ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം. രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ, പരിഹാരങ്ങൾ

രണ്ട് വേരിയബിളുകളിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരത്തിന്റെ നിർവചനം നമുക്ക് ആദ്യം ഓർമ്മിക്കാം.

നിർവ്വചനം 1

ഒരു ജോടി സംഖ്യകളെ രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പ്രദായത്തിന് പരിഹാരം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, ശരിയായ തുല്യത ലഭിക്കുന്നു.

ഇനിപ്പറയുന്നതിൽ, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

നിലവിലുണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള നാല് അടിസ്ഥാന വഴികൾ: സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി, ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി, പുതിയ വേരിയബിൾ മാനേജ്മെന്റ് രീതി. ഈ രീതികൾ നോക്കാം മൂർത്തമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ. ആദ്യത്തെ മൂന്ന് രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വം വിവരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ രണ്ടിന്റെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഗണിക്കും രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾരണ്ട് അജ്ഞാതർക്കൊപ്പം:

പകരംവയ്ക്കൽ രീതി

സബ്‌സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഇപ്രകാരമാണ്: ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഏതെങ്കിലും എടുത്ത് $y$ $x$ എന്നതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് $x.$ എന്ന വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് $y$ പകരം വയ്ക്കുന്നു. അതിനുശേഷം, നമുക്ക് $y.$ എന്ന വേരിയബിൾ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം.

ഉദാഹരണം 1

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് $x$ എന്നതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ നമുക്ക് $y$ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ പകരമായി, $x$ കണ്ടെത്തുക:

\ \ \

$y$ കണ്ടെത്തുക:

ഉത്തരം: $(-2,\ 3)$

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി.

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഈ രീതി പരിഗണിക്കുക:

ഉദാഹരണം 2

\[\ഇടത്\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 3 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും:

\[\ഇടത്\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

ഇനി നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും ഒരുമിച്ച് ചേർക്കാം:

\ \ \

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് $y$ കണ്ടെത്തുക:

\[-6-y=-9\] \

ഉത്തരം: $(-2,\ 3)$

പരാമർശം 1

ഈ രീതിയിൽ ഒന്നോ രണ്ടോ സമവാക്യങ്ങളെ അത്തരം സംഖ്യകളാൽ ഗുണിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അത് വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് ചേർക്കുമ്പോൾ "അപ്രത്യക്ഷമാകും".

ഗ്രാഫിക്കൽ വഴി

ഗ്രാഫിക്കൽ രീതി ഇപ്രകാരമാണ്: സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും കോർഡിനേറ്റ് തലത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കുകയും അവയുടെ വിഭജനത്തിന്റെ പോയിന്റ് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉദാഹരണം 3

\[\ഇടത്\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

$x$ എന്നതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും $y$ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

\[\ഇടത്\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

നമുക്ക് രണ്ട് ഗ്രാഫുകളും ഒരേ തലത്തിൽ വരയ്ക്കാം:

ചിത്രം 1.

ഉത്തരം: $(-2,\ 3)$

പുതിയ വേരിയബിളുകൾ എങ്ങനെ അവതരിപ്പിക്കാം

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഈ രീതി പരിഗണിക്കും:

ഉദാഹരണം 4

\[\ഇടത്\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right.\]

പരിഹാരം.

ഈ സംവിധാനം സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ്

\[\ഇടത്\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right.\]

$2^x=u\ (u>0)$, $3^y=v\ (v>0)$ എന്നിവ അനുവദിക്കുക, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\[\ഇടത്\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

സങ്കലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റം ഞങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാം:

\ \

അപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അത് ലഭിക്കും

സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷനിലേക്ക് മടങ്ങുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു പുതിയ സംവിധാനംഎക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ:

\[\ഇടത്\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

\[\ഇടത്\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

നിർദ്ദേശം

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി.
നിങ്ങൾ പരസ്പരം കർശനമായി രണ്ടെണ്ണം എഴുതേണ്ടതുണ്ട്:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത (സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന്) സമവാക്യത്തിൽ, ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയ "ഗെയിമിന്" ​​പകരം 11 നമ്പർ തിരുകുകയും രണ്ടാമത്തെ അജ്ഞാതമായത് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുക:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
ഈ സമവാക്യ സമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഉത്തരം: x=116, y=11.

ഗ്രാഫിക് വഴി.
സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ വരികൾ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി എഴുതിയിരിക്കുന്ന പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ പ്രായോഗിക കണ്ടെത്തലിൽ ഇത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഒരേ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ നിങ്ങൾ രണ്ട് വരികളുടെയും ഗ്രാഫുകൾ വെവ്വേറെ വരയ്ക്കണം. പൊതുവായ കാഴ്ച: - y \u003d kx + b. ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, രണ്ട് പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തിയാൽ മതിയാകും, കൂടാതെ x ഏകപക്ഷീയമായി തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നു.
സിസ്റ്റം നൽകട്ടെ: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
ആദ്യത്തേത് അനുസരിച്ച് ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു, സൗകര്യാർത്ഥം അത് എഴുതേണ്ടതുണ്ട്: y \u003d 2x-4. x-നുള്ള (എളുപ്പമുള്ള) മൂല്യങ്ങൾ കൊണ്ടുവരിക, അതിനെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റി, അത് പരിഹരിക്കുക, y കണ്ടെത്തുക. രണ്ട് പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കും, അതിനൊപ്പം ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു. (ചിത്രം കാണുക.)
x 0 1

y -4 -2
രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം അനുസരിച്ച് ഒരു നേർരേഖ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു: y \u003d -3x + 1.
കൂടാതെ ഒരു ലൈൻ നിർമ്മിക്കുക. (ചിത്രം കാണുക.)

1-5
ഗ്രാഫിൽ നിർമ്മിച്ച രണ്ട് വരികളുടെ ഇന്റർസെക്ഷൻ പോയിന്റിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക (ലൈനുകൾ വിഭജിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഇല്ല - അങ്ങനെ).

അനുബന്ധ വീഡിയോകൾ

സഹായകരമായ ഉപദേശം

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരേ സംവിധാനം മൂന്ന് കൊണ്ട് പരിഹരിക്കപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത വഴികൾ, ഉത്തരം ഒന്നുതന്നെയായിരിക്കും (പരിഹാരം ശരിയാണെങ്കിൽ).

ഉറവിടങ്ങൾ:

• ആൾജിബ്ര ഗ്രേഡ് 8
• ഓൺലൈനിൽ അറിയപ്പെടാത്ത രണ്ട് പേരുമായി ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക
• രണ്ടുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ

സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങൾഗണിതശാസ്ത്ര രേഖകളുടെ ഒരു ശേഖരമാണ്, അവയിൽ ഓരോന്നിനും നിശ്ചിത എണ്ണം വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അവ പരിഹരിക്കാൻ നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - ഭരണാധികാരിയും പെൻസിലും;
• - കാൽക്കുലേറ്റർ.

നിർദ്ദേശം

a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2 എന്നിങ്ങനെയുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്റെ ക്രമം പരിഗണിക്കുക. ഇവിടെ x, y എന്നിവ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളും b,c സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുമാണ്. ഈ രീതി പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, ഓരോ സിസ്റ്റവും ഓരോ സമവാക്യത്തിനും അനുയോജ്യമായ പോയിന്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളാണ്. ആദ്യം, ഓരോ സാഹചര്യത്തിലും, മറ്റൊന്നിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുക. അതിനുശേഷം x വേരിയബിൾ എത്ര മൂല്യങ്ങളിലേക്കും സജ്ജമാക്കുക. രണ്ടെണ്ണം മതി. സമവാക്യത്തിൽ പ്ലഗ് ചെയ്ത് y കണ്ടെത്തുക. ഒരു കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റം നിർമ്മിക്കുക, അതിൽ സ്വീകരിച്ച പോയിന്റുകൾ അടയാളപ്പെടുത്തുക, അവയിലൂടെ ഒരു നേർരേഖ വരയ്ക്കുക. സിസ്റ്റത്തിന്റെ മറ്റ് ഭാഗങ്ങൾക്കും സമാനമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തണം.

നിർമ്മിത ലൈനുകൾ കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ഒന്നാണെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട് പൊതുവായ പോയിന്റ്. അവ പരസ്പരം സമാന്തരമാണെങ്കിൽ അത് അസ്ഥിരമാണ്. വരികൾ പരസ്പരം ലയിക്കുമ്പോൾ ഇതിന് അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

ഈ രീതി വളരെ വ്യക്തമായതായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. കണക്കാക്കിയ അജ്ഞാതർക്ക് ഏകദേശ മൂല്യങ്ങളുണ്ട് എന്നതാണ് പ്രധാന പോരായ്മ. ബീജഗണിത രീതികൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയാണ് കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഫലം നൽകുന്നത്.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനുള്ള ഏത് പരിഹാരവും പരിശോധിക്കേണ്ടതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയബിളുകൾക്ക് പകരം ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. നിങ്ങൾക്ക് പല തരത്തിൽ അതിന്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്താനും കഴിയും. സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ശരിയാണെങ്കിൽ, എല്ലാവരും ഒരേപോലെ മാറണം.

പലപ്പോഴും പദങ്ങളിലൊന്ന് അജ്ഞാതമായ സമവാക്യങ്ങളുണ്ട്. ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ഈ സംഖ്യകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത സെറ്റ് പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഓർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - പേപ്പർ;
• - പേന അല്ലെങ്കിൽ പെൻസിൽ.

നിർദ്ദേശം

നിങ്ങളുടെ മുന്നിൽ 8 മുയലുകളുണ്ടെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക, നിങ്ങൾക്ക് 5 കാരറ്റ് മാത്രമേയുള്ളൂ. ഓരോ മുയലിനും ഒരു കാരറ്റ് ലഭിക്കുന്നതിന് നിങ്ങൾ കൂടുതൽ കാരറ്റ് വാങ്ങണമെന്ന് ചിന്തിക്കുക.

നമുക്ക് ഈ പ്രശ്നത്തെ ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം: 5 + x = 8. നമുക്ക് x ന് പകരം 3 എന്ന സംഖ്യ നൽകാം. തീർച്ചയായും, 5 + 3 = 8.

നിങ്ങൾ x-ന് പകരം ഒരു സംഖ്യ നൽകിയപ്പോൾ, 8 ൽ നിന്ന് 5 കുറയ്ക്കുന്ന അതേ പ്രവർത്തനമാണ് നിങ്ങൾ ചെയ്യുന്നത്. അങ്ങനെ, കണ്ടെത്തുന്നതിന് അജ്ഞാതംകാലാവധി, തുകയിൽ നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്ന പദത്തെ കുറയ്ക്കുക.

നിങ്ങൾക്ക് 20 മുയലുകളും 5 കാരറ്റും മാത്രമേയുള്ളൂവെന്ന് പറയാം. നമുക്ക് രചിക്കാം. ഒരു സമവാക്യം എന്നത് അതിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങളുടെ ചില മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സമത്വമാണ്. നിങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന അക്ഷരങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു. അജ്ഞാതമായ ഒന്നിനൊപ്പം ഒരു സമവാക്യം എഴുതുക, അതിനെ x എന്ന് വിളിക്കുക. മുയലുകളെക്കുറിച്ചുള്ള ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും: 5 + x = 20.

20 ഉം 5 ഉം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താം. കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, അതിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്ന സംഖ്യ കുറയുന്നു. കുറയ്ക്കുന്ന സംഖ്യയെ വിളിക്കുന്നു, അവസാന ഫലത്തെ വ്യത്യാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, x = 20 - 5; x = 15. മുയലുകൾക്ക് 15 കാരറ്റ് വാങ്ങണം.

ഒരു പരിശോധന നടത്തുക: 5 + 15 = 20. സമവാക്യം ശരിയാണ്. തീർച്ചയായും, എപ്പോൾ നമ്മള് സംസാരിക്കുകയാണ്അത്തരം ലളിതമായ കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച്, ഒരു പരിശോധന നടത്തേണ്ട ആവശ്യമില്ല. എന്നിരുന്നാലും, മൂന്ന് അക്കങ്ങൾ, നാല് അക്കങ്ങൾ എന്നിങ്ങനെയുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ വരുമ്പോൾ, നിങ്ങളുടെ ജോലിയുടെ ഫലത്തെക്കുറിച്ച് തികച്ചും ഉറപ്പുണ്ടെന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമാണ്.

അനുബന്ധ വീഡിയോകൾ

സഹായകരമായ ഉപദേശം

അജ്ഞാതമായ മൈനന്റ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ വ്യത്യാസത്തിലേക്ക് സബ്‌ട്രാഹെൻഡ് ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അജ്ഞാതമായ സബ്‌ട്രാഹെൻഡ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, മൈനൻഡിൽ നിന്ന് വ്യത്യാസം കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ടിപ്പ് 4: മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം

മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് മതിയായ സമവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ചോ ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ചോ നിങ്ങൾക്ക് ഇത് പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം. ക്രാമറിന്റെ രീതി, സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിനു പുറമേ, അജ്ഞാതരുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് മുമ്പ് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാനാകുമോ എന്ന് വിലയിരുത്താൻ ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നു.

നിർദ്ദേശം

മറ്റ് രണ്ടിലൂടെ തുടർച്ചയായി അജ്ഞാതമായ ഒന്ന്, ലഭിച്ച ഫലം സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതാണ് സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി. മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ നൽകാം:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x പ്രകടമാക്കുക: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - കൂടാതെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പകരം വയ്ക്കുക, തുടർന്ന് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് y പ്രകടിപ്പിക്കുകയും മൂന്നാമത്തേതിന് പകരമാവുകയും ചെയ്യുക. സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് z-നുള്ള ഒരു ലീനിയർ എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിക്കും. ഇപ്പോൾ "പിന്നിലേക്ക്" പോകുക: രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് z പ്ലഗ് ചെയ്ത് y കണ്ടെത്തുക, തുടർന്ന് z, y എന്നിവ ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പ്ലഗ് ചെയ്ത് x കണ്ടെത്തുക. z കണ്ടെത്തുന്നതുവരെ പ്രക്രിയ സാധാരണയായി ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. കൂടാതെ, പൊതുവായ രൂപത്തിൽ റെക്കോർഡ് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായിരിക്കും, പ്രായോഗികമായി, പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നിങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് അജ്ഞാതരെയും എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിലും ഈ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് കണക്കാക്കുന്നതിലും കൂടാതെ മൂന്ന് ഓക്സിലറി മെട്രിക്സുകളും ക്രാമറിന്റെ രീതി ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സ് സമവാക്യങ്ങളുടെ അജ്ഞാത പദങ്ങളിലെ ഗുണകങ്ങൾ ചേർന്നതാണ്. സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്തുള്ള അക്കങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന നിര, വലതുവശത്തെ നിര. ഇത് സിസ്റ്റത്തിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നില്ല, പക്ഷേ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അനുബന്ധ വീഡിയോകൾ

കുറിപ്പ്

സിസ്റ്റത്തിലെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് സ്വതന്ത്രമായി കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ നൽകണം. അല്ലെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം അടിവരയിടും, കൂടാതെ വ്യക്തമല്ലാത്ത പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ കഴിയില്ല.

സഹായകരമായ ഉപദേശം

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ച ശേഷം, കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റി അവ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോയെന്ന് പരിശോധിക്കുക.

അത് സ്വയം സമവാക്യംമൂന്ന് കൂടെ അജ്ഞാതംനിരവധി പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്, അതിനാൽ മിക്കപ്പോഴും ഇത് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളോ വ്യവസ്ഥകളോ കൂടി അനുബന്ധമായി നൽകുന്നു. പ്രാരംഭ ഡാറ്റ എന്താണെന്നതിനെ ആശ്രയിച്ച്, തീരുമാനത്തിന്റെ ഗതി പ്രധാനമായും ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം.

നിർദ്ദേശം

മൂന്ന് സിസ്റ്റങ്ങളിൽ രണ്ടിൽ മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളിൽ രണ്ടെണ്ണം മാത്രമേ ഉള്ളൂവെങ്കിൽ, മറ്റുള്ളവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ചില വേരിയബിളുകൾ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അവയെ പ്ലഗ് ചെയ്യുകയും ചെയ്യുക. സമവാക്യംമൂന്ന് കൂടെ അജ്ഞാതം. ഇത് ഒരു സാധാരണ നിലയിലേക്ക് മാറ്റുക എന്നതാണ് നിങ്ങളുടെ ലക്ഷ്യം സമവാക്യംഅജ്ഞാതന്റെ കൂടെ. ഇതാണെങ്കിൽ, തുടർന്നുള്ള പരിഹാരം വളരെ ലളിതമാണ് - കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തെ മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റി മറ്റ് അജ്ഞാതങ്ങളെ കണ്ടെത്തുക.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ചില സിസ്റ്റങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്ന് കുറയ്ക്കാൻ കഴിയും. രണ്ട് അജ്ഞാതങ്ങൾ ഒരേസമയം കുറയുന്ന തരത്തിൽ ഒന്നിനെയോ വേരിയബിളിനെയോ ഗുണിക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നോക്കുക. അത്തരമൊരു അവസരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അത് ഉപയോഗിക്കുക, മിക്കവാറും, തുടർന്നുള്ള തീരുമാനം ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കില്ല. ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഇടതുവശത്തും വലതുവശത്തും ഗുണിക്കണം എന്നത് മറക്കരുത്. അതുപോലെ, സമവാക്യങ്ങൾ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, വലതുഭാഗവും കുറയ്ക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ഓർമ്മിക്കുക.

എങ്കിൽ മുൻ രീതികൾസഹായിച്ചില്ല, മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് പൊതുവായ രീതി ഉപയോഗിക്കുക അജ്ഞാതം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 എന്ന രൂപത്തിൽ സമവാക്യങ്ങൾ തിരുത്തിയെഴുതുക. ഇപ്പോൾ x (A) യിൽ ഗുണകങ്ങളുടെ ഒരു മെട്രിക്സ്, അജ്ഞാതരുടെ (X) മാട്രിക്സ്, സ്വതന്ത്രമായവയുടെ (B) മാട്രിക്സ് എന്നിവ ഉണ്ടാക്കുക. ശ്രദ്ധിക്കുക, ഗുണകങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ് അജ്ഞാതരുടെ മാട്രിക്സ് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മാട്രിക്സ് ലഭിക്കും, സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ്, അതായത്, A * X \u003d B.

കണ്ടെത്തിയതിന് ശേഷം പവർ (-1) ലേക്ക് മാട്രിക്സ് എ കണ്ടെത്തുക, അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കരുത് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനുശേഷം, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മാട്രിക്സിനെ മാട്രിക്സ് ബി കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അതിന്റെ ഫലമായി നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമുള്ള മാട്രിക്സ് X ലഭിക്കും, എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് മൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താനും കഴിയും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിന്റെ മാട്രിക്സുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മൂന്നാം-ഓർഡർ ഡിറ്റർമിനന്റ് ∆ കണ്ടെത്തുക. തുടർന്ന് തുടർച്ചയായി മൂന്ന് ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ കൂടി കണ്ടെത്തുക ∆1, ∆2, ∆3, അനുബന്ധ നിരകളുടെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് പകരം സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഇപ്പോൾ x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆ കണ്ടെത്തുക.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• മൂന്ന് അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങി, ഈ സമവാക്യങ്ങൾ എന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തുക. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ നന്നായി പഠിച്ചു. രേഖീയമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ മിക്കപ്പോഴും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നില്ല. ഒരു പ്രത്യേക കേസുകൾ മാത്രമേയുള്ളൂ, അവ ഓരോന്നും പ്രായോഗികമായി വ്യക്തിഗതമാണ്. അതിനാൽ, പരിഹാര രീതികളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കണം. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പൂർണ്ണമായും അൽഗോരിതമായി പോലും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും.

കണ്ടെത്തിയ അജ്ഞാതരുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ കൃത്യമായി സമാനമാണ്. അതെ, ന്യൂമറേറ്ററുകൾ അവയുടെ നിർമ്മാണത്തിന്റെ ചില പാറ്റേണുകൾ ദൃശ്യമാണ്. സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അളവ് രണ്ടിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, എലിമിനേഷൻ രീതി വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളിലേക്ക് നയിക്കും. അവ ഒഴിവാക്കാൻ, പൂർണ്ണമായും അൽഗോരിതം പരിഹാരങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്. അവയിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് ക്രാമറിന്റെ അൽഗോരിതം (ക്രാമർ ഫോർമുലകൾ) ആണ്. കാരണം നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം പൊതു സംവിധാനം n സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

n അജ്ഞാതങ്ങളുമായുള്ള n ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് (ചിത്രം 1a കാണുക). അതിൽ, AIj എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്,
хj - അജ്ഞാതർ, ദ്വി - സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങൾ (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). അത്തരമൊരു സംവിധാനം AX=B എന്ന മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ ഒതുക്കമുള്ള രീതിയിൽ എഴുതാം. ഇവിടെ A എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ കോഫിഫിഷ്യന്റ് മാട്രിക്‌സ് ആണ്, X എന്നത് അജ്ഞാതരുടെ കോളം മാട്രിക്‌സ് ആണ്, B എന്നത് സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ കോളം മാട്രിക്‌സ് ആണ് (ചിത്രം 1b കാണുക). ക്രാമറിന്റെ രീതി അനുസരിച്ച്, ഓരോ അജ്ഞാത xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). ഗുണകങ്ങളുടെ മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ∆ പ്രധാന ഡിറ്റർമിനന്റ് എന്നും ∆i-യെ ഓക്സിലിയറി എന്നും വിളിക്കുന്നു. അജ്ഞാതമായ ഓരോന്നിനും, മെയിൻ ഡിറ്റർമിനന്റിന്റെ i-th കോളം സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ ഒരു കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ ഒരു സഹായ ഡിറ്റർമിനന്റ് കണ്ടെത്തുന്നു. രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഓർഡറിന്റെ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ കാര്യത്തിനായുള്ള ക്രാമർ രീതി ചിത്രം വിശദമായി അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 2.

രണ്ടോ അതിലധികമോ സമത്വങ്ങളുടെ ഒരു യൂണിയൻ ആണ് സിസ്റ്റം, അവയിൽ ഓരോന്നിനും രണ്ടോ അതിലധികമോ അജ്ഞാതങ്ങളുണ്ട്. ചട്ടക്കൂടിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് രണ്ട് പ്രധാന വഴികളുണ്ട് സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി. അവയിലൊന്നിനെ രീതി എന്ന് വിളിക്കുന്നു, മറ്റൊന്ന് കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി.

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുള്ള ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം

ചെയ്തത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോംആദ്യ സമവാക്യം a1*x+b1*y=c1, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം a2*x+b2*y=c2, എന്നിങ്ങനെ. ഉദാഹരണത്തിന്, സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ a1, a2, b1, b2, c1, c2 എന്നിവ നിർദ്ദിഷ്ട സമവാക്യങ്ങളിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ചില സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളാണ്. അതാകട്ടെ, x ഉം y ഉം അജ്ഞാതങ്ങളാണ്, അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ആവശ്യമുള്ള മൂല്യങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളെയും ഒരേസമയം യഥാർത്ഥ തുല്യതകളാക്കി മാറ്റുന്നു.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം

സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അതായത്, x, y എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ യഥാർത്ഥ തുല്യതകളാക്കി മാറ്റുന്നതിന്, നിങ്ങൾ കുറച്ച് ലളിതമായ ഘട്ടങ്ങൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇവയിൽ ആദ്യത്തേത്, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലെയും x അല്ലെങ്കിൽ y വേരിയബിളിന്റെ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ കേവല മൂല്യത്തിൽ യോജിക്കുന്ന തരത്തിൽ ഏതെങ്കിലും സമവാക്യങ്ങളെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുക എന്നതാണ്, എന്നാൽ ചിഹ്നത്തിൽ വ്യത്യാസമുണ്ട്.

ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു സിസ്റ്റം നൽകട്ടെ. അവയിൽ ആദ്യത്തേതിന് 2x+4y=8 രൂപമുണ്ട്, രണ്ടാമത്തേതിന് 6x+2y=6 രൂപമുണ്ട്. ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷനുകളിലൊന്ന്, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ -2 എന്ന ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക എന്നതാണ്, അത് അതിനെ -12x-4y=-12 എന്ന ഫോമിലേക്ക് നയിക്കും. സങ്കലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിലെ പ്രധാന ചുമതലകളിലൊന്നാണ് ഗുണകത്തിന്റെ ശരിയായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്, കാരണം ഇത് അജ്ഞാതരെ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഗതിയും നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഇപ്പോൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വ്യക്തമായും, മൂല്യത്തിൽ തുല്യവും എന്നാൽ വിപരീത ചിഹ്ന ഗുണകങ്ങളുമുള്ള വേരിയബിളുകളുടെ പരസ്പര നാശം അതിനെ -10x=-4 രൂപത്തിലേക്ക് നയിക്കും. അതിനുശേഷം, ഈ ലളിതമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിൽ നിന്ന് x=0.4 എന്ന് അവ്യക്തമായി പിന്തുടരുന്നു.

അവസാന ഘട്ടംപരിഹരിക്കുന്ന പ്രക്രിയയിൽ, സിസ്റ്റത്തിൽ ലഭ്യമായ ഏതെങ്കിലും പ്രാരംഭ തുല്യതകളിൽ വേരിയബിളുകളിലൊന്നിന്റെ കണ്ടെത്തിയ മൂല്യത്തിന്റെ പകരമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് x=0.4 പകരം വയ്ക്കുന്നത്, നിങ്ങൾക്ക് 2*0.4+4y=8 എന്ന പദപ്രയോഗം ലഭിക്കും, അതിൽ നിന്ന് y=1.8. അങ്ങനെ, x=0.4, y=1.8 എന്നിവ ഉദാഹരണത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ റൂട്ടുകളാണ്.

വേരുകൾ ശരിയായി കണ്ടെത്തിയെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചുകൊണ്ട് പരിശോധിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇൻ ഈ കാര്യം 0.4*6+1.8*2=6 എന്ന ഫോമിന്റെ തുല്യത ലഭിക്കും, അത് ശരിയാണ്.

അനുബന്ധ വീഡിയോകൾ

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ (SLAE) സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ ലീനിയർ ബീജഗണിത കോഴ്സിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വിഷയമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ എല്ലാ ശാഖകളിൽ നിന്നുമുള്ള ധാരാളം പ്രശ്നങ്ങൾ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാര സംവിധാനത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു. ഈ ഘടകങ്ങൾ ഈ ലേഖനം സൃഷ്ടിക്കുന്നതിനുള്ള കാരണം വിശദീകരിക്കുന്നു. ലേഖനത്തിന്റെ മെറ്റീരിയൽ തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഘടനാപരമായതിനാൽ അതിന്റെ സഹായത്തോടെ നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും

• നിങ്ങളുടെ ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുക,
• തിരഞ്ഞെടുത്ത രീതിയുടെ സിദ്ധാന്തം പഠിക്കുക,
• സാധാരണ ഉദാഹരണങ്ങളുടെയും പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരങ്ങൾ വിശദമായി പരിഗണിച്ചുകൊണ്ട് നിങ്ങളുടെ രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക.

ലേഖനത്തിന്റെ മെറ്റീരിയലിന്റെ ഹ്രസ്വ വിവരണം.

ആദ്യം, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ എല്ലാ നിർവചനങ്ങളും ആശയങ്ങളും നൽകുകയും ചില നൊട്ടേഷൻ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അടുത്തതായി, ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു, അതിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, അവയ്ക്ക് അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്. ആദ്യം, നമുക്ക് ക്രാമർ രീതിയിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം, രണ്ടാമതായി, അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള മാട്രിക്സ് രീതി ഞങ്ങൾ കാണിക്കും, മൂന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ ഗാസ് രീതി വിശകലനം ചെയ്യും (അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന രീതി). സിദ്ധാന്തം ഏകീകരിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ തീർച്ചയായും നിരവധി SLAE-കൾ പല തരത്തിൽ പരിഹരിക്കും.

അതിനുശേഷം, ഞങ്ങൾ ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങളിലേക്ക് തിരിയുന്നു പൊതുവായ കാഴ്ച, ഇതിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല അല്ലെങ്കിൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ഡീജനറേറ്റ് ആണ്. നമുക്ക് ക്രോണേക്കർ - കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്താം, ഇത് SLAE യുടെ അനുയോജ്യത സ്ഥാപിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ അടിസ്ഥാന മൈനർ എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പരിഹാരം (അവയുടെ അനുയോജ്യതയുടെ കാര്യത്തിൽ) നമുക്ക് വിശകലനം ചെയ്യാം. ഞങ്ങൾ ഗൗസ് രീതിയും പരിഗണിക്കുകയും ഉദാഹരണങ്ങളുടെ പരിഹാരങ്ങൾ വിശദമായി വിവരിക്കുകയും ചെയ്യും.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനവും അസന്തുലിതവുമായ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പൊതുവായ പരിഹാരത്തിന്റെ ഘടനയിൽ വസിക്കുന്നത് ഉറപ്പാക്കുക. പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനത്തിന്റെ ആശയം നമുക്ക് നൽകാം, കൂടാതെ SLAE യുടെ പൊതുവായ പരിഹാരം എങ്ങനെയാണ് അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനത്തിന്റെ വെക്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് എഴുതപ്പെട്ടതെന്ന് കാണിക്കാം. മികച്ച ധാരണയ്ക്കായി, നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉപസംഹാരമായി, രേഖീയമായവയിലേക്ക് ചുരുക്കിയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങളും അതുപോലെ തന്നെ SLAE-കൾ ഉണ്ടാകുന്ന വിവിധ പ്രശ്നങ്ങളും ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു.

പേജ് നാവിഗേഷൻ.

നിർവചനങ്ങൾ, ആശയങ്ങൾ, പദവികൾ.

ഫോമിന്റെ n അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ (p n ന് തുല്യമായിരിക്കാം) ഉള്ള p ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കും.

അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ, - ഗുണകങ്ങൾ (ചില യഥാർത്ഥ അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകൾ), - സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങൾ (യഥാർത്ഥ അല്ലെങ്കിൽ സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളും).

SLAE യുടെ ഈ രൂപത്തെ വിളിക്കുന്നു ഏകോപിപ്പിക്കുക.

IN മാട്രിക്സ് ഫോംഈ സമവാക്യ സമ്പ്രദായത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്,
എവിടെ - സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ്, - അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ മാട്രിക്സ്-നിര, - സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ്-കോളം.

സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ് കോളം (n + 1)-ആം നിരയായി ഞങ്ങൾ മാട്രിക്സ് എ-ലേക്ക് ചേർത്താൽ, നമുക്ക് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ലഭിക്കും. വികസിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ്രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനങ്ങൾ. സാധാരണയായി, വർദ്ധിപ്പിച്ച മാട്രിക്സ് T എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങളുടെ കോളം വേർതിരിക്കുന്നത് ലംബ രേഖബാക്കിയുള്ള നിരകളിൽ നിന്ന്, അതായത്,

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെഅജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം മൂല്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു, ഇത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളെയും ഐഡന്റിറ്റികളാക്കി മാറ്റുന്നു. അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള മാട്രിക്സ് സമവാക്യവും ഒരു ഐഡന്റിറ്റിയായി മാറുന്നു.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് കുറഞ്ഞത് ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സംയുക്ത.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു പൊരുത്തമില്ലാത്ത.

ഒരു SLAE-ക്ക് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ഉറപ്പാണ്; ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ - അനിശ്ചിതത്വം.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളുടെയും സ്വതന്ത്ര നിബന്ധനകൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ , അപ്പോൾ സിസ്റ്റം വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ, അല്ലാത്തപക്ഷം - വൈവിധ്യമാർന്ന.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രാഥമിക സംവിധാനങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ അതിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അത്തരം SLAE കൾ എന്ന് വിളിക്കും. പ്രാഥമിക. അത്തരം സമവാക്യ സംവിധാനങ്ങൾക്ക് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്, ഒരു ഏകീകൃത സിസ്റ്റത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ, എല്ലാ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

അത്തരം SLAE-കളെ ഞങ്ങൾ പഠിക്കാൻ തുടങ്ങി ഹൈസ്കൂൾ. അവ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഒരു സമവാക്യം എടുത്ത്, ഒരു അജ്ഞാത വേരിയബിൾ മറ്റുള്ളവരുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ബാക്കിയുള്ള സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും, തുടർന്ന് അടുത്ത സമവാക്യം എടുക്കുകയും അടുത്ത അജ്ഞാത വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും മറ്റ് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റി സ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്തു. അല്ലെങ്കിൽ അവർ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ചു, അതായത്, ചില അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കാൻ അവർ രണ്ടോ അതിലധികമോ സമവാക്യങ്ങൾ ചേർത്തു. ഈ രീതികളിൽ ഞങ്ങൾ വിശദമായി വസിക്കുകയില്ല, കാരണം അവ പ്രധാനമായും ഗാസ് രീതിയുടെ പരിഷ്ക്കരണങ്ങളാണ്.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രാഥമിക സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതികൾ ക്രാമർ രീതി, മാട്രിക്സ് രീതി, ഗാസ് രീതി എന്നിവയാണ്. നമുക്ക് അവ പരിഹരിക്കാം.

ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്ന സംവിധാനങ്ങൾ.

നമുക്ക് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്

ഇതിൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അതായത്, .

സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് ആകട്ടെ, ഒപ്പം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ എയിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന മെട്രിക്സുകളുടെ ഡിറ്റർമിനന്റുകളാണ് 1, 2, ..., nthസ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ നിരയിലേക്ക് യഥാക്രമം കോളം:

അത്തരം നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ക്രാമർ രീതിയുടെ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു . ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ക്രാമർ രീതിയിലൂടെ കണ്ടെത്തുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്.

ഉദാഹരണം.

ക്രാമർ രീതി .

പരിഹാരം.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന് ഒരു രൂപമുണ്ട് . അതിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് കണക്കാക്കുക (ആവശ്യമെങ്കിൽ, ലേഖനം കാണുക):

സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് നോൺ സീറോ ആയതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തിന് ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകുന്ന ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ട്.

ആവശ്യമായ ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ രചിക്കുകയും കണക്കുകൂട്ടുകയും ചെയ്യുക (മാട്രിക്സ് എയിലെ ആദ്യ കോളം സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെയാണ് ഡിറ്റർമിനന്റ് ലഭിക്കുന്നത്, ഡിറ്റർമിനന്റ് - രണ്ടാമത്തെ കോളം സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, - മാട്രിക്സ് എയുടെ മൂന്നാം നിരയെ സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ കോളം ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ):

ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു :

ഉത്തരം:

ക്രാമർ രീതിയുടെ പ്രധാന പോരായ്മ (അതിനെ ഒരു പോരായ്മ എന്ന് വിളിക്കാമെങ്കിൽ) സിസ്റ്റം സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം മൂന്നിൽ കൂടുതലാകുമ്പോൾ ഡിറ്റർമിനന്റുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സങ്കീർണ്ണതയാണ്.

മാട്രിക്സ് രീതി (ഇൻവേഴ്സ് മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച്) ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ.

രേഖീയ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ നൽകട്ടെ, ഇവിടെ മാട്രിക്സ് A ന് n ന്റെ അളവ് ഉണ്ട്, അതിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യമല്ല.

എന്നതിനാൽ, മാട്രിക്സ് A വിപരീത മാട്രിക്സ് ആണ്, അതായത്, ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉണ്ട്. സമത്വത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും ഇടതുവശത്ത് കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ കോളം മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും. മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ലഭിച്ചു.

ഉദാഹരണം.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക മാട്രിക്സ് രീതി.

പരിഹാരം.

നമുക്ക് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം മാട്രിക്സ് രൂപത്തിൽ മാറ്റിയെഴുതാം:

കാരണം

മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് SLAE പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. വിപരീത മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച്, ഈ സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇങ്ങനെ കണ്ടെത്താം .

മാട്രിക്സ് എ മൂലകങ്ങളുടെ ബീജഗണിത പൂരകങ്ങളുടെ ഒരു മാട്രിക്സ് ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഒരു വിപരീത മാട്രിക്സ് നിർമ്മിക്കാം (ആവശ്യമെങ്കിൽ, ലേഖനം കാണുക):

ഇത് കണക്കാക്കാൻ ശേഷിക്കുന്നു - വിപരീത മാട്രിക്സ് ഗുണിച്ച് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ മാട്രിക്സ് സ്വതന്ത്ര അംഗങ്ങളുടെ മാട്രിക്സ് കോളത്തിൽ (ആവശ്യമെങ്കിൽ, ലേഖനം കാണുക):

ഉത്തരം:

അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു നൊട്ടേഷനിൽ x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

മാട്രിക്സ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിലെ പ്രധാന പ്രശ്നം വിപരീത മാട്രിക്സ് കണ്ടെത്തുന്നതിലെ സങ്കീർണ്ണതയാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് മൂന്നാമത്തേതിനേക്കാൾ ഉയർന്ന ക്രമത്തിലുള്ള ചതുര മെട്രിക്സിന്.

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ.

n അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുള്ള n ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് നമുക്ക് ഒരു പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക.
പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ ഡിറ്റർമിനന്റ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

ഗാസ് രീതിയുടെ സാരാംശംഅജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ തുടർച്ചയായ ഒഴിവാക്കലിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു: ആദ്യം, സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും x 1 ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു, തുടർന്ന് x 2 എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു, മൂന്നാമത്തേത് മുതൽ തുടങ്ങി, അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x n മാത്രം അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിലനിൽക്കും. അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനായി സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളെ പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു നേരിട്ടുള്ള ഗാസ് രീതി. ഗൗസിയൻ രീതിയുടെ ഫോർവേഡ് റൺ പൂർത്തിയാക്കിയ ശേഷം, അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x n കണ്ടെത്തുന്നു, ഈ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് അവസാനത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x n-1 കണക്കാക്കുന്നു, കൂടാതെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x 1 കണ്ടെത്തുന്നു. സിസ്റ്റത്തിന്റെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ആദ്യത്തേതിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണക്കാക്കുന്ന പ്രക്രിയയെ വിളിക്കുന്നു റിവേഴ്സ് ഗാസ് രീതി.

അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ ഇല്ലാതാക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം നമുക്ക് ചുരുക്കമായി വിവരിക്കാം.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ പുനഃക്രമീകരിക്കുന്നതിലൂടെ നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഇത് നേടാനാകുമെന്നതിനാൽ ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കും. സിസ്റ്റത്തിന്റെ എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഗുണിച്ച ആദ്യ സമവാക്യം ചേർക്കുക, മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ആദ്യം ഗുണിച്ചതിനെ ചേർക്കുക, അങ്ങനെ, ആദ്യത്തേത് nth സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം രൂപമെടുക്കും

എവിടെ , എ .

സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ മറ്റ് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ x 1 പ്രകടിപ്പിക്കുകയും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം മറ്റെല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലേക്കും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്താൽ നമ്മൾ അതേ ഫലത്തിലേക്ക് എത്തും. അങ്ങനെ, വേരിയബിൾ x 1 എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കപ്പെടുന്നു, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കുന്നു.

അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ സമാനമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു, പക്ഷേ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഒരു ഭാഗം മാത്രം, അത് ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് രണ്ടാമത്തേത് ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കുക, നാലാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് രണ്ടാമത്തേത് ഗുണിച്ച് ചേർക്കുക, അങ്ങനെ, രണ്ടാമത്തേത് n-ആം സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക. അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം രൂപമെടുക്കും

എവിടെ , എ . അങ്ങനെ, വേരിയബിൾ x 2 എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കിയിരിക്കുന്നു, മൂന്നാമത്തേത് മുതൽ.

അടുത്തതായി, ചിത്രത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഭാഗവുമായി സമാനമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ അജ്ഞാതമായ x 3 ഇല്ലാതാക്കുന്നതിലേക്ക് പോകുന്നു.

അതിനാൽ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കുന്നതുവരെ ഞങ്ങൾ ഗാസ് രീതിയുടെ നേരിട്ടുള്ള കോഴ്സ് തുടരുന്നു

ഈ നിമിഷം മുതൽ, ഞങ്ങൾ ഗാസ് രീതിയുടെ വിപരീത ഗതി ആരംഭിക്കുന്നു: അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ x n കണക്കാക്കുന്നു, ലഭിച്ച മൂല്യം x n ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x n-1 കണ്ടെത്തുന്നു, കൂടാതെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x 1 കണ്ടെത്തുന്നു.

ഉദാഹരണം.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക ഗാസിയൻ രീതി.

പരിഹാരം.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അജ്ഞാത വേരിയബിൾ x 1 ഒഴിവാക്കാം. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും സമവാക്യങ്ങളുടെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളിലേക്കും, യഥാക്രമം ഗുണിച്ചാൽ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ അനുബന്ധ ഭാഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു:

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ മൂന്നാം സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് x 2 ഒഴിവാക്കുന്നു, അതിന്റെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങളിലേക്ക് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങൾ ചേർത്ത്, ഗുണിച്ചാൽ:

ഇതിൽ, ഗാസ് രീതിയുടെ ഫോർവേഡ് കോഴ്സ് പൂർത്തിയായി, ഞങ്ങൾ റിവേഴ്സ് കോഴ്സ് ആരംഭിക്കുന്നു.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ അവസാന സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ x 3 കണ്ടെത്തുന്നു:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ അവശേഷിക്കുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുകയും ഇത് ഗാസ് രീതിയുടെ വിപരീത ഗതി പൂർത്തിയാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഉത്തരം:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

പൊതുവായ രൂപത്തിലുള്ള ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സോൾവിംഗ് സിസ്റ്റങ്ങൾ.

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, സിസ്റ്റം p യുടെ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാതമായ n എന്ന വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല:

അത്തരം SLAE-കൾക്ക് പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ലായിരിക്കാം, ഒരൊറ്റ പരിഹാരമുണ്ടാകാം, അല്ലെങ്കിൽ അനന്തമായ നിരവധി പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഈ പ്രസ്താവന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്, അതിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സ് ചതുരവും ഡീജനറേറ്റും ആണ്.

ക്രോനെക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് മുമ്പ്, അതിന്റെ അനുയോജ്യത സ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. SLAE എപ്പോൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, എപ്പോൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല എന്ന ചോദ്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുന്നു ക്രോനെക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം:
n അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള p സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് (p n ന് തുല്യമാകാം) സ്ഥിരത പുലർത്തുന്നതിന്, സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത് റാങ്ക്(A)=Rank(T) .

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന്റെ അനുയോജ്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ക്രോണേക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രയോഗം നമുക്ക് ഉദാഹരണമായി പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം.

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ഉണ്ടോ എന്ന് കണ്ടെത്തുക പരിഹാരങ്ങൾ.

പരിഹാരം.

. പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ബോർഡർ ചെയ്യുന്ന രീതി നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ മൈനർ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. അതിനെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള മൂന്നാം നിര പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ നോക്കാം:

എല്ലാ ബോർഡർ മൂന്നാം-ഓർഡർ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് രണ്ട് ആണ്.

അതാകട്ടെ, ഓഗ്മെന്റഡ് മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ മൈനർ ആയതിനാൽ ഇത് മൂന്നിന് തുല്യമാണ്

പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്.

അങ്ങനെ, Rang(A) , അതിനാൽ, ക്രോണേക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം.

ഉത്തരം:

പരിഹാര സംവിധാനമില്ല.

അതിനാൽ, ക്രോനെക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റത്തിന്റെ പൊരുത്തക്കേട് സ്ഥാപിക്കാൻ ഞങ്ങൾ പഠിച്ചു.

എന്നാൽ SLAE യുടെ അനുയോജ്യത സ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ അതിന്റെ പരിഹാരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് ഒരു മെട്രിക്സിന്റെ അടിസ്ഥാന മൈനറിന്റെ ആശയവും ഒരു മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിലുള്ള സിദ്ധാന്തവും ആവശ്യമാണ്.

പൂജ്യം ഒഴികെയുള്ള മാട്രിക്സ് എയുടെ ഏറ്റവും ഉയർന്ന ക്രമം മൈനറിനെ വിളിക്കുന്നു അടിസ്ഥാന.

അടിസ്ഥാന മൈനറിന്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അതിന്റെ ക്രമം മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണ്. നോൺ-സീറോ മാട്രിക്സ് എയ്ക്ക്, നിരവധി അടിസ്ഥാന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ ഉണ്ടാകാം; എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു അടിസ്ഥാന മൈനർ ഉണ്ടാകും.

ഉദാഹരണത്തിന്, മാട്രിക്സ് പരിഗണിക്കുക .

ഈ മാട്രിക്സിന്റെ എല്ലാ മൂന്നാം-ഓർഡർ മൈനറുകളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കാരണം ഈ മാട്രിക്സിന്റെ മൂന്നാമത്തെ വരിയിലെ ഘടകങ്ങൾ ഒന്നും രണ്ടും വരികളുടെ അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്.

രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിലെ ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ അടിസ്ഥാനപരമാണ്, കാരണം അവ പൂജ്യമല്ല

പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവർ അവ അടിസ്ഥാനപരമല്ല, കാരണം അവ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

മാട്രിക്സ് റാങ്ക് സിദ്ധാന്തം.

n പ്രകാരമുള്ള p ക്രമത്തിന്റെ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് r ആണെങ്കിൽ, തിരഞ്ഞെടുത്ത അടിസ്ഥാന മൈനർ രൂപപ്പെടുത്താത്ത മെട്രിക്സിന്റെ വരികളിലെ (നിരകളും) എല്ലാ ഘടകങ്ങളും അടിസ്ഥാന മൈനർ രൂപപ്പെടുന്ന വരികളുടെ (കോളങ്ങളുടെ) അനുബന്ധ ഘടകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ രേഖീയമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

മാട്രിക്സ് റാങ്ക് സിദ്ധാന്തം നമുക്ക് എന്താണ് നൽകുന്നത്?

ക്രോണേക്കർ-കാപെല്ലി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അനുയോജ്യത സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ ഏതെങ്കിലും അടിസ്ഥാന മൈനർ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു (അതിന്റെ ക്രമം r ന് തുല്യമാണ്), കൂടാതെ തിരഞ്ഞെടുത്ത അടിസ്ഥാന മൈനർ രൂപപ്പെടുത്താത്ത എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുക. ഈ രീതിയിൽ ലഭിച്ച SLAE യഥാർത്ഥ ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും, കാരണം നിരസിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ ഇപ്പോഴും അനാവശ്യമാണ് (മാട്രിക്സ് റാങ്ക് സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് അവ ശേഷിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനമാണ്).

തൽഫലമായി, സിസ്റ്റത്തിന്റെ അമിതമായ സമവാക്യങ്ങൾ നിരസിച്ചതിന് ശേഷം, രണ്ട് കേസുകൾ സാധ്യമാണ്.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിലെ r എന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത് വ്യക്തമാകും, ക്രാമർ രീതി, മാട്രിക്സ് രീതി അല്ലെങ്കിൽ ഗാസ് രീതി എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഒരേയൊരു പരിഹാരം കണ്ടെത്താനാകും.

ഉദാഹരണം.

.

പരിഹാരം.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ മൈനർ ആയതിനാൽ രണ്ടിന് തുല്യമാണ് പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. വിപുലീകരിച്ച മാട്രിക്സ് റാങ്ക് മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിലെ ഒരേയൊരു മൈനർ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ ഇത് രണ്ടിന് തുല്യമാണ്

മുകളിൽ പരിഗണിക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ ക്രമത്തിന്റെ മൈനർ പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. ക്രോണെക്കർ-കാപ്പെല്ലി സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, റാങ്ക്(എ)=റാങ്ക്(ടി)=2 ആയതിനാൽ, രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അനുയോജ്യത ഒരാൾക്ക് ഉറപ്പിക്കാം.

അടിസ്ഥാന മൈനർ എന്ന നിലയിൽ, ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു . ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങളുടെ ഗുണകങ്ങളാൽ ഇത് രൂപം കൊള്ളുന്നു:


സിസ്റ്റത്തിന്റെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം അടിസ്ഥാന മൈനറിന്റെ രൂപീകരണത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ മാട്രിക്സ് റാങ്ക് സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ അതിനെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് ഒഴിവാക്കുന്നു:


അങ്ങനെ നമുക്ക് ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു പ്രാഥമിക സംവിധാനം ലഭിച്ചു. ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് പരിഹരിക്കാം:


ഉത്തരം:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന SLAE-ൽ സമവാക്യങ്ങളുടെ എണ്ണം r ആണെങ്കിൽ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവ്അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ n, തുടർന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത് വശത്ത് ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന മൈനർ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന പദങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കുകയും ശേഷിക്കുന്ന പദങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്തേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നത്തോടെ മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു.

സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടത് വശത്ത് അവശേഷിക്കുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളെ (അവയിൽ r ഉണ്ട്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രധാനം.

വലതുവശത്ത് അവസാനിക്കുന്ന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ (അവയിൽ n - r ഉണ്ട്) എന്ന് വിളിക്കുന്നു സൗ ജന്യം.

സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു, അതേസമയം r പ്രധാന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഒരു തനതായ രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന SLAE ക്രാമർ രീതി, മാട്രിക്സ് രീതി അല്ലെങ്കിൽ ഗാസ് രീതി എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നതിലൂടെ അവയുടെ പദപ്രയോഗം കണ്ടെത്താനാകും.

നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം എടുക്കാം.

ഉദാഹരണം.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം പരിഹരിക്കുക .

പരിഹാരം.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്തുക ബോർഡറിംഗ് മൈനേഴ്സ് രീതി വഴി. പൂജ്യമല്ലാത്ത ഫസ്റ്റ് ഓർഡർ മൈനറായി നമുക്ക് 1 1 = 1 എടുക്കാം. ഈ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള സീറോ അല്ലാത്ത ഒരു സെക്കൻഡ് ഓർഡർ മൈനർക്കായി നമുക്ക് തിരയാൻ തുടങ്ങാം:


അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരു മൈനർ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ സീറോ അല്ലാത്ത ബോർഡർ മൈനറിനായി നമുക്ക് തിരയാൻ തുടങ്ങാം:


അങ്ങനെ, പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് മൂന്ന് ആണ്. ആഗ്മെന്റഡ് മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കും മൂന്നിന് തുല്യമാണ്, അതായത്, സിസ്റ്റം സ്ഥിരതയുള്ളതാണ്.

മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിലെ സീറോ അല്ലാത്ത മൈനർ അടിസ്ഥാനമായി എടുക്കും.

വ്യക്തതയ്ക്കായി, മൈനറിന്റെ അടിസ്ഥാനമായ ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു:


സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്തുള്ള അടിസ്ഥാന മൈനറിൽ പങ്കെടുക്കുന്ന നിബന്ധനകൾ ഞങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കുന്നു, ബാക്കിയുള്ളവ വലത് വശങ്ങളിലേക്ക് വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളോടെ കൈമാറുന്നു:


ഞങ്ങൾ അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ x 2, x 5 അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു, അതായത്, ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു , അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, SLAE ഫോം എടുക്കുന്നു


ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ലഭിച്ച പ്രാഥമിക സംവിധാനം ഞങ്ങൾ ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു:


അതിനാൽ, .

ഉത്തരത്തിൽ, സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ സൂചിപ്പിക്കാൻ മറക്കരുത്.

ഉത്തരം:

അനിയന്ത്രിതമായ സംഖ്യകൾ എവിടെയാണ്.

സംഗഹിക്കുക.

ഒരു പൊതു രൂപത്തിന്റെ ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, ക്രോനെക്കർ-കാപെല്ലി സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ആദ്യം അതിന്റെ അനുയോജ്യത കണ്ടെത്തുന്നു. പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം പൊരുത്തമില്ലാത്തതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു.

പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ അടിസ്ഥാന മൈനർ തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും തിരഞ്ഞെടുത്ത അടിസ്ഥാന മൈനറിന്റെ രൂപീകരണത്തിൽ പങ്കെടുക്കാത്ത സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ നിരസിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

അടിസ്ഥാന മൈനറിന്റെ ക്രമം അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, SLAE-ക്ക് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്, അത് നമുക്ക് അറിയാവുന്ന ഏത് രീതിയിലും കണ്ടെത്താനാകും.

അടിസ്ഥാന മൈനറിന്റെ ക്രമം അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്തുള്ള പ്രധാന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്കൊപ്പം ഞങ്ങൾ നിബന്ധനകൾ ഉപേക്ഷിക്കുകയും ശേഷിക്കുന്ന നിബന്ധനകൾ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുകയും സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന്, ക്രാമർ രീതി, മാട്രിക്സ് രീതി അല്ലെങ്കിൽ ഗാസ് രീതി എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പ്രധാന അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

പൊതുവായ രൂപത്തിലുള്ള ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗാസ് രീതി.

ഗാസ് രീതി ഉപയോഗിച്ച്, ഏതെങ്കിലും തരത്തിലുള്ള ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ അവയുടെ അനുയോജ്യതയ്ക്കായി പ്രാഥമിക അന്വേഷണമില്ലാതെ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ തുടർച്ചയായി ഇല്ലാതാക്കുന്ന പ്രക്രിയ SLAE യുടെ അനുയോജ്യതയെയും പൊരുത്തക്കേടിനെയും കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു, ഒരു പരിഹാരം നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അത് കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജോലിയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, ഗൗസിയൻ രീതിയാണ് അഭികാമ്യം.

ശ്രദ്ധിക്കൂ വിശദമായ വിവരണംകൂടാതെ പൊതുവായ രൂപത്തിലുള്ള ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഗാസ് രീതി എന്ന ലേഖനത്തിലെ ഉദാഹരണങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്തു.

അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനത്തിന്റെ വെക്റ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏകതാനവും അസമവുമായ ലീനിയർ ബീജഗണിത സംവിധാനങ്ങളുടെ പൊതുവായ പരിഹാരം രേഖപ്പെടുത്തുന്നു.

ഈ വിഭാഗത്തിൽ, അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുള്ള ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ സംയുക്ത ഏകതാനവും അസമമായതുമായ സിസ്റ്റങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കും.

നമുക്ക് ആദ്യം ഏകതാനമായ സംവിധാനങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യാം.

അടിസ്ഥാന തീരുമാന സംവിധാനം n അജ്ഞാത വേരിയബിളുകളുള്ള p ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സിസ്റ്റം ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ (n - r) രേഖീയ സ്വതന്ത്ര പരിഹാരങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്, ഇവിടെ r എന്നത് സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ അടിസ്ഥാന മൈനറിന്റെ ക്രമമാണ്.

ഒരു ഏകീകൃത SLAE യുടെ രേഖീയമായി സ്വതന്ത്രമായ പരിഹാരങ്ങൾ X (1) , X (2) , ..., X (n-r) (X (1) , X (2) , ..., X (n-r) എന്നത് n കൊണ്ട് 1 എന്ന അളവിലുള്ള കോളം കാര്യക്ഷമതയുള്ള സംഖ്യകളാണ്), ഈ ഏകീകൃത സിസ്റ്റത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം വെക്റ്ററുകളുടെ രേഖീയ സംയോജനത്തിന്റെ രേഖീയ സംയോജനമായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. , С 2 , …, С (n-r), അതായത്, .

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ (ഓറോസ്ലൗ) ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം എന്ന പദം എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

അർത്ഥം ലളിതമാണ്: ഫോർമുല എല്ലാം സജ്ജമാക്കുന്നു സാധ്യമായ പരിഹാരങ്ങൾയഥാർത്ഥ SLAE, മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, അനിയന്ത്രിതമായ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ ഏതെങ്കിലും സെറ്റ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുമ്പോൾ, സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, യഥാർത്ഥ ഏകതാനമായ SLAE യുടെ പരിഹാരങ്ങളിലൊന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനം കണ്ടെത്തുകയാണെങ്കിൽ, ഈ ഏകതാനമായ SLAE യുടെ എല്ലാ പരിഹാരങ്ങളും നമുക്ക് ഇതായി സജ്ജമാക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു ഏകീകൃത SLAE-നുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം നിർമ്മിക്കുന്ന പ്രക്രിയ നമുക്ക് കാണിക്കാം.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ സിസ്റ്റത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന മൈനർ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് മറ്റെല്ലാ സമവാക്യങ്ങളും ഒഴിവാക്കി, സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയ എല്ലാ പദങ്ങളും വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളോടെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ സമവാക്യങ്ങളുടെ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു. അറിയാത്തവ സൗജന്യമായി നൽകാം വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ 1,0,0,...,0 കൂടാതെ ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പ്രാഥമിക സിസ്റ്റം ഏതെങ്കിലും വിധത്തിൽ പരിഹരിച്ചുകൊണ്ട് പ്രധാന അജ്ഞാതങ്ങളെ കണക്കാക്കുക, ഉദാഹരണത്തിന്, ക്രാമർ രീതി ഉപയോഗിച്ച്. അങ്ങനെ, X (1) ലഭിക്കും - അടിസ്ഥാന വ്യവസ്ഥയുടെ ആദ്യ പരിഹാരം. നമ്മൾ അജ്ഞാതർക്ക് 0,1,0,0,...,0 മൂല്യങ്ങൾ നൽകുകയും പ്രധാന അജ്ഞാതങ്ങൾ കണക്കാക്കുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് X (2) ലഭിക്കും. ഇത്യാദി. നമ്മൾ സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് 0,0,…,0,1 മൂല്യങ്ങൾ നൽകുകയും പ്രധാന അജ്ഞാതങ്ങൾ കണക്കാക്കുകയും ചെയ്താൽ, നമുക്ക് X (n-r) ലഭിക്കും. ഏകതാനമായ SLAE യുടെ പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം ഇങ്ങനെയാണ് നിർമ്മിക്കപ്പെടുക, അതിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരം രൂപത്തിൽ എഴുതാം.

ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ അസന്തുലിതമായ സിസ്റ്റങ്ങൾക്ക്, പൊതുവായ പരിഹാരം ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു

ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം.

പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനവും ലീനിയർ ബീജഗണിത സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ഏകീകൃത സംവിധാനത്തിന്റെ പൊതുവായ പരിഹാരവും കണ്ടെത്തുക .

പരിഹാരം.

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റങ്ങളുടെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും വിപുലീകൃത മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്കിന് തുല്യമാണ്. പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരെ ഫ്രിംഗ് ചെയ്യുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് കണ്ടെത്താം. ആദ്യ ഓർഡറിന്റെ നോൺസീറോ മൈനർ എന്ന നിലയിൽ, സിസ്റ്റത്തിന്റെ പ്രധാന മാട്രിക്സിന്റെ ഒരു 1 1 = 9 എന്ന ഘടകം ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ ബോർഡിംഗ് നോൺ-സീറോ മൈനർ കണ്ടെത്തുക:

പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ ഒരു മൈനർ കണ്ടെത്തി. പൂജ്യമല്ലാത്ത ഒരെണ്ണം തേടി നമുക്ക് അതിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള മൂന്നാം-ഓർഡർ മൈനറിലൂടെ പോകാം:

മൂന്നാമത്തെ ഓർഡറിന്റെ അതിർത്തിയിലുള്ള എല്ലാ പ്രായപൂർത്തിയാകാത്തവരും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ, പ്രധാനവും വിപുലീകൃതവുമായ മാട്രിക്സിന്റെ റാങ്ക് രണ്ട് ആണ്. അടിസ്ഥാന മൈനർ എടുക്കാം. വ്യക്തതയ്ക്കായി, അത് രൂപപ്പെടുത്തുന്ന സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഘടകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു:

യഥാർത്ഥ SLAE യുടെ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം അടിസ്ഥാന മൈനറിന്റെ രൂപീകരണത്തിൽ പങ്കെടുക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ, ഇത് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്:

സമവാക്യങ്ങളുടെ വലത് വശത്ത് പ്രധാന അജ്ഞാതങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന നിബന്ധനകൾ ഞങ്ങൾ ഉപേക്ഷിക്കുകയും സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാതങ്ങളുള്ള നിബന്ധനകൾ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു:

ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങളുടെ യഥാർത്ഥ ഏകതാനമായ സിസ്റ്റത്തിലേക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാന സംവിധാനം നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം. ഈ SLAE യുടെ അടിസ്ഥാന പരിഹാര സംവിധാനത്തിൽ രണ്ട് പരിഹാരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, കാരണം യഥാർത്ഥ SLAE യിൽ നാല് അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ അതിന്റെ അടിസ്ഥാന മൈനറിന്റെ ക്രമം രണ്ടാണ്. X (1) കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ സ്വതന്ത്ര അജ്ഞാത വേരിയബിളുകൾക്ക് x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു, തുടർന്ന് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന് പ്രധാന അജ്ഞാതങ്ങൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.
.

1. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി: സിസ്റ്റത്തിന്റെ ഏത് സമവാക്യത്തിൽ നിന്നും നമ്മൾ അജ്ഞാതമായ ഒന്ന് മറ്റൊന്നിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുകയും അതിനെ സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റുകയും ചെയ്യുന്നു.

ടാസ്ക്.സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം.സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ചെയ്തത്വഴി എക്സ്സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. നമുക്ക് സിസ്റ്റം എടുക്കാം ഒറിജിനലിന് തുല്യമാണ്.

അത്തരം നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവന്ന ശേഷം, സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നത്: . ഈ മൂല്യം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ചെയ്തത് = 2 - 2എക്സ്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു ചെയ്തത്= 3. അതിനാൽ, ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ജോടി സംഖ്യകളാണ്.

2. ബീജഗണിത സങ്കലന രീതി: രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ചേർത്ത്, ഒരു വേരിയബിളുമായി ഒരു സമവാക്യം നേടുക.

ടാസ്ക്.സിസ്റ്റം സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം.രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ നമുക്ക് സിസ്റ്റം ലഭിക്കും ഒറിജിനലിന് തുല്യമാണ്. ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ചേർത്ത്, ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ എത്തിച്ചേരുന്നു

സമാന നിബന്ധനകൾ കുറച്ചതിന് ശേഷം, ഈ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും: രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ഈ മൂല്യം സമവാക്യം 3-ലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു എക്സ് + 4ചെയ്തത്= 5, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു , എവിടെ. അതിനാൽ, ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ജോടി സംഖ്യകളാണ്.

3. പുതിയ വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള രീതി: ഞങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തിൽ ചില ആവർത്തിച്ചുള്ള എക്സ്പ്രഷനുകൾക്കായി തിരയുകയാണ്, അത് ഞങ്ങൾ പുതിയ വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിക്കും, അതുവഴി സിസ്റ്റത്തിന്റെ രൂപം ലളിതമാക്കും.

ടാസ്ക്.സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക:

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഈ സിസ്റ്റം വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം:

അനുവദിക്കുക x + y = u, ഹു = വി.അപ്പോൾ നമുക്ക് സിസ്റ്റം ലഭിക്കും

പകരം വയ്ക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് പരിഹരിക്കാം. സിസ്റ്റത്തിന്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്, ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു യുവഴി വിസിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. നമുക്ക് സിസ്റ്റം എടുക്കാം ആ.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് നമ്മൾ കണ്ടെത്തുന്നു വി 1 = 2, വി 2 = 3.

ഈ മൂല്യങ്ങൾ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു യു = 5 - വി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു യു 1 = 3,
യു 2 = 2. അപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് സംവിധാനങ്ങളുണ്ട്

ആദ്യ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് രണ്ട് ജോഡി നമ്പറുകൾ (1; 2), (2; 1) ലഭിക്കും. രണ്ടാമത്തെ സംവിധാനത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള വ്യായാമങ്ങൾ

1. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക.

പാഠത്തിന്റെ ഉള്ളടക്കം

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾ

സ്കൂളിൽ ഉച്ചഭക്ഷണം കഴിക്കാൻ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് 200 റൂബിളുകൾ ഉണ്ട്. ഒരു കേക്കിന് 25 റുബിളും ഒരു കപ്പ് കാപ്പിക്ക് 10 റുബിളുമാണ് വില. 200 റൂബിളുകൾക്കായി നിങ്ങൾക്ക് എത്ര കേക്കുകളും കപ്പ് കാപ്പിയും വാങ്ങാം?

അതിലൂടെയുള്ള കേക്കുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുക x, കൂടാതെ കാപ്പി കപ്പുകളുടെ എണ്ണവും വൈ. അപ്പോൾ കേക്കുകളുടെ വില 25 എന്ന പദപ്രയോഗത്താൽ സൂചിപ്പിക്കും x 10-ൽ കോഫി കപ്പുകളുടെ വില വൈ .

25x-വില xകേക്കുകൾ
10y-വില വൈകപ്പ് കാപ്പി

മൊത്തം തുക 200 റൂബിൾസ് ആയിരിക്കണം. അപ്പോൾ നമുക്ക് രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും xഒപ്പം വൈ

25x+ 10വൈ= 200

ഈ സമവാക്യത്തിന് എത്ര വേരുകളുണ്ട്?

ഇതെല്ലാം വിദ്യാർത്ഥിയുടെ വിശപ്പിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അവൻ 6 കേക്കുകളും 5 കപ്പ് കാപ്പിയും വാങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ 6 ഉം 5 ഉം ആയിരിക്കും.

6 ഉം 5 ഉം മൂല്യങ്ങളുടെ ജോടി സമവാക്യം 25 ന്റെ വേരുകളാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു x+ 10വൈ= 200. (6; 5) എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ആദ്യ സംഖ്യ വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യമാണ് x, രണ്ടാമത്തേത് - വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം വൈ .

6 ഉം 5 ഉം മാത്രമല്ല സമവാക്യം 25 നെ വിപരീതമാക്കുന്ന റൂട്ടുകൾ x+ 10വൈ= 200 ഐഡന്റിറ്റിക്ക്. വേണമെങ്കിൽ, അതേ 200 റൂബിളുകൾക്ക്, ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് 4 കേക്കുകളും 10 കപ്പ് കാപ്പിയും വാങ്ങാം:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യം 25-ന്റെ വേരുകൾ x+ 10വൈ= 200 എന്നത് മൂല്യങ്ങളുടെ ജോടിയാണ് (4; 10) .

മാത്രമല്ല, ഒരു വിദ്യാർത്ഥി കോഫി വാങ്ങാൻ പാടില്ല, പക്ഷേ എല്ലാ 200 റൂബിളുകൾക്കും കേക്കുകൾ വാങ്ങുക. അപ്പോൾ സമവാക്യം 25-ന്റെ വേരുകൾ x+ 10വൈ= 200 എന്നത് 8, 0 എന്നീ മൂല്യങ്ങളായിരിക്കും

അല്ലെങ്കിൽ തിരിച്ചും, കേക്കുകൾ വാങ്ങരുത്, എന്നാൽ എല്ലാ 200 റൂബിളുകൾക്കും കോഫി വാങ്ങുക. അപ്പോൾ സമവാക്യം 25-ന്റെ വേരുകൾ x+ 10വൈ= 200 എന്നത് 0, 20 മൂല്യങ്ങളായിരിക്കും

സമവാക്യം 25 ന്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ വേരുകളും പട്ടികപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിക്കാം x+ 10വൈ= 200. മൂല്യങ്ങൾ എന്ന് നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം xഒപ്പം വൈപൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ പെടുന്നു. ഈ മൂല്യങ്ങൾ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആയിരിക്കട്ടെ:

x∈ഇസഡ്, വൈ∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

അതിനാൽ അത് വിദ്യാർത്ഥിക്ക് തന്നെ സൗകര്യപ്രദമായിരിക്കും. കേക്കുകൾ മുഴുവൻ വാങ്ങാൻ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, നിരവധി മുഴുവൻ കേക്കുകളും പകുതി കേക്ക്. മുഴുവൻ കപ്പുകളിലും എടുക്കാൻ കോഫി കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, നിരവധി മുഴുവൻ കപ്പുകളും അര കപ്പും.

വിചിത്രമായത് ശ്രദ്ധിക്കുക xആരുടെ കീഴിലും തുല്യത കൈവരിക്കുക അസാധ്യമാണ് വൈ. പിന്നെ മൂല്യങ്ങൾ xതാഴെപ്പറയുന്ന സംഖ്യകൾ 0, 2, 4, 6, 8 എന്നിവ ഉണ്ടാകും. കൂടാതെ അറിയുന്നു xഎളുപ്പത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും വൈ

അങ്ങനെ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ജോഡി മൂല്യങ്ങൾ ലഭിച്ചു (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). ഈ ജോഡികൾ സമവാക്യം 25 ന്റെ പരിഹാരങ്ങളോ വേരുകളോ ആണ് x+ 10വൈ= 200. അവർ ഈ സമവാക്യത്തെ ഒരു ഐഡന്റിറ്റിയാക്കി മാറ്റുന്നു.

ടൈപ്പ് സമവാക്യം ax + by = cവിളിച്ചു രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യം. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു പരിഹാരം അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങളാണ് ( x; വൈ), അത് അതിനെ ഒരു ഐഡന്റിറ്റിയാക്കി മാറ്റുന്നു.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം ഇതായി എഴുതിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക ax + b y = c,എന്നിട്ടാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്നതെന്ന് അവർ പറയുന്നു കാനോനിക്കൽ(സാധാരണ) രൂപം.

രണ്ട് വേരിയബിളുകളിലെ ചില രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − വൈ) മനസ്സിൽ കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയും ax + by = c. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളിലും ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കാം, നമുക്ക് ലഭിക്കും 32x + 6വൈ − 8 = 24 + 16x − 2വൈ . അജ്ഞാതർ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പദങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ഗ്രൂപ്പുചെയ്‌തിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ അജ്ഞാതരുടെ സ്വതന്ത്ര പദങ്ങൾ വലതുവശത്തും ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്നു. അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും 32x - 16x+ 6വൈ+ 2വൈ = 24 + 8 . ഞങ്ങൾ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളിലും സമാനമായ പദങ്ങൾ കൊണ്ടുവരുന്നു, നമുക്ക് സമവാക്യം 16 ലഭിക്കും x+ 8വൈ= 32. ഈ സമവാക്യം രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു ax + by = cകാനോനികമാണ്.

സമവാക്യം 25 മുമ്പ് പരിഗണിച്ചു x+ 10വൈ= 200 എന്നത് കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലുള്ള രണ്ട് വേരിയബിൾ ലീനിയർ സമവാക്യം കൂടിയാണ്. ഈ സമവാക്യത്തിൽ, പരാമീറ്ററുകൾ എ , ബിഒപ്പം സിയഥാക്രമം 25, 10, 200 എന്നീ മൂല്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്.

യഥാർത്ഥത്തിൽ സമവാക്യം ax + by = cഇതിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു 25x+ 10വൈ= 200, പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ മാത്രമാണ് ഞങ്ങൾ അതിന്റെ വേരുകൾ നോക്കിയത്. തൽഫലമായി, ഈ സമവാക്യത്തെ ഒരു ഐഡന്റിറ്റിയാക്കി മാറ്റുന്ന നിരവധി ജോഡി മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിച്ചു. എന്നാൽ യുക്തിസഹ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ സമവാക്യം 25 x+ 10വൈ= 200 ന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.

പുതിയ ജോഡി മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ മൂല്യം എടുക്കേണ്ടതുണ്ട് x, തുടർന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കുക വൈ. ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഒരു വേരിയബിൾ എടുക്കാം xമൂല്യം 7. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു വേരിയബിളുമായി ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും 25×7 + 10വൈ= 200 അതിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാൻ വൈ

അനുവദിക്കുക x= 15 . പിന്നെ സമവാക്യം 25x+ 10വൈ= 200 എന്നത് 25 × 15 ആയി മാറുന്നു + 10വൈ= 200. ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു വൈ = −17,5

അനുവദിക്കുക x= -3 . പിന്നെ സമവാക്യം 25x+ 10വൈ= 200 എന്നത് 25 × (-3) ആയി മാറുന്നു + 10വൈ= 200. ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ അത് കണ്ടെത്തുന്നു വൈ = −27,5

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം

സമവാക്യത്തിന് ax + by = cനിങ്ങൾക്ക് എത്ര തവണ അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം xകൂടാതെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക വൈ. പ്രത്യേകം എടുത്താൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകും.

എന്നാൽ വേരിയബിളുകളും സംഭവിക്കുന്നു xഒപ്പം വൈഒന്നല്ല, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളാൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അവർ വിളിക്കപ്പെടുന്നവ രൂപീകരിക്കുന്നു രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം. അത്തരമൊരു സമവാക്യ സംവിധാനത്തിന് ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം (അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ: "ഒരു പരിഹാരം").

സിസ്റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരവുമില്ല എന്നതും സംഭവിക്കാം. രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് അപൂർവവും അസാധാരണവുമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകാം.

മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകുമ്പോൾ രണ്ട് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കുന്നു xഒപ്പം വൈഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഓരോന്നിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

നമുക്ക് ആദ്യത്തെ സമവാക്യം 25 ലേക്ക് മടങ്ങാം x+ 10വൈ= 200. ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ജോഡികളിൽ ഒന്ന് ജോഡി (6; 5) ആയിരുന്നു. 200 റൂബിളുകൾക്ക് 6 ദോശകളും 5 കപ്പ് കാപ്പിയും വാങ്ങാൻ കഴിയുമായിരുന്ന സന്ദർഭമാണിത്.

ജോഡി (6; 5) ആകുന്ന തരത്തിൽ നമുക്ക് പ്രശ്നം രചിക്കാം ഒരേയൊരു പരിഹാരംസമവാക്യം 25-ന് x+ 10വൈ= 200. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അതേ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന മറ്റൊരു സമവാക്യം ഞങ്ങൾ രചിക്കുന്നു xകേക്കുകളും വൈകപ്പ് കാപ്പി.

ടാസ്ക്കിന്റെ വാചകം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നൽകാം:

“ഒരു സ്കൂൾകുട്ടി 200 റൂബിളിന് നിരവധി കേക്കുകളും നിരവധി കപ്പ് കാപ്പിയും വാങ്ങി. ഒരു കേക്കിന് 25 റുബിളും ഒരു കപ്പ് കാപ്പിക്ക് 10 റുബിളുമാണ് വില. ഒരു കപ്പ് കാപ്പിയുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ ഒരു കേക്കിന്റെ എണ്ണം കൂടുതലാണെന്ന് അറിഞ്ഞാൽ വിദ്യാർത്ഥി എത്ര കേക്കും കാപ്പിയും വാങ്ങി?

നമുക്ക് ഇതിനകം തന്നെ ആദ്യ സമവാക്യം ഉണ്ട്. ഇത് സമവാക്യം 25 ആണ് x+ 10വൈ= 200. ഇനി നമുക്ക് വ്യവസ്ഥയ്ക്ക് ഒരു സമവാക്യം എഴുതാം "കപ്പ് കാപ്പിയുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ ഒരു യൂണിറ്റ് കൂടുതലാണ് കേക്കുകളുടെ എണ്ണം" .

കേക്കുകളുടെ എണ്ണം x, ഒപ്പം കാപ്പി കപ്പുകളുടെ എണ്ണം ആണ് വൈ. സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഈ വാചകം എഴുതാം x - y= 1. ഈ സമവാക്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത് കേക്കുകളും കാപ്പിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 1 ആണെന്നാണ്.

x=y+ 1 . ഈ സമവാക്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത് കേക്കുകളുടെ എണ്ണം ഒരു കപ്പ് കാപ്പിയുടെ എണ്ണത്തേക്കാൾ ഒന്ന് കൂടുതലാണ് എന്നാണ്. അതിനാൽ, തുല്യത ലഭിക്കുന്നതിന്, കാപ്പി കപ്പുകളുടെ എണ്ണത്തിൽ ഒന്ന് ചേർക്കുന്നു. ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പഠിക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ച ഭാരം മോഡൽ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ ഇത് എളുപ്പത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാം:

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ ലഭിച്ചു: 25 x+ 10വൈ= 200 ഒപ്പം x=y+ 1. മൂല്യങ്ങൾ മുതൽ xഒപ്പം വൈ, അതായത് 6 ഉം 5 ഉം ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ ഓരോന്നിലും ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്, തുടർന്ന് അവ ഒരുമിച്ച് ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കുന്നു. നമുക്ക് ഈ സംവിധാനം എഴുതാം. സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു സിസ്റ്റം രൂപപ്പെടുത്തുകയാണെങ്കിൽ, അവ സിസ്റ്റത്തിന്റെ ചിഹ്നത്താൽ രൂപപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. സിസ്റ്റം ചിഹ്നം ഒരു ചുരുണ്ട ബ്രേസ് ആണ്:

നമുക്ക് ഈ സംവിധാനം പരിഹരിക്കാം. 6 ഉം 5 ഉം മൂല്യങ്ങളിൽ നാം എങ്ങനെ എത്തിച്ചേരുന്നുവെന്ന് കാണാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. അത്തരം സിസ്റ്റങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. അവയിൽ ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായത് പരിഗണിക്കുക.

സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി

ഈ രീതിയുടെ പേര് സ്വയം സംസാരിക്കുന്നു. ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എന്നതാണ് അതിന്റെ സാരാംശം, മുമ്പ് വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് പ്രകടിപ്പിച്ചു.

നമ്മുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ, ഒന്നും പ്രകടിപ്പിക്കേണ്ടതില്ല. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ x = വൈ+ 1 വേരിയബിൾ xഇതിനകം പ്രകടിപ്പിച്ചു. ഈ വേരിയബിൾ പദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമാണ് വൈ+ 1 . അപ്പോൾ വേരിയബിളിന് പകരം നിങ്ങൾക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ പകരം വയ്ക്കാം x

എക്സ്പ്രഷൻ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം വൈപകരം ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് + 1 x, നമുക്ക് സമവാക്യം ലഭിക്കും 25(വൈ+ 1) + 10വൈ= 200 . ഇത് ഒരു വേരിയബിളുള്ള ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമാണ്. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്:

വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി വൈ. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ഈ മൂല്യത്തെ സമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിലേക്ക് മാറ്റി മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു x. ഇതിനായി, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ് x = വൈ+ 1 . നമുക്ക് അതിൽ മൂല്യം നൽകാം വൈ

അതിനാൽ ജോഡി (6; 5) നമ്മൾ ഉദ്ദേശിച്ചതുപോലെ, സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്. ജോഡി (6; 5) സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ച് ഉറപ്പാക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 2

ആദ്യ സമവാക്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക x= 2 + വൈരണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് 3 x - 2വൈ= 9 . ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ, വേരിയബിൾ x 2+ എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമാണ് വൈ. പകരം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ ഈ പദപ്രയോഗം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു x

ഇനി മൂല്യം കണ്ടെത്താം x. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക വൈആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് x= 2 + വൈ

അതിനാൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ജോടി മൂല്യമാണ് (5; 3)

ഉദാഹരണം 3. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

ഇവിടെ, മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് വ്യക്തമായി പ്രകടിപ്പിച്ചിട്ടില്ല.

ഒരു സമവാക്യം മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യം ആവശ്യമാണ് .

ഒന്നിന്റെ ഗുണകം ഉള്ള വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത് അഭികാമ്യമാണ്. കോഫിഫിഷ്യന്റ് യൂണിറ്റിന് ഒരു വേരിയബിൾ ഉണ്ട് x, ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന x+ 2വൈ= 11 . നമുക്ക് ഈ വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കാം.

ഒരു വേരിയബിൾ എക്സ്പ്രഷനുശേഷം x, ഞങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ ആദ്യ സമവാക്യം രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് മാറ്റി മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു വൈ

പകരക്കാരൻ വൈ x

അതിനാൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങളാണ് (3; 4)

തീർച്ചയായും, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കാനും കഴിയും വൈ. വേരുകൾ മാറില്ല. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ y,ഫലം വളരെ ലളിതമായ ഒരു സമവാക്യമല്ല, അതിന്റെ പരിഹാരം കൂടുതൽ സമയമെടുക്കും. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

അതിൽ നാം കാണുന്നു ഈ ഉദാഹരണംപ്രകടിപ്പിക്കാൻ xപ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനേക്കാൾ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ് വൈ .

ഉദാഹരണം 4. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക x. അപ്പോൾ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും:

വൈ

പകരക്കാരൻ വൈആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോയി കണ്ടെത്തുക x. നിങ്ങൾക്ക് യഥാർത്ഥ സമവാക്യം 7 ഉപയോഗിക്കാം x+ 9വൈ= 8 , അല്ലെങ്കിൽ വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുക x. ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കും, കാരണം ഇത് സൗകര്യപ്രദമാണ്:

അതിനാൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങളാണ് (5; -3)

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി

സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളെ പദം അനുസരിച്ച് ചേർക്കുന്നതാണ് സങ്കലന രീതി. ഈ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഒരു പുതിയ വൺ വേരിയബിൾ സമവാക്യത്തിന് കാരണമാകുന്നു. ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്.

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം:

ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ചേർക്കുക. ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗവും രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗവും. ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യത ലഭിക്കുന്നു:

സമാന നിബന്ധനകൾ ഇതാ:

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം 3 ലഭിച്ചു x= 27 അതിന്റെ റൂട്ട് 9. മൂല്യം അറിയുന്നു xനിങ്ങൾക്ക് മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും വൈ. മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക xരണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് x - y= 3 . നമുക്ക് 9 - ലഭിക്കും വൈ= 3 . ഇവിടെ നിന്ന് വൈ= 6 .

അതിനാൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങളാണ് (9; 6)

ഉദാഹരണം 2

ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ചേർക്കുക. ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗവും രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗവും. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമത്വത്തിൽ, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിബന്ധനകൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം 5 ലഭിച്ചു x= 20, ഇതിന്റെ റൂട്ട് 4. മൂല്യം അറിയുന്നു xനിങ്ങൾക്ക് മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ കഴിയും വൈ. മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക xആദ്യ സമവാക്യം 2-ലേക്ക് x+y= 11 . നമുക്ക് 8+ നേടാം വൈ= 11 . ഇവിടെ നിന്ന് വൈ= 3 .

അതിനാൽ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങളാണ് (4;3)

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ പ്രക്രിയ വിശദമായി വിവരിച്ചിട്ടില്ല. അത് മനസ്സിൽ ചെയ്യണം. ചേർക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കണം. അതായത് മനസ്സിലേക്ക് ac+by=c .

പരിഗണിക്കപ്പെട്ട ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന്, സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കുന്നതിന്റെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ്. എന്നാൽ സങ്കലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനം ഉടനടി പരിഹരിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. മിക്കപ്പോഴും, ഈ സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു രൂപത്തിലേക്ക് സിസ്റ്റം പ്രാഥമികമായി കൊണ്ടുവരുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്, സിസ്റ്റം കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് നേരിട്ട് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും ചേർക്കുമ്പോൾ, നിബന്ധനകൾ വൈഒപ്പം −yഅവയുടെ ആകെത്തുക പൂജ്യമായതിനാൽ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു. തൽഫലമായി, ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം 11 രൂപപ്പെടുന്നു x= 22 , അതിന്റെ റൂട്ട് 2 ആണ്. അപ്പോൾ അത് നിർണ്ണയിക്കാൻ സാധിക്കും വൈ 5 ന് തുല്യമാണ്.

ഒപ്പം സമവാക്യങ്ങളുടെ സംവിധാനവും കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉടനടി പരിഹരിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ഇത് വേരിയബിളുകളിലൊന്ന് അപ്രത്യക്ഷമാകില്ല. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സമവാക്യം 8 ൽ കലാശിക്കും x+ വൈ= 28, ഇതിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരേ സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും. രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിനും ഈ നിയമം സാധുവാണ്. സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് (അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും) ചില സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കാം. ഫലം ഒരു തുല്യമായ സംവിധാനമാണ്, അതിന്റെ വേരുകൾ മുമ്പത്തേതുമായി പൊരുത്തപ്പെടും.

വിദ്യാർത്ഥി എത്ര കേക്കുകളും കപ്പ് കാപ്പിയും വാങ്ങിയെന്ന് വിവരിക്കുന്ന ആദ്യത്തെ സംവിധാനത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. ഈ സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങളായിരുന്നു (6; 5) .

ഈ സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളെയും ഞങ്ങൾ ചില സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തെ 2 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേത് 3 കൊണ്ടും ഗുണിച്ചെന്ന് പറയാം

ഫലം ഒരു സംവിധാനമാണ്
ഈ സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരം ഇപ്പോഴും മൂല്യങ്ങളുടെ ജോടിയാണ് (6; 5)

ഇതിനർത്ഥം സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് അനുയോജ്യമായ ഒരു ഫോമിലേക്ക് ചുരുക്കാം എന്നാണ്.

സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മടങ്ങുക , സങ്കലന രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പരിഹരിക്കാൻ കഴിഞ്ഞില്ല.

ആദ്യ സമവാക്യത്തെ 6 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേത് −2 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക

അപ്പോൾ നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സിസ്റ്റം ലഭിക്കും:

ഈ സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ ചേർക്കുന്നു. ഘടകങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ 12 xകൂടാതെ -12 xഫലം 0, സങ്കലനം 18 വൈകൂടാതെ 4 വൈ 22 നൽകും വൈ, കൂടാതെ 108, −20 എന്നിവ ചേർത്താൽ 88 ലഭിക്കും. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് 22 എന്ന സമവാക്യം ലഭിക്കും. വൈ= 88, അതിനാൽ വൈ = 4 .

ആദ്യം നിങ്ങളുടെ മനസ്സിൽ സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണെങ്കിൽ, ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത് വശം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തും ആദ്യ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുഭാഗം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തും എങ്ങനെ ചേർക്കുന്നുവെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് എഴുതാം:

വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം അറിയുന്നത് വൈ 4 ആണ്, നിങ്ങൾക്ക് മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും x. പകരക്കാരൻ വൈസമവാക്യങ്ങളിലൊന്നിലേക്ക്, ഉദാഹരണത്തിന് ആദ്യ സമവാക്യം 2 x+ 3വൈ= 18. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു വേരിയബിൾ 2 ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും x+ 12 = 18 . ഞങ്ങൾ 12 വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അടയാളം മാറ്റുന്നു, നമുക്ക് 2 ലഭിക്കും x= 6, അതിനാൽ x = 3 .

ഉദാഹരണം 4. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ −1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. അപ്പോൾ സിസ്റ്റം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കും:

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും ചേർക്കാം. ഘടകങ്ങളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ xഒപ്പം -xഫലം 0, സങ്കലനം 5 വൈകൂടാതെ 3 വൈ 8 തരും വൈ, കൂടാതെ 7 ഉം 1 ഉം ചേർത്താൽ 8 ലഭിക്കും. ഫലം സമവാക്യം 8 ആണ് വൈ= 8 , അതിന്റെ റൂട്ട് 1 ആണ്. മൂല്യം അറിയുന്നത് വൈ 1 ആണ്, നിങ്ങൾക്ക് മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും x .

പകരക്കാരൻ വൈആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു x+ 5 = 7, അതിനാൽ x= 2

ഉദാഹരണം 5. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

ഒരേ വേരിയബിളുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന പദങ്ങൾ ഒന്നിനുകീഴിൽ മറ്റൊന്നായി സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് അഭികാമ്യമാണ്. അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ, നിബന്ധനകൾ 5 വൈകൂടാതെ -2 xസ്ഥലങ്ങൾ മാറ്റുക. തൽഫലമായി, സിസ്റ്റം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കും:

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തെ 3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. അപ്പോൾ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും:

ഇനി നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും ചേർക്കാം. സങ്കലനത്തിന്റെ ഫലമായി, നമുക്ക് സമവാക്യം 8 ലഭിക്കും വൈ= 16, അതിന്റെ റൂട്ട് 2 ആണ്.

പകരക്കാരൻ വൈആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ, നമുക്ക് 6 ലഭിക്കും x- 14 = 40 . ഞങ്ങൾ −14 എന്ന പദം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, ചിഹ്നം മാറ്റുന്നു, നമുക്ക് 6 ലഭിക്കും x= 54. ഇവിടെ നിന്ന് x= 9.

ഉദാഹരണം 6. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

നമുക്ക് ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഒഴിവാക്കാം. ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തെ 36 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേത് 12 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൽ ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തെ −5 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേത് 8 കൊണ്ടും ഗുണിക്കാം

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സിസ്റ്റത്തിൽ സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കാം. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഏറ്റവും ലളിതമായ സമവാക്യം −13 ലഭിക്കും വൈ= -156 . ഇവിടെ നിന്ന് വൈ= 12. പകരക്കാരൻ വൈആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോയി കണ്ടെത്തുക x

ഉദാഹരണം 7. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

ഞങ്ങൾ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു. ഇവിടെ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലും അനുപാത നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ വലത് വശം , രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ വലത് വശം എന്നിങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും:

ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു അനുപാതമുണ്ട്. നാം അതിന്റെ തീവ്രവും മധ്യമവുമായ പദങ്ങളെ ഗുണിക്കുന്നു. അപ്പോൾ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും:

ഞങ്ങൾ ആദ്യ സമവാക്യത്തെ −3 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും രണ്ടാമത്തേതിൽ ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഇനി നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും ചേർക്കാം. ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ചേർക്കുന്നതിന്റെ ഫലമായി, നമുക്ക് ഒരു തുല്യത ലഭിക്കുന്നു, അതിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളിലും പൂജ്യം ഉണ്ടാകും:

സിസ്റ്റത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

എന്നാൽ നമുക്ക് സ്വർഗത്തിൽ നിന്ന് ഏകപക്ഷീയമായ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയില്ല xഒപ്പം വൈ. നമുക്ക് മൂല്യങ്ങളിൽ ഒന്ന് വ്യക്തമാക്കാൻ കഴിയും, മറ്റൊന്ന് ഞങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കിയ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. ഉദാഹരണത്തിന്, അനുവദിക്കുക x= 2 . ഈ മൂല്യം സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് പരിഹരിച്ചതിന്റെ ഫലമായി, മൂല്യം വൈ, ഇത് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തും:

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ജോഡി മൂല്യങ്ങൾ (2; -2) സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും:

നമുക്ക് മറ്റൊരു ജോടി മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താം. അനുവദിക്കുക x= 4. ഈ മൂല്യം സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

അത് കണ്ണുകൊണ്ട് നിർണ്ണയിക്കാനാകും വൈപൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങൾ (4; 0) ലഭിക്കുന്നു, അത് ഞങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു:

ഉദാഹരണം 8. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

ആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തെ 6 കൊണ്ടും രണ്ടാമത്തേത് 12 കൊണ്ടും ഗുണിക്കുക

ബാക്കിയുള്ളത് മാറ്റിയെഴുതാം:

ആദ്യ സമവാക്യത്തെ −1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. അപ്പോൾ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും:

ഇനി നമുക്ക് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളും ചേർക്കാം. സങ്കലനത്തിന്റെ ഫലമായി, സമവാക്യം 6 രൂപപ്പെടുന്നു ബി= 48 , അതിന്റെ റൂട്ട് 8 ആണ്. പകരക്കാരൻ ബിആദ്യത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പോയി കണ്ടെത്തുക എ

മൂന്ന് വേരിയബിളുകളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റം

മൂന്ന് വേരിയബിളുകളുള്ള ഒരു രേഖീയ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകങ്ങളുള്ള മൂന്ന് വേരിയബിളുകളും ഒരു ഇന്റർസെപ്റ്റും ഉൾപ്പെടുന്നു. കാനോനിക്കൽ രൂപത്തിൽ, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതാം:

ax + by + cz = d

ഈ സമവാക്യത്തിന് അനന്തമായ പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്. രണ്ട് വേരിയബിളുകൾ നൽകുന്നു വിവിധ അർത്ഥങ്ങൾ, നിങ്ങൾക്ക് മൂന്നാമത്തെ മൂല്യം കണ്ടെത്താം. ഈ കേസിലെ പരിഹാരം മൂല്യങ്ങളുടെ മൂന്നിരട്ടിയാണ് ( x; y; z) ഇത് സമവാക്യത്തെ ഒരു ഐഡന്റിറ്റിയാക്കി മാറ്റുന്നു.

വേരിയബിളുകൾ ആണെങ്കിൽ x, y, zമൂന്ന് സമവാക്യങ്ങളാൽ പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് മൂന്ന് വേരിയബിളുകളുള്ള മൂന്ന് രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കപ്പെടുന്നു. അത്തരമൊരു സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള ലീനിയർ സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ബാധകമാകുന്ന അതേ രീതികൾ നിങ്ങൾക്ക് പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും: സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതിയും കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതിയും.

ഉദാഹരണം 1. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

ഞങ്ങൾ മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു x. അപ്പോൾ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും:

ഇനി നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കൽ നടത്താം. വേരിയബിൾ xപദപ്രയോഗത്തിന് തുല്യമാണ് 3 − 2വൈ − 2z . ഈ പദപ്രയോഗം ഒന്നും രണ്ടും സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക:

രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലെയും ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറന്ന് സമാനമായ നിബന്ധനകൾ നൽകാം:

രണ്ട് വേരിയബിളുകളുള്ള രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ എത്തിയിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി പ്രയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്. തൽഫലമായി, വേരിയബിൾ വൈഅപ്രത്യക്ഷമാകും, നമുക്ക് വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്താനാകും z

ഇനി മൂല്യം കണ്ടെത്താം വൈ. ഇതിനായി, − എന്ന സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ് വൈ+ z= 4. മൂല്യം പകരം വയ്ക്കുക z

ഇനി മൂല്യം കണ്ടെത്താം x. ഇതിനായി, സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ് x= 3 − 2വൈ − 2z . അതിൽ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക വൈഒപ്പം z

അങ്ങനെ, മൂല്യങ്ങളുടെ ട്രിപ്പിൾ (3; -2; 2) നമ്മുടെ സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. പരിശോധിക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ മൂല്യങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 2. കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കുക

നമുക്ക് ആദ്യ സമവാക്യം രണ്ടാമത്തേത് −2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കാം.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം −2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അത് ഫോം എടുക്കും −6x+ 6y- 4z = −4 . ഇപ്പോൾ ഇത് ആദ്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക:

പ്രാഥമിക പരിവർത്തനങ്ങളുടെ ഫലമായി, വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ടതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു x. ഇത് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്.

തിരികെ പ്രധാന സംവിധാനം. മൂന്നാമത്തേത് −1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ചേർക്കാം. മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം −1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അത് ഫോം എടുക്കും −4x + 5വൈ − 2z = −1 . ഇപ്പോൾ ഇത് രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് ചേർക്കുക:

സമവാക്യം കിട്ടി x - 2വൈ= -1 . അതിലേക്ക് മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക xഞങ്ങൾ നേരത്തെ കണ്ടെത്തിയ. അപ്പോൾ നമുക്ക് മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കാനാകും വൈ

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് മൂല്യങ്ങൾ അറിയാം xഒപ്പം വൈ. മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു z. സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

അങ്ങനെ, മൂല്യങ്ങളുടെ ട്രിപ്പിൾ (1; 1; 1) നമ്മുടെ സിസ്റ്റത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. പരിശോധിക്കുന്നതിലൂടെ, ഈ മൂല്യങ്ങൾ സിസ്റ്റത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കുന്നു:

രേഖീയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ചുമതലകൾ

സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റങ്ങൾ കംപൈൽ ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ചുമതല നിരവധി വേരിയബിളുകൾ അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് പരിഹരിക്കുന്നു. അടുത്തതായി, പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സമവാക്യങ്ങൾ സമാഹരിക്കുന്നു. സമാഹരിച്ച സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന്, അവർ ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കുകയും അത് പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. സിസ്റ്റം പരിഹരിച്ച ശേഷം, അതിന്റെ പരിഹാരം പ്രശ്നത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ടാസ്ക് 1. ഒരു വോൾഗ കാർ നഗരത്തിൽ നിന്ന് കൂട്ടായ കൃഷിയിടത്തിലേക്ക് പുറപ്പെട്ടു. ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ 5 കിലോമീറ്റർ കുറവുള്ള മറ്റൊരു റോഡിലൂടെ അവൾ മടങ്ങി. മൊത്തത്തിൽ, കാർ ഇരുവശത്തേക്കും 35 കിലോമീറ്റർ ഓടിച്ചു. ഓരോ റോഡിനും എത്ര കിലോമീറ്റർ നീളമുണ്ട്?

പരിഹാരം

അനുവദിക്കുക x-ആദ്യത്തെ റോഡിന്റെ നീളം, വൈ- രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ദൈർഘ്യം. കാർ രണ്ട് വഴികളിലൂടെയും 35 കിലോമീറ്റർ ഓടിയെങ്കിൽ, ആദ്യത്തെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം x+ വൈ= 35. ഈ സമവാക്യം രണ്ട് റോഡുകളുടെയും നീളത്തിന്റെ ആകെത്തുക വിവരിക്കുന്നു.

ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ 5 കിലോമീറ്റർ നീളം കുറഞ്ഞ റോഡിലൂടെ കാർ തിരികെ വരികയായിരുന്നുവെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. അപ്പോൾ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം x− വൈ= 5. റോഡുകളുടെ നീളം തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 5 കിലോമീറ്ററാണെന്ന് ഈ സമവാക്യം കാണിക്കുന്നു.

അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം x= വൈ+ 5 . ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കും.

വേരിയബിളുകൾ മുതൽ xഒപ്പം വൈരണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലും ഒരേ സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, തുടർന്ന് നമുക്ക് അവയിൽ നിന്ന് ഒരു സിസ്റ്റം രൂപീകരിക്കാം:

മുമ്പ് പഠിച്ച ഒരു രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഈ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പകരം വയ്ക്കൽ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, കാരണം രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിൽ വേരിയബിൾ xഇതിനകം പ്രകടിപ്പിച്ചു.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ആദ്യത്തേതിന് പകരം വയ്ക്കുക, കണ്ടെത്തുക വൈ

കണ്ടെത്തിയ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക വൈരണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിലേക്ക് x= വൈ+ 5 കണ്ടെത്തുക x

ആദ്യത്തെ റോഡിന്റെ നീളം വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് സൂചിപ്പിച്ചു x. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ അതിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തി. വേരിയബിൾ x 20 ആണ്. അതിനാൽ ആദ്യത്തെ റോഡിന്റെ നീളം 20 കി.മീ.

രണ്ടാമത്തെ റോഡിന്റെ നീളം സൂചിപ്പിച്ചു വൈ. ഈ വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം 15 ആണ്. അതിനാൽ രണ്ടാമത്തെ റോഡിന്റെ നീളം 15 കിലോമീറ്ററാണ്.

നമുക്ക് ഒരു പരിശോധന നടത്താം. ആദ്യം, സിസ്റ്റം ശരിയായി പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം:

ഇപ്പോൾ പരിഹാരം (20; 15) പ്രശ്നത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം.

ആകെ 35 കിലോമീറ്റർ ഇരുവഴിക്കും കാർ ഓടിച്ചെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഞങ്ങൾ രണ്ട് റോഡുകളുടെയും ദൈർഘ്യം ചേർക്കുകയും പരിഹാരം (20; 15) തൃപ്തികരമാണെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു ഈ അവസ്ഥ: 20 കി.മീ + 15 കി.മീ = 35 കി.മീ

അടുത്ത വ്യവസ്ഥ: ആദ്യത്തേതിനേക്കാൾ 5 കിലോമീറ്റർ കുറവുള്ള മറ്റൊരു റോഡിലൂടെ കാർ മടങ്ങി . പരിഹാരവും (20; 15) ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, കാരണം 15 കിലോമീറ്റർ 20 കിലോമീറ്ററിൽ നിന്ന് 5 കിലോമീറ്ററിൽ കുറവാണ്: 20 കി.മീ - 15 കി.മീ = 5 കി.മീ

ഒരു സിസ്റ്റം കംപൈൽ ചെയ്യുമ്പോൾ, ഈ സിസ്റ്റത്തിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും വേരിയബിളുകൾ ഒരേ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നത് പ്രധാനമാണ്.

അതിനാൽ നമ്മുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഈ സമവാക്യങ്ങളിൽ വേരിയബിളുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു xഒപ്പം വൈ, ഇത് രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളിലും ഒരേ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത് 20 കിലോമീറ്ററിനും 15 കിലോമീറ്ററിനും തുല്യമായ റോഡുകളുടെ നീളം.

ടാസ്ക് 2. ഓക്ക്, പൈൻ സ്ലീപ്പറുകൾ പ്ലാറ്റ്‌ഫോമിലേക്ക് കയറ്റി, ആകെ 300 സ്ലീപ്പർമാർ. എല്ലാ ഓക്ക് സ്ലീപ്പറുകൾക്കും എല്ലാ പൈൻ സ്ലീപ്പറുകളേക്കാളും 1 ടൺ ഭാരം കുറവാണെന്ന് അറിയാം. ഓരോ ഓക്ക് സ്ലീപ്പറും 46 കിലോഗ്രാം ഭാരവും ഓരോ പൈൻ സ്ലീപ്പറും 28 കിലോയും ആണെങ്കിൽ, എത്ര ഓക്ക്, പൈൻ സ്ലീപ്പറുകൾ വെവ്വേറെ ഉണ്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം

അനുവദിക്കുക xകരുവേലകവും വൈപൈൻ സ്ലീപ്പറുകൾ പ്ലാറ്റ്ഫോമിൽ കയറ്റി. ആകെ 300 സ്ലീപ്പർമാർ ഉണ്ടായിരുന്നെങ്കിൽ, ആദ്യത്തെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം x+y = 300 .

എല്ലാ ഓക്ക് സ്ലീപ്പറുകൾക്കും 46 ഭാരം ഉണ്ടായിരുന്നു xകിലോ, പൈൻ 28 തൂക്കം വൈകി. ഗ്രാം. ഓക്ക് സ്ലീപ്പറുകൾക്ക് പൈൻ സ്ലീപ്പറുകളേക്കാൾ 1 ടൺ ഭാരം കുറവായതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതാം. 28y- 46x= 1000 . ഓക്ക്, പൈൻ സ്ലീപ്പറുകൾ തമ്മിലുള്ള പിണ്ഡ വ്യത്യാസം 1000 കിലോ ആണെന്ന് ഈ സമവാക്യം കാണിക്കുന്നു.

ഓക്ക്, പൈൻ സ്ലീപ്പറുകൾ എന്നിവയുടെ പിണ്ഡം കിലോഗ്രാമിൽ അളക്കുന്നതിനാൽ ടൺ കിലോഗ്രാമിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെട്ടു.

തൽഫലമായി, സിസ്റ്റത്തെ രൂപപ്പെടുത്തുന്ന രണ്ട് സമവാക്യങ്ങൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

നമുക്ക് ഈ സംവിധാനം പരിഹരിക്കാം. ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുക x. അപ്പോൾ സിസ്റ്റം ഫോം എടുക്കും:

ആദ്യ സമവാക്യം രണ്ടാമത്തേതിലേക്ക് മാറ്റി കണ്ടെത്തുക വൈ

പകരക്കാരൻ വൈസമവാക്യത്തിലേക്ക് x= 300 − വൈഎന്താണെന്ന് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുക x

ഇതിനർത്ഥം 100 ഓക്ക്, 200 പൈൻ സ്ലീപ്പറുകൾ പ്ലാറ്റ്‌ഫോമിൽ കയറ്റി.

പരിഹാരം (100; 200) പ്രശ്നത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുണ്ടോ എന്ന് പരിശോധിക്കാം. ആദ്യം, സിസ്റ്റം ശരിയായി പരിഹരിച്ചിട്ടുണ്ടെന്ന് ഉറപ്പാക്കാം:

ആകെ 300 സ്ലീപ്പർമാർ ഉണ്ടെന്നാണ് പറഞ്ഞത്. ഞങ്ങൾ ഓക്ക്, പൈൻ സ്ലീപ്പറുകളുടെ എണ്ണം കൂട്ടിച്ചേർത്ത് പരിഹാരം (100; 200) ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക: 100 + 200 = 300.

അടുത്ത വ്യവസ്ഥ: എല്ലാ ഓക്ക് സ്ലീപ്പറുകൾക്കും എല്ലാ പൈനുകളേക്കാളും 1 ടൺ ഭാരം കുറവാണ് . 46 × 100 കിലോ ഓക്ക് സ്ലീപ്പറുകൾ 28 × 200 കിലോ പൈൻ സ്ലീപ്പറുകളേക്കാൾ ഭാരം കുറഞ്ഞതിനാൽ, പരിഹാരം (100; 200) ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു: 5600 കി.ഗ്രാം - 4600 കി.ഗ്രാം = 1000 കി.ഗ്രാം.

ടാസ്ക് 3. ഭാരം അനുസരിച്ച് 2: 1, 3: 1, 5: 1 എന്ന അനുപാതത്തിൽ ഞങ്ങൾ ചെമ്പിന്റെയും നിക്കലിന്റെയും ഒരു അലോയ് മൂന്ന് കഷണങ്ങൾ എടുത്തു. ഇവയിൽ, 12 കിലോഗ്രാം ഭാരമുള്ള ഒരു കഷണം 4: 1 എന്ന അനുപാതത്തിൽ ചെമ്പ്, നിക്കൽ എന്നിവയുടെ അനുപാതത്തിൽ സംയോജിപ്പിച്ചു. അവയിൽ ആദ്യത്തേതിന്റെ പിണ്ഡം രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഇരട്ടി പിണ്ഡമാണെങ്കിൽ ഓരോ യഥാർത്ഥ ഭാഗത്തിന്റെയും പിണ്ഡം കണ്ടെത്തുക.