Produto vetorial de vetores i j k. Produto vetorial de vetores dados por coordenadas

Antes de apresentar o conceito de produto vetorial, vamos nos voltar para a questão da orientação do triplo ordenado de vetores a → , b → , c → no espaço tridimensional.

Para começar, vamos separar os vetores a → , b → , c → de um ponto. A orientação do triplo a → , b → , c → é direita ou esquerda, dependendo da direção do vetor c → . Da direção em que a volta mais curta é feita do vetor a → para b → do final do vetor c → , a forma do triplo a → , b → , c → será determinada.

Se a rotação mais curta for no sentido anti-horário, então o triplo dos vetores a → , b → , c → é chamado certo se no sentido horário - esquerda.

Em seguida, pegue dois vetores não colineares a → e b → . Vamos então adiar os vetores A B → = a → e A C → = b → do ponto A. Vamos construir um vetor A D → = c → , que é simultaneamente perpendicular a A B → e A C → . Assim, ao construir o vetor A D → = c →, podemos fazer duas coisas, dando-lhe uma direção ou a oposta (veja a ilustração).

O trio ordenado de vetores a → , b → , c → pode ser, como descobrimos, à direita ou à esquerda, dependendo da direção do vetor.

A partir do exposto, podemos introduzir a definição de um produto vetorial. esta definiçãoé dado para dois vetores definidos em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional.

Definição 1

O produto vetorial de dois vetores a → e b → chamaremos tal vetor dado em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional tal que:

• se os vetores a → e b → forem colineares, será zero;
• será perpendicular ao vetor a →​​ e ao vetor b → ou seja ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• seu comprimento é determinado pela fórmula: c → = a → b → sin ∠ a → , b → ;
• o trio de vetores a → , b → , c → tem a mesma orientação que o sistema de coordenadas dado.

produto vetorial vetores a → e b → tem a seguinte notação: a → × b → .

Coordenadas de produtos cruzados

Como qualquer vetor possui certas coordenadas no sistema de coordenadas, é possível introduzir uma segunda definição do produto vetorial, que permitirá encontrar suas coordenadas a partir das coordenadas dos vetores fornecidas.

Definição 2

Em um sistema de coordenadas retangulares de espaço tridimensional produto vetorial de dois vetores a → = (a x ; a y ; a z) e b → = (b x ; b y ; b z) chame o vetor c → = a → × b → = (a y b z - a z by) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x by - a y b x) k → , onde i → , j → , k → são vetores coordenados.

O produto vetorial pode ser representado como um determinante de uma matriz quadrada de terceira ordem, onde a primeira linha são os vetores orta i → , j → , k → , a segunda linha contém as coordenadas do vetor a → , e a terceira são as coordenadas do vetor b → em um determinado sistema de coordenadas retangulares, esse determinante de matriz se parece com isso: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Expandindo esse determinante sobre os elementos da primeira linha, obtemos a igualdade: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → = = a → × b → = ( a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Propriedades de produtos cruzados

Sabe-se que o produto vetorial em coordenadas é representado como o determinante da matriz c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , então na base propriedades do determinante da matriz a seguir propriedades do produto vetorial:

1. anticomutatividade a → × b → = - b → × a → ;
2. distributividade a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ou a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. associatividade λ a → × b → = λ a → × b → ou a → × (λ b →) = λ a → × b → , onde λ é um número real arbitrário.

Essas propriedades não têm provas complicadas.

Por exemplo, podemos provar a propriedade anticomutatividade de um produto vetorial.

Prova de anticomutatividade

Por definição, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z e b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . E se duas linhas da matriz forem trocadas, então o valor do determinante da matriz deve mudar para o oposto, portanto, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , que e prova a anticomutatividade do produto vetorial.

Produto Vetorial - Exemplos e Soluções

Na maioria dos casos, existem três tipos de tarefas.

Nos problemas do primeiro tipo, os comprimentos de dois vetores e o ângulo entre eles geralmente são dados, mas você precisa encontrar o comprimento do produto vetorial. Nesse caso, use a seguinte fórmula c → = a → b → sin ∠ a → , b → .

Exemplo 1

Encontre o comprimento do produto vetorial dos vetores a → e b → se a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 for conhecido.

Solução

Usando a definição do comprimento do produto vetorial dos vetores a → e b →, resolvemos este problema: a → × b → = a → b → sen ∠ a → , b → = 3 5 sen π 4 = 15 2 2 .

Responder: 15 2 2 .

As tarefas do segundo tipo têm uma conexão com as coordenadas dos vetores, contêm um produto vetorial, seu comprimento, etc. são pesquisados ​​através das coordenadas conhecidas dos vetores dados a → = (a x ; a y ; a z) E b → = (b x ; b y ; b z) .

Para esse tipo de tarefa, você pode resolver muitas opções de tarefas. Por exemplo, não as coordenadas dos vetores a → e b → , mas suas expansões em vetores de coordenadas da forma b → = b x i → + b y j → + b z k → e c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ou os vetores a → e b → podem ser dados pelas coordenadas de seus pontos inicial e final.

Considere os seguintes exemplos.

Exemplo 2

Dois vetores são colocados em um sistema de coordenadas retangulares a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Encontre seu produto vetorial.

Solução

De acordo com a segunda definição, encontramos o produto vetorial de dois vetores em coordenadas dadas: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2k→ .

Se escrevermos o produto vetorial em termos do determinante da matriz, então a solução este exemplo fica assim: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Responder: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Exemplo 3

Encontre o comprimento do produto vetorial dos vetores i → - j → e i → + j → + k → , onde i → , j → , k → - orts de um sistema de coordenadas cartesiano retangular.

Solução

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do produto vetorial dado i → - j → × i → + j → + k → no sistema de coordenadas retangulares dado.

Sabe-se que os vetores i → - j → ei → + j → + k → possuem coordenadas (1 ; - 1 ; 0) e (1 ; 1 ; 1) respectivamente. Encontre o comprimento do produto vetorial usando o determinante da matriz, então temos i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 mil → .

Portanto, o produto vetorial i → - j → × i → + j → + k → tem coordenadas (- 1 ; - 1 ; 2) no sistema de coordenadas dado.

Encontramos o comprimento do produto vetorial pela fórmula (consulte a seção sobre como encontrar o comprimento do vetor): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Responder: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Exemplo 4

As coordenadas de três pontos A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) ​​​​, C (1 , 4 , 2) são dadas em um sistema de coordenadas cartesiano retangular. Encontre algum vetor perpendicular a A B → e A C → ao mesmo tempo.

Solução

Os vetores A B → e A C → possuem as seguintes coordenadas (- 1 ; 2 ; 2) e (0 ; 4 ; 1) respectivamente. Tendo encontrado o produto vetorial dos vetores A B → e A C → , é óbvio que é um vetor perpendicular por definição tanto a A B → quanto a A C → , ou seja, é a solução do nosso problema. Encontre A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Responder: - 6 i → + j → - 4 k → . é um dos vetores perpendiculares.

Os problemas do terceiro tipo são focados no uso das propriedades do produto vetorial de vetores. Após aplicar o que, obteremos uma solução para o problema dado.

Exemplo 5

Os vetores a → e b → são perpendiculares e seus comprimentos são 3 e 4, respectivamente. Encontre o comprimento do produto vetorial 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Solução

Pela propriedade de distributividade do produto vetorial, podemos escrever 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Pela propriedade da associatividade, retiramos os coeficientes numéricos além do sinal dos produtos vetoriais na última expressão: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Os produtos vetoriais a → × a → e b → × b → são iguais a 0, pois a → × a → = a → a → sin 0 = 0 e b → × b → = b → b → sin 0 = 0 , então 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a → . .

Da anticomutatividade do produto vetorial segue - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - (- 1) a → × b → = - 5 a → × b → . .

Usando as propriedades do produto vetorial, obtemos a igualdade 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Por condição, os vetores a → e b → são perpendiculares, ou seja, o ângulo entre eles é igual a π 2 . Agora resta apenas substituir os valores encontrados nas fórmulas correspondentes: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Responder: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

O comprimento do produto vetorial de vetores, por definição, é a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Pois já se sabe (do curso escolar) que a área de um triângulo é igual à metade do produto dos comprimentos de seus dois lados multiplicado pelo seno do ângulo entre esses lados. Portanto, o comprimento do produto vetorial é igual à área de um paralelogramo - um triângulo duplo, ou seja, o produto dos lados na forma dos vetores a → e b → , separados de um ponto, pelo seno do ângulo entre eles sen ∠ a → , b → .

Este é o significado geométrico do produto vetorial.

O significado físico do produto vetorial

Na mecânica, um dos ramos da física, graças ao produto vetorial, é possível determinar o momento da força em relação a um ponto no espaço.

Definição 3

Sob o momento da força F → , aplicada ao ponto B , relativo ao ponto A entenderemos o seguinte produto vetorial A B → × F → .

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O calculadora online calcula o produto vetorial de vetores. Uma solução detalhada é dada. Para calcular o produto vetorial de vetores, insira as coordenadas dos vetores nas células e clique no botão "Calcular".

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Produto vetorial de vetores

Antes de prosseguir para a definição do produto vetorial de vetores, considere os conceitos triplo ordenado de vetores, triplo esquerdo de vetores, triplo direito de vetores.

Definição 1. Três vetores são chamados pedido triplo(ou triplo) se for indicado qual destes vetores é o primeiro, qual é o segundo e qual é o terceiro.

Gravação cba- significa - o primeiro é um vetor c, o segundo é o vetor b e o terceiro é o vetor a.

Definição 2. Um triplo de vetores não coplanares abc chamado direita (esquerda) se, quando reduzidos a um começo comum, esses vetores são arranjados como são respectivamente grandes, índice não dobrado e dedos do meio mão direita (esquerda).

A definição 2 pode ser formulada de outra maneira.

Definição 2. Um triplo de vetores não coplanares abcé chamado de direita (esquerda) se, quando reduzido a uma origem comum, o vetor c localizado no outro lado do plano definido pelos vetores a E b, de onde a volta mais curta de a Para b executado no sentido anti-horário (sentido horário).

trio de vetores abc mostrado na fig. 1 é certo e triplo abc mostrado na fig. resta 2.

Se dois triplos de vetores estão à direita ou à esquerda, dizemos que eles têm a mesma orientação. Caso contrário, eles são ditos de orientação oposta.

Definição 3. Um sistema de coordenadas cartesianas ou afins é chamado de direita (esquerda) se os três vetores de base formam uma tripla direita (esquerda).

Para fins de definição, a seguir consideraremos apenas sistemas de coordenadas de mão direita.

Definição 4. arte vetorial vetor a por vetor b chamado vetor Com, denotado pelo símbolo c=[ab] (ou c=[a,b], ou c=a×b) e satisfazendo os três requisitos seguintes:

• comprimento do vetor Comé igual ao produto dos comprimentos dos vetores a E b ao seno do ângulo φ entre eles:

|c|=|[ab]|=|a||b|sinφ;

(1)

• vetor Com ortogonal a cada um dos vetores a E b;
• vetor c direcionado para que os três abc está certo.

O produto vetorial de vetores tem as seguintes propriedades:

• [ab]=−[BA] (antipermutabilidade fatores);
• [(λa)b]=λ [ab] (compatibilidade relativo ao fator numérico);
• [(a+b)c]=[ac]+[bc] (distribuição relativo à soma de vetores);
• [aa]=0 para qualquer vetor a.

Propriedades geométricas do produto vetorial de vetores

Teorema 1. Para que dois vetores sejam colineares, é necessário e suficiente que seu produto vetorial seja igual a zero.

Prova. Necessidade. Deixe os vetores a E b colinear. Então o ângulo entre eles é 0 ou 180° e sinφ=pecado180=pecado 0=0. Portanto, levando em consideração a expressão (1), o comprimento do vetor c igual a zero. Então c vetor nulo.

Adequação. Seja o produto vetorial de vetores a E b navegação para zero: [ ab]=0. Vamos provar que os vetores a E b colinear. Se pelo menos um dos vetores a E b zero, então esses vetores são colineares (porque o vetor zero tem direção indefinida e pode ser considerado colinear a qualquer vetor).

Se ambos os vetores a E b diferente de zero, então | a|>0, |b|>0. Então de [ ab]=0 e de (1) segue que sinφ=0. Daí os vetores a E b colinear.

O teorema foi provado.

Teorema 2. O comprimento (módulo) do produto vetorial [ ab] é igual à área S paralelogramo construído sobre vetores reduzidos a uma origem comum a E b.

Prova. Como você sabe, a área de um paralelogramo é igual ao produto dos lados adjacentes desse paralelogramo pelo seno do ângulo entre eles. Por isso:

Então o produto vetorial desses vetores tem a forma:

Expandindo o determinante sobre os elementos da primeira linha, obtemos a decomposição do vetor a×b base eu, j, k, que é equivalente à fórmula (3).

Prova do Teorema 3. Componha todos os pares possíveis de vetores de base eu, j, k e calcule seu produto vetorial. Deve-se levar em conta que os vetores de base são mutuamente ortogonais, formam um triplo reto e têm comprimento unitário (ou seja, podemos assumir que eu={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). Então nós temos:

Da última igualdade e relações (4), obtemos:

Componha uma matriz 3 × 3, cuja primeira linha são os vetores de base eu, j, k, e as linhas restantes são preenchidas com elementos de vetores a E b:

Assim, o resultado do produto vetorial de vetores a E b será um vetor:

.

Exemplo 2. Encontre o produto vetorial de vetores [ ab], onde o vetor a representado por dois pontos. Ponto inicial do vetor a: , o ponto final do vetor a: , vetor b tem a forma .

Solução: Mova o primeiro vetor para a origem. Para fazer isso, subtraia das coordenadas correspondentes do ponto final as coordenadas do ponto inicial:

Calculamos o determinante dessa matriz expandindo-a na primeira linha. Como resultado desses cálculos, obtemos o produto vetorial de vetores a E b.

produto vetorialé um pseudovetor perpendicular ao plano construído por dois fatores, que é o resultado da operação binária "multiplicação vetorial" sobre vetores no espaço euclidiano tridimensional. O produto vetorial não possui as propriedades de comutatividade e associatividade (é anticomutativo) e, ao contrário do produto escalar de vetores, é um vetor. Amplamente utilizado em muitas aplicações técnicas e físicas. Por exemplo, o momento angular e a força de Lorentz são escritos matematicamente como um produto vetorial. O produto vetorial é útil para "medir" a perpendicularidade dos vetores - o módulo do produto vetorial de dois vetores é igual ao produto de seus módulos se forem perpendiculares e diminui para zero se os vetores forem paralelos ou antiparalelos.

Você pode definir um produto vetorial de diferentes maneiras e, teoricamente, em um espaço de qualquer dimensão n, você pode calcular o produto de n-1 vetores, obtendo um único vetor perpendicular a todos eles. Mas se o produto for limitado a produtos binários não triviais com resultados vetoriais, então o produto vetorial tradicional é definido apenas em espaços tridimensionais e heptadimensionais. O resultado do produto vetorial, como o produto escalar, depende da métrica do espaço euclidiano.

Ao contrário da fórmula para calcular o produto escalar a partir das coordenadas dos vetores em um sistema de coordenadas retangulares tridimensionais, a fórmula do produto vetorial depende da orientação do sistema de coordenadas retangulares, ou seja, de sua “quiralidade”.

Definição:
O produto vetorial de um vetor a e um vetor b no espaço R 3 é chamado de vetor c que satisfaz os seguintes requisitos:
o comprimento do vetor c é igual ao produto dos comprimentos dos vetores a e b e o seno do ângulo φ entre eles:
|c|=|a||b|sin φ;
o vetor c é ortogonal a cada um dos vetores a e b;
o vetor c é direcionado de modo que o triplo dos vetores abc seja correto;
no caso do espaço R7, é necessária a associatividade do triplo dos vetores a,b,c.
Designação:
c=a×b

Arroz. 1. A área de um paralelogramo é igual ao módulo do produto vetorial

Propriedades geométricas do produto vetorial:
Uma condição necessária e suficiente para a colinearidade de dois vetores diferentes de zero é a igualdade de seu produto vetorial a zero.

Módulo de produtos cruzados é igual a área S paralelogramo construído sobre vetores reduzidos a uma origem comum a E b(ver fig. 1).

Se e- vetor unitário ortogonal aos vetores a E b e escolhido de modo que o triplo a,b,e- certo, e S- a área do paralelogramo construída sobre eles (reduzida a uma origem comum), então a seguinte fórmula é verdadeira para o produto vetorial:
=S e

Figura 2. O volume do paralelepípedo quando se usa o produto vetorial e escalar de vetores; linhas pontilhadas mostre as projeções do vetor c em a × b e do vetor a em b × c, o primeiro passo é encontrar os produtos internos

Se c- qualquer vetor π - qualquer plano que contenha este vetor, e- vetor unitário no plano π e ortogonal a CG- vetor unitário ortogonal ao plano π e direcionado de forma que o triplo de vetores ecg está certo, então para qualquer deitado no avião π vetor a a fórmula correta é:
=Pr e a |c|g
onde Pr e a é a projeção do vetor e sobre um
|c|-módulo do vetor c

Ao usar produtos vetoriais e escalares, você pode calcular o volume de um paralelepípedo construído em vetores reduzidos a uma origem comum a, b E c. Tal produto de três vetores é chamado misto.
V=|a (b×c)|
A figura mostra que este volume pode ser encontrado de duas maneiras: o resultado geométrico é preservado mesmo quando os produtos “escalar” e “vetorial” são trocados:
V=a×b c=a b×c

O valor do produto vetorial depende do seno do ângulo entre os vetores originais, então o produto vetorial pode ser pensado como o grau de "perpendicularidade" dos vetores, assim como o produto escalar pode ser pensado como o grau de "paralelismo". O produto vetorial de dois vetores unitários é igual a 1 (um vetor unitário) se os vetores iniciais são perpendiculares e igual a 0 (vetor zero) se os vetores são paralelos ou antiparalelos.

Expressão de produto vetorial em coordenadas cartesianas
Se dois vetores a E b são definidos por suas coordenadas cartesianas retangulares, ou mais precisamente, são representados em uma base ortonormal
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,by ,b z)
e o sistema de coordenadas está certo, então seu produto vetorial tem a forma
=(a y b z -a z by ,a z b x -a x b z ,a x by -a y b x)
Para lembrar esta fórmula:
i =∑ε ijk a j b k
Onde ε ijk- o símbolo de Levi-Civita.

Nesta lição, veremos mais duas operações com vetores: produto vetorial de vetores E produto misto de vetores (link imediato para quem precisar). Tudo bem, às vezes acontece que para felicidade completa, além de produto escalar de vetores, mais e mais é necessário. Esse é o vício em vetores. Pode-se ter a impressão de que estamos entrando na selva da geometria analítica. Isto está errado. Nesta seção de matemática superior, geralmente há pouca lenha, exceto talvez o suficiente para Pinóquio. Na verdade, o material é muito comum e simples - dificilmente mais difícil do que o mesmo produto escalar, mesmo haverá menos tarefas típicas. O principal na geometria analítica, como muitos verão ou já viram, é NÃO ERRAR OS CÁLCULOS. Repita como um feitiço, e você será feliz =)

Se os vetores brilharem em algum lugar distante, como um raio no horizonte, não importa, comece com a lição Vetores para manequins restaurar ou readquirir conhecimentos básicos sobre vetores. Leitores mais preparados podem se familiarizar com as informações seletivamente, tentei coletar a coleção mais completa de exemplos que costumam ser encontrados em trabalho prático

O que vai te fazer feliz? Quando eu era pequeno, conseguia fazer malabarismos com duas e até três bolas. Funcionou bem. Agora não há necessidade de fazer malabarismos, pois consideraremos apenas vetores espaciais, e vetores planos com duas coordenadas serão deixados de fora. Por que? Foi assim que nasceram essas ações - o vetor e o produto misto de vetores são definidos e funcionam no espaço tridimensional. Já mais fácil!

Nesta operação, da mesma forma que no produto escalar, dois vetores. Que sejam letras imperecíveis.

A própria ação denotado Da seguinte maneira: . Existem outras opções, mas estou acostumado a designar o produto vetorial de vetores dessa forma, entre colchetes com uma cruz.

E imediatamente pergunta: se em produto escalar de vetores dois vetores estão envolvidos, e aqui dois vetores também são multiplicados, então Qual é a diferença? Uma clara diferença, antes de tudo, no RESULTADO:

O resultado do produto escalar de vetores é um NÚMERO:

O resultado do produto vetorial de vetores é um VETOR: , ou seja, multiplicamos os vetores e obtemos um vetor novamente. Clube fechado. Na verdade, daí o nome da operação. Em vários literatura educacional a notação também pode variar, vou usar a letra .

Definição de produto vetorial

Primeiro haverá uma definição com uma imagem, depois comentários.

Definição: produto cruzado não colinear vetores, tomadas nesta ordem, é chamado de VETOR, comprimento que é numericamente igual à área do paralelogramo, construído sobre esses vetores; vetor ortogonal a vetores, e é direcionado para que a base tenha uma orientação correta:

Analisamos a definição por ossos, tem muita coisa interessante!

Assim, podemos destacar os seguintes pontos significativos:

1) Vetores de origem, indicados por setas vermelhas, por definição não colinear. Será apropriado considerar o caso de vetores colineares um pouco mais tarde.

2) Vetores obtidos estritamente certa ordem : – "a" é multiplicado por "ser", não "ser" para "a". O resultado da multiplicação de vetoresé VECTOR , que é indicado em azul. Se os vetores forem multiplicados na ordem inversa, obtemos um vetor igual em comprimento e oposto na direção (cor carmesim). Ou seja, a igualdade .

3) Agora vamos nos familiarizar com o significado geométrico do produto vetorial. Este é um ponto muito importante! O COMPRIMENTO do vetor azul (e, portanto, do vetor carmesim ) é numericamente igual à ÁREA do paralelogramo construído sobre os vetores . Na figura, este paralelogramo está sombreado em preto.

Observação : o desenho é esquemático e, claro, o comprimento nominal do produto transversal não é igual à área do paralelogramo.

Recordamos uma das fórmulas geométricas: a área de um paralelogramo é igual ao produto dos lados adjacentes e o seno do ângulo entre eles. Portanto, com base no exposto, a fórmula para calcular o COMPRIMENTO de um produto vetorial é válida:

Ressalto que na fórmula estamos falando do COMPRIMENTO do vetor, e não do vetor em si. Qual é o significado prático? E o significado é tal que, em problemas de geometria analítica, a área de um paralelogramo costuma ser encontrada por meio do conceito de produto vetorial:

Obtemos a segunda fórmula importante. A diagonal do paralelogramo (linha pontilhada vermelha) divide-o em dois triângulos iguais. Portanto, a área de um triângulo construído em vetores (sombreamento vermelho) pode ser encontrada pela fórmula:

4) Não inferior a fato importanteé que o vetor é ortogonal aos vetores , ou seja, . Obviamente, o vetor de direção oposta (seta carmesim) também é ortogonal aos vetores originais.

5) O vetor é orientado de modo que base Tem certo orientação. Em uma aula sobre transição para uma nova base falei detalhadamente sobre orientação plana, e agora vamos descobrir qual é a orientação do espaço. vou explicar em seus dedos mão direita. combinar mentalmente dedo indicador com vetor e dedo do meio com vetor. Dedo anelar e dedo mínimo pressione na palma da mão. Como resultado dedão- o produto vetorial irá aparecer. Esta é a base orientada para a direita (está na figura). Agora troque os vetores ( dedos indicador e médio) em alguns lugares, como resultado, o polegar vai virar e o produto vetorial já vai olhar para baixo. Esta é também uma base orientada para a direita. Talvez você tenha uma pergunta: que base tem orientação à esquerda? "Atribuir" os mesmos dedos mão esquerda vectors , e obtenha a base esquerda e a orientação espacial esquerda (neste caso, o polegar estará localizado na direção do vetor inferior). Falando figurativamente, essas bases “torcem” ou orientam o espaço em diferentes direções. E esse conceito não deve ser considerado algo rebuscado ou abstrato - por exemplo, o espelho mais comum muda a orientação do espaço, e se você “puxar o objeto refletido para fora do espelho”, em geral não será possível combiná-lo com o “original”. A propósito, leve três dedos ao espelho e analise o reflexo ;-)

... que bom que agora você conhece orientado para a direita e para a esquerda bases, pois as afirmações de alguns palestrantes sobre a mudança de orientação são péssimas =)

Produto vetorial de vetores colineares

A definição foi elaborada em detalhes, resta descobrir o que acontece quando os vetores são colineares. Se os vetores forem colineares, eles podem ser colocados em uma linha reta e nosso paralelogramo também “dobra” em uma linha reta. A área de tal, como dizem os matemáticos, degenerar paralelogramo é zero. O mesmo decorre da fórmula - o seno de zero ou 180 graus é igual a zero, o que significa que a área é zero

Assim, se , então E . Observe que o próprio produto vetorial é igual ao vetor zero, mas na prática isso é frequentemente negligenciado e escrito que também é igual a zero.

caso especialé o produto vetorial de um vetor e dele mesmo:

Usando o produto vetorial, você pode verificar a colinearidade de vetores tridimensionais, e também analisaremos esse problema, entre outros.

Para resolver exemplos práticos, pode ser necessário tabela trigonométrica para encontrar os valores dos senos a partir dele.

Bem, vamos começar um incêndio:

Exemplo 1

a) Encontre o comprimento do produto vetorial de vetores se

b) Encontre a área de um paralelogramo construído sobre vetores se

Solução: Não, isso não é um erro de digitação, intencionalmente fiz os mesmos dados iniciais nos itens de condição. Porque o design das soluções será diferente!

a) De acordo com a condição, é necessário encontrar comprimento vetor (produto vetorial). Pela fórmula correspondente:

Responder:

Como foi perguntado sobre o comprimento, na resposta indicamos a dimensão - unidades.

b) De acordo com a condição, é necessário encontrar quadrado paralelogramo construído sobre vetores. A área deste paralelogramo é numericamente igual ao comprimento do produto vetorial:

Responder:

Observe que na resposta sobre o produto vetorial não há conversa alguma, fomos questionados sobre área da figura, respectivamente, a dimensão é unidades quadradas.

Sempre olhamos para O QUE é necessário para ser encontrado pela condição e, com base nisso, formulamos claro responder. Pode parecer literalismo, mas existem literalistas suficientes entre os professores, e a tarefa com boas chances será devolvida para revisão. Embora este não seja um nitpick particularmente tenso - se a resposta estiver incorreta, fica-se com a impressão de que a pessoa não entende coisas simples e / ou não entendeu a essência da tarefa. Este momento deve ser sempre mantido sob controle, resolvendo qualquer problema em matemática superior, e em outras disciplinas também.

Para onde foi a letra grande "en"? Em princípio, poderia ser adicionalmente preso à solução, mas para encurtar o registro, não o fiz. Espero que todos entendam isso e seja a designação da mesma coisa.

Um exemplo popular para uma solução faça você mesmo:

Exemplo 2

Encontre a área de um triângulo construído sobre vetores se

A fórmula para encontrar a área de um triângulo através do produto vetorial é fornecida nos comentários da definição. Solução e resposta no final da lição.

Na prática, a tarefa é realmente muito comum, os triângulos geralmente podem ser torturados.

Para resolver outros problemas, precisamos:

Propriedades do produto vetorial de vetores

Já consideramos algumas propriedades do produto vetorial, porém, vou incluí-las nesta lista.

Para vetores arbitrários e um número arbitrário, as seguintes propriedades são verdadeiras:

1) Em outras fontes de informação, esse item geralmente não é diferenciado nas propriedades, mas é muito importante em termos práticos. Que assim seja.

2) - a propriedade também é discutida acima, às vezes é chamada anticomutatividade. Em outras palavras, a ordem dos vetores importa.

3) - combinação ou associativo leis de produtos vetoriais. As constantes são facilmente retiradas dos limites do produto vetorial. Realmente, o que eles estão fazendo lá?

4) - distribuição ou distribuição leis de produtos vetoriais. Também não há problemas com a abertura de parênteses.

Como demonstração, considere um pequeno exemplo:

Exemplo 3

Descubra se

Solução: Por condição, é necessário novamente encontrar o comprimento do produto vetorial. Vamos pintar nossa miniatura:

(1) De acordo com as leis associativas, retiramos as constantes além dos limites do produto vetorial.

(2) Tiramos a constante do módulo, enquanto o módulo “come” o sinal de menos. O comprimento não pode ser negativo.

(3) O que se segue é claro.

Responder:

É hora de jogar lenha na fogueira:

Exemplo 4

Calcule a área de um triângulo construído sobre vetores se

Solução: Encontre a área de um triângulo usando a fórmula . O problema é que os vetores "ce" e "te" são representados como somas de vetores. O algoritmo aqui é padrão e lembra um pouco os exemplos nº 3 e 4 da lição. Produto escalar de vetores. Vamos dividi-lo em três etapas para maior clareza:

1) No primeiro passo, expressamos o produto vetorial pelo produto vetorial, de fato, expresse o vetor em termos do vetor. Nenhuma palavra sobre o comprimento ainda!

(1) Substituímos expressões de vetores .

(2) Usando leis distributivas, abrimos os colchetes de acordo com a regra de multiplicação de polinômios.

(3) Usando as leis associativas, retiramos todas as constantes além dos produtos vetoriais. Com pouca experiência, as ações 2 e 3 podem ser executadas simultaneamente.

(4) O primeiro e o último termos são iguais a zero (vetor zero) devido à propriedade agradável . No segundo termo, usamos a propriedade anticomutatividade do produto vetorial:

(5) Apresentamos termos semelhantes.

Como resultado, o vetor acabou sendo expresso por meio de um vetor, que era o que precisava ser alcançado:

2) Na segunda etapa, encontramos o comprimento do produto vetorial que precisamos. Esta ação é semelhante ao Exemplo 3:

3) Encontre a área do triângulo desejado:

As etapas 2 a 3 da solução podem ser organizadas em uma linha.

Responder:

O problema considerado é bastante comum em trabalho de controle, aqui está um exemplo para uma solução faça você mesmo:

Exemplo 5

Descubra se

Solução curta e resposta no final da lição. Vamos ver o quão atento você estava ao estudar os exemplos anteriores ;-)

Produto vetorial de vetores em coordenadas

, dado na base ortonormal , é expresso pela fórmula:

A fórmula é muito simples: escrevemos os vetores de coordenadas na linha superior do determinante, “empacotamos” as coordenadas dos vetores na segunda e terceira linhas e colocamos em ordem estrita- primeiro, as coordenadas do vetor "ve", depois as coordenadas do vetor "ve duplo". Se os vetores precisam ser multiplicados em uma ordem diferente, as linhas também devem ser trocadas:

Exemplo 10

Verifique se os seguintes vetores espaciais são colineares:
A)
b)

Solução: O teste é baseado em uma das afirmações desta lição: se os vetores são colineares, então seu produto vetorial é zero (vetor zero): .

a) Encontre o produto vetorial:

Portanto, os vetores não são colineares.

b) Encontre o produto vetorial:

Responder: a) não colinear, b)

Aqui, talvez, esteja toda a informação básica sobre o produto vetorial de vetores.

Esta seção não será muito grande, pois existem poucos problemas em que o produto misto de vetores é usado. Na verdade, tudo dependerá da definição, significado geométrico e algumas fórmulas de trabalho.

O produto misto de vetores é produto de três vetores:

É assim que eles se alinham como um trem e esperam, mal podem esperar até serem calculados.

Primeiro novamente a definição e imagem:

Definição: Produto misto não coplanar vetores, tomadas nesta ordem, é chamado volume do paralelepípedo, construído sobre esses vetores, equipado com um sinal "+" se a base for correta e um sinal "-" se a base for esquerda.

Vamos fazer o desenho. Linhas invisíveis para nós são desenhadas por uma linha pontilhada:

Vamos mergulhar na definição:

2) Vetores obtidos em uma certa ordem, ou seja, a permutação de vetores no produto, como você pode imaginar, não ocorre sem consequências.

3) Antes de comentar o significado geométrico, observarei o fato óbvio: o produto misto de vetores é um NÚMERO: . Na literatura educacional, o design pode ser um pouco diferente, costumava designar um produto misto e o resultado dos cálculos com a letra "pe".

Priorado o produto misturado é o volume do paralelepípedo, construída sobre vetores (a figura é desenhada com vetores vermelhos e linhas pretas). Ou seja, o número é igual ao volume do paralelepípedo dado.

Observação : O desenho é esquemático.

4) Não vamos nos preocupar novamente com o conceito de orientação da base e do espaço. O significado da parte final é que um sinal de menos pode ser adicionado ao volume. Em palavras simples, o produto misto pode ser negativo: .

A fórmula para calcular o volume de um paralelepípedo construído sobre vetores segue diretamente da definição.

Ângulo entre vetores

Para introduzirmos o conceito de produto vetorial de dois vetores, devemos primeiro lidar com um conceito como o ângulo entre esses vetores.

Sejam dados dois vetores $\overline(α)$ e $\overline(β)$. Vamos pegar algum ponto $O$ no espaço e separar dele os vetores $\overline(α)=\overline(OA)$ e $\overline(β)=\overline(OB)$, então o ângulo $AOB $ será chamado de ângulo entre esses vetores (Fig. 1).

Notação: $∠(\overline(α),\overline(β))$

O conceito de produto vetorial de vetores e a fórmula para encontrar

Definição 1

O produto vetorial de dois vetores é um vetor perpendicular a ambos os vetores dados, e seu comprimento será igual ao produto dos comprimentos desses vetores pelo seno do ângulo entre esses vetores, e esse vetor com dois vetores iniciais tem o mesmo orientação como o sistema de coordenadas cartesianas.

Notação: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematicamente fica assim:

1. $|\overline(α)x\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)x\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)x\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ e $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ são o mesmo orientado (Fig. 2)

Obviamente, o produto externo dos vetores será igual ao vetor zero em dois casos:

1. Se o comprimento de um ou ambos os vetores for zero.
2. Se o ângulo entre estes vetores for igual a $180^\circ$ ou $0^\circ$ (porque neste caso o seno é igual a zero).

Para ver claramente como o produto vetorial de vetores é encontrado, considere os seguintes exemplos de solução.

Exemplo 1

Encontre o comprimento do vetor $\overline(δ)$, que será o resultado do produto vetorial de vetores, com coordenadas $\overline(α)=(0,4,0)$ e $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Solução.

Vamos representar esses vetores no espaço de coordenadas cartesianas (Fig. 3):

Figura 3. Vetores no espaço de coordenadas cartesianas. Author24 - troca online de trabalhos de estudantes

Vemos que esses vetores estão nos eixos $Ox$ e $Oy$, respectivamente. Portanto, o ângulo entre eles será igual a $90^\circ$. Vamos encontrar os comprimentos desses vetores:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Então, pela Definição 1, obtemos o módulo $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Resposta: $ 12 $.

Cálculo do produto vetorial pelas coordenadas dos vetores

A definição 1 implica imediatamente uma maneira de encontrar o produto vetorial para dois vetores. Como um vetor, além de um valor, também possui uma direção, é impossível encontrá-lo usando apenas um valor escalar. Mas, além disso, existe outra maneira de encontrar os vetores que nos são dados usando as coordenadas.

Sejam dados os vetores $\overline(α)$ e $\overline(β)$, que terão as coordenadas $(α_1,α_2,α_3)$ e $(β_1,β_2,β_3)$, respectivamente. Então o vetor do produto vetorial (ou seja, suas coordenadas) pode ser encontrado pela seguinte fórmula:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatriz)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatriz)$

Caso contrário, expandindo o determinante, obtemos as seguintes coordenadas

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Exemplo 2

Encontre o vetor do produto vetorial dos vetores colineares $\overline(α)$ e $\overline(β)$ com as coordenadas $(0,3,3)$ e $(-1,2,6)$.

Solução.

Vamos usar a fórmula acima. Pegar

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatriz)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatriz)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Resposta: $(12,-3,3)$.

Propriedades do produto vetorial de vetores

Para três vetores mistos arbitrários $\overline(α)$, $\overline(β)$ e $\overline(γ)$, bem como $r∈R$, as seguintes propriedades são válidas:

Exemplo 3

Encontre a área de um paralelogramo cujos vértices têm coordenadas $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ e $(3,8,0) $.

Solução.

Primeiro, desenhe este paralelogramo no espaço de coordenadas (Fig. 5):

Figura 5. Paralelogramo no espaço de coordenadas. Author24 - troca online de trabalhos de estudantes

Vemos que os dois lados desse paralelogramo são construídos usando vetores colineares com coordenadas $\overline(α)=(3,0,0)$ e $\overline(β)=(0,8,0)$. Usando a quarta propriedade, obtemos:

$S=|\overline(α)x\overline(β)|$

Encontre o vetor $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatriz)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatriz)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Por isso

$S=|\overline(α)x\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$