈനിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന 6 ഘടകങ്ങൾ

"ഇടത് വാൽ" $((a)_(n))$, $d$ എന്നിവയിലും "വലത് വാൽ" $((a)_(k))$, $ എന്നിവയിലും പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. d$. ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((എ)_(n+2))=((എ)_(n))+2d; \\ & ((എ)_(കെ-1))=((എ)_(കെ))-ഡി; \\ & ((എ)_(കെ-2))=((എ)_(കെ))-2ഡി. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ഇനിപ്പറയുന്ന തുകകൾ തുല്യമാണെന്ന് ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= എസ്; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= എസ്. \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, പുരോഗമനത്തിന്റെ രണ്ട് ഘടകങ്ങളെ ഒരു തുടക്കമായി ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അവ മൊത്തത്തിൽ ചില $S$ ന് തുല്യമാണ്, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഈ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് വിപരീത ദിശകളിലേക്ക് ചുവടുവെക്കാൻ തുടങ്ങുന്നു (പരസ്പരം അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും നീങ്ങാൻ), പിന്നെ നാം ഇടറിപ്പോകുന്ന മൂലകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും തുല്യമായിരിക്കും$S$. ഇത് ഗ്രാഫിക്കായി മികച്ച രീതിയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

ഒരേ ഇൻഡന്റുകൾ തുല്യ തുകകൾ നൽകുന്നു

മനസ്സിലാക്കുന്നു ഈ വസ്തുതഅടിസ്ഥാനപരമായി കൂടുതൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും ഉയർന്ന തലംമുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്തതിനേക്കാൾ സങ്കീർണ്ണത. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇവ:

ടാസ്ക് നമ്പർ 8. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം നിർണ്ണയിക്കുക, അതിൽ ആദ്യ പദം 66 ആണ്, രണ്ടാമത്തെയും പന്ത്രണ്ടാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ഗുണനം സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറുതാണ്.

പരിഹാരം. നമുക്കറിയാവുന്നതെല്ലാം എഴുതാം:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((എ)_(2))\cdot ((എ)_(12))=\മിനിറ്റ് . \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അതിനാൽ, $d$ എന്ന പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾക്കറിയില്ല. യഥാർത്ഥത്തിൽ, $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ എന്ന ഉൽപ്പന്നം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാൻ കഴിയുന്നതിനാൽ, മുഴുവൻ പരിഹാരവും വ്യത്യാസത്തിന് ചുറ്റും നിർമ്മിക്കപ്പെടും:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((എ)_(12))=((എ)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ടാങ്കിലുള്ളവർക്ക്: ഞാൻ രണ്ടാമത്തെ ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് കോമൺ ഫാക്ടർ 11 എടുത്തിട്ടുണ്ട്. അതിനാൽ, $d$ എന്ന വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ആവശ്യമുള്ള ഉൽപ്പന്നം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷനാണ്. അതിനാൽ, ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - അതിന്റെ ഗ്രാഫ് ശാഖകളുള്ള ഒരു പരവലയമായിരിക്കും, കാരണം ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്നാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11((( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഉയർന്ന പദത്തിലെ ഗുണകം 11 ആണ് - ഇതാണ് പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ ശരിക്കും ശാഖകളുള്ള ഒരു പരവലയവുമായി ഇടപെടുകയാണ്:

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് - പരവലയം
ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക: ഈ പരവലയം അതിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം അബ്‌സിസ്സ $((d)_(0))$ ഉപയോഗിച്ച് അതിന്റെ ശീർഷത്തിൽ എടുക്കുന്നു. തീർച്ചയായും, സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്കീം അനുസരിച്ച് നമുക്ക് ഈ abscissa കണക്കാക്കാം (ഒരു ഫോർമുല $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ ഉണ്ട്), എന്നാൽ ഇത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമായിരിക്കും. ആവശ്യമുള്ള ശീർഷകം പരാബോളയുടെ അച്ചുതണ്ട സമമിതിയിലാണ് സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത്, അതിനാൽ $((d)_(0))$ എന്ന പോയിന്റ് $f\left(d \right)=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലാണ്.

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അതുകൊണ്ടാണ് ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാൻ ഞാൻ തിടുക്കം കാട്ടിയില്ല: യഥാർത്ഥ രൂപത്തിൽ, വേരുകൾ കണ്ടെത്താൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. അതിനാൽ, abscissa −66, −6 എന്നീ സംഖ്യകളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്:

\[((ഡി)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

കണ്ടെത്തിയ നമ്പർ എന്താണ് നമുക്ക് നൽകുന്നത്? അത് ഉപയോഗിച്ച്, ആവശ്യമായ ഉൽപ്പന്നം എടുക്കുന്നു ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം(വഴി, ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കിയില്ല $((y)_(\min ))$ - ഞങ്ങൾ ഇത് ചെയ്യേണ്ടതില്ല). അതേ സമയം, ഈ സംഖ്യ പ്രാരംഭ പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസമാണ്, അതായത്. ഞങ്ങൾ ഉത്തരം കണ്ടെത്തി. :)

ഉത്തരം: -36

ടാസ്ക് നമ്പർ 9. $-\frac(1)(2)$, $-\frac(1)(6)$ എന്നീ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ മൂന്ന് സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക, അങ്ങനെ തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾക്കൊപ്പം അവ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു.

പരിഹാരം. വാസ്തവത്തിൽ, നമ്മൾ അഞ്ച് സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉണ്ടാക്കേണ്ടതുണ്ട്, ആദ്യത്തേതും ഒപ്പം അവസാന നമ്പർഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്നത്. $x$, $y$, $z$ എന്നീ വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നഷ്ടപ്പെട്ട സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുക:

\[\ഇടത്(((എ)_(n)) \right)=\ഇടത്\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

$y$ എന്ന സംഖ്യ നമ്മുടെ ശ്രേണിയുടെ "മധ്യഭാഗം" ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക - ഇത് $x$, $z$ എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും $-\frac(1)(2)$, $-\frac എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്നും തുല്യ അകലത്തിലാണ്. (1)( 6)$. $x$, $z$ എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്നാണെങ്കിൽ നമ്മൾ ഉൾപ്പെടും ഈ നിമിഷംഞങ്ങൾക്ക് $y$ ലഭിക്കില്ല, അപ്പോൾ പുരോഗതിയുടെ അവസാനത്തിൽ സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ്. ഗണിത ശരാശരി ഓർക്കുക:

ഇപ്പോൾ, $y$ അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, ശേഷിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും. ഇപ്പോൾ കണ്ടെത്തിയ $-\frac(1)(2)$, $y=-\frac(1)(3)$ എന്നിവയ്ക്കിടയിലാണ് $x$ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതുകൊണ്ടാണ്

സമാനമായി വാദിച്ചുകൊണ്ട്, ശേഷിക്കുന്ന സംഖ്യ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

തയ്യാറാണ്! ഞങ്ങൾ മൂന്ന് നമ്പറുകളും കണ്ടെത്തി. യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കിടയിൽ അവ തിരുകേണ്ട ക്രമത്തിൽ ഉത്തരത്തിൽ എഴുതാം.

ഉത്തരം: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

ടാസ്ക് നമ്പർ 10. 2 നും 42 നും ഇടയിൽ, ചേർത്ത സംഖ്യകളുടെ ആദ്യത്തേയും രണ്ടാമത്തേയും അവസാനത്തേയും തുക 56 ആണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾക്കൊപ്പം ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്ന നിരവധി സംഖ്യകൾ ചേർക്കുക.

പരിഹാരം. അതിലും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു ജോലി, എന്നിരുന്നാലും, മുമ്പത്തെ അതേ രീതിയിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു - ഗണിത ശരാശരിയിലൂടെ. എത്ര അക്കങ്ങൾ ചേർക്കണമെന്ന് കൃത്യമായി അറിയില്ല എന്നതാണ് പ്രശ്നം. അതിനാൽ, വ്യക്തതയ്ക്കായി, തിരുകിയതിന് ശേഷം കൃത്യമായി $n$ സംഖ്യകൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, അവയിൽ ആദ്യത്തേത് 2 ഉം അവസാനത്തേത് 42 ഉം ആണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആവശ്യമുള്ള ഗണിത പുരോഗതിയെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കാം:

\[\ഇടത്(((എ)_(n)) \right)=\ഇടത്$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \വലത്$\]

\[((എ)_(2))+((എ)_(3))+((എ)_(n-1))=56\]

എന്നിരുന്നാലും, $((a)_(2))$, $((a)_(n-1))$ എന്നീ സംഖ്യകൾ അരികിൽ നിൽക്കുന്ന 2, 42 എന്നീ സംഖ്യകളിൽ നിന്ന് പരസ്പരം ഒരു പടി കൂടി ലഭിച്ചുവെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. , അതായത്. ക്രമത്തിന്റെ മധ്യഭാഗത്തേക്ക്. ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത്

\[((എ)_(2))+((എ)_(n-1))=2+42=44\]

എന്നാൽ മുകളിലുള്ള പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ മാറ്റിയെഴുതാം:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \ഇടത്(((എ)_(2))+((എ)_(n-1)) \വലത്)+((എ)_(3))=56; \\ & 44+((എ)_(3))=56; \\ & ((എ)_(3))=56-44=12. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

$((a)_(3))$, $((a)_(1))$ എന്നിവ അറിയുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് പുരോഗതി വ്യത്യാസം എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((എ)_(3))-((എ)_(1))=\ഇടത്(3-1 \വലത്)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

ശേഷിക്കുന്ന അംഗങ്ങളെ കണ്ടെത്താൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((എ)_(2))=2+5=7; \\ & ((എ)_(3))=12; \\ & ((എ)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((എ)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((എ)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((എ)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((എ)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((എ)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \അവസാനം(വിന്യസിക്കുക)\]

അങ്ങനെ, ഇതിനകം 9-ആം ഘട്ടത്തിൽ നമ്മൾ ക്രമത്തിന്റെ ഇടത് അറ്റത്ത് വരും - നമ്പർ 42. മൊത്തത്തിൽ, 7 അക്കങ്ങൾ മാത്രമേ ചേർക്കേണ്ടതുള്ളൂ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

ഉത്തരം: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

പുരോഗതികളുള്ള ടാസ്ക്കുകൾ ടെക്സ്റ്റ് ചെയ്യുക

ഉപസംഹാരമായി, താരതമ്യേന ലളിതമായ രണ്ട് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഗണിക്കാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ശരി, ലളിതമാണ്: സ്കൂളിൽ ഗണിതശാസ്ത്രം പഠിക്കുന്ന മിക്ക വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും മുകളിൽ എഴുതിയത് വായിക്കാത്തവർക്കും, ഈ ജോലികൾ ഒരു ആംഗ്യമായി തോന്നിയേക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ OGE, USE എന്നിവയിൽ കാണുന്നത് അത്തരം ജോലികളാണ്, അതിനാൽ അവയുമായി നിങ്ങൾ സ്വയം പരിചയപ്പെടാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ടാസ്ക് നമ്പർ 11. ജനുവരിയിൽ ടീം 62 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു, തുടർന്നുള്ള ഓരോ മാസത്തിലും അവർ മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ 14 കൂടുതൽ ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു. നവംബറിൽ ബ്രിഗേഡ് എത്ര ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു?

പരിഹാരം. വ്യക്തമായും, മാസത്തിൽ വരച്ച ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിക്കുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയായിരിക്കും. ഒപ്പം:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((എ)_(n))=62+\ഇടത്(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

നവംബർ വർഷത്തിലെ 11-ാം മാസമാണ്, അതിനാൽ നമുക്ക് $((a)_(11))$ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്:

\[((എ)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

അതിനാൽ, നവംബറിൽ 202 ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിക്കും.

ടാസ്ക് നമ്പർ 12. ബുക്ക്‌ബൈൻഡിംഗ് വർക്ക്‌ഷോപ്പ് ജനുവരിയിൽ 216 പുസ്തകങ്ങൾ ബൈൻഡ് ചെയ്തു, ഓരോ മാസവും മുൻ മാസത്തേക്കാൾ 4 പുസ്തകങ്ങൾ കൂടി ബൈൻഡ് ചെയ്തു. ഡിസംബറിൽ ശിൽപശാല എത്ര പുസ്തകങ്ങൾ ബൈൻഡ് ചെയ്തു?

പരിഹാരം. എല്ലാം ഒന്നുതന്നെ:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\ഇടത്(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ഡിസംബർ വർഷത്തിലെ അവസാനത്തെ, 12-ാമത്തെ മാസമാണ്, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ $((a)_(12))$ തിരയുകയാണ്:

\[((എ)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ഇതാണ് ഉത്തരം - ഡിസംബറിൽ 260 പുസ്തകങ്ങൾ ബൈൻഡ് ചെയ്യും.

ശരി, നിങ്ങൾ ഇത് വരെ വായിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങളെ അഭിനന്ദിക്കാൻ ഞാൻ തിടുക്കം കൂട്ടുന്നു: ഗണിത പുരോഗതിയിൽ നിങ്ങൾ "യുവ യുദ്ധ കോഴ്‌സ്" വിജയകരമായി പൂർത്തിയാക്കി. നിങ്ങൾക്ക് സുരക്ഷിതമായി പോകാം അടുത്ത പാഠം, അവിടെ ഞങ്ങൾ പ്രോഗ്രഷൻ സം ഫോർമുലയും അതിൽ നിന്നുള്ള പ്രധാനപ്പെട്ടതും വളരെ ഉപയോഗപ്രദവുമായ അനന്തരഫലങ്ങളും പഠിക്കും.

ഓരോ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും ആണെങ്കിൽ എൻ ഒരു യഥാർത്ഥ സംഖ്യയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുത്തുക ഒരു എൻ , അപ്പോൾ അവർ പറഞ്ഞു കൊടുത്തു എന്ന് സംഖ്യാ ക്രമം :

എ 1 , എ 2 , എ 3 , . . . , ഒരു എൻ , . . . .

അതിനാൽ, ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം ഒരു സ്വാഭാവിക വാദത്തിന്റെ പ്രവർത്തനമാണ്.

നമ്പർ എ 1 വിളിച്ചു ശ്രേണിയിലെ ആദ്യ അംഗം , നമ്പർ എ 2 — ക്രമത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ അംഗം , നമ്പർ എ 3 — മൂന്നാമത് ഇത്യാദി. നമ്പർ ഒരു എൻ വിളിച്ചു ക്രമത്തിലെ nth അംഗം , കൂടാതെ സ്വാഭാവിക സംഖ്യയും എൻ — അവന്റെ നമ്പർ .

രണ്ട് അയൽക്കാരിൽ നിന്ന് ഒരു എൻ ഒപ്പം ഒരു എൻ +1 അംഗ ക്രമങ്ങൾ ഒരു എൻ +1 വിളിച്ചു തുടർന്നുള്ള (നേരെ ഒരു എൻ ), എ ഒരു എൻ — മുമ്പത്തെ (നേരെ ഒരു എൻ +1 ).

ഒരു സീക്വൻസ് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഏത് നമ്പറിലും ഒരു സീക്വൻസ് അംഗത്തെ കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു രീതി നിങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കണം.

കൂടെയാണ് പലപ്പോഴും ക്രമം നൽകിയിരിക്കുന്നത് nth term ഫോർമുലകൾ , അതായത്, ഒരു സീക്വൻസ് അംഗത്തെ അതിന്റെ നമ്പർ അനുസരിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല.

ഉദാഹരണത്തിന്,

പോസിറ്റീവ് ഒറ്റ സംഖ്യകളുടെ ക്രമം ഫോർമുല വഴി നൽകാം

ഒരു എൻ= 2n- 1,

ആൾട്ടർനേറ്റ് ചെയ്യുന്നതിന്റെ ക്രമവും 1 ഒപ്പം -1 - ഫോർമുല

ബിഎൻ = (-1)എൻ +1 . ◄

ക്രമം നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും ആവർത്തിച്ചുള്ള ഫോർമുല, അതായത്, ചിലതിൽ തുടങ്ങി, മുമ്പത്തെ (ഒന്നോ അതിലധികമോ) അംഗങ്ങളിലൂടെ, ക്രമത്തിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സൂത്രവാക്യം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

എങ്കിൽ എ 1 = 1 , എ ഒരു എൻ +1 = ഒരു എൻ + 5

എ 1 = 1,

എ 2 = എ 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

എ 3 = എ 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

എ 4 = എ 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

എ 5 = എ 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

എങ്കിൽ a 1= 1, ഒരു 2 = 1, ഒരു എൻ +2 = ഒരു എൻ + ഒരു എൻ +1 , സംഖ്യാ ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ ഏഴ് അംഗങ്ങളെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു:

a 1 = 1,

ഒരു 2 = 1,

ഒരു 3 = a 1 + ഒരു 2 = 1 + 1 = 2,

ഒരു 4 = ഒരു 2 + ഒരു 3 = 1 + 2 = 3,

ഒരു 5 = ഒരു 3 + ഒരു 4 = 2 + 3 = 5,

എ 6 = എ 4 + എ 5 = 3 + 5 = 8,

എ 7 = എ 5 + എ 6 = 5 + 8 = 13. ◄

സീക്വൻസുകൾ ആകാം ഫൈനൽ ഒപ്പം അനന്തമായ .

ക്രമം വിളിക്കുന്നു ആത്യന്തികമായ അതിന് പരിമിതമായ അംഗങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ. ക്രമം വിളിക്കുന്നു അനന്തമായ അതിന് അനന്തമായ അംഗങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

രണ്ട് അക്ക സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ക്രമം:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

ഫൈനൽ.

പ്രൈം നമ്പർ സീക്വൻസ്:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

അനന്തമായ. ◄

ക്രമം വിളിക്കുന്നു വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന , അതിന്റെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ.

ക്രമം വിളിക്കുന്നു ക്ഷയിക്കുന്നു , അതിന്റെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

2, 4, 6, 8, . . . , 2എൻ, . . . ഒരു ആരോഹണ ക്രമമാണ്;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /എൻ, . . . ഒരു അവരോഹണ ക്രമമാണ്. ◄

സംഖ്യ കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് മൂലകങ്ങൾ കുറയാത്തതോ അല്ലെങ്കിൽ, വർദ്ധിക്കാത്തതോ ആയ ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ ക്രമം .

മോണോടോണിക് സീക്വൻസുകൾ, പ്രത്യേകിച്ച്, സീക്വൻസുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും സീക്വൻസുകൾ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഗണിത പുരോഗതി

ഗണിത പുരോഗതി ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു, ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിച്ച്, മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യ ചേർത്തിരിക്കുന്നു.

എ 1 , എ 2 , എ 3 , . . . , ഒരു എൻ, . . .

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ് എൻ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു:

ഒരു എൻ +1 = ഒരു എൻ + ഡി,

എവിടെ ഡി - കുറച്ച് നമ്പർ.

അതിനാൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അടുത്തതും മുമ്പത്തെ അംഗങ്ങളും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എല്ലായ്പ്പോഴും സ്ഥിരമാണ്:

ഒരു 2 - എ 1 = ഒരു 3 - എ 2 = . . . = ഒരു എൻ +1 - ഒരു എൻ = ഡി.

നമ്പർ ഡി വിളിച്ചു ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ ആദ്യ പദവും വ്യത്യാസവും വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതിയാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്,

എങ്കിൽ എ 1 = 3, ഡി = 4 , തുടർന്ന് ക്രമത്തിന്റെ ആദ്യ അഞ്ച് നിബന്ധനകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കാണാം:

a 1 =3,

ഒരു 2 = a 1 + ഡി = 3 + 4 = 7,

ഒരു 3 = ഒരു 2 + ഡി= 7 + 4 = 11,

ഒരു 4 = ഒരു 3 + ഡി= 11 + 4 = 15,

എ 5 = എ 4 + ഡി= 15 + 4 = 19. ◄

ആദ്യ ടേമിനൊപ്പം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിക്കായി എ 1 വ്യത്യാസവും ഡി അവളുടെ എൻ

ഒരു എൻ = a 1 + (എൻ- 1)ഡി.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ മുപ്പതാം പദം കണ്ടെത്തുക

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, ഡി = 3,

ഒരു 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

ഒരു n-1 = a 1 + (എൻ- 2)d,

ഒരു എൻ= a 1 + (എൻ- 1)d,

ഒരു എൻ +1 = എ 1 + nd,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ഒരു എൻ=	a n-1 + a n+1
	2

രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണ്.

എ, ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകൾ ചില ഗണിത പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ അംഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്ന് മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും ഗണിത ശരാശരിക്ക് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു എൻ = 2എൻ- 7 , ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്.

മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവന നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ഒരു എൻ = 2എൻ- 7,

ഒരു n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2എൻ- 9,

ഒരു n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2എൻ- 5.

അതിനാൽ,

a n+1 + a n-1	=	2എൻ- 5 + 2എൻ- 9	= 2എൻ- 7 = ഒരു എൻ,
2		2

◄

അതല്ല എൻ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അംഗത്തെ മാത്രമല്ല കണ്ടെത്താനാകും എ 1 , മാത്രമല്ല മുമ്പത്തെ ഏതെങ്കിലും ഒരു കെ

ഒരു എൻ = ഒരു കെ + (എൻ- കെ)ഡി.

ഉദാഹരണത്തിന്,

വേണ്ടി എ 5 എഴുതാം

ഒരു 5 = a 1 + 4ഡി,

ഒരു 5 = ഒരു 2 + 3ഡി,

ഒരു 5 = ഒരു 3 + 2ഡി,

ഒരു 5 = ഒരു 4 + ഡി. ◄

ഒരു എൻ = ഒരു എൻ-കെ + kd,

ഒരു എൻ = ഒരു n+k - kd,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ഒരു എൻ=	എ എൻ-കെ + എ n+k
	2

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഏതൊരു അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് തുല്യ അകലത്തിലുള്ള ഈ ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ പകുതി തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

കൂടാതെ, ഏതൊരു ഗണിത പുരോഗതിക്കും, തുല്യത ശരിയാണ്:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ

1) എ 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (എ 9 + എ 11 )/2;

2) 28 = ഒരു 10 = ഒരു 3 + 7ഡി= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ഒരു 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, കാരണം

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

എസ് എൻ= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ ഒരു എൻ,

ആദ്യം എൻ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങൾ, പദങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് അങ്ങേയറ്റത്തെ പദങ്ങളുടെ പകുതി തുകയുടെ ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണ്:

ഇതിൽ നിന്ന്, പ്രത്യേകിച്ചും, നിബന്ധനകൾ സംഗ്രഹിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണെങ്കിൽ അത് പിന്തുടരുന്നു

ഒരു കെ, ഒരു കെ +1 , . . . , ഒരു എൻ,

അപ്പോൾ മുമ്പത്തെ ഫോർമുല അതിന്റെ ഘടന നിലനിർത്തുന്നു:

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഗണിത പുരോഗതിയിൽ 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

എസ് 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = എസ് 10 - എസ് 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അളവുകൾ എ 1 , ഒരു എൻ, ഡി, എൻഒപ്പംഎസ് എൻ രണ്ട് ഫോർമുലകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, ഈ അളവുകളിൽ മൂന്നെണ്ണത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റ് രണ്ട് അളവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഈ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് സംയോജിപ്പിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഒരു ഏകതാന ശ്രേണിയാണ്. അതിൽ:

എങ്കിൽ ഡി > 0 , അപ്പോൾ അത് വർദ്ധിക്കുന്നു;
എങ്കിൽ ഡി < 0 , അപ്പോൾ അത് കുറയുന്നു;
എങ്കിൽ ഡി = 0 , അപ്പോൾ ക്രമം നിശ്ചലമായിരിക്കും.

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഒരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഓരോ പദവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതിന് തുല്യമാണ്, അതേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

ബി 1 , ബി 2 , ബി 3 , . . . , ബി എൻ, . . .

ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണെങ്കിൽ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ് എൻ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു:

ബി എൻ +1 = ബി എൻ · q,

എവിടെ q ≠ 0 - കുറച്ച് നമ്പർ.

അതിനാൽ, ഈ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ അടുത്ത പദത്തിന്റെ അനുപാതം മുമ്പത്തേതിലേക്കുള്ള അനുപാതം ഒരു സ്ഥിര സംഖ്യയാണ്:

ബി 2 / ബി 1 = ബി 3 / ബി 2 = . . . = ബി എൻ +1 / ബി എൻ = q.

നമ്പർ q വിളിച്ചു ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഡിനോമിനേറ്റർ.

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി സജ്ജീകരിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ ആദ്യ പദവും ഡിനോമിനേറ്ററും വ്യക്തമാക്കിയാൽ മതി.

ഉദാഹരണത്തിന്,

എങ്കിൽ ബി 1 = 1, q = -3 , തുടർന്ന് ക്രമത്തിന്റെ ആദ്യ അഞ്ച് നിബന്ധനകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കാണാം:

ബി 1 = 1,

ബി 2 = ബി 1 · q = 1 · (-3) = -3,

ബി 3 = ബി 2 · q= -3 · (-3) = 9,

ബി 4 = ബി 3 · q= 9 · (-3) = -27,

ബി 5 = ബി 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

ബി 1 ഡിനോമിനേറ്ററും q അവളുടെ എൻ -ആം പദം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം:

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ഏഴാമത്തെ പദം കണ്ടെത്തുക 1, 2, 4, . . .

ബി 1 = 1, q = 2,

ബി 7 = ബി 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = ബി 1 · q n -2 ,

ബി എൻ = ബി 1 · q n -1 ,

ബി എൻ +1 = ബി 1 · q n,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ബി എൻ 2 = ബി എൻ -1 · ബി എൻ +1 ,

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്, മുമ്പത്തേതും തുടർന്നുള്ളതുമായ അംഗങ്ങളുടെ ജ്യാമിതീയ ശരാശരി (ആനുപാതികം) തുല്യമാണ്.

സംഭാഷണവും സത്യമായതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന അവകാശവാദം നിലനിൽക്കുന്നു:

a, b, c എന്നീ സംഖ്യകൾ ചില ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ തുടർച്ചയായ അംഗങ്ങളാണ്, അവയിലൊന്നിന്റെ വർഗ്ഗം മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും ഗുണനത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം, അതായത്, സംഖ്യകളിൽ ഒന്ന് മറ്റ് രണ്ടിന്റെയും ജ്യാമിതീയ ശരാശരിയാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്,

ഫോർമുല നൽകിയ ക്രമം തെളിയിക്കാം ബി എൻ= -3 2 എൻ , ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയാണ്. നമുക്ക് മുകളിലുള്ള പ്രസ്താവന ഉപയോഗിക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:

ബി എൻ= -3 2 എൻ,

ബി എൻ -1 = -3 2 എൻ -1 ,

ബി എൻ +1 = -3 2 എൻ +1 .

അതിനാൽ,

ബി എൻ 2 = (-3 2 എൻ) 2 = (-3 2 എൻ -1 ) (-3 2 എൻ +1 ) = ബി എൻ -1 · ബി എൻ +1 ,

ആവശ്യമായ ഉറപ്പ് തെളിയിക്കുന്നു. ◄

അതല്ല എൻ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ പദം വഴി മാത്രമല്ല കണ്ടെത്താനാകും ബി 1 , മാത്രമല്ല ഏതെങ്കിലും മുൻ ടേമും ബി കെ , ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി

ബി എൻ = ബി കെ · q n - കെ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

വേണ്ടി ബി 5 എഴുതാം

b 5 = ബി 1 · q 4 ,

b 5 = ബി 2 · q 3,

b 5 = ബി 3 · q2,

b 5 = ബി 4 · q. ◄

ബി എൻ = ബി കെ · q n - കെ,

ബി എൻ = ബി എൻ - കെ · q k,

അപ്പോൾ വ്യക്തമായി

ബി എൻ 2 = ബി എൻ - കെ· ബി എൻ + കെ

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗത്തിന്റെ ചതുരം, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, അതിൽ നിന്ന് തുല്യമായ ഈ പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

കൂടാതെ, ഏതെങ്കിലും ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക്, തുല്യത ശരിയാണ്:

ബി എം· ബി എൻ= ബി കെ· ബി എൽ,

എം+ എൻ= കെ+ എൽ.

ഉദാഹരണത്തിന്,

വിസ്തൃതമായി

1) ബി 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ബി 5 · ബി 7 ;

2) 1024 = ബി 11 = ബി 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ബി 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ബി 4 · ബി 8 ;

4) ബി 2 · ബി 7 = ബി 4 · ബി 5 , കാരണം

ബി 2 · ബി 7 = 2 · 64 = 128,

ബി 4 · ബി 5 = 8 · 16 = 128. ◄

എസ് എൻ= ബി 1 + ബി 2 + ബി 3 + . . . + ബി എൻ

ആദ്യം എൻ ഒരു ഡിനോമിനേറ്റർ ഉള്ള ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ q ≠ 0 ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

പിന്നെ എപ്പോൾ q = 1 - ഫോർമുല അനുസരിച്ച്

എസ് എൻ= എൻ.ബി. 1

നമുക്ക് നിബന്ധനകൾ സംഗ്രഹിക്കണമെങ്കിൽ ശ്രദ്ധിക്കുക

ബി കെ, ബി കെ +1 , . . . , ബി എൻ,

അപ്പോൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

എസ് എൻ- എസ് കെ -1 = ബി കെ + ബി കെ +1 + . . . + ബി എൻ = ബി കെ ·	1 - q n - കെ +1	.
	1 - q

ഉദാഹരണത്തിന്,

വിസ്തൃതമായി 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

എസ് 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = എസ് 10 - എസ് 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

നൽകിയാൽ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി, പിന്നെ അളവുകൾ ബി 1 , ബി എൻ, q, എൻഒപ്പം എസ് എൻ രണ്ട് ഫോർമുലകളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

അതിനാൽ, ഈ അളവുകളിൽ ഏതെങ്കിലും മൂന്ന് മൂല്യങ്ങൾ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റ് രണ്ട് അളവുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഈ ഫോർമുലകളിൽ നിന്ന് രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് സംയോജിപ്പിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

ആദ്യ ടേമിനൊപ്പം ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിക്ക് ബി 1 ഡിനോമിനേറ്ററും q ഇനിപ്പറയുന്നവ നടക്കുന്നു monotonicity പ്രോപ്പർട്ടികൾ :

ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ പുരോഗതി വർദ്ധിക്കുന്നു:

ബി 1 > 0 ഒപ്പം q> 1;

ബി 1 < 0 ഒപ്പം 0 < q< 1;

ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒന്ന് പാലിക്കുകയാണെങ്കിൽ പുരോഗതി കുറയുന്നു:

ബി 1 > 0 ഒപ്പം 0 < q< 1;

ബി 1 < 0 ഒപ്പം q> 1.

എങ്കിൽ q< 0 , അപ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ചിഹ്നം-ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് ആണ്: അതിന്റെ ഒറ്റ-അക്ക പദങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ ആദ്യ പദത്തിന്റെ അതേ ചിഹ്നവും ഇരട്ട-സംഖ്യയുള്ള പദങ്ങൾക്ക് വിപരീത ചിഹ്നവുമാണ്. ഒരു ഇതര ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി ഏകതാനമല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ആദ്യത്തേതിന്റെ ഉൽപ്പന്നം എൻ ഒരു ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം:

പി എൻ= ബി 1 · ബി 2 · ബി 3 · . . . · ബി എൻ = (ബി 1 · ബി എൻ) എൻ / 2 .

ഉദാഹരണത്തിന്,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നു

ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി അനന്തമായി കുറയുന്നു ഡിനോമിനേറ്റർ മോഡുലസിനേക്കാൾ കുറവുള്ള അനന്തമായ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു 1 , അതാണ്

|q| < 1 .

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി കുറയുന്ന ഒരു ശ്രേണി ആയിരിക്കണമെന്നില്ല. ഇത് കേസിന് അനുയോജ്യമാണ്

1 < q< 0 .

അത്തരമൊരു ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച്, ക്രമം അടയാളം-ആൾട്ടർനേറ്റിംഗ് ആണ്. ഉദാഹരണത്തിന്,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

അനന്തമായി കുറയുന്ന ജ്യാമിതീയ പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ആദ്യത്തേതിന്റെ ആകെത്തുക വരുന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് പേര് നൽകുക എൻ എണ്ണത്തിൽ പരിധിയില്ലാത്ത വർദ്ധനയോടെയുള്ള പുരോഗതിയുടെ നിബന്ധനകൾ എൻ . ഈ സംഖ്യ എല്ലായ്പ്പോഴും പരിമിതമാണ്, ഇത് ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു