hjem › Crash Test Auto › De minste og største verdiene til en funksjon på et segment. Hvordan finne den største verdien av en funksjon

De minste og største verdiene til en funksjon på et segment. Hvordan finne den største verdien av en funksjon

La funksjonen y=f(X) kontinuerlig på segmentet [ a, b]. Som kjent når en slik funksjon sine maksimale og minimumsverdier i dette intervallet. Funksjonen kan ta disse verdiene enten ved et indre punkt i segmentet [ a, b], eller på grensen til segmentet.

For å finne de største og minste verdiene av en funksjon på intervallet [ a, b] nødvendig:

1) finn de kritiske punktene til funksjonen i intervallet ( a, b);

2) beregne verdiene til funksjonen ved de funnet kritiske punktene;

3) beregn verdiene til funksjonen i enden av segmentet, det vil si for x=EN og x = b;

4) fra alle de beregnede verdiene til funksjonen, velg den største og minste.

Eksempel. Finn de største og minste verdiene til en funksjon

på segmentet.

Finn kritiske punkter:

Disse punktene ligger inne i segmentet; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

på punktet x= 3 og på punktet x= 0.

Undersøkelse av en funksjon for konveksitet og et bøyningspunkt.

Funksjon y = f (x) kalt konveks imellom (en, b) , hvis grafen ligger under en tangent tegnet på et hvilket som helst punkt i dette intervallet, og kalles konveks ned (konkav) hvis grafen ligger over tangenten.

Punktet ved overgangen der konveksiteten erstattes med konkavitet eller omvendt kalles bøyningspunkt.

Algoritme for å studere for konveksitet og bøyningspunkt:

1. Finn de kritiske punktene av den andre typen, det vil si punktene der den andrederiverte er lik null eller ikke eksisterer.

2. Sett kritiske punkter på tallinjen, del den inn i intervaller. Finn tegnet til den andre deriverte på hvert intervall; hvis , så er funksjonen konveks oppover, hvis, så er funksjonen konveks nedover.

3. Hvis den, når den passerer gjennom et kritisk punkt av den andre typen, skifter fortegn og på dette punktet er den andre deriverte lik null, så er dette punktet abscissen til bøyningspunktet. Finn ordinaten.

Asymptoter av grafen til en funksjon. Undersøkelse av en funksjon i asymptoter.

Definisjon. Asymptoten til grafen til en funksjon kalles rett, som har egenskapen at avstanden fra et hvilket som helst punkt i grafen til denne linjen har en tendens til null med en ubegrenset fjerning av grafpunktet fra origo.

Det er tre typer asymptoter: vertikal, horisontal og skråstilt.

Definisjon. Ringte direkte vertikal asymptote funksjonsgraf y = f(x), hvis minst en av de ensidige grensene for funksjonen på dette punktet er lik uendelig, dvs.

hvor er diskontinuitetspunktet til funksjonen, det vil si at den ikke tilhører definisjonsdomenet.

Eksempel.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - bruddpunkt.

Definisjon. Rett y=EN kalt horisontal asymptote funksjonsgraf y = f(x) kl, hvis

Eksempel.

x
y

Definisjon. Rett y=kx +b (k≠ 0) kalles skrå asymptote funksjonsgraf y = f(x) hvor

Generelt opplegg for studiet av funksjoner og plotting.

Funksjonsforskningsalgoritmey = f(x) :

1. Finn domenet til funksjonen D (y).

2. Finn (hvis mulig) skjæringspunktene til grafen med koordinataksene (med x= 0 og at y = 0).

3. Undersøk etter partalls- og oddetallsfunksjoner ( y (‒ x) = y (x) ‒ paritet; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ merkelig).

4. Finn asymptotene til grafen til funksjonen.

5. Finn intervaller for monotonisitet til funksjonen.

6. Finn ytterpunktene til funksjonen.

7. Finn intervallene for konveksitet (konkavitet) og bøyningspunkter til grafen til funksjonen.

8. På grunnlag av utført forskning, konstruer en graf over funksjonen.

Eksempel. Undersøk funksjonen og plott grafen.

1) D (y) =

x= 4 - bruddpunkt.

2) Når x = 0,

(0; – 5) – skjæringspunkt med oy.

På y = 0,

3) y(‒ x)= funksjon generelt syn(verken partall eller oddetall).

4) Vi undersøker for asymptoter.

a) vertikal

b) horisontal

c) finn skrå asymptoter hvor

‒skrå asymptote-ligning

5) I denne ligningen er det ikke nødvendig å finne intervaller for monotonisitet til funksjonen.

Disse kritiske punktene deler opp hele domenet til funksjonen i intervallet (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) og (10; +∞). Det er praktisk å presentere de oppnådde resultatene i form av følgende tabell.

Ofte i fysikk og matematikk kreves det å finne minste verdi funksjoner. Hvordan du gjør dette, skal vi nå fortelle.

Hvordan finne den minste verdien av en funksjon: instruksjon

For å beregne den minste verdien av en kontinuerlig funksjon på et gitt intervall, må du følge denne algoritmen:
Finn den deriverte av en funksjon.
Finn på et gitt segment punktene der den deriverte er lik null, samt alle de kritiske punktene. Finn deretter ut verdiene til funksjonen på disse punktene, det vil si løs ligningen der x er lik null. Finn ut hvilken av verdiene som er den minste.
Finn ut hvilken verdi funksjonen har ved endepunktene. Bestem den minste verdien av funksjonen på disse punktene.
Sammenlign de mottatte dataene med den minste verdien. Det minste av de mottatte tallene vil være den minste verdien av funksjonen.

Merk at i tilfelle en funksjon på et segment ikke har de minste punktene, betyr dette at den øker eller reduseres på dette segmentet. Derfor bør den minste verdien beregnes på de endelige segmentene til funksjonen.

I alle andre tilfeller beregnes verdien av funksjonen i henhold til den gitte algoritmen. På hvert trinn i algoritmen må du løse en enkel lineær ligning med én rot. Løs ligningen ved å bruke tegningen for å unngå feil.

Hvordan finne den minste verdien av en funksjon på et halvåpent segment? På en halvåpen eller åpen periode funksjon, bør den minste verdien finnes som følger. Ved endepunktene til funksjonsverdien beregner du den ensidige grensen for funksjonen. Med andre ord, løs en ligning der tendingspunktene er gitt ved verdien a+0 og b+0, der a og b er navnene på de kritiske punktene.

Nå vet du hvordan du finner den minste verdien av en funksjon. Det viktigste er å gjøre alle beregningene riktig, nøyaktig og uten feil.

Og for å løse det trenger du minimal kunnskap om emnet. Det neste studieåret er over, alle ønsker å reise på ferie, og for å bringe dette øyeblikket nærmere, går jeg umiddelbart i gang:

La oss starte med området. Området det henvises til i betingelsen er begrenset lukket sett med punkter i flyet. For eksempel et sett med punkter avgrenset av en trekant, inkludert HELE trekanten (hvis fra grenser"Poke out" minst ett punkt, så vil området ikke lenger være stengt). I praksis er det også områder med rektangulære, runde og litt mer komplekse former. Det skal bemerkes at i teorien om matematisk analyse er det gitt strenge definisjoner begrensninger, isolasjon, grenser osv., men jeg tror alle er klar over disse konseptene på et intuitivt nivå, og mer er ikke nødvendig nå.

Det flate området er standard betegnet med bokstaven , og er som regel gitt analytisk - ved flere ligninger (ikke nødvendigvis lineær); sjeldnere ulikheter. En typisk verbal omsetning: "lukket område begrenset av linjer".

En integrert del av oppgaven som vurderes er konstruksjonen av området på tegningen. Hvordan gjøre det? Det er nødvendig å tegne alle linjene som er oppført (i denne saken 3 rett) og analyser hva som skjedde. Det ønskede området er vanligvis lett skravert, og grensen er uthevet med en fet linje:

Det samme området kan stilles inn lineære ulikheter: , som av en eller annen grunn oftere skrives som en oppregningsliste, og ikke system.
Siden grensen tilhører regionen, så alle ulikheter, selvfølgelig, ikke-streng.

Og nå kjernen i saken. Tenk deg at aksen går rett til deg fra opprinnelsen til koordinatene. Tenk på en funksjon som kontinuerlige i hver områdepunkt. Grafen til denne funksjonen er flate, og den lille lykken er at for å løse dagens problem, trenger vi ikke vite hvordan denne overflaten ser ut i det hele tatt. Det kan være plassert over, under, krysse flyet - alt dette er ikke viktig. Og følgende er viktig: iflg Weierstrass-teoremer, kontinuerlige V begrenset stengt område, når funksjonen sitt maksimum (av de "høyeste") og minst (av de "laveste") verdier å finne. Disse verdiene oppnås eller V stasjonære punkter, som tilhører regionenD , eller på punkter som ligger på grensen til denne regionen. Herfra følger en enkel og gjennomsiktig løsningsalgoritme:

Eksempel 1

Begrenset lukket område

Løsning: Først av alt må du skildre området på tegningen. Dessverre er det teknisk vanskelig for meg å lage en interaktiv modell av problemet, og derfor vil jeg umiddelbart gi den endelige illustrasjonen, som viser alle de "mistenkelige" punktene som ble funnet under studien. Vanligvis legges de fra hverandre etter hvert som de blir funnet:

Basert på ingressen kan avgjørelsen enkelt deles inn i to punkter:

I) La oss finne stasjonære punkter. Dette er en standardhandling som vi har utført gjentatte ganger i leksjonen. om ekstreme av flere variabler:

Fant stasjonært punkt tilhører områder: (merk det på tegningen), som betyr at vi skal beregne verdien av funksjonen på et gitt punkt:

- som i artikkelen De største og minste verdiene til en funksjon på et segment, vil jeg fremheve de viktige resultatene med fet skrift. I en notatbok er det praktisk å sirkle dem med en blyant.

Vær oppmerksom på vår andre lykke - det er ingen vits i å sjekke tilstrekkelig tilstand for et ekstremum. Hvorfor? Selv om funksjonen når f.eks. lokalt minimum, så BETYR IKKE dette at den resulterende verdien blir minimal i hele regionen (se begynnelsen av leksjonen om ubetingede ytterligheter) .

Hva om det stasjonære punktet IKKE tilhører området? Nesten ingenting! Det bør bemerkes at og gå til neste avsnitt.

II) Vi undersøker grensen til regionen.

Siden grensen består av sidene i en trekant, er det praktisk å dele studien i 3 underavsnitt. Men det er bedre å ikke gjøre det uansett. Fra mitt synspunkt er det til å begynne med mer fordelaktig å vurdere segmenter parallelle med koordinataksene, og først av alt de som ligger på selve aksene. For å fange hele sekvensen og logikken til handlinger, prøv å studere avslutningen "i ett åndedrag":

1) La oss ta for oss den nedre siden av trekanten. For å gjøre dette, bytter vi direkte inn i funksjonen:

Alternativt kan du gjøre det slik:

Geometrisk betyr dette at koordinatplanet (som også er gitt av ligningen)"kutte ut" fra overflater"romlig" parabel, hvis topp umiddelbart faller under mistanke. La oss finne det ut hvor er hun:

- den resulterende verdien "treffer" i området, og det kan godt være det på punktet (merk på tegningen) funksjonen når den største eller minste verdien i hele området. Uansett, la oss gjøre beregningene:

Andre «kandidater» er selvfølgelig enden av segmentet. Beregn verdiene til funksjonen ved punkter (merk på tegningen):

Her kan du forresten utføre en muntlig minisjekk på «strippet»-versjonen:

2) For å studere den høyre siden av trekanten, setter vi den inn i funksjonen og "sett ting i orden der":

Her utfører vi umiddelbart en grov sjekk, og "ringer" den allerede behandlede enden av segmentet:
, Flott.

Den geometriske situasjonen er relatert til forrige punkt:

- den resulterende verdien "gikk også inn i omfanget av våre interesser", noe som betyr at vi må beregne hva funksjonen er lik på punktet som har dukket opp:

La oss undersøke den andre enden av segmentet:

Bruker funksjonen , la oss sjekke:

3) Alle vet sannsynligvis hvordan de skal utforske den gjenværende siden. Vi bytter inn i funksjonen og utfører forenklinger:

Linjen slutter er allerede undersøkt, men på utkastet sjekker vi fortsatt om vi fant funksjonen riktig :
– falt sammen med resultatet av første ledd;
– falt sammen med resultatet av 2. ledd.

Det gjenstår å finne ut om det er noe interessant i segmentet:

- Det er! Ved å erstatte en rett linje i ligningen, får vi ordinaten til denne "interessante":

Vi markerer et punkt på tegningen og finner den tilsvarende verdien av funksjonen:

La oss kontrollere beregningene i henhold til "budsjett"-versjonen :
, rekkefølge.

Og det siste trinnet: Se NØYE gjennom alle de "fete" tallene, jeg anbefaler selv nybegynnere å lage en enkelt liste:

som vi velger de største og minste verdiene fra. Svar skriv i stil med problemet med å finne de største og minste verdiene av funksjonen på intervallet:

I tilfelle vil jeg nok en gang kommentere den geometriske betydningen av resultatet:
– her er det meste høyt punkt overflater i området;
- her er det laveste punktet på overflaten i området.

I den analyserte oppgaven fant vi 7 "mistenkelige" punkter, men antallet varierer fra oppgave til oppgave. For en trekantet region består minimum "utforskningssett" av tre punkter. Dette skjer når funksjonen for eksempel settes flyet- det er helt klart at det ikke er noen stasjonære punkter, og funksjonen kan nå maksimums-/minimumsverdiene bare ved hjørnene av trekanten. Men det er ingen slike eksempler en gang, to ganger - vanligvis må du forholde deg til en slags overflate av 2. orden.

Hvis du løser slike oppgaver litt, så kan trekanter få hodet til å snurre, og derfor har jeg utarbeidet uvanlige eksempler for å gjøre det firkantet :))

Eksempel 2

Finn de største og minste verdiene til en funksjon i et lukket område avgrenset av linjer

Eksempel 3

Finn de største og minste verdiene til en funksjon i et avgrenset lukket område.

Vær spesielt oppmerksom på den rasjonelle rekkefølgen og teknikken for å utforske områdegrensen, samt til kjeden av mellomsjekker, som nesten helt vil unngå beregningsfeil. Generelt sett kan du løse det som du vil, men i noen problemer, for eksempel i samme eksempel 2, er det alle muligheter til å komplisere livet ditt betydelig. Eksempel Prøve fullføre oppgaver på slutten av timen.

Vi systematiserer løsningsalgoritmen, ellers, med min flid som en edderkopp, forsvant den på en eller annen måte i en lang tråd med kommentarer fra det første eksemplet:

- På det første trinnet bygger vi et område, det er ønskelig å skyggelegge det, og fremheve grensen med en fet linje. Under løsningen vil det dukke opp punkter som må settes på tegningen.

– Finn stasjonære punkter og beregn verdiene til funksjonen bare i de, som hører til området . De oppnådde verdiene er uthevet i teksten (for eksempel sirklet med en blyant). Hvis det stasjonære punktet IKKE tilhører området, markerer vi dette faktum med et ikon eller verbalt. Hvis det ikke er noen stasjonære punkter i det hele tatt, trekker vi en skriftlig konklusjon om at de er fraværende. I alle fall kan denne varen ikke hoppes over!

– Utforske grenseområdet. For det første er det fordelaktig å forholde seg til rette linjer som er parallelle med koordinataksene (hvis det er noen). Funksjonsverdiene beregnet på "mistenkelige" punkter er også uthevet. Mye har blitt sagt om løsningsteknikken ovenfor og noe annet vil bli sagt nedenfor - les, les på nytt, fordyp deg!

- Fra de valgte tallene, velg de største og minste verdiene som gir et svar. Noen ganger skjer det at funksjonen når slike verdier på flere punkter samtidig - i dette tilfellet bør alle disse punktene reflekteres i svaret. La f.eks. og det viste seg at dette er den minste verdien. Så skriver vi det

De siste eksemplene er viet til andre nyttige ideer som vil komme til nytte i praksis:

Eksempel 4

Finn de største og minste verdiene til en funksjon i et lukket område .

Jeg har beholdt forfatterens formulering, der området er oppgitt som en dobbel ulikhet. Denne tilstanden kan skrives i et ekvivalent system eller i en mer tradisjonell form for dette problemet:

Jeg minner deg om at med ikke-lineær vi møtte ulikheter på , og hvis du ikke forstår den geometriske betydningen av oppføringen, så vær så snill å ikke forsinke og avklare situasjonen akkurat nå ;-)

Løsning, som alltid, begynner med byggingen av området, som er en slags "såle":

Hmm, noen ganger må du gnage ikke bare vitenskapens granitt ....

I) Finn stasjonære punkter:

Idiotens drømmesystem :)

Det stasjonære punktet tilhører regionen, nemlig ligger på grensen.

Og så, det er ingenting ... morsom leksjon gikk - det er hva det betyr å drikke riktig te =)

II) Vi undersøker grensen til regionen. Uten videre, la oss starte med x-aksen:

1) Hvis , da

Finn hvor toppen av parabelen er:
- Sett pris på slike øyeblikk - "treff" rett til punktet, hvorfra alt allerede er klart. Men ikke glem å sjekke:

La oss beregne verdiene til funksjonen i enden av segmentet:

2) Vi vil håndtere den nedre delen av "sålen" "i en sitting" - uten komplekser erstatter vi den i funksjonen, dessuten vil vi bare være interessert i segmentet:

Kontroll:

Nå bringer dette allerede litt vekkelse til den monotone turen på en riflet bane. La oss finne de kritiske punktene:

Vi bestemmer kvadratisk ligning husker du denne? ... Men husk selvfølgelig, ellers ville du ikke ha lest disse linjene =) Hvis beregninger i desimalbrøker i de to foregående eksemplene var praktiske (noe som forresten er sjeldent), så her venter vi på vanlig vanlige brøker. Vi finner "x" røttene, og ved hjelp av ligningen bestemmer vi de tilsvarende "spill"-koordinatene til "kandidat"-punktene:

La oss beregne verdiene til funksjonen ved de funnet punktene:

Sjekk funksjonen selv.

Nå studerer vi de vunne trofeene nøye og skriver ned svar:

Her er "kandidatene", så "kandidatene"!

For en frittstående løsning:

Eksempel 5

Finn de minste og største verdiene til en funksjon i et lukket område

En oppføring med krøllete seler lyder slik: "et sett med punkter slik at".

Noen ganger i slike eksempler bruker de Lagrange multiplikatormetode, men det reelle behovet for å bruke det vil neppe oppstå. Så, for eksempel, hvis en funksjon med samme område "de" er gitt, så etter substitusjon i den - med en derivat uten vanskeligheter; dessuten er alt trukket opp i en "en linje" (med tegn) uten at det er nødvendig å vurdere de øvre og nedre halvsirklene separat. Men det er selvfølgelig flere vanskelige saker, hvor uten Lagrange-funksjonen (hvor for eksempel er den samme sirkelligningen) det er vanskelig å klare seg - så vanskelig det er å klare seg uten en god hvile!

Alt godt for å bestå økten og se deg snart neste sesong!

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: tegn området på tegningen:

Hva er et ekstremum av en funksjon og hva er den nødvendige betingelsen for et ekstremum?

Ytterpunktet til en funksjon er maksimum og minimum av funksjonen.

Den nødvendige betingelsen for maksimum og minimum (ekstremum) av funksjonen er som følger: hvis funksjonen f(x) har et ekstremum i punktet x = a, så er den deriverte på dette punktet enten null eller uendelig, eller gjør eksisterer ikke.

Denne betingelsen er nødvendig, men ikke tilstrekkelig. Den deriverte i punktet x = a kan forsvinne, gå til uendelig eller ikke eksistere uten at funksjonen har et ekstremum på dette punktet.

Hva er den tilstrekkelige betingelsen for funksjonens ekstremum (maksimum eller minimum)?

Første betingelse:

Hvis, i tilstrekkelig nærhet til punktet x = a, den deriverte f?(x) er positiv til venstre for a og negativ til høyre for a, så har funksjonen f(x) i selve punktet x = a. maksimum

Hvis, i tilstrekkelig nærhet til punktet x = a, den deriverte f?(x) er negativ til venstre for a og positiv til høyre for a, så har funksjonen f(x) i selve punktet x = a. minimum forutsatt at funksjonen f(x) er kontinuerlig her.

I stedet kan du bruke den andre tilstrekkelige betingelsen for funksjonens ytterpunkt:

La ved punktet x = og den første deriverte f?(x) forsvinner; hvis den andre deriverte f??(а) er negativ, så har funksjonen f(x) et maksimum i punktet x = a, hvis den er positiv, så et minimum.

Hva er det kritiske punktet til en funksjon og hvordan finner man det?

Dette er verdien av funksjonsargumentet der funksjonen har et ekstremum (dvs. maksimum eller minimum). For å finne den trenger du finne den deriverte funksjonen f?(x) og, likestille den med null, løse ligningen f?(x) = 0. Røttene til denne ligningen, så vel som de punktene der den deriverte av denne funksjonen ikke eksisterer, er kritiske punkter, dvs. verdiene til argumentet der det kan være et ekstremum . De kan lett identifiseres ved å se på avledet graf: vi er interessert i de verdiene til argumentet der grafen til funksjonen skjærer abscisseaksen (okseaksen) og de der grafen lider av brudd.

For eksempel, la oss finne ekstremum av parabelen.

Funksjon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funksjonsderiverte: y?(x) = 6x + 2

Vi løser ligningen: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

I dette tilfellet er det kritiske punktet x0=-1/3. Det er for denne verdien av argumentet funksjonen har ekstremum. Å få det finne, erstatter vi det funnet tallet i uttrykket med funksjonen i stedet for "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hvordan bestemme maksimum og minimum for en funksjon, dvs. dens største og minste verdier?

Hvis tegnet på den deriverte endres fra "pluss" til "minus" når den passerer gjennom det kritiske punktet x0, så er x0 maksimum poeng; hvis tegnet til den deriverte endres fra minus til pluss, så er x0 minimumspoeng; hvis tegnet ikke endres, så er det ved punktet x0 verken et maksimum eller et minimum.

For det betraktede eksemplet:

Vi tar en vilkårlig verdi av argumentet til venstre for kritisk punkt: x = -1

Når x = -1, vil verdien av den deriverte være y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs. minustegnet).

Nå tar vi en vilkårlig verdi av argumentet til høyre for det kritiske punktet: x = 1

For x = 1 vil verdien av den deriverte være y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs. plusstegnet).

Som du kan se, endret den deriverte fortegn fra minus til pluss når den passerte det kritiske punktet. Dette betyr at ved den kritiske verdien av x0 har vi et minimumspunkt.

Den største og minste verdien av funksjonen på intervallet(på segmentet) blir funnet ved samme prosedyre, bare tatt i betraktning det faktum at kanskje ikke alle kritiske punkter vil ligge innenfor det angitte intervallet. De kritiske punktene som er utenfor intervallet må utelukkes fra vurdering. Hvis det bare er ett kritisk punkt inne i intervallet, vil det enten ha et maksimum eller et minimum. I dette tilfellet, for å bestemme de største og minste verdiene av funksjonen, tar vi også hensyn til verdiene til funksjonen på slutten av intervallet.

La oss for eksempel finne de største og minste verdiene av funksjonen

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

med intervaller:

Så den deriverte av funksjonen er

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Vi løser ligningen 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Vi finner kritiske punkter på intervallet [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (ikke inkludert i intervallet)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (ikke inkludert i intervallet)

Vi finner verdiene til funksjonen ved kritiske verdier av argumentet:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Det kan sees at på intervallet [-9; 9] høyeste verdi funksjonen har ved x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

og den minste - ved x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

På intervallet [-6; -3] vi har bare ett kritisk punkt: x = -4,88. Verdien av funksjonen ved x = -4,88 er y = 5,398.

Vi finner verdien av funksjonen i enden av intervallet:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

På intervallet [-6; -3] vi har den største verdien av funksjonen

y = 5,398 ved x = -4,88

den minste verdien er

y = 1,077 ved x = -3

Hvordan finne infleksjonspunktene til en funksjonsgraf og bestemme sidene av konveksitet og konkavitet?

For å finne alle bøyningspunktene til linjen y \u003d f (x), må du finne den andre deriverte, likestille den til null (løs ligningen) og teste alle verdiene av x der den andre deriverte er null , uendelig eller eksisterer ikke. Hvis, når den passerer gjennom en av disse verdiene, den andre deriverte endrer fortegn, har grafen til funksjonen en bøyning på dette punktet. Hvis det ikke endres, er det ingen bøyning.

Røttene til ligningen f ? (x) = 0, samt mulige diskontinuitetspunkter for funksjonen og den andrederiverte, deler funksjonens domene inn i et antall intervaller. Konveksiteten ved hvert av deres intervaller bestemmes av tegnet til den andre deriverte. Hvis den andre deriverte i et punkt på intervallet som studeres er positiv, så er linjen y = f(x) konkav oppover her, og hvis den er negativ, så nedover.

Hvordan finne ekstrema av en funksjon av to variabler?

For å finne ytterpunktene til funksjonen f(x, y), differensierbar i tildelingsområdet, trenger du:

1) finn de kritiske punktene, og løs likningssystemet for dette

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) for hvert kritisk punkt P0(a;b), undersøk om tegnet på forskjellen forblir uendret

for alle punkter (x; y) tilstrekkelig nær P0. Hvis differansen beholder et positivt fortegn, har vi ved punktet P0 et minimum, hvis negativt, så et maksimum. Hvis forskjellen ikke beholder tegnet, er det ikke noe ekstremum ved punktet Р0.

På samme måte bestemmes funksjonens ytterpunkt for et større antall argumenter.

Hva er et ekstremum av en funksjon og hva er den nødvendige betingelsen for et ekstremum?

Ytterpunktet til en funksjon er maksimum og minimum av funksjonen.

Denne betingelsen er nødvendig, men ikke tilstrekkelig. Den deriverte i punktet x = a kan forsvinne, gå til uendelig eller ikke eksistere uten at funksjonen har et ekstremum på dette punktet.

Hva er den tilstrekkelige betingelsen for funksjonens ekstremum (maksimum eller minimum)?

Første betingelse:

Hvis, i tilstrekkelig nærhet til punktet x = a, den deriverte f?(x) er positiv til venstre for a og negativ til høyre for a, så har funksjonen f(x) i selve punktet x = a. maksimum

I stedet kan du bruke den andre tilstrekkelige betingelsen for funksjonens ytterpunkt:

La ved punktet x = og den første deriverte f?(x) forsvinner; hvis den andre deriverte f??(а) er negativ, så har funksjonen f(x) et maksimum i punktet x = a, hvis den er positiv, så et minimum.

Hva er det kritiske punktet til en funksjon og hvordan finner man det?

For eksempel, la oss finne ekstremum av parabelen.

Funksjon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Funksjonsderiverte: y?(x) = 6x + 2

Vi løser ligningen: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Hvordan bestemme maksimum og minimum for en funksjon, dvs. dens største og minste verdier?

For det betraktede eksemplet:

Vi tar en vilkårlig verdi av argumentet til venstre for det kritiske punktet: x = -1

Når x = -1, vil verdien av den deriverte være y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (dvs. minustegnet).

Nå tar vi en vilkårlig verdi av argumentet til høyre for det kritiske punktet: x = 1

For x = 1 vil verdien av den deriverte være y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (dvs. plusstegnet).

Som du kan se, endret den deriverte fortegn fra minus til pluss når den passerte det kritiske punktet. Dette betyr at ved den kritiske verdien av x0 har vi et minimumspunkt.

La oss for eksempel finne de største og minste verdiene av funksjonen

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

med intervaller:

Så den deriverte av funksjonen er

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Vi løser ligningen 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Vi finner kritiske punkter på intervallet [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (ikke inkludert i intervallet)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (ikke inkludert i intervallet)

Vi finner verdiene til funksjonen ved kritiske verdier av argumentet:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Det kan sees at på intervallet [-9; 9] funksjonen har den største verdien ved x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

og den minste - ved x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

På intervallet [-6; -3] vi har bare ett kritisk punkt: x = -4,88. Verdien av funksjonen ved x = -4,88 er y = 5,398.

Vi finner verdien av funksjonen i enden av intervallet:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

På intervallet [-6; -3] vi har den største verdien av funksjonen

y = 5,398 ved x = -4,88

den minste verdien er

y = 1,077 ved x = -3

Hvordan finne infleksjonspunktene til en funksjonsgraf og bestemme sidene av konveksitet og konkavitet?

Hvordan finne ekstrema av en funksjon av to variabler?

For å finne ytterpunktene til funksjonen f(x, y), differensierbar i tildelingsområdet, trenger du:

1) finn de kritiske punktene, og løs likningssystemet for dette

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) for hvert kritisk punkt P0(a;b), undersøk om tegnet på forskjellen forblir uendret

På samme måte bestemmes funksjonens ytterpunkt for et større antall argumenter.

Hva handler Shrek Forever After om?
Tegneserie: Shrek Forever After Utgivelsesår: 2010 Premiere (Russland): 20. mai 2010 Land: USA Regi: Michael Pitchel Manus: Josh Klausner, Darren Lemke Sjanger: familiekomedie, fantasy, eventyr Offisiell nettside: www.shrekforeverafter.com plot muldyr

Kan jeg donere blod i løpet av mensen?
Leger anbefaler ikke å donere blod under menstruasjon, fordi. blodtap, selv om det ikke er i en betydelig mengde, er fylt med en reduksjon i hemoglobinnivået og en forverring av kvinnens velvære. Under blodgivningsprosedyren kan tilstanden med velvære forverres frem til oppdagelsen av blødning. Derfor bør kvinner avstå fra å donere blod under menstruasjonen. Og allerede den 5. dagen etter at de var ferdige

Hvor mange kcal / time forbrukes ved gulvvask
Slags fysisk aktivitet Energiforbruk, kcal/t Matlaging 80 Påkledning 30 Kjøring 50 Støvtørking 80 Spise 30 Hagearbeid 135 Stryking 45 Rede seng 130 Handle 80 Stillesittende arbeid 75 Hogge ved 300 Vaske gulv 130 Sex 100-150 Lavintensiv aerobisk dans

Hva betyr ordet "rogue"?
En kjeltring er en tyv som er engasjert i småtyveri, eller en useriøs person som er utsatt for uredelige triks. Bekreftelse av denne definisjonen finnes i Krylovs etymologiske ordbok, ifølge hvilken ordet "svindler" er dannet av ordet "svindler" (tyv, svindler), beslektet med verbet &la

Hva er navnet på den siste publiserte historien om Strugatsky-brødrene
En liten historie Arkady og Boris Strugatsky "On the issue of cyclotation" ble først publisert i april 2008 i science fiction-antologien "Noon. XXI century" (tillegg til magasinet "Vokrug sveta", utgitt under redaksjon av Boris Strugatsky). Publikasjonen ble dedikert til 75-årsjubileet til Boris Strugatsky.

Hvor kan jeg lese historiene til deltakerne i Work And Travel USA-programmet
Work and Travel USA (arbeid og reise i USA) er et populært studentutvekslingsprogram hvor du kan tilbringe sommeren i Amerika, lovlig jobbe i servicesektoren og reise. History of the Work & Travel-programmet er en del av Cultural Exchange Pro-programmet for mellomstatlige utvekslinger

Øre. Kulinarisk og historisk referanse I mer enn to og et halvt århundre har ordet "ukha" blitt brukt for å betegne supper eller et avkok av fersk fisk. Men det var en tid da dette ordet ble tolket bredere. De betegnet suppe - ikke bare fisk, men også kjøtt, erter og til og med søtt. Så i det historiske dokumentet - "

Informasjons- og rekrutteringsportaler Superjob.ru - rekrutteringsportal Superjob.ru jobber med russisk marked online rekruttering siden 2000 og er ledende blant ressursene som tilbyr jobbsøking og bemanning. Mer enn 80 000 CVer for spesialister og mer enn 10 000 ledige stillinger legges til nettsteddatabasen daglig.

Hva er motivasjon
Definisjon av motivasjon Motivasjon (fra lat. moveo - jeg beveger meg) - en impuls til handling; en dynamisk prosess av en fysiologisk og psykologisk plan som kontrollerer menneskelig atferd, bestemmer dens retning, organisering, aktivitet og stabilitet; menneskets evne til å tilfredsstille sine behov gjennom arbeid. Motivac

Hvem er Bob Dylan
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, ekte navn - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; født 24. mai 1941) er en amerikansk låtskriver som - ifølge en meningsmåling fra magasinet Rolling Stone - er den andre (

Hvordan transportere innendørs planter
Etter kjøpet innendørs planter, står gartneren overfor oppgaven med å levere innkjøpte eksotiske blomster uskadd. Å kjenne de grunnleggende reglene for pakking og transport av innendørs planter vil bidra til å løse dette problemet. Planter må pakkes for å kunne transporteres eller transporteres. Uansett hvor kort avstand plantene bæres, kan de bli skadet, de kan tørke ut, og om vinteren &m

Populær i kategorien: