гэр › Дугуй, дугуй › Арифметик дээр n-ийг хэрхэн олох вэ. Арифметик прогрессийн ялгааг хэрхэн олох вэ

Арифметик дээр n-ийг хэрхэн олох вэ. Арифметик прогрессийн ялгааг хэрхэн олох вэ

Арифметик прогрессийн асуудлууд эрт дээр үеэс байсаар ирсэн. Тэд гарч ирээд шийдлийг шаардаж байсан, учир нь тэдэнд бодит хэрэгцээ байсан.

Тиймээс, нэг папирус дээр эртний египетМатематикийн агуулгатай - Ринд папирус (МЭӨ XIX зуун) нь дараахь даалгаврыг агуулна: арван хэмжүүр талхыг арван хүнд хуваа, тэдгээрийн хоорондох зөрүү нь хэмжүүрийн наймны нэг байх ёстой.

Эртний Грекчүүдийн математикийн бүтээлүүдэд арифметик прогресстой холбоотой гоёмсог теоремууд байдаг. Тиймээс, Александрийн Hypsicles (2-р зуун, олон сонирхолтой бодлогуудыг эмхэтгэн, Евклидийн "Элементүүд"-д арван дөрөв дэх номыг нэмсэн" санааг томъёолсон: "Тэгш тооны гишүүдтэй арифметик прогрессод 2-р хагасын гишүүдийн нийлбэр. хэмжээнээс илүүгишүүдийн 1/2 талбай дээр 1-р гишүүд.

a дарааллыг тэмдэглэв. Дарааллын тоог гишүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн энэ гишүүний серийн дугаарыг (a1, a2, a3 ... уншина уу: "a 1st", "a 2th", "a 3rd" гэсэн индекс бүхий үсгээр тэмдэглэдэг. гэх мэт).

Дараалал нь төгсгөлгүй эсвэл төгсгөлтэй байж болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ? Прогрессийн зөрүү болох ижил тооны d тоотой өмнөх гишүүн (n)-ийг нэмснээр олж авсан гэж ойлгодог.

Хэрэв d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 бол ийм дэвшил нэмэгдэж байна гэж үзнэ.

Арифметик прогрессийн эхний гишүүний цөөн хэдэн хэсгийг л авч үзвэл түүнийг төгсгөлтэй гэж нэрлэдэг. Маш олон тооны гишүүдтэй бол энэ нь аль хэдийн болсон хязгааргүй дэвшил.

Аливаа арифметик прогрессийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

an =kn+b, харин b ба k нь зарим тоо юм.

Эсрэг заалт нь туйлын үнэн юм: хэрэв дараалал нь ижил төстэй томъёогоор өгөгдсөн бол энэ нь яг арифметик прогресс бөгөөд дараахь шинж чанартай байдаг.

Прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.
Эсрэг тал нь: хэрэв 2-оос эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл хангагдсан бол өгөгдсөн дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ тэгш байдал нь бас дэвшлийн шинж тэмдэг тул үүнийг ихэвчлэн прогрессийн шинж чанар гэж нэрлэдэг.
Үүний нэгэн адил энэ шинж чанарыг тусгасан теорем үнэн: 2-оос эхлэн дарааллын аль ч гишүүнд энэ тэгш байдал үнэн байвал дараалал нь арифметик прогресс болно.

Арифметик прогрессийн дурын дөрвөн тооны шинж чанарыг n + m = k + l (m, n, k нь прогрессийн тоонууд) бол an + am = ak + al томъёогоор илэрхийлж болно.

Арифметик прогрессод шаардлагатай (N-р) гишүүнийг дараах томъёог ашиглан олж болно.

Жишээ нь: арифметик прогрессийн эхний гишүүн (a1) өгөгдсөн ба гурав, зөрүү (d) нь дөрөвтэй тэнцэнэ. Та энэ дэвшлийн дөчин тав дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) томъёо нь тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог n-р улиралмэдэгдэж байгаа бол түүний k-р гишүүний аль нэгээр нь арифметик прогресс.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийг (эцсийн прогрессийн 1-р n гишүүн гэж үзвэл) дараах байдлаар тооцоолно.

Sn = (a1+an) n/2.

Хэрэв 1-р нэр томъёо нь бас мэдэгдэж байгаа бол өөр томъёог тооцоолоход тохиромжтой.

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийн нийлбэрийг дараах байдлаар тооцоолно.

Тооцооллын томъёоны сонголт нь даалгаврын нөхцөл, анхны өгөгдлөөс хамаарна.

1,2,3,...,n,...- гэх мэт дурын тооны натурал цуваа хамгийн энгийн жишээарифметик прогресс.

Арифметик прогрессоос гадна өөрийн гэсэн шинж чанар, шинж чанартай геометрийн прогресс байдаг.

Хэрэв натурал тоо бүр бол n бодит тоотой таарна a n , дараа нь тэд өгсөн гэж хэлдэг тооны дараалал :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

Тэгэхээр тоон дараалал нь байгалийн аргументийн функц юм.

Тоо а 1 дуудсан дарааллын эхний гишүүн , тоо а 2 — дарааллын хоёр дахь гишүүн , тоо а 3 — гурав дахь гэх мэт. Тоо a n дуудсан n-р гишүүндараалал , ба натурал тоо n — түүний дугаар .

Хоёр хөршийн гишүүнээс a n Тэгээд a n +1 гишүүдийн дараалал a n +1 дуудсан дараагийн ( зүг a n ), А a n — өмнөх ( зүг a n +1 ).

Дараалалыг зааж өгөхийн тулд та дурын дугаартай дарааллын гишүүнийг олох боломжийг олгох аргыг зааж өгөх ёстой.

Ихэнхдээ дарааллыг нь өгдөг n-р хугацааны томьёо , өөрөөр хэлбэл, дарааллын гишүүнийг дугаараар нь тодорхойлох боломжийг олгодог томьёо.

Жишээлбэл,

эерэг сондгой тооны дарааллыг томъёогоор өгч болно

a n= 2n- 1,

болон ээлжлэн солих дараалал 1 Тэгээд -1 - томьёо

б n = (-1)n +1 . ◄

Дарааллыг тодорхойлж болно давтагдах томъёо, өөрөөр хэлбэл, өмнөх (нэг ба түүнээс дээш) гишүүдээр дамжуулан заримаас эхлэн дарааллын аль нэг гишүүнийг илэрхийлэх томъёо юм.

Жишээлбэл,

Хэрэв а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Хэрэв a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно.

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Дараалал байж болно эцсийн Тэгээд эцэс төгсгөлгүй .

Дараалал гэж нэрлэдэг эцсийн хязгаарлагдмал тооны гишүүдтэй бол. Дараалал гэж нэрлэдэг эцэс төгсгөлгүй хязгааргүй олон гишүүнтэй бол.

Жишээлбэл,

Хоёр оронтой натурал тооны дараалал:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

эцсийн.

Анхны тооны дараалал:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

эцэс төгсгөлгүй. ◄

Дараалал гэж нэрлэдэг нэмэгдэх , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө их байвал.

Дараалал гэж нэрлэдэг суларч байна , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө бага байвал.

Жишээлбэл,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . өсөх дараалал;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . нь буурах дараалал юм. ◄

Элементүүд нь тоо нэмэгдэх тусам багасдаггүй, эсвэл эсрэгээрээ өсдөггүй дарааллыг нэрлэдэг нэг хэвийн дараалал .

Ялангуяа монотоник дараалал нь дараалал нэмэгдэж, дараалал буурч байна.

Арифметик прогресс

Арифметик прогресс дарааллыг дууддаг бөгөөд гишүүн бүр нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн өмнөхтэй нь тэнцүү бөгөөд ижил тоог нэмнэ.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

аль нэг натурал тооны хувьд арифметик прогресс юм n нөхцөл хангагдсан:

a n +1 = a n + г,

Хаана г - хэдэн тоо.

Тиймээс өгөгдсөн арифметик прогрессийн дараагийн болон өмнөх гишүүдийн ялгаа үргэлж тогтмол байна:

a 2 - а 1 = a 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = г.

Тоо г дуудсан арифметик прогрессийн ялгаа.

Арифметик прогрессийг тогтоохын тулд түүний эхний гишүүн ба ялгааг зааж өгөхөд хангалттай.

Жишээлбэл,

Хэрэв а 1 = 3, г = 4 , дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.

a 1 =3,

a 2 = a 1 + г = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + г= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + г= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + г= 15 + 4 = 19. ◄

Эхний гишүүнтэй арифметик прогрессийн хувьд а 1 ба ялгаа г түүнийг n

a n = a 1 + (n- 1)г.

Жишээлбэл,

арифметик прогрессийн гучин гишүүнийг ол

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, г = 3,

нь 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)г,

a n= a 1 + (n- 1)г,

a n +1 = а 1 + nd,

тэгвэл ойлгомжтой

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.

a, b, c тоонууд нь зөвхөн аль нэг нь нөгөө хоёрын арифметик дундажтай тэнцүү байвал зарим арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болно.

Жишээлбэл,

a n = 2n- 7 , нь арифметик прогресс юм.

Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Тиймээс,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Тэрийг тэмдэглэ n -Арифметик прогрессийн 1-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олохгүй а 1 , гэхдээ өмнөх ямар ч байсан a k

a n = a k + (n- к)г.

Жишээлбэл,

Учир нь а 5 бичиж болно

а 5 = a 1 + 4г,

а 5 = a 2 + 3г,

а 5 = a 3 + 2г,

а 5 = a 4 + г. ◄

a n = а н-к + кд,

a n = a n+k - кд,

тэгвэл ойлгомжтой

a n=	а н-к + a n+k
	2

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн аль ч гишүүн нь энэ арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Үүнээс гадна аливаа арифметик прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Жишээлбэл,

арифметик прогрессоор

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = a 3 + 7г= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, учир нь

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

эхлээд n Арифметик прогрессийн гишүүд нь туйлын гишүүний нийлбэрийн хагасыг гишүүний тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Эндээс, тухайлбал, хэрэв шаардлагатай бол нэр томъёог нэгтгэн дүгнэх шаардлагатай

a k, a k +1 , . . . , a n,

Дараа нь өмнөх томьёо нь бүтэцээ хадгална:

Жишээлбэл,

арифметик прогрессоор 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Хэрэв арифметик прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд а 1 , a n, г, nТэгээдС n хоёр томъёогоор холбогдсон:

Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын утгыг өгсөн бол хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэсэн эдгээр томъёоноос бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг тодорхойлно.

Арифметик прогресс нь монотон дараалал юм. Үүнд:

Хэрэв г > 0 , дараа нь энэ нь нэмэгдэж байна;
Хэрэв г < 0 , дараа нь буурч байна;
Хэрэв г = 0 , дараалал нь хөдөлгөөнгүй байх болно.

Геометрийн прогресс

геометрийн прогресс дараалал гэж нэрлэгддэг бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, ижил тоогоор үржүүлнэ.

б 1 , б 2 , б 3 , . . . , б н, . . .

ямар нэгэн натурал тооны хувьд геометр прогресс байна n нөхцөл хангагдсан:

б н +1 = б н · q,

Хаана q ≠ 0 - хэдэн тоо.

Тиймээс энэ нь дараагийн хугацааны харьцаа геометрийн прогрессөмнөх нэг нь тогтмол тоо байна:

б 2 / б 1 = б 3 / б 2 = . . . = б н +1 / б н = q.

Тоо q дуудсан геометр прогрессийн хуваагч.

Геометр прогрессийг тогтоохын тулд түүний эхний гишүүн болон хуваагчийг зааж өгөхөд хангалттай.

Жишээлбэл,

Хэрэв б 1 = 1, q = -3 , дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.

б 1 = 1,

б 2 = б 1 · q = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · q= -3 · (-3) = 9,

б 4 = б 3 · q= 9 · (-3) = -27,

б 5 = б 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

б 1 ба хуваагч q түүнийг n -р гишүүнийг дараах томъёогоор олж болно.

б н = б 1 · q n -1 .

Жишээлбэл,

геометр прогрессийн долоо дахь гишүүнийг ол 1, 2, 4, . . .

б 1 = 1, q = 2,

б 7 = б 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = б 1 · q n -2 ,

б н = б 1 · q n -1 ,

б н +1 = б 1 · q n,

тэгвэл ойлгомжтой

б н 2 = б н -1 · б н +1 ,

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометрийн прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн геометрийн дундажтай (пропорциональ) тэнцүү байна.

Эсрэг заалт нь бас үнэн тул дараах баталгааг баримтална.

a, b, c тоонууд нь аль нэгнийх нь квадрат нь нөгөө хоёрын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тоонуудын аль нэг нь нөгөө хоёрын геометрийн дундаж байх тохиолдолд л зарим геометрийн прогрессийн дараалсан гишүүд болно.

Жишээлбэл,

томъёогоор өгөгдсөн дараалал гэдгийг баталъя б н= -3 2 n , нь геометрийн прогресс юм. Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:

б н= -3 2 n,

б н -1 = -3 2 n -1 ,

б н +1 = -3 2 n +1 .

Тиймээс,

б н 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = б н -1 · б н +1 ,

Энэ нь шаардлагатай мэдэгдлийг баталж байна. ◄

Тэрийг тэмдэглэ n Геометр прогрессийн 3-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олж болно б 1 , гэхдээ өмнөх нэр томъёо б к , үүний тулд томъёог ашиглахад хангалттай

б н = б к · q n - к.

Жишээлбэл,

Учир нь б 5 бичиж болно

б 5 = б 1 · q 4 ,

б 5 = б 2 · q 3,

б 5 = б 3 · q2,

б 5 = б 4 · q. ◄

б н = б к · q n - к,

б н = б н - к · q k,

тэгвэл ойлгомжтой

б н 2 = б н - к· б н + к

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометр прогрессийн аль ч гишүүний квадрат нь түүнээс ижил зайд байгаа энэ прогрессийн гишүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Үүнээс гадна аливаа геометр прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.

б м· б н= б к· б л,

м+ n= к+ л.

Жишээлбэл,

экспоненциалаар

1) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б 5 · б 7 ;

2) 1024 = б 11 = б 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б 4 · б 8 ;

4) б 2 · б 7 = б 4 · б 5 , учир нь

б 2 · б 7 = 2 · 64 = 128,

б 4 · б 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= б 1 + б 2 + б 3 + . . . + б н

эхлээд n хуваагчтай геометр прогрессийн гишүүд q ≠ 0 томъёогоор тооцоолно:

Тэгээд хэзээ q = 1 - томьёоны дагуу

S n= n.b. 1

Хэрэв бид нөхцөлүүдийг нэгтгэх шаардлагатай бол гэдгийг анхаарна уу

б к, б к +1 , . . . , б н,

Дараа нь томъёог ашиглана:

S n- С к -1 = б к + б к +1 + . . . + б н = б к ·	1 - q n - к +1	.
	1 - q

Жишээлбэл,

экспоненциалаар 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Хэрэв геометрийн прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд б 1 , б н, q, nТэгээд S n хоёр томъёогоор холбогдсон:

Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын аль нэгийн утгыг өгсөн бол хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэсэн эдгээр томъёоноос бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг тодорхойлно.

Эхний гишүүнтэй геометр прогрессийн хувьд б 1 ба хуваагч q дараах үйл явдал болно монотон шинж чанар :

Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил нэмэгдэж байна.

б 1 > 0 Тэгээд q> 1;

б 1 < 0 Тэгээд 0 < q< 1;

Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил буурч байна.

б 1 > 0 Тэгээд 0 < q< 1;

б 1 < 0 Тэгээд q> 1.

Хэрэв q< 0 , тэгвэл геометр прогресс тэмдэг ээлжлэн байна: түүний сондгой тоотой гишүүний эхний гишүүнтэй ижил тэмдэгтэй, тэгш тоотой гишүүн нь эсрэг тэмдэгтэй байна. Хувьсах геометрийн прогресс нь монотон биш гэдэг нь ойлгомжтой.

Анхны бүтээгдэхүүн n Геометр прогрессийн нөхцөлийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

П н= б 1 · б 2 · б 3 · . . . · б н = (б 1 · б н) n / 2 .

Жишээлбэл,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Хязгааргүй буурах геометр прогресс

Хязгааргүй буурах геометр прогресс хуваарийн модуль нь түүнээс бага хязгааргүй геометр прогресс гэж нэрлэдэг 1 , тэр бол

|q| < 1 .

Хязгааргүй буурах геометрийн прогресс нь буурах дараалал байж болохгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд тохирно

1 < q< 0 .

Ийм хуваагчтай бол дараалал нь тэмдэг ээлжлэн солигддог. Жишээлбэл,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр эхнийх нь нийлбэр гарах тоог нэрлэнэ үү n тооны хязгааргүй өсөх явцын нөхцөл n . Энэ тоо үргэлж хязгаарлагдмал бөгөөд томъёогоор илэрхийлэгдэнэ

С= б 1 + б 2 + б 3 + . . . =	б 1	.
	1 - q

Жишээлбэл,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Арифметик ба геометр прогрессийн хамаарал

Арифметик ба геометрийн прогрессууд хоорондоо нягт холбоотой. Зөвхөн хоёр жишээг авч үзье.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . г , Тэр

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . б г .

Жишээлбэл,

1, 3, 5, . . . - ялгавартай арифметик прогресс 2 Тэгээд

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . хуваагчтай геометр прогресс юм 7 2 . ◄

б 1 , б 2 , б 3 , . . . хуваагчтай геометр прогресс юм q , Тэр

log a b 1, бүртгэл a b 2, бүртгэл a b 3, . . . - ялгавартай арифметик прогресс бүртгэл аq .

Жишээлбэл,

2, 12, 72, . . . хуваагчтай геометр прогресс юм 6 Тэгээд

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - ялгавартай арифметик прогресс lg 6 . ◄

Тиймээ, тийм: арифметик прогресс бол таны хувьд тоглоом биш юм :)

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг мэдэхгүй хэвээр байгаа гэдгийг дотоод cap нотлох баримт хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, үүн шиг: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс, би чамайг урт танилцуулгаар тарчлаахгүй бөгөөд тэр даруй ажилдаа орно.

Эхлэхийн тулд хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг авч үзье:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: Дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд тус бүр нь өмнөхөөсөө илүү байна. Хоёрдахь тохиолдолд зэргэлдээх тоонуудын хоорондох зөрүү аль хэдийн тавтай тэнцүү байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд ерөнхийдөө үндэс байдаг. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ байхад $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр зүгээр л $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг зүгээр л арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Мөн хэдхэн чухал тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг эмх цэгцтэйтоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь чанд уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Та дугаарыг солих эсвэл солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та (1; 2; 3; 4; ...) гэх мэт зүйлийг бичвэл энэ нь хязгааргүй дэвшил юм. Дөрөвийн дараах эллипс нь нэлээд олон тоо цааш явж байгааг харуулж байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь. :)

Мөн ахиц дэвшил нэмэгдэж, буурч байгааг тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: сүүлчийн жишээхэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;

Хэрэв эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Үүнээс гадна "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, i.e. явцын ялгаа:

Хэрэв $d \gt 0$ бол явц нэмэгдэж байна;
Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
Эцэст нь, $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс ижил тоонуудын хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээрх гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тоо, зүүн талд байгаа тооноос хасахад хангалттай. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Таны харж байгаагаар гурван тохиолдолд ялгаа нь үнэхээр сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага багаар олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогресс болон давтагдах томъёоны гишүүд

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн$((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун$\]

Энэ багцын бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоонуудын тусламжтайгаар ийм байдлаар зааж өгдөг: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, ахиц дэвшлийн хөрш зэргэлдээ гишүүд дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Ийм томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та ямар ч тоог олж чадна, зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх) мэдэж болно. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү төвөгтэй томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томьёог өмнө нь тааралдсан байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, решебникт өгөх дуртай. Математикийн аливаа ухаалаг сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба прогрессийн зөрүү $d=-5$ гэдгийг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; -2)

Тэгээд л болоо! Бидний ахиц дэвшил буурч байгааг анхаарна уу.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-г орлуулах боломжгүй байсан - бид эхний нэр томъёог аль хэдийн мэддэг болсон. Гэсэн хэдий ч нэгжийг орлуулснаар бид эхний улиралд ч гэсэн бидний томъёо ажиллах болно гэдгийг баталгаажуулсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгаврын дугаар 2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Бид асуудлын нөхцөлийг ердийн үгээр бичдэг.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг биелүүлэх ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) бид дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Яг үүнтэй адил бид явцын ялгааг олсон! Системийн аль ч тэгшитгэлд олсон тоог орлуулах хэвээр байна. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдэж.

Хариулт: (-34; -35; -36)

Бидний нээсэн прогрессийн нэгэн сонин шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг авна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш ашигтай эд хөрөнгө, үүнийг та мэдээж мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон асуудлыг шийдвэрлэх явцыг хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна:

Даалгаврын дугаар 3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тэгэхээр $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Тэгээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг зохиож, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг гишүүдийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, эхний гишүүн нь сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нөхцөлүүд гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ, элементүүдийг дараалан ангилж, энэ мөчийг "духан дээр" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ асуудлыг томьёо мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас шаардагдахаар төлөвлөгдсөн байдаг - хариултыг олох хүртэл бид зүгээр л унтдаг. Тиймээс бид эдгээр асуудлыг хурдан шуурхай шийдвэрлэхийг хичээх болно.

Даалгаврын дугаар 4. Арифметик прогрессийн хэдэн сөрөг гишүүн -38.5; -35.8; …?

Шийдэл. Тэгэхээр $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, үүнээс бид шууд ялгааг олно.

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгдэж байгааг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Нэр томъёоны сөрөг тал хэр удаан (өөрөөр хэлбэл $n$ ямар натурал тоо хүртэл) хадгалагдаж байгааг олж мэдэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөрийг тодруулах шаардлагатай байна. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөөтэйгүүр, зөвхөн бүхэл тоонууд бидэнд тохирох болно (түүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн их зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$, ямар ч тохиолдолд 16 биш юм.

Даалгаврын дугаар 5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-г мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн зөрүүг хялбархан олох боломжтой:

Нэмж дурдахад стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний болон зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид өмнөх асуудалтай адилтгаж үргэлжлүүлнэ. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг бид олж мэднэ.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл нь 56 тоо юм.

Анхаарна уу: in сүүлчийн даалгаварБүх зүйл хатуу тэгш бус байдалд хүрсэн тул $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг олж мэдье, энэ нь ирээдүйд бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно. :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөн нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан нөхцөлийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе:

Тооны шулуун дээрх арифметик прогрессийн гишүүд

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын гишүүдийг онцгойлон тэмдэглэсэн бөгөөд ямар ч $((a)_(1)) биш, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Рекурсив томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх гишүүдэд бичье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За яахав? Гэхдээ $((a)_(n-1))$ болон $((a)_(n+1))$ гэсэн нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тай тэнцүү байна. Та хязгааргүй үргэлжлүүлж болно, гэхдээ зураг нь утгыг сайн харуулж байна

Прогрессийн гишүүд төвөөс ижил зайд байрладаг

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш зэргэлдээх тоонууд нь мэдэгдэж байвал та $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг юм.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид гайхалтай мэдэгдлийг гаргасан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнээс гадна, бид $((a)_(n))$-оос баруун, зүүн тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхмуудаар хазайж болно - тэгсэн ч гэсэн томъёо зөв байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практик дээр арифметик дундажийг ашиглахын тулд олон ажлыг тусгайлан "хурцалсан" байдаг. Энийг хар даа:

Даалгаврын дугаар 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ба $14+4((x)^(2))$ тоонууд нь дараалсан гишүүд байхаар $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдэл. Эдгээр тоонууд нь прогрессийн гишүүд тул тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: $x+1$ төв элементийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь сонгодог болсон квадрат тэгшитгэл. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: -3; 2.

Даалгаврын дугаар 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд арифметик прогресс (энэ дарааллаар) үүсгэхийн тулд $$-ын утгыг ол.

Шийдэл. Дахин хэлэхэд бид дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар илэрхийлнэ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Өөр нэг квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та хэрцгий тоонуудыг олж авбал эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай заль мэх байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод бид -3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$ орлуулах:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид -54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь даалгаврыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө сүүлийн даалгавруудыг шийдвэрлэх явцад бид өөр нэг зүйл дээр бүдэрсэн сонирхолтой баримт, үүнийг бас санах хэрэгтэй:

Хэрэв гурван тоо ийм байвал хоёр дахь нь дундаж байна эхлээд арифметикхамгийн сүүлд эдгээр тоонууд нь арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь асуудлын нөхцөл байдалд тулгуурлан шаардлагатай дэвшлийг шууд утгаар нь "бүтээх" боломжийг бидэнд олгоно. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө өмнө нь авч үзсэн зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийн бүлэг ба нийлбэр

Тооны мөрөнд дахин орцгооё. Бид ахиц дэвшлийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийн хооронд байж магадгүй юм. бусад олон гишүүдийн үнэ цэнэтэй:

Тооны мөрөнд тэмдэглэгдсэн 6 элемент

"Зүүн сүүл"-ийг $((a)_(n))$, $d$, "баруун сүүл"-ийг $((a)_(k))$, $-оор илэрхийлэхийг хичээцгээе. d$. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах нийлбэрүүд тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл эдгээр элементүүдээс эсрэг чиглэлд (бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээр) алхаж эхэлнэ. тэгээд Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн сайн дүрсэлж болно:

Ижил догол мөр нь тэнцүү дүнг өгдөг

Ойлголт энэ баримтасуудлыг үндсээр нь шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно өндөр түвшиндээр дурдсантай харьцуулахад нарийн төвөгтэй байдал. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгаврын дугаар 8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь байж болох хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдэл. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид $d$ прогрессийн ялгааг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул бүх шийдэл нь ялгааг тойрон гарах болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((а)_(12))=((а)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүст: Би хоёр дахь хаалтаас нийтлэг хүчин зүйл 11-ийг авсан. Тиймээс хүссэн бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчийн хувьд квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. Хэрэв бид хаалтуудыг нээвэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн дээд үзүүлэлтийн коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо, тиймээс бид үнэхээр дээш салбартай параболатай харьцаж байна:

квадрат функцийн график - парабол
Анхаарна уу: энэ парабола хамгийн бага утгыг орой дээрээ $((d)_(0))$ абсциссатай авна. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг стандарт схемийн дагуу тооцоолж болно ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ томъёо байдаг), гэхдээ энэ нь илүү үндэслэлтэй байх болно. Хүссэн орой нь параболын тэнхлэгийн тэгш хэм дээр байрладаг тул $((d)_(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байгааг анхаарна уу:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d\баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисса нь −66 ба −6 тоонуудын арифметик дундажтай тэнцүү байна.

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоог бидэнд юу өгдөг вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүнийг авдаг хамгийн бага утга(Дашрамд хэлэхэд бид $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - бид үүнийг хийх шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ энэ тоо нь эхний дэвшлийн зөрүү, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгаврын дугаар 9. $-\frac(1)(2)$ ба $-\frac(1)(6)$ тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар өгөгдсөн тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдэл. Үнэн хэрэгтээ бид эхний болон таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй сүүлийн дугаараль хэдийн мэдэгдэж байсан. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэ.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас, $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)( 6)$. Хэрэв $x$ ба $z$ тоонуудаас бид байгаа бол Энэ мөчБид $y$-г авч чадахгүй бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санаарай:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ ба $y=-\frac(1)(3)$ хооронд байгааг анхаарна уу. Тийм ч учраас

Үүнтэй адилаар бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг анхны тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар нь хариултанд бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгаврын дугаар 10. 2 ба 42 гэсэн тоонуудын хооронд эхний, хоёр дахь, сүүлчийн оруулсан тоонуудын нийлбэр нь 56 байх нь мэдэгдэж байгаа бол өгөгдсөн тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна.

Шийдэл. Өмнөхтэй ижил аргаар арифметик дундажаар шийдэгддэг илүү хэцүү даалгавар. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулахаа мэдэхгүй байгаа явдал юм. Тиймээс тодорхой байхын тулд бид оруулсны дараа яг $n$ тоо байх бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж таамаглаж байна. Энэ тохиолдолд хүссэн арифметик прогрессийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэсэн хэдий ч $((a)_(2))$ болон $((a)_(n-1))$ тоонуудыг бие бие рүүгээ нэг алхамаар ирмэг дээр зогсож буй 2 ба 42 тооноос авсан болохыг анхаарна уу. , өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дараа нь дээрх илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-ийг мэдсэнээр бид явцын зөрүүг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн гишүүдийг олоход л үлдлээ.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байсан: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Процесс бүхий текст даалгавар

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй энгийн хэд хэдэн асуудлыг авч үзэхийг хүсч байна. За, энгийн зүйл бол: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудын хувьд эдгээр даалгавар нь дохио зангаа мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикийн OGE болон USE-д яг ийм даалгавар гардаг тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 11. Тус багийнхан 1-р сард 62 ширхэг үйлдвэрлэсэн бол дараагийн сар бүр өмнөхөөсөө 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэсэн байна. Бригад арваннэгдүгээр сард хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, сараар будсан хэсгүүдийн тоо нь арифметик прогрессоор нэмэгдэх болно. Мөн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгаврын дугаар 12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном хавсаргасан бөгөөд сар бүр өмнөх сараас 4-өөр илүү ном хавсаргасан байна. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдэл. Бүгд адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

Хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчны курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Та аюулгүйгээр очиж болно дараагийн хичээл, Энд бид прогрессийн нийлбэрийн томъёо, түүнчлэн үүнээс чухал бөгөөд маш ашигтай үр дагаврыг судлах болно.

Заавар

Арифметик прогресс гэдэг нь a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d хэлбэрийн дараалал юм. d дугаар алхам дэвшил.Мэдээж арифметикийн дурын n-р гишүүний нийлбэр дэвшилдараах хэлбэртэй байна: An = A1+(n-1)d. Дараа нь нэг гишүүнийг таньдаг дэвшил, гишүүн дэвшилболон алхам дэвшил, байж болно, өөрөөр хэлбэл прогресс гишүүний тоо. Үүнийг n = (An-A1+d)/d томъёогоор тодорхойлох нь ойлгомжтой.

m-р нэр томъёог одоо мэдэгдье дэвшилболон бусад гишүүн дэвшил- n-th, гэхдээ n , өмнөх тохиолдлын адил боловч n ба m тохирохгүй нь мэдэгдэж байна.Алхам дэвшил d = (An-Am)/(n-m) томъёогоор тооцоолж болно. Дараа нь n = (An-Am+md)/d.

Хэрэв арифметикийн хэд хэдэн элементийн нийлбэр дэвшил, түүнчлэн түүний эхний ба сүүлчийн , дараа нь эдгээр элементийн тоог мөн тодорхойлж болно.Арифметикийн нийлбэр дэвшилтэнцүү байх болно: S = ((A1+An)/2)n. Дараа нь n = 2S/(A1+An) chdenov байна дэвшил. An = A1+(n-1)d гэдгийг ашиглан энэ томьёог дараах байдлаар дахин бичиж болно: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Эндээс квадрат тэгшитгэлийг шийдэж n-ийг илэрхийлж болно.

Арифметик дараалал гэдэг нь эхнийхээс бусад гишүүн бүр өмнөхөөсөө ижил хэмжээгээр ялгаатай байдаг ийм эрэмблэгдсэн тоонуудын багц юм. Энэ тогтмолыг прогресс эсвэл түүний алхамын зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд арифметик прогрессийн мэдэгдэж буй гишүүдээс тооцоолж болно.

Заавар

Хэрэв эхний болон хоёр дахь эсвэл бусад хос нөхцлийн утгууд нь асуудлын нөхцлөөс мэдэгдэж байвал зөрүүг (d) тооцоолохын тулд дараагийн гишүүнээс өмнөх гишүүнийг хасахад хангалттай. Үр дүнгийн утга нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно - энэ нь ахиц дэвшил нэмэгдэж байгаа эсэхээс хамаарна. Прогрессийн хөрш гишүүдийн дурын хосын (aᵢ ба aᵢ₊₁) шийдлийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичнэ үү: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Нэг нь эхний (a₁), нөгөө нь дур зоргоороо сонгогдсон ийм прогрессийн хос гишүүдийн хувьд ялгааг (d) олох томъёог гаргаж болно. Гэхдээ энэ тохиолдолд дарааллын дурын гишүүний серийн дугаар (i) нь мэдэгдэж байх ёстой. Ялгааг тооцоолохын тулд хоёр тоог нэмж, үр дүнг дурын гишүүний нэгээр багасгасан дарааллын тоонд хуваана. IN ерөнхий үзэлЭнэ томъёог ингэж бичнэ үү: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Хэрэв арифметик прогрессийн i дарааллын тоотой дурын гишүүнээс гадна u дарааллын дугаартай гишүүн мэдэгдэж байвал өмнөх алхамын томъёог зохих ёсоор өөрчил. Энэ тохиолдолд прогрессийн зөрүү (d) нь эдгээр хоёр гишүүний нийлбэрийг дарааллын тооны зөрүүнд хуваасан байна: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Хэрэв арифметик дарааллын эхний гишүүдийн эхний гишүүн (a₁) ба өгөгдсөн тооны (i)-ийн нийлбэр (Sᵢ)-ийг дараах нөхцөлд өгвөл зөрүүг (d) тооцоолох томъёо нь арай илүү төвөгтэй болно. асуудал. Хүссэн утгыг авахын тулд нийлбэрийг түүнийг үүсгэсэн нөхцлийн тоонд хувааж, дарааллын эхний тооны утгыг хасаад үр дүнг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ. Үр дүнгийн утгыг нэгээр бууруулсан нийлбэрийг бүрдүүлсэн нөхцлийн тоонд хуваа. Ерөнхийдөө дискриминантыг тооцоолох томъёог дараах байдлаар бичнэ үү: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

И.В.Яковлев | Математикийн материал | MathUs.ru

Арифметик прогресс

Арифметик прогресс бол тусгай төрлийн дараалал юм. Тиймээс арифметик (дараа нь геометрийн) прогрессийг тодорхойлохын өмнө бид товчхон ярих хэрэгтэй. чухал ойлголттооны дараалал.

Дараалал

Дэлгэц дээр зарим тоонууд ар араасаа гарч ирдэг төхөөрөмжийг төсөөлөөд үз дээ. 2 гэж хэлье; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ийм тооны багц нь зөвхөн дарааллын жишээ юм.

Тодорхойлолт. Тоон дараалалЭнэ нь тоо бүрт өвөрмөц дугаар өгч болох тооны багц юм (өөрөөр хэлбэл нэг натурал тоотой харьцах)1. n тоотой тоог дарааллын n дэх гишүүн гэнэ.

Тэгэхээр дээрх жишээнд эхний тоо нь 2 гэсэн тоотой байх ба энэ нь дарааллын эхний гишүүн бөгөөд үүнийг a1 гэж тэмдэглэж болно; тавын тоо нь дарааллын тав дахь гишүүн болох 6 тоотой бөгөөд үүнийг a5 гэж тэмдэглэж болно. Ерөнхийдөө дарааллын n-р гишүүнийг (эсвэл bn , cn гэх мэт) тэмдэглэнэ.

Маш тохиромжтой нөхцөл бол дарааллын n-р гишүүнийг ямар нэг томъёогоор зааж өгөх явдал юм. Жишээлбэл, an = 2n 3 томьёо нь дарааллыг тодорхойлдог: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n томъёо нь дарааллыг тодорхойлно: 1; 1; 1; 1; : : :

Тоонуудын багц бүр дараалал биш юм. Тиймээс сегмент нь дараалал биш юм; Энэ нь дахин дугаарлахад ¾хэт олон¿ тоо агуулсан байна. Бүх бодит тоонуудын R олонлог нь дараалал биш юм. Эдгээр баримтууд нь математикийн шинжилгээний явцад нотлогддог.

Арифметик прогресс: үндсэн тодорхойлолтууд

Одоо бид арифметик прогрессийг тодорхойлоход бэлэн боллоо.

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэдэг нь гишүүн бүр (хоёр дахь үеэс эхлэн) өмнөх гишүүний нийлбэр ба зарим тогтмол тооны (арифметик прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг) тэнцүү байх дарааллыг хэлнэ.

Жишээ нь, дараалал 2; 5; 8; арван нэгэн; : : : нь эхний гишүүн 2 ба зөрүү 3-тай арифметик прогресс юм. Дараалал 7; 2; 3; 8; : : : эхний гишүүн 7 ба зөрүү 5-тай арифметик прогресс. Дараалал 3; 3; 3; : : : нь тэг зөрүүтэй арифметик прогресс юм.

Эквивалент тодорхойлолт: an+1 an ялгаа нь тогтмол утга (n-ээс хамааралгүй) байвал a дарааллыг арифметик прогресс гэнэ.

Арифметик прогрессийн зөрүү нь эерэг байвал өсөж, сөрөг байвал буурдаг гэж нэрлэдэг.

1 Энд илүү товч тодорхойлолт байна: дараалал нь натурал тоонуудын олонлог дээр тодорхойлогдсон функц юм. Жишээлбэл, бодит тоонуудын дараалал нь f функц юм: N! Р.

Анхдагч байдлаар, дарааллыг хязгааргүй гэж үздэг, өөрөөр хэлбэл хязгааргүй тооны тоог агуулдаг. Гэхдээ хэн ч хязгаарлагдмал дарааллыг авч үзэхээс санаа зовдоггүй; үнэн хэрэгтээ аливаа төгсгөлтэй тооны багцыг төгсгөлтэй дараалал гэж нэрлэж болно. Жишээлбэл, эцсийн дараалал 1; 2; 3; 4; 5 нь таван тооноос бүрдэнэ.

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёо

Арифметик прогресс нь эхний гишүүн ба зөрүү гэсэн хоёр тоогоор бүрэн тодорхойлогддог гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Тиймээс асуулт гарч ирнэ: эхний гишүүн ба ялгааг мэдэж, арифметик прогрессийн дурын гишүүнийг хэрхэн олох вэ?

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний хүссэн томьёог олоход хэцүү биш. А байг

ялгавартай арифметик прогресс d. Бидэнд байгаа:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Ялангуяа бид бичнэ:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
бөгөөд одоо an-ийн томъёо нь тодорхой болсон байна:
an = a1 + (n 1)d:

Даалгавар 1. Арифметик прогресс 2-т; 5; 8; арван нэгэн; : : : n-р гишүүний томьёог олоод зуу дахь гишүүнийг тооцоол.

Шийдэл. (1) томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна.

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Арифметик прогрессийн шинж чанар, тэмдэг

арифметик прогрессийн шинж чанар. Арифметик прогрессийн хувьд дурын

Өөрөөр хэлбэл, арифметик прогрессийн гишүүн бүр (хоёр дахь хэсгээс эхлэн) нь хөрш гишүүдийн арифметик дундаж юм.

	Баталгаа. Бидэнд байгаа:
	a n 1+ a n+1		(d) + (an + d)

энэ нь шаардлагатай байсан юм.

Ерөнхийдөө арифметик прогресс a нь тэгш байдлыг хангадаг

a n = a n k+ a n+k

дурын n > 2 ба аливаа натурал k-ийн хувьд< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Дараалал нь арифметик прогресс байхын тулд (2) томъёо нь зайлшгүй төдийгүй хангалттай нөхцөл болох нь харагдаж байна.

Арифметик прогрессийн тэмдэг. Хэрэв тэгш байдал (2) бүх n > 2-д биелдэг бол a дараалал нь арифметик прогресс болно.

Баталгаа. (2) томъёог дараах байдлаар дахин бичье.

a na n 1= a n+1a n:

Энэ нь an+1 an ялгаа нь n-ээс хамаарахгүйг харуулж байгаа бөгөөд энэ нь зөвхөн a дараалал нь арифметик прогресс гэсэн үг юм.

Арифметик прогрессийн шинж чанар, тэмдгийг нэг өгүүлбэр болгон томъёолж болно; тав тухтай байлгах үүднээс бид үүнийг гурван тоогоор хийх болно (энэ нь асуудалд ихэвчлэн тохиолддог нөхцөл байдал юм).

Арифметик прогрессийн шинж чанар. a, b, c гурван тоо нь зөвхөн 2b = a + c тохиолдолд арифметик прогресс үүсгэдэг.

Бодлого 2. (Москвагийн Улсын Их Сургууль, Эдийн засгийн факультет, 2007) Заасан дарааллаар 8х, 3 х2, 4 гэсэн гурван тоо нь буурч буй арифметик прогрессийг үүсгэдэг. x олоод энэ прогрессийн зөрүүг бич.

Шийдэл. Арифметик прогрессийн шинж чанараар бид:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:

Хэрэв x = 1 бол 8, 2, 4-ийн бууралтын прогрессийг 6-ийн зөрүүгээр авна. Хэрэв x = 5 бол 40, 22, 4-ийн өсөлттэй прогрессийг авна; энэ хэрэг болохгүй байна.

Хариулт: x = 1, ялгаа нь 6 байна.

Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр

Нэгэн удаа багш хүүхдүүдэд 1-ээс 100 хүртэлх тооны нийлбэрийг олоорой гэж хэлээд сонин уншихаар чимээгүйхэн суусан гэж домогт өгүүлдэг. Гэсэн хэдий ч хэдхэн минутын дотор нэг хүү асуудлаа шийдсэн гэж хэлэв. Энэ бол хожим түүхэн дэх хамгийн агуу математикчдын нэг болсон 9 настай Карл Фридрих Гаусс байв.

Бяцхан Гауссын санаа ийм байв. Болъё

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Энэ нийлбэрийг урвуу дарааллаар бичье.

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

мөн эдгээр хоёр томъёог нэмнэ үү:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Хаалтанд байгаа гишүүн бүр нь 101-тэй тэнцүү бөгөөд нийт 100 ийм гишүүн байна.Тиймээс

2S = 101 100 = 10100;

Бид энэ санааг нийлбэрийн томъёог гаргахдаа ашигладаг

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

n-р гишүүний an = a1 + (n 1)d томъёог түүнд орлуулах замаар (3) томъёоны ашигтай өөрчлөлтийг олж авна.