Logg for base. Logaritmiske uttrykk

Så vi har to krefter. Hvis du tar tallet fra bunnlinjen, kan du enkelt finne kraften du må heve en toer til for å få dette tallet. For eksempel, for å få 16, må du heve to til den fjerde potensen. Og for å få 64, må du heve to til sjette potens. Dette kan sees fra tabellen.

Og nå - faktisk, definisjonen av logaritmen:

Logaritmen til grunntallet a i argumentet x er potensen som tallet a må heves til for å få tallet x .

Notasjon: logg a x \u003d b, der a er basen, x er argumentet, b er faktisk det logaritmen er lik.

For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grunntall 2-logaritmen av 8 er tre fordi 2 3 = 8). Kan like gjerne logge 2 64 = 6 fordi 2 6 = 64 .

Operasjonen med å finne logaritmen til et tall til en gitt base kalles logaritmen. Så la oss legge til en ny rad i tabellen vår:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Dessverre er ikke alle logaritmer vurdert så lett. Prøv for eksempel å finne logg 2 5 . Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsier at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Slike tall kalles irrasjonelle: tallene etter desimaltegn kan skrives i det uendelige, og de gjentas aldri. Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, er det bedre å la det være slik: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Det er viktig å forstå at logaritmen er et uttrykk med to variabler (grunnlag og argument). Til å begynne med forvirrer mange mennesker hvor basen er og hvor argumentasjonen er. For å unngå irriterende misforståelser er det bare å ta en titt på bildet:

Foran oss er ikke noe mer enn definisjonen av logaritmen. Huske: logaritmen er potensen, som du må heve grunnlaget til for å få argumentet. Det er basen som er hevet til en potens – på bildet er den uthevet i rødt. Det viser seg at basen alltid er nederst! Jeg forteller denne fantastiske regelen til elevene mine allerede i den første leksjonen - og det er ingen forvirring.

Vi fant ut definisjonen - det gjenstår å lære å telle logaritmer, dvs. bli kvitt "logg"-tegnet. Til å begynne med merker vi at to viktige fakta følger av definisjonen:

1. Argumentet og grunnlaget må alltid være større enn null. Dette følger av definisjonen av graden ved en rasjonell eksponent, som definisjonen av logaritmen reduseres til.
2. Basen må være forskjellig fra enhet, siden en enhet til enhver kraft fortsatt er en enhet. På grunn av dette er spørsmålet "til hvilken makt må man heves for å få to" meningsløst. Det er ingen slik grad!

Slike restriksjoner kalles gyldig område(ODZ). Det viser seg at ODZ til logaritmen ser slik ut: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Merk at det ikke er noen begrensninger på at tallet b (verdien av logaritmen) ikke er pålagt. For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 \u003d -1, fordi 0,5 = 2 −1 .

Men nå vurderer vi bare numeriske uttrykk, der det ikke er nødvendig å kjenne ODZ til logaritmen. Alle begrensninger er allerede tatt i betraktning av kompilatorene av problemene. Men når logaritmiske ligninger og ulikheter spiller inn, vil DHS-kravene bli obligatoriske. I grunnlaget og argumentasjonen kan det faktisk være veldig sterke konstruksjoner, som ikke nødvendigvis samsvarer med begrensningene ovenfor.

Vurder nå generell ordning logaritmeberegninger. Den består av tre trinn:

1. Uttrykk grunntallet a og argumentet x som en potens med minst mulig grunntall større enn én. Underveis er det bedre å kvitte seg med desimalbrøker;
2. Løs ligningen for variabelen b: x = a b ;
3. Det resulterende tallet b vil være svaret.

Det er alt! Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, vil dette sees allerede ved første trinn. Kravet om at grunnlaget skal være større enn én er svært relevant: dette reduserer sannsynligheten for feil og forenkler beregningene betydelig. Tilsvarende med desimalbrøker: hvis du umiddelbart konverterer dem til vanlige, vil det være mange ganger færre feil.

La oss se hvordan denne ordningen fungerer med spesifikke eksempler:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 5 25

1. La oss representere grunnlaget og argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

La oss lage og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Fikk svar: 2.

Oppgave. Regn ut logaritmen:

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 4 64

1. La oss representere basen og argumentet som en potens av to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. La oss lage og løse ligningen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Fikk svar: 3.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 16 1

1. La oss representere basen og argumentet som en potens av to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. La oss lage og løse ligningen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Fikk svar: 0.

Oppgave. Regn ut logaritmen: log 7 14

1. La oss representere basen og argumentet som en potens av syv: 7 = 7 1 ; 14 er ikke representert som en potens av syv, fordi 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Det følger av forrige avsnitt at logaritmen ikke vurderes;
3. Svaret er ingen endring: logg 7 14.

En liten merknad til siste eksempel. Hvordan sikre at et tall ikke er en eksakt potens av et annet tall? Veldig enkelt - bare dekomponer det i hovedfaktorer. Hvis det er minst to forskjellige faktorer i utvidelsen, er ikke tallet en eksakt potens.

Oppgave. Finn ut om de nøyaktige potensene til tallet er: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - den nøyaktige graden, fordi det er bare én multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 er ikke en eksakt potens fordi det er to faktorer: 3 og 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - nøyaktig grad;
35 = 7 5 - igjen ikke en eksakt grad;
14 \u003d 7 2 - igjen ikke en eksakt grad;

Merk også at selve primtallene alltid er eksakte potenser av seg selv.

Desimal logaritme

Noen logaritmer er så vanlige at de har et spesielt navn og betegnelse.

Desimallogaritmen til x-argumentet er basis 10-logaritmen, dvs. kraften du må heve tallet 10 til for å få tallet x. Betegnelse: lg x .

For eksempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.

Fra nå av, når en setning som "Finn lg 0.01" vises i læreboken, må du vite at dette ikke er en skrivefeil. Dette er desimallogaritmen. Men hvis du ikke er vant til en slik betegnelse, kan du alltid skrive den om:
log x = log 10 x

Alt som er sant for vanlige logaritmer, er også sant for desimaler.

naturlig logaritme

Det er en annen logaritme som har sin egen notasjon. På en måte er det enda viktigere enn desimal. Det handler om om den naturlige logaritmen.

Den naturlige logaritmen til x er basen e-logaritmen, dvs. potensen som tallet e må heves til for å oppnå tallet x. Betegnelse: ln x .

Mange vil spørre: hva annet er tallet e? Dette er et irrasjonelt tall eksakt verdi umulig å finne og registrere. Her er bare de første tallene:
e = 2,718281828459...

Vi skal ikke gå nærmere inn på hva dette tallet er og hvorfor det trengs. Bare husk at e er grunnlaget for den naturlige logaritmen:
ln x = log e x

Dermed ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den annen side er ln 2 et irrasjonelt tall. Generelt er den naturlige logaritmen til ethvert rasjonelt tall irrasjonal. Bortsett fra, selvfølgelig, enhet: ln 1 = 0.

Til naturlige logaritmer alle reglene som er sanne for vanlige logaritmer er gyldige.

Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og konverteres på alle mulige måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles grunnleggende egenskaper.

Disse reglene må være kjent - ingen alvorlige logaritmiske problemer kan løses uten dem. I tillegg er det svært få av dem – alt kan læres på en dag. Så la oss komme i gang.

Addisjon og subtraksjon av logaritmer

Tenk på to logaritmer med samme base: log en x og logg en y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:

1. Logg en x+logg en y= logg en (x · y);
2. Logg en x−logg en y= logg en (x : y).

Så summen av logaritmene er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er - samme grunn. Hvis grunnlagene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!

Disse formlene vil hjelpe deg med å beregne det logaritmiske uttrykket selv når dets individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:

logg 6 4 + logg 6 9.

Siden basisene til logaritmene er de samme, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.

Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.

Igjen, basene er de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se, er de opprinnelige uttrykkene bygd opp av "dårlige" logaritmer, som ikke vurderes separat. Men etter transformasjoner viser ganske normale tall seg. Basert på dette faktum, mange testpapirer. Ja, kontroll - lignende uttrykk i fullt alvor (noen ganger - med praktisk talt ingen endringer) tilbys på eksamen.

Fjerne eksponenten fra logaritmen

La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om det er en grad i basen eller argumentet til logaritmen? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:

Det er lett å se det siste regel følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.

Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ-logaritmen blir observert: en > 0, en ≠ 1, x> 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. du kan legge inn tallene før tegnet for logaritmen i selve logaritmen. Dette er det som oftest kreves.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .

La oss bli kvitt graden i argumentet i henhold til den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Oppgave. Finn verdien av uttrykket:

[Figurtekst]

Merk at nevneren er en logaritme hvis grunntall og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Vi har:

[Figurtekst]

Jeg tror det siste eksemplet trenger avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. De presenterte basen og argumentet for logaritmen som sto der i form av grader og tok ut indikatorene - de fikk en "tre-etasjers" brøk.

La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren har samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, noe som ble gjort. Resultatet er svaret: 2.

Overgang til ny stiftelse

Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om basene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?

Formler for overgang til en ny base kommer til unnsetning. Vi formulerer dem i form av et teorem:

La det bli gitt logaritmelogg en x. Deretter for et hvilket som helst tall c slik at c> 0 og c≠ 1, likheten er sann:

[Figurtekst]

Spesielt hvis vi setter c = x, vi får:

[Figurtekst]

Det følger av den andre formelen at det er mulig å bytte ut basen og argumentet til logaritmen, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen er i nevneren.

Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.

Det er imidlertid oppgaver som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra å flytte til en ny stiftelse. La oss vurdere et par av disse:

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.

Merk at argumentene til begge logaritmene er eksakte eksponenter. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

La oss nå snu den andre logaritmen:

[Figurtekst]

Siden produktet ikke endres fra permutasjon av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og fant deretter ut logaritmene.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.

Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive det ned og bli kvitt indikatorene:

[Figurtekst]

La oss nå bli kvitt desimal logaritme, flytte til en ny base:

[Figurtekst]

Grunnleggende logaritmisk identitet

Ofte i prosessen med å løse er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base. I dette tilfellet vil formlene hjelpe oss:

I det første tilfellet, nummeret n blir eksponenten for argumentet. Antall n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er verdien av logaritmen.

Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det kalles den grunnleggende logaritmiske identiteten.

Faktisk, hva vil skje hvis nummeret b heve til makten slik at b gir i denne grad et tall en? Det stemmer: dette er det samme tallet en. Les dette avsnittet nøye igjen - mange mennesker "henger" på det.

I likhet med de nye formlene for basekonvertering er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.

Oppgave. Finn verdien av uttrykket:

[Figurtekst]

Legg merke til at log 25 64 = log 5 8 - tok bare ut kvadratet fra grunnflaten og argumentet til logaritmen. Gitt reglene for å multiplisere potenser med samme grunntall, får vi:

[Figurtekst]

Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra eksamen :)

Logaritmisk enhet og logaritmisk null

Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som er vanskelige å kalle egenskaper – snarere er dette konsekvenser fra definisjonen av logaritmen. De blir stadig funnet i problemer og skaper overraskende problemer selv for "avanserte" elever.

1. Logg en en= 1 er den logaritmiske enheten. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base en fra denne basen i seg selv er lik en.
2. Logg en 1 = 0 er logaritmisk null. Utgangspunkt en kan være hva som helst, men hvis argumentet er ett, er logaritmen null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.

Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.

Med utviklingen av samfunnet, kompleksiteten i produksjonen, utviklet også matematikken seg. Bevegelse fra enkelt til komplekst. Fra den vanlige regnskapsmetoden addisjon og subtraksjon, med deres gjentatte repetisjon, kom de til begrepet multiplikasjon og divisjon. Reduksjonen av den multiplisere gjentatte operasjonen ble begrepet eksponentiering. De første tabellene over talls avhengighet av basen og antall eksponentiering ble kompilert tilbake på 800-tallet av den indiske matematikeren Varasena. Fra dem kan du telle tidspunktet for forekomsten av logaritmer.

Historisk omriss

Gjenopplivingen av Europa på 1500-tallet stimulerte også utviklingen av mekanikk. T krevde mye beregning knyttet til multiplikasjon og divisjon av flersifrede tall. De gamle bordene gjorde en god tjeneste. De gjorde det mulig å erstatte komplekse operasjoner med enklere - addisjon og subtraksjon. Et stort skritt fremover var arbeidet til matematikeren Michael Stiefel, publisert i 1544, der han realiserte ideen til mange matematikere. Dette gjorde det mulig å bruke tabeller ikke bare for grader i skjemaet primtall, men også for vilkårlige rasjonelle.

I 1614 introduserte skotten John Napier, som utviklet disse ideene, det nye begrepet "logaritme av et tall." Nye komplekse tabeller ble satt sammen for å beregne logaritmene til sinus og cosinus, samt tangenter. Dette reduserte astronomenes arbeid kraftig.

Nye tabeller begynte å dukke opp, som ble brukt med hell av forskere for tre århundrer. Det tok lang tid før ny operasjon i algebra fikk sin ferdige form. Logaritmen ble definert og dens egenskaper ble studert.

Først på 1900-tallet, med fremkomsten av kalkulatoren og datamaskinen, forlot menneskeheten de eldgamle bordene som hadde vært vellykket i drift gjennom det 13. århundre.

I dag kaller vi logaritmen til b for å basere a tallet x, som er potensen til a, for å få tallet b. Dette skrives som en formel: x = log a(b).

For eksempel vil log 3(9) være lik 2. Dette er åpenbart hvis du følger definisjonen. Hvis vi hever 3 i potensen 2, får vi 9.

Dermed setter den formulerte definisjonen kun én begrensning, tallene a og b må være reelle.

Varianter av logaritmer

Den klassiske definisjonen kalles den reelle logaritmen og er egentlig en løsning på ligningen a x = b. Alternativet a = 1 er grenselinje og har ingen interesse. Merk: 1 til enhver potens er 1.

Virkelig verdi av logaritmen definert bare hvis grunntallet og argumentet er større enn 0, og grunntallet ikke må være lik 1.

Spesiell plass innen matematikk spill logaritmer, som vil bli navngitt avhengig av verdien av basen deres:

Regler og begrensninger

Den grunnleggende egenskapen til logaritmer er regelen: logaritmen til et produkt er lik den logaritmiske summen. log abp = log a(b) + log a(p).

Som en variant av denne uttalelsen vil den være: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), kvotientfunksjonen er lik forskjellen mellom funksjonene.

Det er lett å se fra de to foregående reglene at: log a(b p) = p * log a(b).

Andre eiendommer inkluderer:

Kommentar. Ikke gjør en vanlig feil - logaritmen av summen er ikke lik summen av logaritmene.

I mange århundrer var operasjonen med å finne logaritmen en ganske tidkrevende oppgave. Matematikere brukte den velkjente formelen til den logaritmiske teorien om utvidelse til et polynom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), der n er et naturlig tall som er større enn 1, som bestemmer nøyaktigheten av beregningen.

Logaritmer med andre baser ble beregnet ved å bruke teoremet om overgangen fra en base til en annen og egenskapen til logaritmen til produktet.

Siden denne metoden er veldig arbeidskrevende og når man løser praktiske problemer vanskelig å implementere, brukte de forhåndskompilerte tabeller med logaritmer, noe som akselererte hele arbeidet kraftig.

I noen tilfeller ble det brukt spesialkompilerte grafer av logaritmer, noe som ga mindre nøyaktighet, men satte betydelig fart på søket etter ønsket verdi. Kurven til funksjonen y = log a(x), bygget på flere punkter, gjør det mulig å bruke den vanlige linjalen til å finne verdiene til funksjonen på et hvilket som helst annet punkt. Ingeniører lang tid til disse formålene ble det såkalte millimeterpapiret brukt.

På 1600-tallet dukket de første ekstra analoge databehandlingsforholdene opp, som til XIX århundre fått et ferdig utseende. Den mest vellykkede enheten ble kalt lysbilderegelen. Til tross for enkelheten til enheten, akselererte utseendet betydelig prosessen med alle tekniske beregninger, og dette er vanskelig å overvurdere. For øyeblikket er det få som er kjent med denne enheten.

Fremkomsten av kalkulatorer og datamaskiner gjorde det meningsløst å bruke andre enheter.

Ligninger og ulikheter

Følgende formler brukes til å løse ulike ligninger og ulikheter ved hjelp av logaritmer:

• Overgang fra en base til en annen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Som en konsekvens av forrige versjon: log a(b) = 1 / log b(a).

For å løse ulikheter er det nyttig å vite:

• Verdien av logaritmen vil bare være positiv hvis både basen og argumentet er større enn eller mindre enn én; hvis minst én betingelse brytes, vil verdien av logaritmen være negativ.
• Hvis logaritmefunksjonen brukes på høyre og venstre side av ulikheten, og basen til logaritmen er større enn én, så beholdes tegnet på ulikheten; ellers endres det.

Eksempler på oppgaver

Vurder flere alternativer for bruk av logaritmer og deres egenskaper. Eksempler på å løse ligninger:

Vurder muligheten for å plassere logaritmen i graden:

• Oppgave 3. Regn ut 25^log 5(3). Løsning: under betingelsene for problemet, er notasjonen lik følgende (5^2)^log5(3) eller 5^(2 * log 5(3)). La oss skrive det annerledes: 5^log 5(3*2), eller kvadratet av et tall som funksjonsargument kan skrives som kvadratet til selve funksjonen (5^log 5(3))^2. Ved å bruke egenskapene til logaritmer er dette uttrykket 3^2. Svar: Som et resultat av beregningen får vi 9.

Praktisk bruk

Å være et rent matematisk verktøy, virker det langt fra det virkelige liv som logaritmen plutselig fikk veldig viktigå beskrive objekter virkelige verden. Det er vanskelig å finne en vitenskap der den ikke brukes. Dette gjelder fullt ut ikke bare de naturlige, men også de humanistiske kunnskapsfeltene.

Logaritmiske avhengigheter

Her er noen eksempler på numeriske avhengigheter:

Mekanikk og fysikk

Historisk har mekanikk og fysikk alltid utviklet seg ved hjelp av matematiske metoder forskning og fungerte samtidig som et insentiv for utvikling av matematikk, inkludert logaritmer. Teorien om de fleste fysikkens lover er skrevet på matematikkspråket. Vi gir bare to eksempler på beskrivelsen av fysiske lover ved bruk av logaritmen.

Det er mulig å løse problemet med å beregne en så kompleks mengde som hastigheten til en rakett ved å bruke Tsiolkovsky-formelen, som la grunnlaget for teorien om romutforskning:

V = I * ln(M1/M2), hvor

• V er den endelige hastigheten til flyet.
• I er den spesifikke impulsen til motoren.
• M 1 er startmassen til raketten.
• M 2 - sluttmasse.

Et annet viktig eksempel- dette er bruken i formelen til en annen stor vitenskapsmann, Max Planck, som tjener til å evaluere likevektstilstanden i termodynamikk.

S = k * ln (Ω), hvor

• S er en termodynamisk egenskap.
• k er Boltzmann-konstanten.
• Ω er den statistiske vekten av forskjellige tilstander.

Kjemi

Mindre åpenbart ville være bruken av formler i kjemi som inneholder forholdet mellom logaritmer. Her er bare to eksempler:

• Nernst-ligningen, tilstanden til redokspotensialet til mediet i forhold til aktiviteten til stoffer og likevektskonstanten.
• Beregningen av slike konstanter som autoprolyseindeksen og surheten til løsningen er heller ikke komplett uten vår funksjon.

Psykologi og biologi

Og det er helt uforståelig hva psykologien har med det å gjøre. Det viser seg at sansestyrken er godt beskrevet av denne funksjonen som det omvendte forholdet mellom stimulusintensitetsverdien og den lavere intensitetsverdien.

Etter eksemplene ovenfor er det ikke lenger overraskende at temaet logaritmer også er mye brukt i biologi. Hele bind kan skrives om biologiske former som tilsvarer logaritmiske spiraler.

Andre områder

Det ser ut til at verdens eksistens er umulig uten forbindelse med denne funksjonen, og den styrer alle lover. Spesielt når naturlovene henger sammen med geometrisk progresjon. Det er verdt å henvise til MatProfi-nettstedet, og det er mange slike eksempler på følgende aktivitetsområder:

Listen kan være uendelig. Etter å ha mestret de grunnleggende lovene for denne funksjonen, kan du stupe inn i en verden av uendelig visdom.

Hva er en logaritme?

Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Hva er en logaritme? Hvordan løse logaritmer? Disse spørsmålene forvirrer mange nyutdannede. Tradisjonelt anses temaet logaritmer som komplekst, uforståelig og skummelt. Spesielt - ligninger med logaritmer.

Dette er absolutt ikke sant. Absolutt! Tror du ikke? Fint. Nå, i 10-20 minutter:

1. Forstå hva er en logaritme.

2. Lær å løse en hel klasse eksponentielle ligninger. Selv om du ikke har hørt om dem.

3. Lær å regne ut enkle logaritmer.

Dessuten, for dette trenger du bare å vite multiplikasjonstabellen, og hvordan et tall heves til en potens ...

Jeg føler at du tviler ... Vel, hold tiden! Gå!

Løs først følgende ligning i tankene dine:

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.

Som du vet, når du multipliserer uttrykk med potenser, summeres eksponentene deres alltid (a b * a c = a b + c). Denne matematiske loven ble utledet av Arkimedes, og senere, på 800-tallet, laget matematikeren Virasen en tabell med heltallsindikatorer. Det var de som tjente for videre oppdagelse av logaritmer. Eksempler på bruk av denne funksjonen finnes nesten overalt hvor det kreves å forenkle tungvint multiplikasjon til enkel addisjon. Hvis du bruker 10 minutter på å lese denne artikkelen, vil vi forklare deg hva logaritmer er og hvordan du kan jobbe med dem. Enkelt og tilgjengelig språk.

Definisjon i matematikk

Logaritmen er et uttrykk av følgende form: log a b=c, det vil si logaritmen til evt. ikke-negativt tall(dvs. enhver positiv) "b" til sin grunntall "a" regnes som potensen til "c" som grunntallet "a" må heves til for å endelig få verdien "b". La oss analysere logaritmen ved hjelp av eksempler, la oss si at det er et uttrykk log 2 8. Hvordan finne svaret? Det er veldig enkelt, du må finne en slik grad at fra 2 til den nødvendige graden får du 8. Etter å ha gjort noen beregninger i tankene dine, får vi tallet 3! Og med rette, fordi 2 i 3 potens gir tallet 8 i svaret.

Varianter av logaritmer

For mange elever og studenter virker dette emnet komplisert og uforståelig, men faktisk er logaritmer ikke så skumle, det viktigste er å forstå deres generelle betydning og huske egenskapene deres og noen regler. Det er tre visse typer logaritmiske uttrykk:

1. Naturlig logaritme ln a, der grunntall er Euler-tallet (e = 2,7).
2. Desimal a, der grunntallet er 10.
3. Logaritmen til ethvert tall b til grunntallet a>1.

Hver av dem løses på en standard måte, inkludert forenkling, reduksjon og påfølgende reduksjon til én logaritme ved hjelp av logaritmiske teoremer. For å få de riktige verdiene til logaritmer, bør man huske egenskapene deres og rekkefølgen av handlinger i avgjørelsene deres.

Regler og noen restriksjoner

I matematikk er det flere regler-begrensninger som aksepteres som et aksiom, det vil si at de ikke er gjenstand for diskusjon og er sanne. For eksempel er det umulig å dele tall med null, og det er også umulig å trekke ut roten av en partall grad fra negative tall. Logaritmer har også sine egne regler, og etter disse kan du enkelt lære hvordan du arbeider selv med lange og romslige logaritmiske uttrykk:

• basen "a" må alltid være større enn null, og samtidig ikke være lik 1, ellers vil uttrykket miste sin betydning, fordi "1" og "0" til enhver grad alltid er lik verdiene deres;
• hvis a > 0, så a b > 0, viser det seg at "c" må være større enn null.

Hvordan løse logaritmer?

For eksempel ble oppgaven gitt for å finne svaret på ligningen 10 x \u003d 100. Det er veldig enkelt, du må velge en slik potens ved å øke tallet ti som vi får 100 til. Dette er selvfølgelig 10 2 \u003d 100.

La oss nå representere dette uttrykket som et logaritmisk uttrykk. Vi får log 10 100 = 2. Ved løsning av logaritmer konvergerer alle handlinger praktisk talt for å finne i hvilken grad basen til logaritmen må legges inn for å få et gitt tall.

For nøyaktig å bestemme verdien av en ukjent grad, må du lære å jobbe med en tabell over grader. Det ser slik ut:

Som du kan se, kan noen eksponenter gjettes intuitivt hvis du har en teknisk tankegang og kunnskap om multiplikasjonstabellen. Imidlertid for store verdier du trenger en tabell over grader. Den kan brukes selv av de som ikke forstår noe i det hele tatt i komplekse matematiske emner. Den venstre kolonnen inneholder tall (grunntall a), den øverste raden med tall er verdien av potensen c, som tallet a er hevet til. I skjæringspunktet i cellene bestemmes verdiene til tallene, som er svaret (a c =b). La oss for eksempel ta den aller første cellen med tallet 10 og kvadrere det, vi får verdien 100, som er indikert i skjæringspunktet mellom våre to celler. Alt er så enkelt og lett at selv den mest ekte humanist vil forstå!

Ligninger og ulikheter

Det viser seg at under visse forhold er eksponenten logaritmen. Derfor kan alle matematiske numeriske uttrykk skrives som en logaritmisk ligning. For eksempel kan 3 4 =81 skrives som logaritmen av 81 til grunntallet 3, som er fire (log 3 81 = 4). For negative potenser er reglene de samme: 2 -5 = 1/32 skriver vi som en logaritme, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerende delene av matematikken er temaet "logaritmer". Vi vil vurdere eksempler og løsninger på ligninger litt lavere, umiddelbart etter å ha studert egenskapene deres. La oss nå se på hvordan ulikheter ser ut og hvordan vi kan skille dem fra ligninger.

Et uttrykk av følgende form er gitt: log 2 (x-1) > 3 - det er logaritmisk ulikhet, siden den ukjente verdien "x" er under tegnet til logaritmen. Og også i uttrykket sammenlignes to mengder: logaritmen til det ønskede tallet i base to er større enn tallet tre.

Den viktigste forskjellen mellom logaritmiske likninger og ulikheter er at likninger med logaritmer (for eksempel logaritmen til 2 x = √9) innebærer en eller flere spesifikke tallverdier i svaret, mens når ulikheten løses, vil både rekkevidden av akseptable verdier og poengene som bryter denne funksjonen. Som en konsekvens er svaret ikke et enkelt sett med individuelle tall, som i svaret på ligningen, men en kontinuerlig serie eller sett med tall.

Grunnleggende teoremer om logaritmer

Når du løser primitive oppgaver for å finne verdiene til logaritmen, kan dens egenskaper ikke være kjent. Men når det gjelder logaritmiske ligninger eller ulikheter, er det først og fremst nødvendig å forstå og anvende i praksis alle de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Vi vil bli kjent med eksempler på ligninger senere, la oss først analysere hver egenskap mer detaljert.

1. Den grunnleggende identiteten ser slik ut: a logaB =B. Det gjelder bare hvis a er større enn 0, ikke lik én, og B er større enn null.
2. Logaritmen til produktet kan representeres i følgende formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I dette tilfellet er forutsetningen: d, s 1 og s 2 > 0; a≠1. Du kan gi et bevis for denne formelen av logaritmer, med eksempler og en løsning. La log a s 1 = f 1 og log a s 2 = f 2 , så a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Vi får at s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (gradegenskaper ), og videre per definisjon: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, som skulle bevises.
3. Logaritmen til kvotienten ser slik ut: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teoremet i form av en formel har følgende form: log a q b n = n/q log a b.

Denne formelen kalles "egenskapen til graden av logaritmen". Det ligner egenskapene til vanlige grader, og det er ikke overraskende, fordi all matematikk hviler på vanlige postulater. La oss se på beviset.

La logge a b \u003d t, viser det seg a t \u003d b. Hvis du hever begge deler til potensen m: a tn = b n ;

men siden a tn = (a q) nt/q = b n, derav log a q b n = (n*t)/t, så log a q b n = n/q log a b. Teoremet er bevist.

Eksempler på problemer og ulikheter

De vanligste typene logaritmeproblemer er eksempler på likninger og ulikheter. De finnes i nesten alle oppgavebøker, og inngår også i den obligatoriske delen av eksamen i matematikk. For å gå inn på et universitet eller bestå opptaksprøver i matematikk, må du vite hvordan du løser slike oppgaver riktig.

Dessverre er det ingen enkelt plan eller skjema for å løse og bestemme den ukjente verdien av logaritmen, men visse regler kan brukes på hver matematisk ulikhet eller logaritmisk ligning. Først av alt bør du finne ut om uttrykket kan forenkles eller reduseres til generelt syn. Du kan forenkle lange logaritmiske uttrykk hvis du bruker egenskapene deres riktig. La oss snart bli kjent med dem.

Når du løser logaritmiske ligninger, er det nødvendig å bestemme hva slags logaritme vi har foran oss: et eksempel på et uttrykk kan inneholde en naturlig logaritme eller en desimal.

Her er eksempler ln100, ln1026. Løsningen deres koker ned til det faktum at du må bestemme i hvilken grad basen 10 vil være lik henholdsvis 100 og 1026. For løsninger av naturlige logaritmer må man søke logaritmiske identiteter eller deres egenskaper. La oss se på eksempler på løsning av logaritmiske problemer av ulike typer.

Hvordan bruke logaritmeformler: med eksempler og løsninger

Så, la oss se på eksempler på bruk av hovedsetningene på logaritmer.

1. Egenskapen til logaritmen til produktet kan brukes i oppgaver der det er nødvendig å dekomponere en stor verdi av tallet b i enklere faktorer. For eksempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret er 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, ved å bruke den fjerde egenskapen til logaritmen, klarte vi ved første øyekast å løse et komplekst og uløselig uttrykk. Det er bare nødvendig å faktorisere basen og deretter ta eksponentverdiene ut av fortegnet til logaritmen.

Oppgaver fra eksamen

Logaritmer finnes ofte i opptaksprøver, spesielt mange logaritmiske problemer i Unified State Exam (statlig eksamen for alle skolekandidater). Vanligvis er disse oppgavene til stede ikke bare i del A (den enkleste test del eksamen), men også i del C (de vanskeligste og mest omfangsrike oppgavene). Eksamen innebærer en nøyaktig og perfekt kunnskap om emnet "Naturlige logaritmer".

Eksempler og problemløsninger er hentet fra offisielle BRUK alternativer. La oss se hvordan slike oppgaver løses.

Gitt logg 2 (2x-1) = 4. Løsning:
la oss omskrive uttrykket, forenkle det litt log 2 (2x-1) = 2 2, ved definisjonen av logaritmen får vi at 2x-1 = 2 4, derfor 2x = 17; x = 8,5.

• Alle logaritmer reduseres best til samme base slik at løsningen ikke blir tungvint og uoversiktlig.
• Alle uttrykk under logaritmenes fortegn er indikert som positive, derfor, når man tar ut eksponenten til eksponenten til uttrykket, som er under logaritmens fortegn og som basis, må uttrykket som blir igjen under logaritmen være positivt.