гэр › Шүүмж › Векторуудын координатаар параллелепипедийн эзэлхүүн. Векторуудын хөндлөн үржвэр

Векторуудын координатаар параллелепипедийн эзэлхүүн. Векторуудын хөндлөн үржвэр

координатаар нь өгөгдсөн , ба векторуудын хувьд холимог үржвэрийг дараах томъёогоор тооцоолно.

холимог бүтээгдэхүүнхэрэглэх: 1) векторууд дээр баригдсан тетраэдр ба параллелепипедийн эзэлхүүнийг, ирмэг дээр байгаа шиг томъёогоор тооцоолох: ; 2) , ба : векторуудын харьцуулах нөхцөл болгон, мөн хуваарьтай байна.

Сэдэв 5. Шулуун шугам ба хавтгай.

Ердийн шугамын вектор , өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр тэг биш дурын векторыг дуудна. Чиглэлийн вектор шулуун , өгөгдсөн шулуунтай параллель ямар ч тэг биш векторыг дуудна.

Чигээрээ гадаргуу дээр

1) - ерөнхий тэгшитгэл шулуун шугам, шулуун шугамын хэвийн вектор хаана байна;

2) - өгөгдсөн векторт перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл;

3) каноник тэгшитгэл );

5) - шугамын тэгшитгэл -тай налуугийн хүчин зүйл , шугам өнгөрөх цэг хаана байна; () - шугамын тэнхлэгтэй хийх өнцөг; - тэнхлэг дээр шулуун шугамаар таслагдсан сегментийн урт (тэмдэгтэй) (хэрэв сегмент нь тэнхлэгийн эерэг хэсэгт таслагдсан бол “ ” тэмдэг, сөрөг хэсэгт байвал “ ” тэмдэг).

6) - шулуун шугамын тэгшитгэл зүслэгт, Энд ба сегментүүдийн урт (тэмдэгтэй) нь координатын тэнхлэгүүд дээр шулуун шугамаар таслагдсан ба (хэрэв хэрчмийг тэнхлэгийн эерэг хэсэг дээр таслагдсан бол “ ” тэмдэг, сөрөг хэсэгт байвал “ ” тэмдэг) ).

Цэгээс шугам хүртэлх зай хавтгай дээрх ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг дараах томъёогоор олно.

булан, ( )шулуун шугамын хооронд ерөнхий тэгшитгэл эсвэл налуу тэгшитгэлээр өгөгдсөн -ийг дараах томъёоны аль нэгээр олно.

Хэрэв эсвэл.

Хэрэв эсвэл

Шугамын огтлолцох цэгийн координатууд системийн шийдэл болж олддог шугаман тэгшитгэл: эсвэл .

Онгоцны хэвийн вектор , өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр тэгээс бусад векторыг дуудна.

Онгоц Координатын системд дараахь төрлийн тэгшитгэлээр өгч болно.

1) - ерөнхий тэгшитгэл хавтгай, онгоцны хэвийн вектор хаана байна;

2) - өгөгдсөн векторт перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл;

3) - гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл ба ;

4) - хавтгай тэгшитгэл зүслэгт, Энд , ба координатын тэнхлэгүүд дээр хавтгайгаар таслагдсан хэрчмүүдийн урт (тэмдэгтэй) ба (хэрэв хэрчмийг тэнхлэгийн эерэг хэсэгт тасалсан бол “ ” тэмдэг, сөрөг хэсэгт байвал “ ” тэмдэг) ).

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай , ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг дараах томъёогоор олно.

булан,( )онгоц хооронд ба ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг дараах томъёогоор олно.

Чигээрээ сансарт Координатын системд дараахь төрлийн тэгшитгэлээр өгч болно.

1) - ерөнхий тэгшитгэл шулуун шугам, хоёр хавтгайн огтлолцох шугамууд, энд ба хавтгайн хэвийн векторууд ба;

2) - өгөгдсөн вектортой параллель цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл ( каноник тэгшитгэл );

3) - өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл , ;

4) - Өгөгдсөн вектортой параллель цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл, ( параметрийн тэгшитгэл );

булан, ( ) шулуун шугамын хооронд Тэгээд сансарт , каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг дараах томъёогоор олно.

Шугамын огтлолцлын цэгийн координатууд , параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн болон онгоц , ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно: .

булан, ( ) шугамын хооронд , каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн болон онгоц , ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг томъёогоор олно: .

Сэдэв 6. Хоёр дахь эрэмбийн муруйнууд.

Хоёр дахь эрэмбийн алгебрийн муруйкоординатын системд муруй гэж нэрлэгддэг, ерөнхий тэгшитгэл Энэ нь:

Энд тоонууд - нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Хоёрдахь эрэмбийн муруйг дараахь байдлаар ангилдаг. 1) Хэрэв бол ерөнхий тэгшитгэл нь муруйг тодорхойлно эллипс төрөл (дугуй (тойрог), эллипс (for), хоосон багц, цэг); 2) хэрэв , тэгвэл - муруй гиперболын төрөл (гипербола, огтлолцсон хос шугам); 3) хэрэв , тэгвэл - муруй параболик төрөл(парабол, хоосон багц, шугам, хос зэрэгцээ шугам). Тойрог, эллипс, гипербол, парабол гэж нэрлэдэг хоёр дахь эрэмбийн доройтдоггүй муруй.

Ерөнхий тэгшитгэл , энд , доройтдоггүй муруйг (тойрог, эллипс, гипербол, парабол) тодорхойлох, үргэлж (сонголтын аргаар) бүтэн квадратууд) дараах төрлүүдийн аль нэг болгон бууруулж болно.

1а) -цэг ба радиус дээр төвлөрсөн тойргийн тэгшитгэл (Зураг 5).

1б)- цэг дээр төвлөрсөн эллипсийн тэгшитгэл ба координатын тэнхлэгтэй параллель тэгш хэмийн тэнхлэгүүд. Тоонууд болон - гэж нэрлэдэг эллипсийн хагас тэнхлэгүүд эллипсийн гол тэгш өнцөгт; эллипсийн оройнууд .

Координатын системд эллипс байгуулахын тулд: 1) эллипсийн төвийг тэмдэглэх; 2) төвөөр дамжин өнгөрөх тасархай шугамэллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд; 3) бид тэгш хэмийн тэнхлэгтэй параллель төв ба талуудтай тасархай шугам бүхий эллипсийн үндсэн тэгш өнцөгтийг барина; 4) дүрслэх хатуу шугамэллипсийг гол тэгш өнцөгт болгон бичнэ, ингэснээр эллипс нь зөвхөн эллипсийн оройн хэсэгт түүний хажуу талуудад хүрнэ (Зураг 6).

Үүний нэгэн адил тойрог барьж, гол тэгш өнцөгт нь талуудтай (Зураг 5).

Зураг.5 Зураг.6

2) - гиперболын тэгшитгэл (гэж нэрлэдэг коньюгат) цэг дээр төвлөрсөн ба тэгш хэмийн тэнхлэгүүд координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байна. Тоонууд болон - гэж нэрлэдэг гиперболын хагас тэнхлэгүүд ; тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй параллель, нэг цэг дээр төвлөрсөн тэгш өнцөгт - гиперболын үндсэн тэгш өнцөгт; үндсэн тэгш өнцөгтийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд - гиперболын оройнууд; үндсэн тэгш өнцөгтийн эсрэг талын оройг дайран өнгөрөх шулуун шугам - гиперболын асимптотууд .

Координатын системд гипербол үүсгэхийн тулд: 1) гиперболын төвийг тэмдэглэх; 2) бид гиперболын тэгш хэмийн тэнхлэгийг тасархай шугамаар төвөөр нь зурдаг; 3) бид гиперболын үндсэн тэгш өнцөгтийг тэгш хэмийн тэнхлэгтэй параллель, төв ба талуудтай тасархай шугамаар бүтээдэг; 4) бид гол тэгш өнцөгтийн эсрэг талын оройгуудыг хөндлөн огтлолгүйгээр координатын гарал үүслээс хязгааргүй зайд, гиперболын мөчрүүд хязгааргүй ойртдог гиперболын асимптотууд болох тасархай шугамаар шулуун зурдаг; 5) бид гиперболын мөчрүүдийг (7-р зураг) эсвэл гиперболын (Зураг 8) хатуу шугамаар дүрсэлдэг.

Зураг.7 Зураг.8

3а)- цэг дээрх оройтой параболын тэгшитгэл, координатын тэнхлэгтэй параллель тэгш хэмийн тэнхлэг (Зураг 9).

3б)- цэг дээрх оройтой параболын тэгшитгэл ба координатын тэнхлэгтэй параллель тэгш хэмийн тэнхлэг (Зураг 10).

Координатын системд параболыг барихын тулд: 1) параболын дээд хэсгийг тэмдэглэ; 2) бид оройгоор параболын тэгш хэмийн тэнхлэгийг тасархай шугамаар зурдаг; 3) бид параболын параметрийн тэмдгийг харгалзан түүний салбарыг чиглүүлж, хатуу шугамтай параболыг дүрсэлдэг: at - параболын тэгш хэмийн тэнхлэгтэй зэрэгцээ координатын тэнхлэгийн эерэг чиглэлд (Зураг 9а ба 10а); at - in сөрөг талкоординатын тэнхлэг (Зураг 9б ба 10б) .

Цагаан будаа. 9a Зураг. 9б

Цагаан будаа. 10a Зураг. 10б

Сэдэв 7. Багцууд. Тоон багц. Чиг үүрэг.

Доод олон бие биенээсээ ялгагдах, нэгдмэл байдлаар төсөөлж болох аливаа шинж чанартай объектуудын тодорхой багцыг ойлгох. Олонлогийг бүрдүүлдэг объектууд үүнийг дууддаг элементүүд . Олонлог нь хязгааргүй (хязгааргүй тооны элементүүдээс бүрдэнэ), төгсгөлтэй (хязгааргүй тооны элементүүдээс бүрдэнэ), хоосон (нэг элемент агуулаагүй) байж болно. Олонлогийг , элементүүдийг нь -ээр тэмдэглэнэ. Хоосон олонлогийг -ээр тэмдэглэнэ.

Дуудлага тохируулах дэд олонлог олонлогийн бүх элементүүд олонлогт хамаарах бол тохируулж бичнэ. Тохируулж дуудлаа тэнцүү , хэрэв тэдгээр нь ижил элементүүдээс бүрдэх ба бичнэ. Хоёр олонлог нь зөвхөн ба тохиолдолд тэнцүү байх болно.

Дуудлага тохируулах нийтийн (энэ математикийн онолын хүрээнд) , хэрэв түүний элементүүд нь энэ онолд авч үзсэн бүх объект юм бол.

Олон тохируулж болно: 1) түүний бүх элементүүдийг тоолох, жишээлбэл: (зөвхөн хязгаарлагдмал олонлогт); 2) универсал олонлогийн элемент тухайн олонлогт хамаарах эсэхийг тодорхойлох дүрмийг тогтоох замаар : .

Холбоо

гатлах олонлогуудыг олонлог гэж нэрлэдэг

ялгаа олонлогуудыг олонлог гэж нэрлэдэг

Нэмэлт олонлогийг (бүх нийтийн олонлог хүртэл) олонлог гэж нэрлэдэг.

Хоёр багц ба гэж нэрлэдэг тэнцүү Хэрэв эдгээр олонлогийн элементүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харилцаж чадвал ~ гэж бичнэ. багц гэж нэрлэдэг тоолох боломжтой , хэрэв натурал тооны олонлогтой тэнцүү бол : ~ . Хоосон багц нь тодорхойлсноор тоолж болно.

Олонлогийг агуулсан элементийн тоогоор нь харьцуулах үед олонлогийн үндсэн байдлын тухай ойлголт үүсдэг. Багцын кардинал байдлыг -ээр тэмдэглэнэ. Хязгаарлагдмал олонлогийн үндсэн чанар нь түүний элементүүдийн тоо юм.

Тэнцүү багцууд ижил үндсэн шинж чанартай байдаг. багц гэж нэрлэдэг тоолж баршгүй хэрэв түүний үндсэн чанар нь багцын үндсэн чанараас их байвал .

Хүчинтэй (бодит) тоо "+" эсвэл "" тэмдгээр авсан хязгааргүй аравтын бутархай гэж нэрлэдэг. Бодит тоог тоон шулуун дээрх цэгүүдээр тодорхойлно. модуль бодит тооны (үнэмлэхүй утга) гэж нэрлэдэг сөрөг бус тоо:

багц гэж нэрлэдэг тоон хэрэв түүний элементүүд нь бодит тоо бол тоо интервалаар тооны багцыг: , , , , , , , , , гэж нэрлэдэг.

Дурын бага тоо байх нөхцөлийг хангасан тооны шулуун дээрх бүх цэгүүдийн багцыг гэнэ. -хөрш (эсвэл зүгээр л хөрш) цэгийн ба -аар тэмдэглэгдсэн байна. Нөхцөлөөр бүх цэгүүдийн багц , энд - дур зоргоороо том тоо, гэж нэрлэдэг - хөрш (эсвэл зүгээр л хөрш) хязгааргүй бөгөөд -ээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

Ижил тоон утгыг хадгалах хэмжигдэхүүнийг нэрлэнэ байнгын. Өөр өөр тоон утгыг авдаг хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг хувьсагч. Чиг үүрэг Дүрмийг дуудаж, түүний дагуу дугаар бүрт нэг сайн тодорхойлсон дугаар оноож, тэд бичдэг. багц гэж нэрлэдэг тодорхойлолтын домэйн функцууд, - олон (эсвэл бүс нутаг ) үнэт зүйлс функцууд, - маргаан , - функцийн утга . Функцийг тодорхойлох хамгийн түгээмэл арга бол функцийг томъёогоор өгдөг аналитик арга юм. байгалийн домэйн функц нь энэ томъёо нь утга учиртай аргументуудын утгуудын багц юм. Функцийн график , тэгш өнцөгт координатын системд , координат бүхий хавтгайн бүх цэгүүдийн олонлог , .

Функцийг дууддаг бүр олонлог дээр , цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй, хэрэв дараах нөхцөл бүгд хангагдсан бол: ба хачин нөхцөл хангагдсан бол. Үгүй бол функц ерөнхий үзэлэсвэл тэгш, сондгой ч биш .

Функцийг дууддаг тогтмол хэвлэл хэрэв тоо байгаа бол багц дээр ( функциональ хугацаа ) дараах нөхцөл бүгд хангагдсан байхаар: . Хамгийн бага тооүндсэн үе гэж нэрлэдэг.

Функцийг дууддаг монотон нэмэгдэж байна (суларч байна ) багц дээр хэрэв илүү их үнэ цэнэаргумент нь функцийн том (бага) утгатай тохирч байна.

Функцийг дууддаг хязгаарлагдмал олонлог дээр , хэрэв дараах нөхцөл бүгд хангагдсан тоо байгаа бол : . Үгүй бол функц нь байна хязгааргүй .

Урвуу ажиллах , , ийм функцийг олонлог болон тус бүр дээр тодорхойлсон гэж нэрлэдэг

Ийм таарч байна. Функцээс урвуу функцийг олох , тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй харьцангуй . Хэрэв функц , дээр хатуу монотон байна, дараа нь энэ нь үргэлж урвуу байх ба хэрэв функц өсөх (багарах) байвал урвуу функцбас нэмэгддэг (буурдаг).

Функцийн тодорхойлолтын домэйн нь функцын утгуудын бүхэл бүтэн багцыг агуулж байдаг зарим функцууд гэж дүрслэгдсэн функцийг гэнэ. нарийн төвөгтэй функц бие даасан аргумент. Хувьсагчийг завсрын аргумент гэж нэрлэдэг. Нарийн төвөгтэй функцийг мөн функцүүдийн бүрэлдэхүүн гэж нэрлэдэг ба , гэж бичнэ: .

Үндсэн суурь функцууд нь: хүч функц, жагсаал функц (, ), логарифм функц (, ), тригонометр функцууд , , , , урвуу тригонометр функцууд , , , . Бага анги үндсэн энгийн функцуудаас тэдгээрийн арифметик үйлдлүүд болон бүрдлүүдийн хязгаарлагдмал тоогоор олж авсан функц гэж нэрлэдэг.

Хэрэв функцийн график өгөгдсөн бол функцийн графикийг бүтээх ажлыг графикийн хэд хэдэн хувиргалт (шилжүүлэх, шахах эсвэл сунгах, харуулах) болгон бууруулна.

1) 2) хувиргалт нь графикийг тэнхлэгийн дагуу тэгш хэмтэй харуулдаг; 3) хувиргалт нь графикийг тэнхлэгийн дагуу нэгжээр шилжүүлдэг ( - баруун тийш, - зүүн тийш); 4) хувиргалт нь диаграмыг тэнхлэгийн дагуу нэгжээр шилжүүлдэг ( - дээш, - доош); 5) тэнхлэгийн дагуух хувиргах график удаа дараа сунадаг, хэрэв эсвэл удаа дараа шахдаг, хэрэв ; 6) Графикийг тэнхлэгийн дагуу хөрвүүлэх нь хэрэв хүчин зүйлээр шахагдана, хэрэв .

Функцийн графикийг зурахдаа хувиргах дарааллыг дараах байдлаар дүрсэлж болно.

Анхаарна уу. Өөрчлөлтийг хийхдээ тэнхлэгийн дагуух шилжилтийн хэмжээ нь аргумент дээр биш харин аргумент дээр шууд нэмсэн тогтмолоор тодорхойлогддог гэдгийг санаарай.

Функцийн график нь оройтой парабол бөгөөд хэрэв салбарууд нь дээш, хэрэв байвал доош чиглэсэн байдаг. Шугаман бутархай функцийн график нь цэг дээр төвлөрсөн гипербол бөгөөд түүний асимптотууд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель төвөөр дамжин өнгөрдөг. , нөхцөлийг хангаж байна. дуудсан.

Векторуудын үржвэрийг авч үзье. Тэгээд , дараах байдлаар бүрдэнэ.
. Энд эхний хоёр векторыг вектороор үржүүлж, тэдгээрийн үр дүнг гурав дахь вектороор скаляраар үржүүлнэ. Ийм үржвэрийг вектор-скаляр буюу гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн гэж нэрлэдэг. Холимог бүтээгдэхүүн нь зарим тоо юм.

Илэрхийллийн геометрийн утгыг олж мэдье
.

Теорем . Гурван векторын холимог үржвэр нь эдгээр векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү бөгөөд хэрэв эдгээр векторууд баруун гурвалсан бол нэмэх тэмдгээр, зүүн гурвалсан бол хасах тэмдгээр авна.

Баталгаа..Бид ирмэг нь векторууд болох параллелепипед байгуулна , , ба вектор
.

Бидэнд байгаа:
,
, Хаана - векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай Тэгээд ,
векторуудын баруун гурвалсан ба
зүүн талд, хаана
параллелепипедийн өндөр. Бид авах:
, өөрөөр хэлбэл
, Хаана - векторуудын үүсгэсэн параллелепипедийн эзэлхүүн , Тэгээд .

Холимог бүтээгдэхүүний шинж чанар

1. Холимог бүтээгдэхүүн нь хэзээ өөрчлөгдөхгүй мөчлөгийнтүүний хүчин зүйлсийн өөрчлөлт, өөрөөр хэлбэл. .

Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд параллелепипедийн эзэлхүүн болон түүний ирмэгийн чиглэл өөрчлөгддөггүй.

2. Вектор ба скаляр үржүүлгийн шинж тэмдгүүд урвуу байх үед холимог үржвэр өөрчлөгдөхгүй, i.e.
.

Үнэхээр,
Тэгээд
. Гурвалсан векторуудаас хойш бид эдгээр тэгш байдлын баруун талд ижил тэмдгийг авдаг , , Тэгээд , , - нэг чиг баримжаа.

Тиймээс,
. Энэ нь векторуудын холимог үржвэрийг бичих боломжийг бидэнд олгодог
зэрэг
векторын шинж тэмдэггүй, скаляр үржүүлэх.

3. Аливаа хоёр хүчин зүйлийн векторууд байраа солих үед холимог бүтээгдэхүүн тэмдэг өөрчлөгддөг, өөрөөр хэлбэл.
,
,
.

Үнэн хэрэгтээ ийм орлуулалт нь вектор бүтээгдэхүүн дэх хүчин зүйлсийн орлуулахтай тэнцүү бөгөөд энэ нь бүтээгдэхүүний тэмдгийг өөрчилдөг.

4. Тэг биш векторуудын холимог бүтээгдэхүүн , Тэгээд Хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал зөвхөн тэг болно.

2.12. Холимог бүтээгдэхүүнийг координат хэлбэрээр ортонормаль аргаар тооцоолох

Векторуудыг оруулъя
,
,
. Вектор ба скаляр бүтээгдэхүүний координат дахь илэрхийлэлүүдийг ашиглан тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүнийг олцгооё.

. (10)

Үр дүнгийн томъёог богино бичиж болно:

тэгш байдлын баруун тал (10) нь гурав дахь эгнээний элементүүдийн хувьд гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийн өргөтгөл учраас.

Тэгэхээр векторуудын холимог үржвэр нь үржүүлсэн векторуудын координатаас бүрдэх гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчтой тэнцүү байна.

2.13 Холимог бүтээгдэхүүний зарим хэрэглээ

Орон зай дахь векторуудын харьцангуй чиглэлийг тодорхойлох

Векторуудын харьцангуй чиглэлийг тодорхойлох , Тэгээд Дараахь бодолд үндэслэн. Хэрэв
, Тэр , , - баруун гурав Хэрэв
, Тэр , , - гурав үлдсэн.

Векторуудын харьцуулах нөхцөл

Векторууд , Тэгээд холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцэх тохиолдолд л хосолсон байна (
,
,
):

векторууд , , хавтгай.

Параллелепипед ба гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлох

Параллелепипедийн эзэлхүүн нь векторууд дээр баригдсан болохыг харуулахад хялбар байдаг , Тэгээд гэж тооцдог
, болон эзлэхүүн гурвалжин пирамид, ижил векторууд дээр баригдсан нь тэнцүү байна
.

Жишээ 1Векторууд гэдгийг батал
,
,
хавтгай.

Шийдэл.Эдгээр векторуудын холимог үржвэрийг томъёогоор олъё.

Энэ нь векторууд гэсэн үг юм
хавтгай.

Жишээ 2Тетраэдрийн оройг өгвөл: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Оройноос унасан өндрийн уртыг ол .

Шийдэл.Эхлээд тетраэдрийн эзэлхүүнийг олъё
. Томъёоны дагуу бид дараахь зүйлийг авна.

Тодорхойлогч нь сөрөг тоо тул Энэ тохиолдолдТомъёоны өмнө та хасах тэмдэг авах хэрэгтэй. Тиймээс,
.

Хүссэн үнэ цэнэ hтомъёогоор тодорхойлно
, Хаана С - суурь талбай. Талбайг тодорхойлъё С:

Хаана

Учир нь

Томъёонд орлуулах
үнэт зүйлс
Тэгээд
, бид авдаг h= 3.

Жишээ 3Вектор үүсгэх
сансарт суурь? Векторыг задлах
векторуудын үндсэн дээр .

Шийдэл.Хэрэв векторууд орон зайд суурь болж байвал тэдгээр нь нэг хавтгайд хэвтэхгүй, өөрөөр хэлбэл. харьцуулалтгүй байдаг. Векторуудын холимог үржвэрийг ол
:
,

Тиймээс векторууд нь хоорондоо уялдаатай биш бөгөөд орон зайд суурь болдог. Хэрэв векторууд орон зайд суурь болдог бол дурын вектор үндсэн векторуудын шугаман хослолоор төлөөлж болно, тухайлбал
,Хаана
вектор координат вектор суурь дээр
. Тэгшитгэлийн системийг эмхэтгэж шийдвэрлэх замаар эдгээр координатуудыг олъё

Үүнийг Гауссын аргаар шийдэх нь бидэнд байна

Эндээс
. Дараа нь .

Тиймээс,
.

Жишээ 4Пирамидын оройнууд нь дараахь цэгүүдэд байрладаг.
,
,
,
. Тооцоолох:

a) нүүрний хэсэг
;

б) пирамидын эзэлхүүн
;

в) вектор проекц
векторын чиглэл рүү
;

г) өнцөг
;

д) векторууд байгаа эсэхийг шалгана
,
,
хавтгай.

Шийдэл

a) Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос дараахь зүйлийг мэдэж болно.

Векторуудыг олох
Тэгээд
, томъёог ашиглан

,
.

Проекцоор нь тодорхойлсон векторуудын хувьд вектор үржвэрийг томъёогоор олно

, Хаана
.

Бидний хэргийн хувьд

Бид үүссэн векторын уртыг томъёогоор олно

,
.

Тэгээд
(кв. нэгж).

б) Гурван векторын холимог үржвэр нь векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү байна. , , хавирга дээрх шиг.

Холимог бүтээгдэхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Векторуудыг олцгооё
,
,
, пирамидын ирмэгүүдтэй давхцаж, дээд тал руу нийлдэг :

Эдгээр векторуудын холимог бүтээгдэхүүн

Пирамидын эзэлхүүн нь векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүний хэсэгтэй тэнцүү тул
,
,
, Тэр
(куб нэгж).

в) Томьёог ашиглах
, энэ нь векторуудын скаляр үржвэрийг тодорхойлдог , , дараах байдлаар бичиж болно.

Хаана
эсвэл
;

эсвэл
.

Векторын проекцийг олох
векторын чиглэл рүү
векторуудын координатыг ол
,
, дараа нь томъёог хэрэглэнэ

бид авдаг

г) өнцгийг олох
векторуудыг тодорхойлох
,
, цэг дээр нийтлэг гарал үүсэлтэй :

Дараа нь скаляр бүтээгдэхүүний томъёоны дагуу

e) Гурван векторын дарааллаар

,
,

нь хоорондоо уялдаатай байдаг тул тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Манай тохиолдолд бидэнд байгаа
.

Тиймээс векторууд нь хоорондоо уялдаатай байдаг.

координатаар өгөгдсөн , ба , векторуудын хувьд холимог үржвэрийг дараах томъёогоор тооцоолно.

Холимог бүтээгдэхүүнийг дараахь байдлаар ашигладаг. 1) векторууд дээр баригдсан тетраэдр ба параллелепипедийн эзэлхүүнийг, ирмэг дээр байгаа шиг томъёогоор тооцоолох: ; 2) , ба : векторуудын харьцуулах нөхцөл болгон, мөн хуваарьтай байна.

Сэдэв 5. Онгоц дээрх шугамууд.

Чигээрээ гадаргуу дээр Координатын системд дараахь төрлийн тэгшитгэлээр өгч болно.

1) - ерөнхий тэгшитгэл шулуун шугам, шулуун шугамын хэвийн вектор хаана байна;

2) - өгөгдсөн векторт перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл;

3) - өгөгдсөн вектортой параллель цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл ( каноник тэгшитгэл );

4) - өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл , ;

5) - шугамын тэгшитгэл налуутай , шугам өнгөрөх цэг хаана байна; () - шугамын тэнхлэгтэй хийх өнцөг; - тэнхлэг дээр шулуун шугамаар таслагдсан сегментийн урт (тэмдэгтэй) (хэрэв сегмент нь тэнхлэгийн эерэг хэсэгт таслагдсан бол “ ” тэмдэг, сөрөг хэсэгт байвал “ ” тэмдэг).

Цэгээс шугам хүртэлх зай хавтгай дээрх ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг дараах томъёогоор олно.

Хэрэв эсвэл.

Хэрэв эсвэл

Шугамын огтлолцох цэгийн координатууд ба шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл хэлбэрээр олддог: эсвэл .

Сэдэв 10. Багцууд. Тоон багц. Функцүүд.

Дуудлага тохируулах дэд олонлог олонлогийн бүх элементүүд олонлогт хамаарах бол тохируулж бичнэ.

Тохируулж дуудлаа тэнцүү , хэрэв тэдгээр нь ижил элементүүдээс бүрдэх ба бичнэ. Хоёр олонлог нь зөвхөн ба тохиолдолд тэнцүү байх болно.

Холбоо

гатлах олонлогуудыг олонлог гэж нэрлэдэг

ялгаа олонлогуудыг олонлог гэж нэрлэдэг

Нэмэлт олонлогийг (бүх нийтийн олонлог хүртэл) олонлог гэж нэрлэдэг.

Хүчинтэй (бодит) тоо "+" эсвэл "" тэмдгээр авсан хязгааргүй аравтын бутархай гэж нэрлэдэг. Бодит тоог тоон шулуун дээрх цэгүүдээр тодорхойлно.

модуль Бодит тооны (үнэмлэхүй утга) нь сөрөг бус тоо:

багц гэж нэрлэдэг тоон хэрэв түүний элементүүд нь бодит тоо бол. Тоон интервалаар олонлог гэж нэрлэдэг

тоонууд: , , , , , , , , , .

Дурын бага тоо байх нөхцөлийг хангасан тооны шулуун дээрх бүх цэгүүдийн багцыг гэнэ. -хөрш (эсвэл зүгээр л хөрш) цэгийн ба -аар тэмдэглэгдсэн байна. Дурын их тоо байх нөхцөлийн бүх цэгүүдийн олонлогийг - гэж нэрлэдэг. хөрш (эсвэл зүгээр л хөрш) хязгааргүй бөгөөд -ээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

Функцийг дууддаг бүр олонлог дээр , цэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй, хэрэв дараах нөхцөл бүгд хангагдсан бол: ба хачин нөхцөл хангагдсан бол. Үгүй бол ерөнхий функц эсвэл тэгш, сондгой ч биш .

Функцийг дууддаг тогтмол хэвлэл хэрэв тоо байгаа бол багц дээр ( функциональ хугацаа ) дараах нөхцөл бүгд хангагдсан байхаар: . Хамгийн бага тоог үндсэн үе гэж нэрлэдэг.

Функцийг дууддаг монотон нэмэгдэж байна (суларч байна ) аргументийн том утга нь функцын том (жижиг) утгатай тохирч байвал олонлог дээр .

Урвуу ажиллах , , нь олонлог дээр тодорхойлогдсон функц бөгөөд тус бүрд нь . Функцээс урвуу функцийг олох , тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй харьцангуй . Хэрэв функц , дээр хатуу монотон байна, дараа нь энэ нь үргэлж урвуу байх бөгөөд хэрэв функц өсөх (багарах) байвал урвуу функц нь мөн нэмэгддэг (буурдаг).

Функцийн график нь оройтой парабол бөгөөд хэрэв салбарууд нь дээш, хэрэв байвал доош чиглэсэн байдаг.

Зарим тохиолдолд функцийн графикийг байгуулахдаа түүний тодорхойлолтын мужийг огтлолцдоггүй хэд хэдэн интервалд хувааж, тус бүр дээр дараалан график байгуулах нь зүйтэй.

Бодит тоонуудын эрэмблэгдсэн аливаа багцыг дуудна цэгийн хэмжээст арифметик (координат) орон зай эсвэл гэж тэмдэглэсэн бол тоонуудыг түүний гэж нэрлэдэг координатууд .

Хэд хэдэн цэгийн багц болон байг. Хэрэв цэг бүрт тодорхой дүрмийн дагуу нэг сайн тодорхойлогдсон бодит тоо оноогдсон бол хувьсагчийн тоон функцийг олонлог дээр өгөгдсөн гэж хэлж, товчоор бичнэ, гэж нэрлэдэг. тодорхойлолтын домэйн , - утгуудын багц , - аргументууд (бие даасан хувьсагч) функцууд.

Хоёр хувьсагчийн функцийг ихэвчлэн гурван хувьсагчийн функцийг тэмдэглэдэг. Функцийн тодорхойлолтын хүрээ нь хавтгай дахь тодорхой цэгүүдийн багц, функцууд нь орон зай дахь тодорхой цэгүүдийн багц юм.

Сэдэв 7. Тоон дараалал ба цуваа. Дарааллын хязгаар. Функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал.

Хэрэв тодорхой дүрмийн дагуу натурал тоо бүр нэг сайн тодорхойлогдсон бодит тоотой холбоотой бол тэд ингэж хэлдэг тоон дараалал . Товчхон тэмдэглэнэ үү. дугаарыг дуудаж байна дарааллын нийтлэг гишүүн . Дарааллыг мөн байгалийн аргументын функц гэж нэрлэдэг. Дараалал нь үргэлж хязгааргүй тооны элементүүдийг агуулдаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь тэнцүү байж болно.

дугаарыг дуудаж байна дарааллын хязгаар , мөн аль нэг тооны хувьд тэгш бус байдлыг хангахуйц тоо байвал бичнэ үү.

Хязгаарлагдмал хязгаартай дарааллыг дуудна нийлэх , эс бөгөөс - ялгаатай .

: 1) суларч байна , Хэрэв ; 2) нэмэгдэх , Хэрэв ; 3) буурдаггүй , Хэрэв ; 4) өсөхгүй , Хэрэв . Дээрх бүх дарааллыг дуудна нэг хэвийн .

Дараалал гэж нэрлэдэг хязгаарлагдмал , хэрэв дараах нөхцөл бүгд хангагдсан тоо байвал: . Үгүй бол дараалал нь байна хязгааргүй .

Монотон хязгаарлагдмал дараалал бүр хязгаартай ( Weierstrass теорем).

Дараалал гэж нэрлэдэг хязгааргүй жижиг , Хэрэв . Дараалал гэж нэрлэдэг хязгааргүй том (хязгааргүйд ойртох) хэрэв .

тоо дарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг, хаана

Тогтмолыг nonpeer тоо гэж нэрлэдэг. Тооны суурь логарифмыг нэрлэдэг байгалийн логарифмтоонууд ба -аар тэмдэглэгдсэн байна.

Тоонуудын дараалал болох хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг тоон цуврал мөн тэмдэглэгдсэн байна. Цувралын эхний гишүүдийн нийлбэрийг нэрлэнэ th хэсэгчилсэн нийлбэр эгнээ.

эгнээ гэж нэрлэдэг нийлэх хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол ба ялгаатай хязгаар байхгүй бол. дугаарыг дуудаж байна нийлсэн цувааны нийлбэр , бичиж байхдаа.

Хэрэв цуваа нийлвэл (цувралын нийлэх зайлшгүй шалгуур ) . Эсрэг заалт нь үнэн биш юм.

Хэрэв , дараа нь цуваа зөрүүтэй байна ( цувралын зөрүүний хангалттай шалгуур ).

Ерөнхий гармоник цуврал-д нийлдэг ба зөрүүтэй цуваа гэж нэрлэдэг.

Геометрийн цуврал -д нийлдэг, нийлбэр нь -тэй тэнцүү ба зөрүүтэй цувааг дууд. тоо эсвэл тэмдэг олох. (зүүн хагас хороолол, баруун хагас хөрш) ба

Энэ хичээлээр бид векторуудтай өөр хоёр үйлдлийг авч үзэх болно. векторуудын хөндлөн үржвэрТэгээд векторуудын холимог бүтээгдэхүүн (хэрэгтэй хүмүүст шууд линк). Зүгээр дээ, заримдаа үүнээс гадна бүрэн аз жаргалын төлөө ийм зүйл тохиолддог векторуудын цэгэн үржвэр, улам их хэрэгтэй байна. Энэ бол вектор донтолт юм. Бид аналитик геометрийн ширэнгэн ой руу орж байна гэсэн сэтгэгдэл төрж магадгүй юм. Энэ бол буруу. Дээд математикийн энэ хэсэгт Пиноккиод хангалттай байхаас бусад нь ерөнхийдөө бага түлээтэй байдаг. Үнэн хэрэгтээ, материал нь маш энгийн бөгөөд энгийн байдаг - үүнтэй харьцуулахад бараг хэцүү биш юм скаляр бүтээгдэхүүн, тэр ч байтугай цөөн ердийн даалгавар байх болно. Аналитик геометрийн гол зүйл бол олон хүний харж байгаа эсвэл аль хэдийн харсан байх нь ТООЦООНЫ ТООЦООНЫГ БИТГИЙ. Шившлэг шиг давт, тэгвэл та аз жаргалтай байх болно =)

Хэрэв векторууд тэнгэрийн хаяанд байгаа аянга мэт хол хаа нэгтээ гялалзаж байвал хамаагүй, хичээлээс эхэл. Дамми нарт зориулсан векторуудвекторуудын талаарх анхан шатны мэдлэгийг сэргээх буюу дахин олж авах. Илүү бэлтгэгдсэн уншигчид мэдээлэлтэй сонгон танилцах боломжтой тул би эндээс ихэвчлэн олддог жишээнүүдийн хамгийн бүрэн цуглуулгыг цуглуулахыг хичээсэн. практик ажил

Юу чамайг аз жаргалтай болгох вэ? Би багадаа хоёр, бүр гурван бөмбөг жонглёрдог байсан. Энэ нь сайн болсон. Одоо бодохоос хойш жонглёр хийх шаардлагагүй зөвхөн сансрын векторууд, мөн хоёр координаттай хавтгай векторуудыг орхих болно. Яагаад? Эдгээр үйлдлүүд ингэж төрсөн - векторуудын вектор ба холимог үржвэрийг тодорхойлж, гурван хэмжээст орон зайд ажилладаг. Аль хэдийн хялбар болсон!

Энэ үйлдэлд скаляр үржвэрийн нэгэн адил хоёр вектор. Энэ нь мөхөшгүй үсэг байх болтугай.

Үйлдэл нь өөрөө тэмдэглэсэндараах байдлаар: . Өөр сонголтууд ч бий, гэхдээ би векторуудын хөндлөн үржвэрийг загалмай бүхий дөрвөлжин хаалтанд ингэж тэмдэглэж дассан.

Тэгээд тэр даруй асуулт: хэрэв байгаа бол векторуудын цэгэн үржвэрХоёр вектор оролцож байгаа бөгөөд энд хоёр векторыг мөн үржүүлнэ ялгаа нь юу вэ? Тодорхой ялгаа нь юуны түрүүнд ҮР ДҮНД:

Векторуудын скаляр үржвэрийн үр дүн нь ТОО:

Векторуудын хөндлөн үржвэрийн үр дүн нь ВЕКТОР юм: , өөрөөр хэлбэл, бид векторуудыг үржүүлээд дахин вектор авна. Хаалттай клуб. Үнэн хэрэгтээ, үйл ажиллагааны нэр эндээс үүдэлтэй. Төрөл бүрийн хэлбэрээр боловсролын уран зохиолТэмдэглэгээ нь бас өөр байж болно, би үсгийг ашиглах болно.

Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Эхлээд зурагтай тодорхойлолт, дараа нь тайлбар байх болно.

Тодорхойлолт: хөндлөн бүтээгдэхүүн шугаман бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, ВЕКТОР гэж нэрлэдэг, уртЭнэ нь тоон үзүүлэлт юм параллелограммын талбайтай тэнцүү байна, эдгээр векторууд дээр бүтээгдсэн; вектор векторуудад ортогональ, ба үндэс нь зөв чиг баримжаатай байхаар чиглүүлсэн:

Бид тодорхойлолтыг ясаар шинжилдэг, маш олон сонирхолтой зүйл байдаг!

Тиймээс бид дараахь чухал зүйлийг онцолж болно.

1) Тодорхойлолтоор улаан сумаар заасан эх векторууд уялдаа холбоогүй. Хэсэг хугацааны дараа коллинеар векторуудын асуудлыг авч үзэх нь зүйтэй юм.

2) Векторуудыг авсан хатуугаар тодорхой дараалал : – "a"-г "be"-ээр үржүүлнэ, "а" руу "байх" биш. Вектор үржүүлгийн үр дүннь VECTOR , үүнийг цэнхэрээр тэмдэглэсэн. Хэрэв векторуудыг урвуу дарааллаар үржүүлбэл бид урттай тэнцүү, чиглэлийн эсрэг (час улаан өнгө) векторыг авна. Энэ нь тэгш байдал .

3) Одоо вектор үржвэрийн геометрийн утгатай танилцацгаая. Энэ бол маш чухал цэг юм! Цэнхэр векторын УРТ (тиймээс час улаан вектор) нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын ТАЛБАЙ-тай тоон хувьд тэнцүү байна. Зураг дээр энэ параллелограммыг хараар сүүдэрлэсэн байна.

Анхаарна уу : зураг нь бүдүүвч бөгөөд мэдээжийн хэрэг, хөндлөн бүтээгдэхүүний нэрлэсэн урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү биш юм.

Бид геометрийн томъёоны нэгийг санаж байна: Параллелограммын талбай нь зэргэлдээ талуудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна. Тиймээс, дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн вектор бүтээгдэхүүний уртыг тооцоолох томъёо хүчинтэй байна.

Томъёонд бид векторын тухай биш харин векторын уртын тухай ярьж байгааг би онцолж байна. Практик утга нь юу вэ? Үүний утга нь аналитик геометрийн асуудлуудад параллелограммын талбайг ихэвчлэн вектор бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтоор олж авдаг.

Бид хоёр дахь чухал томъёог авдаг. Параллелограммын диагональ (улаан тасархай шугам) нь түүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана. Тиймээс векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг (улаан сүүдэр) дараах томъёогоор олж болно.

4) -аас багагүй байна чухал баримтвектор нь векторуудад ортогональ байна, өөрөөр хэлбэл, . Мэдээжийн хэрэг, эсрэг чиглэлтэй вектор (час улаан сум) нь анхны векторуудад ортогональ байна.

5) Вектор нь ийм байдлаар чиглэгддэг суурьБайгаа зөвчиг баримжаа. тухай хичээл дээр шинэ суурь руу шилжихБи энэ талаар дэлгэрэнгүй ярьсан хавтгай чиг баримжаа, одоо бид орон зайн чиг баримжаа гэж юу болохыг олж мэдэх болно. Би хуруугаараа тайлбарлах болно баруун гар. Оюун санааны хувьд нэгтгэх долоовор хуруу вектортой ба дунд хуруувектортой. Бөгжний хуруу, жижиг хурууалган дээрээ дар. Үр дүнд нь эрхий хуруу- вектор бүтээгдэхүүн дээшээ харагдах болно. Энэ бол баруун тийш чиглэсэн үндэс юм (энэ нь зураг дээр байна). Одоо векторуудыг соль ( индекс ба дунд хуруу ) зарим газарт үр дүнд нь эрхий хуруу нь эргэж, вектор бүтээгдэхүүн аль хэдийн доошоо харагдах болно. Энэ нь бас зөв хандлагын үндэс юм. Магадгүй танд асуулт байна: зүүн чиг баримжаа ямар үндэслэлтэй вэ? Ижил хурууг "даалгах" зүүн гарвекторууд , мөн зүүн суурь ба зүүн зайны чиглэлийг авна (энэ тохиолдолд эрхий хуруу нь доод векторын чиглэлд байрлана). Дүрслэлээр хэлбэл, эдгээр суурь нь орон зайг өөр өөр чиглэлд "мушгих" буюу чиглүүлдэг. Мөн энэ ойлголтыг хэт хол, хийсвэр зүйл гэж үзэх ёсгүй - жишээлбэл, хамгийн энгийн толь нь орон зайн чиг хандлагыг өөрчилдөг бөгөөд хэрэв та "толь туссан объектыг толиноос гаргаж авбал" ерөнхийдөө үүнийг хийх боломжгүй болно. үүнийг "эх"-тэй хослуул. Дашрамд хэлэхэд, гурван хуруугаа толинд авчирч, тусгалыг шинжлээрэй ;-)

... та одоо мэдэж байгаа нь ямар сайхан юм бэ баруун ба зүүн тийш чиглэсэнҮндэслэл, учир нь зарим багш нарын чиг баримжааны өөрчлөлтийн талаархи мэдэгдэл аймшигтай =)

Коллинеар векторуудын вектор үржвэр

Тодорхойлолтыг нарийвчлан боловсруулсан бөгөөд векторууд хоорондоо уялдаатай байх үед юу болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв векторууд хоорондоо уялдаатай байвал тэдгээрийг нэг шулуун дээр байрлуулж, параллелограммыг нэг шулуун болгож "нугалж" болно. Математикчдын хэлснээр ийм газар нутаг, доройтохпараллелограмм нь тэг. Томъёоноос ижил зүйл гарч ирнэ - тэг буюу 180 градусын синус нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь талбай нь тэг байна гэсэн үг юм.

Тиймээс хэрэв , тэгвэл Тэгээд . Хөндлөн үржвэр нь өөрөө тэг вектортой тэнцүү боловч практик дээр үүнийг ихэвчлэн үл тоомсорлож, тэгтэй тэнцүү гэж бичдэг гэдгийг анхаарна уу.

онцгой тохиолдолнь вектор ба өөрийнхөө хөндлөн үржвэр юм:

Хөндлөн үржвэрийг ашигласнаар та гурван хэмжээст векторуудын уялдаа холбоог шалгах боломжтой бөгөөд бид энэ асуудлыг шинжлэх болно.

Практик жишээг шийдэхийн тулд энэ нь шаардлагатай байж магадгүй юм тригонометрийн хүснэгтүүнээс синусын утгыг олох.

За, гал асаацгаая:

Жишээ 1

a) Хэрэв векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол

b) Хэрэв векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг ол

Шийдэл: Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш, би нөхцөл байдлын эхний өгөгдлийг зориудаар ижил болгосон. Учир нь шийдлүүдийн дизайн өөр байх болно!

a) Нөхцөл байдлын дагуу олох шаардлагатай уртвектор (вектор бүтээгдэхүүн). Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Уртны талаар асуусан тул хариултанд бид хэмжээсийг зааж өгсөн болно - нэгж.

б) Нөхцөл байдлын дагуу олох шаардлагатай дөрвөлжинвекторууд дээр баригдсан параллелограмм. Энэ параллелограммын талбай нь хөндлөн бүтээгдэхүүний урттай тоогоор тэнцүү байна.

Хариулт:

Вектор бүтээгдэхүүний тухай хариултанд огт яриагүй, биднээс асуусан болохыг анхаарна уу зургийн талбай, тус тусын хэмжээ нь квадрат нэгж байна.

Нөхцөл байдлын дагуу юуг олох шаардлагатайг бид үргэлж хардаг бөгөөд үүн дээр үндэслэн бид томъёолдог тодорхойхариулах. Энэ нь үгийн утга зохиол мэт санагдаж болох ч багш нарын дунд үсэг бичигчид хангалттай байгаа тул боломж сайтай даалгаврыг дахин хянаж үзэхээр буцаана. Хэдийгээр энэ нь тийм ч хэцүү биш ч гэсэн - хэрэв хариулт буруу байвал тухайн хүн энгийн зүйлийг ойлгодоггүй ба/эсвэл даалгаврын мөн чанарыг ойлгоогүй гэсэн сэтгэгдэл төрдөг. Энэ мөчийг үргэлж хяналтандаа байлгаж, дээд математик болон бусад хичээлийн аливаа асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгтэй.

"en" том үсэг хаашаа явсан бэ? Зарчмын хувьд энэ нь нэмэлт шийдэлд наалдсан байж болох ч бичлэгийг богиносгохын тулд би тэгээгүй. Хүн бүр үүнийг ойлгож байгаа бөгөөд энэ нь ижил зүйл юм гэж найдаж байна.

Өөрөө хийх шийдлийн түгээмэл жишээ:

Жишээ 2

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг ол

Вектор бүтээгдэхүүнээр гурвалжны талбайг олох томъёог тодорхойлолтын тайлбарт өгсөн болно. Хичээлийн төгсгөлд шийдэл, хариулт.

Практикт даалгавар нь үнэхээр маш түгээмэл байдаг, гурвалжин нь ерөнхийдөө эрүүдэн шүүж болно.

Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

Векторуудын хөндлөн үржвэрийн шинж чанарууд

Бид вектор бүтээгдэхүүний зарим шинж чанарыг аль хэдийн авч үзсэн боловч би тэдгээрийг энэ жагсаалтад оруулах болно.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд үнэн байна.

1) Бусад мэдээллийн эх сурвалжид энэ зүйл нь ихэвчлэн шинж чанараараа ялгагддаггүй боловч практикийн хувьд маш чухал юм. Тиймээс байг.

2) - өмчийг дээр дурдсан, заримдаа үүнийг нэрлэдэг антикоммутатив. Өөрөөр хэлбэл векторуудын дараалал чухал.

3) - хослол эсвэл ассоциативвектор бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмол утгыг вектор бүтээгдэхүүний хязгаараас амархан гаргаж авдаг. Үнэхээр тэд тэнд юу хийж байгаа юм бэ?

4) - хуваарилалт эсвэл хуваарилалтвектор бүтээгдэхүүний хууль. Мөн хаалт нээхэд асуудал гардаггүй.

Үзүүлэн болгон товч жишээг авч үзье.

Жишээ 3

Хэрвээ олоорой

Шийдэл:Нөхцөлөөр бол вектор бүтээгдэхүүний уртыг олох шаардлагатай. Бяцхан зургаа зурцгаая:

(1) Ассоциатив хуулиудын дагуу бид векторын үржвэрийн хязгаараас давсан тогтмолуудыг авдаг.

(2) Бид модулиас тогтмолыг авдаг бол модуль хасах тэмдгийг "иддэг". Урт нь сөрөг байж болохгүй.

(3) Дараах нь ойлгомжтой.

Хариулт:

Гал дээр мод шидэх цаг болжээ.

Жишээ 4

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг тооцоол

Шийдэл: Томъёог ашиглан гурвалжны талбайг ол . Хамгийн гол нь "ce" ба "te" векторууд нь векторуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энд байгаа алгоритм нь стандарт бөгөөд хичээлийн 3, 4-р жишээнүүдийг зарим талаар санагдуулдаг. Векторуудын цэгийн үржвэр. Тодорхой болгохын тулд үүнийг гурван үе шат болгон хувааж үзье:

1) Эхний алхамд бид вектор үржвэрийг вектор бүтээгдэхүүнээр илэрхийлдэг. векторыг вектороор илэрхийлнэ. Урт хугацааны талаар хараахан хэлээгүй байна!

(1) Бид векторуудын илэрхийлэлийг орлуулдаг.

(2) Тархалтын хуулиудыг ашиглан бид олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтыг нээнэ.

(3) Ассоциатив хуулиудыг ашиглан бид вектор үржвэрийн гаднах бүх тогтмолуудыг гаргаж авдаг. Туршлага багатай бол 2 ба 3-р үйлдлийг нэгэн зэрэг хийж болно.

(4) Тааламжтай шинж чанараас шалтгаалан эхний болон сүүлчийн нөхцөлүүд тэгтэй тэнцүү байна (тэг вектор). Хоёр дахь нэр томъёонд бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг ашигладаг.

(5) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

Үүний үр дүнд вектор нь вектороор илэрхийлэгдэх болсон бөгөөд үүнд хүрэх шаардлагатай байсан:

2) Хоёр дахь шатанд бид шаардлагатай вектор бүтээгдэхүүний уртыг олно. Энэ үйлдэл нь 3-р жишээтэй төстэй:

3) Шаардлагатай гурвалжны талбайг ол:

Уусмалын 2-3-р алхамыг нэг мөрөнд байрлуулж болно.

Хариулт:

Энэ асуудалд нэлээд түгээмэл тохиолддог хяналтын ажил, энд өөрөө хийх шийдлийн жишээ байна:

Жишээ 5

Хэрвээ олоорой

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт. Өмнөх жишээнүүдийг судлахдаа хэр анхааралтай байсныг харцгаая ;-)

Координат дахь векторуудын хөндлөн үржвэр

, ортонормаль үндэслэлээр өгөгдсөн, томъёогоор илэрхийлнэ:

Томъёо нь үнэхээр энгийн: бид тодорхойлогчийн дээд мөрөнд координатын векторуудыг бичиж, хоёр ба гурав дахь мөрөнд векторуудын координатыг "баглаа" хийж, бид тавьдаг. хатуу дарааллаар- эхлээд "ve" векторын координатууд, дараа нь "давхар-ve" векторын координатууд. Хэрэв векторуудыг өөр дарааллаар үржүүлэх шаардлагатай бол мөрүүдийг мөн солих шаардлагатай.

Жишээ 10

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг шалгана уу.
A)
б)

Шийдэл: Туршилт нь энэ хичээлийн нэг өгүүлбэр дээр үндэслэсэн болно: хэрэв векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийн хөндлөн үржвэр тэг (тэг вектор): .

a) Вектор үржвэрийг ол:

Тэгэхээр векторууд нь коллинеар биш юм.

б) Вектор үржвэрийг ол:

Хариулт: a) уялдаа холбоогүй, б)

Энд магадгүй векторуудын вектор бүтээгдэхүүний талаархи бүх үндсэн мэдээлэл байна.

Векторуудын холимог үржвэрийг ашиглахад цөөн асуудал гардаг тул энэ хэсэг тийм ч том биш байх болно. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл тодорхойлолт, геометрийн утга, ажлын хэд хэдэн томъёонд тулгуурлана.

Векторуудын холимог үржвэр нь гурвын бүтээгдэхүүнвекторууд:

Тэд яг л галт тэрэг шиг эгнэн зогсож, тооцоолж дуустал хүлээж чадахгүй.

Эхлээд дахин тодорхойлолт ба зураг:

Тодорхойлолт: Холимог бүтээгдэхүүн тэгш бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, гэж нэрлэдэг параллелепипедийн эзэлхүүн, эдгээр векторууд дээр баригдсан, хэрэв суурь нь зөв бол "+" тэмдгээр, хэрэв суурь нь үлдсэн бол "-" тэмдгээр тоноглогдсон.

Зургаа хийцгээе. Бидэнд үл үзэгдэх шугамуудыг тасархай шугамаар зурсан:

Тодорхойлолт руу орцгооё:

2) Векторуудыг авсан тодорхой дарааллаар, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн дэх векторуудын өөрчлөлт нь таны таамаглаж байгаачлан үр дагаваргүйгээр явахгүй.

3) Геометрийн утгыг тайлбарлахаасаа өмнө би тодорхой баримтыг тэмдэглэх болно. векторуудын холимог үржвэр нь ДУГААР юм: . Боловсролын уран зохиолын хувьд дизайн нь арай өөр байж болох юм, би холимог бүтээгдэхүүнээр дамжуулан, тооцооллын үр дүнг "pe" үсгээр тэмдэглэдэг байсан.

А - тэргүүн байр холимог бүтээгдэхүүн нь параллелепипедийн эзэлхүүн юм, векторууд дээр бүтээгдсэн (зураг улаан вектор, хар шугамаар зурсан). Өөрөөр хэлбэл, тоо нь өгөгдсөн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

Анхаарна уу : Зураг нь бүдүүвчилсэн байна.

4) Суурь ба орон зайн чиг баримжааны тухай ойлголтыг дахин бүү зовооё. Эцсийн хэсгийн утга нь эзлэхүүн дээр хасах тэмдэг нэмж болно гэсэн үг юм. Энгийн үгээр хэлбэл, холимог бүтээгдэхүүн нь сөрөг байж болно: .

Векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёо нь тодорхойлолтоос шууд гардаг.

Ангилалд алдартай: