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Compassos da seção áurea. O riscador de Fibonacci e seu uso na fabricação de móveis

retângulos dinâmicos

Platão (427...347 aC) também sabia sobre a divisão áurea. Seu diálogo "Timeu" é dedicado às visões matemáticas e estéticas da escola de Pitágoras e, em particular, às questões da divisão áurea.

Na fachada do antigo templo grego do Partenon existem proporções douradas. Durante suas escavações, foram encontradas bússolas, que foram utilizadas por arquitetos e escultores do mundo antigo. A bússola de Pompeia (Museu de Nápoles) também contém as proporções da divisão áurea.

Bússolas antigas de proporção áurea

Na literatura antiga que chegou até nós, a divisão áurea foi mencionada pela primeira vez nos Elementos de Euclides. No segundo livro dos "Inícios" é dada a construção geométrica da divisão áurea. Depois de Euclides, Hypsicles (século II aC), Pappus (século III dC) e outros se dedicaram ao estudo da divisão áurea. Na Europa medieval com a divisão áurea Conhecemo-nos através de traduções árabes dos Elementos de Euclides. O tradutor J. Campano de Navarra (século III) comentou a tradução. Os segredos da divisão de ouro foram cuidadosamente guardados, mantidos em estrito sigilo. Eles eram conhecidos apenas pelos iniciados.

Durante o Renascimento, o interesse pela divisão áurea entre cientistas e artistas aumentou devido à sua aplicação tanto na geometria quanto na arte, especialmente na arquitetura. Leonardo da Vinci, artista e cientista, viu que artistas italianos a experiência empírica é grande, mas o conhecimento é pequeno. Ele concebeu e começou a escrever um livro sobre geometria, mas naquela época apareceu um livro do monge Luca Pacioli e Leonardo abandonou a ideia. Segundo contemporâneos e historiadores da ciência, Luca Pacioli foi um verdadeiro luminar, o maior matemático da Itália entre Fibonacci e Galileu. Luca Pacioli foi aluno do artista Piero della Francesca, que escreveu dois livros, um dos quais se chamava Sobre a perspectiva na pintura. Ele é considerado o criador da geometria descritiva.

Leonardo da Vinci também prestou muita atenção ao estudo da divisão áurea. Ele fez seções de um corpo estereométrico formado por pentágonos regulares e, a cada vez, obteve retângulos com proporções em divisão áurea. Então ele deu a esta divisão o nome proporção áurea. Portanto, ainda é o mais popular.

Ao mesmo tempo, no norte da Europa, na Alemanha, Albrecht Dürer trabalhava nos mesmos problemas. Ele esboça uma introdução ao primeiro rascunho de um tratado sobre proporções. Durer escreve. “É necessário que aquele que sabe alguma coisa o ensine a outros que dele necessitem. Isso é o que eu me propus a fazer."

A julgar por uma das cartas de Dürer, ele se encontrou com Luca Pacioli durante sua estada na Itália. Albrecht Dürer desenvolve em detalhes a teoria das proporções do corpo humano. Dürer atribuiu um lugar importante em seu sistema de proporções à seção áurea. A altura de uma pessoa é dividida em proporções áureas pela linha da cintura, bem como pela linha traçada pelas pontas dos dedos médios das mãos abaixadas, a parte inferior do rosto - pela boca, etc. Conhecido compasso proporcional Dürer.

Grande astrônomo do século XVI Johannes Kepler chamou a proporção áurea de um dos tesouros da geometria. Ele é o primeiro a chamar a atenção para a importância da proporção áurea para a botânica (crescimento e estrutura das plantas).

Kepler chamou a proporção áurea de autocontínua. “É arranjada de tal maneira”, escreveu ele, “que os dois termos juniores dessa proporção infinita somam o terceiro termo, e quaisquer dois últimos termos, se somados, dão o próximo termo, e a mesma proporção permanece até o infinito."

A construção de uma série de segmentos da proporção áurea pode ser feita tanto no sentido de aumento (série crescente) quanto no sentido de diminuição (série decrescente).

Se em uma linha reta de comprimento arbitrário, adie o segmento m, coloque de lado um segmento M. Com base nesses dois segmentos, construímos uma escala de segmentos da proporção áurea da série ascendente e descendente

Construindo uma escala de segmentos da proporção áurea

Desde os tempos antigos, as pessoas se preocupam com a questão de saber se coisas indescritíveis como beleza e harmonia estão sujeitas a cálculos matemáticos. Claro, todas as leis da beleza não podem ser contidas em algumas fórmulas, mas estudando matemática, podemos descobrir alguns termos de beleza - a proporção áurea. Nossa tarefa é descobrir o que é a seção áurea e estabelecer onde a humanidade encontrou o uso da seção áurea.

Você provavelmente prestou atenção ao fato de tratarmos objetos e fenômenos da realidade circundante de maneira diferente. Ser h decência, seja h uniformidade, desproporção são percebidas por nós como feias e produzem uma impressão repulsiva. E objetos e fenômenos, que se caracterizam pela medida, conveniência e harmonia, são percebidos como belos e nos causam um sentimento de admiração, alegria, ânimo.

Uma pessoa em sua atividade encontra constantemente objetos baseados na proporção áurea. Há coisas que não podem ser explicadas. Então você chega a um banco vazio e senta nele. Onde você vai sentar? No meio? Ou talvez desde o limite? Não, provavelmente não um ou outro. Você se sentará de tal forma que a proporção de uma parte do banco para outra em relação ao seu corpo será de aproximadamente 1,62. Uma coisa simples, absolutamente instintiva... Sentado em um banco, você reproduziu a "proporção áurea".

A proporção áurea era conhecida no antigo Egito e na Babilônia, na Índia e na China. O grande Pitágoras criou uma escola secreta onde se estudava a essência mística da "seção áurea". Euclides o aplicou, criando sua geometria, e Fídias - suas esculturas imortais. Platão disse que o universo é organizado de acordo com a "seção áurea". Aristóteles encontrou a correspondência da "seção áurea" com a lei ética. A mais alta harmonia da "seção áurea" será pregada por Leonardo da Vinci e Michelangelo, porque a beleza e a "seção áurea" são a mesma coisa. E os místicos cristãos desenharão pentagramas da "seção áurea" nas paredes de seus mosteiros, escapando do Diabo. Ao mesmo tempo, os cientistas - de Pacioli a Einstein - procurarão, mas nunca encontrarão seu significado exato. Ser h a linha final após o ponto decimal é 1,6180339887... Uma coisa estranha, misteriosa e inexplicável - essa proporção divina acompanha misticamente todos os seres vivos. A natureza inanimada não sabe o que é a "seção áurea". Mas você certamente verá essa proporção nas curvas das conchas do mar, e na forma de flores, e na forma de besouros, e em um belo corpo humano. Tudo vivo e tudo belo - tudo obedece à lei divina, cujo nome é "seção áurea". Então, qual é a "proporção áurea"? O que é essa combinação perfeita e divina? Talvez seja a lei da beleza? Ou ainda é um segredo místico? Fenômeno científico ou princípio ético? A resposta ainda é desconhecida. Mais precisamente - não, é conhecido. "Seção de ouro" é isso, e outro, e o terceiro. Só não separadamente, mas ao mesmo tempo ... E este é o seu verdadeiro mistério, o seu grande segredo.

Provavelmente é difícil encontrar uma medida confiável para uma avaliação objetiva da própria beleza, e a lógica por si só não serve aqui. Porém, aqui vai ajudar a experiência de quem a busca pela beleza era o próprio sentido da vida, que fez dela a sua profissão. Em primeiro lugar, são pessoas de arte, como as chamamos: artistas, arquitetos, escultores, músicos, escritores. Mas são pessoas das ciências exatas, antes de tudo, matemáticos.

Confiando no olho mais do que em outros órgãos dos sentidos, o homem aprendeu antes de tudo a distinguir os objetos ao seu redor pela forma. O interesse pela forma de um objeto pode ser ditado por uma necessidade vital ou pode ser causado pela beleza da forma. A forma, que se baseia na combinação da simetria e da proporção áurea, contribui para a melhor percepção visual e para o surgimento de uma sensação de beleza e harmonia. O todo sempre consiste em partes, partes de tamanhos diferentes estão em uma certa relação umas com as outras e com o todo. O princípio da seção áurea é a mais alta manifestação da perfeição estrutural e funcional do todo e suas partes na arte, ciência, tecnologia e natureza.

SEÇÃO DOURADA - PROPORÇÃO HARMÔNICA

Na matemática, uma proporção é a igualdade de duas razões:

O segmento de reta AB pode ser dividido em duas partes das seguintes maneiras:

em duas partes iguais - AB: AC = AB: BC;
em duas partes desiguais em qualquer proporção (essas partes não formam proporções);
assim, quando AB:AC=AC:BC.

Esta última é a divisão áurea (seção).

A seção áurea é uma divisão tão proporcional de um segmento em partes desiguais, em que todo o segmento se relaciona com a parte maior da mesma forma que a própria parte maior se relaciona com a menor, ou seja, o segmento menor é relacionado com o maior como o maior está com tudo

a:b=b:c ou c:b=b:a.

Representação geométrica da proporção áurea

O conhecimento prático da proporção áurea começa com a divisão de um segmento de linha reta na proporção áurea usando um compasso e uma régua.

Divisão de um segmento de linha de acordo com a proporção áurea. BC=1/2AB; CD=BC

A partir do ponto B, restabelece-se uma perpendicular igual à metade AB. O ponto C resultante é conectado por uma linha ao ponto A. Na linha resultante, um segmento BC é traçado, terminando no ponto D. O segmento AD é transferido para a linha reta AB. O ponto resultante E divide o segmento AB na proporção da proporção áurea.

Os segmentos da proporção áurea são expressos sem h fração final AE=0,618..., se AB for tomado como uma unidade, BE=0,382... Para fins práticos, valores aproximados de 0,62 e 0,38 são frequentemente usados. Se o segmento AB for considerado como 100 partes, a maior parte do segmento será 62 e a menor 38 partes.

As propriedades da seção áurea são descritas pela equação:

Solução desta equação:

As propriedades da proporção áurea criaram em torno desse número uma aura romântica de mistério e quase uma geração mística. Por exemplo, em uma estrela regular de cinco pontas, cada segmento é dividido pelo segmento que o cruza em proporção à proporção áurea (ou seja, a proporção do segmento azul para verde, vermelho para azul, verde para roxo, é 1,618).

SEGUNDA SEÇÃO DE OURO

Essa proporção é encontrada na arquitetura.

Construção da segunda seção áurea

A divisão é feita da seguinte forma. O segmento AB é dividido proporcionalmente à seção áurea. A partir do ponto C, a perpendicular CD é restaurada. O raio AB é o ponto D, que é conectado por uma linha ao ponto A. O ângulo reto ACD é dividido ao meio. Uma linha é traçada do ponto C até a interseção com a linha AD. O ponto E divide o segmento AD em relação a 56:44.

Divisão de um retângulo por uma linha da segunda proporção áurea

A figura mostra a posição da linha da segunda seção áurea. Ele está localizado no meio entre a linha da seção áurea e a linha do meio do retângulo.

TRIÂNGULO DOURADO (pentagrama)

Para encontrar segmentos da proporção áurea das linhas ascendentes e descendentes, você pode usar o pentagrama.

Construção de um pentágono regular e pentagrama

Para construir um pentagrama, você precisa construir um pentágono regular. O método de sua construção foi desenvolvido pelo pintor e artista gráfico alemão Albrecht Dürer. Seja O o centro do círculo, A um ponto do círculo e E o ponto médio do segmento OA. A perpendicular ao raio OA, elevada no ponto O, intercepta o círculo no ponto D. Usando um compasso, marque o segmento CE=ED no diâmetro. O comprimento de um lado de um pentágono regular inscrito em um círculo é DC. Separamos segmentos DC no círculo e obtemos cinco pontos por desenhar um pentágono regular. Conectamos os cantos do pentágono por meio de uma diagonal e obtemos um pentagrama. Todas as diagonais do pentágono se dividem em segmentos conectados pela proporção áurea.

Cada extremidade da estrela pentagonal é um triângulo dourado. Seus lados formam um ângulo de 36 0 no topo, e a base colocada no lado o divide na proporção da seção áurea.

Desenhe a linha reta AB. Do ponto A, traçamos um segmento O de tamanho arbitrário três vezes, através do ponto resultante P desenhamos uma perpendicular à linha AB, na perpendicular à direita e à esquerda do ponto P colocamos os segmentos O. O resultante os pontos d e d 1 são conectados por linhas retas com o ponto A. Segmento dd 1 colocamos na linha Ad 1, obtendo o ponto C. Ela dividiu a linha Ad 1 em proporção à proporção áurea. As linhas Ad 1 e dd 1 são usadas para construir um retângulo "dourado".

Construção do triângulo de ouro

HISTÓRIA DA SECÇÃO DE OURO

De fato, as proporções da pirâmide de Quéops, templos, utensílios domésticos e decorações da tumba de Tutancâmon indicam que os artesãos egípcios usaram as proporções da divisão áurea ao criá-los. O arquiteto francês Le Corbusier descobriu que no relevo do templo do faraó Seti I em Abidos e no relevo representando o faraó Ramsés, as proporções das figuras correspondem aos valores da divisão áurea. O arquiteto Khesira, representado no relevo de uma tábua de madeira da tumba de seu nome, segura nas mãos instrumentos de medição, nos quais são fixadas as proporções da divisão áurea.

Os gregos eram geômetras habilidosos. Até a aritmética era ensinada aos filhos com a ajuda de figuras geométricas. O quadrado de Pitágoras e a diagonal deste quadrado foram a base para a construção dos retângulos dinâmicos.

retângulos dinâmicos

Platão também conhecia a divisão áurea. O pitagórico Timeu, no diálogo homônimo de Platão, diz: “É impossível que duas coisas estejam perfeitamente unidas sem uma terceira, pois entre elas deve aparecer algo que as mantenha unidas. A proporção pode realizar isso melhor, pois se três números têm a propriedade de que a média está relacionada ao menor como o maior está para a média e vice-versa, o menor está para a média assim como a média está para o maior, então o último e o primeiro será o meio, e o meio - o primeiro e o último. Assim, tudo o que for necessário será o mesmo e, como será o mesmo, fará um todo. mundo terreno Platão constrói usando triângulos de dois tipos: isósceles e não isósceles. o mais bonito triângulo retângulo ele considera aquele em que a hipotenusa é duas vezes menor das pernas (tal retângulo é meio equilátero, a principal figura dos babilônios, tem uma proporção de 1: 3 1/2, que difere da proporção áurea em cerca de 1/25, e é chamado por Thymerding de "o rival das seções áureas"). Usando triângulos, Platão constrói quatro poliedros regulares, associando-os aos quatro elementos terrestres (terra, água, ar e fogo). E apenas o último dos cinco poliedros regulares existentes - o dodecaedro, cujas doze faces são pentágonos regulares, afirma ser uma imagem simbólica do mundo celestial.

icosaedro e dodecaedro

A honra de descobrir o dodecaedro (ou, como se supunha, o próprio Universo, esta quintessência dos quatro elementos, simbolizados, respectivamente, pelo tetraedro, octaedro, icosaedro e cubo) pertence a Hípaso, que mais tarde morreu num naufrágio. Esta figura realmente captura muitos relacionamentos da seção áurea, então o último foi dado o papel principal no mundo celeste, sobre o qual insistiu o Irmão menor Luca Pacioli.

Bússolas antigas de proporção áurea

Na literatura antiga que chegou até nós, a divisão áurea foi mencionada pela primeira vez nos Elementos de Euclides. No 2º livro dos "Inícios" é dada a construção geométrica da divisão áurea. Depois de Euclides, Hypsicles (século II aC), Pappus (século III dC) e outros estudaram a divisão áurea.Na Europa medieval, eles se familiarizaram com a divisão áurea das traduções árabes dos "Inícios" de Euclides. O tradutor J. Campano de Navarra (século III) comentou a tradução. Os segredos da divisão de ouro foram cuidadosamente guardados, mantidos em estrito sigilo. Eles eram conhecidos apenas pelos iniciados.

Na Idade Média, o pentagrama foi demonizado (como, aliás, muito do que era considerado divino no antigo paganismo) e encontrou abrigo nas ciências ocultas. No entanto, o Renascimento traz novamente à luz tanto o pentagrama quanto a proporção áurea. Assim, um esquema que descrevia a estrutura do corpo humano ganhou grande circulação nesse período de afirmação do humanismo.

Leonardo da Vinci também recorreu repetidamente a tal imagem, de fato, reproduzindo um pentagrama. Sua interpretação: o corpo humano possui perfeição divina, pois as proporções inerentes a ele são as mesmas da figura celeste principal. Leonardo da Vinci, artista e cientista, viu que os artistas italianos tinham muita experiência empírica, mas pouco conhecimento. Ele concebeu e começou a escrever um livro sobre geometria, mas naquela época apareceu um livro do monge Luca Pacioli e Leonardo abandonou a ideia. Segundo contemporâneos e historiadores da ciência, Luca Pacioli foi um verdadeiro luminar, o maior matemático da Itália entre Fibonacci e Galileu. Luca Pacioli foi aluno do artista Piero della Francesca, que escreveu dois livros, um dos quais se chamava Sobre a perspectiva na pintura. Ele é considerado o criador da geometria descritiva.

Luca Pacioli estava bem ciente da importância da ciência para a arte.

Em 1496, a convite do duque Moreau, veio para Milão, onde lecionou matemática. Leonardo da Vinci também trabalhava na corte de Moro em Milão naquela época. Em 1509, De divina ratione, 1497, de Luca Pacioli, publicado em Veneza em 1509, foi publicado em Veneza com ilustrações brilhantemente executadas, razão pela qual se acredita que foram feitas por Leonardo da Vinci. O livro era um hino entusiástico à proporção áurea. Existe apenas uma dessas proporções, e a singularidade é o atributo mais elevado de Deus. Ela personifica a santíssima trindade. Essa proporção não pode ser expressa por um número acessível, permanece oculta e secreta e é chamada de irracional pelos próprios matemáticos (portanto, Deus não pode ser definido nem explicado por palavras). Deus nunca muda e representa tudo em tudo e tudo em cada uma de suas partes, então a proporção áurea para qualquer quantidade contínua e definida (independentemente de ser grande ou pequena) é a mesma, não pode ser mudada ou mudada. Caso contrário, percebida pelo mente. Deus criou a virtude celestial, também chamada de quinta substância, com sua ajuda quatro outros corpos simples (quatro elementos - terra, água, ar, fogo) e, com base neles, criou todas as outras coisas da natureza; assim, nossa proporção sagrada, de acordo com Platão no Timeu, dá existência formal ao próprio céu, pois é atribuída à forma de um corpo chamado dodecaedro, que não pode ser construído sem a seção áurea. Esses são os argumentos de Pacioli.

Leonardo da Vinci também prestou muita atenção ao estudo da divisão áurea. Ele fez seções de um corpo estereométrico formado por pentágonos regulares e, a cada vez, obteve retângulos com proporções em divisão áurea. Por isso, deu a essa divisão o nome de seção áurea. Portanto, ainda é o mais popular.

Ao mesmo tempo, no norte da Europa, na Alemanha, Albrecht Dürer trabalhava nos mesmos problemas. Ele esboça uma introdução ao primeiro rascunho de um tratado sobre proporções. Dürer escreve: “É necessário que aquele que sabe alguma coisa o ensine aos outros que precisam. Isso é o que eu me propus a fazer."

A julgar por uma das cartas de Dürer, ele se encontrou com Luca Pacioli durante sua estada na Itália. Albrecht Dürer desenvolve em detalhes a teoria das proporções do corpo humano. Dürer atribuiu um lugar importante em seu sistema de proporções à seção áurea. A altura de uma pessoa é dividida em proporções áureas pela linha da cintura, bem como uma linha traçada pelas pontas dos dedos médios das mãos abaixadas, a parte inferior do rosto - pela boca, etc. Conhecido compasso proporcional Dürer.

A construção de uma série de segmentos da proporção áurea pode ser feita tanto no sentido de aumento (série crescente) quanto no sentido de diminuição (série decrescente).

Se em uma linha reta de comprimento arbitrário, adie o segmento m , coloque de lado um segmento M . Com base nesses dois segmentos, construímos uma escala de segmentos da proporção áurea das linhas ascendentes e descendentes.

Construindo uma escala de segmentos da proporção áurea

Nos séculos seguintes, a regra da proporção áurea se transformou em cânone acadêmico, e quando, com o tempo, começou uma luta na arte com uma rotina acadêmica, no calor da luta, “jogaram a criança fora com a água”. A proporção áurea foi "descoberta" novamente em meados do século XIX v.

Em 1855, o pesquisador alemão da seção áurea, professor Zeising, publicou sua obra Aesthetic Research. Com Zeising, exatamente o que aconteceu estava fadado a acontecer com o pesquisador que considera o fenômeno como tal, sem ligação com outros fenômenos. Ele absolutizou a proporção da seção áurea, declarando-a universal para todos os fenômenos da natureza e da arte. Zeising teve numerosos seguidores, mas também houve oponentes que declararam que sua doutrina das proporções era "estética matemática".

Zeising fez um ótimo trabalho. Ele mediu cerca de dois mil corpos humanos e chegou à conclusão de que a proporção áurea expressa a lei estatística média. A divisão do corpo pela ponta do umbigo é o indicador mais importante da seção áurea. As proporções do corpo masculino flutuam dentro da proporção média de 13:8 = 1,625 e estão um pouco mais próximas da proporção áurea do que as proporções corpo feminino, em relação ao qual o valor médio da proporção é expresso na razão 8:5=1,6. No recém-nascido, a proporção é de 1: 1, aos 13 anos é de 1,6 e aos 21 é igual ao homem. As proporções da seção áurea também se manifestam em relação a outras partes do corpo - o comprimento do ombro, antebraço e mão, mão e dedos, etc.

Zeising testou a validade de sua teoria em estátuas gregas. Ele desenvolveu as proporções de Apollo Belvedere com mais detalhes. Vasos gregos foram examinados, estruturas arquitetônicasépocas diferentes, plantas, animais, ovos de pássaros, tons musicais, métricas poéticas. Zeising definiu a proporção áurea, mostrou como ela é expressa em segmentos de linha e em números. Quando os números que expressam os comprimentos dos segmentos foram obtidos, Zeising viu que eles constituíam uma série de Fibonacci, que poderia continuar indefinidamente em uma direção e na outra. Seu próximo livro foi intitulado "A divisão áurea como a lei morfológica básica na natureza e na arte". Em 1876, um pequeno livro, quase um panfleto, foi publicado na Rússia, resumindo a obra de Zeising. O autor refugiou-se sob as iniciais Yu.F.V. Nenhuma pintura é mencionada nesta edição.

EM final do século XIX- início do século XX. muitas teorias puramente formalistas surgiram sobre o uso da seção áurea em obras de arte e arquitetura. Com o desenvolvimento do design e da estética técnica, a lei da proporção áurea estendeu-se ao design de carros, móveis, etc.

RELAÇÃO Áurea E SIMETRIA

A proporção áurea não pode ser considerada em si, separadamente, sem ligação com a simetria. O grande cristalógrafo russo G.V. Wulff (1863-1925) considerava a proporção áurea uma das manifestações da simetria.

A divisão áurea não é uma manifestação de assimetria, algo oposto à simetria. De acordo com ideias modernas a divisão áurea é a simetria assimétrica. A ciência da simetria inclui conceitos como simetria estática e dinâmica. A simetria estática caracteriza o repouso, o equilíbrio e a simetria dinâmica caracteriza o movimento, o crescimento. Assim, na natureza, a simetria estática é representada pela estrutura dos cristais, e na arte caracteriza a paz, o equilíbrio e a imobilidade. A simetria dinâmica expressa atividade, caracteriza movimento, desenvolvimento, ritmo, é evidência de vida. A simetria estática é caracterizada por segmentos iguais, magnitudes iguais. A simetria dinâmica é caracterizada por um aumento nos segmentos ou sua diminuição, e é expressa nos valores da seção áurea de uma série crescente ou decrescente.

SÉRIE FIBONACCCI

O nome do monge matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci, está indiretamente ligado à história da seção áurea. Ele viajou muito no Oriente, apresentou a Europa aos algarismos arábicos. Em 1202, foi publicada sua obra matemática “O Livro do Ábaco” (tabuleiro de contagem), na qual foram coletados todos os problemas conhecidos na época.

Uma série de números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. conhecida como série de Fibonacci. A peculiaridade da sequência de números é que cada um de seus membros, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois anteriores 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34, etc., e a proporção de números adjacentes da série se aproxima da proporção da divisão áurea. Portanto, 21:34=0,617 e 34:55=0,618. Essa proporção é indicada pelo símbolo Ф. Somente essa proporção - 0,618: 0,382 - dá uma divisão contínua de um segmento de linha reta na proporção áurea, seu aumento ou diminuição ao infinito, quando o segmento menor está relacionado ao maior como o maior é para tudo.

Conforme mostrado na figura abaixo, o comprimento de cada junta do dedo está relacionado ao comprimento da junta seguinte em uma proporção F. A mesma relação é observada em todos os dedos das mãos e dos pés. Essa conexão é um tanto incomum, pois um dedo é mais longo que o outro sem nenhum padrão visível, mas isso não é acidental, assim como tudo no corpo humano não é acidental. As distâncias nos dedos, marcadas de A para B para C para D para E, estão todas relacionadas entre si na proporção F, assim como as falanges dos dedos de F para G para H.

Dê uma olhada neste esqueleto de sapo e veja como cada osso está em conformidade com o padrão F-ratio, assim como no corpo humano.

RELAÇÃO Áurea GENERALIZADA

Os cientistas continuaram a desenvolver ativamente a teoria dos números de Fibonacci e a seção áurea. Yu. Matiyasevich resolve o 10º problema de Hilbert usando números de Fibonacci. Existem métodos para resolver vários problemas cibernéticos (teoria de busca, jogos, programação) usando números de Fibonacci e a seção áurea. Nos EUA, está sendo criada até a Mathematical Fibonacci Association, que desde 1963 publica uma revista especial.

Uma das conquistas nessa área é a descoberta dos números generalizados de Fibonacci e das proporções áureas generalizadas.

A série Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8) e a série “binária” de pesos 1, 2, 4, 8 descoberta por ele são completamente diferentes à primeira vista. Mas os algoritmos para construí-los são muito semelhantes entre si: no primeiro caso, cada número é a soma do número anterior com ele mesmo 2=1+1; 4=2+2..., no segundo - esta é a soma dos dois números anteriores 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... É possível encontrar uma matemática geral fórmula de qual série "binária" e a série de Fibonacci? Ou talvez esta fórmula nos dê novos conjuntos numéricos com algumas novas propriedades únicas?

De fato, vamos definir um parâmetro numérico S, que pode assumir qualquer valor: 0, 1, 2, 3, 4, 5... e separado do anterior por S passos. Se denotarmos o n-ésimo membro desta série por? S (n), então obtemos a fórmula geral? S(n)=? S(n-1)+? S(n-S-1).

Obviamente, com S=0 desta fórmula teremos uma série "binária", com S=1 - uma série de Fibonacci, com S=2, 3, 4. novas séries de números, que são chamados de números S-Fibonacci.

EM visão geral a proporção áurea S é a raiz positiva da equação áurea da seção S x S+1 -x S -1=0.

É fácil mostrar que quando S=0, a divisão do segmento ao meio é obtida, e quando S=1, a conhecida seção áurea clássica é obtida.

As proporções dos números S de Fibonacci vizinhos com precisão matemática absoluta coincidem no limite com as proporções S áureas! Os matemáticos em tais casos dizem que as seções S áureas são invariantes numéricos dos números S de Fibonacci.

Os fatos que confirmam a existência de seções S douradas na natureza são fornecidos pelo cientista bielorrusso E.M. Soroko no livro "Harmonia Estrutural de Sistemas" (Minsk, "Ciência e Tecnologia", 1984). Acontece, por exemplo, que as ligas binárias bem estudadas têm propriedades funcionais especiais e pronunciadas (termicamente estáveis, duras, resistentes ao desgaste, resistentes à oxidação, etc.) somente se os pesos específicos dos componentes iniciais estiverem relacionados entre si por um de S-proporções douradas. Isso permitiu ao autor apresentar a hipótese de que as seções S áureas são invariantes numéricos de sistemas auto-organizados. Sendo confirmada experimentalmente, essa hipótese pode ser de fundamental importância para o desenvolvimento da sinergética, um novo campo da ciência que estuda processos em sistemas auto-organizados.

Usando códigos de proporção áurea S, qualquer número real pode ser expresso como uma soma de graus de proporções áureas S com coeficientes inteiros.

A diferença fundamental entre esse método de codificação de números é que as bases dos novos códigos, que são S-proporções áureas, acabam sendo números irracionais para S>0. Assim, os novos sistemas numéricos com bases irracionais, por assim dizer, colocaram “de cabeça para baixo” a hierarquia historicamente estabelecida das relações entre números racionais e irracionais. O fato é que a princípio os números naturais foram "descobertos"; então suas razões são números racionais. E só mais tarde, depois que os pitagóricos descobriram segmentos incomensuráveis, surgiram os números irracionais. Por exemplo, em sistemas numéricos posicionais decimais, quinários e outros clássicos, os números naturais foram escolhidos como uma espécie de princípio fundamental: 10, 5, 2, a partir do qual, de acordo com certas regras, todos os outros naturais, bem como racionais e números irracionais foram construídos.

Tipo uma alternativa formas existentes o cálculo é um sistema novo, irracional, como princípio fundamental do início do cômputo do qual se escolhe um número irracional (que, recordemos, é a raiz da equação da secção áurea); outros números reais já são expressos através dele.

Em tal sistema numérico, qualquer número natural é sempre representável como um número finito - e não infinito, como se pensava anteriormente! são as somas de potências de qualquer uma das S-proporções áureas. Esta é uma das razões pelas quais a aritmética "irracional", com sua incrível simplicidade e elegância matemática, parece ter absorvido melhores qualidades binário clássico e aritmética "Fibonacci".

PRINCÍPIOS DE MOLDAGEM NA NATUREZA

Tudo o que tomou alguma forma, formou-se, cresceu, procurou ocupar um lugar no espaço e se preservar. Essa aspiração encontra realização principalmente em duas variantes: crescimento ascendente ou expansão sobre a superfície da terra e torção em espiral.

A concha é torcida em espiral. Se você desdobrar, obtém um comprimento ligeiramente inferior ao comprimento da cobra. Uma pequena concha de dez centímetros tem uma espiral de 35 cm de comprimento, que são muito comuns na natureza. O conceito da proporção áurea estará incompleto, se não for para dizer sobre a espiral.

A forma da concha enrolada em espiral atraiu a atenção de Arquimedes. Ele estudou e deduziu a equação da espiral. A espiral desenhada de acordo com esta equação é chamada pelo seu nome. O aumento de seu passo é sempre uniforme. Atualmente, a espiral de Arquimedes é amplamente utilizada na engenharia.

Até mesmo Goethe enfatizou a tendência da natureza à espiralidade. O arranjo em espiral e espiral das folhas nos galhos das árvores foi notado há muito tempo.

A espiral foi vista no arranjo de sementes de girassol, em pinhas, abacaxis, cactos, etc. O trabalho conjunto de botânicos e matemáticos lançou luz sobre esses incríveis fenômenos naturais. Descobriu-se que no arranjo de folhas em um galho (filotaxe), sementes de girassol, pinhas, a série Fibonacci se manifesta e, portanto, a lei da seção áurea se manifesta. A aranha tece sua teia em um padrão espiral. Um furacão está em espiral. Um rebanho assustado de renas se espalha em espiral. A molécula de DNA é torcida em uma dupla hélice. Goethe chamou a espiral de "a curva da vida".

série de Mandelbrot

A espiral dourada está intimamente relacionada aos ciclos. A ciência moderna do caos estuda operações simples de realimentação cíclica e as formas fractais geradas por elas, que antes eram desconhecidas. A figura mostra a conhecida série de Mandelbrot - uma página do dicionário h membros de padrões individuais, chamados de séries Julianas. Alguns cientistas associam a série de Mandelbrot com Código genético núcleos celulares. Um aumento consistente nas seções revela fractais surpreendentes em sua complexidade artística. E aqui também existem espirais logarítmicas! Isso é ainda mais importante porque tanto a série Mandelbrot quanto a série Julian não são invenções. mente humana. Eles surgem do reino dos protótipos de Platão. Como disse o médico R. Penrose, "eles são como o Monte Everest"

Entre as gramíneas à beira da estrada, cresce uma planta comum - a chicória. Vamos dar uma olhada nisso. Um ramo foi formado a partir do tronco principal. Aqui está a primeira folha.

O apêndice faz uma forte ejeção no espaço, para, solta uma folha, mas já mais curta que a primeira, novamente faz uma ejeção no espaço, mas com menos força, solta uma folha de tamanho ainda menor e ejeta novamente.

Se o primeiro outlier for considerado como 100 unidades, o segundo será 62 unidades, o terceiro será 38, o quarto será 24 e assim por diante. O comprimento das pétalas também está sujeito à proporção áurea. No crescimento, na conquista do espaço, a planta manteve certas proporções. Seus impulsos de crescimento diminuíram gradualmente em proporção à proporção áurea.

Chicória

Em muitas borboletas, a proporção do tamanho das partes torácica e abdominal do corpo corresponde à proporção áurea. Tendo dobrado as asas, a borboleta noturna forma um triângulo equilátero regular. Mas vale a pena abrir as asas, e você verá o mesmo princípio de dividir o corpo em 2, 3, 5, 8. A libélula também é criada de acordo com as leis da proporção áurea: a proporção dos comprimentos da cauda e o corpo é igual à razão entre o comprimento total e o comprimento da cauda.

No lagarto, à primeira vista, são captadas proporções agradáveis aos nossos olhos - o comprimento de sua cauda relaciona-se com o comprimento do resto do corpo como 62 a 38.

lagarto vivíparo

Tanto no mundo vegetal quanto no animal, a tendência de formação da natureza persiste - a simetria em relação à direção do crescimento e do movimento. Aqui a proporção áurea aparece nas proporções das partes perpendiculares à direção do crescimento.

A natureza realizou a divisão em partes simétricas e proporções áureas. Nas partes, manifesta-se uma repetição da estrutura do todo.

De grande interesse é o estudo das formas dos ovos das aves. Suas diversas formas flutuam entre dois tipos extremos: um deles pode ser inscrito em um retângulo da seção áurea, o outro em um retângulo com módulo de 1,272 (a raiz da proporção áurea).

Tais formas de ovos de aves não são acidentais, pois agora foi estabelecido que a forma dos ovos descrita pela proporção da seção áurea corresponde a características de maior resistência da casca do ovo.

As presas dos elefantes e mamutes extintos, as garras dos leões e os bicos dos papagaios são formas logarítmicas e lembram a forma de um eixo que tende a se transformar em espiral.

Na vida selvagem, as formas baseadas na simetria "pentagonal" (estrelas do mar, ouriços do mar, flores) são comuns.

A proporção áurea está presente na estrutura de todos os cristais, mas a maioria dos cristais são microscopicamente pequenos, de modo que não podemos vê-los a olho nu. No entanto, os flocos de neve, que também são cristais de água, são bastante acessíveis aos nossos olhos. Todas as figuras de rara beleza que formam flocos de neve, todos os eixos, círculos e figuras geométricas em flocos de neve também são sempre, sem exceção, construídas de acordo com a fórmula perfeita e clara da seção áurea.

No microcosmo, formas logarítmicas tridimensionais construídas de acordo com proporções áureas são onipresentes. Por exemplo, muitos vírus têm uma forma geométrica tridimensional de um icosaedro. Talvez o mais famoso desses vírus seja o vírus Adeno. A casca de proteína do vírus Adeno é formada por 252 unidades de células de proteína dispostas em uma determinada sequência. Em cada canto do icosaedro estão 12 unidades de células de proteína na forma de um prisma pentagonal, e estruturas semelhantes a pontas se estendem a partir desses cantos.

vírus adeno

A proporção áurea na estrutura dos vírus foi descoberta pela primeira vez na década de 1950. cientistas do Birkbeck College de Londres A. Klug e D. Kaspar. A primeira forma logarítmica foi revelada em si pelo vírus Polyo. A forma desse vírus acabou sendo semelhante à do vírus Rhino.

Surge a pergunta: como os vírus formam formas tridimensionais tão complexas, cujo dispositivo contém a proporção áurea, que é bastante difícil de construir mesmo com nossa mente humana? O descobridor dessas formas de vírus, o virologista A. Klug, faz o seguinte comentário: “O Dr. Kaspar e eu mostramos que, para a casca esférica do vírus, a forma ideal é a simetria como a forma do icosaedro. Tal ordem minimiza o número de elementos de conexão... A maioria dos cubos hemisféricos geodésicos de Buckminster Fuller são construídos de acordo com um princípio geométrico semelhante. A instalação desses cubos requer um esquema de explicação extremamente preciso e detalhado, enquanto os próprios vírus inconscientes constroem uma casca tão complexa de unidades celulares de proteínas elásticas e flexíveis.

O comentário de Klug mais uma vez lembra uma verdade extremamente óbvia: na estrutura até mesmo de um organismo microscópico, que os cientistas classificam como "a forma de vida mais primitiva", em este caso no vírus, há uma intenção clara e um design razoável. Este projeto é incomparável em sua perfeição e precisão de execução com os mais avançados projetos arquitetônicos criados por pessoas. Por exemplo, projetos criados pelo brilhante arquiteto Buckminster Fuller.

Modelos tridimensionais do dodecaedro e do icosaedro também estão presentes na estrutura dos esqueletos de microrganismos marinhos unicelulares radiolários (beamers), cujo esqueleto é feito de sílica.

Os radiolários formam seu corpo de uma beleza muito requintada e incomum. Sua forma é um dodecaedro regular, e de cada um de seus cantos cresce um membro pseudo-alongamento e outras formas incomuns.

O grande Goethe, poeta, naturalista e artista (pintava e pintava em aquarela), sonhava em criar uma doutrina unificada da forma, formação e transformação dos corpos orgânicos. Foi ele quem introduziu o termo morfologia no uso científico.

Pierre Curie, no início do nosso século, formulou uma série de ideias profundas sobre simetria. Ele argumentou que não se pode considerar a simetria de qualquer corpo sem levar em conta a simetria do ambiente.

As leis da simetria "dourada" se manifestam nas transições de energia das partículas elementares, na estrutura de algumas compostos químicos, em sistemas planetários e espaciais, nas estruturas genéticas dos organismos vivos. Esses padrões, conforme indicado acima, estão na estrutura dos órgãos humanos individuais e do corpo como um todo, e também se manifestam nos biorritmos e no funcionamento do cérebro e na percepção visual.

O CORPO HUMANO E A PARTE DOURADA

Todos os ossos humanos são proporcionais à seção áurea. As proporções das diversas partes do nosso corpo compõem um número muito próximo da proporção áurea. Se essas proporções coincidirem com a fórmula da proporção áurea, a aparência ou corpo de uma pessoa é considerada idealmente construída.

Proporções áureas em partes do corpo humano

Se tomarmos o ponto do umbigo como o centro do corpo humano e a distância entre o pé humano e o ponto do umbigo como unidade de medida, a altura de uma pessoa equivale ao número 1,618.

a distância do nível do ombro ao topo da cabeça e o tamanho da cabeça é 1:1.618;
a distância da ponta do umbigo ao topo da cabeça e do nível do ombro ao topo da cabeça é 1:1.618;
a distância do umbigo aos joelhos e dos joelhos aos pés é 1:1.618;
a distância da ponta do queixo à ponta do lábio superior e da ponta do lábio superior às narinas é de 1:1,618;
de fato, a presença exata da proporção áurea no rosto de uma pessoa é o ideal de beleza para o olhar humano;
a distância da ponta do queixo até a linha superior das sobrancelhas e da linha superior das sobrancelhas até a coroa é de 1:1,618;
altura/largura facial;
o ponto central de conexão dos lábios com a base do nariz / comprimento do nariz;
altura da face/distância da ponta do queixo ao ponto central da junção dos lábios;
largura da boca/largura do nariz;
largura do nariz/distância entre as narinas;
distância entre as pupilas / distância entre as sobrancelhas.

Basta aproximar a palma da mão agora e olhar atentamente para dedo indicador, e você encontrará imediatamente a fórmula da seção áurea nele.

Cada dedo da nossa mão consiste em três falanges. A soma dos comprimentos das duas primeiras falanges do dedo em relação ao comprimento total do dedo dá a proporção áurea (com exceção do polegar).

Além disso, a proporção entre o dedo médio e o dedo mínimo também é igual à proporção áurea.

Uma pessoa tem 2 mãos, os dedos de cada mão consistem em 3 falanges (com exceção do polegar). Cada mão tem 5 dedos, ou seja, 10 no total, mas com exceção de dois polegares bifalângicos, apenas 8 dedos são criados de acordo com o princípio da proporção áurea. Considerando que todos esses números 2, 3, 5 e 8 são os números da sequência de Fibonacci.

Também deve ser notado que na maioria das pessoas a distância entre as extremidades dos braços abertos é igual à altura.

As verdades da proporção áurea estão dentro de nós e em nosso espaço. A peculiaridade dos brônquios que compõem os pulmões de uma pessoa reside na sua assimetria. Os brônquios são constituídos por duas vias aéreas principais, uma (esquerda) é mais longa e a outra (direita) é mais curta. Verificou-se que essa assimetria continua nos ramos dos brônquios, em todas as vias aéreas menores. Além disso, a proporção entre o comprimento dos brônquios curtos e longos também é a proporção áurea e é igual a 1:1,618.

No ouvido interno humano existe um órgão Cóclea ("Caracol"), que desempenha a função de transmitir a vibração sonora. Essa estrutura óssea é preenchida com fluido e também criada na forma de um caracol, contendo uma forma espiral logarítmica estável = 73 0 43".

A pressão arterial muda à medida que o coração bate. Atinge seu maior valor no ventrículo esquerdo do coração no momento de sua contração (sístole). Nas artérias durante a sístole dos ventrículos do coração, a pressão arterial atinge um valor máximo igual a 115-125 mm Hg em um jovem, pessoa saudável. No momento do relaxamento do músculo cardíaco (diástole), a pressão diminui para 70-80 mm Hg. A relação da pressão máxima (sistólica) para a mínima (diastólica) é em média 1,6, ou seja, próxima da proporção áurea.

Se tomarmos a pressão arterial média na aorta como uma unidade, a pressão arterial sistólica na aorta é 0,382 e a diastólica 0,618, ou seja, sua proporção corresponde à proporção áurea. Isso significa que o trabalho do coração em relação aos ciclos de tempo e as mudanças na pressão sanguínea são otimizados de acordo com o mesmo princípio da lei da proporção áurea.

A molécula de DNA consiste em duas hélices entrelaçadas verticalmente. Cada uma dessas espirais tem 34 angstroms de comprimento e 21 angstroms de largura. (1 angstrom é um centésimo milionésimo de centímetro).

A estrutura da seção da hélice da molécula de DNA

Então 21 e 34 são números que se sucedem um após o outro na sequência dos números de Fibonacci, ou seja, a razão entre o comprimento e a largura da hélice logarítmica da molécula de DNA carrega a fórmula da seção áurea 1: 1,618.

SECÇÃO DE OURO EM ESCULTURA

Esculturas, monumentos são erguidos para comemorar eventos significativos, para guardar na memória dos descendentes os nomes de pessoas famosas, suas façanhas e feitos. Sabe-se que mesmo na antiguidade a base da escultura era a teoria das proporções. A relação das partes do corpo humano foi associada à fórmula da seção áurea. As proporções da "seção áurea" dão a impressão de harmonia, beleza, por isso os escultores as utilizaram em suas obras. Os escultores afirmam que a cintura divide o corpo humano perfeito em relação à "seção áurea". Assim, por exemplo, a famosa estátua de Apollo Belvedere consiste em partes que são divididas de acordo com as proporções áureas. O grande escultor grego antigo Fídias costumava usar a "proporção áurea" em suas obras. Os mais famosos deles foram a estátua de Zeus Olímpico (considerada uma das maravilhas do mundo) e o Partenon de Atena.

A proporção áurea da estátua de Apollo Belvedere é conhecida: a altura da pessoa retratada é dividida pela linha umbilical na seção áurea.

SEÇÃO DE OURO NA ARQUITETURA

Nos livros sobre a "seção áurea" pode-se encontrar a observação de que na arquitetura, como na pintura, tudo depende da posição do observador, e se algumas proporções em um edifício, por um lado, parecem formar a "seção áurea", então, de outros pontos de vista, eles parecerão diferentes. A "seção áurea" dá a proporção mais relaxada dos tamanhos de certos comprimentos.

Uma das mais belas obras da arquitetura grega antiga é o Partenon (século V aC).

visto nos desenhos linha inteira padrões associados à proporção áurea. As proporções de um edifício podem ser expressas em termos de vários graus números Ф=0,618...

O Parthenon tem 8 colunas nos lados curtos e 17 nos longos. As bordas são feitas inteiramente de quadrados de mármore pentileano. A nobreza do material com que foi construído o templo permitiu limitar o uso da coloração, comum na arquitetura grega, apenas enfatizando os detalhes e formando um fundo colorido (azul e vermelho) para a escultura. A razão entre a altura do edifício e seu comprimento é de 0,618. Se dividirmos o Partenon de acordo com a "seção áurea", obteremos certas saliências da fachada.

Na planta baixa do Parthenon, você também pode ver os "retângulos dourados".

Podemos ver a proporção áurea na construção da catedral Notre-Dame de Paris(Notre Dame de Paris), e na pirâmide de Quéops.

Não apenas as pirâmides egípcias foram construídas de acordo com as proporções perfeitas da proporção áurea; o mesmo fenômeno é encontrado nas pirâmides mexicanas.

Durante muito tempo acreditou-se que os arquitetos Antiga Rus' construiu tudo "a olho", sem nenhum cálculo matemático especial. No entanto, as pesquisas mais recentes mostraram que os arquitetos russos conheciam bem as proporções matemáticas, como evidenciado pela análise da geometria dos templos antigos.

O famoso arquiteto russo M. Kazakov usou amplamente a "seção áurea" em seu trabalho. Seu talento era multifacetado, mas em maior medida ele se revelou em inúmeros projetos concluídos de edifícios residenciais e propriedades. Por exemplo, a "seção áurea" pode ser encontrada na arquitetura do prédio do Senado no Kremlin. De acordo com o projeto de M. Kazakov, o Hospital Golitsyn foi construído em Moscou, que atualmente é chamado de Primeiro hospital clínico nomeado após N.I. Pirogov.

Palácio Petrovsky em Moscou. Construído de acordo com o projeto de M.F. Kazakova

Outra obra-prima arquitetônica de Moscou - a Casa Pashkov - é uma das obras arquitetônicas mais perfeitas de V. Bazhenov.

Casa Pashkov

A maravilhosa criação de V. Bazhenov entrou firmemente no conjunto do centro da moderna Moscou, enriquecendo-a. A vista externa da casa permaneceu quase inalterada até hoje, apesar de ter sofrido um forte incêndio em 1812. Durante a restauração, o edifício adquiriu formas mais maciças. Também não foi preservada a disposição interior do edifício, que só o desenho do piso inferior dá uma ideia.

Muitas declarações do arquiteto merecem atenção em nossos dias. Sobre sua arte favorita, V. Bazhenov disse: “A arquitetura tem três assuntos principais: beleza, calma e força do edifício ... Para isso, o conhecimento de proporção, perspectiva, mecânica ou física em geral serve de guia, e todos eles têm um líder comum é a razão.”

PROPORÇÃO DE OURO NA MÚSICA

Qualquer peça musical tem um intervalo de tempo e é dividida em alguns "marcos estéticos" em partes separadas que chamam a atenção e facilitam a percepção como um todo. Esses marcos podem ser pontos culminantes dinâmicos e entoacionais de uma obra musical. Intervalos de tempo separados de uma peça musical, conectados por um "evento climático", como regra, estão na proporção da proporção áurea.

Em 1925, o crítico de arte L.L. Sabaneev, tendo analisado 1.770 peças musicais de 42 autores, mostrou que a grande maioria das obras de destaque pode ser facilmente dividida em partes por tema, entonação ou sistema modal, que estão em relação à seção áurea. Além disso, quanto mais talentoso o compositor, mais seções douradas foram encontradas em suas obras. Segundo Sabaneev, a proporção áurea dá a impressão de uma harmonia especial de uma composição musical. Este resultado foi verificado por Sabaneev em todos os 27 estudos de Chopin. Ele encontrou 178 seções de ouro neles. Ao mesmo tempo, descobriu-se que não apenas grandes partes dos estudos são divididas por duração em relação à seção áurea, mas partes dos estudos internos geralmente são divididas na mesma proporção.

Compositor e cientista M.A. Marutaev contou o número de compassos na famosa sonata Appassionata e encontrou uma série de relações numéricas interessantes. Em particular, no desenvolvimento, a unidade estrutural central da sonata, onde os temas são intensamente desenvolvidos e as tonalidades se substituem, existem duas seções principais. No primeiro - 43,25 ciclos, no segundo - 26,75. A proporção 43,25:26,75=0,618:0,382=1,618 fornece a proporção áurea.

Arensky (95%), Beethoven (97%), Haydn (97%), Mozart (91%), Chopin (92%), Schubert (91%) têm o maior número de obras em que há uma Seção Áurea.

Se a música é a ordenação harmônica dos sons, então a poesia é a ordenação harmônica da fala. Um ritmo claro, uma alternância regular de sílabas tônicas e átonas, uma dimensionalidade ordenada dos poemas, sua riqueza emocional fazem da poesia uma irmã das obras musicais. A proporção áurea na poesia se manifesta principalmente como a presença de um determinado momento do poema (clímax, virada semântica, ideia principal da obra) na linha atribuível ao ponto de divisão número total versos do poema na proporção áurea. Portanto, se o poema contém 100 linhas, o primeiro ponto da proporção áurea cai na 62ª linha (62%), o segundo - na 38ª (38%), etc. As obras de Alexander Sergeevich Pushkin, incluindo "Eugene Onegin", são a melhor correspondência com a proporção áurea! As obras de Shota Rustaveli e M.Yu. Lermontov também é construído com base no princípio da Seção Áurea.

Stradivari escreveu que usou a proporção áurea para determinar os locais dos entalhes em forma de f nos corpos de seus famosos violinos.

SECÇÃO DE OURO NA POESIA

Os estudos de obras poéticas dessas posições estão apenas começando. E você precisa começar com a poesia de A.S. Pushkin. Afinal, suas obras são um exemplo das criações mais marcantes da cultura russa, um exemplo o nível mais alto harmonia. Da poesia de A.S. Pushkin, iniciaremos a busca pela proporção áurea - a medida da harmonia e da beleza.

Muito na estrutura das obras poéticas torna essa forma de arte relacionada à música. Um ritmo claro, uma alternância regular de sílabas tônicas e átonas, uma dimensionalidade ordenada dos poemas, sua riqueza emocional fazem da poesia uma irmã das obras musicais. Cada verso tem sua própria forma musical, seu próprio ritmo e melodia. Pode-se esperar que na estrutura dos poemas apareçam algumas características de obras musicais, padrões harmonia musical e, portanto, a proporção áurea.

Vamos começar com o tamanho do poema, ou seja, o número de versos dele. Parece que esse parâmetro do poema pode mudar arbitrariamente. No entanto, descobriu-se que este não era o caso. Por exemplo, a análise de poemas de A.S. Pushkin mostrou que os tamanhos dos versos são distribuídos de maneira muito desigual; descobriu-se que Pushkin claramente prefere tamanhos de 5, 8, 13, 21 e 34 linhas (números de Fibonacci).

Muitos pesquisadores notaram que os poemas são semelhantes obras musicais; eles também têm pontos climáticos que dividem o poema na proporção da proporção áurea. Considere, por exemplo, um poema de A.S. Pushkin "Sapateiro":

Vamos analisar esta parábola. O poema é composto por 13 versos. Destaca duas partes semânticas: a primeira em 8 linhas e a segunda (a moral da parábola) em 5 linhas (13, 8, 5 são os números de Fibonacci).

Um dos últimos poemas de Pushkin, "Não valorizo \u200b\u200bdireitos de destaque ..." consiste em 21 versos e nele se distinguem duas partes semânticas: em 13 e 8 versos:

Eu não valorizo direitos de alto perfil,

Do qual ninguém fica tonto.

Eu não resmungo sobre o fato de que os deuses recusaram

Eu estou no doce monte de impostos desafiadores

Ou impedir que os reis lutem entre si;

E pouca dor para mim, a imprensa é livre

Enganando peitos, ou censura sensível

Nos planos de revistas, o coringa é constrangedor.

Tudo isso, você vê, palavras, palavras, palavras.

Outros direitos melhores me são caros:

Outra, melhor, preciso de liberdade:

Depende do rei, depende do povo -

Todos nós não nos importamos? Deus está com eles.

Não faça um relatório, apenas para si mesmo

Sirva e por favor; para poder, para libré

Não dobre nem a consciência, nem os pensamentos, nem o pescoço;

Ao seu capricho para vagar aqui e ali,

Maravilhando-se com a beleza divina da natureza,

E diante das criaturas da arte e da inspiração

Tremendo de alegria nas delícias da ternura,

Aqui está a felicidade! Isso mesmo...

É característico que a primeira parte deste verso (13 versos) seja dividida em 8 e 5 versos em termos de conteúdo semântico, ou seja, todo o poema é construído de acordo com as leis da proporção áurea.

De interesse indiscutível é a análise do romance "Eugene Onegin" feito por N. Vasyutinskiy. Este romance é composto por 8 capítulos, cada um com uma média de cerca de 50 versos. O mais perfeito, o mais refinado e emocionalmente rico é o oitavo capítulo. Tem 51 versos. Juntamente com a carta de Yevgeny para Tatyana (60 linhas), isso corresponde exatamente ao número 55 de Fibonacci!

N. Vasyutinsky afirma: “O ponto culminante do capítulo é a declaração de amor de Evgeny por Tatyana - a linha “Pálida e desbotada ... isso é felicidade!” Essa linha divide todo o oitavo capítulo em duas partes: a primeira tem 477 linhas e a segunda tem 295 linhas. Sua proporção é de 1,617! A correspondência mais sutil com o valor da proporção áurea! Este é um grande milagre de harmonia, realizado pelo gênio de Pushkin!

E. Rosenov analisou muitas obras poéticas de M.Yu. Lermontov, Schiller, A.K. Tolstoi e também descobriu a "seção áurea" neles.

O famoso poema "Borodino" de Lermontov é dividido em duas partes: uma introdução dirigida ao narrador, ocupando apenas uma estrofe ("Diga-me, tio, não é sem razão ..."), e a parte principal, representando um todo independente, que é dividido em duas partes equivalentes. O primeiro deles descreve, com tensão crescente, a expectativa de uma batalha, o segundo descreve a própria batalha com uma diminuição gradual da tensão no final do poema. A fronteira entre essas partes é o clímax da obra e cai exatamente no ponto de dividi-la pela seção áurea.

A parte principal do poema consiste em 13 versos sete, ou seja, 91 versos. Dividindo-o pela proporção áurea (91:1,618=56,238), verificamos que o ponto de divisão está no início do versículo 57, onde há uma frase curta: “Bem, foi um dia!” É esta frase que representa o “ponto culminante da expectativa excitada”, que encerra a primeira parte do poema (expectativa da batalha) e abre sua segunda parte (descrição da batalha).

Assim, a proporção áurea desempenha um papel muito significativo na poesia, destacando o clímax do poema.

Muitos pesquisadores do poema de Shota Rustaveli "O Cavaleiro na Pele de Pantera" notam a excepcional harmonia e melodia de seu verso. Essas propriedades do poema cientista georgiano, acadêmico G.V. Tsereteli atribui isso ao uso consciente da proporção áurea pela poetisa tanto na formação da forma do poema quanto na construção de seus poemas.

O poema de Rustaveli consiste em 1.587 estrofes, cada uma com quatro versos. Cada linha consiste em 16 sílabas e é dividida em duas partes iguais de 8 sílabas em cada meia linha. Todos os hemistiches são divididos em dois segmentos de dois tipos: A - um hemistich com segmentos iguais e um número par sílabas (4+4); B é uma meia linha com uma divisão assimétrica em duas partes desiguais (5+3 ou 3+5). Assim, na meia linha B, as proporções são 3:5:8, que é uma aproximação da proporção áurea.

Foi estabelecido que das 1587 estrofes do poema de Rustaveli, mais da metade (863) são construídas de acordo com o princípio da seção áurea.

Em nosso tempo, nasceu um novo tipo de arte - o cinema, que absorveu a dramaturgia da ação, da pintura, da música. É legítimo buscar manifestações da seção áurea em obras marcantes da cinematografia. O primeiro a fazer isso foi o criador da obra-prima do cinema mundial “Battleship Potemkin”, o diretor de cinema Sergei Eisenstein. Na construção desta imagem, ele conseguiu incorporar o princípio básico da harmonia - a proporção áurea. Como o próprio Eisenstein observa, a bandeira vermelha no mastro do encouraçado rebelde (o ponto apogeu do filme) tremula no ponto da proporção áurea, contada a partir do final do filme.

PROPORÇÃO Áurea EM FONTES E ARTIGOS DOMÉSTICOS

tipo especial Artes visuais Grécia antiga há que destacar o fabrico e pintura de diversas embarcações. De forma elegante, as proporções da seção áurea são facilmente adivinhadas.

Na pintura e escultura de templos, em utensílios domésticos, os antigos egípcios geralmente retratavam deuses e faraós. Os cânones da imagem de uma pessoa em pé, andando, sentado, etc. Os artistas eram obrigados a memorizar formas individuais e esquemas de imagens de tabelas e amostras. Artistas gregos antigos fizeram viagens especiais ao Egito para aprender a usar o cânone.

PARÂMETROS FÍSICOS ÓTIMOS DO AMBIENTE EXTERNO

Sabe-se que o máximo volume do som, que causa dor, é igual a 130 decibéis. Se dividirmos esse intervalo pela proporção áurea de 1,618, obtemos 80 decibéis, que são típicos do volume de um grito humano. Se agora dividirmos 80 decibéis pela proporção áurea, obtemos 50 decibéis, o que corresponde ao volume da fala humana. Finalmente, se dividirmos 50 decibéis pelo quadrado da proporção áurea de 2,618, obtemos 20 decibéis, o que corresponde a um sussurro humano. Assim, todos os parâmetros característicos do volume do som estão interligados através da proporção áurea.

A uma temperatura de 18-20 0 C intervalo umidade 40-60% é considerado ideal. Os limites da faixa ótima de umidade podem ser obtidos se a umidade absoluta de 100% for dividida duas vezes pela proporção áurea: 100 / 2,618 = 38,2% (limite inferior); 100/1,618=61,8% (limite superior).

No pressão do ar 0,5 MPa, uma pessoa sente desconforto, seu físico e atividade psicológica. A uma pressão de 0,3-0,35 MPa, apenas uma operação de curto prazo é permitida e, a uma pressão de 0,2 MPa, pode funcionar por não mais que 8 minutos. Todos esses parâmetros característicos estão interligados pela proporção áurea: 0,5/1,618=0,31 MPa; 0,5/2,618=0,19 MPa.

Parâmetros de limite temperatura externa, dentro da qual é possível a existência normal (e, mais importante, a origem) de uma pessoa, é a faixa de temperatura de 0 a + (57-58) 0 C. Obviamente, o primeiro limite de explicações pode ser omitido.

Dividimos a faixa indicada de temperaturas positivas pela proporção áurea. Neste caso, obtemos dois limites (ambos os limites são temperaturas características do corpo humano): o primeiro corresponde à temperatura, o segundo limite corresponde à máxima temperatura do ar exterior possível para o corpo humano.

SECÇÃO DE OURO NA PINTURA

Mesmo no Renascimento, os artistas descobriram que qualquer quadro possui certos pontos que involuntariamente chamam nossa atenção, os chamados centros visuais. Nesse caso, não importa o formato da imagem, horizontal ou vertical. Existem apenas quatro desses pontos e estão localizados a uma distância de 3/8 e 5/8 das arestas correspondentes do plano.

Essa descoberta entre os artistas da época foi chamada de "seção áurea" da imagem.

Voltando aos exemplos da "seção áurea" na pintura, não se pode deixar de deter a atenção na obra de Leonardo da Vinci. Sua identidade é um dos mistérios da história. O próprio Leonardo da Vinci disse: "Que ninguém que não seja matemático se atreva a ler minhas obras."

Ele ganhou fama como um artista insuperável, um grande cientista, um gênio que antecipou muitas invenções que não foram implementadas até o século XX.

Não há dúvida de que Leonardo da Vinci foi um grande artista, seus contemporâneos já o reconheciam, mas sua personalidade e atividades permanecerão envoltas em mistério, pois ele deixou para a posteridade não uma apresentação coerente de suas idéias, mas apenas numerosos esboços manuscritos, notas que dizem "tanto tudo no mundo".

Ele escreveu da direita para a esquerda em caligrafia ilegível e com a mão esquerda. Este é o exemplo mais famoso de escrita espelhada que existe.

O retrato de Monna Lisa (Gioconda) atraiu a atenção de pesquisadores por muitos anos, que descobriram que a composição do desenho é baseada em triângulos dourados que são partes de um pentágono regular de estrelas. Existem muitas versões sobre a história deste retrato. Aqui está um deles.

Certa vez, Leonardo da Vinci recebeu uma ordem do banqueiro Francesco del Giocondo para pintar o retrato de uma jovem, a esposa do banqueiro, Monna Lisa. A mulher não era bonita, mas foi atraída pela simplicidade e naturalidade de sua aparência. Leonardo concordou em pintar um retrato. Sua modelo estava triste e triste, mas Leonardo contou a ela um conto de fadas, ouvindo o qual ela se tornou viva e interessante.

CONTO DE FADAS. Era uma vez um homem pobre, ele tinha quatro filhos: três inteligentes, e um deles assim e aquele. E então a morte veio para o pai. Antes de se separar de sua vida, ele chamou seus filhos e disse: “Meus filhos, logo morrerei. Assim que você me enterrar, tranque a cabana e vá até os confins do mundo para fazer sua própria fortuna. Que cada um de vocês aprenda algo para poder se alimentar.” O pai morreu e os filhos se espalharam pelo mundo, concordando em retornar à clareira de seu bosque nativo três anos depois. Veio o primeiro irmão, que aprendeu a carpintaria, cortou uma árvore e cortou, fez dela uma mulher, afastou-se um pouco e esperou. O segundo irmão voltou, viu uma mulher de madeira e, como era alfaiate, em um minuto a vestiu: como hábil artesão, costurou lindas roupas de seda para ela. O terceiro filho adornou a mulher com ouro e pedras preciosas Porque ele era um joalheiro. Finalmente, o quarto irmão chegou. Não sabia carpintaria e costura, só sabia ouvir o que diziam a terra, as árvores, a relva, os animais e os pássaros, sabia o caminho corpos celestiais e ele podia cantar canções maravilhosas. Ele cantou uma música que fez chorar os irmãos escondidos atrás dos arbustos. Com essa música, ele reviveu a mulher, ela sorriu e suspirou. Os irmãos correram para ela e cada um gritou a mesma coisa: "Você deve ser minha esposa." Mas a mulher respondeu: “Você me criou - seja meu pai. Você me vestiu e me decorou - sejam meus irmãos. E você, que soprou minha alma em mim e me ensinou a aproveitar a vida, preciso de você sozinho para o resto da vida.

Terminada a história, Leonardo olhou para Monna Lisa, com o rosto iluminado pela luz, os olhos brilhando. Então, como se acordasse de um sonho, ela suspirou, passou a mão no rosto e, sem dizer uma palavra, foi para o seu lugar, cruzou as mãos e assumiu a postura habitual. Mas a ação foi feita - o artista despertou a estátua indiferente; o sorriso de felicidade, desaparecendo lentamente de seu rosto, permaneceu nos cantos de sua boca e tremeu, dando a seu rosto uma expressão incrível, misteriosa e levemente astuta, como a de uma pessoa que aprendeu um segredo e, guardando-o com cuidado, não pode conter seu triunfo. Leonardo trabalhou em silêncio, com medo de perder esse momento, esse raio de sol que iluminava sua chata maquete...

É difícil notar o que foi notado nesta obra-prima da arte, mas todos falaram sobre o profundo conhecimento de Leonardo sobre a estrutura do corpo humano, graças ao qual ele conseguiu captar esse sorriso, por assim dizer, misterioso. Eles falaram sobre a expressividade de partes individuais da imagem e sobre a paisagem, uma companheira inédita do retrato. Falaram da naturalidade da expressão, da simplicidade da pose, da beleza das mãos. O artista fez algo inédito: a imagem retrata o ar, envolve a figura com uma névoa transparente. Apesar do sucesso, Leonardo estava sombrio, a situação em Florença parecia dolorosa para o artista, ele se preparava para partir. Lembretes de ordens de inundação não o ajudaram.

A seção áurea na foto de I.I. Shishkin "Bosque de Pinheiros". Nesta famosa pintura de I.I. Shishkin, os motivos da seção áurea são claramente visíveis. O pinheiro bem iluminado (em primeiro plano) divide o comprimento da imagem de acordo com a proporção áurea. À direita do pinheiro encontra-se um outeiro iluminado pelo sol. Ele divide o lado direito da imagem horizontalmente de acordo com a proporção áurea. À esquerda do pinheiro principal existem muitos pinheiros - se desejar, você pode continuar dividindo a imagem de acordo com a proporção áurea e além.

pinhal

A presença na pintura de verticais e horizontais brilhantes, dividindo-a em relação à seção áurea, confere-lhe o caráter de equilíbrio e tranquilidade de acordo com a intenção do artista. Quando a intenção do artista é diferente, se, digamos, ele cria uma imagem com uma ação que se desenvolve rapidamente, esse esquema geométrico de composição (com predominância de verticais e horizontais) torna-se inaceitável.

DENTRO E. Surikov. "Boyar Morozova"

Seu papel é atribuído à parte central da imagem. É limitado pelo ponto de maior ascensão e o ponto de menor queda do enredo da imagem: a ascensão da mão de Morozova com o sinal da cruz com dois dedos, como o ponto mais alto; mão estendida impotente para a mesma nobre, mas desta vez a mão de uma velha - um mendigo andarilho, uma mão sob a qual, junto com última esperança a ponta do trenó desliza para a salvação.

E o que dizer do " Ponto mais alto"? À primeira vista, temos uma aparente contradição: afinal, o trecho A 1 B 1, que é 0,618... da borda direita da imagem, não passa pelo braço, nem pela cabeça ou pelo olho do nobre, mas acaba por estar em algum lugar na frente da boca da nobre.

A proporção áurea realmente corta aqui na coisa mais importante. Nele, e está nele - maior poder Morozova.

Não há pintura mais poética que a de Sandro Botticelli, e o grande Sandro não tem pintura mais famosa que sua Vênus. Para Botticelli, sua Vênus é a personificação da ideia da harmonia universal da "seção áurea" que prevalece na natureza. A análise proporcional de Vênus nos convence disso.

Vênus

Raphael "Escola de Atenas". Rafael não era matemático, mas, como muitos artistas da época, tinha um conhecimento considerável de geometria. No famoso afresco "A Escola de Atenas", onde a sociedade dos grandes filósofos da antiguidade é realizada no templo da ciência, nossa atenção é atraída pelo grupo de Euclides, o maior matemático grego antigo, que desmonta um desenho complexo.

A engenhosa combinação de dois triângulos também é construída de acordo com a proporção áurea: pode ser inscrita em um retângulo com proporção de 5/8. Este desenho é surpreendentemente fácil de inserir na seção superior da arquitetura. canto superior o triângulo repousa contra a pedra angular do arco na área mais próxima do observador, o inferior - no ponto de fuga das perspectivas, e a seção lateral indica as proporções da lacuna espacial entre as duas partes dos arcos.

A espiral dourada na pintura de Rafael "O Massacre dos Inocentes". Ao contrário da seção áurea, a sensação de dinâmica, excitação, talvez seja mais pronunciada em outra figura geométrica simples - a espiral. A composição de várias figuras, feita em 1509 - 1510 por Rafael, quando o famoso pintor criou seus afrescos no Vaticano, distingue-se apenas pelo dinamismo e drama da trama. Raphael nunca concluiu sua ideia, no entanto, seu esboço foi gravado por um desconhecido artista gráfico italiano Marcantinio Raimondi, que, a partir desse esboço, criou a gravura do Massacre dos Inocentes.

Massacre dos inocentes

Se no esboço preparatório de Rafael desenhamos mentalmente linhas que partem do centro semântico da composição - os pontos onde os dedos do guerreiro se fecham ao redor do tornozelo da criança, ao longo das figuras da criança, a mulher agarrando-o a si, o guerreiro com a espada erguida e, a seguir, ao longo das figuras do mesmo grupo no lado direito, esboce (na figura, essas linhas são desenhadas em vermelho) e, em seguida, conecte essas peças da curva com uma linha pontilhada, depois uma dourada espiral é obtido com precisão muito alta. Isso pode ser verificado medindo a razão dos comprimentos dos segmentos cortados pela espiral nas linhas retas que passam pelo início da curva.

RELAÇÃO OURO E PERCEPÇÃO DE IMAGEM

A capacidade do analisador visual humano de distinguir objetos construídos de acordo com o algoritmo da seção áurea como bonitos, atraentes e harmoniosos é conhecida há muito tempo. A proporção áurea dá a sensação do todo unificado mais perfeito. O formato de muitos livros segue a proporção áurea. É escolhido para vitrines, quadros e envelopes, selos, cartões de visita. Uma pessoa pode não saber nada sobre o número Ф, mas na estrutura dos objetos, bem como na sequência dos eventos, ela inconscientemente encontra elementos da proporção áurea.

Estudos foram conduzidos nos quais os indivíduos foram solicitados a selecionar e copiar retângulos de várias proporções. Havia três retângulos para escolher: um quadrado (40:40 mm), um retângulo de "seção áurea" com uma proporção de 1:1,62 (31:50 mm) e um retângulo com proporções alongadas de 1:2,31 (26: 60 milímetros).

Ao escolher retângulos no estado normal, em 1/2 casos é dada preferência a um quadrado. O hemisfério direito prefere a proporção áurea e rejeita o retângulo alongado. Pelo contrário, o hemisfério esquerdo gravita em torno de proporções alongadas e rejeita a proporção áurea.

Ao copiar esses retângulos, observou-se o seguinte: quando o hemisfério direito estava ativo, as proporções nas cópias eram mantidas com mais precisão; quando o hemisfério esquerdo estava ativo, as proporções de todos os retângulos foram distorcidas, os retângulos foram esticados (o quadrado foi desenhado como um retângulo com uma proporção de 1:1,2; as proporções do retângulo esticado aumentaram acentuadamente e atingiram 1:2,8 ). As proporções do retângulo "dourado" foram fortemente distorcidas; suas proporções em cópias tornaram-se as proporções do retângulo 1:2.08.

Ao fazer seus próprios desenhos, prevalecem proporções próximas à proporção áurea e alongadas. Em média, as proporções são 1:2, enquanto o hemisfério direito prefere as proporções da seção áurea, o hemisfério esquerdo se afasta das proporções da seção áurea e estica o padrão.

Agora desenhe alguns retângulos, meça seus lados e encontre a proporção. Qual hemisfério você tem?

A PROPORÇÃO DE OURO NA FOTOGRAFIA

Um exemplo do uso da proporção áurea na fotografia é a localização dos principais componentes do quadro em pontos localizados a 3/8 e 5/8 das bordas do quadro. Isso pode ser ilustrado com o seguinte exemplo: a fotografia de um gato, localizada em um local arbitrário do quadro.

Agora vamos dividir condicionalmente o quadro em segmentos, na proporção de 1,62 do comprimento total de cada lado do quadro. Na interseção dos segmentos estarão os principais “centros visuais” nos quais vale a pena colocar as necessárias elementos chave Imagens. Vamos mover nosso gato para os pontos de "centros visuais".

PROPORÇÃO Áurea E ESPAÇO

Sabe-se da história da astronomia que I. Titius, um astrônomo alemão do século 18, usando esta série, encontrou regularidade e ordem nas distâncias entre os planetas do sistema solar.

Porém, um caso que parecia ir contra a lei: não havia planeta entre Marte e Júpiter. A observação focada desta área do céu levou à descoberta do cinturão de asteroides. Isso aconteceu após a morte de Titius no início do século XIX. A série Fibonacci é amplamente utilizada: com sua ajuda, eles representam a arquitetura dos seres vivos, estruturas feitas pelo homem e a estrutura das galáxias. Esses fatos evidenciam a independência da série numérica das condições de sua manifestação, o que é um dos sinais de sua universalidade.

As duas Espirais Douradas da galáxia são compatíveis com a Estrela de David.

Preste atenção nas estrelas que emergem da galáxia em uma espiral branca. Exatamente 180 0 de uma das espirais, sai outra espiral em desenvolvimento ... Por muito tempo, os astrônomos simplesmente acreditaram que tudo o que existe é o que vemos; se algo é visível, então existe. Eles ou não notaram a parte invisível da Realidade, ou não a consideraram importante. Mas o lado invisível da nossa Realidade é na verdade muito maior que o lado visível e, provavelmente, mais importante... Em outras palavras, a parte visível da Realidade é muito menos que um por cento do todo - quase nada. Na verdade, nosso verdadeiro lar é o universo invisível...

No Universo, todas as galáxias conhecidas pela humanidade e todos os corpos nelas existem na forma de uma espiral, correspondendo à fórmula da seção áurea. Na espiral da nossa galáxia está a proporção áurea

CONCLUSÃO

A natureza, entendida como o mundo inteiro na variedade de suas formas, consiste, por assim dizer, em duas partes: a natureza animada e a inanimada. As criações de natureza inanimada são caracterizadas por alta estabilidade, baixa variabilidade, a julgar pela escala da vida humana. Uma pessoa nasce, vive, envelhece, morre, mas as montanhas de granito permanecem as mesmas e os planetas giram em torno do Sol da mesma forma que no tempo de Pitágoras.

O mundo da vida selvagem aparece diante de nós completamente diferente - móvel, mutável e surpreendentemente diverso. A vida nos mostra um fantástico carnaval de diversidade e originalidade de combinações criativas! O mundo da natureza inanimada é, antes de tudo, um mundo de simetria, que confere estabilidade e beleza às suas criações. O mundo da natureza é, antes de tudo, um mundo de harmonia, no qual opera a “lei da seção áurea”.

EM mundo moderno a ciência é de particular importância, em conexão com o impacto crescente do homem na natureza. Tarefas importantes no estágio atual são a busca de novas formas de coexistência do homem e da natureza, o estudo dos problemas filosóficos, sociais, econômicos, educacionais e outros que a sociedade enfrenta.

Neste trabalho, foi considerada a influência das propriedades da "seção áurea" na natureza viva e não viva, no curso histórico do desenvolvimento da história da humanidade e do planeta como um todo. Analisando tudo o que foi exposto, pode-se mais uma vez maravilhar-se com a grandeza do processo de cognição do mundo, a descoberta de seus padrões sempre novos e concluir: o princípio da seção áurea é a mais alta manifestação da perfeição estrutural e funcional de o todo e suas partes na arte, na ciência, na tecnologia e na natureza. Pode-se esperar que as leis de desenvolvimento de vários sistemas da natureza, as leis de crescimento, não sejam muito diversas e possam ser rastreadas da maneira mais várias formações. Esta é a manifestação da unidade da natureza. A ideia de tal unidade, baseada na manifestação dos mesmos padrões em fenômenos naturais heterogêneos, manteve sua relevância desde Pitágoras até os dias atuais.

proporção áurea - princípio universal harmonia

"Os gostos não discutem" - quantas vezes cada um de nós já ouviu esta fórmula e até a pronunciou. Ao concordar com isso, estamos prontos para defender qualquer desgraça que a imaginação humana possa permitir. Uma pessoa profundamente egoísta, exigente, apaixonada, desacostumada a ouvir o mundo em grandes e pequenos, simplesmente não tem motivos para desenvolver o gosto e compreender a harmonia e, portanto, é capaz de gerar a estética mais monstruosa, chamando-a de beleza. "Não se pode proibir uma vida bonita", cospe o morador com os lábios gordurosos, defendendo seus gostos e proibindo os outros de discutir sobre eles. "Claro, claro, não vamos discutir sobre gostos! Cada um tem razão à sua maneira, desde que não nos prejudique", ecoam os animais em forma de gente, não se compreendendo mais profundamente do que as necessidades corporais. E eles estão instalados em habitações esquálidas, estão cheios de música destrutiva, estão banco da escola alimentam a miséria, servindo-a sob o molho da inevitabilidade. A decadência da estética, a desatenção à beleza é sempre a decadência da humanidade, que não quer mais sonhar nem almejar a beleza. É sofrimento e morte.

É difícil para um indivíduo resistir a todo o sistema de vulgaridade, e ele está condenado a se submeter a ele e perecer se não tiver conhecimento suficiente. Gostaria de acreditar que o sentimento de beleza, a harmonia do mundo vive em cada pessoa - basta mostrar, aprender a usar.

Provavelmente é difícil encontrar uma medida confiável para uma avaliação objetiva da própria beleza, e a lógica por si só não serve aqui. Porém, aqui vai ajudar a experiência de quem a busca pela beleza era o próprio sentido da vida, que fez dela a sua profissão. Em primeiro lugar, são pessoas de arte, como as chamamos: artistas, arquitetos, escultores, músicos, escritores. Mas também são pessoas das ciências exatas - antes de tudo, matemáticos.

Confiando no olho mais do que em outros órgãos dos sentidos, uma pessoa aprendeu antes de tudo a distinguir os objetos ao seu redor pela forma. O interesse pela forma de um objeto pode ser ditado por uma necessidade vital ou pode ser causado pela beleza da forma. A forma, que se baseia na combinação de simetria e seção áurea, contribui para a melhor percepção visual e para a aparência de uma sensação de beleza e harmonia. O todo sempre consiste em partes, partes de tamanhos diferentes estão em uma certa relação umas com as outras e com o todo. O princípio da seção áurea é a mais alta manifestação da perfeição estrutural e funcional do todo e suas partes na arte, ciência, tecnologia e natureza. Essa ideia foi compartilhada e compartilhada por muitos proeminentes cientistas modernos, provando em seus estudos que a verdadeira beleza é sempre funcional. Entre eles estão os projetistas de aeronaves. E arquitetos, antropólogos e muitos outros.

História da proporção áurea

É geralmente aceito que o conceito de divisão áurea foi introduzido no uso científico por Pitágoras, um antigo filósofo e matemático grego (século VI aC). Há uma suposição de que Pitágoras emprestou seu conhecimento da divisão áurea dos egípcios e babilônios. De fato, as proporções da pirâmide de Quéops, templos, baixos-relevos, utensílios domésticos e decorações da tumba de Tutancâmon indicam que os artesãos egípcios usaram as proporções da divisão áurea ao criá-los. O arquiteto francês Le Corbusier descobriu que no relevo do templo do faraó Seti I em Abidos e no relevo representando o faraó Ramsés, as proporções das figuras correspondem aos valores da divisão áurea. O arquiteto Khesira, representado no relevo de uma tábua de madeira da tumba de seu nome, segura nas mãos instrumentos de medição, nos quais são fixadas as proporções da divisão áurea.

O professor alemão G.E. Timerding, que escreveu um livro sobre a proporção áurea no primeiro quarto do século XX, afirma: "Entre os pitagóricos<...>o pensamento de forças e propriedades misteriosas foi associado ao pentágono regular, mas essas propriedades são reveladas apenas quando, ao lado do pentágono regular comum, essa estrela é considerada, o que é obtido conectando-se sequencialmente através de um de todos os vértices de um pentágono comum , composto pelas diagonais do pentágono "- e outras notas: o pentagrama desempenhou um grande papel em todas as ciências mágicas. A estrela de cinco pontas, como mostra Timerding, é literalmente recheada com as proporções da seção áurea.

Platão (427...347 aC) também sabia sobre a divisão áurea. O pitagórico Timeu, no diálogo homônimo de Platão, diz: "É impossível que duas coisas estejam perfeitamente conectadas sem uma terceira, pois algo deve aparecer entre elas que as mantenha unidas. Isso pode ser feito melhor pela proporção, porque se três números têm a propriedade de que a média está para o menor assim como o maior está para o meio, e vice-versa, o menor está para a média assim como a média está para o maior, então o último e o primeiro serão o meio, e no meio o primeiro e o último, já que será o mesmo, formará um todo. Platão constrói o mundo terrestre usando triângulos de dois tipos: isósceles e não isósceles. Ele considera o triângulo retângulo mais bonito aquele em que a hipotenusa é duas vezes menor das pernas (tal retângulo é meio equilátero, figura principal dos babilônios, tem uma proporção de 1: 3 1/2 , que difere da proporção áurea em cerca de 1/25 e é chamado de Timerding "oponente da proporção áurea"). Usando triângulos, Platão constrói quatro poliedros regulares, associando-os aos quatro elementos terrestres (terra, água, ar e fogo). E apenas o último dos cinco poliedros regulares existentes - o dodecaedro, cujas doze faces são pentágonos regulares, afirma ser uma imagem simbólica do mundo celestial.

A honra de descobrir o dodecaedro (ou, como se supunha, o próprio Universo, esta quintessência dos quatro elementos, simbolizados, respectivamente, pelo tetraedro, octaedro, icosaedro e cubo) pertence a Hípaso, que mais tarde morreu num naufrágio. Esta figura realmente captura muitos relacionamentos da seção áurea, de modo que este último recebeu o papel principal no mundo celestial, que foi posteriormente insistido pelo irmão menor Luca Pacioli.

Na literatura antiga que chegou até nós, a divisão áurea foi mencionada pela primeira vez nos "Inícios" de Euclides. No segundo livro dos "Inícios" é dada a construção geométrica da divisão áurea. Depois de Euclides, Hypsicles (século II aC), Pappus (século III dC) e outros se dedicaram ao estudo da divisão áurea. Na Europa medieval com a divisão áurea Conhecemo-nos através de traduções árabes dos "Inícios" de Euclides. O tradutor J. Campano de Navarra (século III) comentou a tradução. Os segredos da divisão de ouro foram cuidadosamente guardados, mantidos em estrito sigilo. Eles eram conhecidos apenas pelos iniciados.

Leonardo da Vinci também recorreu repetidamente a essa imagem, reproduzindo essencialmente um pentagrama. Sua interpretação: o corpo humano tem divino perfeição, porque as proporções inerentes a ela são as mesmas da figura celeste principal. Leonardo da Vinci, artista e cientista, viu que os artistas italianos tinham muita experiência empírica, mas pouco conhecimento. Ele concebeu e começou a escrever um livro sobre geometria, mas naquela época apareceu um livro do monge Luca Pacioli e Leonardo abandonou a ideia. Segundo contemporâneos e historiadores da ciência, Luca Pacioli foi um verdadeiro luminar, o maior matemático da Itália entre Fibonacci e Galileu. Luca Pacioli foi aluno do artista Piero della Francesca, que escreveu dois livros, um dos quais se chamava Sobre a perspectiva na pintura. Ele é considerado o criador da geometria descritiva.

Luca Pacioli estava bem ciente da importância da ciência para a arte. Em 1496, a convite do duque de Moreau, veio para Milão, onde lecionou matemática. Leonardo da Vinci também trabalhava na corte de Moro em Milão naquela época. Em 1509, um livro de Luca Pacioli foi publicado em Veneza "Na proporção divina"(De divina ratio, 1497, publicado em Veneza em 1509) com ilustrações brilhantemente executadas, razão pela qual se acredita terem sido feitas por Leonardo da Vinci. O livro era um hino entusiástico à proporção áurea. Existe apenas uma dessas proporções, e a singularidade é o atributo mais elevado de Deus. Ela personifica a santíssima trindade. Essa proporção não pode ser expressa por um número acessível, permanece oculta e secreta e é chamada de irracional pelos próprios matemáticos (portanto, Deus não pode ser definido nem explicado por palavras). Deus nunca muda e representa tudo em tudo e tudo em cada uma de suas partes, então a proporção áurea para qualquer quantidade contínua e definida (independentemente de ser grande ou pequena) é a mesma, não pode ser alterada ou percebida de outra forma pela mente. Deus criou a virtude celestial, também chamada de quinta substância, com sua ajuda quatro outros corpos simples (quatro elementos - terra, água, ar, fogo) e, com base neles, criou todas as outras coisas da natureza; assim, nossa proporção sagrada, de acordo com Platão no Timeu, dá existência formal ao próprio céu, pois é atribuída à forma de um corpo chamado dodecaedro, que não pode ser construído sem a seção áurea. Esses são os argumentos de Pacioli.

Ao mesmo tempo, no norte da Europa, na Alemanha, Albrecht Dürer trabalhava nos mesmos problemas. Ele esboça uma introdução ao primeiro rascunho de um tratado sobre proporções. Durer escreve. "É preciso que aquele que saiba ensine aos outros que precisam. É isso que me propus a fazer."

Kepler chamou a proporção áurea de contínua. próximo termo, e a mesma proporção permanece até o infinito".

A construção de uma série de segmentos da proporção áurea pode ser feita tanto no sentido de aumento (série crescente) quanto no sentido de diminuição (série decrescente).

Nos séculos seguintes, a regra da proporção áurea se transformou em cânone acadêmico, e quando, com o tempo, começou uma luta na arte com a rotina acadêmica, no calor da luta “jogaram fora a criança com a água”. A seção áurea foi "descoberta" novamente em meados do século XIX. Em 1855, o pesquisador alemão da seção áurea, professor Zeising, publicou seu trabalho "Pesquisa estética". Com Zeising, exatamente o que aconteceu estava fadado a acontecer com o pesquisador que considera o fenômeno como tal, sem ligação com outros fenômenos. Ele absolutizou a proporção da seção áurea, declarando-a universal para todos os fenômenos da natureza e da arte. Zeising teve numerosos seguidores, mas também houve oponentes que declararam que sua doutrina das proporções era "estética matemática".

Zeising fez um ótimo trabalho. Ele mediu cerca de dois mil corpos humanos e chegou à conclusão de que a proporção áurea expressa a lei estatística média. A divisão do corpo pela ponta do umbigo é o indicador mais importante da seção áurea. As proporções do corpo masculino flutuam dentro da proporção média de 13:8 = 1,625 e estão um pouco mais próximas da proporção áurea do que as proporções do corpo feminino, em relação ao qual o valor médio da proporção é expresso na proporção 8: 5 = 1,6. No recém-nascido, a proporção é de 1: 1, aos 13 anos é de 1,6 e aos 21 é igual ao homem. As proporções da seção áurea também se manifestam em relação a outras partes do corpo - o comprimento do ombro, antebraço e mão, mão e dedos, etc.

Zeising testou a validade de sua teoria em estátuas gregas. Ele desenvolveu as proporções de Apollo Belvedere com mais detalhes. Vasos gregos, estruturas arquitetônicas de várias épocas, plantas, animais, ovos de pássaros, tons musicais, medidores poéticos foram submetidos à pesquisa. Zeising definiu a proporção áurea, mostrou como ela é expressa em segmentos de linha e em números. Quando os números que expressam os comprimentos dos segmentos foram obtidos, Zeising viu que eles constituíam uma série de Fibonacci, que poderia continuar indefinidamente em uma direção e na outra. Seu próximo livro foi intitulado "A divisão áurea como a lei morfológica básica na natureza e na arte". Em 1876, um pequeno livro, quase um panfleto, foi publicado na Rússia, resumindo a obra de Zeising. O autor refugiou-se sob as iniciais Yu.F.V. Nenhuma pintura é mencionada nesta edição.

No final do século XIX - início do século XX. muitas teorias puramente formalistas surgiram sobre o uso da seção áurea em obras de arte e arquitetura. Com o desenvolvimento do design e da estética técnica, a lei da proporção áurea estendeu-se ao design de carros, móveis, etc.

Um pouco de geometria

Na matemática proporção(lat. proportio) chame a igualdade de duas relações: a:b = c:d.

segmento de linha AB pode ser dividida em duas partes da seguinte maneira:

em duas partes iguais AB: AC = AB: BC;

em duas partes desiguais em qualquer proporção (essas partes não formam proporções);

então quando AB: AC = AC: BC.

Esta última é a divisão áurea ou divisão do segmento na proporção extrema e média.

A seção áurea é uma divisão tão proporcional de um segmento em partes desiguais, na qual todo o segmento se relaciona com a parte maior da mesma forma que a própria parte maior se relaciona com a menor; ou seja, o segmento menor está relacionado ao maior assim como o maior está para tudo

a:b = b:cou c:b = b:a.

O conhecimento prático da proporção áurea começa com a divisão de um segmento de linha reta na proporção áurea usando um compasso e uma régua.

De um ponto EM uma perpendicular é restaurada igual à metade AB. Ponto recebido COM conectado por uma linha a um ponto A. Um segmento é desenhado na linha resultante sol, terminando com um ponto D. segmento de linha DE ANÚNCIOS transferido para uma linha reta AB. O ponto resultante E divide o segmento AB na proporção áurea.

Segmentos da proporção áurea são expressos por uma fração irracional infinita AE= 0,618... se AB tome como uma unidade SER\u003d 0,382 ... Para fins práticos, os valores aproximados de 0,62 e 0,38 são frequentemente usados. Se o segmento AB tomado como 100 partes, então a maior parte do segmento é 62 e a menor é 38 partes.

As propriedades da seção áurea são descritas pela equação:

x2 - x - 1 = 0.

Solução desta equação:

A segunda proporção áurea

A revista búlgara "Pátria" (nº 10, 1983) publicou um artigo de Tsvetan Tsekov-Karandash "Na segunda seção áurea", que segue da seção principal e fornece outra proporção de 44: 56.

Tal proporção é encontrada na arquitetura, e também ocorre na construção de composições de imagens de formato horizontal alongado.

A divisão é feita da seguinte forma. segmento de linha ABé dividido de acordo com a proporção áurea. De um ponto COM a perpendicular é restaurada CD. Raio AB há um ponto D, que é conectado por uma linha a um ponto A. Ângulo certo DACé dividido ao meio. De um ponto COM uma linha é desenhada até cruzar com uma linha DE ANÚNCIOS. Ponto E divide o segmento DE ANÚNCIOS em relação a 56:44.

A figura mostra a posição da linha da segunda seção áurea. Ele está localizado no meio entre a linha da seção áurea e a linha do meio do retângulo.

Triângulo Dourado

Para encontrar segmentos da proporção áurea da série ascendente e descendente, você pode usar pentagrama.

Para construir um pentagrama, você precisa construir um pentágono regular. O método de sua construção foi desenvolvido pelo pintor e artista gráfico alemão Albrecht Dürer (1471...1528). Deixar O- o centro do círculo A- um ponto no círculo e E- meio do segmento OA. Perpendicular ao Raio OA, restaurado no ponto SOBRE, intercepta a circunferência em um ponto D. Usando um compasso, reserve um segmento no diâmetro CE = ED. O comprimento de um lado de um pentágono regular inscrito em um círculo é CC. Colocando segmentos no círculo CC e obtenha cinco pontos para desenhar um pentágono regular. Conectamos os cantos do pentágono por meio de uma diagonal e obtemos um pentagrama. Todas as diagonais do pentágono se dividem em segmentos conectados pela proporção áurea.

Cada extremidade da estrela pentagonal é um triângulo dourado. Suas laterais formam um ângulo de 36° na parte superior, e a base assente na lateral a divide na proporção da seção áurea.

Desenhamos uma linha reta AB. do ponto A reserve nele três vezes um segmento O de tamanho arbitrário, através do ponto resultante R traçar uma perpendicular à linha AB, na perpendicular à direita e à esquerda do ponto R separar segmentos SOBRE. pontos recebidos d E d1 conectar com uma linha reta A. segmento de linha dd1 colocar na linha Ad1, obtendo um ponto COM. Ela dividiu a linha Ad1 proporcional à proporção áurea. linhas Ad1 E dd1 usado para construir um retângulo "dourado".

série Fibonacci

O nome do monge matemático italiano Leonardo de Pisa, mais conhecido como Fibonacci (filho de Bonacci), está indiretamente ligado à história da proporção áurea. Ele viajou muito no Oriente, apresentou a Europa aos numerais indianos (árabe). Em 1202, foi publicada sua obra matemática "O Livro do Ábaco" (tabuleiro de contagem), na qual foram coletados todos os problemas conhecidos na época. Uma das tarefas dizia "Quantos pares de coelhos nascerão de um par em um ano". Refletindo sobre esse tópico, Fibonacci construiu a seguinte série de números:

Meses

etc.

pares de coelhos

etc.

Uma série de números 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, etc. conhecida como série de Fibonacci. A peculiaridade da sequência de números é que cada um de seus membros, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois anteriores 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 \u003d 34, etc., e a proporção de números adjacentes da série se aproxima da proporção da divisão áurea. Assim, 21:34 = 0,617 e 34:55 = 0,618. Essa proporção é denotada pelo símbolo Ф. Somente essa proporção - 0,618: 0,382 - dá uma divisão contínua de um segmento de reta na proporção áurea, aumentando-a ou diminuindo-a até o infinito, quando o segmento menor está relacionado ao maior como o maior é para tudo.

Fibonacci também tratou das necessidades práticas do comércio: qual é o menor número de pesos que podem ser usados para pesar uma mercadoria? Fibonacci prova que o seguinte sistema de pesos é ótimo: 1, 2, 4, 8, 16...

A série de Fibonacci poderia ter permanecido apenas um incidente matemático se não fosse pelo fato de que todos os pesquisadores da divisão áurea no mundo vegetal e animal, sem falar na arte, invariavelmente chegaram a esta série como uma expressão aritmética da lei da divisão áurea .

Os cientistas continuaram a desenvolver ativamente a teoria dos números de Fibonacci e a proporção áurea. Yu. Matiyasevich resolve o 10º problema de Hilbert usando números de Fibonacci. Existem métodos elegantes para resolver vários problemas cibernéticos (teoria de busca, jogos, programação) usando números de Fibonacci e a seção áurea. Nos EUA, está sendo criada até a Mathematical Fibonacci Association, que publica uma revista especial desde 1963.

Os fatos que confirmam a existência de seções áureas e seus derivados na natureza são fornecidos pelo cientista bielorrusso E.M. Soroko no livro "Harmonia Estrutural de Sistemas" (Minsk, "Ciência e Tecnologia", 1984). Acontece, por exemplo, que as ligas binárias bem estudadas têm propriedades funcionais especiais e pronunciadas (termicamente estáveis, duras, resistentes ao desgaste, resistentes à oxidação, etc.) somente se as gravidades específicas dos componentes iniciais estiverem relacionadas entre si por uma das proporções áureas. Isso permitiu ao autor apresentar a hipótese de que as seções áureas são constantes numéricas para sistemas auto-organizados. Confirmada experimentalmente, essa hipótese pode ser de fundamental importância para o desenvolvimento da sinergética - um novo campo da ciência que estuda processos em sistemas auto-organizados.

Princípios de modelagem na natureza

Tudo o que assumiu alguma forma se formou, cresceu, procurou ocupar um lugar no espaço e se preservar. Essa aspiração encontra realização principalmente em duas variantes - crescimento ascendente ou expansão sobre a superfície da terra e torção em espiral.

Até mesmo Goethe enfatizou a tendência da natureza à espiralidade. O arranjo em espiral e espiral das folhas nos galhos das árvores foi notado há muito tempo. A espiral foi vista no arranjo de sementes de girassol, em pinhas, abacaxis, cactos, etc. O trabalho conjunto de botânicos e matemáticos lançou luz sobre esses incríveis fenômenos naturais. Descobriu-se que no arranjo de folhas em um galho (filotaxe), sementes de girassol, pinhas, a série Fibonacci se manifesta e, portanto, a lei da seção áurea se manifesta. A aranha tece sua teia em um padrão espiral. Um furacão está em espiral. Um rebanho assustado de renas se espalha em espiral. A molécula de DNA é torcida em uma dupla hélice. Goethe chamou a espiral de "a curva da vida".

Entre as ervas à beira da estrada, cresce uma planta comum - a chicória. Vamos dar uma olhada nisso. Um ramo foi formado a partir do tronco principal. Aqui está a primeira folha.

Arroz. 12. Chicória

O processo faz uma forte ejeção no espaço, para, solta uma folha, mas já mais curta que a primeira, faz novamente uma ejeção no espaço, mas com menos força, solta uma folha de tamanho ainda menor e ejeta novamente. Se o primeiro outlier for considerado como 100 unidades, o segundo será 62 unidades, o terceiro será 38, o quarto será 24 e assim por diante. O comprimento das pétalas também está sujeito à proporção áurea. No crescimento, na conquista do espaço, a planta manteve certas proporções. Seus impulsos de crescimento diminuíram gradualmente em proporção à proporção áurea.

Arroz. 13.lagarto vivíparo

Num lagarto, à primeira vista, captam-se proporções agradáveis \u200b\u200baos nossos olhos - o comprimento da cauda relaciona-se com o comprimento do resto do corpo de 62 a 38.

Tanto no mundo vegetal quanto no animal, a tendência de construção de formas da natureza persiste - a simetria em relação à direção do crescimento e do movimento. Aqui a proporção áurea aparece nas proporções das partes perpendiculares à direção do crescimento.

A natureza realizou a divisão em partes simétricas e proporções áureas. Nas partes, manifesta-se uma repetição da estrutura do todo.

Arroz. 14. ovo de passarinho

O grande Goethe, poeta, naturalista e artista (desenhava e pintava em aquarela), sonhava em criar uma doutrina unificada da forma, formação e transformação dos corpos orgânicos. Foi ele quem introduziu o termo morfologia no uso científico.

Regularidades de simetria "dourada" se manifestam nas transições de energia de partículas elementares, na estrutura de alguns compostos químicos, em sistemas planetários e espaciais, nas estruturas genéticas de organismos vivos. Esses padrões, conforme indicado acima, estão na estrutura dos órgãos humanos individuais e do corpo como um todo, e também se manifestam nos biorritmos e no funcionamento do cérebro e na percepção visual.

Proporção áurea e simetria

A proporção áurea não pode ser considerada em si, separadamente, sem ligação com a simetria. O grande cristalógrafo russo G.V. Wulff (1863...1925) considerou a proporção áurea como uma das manifestações da simetria.

A divisão áurea não é uma manifestação de assimetria, algo oposto à simetria.De acordo com os conceitos modernos, a divisão áurea é uma simetria assimétrica. A ciência da simetria inclui conceitos como estático E simetria dinâmica. A simetria estática caracteriza o repouso, o equilíbrio e a simetria dinâmica caracteriza o movimento, o crescimento. Assim, na natureza, a simetria estática é representada pela estrutura dos cristais, e na arte caracteriza a paz, o equilíbrio e a imobilidade. A simetria dinâmica expressa atividade, caracteriza movimento, desenvolvimento, ritmo, é evidência de vida. A simetria estática é caracterizada por segmentos iguais, magnitudes iguais. A simetria dinâmica é caracterizada por um aumento nos segmentos ou sua diminuição, e é expressa nos valores da seção áurea.

Observar e aplicar

Compreender e usar o princípio da seção áurea não deve ser o destino de alguma elite - este é o conhecimento mais básico a partir do qual começam as leis infinitamente complexas de harmonia e proporção. Não há limites para a aplicação significativa dessas leis na vida cotidiana. A alocação do principal e do secundário em relação ao todo pode dizer respeito a qualquer coisa. Esta é a distribuição do tempo de uma pessoa e de qualquer processo criativo, incluindo todos os tipos de arte, literatura, música e a formação de sua própria atitude em relação a quaisquer processos e fenômenos. Este é o Caminho Dourado, do meio, do qual os antigos falavam.

Todo artista, todo diretor, todo publicitário sabe como tornar uma imagem agradável aos olhos, como construí-la de acordo com as leis da harmonia e da psicologia. percepção humana. Às vezes, os piores inimigos da cultura alcançam vitórias significativas usando o conhecimento das leis da Natureza. Assim, sob o disfarce de algo agradável e cativante, muitas vezes permitimos que os venenos mais fortes entrem em nossos corações. Tantas pessoas falam sobre liberdade, enquanto elas mesmas se envenenam voluntariamente, perguntando-se depois de onde vêm suas doenças e infortúnios.

Não pode haver liberdade na ignorância. A rugosidade e a ilegibilidade do paladar devem ser superadas. Que esta seja a preocupação tanto dos indivíduos quanto das comunidades e dos Estados.

Compilado por R. Annenkov

Muitas vezes você tem que lidar com uma situação em que o elemento que você desenhou "não toca"? Algo errado? Proporções erradas?

Não se deve argumentar que não há ideal na natureza, porque existe e foi deduzido há muito tempo com a ajuda da matemática e da geometria. O nome da pessoa que primeiro introduziu o termo "seção áurea" é desconhecido, embora muitos estejam acostumados a acreditar que se trata de Leonardo Da Vinci. A primeira aparição deste termo é em 1835, graças a Martin Ohm, em uma nota de rodapé da segunda edição de sua Pure Elementary Mathematics.

Como é a fórmula da seção áurea?

Esta é uma proporção harmoniosa de duas quantidades b e a, a > b, quando a/b = (a+b)/a é verdadeiro. Um número igual à razão a/b é geralmente denotado por uma letra grega maiúscula

(\displaystyle\phi)

Em homenagem ao antigo escultor e arquiteto grego Fídias.

Para fins práticos, eles estão limitados a um valor aproximado de = 1,618 ou = 1,62. Em percentual arredondado, a proporção áurea é a divisão de um valor em relação a 62% e 38%.

Às vezes, o número é chamado de "número de ouro"

Para que você e eu não nos preocupemos com matemática, pessoas pequenas surgiu com tal círculo. Com ele, você já pode conferir projetos finalizados na proporção de peças e construir novas, levando em consideração o princípio da "seção áurea"

Deixe seus projetos permanecerem no patrimônio cultural mundial!

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