വീട് › ട്രാൻസ്മിഷൻ (ഗിയർബോക്സ്) › ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ കണക്കാക്കുന്നു. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു: റൂട്ട് ഫോർമുല, ഉദാഹരണങ്ങൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ കണക്കാക്കുന്നു. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു: റൂട്ട് ഫോർമുല, ഉദാഹരണങ്ങൾ

a*x^2 +b*x+c=0 എന്ന ഫോമിന്റെ സമവാക്യമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ a,b,c ചില അനിയന്ത്രിതമായ യഥാർത്ഥ (യഥാർത്ഥ) സംഖ്യകളാണ്, x എന്നത് ഒരു വേരിയബിളാണ്. ഒപ്പം a=0 എന്ന സംഖ്യയും.

a,b,c എന്നീ സംഖ്യകളെ ഗുണകങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. a - എന്ന സംഖ്യയെ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യന്റ് എന്നും, സംഖ്യ b എന്നത് x-ലെ ഗുണകം എന്നും, c എന്ന സംഖ്യയെ ഫ്രീ അംഗം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം അതിന്റെ എല്ലാ വേരുകളും കണ്ടെത്തുക അല്ലെങ്കിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന വസ്തുത സ്ഥാപിക്കുക എന്നാണ്. a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യമാണ്, അതായത് a * x ^ 2 + b * x + c അപ്രത്യക്ഷമാകും. ചിലപ്പോൾ x ന്റെ അത്തരമൊരു മൂല്യത്തെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ട്രൈനോമിയലിന്റെ റൂട്ട് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. അവയിലൊന്ന് പരിഗണിക്കുക - ഏറ്റവും വൈവിധ്യമാർന്നത്. ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കാം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല a*x^2 +b*x+c=0 ആണ്.

x=(-b±√D)/(2*a), ഇവിടെ D =b^2-4*a*c.

a*x^2 +b*x+c=0 എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിച്ചാണ് ഈ ഫോർമുല ലഭിക്കുന്നത് പൊതുവായ കാഴ്ച, ബൈനോമിയലിന്റെ ചതുരം തിരഞ്ഞെടുത്ത്.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ഫോർമുലയിൽ, D (b^2-4*a*c) എന്ന പദപ്രയോഗത്തെ a*x^2 +b*x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ പേര് ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ നിന്നാണ് വന്നത്, "ഡിസ്റ്റിംഗ്വിഷർ" എന്ന് വിവർത്തനം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. വിവേചനത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ടോ ഒന്നോ റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കും, അല്ലെങ്കിൽ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതാണെങ്കിൽ,അപ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. (x=(-b±√D)/(2*a))

വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ,അപ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. (x=(-b/(2*a))

വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ,അപ്പോൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പൊതു അൽഗോരിതം

മേൽപ്പറഞ്ഞവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് a*x^2 +b*x+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഒരു പൊതു അൽഗോരിതം രൂപപ്പെടുത്തുന്നു:

1. D =b^2-4*a*c എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിവേചനക്കാരന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

2. വിവേചനത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് വേരുകൾ കണക്കാക്കുക:

ഡി<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

ഈ അൽഗോരിതം സാർവത്രികവും ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന് അനുയോജ്യവുമാണ്. പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവും, ഉദ്ധരിച്ചതും ഉദ്ധരിക്കാത്തതും.

പലരും കാരണം ഈ വിഷയം ആദ്യം ബുദ്ധിമുട്ടായി തോന്നിയേക്കാം ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തന്നെ ദൈർഘ്യമേറിയ എൻട്രികൾ ഉണ്ടെന്ന് മാത്രമല്ല, വിവേചനത്തിലൂടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ആകെ മൂന്ന് പുതിയ ഫോർമുലകളുണ്ട്. ഓർക്കാൻ അത്ര എളുപ്പമല്ല. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പതിവ് പരിഹാരത്തിന് ശേഷമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. അപ്പോൾ എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും സ്വയം ഓർമ്മിക്കപ്പെടും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ കാഴ്ച

ഇവിടെ അവരുടെ വ്യക്തമായ നൊട്ടേഷൻ നിർദ്ദേശിക്കപ്പെടുന്നു, ഏറ്റവും വലിയ ബിരുദം ആദ്യം എഴുതുമ്പോൾ, തുടർന്ന് - അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ. നിബന്ധനകൾ വേറിട്ടുനിൽക്കുമ്പോൾ പലപ്പോഴും സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്. അപ്പോൾ വേരിയബിളിന്റെ ഡിഗ്രിയുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുന്നതാണ് നല്ലത്.

നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം. അവ ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഈ നൊട്ടേഷനുകൾ അംഗീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷനായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

മാത്രമല്ല, ഗുണകം a ≠ 0. ഈ ഫോർമുലയെ നമ്പർ വൺ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കട്ടെ.

സമവാക്യം നൽകുമ്പോൾ, ഉത്തരത്തിൽ എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് വ്യക്തമല്ല. കാരണം മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകളിലൊന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണ്:

പരിഹാരത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും;
ഉത്തരം ഒരു സംഖ്യ ആയിരിക്കും;
സമവാക്യത്തിന് വേരുകളൊന്നുമില്ല.

തീരുമാനം അവസാനിപ്പിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിലും, ഒരു പ്രത്യേക കേസിൽ ഏത് ഓപ്ഷനാണ് വീഴുന്നതെന്ന് മനസിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ രേഖകളുടെ തരങ്ങൾ

ടാസ്‌ക്കുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത എൻട്രികൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. അവ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യം പോലെ കാണില്ല. ചിലപ്പോൾ അതിന് ചില നിബന്ധനകൾ കുറവായിരിക്കും. മുകളിൽ എഴുതിയത് സമ്പൂർണ്ണ സമവാക്യമാണ്. അതിൽ രണ്ടാമത്തെയോ മൂന്നാമത്തെയോ ടേം നീക്കം ചെയ്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെന്തെങ്കിലും ലഭിക്കും. ഈ റെക്കോർഡുകളെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു, അപൂർണ്ണമാണ്.

മാത്രമല്ല, "b", "c" എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ അപ്രത്യക്ഷമാകാൻ കഴിയുന്ന പദങ്ങൾ മാത്രം. ഒരു സാഹചര്യത്തിലും "a" എന്ന സംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകരുത്. കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഫോർമുല മാറുന്നു രേഖീയ സമവാക്യം. സമവാക്യങ്ങളുടെ അപൂർണ്ണമായ രൂപത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

അതിനാൽ, രണ്ട് തരങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ, പൂർണ്ണമായവയ്ക്ക് പുറമേ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും ഉണ്ട്. ആദ്യ ഫോർമുല നമ്പർ രണ്ട് ആയിരിക്കട്ടെ, രണ്ടാമത്തെ നമ്പർ മൂന്ന്.

വിവേചനവും അതിന്റെ മൂല്യത്തിൽ വേരുകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ആശ്രിതത്വവും

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഈ സംഖ്യ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം എന്തുതന്നെയായാലും ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും കണക്കാക്കാം. വിവേചനം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ താഴെ എഴുതിയിരിക്കുന്ന തുല്യത ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിൽ നാല് നമ്പർ ഉണ്ടാകും.

ഈ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അക്കങ്ങൾ ലഭിക്കും വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങൾ. ഉത്തരം അതെ എന്നാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളായിരിക്കും. ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഇല്ലാതാകും. ഇത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഉത്തരം ഒന്നായിരിക്കും.

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടും?

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഗണന ഇതിനകം ആരംഭിച്ചു. കാരണം ആദ്യം നിങ്ങൾ വിവേചനക്കാരനെ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുണ്ടെന്നും അവയുടെ എണ്ണം അറിയാമെന്നും വ്യക്തമാക്കിയ ശേഷം, നിങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അത്തരമൊരു ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അതിൽ "±" ചിഹ്നം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകും. വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം വിവേചനമാണ്. അതിനാൽ, ഫോർമുല മറ്റൊരു രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം.

ഫോർമുല അഞ്ച്. വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകളും ഒരേ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുമെന്ന് ഒരേ റെക്കോർഡിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഇതുവരെ തയ്യാറാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, വിവേചനപരവും വേരിയബിൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളും പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് എല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ എഴുതുന്നതാണ് നല്ലത്. പിന്നീട് ഈ നിമിഷം ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കില്ല. എന്നാൽ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ട്.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടും?

ഇവിടെ എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. അധിക ഫോർമുലകളുടെ ആവശ്യമില്ല പോലും. വിവേചനം കാണിക്കുന്നവർക്കും അജ്ഞാതർക്കും വേണ്ടി ഇതിനകം എഴുതിയവ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമില്ല.

ആദ്യം, അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം നമ്പർ രണ്ട് പരിഗണിക്കുക. ഈ സമത്വത്തിൽ, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ മൂല്യം എടുത്ത് രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കണം, അത് ബ്രാക്കറ്റിൽ തന്നെ തുടരും. ഉത്തരത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടാകും. ആദ്യത്തേത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കാരണം വേരിയബിളിൽ തന്നെ ഒരു ഘടകം ഉണ്ട്. ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചാണ് രണ്ടാമത്തേത് ലഭിക്കുന്നത്.

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത് വശത്ത് നിന്ന് വലത്തേക്ക് സംഖ്യ മാറ്റുന്നതിലൂടെ മൂന്നാം നമ്പറിലെ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കപ്പെടും. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ അജ്ഞാതന്റെ മുന്നിലുള്ള ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളോടെ രണ്ടുതവണ എഴുതാൻ മറക്കരുത്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളായി മാറുന്ന എല്ലാത്തരം തുല്യതകളും എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നവയാണ്. അശ്രദ്ധമൂലമുള്ള തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ അവ വിദ്യാർത്ഥിയെ സഹായിക്കും. "ക്വാഡ്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ (ഗ്രേഡ് 8)" എന്ന വിപുലമായ വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ ഈ പോരായ്മകൾ മോശം ഗ്രേഡുകളുടെ കാരണമാണ്. തുടർന്ന്, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിരന്തരം നടത്തേണ്ടതില്ല. കാരണം സ്ഥിരമായ ഒരു ശീലമുണ്ടാകും.

ആദ്യം നിങ്ങൾ സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. അതായത്, ആദ്യം വേരിയബിളിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ ഡിഗ്രി ഉള്ള പദം, തുടർന്ന് - ഡിഗ്രി കൂടാതെ അവസാനത്തേത് - വെറും ഒരു സംഖ്യ.

"a" എന്ന ഗുണകത്തിന് മുമ്പ് ഒരു മൈനസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു തുടക്കക്കാരന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ജോലി സങ്കീർണ്ണമാക്കും. അത് ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, എല്ലാ സമത്വവും "-1" കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം. എല്ലാ നിബന്ധനകളും ചിഹ്നത്തെ വിപരീതമായി മാറ്റും എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

അതേ രീതിയിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. സമവാക്യത്തെ ഉചിതമായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അതുവഴി ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ റദ്ദാക്കപ്പെടും.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഇനിപ്പറയുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

ആദ്യ സമവാക്യം: x 2 - 7x \u003d 0. ഇത് അപൂർണ്ണമാണ്, അതിനാൽ ഫോർമുല നമ്പർ രണ്ട് വിവരിച്ചതുപോലെ ഇത് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ബ്രാക്കറ്റിംഗിന് ശേഷം, ഇത് മാറുന്നു: x (x - 7) \u003d 0.

ആദ്യത്തെ റൂട്ട് മൂല്യം എടുക്കുന്നു: x 1 \u003d 0. രണ്ടാമത്തേത് ലീനിയർ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തും: x - 7 \u003d 0. x 2 \u003d 7 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം: 5x2 + 30 = 0. വീണ്ടും അപൂർണ്ണം. മൂന്നാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ മാത്രമേ ഇത് പരിഹരിക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് 30 ട്രാൻസ്ഫർ ചെയ്ത ശേഷം: 5x 2 = 30. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് മാറുന്നു: x 2 = 6. ഉത്തരങ്ങൾ അക്കങ്ങളായിരിക്കും: x 1 = √6, x 2 = - √6.

മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. ഇവിടെയും താഴെയും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം അവയെ ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് മാറ്റിയെഴുതിക്കൊണ്ട് ആരംഭിക്കും: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തേത് ഉപയോഗിക്കാനുള്ള സമയമായി ഉപയോഗപ്രദമായ ഉപദേശംകൂടാതെ എല്ലാം മൈനസ് ഒന്ന് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഇത് x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ആയി മാറുന്നു. നാലാമത്തെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. ഇത് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ. മുകളിൽ പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന്, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അഞ്ചാമത്തെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് അവ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതനുസരിച്ച്, x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. തുടർന്ന് x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

നാലാമത്തെ സമവാക്യം x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ഇതിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്‌തു: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. അതിന്റെ വിവേചനം ഈ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്: -23. ഈ നമ്പർ നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, ഈ ടാസ്ക്കിനുള്ള ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി ആയിരിക്കും: "വേരുകളൊന്നുമില്ല."

12x + x 2 + 36 = 0 എന്ന അഞ്ചാമത്തെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതണം: x 2 + 12x + 36 = 0. വിവേചനത്തിന് ഫോർമുല പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം ഇതിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്നാണ്, അതായത്: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

ആറാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നതിന് മുമ്പ് നിങ്ങൾ സമാനമായ നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യത്തേതിന് പകരം അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗം ഉണ്ടാകും: x 2 + 2x + 1. തുല്യതയ്ക്ക് ശേഷം, ഈ എൻട്രി ദൃശ്യമാകും: x 2 + 3x + 2. സമാന പദങ്ങൾ കണക്കാക്കിയ ശേഷം, സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: x 2 - x \u003d 0. ഇത് അപൂർണ്ണമായി മാറി. ഇതിന് സമാനമായത് ഇതിനകം അൽപ്പം ഉയർന്നതായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ഇതിന്റെ വേരുകൾ 0, 1 എന്നീ സംഖ്യകളായിരിക്കും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. വിവേചനം. പരിഹാരം, ഉദാഹരണങ്ങൾ.

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയൽ.
ശക്തമായി "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്കായി
"വളരെയധികം ..." ഉള്ളവർക്കായി)

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

എന്താണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം? അത് കാഴ്ച്ചയ്ക് എന്ത് പോലെയിരിക്കും? കാലയളവിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംകീവേഡ് ആണ് "സമചതുരം Samachathuram".സമവാക്യത്തിൽ എന്നാണ് നിർബന്ധമായുംഒരു x ചതുരം ഉണ്ടായിരിക്കണം. അതിനുപുറമെ, സമവാക്യത്തിൽ വെറും x (ആദ്യ ഡിഗ്രി വരെ) കൂടാതെ ഒരു സംഖ്യയും ഉണ്ടാകാം (അല്ലെങ്കിൽ അല്ലായിരിക്കാം!) (സ്വതന്ത്ര അംഗം).കൂടാതെ രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ഡിഗ്രിയിൽ x ഉണ്ടാകരുത്.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്:

ഇവിടെ എ, ബി, സി- ചില സംഖ്യകൾ. ബി, സി- തികച്ചും ഏതെങ്കിലും, പക്ഷേ എ- പൂജ്യമല്ലാതെ മറ്റെന്തെങ്കിലും. ഉദാഹരണത്തിന്:

ഇവിടെ എ =1; ബി = 3; സി = -4

ഇവിടെ എ =2; ബി = -0,5; സി = 2,2

ഇവിടെ എ =-3; ബി = 6; സി = -18

ശരി, നിങ്ങൾക്ക് ആശയം മനസ്സിലായി ...

ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ, ഇടതുവശത്ത്, ഉണ്ട് മുഴുവൻ സെറ്റ്അംഗങ്ങൾ. ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് x ചതുരം എ,ഗുണകം ഉള്ള ആദ്യ ശക്തിയിലേക്ക് x ബിഒപ്പം സ്വതന്ത്ര അംഗം

അത്തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു പൂർണ്ണമായ.

എങ്കിൽ ബി= 0, നമുക്ക് എന്ത് ലഭിക്കും? നമുക്ക് ഉണ്ട് ആദ്യ ഡിഗ്രിയിൽ X അപ്രത്യക്ഷമാകും.പൂജ്യം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു.) ഇത് മാറുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

ഇത്യാദി. രണ്ട് ഗുണകങ്ങളും ആണെങ്കിൽ ബിഒപ്പം സിപൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, പിന്നെ ഇത് കൂടുതൽ ലളിതമാണ്:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

എന്തെങ്കിലും നഷ്ടപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന അത്തരം സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.ഇത് തികച്ചും യുക്തിസഹമാണ്.) എല്ലാ സമവാക്യങ്ങളിലും x സ്ക്വയർ ഉണ്ടെന്ന് ദയവായി ശ്രദ്ധിക്കുക.

എന്തുകൊണ്ട് എപൂജ്യമാകില്ലേ? പകരം നിങ്ങൾ പകരം വയ്ക്കുക എപൂജ്യം.) ചതുരത്തിലെ X അപ്രത്യക്ഷമാകും! സമവാക്യം രേഖീയമായി മാറും. അത് വ്യത്യസ്തമായി ചെയ്തു ...

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പ്രധാന തരങ്ങൾ അതാണ്. പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്. സൂത്രവാക്യങ്ങളും വ്യക്തമായ ലളിതമായ നിയമങ്ങളും അനുസരിച്ച്. നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യം കൊണ്ടുവരിക എന്നതാണ് ആദ്യപടി സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോം, അതായത്. കാഴ്ചയിലേക്ക്:

ഈ ഫോമിൽ സമവാക്യം നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ആദ്യ ഘട്ടം ചെയ്യേണ്ടതില്ല.) എല്ലാ ഗുണകങ്ങളും ശരിയായി നിർണ്ണയിക്കുക എന്നതാണ് പ്രധാന കാര്യം, എ, ബിഒപ്പം സി.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള സൂത്രവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

റൂട്ട് ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തെ വിളിക്കുന്നു വിവേചനം. എന്നാൽ താഴെ അവനെ കുറിച്ച് കൂടുതൽ. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, x കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു എ, ബി, സി എന്നിവ മാത്രം. ആ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്നുള്ള ഗുണകങ്ങൾ. മൂല്യങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക എ, ബി, സിഈ ഫോർമുലയിലേക്ക് എണ്ണുക. പകരക്കാരൻ നിങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങൾക്കൊപ്പം! ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യത്തിൽ:

എ =1; ബി = 3; സി= -4. ഇവിടെ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

ഉദാഹരണം ഏതാണ്ട് പരിഹരിച്ചു:

ഇതാണ് ഉത്തരം.

എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. നിങ്ങൾ എന്താണ് ചിന്തിക്കുന്നത്, നിങ്ങൾക്ക് തെറ്റ് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല? ശരി, അതെ, എങ്ങനെ...

മൂല്യങ്ങളുടെ അടയാളങ്ങളുമായുള്ള ആശയക്കുഴപ്പമാണ് ഏറ്റവും സാധാരണമായ തെറ്റുകൾ എ, ബി, സി. അല്ലെങ്കിൽ, അവരുടെ അടയാളങ്ങൾ കൊണ്ടല്ല (എവിടെയാണ് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകേണ്ടത്?), പക്ഷേ വേരുകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. ഇവിടെ, നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളുള്ള ഫോർമുലയുടെ വിശദമായ റെക്കോർഡ് സംരക്ഷിക്കുന്നു. കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, അങ്ങനെ ചെയ്യുക!

ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം നമുക്ക് പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് കരുതുക:

ഇവിടെ എ = -6; ബി = -5; സി = -1

നിങ്ങൾക്ക് ആദ്യമായി ഉത്തരങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നത് അപൂർവമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെന്ന് പറയാം.

ശരി, മടിയനാകരുത്. ഒരു അധിക വരി എഴുതാൻ 30 സെക്കൻഡ് എടുക്കും. കൂടാതെ പിശകുകളുടെ എണ്ണവും കുത്തനെ കുറയും. അതിനാൽ എല്ലാ ബ്രാക്കറ്റുകളും അടയാളങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വിശദമായി എഴുതുന്നു:

വളരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വരയ്ക്കുന്നത് അവിശ്വസനീയമാംവിധം ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്ന് തോന്നുന്നു. പക്ഷെ അത് മാത്രം തോന്നുന്നു. പരീക്ഷിച്ചു നോക്കൂ. ശരി, അല്ലെങ്കിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കുക. ഏതാണ് നല്ലത്, വേഗതയേറിയതോ ശരിയോ? കൂടാതെ, ഞാൻ നിങ്ങളെ സന്തോഷിപ്പിക്കും. കുറച്ച് സമയത്തിന് ശേഷം, എല്ലാം വളരെ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വരയ്ക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. അത് ശരിയായി മാറും. പ്രത്യേകിച്ചും നിങ്ങൾ പ്രായോഗിക സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവ ചുവടെ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു കൂട്ടം മൈനസുകളുള്ള ഈ ദുഷിച്ച ഉദാഹരണം എളുപ്പത്തിലും പിശകുകളില്ലാതെയും പരിഹരിക്കപ്പെടും!

പക്ഷേ, പലപ്പോഴും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ അല്പം വ്യത്യസ്തമായി കാണപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതുപോലെ:

നിങ്ങൾക്കറിയാമോ?) അതെ! ഈ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

പൊതുവായ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അവ പരിഹരിക്കാനും കഴിയും. ഇവിടെ തുല്യമായത് എന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ ശരിയായി കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതുണ്ട് എ, ബി, സി.

തിരിച്ചറിഞ്ഞോ? ആദ്യ ഉദാഹരണത്തിൽ a = 1; b = -4;എ സി? അത് നിലവിലില്ല! ശരി, അതെ, അത് ശരിയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഇത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് c = 0 ! അത്രയേയുള്ളൂ. പകരം പൂജ്യം ഫോർമുലയിൽ പകരം വയ്ക്കുക സി,എല്ലാം നമുക്ക് വേണ്ടി പ്രവർത്തിക്കുകയും ചെയ്യും. അതുപോലെ രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണത്തിലും. ഇവിടെ പൂജ്യം മാത്രം ഇല്ല കൂടെ, എ ബി !

എന്നാൽ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വളരെ എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഫോർമുലകളൊന്നും ഇല്ലാതെ. ആദ്യത്തെ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക. ഇടതുവശത്ത് എന്തുചെയ്യാൻ കഴിയും? നിങ്ങൾക്ക് X ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് എടുക്കാം! നമുക്ക് അത് പുറത്തെടുക്കാം.

പിന്നെ ഇതിൽ നിന്ന് എന്ത്? കൂടാതെ, ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഏതെങ്കിലും ഘടകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം! വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? ശരി, അപ്പോൾ പൂജ്യമല്ലാത്ത രണ്ട് സംഖ്യകൾ കൊണ്ടുവരിക, ഗുണിക്കുമ്പോൾ പൂജ്യം ലഭിക്കും!
പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ല? എന്തോ...
അതിനാൽ, നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ എഴുതാം: x 1 = 0, x 2 = 4.

എല്ലാം. ഇവ നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളായിരിക്കും. രണ്ടും യോജിക്കുന്നു. അവയിലേതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ശരിയായ ഐഡന്റിറ്റി 0 = 0 ലഭിക്കും. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, പരിഹാരം പൊതുവായ ഫോർമുലയേക്കാൾ വളരെ ലളിതമാണ്. ഞാൻ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു, ഏത് X ആയിരിക്കും ആദ്യത്തേത്, രണ്ടാമത്തേത് - ഇത് തികച്ചും നിസ്സംഗതയാണ്. ക്രമത്തിൽ എഴുതാൻ എളുപ്പമാണ് x 1- ഏതാണ് കുറവ് x 2- അത് കൂടുതൽ.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യവും എളുപ്പത്തിൽ പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഞങ്ങൾ 9 വലത് വശത്തേക്ക് നീക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

9 ൽ നിന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ ഇത് ശേഷിക്കുന്നു, അത്രമാത്രം. നേടുക:

കൂടാതെ രണ്ട് വേരുകൾ . x 1 = -3, x 2 = 3.

അപൂർണ്ണമായ എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നത് ഇങ്ങനെയാണ്. ഒന്നുകിൽ X ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുക, അല്ലെങ്കിൽ നമ്പർ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുക, തുടർന്ന് റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റ് ചെയ്യുക.
ഈ രീതികൾ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ നിങ്ങൾ X-ൽ നിന്ന് റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യേണ്ടിവരും, അത് എങ്ങനെയെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയില്ല, രണ്ടാമത്തെ സാഹചര്യത്തിൽ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാൻ ഒന്നുമില്ല ...

വിവേചനം. വിവേചന സൂത്രവാക്യം.

മാന്ത്രിക വാക്ക് വിവേചനം ! ഒരു അപൂർവ ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥി ഈ വാക്ക് കേട്ടിട്ടില്ല! "വിവേചനത്തിലൂടെ തീരുമാനിക്കുക" എന്ന വാചകം ആശ്വാസവും ആശ്വാസവും നൽകുന്നു. കാരണം വിവേചനക്കാരിൽ നിന്നുള്ള തന്ത്രങ്ങൾക്കായി കാത്തിരിക്കേണ്ടതില്ല! ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ ലളിതവും പ്രശ്‌നരഹിതവുമാണ്.) പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും പൊതുവായ സൂത്രവാക്യം ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലുംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ:

മൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തെ വിവേചനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വിവേചനക്കാരനെ സാധാരണയായി അക്ഷരം കൊണ്ടാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഡി. വിവേചന സൂത്രവാക്യം:

D = b 2 - 4ac

ഈ പ്രയോഗത്തിന്റെ പ്രത്യേകത എന്താണ്? എന്തുകൊണ്ടാണ് ഇത് ഒരു പ്രത്യേക നാമത്തിന് അർഹമായത്? എന്ത് വിവേചനക്കാരന്റെ അർത്ഥം?എല്ലാത്തിനുമുപരി -ബി,അഥവാ 2aഈ ഫോർമുലയിൽ അവർ പ്രത്യേകമായി പേര് നൽകുന്നില്ല ... അക്ഷരങ്ങളും അക്ഷരങ്ങളും.

കാര്യം ഇതാണ്. ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അത് സാധ്യമാണ് മൂന്ന് കേസുകൾ മാത്രം.

1. വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണ്.ഇതിനർത്ഥം നിങ്ങൾക്ക് അതിൽ നിന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയും എന്നാണ്. റൂട്ട് നന്നായി വേർതിരിച്ചെടുത്തോ മോശമായോ എന്നത് മറ്റൊരു ചോദ്യമാണ്. തത്വത്തിൽ എന്താണ് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നത് എന്നത് പ്രധാനമാണ്. അപ്പോൾ നിങ്ങളുടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. രണ്ട് വ്യത്യസ്ത പരിഹാരങ്ങൾ.

2. വിവേചനം പൂജ്യമാണ്.അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്. ന്യൂമറേറ്ററിൽ പൂജ്യം കൂട്ടിയാലും കുറച്ചാലും ഒന്നും മാറില്ല. കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇത് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് അല്ല, പക്ഷേ സമാനമായ രണ്ട്. പക്ഷേ, ലളിതമായ ഒരു പതിപ്പിൽ, സംസാരിക്കുന്നത് പതിവാണ് ഒരു പരിഹാരം.

3. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്.ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കുന്നില്ല. ശരി, ശരി. ഇതിനർത്ഥം പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ല എന്നാണ്.

സത്യസന്ധമായി പറഞ്ഞാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു ലളിതമായ പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു വിവേചനവാദി എന്ന ആശയം ശരിക്കും ആവശ്യമില്ല. ഫോർമുലയിലെ ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നു. അവിടെ എല്ലാം സ്വയം മാറുന്നു, രണ്ട് വേരുകൾ, ഒന്ന്, ഒന്നുമല്ല. എന്നിരുന്നാലും, കൂടുതൽ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ജോലികൾ, അറിവില്ലാതെ അർത്ഥവും വിവേചന സൂത്രവാക്യവുംപോരാ. പ്രത്യേകിച്ച് - പരാമീറ്ററുകളുള്ള സമവാക്യങ്ങളിൽ. അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ ജിഐഎയ്ക്കും ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്കും എയറോബാറ്റിക്സ് ആണ്!)

അതിനാൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാംനിങ്ങൾ ഓർമ്മിച്ച വിവേചനത്തിലൂടെ. അല്ലെങ്കിൽ പഠിച്ചു, അതും മോശമല്ല.) എങ്ങനെ ശരിയായി തിരിച്ചറിയാമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം എ, ബി, സി. എങ്ങനെയെന്നറിയാമോ ശ്രദ്ധയോടെഅവയെ റൂട്ട് ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക ശ്രദ്ധയോടെഫലം എണ്ണുക. അത് മനസ്സിലായോ കീവേഡ്ഇവിടെ - ശ്രദ്ധയോടെ?

പിശകുകളുടെ എണ്ണം നാടകീയമായി കുറയ്ക്കുന്ന പ്രായോഗിക സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഇപ്പോൾ ശ്രദ്ധിക്കുക. അശ്രദ്ധ മൂലമുണ്ടാകുന്നവ തന്നെ... അതിന് പിന്നീട് വേദനാജനകവും അപമാനകരവുമാണ്...

ആദ്യ സ്വീകരണം . ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഒരു സാധാരണ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നതിന് മുമ്പ് അത് പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് അലസത കാണിക്കരുത്. എന്താണിതിനർത്ഥം?
ഏതെങ്കിലും പരിവർത്തനത്തിന് ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യം ലഭിച്ചുവെന്ന് കരുതുക:

വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യം എഴുതാൻ തിരക്കുകൂട്ടരുത്! നിങ്ങൾ മിക്കവാറും സാധ്യതകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കും എ, ബി, സി.ഉദാഹരണം ശരിയായി നിർമ്മിക്കുക. ആദ്യം, x ചതുരം, പിന്നെ ഒരു ചതുരം ഇല്ലാതെ, പിന്നെ ഒരു സ്വതന്ത്ര അംഗം. ഇതുപോലെ:

വീണ്ടും, തിരക്കുകൂട്ടരുത്! x സ്ക്വയറിന് മുമ്പുള്ള മൈനസ് നിങ്ങളെ വളരെയധികം അസ്വസ്ഥരാക്കും. മറക്കുക എളുപ്പമാണ്... മൈനസ് ഒഴിവാക്കുക. എങ്ങനെ? അതെ, മുമ്പത്തെ വിഷയത്തിൽ പഠിപ്പിച്ചതുപോലെ! മുഴുവൻ സമവാക്യവും -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല സുരക്ഷിതമായി എഴുതാനും വിവേചനം കണക്കാക്കാനും ഉദാഹരണം പൂർത്തിയാക്കാനും കഴിയും. സ്വയം തീരുമാനിക്കുക. നിങ്ങൾ വേരുകൾ 2, -1 എന്നിവയിൽ അവസാനിക്കണം.

രണ്ടാമത്തെ സ്വീകരണം. നിങ്ങളുടെ വേരുകൾ പരിശോധിക്കുക! വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്. വിഷമിക്കേണ്ട, ഞാൻ എല്ലാം വിശദീകരിക്കും! പരിശോധിക്കുന്നു അവസാന കാര്യംസമവാക്യം. ആ. വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യം ഞങ്ങൾ എഴുതിയ ഒന്ന്. എങ്കിൽ (ഈ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ) ഗുണകം a = 1, വേരുകൾ എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കുക. അവയെ ഗുണിച്ചാൽ മതി. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സൗജന്യ ടേം ലഭിക്കണം, അതായത്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ -2. ശ്രദ്ധിക്കുക, 2 അല്ല, -2! സ്വതന്ത്ര അംഗം നിങ്ങളുടെ അടയാളം ഉപയോഗിച്ച് . അത് പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം അവർ ഇതിനകം എവിടെയോ കുഴപ്പത്തിലായി എന്നാണ്. ഒരു പിശകിനായി നോക്കുക.

ഇത് പ്രവർത്തിച്ചാൽ, നിങ്ങൾ വേരുകൾ മടക്കിക്കളയേണ്ടതുണ്ട്. അവസാനത്തേതും അവസാനത്തേതുമായ പരിശോധന. ഒരു അനുപാതം ആയിരിക്കണം ബികൂടെ എതിർവശത്ത് അടയാളം. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ -1+2 = +1. ഒരു ഗുണകം ബി x ന് മുമ്പുള്ള, -1 ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, എല്ലാം ശരിയാണ്!
x ചതുരം ശുദ്ധമായ ഒരു ഗുണകം ഉള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് മാത്രം ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് എന്നത് ഖേദകരമാണ് a = 1.എന്നാൽ കുറഞ്ഞത് അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിശോധിക്കുക! തെറ്റുകൾ കുറവായിരിക്കും.

സ്വീകരണം മൂന്നാമത് . നിങ്ങളുടെ സമവാക്യത്തിന് ഫ്രാക്ഷണൽ ഗുണകങ്ങൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കുക! "സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഐഡന്റിറ്റി ട്രാൻസ്ഫോർമേഷനുകൾ" എന്ന പാഠത്തിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, സമവാക്യത്തെ പൊതുവായ ഡിനോമിനേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഗുണിക്കുക. ഭിന്നസംഖ്യകൾ, പിശകുകൾ, ചില കാരണങ്ങളാൽ, കയറുക ...

വഴിയിൽ, ലളിതമാക്കാൻ ഒരു കൂട്ടം മൈനസുകളുള്ള ഒരു ദുഷിച്ച ഉദാഹരണം ഞാൻ വാഗ്ദാനം ചെയ്തു. ദയവായി! അവൻ ഇതാ.

മൈനസുകളിൽ ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാകാതിരിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ -1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അത്രയേയുള്ളൂ! തീരുമാനിക്കുന്നത് രസകരമാണ്!

അതിനാൽ നമുക്ക് വിഷയം വീണ്ടും പരിശോധിക്കാം.

പ്രായോഗിക നുറുങ്ങുകൾ:

1. പരിഹരിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു, അത് നിർമ്മിക്കുക ശരിയാണ്.

2. ചതുരത്തിലെ x ന് മുന്നിൽ ഒരു നെഗറ്റീവ് കോഫിഫിഷ്യന്റ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, മുഴുവൻ സമവാക്യവും -1 കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഞങ്ങൾ അത് ഇല്ലാതാക്കുന്നു.

3. ഗുണകങ്ങൾ ഫ്രാക്ഷണൽ ആണെങ്കിൽ, മുഴുവൻ സമവാക്യത്തെയും അനുബന്ധ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഞങ്ങൾ ഭിന്നസംഖ്യകളെ ഇല്ലാതാക്കുന്നു.

4. x ചതുരം ശുദ്ധമാണെങ്കിൽ, അതിന്റെ ഗുണകം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാം. ചെയ്യു!

ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് തീരുമാനിക്കാം.)

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

ഉത്തരങ്ങൾ (അരാജകത്വത്തിൽ):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1.2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0.5

x - ഏതെങ്കിലും നമ്പർ

x 1 = -3
x 2 = 3

പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല

x 1 = 0.25
x 2 \u003d 0.5

എല്ലാം അനുയോജ്യമാണോ? കൊള്ളാം! ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ തലവേദനയല്ല. ആദ്യത്തെ മൂന്ന് എണ്ണം മാറി, പക്ഷേ ബാക്കിയുള്ളവ അങ്ങനെയല്ല? അപ്പോൾ പ്രശ്നം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലല്ല. സമവാക്യങ്ങളുടെ സമാന പരിവർത്തനങ്ങളിലാണ് പ്രശ്നം. ലിങ്ക് നോക്കൂ, അത് സഹായകരമാണ്.

നന്നായി പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലേ? അതോ അത് ഒട്ടും പ്രവർത്തിക്കുന്നില്ലേ? അപ്പോൾ സെക്ഷൻ 555 നിങ്ങളെ സഹായിക്കും.അവിടെ, ഈ ഉദാഹരണങ്ങളെല്ലാം അസ്ഥികളാൽ അടുക്കിയിരിക്കുന്നു. കാണിക്കുന്നു പ്രധാനംപരിഹാരത്തിലെ പിശകുകൾ. തീർച്ചയായും, വിവിധ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങളുടെ പ്രയോഗവും വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. വളരെയധികം സഹായിക്കുന്നു!

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. പഠനം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

നിങ്ങൾക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും പരിചയപ്പെടാം.

"സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക" എന്ന വിഷയത്തിന്റെ തുടർച്ചയായി, ഈ ലേഖനത്തിലെ മെറ്റീരിയൽ നിങ്ങളെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് പരിചയപ്പെടുത്തും.

നമുക്ക് എല്ലാം വിശദമായി പരിഗണിക്കാം: ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ സത്തയും നൊട്ടേഷനും, അനുബന്ധ പദങ്ങൾ സജ്ജമാക്കുക, അപൂർണ്ണവും സമ്പൂർണ്ണവുമായ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള സ്കീം വിശകലനം ചെയ്യുക, വേരുകളുടെയും വിവേചനത്തിന്റെയും സൂത്രവാക്യം പരിചയപ്പെടുക, വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം സ്ഥാപിക്കുക, തീർച്ചയായും ഞങ്ങൾ പ്രായോഗിക ഉദാഹരണങ്ങളുടെ ദൃശ്യ പരിഹാരം നൽകും.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, അതിന്റെ തരങ്ങൾ

നിർവ്വചനം 1

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഎന്നാണ് എഴുതിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യം a x 2 + b x + c = 0, എവിടെ x- വേരിയബിൾ, a , b കൂടാതെ സിചില സംഖ്യകളാണ്, അതേസമയം എപൂജ്യമല്ല.

മിക്കപ്പോഴും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു, കാരണം വാസ്തവത്തിൽ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബീജഗണിത സമവാക്യമാണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന് നമുക്ക് ഒരു ഉദാഹരണം നൽകാം: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, മുതലായവ. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ്.

നിർവ്വചനം 2

സംഖ്യകൾ a, b കൂടാതെ സിക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളാണ് a x 2 + b x + c = 0, ഗുണകം സമയത്ത് എ x 2-ൽ ആദ്യത്തേത്, അല്ലെങ്കിൽ സീനിയർ അല്ലെങ്കിൽ കോഫിഫിഷ്യന്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, b - രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം, അല്ലെങ്കിൽ ഗുണകം x, എ സിഒരു സ്വതന്ത്ര അംഗത്തെ വിളിച്ചു.

ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0ഏറ്റവും ഉയർന്ന ഗുണകം 6 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം − 2 , കൂടാതെ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ് − 11 . എപ്പോൾ ഗുണകങ്ങൾ എന്ന വസ്തുത നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം ബികൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ c നെഗറ്റീവ് ആണ്, അപ്പോൾ ഹ്രസ്വ രൂപംഫോമിന്റെ രേഖകൾ 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, പക്ഷേ അല്ല 6 x 2 + (− 2) x + (- 11) = 0.

നമുക്ക് ഈ വശവും വ്യക്തമാക്കാം: ഗുണകങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ എകൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ ബിതുല്യമായ 1 അഥവാ − 1 , തുടർന്ന് അവർ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യം എഴുതുന്നതിൽ വ്യക്തമായ പങ്കുവഹിച്ചേക്കില്ല, ഇത് സൂചിപ്പിച്ച സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ എഴുതുന്നതിന്റെ പ്രത്യേകതകളാൽ വിശദീകരിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ y 2 - y + 7 = 0മുതിർന്ന ഗുണകം 1 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം − 1 .

കുറച്ചതും അല്ലാത്തതുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ആദ്യ ഗുണകത്തിന്റെ മൂല്യം അനുസരിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ കുറച്ചതും അല്ലാത്തതുമായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 3

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംമുൻനിര ഗുണകം 1 ആയ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്. മുൻനിര ഗുണകത്തിന്റെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്ക്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം കുറയുന്നില്ല.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ x 2 - 4 · x + 3 = 0 , x 2 - x - 4 5 = 0 കുറയുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നിലും മുൻനിര ഗുണകം 1 ആണ്.

9 x 2 - x - 2 = 0- കുറയ്ക്കാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ആദ്യ ഗുണകം വ്യത്യസ്തമാണ് 1 .

കുറയാത്ത ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെയും അതിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും ആദ്യത്തെ ഗുണകം (തത്തുല്യമായ പരിവർത്തനം) കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു കുറഞ്ഞ സമവാക്യമായി പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും. രൂപാന്തരപ്പെട്ട സമവാക്യത്തിന് നൽകിയിരിക്കുന്ന നോൺ-കുറക്കാത്ത സമവാക്യത്തിന്റെ അതേ വേരുകളുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ വേരുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല.

പരിഗണന കേസ് പഠനംകുറയാത്ത ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് കുറഞ്ഞ ഒന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനം ദൃശ്യപരമായി പ്രദർശിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും.

ഉദാഹരണം 1

6 x 2 + 18 x - 7 = 0 എന്ന സമവാക്യം നൽകിയിരിക്കുന്നു . യഥാർത്ഥ സമവാക്യം കുറച്ച രൂപത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

മുകളിലുള്ള സ്കീം അനുസരിച്ച്, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും ഞങ്ങൾ ലീഡിംഗ് കോഫിഫിഷ്യന്റ് 6 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, ഇതും സമാനമാണ്: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 - 7: 3 = 0കൂടാതെ കൂടുതൽ: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0 .ഇവിടെ നിന്ന്: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . അങ്ങനെ, നൽകിയിരിക്കുന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും.

ഉത്തരം: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

പൂർണ്ണവും അപൂർണ്ണവുമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ നിർവചനത്തിലേക്ക് തിരിയാം. അതിൽ ഞങ്ങൾ അത് വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട് a ≠ 0. സമവാക്യത്തിന് സമാനമായ ഒരു വ്യവസ്ഥ ആവശ്യമാണ് a x 2 + b x + c = 0കൃത്യമായി ചതുരമായിരുന്നു, മുതൽ a = 0അത് അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി മാറുന്നു b x + c = 0.

എവിടെ ഗുണകങ്ങൾ കേസിൽ ബിഒപ്പം സിപൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (ഇത് വ്യക്തിഗതമായും സംയുക്തമായും സാധ്യമാണ്), ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 4

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ് a x 2 + b x + c \u003d 0,എവിടെയെങ്കിലും ഗുണകങ്ങളിൽ ഒന്ന് ബിഒപ്പം സി(അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും) പൂജ്യമാണ്.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഎല്ലാ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമാണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ തരങ്ങൾക്ക് അത്തരം പേരുകൾ കൃത്യമായി നൽകുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് നമുക്ക് ചർച്ച ചെയ്യാം.

b = 0 ന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം രൂപമെടുക്കുന്നു a x 2 + 0 x + c = 0, അത് സമാനമാണ് a x 2 + c = 0. ചെയ്തത് c = 0ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു a x 2 + b x + 0 = 0, ഏത് തുല്യമാണ് a x 2 + b x = 0. ചെയ്തത് b = 0ഒപ്പം c = 0സമവാക്യം രൂപമെടുക്കും a x 2 = 0. നമുക്ക് ലഭിച്ച സമവാക്യങ്ങൾ പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്, അവയുടെ ഇടത് വശങ്ങളിൽ x എന്ന വേരിയബിളുള്ള ഒരു പദമോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സ്വതന്ത്ര പദമോ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടും ഒരേസമയം അടങ്ങിയിട്ടില്ല. യഥാർത്ഥത്തിൽ, ഈ വസ്തുതയാണ് ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പേര് നൽകിയത് - അപൂർണ്ണമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, x 2 + 3 x + 4 = 0, - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 എന്നിവ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , - x 2 - 6 x = 0 അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന നിർവചനം ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെ വേർതിരിച്ചറിയാൻ സഹായിക്കുന്നു:

a x 2 = 0, ഗുണകങ്ങൾ അത്തരമൊരു സമവാക്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു b = 0കൂടാതെ c = 0 ;
b \u003d 0 ന് a x 2 + c \u003d 0;
a x 2 + b x = 0 for c = 0 .

ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം തുടർച്ചയായി പരിഗണിക്കുക.

a x 2 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, അത്തരമൊരു സമവാക്യം ഗുണകങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു ബിഒപ്പം സി, പൂജ്യത്തിന് തുല്യം. സമവാക്യം a x 2 = 0ഒരു തുല്യ സമവാക്യത്തിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാൻ കഴിയും x2 = 0, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു എ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല. സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് എന്നതാണ് വ്യക്തമായ വസ്തുത x2 = 0കാരണം പൂജ്യമാണ് 0 2 = 0 . ഈ സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നുമില്ല, ഇത് ഡിഗ്രിയുടെ ഗുണങ്ങളാൽ വിശദീകരിക്കപ്പെടുന്നു: ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും പി ,പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല, അസമത്വം സത്യമാണ് p2 > 0, അതിൽ നിന്ന് അത് എപ്പോൾ എന്ന് പിന്തുടരുന്നു p ≠ 0സമത്വം p2 = 0ഒരിക്കലും എത്തിച്ചേരുകയില്ല.

നിർവ്വചനം 5

അങ്ങനെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് ഒരു x 2 = 0, ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട് x=0.

ഉദാഹരണം 2

ഉദാഹരണത്തിന്, നമുക്ക് ഒരു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം − 3 x 2 = 0. ഇത് സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ് x2 = 0, അതിന്റെ ഒരേയൊരു റൂട്ട് x=0, അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട് - പൂജ്യം.

പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സംഗ്രഹിച്ചിരിക്കുന്നു:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം

വരിയിൽ അടുത്തത് അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമാണ്, ഇവിടെ b \u003d 0, c ≠ 0, അതായത് ഫോമിന്റെ സമവാക്യങ്ങൾ a x 2 + c = 0. ഈ സമവാക്യത്തെ സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു വശത്ത് നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറ്റിക്കൊണ്ട്, ചിഹ്നത്തെ എതിർവശത്തേക്ക് മാറ്റി, സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് നമുക്ക് ഈ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

സഹിക്കുക സിസമവാക്യം നൽകുന്ന വലതുവശത്തേക്ക് a x 2 = - c;
സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും വിഭജിക്കുക എ, നമുക്ക് x = - c a ഫലമായി ലഭിക്കും.

ഞങ്ങളുടെ പരിവർത്തനങ്ങൾ യഥാക്രമം തുല്യമാണ്, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യവും യഥാർത്ഥമായതിന് തുല്യമാണ്, ഈ വസ്തുത സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. മൂല്യങ്ങൾ എന്തിൽ നിന്നാണ് എഒപ്പം സിപദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു - c a: ഇതിന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ടാകാം (ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്കിൽ a = 1ഒപ്പം c = 2, പിന്നെ - c a = - 2 1 = - 2) അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പ്ലസ് ചിഹ്നം (ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്കിൽ a = -2ഒപ്പം c=6, പിന്നെ - c a = - 6 - 2 = 3); അത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ല കാരണം c≠ 0. എപ്പോൾ സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ വിശദമായി നമുക്ക് താമസിക്കാം - സി എ< 0 и - c a > 0 .

കേസിൽ എപ്പോൾ - സി എ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа പിതുല്യത p 2 = - c a സത്യമായിരിക്കില്ല.

എപ്പോൾ എല്ലാം വ്യത്യസ്തമാണ് - c a > 0: സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഓർമ്മിക്കുക, x 2 \u003d - c a എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് സംഖ്യയായിരിക്കുമെന്ന് വ്യക്തമാകും - c a, മുതൽ - c a 2 \u003d - c a. x 2 = - c a: തീർച്ചയായും, - - c a 2 = - c a എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ മൂലവും -- c a - എന്ന സംഖ്യയാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ എളുപ്പമാണ്.

സമവാക്യത്തിന് മറ്റ് വേരുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. വിപരീത രീതി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് തെളിയിക്കാം. ആദ്യം, മുകളിൽ കാണുന്ന വേരുകളുടെ നൊട്ടേഷൻ ഇങ്ങനെ സെറ്റ് ചെയ്യാം x 1ഒപ്പം − x 1. x 2 = - c a എന്ന സമവാക്യത്തിനും ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം x2, വേരുകളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് x 1ഒപ്പം − x 1. എന്നതിനുപകരം സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ അത് നമുക്കറിയാം xഅതിന്റെ വേരുകൾ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തെ ന്യായമായ സംഖ്യാ സമത്വമാക്കി മാറ്റുന്നു.

വേണ്ടി x 1ഒപ്പം − x 1എഴുതുക: x 1 2 = - c a , കൂടാതെ x2- x 2 2 \u003d - c a. സംഖ്യാ സമത്വങ്ങളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഒരു യഥാർത്ഥ സമത്വം മറ്റൊരു പദത്തിൽ നിന്ന് ടേം പ്രകാരം ഞങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നു, അത് നമുക്ക് നൽകും: x 1 2 - x 2 2 = 0. അവസാനത്തെ തുല്യത ഇതായി മാറ്റിയെഴുതാൻ നമ്പർ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുക (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ ഗുണനഫലം പൂജ്യമാണെന്ന് അറിയാം, കുറഞ്ഞത് ഒരു സംഖ്യയെങ്കിലും പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം. പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന്, അത് പിന്തുടരുന്നു x1 - x2 = 0കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x1 + x2 = 0, അത് സമാനമാണ് x2 = x1കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ x 2 = - x 1. വ്യക്തമായ ഒരു വൈരുദ്ധ്യം ഉടലെടുത്തു, കാരണം സമവാക്യത്തിന്റെ റൂട്ട് ആദ്യം സമ്മതിച്ചു x2നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ് x 1ഒപ്പം − x 1. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് x = - c a, x = - - c a എന്നിവയല്ലാതെ മറ്റൊരു വേരുകളില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ തെളിയിച്ചു.

മുകളിലുള്ള എല്ലാ വാദങ്ങളും ഞങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 6

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a x 2 + c = 0 x 2 = - c a എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഇത്:

- സി എയിൽ വേരുകളുണ്ടാകില്ല< 0 ;
x = - c a, x = - - c a എപ്പോൾ - c a > 0 എന്നീ രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.

സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം a x 2 + c = 0.

ഉദാഹരണം 3

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നൽകി 9 x 2 + 7 = 0 .അതിന്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് സ്വതന്ത്ര പദം കൈമാറുന്നു, തുടർന്ന് സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും 9 x 2 \u003d - 7.
തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഞങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നു 9 , ഞങ്ങൾ x 2 = - 7 9 ലേക്ക് വരുന്നു. വലതുവശത്ത് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുള്ള ഒരു സംഖ്യ ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, അതിനർത്ഥം: നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല. അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 9 x 2 + 7 = 0വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല.

ഉത്തരം:സമവാക്യം 9 x 2 + 7 = 0വേരുകളില്ല.

ഉദാഹരണം 4

സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് − x2 + 36 = 0.

പരിഹാരം

നമുക്ക് 36 വലതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം: − x 2 = - 36.
നമുക്ക് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വിഭജിക്കാം − 1 , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു x2 = 36. വലതുവശത്ത് ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുണ്ട്, അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അത് നിഗമനം ചെയ്യാം x = 36 അല്ലെങ്കിൽ x = - 36 .
ഞങ്ങൾ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്‌ത് അന്തിമ ഫലം എഴുതുന്നു: അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം − x2 + 36 = 0രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട് x=6അഥവാ x = -6.

ഉത്തരം: x=6അഥവാ x = -6.

a x 2 +b x=0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം

നമുക്ക് മൂന്നാമത്തെ തരം അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യാം c = 0. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന് a x 2 + b x = 0, ഞങ്ങൾ ഫാക്‌ടറൈസേഷൻ രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു. സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള പോളിനോമിയലിനെ നമുക്ക് ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യാം, ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുത്ത് x. ഈ ഘട്ടം യഥാർത്ഥ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ അതിന്റെ തുല്യതയിലേക്ക് മാറ്റുന്നത് സാധ്യമാക്കും. x (a x + b) = 0. ഈ സമവാക്യം, സമവാക്യങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തിന് തുല്യമാണ് x=0ഒപ്പം a x + b = 0. സമവാക്യം a x + b = 0രേഖീയവും അതിന്റെ റൂട്ടും: x = - b a.

നിർവ്വചനം 7

അങ്ങനെ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം a x 2 + b x = 0രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും x=0ഒപ്പം x = - b a.

ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് മെറ്റീരിയൽ ഏകീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

നമുക്ക് പുറത്തെടുക്കാം xബ്രാക്കറ്റുകൾക്ക് പുറത്ത് x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 എന്ന സമവാക്യം നേടുക. ഈ സമവാക്യം സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ് x=0കൂടാതെ 2 3 x - 2 2 7 = 0 . ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ ഫലമായുണ്ടാകുന്ന രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കണം: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

ചുരുക്കത്തിൽ, ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ എഴുതുന്നു:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 അല്ലെങ്കിൽ 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 അല്ലെങ്കിൽ x = 3 3 7

ഉത്തരം: x = 0, x = 3 3 7 .

വിവേചനപരമായ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ, ഒരു റൂട്ട് ഫോർമുലയുണ്ട്:

നിർവ്വചനം 8

x = - b ± D 2 a, എവിടെ D = b 2 - 4 a cഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയാണ്.

x \u003d - b ± D 2 a എന്ന് എഴുതുന്നത് അർത്ഥമാക്കുന്നത് x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a എന്നാണ്.

സൂചിപ്പിച്ച സൂത്രവാക്യം എങ്ങനെയാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്നും അത് എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്നും മനസിലാക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗപ്രദമാകും.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ഫോർമുലയുടെ വ്യുൽപ്പന്നം

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാനുള്ള ചുമതലയാണ് നമ്മൾ നേരിടുന്നതെന്ന് കരുതുക a x 2 + b x + c = 0. നമുക്ക് തുല്യമായ നിരവധി പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം:

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും സംഖ്യ കൊണ്ട് ഹരിക്കുക എ, പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
ഒറ്റയ്ക്ക് പൂർണ്ണ ചതുരംതത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത്:
x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
ഇതിനുശേഷം, സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
ഇപ്പോൾ അവസാനത്തെ രണ്ട് പദങ്ങൾ വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാൻ കഴിയും, ചിഹ്നം വിപരീതമായി മാറ്റുന്നു, അതിനുശേഷം നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
അവസാനമായി, അവസാന സമത്വത്തിന്റെ വലതുവശത്ത് എഴുതിയ പദപ്രയോഗം ഞങ്ങൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു:
b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

അങ്ങനെ, നമ്മൾ x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് എത്തി, ഇത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്. a x 2 + b x + c = 0.

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികകളിൽ (അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം) അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഞങ്ങൾ ചർച്ച ചെയ്തു. ഇതിനകം നേടിയ അനുഭവം x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു:

b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, സമവാക്യത്തിന് x + b 2 · a 2 = 0 എന്ന രൂപമുണ്ട്, തുടർന്ന് x + b 2 · a = 0.

ഇവിടെ നിന്ന്, ഒരേയൊരു റൂട്ട് x = - b 2 · a വ്യക്തമാണ്;

b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 എന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്നവ ശരിയാണ്: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 or x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , ഇത് x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 അല്ലെങ്കിൽ 2 c - 2 ax . സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (അതിനാൽ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം) എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യം അല്ലെങ്കിൽ അഭാവം വലതുവശത്ത് എഴുതിയിരിക്കുന്ന b 2 - 4 a c 4 a 2 എന്ന പ്രയോഗത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാം. ഈ പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അടയാളം നൽകുന്നത് ന്യൂമറേറ്ററിന്റെ അടയാളമാണ്, (ഡിനോമിനേറ്റർ 4 എ 2എല്ലായ്പ്പോഴും പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കും), അതായത്, പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അടയാളം b 2 - 4 a c. ഈ പ്രയോഗം b 2 - 4 a cഒരു പേര് നൽകിയിരിക്കുന്നു - ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനവും D എന്ന അക്ഷരവും അതിന്റെ പദവിയായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു. ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് വിവേചനത്തിന്റെ സാരാംശം എഴുതാം - അതിന്റെ മൂല്യവും അടയാളവും അനുസരിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടാകുമോ എന്ന് അവർ നിഗമനം ചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെയെങ്കിൽ, എത്ര വേരുകൾ - ഒന്നോ രണ്ടോ.

നമുക്ക് x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 എന്ന സമവാക്യത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. വിവേചനപരമായ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് മാറ്റിയെഴുതാം: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

നമുക്ക് നിഗമനങ്ങൾ വീണ്ടും പരിശോധിക്കാം:

നിർവ്വചനം 9

ചെയ്തത് ഡി< 0 സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല;
ചെയ്തത് D=0സമവാക്യത്തിന് x = - b 2 · a എന്ന ഒറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്;
ചെയ്തത് ഡി > 0സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 അല്ലെങ്കിൽ x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. റാഡിക്കലുകളുടെ ഗുണങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഈ വേരുകൾ ഇങ്ങനെ എഴുതാം: x \u003d - b 2 a + D 2 a or - b 2 a - D 2 a. ഞങ്ങൾ മൊഡ്യൂളുകൾ തുറന്ന് ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു പൊതു വിഭാഗത്തിലേക്ക് കുറയ്ക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ യുക്തിയുടെ ഫലം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഉത്ഭവമായിരുന്നു:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , വിവേചനം ഡിഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു D = b 2 - 4 a c.

വിവേചനം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളും നിർണ്ണയിക്കാൻ ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധ്യമാക്കുന്നു. വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും പ്രയോഗിക്കുന്നത് അതേ റൂട്ട് നൽകും തീരുമാനം മാത്രംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുമ്പോൾ, എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകത ഞങ്ങൾ അഭിമുഖീകരിക്കും. സ്ക്വയർ റൂട്ട്ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ നിന്ന്, അത് യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾക്കപ്പുറത്തേക്ക് നമ്മെ കൊണ്ടുപോകും. ഒരു നെഗറ്റീവ് വിവേചനത്തോടെ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല, പക്ഷേ നമുക്ക് ലഭിച്ച അതേ റൂട്ട് ഫോർമുലകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന ഒരു ജോടി സങ്കീർണ്ണ സംയോജന വേരുകൾ സാധ്യമാണ്.

റൂട്ട് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഉടനടി ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും, പക്ഷേ അടിസ്ഥാനപരമായി ഇത് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടിവരുമ്പോൾ ചെയ്യുന്നു.

മിക്ക കേസുകളിലും, തിരയൽ സാധാരണയായി സങ്കീർണ്ണമായവയല്ല, മറിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ വേരുകൾക്കായാണ് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, അത് ഒപ്റ്റിമൽ ആണ്, ആദ്യം വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുകയും അത് നെഗറ്റീവ് അല്ലെന്ന് ഉറപ്പാക്കുകയും ചെയ്യുക (അല്ലെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ലെന്ന് ഞങ്ങൾ നിഗമനം ചെയ്യും), തുടർന്ന് വേരുകളുടെ മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ തുടരുക.

മുകളിലെ ന്യായവാദം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഒരു അൽഗോരിതം രൂപപ്പെടുത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു.

നിർവ്വചനം 10

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ a x 2 + b x + c = 0, അത്യാവശ്യമാണ്:

ഫോർമുല പ്രകാരം D = b 2 - 4 a cവിവേചനക്കാരന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക;
ഡിയിൽ< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
D = 0 എന്നതിന് x = - b 2 · a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്റെ ഏക റൂട്ട് കണ്ടെത്തുക;
D > 0 എന്നതിന്, x = - b ± D 2 · a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

വിവേചനം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് x = - b ± D 2 · a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം, ഇത് x = - b 2 · a എന്ന ഫോർമുലയുടെ അതേ ഫലം നൽകും.

ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

അതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം നമുക്ക് പരിഹാരം നൽകാം വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾവിവേചനം.

ഉദാഹരണം 6

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് x 2 + 2 x - 6 = 0.

പരിഹാരം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു: a \u003d 1, b \u003d 2 ഒപ്പം c = - 6. അടുത്തതായി, ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു, അതായത്. നമുക്ക് വിവേചനം കണക്കാക്കാൻ തുടങ്ങാം, അതിനായി ഞങ്ങൾ ഗുണകങ്ങൾ a , b മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ഒപ്പം സിവിവേചന സൂത്രവാക്യത്തിലേക്ക്: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28 .

അതിനാൽ, നമുക്ക് D > 0 ലഭിച്ചു, അതായത് യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും.
അവ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ റൂട്ട് ഫോർമുല x \u003d - b ± D 2 · a ഉപയോഗിക്കുന്നു കൂടാതെ, ഉചിതമായ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. റൂട്ടിന്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് ഘടകം എടുത്ത് ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പദപ്രയോഗം ഞങ്ങൾ ലളിതമാക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഭിന്നസംഖ്യ കുറയ്ക്കുന്നു:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 അല്ലെങ്കിൽ x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 അല്ലെങ്കിൽ x = - 1 - 7

ഉത്തരം: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7 .

ഉദാഹരണം 7

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

പരിഹാരം

നമുക്ക് വിവേചനം നിർവചിക്കാം: D = 28 2 - 4 (− 4) (- 49) = 784 - 784 = 0. വിവേചനത്തിന്റെ ഈ മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച്, യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന് x = - b 2 · a ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

ഉത്തരം: x = 3, 5.

ഉദാഹരണം 8

സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

പരിഹാരം

ഈ സമവാക്യത്തിന്റെ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങൾ ഇതായിരിക്കും: a = 5 , b = 6, c = 2 . വിവേചനം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = − 4 . കണക്കാക്കിയ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് യഥാർത്ഥ വേരുകളില്ല.

സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ സൂചിപ്പിക്കുക എന്നതാണ് ചുമതലയെങ്കിൽ, സങ്കീർണ്ണ സംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തി ഞങ്ങൾ റൂട്ട് ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 അല്ലെങ്കിൽ x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i അല്ലെങ്കിൽ x = - 3 5 - 1 5 i .

ഉത്തരം:യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ല; സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾ ഇവയാണ്: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

IN സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതിസ്ഥിരസ്ഥിതിയായി, സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകൾക്കായി തിരയേണ്ട ആവശ്യമില്ല, അതിനാൽ, പരിഹാര സമയത്ത് വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് നിർണ്ണയിച്ചാൽ, യഥാർത്ഥ വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന ഉത്തരം ഉടൻ രേഖപ്പെടുത്തും.

രണ്ടാമത്തെ ഗുണകങ്ങൾക്കുള്ള റൂട്ട് ഫോർമുല

റൂട്ട് ഫോർമുല x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 a c) മറ്റൊരു ഫോർമുല, കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ളത് നേടുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു, ഇത് x ലെ ഇരട്ട ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് പരിഹാരം കണ്ടെത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ഫോം 2 n 3 അല്ലെങ്കിൽ 5 ന്റെ ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച്, ഉദാഹരണത്തിന്, 1 l 7 n). ഈ ഫോർമുല എങ്ങനെയാണ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതെന്ന് നമുക്ക് കാണിക്കാം.

a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതലയാണ് നമ്മൾ നേരിടുന്നതെന്ന് കരുതുക. ഞങ്ങൾ അൽഗോരിതം അനുസരിച്ച് പ്രവർത്തിക്കുന്നു: ഞങ്ങൾ വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) , തുടർന്ന് റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± a n.

n 2 - a c എന്ന പദപ്രയോഗം D 1 ആയി സൂചിപ്പിക്കട്ടെ (ചിലപ്പോൾ ഇത് D " എന്ന് സൂചിപ്പിക്കും). തുടർന്ന് രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2 n ഉള്ള പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഫോം എടുക്കും:

x \u003d - n ± D 1 a, ഇവിടെ D 1 \u003d n 2 - a c.

D = 4 · D 1 അല്ലെങ്കിൽ D 1 = D 4 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഡി 1 എന്നത് വിവേചനത്തിന്റെ നാലിലൊന്നാണ്. വ്യക്തമായും, D 1 ന്റെ അടയാളം D യുടെ ചിഹ്നത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത് D 1 ന്റെ ചിഹ്നം ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സാന്നിധ്യത്തിന്റെയോ അഭാവത്തിന്റെയോ സൂചകമായി വർത്തിക്കും എന്നാണ്.

നിർവ്വചനം 11

അതിനാൽ, 2 n ന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകമുള്ള ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരം കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഇത് ആവശ്യമാണ്:

D 1 = n 2 - a c കണ്ടെത്തുക;
ഡി 1-ൽ< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
D 1 = 0 എന്നതിന്, x = - n a എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സമവാക്യത്തിന്റെ ഏക റൂട്ട് നിർണ്ണയിക്കുക;
D 1 > 0 എന്നതിന്, x = - n ± D 1 a ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കുക.

ഉദാഹരണം 9

5 · x 2 - 6 · x - 32 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

പരിഹാരം

തന്നിരിക്കുന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം 2 · (- 3) ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. അപ്പോൾ നമ്മൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x - 32 = 0, ഇവിടെ a = 5, n = - 3, c = − 32 എന്നിങ്ങനെ വീണ്ടും എഴുതുന്നു.

വിവേചനത്തിന്റെ നാലാമത്തെ ഭാഗം നമുക്ക് കണക്കാക്കാം: D 1 = n 2 - a c = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169 . തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്. വേരുകളുടെ അനുബന്ധ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അവയെ നിർവചിക്കുന്നു:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 അല്ലെങ്കിൽ x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 അല്ലെങ്കിൽ x = - 2

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള സാധാരണ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്താൻ സാധിക്കും, എന്നാൽ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പരിഹാരം കൂടുതൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതായിരിക്കും.

ഉത്തരം: x = 3 1 5 അല്ലെങ്കിൽ x = - 2 .

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ രൂപത്തിന്റെ ലളിതവൽക്കരണം

ചിലപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപം ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഇത് വേരുകൾ കണക്കുകൂട്ടുന്ന പ്രക്രിയ ലളിതമാക്കും.

ഉദാഹരണത്തിന്, 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 എന്നതിനേക്കാൾ 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

മിക്കപ്പോഴും, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിന്റെ ലളിതവൽക്കരണം അതിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയോ ഹരിക്കുകയോ ചെയ്താണ് നടത്തുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, മുകളിൽ ഞങ്ങൾ 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ലളിതമായ പ്രാതിനിധ്യം കാണിച്ചു, അതിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും 100 കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ ലഭിക്കും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങൾ താരതമ്യേന അഭാജ്യ സംഖ്യകളല്ലാത്തപ്പോൾ അത്തരമൊരു പരിവർത്തനം സാധ്യമാണ്. അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളെയും ഏറ്റവും വലുത് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതാണ് പതിവ് പൊതു വിഭജനംഅതിന്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യങ്ങൾ.

ഉദാഹരണമായി, ഞങ്ങൾ 12 x 2 - 42 x + 48 = 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമുക്ക് അതിന്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ കേവല മൂല്യങ്ങളുടെ ജിസിഡി നിർവചിക്കാം: gcd (12 , 42 , 48) = gcd (gcd (12 , 42) , 48) = gcd (6 , 48) = 6 . യഥാർത്ഥ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും 6 കൊണ്ട് ഹരിച്ച് 2 · x 2 - 7 · x + 8 = 0 എന്ന തുല്യ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം നേടാം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ, ഫ്രാക്ഷണൽ ഗുണകങ്ങൾ സാധാരണയായി ഒഴിവാക്കപ്പെടും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതിന്റെ ഗുണകങ്ങളുടെ ഡിനോമിനേറ്ററുകളുടെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സാധാരണ ഗുണിതം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഓരോ ഭാഗവും 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 LCM (6, 3, 1) \u003d 6 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, അത് കൂടുതൽ എഴുതപ്പെടും. ലളിതമായ രൂപം x 2 + 4 x - 18 = 0 .

അവസാനമായി, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ആദ്യ ഗുണകത്തിലെ മൈനസ് ഒഴിവാക്കുക, സമവാക്യത്തിന്റെ ഓരോ പദത്തിന്റെയും അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു, ഇത് രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും − 1 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നതിലൂടെ (അല്ലെങ്കിൽ ഹരിച്ചാൽ) കൈവരിക്കാനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, നിങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ ലളിതമായ പതിപ്പ് 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 ലേക്ക് പോകാം.

വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുല x = - b ± D 2 · a സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ അതിന്റെ സംഖ്യാ ഗുണകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. ഈ സൂത്രവാക്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, വേരുകൾക്കും ഗുണകങ്ങൾക്കുമിടയിൽ മറ്റ് ഡിപൻഡൻസികൾ സജ്ജമാക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് അവസരമുണ്ട്.

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ് ഏറ്റവും പ്രസിദ്ധവും ബാധകവും:

x 1 + x 2 \u003d - b a, x 2 \u003d c a.

പ്രത്യേകിച്ചും, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്, വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകമാണ്, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഗുണനം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ, അതിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 3 ആണെന്നും വേരുകളുടെ ഗുണം 22 3 ആണെന്നും ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളും ഗുണകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള മറ്റ് നിരവധി ബന്ധങ്ങളും നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഗുണകങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കാം:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

വാചകത്തിൽ ഒരു തെറ്റ് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധയിൽപ്പെട്ടാൽ, അത് ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്‌ത് Ctrl+Enter അമർത്തുക

വിഭാഗത്തിൽ ജനപ്രിയമായത്: