ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു: റൂട്ട് ഫോർമുല, ഉദാഹരണങ്ങൾ

ആദ്യ നില

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. സമഗ്രമായ ഗൈഡ് (2019)

"ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഇക്വേഷൻ" എന്ന പദത്തിലെ പ്രധാന വാക്ക് "ക്വാഡ്രാറ്റിക്" ആണ്. ഇതിനർത്ഥം സമവാക്യത്തിൽ ചതുരത്തിൽ ഒരു വേരിയബിൾ (അതേ X) ഉണ്ടായിരിക്കണം, അതേ സമയം മൂന്നാമത്തെ (അല്ലെങ്കിൽ അതിലും വലിയ) ഡിഗ്രിയിൽ Xs ഉണ്ടാകരുത്.

പല സമവാക്യങ്ങളുടെയും പരിഹാരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമായി ചുരുങ്ങുന്നു.

നമുക്ക് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ പഠിക്കാം, അല്ലാതെ മറ്റെന്തെങ്കിലും അല്ല.

ഉദാഹരണം 1

ഡിനോമിനേറ്റർ ഒഴിവാക്കി സമവാക്യത്തിന്റെ ഓരോ പദവും ഗുണിക്കുക

നമുക്ക് എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കി x ന്റെ അധികാരങ്ങളുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ നിബന്ധനകൾ ക്രമീകരിക്കാം

ഈ സമവാക്യം ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പറയാൻ കഴിയും!

ഉദാഹരണം 2

ഇടതും വലതും വശങ്ങൾ ഗുണിക്കുക:

ഈ സമവാക്യം, യഥാർത്ഥത്തിൽ അതിൽ ഉണ്ടായിരുന്നെങ്കിലും, ഒരു ചതുരമല്ല!

ഉദാഹരണം 3

നമുക്ക് എല്ലാം ഗുണിക്കാം:

ഭീതിദമാണ്? നാലാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഡിഗ്രികൾ ... എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഒരു പകരം വയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഉണ്ടെന്ന് കാണാം:

ഉദാഹരണം 4

തോന്നുന്നു, പക്ഷേ നമുക്ക് അടുത്ത് നോക്കാം. നമുക്ക് എല്ലാം ഇടതുവശത്തേക്ക് നീക്കാം:

നിങ്ങൾ കാണുന്നു, അത് ചുരുങ്ങി - ഇപ്പോൾ ഇത് ഒരു ലളിതമായ രേഖീയ സമവാക്യമാണ്!

ഇനിപ്പറയുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ ഏതൊക്കെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആണെന്നും അല്ലാത്തത് ഏതെന്നും ഇപ്പോൾ സ്വയം നിർണ്ണയിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക:

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ഉത്തരങ്ങൾ:

1. സമചതുരം Samachathuram;
2. സമചതുരം Samachathuram;
3. ചതുരമല്ല;
4. ചതുരമല്ല;
5. ചതുരമല്ല;
6. സമചതുരം Samachathuram;
7. ചതുരമല്ല;
8. സമചതുരം Samachathuram.

ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളെയും ഇനിപ്പറയുന്ന തരങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു:

• സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ- കോ എഫിഷ്യന്റുകളും അതുപോലെ ഫ്രീ ടേം സിയും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത സമവാക്യങ്ങൾ (ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ). കൂടാതെ, സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കിടയിൽ, ഉണ്ട് നൽകിയത്കോഫിഫിഷ്യന്റ് ഉള്ള സമവാക്യങ്ങളാണ് (ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള സമവാക്യം പൂർണ്ണമാകുക മാത്രമല്ല, കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു!)

• അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ- കോ എഫിഷ്യന്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രീ ടേം സി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ സമവാക്യങ്ങൾ:

  അവയിൽ ചില മൂലകങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെട്ടതിനാൽ അവ അപൂർണ്ണമാണ്. എന്നാൽ സമവാക്യത്തിൽ എപ്പോഴും x ചതുരം ഉണ്ടായിരിക്കണം !!! അല്ലെങ്കിൽ, അത് ഇനി ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ആയിരിക്കില്ല, മറിച്ച് മറ്റ് ചില സമവാക്യങ്ങളായിരിക്കും.

എന്തുകൊണ്ടാണ് അവർ അത്തരമൊരു വിഭജനം കൊണ്ടുവന്നത്? ഒരു എക്സ് സ്ക്വയർ ഉണ്ടെന്ന് തോന്നുന്നു, ശരി. അത്തരമൊരു വിഭജനം പരിഹാരത്തിന്റെ രീതികൾ മൂലമാണ്. അവ ഓരോന്നും കൂടുതൽ വിശദമായി പരിഗണിക്കാം.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ആദ്യം, നമുക്ക് അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൽ ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കാം - അവ വളരെ ലളിതമാണ്!

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ ഇപ്രകാരമാണ്:

1. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകം തുല്യമാണ്.
2. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ്.
3. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും തുല്യമാണ്.

1. ഐ. എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യാൻ ഞങ്ങൾക്കറിയാമെന്നതിനാൽ സ്ക്വയർ റൂട്ട്, അപ്പോൾ ഈ സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് പ്രകടിപ്പിക്കാം

എക്സ്പ്രഷൻ നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ പോസിറ്റീവ് ആകാം. ഒരു ചതുര സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല, കാരണം രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ആയിരിക്കും പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, അങ്ങനെ: എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല.

എങ്കിൽ, നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും. ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കേണ്ടതില്ല. പ്രധാന കാര്യം നിങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും അറിയുകയും അത് കുറവായിരിക്കാൻ കഴിയില്ലെന്ന് ഓർമ്മിക്കുകയും വേണം.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം.

ഉദാഹരണം 5:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഇപ്പോൾ ഇടത്, വലത് ഭാഗങ്ങളിൽ നിന്ന് റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു. എല്ലാത്തിനുമുപരി, വേരുകൾ എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചെടുക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുണ്ടോ?

ഉത്തരം:

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുള്ള വേരുകളെ കുറിച്ച് ഒരിക്കലും മറക്കരുത് !!!

ഉദാഹരണം 6:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 7:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഓ! ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്, അതായത് സമവാക്യം

വേരുകളില്ല!

വേരുകളില്ലാത്ത അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾക്കായി, ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഒരു പ്രത്യേക ഐക്കൺ കൊണ്ടുവന്നു - (ശൂന്യമായ സെറ്റ്). കൂടാതെ ഉത്തരം ഇങ്ങനെ എഴുതാം:

ഉത്തരം:

അങ്ങനെ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്. ഞങ്ങൾ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കാത്തതിനാൽ ഇവിടെ നിയന്ത്രണങ്ങളൊന്നുമില്ല.
ഉദാഹരണം 8:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:

അങ്ങനെ,

ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഉത്തരം:

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തരം (അവയെല്ലാം ലളിതമാണെങ്കിലും, ശരിയല്ലേ?). വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

ഇവിടെ ഞങ്ങൾ ഉദാഹരണങ്ങളില്ലാതെ ചെയ്യും.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഫോം സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു

പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് നൽകിയിരിക്കുന്നതിനേക്കാൾ അൽപ്പം സങ്കീർണ്ണമാണ് (കുറച്ച് മാത്രം).

ഓർക്കുക, വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും! അപൂർണ്ണം പോലും.

ബാക്കിയുള്ള രീതികൾ ഇത് വേഗത്തിൽ ചെയ്യാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കും, എന്നാൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ നിങ്ങൾക്ക് പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടെങ്കിൽ, ആദ്യം വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹാരം മാസ്റ്റർ ചെയ്യുക.

1. വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

ഈ രീതിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ ലളിതമാണ്, പ്രധാന കാര്യം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്.

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, ഘട്ടത്തിൽ പ്രത്യേക ശ്രദ്ധ നൽകണം. വിവേചനം () സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം നമ്മോട് പറയുന്നു.

• എങ്കിൽ, ഘട്ടത്തിലെ ഫോർമുല ഇതിലേക്ക് ചുരുക്കും. അങ്ങനെ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ.
• എങ്കിൽ, സ്റ്റെപ്പിലെ വിവേചനത്തിന്റെ വേര് നമുക്ക് വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നമുക്ക് നമ്മുടെ സമവാക്യങ്ങളിലേക്ക് തിരികെ പോയി കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ഉദാഹരണം 9:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഘട്ടം 1ഒഴിവാക്കുക.

ഘട്ടം 2

വിവേചനം കണ്ടെത്തൽ:

അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ഘട്ടം 3

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 10:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിലാണ്, അതിനാൽ ഘട്ടം 1ഒഴിവാക്കുക.

ഘട്ടം 2

വിവേചനം കണ്ടെത്തൽ:

അതിനാൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 11:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിലാണ്, അതിനാൽ ഘട്ടം 1ഒഴിവാക്കുക.

ഘട്ടം 2

വിവേചനം കണ്ടെത്തൽ:

വിവേചനക്കാരിൽ നിന്ന് നമുക്ക് വേരുകൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളൊന്നുമില്ല.

അത്തരം ഉത്തരങ്ങൾ എങ്ങനെ ശരിയായി എഴുതാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്കറിയാം.

ഉത്തരം:വേരുകളില്ല

2. വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം.

നിങ്ങൾ ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, കുറച്ചത് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന അത്തരം ഒരു തരം സമവാക്യങ്ങളുണ്ട് (ഗുണകം a തുല്യമാകുമ്പോൾ):

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നൽകിയത്ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം തുല്യമാണ്, വേരുകളുടെ ഗുണനം തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണം 12:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരത്തിന് ഈ സമവാക്യം അനുയോജ്യമാണ്, കാരണം .

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക, അതായത്. നമുക്ക് ആദ്യ സമവാക്യം ലഭിക്കും:

കൂടാതെ ഉൽപ്പന്നം:

നമുക്ക് സിസ്റ്റം സൃഷ്ടിക്കുകയും പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യാം:

• ഒപ്പം. തുക ഇതാണ്;
• ഒപ്പം. തുക ഇതാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഇവയാണ്:

ഉത്തരം: ; .

ഉദാഹരണം 13:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 14:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

സമവാക്യം കുറയുന്നു, അതിനർത്ഥം:

ഉത്തരം:

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. ശരാശരി നില

എന്താണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം?

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, അവിടെ - അജ്ഞാതമായ, - ചില സംഖ്യകൾ, അതിലുപരി.

സംഖ്യയെ ഏറ്റവും ഉയർന്നത് അല്ലെങ്കിൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ആദ്യ ഗുണകംക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, - രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം, എ - സ്വതന്ത്ര അംഗം.

എന്തുകൊണ്ട്? കാരണം എങ്കിൽ, സമവാക്യം ഉടനടി രേഖീയമാകും, കാരണം അപ്രത്യക്ഷമാകും.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാം. ഇതിൽ മലം സമവാക്യത്തെ അപൂർണ്ണമെന്ന് വിളിക്കുന്നു. എല്ലാ നിബന്ധനകളും നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്, സമവാക്യം പൂർത്തിയായി.

വിവിധ തരം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ:

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ ഞങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യും - അവ ലളിതമാണ്.

ഇനിപ്പറയുന്ന തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ വേർതിരിച്ചറിയാൻ കഴിയും:

I., ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകവും സ്വതന്ത്ര പദവും തുല്യമാണ്.

II. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ ഗുണകം തുല്യമാണ്.

III. , ഈ സമവാക്യത്തിൽ സ്വതന്ത്ര പദം തുല്യമാണ്.

ഇപ്പോൾ ഈ ഓരോ ഉപവിഭാഗത്തിന്റെയും പരിഹാരം പരിഗണിക്കുക.

വ്യക്തമായും, ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ:

സ്ക്വയർ ചെയ്ത ഒരു സംഖ്യ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല, കാരണം രണ്ട് നെഗറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ, ഫലം എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയായിരിക്കും. അതുകൊണ്ടാണ്:

എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല;

നമുക്ക് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെങ്കിൽ

ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ മനഃപാഠമാക്കേണ്ടതില്ല. ഓർക്കേണ്ട പ്രധാന കാര്യം അത് കുറവായിരിക്കരുത് എന്നതാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നമുള്ള വേരുകളെക്കുറിച്ച് ഒരിക്കലും മറക്കരുത്!

ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്, അതായത് സമവാക്യം

വേരുകളില്ല.

പ്രശ്നത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെന്ന് ചുരുക്കത്തിൽ എഴുതാൻ, ഞങ്ങൾ ശൂന്യമായ സെറ്റ് ഐക്കൺ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഉത്തരം:

അതിനാൽ, ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം.

ഉത്തരം:

ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം:

ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന സന്ദർഭങ്ങളിൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെന്ന് ഇതിനർത്ഥം:

അതിനാൽ, ഈ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്: ഒപ്പം.

ഉദാഹരണം:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

ഞങ്ങൾ സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടതുവശം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്യുകയും വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു:

ഉത്തരം:

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ:

1. വിവേചനം

ഈ രീതിയിൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, പ്രധാന കാര്യം പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും രണ്ട് സൂത്രവാക്യങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുക എന്നതാണ്. ഓർക്കുക, ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും! അപൂർണ്ണം പോലും.

റൂട്ട് ഫോർമുലയിലെ വിവേചനത്തിന്റെ റൂട്ട് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചോ? എന്നാൽ വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആകാം. എന്തുചെയ്യും? ഘട്ടം 2-ലേക്ക് നാം പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വിവേചനക്കാരൻ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം നമ്മോട് പറയുന്നു.

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരേ റൂട്ട് ഉണ്ട്, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ, ഒരു റൂട്ട്:

  അത്തരം വേരുകളെ ഇരട്ട വേരുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

• എങ്കിൽ, വിവേചനക്കാരന്റെ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുത്തിട്ടില്ല. സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ലെന്ന് ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

എന്തുകൊണ്ടാണ് വേരുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത സംഖ്യകൾ ഉള്ളത്? ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥത്തിലേക്ക് നമുക്ക് തിരിയാം. ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്:

ഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, . ഇതിനർത്ഥം ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ എക്സ്-ആക്സിസുമായി (അക്ഷം) വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളാണെന്നാണ്. പരാബോള അക്ഷം കടക്കില്ല, അല്ലെങ്കിൽ അത് ഒന്നിൽ (പരവലയത്തിന്റെ മുകൾഭാഗം അച്ചുതണ്ടിൽ കിടക്കുമ്പോൾ) അല്ലെങ്കിൽ രണ്ട് പോയിന്റുകളിൽ വിഭജിച്ചേക്കാം.

കൂടാതെ, പരവലയത്തിന്റെ ശാഖകളുടെ ദിശയ്ക്ക് ഗുണകം ഉത്തരവാദിയാണ്. എങ്കിൽ, പരവലയത്തിന്റെ ശാഖകൾ മുകളിലേക്ക് നയിക്കപ്പെടുന്നു, എങ്കിൽ - പിന്നെ താഴേക്ക്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

പരിഹാരങ്ങൾ:

ഉത്തരം:

ഉത്തരം: .

ഉത്തരം:

ഇതിനർത്ഥം പരിഹാരങ്ങൾ ഇല്ല എന്നാണ്.

ഉത്തരം: .

2. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്: നിങ്ങൾ ഒരു ജോടി സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിന്റെ ഉൽപ്പന്നം സമവാക്യത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ തുക വിപരീത ചിഹ്നത്തിൽ എടുത്ത രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം മാത്രമേ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ എന്നത് ഓർത്തിരിക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ().

നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

ഉദാഹരണം #1:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരത്തിന് ഈ സമവാക്യം അനുയോജ്യമാണ്, കാരണം . മറ്റ് ഗുണകങ്ങൾ:; .

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക:

കൂടാതെ ഉൽപ്പന്നം:

നമുക്ക് അത്തരം ജോഡി സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാം, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം തുല്യമാണ്, കൂടാതെ അവയുടെ തുക തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക:

• ഒപ്പം. തുക ഇതാണ്;
• ഒപ്പം. തുക ഇതാണ്;
• ഒപ്പം. തുക തുല്യമാണ്.

സിസ്റ്റത്തിന്റെ പരിഹാരം ഇവയാണ്:

അങ്ങനെ, നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ.

ഉത്തരം:; .

ഉദാഹരണം #2:

പരിഹാരം:

ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നൽകുന്ന അത്തരം ജോഡി സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, തുടർന്ന് അവയുടെ തുക തുല്യമാണോ എന്ന് പരിശോധിക്കുക:

കൂടാതെ: മൊത്തത്തിൽ നൽകുക.

കൂടാതെ: മൊത്തത്തിൽ നൽകുക. ഇത് ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ ആരോപണവിധേയമായ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്: കൂടാതെ, എല്ലാത്തിനുമുപരി, ഉൽപ്പന്നം.

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #3:

പരിഹാരം:

സമവാക്യത്തിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുടെ ഗുണനം ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാണ്. വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. അതിനാൽ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകളുടെ വ്യത്യാസങ്ങൾ.

ഉൽപ്പന്നത്തിൽ നൽകുന്ന അത്തരം ജോഡി സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അവയുടെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

കൂടാതെ: അവരുടെ വ്യത്യാസം - അനുയോജ്യമല്ല;

ഒപ്പം: - അനുയോജ്യമല്ല;

ഒപ്പം: - അനുയോജ്യമല്ല;

കൂടാതെ: - അനുയോജ്യം. വേരുകളിൽ ഒന്ന് നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് ഓർമ്മിക്കാൻ മാത്രം അവശേഷിക്കുന്നു. അവയുടെ ആകെത്തുക തുല്യമായിരിക്കേണ്ടതിനാൽ, കേവല മൂല്യത്തിൽ ചെറുതായ റൂട്ട് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കണം: . ഞങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #4:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

സമവാക്യം കുറയുന്നു, അതിനർത്ഥം:

സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം നെഗറ്റീവ് ആണ്. സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു റൂട്ട് നെഗറ്റീവും മറ്റൊന്ന് പോസിറ്റീവും ആയിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ.

ഉൽപ്പന്നം തുല്യമായ അത്തരം ജോഡി സംഖ്യകൾ ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഏത് വേരുകൾക്ക് നെഗറ്റീവ് ചിഹ്നം ഉണ്ടായിരിക്കണമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക:

വ്യക്തമായും, വേരുകൾ മാത്രം, ആദ്യ അവസ്ഥയ്ക്ക് അനുയോജ്യമാണ്:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം #5:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പരിഹാരം:

സമവാക്യം കുറയുന്നു, അതിനർത്ഥം:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതായത് ഒരു വേരെങ്കിലും നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്നാൽ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, രണ്ട് വേരുകളും മൈനസ് ആണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ഞങ്ങൾ അത്തരം ജോഡി സംഖ്യകൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അതിന്റെ ഉൽപ്പന്നം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

വ്യക്തമായും, വേരുകൾ അക്കങ്ങളും.

ഉത്തരം:

സമ്മതിക്കുക, ഇത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ് - ഈ വൃത്തികെട്ട വിവേചനത്തെ കണക്കാക്കുന്നതിനുപകരം വാമൊഴിയായി വേരുകൾ കണ്ടുപിടിക്കുക. വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം കഴിയുന്നത്ര തവണ ഉപയോഗിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക.

എന്നാൽ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സുഗമമാക്കുന്നതിനും വേഗത്തിലാക്കുന്നതിനും വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ആവശ്യമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ ലാഭകരമാക്കാൻ, നിങ്ങൾ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഓട്ടോമാറ്റിസത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരണം. ഇതിനായി, അഞ്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ കൂടി പരിഹരിക്കുക. എന്നാൽ വഞ്ചിക്കരുത്: നിങ്ങൾക്ക് വിവേചനം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല! വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം മാത്രം:

സ്വതന്ത്ര ജോലികൾക്കുള്ള ടാസ്ക്കുകൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങൾ:

ടാസ്ക് 1. ((x)^(2))-8x+12=0

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്:

പതിവുപോലെ, ഞങ്ങൾ ഉൽപ്പന്നം ഉപയോഗിച്ച് തിരഞ്ഞെടുക്കൽ ആരംഭിക്കുന്നു:

തുക കാരണം അനുയോജ്യമല്ല;

: തുകയാണ് നിങ്ങൾക്ക് വേണ്ടത്.

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 2.

വീണ്ടും, ഞങ്ങളുടെ പ്രിയപ്പെട്ട വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം: തുക പ്രവർത്തിക്കണം, പക്ഷേ ഉൽപ്പന്നം തുല്യമാണ്.

എന്നാൽ അത് പാടില്ല എന്നതിനാൽ, പക്ഷേ, ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ അടയാളങ്ങൾ മാറ്റുന്നു: കൂടാതെ (മൊത്തം).

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 3.

ഹും... അതെവിടെ?

എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഒരു ഭാഗത്തേക്ക് മാറ്റേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

വേരുകളുടെ ആകെത്തുക ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്.

അതെ, നിർത്തുക! സമവാക്യം നൽകിയിട്ടില്ല. എന്നാൽ വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം നൽകിയിരിക്കുന്ന സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രമേ ബാധകമാകൂ. അതിനാൽ ആദ്യം നിങ്ങൾ സമവാക്യം കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഈ ആശയം ഉപേക്ഷിച്ച് മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പരിഹരിക്കുക (ഉദാഹരണത്തിന്, വിവേചനക്കാരൻ വഴി). ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം കൊണ്ടുവരിക എന്നതിനർത്ഥം മുൻനിര ഗുണകത്തെ ഇതിന് തുല്യമാക്കുക എന്നാണ് എന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ:

കൊള്ളാം. അപ്പോൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക തുല്യമാണ്, ഉൽപ്പന്നവും.

ഇവിടെ എടുക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്: എല്ലാത്തിനുമുപരി - ഒരു പ്രധാന നമ്പർ (ടൗട്ടോളജിക്ക് ക്ഷമിക്കണം).

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 4.

സ്വതന്ത്ര പദം നെഗറ്റീവ് ആണ്. എന്താണ് അതിന്റെ പ്രത്യേകത? വേരുകൾ വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങളായിരിക്കും എന്ന വസ്തുതയും. ഇപ്പോൾ, തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ വേരുകളുടെ ആകെത്തുകയല്ല, അവയുടെ മൊഡ്യൂളുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് പരിശോധിക്കുന്നത്: ഈ വ്യത്യാസം തുല്യമാണ്, പക്ഷേ ഉൽപ്പന്നം.

അതിനാൽ, വേരുകൾ തുല്യമാണ്, എന്നാൽ അവയിലൊന്ന് ഒരു മൈനസ് ഉള്ളതാണ്. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക വിപരീത ചിഹ്നമുള്ള രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു, അതായത്. ഇതിനർത്ഥം ചെറിയ റൂട്ടിന് ഒരു മൈനസ് ഉണ്ടായിരിക്കും: ഒപ്പം, മുതൽ.

ഉത്തരം:; .

ടാസ്ക് 5.

ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് എന്താണ്? അത് ശരിയാണ്, സമവാക്യം നൽകുക:

വീണ്ടും: ഞങ്ങൾ സംഖ്യയുടെ ഘടകങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, അവയുടെ വ്യത്യാസം ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കണം:

വേരുകൾ തുല്യമാണ്, പക്ഷേ അവയിലൊന്ന് മൈനസ് ആണ്. ഏതാണ്? അവയുടെ ആകെത്തുക തുല്യമായിരിക്കണം, അതായത് മൈനസിനൊപ്പം ഒരു വലിയ റൂട്ട് ഉണ്ടാകും.

ഉത്തരം:; .

ഞാൻ സംഗ്രഹിക്കട്ടെ:

1. നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിൽ മാത്രമാണ് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.
2. വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ വാമൊഴിയായി കണ്ടെത്താനാകും.
3. സമവാക്യം നൽകിയിട്ടില്ലെങ്കിലോ സ്വതന്ത്ര പദത്തിന്റെ അനുയോജ്യമായ ജോഡി ഘടകങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയില്ലെങ്കിലോ, പൂർണ്ണസംഖ്യ വേരുകളൊന്നുമില്ല, നിങ്ങൾ അത് മറ്റൊരു രീതിയിൽ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് (ഉദാഹരണത്തിന്, വിവേചനത്തിലൂടെ).

3. പൂർണ്ണ ചതുര തിരഞ്ഞെടുക്കൽ രീതി

അജ്ഞാതമായത് അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ പദങ്ങളും ചുരുക്കിയ ഗുണനത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ നിന്നുള്ള പദങ്ങളായി പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ - തുകയുടെ അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യാസത്തിന്റെ വർഗ്ഗം - വേരിയബിളുകളുടെ മാറ്റത്തിന് ശേഷം, സമവാക്യത്തെ തരത്തിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണത്തിന്:

ഉദാഹരണം 1:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

ഉദാഹരണം 2:

സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: .

പരിഹാരം:

ഉത്തരം:

IN പൊതുവായ കാഴ്ചപരിവർത്തനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഇത് സൂചിപ്പിക്കുന്നു: .

ഇത് നിങ്ങളെ ഒന്നും ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നില്ലേ? അത് വിവേചനമാണ്! അങ്ങനെയാണ് വിവേചന സൂത്രവാക്യം ലഭിച്ചത്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ. പ്രധാന കാര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ചുരുക്കത്തിൽ

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യംഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യമാണ്, എവിടെ അജ്ഞാതമാണ്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്, സ്വതന്ത്ര പദം.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഗുണകങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലാത്ത ഒരു സമവാക്യം.

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- ഗുണകം ഉള്ള ഒരു സമവാക്യം, അതായത്: .

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം- കോ എഫിഷ്യന്റ് അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രീ ടേം സി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു സമവാക്യം:

• ഗുണകം ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: ,
• ഒരു സ്വതന്ത്ര പദമാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: ,
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഫോം ഉണ്ട്: .

1. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

1.1 ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, എവിടെ:

1) അജ്ഞാതമായത് പ്രകടിപ്പിക്കുക:,

2) പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അടയാളം പരിശോധിക്കുക:

• സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളില്ലെങ്കിൽ,
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

1.2 ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, എവിടെ:

1) നമുക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ നിന്ന് പൊതുവായ ഘടകം എടുക്കാം: ,

2) ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ ഉൽപ്പന്നം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്:

1.3 ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം, ഇവിടെ:

ഈ സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു റൂട്ട് മാത്രമേയുള്ളൂ: .

2. ഫോമിന്റെ സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം

2.1 വിവേചനം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം

1) നമുക്ക് സമവാക്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഫോമിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാം: ,

2) സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിവേചനം കണക്കാക്കുക:

3) സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക:

• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്, അത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:
• എങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

2.2 വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിഹാരം

കുറച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക (രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യം, എവിടെ) തുല്യമാണ്, വേരുകളുടെ ഗുണനം തുല്യമാണ്, അതായത്. , എ.

2.3 പൂർണ്ണ ചതുര പരിഹാരം

ഗണിതത്തിലെ ചില പ്രശ്നങ്ങൾക്ക് സ്ക്വയർ റൂട്ടിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവ് ആവശ്യമാണ്. ഈ പ്രശ്നങ്ങളിൽ രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതും ഉൾപ്പെടുന്നു. ഈ ലേഖനത്തിൽ, ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു ഫലപ്രദമായ രീതികണക്കുകൂട്ടലുകൾ വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളുമായി പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ ഇത് ഉപയോഗിക്കുക.

എന്താണ് ഒരു സ്ക്വയർ റൂട്ട്?

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഈ ആശയം √ എന്ന ചിഹ്നവുമായി യോജിക്കുന്നു. പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യ പകുതിയിൽ ജർമ്മനിയിൽ (ക്രിസ്റ്റോഫ് റുഡോൾഫിന്റെ ബീജഗണിതത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ആദ്യത്തെ ജർമ്മൻ കൃതി) ഇത് ആദ്യമായി ഉപയോഗിക്കാൻ തുടങ്ങിയതായി ചരിത്രപരമായ വിവരങ്ങൾ പറയുന്നു. ഈ ചിഹ്നം രൂപാന്തരപ്പെട്ടതായി ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിശ്വസിക്കുന്നു ലാറ്റിൻ അക്ഷരം r (റാഡിക്സ് എന്നാൽ ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ "റൂട്ട്" എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്).

ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും റൂട്ട് അത്തരമൊരു മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിന്റെ വർഗ്ഗം റൂട്ട് എക്സ്പ്രഷനുമായി യോജിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിൽ, ഈ നിർവചനം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: √x = y എങ്കിൽ y 2 = x.

ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ (x > 0) മൂലവും ഒരു പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയാണ് (y > 0), എന്നാൽ നിങ്ങൾ ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ റൂട്ട് എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

രണ്ട് ലളിതമായ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

√9 = 3 കാരണം 3 2 = 9; √(-9) = 3i മുതൽ i 2 = -1.

വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഹെറോണിന്റെ ആവർത്തന സൂത്രവാക്യം

മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ വളരെ ലളിതമാണ്, അവയിൽ വേരുകളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയുടെ ചതുരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയാത്ത ഏതെങ്കിലും മൂല്യത്തിന്റെ റൂട്ട് മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുമ്പോൾ ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ തുടങ്ങുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന് √10, √11, √12, √13, പ്രായോഗികമായി ഇത് പരാമർശിക്കേണ്ടതില്ല. പൂർണ്ണസംഖ്യകളല്ലാത്ത സംഖ്യകൾക്കായി വേരുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: ഉദാഹരണത്തിന് √(12.15), √(8.5) തുടങ്ങിയവ.

മേൽപ്പറഞ്ഞ എല്ലാ കേസുകളിലും, സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രത്യേക രീതി ഉപയോഗിക്കണം. നിലവിൽ, അത്തരം നിരവധി രീതികൾ അറിയപ്പെടുന്നു: ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ടെയ്‌ലർ ശ്രേണിയിലെ വിപുലീകരണം, ഒരു നിരയുടെ വിഭജനം, മറ്റു ചിലത്. അറിയപ്പെടുന്ന എല്ലാ രീതികളിലും, ഒരുപക്ഷേ ഏറ്റവും ലളിതവും ഫലപ്രദവുമായത് ഹെറോണിന്റെ ആവർത്തന സൂത്രവാക്യമാണ്, ഇത് വർഗ്ഗമൂലങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ബാബിലോണിയൻ രീതി എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു (പുരാതന ബാബിലോണിയക്കാർ അവരുടെ പ്രായോഗിക കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ ഇത് ഉപയോഗിച്ചതിന് തെളിവുകളുണ്ട്).

√x ന്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമായിരിക്കട്ടെ. സ്ക്വയർ റൂട്ട് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഇപ്രകാരമാണ്:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), ഇവിടെ lim n->∞ (a n) => x.

നമുക്ക് ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ മനസ്സിലാക്കാം. √x കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ചില സംഖ്യകൾ a 0 എടുക്കണം (അത് ഏകപക്ഷീയമായിരിക്കാം, എന്നിരുന്നാലും, ഫലം വേഗത്തിൽ ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ അത് തിരഞ്ഞെടുക്കണം, അങ്ങനെ (a 0) 2 x-ന് കഴിയുന്നത്ര അടുത്ത് ആയിരിക്കും. തുടർന്ന് അതിനെ ഇതിലേക്ക് മാറ്റുക. സ്‌ക്വയർ റൂട്ട് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിർദ്ദേശിച്ച ഫോർമുല, ഒരു പുതിയ നമ്പർ a 1 നേടുക, അത് ഇതിനകം ആവശ്യമുള്ള മൂല്യത്തോട് അടുക്കും. അതിനുശേഷം, എക്‌സ്‌പ്രഷനിലേക്ക് ഒരു 1 മാറ്റി പകരം 2 നേടേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് വരെ ഈ നടപടിക്രമം ആവർത്തിക്കണം. ആവശ്യമായ കൃത്യത ലഭിക്കുന്നു.

ഹെറോണിന്റെ ആവർത്തന ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം

പലർക്കും, തന്നിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് നേടുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം വളരെ സങ്കീർണ്ണവും ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്നതുമാണ്, എന്നാൽ വാസ്തവത്തിൽ എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്, കാരണം ഈ ഫോർമുല വളരെ വേഗത്തിൽ ഒത്തുചേരുന്നു (പ്രത്യേകിച്ച് ഒരു നല്ല സംഖ്യ 0 തിരഞ്ഞെടുത്താൽ).

നമുക്ക് ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം നൽകാം: √11 കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഞങ്ങൾ ഒരു 0 \u003d 3 തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു, 3 2 \u003d 9 മുതൽ, അത് 4 2 \u003d 16 നേക്കാൾ 11 ന് അടുത്താണ്. ഫോർമുലയിലേക്ക് പകരമായി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3.333333;

a 2 \u003d 1/2 (3.33333 + 11 / 3.33333) \u003d 3.316668;

a 3 \u003d 1/2 (3.316668 + 11 / 3.316668) \u003d 3.31662.

കണക്കുകൂട്ടലുകൾ തുടരുന്നതിൽ അർത്ഥമില്ല, കാരണം 2 ഉം 3 ഉം 5-ആം ദശാംശ സ്ഥാനത്ത് മാത്രമേ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കൂ എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി. അതിനാൽ, 0.0001 കൃത്യതയോടെ √11 കണക്കാക്കാൻ ഫോർമുല 2 തവണ മാത്രം പ്രയോഗിച്ചാൽ മതിയായിരുന്നു.

നിലവിൽ, കാൽക്കുലേറ്ററുകളും കമ്പ്യൂട്ടറുകളും വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു, എന്നിരുന്നാലും, അവയുടെ കൃത്യമായ മൂല്യം സ്വമേധയാ കണക്കാക്കാൻ അടയാളപ്പെടുത്തിയ ഫോർമുല ഓർമ്മിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്.

രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾ

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എന്താണെന്ന് മനസിലാക്കുകയും അത് കണക്കാക്കാനുള്ള കഴിവ് ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ സമവാക്യങ്ങൾ ഒരു അജ്ഞാതവുമായുള്ള തുല്യതയാണ്, അതിന്റെ പൊതുവായ രൂപം ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഇവിടെ c, b, a എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ a പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കരുത്, കൂടാതെ c, b എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായത് ഉൾപ്പെടെ പൂർണ്ണമായും ഏകപക്ഷീയമായിരിക്കും.

ചിത്രത്തിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന തുല്യതയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന x ന്റെ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങളെ അതിന്റെ വേരുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു (ഈ ആശയം വർഗ്ഗമൂലവുമായി ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത് √). പരിഗണനയിലുള്ള സമവാക്യത്തിന് 2-ാം ക്രമം (x 2) ഉള്ളതിനാൽ, അതിന് രണ്ട് സംഖ്യകളേക്കാൾ കൂടുതൽ വേരുകൾ ഉണ്ടാകില്ല. ഈ വേരുകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ പിന്നീട് ലേഖനത്തിൽ പരിഗണിക്കും.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തൽ (സൂത്രവാക്യം)

പരിഗണനയിലുള്ള തുല്യതയുടെ തരം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ രീതിയെ സാർവത്രികം അല്ലെങ്കിൽ വിവേചനത്തിലൂടെയുള്ള രീതി എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളിലും ഇത് പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനത്തിനും വേരുകൾക്കുമുള്ള സൂത്രവാക്യം ഇപ്രകാരമാണ്:

വേരുകൾ സമവാക്യത്തിന്റെ മൂന്ന് ഗുണകങ്ങളിൽ ഓരോന്നിന്റെയും മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് അതിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും. മാത്രമല്ല, x 1 ന്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ x 2 ന്റെ കണക്കുകൂട്ടലിൽ നിന്ന് വർഗ്ഗമൂലത്തിന് മുന്നിലുള്ള അടയാളം കൊണ്ട് മാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. b 2 - 4ac ന് തുല്യമായ റാഡിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന സമത്വത്തിന്റെ വിവേചനമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല. ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലയിലെ വിവേചനം ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു, കാരണം ഇത് പരിഹാരങ്ങളുടെ എണ്ണവും തരവും നിർണ്ണയിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇത് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, ഒരു പരിഹാരം മാത്രമേ ഉണ്ടാകൂ, അത് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് യഥാർത്ഥ വേരുകളുണ്ട്, ഒടുവിൽ, ഒരു നെഗറ്റീവ് വിവേചനം രണ്ട് സങ്കീർണ്ണമായ വേരുകളായ x 1, x 2 എന്നിവയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യങ്ങളുടെ വേരുകളുടെ ചില ഗുണങ്ങൾ

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനത്തിൽ, ആധുനിക ബീജഗണിതത്തിന്റെ സ്ഥാപകരിലൊരാളായ ഒരു ഫ്രഞ്ചുകാരന്, രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കാൻ, അതിന്റെ വേരുകളുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ നേടാൻ കഴിഞ്ഞു. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി, അവ ഇതുപോലെ എഴുതാം:

x 1 + x 2 = -b / a, x 1 * x 2 = c / a.

രണ്ട് തുല്യതകളും എല്ലാവർക്കും എളുപ്പത്തിൽ ലഭിക്കും; ഇതിനായി, ഒരു വിവേചനത്തോടെ ഒരു ഫോർമുലയിലൂടെ ലഭിച്ച വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഉചിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഈ രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളുടെയും സംയോജനത്തെ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ രണ്ടാമത്തെ സൂത്രവാക്യം എന്ന് വിളിക്കാം, ഇത് വിവേചനം ഉപയോഗിക്കാതെ തന്നെ അതിന്റെ പരിഹാരങ്ങൾ ഊഹിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു. രണ്ട് പദപ്രയോഗങ്ങളും എല്ലായ്പ്പോഴും സാധുതയുള്ളതാണെങ്കിലും, ഒരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ അത് ഫാക്ടർ ചെയ്യാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ മാത്രം അവ ഉപയോഗിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണെന്ന് ഇവിടെ ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്.

നേടിയ അറിവ് ഏകീകരിക്കാനുള്ള ചുമതല

ഞങ്ങൾ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രശ്നം പരിഹരിക്കും, അതിൽ ലേഖനത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്ത എല്ലാ സാങ്കേതിക വിദ്യകളും ഞങ്ങൾ പ്രദർശിപ്പിക്കും. പ്രശ്നത്തിന്റെ വ്യവസ്ഥകൾ ഇപ്രകാരമാണ്: ഉൽപ്പന്നം -13 ഉം തുക 4 ഉം ആയ രണ്ട് സംഖ്യകൾ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഈ അവസ്ഥ ഉടനടി വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തത്തെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, വർഗ്ഗമൂലങ്ങളുടെയും അവയുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും ആകെത്തുകയ്ക്കുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

a = 1, പിന്നെ b = -4, c = -13 എന്നിങ്ങനെ കരുതുക. ഒരു രണ്ടാം ക്രമ സമവാക്യം രചിക്കാൻ ഈ ഗുണകങ്ങൾ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:

x 2 - 4x - 13 = 0.

വിവേചനം കാണിക്കുന്നവരുമായി ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഞങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന വേരുകൾ ലഭിക്കും:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

അതായത്, √68 എന്ന സംഖ്യ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് ചുമതല ചുരുക്കി. 68 = 4 * 17 എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, തുടർന്ന്, സ്ക്വയർ റൂട്ട് പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: √68 = 2√17.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പരിഗണിക്കുന്ന സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു: a 0 \u003d 4, തുടർന്ന്:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4.125;

a 2 \u003d 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) \u003d 4.1231.

3 കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ 0.02 മാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, √68 = 8.246. x 1,2 എന്ന ഫോർമുലയിലേക്ക് ഇത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

x 1 \u003d (4 + 8.246) / 2 \u003d 6.123, x 2 \u003d (4 - 8.246) / 2 \u003d -2.123.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, കണ്ടെത്തിയ സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക യഥാർത്ഥത്തിൽ 4 ന് തുല്യമാണ്, എന്നാൽ നിങ്ങൾ അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം കണ്ടെത്തുകയാണെങ്കിൽ, അത് -12.999 ന് തുല്യമായിരിക്കും, ഇത് 0.001 ന്റെ കൃത്യതയോടെ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഈ ഗണിത പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് കഴിയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക.

പ്രോഗ്രാം പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുക മാത്രമല്ല, പരിഹാര പ്രക്രിയ രണ്ട് തരത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
- വിവേചനം ഉപയോഗിച്ച്
- വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് (സാധ്യമെങ്കിൽ).

മാത്രമല്ല, ഉത്തരം കൃത്യമായി കാണിക്കുന്നു, ഏകദേശമല്ല.
ഉദാഹരണത്തിന്, \(81x^2-16x-1=0\) എന്ന സമവാക്യത്തിന്, ഉത്തരം ഈ രൂപത്തിൽ പ്രദർശിപ്പിക്കും:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ഇതിന് പകരം: \(x_1 = 0.247; \ ക്വാഡ് x_2 = -0.05 \)

ഹൈസ്കൂൾ വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് ഈ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗപ്രദമാകും പൊതു വിദ്യാഭ്യാസ സ്കൂളുകൾതയ്യാറെടുപ്പിലാണ് നിയന്ത്രണ ജോലികൂടാതെ പരീക്ഷകൾ, പരീക്ഷയ്ക്ക് മുമ്പ് അറിവ് പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, ഗണിതത്തിലും ബീജഗണിതത്തിലും ഉള്ള പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും പരിഹാരം നിയന്ത്രിക്കാൻ മാതാപിതാക്കൾ. അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ട്യൂട്ടറെ നിയമിക്കുന്നതിനോ പുതിയ പാഠപുസ്തകങ്ങൾ വാങ്ങുന്നതിനോ ഇത് വളരെ ചെലവേറിയതാണോ? അതോ എത്രയും വേഗം അത് പൂർത്തിയാക്കാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നുണ്ടോ? ഹോം വർക്ക്ഗണിതമോ ബീജഗണിതമോ? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശദമായ ഒരു പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങളുടെ പ്രോഗ്രാമുകളും ഉപയോഗിക്കാം.

അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് അത് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും സ്വന്തം പരിശീലനംകൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ അവരുടെ ഇളയ സഹോദരന്മാരുടെയോ സഹോദരിമാരുടെയോ പരിശീലനം, പരിഹരിക്കേണ്ട ചുമതലകളുടെ മേഖലയിലെ വിദ്യാഭ്യാസ നിലവാരം വർധിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു സ്ക്വയർ പോളിനോമിയൽ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് പരിചിതമല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അവയുമായി പരിചയപ്പെടാൻ ഞങ്ങൾ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു.

ഒരു ചതുര ബഹുപദം നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ

ഏത് ലാറ്റിൻ അക്ഷരത്തിനും ഒരു വേരിയബിളായി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും.
ഉദാഹരണത്തിന്: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) തുടങ്ങിയവ.

സംഖ്യകൾ പൂർണ്ണസംഖ്യകളായോ ഭിന്നസംഖ്യകളായോ നൽകാം.
മാത്രമല്ല, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒരു ദശാംശത്തിന്റെ രൂപത്തിൽ മാത്രമല്ല, ഒരു സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യയുടെ രൂപത്തിലും നൽകാം.

ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ദശാംശ ഭിന്നസംഖ്യകളിൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള ഫ്രാക്ഷണൽ ഭാഗം ഒരു ഡോട്ട് അല്ലെങ്കിൽ കോമ ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കാനാകും.
ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾക്ക് ഇതുപോലുള്ള ദശാംശങ്ങൾ നൽകാം: 2.5x - 3.5x^2

സാധാരണ ഭിന്നസംഖ്യകൾ നൽകുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ.
ഒരു മുഴുവൻ സംഖ്യയ്ക്ക് മാത്രമേ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയുടെ ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും പൂർണ്ണസംഖ്യയും ആയി പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയൂ.

ഡിനോമിനേറ്റർ നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കരുത്.

ഒരു സംഖ്യാ ഭിന്നസംഖ്യ നൽകുമ്പോൾ, ന്യൂമറേറ്ററിനെ ഡിനോമിനേറ്ററിൽ നിന്ന് ഒരു ഡിവിഷൻ ചിഹ്നത്താൽ വേർതിരിക്കുന്നു: /
പൂർണ്ണസംഖ്യ ഭാഗം ഭിന്നസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു ആമ്പർസാൻഡ് ഉപയോഗിച്ച് വേർതിരിക്കുന്നു: &
ഇൻപുട്ട്: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
ഫലം: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നൽകുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ബ്രാക്കറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അവതരിപ്പിച്ച പദപ്രയോഗം ആദ്യം ലളിതമാക്കുന്നു.
ഉദാഹരണത്തിന്: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

തീരുമാനിക്കുക

ഈ ടാസ്ക്ക് പരിഹരിക്കാൻ ആവശ്യമായ ചില സ്ക്രിപ്റ്റുകൾ ലോഡ് ചെയ്തിട്ടില്ലെന്ന് കണ്ടെത്തി, കൂടാതെ പ്രോഗ്രാം പ്രവർത്തിച്ചേക്കില്ല.
നിങ്ങൾക്ക് AdBlock പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കാം.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത് പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കി പേജ് പുതുക്കുക.

നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ JavaScript പ്രവർത്തനരഹിതമാക്കിയിരിക്കുന്നു.
പരിഹാരം ദൃശ്യമാകുന്നതിന് JavaScript പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കിയിരിക്കണം.
നിങ്ങളുടെ ബ്രൗസറിൽ JavaScript എങ്ങനെ പ്രവർത്തനക്ഷമമാക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള നിർദ്ദേശങ്ങൾ ഇതാ.

കാരണം പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്ന ധാരാളം ആളുകൾ ഉണ്ട്, നിങ്ങളുടെ അഭ്യർത്ഥന ക്യൂവിലാണ്.
കുറച്ച് നിമിഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം, പരിഹാരം താഴെ ദൃശ്യമാകും.
കാത്തിരിക്കൂ സെക്കന്റ്...

നിങ്ങൾ എങ്കിൽ പരിഹാരത്തിൽ ഒരു പിശക് ശ്രദ്ധിച്ചു, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അതിനെക്കുറിച്ച് ഫീഡ്ബാക്ക് ഫോമിൽ എഴുതാം.
മറക്കരുത് ഏത് ടാസ്ക് എന്ന് സൂചിപ്പിക്കുകഎന്താണെന്ന് നിങ്ങൾ തീരുമാനിക്കുക വയലുകളിൽ പ്രവേശിക്കുക.

ഞങ്ങളുടെ ഗെയിമുകൾ, പസിലുകൾ, എമുലേറ്ററുകൾ:

കുറച്ച് സിദ്ധാന്തം.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും അതിന്റെ വേരുകളും. അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ

ഓരോ സമവാക്യങ്ങളും
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
രൂപമുണ്ട്
\(ax^2+bx+c=0, \)
ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിൾ ആണ്, a, b, c എന്നിവ സംഖ്യകളാണ്.
ആദ്യ സമവാക്യത്തിൽ a = -1, b = 6, c = 1.4, രണ്ടാമത്തേതിൽ a = 8, b = -7, c = 0, മൂന്നാമത്തേതിൽ a = 1, b = 0, c = 4/9. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ.

നിർവ്വചനം.
ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ax 2 +bx+c=0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഒരു സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു, ഇവിടെ x ഒരു വേരിയബിളാണ്, a, b, c എന്നിവ ചില സംഖ്യകളാണ്, കൂടാതെ \(a \neq 0 \).

എ, ബി, സി എന്നീ സംഖ്യകൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ ഗുണകങ്ങളാണ്. a എന്ന സംഖ്യയെ ആദ്യ ഗുണകം എന്നും b സംഖ്യയെ രണ്ടാമത്തെ ഗുണകം എന്നും c സംഖ്യയെ തടസ്സപ്പെടുത്തൽ എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ax 2 +bx+c=0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ ഓരോ സമവാക്യങ്ങളിലും, \(a \neq 0 \), x എന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ ശക്തി ഒരു ചതുരമാണ്. അതിനാൽ പേര്: ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ സമവാക്യം എന്നും വിളിക്കുന്നു, കാരണം അതിന്റെ ഇടതുവശം രണ്ടാം ഡിഗ്രിയുടെ ബഹുപദമായതിനാൽ.

x 2 ലെ ഗുണകം 1 ആയ ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. ഉദാഹരണത്തിന്, നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളാണ്
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിൽ ax 2 +bx+c=0 കുറഞ്ഞത് ഒരു ഗുണകങ്ങൾ b അല്ലെങ്കിൽ c പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ വിളിക്കുന്നു അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അതിനാൽ, -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 സമവാക്യങ്ങൾ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളാണ്. അവയിൽ ആദ്യത്തേതിൽ b=0, രണ്ടാമത്തേതിൽ c=0, മൂന്നാമത്തേതിൽ b=0, c=0.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ മൂന്ന് തരത്തിലാണ്:
1) ax 2 +c=0, ഇവിടെ \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, ഇവിടെ \(b \neq 0 \);
3) കോടാലി2=0.

ഈ ഓരോ തരത്തിലുമുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം പരിഗണിക്കുക.

\(c \neq 0 \) എന്നതിനായുള്ള ax 2 +c=0 എന്ന രൂപത്തിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അതിന്റെ സ്വതന്ത്ര പദം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുകയും സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും ഒരു കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \), തുടർന്ന് \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0 \) ആണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) എന്നതിനായുള്ള ax 2 +bx=0 എന്ന ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നതിന് അതിന്റെ ഇടതുവശം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്ത് സമവാക്യം നേടുക
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \rightarrow \left\( \begin (അറേ)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

അതിനാൽ, \(b \neq 0 \) എന്നതിനായുള്ള ax 2 +bx=0 എന്ന ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.

ax 2 \u003d 0 എന്ന ഫോമിന്റെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം x 2 \u003d 0 എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതിനാൽ ഒറ്റ റൂട്ട് 0 ഉണ്ട്.

ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല

അജ്ഞാതരുടെ ഗുണകങ്ങളും സ്വതന്ത്ര പദവും പൂജ്യമല്ലാത്തതിനാൽ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കാം.

ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പൊതുവായ രൂപത്തിൽ പരിഹരിക്കുന്നു, അതിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് വേരുകളുടെ സൂത്രവാക്യം ലഭിക്കും. അപ്പോൾ ഏത് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യവും പരിഹരിക്കാൻ ഈ ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കാവുന്നതാണ്.

കോടാലി 2 +bx+c=0 എന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക

അതിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളെയും a കൊണ്ട് ഹരിച്ചാൽ, നമുക്ക് തുല്യമായ ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം ലഭിക്കും
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

ബൈനോമിയലിന്റെ വർഗ്ഗം ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ഈ സമവാക്യം രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\ഇടത്(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\ഇടത്(\frac(b)(2a)\right)^2 = \ഇടത്(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

റൂട്ട് എക്സ്പ്രഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വിവേചനം ax 2 +bx+c=0 (ലാറ്റിൻ ഭാഷയിൽ "വിവേചനം" - ഡിസ്റ്റിംഗ്വിഷർ). ഇത് ഡി എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതായത്.
\(D = b^2-4ac\)

ഇപ്പോൾ, വിവേചനത്തിന്റെ നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ വീണ്ടും എഴുതുന്നു:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ഇവിടെ \(D= b^2-4ac \)

ഇത് വ്യക്തമാണ്:
1) D>0 ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്.
2) D=0 ആണെങ്കിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് \(x=-\frac(b)(2a)\) ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്.
3) D ആണെങ്കിൽ, വിവേചനത്തിന്റെ മൂല്യത്തെ ആശ്രയിച്ച്, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ (D > 0 ന്), ഒരു റൂട്ട് (D = 0 ന്) അല്ലെങ്കിൽ വേരുകൾ ഇല്ല (D ന് ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ. , ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ ചെയ്യുന്നതാണ് ഉചിതം:
1) വിവേചനം കണക്കാക്കി പൂജ്യവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുക;
2) വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, റൂട്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക, വിവേചനം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വേരുകൾ ഇല്ലെന്ന് എഴുതുക.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം 2 -7x+10=0 ന് 2 ഉം 5 ഉം വേരുകളുണ്ട്. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക 7 ആണ്, ഉൽപ്പന്നം 10 ആണ്. വേരുകളുടെ ആകെത്തുക രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണുന്നു. വിപരീത ചിഹ്നം, വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്. വേരുകളുള്ള ഏത് കുറഞ്ഞ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിനും ഈ ഗുണമുണ്ട്.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക രണ്ടാമത്തെ ഗുണകത്തിന് തുല്യമാണ്, വിപരീത ചിഹ്നത്തോടൊപ്പം എടുക്കുന്നു, കൂടാതെ വേരുകളുടെ ഉൽപ്പന്നം സ്വതന്ത്ര പദത്തിന് തുല്യമാണ്.

ആ. x 2 +px+q=0 എന്ന ചുരുക്കിയ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ x 1, x 2 എന്നീ വേരുകൾക്ക് ഗുണമുണ്ടെന്ന് വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നു:
\(\ഇടത്\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

പലരും കാരണം ഈ വിഷയം ആദ്യം ബുദ്ധിമുട്ടായി തോന്നിയേക്കാം ലളിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്ക് തന്നെ ദൈർഘ്യമേറിയ എൻട്രികൾ ഉണ്ടെന്ന് മാത്രമല്ല, വിവേചനത്തിലൂടെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ആകെ മൂന്ന് പുതിയ ഫോർമുലകളുണ്ട്. ഓർക്കാൻ അത്ര എളുപ്പമല്ല. അത്തരം സമവാക്യങ്ങളുടെ പതിവ് പരിഹാരത്തിന് ശേഷമേ ഇത് സാധ്യമാകൂ. അപ്പോൾ എല്ലാ സൂത്രവാക്യങ്ങളും സ്വയം ഓർമ്മിക്കപ്പെടും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ കാഴ്ച

ഇവിടെ അവരുടെ വ്യക്തമായ നൊട്ടേഷൻ നിർദ്ദേശിക്കപ്പെടുന്നു, ഏറ്റവും വലിയ ബിരുദം ആദ്യം എഴുതുമ്പോൾ, തുടർന്ന് - അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ. നിബന്ധനകൾ വേറിട്ടുനിൽക്കുമ്പോൾ പലപ്പോഴും സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്. അപ്പോൾ വേരിയബിളിന്റെ ഡിഗ്രിയുടെ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ സമവാക്യം മാറ്റിയെഴുതുന്നതാണ് നല്ലത്.

നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം. അവ ചുവടെയുള്ള പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഞങ്ങൾ ഈ നൊട്ടേഷനുകൾ അംഗീകരിക്കുകയാണെങ്കിൽ, എല്ലാ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷനായി ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു.

മാത്രമല്ല, ഗുണകം a ≠ 0. ഈ ഫോർമുലയെ നമ്പർ വൺ കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കട്ടെ.

സമവാക്യം നൽകുമ്പോൾ, ഉത്തരത്തിൽ എത്ര വേരുകൾ ഉണ്ടാകുമെന്ന് വ്യക്തമല്ല. കാരണം മൂന്ന് ഓപ്ഷനുകളിലൊന്ന് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമാണ്:

• പരിഹാരത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും;
• ഉത്തരം ഒരു സംഖ്യ ആയിരിക്കും;
• സമവാക്യത്തിന് വേരുകളൊന്നുമില്ല.

തീരുമാനം അവസാനിപ്പിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിലും, ഒരു പ്രത്യേക കേസിൽ ഏത് ഓപ്ഷനാണ് വീഴുന്നതെന്ന് മനസിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ രേഖകളുടെ തരങ്ങൾ

ടാസ്‌ക്കുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത എൻട്രികൾ ഉണ്ടായിരിക്കാം. അവ എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ പൊതുവായ സൂത്രവാക്യം പോലെ കാണില്ല. ചിലപ്പോൾ അതിന് ചില നിബന്ധനകൾ കുറവായിരിക്കും. മുകളിൽ എഴുതിയത് സമ്പൂർണ്ണ സമവാക്യമാണ്. അതിൽ രണ്ടാമത്തെയോ മൂന്നാമത്തെയോ ടേം നീക്കം ചെയ്താൽ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെന്തെങ്കിലും ലഭിക്കും. ഈ റെക്കോർഡുകളെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ എന്നും വിളിക്കുന്നു, അപൂർണ്ണമാണ്.

മാത്രമല്ല, "b", "c" എന്നീ ഗുണകങ്ങൾ അപ്രത്യക്ഷമാകാൻ കഴിയുന്ന പദങ്ങൾ മാത്രം. ഒരു സാഹചര്യത്തിലും "a" എന്ന സംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകരുത്. കാരണം ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഫോർമുല ഒരു രേഖീയ സമവാക്യമായി മാറുന്നു. സമവാക്യങ്ങളുടെ അപൂർണ്ണമായ രൂപത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്നതായിരിക്കും:

അതിനാൽ, രണ്ട് തരങ്ങൾ മാത്രമേയുള്ളൂ, പൂർണ്ണമായവയ്ക്ക് പുറമേ, അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും ഉണ്ട്. ആദ്യത്തെ സൂത്രവാക്യം നമ്പർ രണ്ട് ആയിരിക്കട്ടെ, രണ്ടാമത്തെ നമ്പർ മൂന്ന്.

വിവേചനവും അതിന്റെ മൂല്യത്തിൽ വേരുകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ആശ്രിതത്വവും

സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഈ സംഖ്യ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം എന്തായാലും അത് എല്ലായ്പ്പോഴും കണക്കാക്കാം. വിവേചനം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ താഴെ എഴുതിയിരിക്കുന്ന തുല്യത ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്, അതിൽ നാല് എന്ന അക്കമുണ്ട്.

ഈ ഫോർമുലയിലേക്ക് ഗുണകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിച്ച ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അക്കങ്ങൾ ലഭിക്കും വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങൾ. ഉത്തരം അതെ എന്നാണെങ്കിൽ, സമവാക്യത്തിനുള്ള ഉത്തരം രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വേരുകളായിരിക്കും. ഒരു നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ ഇല്ലാതാകും. ഇത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഉത്തരം ഒന്നായിരിക്കും.

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടും?

വാസ്തവത്തിൽ, ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ പരിഗണന ഇതിനകം ആരംഭിച്ചു. കാരണം ആദ്യം നിങ്ങൾ വിവേചനക്കാരനെ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുണ്ടെന്നും അവയുടെ എണ്ണം അറിയാമെന്നും വ്യക്തമാക്കിയ ശേഷം, നിങ്ങൾ വേരിയബിളുകൾക്കായുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ അത്തരമൊരു ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

അതിൽ "±" ചിഹ്നം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടാകും. വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം വിവേചനമാണ്. അതിനാൽ, ഫോർമുല മറ്റൊരു രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാം.

ഫോർമുല അഞ്ച്. വിവേചനം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, രണ്ട് വേരുകളും ഒരേ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുമെന്ന് ഒരേ റെക്കോർഡിൽ നിന്ന് കാണാൻ കഴിയും.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഇതുവരെ തയ്യാറാക്കിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, വിവേചനപരവും വേരിയബിൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളും പ്രയോഗിക്കുന്നതിന് മുമ്പ് എല്ലാ ഗുണകങ്ങളുടെയും മൂല്യങ്ങൾ എഴുതുന്നതാണ് നല്ലത്. പിന്നീട് ഈ നിമിഷം ബുദ്ധിമുട്ടുകൾ ഉണ്ടാക്കില്ല. എന്നാൽ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ട്.

അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടും?

ഇവിടെ എല്ലാം വളരെ ലളിതമാണ്. അധിക ഫോർമുലകളുടെ ആവശ്യമില്ല പോലും. വിവേചനം കാണിക്കുന്നവർക്കും അജ്ഞാതർക്കും വേണ്ടി ഇതിനകം എഴുതിയവ നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമില്ല.

ആദ്യം, അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം നമ്പർ രണ്ട് പരിഗണിക്കുക. ഈ സമത്വത്തിൽ, ബ്രാക്കറ്റിൽ നിന്ന് അജ്ഞാതമായ മൂല്യം എടുത്ത് രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിക്കണം, അത് ബ്രാക്കറ്റിൽ തന്നെ തുടരും. ഉത്തരത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടാകും. ആദ്യത്തേത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കാരണം വേരിയബിളിൽ തന്നെ ഒരു ഘടകം ഉണ്ട്. ഒരു രേഖീയ സമവാക്യം പരിഹരിച്ചാണ് രണ്ടാമത്തേത് ലഭിക്കുന്നത്.

സമവാക്യത്തിന്റെ ഇടത് വശത്ത് നിന്ന് വലത്തേക്ക് സംഖ്യ മാറ്റുന്നതിലൂടെ മൂന്നാം നമ്പറിലെ അപൂർണ്ണമായ സമവാക്യം പരിഹരിക്കപ്പെടും. അപ്പോൾ നിങ്ങൾ അജ്ഞാതന്റെ മുന്നിലുള്ള ഗുണകം കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. സ്ക്വയർ റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റുചെയ്യാൻ മാത്രമേ ഇത് ശേഷിക്കുന്നുള്ളൂ, വിപരീത ചിഹ്നങ്ങളോടെ രണ്ടുതവണ എഴുതാൻ മറക്കരുത്.

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളായി മാറുന്ന എല്ലാത്തരം തുല്യതകളും എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങളെ സഹായിക്കുന്ന ചില പ്രവർത്തനങ്ങളാണ് ഇനിപ്പറയുന്നത്. അശ്രദ്ധമൂലമുള്ള തെറ്റുകൾ ഒഴിവാക്കാൻ അവ വിദ്യാർത്ഥിയെ സഹായിക്കും. "ക്വാഡ്രിക് സമവാക്യങ്ങൾ (ഗ്രേഡ് 8)" എന്ന വിപുലമായ വിഷയം പഠിക്കുമ്പോൾ ഈ പോരായ്മകൾ മോശം ഗ്രേഡുകളുടെ കാരണമാണ്. തുടർന്ന്, ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ നിരന്തരം നടത്തേണ്ടതില്ല. കാരണം സ്ഥിരമായ ഒരു ശീലമുണ്ടാകും.

• ആദ്യം നിങ്ങൾ സമവാക്യം സാധാരണ രൂപത്തിൽ എഴുതേണ്ടതുണ്ട്. അതായത്, ആദ്യം വേരിയബിളിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ ഡിഗ്രി ഉള്ള പദം, തുടർന്ന് - ഡിഗ്രി കൂടാതെ അവസാനത്തേത് - വെറും ഒരു സംഖ്യ.

• "a" എന്ന ഗുണകത്തിന് മുമ്പ് ഒരു മൈനസ് പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു തുടക്കക്കാരന് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ജോലി സങ്കീർണ്ണമാക്കും. അത് ഒഴിവാക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, എല്ലാ സമത്വവും "-1" കൊണ്ട് ഗുണിക്കണം. എല്ലാ നിബന്ധനകളും ചിഹ്നത്തെ വിപരീതമായി മാറ്റും എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

• അതേ രീതിയിൽ, ഭിന്നസംഖ്യകൾ ഒഴിവാക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. സമവാക്യത്തെ ഉചിതമായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക, അതുവഴി ഡിനോമിനേറ്ററുകൾ റദ്ദാക്കപ്പെടും.

ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഇനിപ്പറയുന്ന ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

ആദ്യ സമവാക്യം: x 2 - 7x \u003d 0. ഇത് അപൂർണ്ണമാണ്, അതിനാൽ ഫോർമുല നമ്പർ രണ്ട് വിവരിച്ചതുപോലെ ഇത് പരിഹരിക്കപ്പെടുന്നു.

ബ്രാക്കറ്റിംഗിന് ശേഷം, ഇത് മാറുന്നു: x (x - 7) \u003d 0.

ആദ്യത്തെ റൂട്ട് മൂല്യം എടുക്കുന്നു: x 1 = 0. രണ്ടാമത്തേത് ഇതിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തും രേഖീയ സമവാക്യം: x - 7 = 0. x 2 = 7 എന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം: 5x2 + 30 = 0. വീണ്ടും അപൂർണ്ണം. മൂന്നാമത്തെ ഫോർമുലയിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ മാത്രമേ ഇത് പരിഹരിക്കപ്പെടുകയുള്ളൂ.

സമവാക്യത്തിന്റെ വലതുവശത്തേക്ക് 30 ട്രാൻസ്ഫർ ചെയ്ത ശേഷം: 5x 2 = 30. ഇപ്പോൾ നിങ്ങൾ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് മാറുന്നു: x 2 = 6. ഉത്തരങ്ങൾ അക്കങ്ങളായിരിക്കും: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

മൂന്നാമത്തെ സമവാക്യം: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. ഇവിടെയും താഴെയും, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം അവയെ വീണ്ടും എഴുതുന്നതിലൂടെ ആരംഭിക്കും സാധാരണ കാഴ്ച: - x 2 - 2x + 15 = 0. ഇപ്പോൾ രണ്ടാമത്തേത് ഉപയോഗിക്കാനുള്ള സമയമായി ഉപയോഗപ്രദമായ ഉപദേശംകൂടാതെ എല്ലാം മൈനസ് ഒന്ന് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക. ഇത് x 2 + 2x - 15 \u003d 0 ആയി മാറുന്നു. നാലാമത്തെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾ വിവേചനം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. ഇത് ഒരു പോസിറ്റീവ് നമ്പർ. മുകളിൽ പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന്, സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളുണ്ടെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അഞ്ചാമത്തെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് അവ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്. അതനുസരിച്ച്, x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. തുടർന്ന് x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

നാലാമത്തെ സമവാക്യം x 2 + 8 + 3x \u003d 0 ഇതിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്‌തു: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. അതിന്റെ വിവേചനം ഈ മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്: -23. ഈ നമ്പർ നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, ഈ ടാസ്ക്കിനുള്ള ഉത്തരം ഇനിപ്പറയുന്ന എൻട്രി ആയിരിക്കും: "വേരുകളൊന്നുമില്ല."

12x + x 2 + 36 = 0 എന്ന അഞ്ചാമത്തെ സമവാക്യം ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതണം: x 2 + 12x + 36 = 0. വിവേചനത്തിന് ഫോർമുല പ്രയോഗിച്ചതിന് ശേഷം, പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കും. ഇതിനർത്ഥം ഇതിന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കുമെന്നാണ്, അതായത്: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

ആറാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) പരിവർത്തനങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്, ബ്രാക്കറ്റുകൾ തുറക്കുന്നതിന് മുമ്പ് നിങ്ങൾ സമാനമായ നിബന്ധനകൾ കൊണ്ടുവരേണ്ടതുണ്ട്. ആദ്യത്തേതിന് പകരം അത്തരമൊരു പദപ്രയോഗം ഉണ്ടാകും: x 2 + 2x + 1. തുല്യതയ്ക്ക് ശേഷം, ഈ എൻട്രി ദൃശ്യമാകും: x 2 + 3x + 2. സമാന പദങ്ങൾ കണക്കാക്കിയ ശേഷം, സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: x 2 - x \u003d 0. ഇത് അപൂർണ്ണമായി . ഇതിന് സമാനമായത് ഇതിനകം അൽപ്പം ഉയർന്നതായി കണക്കാക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ഇതിന്റെ വേരുകൾ 0, 1 എന്നീ സംഖ്യകളായിരിക്കും.

IN ആധുനിക സമൂഹംചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള കഴിവ് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പല മേഖലകളിലും ഉപയോഗപ്രദമാകും, ഇത് ശാസ്ത്രീയവും സാങ്കേതികവുമായ സംഭവവികാസങ്ങളിൽ പ്രായോഗികമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. കടൽ, നദി പാത്രങ്ങൾ, വിമാനങ്ങൾ, മിസൈലുകൾ എന്നിവയുടെ രൂപകൽപ്പന ഇതിന് തെളിവാണ്. അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ സഹായത്തോടെ, ബഹിരാകാശ വസ്തുക്കൾ ഉൾപ്പെടെ വിവിധ വസ്തുക്കളുടെ ചലനത്തിന്റെ പാതകൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ സാമ്പത്തിക പ്രവചനത്തിലും കെട്ടിടങ്ങളുടെ രൂപകൽപ്പനയിലും നിർമ്മാണത്തിലും മാത്രമല്ല, ഏറ്റവും സാധാരണമായ ദൈനംദിന സാഹചര്യങ്ങളിലും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഹൈക്കിംഗ് യാത്രകളിൽ അവ ആവശ്യമായി വന്നേക്കാം കായിക, ഷോപ്പിംഗ് നടത്തുമ്പോൾ സ്റ്റോറുകളിലും മറ്റ് വളരെ സാധാരണമായ സാഹചര്യങ്ങളിലും.

പദപ്രയോഗത്തെ ഘടക ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കാം

തന്നിരിക്കുന്ന പദപ്രയോഗം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന വേരിയബിളിന്റെ ഡിഗ്രിയുടെ പരമാവധി മൂല്യമാണ് ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നത്. ഇത് 2 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സമവാക്യത്തെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

നമ്മൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ ഭാഷയിലാണ് സംസാരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, ഈ പദപ്രയോഗങ്ങൾ, അവ എങ്ങനെ നോക്കിയാലും, പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഇടതുവശത്ത് മൂന്ന് പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുമ്പോൾ എല്ലായ്പ്പോഴും രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയും. അവയിൽ: ax 2 (അതായത്, അതിന്റെ ഗുണകത്തോടുകൂടിയ ഒരു വേരിയബിൾ), bx (അതിന്റെ ഗുണകത്തോടുകൂടിയ ഒരു ചതുരം ഇല്ലാത്ത ഒരു അജ്ഞാതം), c (സ്വതന്ത്ര ഘടകം, അതായത് ഒരു സാധാരണ നമ്പർ). ഇതെല്ലാം വലതുവശത്തുള്ള 0 ന് തുല്യമാണ്. അത്തരം ഒരു ബഹുപദത്തിന് അതിന്റെ ഘടക പദങ്ങളിലൊന്ന് ഇല്ലെങ്കിൽ, കോടാലി 2 ഒഴികെ, അതിനെ അപൂർണ്ണമായ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ പ്രയാസമില്ലാത്ത അത്തരം പ്രശ്നങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തോടുകൂടിയ ഉദാഹരണങ്ങൾ ആദ്യം പരിഗണിക്കണം.

എക്സ്പ്രഷന്റെ വലതുവശത്ത് രണ്ട് പദങ്ങൾ ഉള്ളതായി തോന്നുന്നുവെങ്കിൽ, കൂടുതൽ കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ, ax 2, bx, വേരിയബിളിനെ ബ്രാക്കറ്റ് ചെയ്ത് x കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്. ഇപ്പോൾ നമ്മുടെ സമവാക്യം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: x(ax+b). കൂടാതെ, ഒന്നുകിൽ x=0, അല്ലെങ്കിൽ പ്രശ്നം ഇനിപ്പറയുന്ന എക്സ്പ്രഷനിൽ നിന്ന് ഒരു വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് ചുരുക്കിയിരിക്കുന്നു: ax+b=0. ഗുണനത്തിന്റെ സവിശേഷതകളിൽ ഒന്ന് ഇത് നിർണ്ണയിക്കുന്നു. രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെ ഗുണനഫലം അവയിലൊന്ന് പൂജ്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ 0യിൽ ഫലമുണ്ടാകൂ എന്ന് നിയമം പറയുന്നു.

ഉദാഹരണം

x=0 അല്ലെങ്കിൽ 8x - 3 = 0

തൽഫലമായി, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ രണ്ട് വേരുകൾ ലഭിക്കും: 0, 0.375.

ഇത്തരത്തിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾക്ക് ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ പ്രവർത്തനത്തിന് കീഴിലുള്ള ശരീരങ്ങളുടെ ചലനത്തെ വിവരിക്കാൻ കഴിയും, അത് ഒരു പ്രത്യേക ബിന്ദുവിൽ നിന്ന് നീങ്ങാൻ തുടങ്ങി, ഇത് ഉത്ഭവമായി കണക്കാക്കുന്നു. ഇവിടെ ഗണിതശാസ്ത്ര നൊട്ടേഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമെടുക്കുന്നു: y = v 0 t + gt 2/2. പകരം വയ്ക്കുന്നത് ആവശ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ, വലത് വശം 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കുന്നതിലൂടെയും സാധ്യമായ അജ്ഞാതങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലൂടെയും, ശരീരം ഉയരുന്ന നിമിഷം മുതൽ വീഴുന്ന നിമിഷം വരെ കടന്നുപോയ സമയവും മറ്റ് നിരവധി അളവുകളും നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനെക്കുറിച്ച് പിന്നീട് സംസാരിക്കും.

ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ഫാക്റ്ററിംഗ്

മുകളിൽ വിവരിച്ച നിയമം ഈ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും അതിലേറെ കാര്യങ്ങൾ ചെയ്യാനും സഹായിക്കുന്നു ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കേസുകൾ. ഈ തരത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം ഉപയോഗിച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കുക.

X2 - 33x + 200 = 0

ഈ സ്ക്വയർ ട്രൈനോമിയൽ പൂർത്തിയായി. ആദ്യം, ഞങ്ങൾ പദപ്രയോഗത്തെ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും അതിനെ ഘടകങ്ങളായി വിഘടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്: (x-8), (x-25) = 0. ഫലമായി, നമുക്ക് 8 ഉം 25 ഉം രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്.

ഗ്രേഡ് 9 ലെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരമുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ, രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മാത്രമല്ല, മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഓർഡറുകളിൽ പോലും എക്സ്പ്രഷനുകളിൽ ഒരു വേരിയബിൾ കണ്ടെത്താൻ ഈ രീതിയെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണത്തിന്: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. ഒരു വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് വലത് വശം ഘടകങ്ങളാക്കി മാറ്റുമ്പോൾ, അവയിൽ മൂന്നെണ്ണം ഉണ്ട്, അതായത് (x + 1), (x-3) കൂടാതെ (x + 3).

തൽഫലമായി, ഈ സമവാക്യത്തിന് മൂന്ന് വേരുകളുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമാകും: -3; -1; 3.

സ്ക്വയർ റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു

അപൂർണ്ണമായ ഒരു രണ്ടാം ഓർഡർ സമവാക്യത്തിന്റെ മറ്റൊരു കേസ്, കോടാലി 2, c എന്നീ ഘടകങ്ങളിൽ നിന്ന് വലതുഭാഗം നിർമ്മിക്കുന്ന തരത്തിൽ അക്ഷരങ്ങളുടെ ഭാഷയിൽ എഴുതിയ ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്. ഇവിടെ, വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, സ്വതന്ത്ര പദം വലതുവശത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു, അതിനുശേഷം, സമത്വത്തിന്റെ ഇരുവശത്തുനിന്നും വർഗ്ഗമൂല്യം വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നു. ൽ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് ഈ കാര്യംഒരു സമവാക്യത്തിന് സാധാരണയായി രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്. ഒരേയൊരു അപവാദം c എന്ന പദം ഉൾക്കൊള്ളാത്ത തുല്യതകളാണ്, ഇവിടെ വേരിയബിൾ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ വലതുവശം നെഗറ്റീവ് ആയി മാറുമ്പോൾ എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ വകഭേദങ്ങളും. പിന്നീടുള്ള സന്ദർഭത്തിൽ, മേൽപ്പറഞ്ഞ പ്രവർത്തനങ്ങൾ വേരുകൾ ഉപയോഗിച്ച് നടത്താൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, പരിഹാരങ്ങളൊന്നുമില്ല. ഈ തരത്തിലുള്ള ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾക്കുള്ള പരിഹാരങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഗണിക്കണം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ -4 ഉം 4 ഉം ആയിരിക്കും.

ഭൂമിയുടെ വിസ്തൃതിയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ

ഇത്തരത്തിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ആവശ്യകത പുരാതന കാലത്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, കാരണം ആ വിദൂര കാലത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികസനം ഭൂരിഭാഗം പ്ലോട്ടുകളുടെ പ്രദേശങ്ങളും ചുറ്റളവുകളും ഏറ്റവും കൃത്യതയോടെ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകതയാണ്.

ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ സമാഹരിച്ച ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തോടുകൂടിയ ഉദാഹരണങ്ങളും നാം പരിഗണിക്കണം.

അതിനാൽ, ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഭൂമി ഉണ്ടെന്ന് പറയാം, അതിന്റെ നീളം വീതിയേക്കാൾ 16 മീറ്റർ കൂടുതലാണ്. സൈറ്റിന്റെ വിസ്തീർണ്ണം 612 മീ 2 ആണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ നിങ്ങൾ സൈറ്റിന്റെ നീളം, വീതി, ചുറ്റളവ് എന്നിവ കണ്ടെത്തണം.

ബിസിനസ്സിലേക്ക് ഇറങ്ങുക, ആദ്യം ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ സമവാക്യം ഉണ്ടാക്കും. വിഭാഗത്തിന്റെ വീതി x ആയി സൂചിപ്പിക്കാം, അപ്പോൾ അതിന്റെ നീളം (x + 16) ആയിരിക്കും. x (x + 16) എന്ന പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിച്ചാണ് ഏരിയ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എന്ന് എഴുതിയതിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു, അത് ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥ അനുസരിച്ച് 612 ആണ്. ഇതിനർത്ഥം x (x + 16) \u003d 612 എന്നാണ്.

സമ്പൂർണ്ണ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം, ഈ പദപ്രയോഗം അത്രമാത്രം, അതേ രീതിയിൽ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. എന്തുകൊണ്ട്? അതിന്റെ ഇടതുവശത്ത് ഇപ്പോഴും രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിലും, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം 0 ന് തുല്യമല്ല, അതിനാൽ മറ്റ് രീതികൾ ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വിവേചനം

ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ ആവശ്യമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തുന്നു, തുടർന്ന് രൂപംഈ പദപ്രയോഗം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: x 2 + 16x - 612 = 0. ഇതിനർത്ഥം, മുമ്പ് വ്യക്തമാക്കിയ സ്റ്റാൻഡേർഡിന് അനുയോജ്യമായ രൂപത്തിൽ ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലഭിച്ചു എന്നാണ്, ഇവിടെ a=1, b=16, c=-612.

വിവേചനത്തിലൂടെ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണമാണിത്. ഇവിടെ സ്കീം അനുസരിച്ച് ആവശ്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നു: D = b 2 - 4ac. ഈ സഹായ മൂല്യം രണ്ടാം ഓർഡർ സമവാക്യത്തിൽ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് സാധ്യമാക്കുന്നു മാത്രമല്ല, അത് സംഖ്യ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഓപ്ഷനുകൾ. D>0 ആണെങ്കിൽ, അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്; D=0 ന് ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ട്. കേസിൽ ഡി<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

വേരുകളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ സൂത്രവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചും

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, വിവേചനം ഇതാണ്: 256 - 4(-612) = 2704. ഇത് ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരമുണ്ടെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ, താഴെയുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം തുടരണം. വേരുകൾ കണക്കാക്കാൻ ഇത് നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

ഇതിനർത്ഥം അവതരിപ്പിച്ച സാഹചര്യത്തിൽ: x 1 =18, x 2 =-34. ഈ ധർമ്മസങ്കടത്തിലെ രണ്ടാമത്തെ ഓപ്ഷൻ ഒരു പരിഹാരമാകില്ല, കാരണം ഭൂമിയുടെ പ്ലോട്ടിന്റെ വലുപ്പം നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളിൽ അളക്കാൻ കഴിയില്ല, അതായത് x (അതായത്, പ്ലോട്ടിന്റെ വീതി) 18 മീ. ഇവിടെ നിന്ന് ഞങ്ങൾ നീളം കണക്കാക്കുന്നു: 18+16=34, ചുറ്റളവ് 2(34+ 18) = 104 (m 2).

ഉദാഹരണങ്ങളും ചുമതലകളും

ഞങ്ങൾ ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പഠനം തുടരുന്നു. ഉദാഹരണങ്ങളും അവയിൽ പലതിന്റെയും വിശദമായ പരിഹാരവും ചുവടെ നൽകും.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

നമുക്ക് എല്ലാം സമത്വത്തിന്റെ ഇടതുവശത്തേക്ക് മാറ്റാം, ഒരു പരിവർത്തനം നടത്താം, അതായത്, നമുക്ക് സമവാക്യത്തിന്റെ രൂപം ലഭിക്കും, അതിനെ സാധാരണയായി സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഒന്ന് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുക.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

സമാനമായവ ചേർത്തുകൊണ്ട്, ഞങ്ങൾ വിവേചനം നിർണ്ണയിക്കുന്നു: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. അതിനാൽ നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകും. മുകളിലുള്ള ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ അവയെ കണക്കാക്കുന്നു, അതായത് അവയിൽ ആദ്യത്തേത് 4/3 നും രണ്ടാമത്തേത് 1 നും തുല്യമായിരിക്കും.

2) ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള കടങ്കഥകൾ വെളിപ്പെടുത്തും.

ഇവിടെ x 2 - 4x + 5 = 1 വേരുകൾ ഉണ്ടോ എന്ന് നോക്കാം? സമഗ്രമായ ഉത്തരം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പോളിനോമിയലിനെ അനുബന്ധ പരിചിതമായ രൂപത്തിലേക്ക് കൊണ്ടുവരികയും വിവേചനം കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ ഉദാഹരണത്തിൽ, ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം പ്രശ്നത്തിന്റെ സാരാംശം ഇതിലില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, അതായത് യഥാർത്ഥത്തിൽ വേരുകൾ ഇല്ല എന്നാണ്.

വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം

മേൽപ്പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങളിലൂടെയും വിവേചനത്തിലൂടെയും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, രണ്ടാമത്തേതിന്റെ മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് വർഗ്ഗമൂല്യം വേർതിരിച്ചെടുക്കുമ്പോൾ. എന്നാൽ ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ വേരിയബിളുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന് നിരവധി മാർഗങ്ങളുണ്ട്. ഉദാഹരണം: വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു. 16-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഫ്രാൻസിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഒരു വ്യക്തിയുടെ പേരിലാണ് ഈ പേര് ലഭിച്ചത്, അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കഴിവുകൾക്കും കോടതിയിലെ ബന്ധങ്ങൾക്കും നന്ദി. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഛായാചിത്രം ലേഖനത്തിൽ കാണാം.

പ്രശസ്ത ഫ്രഞ്ചുകാരൻ ശ്രദ്ധിച്ച പാറ്റേൺ ഇപ്രകാരമായിരുന്നു. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകളുടെ ആകെത്തുക -p=b/a ന് തുല്യമാണെന്നും അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം q=c/a ന് തുല്യമാണെന്നും അദ്ദേഹം തെളിയിച്ചു.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് നിർദ്ദിഷ്ട ജോലികൾ നോക്കാം.

3x2 + 21x - 54 = 0

ലാളിത്യത്തിനായി, നമുക്ക് പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

x 2 + 7x - 18 = 0

വിയറ്റ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, ഇത് നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ നൽകും: വേരുകളുടെ ആകെത്തുക -7 ആണ്, അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം -18 ആണ്. സമവാക്യത്തിന്റെ വേരുകൾ -9 ഉം 2 ഉം ആണെന്ന് ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കും. ഒരു പരിശോധന നടത്തിയ ശേഷം, വേരിയബിളുകളുടെ ഈ മൂല്യങ്ങൾ എക്സ്പ്രഷനുമായി ശരിക്കും യോജിക്കുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ഉറപ്പാക്കും.

ഒരു പരാബോളയുടെ ഗ്രാഫും സമവാക്യവും

ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്ഷനും ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളും തമ്മിൽ അടുത്ത ബന്ധമുണ്ട്. ഇതിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നേരത്തെ തന്നെ നൽകിയിട്ടുണ്ട്. ഇനി കുറച്ചുകൂടി വിശദമായി ചില ഗണിത പസിലുകൾ നോക്കാം. വിവരിച്ച തരത്തിലുള്ള ഏത് സമവാക്യവും ദൃശ്യപരമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം. ഒരു ഗ്രാഫിന്റെ രൂപത്തിൽ വരച്ച അത്തരം ആശ്രിതത്വത്തെ പരവലയം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിന്റെ വിവിധ തരങ്ങൾ ചുവടെയുള്ള ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഏതൊരു പരവലയത്തിനും ഒരു ശീർഷകമുണ്ട്, അതായത്, അതിന്റെ ശാഖകൾ പുറത്തുവരുന്ന ഒരു ബിന്ദു. a>0 ആണെങ്കിൽ, അവ അനന്തതയിലേക്ക് ഉയരുന്നു, എപ്പോൾ a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ചതുരാകൃതിയിലുള്ളവ ഉൾപ്പെടെ ഏത് സമവാക്യങ്ങളും പരിഹരിക്കാൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വിഷ്വൽ പ്രാതിനിധ്യം സഹായിക്കുന്നു. ഈ രീതിയെ ഗ്രാഫിക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. കൂടാതെ x വേരിയബിളിന്റെ മൂല്യം ഗ്രാഫ് ലൈൻ 0x മായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകളിലെ abscissa കോർഡിനേറ്റ് ആണ്. x 0 = -b / 2a നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ശീർഷത്തിന്റെ കോർഡിനേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താനാകും. കൂടാതെ, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യം ഫംഗ്ഷന്റെ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് y 0 കണ്ടെത്താനാകും, അതായത്, y-അക്ഷത്തിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന പരാബോള ശീർഷത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ കോർഡിനേറ്റ്.

abscissa അച്ചുതണ്ടുമായി പരവലയത്തിന്റെ ശാഖകളുടെ വിഭജനം

ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരത്തിന് ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്, പക്ഷേ പൊതുവായ പാറ്റേണുകളും ഉണ്ട്. നമുക്ക് അവ പരിഗണിക്കാം. y 0 നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുത്താൽ മാത്രമേ a>0 എന്നതിനായുള്ള 0x അക്ഷത്തോടുകൂടിയ ഗ്രാഫിന്റെ വിഭജനം സാധ്യമാകൂ എന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഒപ്പം എ<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. അല്ലെങ്കിൽ ഡി<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

ഒരു പരവലയത്തിന്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന്, നിങ്ങൾക്ക് വേരുകൾ നിർണ്ണയിക്കാനും കഴിയും. വിപരീതവും ശരിയാണ്. അതായത്, ഒരു ക്വാഡ്രാറ്റിക് ഫംഗ്‌ഷന്റെ വിഷ്വൽ പ്രാതിനിധ്യം ലഭിക്കുന്നത് എളുപ്പമല്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് എക്‌സ്‌പ്രഷന്റെ വലത് വശം 0 ലേക്ക് തുല്യമാക്കുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യാം. 0x അച്ചുതണ്ടുമായി വിഭജിക്കുന്ന പോയിന്റുകൾ അറിയുന്നത്, പ്ലോട്ട് ചെയ്യാൻ എളുപ്പമാണ്.

ചരിത്രത്തിൽ നിന്ന്

ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വേരിയബിൾ അടങ്ങിയ സമവാക്യങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, പഴയ കാലത്ത്, ഗണിതശാസ്ത്ര കണക്കുകൂട്ടലുകൾ മാത്രമല്ല, ജ്യാമിതീയ രൂപങ്ങളുടെ വിസ്തീർണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്തു. ഭൗതികശാസ്ത്രം, ജ്യോതിശാസ്ത്രം എന്നീ മേഖലകളിലെ മഹത്തായ കണ്ടെത്തലുകൾക്കും ജ്യോതിഷ പ്രവചനങ്ങൾ നടത്തുന്നതിനും പുരാതന ആളുകൾക്ക് അത്തരം കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമായിരുന്നു.

ആധുനിക ശാസ്ത്രജ്ഞർ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് പോലെ, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങൾ ആദ്യമായി പരിഹരിച്ചവരിൽ ബാബിലോണിലെ നിവാസികളായിരുന്നു. നമ്മുടെ യുഗത്തിന്റെ ആവിർഭാവത്തിന് നാല് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുമ്പാണ് ഇത് സംഭവിച്ചത്. തീർച്ചയായും, അവരുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നിലവിൽ അംഗീകരിക്കപ്പെട്ടതിൽ നിന്ന് അടിസ്ഥാനപരമായി വ്യത്യസ്തവും കൂടുതൽ പ്രാകൃതവും ആയിത്തീർന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, മെസൊപ്പൊട്ടേമിയൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ അസ്തിത്വത്തെക്കുറിച്ച് അറിയില്ലായിരുന്നു. നമ്മുടെ കാലത്തെ ഏതൊരു വിദ്യാർത്ഥിക്കും അറിയാവുന്ന മറ്റ് സൂക്ഷ്മതകളും അവർക്ക് അപരിചിതമായിരുന്നു.

ഒരുപക്ഷേ, ബാബിലോണിലെ ശാസ്ത്രജ്ഞരേക്കാൾ നേരത്തെ തന്നെ, ഇന്ത്യയിൽ നിന്നുള്ള ബൗധയാമ എന്ന മുനി, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ പരിഹാരം സ്വീകരിച്ചു. ക്രിസ്തുവിന്റെ യുഗത്തിന്റെ ആവിർഭാവത്തിന് ഏകദേശം എട്ട് നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് മുമ്പാണ് ഇത് സംഭവിച്ചത്. ശരിയാണ്, അദ്ദേഹം നൽകിയ രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ സമവാക്യങ്ങൾ, പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ, ഏറ്റവും ലളിതമായിരുന്നു. അദ്ദേഹത്തെ കൂടാതെ, ചൈനീസ് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും പഴയ കാലത്ത് സമാനമായ ചോദ്യങ്ങളിൽ താൽപ്പര്യമുള്ളവരായിരുന്നു. യൂറോപ്പിൽ, പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ മാത്രമാണ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങിയത്, എന്നാൽ പിന്നീട് ന്യൂട്ടൺ, ഡെസ്കാർട്ടസ് തുടങ്ങിയ മഹാനായ ശാസ്ത്രജ്ഞർ അവരുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ ഉപയോഗിച്ചു.