ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസത്തിനുള്ള ഫോർമുല. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n-പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

ഗണിത പുരോഗതിസംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിക്ക് പേര് നൽകുക (ഒരു പുരോഗതിയുടെ അംഗങ്ങൾ)

ഇതിൽ ഓരോ തുടർന്നുള്ള പദവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ഒരു സ്റ്റീൽ പദത്താൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിനെ എന്നും വിളിക്കുന്നു ഘട്ടം അല്ലെങ്കിൽ പുരോഗതി വ്യത്യാസം.

അതിനാൽ, പുരോഗതിയുടെ ഘട്ടവും അതിന്റെ ആദ്യ പദവും സജ്ജമാക്കുന്നതിലൂടെ, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ ഏതെങ്കിലും ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്താനാകും

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ സവിശേഷതകൾ

1) രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും പുരോഗതിയുടെ മുമ്പത്തേതും അടുത്തതുമായ അംഗത്തിന്റെ ഗണിത ശരാശരിയാണ്

സംഭാഷണവും ശരിയാണ്. പുരോഗതിയുടെ അയൽവാസികളുടെ ഒറ്റ (ഇരട്ട) അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി അവയ്ക്കിടയിൽ നിൽക്കുന്ന അംഗത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഈ സംഖ്യകളുടെ ക്രമം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. ഈ അവകാശവാദത്തിലൂടെ ഏത് ക്രമവും പരിശോധിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്.

കൂടാതെ ഗണിത പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവം അനുസരിച്ച്, മുകളിലുള്ള ഫോർമുല ഇനിപ്പറയുന്നവയിലേക്ക് സാമാന്യവൽക്കരിക്കാം

തുല്യ ചിഹ്നത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് ഞങ്ങൾ നിബന്ധനകൾ എഴുതിയാൽ ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്

പ്രശ്നങ്ങളിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാൻ ഇത് പലപ്പോഴും പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

2) ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഫോർമുല നന്നായി ഓർക്കുക, ഇത് കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഒഴിച്ചുകൂടാനാവാത്തതും ലളിതമായ ജീവിത സാഹചര്യങ്ങളിൽ വളരെ സാധാരണവുമാണ്.

3) നിങ്ങൾക്ക് മുഴുവൻ തുകയല്ല, അതിന്റെ k-th അംഗത്തിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ക്രമത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗമാണ് കണ്ടെത്തേണ്ടതെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന തുക ഫോർമുല നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

4) kth നമ്പറിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്ന ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ n അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നത് പ്രായോഗിക താൽപ്പര്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക

ഇതിൽ സൈദ്ധാന്തിക മെറ്റീരിയൽഅവസാനിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ പൊതുവായ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു.

ഉദാഹരണം 1. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ നാൽപ്പതാം പദം കണ്ടെത്തുക 4;7;...

പരിഹാരം:

വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്

പുരോഗതി ഘട്ടം നിർവ്വചിക്കുക

അറിയപ്പെടുന്ന സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, പുരോഗതിയുടെ നാൽപ്പതാം പദത്തെ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ഉദാഹരണം2. ഗണിത പുരോഗതിഅതിന്റെ മൂന്നാമത്തെയും ഏഴാമത്തെയും അംഗങ്ങൾ നൽകുന്നു. പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദവും പത്തിന്റെ ആകെത്തുകയും കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം:

ഫോർമുലകൾ അനുസരിച്ച് പുരോഗതിയുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ആദ്യ സമവാക്യം കുറയ്ക്കുന്നു, അതിന്റെ ഫലമായി ഞങ്ങൾ പുരോഗതിയുടെ ഘട്ടം കണ്ടെത്തുന്നു

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം കണ്ടെത്തുന്നതിന് കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളിൽ പകരം വയ്ക്കുന്നു

പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പത്ത് നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കുക

സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ പ്രയോഗിക്കാതെ, ആവശ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.

ഉദാഹരണം 3. ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നൽകുന്നത് ഡിനോമിനേറ്ററും അതിലെ ഒരു അംഗവുമാണ്. പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദം, 50 മുതൽ ആരംഭിക്കുന്ന 50 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ആദ്യ 100 ന്റെ തുക എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം:

പുരോഗതിയുടെ നൂറാമത്തെ ഘടകത്തിന് ഫോർമുല എഴുതാം

ആദ്യത്തേത് കണ്ടെത്തുക

ആദ്യത്തേതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, പുരോഗതിയുടെ 50-ാം പദം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

പുരോഗതിയുടെ ഭാഗത്തിന്റെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നു

ആദ്യത്തെ 100 ന്റെ ആകെത്തുക

പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക 250 ആണ്.

ഉദാഹരണം 4

ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടെത്തുക:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

പരിഹാരം:

ആദ്യ പദത്തിന്റെയും പുരോഗതിയുടെ ഘട്ടത്തിന്റെയും അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഞങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങൾ എഴുതുകയും അവയെ നിർവചിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

തുകയിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളെ സം ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു

ലളിതവൽക്കരണം നടത്തുന്നു

കൂടാതെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

കണ്ടെത്തിയ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളിൽ, 8 എന്ന നമ്പർ മാത്രമേ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് അനുയോജ്യമാകൂ. അങ്ങനെ, പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ എട്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക 111 ആണ്.

ഉദാഹരണം 5

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

1+3+5+...+x=307.

പരിഹാരം: ഈ സമവാക്യം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയാണ്. ഞങ്ങൾ അതിന്റെ ആദ്യ പദം എഴുതുകയും പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക ഒരു ലളിതമായ കാര്യമാണ്. അർത്ഥത്തിലും ഫോർമുലയിലും. എന്നാൽ ഈ വിഷയത്തിൽ എല്ലാത്തരം ജോലികളും ഉണ്ട്. പ്രാഥമികം മുതൽ തികച്ചും സോളിഡ് വരെ.

ആദ്യം, നമുക്ക് തുകയുടെ അർത്ഥവും സൂത്രവാക്യവും കൈകാര്യം ചെയ്യാം. എന്നിട്ട് ഞങ്ങൾ തീരുമാനിക്കും. നിങ്ങളുടെ സന്തോഷത്തിനായി.) തുകയുടെ അർത്ഥം താഴ്ത്തുന്നത് പോലെ ലളിതമാണ്. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ അതിലെ എല്ലാ അംഗങ്ങളെയും ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ നിബന്ധനകൾ കുറവാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുലകളൊന്നും കൂടാതെ ചേർക്കാവുന്നതാണ്. എന്നാൽ ധാരാളം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അല്ലെങ്കിൽ ഒരുപാട് ... കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ അരോചകമാണ്.) ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഫോർമുല സംരക്ഷിക്കുന്നു.

ആകെ ഫോർമുല ലളിതമാണ്:

ഫോർമുലയിൽ ഏത് തരത്തിലുള്ള അക്ഷരങ്ങളാണ് ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. ഇത് ഒരുപാട് വ്യക്തമാക്കും.

എസ് എൻ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയാണ്. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഫലം എല്ലാംഅംഗങ്ങൾ, കൂടെ ആദ്യംഎഴുതിയത് അവസാനത്തെ.അതു പ്രധാനമാണ്. കൃത്യമായി കൂട്ടിച്ചേർക്കുക എല്ലാംവിടവുകളും ചാട്ടങ്ങളും ഇല്ലാതെ തുടർച്ചയായി അംഗങ്ങൾ. കൂടാതെ, കൃത്യമായി, ആരംഭിക്കുന്നു ആദ്യം.മൂന്നാമത്തെയും എട്ടാമത്തെയും പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ അഞ്ച് മുതൽ ഇരുപതാം പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നത് പോലുള്ള പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, ഫോർമുലയുടെ നേരിട്ടുള്ള പ്രയോഗം നിരാശാജനകമായിരിക്കും.)

a 1 - ആദ്യംപുരോഗതിയിലെ അംഗം. ഇവിടെ എല്ലാം വ്യക്തമാണ്, എല്ലാം ലളിതമാണ് ആദ്യംവരി നമ്പർ.

ഒരു എൻ- അവസാനത്തെപുരോഗതിയിലെ അംഗം. അവസാന നമ്പർവരി. വളരെ പരിചിതമായ പേരല്ല, പക്ഷേ, തുകയിൽ പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, അത് വളരെ അനുയോജ്യമാണ്. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ തന്നെ കാണും.

എൻ അവസാന അംഗത്തിന്റെ സംഖ്യയാണ്. ഫോർമുലയിൽ ഈ സംഖ്യയാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് ചേർത്ത അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

നമുക്ക് ആശയം നിർവചിക്കാം അവസാനത്തെഅംഗം ഒരു എൻ. ചോദ്യം പൂരിപ്പിക്കുന്നു: ഏതുതരം അംഗം ആയിരിക്കും അവസാനത്തെ,കൊടുത്താൽ അനന്തമായഗണിത പുരോഗതി?

ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഉത്തരത്തിനായി, നിങ്ങൾ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ പ്രാഥമിക അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കേണ്ടതുണ്ട്, കൂടാതെ ... അസൈൻമെന്റ് ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക!)

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ചുമതലയിൽ, അവസാന പദം എല്ലായ്പ്പോഴും ദൃശ്യമാകും (നേരിട്ടോ പരോക്ഷമായോ), പരിമിതപ്പെടുത്തേണ്ടത്.അല്ലെങ്കിൽ, ഒരു നിശ്ചിത, നിശ്ചിത തുക നിലവിലില്ല.പരിഹാരത്തിനായി, ഏത് തരത്തിലുള്ള പുരോഗതിയാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല: പരിമിതമോ അനന്തമോ. ഇത് എങ്ങനെ നൽകിയാലും പ്രശ്നമല്ല: സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിലൂടെയോ അല്ലെങ്കിൽ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുലയിലൂടെയോ.

സൂത്രവാക്യം പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ പദത്തിൽ നിന്ന് സംഖ്യയോടുകൂടിയ പദത്തിലേക്ക് പ്രവർത്തിക്കുന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം എൻ.യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഫോർമുലയുടെ മുഴുവൻ പേര് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക.ഈ ആദ്യ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം, അതായത്. എൻ, ചുമതല കൊണ്ട് മാത്രം നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ചുമതലയിൽ, ഈ വിലയേറിയ വിവരങ്ങളെല്ലാം പലപ്പോഴും എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു, അതെ ... എന്നാൽ ഒന്നുമില്ല, ചുവടെയുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ ഈ രഹസ്യങ്ങൾ വെളിപ്പെടുത്തും.)

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ടാസ്ക്കുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ഒന്നാമതായി, സഹായകരമായ വിവരങ്ങൾ:

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ടാസ്ക്കുകളിലെ പ്രധാന ബുദ്ധിമുട്ട് ഫോർമുലയുടെ മൂലകങ്ങളുടെ ശരിയായ നിർണ്ണയമാണ്.

അസൈൻമെന്റുകളുടെ രചയിതാക്കൾ ഈ ഘടകങ്ങളെ അതിരുകളില്ലാത്ത ഭാവനയോടെ എൻക്രിപ്റ്റ് ചെയ്യുന്നു.) ഇവിടെ പ്രധാന കാര്യം ഭയപ്പെടേണ്ടതില്ല. മൂലകങ്ങളുടെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കിയാൽ, അവയെ മനസ്സിലാക്കാൻ മാത്രം മതി. നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ വിശദമായി നോക്കാം. ഒരു യഥാർത്ഥ GIA അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ടാസ്ക്കിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ആരംഭിക്കാം.

1. ഗണിത പുരോഗതി വ്യവസ്ഥയാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു: a n = 2n-3.5. ആദ്യത്തെ 10 നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

നല്ല ജോലി. എളുപ്പമാണ്.) ഫോർമുല അനുസരിച്ച് തുക നിർണ്ണയിക്കാൻ, നമ്മൾ എന്താണ് അറിയേണ്ടത്? ആദ്യ അംഗം a 1, അവസാന ടേം ഒരു എൻ, അതെ അവസാന ടേമിന്റെ എണ്ണം എൻ.

അവസാന അംഗസംഖ്യ എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും എൻ? അതെ, അതേ സ്ഥലത്ത്, അവസ്ഥയിൽ! തുക കണ്ടെത്തുക എന്നാണ് പറയുന്നത് ആദ്യത്തെ 10 അംഗങ്ങൾ.ശരി, അത് ഏത് നമ്പറായിരിക്കും അവസാനത്തെ,പത്താം അംഗം?) നിങ്ങൾ വിശ്വസിക്കില്ല, അവന്റെ നമ്പർ പത്താമത്തെ!) അതിനാൽ, പകരം ഒരു എൻഞങ്ങൾ ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും ഒരു 10, പക്ഷെ പകരമായി എൻ- പത്ത്. വീണ്ടും, അവസാനത്തെ അംഗത്തിന്റെ എണ്ണം അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

അത് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടേണ്ടതുണ്ട് a 1ഒപ്പം ഒരു 10. പ്രശ്ന പ്രസ്താവനയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന nth ടേമിന്റെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഇത് എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം. അത് എങ്ങനെ ചെയ്യണമെന്ന് അറിയില്ലേ? മുമ്പത്തെ പാഠം സന്ദർശിക്കുക, ഇതില്ലാതെ - ഒന്നുമില്ല.

a 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

ഒരു 10\u003d 2 10 - 3.5 \u003d 16.5

എസ് എൻ = എസ് 10.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുലയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും അർത്ഥം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. അവ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാനും എണ്ണാനും ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

അത്രയേ ഉള്ളൂ. ഉത്തരം: 75.

GIA അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള മറ്റൊരു ചുമതല. കുറച്ചുകൂടി സങ്കീർണ്ണമായത്:

2. ഒരു ഗണിത പുരോഗതി (a n) നൽകിയാൽ, ഇതിന്റെ വ്യത്യാസം 3.7 ആണ്; ഒരു 1 \u003d 2.3. ആദ്യത്തെ 15 നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ സം ഫോർമുല എഴുതുന്നു:

ഏതൊരു അംഗത്തിന്റെയും മൂല്യം അതിന്റെ നമ്പർ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താൻ ഈ ഫോർമുല ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ഒരു ലളിതമായ പകരത്തിനായി തിരയുന്നു:

a 15 \u003d 2.3 + (15-1) 3.7 \u003d 54.1

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് ഫോർമുലയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും പകരം വയ്ക്കാനും ഉത്തരം കണക്കാക്കാനും ഇത് ശേഷിക്കുന്നു:

ഉത്തരം: 423.

വഴി, പകരം തുക ഫോർമുലയിൽ ആണെങ്കിൽ ഒരു എൻ nth ടേമിന്റെ ഫോർമുല മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കും:

ഞങ്ങൾ സമാനമായവ നൽകുന്നു, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കായി ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു പുതിയ ഫോർമുല ലഭിക്കും:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ആവശ്യമില്ല nth അംഗം ഒരു എൻ. ചില ജോലികളിൽ, ഈ ഫോർമുല വളരെയധികം സഹായിക്കുന്നു, അതെ ... നിങ്ങൾക്ക് ഈ ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കാം. ഇവിടെ പോലെ ശരിയായ സമയത്ത് നിങ്ങൾക്ക് അത് പിൻവലിക്കാം. എല്ലാത്തിനുമുപരി, തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുലയും nth ടേമിന്റെ ഫോർമുലയും എല്ലാ വിധത്തിലും ഓർമ്മിക്കേണ്ടതാണ്.)

ഇപ്പോൾ ഒരു ചെറിയ എൻക്രിപ്ഷന്റെ രൂപത്തിലുള്ള ചുമതല):

3. മൂന്നിന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ എല്ലാ പോസിറ്റീവ് രണ്ടക്ക സംഖ്യകളുടെയും ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

എങ്ങനെ! ആദ്യ അംഗമില്ല, അവസാനമില്ല, പുരോഗതിയില്ല... എങ്ങനെ ജീവിക്കും!?

നിങ്ങൾ തലകൊണ്ട് ചിന്തിക്കുകയും ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയിലെ എല്ലാ ഘടകങ്ങളും അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുകയും വേണം. എന്താണ് രണ്ട് അക്ക സംഖ്യകൾ - നമുക്കറിയാം. അവ രണ്ട് അക്കങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.) ഏത് രണ്ട് അക്ക നമ്പർ ആയിരിക്കും ആദ്യം? 10, അനുമാനിക്കാം.) അവസാന കാര്യംരണ്ട് അക്ക നമ്പർ? 99, തീർച്ചയായും! മൂന്നക്കങ്ങൾ അവനെ പിന്തുടരും ...

മൂന്നിന്റെ ഗുണിതങ്ങൾ... ഹും... ഇവ മൂന്നാൽ തുല്യമായി ഹരിക്കാവുന്ന സംഖ്യകളാണ്, ഇവിടെ! പത്തെ മൂന്ന് കൊണ്ട് ഹരിക്കാനാവില്ല, 11 എന്നത് ഹരിക്കാവുന്നതല്ല... 12... ഹരിക്കാവുന്നത്! അതിനാൽ, എന്തോ ഉയർന്നുവരുന്നു. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ഒരു പരമ്പര എഴുതാം:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

ഈ പരമ്പര ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ആയിരിക്കുമോ? തീർച്ചയായും! ഓരോ പദവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് കർശനമായി മൂന്നായി വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പദത്തിലേക്ക് 2 അല്ലെങ്കിൽ 4 ചേർത്താൽ, ഫലം പറയുക, അതായത്. ഒരു പുതിയ സംഖ്യയെ ഇനി 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കില്ല. ഗണിത പുരോഗതിയുടെ കൂമ്പാരത്തിലേക്കുള്ള വ്യത്യാസം നിങ്ങൾക്ക് ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാനാകും: d = 3.ഉപയോഗപ്രദം!)

അതിനാൽ, നമുക്ക് ചില പുരോഗതി പാരാമീറ്ററുകൾ സുരക്ഷിതമായി എഴുതാം:

നമ്പർ എന്തായിരിക്കും എൻഅവസാന അംഗം? 99 എന്നത് മാരകമായി തെറ്റിദ്ധരിക്കപ്പെട്ടതാണെന്ന് കരുതുന്ന ഏതൊരാൾക്കും... സംഖ്യകൾ - അവ എല്ലായ്പ്പോഴും തുടർച്ചയായി പോകുന്നു, ഞങ്ങളുടെ അംഗങ്ങൾ ആദ്യ മൂന്ന് സ്ഥാനങ്ങളിൽ ചാടുന്നു. അവർ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

ഇവിടെ രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. അതി കഠിനാധ്വാനികളുടേതാണ് ഒരു വഴി. നിങ്ങൾക്ക് പുരോഗതി, സംഖ്യകളുടെ മുഴുവൻ ശ്രേണിയും വരയ്ക്കാനും നിങ്ങളുടെ വിരൽ കൊണ്ട് പദങ്ങളുടെ എണ്ണം എണ്ണാനും കഴിയും.) രണ്ടാമത്തെ വഴി ചിന്താശീലർക്ക് വേണ്ടിയുള്ളതാണ്. nth ടേമിനുള്ള ഫോർമുല നിങ്ങൾ ഓർക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമ്മുടെ പ്രശ്നത്തിന് ഫോർമുല പ്രയോഗിച്ചാൽ, പുരോഗതിയുടെ മുപ്പതാമത്തെ അംഗമാണ് 99 എന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. ആ. n = 30.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ നോക്കുന്നു:

ഞങ്ങൾ നോക്കുകയും സന്തോഷിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.) പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് തുക കണക്കാക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ എല്ലാം ഞങ്ങൾ പുറത്തെടുത്തു:

a 1= 12.

ഒരു 30= 99.

എസ് എൻ = എസ് 30.

അവശേഷിക്കുന്നത് പ്രാഥമിക ഗണിതമാണ്. ഫോർമുലയിലെ അക്കങ്ങൾ മാറ്റി കണക്കാക്കുക:

ഉത്തരം: 1665

മറ്റൊരു തരം ജനപ്രിയ പസിലുകൾ:

4. ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നൽകിയിരിക്കുന്നു:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

ഇരുപതാം മുതൽ മുപ്പത്തി നാല് വരെയുള്ള പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

ഞങ്ങൾ സം ഫോർമുല നോക്കുന്നു, ... ഞങ്ങൾ അസ്വസ്ഥരാണ്.) ഫോർമുല, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ, തുക കണക്കാക്കുന്നു. ആദ്യം മുതൽഅംഗം. പ്രശ്നത്തിൽ നിങ്ങൾ തുക കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട് ഇരുപതാം തീയതി മുതൽ...ഫോർമുല പ്രവർത്തിക്കില്ല.

നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും, മുഴുവൻ പുരോഗതിയും ഒരു വരിയിൽ വരയ്ക്കാനും അംഗങ്ങളെ 20 മുതൽ 34 വരെ ഇടാനും കഴിയും. പക്ഷേ ... എങ്ങനെയെങ്കിലും അത് മണ്ടത്തരമായും വളരെക്കാലം മാറുന്നു, അല്ലേ?)

കൂടുതൽ ഗംഭീരമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്. നമുക്ക് നമ്മുടെ പരമ്പരയെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കാം. ആദ്യ ഭാഗം ചെയ്യും ആദ്യ ടേം മുതൽ പത്തൊൻപതാം വരെ.രണ്ടാം ഭാഗം - ഇരുപത് മുതൽ മുപ്പത്തിനാല് വരെ.ആദ്യ ഭാഗത്തിന്റെ നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കിയാൽ അത് വ്യക്തമാണ് എസ് 1-19, ഇത് രണ്ടാം ഭാഗത്തിലെ അംഗങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് ചേർക്കാം എസ് 20-34, ആദ്യ ടേം മുതൽ മുപ്പത്തി നാലാമത്തേക്കുള്ള പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുക നമുക്ക് ലഭിക്കും എസ് 1-34. ഇതുപോലെ:

എസ് 1-19 + എസ് 20-34 = എസ് 1-34

തുക കണ്ടെത്താൻ ഇത് കാണിക്കുന്നു എസ് 20-34ലളിതമായ വ്യവകലനത്തിലൂടെ ചെയ്യാം

എസ് 20-34 = എസ് 1-34 - എസ് 1-19

വലതുവശത്തുള്ള രണ്ട് തുകകളും പരിഗണിക്കുന്നു ആദ്യം മുതൽഅംഗം, അതായത്. സ്റ്റാൻഡേർഡ് സം ഫോർമുല അവർക്ക് തികച്ചും ബാധകമാണ്. നമ്മൾ തുടങ്ങുകയാണോ?

ടാസ്‌ക് അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ പുരോഗതി പാരാമീറ്ററുകൾ എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്നു:

d = 1.5.

a 1= -21,5.

ആദ്യത്തെ 19, ആദ്യത്തെ 34 നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക കണക്കാക്കാൻ, ഞങ്ങൾക്ക് 19-ഉം 34-ഉം നിബന്ധനകൾ ആവശ്യമാണ്. പ്രശ്നം 2 ലെ പോലെ, ഞങ്ങൾ അവയെ nth ടേമിന്റെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

ഒരു 19\u003d -21.5 + (19-1) 1.5 \u003d 5.5

ഒരു 34\u003d -21.5 + (34-1) 1.5 \u003d 28

ഒന്നും ബാക്കിയില്ല. 34 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിൽ നിന്ന് 19 നിബന്ധനകളുടെ ആകെത്തുക കുറയ്ക്കുക:

എസ് 20-34 = എസ് 1-34 - എസ് 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

ഉത്തരം: 262.5

ഒരു പ്രധാന കുറിപ്പ്! ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് വളരെ ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരു സവിശേഷതയുണ്ട്. നേരിട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലിന് പകരം നിങ്ങൾക്ക് വേണ്ടത് (S 20-34),ഞങ്ങൾ എണ്ണി എന്താണ്, ആവശ്യമില്ലെന്ന് തോന്നുന്നു - എസ് 1-19.എന്നിട്ട് അവർ തീരുമാനിച്ചു എസ് 20-34, പൂർണ്ണ ഫലത്തിൽ നിന്ന് അനാവശ്യമായത് തള്ളിക്കളയുന്നു. അത്തരം ഒരു "ചെവിയുമായുള്ള മയക്കം" പലപ്പോഴും ദുഷിച്ച പസിലുകളിൽ സംരക്ഷിക്കുന്നു.)

ഈ പാഠത്തിൽ, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയുടെ അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കാൻ പര്യാപ്തമായ പ്രശ്നങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. ശരി, നിങ്ങൾ രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട്.)

പ്രായോഗിക ഉപദേശം:

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്‌ക്കായി എന്തെങ്കിലും പ്രശ്‌നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഈ വിഷയത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് പ്രധാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉടനടി എഴുതാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

N-ആം പദത്തിന്റെ ഫോർമുല:

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉടൻ തന്നെ എന്താണ് അന്വേഷിക്കേണ്ടതെന്ന് നിങ്ങളോട് പറയും, പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഏത് ദിശയിൽ ചിന്തിക്കണം. സഹായിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള ചുമതലകൾ.

5. മൂന്നാൽ ഹരിക്കാനാവാത്ത എല്ലാ രണ്ടക്ക സംഖ്യകളുടെയും ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

കൊള്ളാം?) പ്രശ്നം 4-ലേക്കുള്ള കുറിപ്പിൽ സൂചന മറച്ചിരിക്കുന്നു. ശരി, പ്രശ്നം 3 സഹായിക്കും.

6. ഗണിത പുരോഗതി വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു: a 1 =-5.5; a n+1 = a n +0.5. ആദ്യത്തെ 24 പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

അസാധാരണമാണോ?) ഇതൊരു ആവർത്തന സൂത്രവാക്യമാണ്. മുമ്പത്തെ പാഠത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് അതിനെക്കുറിച്ച് വായിക്കാം. ലിങ്ക് അവഗണിക്കരുത്, അത്തരം പസിലുകൾ പലപ്പോഴും GIA-യിൽ കാണപ്പെടുന്നു.

7. അവധിക്കാലത്തിനായി വാസ്യ പണം സ്വരൂപിച്ചു. 4550 റൂബിൾസ് വരെ! ഏറ്റവും പ്രിയപ്പെട്ട വ്യക്തിക്ക് (എനിക്ക്) കുറച്ച് ദിവസത്തെ സന്തോഷം നൽകാൻ ഞാൻ തീരുമാനിച്ചു). സ്വയം ഒന്നും നിഷേധിക്കാതെ മനോഹരമായി ജീവിക്കുക. ആദ്യ ദിവസം 500 റൂബിൾസ് ചെലവഴിക്കുക, കൂടാതെ തുടർന്നുള്ള ഓരോ ദിവസവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ 50 റൂബിൾസ് കൂടുതൽ ചെലവഴിക്കുക! പണം തീരുന്നത് വരെ. വാസ്യയ്ക്ക് എത്ര ദിവസം സന്തോഷം ഉണ്ടായിരുന്നു?

ഇത് ബുദ്ധിമുട്ടാണോ?) ടാസ്ക് 2-ൽ നിന്നുള്ള ഒരു അധിക ഫോർമുല സഹായിക്കും.

ഉത്തരങ്ങൾ (അരാജകത്വത്തിൽ): 7, 3240, 6.

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും പരിചയപ്പെടാം.

ബീജഗണിതം പഠിക്കുമ്പോൾ പൊതുവിദ്യാഭ്യാസ സ്കൂൾ(ഗ്രേഡ് 9) ഒന്ന് പ്രധാനപ്പെട്ട വിഷയങ്ങൾസംഖ്യാ ക്രമങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ്, അതിൽ പുരോഗതികൾ ഉൾപ്പെടുന്നു - ജ്യാമിതീയവും ഗണിതവും. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയും പരിഹാരങ്ങളുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഗണിക്കും.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി എന്താണ്?

ഇത് മനസിലാക്കാൻ, പരിഗണനയിലുള്ള പുരോഗതിയുടെ ഒരു നിർവചനം നൽകേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതുപോലെ തന്നെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നൽകണം.

ഗണിതശാസ്ത്രം അല്ലെങ്കിൽ ക്രമീകരിച്ച റേഷൻ സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, അവയിലെ ഓരോ അംഗവും മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ചില സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ മൂല്യത്തെ വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതായത്, ക്രമീകരിച്ച സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണിയിലെ ഏതെങ്കിലും അംഗവും വ്യത്യാസവും അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് മുഴുവൻ ഗണിത പുരോഗതിയും പുനഃസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയും.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം. സംഖ്യകളുടെ അടുത്ത ശ്രേണി ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ആയിരിക്കും: 4, 8, 12, 16, ..., ഈ കേസിലെ വ്യത്യാസം 4 ആയതിനാൽ (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). എന്നാൽ 3, 5, 8, 12, 17 എന്ന സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തെ പരിഗണിക്കുന്ന തരത്തിലുള്ള പുരോഗതിക്ക് ഇനി ആട്രിബ്യൂട്ട് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, കാരണം അതിനുള്ള വ്യത്യാസം ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമല്ല (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

പ്രധാനപ്പെട്ട സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉപയോഗിച്ച് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ആവശ്യമായ അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ നൽകുന്നു. ഒരു n എന്നത് ക്രമത്തിലെ n-ാമത്തെ അംഗത്തെ സൂചിപ്പിക്കട്ടെ, ഇവിടെ n ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയാണ്. നമുക്ക് വ്യത്യാസം സൂചിപ്പിക്കാം ലാറ്റിൻ അക്ഷരംഡി. അപ്പോൾ ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ ശരിയാണ്:

1. n-ആം പദത്തിന്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഫോർമുല അനുയോജ്യമാണ്: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക നിർണ്ണയിക്കാൻ: S n = (a n + a 1)*n/2.

ഗ്രേഡ് 9 ലെ ഒരു പരിഹാരമുള്ള ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഏതെങ്കിലും ഉദാഹരണങ്ങൾ മനസിലാക്കാൻ, ഈ രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഓർത്തുവെച്ചാൽ മതി, കാരണം പരിഗണനയിലുള്ള തരത്തിലുള്ള ഏതെങ്കിലും പ്രശ്നങ്ങൾ അവയുടെ ഉപയോഗത്തിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്. കൂടാതെ, പുരോഗതി വ്യത്യാസം ഫോർമുല കൊണ്ടാണ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എന്നത് മറക്കരുത്: d = a n - a n-1 .

ഉദാഹരണം #1: ഒരു അജ്ഞാത അംഗത്തെ കണ്ടെത്തൽ

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെയും പരിഹരിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കേണ്ട സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെയും ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം ഞങ്ങൾ നൽകുന്നു.

10, 8, 6, 4, ... എന്ന ക്രമം നൽകട്ടെ, അതിൽ അഞ്ച് പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ആദ്യത്തെ 4 പദങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്ന പ്രശ്നത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകളിൽ നിന്ന് ഇത് ഇതിനകം തന്നെ പിന്തുടരുന്നു. അഞ്ചാമത്തേത് രണ്ട് തരത്തിൽ നിർവചിക്കാം:

1. ആദ്യം വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാം. നമുക്ക്: d = 8 - 10 = -2. അതുപോലെ, ഒരാൾക്ക് പരസ്പരം അടുത്ത് നിൽക്കുന്ന മറ്റേതെങ്കിലും രണ്ട് പദങ്ങൾ എടുക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, d = 4 - 6 = -2. d \u003d a n - a n-1, തുടർന്ന് d \u003d a 5 - a 4 എന്ന് അറിയപ്പെടുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും: a 5 \u003d a 4 + d. ഞങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. രണ്ടാമത്തെ രീതിക്ക് ചോദ്യത്തിലെ പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവും ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ മുകളിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ നിങ്ങൾ ആദ്യം അത് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട് (d = -2). ആദ്യ പദം a 1 = 10 ആണെന്ന് അറിയുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ശ്രേണിയുടെ n നമ്പറിനായി ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. അവസാന പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് n = 5 മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, രണ്ട് പരിഹാരങ്ങളും ഒരേ ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ പുരോഗതിയുടെ d വ്യത്യാസം നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. തുടർച്ചയായ ഓരോ പദവും മുമ്പത്തേതിനേക്കാൾ കുറവായതിനാൽ അത്തരം സീക്വൻസുകളെ കുറയുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം #2: പുരോഗതി വ്യത്യാസം

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ടാസ്ക്ക് അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാക്കാം, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്നതിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നൽകുക.

ചില ബീജഗണിത പുരോഗതിയിൽ 1-ആം പദം 6-നും 7-ആം പദം 18-നും തുല്യമാണെന്ന് അറിയാം. വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തി ഈ ക്രമം 7-ആം പദത്തിലേക്ക് പുനഃസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അജ്ഞാത പദം നിർണ്ണയിക്കാൻ നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം: a n = (n - 1) * d + a 1 . വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് അറിയാവുന്ന ഡാറ്റ ഞങ്ങൾ അതിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, അതായത്, a 1, a 7 അക്കങ്ങൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്: 18 \u003d 6 + 6 * d. ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് വ്യത്യാസം എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം: d = (18 - 6) / 6 = 2. അങ്ങനെ, പ്രശ്നത്തിന്റെ ആദ്യ ഭാഗത്തിന് ഉത്തരം ലഭിച്ചു.

ഏഴാമത്തെ അംഗത്തിലേക്ക് ക്രമം പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കണം, അതായത്, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, തുടങ്ങിയവ. ഫലമായി, ഞങ്ങൾ മുഴുവൻ ക്രമവും പുനഃസ്ഥാപിക്കുന്നു: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, 7 = 18.

ഉദാഹരണം #3: ഒരു പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു

നമുക്ക് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമാക്കാം. ഒരു ഗണിത പുരോഗതി എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഉത്തരം നൽകേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നൽകാം: രണ്ട് സംഖ്യകൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, 4 ഉം 5 ഉം. ഇവയ്ക്കിടയിൽ മൂന്ന് പദങ്ങൾ കൂടി യോജിക്കുന്ന തരത്തിൽ ഒരു ബീജഗണിത പുരോഗതി നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, ഭാവിയിലെ പുരോഗതിയിൽ തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യകൾ ഏത് സ്ഥാനത്തെ വഹിക്കുമെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അവയ്ക്കിടയിൽ മൂന്ന് നിബന്ധനകൾ കൂടി ഉള്ളതിനാൽ, ഒരു 1 \u003d -4, ഒരു 5 \u003d 5. ഇത് സ്ഥാപിച്ച ശേഷം, മുമ്പത്തേതിന് സമാനമായ ഒരു ടാസ്ക്കിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പോകുന്നു. വീണ്ടും, nth ടേമിനായി, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. അയച്ചത്: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. ഇവിടെ, വ്യത്യാസം ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയല്ല, മറിച്ച് അത് ഒരു യുക്തിസഹമായ സംഖ്യയാണ്, അതിനാൽ ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അതേപടി നിലനിൽക്കും.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്തിയ വ്യത്യാസം 1-ലേക്ക് ചേർത്ത് പുരോഗതിയുടെ കാണാതായ അംഗങ്ങളെ പുനഃസ്ഥാപിക്കാം. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 \u003d 2.75 + 2.25 \u, 5 ഇത് പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയുമായി പൊരുത്തപ്പെട്ടു.

ഉദാഹരണം #4: പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ അംഗം

ഒരു പരിഹാരത്തോടുകൂടിയ ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നൽകുന്നത് തുടരുന്നു. മുമ്പത്തെ എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളിലും, ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ നമ്പർ അറിയാമായിരുന്നു. ഇപ്പോൾ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള ഒരു പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക: രണ്ട് സംഖ്യകൾ നൽകട്ടെ, ഇവിടെ ഒരു 15 = 50 ഉം 43 = 37 ഉം. ഏത് സംഖ്യയിൽ നിന്നാണ് ഈ ശ്രേണി ആരംഭിക്കുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഇതുവരെ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുള്ള ഫോർമുലകൾ a 1, d എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള അറിവ് അനുമാനിക്കുന്നു. പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ ഈ നമ്പറുകളെക്കുറിച്ച് ഒന്നും അറിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, നമുക്ക് വിവരങ്ങളുള്ള ഓരോ പദത്തിന്റെയും പദപ്രയോഗങ്ങൾ എഴുതാം: a 15 = a 1 + 14 * d, a 43 = a 1 + 42 * d. 2 അജ്ഞാത അളവുകൾ (a 1 ഉം d ഉം) ഉള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിച്ചു. ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിലേക്ക് പ്രശ്നം ചുരുങ്ങുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഓരോ സമവാക്യത്തിലും നിങ്ങൾ ഒരു 1 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുകയും ചെയ്താൽ നിർദ്ദിഷ്ട സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. ആദ്യ സമവാക്യം: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ തുല്യമാക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, എവിടെ നിന്ന് വ്യത്യാസം d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0.464 (3 ദശാംശ സ്ഥാനങ്ങൾ മാത്രം നൽകിയിരിക്കുന്നു).

d അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് 1-ന് മുകളിലുള്ള 2 എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യം: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0.464) \u003d 56.496.

ഫലത്തെക്കുറിച്ച് സംശയങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് അത് പരിശോധിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, പുരോഗതിയുടെ 43-ാമത്തെ അംഗത്തെ നിർണ്ണയിക്കുക, അത് വ്യവസ്ഥയിൽ വ്യക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56.496 + 42 * (- 0.464) \u003d 37.008. കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ആയിരത്തിലൊന്ന് റൗണ്ടിംഗ് ഉപയോഗിച്ചതാണ് ഒരു ചെറിയ പിശകിന് കാരണം.

ഉദാഹരണം #5: സം

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുള്ള ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു സംഖ്യാ പുരോഗതി നൽകട്ടെ: 1, 2, 3, 4, ...,. ഈ സംഖ്യകളുടെ 100 എണ്ണം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?

കമ്പ്യൂട്ടർ സാങ്കേതികവിദ്യയുടെ വികാസത്തിന് നന്ദി, ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, അതായത്, എല്ലാ നമ്പറുകളും തുടർച്ചയായി കൂട്ടിച്ചേർക്കുക, ഒരു വ്യക്തി എന്റർ കീ അമർത്തുമ്പോൾ തന്നെ കമ്പ്യൂട്ടർ ചെയ്യും. എന്നിരുന്നാലും, അവതരിപ്പിച്ച സംഖ്യകളുടെ ശ്രേണി ഒരു ബീജഗണിത പുരോഗതിയാണെന്നും അതിന്റെ വ്യത്യാസം 1 ആണെന്നും നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ പ്രശ്നം മാനസികമായി പരിഹരിക്കാനാകും. / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

ഈ പ്രശ്നത്തെ "ഗൗസിയൻ" എന്ന് വിളിക്കുന്നത് കൗതുകകരമാണ്, കാരണം പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ പ്രശസ്ത ജർമ്മൻ, ഇപ്പോഴും 10 വയസ്സ് മാത്രം പ്രായമുള്ളതിനാൽ, കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ അത് തന്റെ മനസ്സിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞു. ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയുടെ സൂത്രവാക്യം ആൺകുട്ടിക്ക് അറിയില്ലായിരുന്നു, പക്ഷേ നിങ്ങൾ ശ്രേണിയുടെ അരികുകളിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ജോഡി സംഖ്യകൾ ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരേ ഫലം ലഭിക്കുമെന്ന് അദ്ദേഹം ശ്രദ്ധിച്ചു, അതായത്, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., ഈ തുകകൾ കൃത്യമായി 50 (100 / 2) ആയിരിക്കുമെന്നതിനാൽ, ശരിയായ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിന്, 50 നെ 101 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതിയാകും.

ഉദാഹരണം #6: n മുതൽ m വരെയുള്ള പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയുടെ മറ്റൊരു സാധാരണ ഉദാഹരണം ഇനിപ്പറയുന്നതാണ്: സംഖ്യകളുടെ ഒരു ശ്രേണി നൽകിയിരിക്കുന്നു: 3, 7, 11, 15, ..., അതിന്റെ 8 മുതൽ 14 വരെയുള്ള പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എന്തായിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

പ്രശ്നം രണ്ട് തരത്തിൽ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു. അവയിൽ ആദ്യത്തേത് 8 മുതൽ 14 വരെയുള്ള അജ്ഞാത പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതും തുടർന്ന് അവയെ തുടർച്ചയായി സംഗ്രഹിക്കുന്നതും ഉൾപ്പെടുന്നു. കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഈ രീതി വേണ്ടത്ര അധ്വാനമല്ല. എന്നിരുന്നാലും, രണ്ടാമത്തെ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിർദ്ദേശിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അത് കൂടുതൽ സാർവത്രികമാണ്.

m, n എന്നീ പദങ്ങൾക്കിടയിലുള്ള ബീജഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് ഒരു ഫോർമുല ലഭിക്കുക എന്നതാണ് ആശയം, ഇവിടെ n > m പൂർണ്ണസംഖ്യകളാണ്. രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളിലും, തുകയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ രണ്ട് എക്സ്പ്രഷനുകൾ എഴുതുന്നു:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

n > m എന്നതിനാൽ, 2 തുകയിൽ ആദ്യത്തേത് ഉൾപ്പെടുന്നുവെന്ന് വ്യക്തമാണ്. അവസാന നിഗമനം അർത്ഥമാക്കുന്നത്, ഈ തുകകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എടുത്ത് അതിൽ a m എന്ന പദം ചേർത്താൽ (വ്യത്യാസം എടുക്കുമ്പോൾ, അത് S n എന്ന തുകയിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു), അപ്പോൾ നമുക്ക് പ്രശ്നത്തിന് ആവശ്യമായ ഉത്തരം ലഭിക്കും. നമുക്കുള്ളത്: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). ഈ പദപ്രയോഗത്തിൽ ഒരു n, a m എന്നിവയ്‌ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഫോർമുല അൽപ്പം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതാണ്, എന്നിരുന്നാലും, S mn തുക n, m, a 1, d എന്നിവയെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. ഈ സംഖ്യകൾക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: S mn = 301.

മേൽപ്പറഞ്ഞ പരിഹാരങ്ങളിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയുന്നതുപോലെ, എല്ലാ പ്രശ്നങ്ങളും nth പദത്തിനായുള്ള പദപ്രയോഗത്തെയും ആദ്യ പദങ്ങളുടെ ഗണത്തിന്റെ ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യത്തെയും കുറിച്ചുള്ള അറിവിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ഈ പ്രശ്‌നങ്ങളിലൊന്ന് പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്, നിങ്ങൾ ഈ അവസ്ഥ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കാനും നിങ്ങൾ എന്താണ് കണ്ടെത്താൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നതെന്ന് വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കാനും അതിനുശേഷം മാത്രമേ പരിഹാരവുമായി മുന്നോട്ട് പോകാനും ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

മറ്റൊരു ടിപ്പ് ലാളിത്യത്തിനായി പരിശ്രമിക്കുക എന്നതാണ്, അതായത്, സങ്കീർണ്ണമായ ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിക്കാതെ നിങ്ങൾക്ക് ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അത് ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്, കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് ചെയ്യാനുള്ള സാധ്യത കുറവാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പരിഹാരം നമ്പർ 6 ഉള്ള ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഉദാഹരണത്തിൽ, ഒരാൾക്ക് S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m എന്ന ഫോർമുലയിൽ നിർത്താം. പിളർന്ന് പൊതു ചുമതലപ്രത്യേക ഉപടാസ്കുകളായി (ഇൻ ഈ കാര്യംആദ്യം a n, a m എന്നീ പദങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക).

ലഭിച്ച ഫലത്തെക്കുറിച്ച് സംശയങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന ചില ഉദാഹരണങ്ങളിൽ ചെയ്തതുപോലെ അത് പരിശോധിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഒരു ഗണിത പുരോഗതി എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം, കണ്ടെത്തി. നിങ്ങൾ അത് മനസ്സിലാക്കിക്കഴിഞ്ഞാൽ, അത് അത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

IV യാക്കോവ്ലേവ് | ഗണിതത്തിലെ മെറ്റീരിയലുകൾ | MathUs.ru

ഗണിത പുരോഗതി

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി എന്നത് ഒരു പ്രത്യേക തരം ക്രമമാണ്. അതിനാൽ, ഗണിത (പിന്നെ ജ്യാമിതീയ) പുരോഗതി നിർവചിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നമ്മൾ ഹ്രസ്വമായി ചർച്ച ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയംസംഖ്യാ ക്രമം.

തുടർന്നുള്ള

സ്ക്രീനിൽ ചില നമ്പറുകൾ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി പ്രദർശിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഉപകരണം സങ്കൽപ്പിക്കുക. നമുക്ക് 2 എന്ന് പറയാം; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു കൂട്ടം സംഖ്യകൾ ഒരു ശ്രേണിയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം മാത്രമാണ്.

നിർവ്വചനം. ഒരു സംഖ്യാ ക്രമം എന്നത് ഓരോ സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു അദ്വിതീയ സംഖ്യ നൽകാനാകുന്ന സംഖ്യകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ് (അതായത്, ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുമായി കത്തിടപാടുകൾ നടത്തുക)1. നമ്പർ n ഉള്ള നമ്പർ വിളിക്കുന്നു nth അംഗംക്രമങ്ങൾ.

അതിനാൽ, മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിൽ, ആദ്യ സംഖ്യയ്ക്ക് നമ്പർ 2 ഉണ്ട്, അത് ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ അംഗമാണ്, അത് a1 കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം; അഞ്ചാം സംഖ്യയിൽ 6 എന്ന സംഖ്യയുണ്ട്, അത് ക്രമത്തിലെ അഞ്ചാമത്തെ അംഗമാണ്, അത് a5 എന്ന് സൂചിപ്പിക്കാം. പൊതുവേ, ഒരു ശ്രേണിയിലെ nth അംഗത്തെ ഒരു (അല്ലെങ്കിൽ bn , cn മുതലായവ) സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

സീക്വൻസിലെ nth അംഗത്തെ ചില സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയുന്നതാണ് വളരെ സൗകര്യപ്രദമായ ഒരു സാഹചര്യം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫോർമുല an = 2n 3 ക്രമം വ്യക്തമാക്കുന്നു: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n എന്ന ഫോർമുല അനുക്രമം നിർവചിക്കുന്നു: 1; 1; 1; 1; :::

എല്ലാ സംഖ്യകളും ഒരു ക്രമമല്ല. അതിനാൽ, ഒരു സെഗ്മെന്റ് ഒരു ക്രമമല്ല; അതിൽ പുനർനമ്പർ ചെയ്യാൻ ¾വളരെയധികം¿ നമ്പറുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എല്ലാ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെയും സെറ്റ് R ഒരു ക്രമമല്ല. ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൽ ഈ വസ്തുതകൾ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

ഗണിത പുരോഗതി: അടിസ്ഥാന നിർവചനങ്ങൾ

ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഒരു ഗണിത പുരോഗതി നിർവചിക്കാൻ തയ്യാറാണ്.

നിർവ്വചനം. ഓരോ പദവും (രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നത്) മുമ്പത്തെ പദത്തിന്റെയും ചില നിശ്ചിത സംഖ്യയുടെയും (ഗണിത പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന) ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു ശ്രേണിയാണ് ഗണിത പുരോഗതി.

ഉദാഹരണത്തിന്, സീക്വൻസ് 2; 5; 8; പതിനൊന്ന്; : : : ആദ്യ ടേം 2 ഉം വ്യത്യാസം 3 ഉം ഉള്ള ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. സീക്വൻസ് 7; 2; 3; 8; : : : ആദ്യ ടേം 7 ഉം വ്യത്യാസം 5 ഉം ഉള്ള ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്. സീക്വൻസ് 3; 3; 3; : : : പൂജ്യം വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്.

തുല്യമായ നിർവ്വചനം: an+1 a എന്ന വ്യത്യാസം സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണെങ്കിൽ (n-നെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല) ഒരു ശ്രേണിയെ ഗണിത പുരോഗതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി അതിന്റെ വ്യത്യാസം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ വർദ്ധിക്കുകയും അതിന്റെ വ്യത്യാസം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.

1 ഇവിടെ കൂടുതൽ സംക്ഷിപ്തമായ ഒരു നിർവചനം ഉണ്ട്: ഒരു അനുക്രമം എന്നത് സ്വാഭാവിക സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ അനുക്രമം f: N! ആർ.

സ്ഥിരസ്ഥിതിയായി, സീക്വൻസുകൾ അനന്തമായി കണക്കാക്കുന്നു, അതായത്, അനന്തമായ സംഖ്യകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എന്നാൽ പരിമിതമായ ക്രമങ്ങളും പരിഗണിക്കാൻ ആരും മെനക്കെടുന്നില്ല; വാസ്തവത്തിൽ, ഏതെങ്കിലും പരിമിതമായ സംഖ്യകളെ ഒരു പരിമിത ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, അവസാന സീക്വൻസ് 1; 2; 3; 4; 5 അഞ്ച് സംഖ്യകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ nth അംഗത്തിന്റെ ഫോർമുല

ഒരു ഗണിത പുരോഗതി പൂർണ്ണമായും രണ്ട് സംഖ്യകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്: ആദ്യ പദവും വ്യത്യാസവും. അതിനാൽ, ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ആദ്യ പദവും വ്യത്യാസവും അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ഏകപക്ഷീയമായ ഒരു പദം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ nth ടേമിന് ആവശ്യമുള്ള ഫോർമുല നേടുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ഒരു അനുവദിക്കുക

വ്യത്യാസമുള്ള ഗണിത പുരോഗതി ഡി. നമുക്ക് ഉണ്ട്:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
പ്രത്യേകിച്ചും, ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ഒരു ഫോർമുല ഇതാണെന്ന് ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാകും:
an = a1 + (n 1)d:

ടാസ്ക് 1. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ 2; 5; 8; പതിനൊന്ന്; : : : n-ആം പദത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം കണ്ടെത്തി നൂറാമത്തെ ടേം കണക്കാക്കുക.

പരിഹാരം. ഫോർമുല (1) അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

ഗണിത പുരോഗതിയുടെ സ്വത്തും അടയാളവും

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ സ്വത്ത്. ഗണിത പുരോഗതിയിൽ a for any

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഗണിത പുരോഗതിയിലെ ഓരോ അംഗവും (രണ്ടാമത്തെ മുതൽ ആരംഭിക്കുന്നു) അയൽ അംഗങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയാണ്.

	തെളിവ്. നമുക്ക് ഉണ്ട്:
	a n 1+ a n+1		(ഒരു ഡി) + (ഒരു + ഡി)

എന്താണ് ആവശ്യമായിരുന്നത്.

കൂടുതൽ പൊതുവെ, ഗണിത പുരോഗതി സമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു

a n = a n k+ a n+k

ഏതെങ്കിലും n > 2, ഏതെങ്കിലും സ്വാഭാവിക കെ< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

സൂത്രവാക്യം (2) ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ആകുന്നതിന് ആവശ്യമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ മാത്രമല്ല, മതിയായ വ്യവസ്ഥയും ആണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ അടയാളം. എല്ലാ n > 2 നും തുല്യത (2) ആണെങ്കിൽ, a ക്രമം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ്.

തെളിവ്. നമുക്ക് ഫോർമുല (2) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

a na n 1= a n+1a n:

ഇത് an+1 an എന്ന വ്യത്യാസം n-നെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എന്ന് കാണിക്കുന്നു, കൂടാതെ a എന്ന ക്രമം ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ സ്വത്തും അടയാളവും ഒരു പ്രസ്താവനയായി രൂപപ്പെടുത്താം; സൗകര്യാർത്ഥം, ഞങ്ങൾ ഇത് മൂന്ന് അക്കങ്ങൾക്കായി ചെയ്യും (ഇത് പലപ്പോഴും പ്രശ്നങ്ങളിൽ സംഭവിക്കുന്ന സാഹചര്യമാണ്).

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവം. a, b, c എന്നീ മൂന്ന് സംഖ്യകൾ 2b = a + c ആണെങ്കിൽ മാത്രം ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു.

പ്രശ്നം 2. (മോസ്കോ സ്റ്റേറ്റ് യൂണിവേഴ്സിറ്റി, ഫാക്കൽറ്റി ഓഫ് ഇക്കണോമിക്സ്, 2007) നിർദ്ദിഷ്ട ക്രമത്തിൽ മൂന്ന് സംഖ്യകൾ 8x, 3 x2, 4 എന്നിവ കുറയുന്ന ഗണിത പുരോഗതിക്ക് കാരണമാകുന്നു. x കണ്ടെത്തി ഈ പുരോഗതിയുടെ വ്യത്യാസം എഴുതുക.

പരിഹാരം. ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് ഇവയുണ്ട്:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

x = 1 ആണെങ്കിൽ, 6 ന്റെ വ്യത്യാസത്തിൽ 8, 2, 4 ന്റെ കുറയുന്ന പുരോഗതി ലഭിക്കും. x = 5 ആണെങ്കിൽ, 40, 22, 4 ന്റെ വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പുരോഗതി ലഭിക്കും; ഈ കേസ് പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല.

ഉത്തരം: x = 1, വ്യത്യാസം 6 ആണ്.

ഒരു ഗണിത പുരോഗതിയുടെ ആദ്യ n പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുക

ഒരിക്കൽ ടീച്ചർ 1 മുതൽ 100 ​​വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്താൻ കുട്ടികളോട് പറഞ്ഞതായും നിശബ്ദമായി പത്രം വായിക്കാൻ ഇരുന്നതായും ഐതിഹ്യം പറയുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഏതാനും മിനിറ്റുകൾക്കുള്ളിൽ താൻ പ്രശ്നം പരിഹരിച്ചുവെന്ന് ഒരു കുട്ടി പറഞ്ഞു. അത് പിന്നീട് ചരിത്രത്തിലെ ഏറ്റവും മികച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരിൽ ഒരാളായ 9 വയസ്സുള്ള കാൾ ഫ്രെഡറിക് ഗൗസായിരുന്നു.

ചെറിയ ഗൗസിന്റെ ആശയം ഇതായിരുന്നു. അനുവദിക്കുക

S = 1 + 2 + 3 + : :: + 98 + 99 + 100:

നമുക്ക് ഈ തുക വിപരീത ക്രമത്തിൽ എഴുതാം:

എസ് = 100 + 99 + 98 + : :: + 3 + 2 + 1;

കൂടാതെ ഈ രണ്ട് ഫോർമുലകളും ചേർക്കുക:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : :: + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

ബ്രാക്കറ്റുകളിലെ ഓരോ പദവും 101 ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ മൊത്തത്തിൽ അത്തരം 100 പദങ്ങളുണ്ട്

2S = 101 100 = 10100;

സം ഫോർമുല ലഭിക്കാൻ ഞങ്ങൾ ഈ ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നു

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

ഫോർമുലയുടെ (3) ഉപയോഗപ്രദമായ പരിഷ്‌ക്കരണം, n-ആം പദത്തിനായുള്ള ഫോർമുലയ്ക്ക് പകരം ഒരു = a1 + (n 1)d എന്നതിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിലൂടെ ലഭിക്കും:

		2a1 + (n 1)d

ടാസ്ക് 3. 13 കൊണ്ട് ഹരിക്കാവുന്ന എല്ലാ പോസിറ്റീവ് മൂന്നക്ക സംഖ്യകളുടെയും ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം. 13 ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായ മൂന്ന് അക്ക സംഖ്യകൾ ആദ്യ പദമായ 104 നും വ്യത്യാസം 13 നും ഒരു ഗണിത പുരോഗതി ഉണ്ടാക്കുന്നു; ഈ പുരോഗതിയുടെ nth ടേം ഇതാണ്:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

നമ്മുടെ പുരോഗതിയിൽ എത്ര അംഗങ്ങളുണ്ട് എന്ന് നോക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ അസമത്വം പരിഹരിക്കുന്നു:

ഒരു 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

അതിനാൽ ഞങ്ങളുടെ പുരോഗതിയിൽ 69 അംഗങ്ങളുണ്ട്. ഫോർമുല (4) അനുസരിച്ച് ആവശ്യമായ തുക ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

എസ് = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2