ലോഗരിതം ലളിതമായ വിശദീകരണം. ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ

എന്താണ് ലോഗരിതം?

ശ്രദ്ധ!
അധികമുണ്ട്
പ്രത്യേക സെക്ഷൻ 555 ലെ മെറ്റീരിയലുകൾ.
വളരെ "വളരെയല്ല..." ഉള്ളവർക്ക് വേണ്ടി
കൂടാതെ "വളരെയധികം...")

എന്താണ് ലോഗരിതം? ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം? ഈ ചോദ്യങ്ങൾ പല ബിരുദധാരികളെയും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കുന്നു. പരമ്പരാഗതമായി, ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതും ഭയപ്പെടുത്തുന്നതുമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. പ്രത്യേകിച്ച് ലോഗരിതം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ.

ഇത് തികച്ചും സത്യമല്ല. തികച്ചും! എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലേ? നന്നായി. ഇപ്പോൾ, വെറും 10-20 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾ:

1. നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും എന്താണ് ഒരു ലോഗരിതം.

2. ഒരു ക്ലാസ് മുഴുവൻ പരിഹരിക്കാൻ പഠിക്കുക എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ സമവാക്യങ്ങൾ. നിങ്ങൾ അവരെക്കുറിച്ച് ഒന്നും കേട്ടിട്ടില്ലെങ്കിൽ പോലും.

3. ലളിതമായ ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ പഠിക്കുക.

മാത്രമല്ല, ഇതിനായി നിങ്ങൾ ഗുണനപ്പട്ടികയും ഒരു സംഖ്യയെ എങ്ങനെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്താമെന്നും മാത്രം അറിഞ്ഞാൽ മതിയാകും...

നിങ്ങൾക്ക് സംശയമുണ്ടെന്ന് എനിക്ക് തോന്നുന്നു... ശരി, സമയം അടയാളപ്പെടുത്തൂ! പോകൂ!

ആദ്യം, നിങ്ങളുടെ തലയിൽ ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

നിങ്ങൾക്ക് ഈ സൈറ്റ് ഇഷ്ടമായെങ്കിൽ...

വഴിയിൽ, നിങ്ങൾക്കായി എനിക്ക് കുറച്ച് കൂടുതൽ രസകരമായ സൈറ്റുകൾ ഉണ്ട്.)

നിങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാനും നിങ്ങളുടെ ലെവൽ കണ്ടെത്താനും കഴിയും. തൽക്ഷണ സ്ഥിരീകരണത്തോടെയുള്ള പരിശോധന. നമുക്ക് പഠിക്കാം - താൽപ്പര്യത്തോടെ!)

ഫംഗ്ഷനുകളും ഡെറിവേറ്റീവുകളും നിങ്ങൾക്ക് പരിചയപ്പെടാം.

നിർദ്ദേശം

നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുക. എക്സ്പ്രഷൻ 10 ന്റെ ലോഗരിതം ഉപയോഗിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, അതിന്റെ നൊട്ടേഷൻ ചുരുക്കി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: lg b എന്നത് ദശാംശ ലോഗരിതം ആണ്. ലോഗരിതത്തിന് e എന്ന സംഖ്യ അടിസ്ഥാനമാണെങ്കിൽ, പദപ്രയോഗം എഴുതുക: ln b - സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം. ബി എന്ന സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ അടിസ്ഥാന സംഖ്യ ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിയാണ് ഏതിന്റെയും ഫലം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാം.

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അവയെ ഒന്നൊന്നായി വേർതിരിച്ച് ഫലങ്ങൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട്: (u+v)" = u"+v";

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ആദ്യത്തെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെ രണ്ടാമത്തേത് കൊണ്ട് ഗുണിക്കുകയും രണ്ടാമത്തെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആദ്യത്തെ ഫംഗ്‌ഷനാൽ ഗുണിച്ചാൽ ചേർക്കുകയും വേണം: (u*v)" = u"*v +v"*u;

രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഡിവിഡൻഡിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഗുണനഫലത്തിൽ നിന്ന് ഡിവിഡന്റ് ഫംഗ്‌ഷനാൽ ഗുണിച്ചാൽ ഡിവിഡന്റിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ ഗുണനത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ചതുരാകൃതിയിലുള്ള ഡിവിസർ ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ചാണ് ഇതെല്ലാം. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, ആന്തരിക പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ബാഹ്യമായതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഗുണിക്കേണ്ടതുണ്ട്. y=u(v(x)), തുടർന്ന് y"(x)=y"(u)*v"(x) എന്ന് അനുവദിക്കുക.

മുകളിൽ ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് മിക്കവാറും ഏത് പ്രവർത്തനത്തെയും വേർതിരിക്കാനാകും. അതിനാൽ നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുന്നതിലും പ്രശ്നങ്ങളുണ്ട്. y=e^(x^2+6x+5) ഫംഗ്‌ഷൻ നൽകട്ടെ, നിങ്ങൾ x=1 എന്ന പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
1) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) തന്നിരിക്കുന്ന പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക y"(1)=8*e^0=8

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വീഡിയോ

സഹായകരമായ ഉപദേശം

പ്രാഥമിക ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക പഠിക്കുക. ഇത് ഗണ്യമായി സമയം ലാഭിക്കും.

ഉറവിടങ്ങൾ:

• സ്ഥിരാങ്കത്തിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

അതിനാൽ, യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യവും യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എന്താണ്? അജ്ഞാത വേരിയബിൾ വർഗ്ഗമൂല ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലാണെങ്കിൽ, സമവാക്യം യുക്തിരഹിതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

നിർദ്ദേശം

അത്തരം സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രധാന രീതി ഇരുവശവും നിർമ്മിക്കുന്ന രീതിയാണ് സമവാക്യങ്ങൾഒരു ചതുരത്തിലേക്ക്. എന്നിരുന്നാലും. ഇത് സ്വാഭാവികമാണ്, നിങ്ങൾ ആദ്യം ചെയ്യേണ്ടത് അടയാളം ഒഴിവാക്കുക എന്നതാണ്. ഈ രീതി സാങ്കേതികമായി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതല്ല, പക്ഷേ ചിലപ്പോൾ ഇത് കുഴപ്പത്തിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, സമവാക്യം v(2x-5)=v(4x-7) ആണ്. ഇരുവശവും സമചതുരമാക്കുന്നതിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് 2x-5=4x-7 ലഭിക്കും. അത്തരമൊരു സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല; x=1. എന്നാൽ നമ്പർ 1 നൽകില്ല സമവാക്യങ്ങൾ. എന്തുകൊണ്ട്? x ന്റെ മൂല്യത്തിന് പകരം സമവാക്യത്തിലേക്ക് ഒരെണ്ണം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. വലത്, ഇടത് വശങ്ങളിൽ അർത്ഥമില്ലാത്ത പദപ്രയോഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കും, അതായത്. ഒരു സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിന് ഈ മൂല്യം സാധുതയുള്ളതല്ല. അതിനാൽ, 1 ഒരു ബാഹ്യമൂലമാണ്, അതിനാൽ ഈ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല.

അതിനാൽ, ഒരു യുക്തിരഹിതമായ സമവാക്യം അതിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും ചതുരമാക്കുന്ന രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കുന്നു. സമവാക്യം പരിഹരിച്ച ശേഷം, പുറമേയുള്ള വേരുകൾ മുറിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, കണ്ടെത്തിയ വേരുകൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക.

മറ്റൊന്ന് പരിഗണിക്കുക.
2х+vx-3=0
തീർച്ചയായും, മുമ്പത്തെ അതേ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. സംയുക്തങ്ങൾ നീക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ, സ്ക്വയർ റൂട്ട് ഇല്ലാത്ത, വലത് വശത്തേക്ക്, തുടർന്ന് സ്ക്വയറിംഗ് രീതി ഉപയോഗിക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന യുക്തിസഹമായ സമവാക്യവും വേരുകളും പരിഹരിക്കുക. എന്നാൽ മറ്റൊന്ന്, കൂടുതൽ സുന്ദരമായ ഒന്ന്. ഒരു പുതിയ വേരിയബിൾ നൽകുക; vх=y. അതനുസരിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് 2y2+y-3=0 എന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു സമവാക്യം ലഭിക്കും. അതായത്, പതിവ് ക്വാഡ്രാറ്റിക് സമവാക്യം. അതിന്റെ വേരുകൾ കണ്ടെത്തുക; y1=1, y2=-3/2. അടുത്തതായി, രണ്ടെണ്ണം പരിഹരിക്കുക സമവാക്യങ്ങൾ vх=1; vх=-3/2. രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യത്തിന് വേരുകളില്ല; ആദ്യത്തേതിൽ നിന്ന് നമ്മൾ x=1 എന്ന് കണ്ടെത്തുന്നു. വേരുകൾ പരിശോധിക്കാൻ മറക്കരുത്.

ഐഡന്റിറ്റികൾ പരിഹരിക്കുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിശ്ചിത ലക്ഷ്യം കൈവരിക്കുന്നതുവരെ സമാനമായ പരിവർത്തനങ്ങൾ നടത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. അങ്ങനെ, ലളിതമായ ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ, ഉന്നയിച്ച പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെടും.

നിങ്ങൾക്ക് ആവശ്യമായി വരും

• - പേപ്പർ;
• - പേന.

നിർദ്ദേശം

അത്തരം പരിവർത്തനങ്ങളിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് ബീജഗണിത സംക്ഷിപ്ത ഗുണനങ്ങളാണ് (തുകയുടെ വർഗ്ഗം (വ്യത്യാസം), വർഗ്ഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം, തുക (വ്യത്യാസം), തുകയുടെ ക്യൂബ് (വ്യത്യാസം)). കൂടാതെ, നിരവധി ത്രികോണമിതി സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്, അവ അടിസ്ഥാനപരമായി ഒരേ ഐഡന്റിറ്റികളാണ്.

വാസ്തവത്തിൽ, രണ്ട് പദങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വർഗ്ഗം, ആദ്യത്തേതിന്റെ ഗുണനത്തിന്റെ ഇരട്ടി പ്ലസ്, രണ്ടാമത്തേതിന്റെ ഇരട്ടി, രണ്ടാമത്തേതിന്റെ വർഗ്ഗം, അതായത് (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

രണ്ടും ലളിതമാക്കുക

പരിഹാരത്തിന്റെ പൊതു തത്വങ്ങൾ

ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തെക്കുറിച്ചോ ഉയർന്ന ഗണിതത്തെക്കുറിച്ചോ ഉള്ള ഒരു പാഠപുസ്തകത്തിൽ നിന്ന് ഒരു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഘടകം എന്താണെന്ന് ആവർത്തിക്കുക. അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, പരിഹാരം നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഉണ്ട്, അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഇന്റഗ്രാൻഡ് നൽകും. ഈ പ്രവർത്തനംഒരു ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ തത്വമനുസരിച്ച്, അടിസ്ഥാന ഇന്റഗ്രലുകൾ നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു.
ഏത് പട്ടിക ഇന്റഗ്രലുകൾക്ക് അനുയോജ്യമാണെന്ന് ഇന്റഗ്രാൻഡിന്റെ രൂപത്തിൽ നിർണ്ണയിക്കുക ഈ സാഹചര്യത്തിൽ. ഇത് ഉടനടി നിർണ്ണയിക്കാൻ എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. പലപ്പോഴും, സംയോജനം ലളിതമാക്കുന്നതിന് നിരവധി പരിവർത്തനങ്ങൾക്ക് ശേഷം മാത്രമേ പട്ടിക രൂപം ശ്രദ്ധേയമാകൂ.

വേരിയബിൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ രീതി

ഇന്റഗ്രാൻഡ് ആണെങ്കിൽ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനം, ആരുടെ ആർഗ്യുമെന്റിൽ ചില ബഹുപദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് വേരിയബിൾ റീപ്ലേസ്‌മെന്റ് രീതി ഉപയോഗിച്ച് ശ്രമിക്കുക. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഇന്റഗ്രാൻഡിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റിലെ പോളിനോമിയലിനെ കുറച്ച് പുതിയ വേരിയബിൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. പുതിയതും പഴയതുമായ വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സംയോജനത്തിന്റെ പുതിയ പരിധികൾ നിർണ്ണയിക്കുക. ഈ പദപ്രയോഗം വ്യത്യസ്തമാക്കുന്നതിലൂടെ, എന്നതിലെ പുതിയ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക. അങ്ങനെ, നിങ്ങൾക്ക് മുമ്പത്തെ അവിഭാജ്യത്തിന്റെ ഒരു പുതിയ രൂപം ലഭിക്കും, ചില ടാബ്ലറുകളോട് യോജിക്കുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ തരത്തിലുള്ള ഇന്റഗ്രലുകൾ പരിഹരിക്കുന്നു

ഇന്റഗ്രൽ രണ്ടാമത്തെ തരത്തിന്റെ ഒരു അവിഭാജ്യമാണെങ്കിൽ, ഇന്റഗ്രാൻഡിന്റെ ഒരു വെക്റ്റർ രൂപമാണെങ്കിൽ, ഈ ഇന്റഗ്രലുകളിൽ നിന്ന് സ്കെയിലറുകളിലേക്ക് മാറുന്നതിനുള്ള നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു നിയമമാണ് ഓസ്ട്രോഗ്രാഡ്സ്കി-ഗൗസ് ബന്ധം. ഒരു നിശ്ചിത വെക്റ്റർ ഫംഗ്‌ഷന്റെ റോട്ടർ ഫ്‌ളക്‌സിൽ നിന്ന് തന്നിരിക്കുന്ന വെക്റ്റർ ഫീൽഡിന്റെ വ്യതിചലനത്തിൽ നിന്ന് ട്രിപ്പിൾ ഇന്റഗ്രലിലേക്ക് നീങ്ങാൻ ഈ നിയമം നമ്മെ അനുവദിക്കുന്നു.

സംയോജന പരിധികളുടെ പകരക്കാരൻ

ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തിയ ശേഷം, സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ആദ്യം, ആന്റിഡെറിവേറ്റീവിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഉയർന്ന പരിധിയുടെ മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. കുറച്ച് നമ്പർ കിട്ടും. അടുത്തതായി, തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സംഖ്യയിൽ നിന്ന് താഴത്തെ പരിധിയിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച മറ്റൊരു സംഖ്യ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് കുറയ്ക്കുക. സംയോജനത്തിന്റെ പരിമിതികളിലൊന്ന് അനന്തമാണെങ്കിൽ, അതിനെ ആന്റിഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, പരിധിയിലേക്ക് പോയി എക്സ്പ്രഷൻ എന്തിലേക്കാണ് നയിക്കുന്നതെന്ന് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ഇന്റഗ്രൽ ദ്വിമാനമോ ത്രിമാനമോ ആണെങ്കിൽ, അവിഭാജ്യത്തെ എങ്ങനെ വിലയിരുത്താമെന്ന് മനസിലാക്കാൻ നിങ്ങൾ ഏകീകരണത്തിന്റെ പരിധികളെ ജ്യാമിതീയമായി പ്രതിനിധീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. തീർച്ചയായും, ഒരു ത്രിമാന ഇന്റഗ്രലിന്റെ കാര്യത്തിൽ, സംയോജനത്തിന്റെ പരിധികൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്ന വോളിയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന മുഴുവൻ പ്ലെയ്‌നുകളായിരിക്കാം.

നിങ്ങൾക്കറിയാവുന്നതുപോലെ, പദപ്രയോഗങ്ങളെ ശക്തികൾ കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ, അവയുടെ ഘാതം എപ്പോഴും കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു (a b *a c = a b+c). ഈ ഗണിതശാസ്ത്ര നിയമം ആർക്കിമിഡീസ് ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്, പിന്നീട് എട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വിരാസെൻ പൂർണ്ണസംഖ്യകളുടെ ഒരു പട്ടിക സൃഷ്ടിച്ചു. ലോഗരിതം കൂടുതൽ കണ്ടുപിടിക്കാൻ സഹായിച്ചത് അവരാണ്. ഈ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് ലളിതമായ സങ്കലനത്തിലൂടെ സങ്കീർണ്ണമായ ഗുണനം ലളിതമാക്കേണ്ട എല്ലായിടത്തും കണ്ടെത്താനാകും. ഈ ലേഖനം വായിക്കാൻ നിങ്ങൾ 10 മിനിറ്റ് ചെലവഴിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ലോഗരിതം എന്താണെന്നും അവയുമായി എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കാമെന്നും ഞങ്ങൾ നിങ്ങളോട് വിശദീകരിക്കും. ലളിതവും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതുമായ ഭാഷയിൽ.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ നിർവ്വചനം

ഒരു ലോഗരിതം എന്നത് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു പദപ്രയോഗമാണ്: ലോഗ് a b=c, അതായത്, ഏതെങ്കിലും നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ (അതായത്, ഏതെങ്കിലും പോസിറ്റീവ്) “b” അതിന്റെ അടിസ്ഥാനമായ “a” വരെയുള്ള ലോഗരിതം “c” ആയി കണക്കാക്കുന്നു ആത്യന്തികമായി "b" മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന് "a" അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തണം. ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലോഗരിതം വിശകലനം ചെയ്യാം, ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ലോഗ് ഉണ്ടെന്ന് പറയാം 2 8. ഉത്തരം എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഇത് വളരെ ലളിതമാണ്, 2 മുതൽ ആവശ്യമായ പവർ വരെ നിങ്ങൾക്ക് 8 ലഭിക്കുന്ന ഒരു പവർ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. നിങ്ങളുടെ തലയിൽ ചില കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തിയ ശേഷം, ഞങ്ങൾക്ക് നമ്പർ 3 ലഭിക്കും! ശരിയാണ്, കാരണം 2 മുതൽ 3 ന്റെ ശക്തിക്ക് ഉത്തരത്തിൽ 8 എന്ന സംഖ്യ നൽകുന്നു.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

പല വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും, ഈ വിഷയം സങ്കീർണ്ണവും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയാത്തതുമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, പക്ഷേ വാസ്തവത്തിൽ ലോഗരിതം അത്ര ഭയാനകമല്ല, പ്രധാന കാര്യം അവയുടെ പൊതുവായ അർത്ഥം മനസിലാക്കുകയും അവയുടെ ഗുണങ്ങളും ചില നിയമങ്ങളും ഓർമ്മിക്കുകയും ചെയ്യുക എന്നതാണ്. മൂന്ന് ഉണ്ട് വ്യക്തിഗത സ്പീഷീസ്ലോഗരിതമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ:

1. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം ln a, ഇവിടെ അടിസ്ഥാനം യൂലർ നമ്പറാണ് (e = 2.7).
2. ദശാംശം a, ഇവിടെ അടിസ്ഥാനം 10 ആണ്.
3. ബേസ് a>1-ലേക്കുള്ള ഏത് സംഖ്യ bയുടെയും ലോഗരിതം.

ലോഗരിഥമിക് സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരൊറ്റ ലോഗരിതം ലഘൂകരിക്കൽ, കുറയ്ക്കൽ, തുടർന്നുള്ള കുറയ്ക്കൽ എന്നിവ ഉൾപ്പെടെ അവ ഓരോന്നും ഒരു സാധാരണ രീതിയിലാണ് പരിഹരിക്കുന്നത്. ലോഗരിതങ്ങളുടെ ശരിയായ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കുന്നതിന്, അവ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ അവയുടെ ഗുണങ്ങളും പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ക്രമവും നിങ്ങൾ ഓർക്കണം.

നിയമങ്ങളും ചില നിയന്ത്രണങ്ങളും

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ, ഒരു സിദ്ധാന്തമായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട നിരവധി നിയമങ്ങൾ-നിയന്ത്രണങ്ങളുണ്ട്, അതായത്, അവ ചർച്ചയ്ക്ക് വിധേയമല്ല, സത്യമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, സംഖ്യകളെ പൂജ്യം കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നത് അസാധ്യമാണ്, കൂടാതെ നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളുടെ ഇരട്ട റൂട്ട് വേർതിരിച്ചെടുക്കുന്നതും അസാധ്യമാണ്. ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് അവരുടേതായ നിയമങ്ങളുണ്ട്, അത് പിന്തുടർന്ന് ദൈർഘ്യമേറിയതും ശേഷിയുള്ളതുമായ ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പോലും നിങ്ങൾക്ക് എളുപ്പത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കാൻ കഴിയും:

• അടിസ്ഥാനം "a" എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം, കൂടാതെ 1 ന് തുല്യമായിരിക്കരുത്, അല്ലാത്തപക്ഷം പദപ്രയോഗത്തിന് അതിന്റെ അർത്ഥം നഷ്ടപ്പെടും, കാരണം "1" ഉം "0" ഉം എല്ലായ്പ്പോഴും അവയുടെ മൂല്യങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്;
• a > 0 ആണെങ്കിൽ a b >0, "c" പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കണം.

ലോഗരിതം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാം?

ഉദാഹരണത്തിന്, 10 x = 100 എന്ന സമവാക്യത്തിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടെത്താനാണ് ചുമതല നൽകിയിരിക്കുന്നത്. ഇത് വളരെ എളുപ്പമാണ്, നമുക്ക് 100 ലഭിക്കുന്ന പത്ത് എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തി നിങ്ങൾ ഒരു പവർ തിരഞ്ഞെടുക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് തീർച്ചയായും 10 2 = ആണ്. 100.

ഇനി നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗത്തെ ലോഗരിഥമിക് രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം. നമുക്ക് ലോഗ് 10 100 = 2 ലഭിക്കുന്നു. ലോഗരിതം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു നിശ്ചിത നമ്പർ ലഭിക്കുന്നതിന് ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം നൽകുന്നതിന് ആവശ്യമായ ശക്തി കണ്ടെത്താൻ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങളും പ്രായോഗികമായി ഒത്തുചേരുന്നു.

ഒരു അജ്ഞാത ബിരുദത്തിന്റെ മൂല്യം കൃത്യമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് എങ്ങനെ പ്രവർത്തിക്കണമെന്ന് നിങ്ങൾ പഠിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് ഗുണനപ്പട്ടികയെക്കുറിച്ചുള്ള സാങ്കേതിക മനസ്സും അറിവും ഉണ്ടെങ്കിൽ ചില എക്‌സ്‌പോണന്റുകൾ അവബോധപൂർവ്വം ഊഹിക്കാൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും വേണ്ടി വലിയ മൂല്യങ്ങൾനിങ്ങൾക്ക് ഡിഗ്രികളുടെ ഒരു ടേബിൾ ആവശ്യമാണ്. സങ്കീർണ്ണമായ ഗണിതശാസ്ത്ര വിഷയങ്ങളെക്കുറിച്ച് ഒന്നുമറിയാത്തവർക്ക് പോലും ഇത് ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും. ഇടത് നിരയിൽ സംഖ്യകൾ (അടിസ്ഥാനം a) അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, സംഖ്യകളുടെ മുകളിലെ വരി a എന്ന സംഖ്യ ഉയർത്തിയ പവർ c യുടെ മൂല്യമാണ്. കവലയിൽ, സെല്ലുകളിൽ ഉത്തരമായ സംഖ്യ മൂല്യങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു (a c =b). ഉദാഹരണത്തിന്, 10 എന്ന നമ്പറുള്ള ആദ്യത്തെ സെല്ലും ചതുരവും എടുക്കാം, നമുക്ക് മൂല്യം 100 ലഭിക്കും, അത് നമ്മുടെ രണ്ട് സെല്ലുകളുടെ കവലയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. എല്ലാം വളരെ ലളിതവും എളുപ്പവുമാണ്, ഏറ്റവും യഥാർത്ഥ മാനവികവാദി പോലും മനസ്സിലാക്കും!

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ചില വ്യവസ്ഥകളിൽ എക്സ്പോണന്റ് ലോഗരിതം ആണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അതിനാൽ, ഏത് ഗണിത സംഖ്യാ പദപ്രയോഗങ്ങളും ഒരു ലോഗരിഥമിക് തുല്യതയായി എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്, 3 4 =81 എന്നത് നാലിന് തുല്യമായ 81 ന്റെ അടിസ്ഥാന 3 ലോഗരിതം ആയി എഴുതാം (ലോഗ് 3 81 = 4). നെഗറ്റീവ് ശക്തികൾക്ക് നിയമങ്ങൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്: 2 -5 = 1/32 ഞങ്ങൾ ഒരു ലോഗരിതം ആയി എഴുതുന്നു, നമുക്ക് ലോഗ് 2 (1/32) = -5 ലഭിക്കും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും ആകർഷകമായ വിഭാഗങ്ങളിലൊന്നാണ് "ലോഗരിതം" എന്ന വിഷയം. ചുവടെയുള്ള സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും അവയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ പഠിച്ചതിന് ശേഷം ഞങ്ങൾ നോക്കും. അസമത്വങ്ങൾ എങ്ങനെയാണെന്നും അവയെ സമവാക്യങ്ങളിൽ നിന്ന് എങ്ങനെ വേർതിരിച്ചറിയാമെന്നും നോക്കാം.

ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോമിന്റെ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു: ലോഗ് 2 (x-1) > 3 - ഇതാണ് ലോഗരിഥമിക് അസമത്വം, "x" എന്ന അജ്ഞാത മൂല്യം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലായതിനാൽ. കൂടാതെ പദപ്രയോഗത്തിൽ രണ്ട് അളവുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു: ആവശ്യമുള്ള സംഖ്യയുടെ അടിസ്ഥാനം രണ്ടിലേക്കുള്ള ലോഗരിതം മൂന്നാമത്തേതിനേക്കാൾ വലുതാണ്.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട വ്യത്യാസം, ലോഗരിതം ഉള്ള സമവാക്യങ്ങൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം 2 x = √9) ഉത്തരത്തിൽ ഒന്നോ അതിലധികമോ നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അതേസമയം അസമത്വം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, രണ്ട് സ്വീകാര്യമായ ശ്രേണിയും ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ തകർത്തുകൊണ്ട് മൂല്യങ്ങളും പോയിന്റുകളും നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. അനന്തരഫലമായി, ഉത്തരം ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഉത്തരത്തിലെന്നപോലെ വ്യക്തിഗത സംഖ്യകളുടെ ഒരു ലളിതമായ ഗണമല്ല, മറിച്ച് തുടർച്ചയായ ശ്രേണി അല്ലെങ്കിൽ സംഖ്യകളുടെ കൂട്ടമാണ്.

ലോഗരിതം സംബന്ധിച്ച അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

ലോഗരിതം മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രാകൃതമായ ജോലികൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അതിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ അറിയാൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ അസമത്വങ്ങൾ വരുമ്പോൾ, ഒന്നാമതായി, ലോഗരിതത്തിന്റെ എല്ലാ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളും വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കുകയും പ്രായോഗികമായി പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. സമവാക്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഞങ്ങൾ പിന്നീട് നോക്കും; ആദ്യം ഓരോ പ്രോപ്പർട്ടിയും കൂടുതൽ വിശദമായി നോക്കാം.

1. പ്രധാന ഐഡന്റിറ്റി ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: a logaB =B. a 0-നേക്കാൾ വലുതും ഒന്നിന് തുല്യമല്ലാത്തതും B പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതുമായപ്പോൾ മാത്രമേ ഇത് ബാധകമാകൂ.
2. ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാം: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നിർബന്ധിത വ്യവസ്ഥ ഇതാണ്: d, s 1, s 2 > 0; a≠1. ഈ ലോഗരിഥമിക് ഫോർമുലയ്ക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരവും സഹിതം നിങ്ങൾക്ക് ഒരു തെളിവ് നൽകാം. a s 1 = f 1 ലോഗ് ചെയ്യട്ടെ, a s 2 = f 2, പിന്നെ a f1 = s 1, a f2 = s 2. നമുക്ക് s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഡിഗ്രികൾ ), തുടർന്ന് നിർവചനം അനുസരിച്ച്: ലോഗ് a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = ലോഗ് a s1 + ലോഗ് a s 2, അതാണ് തെളിയിക്കേണ്ടത്.
3. ഘടകത്തിന്റെ ലോഗരിതം ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ഒരു ഫോർമുലയുടെ രൂപത്തിലുള്ള സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോം എടുക്കുന്നു: ലോഗ് a q b n = n / q log a b.

ഈ ഫോർമുലയെ "ലോഗരിതം ഡിഗ്രിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടി" എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇത് സാധാരണ ഡിഗ്രികളുടെ ഗുണങ്ങളുമായി സാമ്യമുള്ളതാണ്, ഇത് അതിശയിക്കാനില്ല, കാരണം എല്ലാ ഗണിതശാസ്ത്രവും സ്വാഭാവിക പോസ്റ്റുലേറ്റുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. തെളിവ് നോക്കാം.

a b = t ലോഗ് ചെയ്യട്ടെ, അത് a t =b ആയി മാറുന്നു. നമ്മൾ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയാണെങ്കിൽ m: a tn = b n ;

എന്നാൽ a tn = (a q) nt/q = b n ആയതിനാൽ, a q b n = (n*t)/t ലോഗിൻ ചെയ്യുക, തുടർന്ന് a q b n = n/q ലോഗ് എ ബി ലോഗ് ചെയ്യുക. സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

പ്രശ്നങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും ഉദാഹരണങ്ങൾ

ലോഗരിതത്തിലെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ പ്രശ്നങ്ങൾ സമവാക്യങ്ങളുടെയും അസമത്വങ്ങളുടെയും ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. മിക്കവാറും എല്ലാ പ്രശ്ന പുസ്തകങ്ങളിലും അവ കാണപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്ര പരീക്ഷകളുടെ ആവശ്യമായ ഭാഗവുമാണ്. ഒരു സർവ്വകലാശാലയിൽ പ്രവേശിക്കുന്നതിനോ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രവേശന പരീക്ഷകളിൽ വിജയിക്കുന്നതിനോ, അത്തരം ജോലികൾ എങ്ങനെ ശരിയായി പരിഹരിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം.

നിർഭാഗ്യവശാൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ അജ്ഞാത മൂല്യം പരിഹരിക്കുന്നതിനും നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുമായി ഒരൊറ്റ പ്ലാനോ സ്കീമോ ഇല്ല, എന്നിരുന്നാലും, ഓരോ ഗണിത അസമത്വത്തിനും ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യത്തിനും ചില നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയും. ഒന്നാമതായി, പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ കഴിയുമോ അതോ നയിക്കാൻ കഴിയുമോ എന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തണം പൊതുവായ രൂപം. നീളമുള്ളവ ലളിതമാക്കുക ലോഗരിഥമിക് എക്സ്പ്രഷനുകൾനിങ്ങൾ അവരുടെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ ശരിയായി ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ സാധ്യമാണ്. നമുക്ക് അവരെ പെട്ടെന്ന് പരിചയപ്പെടാം.

ലോഗരിഥമിക് സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് മുന്നിൽ ഏത് തരത്തിലുള്ള ലോഗരിതം ഉണ്ടെന്ന് നിർണ്ണയിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്: ഒരു പദപ്രയോഗത്തിന്റെ ഉദാഹരണത്തിൽ സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം അല്ലെങ്കിൽ ദശാംശം അടങ്ങിയിരിക്കാം.

ഇവിടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ln100, ln1026. അടിസ്ഥാന 10 യഥാക്രമം 100, 1026 എന്നിവയ്ക്ക് തുല്യമായ അളവ് നിങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട് എന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് അവരുടെ പരിഹാരം തിളച്ചുമറിയുന്നു. പരിഹാരങ്ങൾക്കായി സ്വാഭാവിക ലോഗരിതംനിങ്ങൾ ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റികളോ അവയുടെ ഗുണങ്ങളോ പ്രയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. വിവിധ തരത്തിലുള്ള ലോഗരിതമിക് പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

ലോഗരിതം ഫോർമുലകൾ എങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കാം: ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും

അതിനാൽ, ലോഗരിതങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം.

1. ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം പ്രോപ്പർട്ടി വിപുലീകരിക്കേണ്ട ജോലികളിൽ ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയും വലിയ പ്രാധാന്യംസംഖ്യകൾ ബി ലളിതമായ ഘടകങ്ങളിലേക്ക്. ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 2 4 + ലോഗ് 2 128 = ലോഗ് 2 (4*128) = ലോഗ് 2 512. ഉത്തരം 9 ആണ്.
2. ലോഗ് 4 8 = ലോഗ് 2 2 2 3 = 3/2 ലോഗ് 2 2 = 1.5 - നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ലോഗരിതം ഡിഗ്രിയുടെ നാലാമത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച്, ഒറ്റനോട്ടത്തിൽ സങ്കീർണ്ണവും പരിഹരിക്കാനാകാത്തതുമായ ഒരു പദപ്രയോഗം പരിഹരിക്കാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിഞ്ഞു. അടിസ്ഥാനം ഫാക്‌ടറൈസ് ചെയ്‌ത് ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് എക്‌സ്‌പോണന്റ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള അസൈൻമെന്റുകൾ

പ്രവേശന പരീക്ഷകളിൽ ലോഗരിതം പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു, പ്രത്യേകിച്ച് യൂണിഫൈഡ് സ്റ്റേറ്റ് പരീക്ഷയിൽ (എല്ലാ സ്കൂൾ ബിരുദധാരികൾക്കും സംസ്ഥാന പരീക്ഷ) ലോഗരിതം പ്രശ്നങ്ങൾ ധാരാളം. സാധാരണയായി ഈ ടാസ്ക്കുകൾ ഭാഗം എയിൽ മാത്രമല്ല (ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ളത് പരീക്ഷണ ഭാഗംപരീക്ഷ), മാത്രമല്ല ഭാഗം സിയിലും (ഏറ്റവും സങ്കീർണ്ണവും വലുതുമായ ജോലികൾ). പരീക്ഷയ്ക്ക് "നാച്ചുറൽ ലോഗരിതം" എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ച് കൃത്യവും തികഞ്ഞതുമായ അറിവ് ആവശ്യമാണ്.

പ്രശ്‌നങ്ങൾക്കുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളും പരിഹാരങ്ങളും ഉദ്യോഗസ്ഥരിൽ നിന്ന് എടുക്കുന്നു ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷ ഓപ്ഷനുകൾ. അത്തരം ജോലികൾ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കപ്പെടുമെന്ന് നോക്കാം.

നൽകിയിരിക്കുന്ന ലോഗ് 2 (2x-1) = 4. പരിഹാരം:
നമുക്ക് എക്സ്പ്രഷൻ വീണ്ടും എഴുതാം, അതിനെ അൽപ്പം ലോഗ് 2 (2x-1) = 2 2 ലളിതമാക്കി, ലോഗരിതം നിർവചിച്ചാൽ നമുക്ക് 2x-1 = 2 4 ലഭിക്കും, അതിനാൽ 2x = 17; x = 8.5.

• എല്ലാ ലോഗരിതങ്ങളും ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക് കുറയ്ക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, അതിനാൽ പരിഹാരം ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളതും ആശയക്കുഴപ്പമുണ്ടാക്കുന്നതുമല്ല.
• ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എല്ലാ പദപ്രയോഗങ്ങളും പോസിറ്റീവ് ആയി സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ, ലോഗരിതത്തിന്റെ ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലുള്ള എക്‌സ്‌പോണന്റിന്റെ എക്‌സ്‌പോണന്റ് പുറത്തെടുക്കുമ്പോൾ, ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തിന് കീഴിലും അതിന്റെ അടിസ്ഥാനമായും, ലോഗരിതത്തിന് കീഴിലുള്ള പദപ്രയോഗം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

നമുക്ക് കൂടുതൽ ലളിതമായി വിശദീകരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, \(\log_(2)(8)\) എന്നത് \(8\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(2\) ഉയർത്തേണ്ട ശക്തിക്ക് തുല്യമാണ്. ഇതിൽ നിന്ന് \(\log_(2)(8)=3\) എന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:		\(\log_(5)(25)=2\)		കാരണം \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		കാരണം \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		കാരണം \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

ലോഗരിതത്തിന്റെ വാദവും അടിത്തറയും

ഏതൊരു ലോഗരിതത്തിനും ഇനിപ്പറയുന്ന "അനാട്ടമി" ഉണ്ട്:

ലോഗരിതത്തിന്റെ ആർഗ്യുമെന്റ് സാധാരണയായി അതിന്റെ തലത്തിലാണ് എഴുതുന്നത്, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനം ലോഗരിതം ചിഹ്നത്തോട് ചേർന്ന് സബ്സ്ക്രിപ്റ്റിലാണ് എഴുതുന്നത്. ഈ എൻട്രി ഇങ്ങനെ വായിക്കുന്നു: "ഇരുപത്തഞ്ചിന്റെ ലോഗരിതം മുതൽ അടിസ്ഥാന അഞ്ച് വരെ."

ലോഗരിതം എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?

ലോഗരിതം കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകേണ്ടതുണ്ട്: വാദം ലഭിക്കുന്നതിന് ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് അടിസ്ഥാനം ഉയർത്തണം?

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(4\) എന്ത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം? വ്യക്തമായും രണ്ടാമത്തേത്. അതുകൊണ്ടാണ്:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(\sqrt(5)\) ഏത് ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തണം? ഏത് ശക്തിയാണ് ഏതൊരു നമ്പർ വൺ ആക്കുന്നത്? പൂജ്യം, തീർച്ചയായും!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) ലഭിക്കുന്നതിന് എന്ത് അധികാരത്തിലേക്ക് \(\sqrt(7)\) ഉയർത്തണം? ഒന്നാമതായി, ആദ്യത്തെ ശക്തിയിലേക്കുള്ള ഏതൊരു സംഖ്യയും അതിന് തുല്യമാണ്.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) ലഭിക്കുന്നതിന് \(3\) എന്ത് അധികാരത്തിലേക്ക് ഉയർത്തണം? അതൊരു ഫ്രാക്ഷണൽ പവർ ആണെന്ന് നമുക്കറിയാം, അതായത് വർഗ്ഗമൂല്യം \(\frac(1)(2)\) ന്റെ ശക്തിയാണ്.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

ഉദാഹരണം : ലോഗരിതം കണക്കാക്കുക \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

പരിഹാരം :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		നമുക്ക് ലോഗരിതം മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്, അത് x ആയി സൂചിപ്പിക്കാം. ഇനി നമുക്ക് ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനം ഉപയോഗിക്കാം: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		എന്താണ് \(4\sqrt(2)\), \(8\) എന്നിവയെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത്? രണ്ട്, കാരണം രണ്ട് സംഖ്യകളെയും രണ്ടായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		ഇടതുവശത്ത്, ഞങ്ങൾ ഡിഗ്രി പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) കൂടാതെ \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		അടിസ്ഥാനങ്ങൾ തുല്യമാണ്, ഞങ്ങൾ സൂചകങ്ങളുടെ തുല്യതയിലേക്ക് പോകുന്നു
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		സമവാക്യത്തിന്റെ ഇരുവശങ്ങളും \(\frac(2)(5)\) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക
		തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന റൂട്ട് ലോഗരിതം മൂല്യമാണ്

ഉത്തരം : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

എന്തുകൊണ്ടാണ് ലോഗരിതം കണ്ടുപിടിച്ചത്?

ഇത് മനസ്സിലാക്കാൻ, നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം: \(3^(x)=9\). തുല്യത പ്രാവർത്തികമാക്കാൻ \(x\) പൊരുത്തപ്പെടുത്തുക. തീർച്ചയായും, \(x=2\).

ഇപ്പോൾ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക: \(3^(x)=8\).x എന്താണ് തുല്യം? അതാണ് കാര്യം.

മിടുക്കന്മാർ പറയും: "എക്സ് രണ്ടിനേക്കാൾ അല്പം കുറവാണ്." ഈ നമ്പർ കൃത്യമായി എങ്ങനെ എഴുതാം? ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, ലോഗരിതം കണ്ടുപിടിച്ചു. അദ്ദേഹത്തിന് നന്ദി, ഇവിടെ ഉത്തരം \(x=\log_(3)(8)\) എന്ന് എഴുതാം.

\(\log_(3)(8)\), ഇഷ്ടമാണെന്ന് ഊന്നിപ്പറയാൻ ഞാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു ഏതെങ്കിലും ലോഗരിതം ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്. അതെ, ഇത് അസാധാരണമായി തോന്നുന്നു, പക്ഷേ ഇത് ചെറുതാണ്. കാരണം നമുക്ക് ഇത് ഒരു ദശാംശമായി എഴുതണമെങ്കിൽ, അത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: \(1.892789260714.....\)

ഉദാഹരണം : സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക \(4^(5x-4)=10\)

പരിഹാരം :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\), \(10\) എന്നിവ ഒരേ അടിത്തറയിലേക്ക് കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയില്ല. ഒരു ലോഗരിതം ഇല്ലാതെ നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനം നമുക്ക് ഉപയോഗിക്കാം: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		നമുക്ക് സമവാക്യം ഫ്ലിപ്പുചെയ്യാം, അങ്ങനെ X ഇടതുവശത്താണ്
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		നമ്മുടെ മുമ്പിൽ. നമുക്ക് \(4\) വലത്തേക്ക് നീങ്ങാം. ലോഗരിതം ഭയപ്പെടേണ്ട, ഒരു സാധാരണ നമ്പർ പോലെ അതിനെ കൈകാര്യം ചെയ്യുക.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		സമവാക്യത്തെ 5 കൊണ്ട് ഹരിക്കുക
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		ഇതാണ് ഞങ്ങളുടെ റൂട്ട്. അതെ, ഇത് അസാധാരണമായി തോന്നുന്നു, പക്ഷേ അവർ ഉത്തരം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നില്ല.

ഉത്തരം : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ദശാംശവും സ്വാഭാവിക ലോഗരിതങ്ങളും

ഒരു ലോഗരിതം എന്നതിന്റെ നിർവചനത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതുപോലെ, അതിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഏതെങ്കിലും ആകാം പോസിറ്റീവ് നമ്പർ, യൂണിറ്റ് ഒഴികെ \((a>0, a\neq1)\). സാധ്യമായ എല്ലാ അടിസ്ഥാനങ്ങളിലും, പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്ന രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ട്, അവയ്‌ക്കൊപ്പം ലോഗരിതങ്ങൾക്കായി ഒരു പ്രത്യേക ഹ്രസ്വ നൊട്ടേഷൻ കണ്ടുപിടിച്ചു:

സ്വാഭാവിക ലോഗരിതം: യൂലർ നമ്പർ \(e\) (ഏകദേശം \(2.7182818…\) ന് തുല്യമാണ്), കൂടാതെ ലോഗരിതം \(\ln(a)\) എന്ന് എഴുതിയിരിക്കുന്ന ഒരു ലോഗരിതം.

അതാണ്, \(\ln(a)\) എന്നത് \(\log_(e)(a)\)

ഡെസിമൽ ലോഗരിതം: 10 ആധാരമായ ഒരു ലോഗരിതം \(\lg(a)\) എഴുതിയിരിക്കുന്നു.

അതാണ്, \(\lg(a)\) എന്നത് \(\log_(10)(a)\), ഇവിടെ \(a\) എന്നത് കുറച്ച് സംഖ്യയാണ്.

അടിസ്ഥാന ലോഗരിതമിക് ഐഡന്റിറ്റി

ലോഗരിതങ്ങൾക്ക് ധാരാളം ഗുണങ്ങളുണ്ട്. അവയിലൊന്നിനെ "അടിസ്ഥാന" എന്ന് വിളിക്കുന്നു ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി" കൂടാതെ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് പിന്തുടരുന്നു. ഈ ഫോർമുല എങ്ങനെ വന്നു എന്ന് നോക്കാം.

ഓർക്കാം ചെറിയ കുറിപ്പ്ലോഗരിതം നിർവചനങ്ങൾ:

\(a^(b)=c\), എങ്കിൽ \(\log_(a)(c)=b\)

അതായത്, \(b\) എന്നത് \(\log_(a)(c)\). അപ്പോൾ നമുക്ക് \(a^(b)=c\) ഫോർമുലയിൽ \(b\) എന്നതിന് പകരം \(\log_(a)(c)\) എന്ന് എഴുതാം. ഇത് \(a^(\log_(a)(c))=c\) - പ്രധാന ലോഗരിഥമിക് ഐഡന്റിറ്റി.

ലോഗരിതത്തിന്റെ മറ്റ് ഗുണങ്ങൾ നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താം. അവരുടെ സഹായത്തോടെ, നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പ്രഷനുകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ ലളിതമാക്കാനും കണക്കാക്കാനും കഴിയും, അവ നേരിട്ട് കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്.

ഉദാഹരണം : \(36^(\log_(6)(5))\) എന്ന പദപ്രയോഗത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം :

ഉത്തരം : \(25\)

ഒരു സംഖ്യയെ ലോഗരിതം ആയി എങ്ങനെ എഴുതാം?

മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഏതൊരു ലോഗരിതം ഒരു സംഖ്യ മാത്രമാണ്. വിപരീതവും ശരിയാണ്: ഏത് സംഖ്യയും ഒരു ലോഗരിതം ആയി എഴുതാം. ഉദാഹരണത്തിന്, \(\log_(2)(4)\) രണ്ടിന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്കറിയാം. അപ്പോൾ രണ്ടിന് പകരം \(\log_(2)(4)\) എന്ന് എഴുതാം.

എന്നാൽ \(\log_(3)(9)\) എന്നത് \(2\) എന്നതിന് തുല്യമാണ്, അതായത് \(2=\log_(3)(9)\) . അതുപോലെ \(\log_(5)(25)\), കൂടാതെ \(\log_(9)(81)\), മുതലായവ. അതായത്, അത് മാറുന്നു

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ ലോഗ്_(7)(49)...\)

അതിനാൽ, നമുക്ക് വേണമെങ്കിൽ, നമുക്ക് എവിടെയും ഏത് ബേസ് ഉപയോഗിച്ച് ലോഗരിതം ആയി രണ്ടെണ്ണം എഴുതാം (അത് ഒരു സമവാക്യത്തിലോ പദപ്രയോഗത്തിലോ അസമത്വത്തിലോ ആകട്ടെ) - ബേസ് സ്ക്വയർ ഒരു ആർഗ്യുമെന്റായി എഴുതാം.

ട്രിപ്പിളിന്റെ കാര്യത്തിലും ഇത് സമാനമാണ് - ഇത് \(\log_(2)(8)\), അല്ലെങ്കിൽ \(\log_(3)(27)\), അല്ലെങ്കിൽ \(\log_(4)( എന്നായി എഴുതാം. 64) \)... ഇവിടെ നമ്മൾ ക്യൂബിലെ അടിസ്ഥാനം ഒരു ആർഗ്യുമെന്റായി എഴുതുന്നു:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ ലോഗ്_(7)(343)...\)

ഒപ്പം നാലെണ്ണത്തോടൊപ്പം:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

ഒപ്പം മൈനസ് ഒന്നിനൊപ്പം:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

മൂന്നിലൊന്നിനൊപ്പം:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

\(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\) ഏത് സംഖ്യയും \(a\) ഒരു ലോഗരിതം ആയി പ്രതിനിധീകരിക്കാം

ഉദാഹരണം : പദപ്രയോഗത്തിന്റെ അർത്ഥം കണ്ടെത്തുക \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

പരിഹാരം :

ഉത്തരം : \(1\)

സമൂഹം വികസിക്കുകയും ഉൽപ്പാദനം സങ്കീർണ്ണമാവുകയും ചെയ്തപ്പോൾ ഗണിതവും വികസിച്ചു. ലളിതത്തിൽ നിന്ന് സങ്കീർണ്ണതയിലേക്കുള്ള ചലനം. സങ്കലനത്തിന്റെയും വ്യവകലനത്തിന്റെയും രീതി ഉപയോഗിച്ചുള്ള സാധാരണ അക്കൗണ്ടിംഗിൽ നിന്ന്, അവയുടെ ആവർത്തിച്ചുള്ള ആവർത്തനത്തോടെ, ഞങ്ങൾ ഗുണനത്തിന്റെയും വിഭജനത്തിന്റെയും ആശയത്തിലേക്ക് എത്തി. ഗുണനത്തിന്റെ ആവർത്തിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനം കുറയ്ക്കുന്നത് എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ എന്ന ആശയമായി മാറി. സംഖ്യകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ള ആശ്രിതത്വത്തിന്റെയും വർദ്ധനസംഖ്യയുടെയും ആദ്യ പട്ടികകൾ 8-ആം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഇന്ത്യൻ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ വാരസേനയാണ് സമാഹരിച്ചത്. അവയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ലോഗരിതം സംഭവിക്കുന്ന സമയം കണക്കാക്കാം.

ചരിത്ര സ്കെച്ച്

പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ യൂറോപ്പിന്റെ പുനരുജ്ജീവനവും മെക്കാനിക്സിന്റെ വികാസത്തെ ഉത്തേജിപ്പിച്ചു. ടി ഒരു വലിയ അളവിലുള്ള കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്ഒന്നിലധികം അക്ക സംഖ്യകളുടെ ഗുണനവും വിഭജനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. പുരാതന ടേബിളുകൾ മികച്ച സേവനമായിരുന്നു. സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ലളിതമായവ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് അവർ സാധ്യമാക്കി - സങ്കലനവും കുറയ്ക്കലും. 1544-ൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ മൈക്കൽ സ്റ്റീഫലിന്റെ സൃഷ്ടിയാണ് ഒരു വലിയ മുന്നേറ്റം, അതിൽ നിരവധി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ആശയം അദ്ദേഹം തിരിച്ചറിഞ്ഞു. ഇത് പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ രൂപത്തിലുള്ള ശക്തികൾക്ക് മാത്രമല്ല, ഏകപക്ഷീയമായ യുക്തിസഹമായവയ്ക്കും പട്ടികകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കി.

1614-ൽ, സ്കോട്ട്ലൻഡുകാരനായ ജോൺ നേപ്പിയർ ഈ ആശയങ്ങൾ വികസിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, "ഒരു സംഖ്യയുടെ ലോഗരിതം" എന്ന പുതിയ പദം ആദ്യമായി അവതരിപ്പിച്ചു. സൈനുകളുടെയും കോസൈനുകളുടെയും ലോഗരിതം, ടാൻജെന്റുകൾ എന്നിവ കണക്കാക്കുന്നതിനായി പുതിയ സങ്കീർണ്ണ പട്ടികകൾ സമാഹരിച്ചു. ഇത് ജ്യോതിശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രവർത്തനത്തെ വളരെയധികം കുറച്ചു.

പുതിയ പട്ടികകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ തുടങ്ങി, അവ ഉടനീളം ശാസ്ത്രജ്ഞർ വിജയകരമായി ഉപയോഗിച്ചു മൂന്ന് നൂറ്റാണ്ടുകൾ. മുമ്പ് ഒരുപാട് സമയം കടന്നുപോയി പുതിയ പ്രവർത്തനംബീജഗണിതത്തിൽ അത് അതിന്റെ പൂർണ്ണ രൂപം കൈവരിച്ചു. ലോഗരിതത്തിന്റെ നിർവചനം നൽകുകയും അതിന്റെ സവിശേഷതകൾ പഠിക്കുകയും ചെയ്തു.

20-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, കാൽക്കുലേറ്ററിന്റെയും കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെയും ആവിർഭാവത്തോടെ, പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടിലുടനീളം വിജയകരമായി പ്രവർത്തിച്ചിരുന്ന പുരാതന പട്ടികകൾ മാനവികത ഉപേക്ഷിച്ചു.

ഇന്ന് നമ്മൾ b യുടെ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു a സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി x എന്നത് b ഉണ്ടാക്കാനുള്ള a യുടെ ശക്തിയാണ്. ഇത് ഒരു ഫോർമുലയായി എഴുതിയിരിക്കുന്നു: x = log a(b).

ഉദാഹരണത്തിന്, ലോഗ് 3(9) 2 ന് തുല്യമായിരിക്കും. നിങ്ങൾ നിർവചനം പിന്തുടരുകയാണെങ്കിൽ ഇത് വ്യക്തമാണ്. നമ്മൾ 3 നെ 2 ന്റെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തിയാൽ നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

അങ്ങനെ, രൂപപ്പെടുത്തിയ നിർവചനം ഒരു നിയന്ത്രണം മാത്രമേ സജ്ജമാക്കൂ: a, b എന്നീ സംഖ്യകൾ യഥാർത്ഥമായിരിക്കണം.

ലോഗരിതങ്ങളുടെ തരങ്ങൾ

ക്ലാസിക് നിർവചനത്തെ യഥാർത്ഥ ലോഗരിതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ a x = b എന്ന സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരമാണ്. ഓപ്‌ഷൻ a = 1 അതിർത്തിരേഖയാണ്, താൽപ്പര്യമില്ല. ശ്രദ്ധിക്കുക: ഏതൊരു ശക്തിയുടെയും 1 എന്നത് 1 ന് തുല്യമാണ്.

ലോഗരിതത്തിന്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യംഅടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെന്റും 0-നേക്കാൾ വലുതായിരിക്കുമ്പോൾ മാത്രം നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ അടിസ്ഥാനം 1 ന് തുല്യമായിരിക്കരുത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര മേഖലയിൽ പ്രത്യേക സ്ഥാനംലോഗരിതം പ്ലേ ചെയ്യുക, അവയുടെ അടിത്തറയുടെ വലുപ്പം അനുസരിച്ച് പേരിടും:

നിയമങ്ങളും നിയന്ത്രണങ്ങളും

ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന സ്വത്ത് നിയമമാണ്: ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതം ലോഗരിതം തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ലോഗ് എബിപി = ലോഗ് എ (ബി) + ലോഗ് എ (പി).

ഈ പ്രസ്താവനയുടെ ഒരു വകഭേദമെന്ന നിലയിൽ, ഇത് ഇതായിരിക്കും: ലോഗ് സി (ബി / പി) \u003d ലോഗ് സി (ബി) - ലോഗ് സി (പി), ക്വട്ടേഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.

മുമ്പത്തെ രണ്ട് നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഇത് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്: log a(b p) = p * log a(b).

മറ്റ് പ്രോപ്പർട്ടികൾ ഉൾപ്പെടുന്നു:

അഭിപ്രായം. ഒരു സാധാരണ തെറ്റ് ചെയ്യരുത് - തുകയുടെ ലോഗരിതം ലോഗരിതങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമല്ല.

നിരവധി നൂറ്റാണ്ടുകളായി, ഒരു ലോഗരിതം കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനം സമയമെടുക്കുന്ന ഒരു ജോലിയായിരുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ലോഗരിഥമിക് സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പ്രസിദ്ധമായ സൂത്രവാക്യം ഒരു ബഹുപദത്തിലേക്കുള്ള വികാസം ഉപയോഗിച്ചു:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ഇവിടെ n എന്നത് 1 നേക്കാൾ കൂടുതലുള്ള ഒരു സ്വാഭാവിക സംഖ്യയാണ്, ഇത് കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ കൃത്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്കുള്ള പരിവർത്തനത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തവും ഉൽപ്പന്നത്തിന്റെ ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവും ഉപയോഗിച്ച് മറ്റ് അടിത്തറകളുള്ള ലോഗരിതം കണക്കാക്കുന്നു.

ഈ രീതി വളരെ അധ്വാനിക്കുന്നതിനാൽ പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾനടപ്പിലാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്, അവർ ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രീ-കംപൈൽ ചെയ്ത പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് മുഴുവൻ ജോലിയും വളരെയധികം ത്വരിതപ്പെടുത്തി.

ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ലോഗരിതങ്ങളുടെ പ്രത്യേകം സമാഹരിച്ച ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ചു, ഇത് കുറച്ച് കൃത്യത നൽകി, പക്ഷേ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യത്തിനായുള്ള തിരയൽ ഗണ്യമായി വേഗത്തിലാക്കി. y = log a(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ വക്രം, നിരവധി പോയിന്റുകളിൽ നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്, മറ്റേതെങ്കിലും പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ കണ്ടെത്താൻ സാധാരണ ഭരണാധികാരിയെ അനുവദിക്കുന്നു. എഞ്ചിനീയർമാർ നീണ്ട കാലംഈ ആവശ്യങ്ങൾക്ക്, ഗ്രാഫ് പേപ്പർ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉപയോഗിച്ചു.

പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ, ആദ്യത്തെ സഹായ അനലോഗ് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് വ്യവസ്ഥകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു, അത് 19-ആം നൂറ്റാണ്ട്ഒരു പൂർത്തിയായ രൂപം സ്വന്തമാക്കി. ഏറ്റവും വിജയകരമായ ഉപകരണത്തെ സ്ലൈഡ് റൂൾ എന്ന് വിളിച്ചിരുന്നു. ഉപകരണത്തിന്റെ ലാളിത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അതിന്റെ രൂപം എല്ലാ എഞ്ചിനീയറിംഗ് കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെയും പ്രക്രിയയെ ഗണ്യമായി ത്വരിതപ്പെടുത്തി, ഇത് അമിതമായി കണക്കാക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. നിലവിൽ, ഈ ഉപകരണം കുറച്ച് ആളുകൾക്ക് പരിചിതമാണ്.

കാൽക്കുലേറ്ററുകളുടെയും കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെയും ആവിർഭാവം മറ്റ് ഉപകരണങ്ങളൊന്നും ഉപയോഗിക്കുന്നത് അർത്ഥശൂന്യമാക്കി.

സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും

ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് വിവിധ സമവാക്യങ്ങളും അസമത്വങ്ങളും പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു:

• ഒരു അടിത്തറയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു: ലോഗ് എ (ബി) = ലോഗ് സി (ബി) / ലോഗ് സി (എ);
• മുമ്പത്തെ ഓപ്ഷന്റെ അനന്തരഫലമായി: log a(b) = 1 / log b(a).

അസമത്വങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന്, അറിയുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്:

• അടിസ്ഥാനവും ആർഗ്യുമെന്റും ഒന്നിൽ കൂടുതലോ കുറവോ ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ ലോഗരിതത്തിന്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആകുകയുള്ളൂ; ഒരു വ്യവസ്ഥയെങ്കിലും ലംഘിച്ചാൽ, ലോഗരിതം മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും.
• ലോഗരിതം ഫംഗ്ഷൻ അസമത്വത്തിന്റെ വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും പ്രയോഗിക്കുകയും ലോഗരിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം ഒന്നിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, അസമത്വത്തിന്റെ അടയാളം സംരക്ഷിക്കപ്പെടും; അല്ലെങ്കിൽ അത് മാറുന്നു.

സാമ്പിൾ പ്രശ്നങ്ങൾ

ലോഗരിതങ്ങളും അവയുടെ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള നിരവധി ഓപ്ഷനുകൾ നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സമവാക്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ:

ലോഗരിതം ഒരു പവറിൽ സ്ഥാപിക്കുന്നതിനുള്ള ഓപ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക:

• പ്രശ്നം 3. 25^ലോഗ് 5(3) കണക്കാക്കുക. പരിഹാരം: പ്രശ്നത്തിന്റെ അവസ്ഥയിൽ, എൻട്രി ഇനിപ്പറയുന്ന (5^2)^log5(3) അല്ലെങ്കിൽ 5^(2 * ലോഗ് 5(3)) പോലെയാണ്. നമുക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി എഴുതാം: 5^ലോഗ് 5(3*2), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ആർഗ്യുമെന്റായി ഒരു സംഖ്യയുടെ വർഗ്ഗം ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർഗ്ഗമായി എഴുതാം (5^ലോഗ് 5(3))^2. ലോഗരിതത്തിന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ഈ പദപ്രയോഗം 3^2 ന് തുല്യമാണ്. ഉത്തരം: കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ ഫലമായി നമുക്ക് 9 ലഭിക്കും.

പ്രായോഗിക ഉപയോഗം

തികച്ചും ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ആയതിനാൽ, അത് വളരെ അകലെയാണെന്ന് തോന്നുന്നു യഥാർത്ഥ ജീവിതംവസ്തുക്കളെ വിവരിക്കുന്നതിന് ലോഗരിതം പെട്ടെന്ന് വലിയ പ്രാധാന്യം കൈവരിച്ചു യഥാർത്ഥ ലോകം. അത് ഉപയോഗിക്കാത്ത ഒരു ശാസ്ത്രം കണ്ടെത്താൻ പ്രയാസമാണ്. ഇത് പ്രകൃതിക്ക് മാത്രമല്ല, അറിവിന്റെ മാനവിക മേഖലകൾക്കും പൂർണ്ണമായും ബാധകമാണ്.

ലോഗരിഥമിക് ഡിപൻഡൻസികൾ

സംഖ്യാ ആശ്രിതത്വങ്ങളുടെ ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ ഇതാ:

മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും

ചരിത്രപരമായി, മെക്കാനിക്സും ഫിസിക്സും എല്ലായ്പ്പോഴും വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾഗവേഷണവും അതേ സമയം ലോഗരിതം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ വികസനത്തിന് പ്രോത്സാഹനമായി. ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിലെ മിക്ക നിയമങ്ങളുടെയും സിദ്ധാന്തം എഴുതിയിരിക്കുന്നത് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഭാഷയിലാണ്. ലോഗരിതം ഉപയോഗിച്ച് ഭൗതിക നിയമങ്ങൾ വിവരിക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം നൽകാം.

റോക്കറ്റിന്റെ വേഗത പോലുള്ള സങ്കീർണ്ണമായ അളവ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ബഹിരാകാശ പര്യവേക്ഷണ സിദ്ധാന്തത്തിന് അടിത്തറയിട്ട സിയോൾകോവ്സ്കി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും:

V = I * ln (M1/M2), എവിടെ

• V ആണ് വിമാനത്തിന്റെ അവസാന വേഗത.
• ഞാൻ എഞ്ചിന്റെ പ്രത്യേക പ്രേരണയാണ്.
• M1 ആണ് റോക്കറ്റിന്റെ പ്രാരംഭ പിണ്ഡം.
• M 2 - അന്തിമ പിണ്ഡം.

മറ്റൊരു പ്രധാന ഉദാഹരണം- ഇത് മറ്റൊരു മികച്ച ശാസ്ത്രജ്ഞനായ മാക്സ് പ്ലാങ്കിന്റെ ഫോർമുലയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് തെർമോഡൈനാമിക്സിലെ സന്തുലിതാവസ്ഥയെ വിലയിരുത്താൻ സഹായിക്കുന്നു.

S = k * ln (Ω), എവിടെ

• എസ് - തെർമോഡൈനാമിക് പ്രോപ്പർട്ടി.
• k - ബോൾട്ട്സ്മാൻ സ്ഥിരാങ്കം.
• Ω എന്നത് വിവിധ സംസ്ഥാനങ്ങളുടെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഭാരം ആണ്.

രസതന്ത്രം

രസതന്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതങ്ങളുടെ അനുപാതം അടങ്ങിയ ഫോർമുലകളുടെ ഉപയോഗം അത്ര വ്യക്തമല്ല. രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം പറയാം:

• നേർനസ്റ്റ് സമവാക്യം, പദാർത്ഥങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് മീഡിയത്തിന്റെ റെഡോക്സ് പൊട്ടൻഷ്യലിന്റെ അവസ്ഥയും സന്തുലിത സ്ഥിരാങ്കവും.
• ഓട്ടോലിസിസ് ഇൻഡക്സ്, ലായനിയുടെ അസിഡിറ്റി തുടങ്ങിയ സ്ഥിരാങ്കങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടലും ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനമില്ലാതെ ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല.

സൈക്കോളജിയും ബയോളജിയും

പിന്നെ മനഃശാസ്ത്രത്തിന് ഇതുമായി എന്ത് ബന്ധമുണ്ടെന്ന് വ്യക്തമല്ല. ഉത്തേജക തീവ്രത മൂല്യത്തിന്റെയും താഴ്ന്ന തീവ്രത മൂല്യത്തിന്റെയും വിപരീത അനുപാതമായി ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സംവേദനത്തിന്റെ ശക്തി നന്നായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നുവെന്ന് ഇത് മാറുന്നു.

മേൽപ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം, ജീവശാസ്ത്രത്തിൽ ലോഗരിതം എന്ന വിഷയം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല. ലോഗരിഥമിക് സർപ്പിളുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ജൈവ രൂപങ്ങളെക്കുറിച്ച് മുഴുവൻ വാല്യങ്ങളും എഴുതാം.

മറ്റ് മേഖലകൾ

ഈ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധമില്ലാതെ ലോകത്തിന്റെ നിലനിൽപ്പ് അസാധ്യമാണെന്ന് തോന്നുന്നു, അത് എല്ലാ നിയമങ്ങളെയും നിയന്ത്രിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും പ്രകൃതി നിയമങ്ങൾ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുമ്പോൾ ജ്യാമിതീയ പുരോഗതി. MatProfi വെബ്‌സൈറ്റിലേക്ക് തിരിയുന്നത് മൂല്യവത്താണ്, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രവർത്തന മേഖലകളിൽ അത്തരം നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്:

പട്ടിക അനന്തമായിരിക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാന തത്ത്വങ്ങളിൽ വൈദഗ്ദ്ധ്യം നേടിയ ശേഷം, നിങ്ങൾക്ക് അനന്തമായ ജ്ഞാനത്തിന്റെ ലോകത്തിലേക്ക് കടക്കാൻ കഴിയും.