Шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн систем, шийдэл

Эхлээд хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийн шийдийн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.

Тодорхойлолт 1

Хос тоог хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв тэдгээрийг тэгшитгэлд орлуулах үед зөв тэгшитгэл гарна.

Дараах зүйлд бид хоёр хувьсагчтай хоёр тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно.

Орших тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх дөрвөн үндсэн арга: орлуулах арга, нэмэх арга, график арга, хувьсагчийг удирдах шинэ арга. Эдгээр аргуудыг авч үзье тодорхой жишээнүүд. Эхний гурван аргыг ашиглах зарчмыг тайлбарлахын тулд бид хоёр системийг авч үзэх болно шугаман тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэй:

Орлуулах арга

Орлуулах арга нь дараах байдалтай байна: эдгээр тэгшитгэлийн аль нэгийг нь авч, $y$-г $x$-ээр илэрхийлсний дараа $y$-г системийн тэгшитгэлд орлуулах ба $x.$ хувьсагчийг олох болно. Үүний дараа бид $y.$ хувьсагчийг хялбархан тооцоолж болно

Жишээ 1

Хоёрдахь $y$ тэгшитгэлээс $x$-р илэрхийлье.

Эхний тэгшитгэлд орлуулж $x$-г ол:

\ \ \

$y$ олох:

Хариулт: $(-2,\ 3)$

Нэмэх арга.

Энэ аргыг жишээгээр авч үзье.

Жишээ 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(массив) \баруун.\]

Хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлбэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(массив) \баруун.\]

Одоо хоёр тэгшитгэлийг хамтад нь нэмье:

\ \ \

Хоёр дахь тэгшитгэлээс $y$-г ол:

\[-6-y=-9\] \

Хариулт: $(-2,\ 3)$

Тайлбар 1

Энэ аргын хувьд нэг буюу хоёр тэгшитгэлийг хувьсагчийн аль нэгийг нэмэхэд "алга болох" тоогоор үржүүлэх шаардлагатайг анхаарна уу.

График арга

График арга нь дараах байдалтай байна: системийн тэгшитгэл хоёулаа координатын хавтгай дээр гарч, тэдгээрийн огтлолцлын цэгийг олно.

Жишээ 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(массив) \баруун.\]

Хоёр тэгшитгэлээс $y$-г $x$-р илэрхийлье:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(массив) \баруун.\]

Хоёр графикийг нэг хавтгайд зуръя:

Зураг 1.

Хариулт: $(-2,\ 3)$

Шинэ хувьсагчдыг хэрхэн нэвтрүүлэх

Бид энэ аргыг дараах жишээнд авч үзэх болно.

Жишээ 4

\[\left\( \begin(массив)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(массив) \баруун .\]

Шийдэл.

Энэ систем нь системтэй тэнцүү юм

\[\left\( \begin(массив)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(массив) \ зөв.\]

$2^x=u\ (u>0)$ ба $3^y=v\ (v>0)$ гэж үзье, бид дараахийг авна:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(массив) \баруун.\]

Бид үүссэн системийг нэмэх аргаар шийддэг. Тэгшитгэлүүдийг нэмье:

\ \

Дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлээс бид үүнийг олж авна

Сэлгээнд буцаж ирэхэд бид үүнийг авна шинэ системэкспоненциал тэгшитгэлүүд:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(массив) \баруун.\]

Бид авах:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(массив) \баруун.\]

Заавар

Нэмэх арга.
Та бие биенийхээ доор хоёрыг хатуу бичих хэрэгтэй.

549+45у+4у=-7, 45у+4у=549-7, 49у=542, у=542:49, у≈11.
Дурын сонгосон (системээс) тэгшитгэлд аль хэдийн олдсон "тоглоом" -ын оронд 11-ийн тоог оруулаад хоёр дахь үл мэдэгдэх тоог тооцоол.

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Энэ тэгшитгэлийн системийн хариулт: x=116, y=11.

График арга.
Энэ нь тэгшитгэлийн системд шугамыг математикийн аргаар бичсэн цэгийн координатыг практикт олоход оршино. Та хоёр шугамын графикийг нэг координатын системд тусад нь зурах хэрэгтэй. Ерөнхий дүр төрх: - y \u003d kx + b. Шулуун шугам барихын тулд хоёр цэгийн координатыг олоход хангалттай бөгөөд х-г дур зоргоороо сонгоно.
Системийг өгье: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Шулуун шугамыг эхнийх нь дагуу барьсан тул тав тухтай байлгахын тулд үүнийг бичих хэрэгтэй: y \u003d 2x-4. x-ийн утгыг (илүү хялбар) гаргаж, тэгшитгэлд орлуулж, шийдэж, у-г олоорой. Хоёр цэгийг олж авсан бөгөөд тэдгээрийн дагуу шулуун шугам барина. (зураг харна уу.)
x 0 1

у -4 -2
Шулуун шугамыг хоёр дахь тэгшитгэлийн дагуу байгуулна: y \u003d -3x + 1.
Мөн шугам барих. (зураг харна уу.)

1-5
График дээр баригдсан хоёр шугамын огтлолцлын цэгийн координатыг ол (хэрэв шугамууд огтлолцохгүй бол тэгшитгэлийн системд байхгүй - тийм).

Холбоотой видеонууд

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Хэрэв ижил тэгшитгэлийн системийг гурваар шийдсэн бол янз бүрийн арга замууд, хариулт нь ижил байх болно (хэрэв шийдэл зөв бол).

Эх сурвалжууд:

• Алгебр 8-р анги
• Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг онлайнаар шийд
• Хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх жишээ

Систем тэгшитгэлнь тодорхой тооны хувьсагчийг агуулсан математикийн бүртгэлүүдийн цуглуулга юм. Тэдгээрийг шийдвэрлэх хэд хэдэн арга байдаг.

Танд хэрэгтэй болно

• -Захирагч ба харандаа;
• - тооцоолуур.

Заавар

a1x + b1y = c1 ба a2x + b2y = c2 хэлбэртэй шугаман тэгшитгэлээс бүрдэх системийг шийдэх дарааллыг авч үзье. Энд x ба y нь үл мэдэгдэх хувьсагч, b,c нь чөлөөт гишүүд юм. Энэ аргыг хэрэглэх үед систем бүр нь тэгшитгэл бүрт тохирох цэгүүдийн координат юм. Нэгдүгээрт, тохиолдол бүрт нэг хувьсагчийг нөгөөгөөр нь илэрхийл. Дараа нь x хувьсагчийг дурын тооны утгад тохируулна. Хоёр хангалттай. Тэгшитгэлд залгаад у-г ол. Координатын системийг байгуулж, түүн дээр олж авсан цэгүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийн дундуур шулуун шугам зур. Үүнтэй төстэй тооцоог системийн бусад хэсгүүдэд хийх ёстой.

Баригдсан шугамууд огтлолцож, нэг бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг нийтлэг цэг. Хэрэв тэдгээр нь хоорондоо параллель байвал энэ нь зөрчилддөг. Мөн шугамууд хоорондоо нэгдэх үед энэ нь хязгааргүй олон шийдэлтэй байдаг.

Энэ аргыг маш тодорхой гэж үздэг. Гол сул тал нь тооцоолсон үл мэдэгдэх нь ойролцоо утгатай байдаг. Илүү нарийвчлалтай үр дүнг алгебрийн аргууд гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийн системийн аливаа шийдлийг шалгах нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд хувьсагчийн оронд олж авсан утгуудыг орлуулна уу. Та мөн түүний шийдлийг хэд хэдэн аргаар олж болно. Хэрэв системийн шийдэл зөв бол хүн бүр адилхан байх ёстой.

Ихэнхдээ нэг нэр томъёо нь үл мэдэгдэх тэгшитгэлүүд байдаг. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та эдгээр тоонуудын тусламжтайгаар тодорхой үйлдлийг санаж, хийх хэрэгтэй.

Танд хэрэгтэй болно

• - цаас;
• - Үзэг эсвэл харандаа.

Заавар

Таны өмнө 8 туулай байгаа бөгөөд танд ердөө 5 лууван байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Туулай бүр нэг лууван авахын тулд илүү их лууван худалдаж авах хэрэгтэй гэж бодоорой.

Энэ бодлогыг тэгшитгэлийн хэлбэрээр илэрхийлье: 5 + x = 8. x-ийн оронд 3-ын тоог орлуулъя.Үнэхээр 5 + 3 = 8.

Та х-ийн тоог орлуулахдаа 8-аас 5-ыг хасахтай ижил үйлдлийг хийж байсан. Тиймээс олохын тулд үл мэдэгдэхнийлбэрээс мэдэгдэж буй гишүүнийг хасна.

Танд 20 туулай, ердөө 5 лууван байна гэж бодъё. Зохиоцгооё. Тэгшитгэл гэдэг нь зөвхөн түүнд орсон үсгүүдийн тодорхой утгуудад л тохирдог тэгшитгэл юм. Таны утгыг олохыг хүссэн үсгүүдийг дуудна. Нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл бичээд x гэж нэрлэ. Манай туулайн тухай асуудлыг шийдэхдээ дараах тэгшитгэлийг олж авна: 5 + x = 20.

20 ба 5-ын зөрүүг олъё. Хасахдаа хассан тоо нь багасна. Хасах тоог , эцсийн үр дүнг зөрүү гэж нэрлэдэг. Тэгэхээр x = 20 - 5; x = 15. Та туулайнд зориулж 15 лууван худалдаж авах хэрэгтэй.

Шалгах: 5 + 15 = 20. Тэгшитгэл зөв байна. Мэдээжийн хэрэг, хэзээ бид ярьж байнаИйм энгийн зүйлсийн хувьд шалгалт хийх шаардлагагүй. Гэсэн хэдий ч гурван оронтой, дөрвөн оронтой гэх мэт тэгшитгэлийн тухай ярихдаа ажлын үр дүнд бүрэн итгэлтэй байхын тулд шалгах нь зайлшгүй шаардлагатай.

Холбоотой видеонууд

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Үл мэдэгдэх хасах утгыг олохын тулд та зөрүү дээр хасахыг нэмэх хэрэгтэй.

Үл мэдэгдэх хасахыг олохын тулд хасахаас зөрүүг хасах шаардлагатай.

Зөвлөгөө 4: Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэх вэ

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн систем хангалттай тооны тэгшитгэлтэй хэдий ч шийдэлгүй байж болно. Та үүнийг орлуулах арга эсвэл Крамерын аргыг ашиглан шийдэхийг оролдож болно. Крамерын арга нь системийг шийдэхээс гадна үл мэдэгдэх утгыг олохын өмнө системийг шийдвэрлэх боломжтой эсэхийг үнэлэх боломжийг олгодог.

Заавар

Орлуулах арга нь үл мэдэгдэх нэгийг нөгөө хоёроор дараалан, олж авсан үр дүнг системийн тэгшитгэлд орлуулахаас бүрдэнэ. Гурван тэгшитгэлийн системийг ерөнхий хэлбэрээр өгье.

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Эхний тэгшитгэлээс х-г илэрхийлж: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ба хоёр, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлээс y-г илэрхийлж, гурав дахь тэгшитгэлд орлуулна. Та системийн тэгшитгэлийн коэффициентүүдээр дамжуулан z-ийн шугаман илэрхийлэлийг авах болно. Одоо "буцаж": z-г хоёр дахь тэгшитгэлд залгаад y-г олоод эхний тэгшитгэлд z ба y-г залгаад х-г ол. z-г олох хүртэл үйл явцыг ерөнхийд нь зурагт үзүүлэв. Цаашилбал, ерөнхий хэлбэрээр бичлэг хийх нь хэтэрхий төвөгтэй байх болно, практик дээр орлуулах нь та гурван үл мэдэгдэх бүх зүйлийг хялбархан олох боломжтой.

Крамерын арга нь системийн матрицыг эмхэтгэх, энэ матрицын тодорхойлогчийг тооцоолохоос гадна өөр гурван туслах матрицаас бүрддэг. Системийн матриц нь тэгшитгэлийн үл мэдэгдэх нөхцлүүдийн коэффициентүүдээс бүрдэнэ. Тэгшитгэлийн баруун талд байгаа тоонуудыг агуулсан багана, баруун талын багана. Энэ нь системд ашиглагддаггүй, гэхдээ системийг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг.

Холбоотой видеонууд

тэмдэглэл

Систем дэх бүх тэгшитгэл нь бусад тэгшитгэлээс үл хамааран нэмэлт мэдээллийг өгөх ёстой. Тэгэхгүй бол тогтолцоо дутуу тодорхойлогдож, хоёрдмол утгагүй шийдлийг олох боломжгүй болно.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Тэгшитгэлийн системийг шийдсэний дараа олсон утгыг анхны системд орлуулж, бүх тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгана уу.

Өөрөөр нь тэгшитгэлгуравтай үл мэдэгдэхнь олон шийдэлтэй байдаг тул ихэнхдээ үүнийг хоёр өөр тэгшитгэл эсвэл нөхцлөөр нөхдөг. Анхны өгөгдөл ямар байхаас хамаарч шийдвэрийн явц ихээхэн хамаарна.

Танд хэрэгтэй болно

• - гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн систем.

Заавар

Гурван системийн хоёр нь гурван үл мэдэгдэхээс хоёр нь л байвал зарим хувьсагчийг бусдынх нь хувьд илэрхийлж, тэдгээрийг залгаад үзээрэй. тэгшитгэлгуравтай үл мэдэгдэх. Таны зорилго бол үүнийг хэвийн болгох явдал юм тэгшитгэлүл мэдэгдэх зүйлтэй. Хэрэв энэ нь байвал дараагийн шийдэл нь маш энгийн - олсон утгыг бусад тэгшитгэлд орлуулж, бусад үл мэдэгдэх бүх зүйлийг ол.

Зарим тэгшитгэлийн системийг нэг тэгшитгэлээс нөгөө тэгшитгэлээр хасаж болно. Хоёр үл мэдэгдэхийг нэг дор багасгахын тулд нэгийг эсвэл хувьсагчийг үржүүлэх боломжтой эсэхийг хараарай. Хэрэв ийм боломж байгаа бол үүнийг ашигла, магадгүй дараагийн шийдвэр нь хэцүү биш байх болно. Тоогоор үржүүлэхдээ зүүн болон баруун талыг хоёуланг нь үржүүлэх ёстой гэдгийг бүү мартаарай. Үүний нэгэн адил тэгшитгэлийг хасахдаа баруун гар талыг нь бас хасах ёстой гэдгийг санаарай.

Хэрэв өмнөх арга замуудтусалсангүй, гурваар дурын тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий аргыг ашигла үл мэдэгдэх. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийг a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 хэлбэрээр дахин бичнэ үү. Одоо x (A) дээр коэффициентийн матриц, үл мэдэгдэх (X) матриц, чөлөөт (B) матрицыг хий. Анхаарна уу, коэффициентийн матрицыг үл мэдэгдэх матрицаар үржүүлснээр та матриц, чөлөөт гишүүдийн матриц, өөрөөр хэлбэл A * X \u003d B авах болно.

-ийг олсны дараа (-1) зэрэглэлийн А матрицыг олоод тэгтэй тэнцүү байх ёсгүйг анхаарна уу. Үүний дараа үүссэн матрицыг В матрицаар үржүүлснээр та бүх утгыг харуулсан хүссэн X матрицыг авах болно.

Та мөн Крамерын аргыг ашиглан гурван тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олох боломжтой. Үүний тулд системийн матрицад тохирох гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогч ∆-ийг ол. Дараа нь ∆1, ∆2 ба ∆3 гэсэн гурван тодорхойлогчийг дараалан олж, харгалзах баганын утгуудын оронд чөлөөт нэр томъёоны утгыг орлуулна. Одоо x-г ол: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Эх сурвалжууд:

• Гурван үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн шийдэл

Тэгшитгэлийн системийг шийдэж эхлэхдээ эдгээр тэгшитгэл гэж юу болохыг олж мэд. Шугаман тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг сайн судалсан. Шугаман бус тэгшитгэлийг ихэнхдээ шийддэггүй. Зөвхөн нэг онцгой тохиолдол байдаг бөгөөд тус бүр нь бараг хувь хүн байдаг. Тиймээс шийдлийн аргуудыг судлахдаа шугаман тэгшитгэлээс эхлэх хэрэгтэй. Ийм тэгшитгэлийг цэвэр алгоритмаар ч шийдэж болно.

олсон үл мэдэгдэх хуваагч нь яг ижил байна. Тийм ээ, мөн тоологч нь тэдний барилгын зарим загвар харагдаж байна. Хэрэв тэгшитгэлийн системийн хэмжээ хоёроос их байсан бол арилгах арга нь маш төвөгтэй тооцоололд хүргэх болно. Тэднээс зайлсхийхийн тулд цэвэр алгоритмын шийдлүүдийг боловсруулсан. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь Крамерын алгоритм (Крамерын томъёо) юм. Учир нь та мэдэх ёстой ерөнхий систем n тэгшитгэлээс тэгшитгэл.

n үл мэдэгдэх n шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн систем нь хэлбэртэй байна (1а-р зургийг үз). Үүнд aij нь системийн коэффициентүүд юм.
хj – үл мэдэгдэх, bi – чөлөөт гишүүд (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Ийм системийг AX=B матриц хэлбэрээр авсаархан бичиж болно. Энд А нь системийн коэффициент матриц, X нь үл мэдэгдэх баганын матриц, В нь чөлөөт нэр томъёоны баганын матриц (1б-р зургийг үз). Крамерын аргын дагуу үл мэдэгдэх xi =∆i/∆ бүр (i=1,2…,n). Коэффициентийн матрицын тодорхойлогч ∆-г үндсэн тодорхойлогч, ∆i-г туслах гэж нэрлэнэ. Үл мэдэгдэх тус бүрийн хувьд үндсэн тодорхойлогчийн i-р баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганаар солих замаар туслах тодорхойлогчийг олно. Хоёр ба гуравдахь зэрэглэлийн системийн тухай Крамерын аргыг Зураг дээр дэлгэрэнгүй үзүүлэв. 2.

Систем гэдэг нь хоёр буюу түүнээс дээш тооны тэгш байдлын нэгдэл бөгөөд тус бүр нь хоёр ба түүнээс дээш үл мэдэгдэх шинж чанартай байдаг. Хүрээнд хэрэглэгддэг шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх хоёр үндсэн арга байдаг сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Нэгийг нь арга, нөгөөг нь нэмэх арга гэнэ.

Хоёр тэгшитгэлийн системийн стандарт хэлбэр

At стандарт хэлбэрэхний тэгшитгэл нь a1*x+b1*y=c1, хоёр дахь тэгшитгэл нь a2*x+b2*y=c2 гэх мэт. Жишээлбэл, өгөгдсөн a1, a2, b1, b2, c1, c2 аль алинд нь системийн хоёр хэсгийн хувьд тодорхой тэгшитгэлд үзүүлсэн зарим тоон коэффициентүүд байна. Хариуд нь x ба y нь утгыг тодорхойлох шаардлагатай үл мэдэгдэх зүйл юм. Хүссэн утгууд нь хоёр тэгшитгэлийг нэгэн зэрэг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргадаг.

Нэмэх аргаар системийн шийдэл

Системийг шийдэхийн тулд, өөрөөр хэлбэл x ба y-ийн утгыг жинхэнэ тэгшитгэл болгон хувиргах утгыг олохын тулд та хэд хэдэн энгийн алхам хийх хэрэгтэй. Эдгээрийн эхнийх нь тэгшитгэлийн аль нэгийг нь хоёр тэгшитгэлийн х эсвэл у хувьсагчийн тоон коэффициентүүд үнэмлэхүй утгаараа давхцах боловч тэмдгээр ялгаатай байхаар хувиргах явдал юм.

Жишээлбэл, хоёр тэгшитгэлээс бүрдсэн системийг өгье. Эхнийх нь 2x+4y=8 хэлбэртэй, хоёр дахь нь 6x+2y=6 хэлбэртэй байна. Даалгаврыг гүйцэтгэх хувилбаруудын нэг нь хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлэх бөгөөд энэ нь -12x-4y=-12 хэлбэрт хүргэнэ. Коэффициентийг зөв сонгох нь үл мэдэгдэх зүйлийг олох процедурын цаашдын үйл явцыг тодорхойлдог тул нэмэлт аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх гол ажлуудын нэг юм.

Одоо системийн хоёр тэгшитгэлийг нэмэх шаардлагатай байна. Утгатай тэнцүү боловч тэмдэгтийн коэффициентийн хувьд эсрэгээрээ хувьсах хэмжигдэхүүнүүдийг харилцан устгах нь түүнийг -10x=-4 хэлбэрт хүргэх нь ойлгомжтой. Үүний дараа энэ энгийн тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай бөгөөд үүнээс x=0.4 гэсэн хоёрдмол утгагүй гарч ирнэ.

Сүүлийн алхамШийдвэрлэх явцад аль нэг хувьсагчийн олсон утгыг системд байгаа анхны тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулах явдал юм. Жишээлбэл, эхний тэгшитгэлд x=0.4-ийг орлуулснаар 2*0.4+4y=8 илэрхийлэл гарч ирэх бөгөөд үүнээс у=1.8 болно. Иймд x=0.4 ба y=1.8 нь жишээнд үзүүлсэн системийн үндэс юм.

Үндэс нь зөв олсон эсэхийг шалгахын тулд олсон утгыг системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгах нь зүйтэй. Жишээлбэл, in Энэ тохиолдолд 0.4*6+1.8*2=6 хэлбэрийн тэгшитгэл гарсан нь зөв.

Холбоотой видеонууд

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг (SLAE) шийдвэрлэх нь шугаман алгебрийн хичээлийн хамгийн чухал сэдэв болох нь дамжиггүй. Математикийн бүх салбараас асар олон тооны асуудлыг шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд багасгасан. Эдгээр хүчин зүйлүүд нь энэ нийтлэлийг бий болгох шалтгааныг тайлбарладаг. Өгүүллийн материалыг сонгож, зохион бүтээсэн бөгөөд ингэснээр түүний тусламжтайгаар та боломжтой болно

• шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх оновчтой аргыг сонгох;
• сонгосон аргын онолыг судлах,
• ердийн жишээ, асуудлын шийдлүүдийг нарийвчлан авч үзсэний үндсэн дээр шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдээрэй.

Өгүүллийн материалын товч тайлбар.

Нэгдүгээрт, бид шаардлагатай бүх тодорхойлолт, ойлголтыг өгч, зарим тэмдэглэгээг нэвтрүүлдэг.

Дараа нь тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой тэнцүү, өвөрмөц шийдэлтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх аргуудыг авч үзье. Нэгдүгээрт, Крамерын аргад анхаарлаа хандуулъя, хоёрдугаарт, ийм тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын аргыг харуулах, гуравдугаарт, Гауссын аргыг (үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах арга) шинжлэх болно. Онолыг нэгтгэхийн тулд бид хэд хэдэн SLAE-ийг янз бүрийн аргаар шийдвэрлэх нь гарцаагүй.

Үүний дараа бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд шилжинэ ерөнхий үзэл, тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчийн тоотой давхцахгүй эсвэл системийн үндсэн матриц доройтсон байна. Бид Kronecker-Capelli теоремыг томъёолдог бөгөөд энэ нь SLAE-ийн нийцтэй байдлыг тогтоох боломжийг олгодог. Системийн шийдлийг (тэдгээрийн нийцтэй байдлын хувьд) матрицын минорын үндсэн ойлголтыг ашиглан дүн шинжилгээ хийцгээе. Бид мөн Гауссын аргыг авч үзэж, жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан тайлбарлах болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус системийн ерөнхий шийдлийн бүтцэд анхаарлаа хандуулахаа мартуузай. Шийдлийн үндсэн системийн тухай ойлголтыг өгч, шийдлийн үндсэн системийн векторуудыг ашиглан SLAE-ийн ерөнхий шийдийг хэрхэн бичихийг харуулъя. Илүү сайн ойлгохын тулд хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Дүгнэж хэлэхэд бид шугаман болгон бууруулсан тэгшитгэлийн системүүд, түүнчлэн шийдвэрлэхэд нь SLAE үүсдэг янз бүрийн асуудлуудыг авч үздэг.

Хуудасны навигаци.

Тодорхойлолт, ойлголт, тэмдэглэгээ.

Бид хэлбэрийн үл мэдэгдэх n хувьсагчтай (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг авч үзэх болно.

Үл мэдэгдэх хувьсагч, - коэффициент (зарим бодит эсвэл нийлмэл тоо), - чөлөөт гишүүд (мөн бодит эсвэл нийлмэл тоо).

SLAE-ийн энэ хэлбэрийг нэрлэдэг зохицуулах.

IN матриц хэлбэрЭнэ тэгшитгэлийн систем нь дараах хэлбэртэй байна.
Хаана - системийн үндсэн матриц, - үл мэдэгдэх хувьсагчдын матриц-багана, - чөлөөт гишүүдийн матриц-багана.

Хэрэв бид А матрицад (n + 1)-р баганад чөлөөт нэр томъёоны матриц баганыг нэмбэл бид ийм зүйлийг авна. Өргөтгөсөн матрицшугаман тэгшитгэлийн системүүд. Ихэвчлэн нэмэгдүүлсэн матрицыг T үсгээр тэмдэглэж, чөлөөт нэр томъёоны баганыг дараахь байдлаар тусгаарладаг. босоо шугамбусад баганаас, өөрөөр хэлбэл,

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаарсистемийн бүх тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг үл мэдэгдэх хувьсагчдын утгуудын багц гэж нэрлэдэг. Үл мэдэгдэх хувьсагчдын өгөгдсөн утгуудын матрицын тэгшитгэл нь мөн адил болж хувирдаг.

Хэрэв тэгшитгэлийн систем дор хаяж нэг шийдэлтэй бол түүнийг дуудна хамтарсан.

Хэрэв тэгшитгэлийн системд шийдэл байхгүй бол түүнийг дуудна нийцэхгүй.

Хэрэв SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бол түүнийг дуудна тодорхой; Хэрэв нэгээс олон шийдэл байгаа бол - тодорхойгүй.

Хэрэв системийн бүх тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүд тэгтэй тэнцүү бол , дараа нь системийг дуудна нэгэн төрлийн, эс бөгөөс - нэг төрлийн бус.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн анхан шатны системийн шийдэл.

Хэрэв системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бөгөөд түүний үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол бид ийм SLAE гэж нэрлэнэ. анхан шатны. Ийм тэгшитгэлийн системүүд нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг ба нэгэн төрлийн системийн хувьд үл мэдэгдэх бүх хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Бид ийм SLAE-г судалж эхэлсэн ахлах сургууль. Тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ бид нэг тэгшитгэл авч, нэг үл мэдэгдэх хувьсагчийг бусдаар нь илэрхийлж, үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь дараагийн тэгшитгэлийг авч, дараагийн үл мэдэгдэх хувьсагчийг илэрхийлж, өөр тэгшитгэлд орлуулах гэх мэт. Эсвэл тэд нэмэх аргыг ашигласан, өөрөөр хэлбэл зарим үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгахын тулд хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл нэмсэн. Эдгээр аргууд нь үндсэндээ Гауссын аргын өөрчлөлтүүд учраас бид тэдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй.

Шугаман тэгшитгэлийн энгийн системийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд нь Крамерын арга, матрицын арга, Гауссын арга юм. Тэднийг цэгцэлье.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Крамерын аргаар шийдвэрлэх.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй

тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү байх ба системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай, өөрөөр хэлбэл, .

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч байг, ба орлуулах замаар А-аас олж авсан матрицын тодорхойлогч юм 1, 2, …, nthбагана нь чөлөөт гишүүдийн баганад:

Ийм тэмдэглэгээгээр үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын аргын томъёогоор тооцоолно . Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдийг Крамерын аргаар ингэж олдог.

Жишээ.

Крамер арга .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матриц нь хэлбэртэй байна . Түүний тодорхойлогчийг тооцоол (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Системийн үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай тул систем нь Крамерын аргаар олох боломжтой өвөрмөц шийдэлтэй байдаг.

Шаардлагатай тодорхойлогчдыг бүрдүүлж, тооцоол (тодорхойлогчийг А матрицын эхний баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар, тодорхойлогчийг - хоёрдугаар баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольсноор, - А матрицын гурав дахь баганыг чөлөөт гишүүдийн баганаар сольсноор тодорхойлогчийг авна. ):

Томъёо ашиглан үл мэдэгдэх хувьсагчдыг олох :

Хариулт:

Крамерын аргын гол сул тал (хэрэв үүнийг сул тал гэж нэрлэж болох юм бол) системийн тэгшитгэлийн тоо гурваас дээш байх үед тодорхойлогчийг тооцоолоход төвөгтэй байдаг.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матрицын аргаар шийдвэрлэх (урвуу матриц ашиглан).

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр өгье, үүнд А матриц нь n-ээс n хэмжээтэй, тодорхойлогч нь тэгээс өөр байна.

, тэгвэл А матриц урвуу, өөрөөр хэлбэл урвуу матриц байна. Хэрэв бид тэгш байдлын хоёр хэсгийг зүүн талд үржүүлбэл үл мэдэгдэх хувьсагчийн баганын матрицыг олох томьёо гарна. Тиймээс бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг матрицын аргаар олж авсан.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх матрицын арга.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийн системийг матриц хэлбэрээр дахин бичье.

Учир нь

дараа нь SLAE-ийг матрицын аргаар шийдэж болно. Урвуу матрицыг ашиглан энэ системийн шийдлийг дараах байдлаар олж болно .

А матрицын элементүүдийн алгебрийн нэмэлтүүдийн матрицыг ашиглан урвуу матрицыг бүтээцгээе (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Урвуу матрицыг үржүүлэх замаар үл мэдэгдэх хувьсагчийн матрицыг тооцоолоход л үлддэг чөлөөт гишүүдийн матриц багана дээр (шаардлагатай бол нийтлэлийг үзнэ үү):

Хариулт:

эсвэл өөр тэмдэглэгээнд x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицын аргаар шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олоход тулгарч буй гол асуудал бол урвуу матрицыг олох, ялангуяа 3-аас дээш эрэмбийн квадрат матрицуудыг олоход төвөгтэй байдаг.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг Гауссын аргаар шийдвэрлэх.

Үл мэдэгдэх n хувьсагчтай n шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдийг олох хэрэгтэй гэж бодъё.
үндсэн матрицын тодорхойлогч нь тэгээс ялгаатай.

Гауссын аргын мөн чанарүл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан хасахаас бүрдэнэ: нэгдүгээрт, x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёрдугаарт, дараа нь x 2-ыг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хасна, зөвхөн үл мэдэгдэх хувьсагч хүртэл. Сүүлийн тэгшитгэлд x n хэвээр байна. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгахын тулд системийн тэгшитгэлийг хувиргах ийм үйл явц гэж нэрлэгддэг. шууд Гауссын арга. Гауссын аргын урагш гүйлт дууссаны дараа хамгийн сүүлийн тэгшитгэлээс х n, энэ утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс х n-1, мөн эхний тэгшитгэлээс x 1-ийг олно. Системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэл рүү шилжих үед үл мэдэгдэх хувьсагчдыг тооцоолох үйл явцыг гэнэ. урвуу Гауссын арга.

Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг арилгах алгоритмыг товч тайлбарлая.

Системийн тэгшитгэлийг дахин цэгцлэх замаар бид үүнийг үргэлж хийж чаддаг тул бид үүнийг таамаглах болно. Бид үл мэдэгдэх хувьсагч x 1-ийг системийн бүх тэгшитгэлээс хоёр дахь хэсгээс нь хасдаг. Үүнийг хийхийн тулд системийн хоёр дахь тэгшитгэл дээр эхний үржүүлсэн тэгшитгэлийг нэмэх, гурав дахь тэгшитгэл дээр эхний үржвэрийг нэмэх гэх мэт эхний үржвэрийг n-р тэгшитгэлд нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, а .

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлд x 1-ийг бусад үл мэдэгдэх хувьсагчдаар илэрхийлж, гарсан илэрхийлэлийг бусад бүх тэгшитгэлд орлуулбал ижил үр дүнд хүрнэ. Тиймээс x 1 хувьсагчийг хоёр дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид ижил төстэй үйлдэл хийдэг, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн үүссэн системийн нэг хэсэгтэй л ажиллана

Үүнийг хийхийн тулд системийн гурав дахь тэгшитгэл дээр хоёр дахь үржвэрийг нэмэх, дөрөв дэх тэгшитгэл дээр хоёр дахь үржвэрийг нэмэх гэх мэт хоёр дахь үржвэрийг n-р тэгшитгэлд нэмнэ. Ийм хувиргалт хийсний дараа тэгшитгэлийн систем хэлбэр болно

хаана, а . Тиймээс x 2 хувьсагчийг гурав дахь хэсгээс эхлэн бүх тэгшитгэлээс хассан болно.

Дараа нь бид зураг дээр тэмдэглэсэн системийн хэсэгтэй ижил төстэй ажиллахын зэрэгцээ үл мэдэгдэх x 3-ийг арилгах ажлыг үргэлжлүүлнэ.

Тиймээс бид систем хэлбэрийг авах хүртэл Гауссын аргын шууд чиглэлийг үргэлжлүүлнэ

Энэ мөчөөс эхлэн бид Гауссын аргын урвуу чиглэлийг эхлүүлнэ: бид сүүлчийн тэгшитгэлээс x n-ийг тооцоолж, олж авсан x n утгыг ашиглан эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс x n-1-ийг олно, мөн эхнийхээс x 1-ийг олно. тэгшитгэл.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэх Гауссын арга.

Шийдэл.

Системийн хоёр ба гуравдугаар тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх хувьсагч х 1-ийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд хоёр ба гурав дахь тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт бид эхний тэгшитгэлийн харгалзах хэсгүүдийг тус тусад нь үржүүлж нэмнэ.

Одоо бид гурав дахь тэгшитгэлээс x 2-ыг хасч, түүний зүүн ба баруун хэсэгт хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун хэсгийг нэмж, дараах байдлаар үржүүлэв.

Үүн дээр Гауссын аргын урагшлах курс дуусч, бид урвуу чиглэлийг эхлүүлнэ.

Үүссэн тэгшитгэлийн системийн сүүлчийн тэгшитгэлээс бид x 3-ийг олно.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олж авна.

Эхний тэгшитгэлээс бид үл мэдэгдэх хувьсагчийг олох бөгөөд энэ нь Гауссын аргын урвуу чиглэлийг гүйцээнэ.

Хариулт:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх.

Ерөнхий тохиолдолд p системийн тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх n хувьсагчийн тоотой давхцдаггүй.

Ийм SLAE нь шийдэлгүй, нэг шийдэлтэй эсвэл хязгааргүй олон шийдэлтэй байж болно. Энэхүү мэдэгдэл нь үндсэн матриц нь квадрат ба доройтсон тэгшитгэлийн системд мөн хамаарна.

Кронекер-Капелли теорем.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдлийг олохын өмнө түүний нийцтэй байдлыг тогтоох шаардлагатай. Хэзээ SLAE нийцэж байна, хэзээ таарахгүй байна гэсэн асуултын хариултыг өгнө Кронекер-Капелли теорем:
n үл мэдэгдэх (p нь n-тэй тэнцүү байж болно) p тэгшитгэлийн систем тууштай байхын тулд системийн үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай, өөрөөр хэлбэл, Rank( A)=Зэрэглэл(T) .

Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлох Кронекер-Каппелли теоремыг жишээ болгон авч үзье.

Жишээ.

Шугаман тэгшитгэлийн систем байгаа эсэхийг олж мэд шийдлүүд.

Шийдэл.

. Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг хэрэглэцгээе. Хоёр дахь зэрэглэлийн бага тэгээс ялгаатай. Үүнийг тойрсон гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн талаар ярилцъя:

Бүх хил залгаа гуравдагч зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн матрицын зэрэглэл хоёр байна.

Хариуд нь нэмэгдүүлсэн матрицын зэрэглэл гурав дахь эрэмбийн бага учраас гуравтай тэнцүү байна

тэгээс ялгаатай.

Тиймээс, Rang(A) тул Кронекер-Капелли теоремын дагуу шугаман тэгшитгэлийн анхны систем нийцэхгүй байна гэж дүгнэж болно.

Хариулт:

Шийдвэрлэх систем алга.

Тиймээс бид Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан системийн үл нийцэлийг тогтоож сурсан.

Гэхдээ нийцтэй байдал нь тогтоогдсон тохиолдолд SLAE-ийн шийдлийг хэрхэн олох вэ?

Үүний тулд бидэнд матрицын минор суурь гэсэн ойлголт, матрицын зэрэглэлийн теорем хэрэгтэй.

Тэгээс бусад А матрицын хамгийн дээд эрэмбийн минорыг нэрлэнэ үндсэн.

Үндсэн минорын тодорхойлолтоос үзэхэд түүний дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна. Тэг биш А матрицын хувьд хэд хэдэн үндсэн минор байж болно; үргэлж нэг үндсэн минор байдаг.

Жишээлбэл, матрицыг авч үзье .

Энэ матрицын гурав дахь эгнээний элементүүд нь эхний болон хоёр дахь эгнээний харгалзах элементүүдийн нийлбэр учраас энэ матрицын бүх гурав дахь эрэмбийн багачууд тэгтэй тэнцүү байна.

Дараах хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь тэгээс ялгаатай тул үндсэн юм

Насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү тул үндсэн биш.

Матрицын зэрэглэлийн теорем.

Хэрэв p-ээс n дарааллын матрицын зэрэглэл нь r бол сонгосон минорыг үүсгэдэггүй матрицын мөрийн (ба баганын) бүх элементүүдийг мөрийн (ба баганын) харгалзах элементүүдээр шугаман байдлаар илэрхийлнэ. ) энэ нь минорын суурийг бүрдүүлдэг.

Матрицын зэрэглэлийн теорем бидэнд юу өгдөг вэ?

Хэрэв Кронекер-Капелли теоремоор бид системийн нийцтэй байдлыг тогтоосон бол системийн үндсэн матрицын аль ч үндсэн минорыг (түүний дараалал нь r-тэй тэнцүү) сонгож, системээс хамааралгүй бүх тэгшитгэлийг хасна. сонгосон үндсэн насанд хүрээгүй хүнийг бүрдүүлнэ. Ийм аргаар олж авсан SLAE нь анхныхтай тэнцүү байх болно, учир нь хасагдсан тэгшитгэлүүд илүүдэл хэвээр байна (матрицын эрэмбийн теоремын дагуу тэдгээр нь үлдсэн тэгшитгэлүүдийн шугаман хослол юм).

Үүний үр дүнд системийн хэт их тэгшитгэлийг устгасны дараа хоёр тохиолдол гарч болно.

Хэрэв үүссэн систем дэх тэгшитгэлийн тоо r нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол энэ нь тодорхой байх бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олох боломжтой.

Жишээ.

.

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэл хоёр дахь эрэмбийн минор учраас хоёртой тэнцүү байна тэгээс ялгаатай. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл Гурав дахь эрэмбийн цорын ганц минор нь тэгтэй тэнцүү тул хоёртой тэнцүү байна

мөн дээр авч үзсэн хоёр дахь эрэмбийн минор нь тэгээс ялгаатай. Kronecker-Capelli теорем дээр үндэслэн Rank(A)=Rank(T)=2 байх тул шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн нийцтэй байдлыг баталж болно.

Бага үндэс болгон бид авдаг . Энэ нь эхний ба хоёр дахь тэгшитгэлийн коэффициентээр үүсгэгддэг.


Системийн гурав дахь тэгшитгэл нь үндсэн минорыг үүсгэхэд оролцдоггүй тул матрицын зэрэглэлийн теорем дээр үндэслэн үүнийг системээс хасна.


Тиймээс бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн энгийн системийг олж авлаа. Үүнийг Крамерын аргаар шийдье.


Хариулт:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Хэрэв үүссэн SLAE дахь тэгшитгэлийн тоо r бол тооноос багаүл мэдэгдэх хувьсагч n, дараа нь тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн минорыг бүрдүүлж буй гишүүдийг үлдээж, үлдсэн гишүүдийг эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлнэ.

Тэгшитгэлийн зүүн талд үлдсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн r байгаа) гэж нэрлэдэг. гол.

Баруун талд төгссөн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг (тэдгээрийн n - r байдаг) гэж нэрлэдэг. үнэгүй.

Одоо бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчид дурын утгыг авч болно гэж таамаглаж байна, харин r үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагч нь чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдаас өвөрмөц байдлаар илэрхийлэгдэх болно. Тэдний илэрхийлэл нь үүссэн SLAE-ийг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар шийдвэрлэх замаар олж болно.

Нэг жишээ татъя.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэх .

Шийдэл.

Системийн үндсэн матрицын зэрэглэлийг ол хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн аргаар. 1 1 = 1-ийг тэг биш эхний эрэмбийн минор гэж авцгаая. Энэ насанд хүрээгүй хүүхдийг тойрсон тэгээс өөр хоёрдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүнийг хайж эхэлцгээе.


Тиймээс бид 2-р зэрэглэлийн 0 биш минорыг олсон. Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс өөр хил хязгаарыг хайж эхэлцгээе.


Тиймээс үндсэн матрицын зэрэглэл гурван байна. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл систем нь тогтвортой байна.

Гурав дахь эрэмбийн 0-ээс багагүй олдсон минорыг үндсэн гэж авна.

Тодорхой болгохын тулд бид минорын үндэс суурийг бүрдүүлдэг элементүүдийг харуулав.


Бид системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн минорд оролцож буй нэр томъёог үлдээж, үлдсэнийг нь эсрэг тэмдгээр баруун тал руу шилжүүлнэ.


Бид x 2 ба x 5 үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дурын утгыг өгдөг, өөрөөр хэлбэл бид авдаг , дурын тоо хаана байна. Энэ тохиолдолд SLAE хэлбэрийг авна


Бид шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн олж авсан энгийн системийг Крамерын аргаар шийддэг.


Тиймээс, .

Хариултанд үл мэдэгдэх үнэгүй хувьсагчдыг зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Хариулт:

Дурын тоонууд хаана байна.

Дүгнэж хэлье.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд эхлээд Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан түүний нийцтэй байдлыг олж мэднэ. Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү биш бол систем нь нийцэхгүй байна гэж бид дүгнэж байна.

Хэрэв үндсэн матрицын зэрэглэл нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү бол бид үндсэн минорыг сонгож, сонгосон үндсэн минорыг бүрдүүлэхэд оролцдоггүй системийн тэгшитгэлийг устгана.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тоотой тэнцүү бол SLAE нь өвөрмөц шийдэлтэй бөгөөд үүнийг бидэнд мэдэгдэж буй ямар ч аргаар олж болно.

Хэрэв суурь минорын дараалал нь үл мэдэгдэх хувьсагчдын тооноос бага байвал системийн тэгшитгэлийн зүүн талд үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчтай нөхцлүүдийг үлдээж, үлдсэн нөхцлүүдийг баруун тал руу шилжүүлж, дурын утгыг онооно. үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад. Үүссэн шугаман тэгшитгэлийн системээс бид үндсэн үл мэдэгдэх хувьсагчдыг Крамерын арга, матрицын арга эсвэл Гауссын аргаар олдог.

Ерөнхий хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын арга.

Гауссын аргыг ашиглан ямар ч төрлийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг тэдгээрийн нийцтэй байдлын урьдчилсан судалгаагүйгээр шийдэж болно. Үл мэдэгдэх хувьсагчдыг дараалан арилгах үйл явц нь SLAE-ийн нийцтэй байдал, үл нийцэх байдлын талаар дүгнэлт гаргах боломжийг олгодог бөгөөд хэрэв шийдэл байгаа бол түүнийг олох боломжтой болгодог.

Тооцооллын ажлын үүднээс Гауссын аргыг илүүд үздэг.

Энийг үз Дэлгэрэнгүй тодорхойлолтНийтлэг хэлбэрийн шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх Гауссын аргын тухай өгүүлэл дэх жишээнүүдэд дүн шинжилгээ хийсэн.

Уусмалын үндсэн системийн векторуудыг ашиглан нэгэн төрлийн ба нэгэн төрлийн бус шугаман алгебрийн системийн ерөнхий шийдийг бүртгэх.

Энэ хэсэгт бид хязгааргүй олон шийдтэй шугаман алгебрийн тэгшитгэлүүдийн нэг төрлийн ба нэг төрлийн бус системд анхаарлаа хандуулах болно.

Эхлээд нэгэн төрлийн системүүдийг авч үзье.

Шийдвэр гаргах үндсэн системҮл мэдэгдэх n хувьсагчтай p шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн систем нь энэ системийн шугаман бие даасан шийдлүүдийн багц (n – r) бөгөөд r нь системийн үндсэн матрицын суурь минорын дараалал юм.

Хэрэв бид нэгэн төрлийн SLAE-ийн шугаман бие даасан шийдлүүдийг X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) гэж нэрлэвэл n хэмжээсийн матрицын баганууд болно. 1 ), дараа нь энэхүү нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдийг дурын тогтмол С 1 , С 2 , …, С (n-r) коэффициент бүхий шийдлүүдийн үндсэн системийн векторуудын шугаман хослолоор илэрхийлнэ, өөрөөр хэлбэл, .

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдэл (орослау) гэдэг нэр томъёо нь юу гэсэн үг вэ?

Утга нь энгийн: томъёо нь бүх зүйлийг тогтоодог боломжит шийдлүүданхны SLAE, өөрөөр хэлбэл дурын тогтмолуудын С 1 , С 2 , …, С (n-r) утгуудын багцыг авч томъёоны дагуу бид анхны нэгэн төрлийн SLAE-ийн шийдлүүдийн аль нэгийг авна.

Тиймээс, хэрэв бид шийдлүүдийн үндсэн системийг олвол энэ нэгэн төрлийн SLAE-ийн бүх шийдлүүдийг гэж тохируулж болно.

Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг бий болгох үйл явцыг харуулъя.

Бид шугаман тэгшитгэлийн анхны системийн үндсэн минорыг сонгож, бусад бүх тэгшитгэлийг системээс хасч, үл мэдэгдэх хувьсагчдыг агуулсан бүх гишүүнийг эсрэг тэмдэгтэй системийн тэгшитгэлийн баруун гар талд шилжүүлдэг. Үл мэдэгдэх зүйлсийг үнэгүй өгье хувьсах утгууд 1,0,0,…,0 ба үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцоолж, үүссэн шугаман тэгшитгэлийн анхан шатны системийг ямар ч аргаар, жишээлбэл, Крамерын аргаар шийдвэрлэх. Тиймээс үндсэн системийн анхны шийдэл болох X (1) -ийг олж авна. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх утгуудад 0,1,0,0,…,0 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (2) болно. гэх мэт. Хэрэв бид чөлөөт үл мэдэгдэх хувьсагчдад 0,0,…,0,1 утгыг өгөөд үндсэн үл мэдэгдэхийг тооцвол X (n-r) болно. Нэг төрлийн SLAE-ийн шийдлийн үндсэн системийг ингэж байгуулж, түүний ерөнхий шийдлийг хэлбэрээр бичиж болно.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн бус системийн хувьд ерөнхий шийдийг дараах байдлаар илэрхийлнэ

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ.

Шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдийг олох .

Шийдэл.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системийн үндсэн матрицын зэрэг нь өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй үргэлж тэнцүү байна. Гол матрицын зэрэглэлийг насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хүрээний аргаар олъё. Нэгдүгээр эрэмбийн тэгээс өөр минорын хувьд бид системийн үндсэн матрицын a 1 1 = 9 элементийг авна. Хоёрдахь эрэмбийн хилийн тэг биш минорыг ол:

Хоёр дахь эрэмбийн минор буюу тэгээс ялгаатай нь олддог. Тэг биш нэгийг хайж олохын тулд түүнтэй хиллэдэг гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье.

Гурав дахь зэрэглэлийн бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул үндсэн ба өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь хоёр байна. Бага насны үндсэн хичээлийг авч үзье. Тодорхой болгохын тулд бид үүнийг бүрдүүлдэг системийн элементүүдийг тэмдэглэв.

Анхны SLAE-ийн гуравдахь тэгшитгэл нь үндсэн минорыг үүсгэхэд оролцдоггүй тул дараахь зүйлийг хасч болно.

Бид тэгшитгэлийн баруун талд үндсэн үл мэдэгдэх нөхцлүүдийг үлдээж, чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун гар талд шилжүүлнэ.

Шугаман тэгшитгэлийн анхны нэгэн төрлийн системийн шийдлийн үндсэн системийг байгуулъя. Энэхүү SLAE-ийн шийдлүүдийн үндсэн систем нь хоёр шийдлээс бүрдэнэ, учир нь анхны SLAE нь үл мэдэгдэх дөрвөн хувьсагчийг агуулдаг бөгөөд түүний үндсэн минорын дараалал нь хоёр байдаг. X (1) -ийг олохын тулд бид үнэгүй үл мэдэгдэх хувьсагчдад x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 утгыг өгөөд дараа нь тэгшитгэлийн системээс үндсэн үл мэдэгдэх зүйлийг олно.
.

1. Орлуулах арга: системийн аль ч тэгшитгэлээс бид нэг үл мэдэгдэхийг нөгөөгөөр илэрхийлж, системийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна.

Даалгавар.Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл.Системийн эхний тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ цагтдамжуулан Xсистемийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Системийг нь авч үзье эх хувьтай тэнцэнэ.

Ийм нэр томъёог оруулсны дараа систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олно: . Энэ утгыг тэгшитгэлд орлуулах цагт = 2 - 2X, бид авдаг цагт= 3. Иймд энэ системийн шийдэл нь хос тоо юм.

2. Алгебрийн нэмэх арга: хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна.

Даалгавар.Системийн тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл.Хоёр дахь тэгшитгэлийн хоёр талыг 2-оор үржүүлснээр бид системийг олж авна эх хувьтай тэнцэнэ. Энэ системийн хоёр тэгшитгэлийг нэмснээр бид системд хүрнэ

Ижил төстэй нэр томъёог багасгасны дараа энэ систем дараах хэлбэртэй болно. Хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог. Энэ утгыг 3-р томьёонд орлуул X + 4цагт= 5, бид авна , хаана. Тиймээс энэ системийн шийдэл нь хос тоо юм.

3. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх арга: бид системд дахин давтагдах илэрхийлэлүүдийг хайж байгаа бөгөөд үүнийг шинэ хувьсагчаар тэмдэглэж, улмаар системийн хэлбэрийг хялбарчлах болно.

Даалгавар.Тэгшитгэлийн системийг шийд:

Шийдэл.Энэ системийг өөрөөр бичье:

Болъё x + y = у, ху = v.Дараа нь бид системийг авдаг

Үүнийг орлуулах аргаар шийдье. Системийн эхний тэгшитгэлээс бид илэрхийлнэ удамжуулан vсистемийн хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна. Системийг нь авч үзье тэдгээр.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэлээс бид олдог v 1 = 2, v 2 = 3.

Эдгээр утгыг тэгшитгэлд орлуулах у = 5 - v, бид авдаг у 1 = 3,
у 2 = 2. Дараа нь бид хоёр системтэй болно

Эхний системийг шийдэж, бид хоёр хос тоо (1; 2), (2; 1) авна. Хоёр дахь систем нь ямар ч шийдэлгүй.

Бие даасан ажилд зориулсан дасгалууд

1. Орлуулах аргыг ашиглан тэгшитгэлийн системийг шийд.

Хичээлийн агуулга

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл

Оюутан сургуульд үдийн хоол идэхэд 200 рубльтэй. Бялуу 25 рубль, нэг аяга кофе 10 рубль байна. 200 рублиэр хэдэн бялуу, аяга кофе авах боломжтой вэ?

Бялууны тоог тэмдэглэ x, мөн аяга кофе уух тоо y. Дараа нь бялууны үнийг 25 гэсэн илэрхийллээр тэмдэглэнэ x, мөн аяга кофены үнэ 10 y .

25х-Үнэ xбялуу
10у-Үнэ yаяга кофе

Нийт дүн нь 200 рубль байх ёстой. Дараа нь бид хоёр хувьсагчтай тэгшитгэлийг авна xТэгээд y

25x+ 10y= 200

Энэ тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

Энэ бүхэн оюутны хоолны дуршилаас хамаарна. Хэрэв тэр 6 бялуу, 5 аяга кофе худалдаж авбал тэгшитгэлийн үндэс нь 6 ба 5 тоо байх болно.

6 ба 5-ын хос утгыг 25-р тэгшитгэлийн үндэс гэнэ x+ 10y= 200. Эхний тоо нь хувьсагчийн утга байхаар (6; 5) гэж бичнэ x, хоёр дахь нь - хувьсагчийн утга y .

6 ба 5 нь 25-р тэгшитгэлийг буцаах цорын ганц үндэс биш юм x+ 10y= 200 нь таних. Хэрэв хүсвэл ижил 200 рубльд оюутан 4 бялуу, 10 аяга кофе худалдаж авах боломжтой.

Энэ тохиолдолд 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь хос утгууд (4; 10) юм.

Түүгээр ч барахгүй оюутан кофе огт авахгүй байж болох ч 200 рублийн бялуу худалдаж авдаг. Дараа нь 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь 8 ба 0 утгууд болно

Эсвэл эсрэгээр нь бялуу худалдаж авахгүй, харин бүх 200 рубльд кофе худалдаж аваарай. Дараа нь 25-р тэгшитгэлийн үндэс x+ 10y= 200 нь 0 ба 20 утгууд байх болно

25-р тэгшитгэлийн бүх боломжит язгууруудыг жагсаахыг хичээцгээе x+ 10y= 200. Үнэт зүйл гэдэгтэй санал нийлэе xТэгээд yбүхэл тоонуудын багцад хамаарна. Мөн эдгээр утгууд нь тэгээс их буюу тэнцүү байна:

x∈З, у∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Тиймээс энэ нь оюутан өөрөө тохиромжтой байх болно. Бялуу нь жишээлбэл, хэд хэдэн бүтэн бялуу, хагас бялууг бодвол бүхэлд нь худалдан авахад илүү тохиромжтой байдаг. Жишээлбэл, хэд хэдэн бүтэн аяга, хагас аягатай харьцуулахад кофег бүхэлд нь аяганд хийхэд илүү тохиромжтой байдаг.

Хачирхалтай гэдгийг анхаарна уу xямар ч үед тэгш байдлыг хангах боломжгүй юм y. Дараа нь үнэт зүйлс xдараах тоонууд байх болно 0, 2, 4, 6, 8. Мөн мэдэх xамархан тодорхойлж болно y

Тиймээс бид дараах хос утгыг олж авлаа (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Эдгээр хосууд нь 25-р тэгшитгэлийн шийдэл буюу үндэс юм x+ 10y= 200. Тэд энэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Төрөл тэгшитгэл сүх + by = cдуудсан хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл эсвэл үндэс нь хос утгууд юм ( x; y), энэ нь түүнийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичихийг анхаарна уу ax + b y = c ,тэгээд дотор нь бичигдсэн гэж хэлдэг каноник(хэвийн) хэлбэр.

Хоёр хувьсагчийн зарим шугаман тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулж болно.

Жишээлбэл, тэгшитгэл 2(16x+ 3у- 4) = 2(12 + 8x − y) санаанд оруулж болно сүх + by = c. Энэ тэгшитгэлийн хоёр хэсэгт байгаа хаалтуудыг нээцгээе 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Үл мэдэгдэх нэр томъёог тэгшитгэлийн зүүн талд, үл мэдэгдэх нэр томъёог баруун талд нь бүлэглэв. Дараа нь бид авна 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Бид хоёр хэсэгт ижил төстэй нэр томъёог авчирч, 16-р тэгшитгэлийг авна x+ 8y= 32. Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулав сүх + by = cба каноник юм.

25-р тэгшитгэлийг өмнө нь авч үзсэн x+ 10y= 200 нь мөн канон хэлбэрийн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлд параметрүүд а , бТэгээд в 25, 10, 200 гэсэн утгатай тэнцүү байна.

Үнэндээ тэгшитгэл сүх + by = cхязгааргүй олон шийдэлтэй. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 25x+ 10y= 200, бид түүний үндсийг зөвхөн бүхэл тооны олонлогоос хайсан. Үүний үр дүнд бид энэ тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргасан хэд хэдэн хос утгыг олж авлаа. Харин рационал тооны олонлог дээр 25-р тэгшитгэл x+ 10y= 200 нь хязгааргүй олон шийдтэй байх болно.

Шинэ хос утгыг авахын тулд та дурын утгыг авах хэрэгтэй x, дараа нь илэрхийлнэ үү y. Жишээлбэл, хувьсагчийг авч үзье xутга 7. Дараа нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл гарна 25×7 + 10y= 200 Үүнд илэрхийлэх y

Болъё x= 15. Дараа нь тэгшитгэл 25x+ 10y= 200 нь 25 × 15 болно + 10y= 200. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ y = −17,5

Болъё x= −3. Дараа нь тэгшитгэл 25x+ 10y= 200 нь 25 × (−3) болно + 10y= 200. Эндээс бид үүнийг олж мэднэ y = −27,5

Хоёр хувьсагчтай хоёр шугаман тэгшитгэлийн систем

Тэгшитгэлийн хувьд сүх + by = cта дурын утгыг хэдэн ч удаа авч болно xболон утгыг олох y. Тус тусад нь авч үзвэл ийм тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй байх болно.

Гэхдээ энэ нь бас хувьсагчид тохиолддог xТэгээд yнэг биш, хоёр тэгшитгэлээр холбогдсон. Энэ тохиолдолд тэд гэж нэрлэгддэг зүйлийг бүрдүүлдэг хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем. Ийм тэгшитгэлийн систем нь нэг хос утгатай байж болно (эсвэл өөрөөр хэлбэл: "нэг шийдэл").

Мөн системд ямар ч шийдэл байхгүй байж магадгүй юм. Шугаман тэгшитгэлийн систем нь ховор, онцгой тохиолдолд хязгааргүй тооны шийдтэй байж болно.

Хоёр шугаман тэгшитгэл нь утгууд нь системийг үүсгэдэг xТэгээд yЭдгээр тэгшитгэл тус бүрт багтсан болно.

Эхний тэгшитгэл 25 руу буцаж орцгооё x+ 10y= 200. Энэ тэгшитгэлийн хос утгуудын нэг нь хос (6; 5) байв. Энэ нь 200 рубльд 6 бялуу, 5 аяга кофе худалдаж авах боломжтой байсан тохиолдол юм.

(6; 5) хос болохын тулд бодлого зохиоё цорын ганц шийдэл 25-р тэгшитгэлийн хувьд x+ 10y= 200. Үүнийг хийхийн тулд бид ижил зүйлийг холбох өөр нэг тэгшитгэл зохио xбялуу болон yаяга кофе.

Даалгаврын текстийг дараах байдлаар оруулъя.

“Сургуулийн хүүхэд 200 рублиэр хэд хэдэн бялуу, хэдэн аяга кофе худалдаж авсан. Бялуу 25 рубль, нэг аяга кофе 10 рубль байна. Бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэгээр илүү байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол оюутан хэдэн бялуу, аяга кофе худалдаж авсан бэ?

Бидэнд эхний тэгшитгэл аль хэдийн байна. Энэ бол 25-р тэгшитгэл юм x+ 10y= 200. Одоо нөхцөлийн тэгшитгэлийг бичье "Бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэг нэгжээр их байна" .

Бялууны тоо x, мөн аяга кофены тоо байна y. Та тэгшитгэлийг ашиглан энэ хэллэгийг бичиж болно x − y= 1. Энэ тэгшитгэл нь бялуу, кофе хоёрын ялгаа 1 гэсэн үг юм.

x=y+ 1. Энэ тэгшитгэл нь бялууны тоо нь аяга кофены тооноос нэгээр илүү байна гэсэн үг юм. Тиймээс тэгш байдлыг хангахын тулд аяга кофены тоонд нэгийг нэмнэ. Хэрэв бид хамгийн энгийн асуудлыг судлахдаа авч үзсэн жингийн загварыг ашиглавал үүнийг хялбархан ойлгож болно.

Хоёр тэгшитгэлтэй байна: 25 x+ 10y= 200 ба x=y+ 1. утгуудаас хойш xТэгээд y, тухайлбал 6 ба 5 нь эдгээр тэгшитгэл тус бүрт багтсан бөгөөд дараа нь тэд хамтдаа систем үүсгэдэг. Энэ системийг бичье. Хэрэв тэгшитгэлүүд нь системийг бүрдүүлдэг бол тэдгээр нь системийн тэмдгээр хүрээлэгдсэн байдаг. Системийн тэмдэг нь буржгар хаалт юм:

Энэ системийг шийдье. Энэ нь 6 ба 5 гэсэн утгуудад хэрхэн хүрч байгааг харах боломжийг бидэнд олгоно. Ийм системийг шийдэх олон арга байдаг. Тэдгээрийн хамгийн алдартайг нь авч үзье.

Орлуулах арга

Энэ аргын нэр нь өөрөө ярьдаг. Үүний мөн чанар нь хувьсагчийн аль нэгийг өмнө нь илэрхийлсэн нэг тэгшитгэлийг нөгөөд орлуулах явдал юм.

Манай системд юу ч илэрхийлэх шаардлагагүй. Хоёр дахь тэгшитгэлд x = y+ 1 хувьсагч xаль хэдийн илэрхийлсэн. Энэ хувьсагч нь илэрхийлэлтэй тэнцүү байна y+ 1. Дараа нь та энэ илэрхийллийг эхний тэгшитгэлд хувьсагчийн оронд орлуулж болно x

Илэрхийллийг орлуулсны дараа yОронд нь эхний тэгшитгэлд + 1 x, бид тэгшитгэлийг авна 25(y+ 1) + 10y= 200 . Энэ бол нэг хувьсагчтай шугаман тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд маш хялбар:

Бид хувьсагчийн утгыг олсон y. Одоо бид энэ утгыг тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулж утгыг олно x. Үүний тулд хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой x = y+ 1. Үүний үнэ цэнийг оруулъя y

Тэгэхээр (6; 5) хос нь бидний бодож байсанчлан тэгшитгэлийн системийн шийдэл юм. Бид (6; 5) хос системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгаж, шалгана.

Жишээ 2

Эхний тэгшитгэлийг орлуулна уу x= 2 + yХоёр дахь тэгшитгэлд 3 x - 2y= 9 . Эхний тэгшитгэлд хувьсагч x 2 + илэрхийлэлтэй тэнцүү байна y. Бид энэ илэрхийллийг оронд нь хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна x

Одоо утгыг нь олъё x. Үүнийг хийхийн тулд утгыг орлуулна уу yэхний тэгшитгэлд оруулна x= 2 + y

Системийн шийдэл нь хос утга юм (5; 3)

Жишээ 3. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Энд өмнөх жишээнүүдээс ялгаатай нь хувьсагчийн аль нэг нь тодорхой илэрхийлэгдээгүй байна.

Нэг тэгшитгэлийг нөгөөд орлуулахын тулд эхлээд .

Нэг коэффициенттэй хувьсагчийг илэрхийлэх нь зүйтэй. Коэффициент нэгж нь хувьсагчтай x, энэ нь эхний тэгшитгэлд агуулагддаг x+ 2y= 11. Энэ хувьсагчийг илэрхийлье.

Хувьсагчийн илэрхийллийн дараа x, манай систем иймэрхүү харагдах болно:

Одоо бид эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт орлуулж утгыг олно y

Орлуулах y x

Тиймээс системийн шийдэл нь хос утгууд юм (3; 4)

Мэдээжийн хэрэг та хувьсагчийг бас илэрхийлж болно y. Үндэс нь өөрчлөгдөхгүй. Гэхдээ илэрхийлбэл у,үр дүн нь тийм ч энгийн тэгшитгэл биш бөгөөд үүнийг шийдвэрлэхэд илүү их цаг хугацаа шаардагдана. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Бид үүнийг харж байна энэ жишээилэрхийлэх xилэрхийлэхээс хамаагүй илүү тохиромжтой y .

Жишээ 4. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Эхний тэгшитгэлээр илэрхийл x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

y

Орлуулах yЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол x. Та анхны тэгшитгэл 7-г ашиглаж болно x+ 9y= 8 , эсвэл хувьсагчийг илэрхийлсэн тэгшитгэлийг ашиглана уу x. Энэ нь тохиромжтой тул бид энэ тэгшитгэлийг ашиглах болно.

Тиймээс системийн шийдэл нь хос утгууд юм (5; -3)

Нэмэх арга

Нэмэх арга нь системд орсон тэгшитгэлүүдийг гишүүнээр нь нэмэх явдал юм. Энэ нэмэлт нь нэг хувьсагчтай шинэ тэгшитгэлийг бий болгодог. Мөн энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь маш хялбар юм.

Дараахь тэгшитгэлийн системийг шийдье.

Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмнэ. Мөн эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талтай. Бид дараахь тэгш байдлыг олж авна.

Энд ижил төстэй нэр томъёо байна:

Үүний үр дүнд бид хамгийн энгийн 3-р тэгшитгэлийг олж авлаа x= 27 язгуур нь 9. Утгыг мэдэх xүнэ цэнийг олох боломжтой y. Утгыг орлуулах xхоёр дахь тэгшитгэлд оруулна x − y= 3 . Бид 9-ийг авна y= 3 . Эндээс y= 6 .

Тиймээс системийн шийдэл нь хос утгууд юм (9; 6)

Жишээ 2

Эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд нэмнэ. Мөн эхний тэгшитгэлийн баруун тал нь хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун талтай. Үүссэн тэгш байдлын хувьд бид дараах нэр томъёог гаргаж байна.

Үүний үр дүнд бид хамгийн энгийн 5-р тэгшитгэлийг авсан x= 20, язгуур нь 4. Утгыг мэдэх xүнэ цэнийг олох боломжтой y. Утгыг орлуулах xэхний тэгшитгэлд 2 x+y= 11. 8+ авцгаая y= 11. Эндээс y= 3 .

Тиймээс системийн шийдэл нь хос утгууд юм (4;3)

Нэмэх үйл явцыг нарийвчлан тайлбарлаагүй болно. Үүнийг оюун ухаандаа хийх ёстой. Нэмэхдээ хоёр тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруулах ёстой. Энэ нь оюун ухаанд ac+by=c .

Үзсэн жишээнүүдээс харахад тэгшитгэл нэмэх гол зорилго нь аль нэг хувьсагчаас салах явдал юм. Гэхдээ тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргаар нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй байдаг. Ихэнх тохиолдолд системийг энэ системд багтсан тэгшитгэлүүдийг нэмэх боломжтой хэлбэрт оруулдаг.

Жишээлбэл, систем нэмэх аргаар шууд шийдэж болно. Хоёр тэгшитгэлийг нэмэхдээ нөхцөл yТэгээд −yТэдний нийлбэр тэг учраас алга болно. Үүний үр дүнд хамгийн энгийн тэгшитгэл 11 үүснэ x= 22 , язгуур нь 2. Дараа нь тодорхойлох боломжтой болно y 5-тай тэнцүү.

Мөн тэгшитгэлийн систем нэмэх аргыг нэн даруй шийдвэрлэх боломжгүй, учир нь энэ нь нэг хувьсагчийн алга болоход хүргэхгүй. Нэмэлт хийснээр 8-р тэгшитгэл гарч ирнэ x+ y= 28 , энэ нь хязгааргүй олон шийдтэй.

Хэрэв тэгшитгэлийн хоёр хэсгийг тэгтэй тэнцүү биш ижил тоогоор үржүүлж эсвэл хуваавал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарна. Энэ дүрэм нь хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системд мөн хүчинтэй. Тэгшитгэлийн аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) тодорхой тоогоор үржүүлж болно. Үр дүн нь ижил төстэй систем бөгөөд үндэс нь өмнөхтэй давхцах болно.

Оюутан хэдэн бялуу, аяга кофе худалдаж авсныг тодорхойлсон хамгийн эхний систем рүү буцъя. Энэ системийн шийдэл нь хос утгууд (6; 5) байв.

Бид энэ системд багтсан тэгшитгэлийг хоёуланг нь хэд хэдэн тоогоор үржүүлдэг. Эхний тэгшитгэлийг 2, хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүлье гэж бодъё

Үр дүн нь систем юм
Энэ системийн шийдэл нь хос утгууд хэвээр байна (6; 5)

Энэ нь системд орсон тэгшитгэлийг нэмэх аргыг хэрэглэхэд тохиромжтой хэлбэрт оруулж болно гэсэн үг юм.

Систем рүү буцах , үүнийг бид нэмэх аргаар шийдэж чадаагүй.

Эхний тэгшитгэлийг 6-аар, хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлнэ

Дараа нь бид дараах системийг авна.

Бид энэ системд багтсан тэгшитгэлүүдийг нэмнэ. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэмэлт 12 xба -12 xүр дүнд нь 0, нэмэх 18 болно yболон 4 y 22 өгнө y, мөн 108 ба −20-ыг нэмбэл 88 болно. Дараа нь та 22 тэгшитгэлийг авна. y= 88, тиймээс y = 4 .

Эхлээд тэгшитгэлийг оюун ухаандаа нэмэхэд хэцүү байвал эхний тэгшитгэлийн зүүн талыг хоёр дахь тэгшитгэлийн зүүн талд, эхний тэгшитгэлийн баруун талыг баруун талд хэрхэн нэмдэгийг бичиж болно. хоёр дахь тэгшитгэл:

Хувьсагчийн утгыг мэдэх нь y 4 бол та утгыг олох боломжтой x. Орлуулах yтэгшитгэлийн аль нэгэнд, жишээлбэл, эхний тэгшитгэл 2 руу x+ 3y= 18. Дараа нь бид нэг хувьсагч 2-той тэгшитгэлийг авна x+ 12 = 18. Бид 12-ыг баруун тийш шилжүүлж, тэмдгийг өөрчилснөөр бид 2-ыг авна x= 6, тиймээс x = 3 .

Жишээ 4. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг −1-ээр үржүүлнэ. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэмэлт xТэгээд −x 0, нэмэх 5 гарна yба 3 y 8 өгнө y, 7 ба 1-ийг нэмбэл 8 гарна. Үр дүн нь тэгшитгэл 8 болно y= 8 , язгуур нь 1. Утга гэдгийг мэдэх y 1 бол та утгыг олох боломжтой x .

Орлуулах yЭхний тэгшитгэлд бид олж авна x+ 5 = 7, тиймээс x= 2

Жишээ 5. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Ижил хувьсагчдыг агуулсан нэр томьёо нэг дор байрлах нь зүйтэй юм. Тиймээс хоёр дахь тэгшитгэлд 5-р нөхцлүүд yба -2 xгазруудыг солих. Үүний үр дүнд систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг 3-аар үржүүл. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Нэмэлтийн үр дүнд бид 8-р тэгшитгэлийг авна y= 16, үндэс нь 2.

Орлуулах yЭхний тэгшитгэлд бид 6-г авна x− 14 = 40. Бид −14 гэсэн нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, тэмдгийг өөрчилснөөр бид 6-г авна x= 54. Эндээс x= 9.

Жишээ 6. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Бутархай хэсгүүдээс салцгаая. Эхний тэгшитгэлийг 36, хоёр дахь тэгшитгэлийг 12-оор үржүүл

Үүссэн системд Эхний тэгшитгэлийг -5, хоёр дахь тэгшитгэлийг 8-аар үржүүлж болно

Гарсан систем дэх тэгшитгэлүүдийг нэмье. Дараа нь бид хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж авна -13 y= -156. Эндээс y= 12. Орлуулах yЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол x

Жишээ 7. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Бид хоёр тэгшитгэлийг хэвийн хэлбэрт оруулдаг. Энд хоёр тэгшитгэлд пропорциональ дүрмийг хэрэглэх нь тохиромжтой. Хэрэв эхний тэгшитгэлд баруун тал нь , хоёр дахь тэгшитгэлийн баруун тал нь -ээр дүрслэгдсэн бол систем нь дараах хэлбэртэй болно.

Бидэнд хувь хэмжээ бий. Бид түүний хэт ба дунд гишүүнийг үржүүлдэг. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Бид эхний тэгшитгэлийг −3-аар үржүүлж, хоёр дахь хэсэгт хаалтуудыг нээнэ.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Эдгээр тэгшитгэлийг нэмсний үр дүнд бид тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд хоёр хэсэгт нь тэг байх болно.

Энэ системд хязгааргүй олон тооны шийдэл байдаг.

Гэхдээ бид зүгээр л тэнгэрээс дур зоргоороо үнэ цэнийг авч чадахгүй xТэгээд y. Бид утгуудын аль нэгийг нь зааж өгч болох бөгөөд нөгөөг нь бидний заасан утгаас хамааран тодорхойлно. Жишээлбэл, үзье x= 2 . Энэ утгыг системд орлуулна уу:

Тэгшитгэлийн аль нэгийг шийдсэний үр дүнд утгыг y, энэ нь хоёр тэгшитгэлийг хангана:

Үр дүнгийн хос утгууд (2; -2) нь системийг хангана:

Өөр нэг хос утгыг олъё. Болъё x= 4. Энэ утгыг системд орлуулна уу:

Үүнийг нүдээр тодорхойлж болно yтэгтэй тэнцүү. Дараа нь бид системд нийцсэн хос утгыг (4; 0) авна.

Жишээ 8. Дараах тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийд.

Эхний тэгшитгэлийг 6, хоёр дахь тэгшитгэлийг 12-оор үржүүлнэ

Үлдсэн зүйлийг дахин бичье:

Эхний тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлнэ. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо хоёр тэгшитгэлийг нэмье. Нэмэлтийн үр дүнд 6-р тэгшитгэл үүснэ б= 48 , үндэс нь 8. Орлуулах бЭхний тэгшитгэлд оруулаад ол а

Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн систем

Гурван хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлд коэффициент бүхий гурван хувьсагч, түүнчлэн огтлолцол орно. Каноник хэлбэрээр үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

ax + by + cz = d

Энэ тэгшитгэл нь хязгааргүй олон шийдтэй. Хоёр хувьсагч өгөх янз бүрийн утгатай, та гурав дахь утгыг олох боломжтой. Энэ тохиолдолд шийдэл нь утгын гурав дахин юм ( x; y; z) нь тэгшитгэлийг таних тэмдэг болгон хувиргадаг.

Хэрэв хувьсагч x, y, zгурван тэгшитгэлээр хоорондоо холбогдож, гурван хувьсагчтай гурван шугаман тэгшитгэлийн систем үүснэ. Ийм системийг шийдэхийн тулд орлуулах арга ба нэмэх арга гэсэн хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлд хамаарах ижил аргыг хэрэглэж болно.

Жишээ 1. Орлуулах аргыг ашиглан дараах тэгшитгэлийн системийг шийд.

Бид гурав дахь тэгшитгэлээр илэрхийлнэ x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Одоо орлуулалт хийцгээе. Хувьсагч xилэрхийлэлтэй тэнцүү байна 3 − 2y − 2z . Энэ илэрхийллийг эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

Хоёр тэгшитгэлийн хаалтуудыг нээж, ижил нөхцөлийг өгье.

Бид хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системд хүрлээ. Энэ тохиолдолд нэмэлт аргыг хэрэглэх нь тохиромжтой. Үүний үр дүнд хувьсагч yалга болох ба бид хувьсагчийн утгыг олж чадна z

Одоо утгыг нь олъё y. Үүний тулд - тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой y+ z= 4. Утгыг орлуулна z

Одоо утгыг нь олъё x. Үүний тулд тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой x= 3 − 2y − 2z . Үүн дээр утгыг орлуулна уу yТэгээд z

Тиймээс гурвалсан утгууд (3; -2; 2) нь манай системийн шийдэл юм. Шалгаснаар бид эдгээр утгууд нь системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгана.

Жишээ 2. Системийг нэмэх аргаар шийднэ үү

Эхний тэгшитгэлийг хоёр дахь нь -2-оор үржүүлсэнээр нэмье.

Хэрэв хоёр дахь тэгшитгэлийг -2-оор үржүүлбэл энэ нь хэлбэрийг авна −6x+ 6у- 4z = −4 . Одоо үүнийг эхний тэгшитгэлд нэмнэ үү:

Энгийн хувиргалтуудын үр дүнд хувьсагчийн утгыг тодорхойлсон болохыг бид харж байна x. Энэ нь нэгтэй тэнцүү юм.

Буцах үндсэн систем. Гурав дахь нь -1-ээр үржүүлсэн хоёр дахь тэгшитгэлийг нэмье. Гурав дахь тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлбэл энэ нь хэлбэрийг авна −4x + 5y − 2z = −1 . Одоо үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд нэмнэ үү:

Тэгшитгэлийг авлаа x - 2y= −1. Түүнд утгыг орлуулна уу xБидний өмнө нь олж мэдсэн. Дараа нь бид утгыг тодорхойлж болно y

Одоо бид үнэ цэнийг мэддэг болсон xТэгээд y. Энэ нь үнэ цэнийг тодорхойлох боломжийг танд олгоно z. Бид системд багтсан тэгшитгэлүүдийн аль нэгийг ашигладаг.

Тиймээс гурвалсан утгууд (1; 1; 1) нь манай системийн шийдэл юм. Шалгаснаар бид эдгээр утгууд нь системд нийцэж байгаа эсэхийг шалгана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх даалгавар

Тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлэх ажлыг хэд хэдэн хувьсагчийг оруулах замаар шийддэг. Дараа нь асуудлын нөхцөл дээр үндэслэн тэгшитгэлийг эмхэтгэдэг. Эмхэтгэсэн тэгшитгэлээс тэд систем үүсгэж, үүнийг шийддэг. Системийг шийдсэний дараа түүний шийдэл нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Даалгавар 1. Волга машин хотоос нэгдлийн ферм рүү явав. Тэр эхнийхээсээ 5 км богино байсан өөр замаар буцаж ирэв. Нийтдээ машин хоёр талдаа 35 км явсан. Зам тус бүр хэдэн км урттай вэ?

Шийдэл

Болъё х-эхний замын урт, y- секундын урт. Хэрэв машин хоёр талдаа 35 км явсан бол эхний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x+ y= 35. Энэ тэгшитгэл нь хоёр замын уртын нийлбэрийг тодорхойлдог.

Эхнийхээсээ 5 км-ээр богино байсан зам дагуу машин буцаж байсан гэдэг. Дараа нь хоёр дахь тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно x− y= 5. Энэ тэгшитгэлээс харахад замын уртын зөрүү 5 км байна.

Эсвэл хоёр дахь тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x= y+ 5. Бид энэ тэгшитгэлийг ашиглах болно.

Хувьсагчдаас хойш xТэгээд yХоёр тэгшитгэлд ижил тоог зааж өгсөн бол бид тэдгээрээс систем үүсгэж болно.

Өмнө нь судалж байсан аргуудын аль нэгийг ашиглан энэ системийг шийдье. Энэ тохиолдолд хоёр дахь тэгшитгэлд хувьсагч байгаа тул орлуулах аргыг ашиглах нь тохиромжтой xаль хэдийн илэрхийлсэн.

Хоёр дахь тэгшитгэлийг эхнийх нь орлуулан ол y

Олдсон утгыг орлуулна уу yхоёр дахь тэгшитгэлд оруулна x= y+ 5 ба олох x

Эхний замын уртыг хувьсагчаар тэмдэглэв x. Одоо бид түүний утгыг олсон. Хувьсагч xнь 20. Тэгэхээр эхний замын урт 20 км.

Мөн хоёр дахь замын уртыг зааж өгсөн y. Энэ хувьсагчийн утга 15. Тэгэхээр хоёр дахь замын урт 15 км байна.

Шалгалт хийцгээе. Эхлээд системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгацгаая:

Одоо (20; 15) шийдэл нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Нийтдээ машин хоёр тийшээ 35 км явсан гэсэн. Бид хоёр замын уртыг нэмж, шийдэл (20; 15) хангасан эсэхийг шалгана энэ нөхцөл: 20 км + 15 км = 35 км

Дараагийн нөхцөл: машин өөр замаар буцаж буцаж ирсэн нь эхнийхээсээ 5 км богино байв . 15 км нь 20 км-ээс 5 км-ээс богино тул (20; 15) шийдэл нь энэ нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. 20 км - 15 км = 5 км

Системийг эмхэтгэхдээ энэ системд багтсан бүх тэгшитгэлд хувьсагч нь ижил тоогоор илэрхийлэгдэх нь чухал.

Тэгэхээр манай систем хоёр тэгшитгэлтэй. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь эргээд хувьсагчдыг агуулдаг xТэгээд y, энэ нь хоёр тэгшитгэлд ижил тоонуудыг, тухайлбал 20 км ба 15 км-тэй тэнцүү замын уртыг илэрхийлдэг.

Даалгавар 2. Платформ дээр царс, нарс мод, нийт 300 дэр ачиж байв. Бүх царс моднууд нь бүх нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй байсан нь мэдэгдэж байна. Царс мод дэр тус бүр 46 кг, нарс дэр тус бүр 28 кг жинтэй байсан бол тус тусад нь хэдэн царс, нарс дэр байсныг тодорхойл.

Шийдэл

Болъё xцарс ба yнарс дэрнүүд тавцан дээр ачигдсан. Хэрэв нийт 300 унтагч байсан бол эхний тэгшитгэлийг ингэж бичиж болно x+y = 300 .

Бүх царс мод 46 жинтэй байв xкг, нарс 28 жинтэй байв yкг. Царс моднууд нарс модноос 1 тонноор бага жинтэй тул хоёр дахь тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно 28у- 46x= 1000 . Энэ тэгшитгэлээс харахад царс ба нарс модны хоорондох массын зөрүү 1000 кг байна.

Царс, нарс модны жинг килограммаар хэмждэг тул тонныг килограмм болгон хувиргасан.

Үүний үр дүнд бид системийг бүрдүүлдэг хоёр тэгшитгэлийг олж авдаг

Энэ системийг шийдье. Эхний тэгшитгэлээр илэрхийл x. Дараа нь систем дараах хэлбэрийг авна.

Эхний тэгшитгэлийг хоёрдугаарт орлуулж ол y

Орлуулах yтэгшитгэлд оруулна x= 300 − yтэгээд юу болохыг олж мэд x

Энэ нь тавцан дээр 100 царс, 200 нарс дэр ачсан гэсэн үг юм.

Шийдэл (100; 200) асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая. Эхлээд системийг зөв шийдсэн эсэхийг шалгацгаая:

Нийтдээ 300 унтдаг гэж байсан. Бид царс, нарс дэрний тоог нэмж, уусмал (100; 200) энэ нөхцлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгаарай. 100 + 200 = 300.

Дараагийн нөхцөл: бүх царс моднууд бүх нарснаас 1 тонноор бага жинтэй байв . 46х100 кг царс мод нь 28х200 кг нарс модноос хөнгөн тул шийдэл (100; 200) нь энэ нөхцлийг хангаж байгааг бид харж байна. 5600 кг - 4600 кг = 1000 кг.

Даалгавар 3. Бид жингээр 2: 1, 3: 1, 5: 1 харьцаатай зэс, никель хайлшаас гурван ширхэг авсан. Эдгээрээс 12 кг жинтэй хэсгийг зэс, никелийн 4: 1 харьцаатай хайлуулсан. Эхнийх нь масс нь хоёр дахь массаас хоёр дахин их байвал анхны хэсэг бүрийн массыг ол.