Compassos da seção áurea. A proporção áurea é o princípio universal da harmonia
retângulos dinâmicos
Platão (427...347 aC) também sabia sobre a divisão áurea. Seu diálogo "Timeu" é dedicado às visões matemáticas e estéticas da escola de Pitágoras e, em particular, às questões da divisão áurea.
Na fachada do antigo templo grego do Partenon existem proporções douradas. Durante suas escavações, foram encontradas bússolas, que foram utilizadas por arquitetos e escultores do mundo antigo. A bússola de Pompeia (Museu de Nápoles) também contém as proporções da divisão áurea.
Bússolas antigas de proporção áurea
No que chegou até nós literatura antiga a divisão áurea foi mencionada pela primeira vez nos Elementos de Euclides. No 2º livro dos "Princípios" é dada a construção geométrica da divisão áurea.Depois de Euclides, Hypsicles (século II aC), Pappus (século III dC) e outros se dedicaram ao estudo da divisão áurea. Europa medieval conheceu a divisão áurea por traduções árabes O "início" de Euclides. O tradutor J. Campano de Navarra (século III) comentou a tradução. Os segredos da divisão de ouro foram cuidadosamente guardados, mantidos em estrito sigilo. Eles eram conhecidos apenas pelos iniciados.
Durante o Renascimento, o interesse pela divisão áurea entre cientistas e artistas aumentou devido à sua aplicação tanto na geometria quanto na arte, especialmente na arquitetura. Leonardo da Vinci, artista e cientista, viu que artistas italianos a experiência empírica é grande, mas o conhecimento é pequeno. Ele concebeu e começou a escrever um livro sobre geometria, mas naquela época apareceu um livro do monge Luca Pacioli e Leonardo abandonou a ideia. Segundo contemporâneos e historiadores da ciência, Luca Pacioli foi um verdadeiro luminar, o maior matemático da Itália entre Fibonacci e Galileu. Luca Pacioli foi aluno do artista Piero della Francesca, que escreveu dois livros, um dos quais se chamava Sobre a perspectiva na pintura. Ele é considerado o criador da geometria descritiva.
Luca Pacioli estava bem ciente da importância da ciência para a arte. Em 1496, a convite do duque de Moreau, veio para Milão, onde lecionou matemática. Leonardo da Vinci também trabalhava na corte de Moro em Milão naquela época. Em 1509, a Divina Proporção de Luca Pacioli foi publicada em Veneza, com ilustrações brilhantemente executadas, razão pela qual se acredita que tenham sido feitas por Leonardo da Vinci. O livro era um hino entusiástico à proporção áurea. Entre as muitas vantagens da proporção áurea, o monge Luca Pacioli não deixou de nomear sua “essência divina” como expressão da trindade divina de Deus Filho, Deus Pai e Deus Espírito Santo (entendeu-se que o pequeno segmento é a personificação de Deus Filho, o segmento maior é a personificação de Deus Pai e o todo - o deus do espírito santo).
Leonardo da Vinci também prestou muita atenção ao estudo da divisão áurea. Ele fez seções de um corpo estereométrico formado por pentágonos regulares e, a cada vez, obteve retângulos com proporções em divisão áurea. Então ele deu a esta divisão o nome proporção áurea. Portanto, ainda é o mais popular.
Ao mesmo tempo, no norte da Europa, na Alemanha, Albrecht Dürer trabalhava nos mesmos problemas. Ele esboça uma introdução ao primeiro rascunho de um tratado sobre proporções. Durer escreve. “É necessário que aquele que sabe alguma coisa o ensine a outros que dele necessitem. Isso é o que eu me propus a fazer."
A julgar por uma das cartas de Dürer, ele se encontrou com Luca Pacioli durante sua estada na Itália. Albrecht Dürer desenvolve a teoria das proporções em detalhes corpo humano. Dürer atribuiu um lugar importante em seu sistema de proporções à seção áurea. A altura de uma pessoa é dividida em proporções áureas pela linha da cintura, bem como pela linha traçada pelas pontas dos dedos médios das mãos abaixadas, a parte inferior do rosto - pela boca, etc. Conhecido compasso proporcional Dürer.
Grande astrônomo do século XVI Johannes Kepler chamou a proporção áurea de um dos tesouros da geometria. Ele é o primeiro a chamar a atenção para a importância da proporção áurea para a botânica (crescimento e estrutura das plantas).
Kepler ligou proporção áurea continuando-se “Está organizado de tal maneira”, escreveu ele, “que os dois termos juniores dessa proporção infinita somam o terceiro termo, e quaisquer dois últimos termos, se somados, dão o próximo termo, e o mesmo proporção permanece indefinidamente.”
A construção de uma série de segmentos da proporção áurea pode ser feita tanto no sentido de aumento (série crescente) quanto no sentido de diminuição (série decrescente).
Se em uma linha reta de comprimento arbitrário, adie o segmento m, coloque de lado um segmento M. Com base nesses dois segmentos, construímos uma escala de segmentos da proporção áurea da série ascendente e descendente
Construindo uma escala de segmentos da proporção áurea
Definição: “A proporção da parte maior para a menor é igual à proporção do valor total para a parte maior” - geralmente quebra completamente o cérebro para quem raramente o usa. Mas isso é muito conceito importante. E quanto mais você começa a estudar a Seção Áurea, mais você entende que esta é a Verdade, escrita na forma de uma fórmula. E, de fato, essa fórmula é simples. Esta é a divisão do todo em duas partes - 62% e 38%, que podem durar indefinidamente, enquanto todas as partes estão em absoluta harmonia entre si e com o todo. É maravilhoso. E isso não é uma descoberta. Esta é uma observação comum que as pessoas têm observado por muitos milênios. E observando, eles começaram a usá-lo em suas vidas, tornando-o assim divinamente belo e correto.
Você ficará surpreso, mas tudo o que realmente nos diz sobre a Verdade cabe na Seção Áurea, que, podemos dizer com confiança, é a reveladora do verdadeiro e do falso. Contra o pano de fundo da Seção Áurea, você simplesmente não pode dizer ou fazer algo contrário à Verdade. Pelo menos você não poderá fazer isso na frente de pessoas que conhecem bem a Seção Áurea. Portanto, recomendo fortemente que você assista a este curta-metragem para que possa ingressar neste Conhecimento cósmico e saber o que é verdadeiro e o que não é.
Bússola de Fibonacci
No filme, estou falando de uma ferramenta muito útil que chamei de "Bússola de Fibonacci", é provável que tenha um nome diferente, mas resolvi chamar assim. Se você pessoa criativa, desenhe, desenhe, crie, faça alguma coisa, então você simplesmente precisa. Sim, e mesmo em vida comumé necessário se, é claro, você estiver interessado em ter as coisas ao seu redor em harmonia dourada. Essa bússola, por exemplo, permitirá que você escolha a casa certa, que tenha uma proporção áurea, um tapete, uma piscina .. o que for. Isto é muito ferramenta certa. No filme, explico como medi-los. E você pode fazer isso em apenas cinco minutos. Anexei o diagrama abaixo na imagem.
Por que é bonita, por exemplo, uma rosa? Ou um girassol? Ou uma cauda de pavão? Seu cachorro favorito e não menos gato favorito? "Muito simples!" - o matemático responderá e começará a explicar a lei, que foi descoberta na antiguidade (talvez tenha sido notada na natureza) e foi chamada de proporção áurea.
Sugerimos que você faça uma "bússola de ouro" - a ferramenta mais simples para medir a proporção áurea, conhecida desde a antiguidade. Isso ajudará a encontrar harmonia verificada matematicamente nos objetos ao redor.
1. Precisamos de duas tiras do mesmo comprimento - de madeira, papelão ou papel grosso, além de um parafuso com arruela e porca.
2. Fazemos um furo nas duas barras de forma que o meio do furo divida a barra na proporção áurea, ou seja, o comprimento de sua maior parte dividido pelo comprimento de toda a barra deve ser igual a 1,618. Por exemplo, se o comprimento da barra for de 10 cm, o furo deve ser feito recuando de uma das bordas 10 x 0,618 = 6,18 cm. Se o comprimento da barra for de 1 m, faremos o furo, recuando da borda 100 x 0,618 = 61,8 cm.
3. Conectamos as pranchas com um parafuso para que possam girar em torno dele com atrito. O círculo está pronto. De acordo com as leis de semelhança de triângulos, as distâncias entre as extremidades das pernas menor e maior do compasso estão relacionadas da mesma forma que o comprimento da parte menor da barra para a maior, ou seja, sua razão é φ \u003d 1,618.
4. Agora você pode começar a explorar! Vamos verificar se uma pessoa foi criada de acordo com as leis da proporção áurea.
Vamos considerar uma solução de bússola maior para a distância do queixo à ponte do nariz. Fixamos essa distância pressionando a bússola com os dedos e virando-a. Em uma solução menor, ajuste a distância da ponte do nariz até a raiz do cabelo. Isso significa que o ponto na ponte do nariz divide nosso rosto na proporção áurea!
5. Se você é fascinado pelas leis da proporção áurea, sugerimos fazer da “bússola de ouro” um design um pouco mais complexo. Como? Tente pensar por si mesmo.
Procure as proporções áureas nas coisas que lhe parecem belas - você quase certamente encontrará a proporção áurea nelas e garantirá que nosso mundo seja belo e harmonioso! Sucesso nas pesquisas!
Com base no princípio descrito, um Retângulo Áureo (ou harmonioso) é aquele em que os lados estão relacionados como 1: 1,618, ou seja, o comprimento do lado maior do retângulo é igual ao comprimento do lado menor do retângulo multiplicado por ∳ (phi)=1,618:
Você reconhece? É um tampo de mesa harmonioso! Ou a fachada do gabinete e muito mais.
Da mesma forma, o Paralelepípedo Dourado (ou harmonioso) é aquele em que os lados também estão relacionados como 1: 1,618, ou seja, o comprimento do lado maior da caixa é igual à altura da caixa multiplicada por ∳ (phi)=1,618, e a largura da caixa é igual à altura da caixa dividida por ∳ (phi)=1,618:
Você reconhece? Este é um armário de móveis, mesa de parede (console), etc.
A Proporção Áurea fundamenta muitos (se não todos) relacionamentos naturais e até mesmo a construção de nosso universo. Os exemplos são abundantes em todos os níveis, desde a criação de coelhos, o arranjo de sementes em um girassol e nozes em um cone, até a astrofísica e a mecânica quântica. As órbitas planetárias e até a estrutura da figura humana são outro exemplo dessa notável proporção.
A razão entre as falanges adjacentes dos dedos é ∳ (phi) = 1,618, A razão entre o cotovelo e a mão é ∳ (phi) = 1,618, a razão entre a distância da coroa aos olhos e a distância dos olhos aos o queixo é ∳ (phi) = 1,618, a razão entre a distância da coroa ao umbigo e a distância do umbigo aos calcanhares é novamente ∳ (phi) = 1,618:
Distâncias entre o sol e os primeiros cinco planetas em sistema solar também se correlacionam (aproximadamente) como ∳ (phi) = 1,618, portanto, como é certamente conhecido, a astrometria usa a proporção áurea ao determinar os planetas em suas órbitas:
Por ser tão fundamental e tão difundida na natureza, essa atitude simplesmente nos chama em um nível subconsciente como a absolutamente correta a seguir. Como tal, esta proporção tem sido usada há séculos por designers e arquitetos, desde pirâmides até obras-primas de móveis.
A Grande Pirâmide de Gizé, como agora está claro, também foi construída de acordo com a Seção Áurea: a altura do lado da pirâmide é igual ao comprimento da base do lado da pirâmide, multiplicado pelo mesmo valor ∳ (fi) = 1,618:
Durante a construção do Parthenon (um antigo templo grego localizado na Acrópole ateniense, templo principal na antiga Atenas) usou a razão ∳ (phi) = 1,618 ao determinar dimensões externas e a razão de suas partes:
Não se sabe ao certo se calculadoras ou marcadores de Fibonacci foram usados na construção do Partenon, mas a proporção foi definitivamente aplicada. Mais detalhes sobre a razão ∳ (phi) = 1,618 na construção deste monumento arquitetônico são dados no vídeo, a partir do 48º segundo:
No vídeo acima, finalmente, chegou-se a um móvel, ainda que simples. O principal é que a proporção ainda é a mesma - ∳ (phi) = 1,618.
Um tipo de cômoda com muitas gavetas, chamado em diferentes publicações como Highboy ou Popadour ("Tall guy" ou "Pompadour"), fabricado na Filadélfia entre 1762 e 1790, usa a Razão Áurea na proporção dos tamanhos de muitos dos seus elementos. A moldura é um retângulo dourado, a posição do estreitamento ("cintura" do gabinete) é determinada dividindo a altura total do gabinete por ∳ (phi) = 1,618. As alturas das gavetas inferiores também estão relacionadas como ∳ (phi) = 1,618:
A Seção Áurea é utilizada na fabricação de móveis na maioria das vezes como uma espécie de retângulo, que é construído usando ∳ (phi) = 1,618 para suas duas dimensões, ou seja, o já mencionado Retângulo Dourado, onde o comprimento é 1,618 vezes a largura (ou vice-versa). Essas proporções podem ser usadas para determinar as dimensões gerais dos móveis, bem como detalhes internos, como portas e gavetas. Pode-se aplicar cálculos dividindo e multiplicando por um número "redondo" e conveniente como 1,618, mas pode-se simplesmente usar , simplesmente tomando as dimensões do objeto maior e deixando de lado o tamanho do objeto menor depois disso. Ou vice-versa. Rápido, simples e conveniente.
A mobília é tridimensional e a Proporção Áurea pode ser aplicada a todas as três dimensões, ou seja, um móvel torna-se um Paralelepípedo Dourado se for feito de acordo com as regras da Razão Áurea. Por exemplo, em caso simples Ao olhar um móvel de lado, sua altura pode ser a maior medida do Retângulo Áureo. No entanto, ao olhar para o mesmo móvel de frente, a mesma altura pode ser uma medida curta no Retângulo Áureo.
Deve-se notar, no entanto, que a forma de um objeto deve seguir sua função. Mesmo as proporções perfeitas de um móvel podem não ter sentido se o item não puder ser usado, por exemplo, porque é muito pequeno ou muito grande, ou por outros motivos não pode ser usado confortavelmente. Portanto, considerações práticas devem vir em primeiro lugar. Na verdade, a maioria dos projetos de móveis exige que você comece a desenhar com alguns dimensões dadas R: Uma mesa precisa ter uma certa altura, um armário pode precisar ser ajustado a um determinado espaço e uma estante pode precisar de um certo número de prateleiras. Mas quase certamente você será forçado a definir muitos outros tamanhos em relação aos quais as proporções corretas podem ser aplicadas. Mas o resultado final valerá o esforço para ver como a proporção áurea pode funcionar para todos esses elementos. Decidir as dimensões "a olho" ou, pior ainda, com base nos espaços em branco disponíveis, não permitirá obter um equilíbrio perfeito, com belas proporções de peças individuais e móveis como um todo.
Assim, as dimensões dos móveis individuais devem ser proporcionais de acordo com a Proporção Áurea. Elementos como pernas de mesa, as dimensões relativas de elementos de estrutura, como partes verticais e horizontais de fachadas, propernas, gavetas, etc., podem ser calculadas usando a Proporção Áurea. proporção áurea também oferece uma maneira de resolver o problema de projetar gavetas em uma cômoda com um aumento escalonado na altura das gavetas. Com a ajuda, é fácil realizar essa marcação - basta pegar o tamanho de uma caixa maior e separar as dimensões de duas caixas adjacentes usando o marcador, etc. Depois disso, tomando o tamanho da caixa, use o marcador para marcar a distância do topo da caixa até o local de sua alça.
Este método de uso como uma ferramenta para aplicação prática A proporção áurea também será eficaz para determinar outras dimensões, como a posição das prateleiras em um armário, divisórias entre gavetas, etc. Qualquer tamanho de móvel é inicialmente determinado por requisitos funcionais e estruturais, mas muitos ajustes podem ser feitos com a aplicação da Proporção Áurea, que certamente dará harmonia à peça. O uso da Proporção Áurea ao projetar móveis permitirá harmonizar não apenas o objeto como um todo, mas também garantir que todos os componentes - painéis de portas, gavetas, pés, laterais, etc. fundamentalmente, harmoniosamente interconectados.
Projetar algo com proporções absolutamente perfeitas raramente é possível na realidade. Quase todas as peças de mobília ou madeira terão que ser pesadas contra as restrições de funcionalidade, marcenaria ou economia de custos. Mas mesmo uma tentativa de se aproximar da perfeição, que pode ser definida como dimensões que correspondem exatamente à proporção áurea, garante a você melhor resultado comparado a desenvolver sem prestar atenção a esses princípios fundamentais. Mesmo se você estiver próximo das proporções ideais, o olho do observador suavizará pequenas falhas e a consciência preencherá algumas lacunas no design. É desejável, mas não necessário, que tudo seja perfeito e conforme a fórmula. Mas se o seu móvel for absolutamente desproporcional, sem dúvida ficará feio. Portanto, é necessário buscar as proporções corretas.
Finalmente, muitas vezes ajustamos as coisas visualmente para tornar o assuntomais leve e mais equilibrado, e fazemos isso com a ajuda de métodosque são cotidianos na marcenaria. Esses métodos incluem levar em consideração as mudanças nas dimensões da peça de trabalho, com base na direção das fibras de madeira, levando em consideraçãopadrão de madeira, com o qual você pode tornar um móvel mais atraente,bordas e cantos de acabamento que dão a impressão de maior ou menor espessuraelemento do produto, o uso de molduras para combinar melhor o produto com o Retângulo Dourado ou Paralelepípedo, o uso de pernas cônicas para dar a sensaçãoaproximando o móvel de proporção perfeita, e, no final, misturando todos esses métodos para obter o design perfeito. O uso do Golden Mean e a ferramenta para sua aplicação, o Fibonacci Scatterer, é o início dessa busca pela perfeição.
Materiais usados no artigo capítulos "A Guide to Good Design" do livro "Practical Furniture Design" de Graham Blackburn - fabricante de móveis reconhecido, divulgador da marcenaria e editor
Alexey Chulichkov
Por que é bonita, por exemplo, uma rosa? Ou um girassol? Ou uma cauda de pavão? Seu cachorro favorito e não menos gato favorito? "Muito simples!" - o matemático responderá e começará a explicar a lei que foi descoberta na antiguidade (talvez tenha sido notada na natureza) e foi chamada de proporção áurea. (Veja o artigo “Deus sabe matemática?” na última edição.)
Convidamos você a fazer uma "bússola de ouro" - a ferramenta mais simples para medir a proporção áurea, conhecida desde a antiguidade. Isso ajudará a encontrar harmonia verificada matematicamente nos objetos ao redor.
1. Precisamos de duas tiras do mesmo comprimento - de madeira, papelão ou papel grosso, além de um parafuso com arruela e porca.
2. Fazemos um furo nas duas tiras de forma que o meio do furo divida a tira na proporção áurea, ou seja, o comprimento de sua maior parte dividido pelo comprimento de toda a tira deve ser igual. Por exemplo, se o comprimento da tira é de 10 cm, então o furo deve ser feito, recuando de uma das bordas 10 x 0,618 \u003d 6,18 cm. Se o comprimento da barra for de 1 m, então fazemos um furo, recuando da borda 100 x 0,618 \u003d 61,8 cm É conveniente ter à mão bússolas grandes e pequenas para medir objetos de diferentes escalas.
3. Conectamos as pranchas com um parafuso para que possam girar em torno dele com atrito. O círculo está pronto. De acordo com as leis da semelhança dos triângulos, as distâncias entre as extremidades das pernas menor e maior do compasso são iguais ao comprimento da parte menor da barra para a maior, ou seja, sua proporção é φ.
4. Agora você pode começar a explorar! Vamos verificar se uma pessoa foi criada de acordo com as leis da proporção áurea. Vamos considerar uma solução de bússola maior para a distância do queixo à ponte do nariz. Em uma solução menor, ajuste a distância da ponte do nariz até a raiz do cabelo. Isso significa que o ponto na ponte do nariz divide nosso rosto na proporção áurea!
5. Se você é fascinado pelas leis da proporção áurea, sugerimos fazer da “bússola de ouro” um design um pouco mais complexo. Como? Tente pensar por si mesmo.
Procure as proporções áureas nas coisas que lhe parecem belas - você quase certamente encontrará a proporção áurea nelas e garantirá que nosso mundo seja belo e harmonioso! Sucesso nas pesquisas!
