гэр › Түлшний систем › Зөрүүний арифметик прогрессийг гарга. Арифметик прогресс - тооны дараалал

Зөрүүний арифметик прогрессийг гарга. Арифметик прогресс - тооны дараалал

Онлайн тооцоолуур.
Арифметик прогрессийн шийдэл.
Өгөгдсөн: a n, d, n
Олно: a 1

Энэ математикийн программ нь хэрэглэгчийн тодорхойлсон $a_n, d $ болон $n $ тоон дээр үндэслэн арифметик прогрессийн $a_1$-г олдог.
$a_n$ ба $d $ тоонуудыг зөвхөн бүхэл тоо бус бутархай тоогоор зааж өгч болно. Түүнээс гадна бутархай тоог аравтын бутархай (\ (2.5 \)) болон хэлбэрээр оруулж болно. энгийн бутархай($-5\frac(2)(7) $).

Програм нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдлийг олох үйл явцыг харуулдаг.

Энэхүү онлайн тооцоолуур нь ахлах сургуулийн сурагчдад хэрэг болно ерөнхий боловсролын сургуулиуд-д бэлтгэж байна хяналтын ажилболон шалгалт, шалгалтын өмнө мэдлэг шалгах үед эцэг эхчүүд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан дуусгахыг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварматематик эсвэл алгебр? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг нарийвчилсан шийдэлтэй ашиглаж болно.

Ингэснээр та өөрийн үйл ажиллагааг хэрэгжүүлэх боломжтой болно өөрийн гэсэн сургалтболон/эсвэл дүү нараа сургах, харин шийдвэрлэх зорилтын хүрээнд боловсролын түвшинг дээшлүүлэх.

Хэрэв та тоо оруулах дүрмийг сайн мэдэхгүй бол тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Тоо оруулах дүрэм

$a_n$ ба $d $ тоонуудыг зөвхөн бүхэл тоо бус бутархай тоогоор зааж өгч болно.
$n$ тоо нь зөвхөн эерэг бүхэл тоо байж болно.

Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайн бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.
Жишээлбэл, та 2.5 эсвэл 2.5 гэх мэт аравтын бутархайг оруулж болно

Энгийн бутархай оруулах дүрэм.
Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.

Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй.

Тоон бутархай оруулахдаа тоологчийг хуваагчаас хуваах тэмдгээр тусгаарлана. /
Оруулах:
Үр дүн: $-\frac(2)(3) $

Бүхэл тоо нь бутархай хэсгээс тэмдэгт тэмдэгээр тусгаарлагдана: &
Оруулах:
Үр дүн: $-1\frac(2)(3) $

a n, d, n тоонуудыг оруулна уу 1-ийг олоорой

Энэ даалгаврыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй, програм ажиллахгүй байж магадгүй нь тогтоогдсон.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд JavaScript идэвхжсэн байх ёстой.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх гэсэн хүмүүс их байна, таны хүсэлт дараалалд орчихлоо.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Жаахан онол.

Тоон дараалал

Өдөр тутмын практикт дугаарлах аргыг ихэвчлэн ашигладаг. янз бүрийн зүйлтэдний дарааллыг зааж өгөх. Тухайлбал, гудамж бүрийн байшинг дугаарласан. Номын санд уншигчийн захиалгыг дугаарлаж, дараа нь тусгай файлын шүүгээнд хуваарилагдсан дугаарын дарааллаар байрлуулна.

Хадгаламжийн банкинд хадгаламж эзэмшигчийн нэрийн дансны дугаараар та энэ дансыг хялбархан олж, ямар хадгаламжтай болохыг харах боломжтой. 1-р дансанд а1 рублийн хадгаламж, 2-р дансанд а2 рубль гэх мэт хадгаламж байх болтугай. тоон дараалал
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
Энд N нь бүх дансны тоо юм. Энд 1-ээс N хүртэлх натурал n тоо бүрт a n тоо өгөгдсөн.

Математик бас сурдаг Хязгааргүй тооны дараалал:
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... .
a 1 тоог дууддаг дарааллын эхний гишүүн, дугаар a 2 - дарааллын хоёр дахь гишүүн, дугаар a 3 - дарааллын гурав дахь гишүүнгэх мэт.
a n тоог дууддаг дарааллын n-р (n-р) гишүүн, мөн натурал n тоо нь түүний байна тоо.

Жишээлбэл, натурал тоонуудын квадратуудын дараалалд 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... ба 1 = 1 нь дарааллын эхний гишүүн байна; ба n = n 2 байна n-р гишүүндараалал; a n+1 = (n + 1) 2 нь дарааллын (n + 1)-р (en нэмэх эхний) гишүүн юм. Ихэнхдээ дарааллыг түүний n-р гишүүний томъёогоор тодорхойлж болно. Жишээлбэл, $a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) $ томъёо нь $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \цэгүүд,\frac(1)(n) , \цэгүүд $

Арифметик прогресс

Жилийн үргэлжлэх хугацаа ойролцоогоор 365 хоног байна. Илүү яг үнэ цэнэ$365\frac(1)(4) $ хоногтой тэнцүү тул дөрвөн жил тутамд нэг өдрийн алдаа хуримтлагддаг.

Энэ алдааг тооцохын тулд дөрөв дэх жил тутамд нэг өдрийг нэмж, уртассан жилийг үсрэлтийн жил гэж нэрлэдэг.

Тухайлбал, 3-р мянганы хувьд үсрэнгүй он жилүүд 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

Энэ дараалалд хоёр дахь гишүүнээс эхлэн гишүүн бүр өмнөхтэй тэнцүү бөгөөд ижил тооны 4-ээр нэмэгдэнэ. Ийм дарааллыг нэрлэдэг. арифметик прогрессууд.

Тодорхойлолт.
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... гэсэн тоон дарааллыг гэнэ. арифметик прогресс, хэрэв бүх байгалийн n тэгш байдал
$a_(n+1) = a_n+d, $
энд d ямар нэг тоо.

Энэ томьёогоос a n+1 - a n = d гэж гарна. d тоог ялгаа гэж нэрлэдэг арифметик прогресс.

Арифметик прогрессийн тодорхойлолтоор бид:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
хаана
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $, энд $n>1 $

Ийнхүү хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь түүний хажууд байгаа хоёр гишүүний арифметик дундажтай тэнцүү байна. Энэ нь "арифметик" прогрессийн нэрийг тайлбарладаг.

Хэрэв a 1 ба d өгөгдсөн бол арифметик прогрессийн үлдсэн гишүүдийг a n+1 = a n + d рекурсив томъёогоор тооцоолж болохыг анхаарна уу. Ийм байдлаар прогрессийн эхний хэдэн нөхцлийг тооцоолоход хэцүү биш боловч жишээлбэл, 100-ийн хувьд маш олон тооцоолол шаардлагатай болно. Үүнд ихэвчлэн n-р нэр томъёоны томъёог ашигладаг. Арифметик прогрессийн тодорхойлолтын дагуу
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
гэх мэт.
Бүх,
$a_n=a_1+(n-1)d, $
учир нь n-р улирал d тоог (n-1) үржүүлснээр эхний гишүүнээс арифметик прогрессийг гаргана.
Энэ томъёог гэж нэрлэдэг арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёо.

Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр

1-ээс 100 хүртэлх бүх натурал тоонуудын нийлбэрийг олъё.
Бид энэ нийлбэрийг хоёр аргаар бичдэг.
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
Бид эдгээр тэгшитгэлийг нэр томъёогоор нь нэмдэг:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
Энэ нийлбэрт 100 нэр томъёо байна.
Тиймээс 2S = 101 * 100, үүнээс S = 101 * 50 = 5050 байна.

Одоо дурын арифметик прогрессийг авч үзье
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ...
Энэ прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэрийг S n гэж үзье.
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
Дараа нь арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр нь
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

$a_n=a_1+(n-1)d $ тул энэ томъёонд n-г орлуулснаар бид олох өөр томьёог олж авна. арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэр:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

Ном (сурах бичиг) Улсын нэгдсэн шалгалтын хураангуй ба OGE тестийн онлайн тоглоомууд, оньсого тоглоомууд Функцийн график байгуулах Орос хэлний залуучуудын хэл ярианы зөв бичгийн толь бичиг Орос сургуулиудын лавлах Орос дахь ерөнхий боловсролын сургуулиудын каталог Оросын их дээд сургуулиудын каталоги Даалгавруудын жагсаалт

Эсвэл арифметик - энэ бол сургуулийн алгебрийн хичээлд шинж чанарыг нь судалдаг захиалгат тоон дарааллын нэг төрөл юм. Энэ нийтлэлд арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох тухай асуултыг дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.

Энэ дэвшил юу вэ?

Асуултыг (арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олох вэ) авч үзэхээсээ өмнө юу хэлэлцэхийг ойлгох нь зүйтэй.

Өмнөх тоо бүрээс тодорхой утгыг нэмж (хасаж) олж авсан бодит тоонуудын аливаа дарааллыг алгебрийн (арифметик) прогресс гэж нэрлэдэг. Математикийн хэл рүү орчуулсан энэхүү тодорхойлолт нь дараах хэлбэртэй байна.

Энд i нь a i цувралын элементийн дарааллын дугаар юм. Тиймээс зөвхөн нэг анхны дугаарыг мэдсэнээр та бүхэл бүтэн цувралыг хялбархан сэргээж чадна. Томъёоны d параметрийг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг.

Дараахь тэгш байдал нь авч үзэж буй тоонуудын цувралд тохирч байгааг хялбархан харуулж болно.

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Өөрөөр хэлбэл, n-р элементийн утгыг дарааллаар нь олохын тулд эхний a элемент дээр d-ийн зөрүүг 1 n-1 дахин нэмнэ.

Арифметик прогрессийн нийлбэр хэд вэ: томьёо

Заасан дүнгийн томъёог өгөхөөс өмнө энгийн зүйлийг авч үзэх нь зүйтэй онцгой тохиолдол. 1-ээс 10 хүртэлх натурал тоонуудын прогрессийг өгвөл тэдгээрийн нийлбэрийг олох хэрэгтэй. Прогресст (10) нэр томъёо цөөхөн байдаг тул асуудлыг толгой дараалан шийдвэрлэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл бүх элементүүдийг дарааллаар нь нэгтгэх боломжтой.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Нэг сонирхолтой зүйлийг анхаарч үзэх нь зүйтэй: нэр томъёо бүр нь дараагийнхаас ижил утгатай d \u003d 1-ээр ялгаатай тул эхнийх нь арав дахь, хоёр дахь нь ес дэх гэх мэтийг хосоор нь нэгтгэх нь ижил үр дүнг өгөх болно. . Үнэхээр:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Таны харж байгаагаар эдгээр нийлбэрүүдийн ердөө 5 нь байгаа бөгөөд энэ нь цувралын элементүүдийн тооноос яг хоёр дахин бага юм. Дараа нь нийлбэрийн тоог (5) нийлбэр бүрийн үр дүнд (11) үржүүлснээр та эхний жишээнд олж авсан үр дүнд хүрнэ.

Хэрэв бид эдгээр аргументуудыг нэгтгэвэл дараах илэрхийлэлийг бичиж болно.

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Энэ илэрхийлэл нь дараалсан бүх элементүүдийг нэгтгэх шаардлагагүй бөгөөд эхний a 1 ба сүүлчийн a n утгыг мэдэхэд хангалттай гэдгийг харуулж байна. нийт тоонэр томъёо n.

Гаусс сургуулийнхаа багшийн тавьсан асуудлын шийдлийг хайж байхдаа энэ тэгш байдлын тухай анх бодож байсан гэж үздэг: эхний 100 бүхэл тоог нэгтгэх.

m-ээс n хүртэлх элементүүдийн нийлбэр: томъёо

Өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн томьёо нь арифметик прогрессийн нийлбэрийг (эхний элементүүдийн) хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулдаг боловч ихэнхдээ даалгаврын хувьд прогрессийн дундуур хэд хэдэн тоонуудыг нэгтгэх шаардлагатай байдаг. Үүнийг хэрхэн хийх вэ?

Энэ асуултад хариулах хамгийн хялбар арга бол дараах жишээг авч үзэх явдал юм: m-ээс n-р хүртэлх гишүүний нийлбэрийг олох шаардлагатай. Асуудлыг шийдэхийн тулд прогрессийн m-ээс n хүртэлх өгөгдсөн сегментийг шинэ тооны цуваа хэлбэрээр дүрслэх хэрэгтэй. Ийм-д төлөөлөл m-th a m гишүүн эхнийх байх ба a n гэж n-(m-1) дугаарлана. Энэ тохиолдолд нийлбэрийн стандарт томъёог ашигласнаар дараах илэрхийлэл гарна.

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Томьёог ашиглах жишээ

Арифметик прогрессийн нийлбэрийг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд дээрх томъёог ашиглах энгийн жишээг авч үзэх нь зүйтэй.

Доорх тоон дараалал байна, та түүний гишүүдийн нийлбэрийг 5-аас эхлээд 12-р хүртэл олох хэрэгтэй.

Өгөгдсөн тоонууд нь d-ийн ялгаа 3-тай тэнцүү байгааг харуулж байна. n-р элементийн илэрхийлэлийг ашиглан та прогрессийн 5 ба 12-р гишүүдийн утгыг олох боломжтой. Энэ нь харагдаж байна:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Харгалзан үзэж буй алгебрийн прогрессийн төгсгөлд байгаа тоонуудын утгыг мэдэх, мөн цувралын аль тоог эзэлж байгааг мэдэхийн тулд та өмнөх догол мөрөнд олж авсан нийлбэрийн томъёог ашиглаж болно. Авах:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Энэ утгыг өөрөөр авч болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: эхлээд стандарт томьёо ашиглан эхний 12 элементийн нийлбэрийг олж, дараа нь ижил томъёог ашиглан эхний 4 элементийн нийлбэрийг тооцоолж, дараа нь эхний нийлбэрээс хоёр дахь элементийг хасна. .

Юу гол зүйлтомъёонууд?

Энэ томъёо нь олох боломжийг танд олгоно ямар ч ТҮҮНИЙ ДУГААР" n" .

Мэдээжийн хэрэг, та эхний нэр томъёог мэдэх хэрэгтэй a 1болон явцын ялгаа г, За, эдгээр параметргүйгээр та тодорхой дэвшлийг бичиж чадахгүй.

Энэ томъёог цээжлэх (эсвэл хуурах) нь хангалтгүй юм. Үүний мөн чанарыг шингээж, томъёог янз бүрийн даалгаварт хэрэглэх шаардлагатай. Тийм ээ, мөн зөв цагт мартаж болохгүй, тийм ээ ...) Хэрхэн мартаж болохгүй-Мэдэхгүй ээ. Бас энд яаж санах вэШаардлагатай бол би танд зөвлөгөө өгөх болно. Хичээлийг эцэс хүртэл эзэмшсэн хүмүүст зориулав.)

Ингээд арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёог авч үзье.

Ер нь томьёо гэж юу вэ - бид төсөөлж байна.) Арифметик прогресс, гишүүний тоо, прогрессийн зөрүү гэж юу вэ - өмнөх хичээл дээр тодорхой заасан. Уншиж амжаагүй бол нэг үзээрэй. Тэнд бүх зүйл энгийн байдаг. Юу болохыг олж мэдэх л үлдлээ n-р гишүүн.

дахь дэвшил ерөнхий үзэлЦуврал тоо хэлбэрээр бичиж болно:

a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....

a 1- арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг илэрхийлнэ; a 3- гурав дахь гишүүн a 4- дөрөв дэх гэх мэт. Хэрэв бид тав дахь удаагаа сонирхож байгаа бол хамтран ажиллаж байна гэж бодъё а 5, нэг зуун хорин бол - эхлэн 120.

Ер нь яаж тодорхойлох вэ ямар чарифметик прогрессийн гишүүн, с ямар чтоо? Маш энгийн! Үүн шиг:

a n

Ийм л байна арифметик прогрессийн n-р гишүүн. N үсгийн дор бүх гишүүдийн тоо нэг дор нуугдаж байна: 1, 2, 3, 4 гэх мэт.

Ийм бичлэг бидэнд юу өгдөг вэ? Тэд тооны оронд захидал бичсэн гэж бодоод үз дээ ...

Энэхүү тэмдэглэгээ нь арифметик прогресстой ажиллах хүчирхэг хэрэгслийг бидэнд өгдөг. Тэмдэглэгээг ашиглах a n, бид хурдан олох боломжтой ямар чгишүүн ямар чарифметик прогресс. Мөн үе шаттайгаар шийдвэрлэх олон ажлууд. Та цааш нь харах болно.

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёонд:

a n = a 1 + (n-1)d

a 1- арифметик прогрессийн анхны гишүүн;

n- гишүүний дугаар.

Томъёо нь аливаа дэвшлийн гол параметрүүдийг холбодог: a n ; a 1; гТэгээд n. Эдгээр параметрүүдийн эргэн тойронд бүх оньсого нь аажмаар эргэлддэг.

n-р гишүүний томьёог мөн тодорхой прогресс бичихэд ашиглаж болно. Жишээлбэл, асуудалд ахиц дэвшлийг дараахь нөхцөлөөр өгсөн гэж хэлж болно.

a n = 5 + (n-1) 2.

Ийм асуудал нь бүр төөрөлдүүлж ч болно ... Цуврал, ялгаа байхгүй ... Гэхдээ нөхцөлийг томъёотой харьцуулж үзвэл энэ дэвшилд байгааг ойлгоход хялбар байдаг. a 1 \u003d 5, d \u003d 2.

Энэ нь бүр ч ууртай байж болно!) Хэрэв бид ижил нөхцөлийг авбал: a n = 5 + (n-1) 2,тийм ээ, хаалтуудыг онгойлгож, ижил төстэй зүйлийг өгөх үү? Бид шинэ томъёог авна:

an = 3 + 2n.

Энэ Зөвхөн ерөнхий биш, харин тодорхой ахиц дэвшилд зориулагдсан. Энд л гацаа энд л байна. Зарим хүмүүс эхний нэр томъёог гурав гэж боддог. Хэдийгээр бодит байдал дээр эхний гишүүн нь тав ... Бага зэрэг доогуур бид ийм өөрчлөгдсөн томъёогоор ажиллах болно.

Даалгаврыг ахиулахад өөр нэг тэмдэглэгээ байдаг - a n+1. Энэ бол дэвшлийн "n дээр нэмэх эхний" гишүүн гэж та таамаглаж байна. Үүний утга нь энгийн бөгөөд хор хөнөөлгүй.) Энэ нь прогрессийн гишүүн бөгөөд тоо нь n-ээс нэгээр их байна. Жишээлбэл, хэрэв бид ямар нэг асуудалд хандвал a nдараа нь тав дахь улирал a n+1зургаа дахь гишүүн болно. гэх мэт.

Ихэнхдээ тэмдэглэгээ a n+1рекурсив томъёонд тохиолддог. Энэ аймшигт үгнээс бүү ай!) Энэ бол зүгээр л арифметик прогрессийн нэр томъёог илэрхийлэх арга юм. өмнөх замаар.Бидэнд давтагдах томьёог ашиглан энэ хэлбэрээр арифметик прогресс өгөгдсөн гэж бодъё.

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Дөрөв дэх нь - гурав дахь нь, тав дахь нь - дөрөв дэх нь гэх мэт. Тэгээд яаж нэн даруй тоолох вэ, хорьдугаар нэр томъёог хэлээрэй. нь 20? Гэхдээ ямар ч боломжгүй!) 19-р улирал тодорхойгүй байхад 20-ыг тоолж болохгүй. Энэ нь рекурсив томьёо болон n-р гишүүний томъёоны үндсэн ялгаа юм. Рекурсив нь зөвхөн дамжуулан ажилладаг өмнөхнэр томъёо, мөн n-р гишүүний томьёо - дамжуулан эхлээдмөн зөвшөөрдөг шуудДурын гишүүнийг дугаараар нь олоорой. Бүхэл цуврал тоонуудыг дарааллаар нь тооцохгүй.

Арифметик прогрессийн хувьд рекурсив томъёог энгийн томъёо болгон хялбархан хувиргаж болно. Дараалсан хос гишүүнийг тоолж, зөрүүг тооцоол г,шаардлагатай бол эхний нэр томъёог олоорой a 1, томъёог ердийн хэлбэрээр бичиж, түүнтэй ажиллах. ТЕГ-т ийм ажил ихэвчлэн олддог.

Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томъёоны хэрэглээ.

Эхлээд томъёоны шууд хэрэглээг харцгаая. Өмнөх хичээлийн төгсгөлд нэг асуудал гарсан:

Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн. a 1 =3 ба d=1/6 бол 121-ийг ол.

Энэ асуудлыг ямар ч томьёогүйгээр зүгээр л арифметик прогрессийн утгад үндэслэн шийдэж болно. Нэмээрэй, тиймээ нэмнэ үү ... Нэг эсвэл хоёр цаг.)

Мөн томъёоны дагуу шийдэл нь нэг минутаас бага хугацаа шаардагдана. Та цаг гаргаж болно.) Бид шийднэ.

Нөхцөлүүд нь томъёог ашиглах бүх өгөгдлийг өгдөг: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6.Юу болохыг харах л үлдлээ n.Асуудалгүй! Бид олох хэрэгтэй а 121. Энд бид бичнэ:

Анхаарна уу! Индексийн оронд nтодорхой тоо гарч ирэв: 121. Энэ нь нэлээд логик юм.) Бид арифметик прогрессийн гишүүнийг сонирхож байна. нэг зуун хорин нэг.Энэ бол биднийх болно n.Энэ нь энэ утга юм n= 121-ийг бид хаалтанд томъёонд орлуулах болно. Томъёоны бүх тоог орлуулж, тооцоолно уу:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

Энэ бол бүх зүйл. Таван зуун арав дахь гишүүнийг, мянга, гурав дахь гишүүнийг ч мөн адил хурдан олж болно. Бид оронд нь тавьсан nүсгийн индекс дэх хүссэн тоо " а"мөн хаалтанд, мөн бид авч үзнэ.

Үүний мөн чанарыг танд сануулъя: энэ томъёо нь таныг олох боломжийг олгодог ямар чарифметик прогрессийн гишүүн ТҮҮНИЙ ДУГААР" n" .

Асуудлыг илүү ухаалаг шийдье. Бидэнд дараах асуудал тулгарлаа гэж бодъё.

a 17 =-2 бол арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг (a n) ол; d=-0.5.

Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал би эхний алхамыг санал болгох болно. Арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёог бичээрэй!Тийм тийм. Гараар шууд дэвтэр дээрээ бичээрэй:

a n = a 1 + (n-1)d

Одоо томъёоны үсгүүдийг хараад бид ямар өгөгдөлтэй, юу дутагдаж байгааг ойлгож байна уу? Боломжтой d=-0.5,арван долоо дахь гишүүн байна ... Бүх зүйл? Хэрэв та үүнийг л гэж бодож байгаа бол та асуудлыг шийдэж чадахгүй, тиймээ ...

Бидэнд бас дугаар бий n! Нөхцөл байдалд a 17 =-2далд хоёр сонголт.Энэ нь арван долоо дахь гишүүний утга (-2) ба түүний тоо (17) хоёулаа юм. Тэдгээр. n=17.Энэ "бяцхан зүйл" толгойн хажуугаар өнгөрч, түүнгүйгээр (толгой биш "жижиг зүйл" байхгүй бол!) Асуудлыг шийдэж чадахгүй. Хэдийгээр ... бас толгойгүй ч гэсэн.)

Одоо бид өгөгдлөө тэнэг байдлаар томъёогоор орлуулж болно:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

Өө тиймээ, а 17-2 гэдгийг бид мэднэ. За, үүнийг оруулъя:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0.5)

Энэ бол үндсэндээ бүх зүйл юм. Арифметик прогрессийн эхний гишүүнийг томъёоноос илэрхийлж, тооцоолоход л үлддэг. Та хариултыг авна уу: a 1 = 6.

Ийм техник - томьёо бичих, мэдэгдэж буй өгөгдлийг орлуулах нь энгийн ажлуудад маш их тусалдаг. Мэдээжийн хэрэг, та томъёоноос хувьсагчийг илэрхийлэх чадвартай байх ёстой, гэхдээ яах вэ!? Энэ чадваргүй бол математикийг огт судлах боломжгүй ...

Өөр нэг түгээмэл асуудал:

a 1 =2 бол арифметик прогрессийн (a n) ялгааг ол; a 15 =12.

Бид юу хийж байна вэ? Та гайхах болно, бид томъёо бичдэг!)

a n = a 1 + (n-1)d

Бидний мэддэг зүйлийг авч үзье: a 1 =2; a 15 =12; ба (онцгой онцлох!) n=15. Дараахь томъёог орлуулж болно.

12=2 + (15-1)d

Арифметикийг хийцгээе.)

12=2 + 14d

г=10/14 = 5/7

Энэ бол зөв хариулт юм.

Тиймээс, даалгавар a n , a 1Тэгээд гшийдсэн. Энэ дугаарыг хэрхэн олохыг сурахад л үлддэг.

99 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн бөгөөд a 1 =12; d=3. Энэ гишүүний дугаарыг олоорой.

Бид мэдэгдэж буй хэмжигдэхүүнүүдийг n-р гишүүний томъёонд орлуулна.

a n = 12 + (n-1) 3

Эхлээд харахад энд үл мэдэгдэх хоёр хэмжигдэхүүн байна: a n ба n.Гэхдээ a nтоо бүхий прогрессийн зарим гишүүн юм n... Мөн бидний мэдэх ахиц дэвшлийн энэ гишүүн! Энэ бол 99. Бид түүний дугаарыг мэдэхгүй. n,тиймээс энэ тоог бас олох хэрэгтэй. Прогрессийн гишүүн 99-ийг томъёонд орлуулна уу.

99 = 12 + (n-1) 3

Бид томъёогоор илэрхийлдэг n, Бид бодохдоо. Бид хариултыг авна: n=30.

Одоо нэг сэдэвтэй холбоотой асуудал, гэхдээ илүү бүтээлч):

117 тоо нь арифметик прогрессийн (a n) гишүүн байх эсэхийг тодорхойлно уу:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Томьёог дахин бичье. Ямар ч сонголт байхгүй юу? Хм... Бидэнд нүд яагаад хэрэгтэй вэ?) Прогрессийн эхний гишүүнийг бид харж байна уу? Бид харж байна. Энэ нь -3.6. Та аюулгүйгээр бичиж болно: a 1 \u003d -3.6.Ялгаа гцувралаас тодорхойлж болох уу? Хэрэв та арифметик прогрессийн ялгаа нь юу болохыг мэдэж байвал амархан.

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

Тийм ээ, бид хамгийн энгийн зүйлийг хийсэн. Үл мэдэгдэх тоотой харьцах хэвээр байна nмөн үл ойлгогдох тоо 117. Өмнөх бодлогод ядаж л прогрессийн нэр томъёо нь өгөгдсөн нь мэдэгдэж байсан. Гэхдээ энд бид үүнийг мэдэхгүй байна ... Яаж байх вэ!? За, яаж байх вэ, яаж байх вэ ... Асаа Бүтээлч ур чадвар!)

Бид гэж бодъёТэр 117 бол эцсийн эцэст бидний дэвшлийн гишүүн юм. Үл мэдэгдэх дугаартай n. Мөн өмнөх асуудлын нэгэн адил энэ тоог олохыг хичээцгээе. Тэдгээр. Бид томъёог (тийм-тийм!)) бичиж, тоонуудаа орлуулна:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

Бид дахин томъёогоор илэрхийлнэn, бид тоолж аваад:

Өө! Тоо гарсан бутархай!Зуун нэг хагас. Мөн прогресс дахь бутархай тоо байж болохгүй.Бид ямар дүгнэлт хийх вэ? Тийм ээ! 117 дугаар бишбидний дэвшлийн гишүүн. Энэ нь 101-102-р гишүүдийн дунд байдаг. Хэрэв тоо нь байгалийн шинж чанартай болсон бол, i.e. эерэг бүхэл тоо байвал тухайн тоо нь олсон тоотой прогрессийн гишүүн байх болно. Мөн бидний тохиолдолд асуудлын хариулт нь: Үгүй

ТЕГ-ын бодит хувилбар дээр үндэслэсэн даалгавар:

Арифметик прогресснөхцөлөөр өгсөн:

a n \u003d -4 + 6.8n

Прогрессийн эхний ба арав дахь гишүүнийг ол.

Энд ахиц дэвшил нь ер бусын байдлаар тавигддаг. Зарим төрлийн томъёо ... Энэ нь тохиолддог.) Гэсэн хэдий ч, энэ томъёо (би дээр бичсэнчлэн) - мөн арифметик прогрессийн n-р гишүүний томьёо!Тэр бас зөвшөөрдөг Прогрессийн аль нэг гишүүнийг тоогоор нь олоорой.

Бид анхны гишүүнийг хайж байна. Боддог хүн. Эхний гишүүн нь дөрөв хасагдсан нь маш буруу юм!) Учир нь бодлого дахь томьёо өөрчлөгдсөн байна. Үүнд арифметик прогрессийн эхний гишүүн далд.Юу ч биш, бид одоо олох болно.)

Өмнөх даалгавруудын нэгэн адил бид орлуулдаг n=1энэ томъёонд:

a 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

Энд! Эхний гишүүн нь -4 биш, 2.8 байна!

Үүнтэй адилаар бид арав дахь нэр томъёог хайж байна:

a 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

Энэ бол бүх зүйл.

Одоо эдгээр мөрүүдийг уншсан хүмүүст амласан урамшуулал.)

ТЕГ эсвэл Улсын нэгдсэн шалгалтын хүнд хэцүү нөхцөлд та арифметик прогрессийн n-р гишүүний ашигтай томъёог мартсан гэж бодъё. Ямар нэг зүйл санаанд орж ирдэг, гэхдээ ямар нэгэн байдлаар тодорхойгүй ... эсэх nтэнд, эсвэл n+1, эсвэл n-1...Яаж байх вэ!?

Тайвшир! Энэ томъёог гаргахад хялбар байдаг. Маш хатуу биш, гэхдээ итгэлтэй, зөв шийдвэр гаргахад хангалттай!) Дүгнэлт хийхийн тулд арифметик прогрессийн үндсэн утгыг санаж, хэдэн минут зарцуулахад хангалттай. Та зүгээр л зураг зурах хэрэгтэй. Тодорхой болгохын тулд.

Бид тоон тэнхлэгийг зурж, эхнийх нь дээр тэмдэглэнэ. хоёр дахь, гурав дахь гэх мэт. гишүүд. Мөн ялгааг анхаарч үзээрэй ггишүүдийн хооронд. Үүн шиг:

Бид зургийг хараад: хоёр дахь гишүүн юутай тэнцүү вэ? Хоёрдугаарт нэг г:

а 2 =a 1 + 1 г

Гурав дахь нэр томъёо гэж юу вэ? Гуравдугаартнэр томъёо нь эхний гишүүнтэй тэнцүү хоёр г.

а 3 =a 1 + 2 г

Та үүнийг ойлгож байна уу? Би зарим үгийг зүгээр л бүдүүн үсгээр оруулдаггүй. За, дахиад нэг алхам.)

Дөрөв дэх нэр томъёо гэж юу вэ? Дөрөвдүгээртнэр томъёо нь эхний гишүүнтэй тэнцүү гурав г.

а 4 =a 1 + 3 г

Цоорхойн тоо, i.e. гэдгийг ойлгох цаг болжээ. г, Үргэлж Таны хайж буй гишүүний тооноос нэгээр бага n. Энэ нь тоо хүртэл гэсэн үг юм n, цоорхойн тооболно n-1.Тиймээс томъёо нь (сонголт байхгүй!) байх болно.

a n = a 1 + (n-1)d

Ер нь математикийн олон асуудлыг шийдвэрлэхэд визуал зураг их тус болдог. Зургийг үл тоомсорлож болохгүй. Гэхдээ хэрэв зураг зурахад хэцүү бол ... зөвхөн томьёо!) Үүнээс гадна, n-р гишүүний томъёо нь математикийн бүх хүчирхэг арсеналыг шийдэлд холбох боломжийг олгодог - тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем гэх мэт. Зургийг тэгшитгэлд оруулж болохгүй...

Бие даасан шийдвэр гаргах даалгавар.

Халаалтын хувьд:

1. Арифметик прогрессоор (a n) a 2 =3; a 5 \u003d 5.1. 3-ыг ол.

Санамж: Зургийн дагуу асуудал 20 секундэд шийдэгдсэн ... Томъёоны дагуу энэ нь илүү хэцүү болж хувирдаг. Гэхдээ томъёог эзэмшихийн тулд энэ нь илүү ашигтай байдаг.) 555-р хэсэгт энэ асуудлыг зураг болон томъёогоор хоёуланг нь шийддэг. Ялгааг мэдэр!)

Энэ нь халаалт байхаа больсон.)

2. Арифметик прогрессийн хувьд (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3. 3-ыг ол.

Юу вэ, зураг зурах дургүй юу?) Гэсэн хэдий ч! Энэ нь томьёогоор илүү сайн, тийм ээ ...

3. Арифметик прогрессийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно.a 1 \u003d -5.5; a n+1 = a n +0.5. Энэ прогрессийн зуун хорин тав дахь гишүүнийг ол.

Энэ даалгаварт ахиц дэвшлийг давтагдах байдлаар өгдөг. Харин зуун хорин тав хүртэл тоолоход... Хүн бүр ийм эр зориг гаргаж чадахгүй.) Гэвч n-р гишүүний томьёо хүн бүрийн эрх мэдэлд байдаг!

4. Арифметик прогресс (a n) өгөгдсөн:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Прогрессийн хамгийн бага эерэг гишүүний тоог ол.

5. 4-р даалгаврын нөхцлийн дагуу прогрессийн хамгийн бага эерэг ба хамгийн том сөрөг гишүүдийн нийлбэрийг ол.

6. Өсөн нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн тав, арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь -2.5, гурав, арван нэгдүгээр гишүүний нийлбэр нь тэг байна. 14-ийг олоорой.

Хамгийн хялбар ажил биш, тийм ээ ...) Энд "хуруунд" арга ажиллахгүй. Томьёо бичиж, тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй.

Хариултууд (эмх замбараагүй):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Болсон уу? Гоё!)

Бүх зүйл болохгүй байна уу? Болдог. Дашрамд хэлэхэд, онд сүүлчийн даалгаварнэг нарийн зүйл бий. Асуудлыг уншихдаа анхааралтай байх шаардлагатай. Мөн логик.

Эдгээр бүх асуудлын шийдлийг 555-р хэсэгт нарийвчлан авч үзэх болно. Мөн дөрөв дэх нь уран зөгнөлийн элемент, зургаа дахь нарийн мөч, n-р хугацааны томъёоны хувьд аливаа асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий арга барилууд - бүх зүйлийг будсан. Би санал болгож байна.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурах - сонирхолтой!)

функц болон деривативтай танилцах боломжтой.

Тиймээ, тийм: арифметик прогресс бол таны хувьд тоглоом биш юм :)

Найзууд аа, хэрэв та энэ бичвэрийг уншиж байгаа бол арифметик прогресс гэж юу байдгийг мэдэхгүй хэвээр байгаа гэдгийг дотоод cap нотлох баримт хэлж байна, гэхдээ та үнэхээр (үгүй, үүн шиг: SOOOOO!) мэдэхийг хүсч байна. Тиймээс, би чамайг урт танилцуулгаар тарчлаахгүй бөгөөд тэр даруй ажилдаа орно.

Эхлэхийн тулд хэд хэдэн жишээ. Хэд хэдэн тооны багцыг авч үзье:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Эдгээр бүх багцад юу нийтлэг байдаг вэ? Эхлээд харахад юу ч биш. Гэхдээ үнэндээ нэг зүйл байдаг. Тухайлбал: Дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө ижил тоогоор ялгаатай байна.

Өөрийнхөө төлөө шүү. Эхний багц нь зүгээр л дараалсан тоонууд бөгөөд тус бүр нь өмнөхөөсөө илүү байна. Хоёрдахь тохиолдолд зэргэлдээх тоонуудын хоорондох зөрүү аль хэдийн тавтай тэнцүү байгаа боловч энэ ялгаа тогтмол хэвээр байна. Гурав дахь тохиолдолд ерөнхийдөө үндэс байдаг. Гэхдээ $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ байхад $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, i.e. энэ тохиолдолд дараагийн элемент бүр зүгээр л $\sqrt(2)$-р нэмэгддэг (мөн энэ тоо үндэслэлгүй байна гэж бүү ай).

Тэгэхээр: ийм бүх дарааллыг зүгээр л арифметик прогресс гэж нэрлэдэг. Хатуу тодорхойлолт өгье:

Тодорхойлолт. Дараагийн тоо нь өмнөхөөсөө яг ижил хэмжээгээр ялгаатай тоонуудын дарааллыг арифметик прогресс гэнэ. Тоонууд хоорондоо ялгаатай байгаа хэмжээг прогрессийн зөрүү гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн $d$ үсгээр тэмдэглэдэг.

Тэмдэглэгээ: $\left(((a)_(n)) \right)$ нь прогресс өөрөө, $d$ нь түүний ялгаа юм.

Мөн хэдхэн чухал тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, зөвхөн ахиц дэвшлийг харгалзан үздэг эмх цэгцтэйтоонуудын дараалал: тэдгээрийг бичсэн дарааллаар нь уншихыг зөвшөөрдөг - өөр юу ч биш. Та дугаарыг солих, солих боломжгүй.

Хоёрдугаарт, дараалал нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно. Жишээлбэл, олонлог (1; 2; 3) нь хязгаарлагдмал арифметик прогресс юм. Гэхдээ хэрэв та сүнсээр ямар нэгэн зүйл бичвэл (1; 2; 3; 4; ...) - энэ нь аль хэдийн байна хязгааргүй дэвшил. Дөрөвийн дараах зууван зураас нь нэлээд олон тоо цааш явж байгааг сануулж байна. Хязгааргүй олон, жишээ нь. :)

Мөн ахиц дэвшил нэмэгдэж, буурч байгааг тэмдэглэхийг хүсч байна. Бид аль хэдийн нэмэгдэж байгааг харсан - ижил багц (1; 2; 3; 4; ...). Прогресс буурах жишээ энд байна:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: сүүлчийн жишээхэтэрхий төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй. Харин бусад нь та нар ойлгосон байх гэж бодож байна. Тиймээс бид шинэ тодорхойлолтуудыг танилцуулж байна:

Тодорхойлолт. Арифметик прогресс гэж нэрлэдэг:

дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө их байвал нэмэгдэх;

Хэрэв эсрэгээр дараагийн элемент бүр өмнөхөөсөө бага байвал буурна.

Үүнээс гадна "хөдөлгөөнгүй" гэж нэрлэгддэг дараалалууд байдаг - тэдгээр нь ижил давтагдах тооноос бүрддэг. Жишээлбэл, (3; 3; 3; ...).

Зөвхөн нэг асуулт үлдэж байна: өсөн нэмэгдэж буй ахиц дэвшлийг буурахаас хэрхэн ялгах вэ? Аз болоход энд бүх зүйл зөвхөн $d$ тооны тэмдгээс хамаарна, i.e. явцын ялгаа:

Хэрэв $d \gt 0$ бол явц нэмэгдэж байна;
Хэрэв $d \lt 0$ бол ахиц дэвшил буурч байгаа нь ойлгомжтой;
Эцэст нь, $d=0$ тохиолдол байдаг - энэ тохиолдолд бүх прогресс ижил тоонуудын хөдөлгөөнгүй дараалал болгон бууруулна: (1; 1; 1; 1; ...) гэх мэт.

Дээрх гурван буурах прогрессийн $d$-ын зөрүүг тооцоолохыг оролдъё. Үүнийг хийхийн тулд зэргэлдээ хоёр элементийг (жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь) авч, баруун талд байгаа тоо, зүүн талд байгаа тооноос хасахад хангалттай. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Таны харж байгаагаар гурван тохиолдолд ялгаа нь үнэхээр сөрөг болсон. Одоо бид тодорхойлолтыг бага багаар олж мэдсэн тул прогрессийг хэрхэн дүрсэлсэн, ямар шинж чанартай болохыг олж мэдэх цаг болжээ.

Прогресс болон давтагдах томъёоны гишүүд

Бидний дарааллын элементүүдийг солих боломжгүй тул тэдгээрийг дугаарлаж болно:

\[\зүүн(((а)_(н)) \баруун)=\зүүн$((а)_(1)),\ ((а)_(2)),((а)_(3) )),... \баруун$\]

Энэ багцын бие даасан элементүүдийг прогрессийн гишүүд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг тоонуудын тусламжтайгаар ийм байдлаар зааж өгдөг: эхний гишүүн, хоёр дахь гишүүн гэх мэт.

Нэмж дурдахад, бид аль хэдийн мэдэж байгаачлан, ахиц дэвшлийн хөрш зэргэлдээ гишүүд дараахь томъёогоор холбогддог.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Баруун сум ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Товчхондоо, прогрессийн $n$-р гишүүнийг олохын тулд $n-1$-р гишүүн ба $d$-ын ялгааг мэдэх хэрэгтэй. Ийм томъёог давтагдах гэж нэрлэдэг, учир нь түүний тусламжтайгаар та ямар ч тоог олж чадна, зөвхөн өмнөхийг нь (мөн үнэндээ өмнөх бүх) мэдэж болно. Энэ нь маш тохиромжгүй тул аливаа тооцооллыг эхний нэр томъёо болон ялгаа болгон бууруулдаг илүү төвөгтэй томъёо байдаг:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d\]

Та энэ томьёог өмнө нь тааралдсан байх. Тэд үүнийг бүх төрлийн лавлах ном, решебникт өгөх дуртай. Математикийн аливаа ухаалаг сурах бичигт энэ нь анхныхуудын нэг юм.

Гэсэн хэдий ч би танд бага зэрэг дасгал хийхийг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ бол $\left(((a)_(n)) \right)$ арифметик прогрессийн эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Тэгэхээр бид эхний гишүүн $((a)_(1))=8$ ба прогрессийн зөрүү $d=-5$ гэдгийг мэднэ. Өгөгдсөн томьёог ашиглаад $n=1$, $n=2$, $n=3$-ийг орлъё:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \баруун)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \баруун)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: (8; 3; -2)

Тэгээд л болоо! Бидний ахиц дэвшил буурч байгааг анхаарна уу.

Мэдээжийн хэрэг, $n=1$-г орлуулах боломжгүй байсан - бид эхний нэр томъёог аль хэдийн мэддэг болсон. Гэсэн хэдий ч нэгжийг орлуулснаар бид эхний улиралд ч гэсэн бидний томъёо ажиллах болно гэдгийг баталгаажуулсан. Бусад тохиолдолд бүх зүйл улиг болсон арифметик дээр бууж ирсэн.

Даалгаврын дугаар 2. Арифметик прогрессийн долоо дахь гишүүн нь -40, арван долоо дахь гишүүн нь -50 бол эхний гурван гишүүнийг бич.

Шийдэл. Бид асуудлын нөхцөлийг ердийн үгээр бичдэг.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (а)_(17))=((а) _(1))+16d \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \зөв.\]

Эдгээр шаардлагыг нэгэн зэрэг биелүүлэх ёстой тул би системийн тэмдгийг тавьсан. Хэрэв бид хоёр дахь тэгшитгэлээс эхний тэгшитгэлийг хасвал (бидэнд систем байгаа тул үүнийг хийх эрхтэй) дараах зүйлийг олж авна.

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \баруун); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Яг үүнтэй адил бид явцын ялгааг олсон! Системийн аль ч тэгшитгэлд олсон тоог орлуулах хэвээр байна. Жишээлбэл, эхнийх нь:

\[\begin(матриц) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((а)_(1))=-40+6=-34. \\ \төгсгөл(матриц)\]

Одоо эхний нэр томъёо ба ялгааг мэдсэнээр хоёр, гурав дахь нөхцлүүдийг олоход үлдлээ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бэлэн! Асуудал шийдэгдэж.

Хариулт: (-34; -35; -36)

Бидний нээсэн прогрессийн нэгэн сонин шинж чанарыг анхаарч үзээрэй: хэрэв бид $n$th ба $m$th нөхцлүүдийг авч бие биенээсээ хасвал $n-m$ тоогоор үржүүлсэн прогрессийн зөрүүг авна.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \баруун)\]

Энгийн боловч маш ашигтай эд хөрөнгө, үүнийг та мэдээж мэдэх хэрэгтэй - түүний тусламжтайгаар та олон асуудлыг шийдвэрлэх явцыг хурдасгаж чадна. Үүний тод жишээ энд байна:

Даалгаврын дугаар 3. Арифметик прогрессийн тав дахь гишүүн 8.4, арав дахь гишүүн нь 14.4 байна. Энэ прогрессийн арван тав дахь гишүүнийг ол.

Шийдэл. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, мөн бид $((a)_(15))$ олох шаардлагатай тул бид дараах зүйлийг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, тэгэхээр $5d=6$ нөхцөлөөр бид дараах байдалтай байна:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((а)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: 20.4

Тэгээд л болоо! Бид ямар ч тэгшитгэлийн системийг зохиож, эхний гишүүн ба ялгааг тооцоолох шаардлагагүй байсан - бүх зүйлийг хэдхэн мөрөнд шийдсэн.

Одоо өөр төрлийн асуудлыг авч үзье - явцын сөрөг ба эерэг гишүүдийг хайх. Хэрэв ахиц дэвшил нэмэгдэж, эхний гишүүн нь сөрөг байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт эерэг нөхцөлүүд гарч ирэх нь нууц биш юм. Мөн эсрэгээр: буурах явцын нөхцөлүүд эрт орой хэзээ нэгэн цагт сөрөг болно.

Үүний зэрэгцээ, элементүүдийг дараалан ангилж, энэ мөчийг "духан дээр" олох нь үргэлж боломжгүй байдаг. Ихэнхдээ асуудлыг томьёо мэдэхгүй бол тооцоололд хэд хэдэн хуудас шаардагдахаар төлөвлөгдсөн байдаг - хариултыг олох хүртэл бид зүгээр л унтдаг. Тиймээс бид эдгээр асуудлыг хурдан шуурхай шийдвэрлэхийг хичээх болно.

Даалгаврын дугаар 4. Арифметик прогрессийн хэдэн сөрөг гишүүн -38.5; -35.8; …?

Шийдэл. Тэгэхээр $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, үүнээс бид шууд ялгааг олно.

Ялгаа эерэг байгаа тул ахиц дэвшил нэмэгдэж байгааг анхаарна уу. Эхний нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс хэзээ нэгэн цагт бид эерэг тоон дээр бүдрэх болно. Ганц асуулт бол энэ нь хэзээ болох вэ.

Нэр томъёоны сөрөг тал хэр удаан (өөрөөр хэлбэл $n$ ямар натурал тоо хүртэл) хадгалагдаж байгааг олж мэдэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зөв) & ((a)_(n)) \lt 0\Баруун сум ((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \баруун)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \баруун. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Баруун сум ((n)_(\max ))=15. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Сүүлийн мөрийг тодруулах шаардлагатай байна. Тэгэхээр бид $n \lt 15\frac(7)(27)$ гэдгийг мэднэ. Нөгөө талаас, зөвхөн бүхэл тоонууд бидэнд тохирох болно (түүнээс гадна: $n\in \mathbb(N)$), тиймээс хамгийн их зөвшөөрөгдөх тоо нь яг $n=15$, ямар ч тохиолдолд 16 биш юм.

Даалгаврын дугаар 5. Арифметик прогрессод $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Энэ прогрессийн эхний эерэг гишүүний тоог ол.

Энэ нь өмнөхтэй яг адилхан асуудал байх болно, гэхдээ бид $((a)_(1))$-г мэдэхгүй. Гэхдээ хөрш зэргэлдээ нэр томъёонууд нь мэдэгдэж байгаа: $((a)_(5))$ ба $((a)_(6))$, тиймээс бид прогрессийн зөрүүг хялбархан олох боломжтой:

Нэмж дурдахад стандарт томъёог ашиглан тав дахь гишүүнийг эхний болон зөрүүгээр илэрхийлэхийг хичээцгээе.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \баруун)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((а)_(1))=-150-12=-162. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид өмнөх асуудалтай адилтгаж үргэлжлүүлнэ. Бидний дарааллын аль цэгт эерэг тоо гарч ирэхийг бид олж мэднэ.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Баруун сум ((n)_(\мин ))=56. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ тэгш бус байдлын хамгийн бага бүхэл тооны шийдэл нь 56 тоо юм.

Сүүлийн даалгаварт бүх зүйлийг хатуу тэгш бус байдалд хүргэсэн тул $n=55$ сонголт бидэнд тохирохгүй гэдгийг анхаарна уу.

Одоо бид энгийн асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурсан тул илүү төвөгтэй асуудлууд руу шилжье. Гэхдээ эхлээд арифметик прогрессийн өөр нэг ашигтай шинж чанарыг сурцгаая, энэ нь ирээдүйд бидэнд маш их цаг хугацаа, тэгш бус эсүүдийг хэмнэх болно. :)

Арифметик дундаж ба тэнцүү догол

$\left(((a)_(n)) \right)$ өсөн нэмэгдэж буй арифметик прогрессийн хэд хэдэн дараалсан нөхцөлийг авч үзье. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэхийг хичээцгээе:

Тооны шулуун дээрх арифметик прогрессийн гишүүд

Би $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ дурын гишүүдийг онцгойлон тэмдэглэсэн бөгөөд ямар ч $((a)_(1)) биш, \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ гэх мэт. Учир нь миний одоо танд хэлэх дүрэм нь ямар ч "сегмент" -ийн хувьд адилхан ажилладаг.

Мөн дүрэм нь маш энгийн. Рекурсив томьёог санаж, тэмдэглэсэн бүх гишүүдэд бичье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэсэн хэдий ч эдгээр тэгш байдлыг өөрөөр дахин бичиж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

За яахав? Гэхдээ $((a)_(n-1))$ болон $((a)_(n+1))$ гэсэн нэр томъёо $((a)_(n)) $-ээс ижил зайд оршдог нь үнэн. . Мөн энэ зай нь $d$-тай тэнцүү байна. $((a)_(n-2))$ ба $((a)_(n+2))$ гэсэн нэр томъёоны талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно - тэдгээр нь мөн $((a)_(n)-аас хасагдсан. )$ ижил зайд $2d$-тай тэнцүү байна. Та хязгааргүй үргэлжлүүлж болно, гэхдээ зураг нь утгыг сайн харуулж байна

Прогрессийн гишүүд төвөөс ижил зайд байрладаг

Энэ нь бидний хувьд юу гэсэн үг вэ? Энэ нь хөрш зэргэлдээх тоонууд нь мэдэгдэж байвал та $((a)_(n))$-г олох боломжтой гэсэн үг юм.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Бид гайхалтай мэдэгдлийг гаргасан: арифметик прогрессийн гишүүн бүр нь хөрш гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна! Түүнээс гадна, бид $((a)_(n))$-оос баруун, зүүн тийш нэг алхамаар биш, харин $k$ алхмуудаар хазайж болно - тэгсэн ч гэсэн томъёо зөв байх болно:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Тэдгээр. Хэрэв бид $((a)_(100))$ болон $((a)_(200))$-г мэддэг бол $((a)_(150))$-г хялбархан олох болно, учир нь $(( a)_ (150))=\frac((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Өнгөц харахад энэ баримт бидэнд ямар ч ашигтай зүйл өгөхгүй юм шиг санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч практик дээр арифметик дундажийг ашиглахын тулд олон ажлыг тусгайлан "хурцалсан" байдаг. Энийг хар даа:

Даалгаврын дугаар 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ ба $14+4((x)^(2))$ тоонууд нь дараалсан гишүүд байхаар $x$-ийн бүх утгыг ол. арифметик прогресс (заасан дарааллаар).

Шийдэл. Эдгээр тоонууд нь прогрессийн гишүүд тул тэдгээрийн арифметик дундаж нөхцөл хангагдана: $x+1$ төв элементийг хөрш зэргэлдээх элементүүдээр илэрхийлж болно:

\[\эхлэх(зохицуулах) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь сонгодог болсон квадрат тэгшитгэл. Үүний үндэс: $x=2$ ба $x=-3$ нь хариултууд юм.

Хариулт: -3; 2.

Даалгаврын дугаар 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ тоонууд арифметик прогресс (энэ дарааллаар) үүсгэхийн тулд $$-ын утгыг ол.

Шийдэл. Дахин хэлэхэд бид дунд гишүүнийг хөрш зэргэлдээх нөхцлүүдийн арифметик дундажаар илэрхийлнэ.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\баруун.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Өөр нэг квадрат тэгшитгэл. Мөн дахин хоёр үндэс: $x=6$ ба $x=1$.

Хариулт: 1; 6.

Хэрэв асуудлыг шийдвэрлэх явцад та хэрцгий тоонуудыг олж авбал эсвэл олсон хариултуудын үнэн зөв эсэхэд бүрэн итгэлгүй байгаа бол танд шалгах боломжийг олгодог гайхалтай заль мэх байдаг: бид асуудлыг зөв шийдсэн үү?

6-р бодлогод бид -3 ба 2 гэсэн хариултыг авлаа гэж бодъё. Эдгээр хариулт зөв эсэхийг хэрхэн шалгах вэ? Тэднийг анхны байдалд нь оруулаад юу болохыг харцгаая. Бидэнд арифметик прогресс үүсгэх ёстой гурван тоо ($-6(()^(2))$, $+1$ ба $14+4(()^(2))$ байгааг сануулъя. $x=-3$ орлуулах:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=-3\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид -54 тоог авсан; −2; 52-оор ялгаатай 50 нь арифметик прогресс байх нь дамжиггүй. $x=2$-д ижил зүйл тохиолддог:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=2\Баруун сум \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин дэвшилттэй, гэхдээ 27-ийн зөрүүтэй. Тиймээс асуудлыг зөв шийдсэн. Хүссэн хүмүүс хоёр дахь даалгаврыг бие даан шалгаж болно, гэхдээ би шууд хэлье: тэнд бүх зүйл зөв байна.

Ерөнхийдөө сүүлийн даалгавруудыг шийдвэрлэх явцад бид өөр нэг зүйл дээр бүдэрсэн сонирхолтой баримт, үүнийг бас санах хэрэгтэй:

Хэрэв гурван тоо нь хоёр дахь нь эхний ба сүүлчийнхүүдийн дундаж байхаар байвал эдгээр тоо нь арифметик прогресс үүсгэдэг.

Ирээдүйд энэ мэдэгдлийг ойлгох нь асуудлын нөхцөл байдалд тулгуурлан шаардлагатай дэвшлийг шууд утгаар нь "бүтээх" боломжийг бидэнд олгоно. Гэхдээ бид ийм "бүтээн байгуулалт" хийхээсээ өмнө өмнө нь авч үзсэн зүйлээс шууд хамааралтай өөр нэг баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Элементүүдийн бүлэг ба нийлбэр

Тооны мөрөнд дахин орцгооё. Бид ахиц дэвшлийн хэд хэдэн гишүүдийг тэмдэглэж, тэдгээрийн хооронд байж магадгүй юм. бусад олон гишүүдийн үнэ цэнэтэй:

Тооны мөрөнд тэмдэглэгдсэн 6 элемент

"Зүүн сүүл"-ийг $((a)_(n))$, $d$, "баруун сүүл"-ийг $((a)_(k))$, $-оор илэрхийлэхийг хичээцгээе. d$. Энэ нь маш энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дараах нийлбэрүүд тэнцүү байгааг анхаарна уу.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= С. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв бид нийтдээ $S$-тай тэнцэх хоёр элементийг эхлэл болгон авч үзвэл эдгээр элементүүдээс эсрэг чиглэлд (бие бие рүүгээ эсвэл эсрэгээр) алхаж эхэлнэ. тэгээд Бидний бүдрэх элементүүдийн нийлбэрүүд мөн тэнцүү байх болно$S$. Үүнийг графикаар хамгийн сайн дүрсэлж болно:

Ижил догол мөр нь тэнцүү дүнг өгдөг

Ойлголт энэ баримтасуудлыг үндсээр нь шийдвэрлэх боломжийг бидэнд олгоно өндөр түвшиндээр дурдсантай харьцуулахад нарийн төвөгтэй байдал. Жишээлбэл, эдгээр:

Даалгаврын дугаар 8. Эхний гишүүн нь 66, хоёр ба арван хоёрдугаар гишүүний үржвэр нь байж болох хамгийн бага байх арифметик прогрессийн зөрүүг тодорхойл.

Шийдэл. Мэддэг бүхнээ бичье:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\мин. \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид $d$ прогрессийн ялгааг мэдэхгүй байна. Үнэн хэрэгтээ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ бүтээгдэхүүнийг дараах байдлаар дахин бичиж болох тул бүх шийдэл нь ялгааг тойрон гарах болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((а)_(12))=((а)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \баруун)\cdot \left(66+11d \баруун)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \төгсгөл(зохицуулах)\]

Танканд байгаа хүмүүст: Би хоёр дахь хаалтаас нийтлэг хүчин зүйл 11-ийг авсан. Тиймээс хүссэн бүтээгдэхүүн нь $d$ хувьсагчийн хувьд квадрат функц юм. Иймд $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ функцийг авч үзье - түүний график нь дээш салбартай парабол байх болно, учир нь. Хэрэв бид хаалтуудыг нээвэл бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d \баруун)=11\зүүн(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \баруун)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Таны харж байгаагаар хамгийн дээд үзүүлэлтийн коэффициент нь 11 байна - энэ бол эерэг тоо, тиймээс бид үнэхээр дээш салбартай параболатай харьцаж байна:

квадрат функцийн график - парабол
Анхаарна уу: энэ парабола хамгийн бага утгыг орой дээрээ $((d)_(0))$ абсциссатай авна. Мэдээжийн хэрэг, бид энэ абсциссыг стандарт схемийн дагуу тооцоолж болно ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ томъёо байдаг), гэхдээ энэ нь илүү үндэслэлтэй байх болно. Хүссэн орой нь параболын тэнхлэгийн тэгш хэм дээр байрладаг тул $((d)_(0))$ цэг нь $f\left(d \right)=0$ тэгшитгэлийн язгуураас ижил зайд байгааг анхаарна уу:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f\left(d\баруун)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тийм ч учраас би хаалт нээх гэж яарсангүй: анхны хэлбэрээр нь үндсийг нь олоход маш хялбар байсан. Тиймээс абсцисса нь −66 ба −6 тоонуудын арифметик дундажтай тэнцүү байна.

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Олдсон тоог бидэнд юу өгдөг вэ? Үүний тусламжтайгаар шаардлагатай бүтээгдэхүүнийг авдаг хамгийн бага утга(Дашрамд хэлэхэд бид $((y)_(\min ))$ тооцоолоогүй - бид үүнийг хийх шаардлагагүй). Үүний зэрэгцээ энэ тоо нь эхний дэвшлийн зөрүү, i.e. Бид хариултыг нь олсон. :)

Хариулт: -36

Даалгаврын дугаар 9. $-\frac(1)(2)$ ба $-\frac(1)(6)$ тоонуудын хооронд гурван тоог оруулснаар өгөгдсөн тоонуудтай хамт арифметик прогресс үүсгэнэ.

Шийдэл. Үнэн хэрэгтээ бид эхний болон таван тооны дарааллыг хийх хэрэгтэй сүүлийн дугаараль хэдийн мэдэгдэж байсан. Алга болсон тоонуудыг $x$, $y$, $z$ хувьсагчаар тэмдэглэ.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \баруун\ )\]

$y$ тоо нь бидний дарааллын "дунд" гэдгийг анхаарна уу - энэ нь $x$ ба $z$ тоонуудаас, $-\frac(1)(2)$ болон $-\frac тоонуудаас ижил зайд байна. (1)( 6)$. Хэрэв $x$ ба $z$ тоонуудаас бид байгаа бол Энэ мөчБид $y$-г авч чадахгүй бол явцын төгсгөлд байдал өөр байна. Арифметик дундажийг санаарай:

Одоо $y$-ийг мэдсэнээр бид үлдсэн тоог олох болно. $x$ нь $-\frac(1)(2)$ ба $y=-\frac(1)(3)$ хооронд байгааг анхаарна уу. Тийм ч учраас

Үүнтэй адилаар бид үлдсэн тоог олно:

Бэлэн! Бид бүх гурван тоог олсон. Тэдгээрийг анхны тоонуудын хооронд оруулах дарааллаар нь хариултанд бичье.

Хариулт: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Даалгаврын дугаар 10. 2 ба 42 гэсэн тоонуудын хооронд эхний, хоёр дахь, сүүлчийн оруулсан тоонуудын нийлбэр нь 56 байх нь мэдэгдэж байгаа бол өгөгдсөн тоонуудын хамт арифметик прогресс үүсгэх хэд хэдэн тоог оруулна.

Шийдэл. Өмнөхтэй ижил аргаар арифметик дундажаар шийдэгддэг илүү хэцүү даалгавар. Асуудал нь бид яг хэдэн тоо оруулахаа мэдэхгүй байгаа явдал юм. Тиймээс тодорхой байхын тулд бид оруулсны дараа яг $n$ тоо байх бөгөөд эхнийх нь 2, сүүлчийнх нь 42 байна гэж таамаглаж байна. Энэ тохиолдолд хүссэн арифметик прогрессийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \баруун$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Гэсэн хэдий ч $((a)_(2))$ болон $((a)_(n-1))$ тоонуудыг бие бие рүүгээ нэг алхамаар ирмэг дээр зогсож буй 2 ба 42 тооноос авсан болохыг анхаарна уу. , өөрөөр хэлбэл. дарааллын төв рүү. Мөн энэ нь тийм гэсэн үг юм

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Гэхдээ дараа нь дээрх илэрхийллийг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((а)_(3))=56; \\ & ((а)_(3))=56-44=12. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

$((a)_(3))$ ба $((a)_(1))$-ийг мэдсэнээр бид явцын зөрүүг хялбархан олох боломжтой.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((а)_(1))=\зүүн(3-1 \баруун)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Баруун сум d=5. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Үлдсэн гишүүдийг олоход л үлдлээ.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Тиймээс аль хэдийн 9-р алхам дээр бид дарааллын зүүн төгсгөлд ирэх болно - 42 тоо. Нийтдээ зөвхөн 7 тоог оруулах шаардлагатай байсан: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Хариулт: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Процесс бүхий текст даалгавар

Эцэст нь хэлэхэд би харьцангуй энгийн хэд хэдэн асуудлыг авч үзэхийг хүсч байна. За, энгийн зүйл бол: сургуульд математикийн чиглэлээр суралцдаг, дээр бичсэн зүйлийг уншаагүй ихэнх оюутнуудын хувьд эдгээр даалгавар нь дохио зангаа мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикийн OGE болон USE-д яг ийм даалгавар гардаг тул би тэдэнтэй танилцахыг зөвлөж байна.

Даалгаврын дугаар 11. Тус багийнхан 1-р сард 62 ширхэг үйлдвэрлэсэн бол дараагийн сар бүр өмнөхөөсөө 14 ширхэг илүү үйлдвэрлэсэн байна. Бригад арваннэгдүгээр сард хэдэн эд анги үйлдвэрлэсэн бэ?

Шийдэл. Мэдээжийн хэрэг, сараар будсан хэсгүүдийн тоо нь арифметик прогрессоор нэмэгдэх болно. Мөн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 14. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Арваннэгдүгээр сар бол жилийн 11 дэх сар тул бид $((a)_(11))$ олох хэрэгтэй:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Тиймээс арваннэгдүгээр сард 202 ширхэгийг үйлдвэрлэнэ.

Даалгаврын дугаар 12. Номын урлалын цех 1-р сард 216 ном хавсаргасан бөгөөд сар бүр өмнөх сараас 4-өөр илүү ном хавсаргасан байна. 12-р сард семинар хэдэн ном хавсаргав?

Шийдэл. Бүгд адилхан:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\зүүн(n-1 \баруун)\cdot 4. \\ \төгсгөл(зохицуулах)$

Арванхоёрдугаар сар бол жилийн сүүлийн 12 дахь сар тул бид $((a)_(12))$ хайж байна:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Энэ бол хариулт юм - арванхоёрдугаар сард 260 ном хавтаслана.

Хэрэв та энэ хүртэл уншсан бол би танд баяр хүргэе: та арифметик прогрессийн "залуу тулаанчны курс" -ыг амжилттай дүүргэсэн. Та аюулгүйгээр очиж болно дараагийн хичээл, Энд бид прогрессийн нийлбэрийн томъёо, түүнчлэн үүнээс чухал бөгөөд маш ашигтай үр дагаврыг судлах болно.

Хэрэв натурал тоо бүр бол n бодит тоотой таарна a n , дараа нь тэд өгсөн гэж хэлдэг тооны дараалал :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

Тэгэхээр тоон дараалал нь байгалийн аргументийн функц юм.

Тоо а 1 дуудсан дарааллын эхний гишүүн , тоо а 2 — дарааллын хоёр дахь гишүүн , тоо а 3 — гурав дахь гэх мэт. Тоо a n дуудсан дарааллын n-р гишүүн , ба натурал тоо n — түүний дугаар .

Хоёр хөршийн гишүүнээс a n Тэгээд a n +1 гишүүдийн дараалал a n +1 дуудсан дараагийн ( зүг a n ), А a n — өмнөх ( зүг a n +1 ).

Дараалалыг зааж өгөхийн тулд та дурын дугаартай дарааллын гишүүнийг олох боломжийг олгох аргыг зааж өгөх ёстой.

Ихэнхдээ дарааллыг нь өгдөг n-р хугацааны томьёо , өөрөөр хэлбэл, дарааллын гишүүнийг дугаараар нь тодорхойлох боломжийг олгодог томьёо.

Жишээлбэл,

эерэг сондгой тооны дарааллыг томъёогоор өгч болно

a n= 2n- 1,

болон ээлжлэн солих дараалал 1 Тэгээд -1 - томьёо

б n = (-1)n +1 . ◄

Дарааллыг тодорхойлж болно давтагдах томъёо, өөрөөр хэлбэл, өмнөх (нэг ба түүнээс дээш) гишүүдээр дамжуулан заримаас эхлэн дарааллын аль нэг гишүүнийг илэрхийлэх томъёо юм.

Жишээлбэл,

Хэрэв а 1 = 1 , А a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Хэрэв a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , Дараа нь тоон дарааллын эхний долоон гишүүнийг дараах байдлаар тогтооно.

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Дараалал байж болно эцсийн Тэгээд эцэс төгсгөлгүй .

Дараалал гэж нэрлэдэг эцсийн хязгаарлагдмал тооны гишүүдтэй бол. Дараалал гэж нэрлэдэг эцэс төгсгөлгүй хязгааргүй олон гишүүнтэй бол.

Жишээлбэл,

Хоёр оронтой натурал тооны дараалал:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

эцсийн.

Анхны тооны дараалал:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

эцэс төгсгөлгүй. ◄

Дараалал гэж нэрлэдэг нэмэгдэх , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө их байвал.

Дараалал гэж нэрлэдэг суларч байна , хэрэв түүний гишүүн бүр хоёр дахь үеэс эхлэн өмнөхөөсөө бага байвал.

Жишээлбэл,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . өсөх дараалал;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . нь буурах дараалал юм. ◄

Элементүүд нь тоо нэмэгдэх тусам багасдаггүй, эсвэл эсрэгээрээ өсдөггүй дарааллыг нэрлэдэг нэг хэвийн дараалал .

Ялангуяа монотоник дараалал нь дараалал нэмэгдэж, дараалал буурч байна.

Арифметик прогресс

Арифметик прогресс дарааллыг дууддаг бөгөөд гишүүн бүр нь хоёр дахь хэсгээс эхлэн өмнөхтэй нь тэнцүү бөгөөд ижил тоог нэмнэ.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

аль нэг натурал тооны хувьд арифметик прогресс юм n нөхцөл хангагдсан:

a n +1 = a n + г,

Хаана г - хэдэн тоо.

Тиймээс өгөгдсөн арифметик прогрессийн дараагийн болон өмнөх гишүүдийн ялгаа үргэлж тогтмол байна:

a 2 - а 1 = a 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = г.

Тоо г дуудсан арифметик прогрессийн ялгаа.

Арифметик прогрессийг тогтоохын тулд түүний эхний гишүүн ба ялгааг зааж өгөхөд хангалттай.

Жишээлбэл,

Хэрэв а 1 = 3, г = 4 , дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.

a 1 =3,

a 2 = a 1 + г = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + г= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + г= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + г= 15 + 4 = 19. ◄

Эхний гишүүнтэй арифметик прогрессийн хувьд а 1 ба ялгаа г түүнийг n

a n = a 1 + (n- 1)г.

Жишээлбэл,

арифметик прогрессийн гучин гишүүнийг ол

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, г = 3,

нь 30 = a 1 + (30 - 1)d= 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)г,

a n= a 1 + (n- 1)г,

a n +1 = а 1 + nd,

тэгвэл ойлгомжтой

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн гишүүн бүр өмнөх болон дараагийн гишүүдийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.

a, b, c тоонууд нь зөвхөн аль нэг нь нөгөө хоёрын арифметик дундажтай тэнцүү байвал зарим арифметик прогрессийн дараалсан гишүүд болно.

Жишээлбэл,

a n = 2n- 7 , нь арифметик прогресс юм.

Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Тиймээс,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Тэрийг тэмдэглэ n -Арифметик прогрессийн 1-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олохгүй а 1 , гэхдээ өмнөх ямар ч байсан a k

a n = a k + (n- к)г.

Жишээлбэл,

Учир нь а 5 бичиж болно

а 5 = a 1 + 4г,

а 5 = a 2 + 3г,

а 5 = a 3 + 2г,

а 5 = a 4 + г. ◄

a n = а н-к + кд,

a n = a n+k - кд,

тэгвэл ойлгомжтой

a n=	а н-к + a n+k
	2

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн арифметик прогрессийн аль ч гишүүн нь энэ арифметик прогрессийн гишүүдийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.

Үүнээс гадна аливаа арифметик прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Жишээлбэл,

арифметик прогрессоор

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = а 10 = a 3 + 7г= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) а 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, учир нь

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

эхлээд n Арифметик прогрессийн гишүүд нь туйлын гишүүний нийлбэрийн хагасыг гишүүний тоогоор үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

Эндээс, тухайлбал, хэрэв шаардлагатай бол нэр томъёог нэгтгэн дүгнэх шаардлагатай

a k, a k +1 , . . . , a n,

Дараа нь өмнөх томьёо нь бүтэцээ хадгална:

Жишээлбэл,

арифметик прогрессоор 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Хэрэв арифметик прогресс өгөгдсөн бол хэмжигдэхүүнүүд а 1 , a n, г, nТэгээдС n хоёр томъёогоор холбогдсон:

Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын утгыг өгсөн бол хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэсэн эдгээр томъёоноос бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг тодорхойлно.

Арифметик прогресс нь монотон дараалал юм. Үүнд:

Хэрэв г > 0 , дараа нь энэ нь нэмэгдэж байна;
Хэрэв г < 0 , дараа нь буурч байна;
Хэрэв г = 0 , дараалал нь хөдөлгөөнгүй байх болно.

Геометрийн прогресс

геометрийн прогресс дараалал гэж нэрлэгддэг бөгөөд хоёр дахь үеэс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, ижил тоогоор үржүүлнэ.

б 1 , б 2 , б 3 , . . . , б н, . . .

ямар нэгэн натурал тооны хувьд геометр прогресс байна n нөхцөл хангагдсан:

б н +1 = б н · q,

Хаана q ≠ 0 - хэдэн тоо.

Тиймээс энэ геометрийн прогрессийн дараагийн гишүүний өмнөхтэй харьцуулсан харьцаа нь тогтмол тоо юм.

б 2 / б 1 = б 3 / б 2 = . . . = б н +1 / б н = q.

Тоо q дуудсан геометр прогрессийн хуваагч.

Геометр прогрессийг тогтоохын тулд түүний эхний гишүүн болон хуваагчийг зааж өгөхөд хангалттай.

Жишээлбэл,

Хэрэв б 1 = 1, q = -3 , дарааллын эхний таван гишүүнийг дараах байдлаар олно.

б 1 = 1,

б 2 = б 1 · q = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · q= -3 · (-3) = 9,

б 4 = б 3 · q= 9 · (-3) = -27,

б 5 = б 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

б 1 ба хуваагч q түүнийг n -р гишүүнийг дараах томъёогоор олж болно.

б н = б 1 · q n -1 .

Жишээлбэл,

геометр прогрессийн долоо дахь гишүүнийг ол 1, 2, 4, . . .

б 1 = 1, q = 2,

б 7 = б 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

bn-1 = б 1 · q n -2 ,

б н = б 1 · q n -1 ,

б н +1 = б 1 · q n,

тэгвэл ойлгомжтой

б н 2 = б н -1 · б н +1 ,

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометрийн прогрессийн гишүүн бүр нь өмнөх болон дараагийн гишүүдийн геометрийн дундажтай (пропорциональ) тэнцүү байна.

Эсрэг заалт нь бас үнэн тул дараах баталгааг баримтална.

a, b, c тоонууд нь аль нэгнийх нь квадрат нь нөгөө хоёрын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл тоонуудын аль нэг нь нөгөө хоёрын геометрийн дундаж байх тохиолдолд л зарим геометрийн прогрессийн дараалсан гишүүд болно.

Жишээлбэл,

томъёогоор өгөгдсөн дараалал гэдгийг баталъя б н= -3 2 n , нь геометрийн прогресс юм. Дээрх мэдэгдлийг ашиглацгаая. Бидэнд байгаа:

б н= -3 2 n,

б н -1 = -3 2 n -1 ,

б н +1 = -3 2 n +1 .

Тиймээс,

б н 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = б н -1 · б н +1 ,

Энэ нь шаардлагатай мэдэгдлийг баталж байна. ◄

Тэрийг тэмдэглэ n Геометр прогрессийн 3-р гишүүнийг зөвхөн дамжуулан олж болно б 1 , гэхдээ өмнөх нэр томъёо б к , үүний тулд томъёог ашиглахад хангалттай

б н = б к · q n - к.

Жишээлбэл,

Учир нь б 5 бичиж болно

б 5 = б 1 · q 4 ,

б 5 = б 2 · q 3,

б 5 = б 3 · q2,

б 5 = б 4 · q. ◄

б н = б к · q n - к,

б н = б н - к · q k,

тэгвэл ойлгомжтой

б н 2 = б н - к· б н + к

Хоёр дахь хэсгээс эхлэн геометр прогрессийн аль ч гишүүний квадрат нь түүнээс ижил зайд байгаа энэ прогрессийн гишүүдийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Үүнээс гадна аливаа геометр прогрессийн хувьд тэгш байдал нь үнэн юм.

б м· б н= б к· б л,

м+ n= к+ л.

Жишээлбэл,

экспоненциалаар

1) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б 5 · б 7 ;

2) 1024 = б 11 = б 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б 4 · б 8 ;

4) б 2 · б 7 = б 4 · б 5 , учир нь

б 2 · б 7 = 2 · 64 = 128,

б 4 · б 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= б 1 + б 2 + б 3 + . . . + б н

эхлээд n хуваагчтай геометр прогрессийн гишүүд q ≠ 0 томъёогоор тооцоолно:

Тэгээд хэзээ q = 1 - томьёоны дагуу

S n= n.b. 1

Хэрэв бид нөхцөлүүдийг нэгтгэх шаардлагатай бол гэдгийг анхаарна уу

б к, б к +1 , . . . , б н,

Дараа нь томъёог ашиглана:

S n- С к -1 = б к + б к +1 + . . . + б н = б к ·	1 - q n - к +1	.
	1 - q

Жишээлбэл,

экспоненциалаар 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Өгөгдсөн бол геометрийн прогресс, дараа нь тоо хэмжээ б 1 , б н, q, nТэгээд S n хоёр томъёогоор холбогдсон:

Тиймээс, хэрэв эдгээр хэмжигдэхүүний гурвын аль нэгний утгыг өгсөн бол хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системд нэгтгэсэн эдгээр томъёоноос бусад хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг тодорхойлно.

Эхний гишүүнтэй геометр прогрессийн хувьд б 1 ба хуваагч q дараах үйл явдал болно монотон шинж чанарууд :

Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил нэмэгдэж байна.

б 1 > 0 Тэгээд q> 1;

б 1 < 0 Тэгээд 0 < q< 1;

Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд ахиц дэвшил буурч байна.

б 1 > 0 Тэгээд 0 < q< 1;

б 1 < 0 Тэгээд q> 1.

Хэрэв q< 0 , тэгвэл геометр прогресс тэмдэг ээлжлэн байна: түүний сондгой тоотой гишүүний эхний гишүүнтэй ижил тэмдэгтэй, тэгш тоотой гишүүн нь эсрэг тэмдэгтэй байна. Хувьсах геометрийн прогресс нь монотон биш гэдэг нь ойлгомжтой.

Анхны бүтээгдэхүүн n Геометр прогрессийн нөхцөлийг дараах томъёогоор тооцоолж болно.

П н= б 1 · б 2 · б 3 · . . . · б н = (б 1 · б н) n / 2 .

Жишээлбэл,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Хязгааргүй буурах геометр прогресс

Хязгааргүй буурах геометр прогресс хуваарийн модуль нь түүнээс бага хязгааргүй геометр прогресс гэж нэрлэдэг 1 , тэр бол

|q| < 1 .

Хязгааргүй буурах геометрийн прогресс нь буурах дараалал байж болохгүй гэдгийг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд тохирно

1 < q< 0 .

Ийм хуваагчтай бол дараалал нь тэмдэг ээлжлэн солигддог. Жишээлбэл,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Хязгааргүй буурдаг геометр прогрессийн нийлбэр эхнийх нь нийлбэр гарах тоог нэрлэнэ үү n тооны хязгааргүй өсөх явцын нөхцөл n . Энэ тоо үргэлж хязгаарлагдмал бөгөөд томъёогоор илэрхийлэгдэнэ