Formel for å multiplisere logaritmer. Definisjon av logaritme, grunnleggende logaritmisk identitet
I dag skal vi snakke om logaritmeformler og gi demonstrasjon eksempler på løsninger.
I seg selv innebærer de løsningsmønstre i henhold til de grunnleggende egenskapene til logaritmer. Før vi bruker logaritmeformlene på løsningen, husker vi først alle egenskapene for deg:
Nå, basert på disse formlene (egenskapene), viser vi eksempler på løsning av logaritmer.
Eksempler på løsning av logaritmer basert på formler.
Logaritme et positivt tall b i grunntall a (betegnet log a b) er eksponenten som a må heves til for å få b, med b > 0, a > 0 og 1.
I følge definisjonen log a b = x, som tilsvarer a x = b, så log a a x = x.
Logaritmer, eksempler:
log 2 8 = 3, fordi 2 3 = 8
log 7 49 = 2 fordi 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, fordi 5 -1 = 1/5
Desimal logaritme er en vanlig logaritme, hvis basis er 10. Angitt som lg.
log 10 100 = 2 fordi 10 2 = 100
naturlig logaritme- også den vanlige logaritmelogaritmen, men med basen e (e \u003d 2,71828 ... - et irrasjonelt tall). Referert til som ln.
Det er ønskelig å huske formlene eller egenskapene til logaritmer, fordi vi vil trenge dem senere når vi skal løse logaritmer, logaritmiske ligninger og ulikheter. La oss gå gjennom hver formel på nytt med eksempler.
- Grunnleggende logaritmisk identitet
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritmen til produktet er lik summen av logaritmene
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritmen til kvotienten er lik differansen til logaritmene
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Egenskaper for graden av et logaritmerbart tall og basisen til logaritmen
Eksponenten for et logaritmetall log a b m = mlog a b
Eksponent for basen til logaritmen log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
hvis m = n, får vi log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Overgang til ny stiftelse
log a b = log c b / log c a,hvis c = b, får vi log b b = 1
så log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Som du kan se, er ikke logaritmeformlene så kompliserte som de ser ut til. Nå, etter å ha vurdert eksempler på løsning av logaritmer, kan vi gå videre til logaritmiske ligninger. Vi vil vurdere eksempler på løsning av logaritmiske ligninger mer detaljert i artikkelen: "". Ikke gå glipp!
Hvis du fortsatt har spørsmål om løsningen, skriv dem i kommentarene til artikkelen.
Merk: bestemte seg for å få en utdanning av en annen klasse studere i utlandet som et alternativ.
La oss begynne med egenskapene til enhetslogaritmen. Formuleringen er som følger: logaritmen av enhet er lik null, det vil si, logg a 1=0 for enhver a>0, a≠1. Beviset er enkelt: siden a 0 =1 for enhver a som tilfredsstiller betingelsene ovenfor a>0 og a≠1, følger den påviste likhetsloggen a 1=0 umiddelbart av definisjonen av logaritmen.
La oss gi eksempler på bruk av den vurderte egenskapen: log 3 1=0 , lg1=0 og .
La oss gå videre til neste eiendom: logaritmen til et tall lik grunntall er lik en, det er, log a a=1 for a>0, a≠1. Faktisk, siden a 1 =a for en hvilken som helst a , så logaritmen logaritmen a a = 1 .
Eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer er log 5 5=1 , log 5.6 5.6 og lne=1 .
For eksempel log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 og 
.
Logaritme av produktet av to positive tall x og y er lik produktet av logaritmene til disse tallene: log a (x y)=logg a x+log a y, a>0, a≠1. La oss bevise egenskapen til logaritmen til produktet. På grunn av gradens egenskaper a log a x+log a y =a log a x a log a y, og siden ved den logaritmiske hovedidentiteten a log a x =x og en log a y =y , så en log a x a log a y =x y . Således, a log a x+log a y =x y, hvorav den nødvendige likheten følger av definisjonen av logaritmen.
La oss vise eksempler på bruk av egenskapen til logaritmen til produktet: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 og 
.
Produktlogaritmeegenskapen kan generaliseres til produktet av et endelig antall n av positive tall x 1 , x 2 , …, x n som log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +...+ log a x n . Denne likheten er lett bevist.
For eksempel kan den naturlige logaritmen til et produkt erstattes med summen av tre naturlige logaritmer tall 4, e og .
Logaritme av kvotienten til to positive tall x og y er lik forskjellen mellom logaritmene til disse tallene. Kvotientlogaritmeegenskapen tilsvarer en formel på formen , der a>0 , a≠1 , x og y er noen positive tall. Gyldigheten av denne formelen er bevist som formelen for logaritmen til produktet: siden 
, da etter definisjonen av logaritmen .
Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen til logaritmen: 
.
La oss gå videre til egenskapen til gradlogaritmen. Logaritmen til en grad er lik produktet av eksponenten og logaritmen til modulen til basisen til denne graden. Vi skriver denne egenskapen til logaritmen til graden i form av en formel: log a b p =p log a |b|, hvor a>0 , a≠1 , b og p er tall slik at graden av b p gir mening og b p >0 .
Vi beviser først denne egenskapen for positiv b . Den grunnleggende logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b , deretter er b p =(a log a b) p , og det resulterende uttrykket, på grunn av potensegenskapen, er lik a p log a b . Så vi kommer til likheten b p =a p log a b , hvorfra vi ved definisjonen av logaritmen konkluderer med at log a b p =p log a b .
Det gjenstår å bevise denne egenskapen for negativ b . Her legger vi merke til at uttrykket log a b p for negativ b gir mening bare for like eksponenter p (siden verdien av graden b p må være større enn null, ellers vil ikke logaritmen gi mening), og i dette tilfellet b p =|b| s. Deretter b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, hvorfra log a b p =p log a |b| .
For eksempel, 
og ln(-3)4=4 ln|-3|=4 ln3.
Det følger av forrige eiendom egenskapen til logaritmen fra roten: logaritmen til roten av den n-te graden er lik produktet av brøken 1/n og logaritmen til rotuttrykket, det vil si, 
, hvor a>0 , a≠1 , n er et naturlig tall større enn én, b>0 .
Beviset er basert på likheten (se ), som er gyldig for enhver positiv b , og egenskapen til logaritmen til graden: 
.
Her er et eksempel på bruk av denne egenskapen: 
.
La oss nå bevise konverteringsformel til den nye basen av logaritmen snill 
. For å gjøre dette er det tilstrekkelig å bevise gyldigheten av likhetsloggen c b=log a b log c a . Den grunnleggende logaritmiske identiteten lar oss representere tallet b som en log a b , deretter log c b=log c a log a b . Det gjenstår å bruke egenskapen til logaritmen til graden: log c a log a b = log a b log c a. Dermed er likhetsloggen c b=log a b log c a bevist, noe som betyr at formelen for overgangen til en ny base av logaritmen også er bevist.
La oss vise et par eksempler på bruk av denne egenskapen til logaritmer: og 
.
Formelen for å flytte til en ny base lar deg gå videre til å jobbe med logaritmer som har en "praktisk" base. For eksempel kan den brukes til å bytte til naturlige eller desimale logaritmer slik at du kan beregne verdien av logaritmen fra tabellen over logaritmer. Formelen for overgangen til en ny base av logaritmen tillater også i noen tilfeller å finne verdien til en gitt logaritme, når verdiene til noen logaritmer med andre baser er kjent.
Brukes ofte spesielt tilfelle formler for overgangen til en ny base av logaritmen for c=b av formen 
. Dette viser at log a b og log b a – . f.eks. 
.
Også ofte brukt er formelen 
, som er nyttig for å finne logaritmeverdier. For å bekrefte ordene våre, vil vi vise hvordan verdien av logaritmen til skjemaet beregnes ved å bruke den. Vi har 
. For å bevise formelen 
det er nok å bruke overgangsformelen til den nye basen av logaritmen a: 
.
Det gjenstår å bevise sammenligningsegenskapene til logaritmer.
La oss bevise at for alle positive tall b 1 og b 2, b 1 log a b 2, og for a>1, ulikheten log a b 1 Til slutt gjenstår det å bevise den siste av de listede egenskapene til logaritmer. Vi begrenser oss til å bevise dens første del, det vil si at vi beviser at hvis en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 er sann log a 1 b>log a 2 b . De resterende utsagnene av denne egenskapen til logaritmer er bevist av et lignende prinsipp. La oss bruke den motsatte metoden. Anta at for en 1 >1, en 2 >1 og en 1 1 log a 1 b≤log a 2 b er sann. Ved hjelp av egenskapene til logaritmene kan disse ulikhetene omskrives som 
Og 
henholdsvis, og av dem følger det at henholdsvis log b a 1 ≤log b a 2 og log b a 1 ≥log b a 2. Deretter, ved egenskapene til potenser med samme base, må likhetene b log b a 1 ≥b log b a 2 og b log b a 1 ≥b log b a 2 være tilfredsstilt, det vil si a 1 ≥a 2 . Dermed har vi kommet til en motsetning til betingelsen a 1
Bibliografi.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for søkere til tekniske skoler).
Personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Vennligst les vår personvernerklæring og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Følgende er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende deg viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende insentiv, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Offentliggjøring til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjon mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- I tilfelle det er nødvendig - i samsvar med loven, rettsorden, i rettslige prosesser og / eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra statlige organer på territoriet til den russiske føderasjonen - avslør din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre formål av allmenn interesse.
- Ved en omorganisering, fusjon eller salg kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til den aktuelle tredjeparts etterfølgeren.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt mot uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Opprettholde personvernet ditt på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetspraksis til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
Logaritme av b (b > 0) til grunntall a (a > 0, a ≠ 1) er eksponenten du må heve tallet a til for å få b.
Grunntallet 10 logaritmen til b kan skrives som logg(b), og logaritmen til grunntallet e (naturlig logaritme) - ln(b).
Ofte brukt når du løser problemer med logaritmer:
Egenskaper til logaritmer
Det er fire hoved egenskapene til logaritmer.
La a > 0, a ≠ 1, x > 0 og y > 0.
Egenskap 1. Logaritme av produktet
Logaritme av produktet er lik summen av logaritmer:
log a (x ⋅ y) = log a x + log a y
Egenskap 2. Logaritme av kvotienten
Logaritme av kvotienten er lik forskjellen av logaritmer:
log a (x / y) = log a x – log a y
Egenskap 3. Logaritme av graden
Gradslogaritme er lik produktet av graden og logaritmen:
Hvis basen til logaritmen er i eksponenten, gjelder en annen formel:
Egenskap 4. Logaritme av roten
Denne egenskapen kan fås fra egenskapen til logaritmen til graden, siden roten av den n-te graden er lik potensen 1/n:
Formelen for å gå fra en logaritme i en base til en logaritme i en annen base
Denne formelen brukes også ofte når du løser ulike oppgaver for logaritmer:
Spesielt tilfelle:
Sammenligning av logaritmer (ulikheter)
Anta at vi har 2 funksjoner f(x) og g(x) under logaritmer med samme base og det er et ulikhetstegn mellom dem:
For å sammenligne dem, må du først se på bunnen av logaritmene a:
- Hvis a > 0, så f(x) > g(x) > 0
- Hvis 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)
Hvordan løse problemer med logaritmer: eksempler
Oppgaver med logaritmer inngår i BRUK i matematikk for klasse 11 i oppgave 5 og oppgave 7, kan du finne oppgaver med løsninger på våre nettsider i de aktuelle avsnittene. Også oppgaver med logaritmer finnes i oppgavebanken i matematikk. Du finner alle eksemplene ved å søke på nettstedet.
Hva er en logaritme
Logaritmer har alltid vært ansett som et vanskelig tema i skolens matematikkkurs. Det finnes mange forskjellige definisjoner av logaritmen, men av en eller annen grunn bruker de fleste lærebøker den mest komplekse og uheldige av dem.
Vi vil definere logaritmen enkelt og tydelig. La oss lage en tabell for dette:
Så vi har to krefter.
Logaritmer - egenskaper, formler, hvordan løses
Hvis du tar tallet fra bunnlinjen, kan du enkelt finne kraften du må heve en toer til for å få dette tallet. For eksempel, for å få 16, må du heve to til den fjerde potensen. Og for å få 64, må du heve to til sjette potens. Dette kan sees fra tabellen.
Og nå - faktisk, definisjonen av logaritmen:
base a av argumentet x er potensen som tallet a må heves til for å få tallet x.
Notasjon: logg a x \u003d b, der a er basen, x er argumentet, b er faktisk det logaritmen er lik.
For eksempel, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (grunntall 2-logaritmen av 8 er tre fordi 2 3 = 8). Kan like gjerne logge 2 64 = 6, siden 2 6 = 64.
Operasjonen med å finne logaritmen til et tall til en gitt base kalles. Så la oss legge til en ny rad i tabellen vår:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
Dessverre er ikke alle logaritmer vurdert så lett. Prøv for eksempel å finne log 2 5. Tallet 5 er ikke i tabellen, men logikken tilsier at logaritmen vil ligge et sted på segmentet. Fordi 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Slike tall kalles irrasjonelle: tallene etter desimaltegn kan skrives i det uendelige, og de gjentas aldri. Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, er det bedre å la det være slik: log 2 5, log 3 8, log 5 100.
Det er viktig å forstå at logaritmen er et uttrykk med to variabler (grunnlag og argument). Til å begynne med forvirrer mange mennesker hvor basen er og hvor argumentasjonen er. For å unngå irriterende misforståelser er det bare å ta en titt på bildet:
Foran oss er ikke noe mer enn definisjonen av logaritmen. Huske: logaritmen er potensen, som du må heve grunnlaget til for å få argumentet. Det er basen som er hevet til en potens – på bildet er den uthevet i rødt. Det viser seg at basen alltid er nederst! Jeg forteller denne fantastiske regelen til elevene mine allerede i den første leksjonen - og det er ingen forvirring.
Hvordan telle logaritmer
Vi fant ut definisjonen - det gjenstår å lære å telle logaritmer, dvs. bli kvitt "logg"-tegnet. Til å begynne med merker vi at to viktige fakta følger av definisjonen:
- Argumentet og grunnlaget må alltid være større enn null. Dette følger av definisjonen av graden ved en rasjonell eksponent, som definisjonen av logaritmen reduseres til.
- Basen må være forskjellig fra enhet, siden en enhet til enhver kraft fortsatt er en enhet. På grunn av dette er spørsmålet "til hvilken makt må man heves for å få to" meningsløst. Det er ingen slik grad!
Slike restriksjoner kalles gyldig område(ODZ). Det viser seg at ODZ til logaritmen ser slik ut: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Merk at det ikke er noen begrensninger på at tallet b (verdien av logaritmen) ikke er pålagt. For eksempel kan logaritmen godt være negativ: log 2 0,5 = −1, fordi 0,5 = 2 −1 .
Men nå vurderer vi bare numeriske uttrykk, der det ikke er nødvendig å kjenne ODZ til logaritmen. Alle begrensninger er allerede tatt i betraktning av kompilatorene av problemene. Men når logaritmiske ligninger og ulikheter spiller inn, vil DHS-kravene bli obligatoriske. I grunnlaget og argumentasjonen kan det faktisk være veldig sterke konstruksjoner, som ikke nødvendigvis samsvarer med begrensningene ovenfor.
Vurder nå generell ordning logaritmeberegninger. Den består av tre trinn:
- Uttrykk grunntallet a og argumentet x som en potens med minst mulig grunntall større enn én. Underveis er det bedre å kvitte seg med desimalbrøker;
- Løs ligningen for variabelen b: x = a b ;
- Det resulterende tallet b vil være svaret.
Det er alt! Hvis logaritmen viser seg å være irrasjonell, vil dette sees allerede ved første trinn. Kravet om at grunnlaget skal være større enn én er svært relevant: dette reduserer sannsynligheten for feil og forenkler beregningene betydelig. Tilsvarende med desimalbrøker: hvis du umiddelbart konverterer dem til vanlige, vil det være mange ganger færre feil.
La oss se hvordan denne ordningen fungerer med spesifikke eksempler:
Oppgave. Regn ut logaritmen: log 5 25
- La oss representere grunnlaget og argumentet som en potens av fem: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
- Fikk svar: 2.
La oss lage og løse ligningen:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
Oppgave. Regn ut logaritmen:
Oppgave. Regn ut logaritmen: log 4 64
- La oss representere basen og argumentet som en potens av to: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
- La oss lage og løse ligningen:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3; - Fikk svar: 3.
Oppgave. Regn ut logaritmen: log 16 1
- La oss representere basen og argumentet som en potens av to: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
- La oss lage og løse ligningen:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0; - Fikk svar: 0.
Oppgave. Regn ut logaritmen: log 7 14
- La oss representere basen og argumentet som en potens av syv: 7 = 7 1 ; 14 er ikke representert som en potens av syv, fordi 7 1< 14 < 7 2 ;
- Det følger av forrige avsnitt at logaritmen ikke vurderes;
- Svaret er ingen endring: logg 7 14.
En liten merknad til siste eksempel. Hvordan sikre at et tall ikke er en eksakt potens av et annet tall? Veldig enkelt - bare dekomponer det i hovedfaktorer. Hvis det er minst to forskjellige faktorer i utvidelsen, er ikke tallet en eksakt potens.
Oppgave. Finn ut om de nøyaktige potensene til tallet er: 8; 48; 81; 35; 14.
8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - den nøyaktige graden, fordi det er bare én multiplikator;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 er ikke en eksakt potens fordi det er to faktorer: 3 og 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - nøyaktig grad;
35 = 7 5 - igjen ikke en eksakt grad;
14 \u003d 7 2 - igjen ikke en eksakt grad;
Vi merker også at vi primtall er alltid eksakte krefter av seg selv.
Desimal logaritme
Noen logaritmer er så vanlige at de har et spesielt navn og betegnelse.
av x-argumentet er base 10-logaritmen, dvs. potensen som 10 må heves til for å oppnå x. Betegnelse: lgx.
For eksempel log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - osv.
Fra nå av, når en setning som "Finn lg 0.01" vises i læreboken, må du vite at dette ikke er en skrivefeil. Dette er desimallogaritmen. Men hvis du ikke er vant til en slik betegnelse, kan du alltid skrive den om:
log x = log 10 x
Alt som er sant for vanlige logaritmer, er også sant for desimaler.
naturlig logaritme
Det er en annen logaritme som har sin egen notasjon. På en måte er det enda viktigere enn desimal. Det handler om om den naturlige logaritmen.
av x-argumentet er logaritmen til grunntallet e, dvs. potensen som tallet e må heves til for å få tallet x. Betegnelse: lnx.
Mange vil spørre: hva er tallet e? Dette er et irrasjonelt tall eksakt verdi umulig å finne og registrere. Her er bare de første tallene:
e = 2,718281828459 …
Vi skal ikke gå nærmere inn på hva dette tallet er og hvorfor det trengs. Bare husk at e er grunnlaget for den naturlige logaritmen:
ln x = log e x
Således ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - osv. På den annen side er ln 2 et irrasjonelt tall. Generelt er den naturlige logaritmen til ethvert rasjonelt tall irrasjonal. Bortsett fra, selvfølgelig, enhet: ln 1 = 0.
For naturlige logaritmer er alle reglene som er sanne for vanlige logaritmer gyldige.
Se også:
Logaritme. Egenskaper til logaritmen (styrken til logaritmen).
Hvordan representere et tall som en logaritme?
Vi bruker definisjonen av en logaritme.
Logaritmen er en indikator på potensen som grunntallet må heves til for å få tallet under logaritmens fortegn.
Derfor, for å representere et visst tall c som en logaritme til grunntallet a, må du sette en grad med samme grunntall som logaritmen under fortegnet til logaritmen, og skrive dette tallet c inn i eksponenten:
I form av en logaritme kan du representere absolutt et hvilket som helst tall - positivt, negativt, heltall, brøk, rasjonelt, irrasjonelt:
For ikke å forveksle a og c under stressende forhold under en test eller eksamen, kan du bruke følgende regel for å huske:
det som er under går ned, det som er over går opp.
For eksempel vil du representere tallet 2 som en logaritme til grunntallet 3.
Vi har to tall - 2 og 3. Disse tallene er grunntallet og eksponenten, som vi skal skrive under logaritmens fortegn. Det gjenstår å bestemme hvilke av disse tallene som skal skrives ned, i bunnen av graden, og hvilke - opp, i eksponenten.
Grunntallet 3 i registreringen av logaritmen er nederst, noe som betyr at når vi representerer toeren som en logaritme til grunntallet på 3, vil vi også skrive 3 ned til grunntallet.
2 er høyere enn 3. Og i notasjonen av graden skriver vi de to over de tre, det vil si i eksponenten:
Logaritmer. Første nivå.
Logaritmer
logaritme positivt tall b av grunn en, Hvor a > 0, a ≠ 1, er eksponenten som tallet må heves til. en, For å oppnå b.
Definisjon av logaritme kan kort skrives slik:
Denne likestillingen gjelder for b > 0, a > 0, a ≠ 1. Han kalles vanligvis logaritmisk identitet.
Handlingen med å finne logaritmen til et tall kalles logaritme.
Egenskaper til logaritmer:
Logaritmen til produktet:
Logaritme av kvotienten fra divisjon:
Bytte ut basen til logaritmen:
Gradslogaritme:
rotlogaritme:
Logaritme med potensbase:
Desimal og naturlige logaritmer.
Desimal logaritme tall kaller basis 10-logaritmen til det tallet og skriver lg b
naturlig logaritme tall kaller logaritmen til dette tallet til basen e, Hvor e er et irrasjonelt tall, omtrent lik 2,7. Samtidig skriver de ln b.
Andre merknader om algebra og geometri
Grunnleggende egenskaper ved logaritmer
Grunnleggende egenskaper ved logaritmer
Logaritmer, som alle tall, kan legges til, trekkes fra og konverteres på alle mulige måter. Men siden logaritmer ikke er helt vanlige tall, er det regler her, som kalles grunnleggende egenskaper.
Disse reglene må være kjent - ingen alvorlige logaritmiske problemer kan løses uten dem. I tillegg er det svært få av dem – alt kan læres på en dag. Så la oss komme i gang.
Addisjon og subtraksjon av logaritmer
Tenk på to logaritmer med samme grunntall: logg a x og logg a y. Deretter kan de legges til og trekkes fra, og:
- log a x + log a y = log a (x y);
- log a x - log a y = log a (x: y).
Så summen av logaritmene er lik logaritmen til produktet, og forskjellen er logaritmen til kvotienten. Vennligst merk: nøkkelen her er - samme grunn. Hvis grunnlagene er forskjellige, fungerer ikke disse reglene!
Disse formlene vil hjelpe deg å beregne logaritmisk uttrykk selv når dens individuelle deler ikke vurderes (se leksjonen "Hva er en logaritme"). Ta en titt på eksemplene og se:
logg 6 4 + logg 6 9.
Siden basisene til logaritmene er de samme, bruker vi sumformelen:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 2 48 − log 2 3.
Basene er de samme, vi bruker forskjellsformelen:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 3 135 − log 3 5.
Igjen, basene er de samme, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Som du kan se, er de opprinnelige uttrykkene bygd opp av "dårlige" logaritmer, som ikke vurderes separat. Men etter transformasjoner viser ganske normale tall seg. Basert på dette faktum, mange testpapirer. Ja, kontroll - lignende uttrykk i fullt alvor (noen ganger - med praktisk talt ingen endringer) tilbys på eksamen.
Fjerne eksponenten fra logaritmen
La oss nå komplisere oppgaven litt. Hva om det er en grad i basen eller argumentet til logaritmen? Deretter kan eksponenten for denne graden tas ut av logaritmens fortegn i henhold til følgende regler:
Det er lett å se det siste regel følger de to første. Men det er bedre å huske det uansett - i noen tilfeller vil det redusere mengden beregninger betydelig.
Selvfølgelig gir alle disse reglene mening hvis ODZ-logaritmen blir observert: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Og en ting til: lær å bruke alle formler ikke bare fra venstre til høyre, men også omvendt, dvs. du kan legge inn tallene før tegnet for logaritmen i selve logaritmen.
Hvordan løse logaritmer
Dette er det som oftest kreves.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 7 49 6 .
La oss bli kvitt graden i argumentet i henhold til den første formelen:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12
Oppgave. Finn verdien av uttrykket:
Merk at nevneren er en logaritme hvis grunntall og argument er eksakte potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Vi har:
Jeg tror det siste eksemplet trenger avklaring. Hvor har logaritmene blitt av? Helt til siste øyeblikk jobber vi kun med nevneren. De presenterte basen og argumentet for logaritmen som sto der i form av grader og tok ut indikatorene - de fikk en "tre-etasjers" brøk.
La oss nå se på hovedbrøken. Telleren og nevneren har samme tall: log 2 7. Siden log 2 7 ≠ 0, kan vi redusere brøken - 2/4 vil forbli i nevneren. I henhold til reglene for regnestykket kan de fire overføres til telleren, noe som ble gjort. Resultatet er svaret: 2.
Overgang til ny stiftelse
Når jeg snakker om reglene for å addere og subtrahere logaritmer, la jeg spesielt vekt på at de bare fungerer med de samme basene. Hva om basene er forskjellige? Hva om de ikke er nøyaktige potenser av samme tall?
Formler for overgang til en ny base kommer til unnsetning. Vi formulerer dem i form av et teorem:
La det bli gitt logaritmeloggøks. Så for et hvilket som helst tall c slik at c > 0 og c ≠ 1, er likheten sann:
Spesielt hvis vi setter c = x, får vi:
Det følger av den andre formelen at det er mulig å bytte ut basen og argumentet til logaritmen, men i dette tilfellet blir hele uttrykket "snudd", dvs. logaritmen er i nevneren.
Disse formlene finnes sjelden i vanlige numeriske uttrykk. Det er mulig å vurdere hvor praktiske de er bare når man løser logaritmiske ligninger og ulikheter.
Det er imidlertid oppgaver som ikke kan løses i det hele tatt bortsett fra å flytte til en ny stiftelse. La oss vurdere et par av disse:
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 5 16 log 2 25.
Merk at argumentene til begge logaritmene er eksakte eksponenter. La oss ta ut indikatorene: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
La oss nå snu den andre logaritmen:
Siden produktet ikke endres fra permutasjon av faktorer, multipliserte vi rolig fire og to, og fant deretter ut logaritmene.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket: log 9 100 lg 3.
Grunnlaget og argumentet til den første logaritmen er eksakte potenser. La oss skrive det ned og bli kvitt indikatorene:
La oss nå bli kvitt desimallogaritmen ved å flytte til en ny base:
Grunnleggende logaritmisk identitet
Ofte i prosessen med å løse er det nødvendig å representere et tall som en logaritme til en gitt base.
I dette tilfellet vil formlene hjelpe oss:
I det første tilfellet blir tallet n eksponenten i argumentet. Tallet n kan være absolutt hva som helst, fordi det bare er verdien av logaritmen.
Den andre formelen er faktisk en omskrevet definisjon. Det heter slik:
Ja, hva vil skje hvis tallet b heves til en slik grad at tallet b i denne graden gir tallet a? Det stemmer: dette er det samme tallet a. Les dette avsnittet nøye igjen - mange mennesker "henger" på det.
I likhet med de nye formlene for basekonvertering er den grunnleggende logaritmiske identiteten noen ganger den eneste mulige løsningen.
Oppgave. Finn verdien av uttrykket:
Legg merke til at log 25 64 = log 5 8 - tok bare ut kvadratet fra grunnflaten og argumentet til logaritmen. Gitt reglene for å multiplisere potenser med samme grunntall, får vi:
Hvis noen ikke vet, var dette en skikkelig oppgave fra Unified State Examination 🙂
Logaritmisk enhet og logaritmisk null
Avslutningsvis vil jeg gi to identiteter som er vanskelige å kalle egenskaper – snarere er dette konsekvenser fra definisjonen av logaritmen. De blir stadig funnet i problemer og skaper overraskende problemer selv for "avanserte" elever.
- log a a = 1 er. Husk en gang for alle: logaritmen til en hvilken som helst base a fra selve basen er lik én.
- log a 1 = 0 er. Grunnlaget a kan være hva som helst, men hvis argumentet er ett, er logaritmen null! Fordi en 0 = 1 er en direkte konsekvens av definisjonen.
Det er alle egenskapene. Sørg for å trene på å sette dem ut i livet! Last ned juksearket i begynnelsen av leksjonen, skriv det ut og løs oppgavene.
\(a^(b)=c\) \(\venstrepil\) \(\log_(a)(c)=b\)
La oss forklare det lettere. For eksempel er \(\log_(2)(8)\) lik potensen \(2\) må heves til for å få \(8\). Fra dette er det klart at \(\log_(2)(8)=3\).
|
Eksempler: |
\(\log_(5)(25)=2\) |
fordi \(5^(2)=25\) |
||
|
\(\log_(3)(81)=4\) |
fordi \(3^(4)=81\) |
|||
|
\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\) |
fordi \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\) |
Argument og basis for logaritmen
Enhver logaritme har følgende "anatomi":
Argumentet til logaritmen skrives vanligvis på sitt nivå, og basen skrives i sænket skrift nærmere fortegnet til logaritmen. Og denne oppføringen leses slik: "logaritmen av tjuefem til grunntallet av fem."
Hvordan beregne logaritmen?
For å regne ut logaritmen må du svare på spørsmålet: i hvilken grad bør grunnlaget heves for å få argumentet?
For eksempel, beregn logaritmen: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)
a) Til hvilken kraft må \(4\) heves for å få \(16\)? Tydeligvis den andre. Derfor:
\(\log_(4)(16)=2\)
\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)
c) Til hvilken styrke må \(\sqrt(5)\) heves for å få \(1\)? Og hvilken grad gjør ethvert tall til en enhet? Null, selvfølgelig!
\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)
d) Til hvilken makt må \(\sqrt(7)\) heves for å få \(\sqrt(7)\)? I den første - et hvilket som helst tall i første grad er lik seg selv.
\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)
e) Til hvilken makt må \(3\) heves for å få \(\sqrt(3)\)? Fra vi vet at det er en brøkkraft, som betyr Kvadratrot er graden \(\frac(1)(2)\) .
\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)
Eksempel : Beregn logaritmen \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)
Løsning :
|
\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\) |
Vi må finne verdien av logaritmen, la oss betegne den som x. La oss nå bruke definisjonen av logaritmen: |
|
|
\((4\sqrt(2))^(x)=8\) |
Hva kobler \(4\sqrt(2)\) og \(8\)? To, fordi begge tallene kan representeres av toere: |
|
|
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\) |
Til venstre bruker vi gradegenskapene: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) og \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\) |
|
|
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\) |
Basene er like, vi fortsetter til likheten av indikatorer |
|
|
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\) |
|
Multipliser begge sider av ligningen med \(\frac(2)(5)\) |
|
|
Den resulterende roten er verdien av logaritmen |
Svar : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)
Hvorfor ble logaritmen oppfunnet?
For å forstå dette, la oss løse ligningen: \(3^(x)=9\). Bare match \(x\) for å få likestillingen til å fungere. Selvfølgelig \(x=2\).
Løs nå ligningen: \(3^(x)=8\) Hva er x lik? Det er poenget.
Den mest geniale vil si: «X er litt mindre enn to». Hvordan skal dette tallet skrives? For å svare på dette spørsmålet kom de opp med logaritmen. Takket være ham kan svaret her skrives som \(x=\log_(3)(8)\).
Jeg vil understreke at \(\log_(3)(8)\), samt enhver logaritme er bare et tall. Ja, det ser uvanlig ut, men det er kort. For hvis vi ønsket å skrive det som en desimal, ville det sett slik ut: \(1.892789260714.....\)
Eksempel : Løs ligningen \(4^(5x-4)=10\)
Løsning :
|
\(4^(5x-4)=10\) |
\(4^(5x-4)\) og \(10\) kan ikke reduseres til samme base. Så her kan du ikke klare deg uten logaritmen. La oss bruke definisjonen av logaritmen: |
|
|
\(\log_(4)(10)=5x-4\) |
Vend ligningen slik at x er til venstre |
|
|
\(5x-4=\log_(4)(10)\) |
Før oss. Flytt \(4\) til høyre. Og ikke vær redd for logaritmen, behandle det som et normalt tall. |
|
|
\(5x=\log_(4)(10)+4\) |
Del ligningen med 5 |
|
|
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\) |
|
Her er roten vår. Ja, det ser uvanlig ut, men svaret er ikke valgt. |
Svar : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)
Desimal og naturlige logaritmer
Som angitt i definisjonen av logaritmen, kan basen være hvilken som helst positivt tall, bortsett fra enheten \((a>0, a\neq1)\). Og blant alle mulige baser er det to som forekommer så ofte at en spesiell kort notasjon ble oppfunnet for logaritmer med dem:
Naturlig logaritme: en logaritme hvis basis er Euler-tallet \(e\) (lik ca. \(2.7182818...\)), og logaritmen skrives som \(\ln(a)\).
Det er, \(\ln(a)\) er det samme som \(\log_(e)(a)\)
Desimallogaritme: En logaritme hvis grunntall er 10 skrives \(\lg(a)\).
Det er, \(\lg(a)\) er det samme som \(\log_(10)(a)\), hvor \(a\) er et tall.
Grunnleggende logaritmisk identitet
Logaritmer har mange egenskaper. En av dem heter "Basic logaritmic identitet" og ser slik ut:
| \(a^(\log_(a)(c))=c\) |
Denne egenskapen følger direkte av definisjonen. La oss se hvordan nøyaktig denne formelen så ut.
La oss huske kort notat logaritmedefinisjoner:
hvis \(a^(b)=c\), så \(\log_(a)(c)=b\)
Det vil si at \(b\) er det samme som \(\log_(a)(c)\). Da kan vi skrive \(\log_(a)(c)\) i stedet for \(b\) i formelen \(a^(b)=c\) . Det viste seg at \(a^(\log_(a)(c))=c\) - den logaritmiske hovedidentiteten.
Du kan finne resten av egenskapene til logaritmer. Med deres hjelp kan du forenkle og beregne verdiene til uttrykk med logaritmer, som er vanskelige å beregne direkte.
Eksempel : Finn verdien til uttrykket \(36^(\log_(6)(5))\)
Løsning :
Svar : \(25\)
Hvordan skrive et tall som en logaritme?
Som nevnt ovenfor er enhver logaritme bare et tall. Det motsatte er også sant: ethvert tall kan skrives som en logaritme. For eksempel vet vi at \(\log_(2)(4)\) er lik to. Da kan du skrive \(\log_(2)(4)\) i stedet for to.
Men \(\log_(3)(9)\) er også lik \(2\), så du kan også skrive \(2=\log_(3)(9)\) . Tilsvarende med \(\log_(5)(25)\), og med \(\log_(9)(81)\), etc. Det vil si, viser det seg
\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)
Hvis vi trenger det, kan vi altså skrive de to som en logaritme med hvilken som helst base hvor som helst (selv i en ligning, til og med i et uttrykk, til og med i en ulikhet) - vi skriver bare kvadratbasen som et argument.
Det er det samme med en trippel - den kan skrives som \(\log_(2)(8)\), eller som \(\log_(3)(27)\), eller som \(\log_(4)( 64) \) ... Her skriver vi basen i kuben som et argument:
\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)
Og med fire:
\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)
Og med minus en:
\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)
Og med en tredjedel:
\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)
Ethvert tall \(a\) kan representeres som en logaritme med grunntallet \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)
Eksempel : Finn verdien av et uttrykk \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)
Løsning :
Svar : \(1\)
