abc гурвалжны үндсэн элементүүд. Гурвалжны биссектриса гэж юу вэ: харьцаатай холбоотой шинж чанарууд

Ерөнхий боловсролын сургуулийн олон тооны хичээлүүдийн дунд "геометр" гэх мэт хичээлүүд байдаг. Энэхүү системчилсэн шинжлэх ухааныг үндэслэгч нь Грекчүүд гэж уламжлалт ёсоор үздэг. Өнөөдөр Грекийн геометрийг анхан шатны гэж нэрлэдэг, учир нь тэрээр хамгийн энгийн хэлбэрүүд болох хавтгай, шугам, гурвалжинг судалж эхэлсэн юм. Бид сүүлийнх, эс тэгвээс энэ зургийн биссектрист анхаарлаа хандуулах болно. Аль хэдийн мартсан хүмүүсийн хувьд гурвалжны биссектриса нь гурвалжны аль нэг өнцгийн биссектрисын сегмент бөгөөд үүнийг хагасаар хувааж, оройг эсрэг талд байрлах цэгтэй холбодог.

Гурвалжны биссектриса нь тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхдээ мэдэх шаардлагатай хэд хэдэн шинж чанартай байдаг.

• Өнцгийн биссектриса нь өнцөгтэй зэргэлдээх талуудаас ижил зайд байрлах цэгүүдийн байрлал юм.
• Гурвалжин дахь биссектриса нь өнцгийн эсрэг талыг зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваадаг. Жишээ нь, өгөгдсөн MKB гурвалжин К өнцгөөс биссектрис гарч ирэх бөгөөд энэ өнцгийн оройг MB-ийн эсрэг талын А цэгтэй холбосон. Энэ шинж чанар болон гурвалжинд дүн шинжилгээ хийсний дараа бид MA/AB=MK/KB байна.
• Гурвалжны бүх гурван өнцгийн биссектрисс огтлолцох цэг нь нэг гурвалжинд сийлсэн тойргийн төв юм.
• Гадаад өнцгийн биссектриса нь гурвалжны эсрэг талтай параллель биш тохиолдолд нэг гадаад ба дотоод хоёр өнцгийн биссектрисын суурь нь нэг шулуун дээр байна.
• Нэгийн хоёр биссектриса бол энэ

Гурван биссектрис өгөгдсөн бол тэдгээрийг ашиглан гурвалжин байгуулах нь луужингийн тусламжтайгаар ч боломжгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Маш олон удаа, асуудлыг шийдвэрлэхдээ гурвалжны биссектриса нь үл мэдэгдэх боловч түүний уртыг тодорхойлох шаардлагатай байдаг. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд биссектрисаар хагас хуваагдсан өнцгийг мэдэх шаардлагатай бөгөөд энэ өнцгийн зэргэлдээ талуудыг мэдэх шаардлагатай. Энэ тохиолдолд хүссэн уртыг булантай зэргэлдээх талуудын давхар үржвэрийн харьцаа ба өнцгийн косинусыг хагасаар хуваасан булангийн зэргэлдээ талуудын нийлбэртэй харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлогдоно. Жишээ нь, ижил гурвалжин MKB өгсөн. Биссектрис K өнцгийг орхиж, MB-ийн эсрэг талыг А цэгээр огтолно. Биссектрис гарах өнцгийг y гэж тэмдэглэнэ. Одоо үгээр хэлсэн бүх зүйлийг KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB) томъёо хэлбэрээр бичье.

Гурвалжны биссектриса гарч ирэх өнцгийн утга тодорхойгүй боловч түүний бүх талууд нь мэдэгдэж байвал биссектрисын уртыг тооцоолохын тулд бид нэмэлт хувьсагчийг ашиглах бөгөөд үүнийг хагас периметр гэж нэрлэж, тэмдэглэнэ. P үсгээр: P=1/2*(MK+KB+MB). Үүний дараа бид өмнөх томьёонд зарим өөрчлөлт оруулах бөгөөд үүний дагуу биссектрисын уртыг тодорхойлсон, тухайлбал бутархайн тоологч хэсэгт хагас периметрээр булантай зэргэлдээх талуудын уртын үржвэрийг хоёр дахин нэмнэ. ба 3-р талын уртыг хагас периметрээс хассан хуваарь. Бид хуваагчийг өөрчлөхгүйгээр үлдээдэг. Томъёоны хэлбэрээр энэ нь иймэрхүү харагдах болно: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Хоёр талт гурвалжны биссектриса нь нийтлэг шинж чанаруудын хамт хэд хэдэн өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг. Гурвалжин гэж юу болохыг санацгаая. Ийм гурвалжинд хоёр тал тэнцүү, суурьтай зэргэлдээх өнцөг нь тэнцүү байна. Эндээс харахад ижил өнцөгт гурвалжны хажуу тал руу бууж буй биссектриссүүд хоорондоо тэнцүү байна. Нэмж дурдахад, суурь руу буулгасан биссектриса нь нэгэн зэрэг өндөр ба медиан юм.

Гурвалжны дотоод өнцгийг гурвалжны биссектриса гэж нэрлэдэг.
Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь түүний орой ба гурвалжны эсрэг талтай огтлолцох цэгийн хоорондох сегмент гэж бас ойлгогддог.
Теорем 8. Гурвалжны гурван биссектриса нь нэг цэгт огтлолцдог.
Үнэн хэрэгтээ эхлээд хоёр биссектрисын огтлолцлын Р цэгийг авч үзье, жишээ нь AK 1 ба VC 2. Энэ цэг нь А өнцгийн биссектриса дээр байрладаг тул AB ба АС талуудаас адилхан зайтай бөгөөд В өнцгийн биссектрист хамаарах AB ба ВС талуудаас адилхан алслагдсан байдаг. AC ба ВС талууд ба ингэснээр SK 3 гурав дахь биссектрист хамаарах, өөрөөр хэлбэл P цэгт бүх гурван биссектрист огтлолцдог.
Гурвалжны дотоод ба гадаад өнцгийн биссектрисийн шинж чанарууд
Теорем 9. Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.
Баталгаа. ABC гурвалжин ба түүний B өнцгийн биссектрисийг авч үзье.В өнцөгтийн өргөтгөл хэлбэрээр M цэгт огтлолцох хүртэл ВК оройгоор параллель CM шулуун шугамыг татъя. VC нь ABC өнцгийн биссектриса учир ∠ ABK=∠ KBC болно. Цаашилбал, ∠ ABK=∠ VMS, параллель шулуун дээрх харгалзах өнцгөөр, ∠ KBC=∠ VCM, параллель шулуун дээрх хөндлөн хэвтэх өнцгөөр. Эндээс ∠ VCM=∠ VMS, тиймээс VMS гурвалжин нь хоёр талт, тиймээс BC=VM. Өнцгийн талуудыг огтолж буй параллель шулуунуудын тухай теоремын дагуу бидэнд AK:K C=AB:VM=AB:BC байгаа бөгөөд үүнийг батлах шаардлагатай байсан.
Теорем 10 ABC гурвалжны гадаад В өнцгийн биссектриса ижил төстэй шинж чанартай: А ба С оройноос АС талын өргөтгөлтэй биссектрисын огтлолцлын L цэг хүртэлх AL ба CL хэрчмүүд нь талуудтай пропорциональ байна. гурвалжин: AL: CL=AB:BC.
Энэ шинж чанарыг өмнөхтэй ижил аргаар нотолсон: BL биссектрист параллель CM туслах шулуун шугамыг зураг дээр зурсан. BMC болон BCM өнцгүүд тэнцүү бөгөөд энэ нь BMC гурвалжны BM ба BC талууд тэнцүү гэсэн үг юм. Эндээс бид AL:CL=AB:BC гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна.

Теорем d4. (биссектрисын эхний томьёо): Хэрэв ABC гурвалжинд AL хэрчим нь А өнцгийн биссектриса бол AL? = AB AC - LB LC.

Нотолгоо: ABC гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрогтой AL шулууны огтлолцох цэгийг M гэж үзье (Зураг 41). BAM өнцөг нь конвенцийн дагуу MAC өнцөгтэй тэнцүү байна. BMA болон BCA өнцгүүд нь ижил хөвч дээр суурилсан бичээстэй өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс BAM ба LAC гурвалжин нь хоёр өнцгөөр ижил төстэй байна. Тиймээс AL: AC = AB: AM. Тэгэхээр AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. Энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм. Тайлбар: Тойрог доторх огтлолцсон хөвч ба бичээстэй өнцгүүдийн сегментүүдийн тухай теоремыг сэдвийн тойрог ба тойргийг харна уу.

Теорем d5. (биссектрисын хоёр дахь томьёо): AB=a, AC=b талуудтай, 2-той тэнцүү А өнцөгтэй ABC гурвалжинд? болон биссектриса l, тэгш байдал явагдана:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Нотолгоо:Өгөгдсөн ABC гурвалжин, AL түүний биссектрис (Зураг 42), a=AB, b=AC, l=AL. Дараа нь S ABC = S ALB + S ALC. Тиймээс absin2? = алсин? +blsin?<=>2absin? учир нь? = (a + b)lsin?<=>l = 2 (ab / (a+b)) cos?. Теорем нь батлагдсан.

Гурвалжны өнцгийн биссектриса хэд вэ? Энэ асуултад зарим хүмүүс муу нэртэй харх булан тойрон гүйж, буланг хоёр хуваадаг. "Хэрэв хариулт нь "хошин шогтой" байх ёстой бол энэ нь зөв байж магадгүй юм. Гэхдээ шинжлэх ухааны үүднээс хариулт нь Энэ асуулт иймэрхүү сонсогдох ёстой байсан: булангийн дээд хэсгээс эхэлж, хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах. Геометрийн хувьд энэ дүрсийг гурвалжны эсрэг талтай огтлолцох хүртэл биссектрисын сегмент гэж үздэг. Энэ биш буруу бодол. Өнцгийн биссектрисийн талаар түүний тодорхойлолтоос гадна өөр юу мэддэг вэ?

Аливаа цэгийн нэгэн адил энэ нь өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг. Тэдгээрийн эхнийх нь бүр тэмдэг биш, харин дараах байдлаар товч илэрхийлж болох теорем юм: "Хэрэв эсрэг тал нь биссектрисаар хоёр хэсэгт хуваагдвал тэдгээрийн харьцаа нь том хэмжээтэй талуудын харьцаатай тохирно. гурвалжин."

Түүний хоёр дахь шинж чанар: бүх өнцгийн биссектрисын огтлолцох цэгийг төв гэж нэрлэдэг.

Гурав дахь тэмдэг: гурвалжны нэг дотоод, хоёр гадаад өнцгийн биссектриса нь түүнд бичигдсэн гурван тойргийн аль нэгний төвд огтлолцдог.

Гурвалжны өнцгийн биссектрисын дөрөв дэх шинж чанар нь хэрэв тэдгээр нь тус бүр нь тэнцүү бол сүүлчийнх нь тэгш өнцөгт болно.

Тав дахь тэмдэг нь мөн адил тэгш өнцөгт гурвалжинд хамаатай бөгөөд үүнийг зураг дээр биссектрисаар таних гол удирдамж болно, тухайлбал: тэгш өнцөгт гурвалжинд энэ нь нэгэн зэрэг дундаж болон өндрийн үүрэг гүйцэтгэдэг.

Луужин ба шулуун шугам ашиглан өнцгийн биссектриса байгуулж болно.

Зургаа дахь дүрэмд кубыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх, тойргийн квадрат, өнцгийн гурвалжинг хийх боломжгүйтэй адил зөвхөн байгаа биссектриссийг ашиглан гурвалжин байгуулах боломжгүй гэж хэлдэг. Хатуухан хэлэхэд энэ бол гурвалжны өнцгийн биссектрисын бүх шинж чанарууд юм.

Хэрэв та өмнөх догол мөрийг анхааралтай уншсан бол та нэг хэллэгийг сонирхож байсан байх. "Өнцгийн гурвалсан хэсэг гэж юу вэ?" - Та мэдээж асуух болно. Трисектрикс нь биссектристэй бага зэрэг төстэй боловч хэрэв та сүүлийг нь зурвал өнцөг нь хоёр тэнцүү хэсэгт хуваагдаж, гурвалсан хэсгийг байгуулахдаа гуравт хуваагдана. Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн биссектрисийг санах нь илүү хялбар байдаг, учир нь сургуульд гурвалсан хэсгийг заадаггүй. Гэхдээ бүрэн дүүрэн байхын тулд би энэ тухай танд хэлэх болно.

Миний хэлсэнчлэн трисекторыг зөвхөн луужин, захирагчаар барьж болохгүй, гэхдээ үүнийг Фүжитагийн дүрэм, зарим муруйг ашиглан үүсгэж болно: Паскалийн дун, квадрат, Никомедийн конкоид, конус зүсэлт,

Өнцгийн гурвалжинтай холбоотой асуудлыг nevsis-ийн тусламжтайгаар маш энгийнээр шийддэг.

Геометрийн хувьд өнцгийн трисекторуудын тухай теорем байдаг. Үүнийг Морли (Морли) теорем гэж нэрлэдэг. Тэрээр өнцөг бүрийн дундах гурвалсан хэсгүүдийн огтлолцох цэгүүд нь оройнууд байх болно гэж тэр хэлэв

Том гурвалжин доторх жижиг хар гурвалжин үргэлж тэгш талт байх болно. Энэ теоремыг 1904 онд Британийн эрдэмтэн Фрэнк Морли нээжээ.

Эндээс та өнцгийн хуваагдлын талаар хэр ихийг мэдэж болох вэ: өнцгийн трисектрис ба биссектриса нь үргэлж нарийвчилсан тайлбар шаарддаг. Гэхдээ энд миний хараахан дэлгээгүй олон тодорхойлолтыг өгсөн: Паскалийн эмгэн хумс, Никомедийн конкоид гэх мэт. Тэдний талаар илүү ихийг бичиж болно гэдэгт эргэлзэхгүй байна.

БИССЕКТОРЫН ХИЧЭЭЛ

Бисектрисын шинж чанар: Гурвалжинд биссектрис нь эсрэг талыг зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваадаг.

Гаднах өнцгийн биссектриса Гурвалжны гадна талын өнцгийн биссектриса нь түүний хажуугийн суналтыг нэг цэг дээр огтолж, энэ талын төгсгөл хүртэлх зай нь гурвалжны зэргэлдээ талуудтай пропорциональ байна. C B A D

Биссектрисын уртын томъёо:

Гурвалжны эсрэг талыг биссектрис хуваах хэрчмүүдийн уртыг олох томъёо

Биссектрисын огтлолцлын цэгт хуваагдсан сегментүүдийн уртын харьцааг олох томъёо

Бодлого 1. Гурвалжны нэг биссектриссийг оройноос нь тоолоход 3:2 харьцаатай биссектриссуудын огтлолцлын цэгт хуваана. Гурвалжны энэ биссектрисийг татсан талын урт нь 12 см бол гурвалжны периметрийг ол.

Шийдэл Бид гурвалжин дахь биссектрисуудын огтлолцлын цэгт хуваагдсан хэрчмүүдийн уртын харьцааг томъёогоор олно: 30. Хариулт: P = 30см.

Даалгавар 2. BD ба CE ∆ ABC биссектриса О цэгт огтлолцоно.AB=14, BC=6, AC=10. О Д-г олоорой.

Шийдэл. Биссектрисын уртыг олох томьёог ашиглая: Бидэнд: BD = BD = = биссектрисагуудын огтлолцлын цэгээр хуваах хэрчмүүдийн харьцааны томъёоны дагуу: l = . 2 + 1 = бүх зүйлийн 3 хэсэг.

энэ бол 1-р хэсэг  ОД = Хариулт: ОД =

Бодлого ∆ ABC дээр AL ба BK биссектрисаг зурсан. KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5 сегментийн уртыг ол. ∆ ABC-д AD биссектрисийг зурж, D цэгээр дамжуулан АС-тай параллель ба Е цэг дээр AB-тай огтлолцсон шулуун шугам байна. ∆ ABC ба ∆ BDE талбайн харьцааг ол, хэрэв AB = 5 бол AC = 7. 24 см ба 18 см хөлтэй тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн биссектрисаг ол. Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь биссектриса хурц өнцөгэсрэг талын хөлийг 4 ба 5 см урттай хэсгүүдэд хуваана.Гурвалжны талбайг тодорхойл.

5. Тэгш өнцөгт гурвалжны суурь ба тал нь 5 ба 20 см байна.Гурвалжны суурийн өнцгийн биссектрисийг ол. 6. Катет нь a ба b тэнцүү гурвалжны зөв өнцгийн биссектрисийг ол. 7. Хажуугийн урт a = 18 см, b = 15 см, в = 12 см ABC гурвалжны А өнцгийн биссектрисын уртыг тооцоол. Дотор өнцгүүдийн биссектрис огтлолцох цэг дээр хуваагдах харьцааг ол.

Хариултууд: Хариулт: Хариулт: Хариулт: Хариулт: Хариулт: Хариулт: Хариулт: Хариулт: AP = 6 AP = 10 KL = CP = харна уу.

Гурвалжны биссектриса нь сурахад нэг их хүндрэл учруулдаггүй нийтлэг геометрийн ойлголт юм. Түүний шинж чанаруудын талаар мэдэхийн тулд олон асуудлыг маш их бэрхшээлгүйгээр шийдэж болно. Биссектрис гэж юу вэ? Бид энэ математик шугамын бүх нууцыг уншигчдад танилцуулахыг хичээх болно.

-тай холбоотой

Үзэл баримтлалын мөн чанар

Үзэл баримтлалын нэр нь Латин хэл дээрх "bi" - хоёр, "sectio" - зүсэгдсэн гэсэн утгатай үгсийг ашигласнаас үүдэлтэй. Тэд уг ойлголтын геометрийн утгыг тусгайлан зааж өгдөг - туяа хоорондын зайг таслах хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.

Гурвалжны биссектриса нь зургийн дээд хэсгээс үүссэн сегмент бөгөөд нөгөө төгсгөл нь түүний эсрэг талд байрлах бөгөөд орон зайг хоёр ижил хэсэгт хуваана.

Олон багш нар математикийн ойлголтыг оюутнуудад хурдан цээжлэхийн тулд шүлэг эсвэл холбоогоор харуулсан өөр өөр нэр томъёог ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, энэ тодорхойлолтыг ахимаг насны хүүхдүүдэд зөвлөж байна.

Энэ мөрийг хэрхэн тэмдэглэсэн бэ? Энд бид сегмент эсвэл туяаг тодорхойлох дүрэмд тулгуурладаг. Хэрэв бид ярьж байнагурвалжин дүрсийн өнцгийн биссектрисын тэмдэглэгээний талаар, дараа нь үүнийг ихэвчлэн сегмент хэлбэрээр бичдэг бөгөөд төгсгөлүүд нь байна. орой ба оройн эсрэг талтай огтлолцох цэг. Түүнээс гадна тэмдэглэгээний эхлэлийг яг дээрээс нь бичсэн байдаг.

Анхаар!Гурвалжин хэдэн биссектрисатай вэ? Хариулт нь тодорхой байна: хэдэн орой байгаа бол - гурав.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Тодорхойлолтоос гадна, сургуулийн сурах бичигЭнэ геометрийн ойлголтын тийм ч олон шинж чанарыг олж чадахгүй. Сургуулийн сурагчдад танилцуулсан гурвалжны биссектрисын эхний шинж чанар нь бичээстэй төв, хоёр дахь нь үүнтэй шууд холбоотой сегментүүдийн пропорциональ байдал юм. Хамгийн гол нь:

1. Ямар ч хуваах шугам дээр цэгүүд байдаг талуудаас ижил зайд, туяа хоорондын зайг бүрдүүлдэг.
2. Гурвалжин дүрст тойрог бичихийн тулд эдгээр сегментүүд огтлолцох цэгийг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ бол тойргийн төв цэг юм.
3. Гурвалжин талын хэсгүүд геометрийн дүрс, түүний хуваах шугам нь хуваагддаг өнцөг үүсгэх талуудтай пропорциональ.

Бид бусад шинж чанаруудыг системд оруулж, энэхүү геометрийн ойлголтын ач тусыг илүү сайн ойлгоход туслах нэмэлт баримтуудыг танилцуулахыг хичээх болно.

Урт

Сургуулийн сурагчдад хүндрэл учруулдаг даалгаврын нэг бол гурвалжны өнцгийн биссектрисын уртыг олох явдал юм. Урт нь байрлах эхний сонголт нь дараахь өгөгдлийг агуулна.

• өгөгдсөн сегментийн дээд хэсгээс гарч ирэх цацрагуудын хоорондох зайны хэмжээ;
• энэ өнцгийг бүрдүүлж буй талуудын урт.

Асуудлыг шийдэхийн тулд томъёог ашиглаж байна, утга нь өнцгийг бүрдүүлэгч талуудын утгуудын хоёр дахин үржвэрийн харьцааг түүний хагасын косинусаар талуудын нийлбэрт олох явдал юм.

Тодорхой жишээг авч үзье. Бидэнд ABC дүрс өгөгдсөн гэж бодъё, үүнд сегмент нь А өнцгөөс зурж, BC талыг K цэгээр огтолж байна. Бид A-ийн утгыг Y-ээр тэмдэглэв. Үүний үндсэн дээр AK \u003d (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

Гурвалжны биссектрисын уртыг тодорхойлсон асуудлын хоёр дахь хувилбар нь дараах өгөгдлийг агуулна.

• зургийн бүх талын утгууд мэдэгдэж байна.

Энэ төрлийн асуудлыг шийдэхдээ эхлээд хагас периметрийг тодорхойлно. Үүнийг хийхийн тулд бүх талуудын утгыг нэмж, хоёр хуваана: p \u003d (AB + BC + AC) / 2. Дараа нь бид өмнөх асуудалд энэ сегментийн уртыг тодорхойлоход ашигласан тооцооллын томъёог ашиглана. Зөвхөн шинэ параметрүүдийн дагуу томъёоны мөн чанарт зарим өөрчлөлт оруулах шаардлагатай. Тиймээс, дээд талд зэргэлдээ байгаа талуудын уртын үржвэрээс хагас периметр ба хагас периметр ба уртын хоорондох үржвэрээс хоёрдугаар зэргийн хоёр язгуурын харьцааг олох шаардлагатай. өнцгийг бүрдүүлж буй талуудын нийлбэрийн эсрэг тал. Энэ нь AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Анхаар!Материалыг эзэмшихэд хялбар болгохын тулд та Интернетэд байгаа материалаас лавлаж болно комик үлгэрүүд, энэ шугамын "адал явдал"-ын талаар өгүүлэв.