гэр › Хөргөлтийн систем › Арифметик прогресс дахь тэмдэглэгээ. Алгебр: Арифметик ба геометрийн прогресс

Арифметик прогресс дахь тэмдэглэгээ. Алгебр: Арифметик ба геометрийн прогресс

Онолын мэдээлэл

Онолын мэдээлэл

	Арифметик прогресс	Геометрийн прогресс
Тодорхойлолт	Арифметик прогресс a nдарааллыг дуудаж, гишүүн бүр нь хоёр дахь гишүүнээс эхлэн өмнөх гишүүнтэй тэнцүү, ижил тоогоор нэмэгддэг. г (г- явцын зөрүү)	геометрийн прогресс б нтэгээс өөр тоонуудын дарааллыг дууддаг бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх гишүүнийг ижил тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. q (q- прогрессийн хуваагч)
Давтагдах томъёо	Аливаа байгалийн хувьд n a n + 1 = a n + d	Аливаа байгалийн хувьд n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
n-р хугацааны томъёо	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
онцлог шинж чанар
Эхний n гишүүний нийлбэр

Тайлбар бүхий даалгаврын жишээ

Дасгал 1

IN арифметик прогресс (a n) a 1 = -6, a 2

n-р гишүүний томъёоны дагуу:

а 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21 өдөр

Нөхцөлөөр:

a 1= -6, тэгэхээр а 22= -6 + 21d.

Прогрессийн ялгааг олох шаардлагатай:

d= a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Хариулт: а 22 = -48.

Даалгавар 2

Геометр прогрессийн тав дахь гишүүнийг ол: -3; 6;.....

1-р арга (n-н хугацааны томьёог ашиглах)

Геометр прогрессийн n-р гишүүний томъёоны дагуу:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Учир нь б 1 = -3,

2-р арга (рекурсив томъёог ашиглах)

Прогрессийн хуваагч нь -2 (q = -2) тул:

б 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

б 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

б 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Хариулт: б 5 = -48.

Даалгавар 3

Арифметик прогрессоор ( a n) a 74 = 34; нь 76= 156. Энэ прогрессийн далан тав дахь гишүүнийг ол.

Арифметик прогрессийн хувьд шинж чанар нь хэлбэртэй байна .

Тиймээс:

Томъёоны өгөгдлийг орлуулна уу:

Хариулт: 95.

Даалгавар 4

Арифметик прогрессоор ( a n ) a n= 3n - 4. Эхний арван долоон гишүүний нийлбэрийг ол.

Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг олохын тулд дараах хоёр томъёог ашиглана.

Аль нь Энэ тохиолдолдхэрэглэхэд илүү тохиромжтой юу?

Нөхцөлөөр анхны прогрессийн n-р гишүүний томъёо мэдэгдэж байна ( a n) a n= 3n - 4. Шууд олж болно ба a 1, Мөн а 16ололгүйгээр d . Тиймээс бид эхний томъёог ашигладаг.

Хариулт: 368.

Даалгавар 5

Арифметик прогрессоор a n) a 1 = -6; a 2= -8. Прогрессийн хорин хоёр дахь гишүүнийг ол.

n-р гишүүний томъёоны дагуу:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21 өдөр.

Нөхцөлөөр, хэрэв a 1= -6, тэгвэл а 22= -6 + 21d. Прогрессийн ялгааг олох шаардлагатай:

d= a 2 - a 1 = -8 – (-6) = -2

а 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Хариулт: а 22 = -48.

Даалгавар 6

Геометр прогрессийн хэд хэдэн дараалсан гишүүнийг тэмдэглэв.

х үсгээр тэмдэглэсэн прогрессийн гишүүнийг ол.

Шийдвэрлэхдээ бид n-р гишүүний томъёог ашигладаг b n \u003d b 1 ∙ q n - 1геометр прогрессийн хувьд. Прогрессийн анхны гишүүн. Прогрессийн q хуваагчийг олохын тулд эдгээр прогрессийн аль нэг гишүүний аль нэгийг нь авч өмнөх гишүүнд хуваах хэрэгтэй. Бидний жишээн дээр та авч, хувааж болно. Бид q \u003d 3-ыг авна. Өгөгдсөн геометр прогрессийн гурав дахь гишүүнийг олох шаардлагатай тул томъёонд n-ийн оронд 3-ыг орлуулна.

Олсон утгыг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

Хариулт:.

Даалгавар 7

n-р гишүүний томъёогоор өгөгдсөн арифметик прогрессуудаас нөхцөл хангагдсаныг сонго. а 27 > 9:

Прогрессийн 27-р гишүүний хувьд заасан нөхцөл хангагдсан байх ёстой тул дөрвөн прогресс бүрт n-ийн оронд 27-г орлуулна. 4-р шатанд бид дараахь зүйлийг авна.

Хариулт: 4.

Даалгавар 8

Арифметик прогрессоор a 1= 3, d = -1.5. Тодорхойл хамгийн өндөр үнэ цэнэ n , үүний төлөө тэгш бус байдал a n > -6.

Арифметик прогрессийн асуудлууд эрт дээр үеэс байсаар ирсэн. Тэд гарч ирээд шийдлийг шаардаж байсан, учир нь тэдэнд бодит хэрэгцээ байсан.

Тиймээс, нэг папирус дээр эртний египетМатематикийн агуулгатай - Ринд папирус (МЭӨ XIX зуун) нь дараахь даалгаврыг агуулна: арван хэмжүүр талхыг арван хүнд хуваа, тэдгээрийн хоорондох зөрүү нь хэмжүүрийн наймны нэг байх ёстой.

Эртний Грекчүүдийн математикийн бүтээлүүдэд арифметик прогресстой холбоотой гоёмсог теоремууд байдаг. Тиймээс, Александрийн Hypsicles (2-р зуун, олон сонирхолтой бодлогуудыг эмхэтгэн, Евклидийн "Элементүүд"-д арван дөрөв дэх номыг нэмсэн" санааг томъёолсон: "Тэгш тооны гишүүдтэй арифметик прогрессод 2-р хагасын гишүүдийн нийлбэр. хэмжээнээс илүүгишүүдийн 1/2 талбай дээр 1-р гишүүд.

a дарааллыг тэмдэглэв. Дарааллын тоог гишүүд гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн энэ гишүүний серийн дугаарыг (a1, a2, a3 ... уншина уу: "a 1st", "a 2th", "a 3rd" гэсэн индекс бүхий үсгээр тэмдэглэдэг. гэх мэт).

Дараалал нь төгсгөлгүй эсвэл төгсгөлтэй байж болно.

Арифметик прогресс гэж юу вэ? Прогрессийн зөрүү болох ижил тооны d тоотой өмнөх гишүүн (n)-ийг нэмснээр олж авсан гэж ойлгодог.

Хэрэв d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0 бол ийм дэвшил нэмэгдэж байна гэж үзнэ.

Арифметик прогрессийн эхний гишүүний цөөн хэдэн хэсгийг л авч үзвэл түүнийг төгсгөлтэй гэж нэрлэдэг. Маш олон тооны гишүүдтэй бол энэ нь аль хэдийн болсон хязгааргүй дэвшил.

Аливаа арифметик прогрессийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

an =kn+b, харин b ба k нь зарим тоо юм.

Эсрэг заалт нь туйлын үнэн юм: хэрэв дараалал нь ижил төстэй томъёогоор өгөгдсөн бол энэ нь яг арифметик прогресс бөгөөд дараахь шинж чанартай байдаг.

Прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж юм.
Эсрэг тал нь: хэрэв 2-оос эхлэн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүний арифметик дундаж, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл хангагдсан бол өгөгдсөн дараалал нь арифметик прогресс болно. Энэ тэгш байдал нь нэгэн зэрэг дэвшилтийн шинж тэмдэг тул үүнийг ихэвчлэн прогрессийн шинж чанар гэж нэрлэдэг.
Үүний нэгэн адил энэ шинж чанарыг тусгасан теорем үнэн: 2-оос эхлэн дарааллын аль ч гишүүнд энэ тэгш байдал үнэн байвал дараалал нь арифметик прогресс болно.

Арифметик прогрессийн дурын дөрвөн тооны шинж чанарыг n + m = k + l (m, n, k нь прогрессийн тоонууд) бол an + am = ak + al томъёогоор илэрхийлж болно.

Арифметик прогрессод шаардлагатай (N-р) гишүүнийг дараах томъёог ашиглан олж болно.

Жишээ нь: арифметик прогрессийн эхний гишүүн (a1) өгөгдсөн ба гурав, зөрүү (d) нь дөрөвтэй тэнцэнэ. Та энэ дэвшлийн дөчин тав дахь гишүүнийг олох хэрэгтэй. a45 = 1+4(45-1)=177

an = ak + d(n - k) томъёо нь тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог n-р гишүүнмэдэгдэж байгаа бол түүний k-р гишүүний аль нэгээр нь арифметик прогресс.

Арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийг (эцсийн прогрессийн 1-р n гишүүн гэж үзвэл) дараах байдлаар тооцоолно.

Sn = (a1+an) n/2.

Хэрэв 1-р нэр томъёо нь бас мэдэгдэж байгаа бол өөр томъёог тооцоолоход тохиромжтой.

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n гишүүнтэй арифметик прогрессийн нийлбэрийг дараах байдлаар тооцоолно.

Тооцооллын томъёоны сонголт нь даалгаврын нөхцөл, анхны өгөгдлөөс хамаарна.

1,2,3,...,n,...- гэх мэт дурын тооны натурал цуваа хамгийн энгийн жишээарифметик прогресс.

Арифметик прогрессоос гадна өөрийн гэсэн шинж чанар, шинж чанартай геометрийн прогресс байдаг.

Хичээлийн төрөл:шинэ материал сурах.

Хичээлийн зорилго:

арифметик прогресс ашиглан шийдсэн даалгаврын талаархи оюутнуудын санаа бодлыг өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх; арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог гаргахдаа оюутнуудын хайлтын үйл ажиллагааг зохион байгуулах;
бие даан шинэ мэдлэг олж авах чадварыг хөгжүүлэх, өмнө нь олж авсан мэдлэгээ зорилгодоо хүрэхийн тулд ашиглах;
олж авсан баримтуудыг нэгтгэх хүсэл, хэрэгцээг хөгжүүлэх, бие даасан байдлыг хөгжүүлэх.

Даалгаварууд:

"Арифметик прогресс" сэдвээр байгаа мэдлэгээ нэгтгэх, системчлэх;
арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг тооцоолох томьёог гаргаж авах;
олж авсан томъёог янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглахыг заах;
тоон илэрхийллийн утгыг олох журамд оюутнуудын анхаарлыг хандуулах.

Тоног төхөөрөмж:

бүлэг, хосоор ажиллах даалгавар бүхий картууд;
үнэлгээний хуудас;
танилцуулга"Арифметик прогресс".

I. Суурь мэдлэгийг бодит болгох.

1. Бие даасан ажилхосоор нь.

1-р сонголт:

Арифметик прогрессийг тодорхойлно уу. Арифметик прогрессийг тодорхойлсон рекурсив томьёог бич. Арифметик прогрессийн жишээг өгч, ялгааг заана уу.

2-р сонголт:

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёог бич. Арифметик прогрессийн 100 дахь гишүүнийг ол ( a n}: 2, 5, 8 …
Энэ үед хоёр оюутан урвуу талУдирдах зөвлөлүүд ижил асуултын хариултыг бэлтгэдэг.
Оюутнууд хамтрагчийн ажлыг самбартай харьцуулан үнэлдэг. (Хариулт бүхий ухуулах хуудсыг гардуулав).

2. Тоглоомын мөч.

Дасгал 1.

Багш аа.Би арифметик прогрессийг төсөөлсөн. Хариултуудын дараа та энэ дэвшлийн 7 дахь гишүүнийг хурдан нэрлэхийн тулд надаас хоёр асуулт асуу. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Оюутнуудын асуулт.

Прогрессийн зургаа дахь гишүүн гэж юу вэ, ялгаа нь юу вэ?
Прогрессийн найм дахь гишүүн гэж юу вэ, ялгаа нь юу вэ?

Хэрэв өөр асуулт байхгүй бол багш тэднийг өдөөж болно - d (ялгаа) дээр "хориг" тавих, өөрөөр хэлбэл ялгаа нь юу болохыг асуухыг хориглоно. Та асуулт асууж болно: дэвшилтийн 6-р гишүүн, 8-р гишүүн гэж юу вэ?

Даалгавар 2.

Самбар дээр 20 тоо бичсэн байна: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Багш самбар руу нуруугаа харуулан зогсож байна. Оюутнууд дугаарын дугаарыг нь хэлж, багш тэр даруй дугаараа өөрөө дууддаг. Би үүнийг яаж хийхийг тайлбарлана уу?

Багш n-р улирлын томъёог санаж байна a n \u003d 3n - 2өгөгдсөн n утгыг орлуулж харгалзах утгыг олно a n .

II. Боловсролын даалгаврын мэдэгдэл.

Би Египетийн папиристаас олдсон МЭӨ 2-р мянганы хуучин асуудлыг шийдэхийг санал болгож байна.

Даалгавар:"Та нарт хэлье: 10 хэмжүүр арвайг 10 хүнд хуваа, хүн бүр болон хөршийнхөө хоорондох зөрүү нь хэмжүүрийн 1/8 байна."

Энэ асуудал арифметик прогрессийн сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? (Дараагийн хүн бүр хэмжүүрийн 1/8-ийг илүү авдаг тул ялгаа нь d=1/8, 10 хүн, тэгэхээр n=10.)
Таны бодлоор 10 тоо юу гэсэн үг вэ? (Дэвшилтийн бүх гишүүдийн нийлбэр.)
Асуудлын нөхцлийн дагуу арвайг хуваахад хялбар, хялбар болгохын тулд өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? (Хөгжлийн эхний үе.)

Хичээлийн зорилго- Прогрессийн гишүүний нийлбэр нь тэдгээрийн тоо, эхний гишүүн, ялгавараас хамаарах хамаарлыг олж, асуудлыг эрт дээр үед зөв шийдсэн эсэхийг шалгах.

Томьёог гаргахын өмнө эртний египетчүүд асуудлыг хэрхэн шийдсэнийг харцгаая.

Тэгээд тэд үүнийг ингэж шийдсэн:

1) 10 хэмжүүр: 10 = 1 хэмжүүр - дундаж хувь;
2) 1 хэмжүүр ∙ = 2 хэмжигдэхүүн - хоёр дахин нэмэгдсэн дундажхуваалцах.
хоёр дахин нэмэгдсэн дундажхувь нь 5 ба 6 дахь этгээдийн хувьцааны нийлбэр юм.
3) 2 хэмжигдэхүүн - 1/8 хэмжигдэхүүн = 1 7/8 хэмжигдэхүүн - тав дахь хүний хувиас хоёр дахин их.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - тав дахь хувь; гэх мэтээр та өмнөх болон дараагийн хүн бүрийн эзлэх хувийг олох боломжтой.

Бид дарааллыг авна:

III. Даалгаврын шийдэл.

1. Бүлгээр ажиллах

1-р бүлэг:Дараалсан 20 натурал тооны нийлбэрийг ол: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Ерөнхийдөө

II бүлэг: 1-ээс 100 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол (Бяцхан Гауссын домог).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Дүгнэлт:

III бүлэг: 1-ээс 21 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол.

Шийдэл: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Дүгнэлт:

IV бүлэг: 1-ээс 101 хүртэлх натурал тоонуудын нийлбэрийг ол.

Дүгнэлт:

Энэ асуудлыг шийдвэрлэх аргыг "Гаусын арга" гэж нэрлэдэг.

2. Бүлэг бүр асуудлын шийдлийг самбар дээр гаргана.

3. Дурын арифметик прогрессийн санал болгож буй шийдлүүдийн ерөнхий дүгнэлт:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Бид энэ нийлбэрийг үүнтэй төстэй байдлаар олж авна.

4. Бид даалгавраа шийдсэн үү?(Тийм.)

IV. Асуудлыг шийдвэрлэхэд олж авсан томъёог анхан шатны ойлголт, хэрэглээ.

1. Хуучин асуудлын шийдлийг томъёогоор шалгах.

2. Төрөл бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд томьёог хэрэглэх.

3. Бодлого шийдвэрлэхэд томьёог хэрэглэх чадварыг бүрдүүлэх дасгалууд.

A) № 613

Өгөгдсөн :( ба n) -арифметик прогресс;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Олно: S 1500

Шийдэл: , ба 1 = 1, мөн 1500 = 1500,

B) Өгөгдсөн: ( ба n) -арифметик прогресс;
(ба n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Олно: n
Шийдэл:

V. Бие дааж, харилцан баталгаажуулсан ажил.

Денис шуудан зөөгчөөр ажиллахаар явсан. Эхний сард түүний цалин 200 рубль байсан бол дараагийн сар бүр 30 рублиэр нэмэгдэв. Тэр жилдээ хэр их орлого олсон бэ?

Өгөгдсөн :( ба n) -арифметик прогресс;
a 1 = 200, d=30, n=12
Олно: S 12
Шийдэл:

Хариулт: Денис жилд 4380 рубль авсан.

VI. Гэрийн даалгавар.

х 4.3 - томъёоны гарал үүслийг сурах.
№№ 585, 623 .
Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглан шийдэх бодлого зохио.

VII. Хичээлийг дүгнэж байна.

1. Онооны хуудас

2. Өгүүлбэрүүдийг үргэлжлүүлнэ үү

Өнөөдөр хичээл дээр би сурсан ...
Сурсан томъёонууд...
Би итгэж байна …

3. Та 1-ээс 500 хүртэлх тооны нийлбэрийг олж чадах уу? Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд ямар арга хэрэглэх вэ?

Ном зүй.

1. Алгебр, 9-р анги. Боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг. Эд. Г.В. Дорофеева.Москва: Гэгээрэл, 2009 он.

Тиймээ, тийм: арифметик прогресс бол таны хувьд тоглоом биш юм :)

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг мэдэхгүй хэвээр байгаа гэдгийг дотоод cap нотлох баримт хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, үүн шиг: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс, би чамайг урт танилцуулгаар тарчлаахгүй бөгөөд тэр даруй ажилдаа орно.

Эхлэхийн тулд хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг авч үзье:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: Дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд тус бүр нь өмнөхөөсөө илүү байна. Хоёрдахь тохиолдолд зэргэлдээх тоонуудын хоорондох зөрүү аль хэдийн тавтай тэнцүү байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд ерөнхийдөө үндэс байдаг. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ байхад $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр зүгээр л $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг зүгээр л арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Мөн хэдхэн чухал тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг эмх цэгцтэйтоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь чанд уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Та дугаарыг солих, солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та (1; 2; 3; 4; ...) гэх мэт зүйлийг бичвэл энэ нь аль хэдийн хязгааргүй прогресс юм. Дөрөвийн дараах зууван зураас нь нэлээд олон тоо цааш явж байгааг сануулж байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь. :)

Мөн ахиц дэвшил нэмэгдэж, буурч байгааг тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: сүүлчийн жишээхэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;

Хэрэв эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Үүнээс гадна "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, i.e. явцын ялгаа:

Хэрэв $d \gt 0$ бол явц нэмэгдэж байна;
Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
Эцэст нь, $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс ижил тоонуудын хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээрх гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тоо, зүүн талд байгаа тооноос хасахад хангалттай. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Таны харж байгаагаар гурван тохиолдолд ялгаа нь үнэхээр сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага багаар олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогресс болон давтагдах томъёоны гишүүд

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн$((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун$\]

Энэ багцын бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоонуудын тусламжтайгаар ийм байдлаар зааж өгдөг: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, ахиц дэвшлийн хөрш зэргэлдээ гишүүд дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Ийм томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та ямар ч тоог олж чадна, зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх) мэдэж болно. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү төвөгтэй томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томьёог өмнө нь тааралдсан байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, решебникт өгөх дуртай. Математикийн аливаа ухаалаг сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба прогрессийн зөрүү $d=-5$ гэдгийг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; -2)

Тэгээд л болоо! Бидний ахиц дэвшил буурч байгааг анхаарна уу.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-г орлуулах боломжгүй байсан - бид эхний нэр томъёог аль хэдийн мэддэг болсон. Гэсэн хэдий ч нэгжийг орлуулснаар бид эхний улиралд ч гэсэн бидний томъёо ажиллах болно гэдгийг баталгаажуулсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгаврын дугаар 2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Бид асуудлын нөхцөлийг ердийн үгээр бичдэг.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг биелүүлэх ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Яг үүнтэй адил бид явцын ялгааг олсон! Системийн аль ч тэгшитгэлд олсон тоог орлуулах хэвээр байна. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдэж.

Хариулт: (-34; -35; -36)

Бидний нээсэн прогрессийн нэгэн сонин шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг авна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш ашигтай эд хөрөнгө, үүнийг та мэдээж мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон асуудлыг шийдвэрлэх явцыг хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна:

Даалгаврын дугаар 3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тэгэхээр $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Тэгээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг зохиож, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг гишүүдийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, эхний гишүүн нь сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нөхцөлүүд гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ, элементүүдийг дараалан ангилж, энэ мөчийг "духан дээр" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ асуудлыг томьёо мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас шаардагдахаар төлөвлөгдсөн байдаг - хариултыг олох хүртэл бид зүгээр л унтдаг. Тиймээс бид эдгээр асуудлыг хурдан шуурхай шийдвэрлэхийг хичээх болно.

Даалгаврын дугаар 4. Арифметик прогрессийн хэдэн сөрөг гишүүн -38.5; -35.8; …?

Шийдэл. Тэгэхээр $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, үүнээс бид шууд ялгааг олно.

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгдэж байгааг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Нэр томъёоны сөрөг тал хэр удаан (өөрөөр хэлбэл $n$ ямар натурал тоо хүртэл) хадгалагдаж байгааг олж мэдэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөрийг тодруулах шаардлагатай байна. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөөтэйгүүр, зөвхөн бүхэл тоонууд бидэнд тохирох болно (түүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн их зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$, ямар ч тохиолдолд 16 биш юм.

Даалгаврын дугаар 5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-г мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн зөрүүг хялбархан олох боломжтой:

Нэмж дурдахад стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний болон зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид өмнөх асуудалтай адилтгаж үргэлжлүүлнэ. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг бид олж мэднэ.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл нь 56 тоо юм.

Анхаарна уу: in сүүлчийн даалгаварБүх зүйл хатуу тэгш бус байдалд хүрсэн тул $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг олж мэдье, энэ нь ирээдүйд бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно. :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөн нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан нөхцөлийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе:

Тооны шулуун дээрх арифметик прогрессийн гишүүд

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын гишүүдийг онцгойлон тэмдэглэсэн бөгөөд ямар ч $((a)_(1)) биш, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Рекурсив томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх гишүүдэд бичье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За яахав? Гэхдээ $((a)_(n-1))$ болон $((a)_(n+1))$ гэсэн нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тай тэнцүү байна. Та хязгааргүй үргэлжлүүлж болно, гэхдээ зураг нь утгыг сайн харуулж байна

Прогрессийн гишүүд төвөөс ижил зайд байрладаг

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш зэргэлдээх тоонууд нь мэдэгдэж байвал та $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг юм.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид гайхалтай мэдэгдлийг гаргасан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнээс гадна, бид $((a)_(n))$-оос баруун, зүүн тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхмуудаар хазайж болно - тэгсэн ч гэсэн томъёо зөв байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практик дээр арифметик дундажийг ашиглахын тулд олон ажлыг тусгайлан "хурцалсан" байдаг. Энийг хар даа:

Даалгаврын дугаар 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ба $14+4((x)^(2))$ тоонууд нь дараалсан гишүүд байхаар $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдэл. Эдгээр тоонууд нь прогрессийн гишүүд тул тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: $x+1$ төв элементийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь сонгодог болсон квадрат тэгшитгэл. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: -3; 2.

Даалгаврын дугаар 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд арифметик прогресс (энэ дарааллаар) үүсгэхийн тулд $$-ын утгыг ол.

Шийдэл. Дахин хэлэхэд бид дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар илэрхийлнэ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Өөр нэг квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та хэрцгий тоонуудыг олж авбал эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай заль мэх байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод бид -3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$ орлуулах:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид -54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь даалгаврыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө сүүлийн даалгавруудыг шийдвэрлэх явцад бид өөр нэг зүйл дээр бүдэрсэн сонирхолтой баримт, үүнийг бас санах хэрэгтэй:

Хэрэв гурван тоо нь хоёр дахь нь эхний ба сүүлчийнхүүдийн дундаж байхаар байвал эдгээр тоо нь арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь асуудлын нөхцөл байдалд тулгуурлан шаардлагатай дэвшлийг шууд утгаар нь "бүтээх" боломжийг бидэнд олгоно. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө өмнө нь авч үзсэн зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийн бүлэг ба нийлбэр

Тооны мөрөнд дахин орцгооё. Бид ахиц дэвшлийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийн хооронд байж магадгүй юм. бусад олон гишүүдийн үнэ цэнэтэй:

Тооны мөрөнд тэмдэглэгдсэн 6 элемент

"Зүүн сүүл"-ийг $((a)_(n))$ болон $d$, "баруун сүүл"-ийг $((a)_(k))$ ба $-оор илэрхийлэхийг хичээцгээе. d$. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах нийлбэрүүд тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл эдгээр элементүүдээс эсрэг чиглэлд (бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээр) алхаж эхэлнэ. тэгээд Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн сайн дүрсэлж болно:

Ижил догол мөр нь тэнцүү дүнг өгдөг

Ойлголт энэ баримтасуудлыг үндсээр нь шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно өндөр түвшиндээр дурдсантай харьцуулахад нарийн төвөгтэй байдал. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгаврын дугаар 8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь байж болох хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдэл. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид $d$ прогрессийн ялгааг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул бүх шийдэл нь ялгааг тойрон гарах болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((а)_(12))=((а)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүст: Би хоёр дахь хаалтаас нийтлэг хүчин зүйл 11-ийг авсан. Тиймээс хүссэн бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчийн хувьд квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. Хэрэв бид хаалтуудыг нээвэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн дээд үзүүлэлтийн коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо, тиймээс бид үнэхээр дээш салбартай параболатай харьцаж байна:

квадрат функцийн график - парабол
Анхаарна уу: энэ парабола хамгийн бага утгыг орой дээрээ $((d)_(0))$ абсциссатай авна. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг стандарт схемийн дагуу тооцоолж болно ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ томъёо байдаг), гэхдээ энэ нь илүү үндэслэлтэй байх болно. Хүссэн орой нь параболын тэнхлэгийн тэгш хэм дээр байрладаг тул $((d)_(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байгааг анхаарна уу:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d\баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисса нь −66 ба −6 тоонуудын арифметик дундажтай тэнцүү байна.

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоог бидэнд юу өгдөг вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүнийг авдаг хамгийн бага утга(Дашрамд хэлэхэд бид $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - бид үүнийг хийх шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ энэ тоо нь эхний дэвшлийн зөрүү, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгаврын дугаар 9. $-\frac(1)(2)$ ба $-\frac(1)(6)$ тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар өгөгдсөн тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдэл. Үнэн хэрэгтээ бид эхний болон таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй сүүлийн дугаараль хэдийн мэдэгдэж байсан. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэ.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас, $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)( 6)$. Хэрэв $x$ ба $z$ тоонуудаас бид байгаа бол Энэ мөчБид $y$-г авч чадахгүй бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санаарай:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ ба $y=-\frac(1)(3)$ хооронд байгааг анхаарна уу. Тийм ч учраас

Үүнтэй адилаар бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг анхны тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар нь хариултанд бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгаврын дугаар 10. 2 ба 42 гэсэн тоонуудын хооронд эхний, хоёр дахь, сүүлчийн оруулсан тоонуудын нийлбэр нь 56 байх нь мэдэгдэж байгаа бол өгөгдсөн тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна.

Шийдэл. Өмнөхтэй ижил аргаар арифметик дундажаар шийдэгддэг илүү хэцүү даалгавар. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулахаа мэдэхгүй байгаа явдал юм. Тиймээс тодорхой байхын тулд бид оруулсны дараа яг $n$ тоо байх бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж таамаглаж байна. Энэ тохиолдолд хүссэн арифметик прогрессийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэсэн хэдий ч $((a)_(2))$ болон $((a)_(n-1))$ тоонуудыг бие бие рүүгээ нэг алхамаар ирмэг дээр зогсож буй 2 ба 42 тооноос авсан болохыг анхаарна уу. , өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дараа нь дээрх илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-ийг мэдсэнээр бид явцын зөрүүг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн гишүүдийг олоход л үлдлээ.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байсан: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Процесс бүхий текст даалгавар

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй энгийн хэд хэдэн асуудлыг авч үзэхийг хүсч байна. За, энгийн зүйл бол: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудын хувьд эдгээр даалгавар нь дохио зангаа мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикийн OGE болон USE-д яг ийм даалгавар гардаг тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 11. Тус багийнхан 1-р сард 62 ширхэг үйлдвэрлэсэн бол дараагийн сар бүр өмнөхөөсөө 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэсэн байна. Бригад арваннэгдүгээр сард хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, сараар будсан хэсгүүдийн тоо нь арифметик прогрессоор нэмэгдэх болно. Мөн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгаврын дугаар 12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном хавсаргасан бөгөөд сар бүр өмнөх сараас 4-өөр илүү ном хавсаргасан байна. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдэл. Бүгд адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

Хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчны курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Та аюулгүйгээр очиж болно дараагийн хичээл, Энд бид прогрессийн нийлбэрийн томъёо, түүнчлэн үүнээс чухал бөгөөд маш ашигтай үр дагаврыг судлах болно.

Эсвэл арифметик - энэ бол сургуулийн алгебрийн хичээлд шинж чанарыг нь судалдаг захиалгат тоон дарааллын нэг төрөл юм. Энэ нийтлэлд арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох тухай асуултыг дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Энэ дэвшил юу вэ?

Асуултыг (арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох вэ) авч үзэхээсээ өмнө юу хэлэлцэхийг ойлгох нь зүйтэй.

Өмнөх тоо бүрээс тодорхой утгыг нэмж (хасаж) олж авсан бодит тоонуудын аливаа дарааллыг алгебрийн (арифметик) прогресс гэж нэрлэдэг. Математикийн хэл рүү орчуулсан энэхүү тодорхойлолт нь дараах хэлбэртэй байна.

Энд i нь a i цувралын элементийн дарааллын дугаар юм. Тиймээс зөвхөн нэг анхны дугаарыг мэдсэнээр та бүхэл бүтэн цувралыг хялбархан сэргээж чадна. Томъёоны d параметрийг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг.

Дараахь тэгш байдал нь авч үзэж буй тоонуудын цувралд тохирч байгааг хялбархан харуулж болно.

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Өөрөөр хэлбэл, n-р элементийн утгыг дарааллаар нь олохын тулд эхний a элемент дээр d-ийн зөрүүг 1 n-1 дахин нэмнэ.

Арифметик прогрессийн нийлбэр хэд вэ: томьёо

Заасан дүнгийн томъёог өгөхөөс өмнө энгийн зүйлийг авч үзэх нь зүйтэй онцгой тохиолдол. 1-ээс 10 хүртэлх натурал тоонуудын прогрессийг өгвөл тэдгээрийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Прогресст (10) нэр томъёо цөөхөн байдаг тул асуудлыг толгой дараалан шийдвэрлэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүдийг дарааллаар нь нэгтгэх боломжтой.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Нэг сонирхолтой зүйлийг анхаарч үзэх нь зүйтэй: нэр томъёо бүр нь дараагийнхаас ижил утгатай d \u003d 1-ээр ялгаатай тул эхнийх нь арав дахь, хоёр дахь нь ес дэх гэх мэтийг хосоор нь нэгтгэх нь ижил үр дүнг өгөх болно. . Үнэхээр:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Таны харж байгаагаар эдгээр нийлбэрүүдийн ердөө 5 нь байгаа бөгөөд энэ нь цувралын элементүүдийн тооноос яг хоёр дахин бага юм. Дараа нь нийлбэрийн тоог (5) нийлбэр бүрийн үр дүнд (11) үржүүлснээр та эхний жишээнд олж авсан үр дүнд хүрнэ.

Хэрэв бид эдгээр аргументуудыг нэгтгэвэл дараах илэрхийлэлийг бичиж болно.

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Энэ илэрхийлэл нь дараалсан бүх элементүүдийг нэгтгэх шаардлагагүй бөгөөд эхний a 1 ба сүүлчийн a n утгыг мэдэхэд хангалттай гэдгийг харуулж байна. нийт тоонэр томъёо n.

Гаусс сургуулийнхаа багшийн тавьсан асуудлын шийдлийг хайж байхдаа энэ тэгш байдлын тухай анх бодож байсан гэж үздэг: эхний 100 бүхэл тоог нэгтгэх.

m-ээс n хүртэлх элементүүдийн нийлбэр: томъёо

Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн томьёо нь арифметик прогрессийн нийлбэрийг (эхний элементүүдийн) хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулдаг боловч ихэнхдээ даалгаврын хувьд прогрессийн дундуур хэд хэдэн тоонуудыг нэгтгэх шаардлагатай байдаг. Үүнийг хэрхэн хийх вэ?

Энэ асуултад хариулах хамгийн хялбар арга бол дараах жишээг авч үзэх явдал юм: m-ээс n-р хүртэлх гишүүний нийлбэрийг олох шаардлагатай. Асуудлыг шийдэхийн тулд прогрессийн m-ээс n хүртэлх өгөгдсөн сегментийг шинэ тооны цуваа хэлбэрээр дүрслэх хэрэгтэй. Ийм-д төлөөлөл m-th a m гишүүн эхнийх байх ба a n гэж n-(m-1) дугаарлана. Энэ тохиолдолд нийлбэрийн стандарт томъёог ашигласнаар дараах илэрхийлэл гарна.

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Томьёог ашиглах жишээ

Арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд дээрх томъёог ашиглах энгийн жишээг авч үзэх нь зүйтэй.

Доор өгөв тоон дараалал, та гишүүдийн нийлбэрийг 5-аас эхлэн 12-р тоогоор дуустал олох хэрэгтэй.

Өгөгдсөн тоонууд нь d-ийн ялгаа 3-тай тэнцүү байгааг харуулж байна. n-р элементийн илэрхийлэлийг ашиглан та прогрессийн 5 ба 12-р гишүүдийн утгыг олох боломжтой. Энэ нь харагдаж байна:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Харгалзан үзэж буй алгебрийн прогрессийн төгсгөлд байгаа тоонуудын утгыг мэдэх, мөн цувралын аль тоог эзэлж байгааг мэдэхийн тулд та өмнөх догол мөрөнд олж авсан нийлбэрийн томъёог ашиглаж болно. Авах:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Энэ утгыг өөрөөр авч болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: эхлээд стандарт томьёо ашиглан эхний 12 элементийн нийлбэрийг олж, дараа нь ижил томъёог ашиглан эхний 4 элементийн нийлбэрийг тооцоолж, дараа нь эхний нийлбэрээс хоёр дахь элементийг хасна. .

Ангилалд алдартай: