Como resolver derivadas. Derivada de uma função
Cálculo derivado- uma das operações mais importantes cálculo diferencial. Abaixo está uma tabela para encontrar derivadas de funções simples. Para regras de diferenciação mais complexas, veja outras lições:- Tabela de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas
Derivadas de funções simples
1. A derivada de um número é zeroс´ = 0
Exemplo:
5' = 0
Explicação:
A derivada mostra a taxa na qual o valor de uma função muda quando seu argumento muda. Como o número não muda em nenhuma condição, a taxa de sua variação é sempre zero.
2. Derivada de uma variável igual a um
x' = 1
Explicação:
A cada incremento do argumento (x) em um, o valor da função (o resultado do cálculo) aumenta na mesma proporção. Assim, a taxa de variação do valor da função y = x é exatamente igual à taxa de variação do valor do argumento.
3. A derivada de uma variável e de um fator é igual a este fator
сx´ = с
Exemplo:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicação:
EM nesse caso, cada vez que o argumento da função muda ( X) seu valor (y) aumenta em Com uma vez. Assim, a taxa de variação do valor da função em relação à taxa de variação do argumento é exatamente igual ao valor Com.
Donde se segue que
(cx + b)" = c
isto é, o diferencial Função linear y=kx+b é igual a declive inclinação da reta (k).
4. Módulo derivado de uma variável igual ao quociente desta variável ao seu módulo
|x|"=x / |x| desde que x ≠ 0
Explicação:
Como a derivada de uma variável (ver fórmula 2) é igual à unidade, a derivada do módulo difere apenas porque o valor da taxa de variação da função muda para o oposto ao cruzar o ponto de origem (tente desenhar um gráfico da função y = |x| e veja por si mesmo. Este é exatamente o valor e retorna a expressão x / |x|. Quando x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - um. Ou seja, para valores negativos da variável x, a cada aumento no argumento, o valor da função diminui exatamente no mesmo valor, e para valores positivos, ao contrário, aumenta, mas exatamente no mesmo valor .
5. Derivada de uma variável para uma potência igual ao produto de um número desta potência e uma variável à potência reduzida em um
(x c)"= cx c-1, desde que x c e cx c-1 estejam definidos e c ≠ 0
Exemplo:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Para lembrar a fórmula:
Mova o grau da variável para baixo como um fator e, em seguida, reduza o próprio grau em um. Por exemplo, para x 2 - o dois estava à frente de x, e então a potência reduzida (2-1 = 1) simplesmente nos deu 2x. O mesmo aconteceu com x 3 - “descemos” o triplo, reduzimos em um e em vez de um cubo temos um quadrado, ou seja, 3x 2. Um pouco "não científico", mas muito fácil de lembrar.
6.Derivada de uma fração 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemplo:
Como uma fração pode ser representada como elevada a uma potência negativa
(1/x)" = (x -1)", então você pode aplicar a fórmula da regra 5 da tabela de derivadas
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Derivada de uma fração com uma variável de grau arbitrário no denominador
(1 /x c)" = - c/x c+1
Exemplo:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Derivado da raiz(derivada da variável sob raiz quadrada)
(√x)" = 1 / (2√x) ou 1/2 x -1/2
Exemplo:
(√x)" = (x 1/2)" significa que você pode aplicar a fórmula da regra 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Derivada de uma variável sob a raiz de um grau arbitrário
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
No qual examinamos as derivadas mais simples, e também nos familiarizamos com as regras de diferenciação e algumas técnicas técnicas para encontrar derivadas. Portanto, se você não é muito bom com derivadas de funções ou se alguns pontos deste artigo não estão totalmente claros, leia primeiro a lição acima. Por favor, fique sério - o material não é simples, mas ainda assim tentarei apresentá-lo de forma simples e clara.
Na prática, você tem que lidar com a derivada de uma função complexa com muita frequência, eu diria até, quase sempre, quando recebe tarefas para encontrar derivadas.
Vemos na tabela a regra (nº 5) para diferenciar uma função complexa:
Vamos descobrir. Em primeiro lugar, prestemos atenção à entrada. Aqui temos duas funções - e , e a função, falando figurativamente, está aninhada dentro da função . Uma função deste tipo (quando uma função está aninhada dentro de outra) é chamada de função complexa.
vou chamar a função função externa, e a função – função interna (ou aninhada).
! Estas definições não são teóricas e não devem constar na concepção final dos trabalhos. Eu uso expressões informais “função externa”, função “interna” apenas para facilitar a compreensão do material.
Para esclarecer a situação, considere:
Exemplo 1
Encontre a derivada de uma função
Sob o seno não temos apenas a letra “X”, mas uma expressão inteira, portanto, encontrar a derivada imediatamente na tabela não funcionará. Notamos também que aqui é impossível aplicar as quatro primeiras regras, parece haver uma diferença, mas o fato é que o seno não pode ser “despedaçado”:
EM neste exemplo Já está intuitivamente claro pelas minhas explicações que uma função é uma função complexa, e um polinômio é uma função interna (incorporação) e uma função externa.
Primeiro passo o que você precisa fazer ao encontrar a derivada de uma função complexa é entender qual função é interna e qual é externa.
Quando exemplos simples Parece claro que um polinômio está embutido no seno. Mas e se nem tudo for óbvio? Como determinar com precisão qual função é externa e qual é interna? Para isso, sugiro utilizar a seguinte técnica, que pode ser feita mentalmente ou em rascunho.
Vamos imaginar que precisamos calcular o valor da expressão em uma calculadora (em vez de um pode haver qualquer número).
O que vamos calcular primeiro? Em primeiro lugar você precisará realizar a seguinte ação: , portanto o polinômio será uma função interna: 
Em segundo lugar precisará ser encontrado, então seno – será uma função externa: 
Depois de nós VENDIDO com funções internas e externas, é hora de aplicar a regra de diferenciação de funções complexas 
.
Vamos começar a decidir. Da lição Como encontrar a derivada? lembramos que o desenho de uma solução para qualquer derivada sempre começa assim - colocamos a expressão entre colchetes e colocamos um traço no canto superior direito:
Inicialmente encontramos a derivada da função externa (seno), olhamos a tabela de derivadas de funções elementares e percebemos que . Todas as fórmulas de tabela também são aplicáveis se “x” for substituído por uma expressão complexa, nesse caso:
Observe que a função interna não mudou, não tocamos nisso.
Bem, é bastante óbvio que
O resultado da aplicação da fórmula 
em sua forma final fica assim:
O fator constante geralmente é colocado no início da expressão:
Se houver algum mal-entendido, anote a solução no papel e leia novamente as explicações.
Exemplo 2
Encontre a derivada de uma função
Exemplo 3
Encontre a derivada de uma função
Como sempre, anotamos: 
Vamos descobrir onde temos uma função externa e onde temos uma função interna. Para fazer isso, tentamos (mentalmente ou em rascunho) calcular o valor da expressão em . O que você deve fazer primeiro? Primeiro de tudo, você precisa calcular a que a base é igual: portanto, o polinômio é uma função interna: 
E só então é realizada a exponenciação, portanto, a função potência é uma função externa: 
De acordo com a fórmula 
, primeiro você precisa encontrar a derivada da função externa, neste caso, o grau. Procuramos a fórmula necessária na tabela: . Repetimos novamente: qualquer fórmula tabular é válida não apenas para “X”, mas também para uma expressão complexa. Assim, o resultado da aplicação da regra para diferenciar uma função complexa 
próximo:
Enfatizo novamente que quando derivamos a função externa, nossa função interna não muda: 
Agora só falta encontrar uma derivada muito simples da função interna e ajustar um pouco o resultado:
Exemplo 4
Encontre a derivada de uma função
Este é um exemplo para você resolver sozinho (resposta no final da lição).
Para consolidar sua compreensão da derivada de uma função complexa, darei um exemplo sem comentários, tente descobrir por si mesmo, por que está a função externa e onde está a função interna, por que as tarefas são resolvidas dessa forma?
Exemplo 5
a) Encontre a derivada da função
b) Encontre a derivada da função
Exemplo 6
Encontre a derivada de uma função 
Aqui temos uma raiz, e para diferenciar a raiz ela deve ser representada como uma potência. Assim, primeiro trazemos a função para a forma apropriada para diferenciação:
Analisando a função, chegamos à conclusão de que a soma dos três termos é uma função interna e a elevação a uma potência é uma função externa. Aplicamos a regra de diferenciação de funções complexas 
:
Novamente representamos o grau como um radical (raiz), e para a derivada da função interna aplicamos uma regra simples para diferenciar a soma:
Preparar. Você também pode reduzir a expressão a um denominador comum entre colchetes e escrever tudo como uma fração. É lindo, claro, mas quando você obtém derivadas longas e complicadas, é melhor não fazer isso (é fácil ficar confuso, cometer erros desnecessários e será inconveniente para o professor verificar).
Exemplo 7
Encontre a derivada de uma função
Este é um exemplo para você resolver sozinho (resposta no final da lição).
É interessante notar que às vezes, em vez da regra para diferenciar uma função complexa, você pode usar a regra para diferenciar um quociente 
, mas tal solução parecerá uma perversão incomum. Aqui está um exemplo típico:
Exemplo 8
Encontre a derivada de uma função
Aqui você pode usar a regra de diferenciação do quociente 
, mas é muito mais lucrativo encontrar a derivada através da regra de diferenciação de uma função complexa:
Preparamos a função para diferenciação - movemos o menos do sinal de derivada e elevamos o cosseno ao numerador:
O cosseno é uma função interna, a exponenciação é uma função externa.
Vamos usar nossa regra 
:
Encontramos a derivada da função interna e redefinimos o cosseno:
Preparar. No exemplo considerado, é importante não se confundir com os sinais. A propósito, tente resolver usando a regra 
, as respostas devem corresponder.
Exemplo 9
Encontre a derivada de uma função
Este é um exemplo para você resolver sozinho (resposta no final da lição).
Até agora vimos casos em que tínhamos apenas um aninhamento em uma função complexa. Em tarefas práticas, muitas vezes você pode encontrar derivadas, onde, como bonecos de nidificação, uma dentro da outra, 3 ou até 4-5 funções são aninhadas ao mesmo tempo.
Exemplo 10
Encontre a derivada de uma função
Vamos entender os anexos desta função. Vamos tentar calcular a expressão usando o valor experimental. Como contaríamos com uma calculadora?
Primeiro você precisa encontrar , o que significa que o arco seno é a incorporação mais profunda:
Este arco seno de um deve então ser elevado ao quadrado:
E finalmente, elevamos sete a uma potência: 
Ou seja, neste exemplo temos três funções diferentes e dois embeddings, enquanto a função mais interna é o arco seno e a função mais externa é a função exponencial.
Vamos começar a decidir
De acordo com a regra 
Primeiro você precisa derivar a função externa. Olhamos a tabela de derivadas e encontramos a derivada da função exponencial: A única diferença é que em vez de “x” temos uma expressão complexa, o que não nega a validade desta fórmula. Então, o resultado da aplicação da regra para diferenciar uma função complexa 
próximo.
Prova e derivação das fórmulas da derivada da exponencial (e elevado à potência x) e da função exponencial (a elevada à potência x). Exemplos de cálculo de derivadas de e^2x, e^3x e e^nx. Fórmulas para derivadas de ordens superiores.
A derivada de um expoente é igual ao próprio expoente (a derivada de e elevado à potência x é igual a e elevado à potência x):
(1)
(e x )′ = e x.
A derivada de uma função exponencial com base de grau a é igual à própria função multiplicada por Logaritmo natural a partir de um:
(2)
.
Derivação da fórmula para a derivada da exponencial, e elevado à potência x
Uma exponencial é uma função exponencial cuja base é igual ao número e, que é o seguinte limite:
.
Aqui pode ser um número natural ou um número real. A seguir, derivamos a fórmula (1) para a derivada da exponencial.
Derivação da fórmula da derivada exponencial
Considere o exponencial, e elevado à potência x:
y = e x .
Esta função é definida para todos. Vamos encontrar sua derivada em relação à variável x. Por definição, a derivada é o seguinte limite:
(3)
.
Vamos transformar esta expressão para reduzi-la a propriedades e regras matemáticas conhecidas. Para fazer isso, precisamos dos seguintes fatos:
A) Propriedade do expoente:
(4)
;
B) Propriedade do logaritmo:
(5)
;
EM) Continuidade do logaritmo e propriedade dos limites para uma função contínua:
(6)
.
Aqui está uma função que tem um limite e esse limite é positivo.
G) O significado do segundo limite notável:
(7)
.
Vamos aplicar esses fatos ao nosso limite (3). Usamos a propriedade (4):
;
.
Vamos fazer uma substituição. Então ; .
Devido à continuidade da exponencial,
.
Portanto, quando , . Como resultado obtemos:
.
Vamos fazer uma substituição. Então . No , . E nós temos:
.
Vamos aplicar a propriedade do logaritmo (5):
. Então
.
Vamos aplicar a propriedade (6). Como existe um limite positivo e o logaritmo é contínuo, então:
.
Aqui também usamos o segundo limite notável (7). Então
.
Assim, obtivemos a fórmula (1) para a derivada da exponencial.
Derivação da fórmula para a derivada de uma função exponencial
Agora derivamos a fórmula (2) para a derivada da função exponencial com base de grau a. Acreditamos nisso e. Então a função exponencial
(8)
Definido para todos.
Vamos transformar a fórmula (8). Para isso usaremos propriedades da função exponencial e logaritmo.
;
.
Então, transformamos a fórmula (8) na seguinte forma:
.
Derivadas de ordem superior de e elevado à potência x
Agora vamos encontrar derivadas de ordens superiores. Vejamos primeiro o expoente:
(14)
.
(1)
.
Vemos que a derivada da função (14) é igual à própria função (14). Diferenciando (1), obtemos derivadas de segunda e terceira ordem:
;
.
Isso mostra que a derivada de enésima ordem também é igual à função original:
.
Derivadas de ordem superior da função exponencial
Agora vamos considerar função exponencial com base de potência a:
.
Encontramos sua derivada de primeira ordem:
(15)
.
Diferenciando (15), obtemos derivadas de segunda e terceira ordem:
;
.
Vemos que cada diferenciação leva à multiplicação da função original por. Portanto, a derivada de enésima ordem tem a seguinte forma:
.
Após a preparação preliminar da artilharia, os exemplos com agrupamentos de funções 3-4-5 serão menos assustadores. Os dois exemplos a seguir podem parecer complicados para alguns, mas se você os compreender (alguém sofrerá), quase todo o resto do cálculo diferencial parecerá uma piada de criança.
Exemplo 2
Encontre a derivada de uma função
Como já foi observado, ao encontrar a derivada de uma função complexa, antes de tudo, é necessário Certo ENTENDA seus investimentos. Nos casos em que haja dúvidas, lembro truque útil: pegamos o significado experimental de “x”, por exemplo, e tentamos (mentalmente ou em rascunho) substituir esse significado na “expressão terrível”.
1) Primeiro precisamos calcular a expressão, o que significa que a soma é a incorporação mais profunda.
2) Então você precisa calcular o logaritmo:
4) Em seguida, eleve o cosseno ao cubo:
5) Na quinta etapa a diferença:
6) E finalmente, a função mais externa é a raiz quadrada: 
Fórmula para diferenciar uma função complexa 
são aplicados na ordem inversa, da função mais externa para a mais interna. Nós decidimos:
Parece sem erros:
1) Pegue a derivada de raiz quadrada.
2) Calcule a derivada da diferença usando a regra 
3) A derivada de um triplo é zero. No segundo termo tomamos a derivada do grau (cubo).
4) Calcule a derivada do cosseno.
6) E finalmente, pegamos a derivada da incorporação mais profunda.
Pode parecer muito difícil, mas este não é o exemplo mais brutal. Tomemos, por exemplo, a coleção de Kuznetsov e você apreciará toda a beleza e simplicidade da derivada analisada. Percebi que eles gostam de fazer algo parecido em uma prova para verificar se o aluno entende como encontrar a derivada de uma função complexa ou não.
O exemplo a seguir é para você resolver sozinho.
Exemplo 3
Encontre a derivada de uma função
Dica: Primeiro aplicamos as regras de linearidade e a regra de diferenciação de produto
Solução completa e resposta no final da lição.
É hora de passar para algo menor e mais agradável.
Não é incomum que um exemplo mostre o produto não de duas, mas de três funções. Como encontrar a derivada de produtos de três multiplicadores?
Exemplo 4
Encontre a derivada de uma função 
Primeiro olhamos, é possível transformar o produto de três funções no produto de duas funções? Por exemplo, se tivéssemos dois polinômios no produto, poderíamos abrir os colchetes. Mas no exemplo em consideração, todas as funções são diferentes: grau, expoente e logaritmo.
Nesses casos é necessário sequencialmente aplicar a regra de diferenciação de produto 
duas vezes
O truque é que por “y” denotamos o produto de duas funções: , e por “ve” denotamos o logaritmo: . Por que isso pode ser feito? É realmente 
- isso não é produto de dois fatores e a regra não funciona?! Não há nada complicado:
Agora resta aplicar a regra uma segunda vez para colchetes:
Você também pode distorcer e colocar algo fora dos colchetes, mas neste caso é melhor deixar a resposta exatamente desta forma - será mais fácil verificar.
O exemplo considerado pode ser resolvido da segunda maneira:
Ambas as soluções são absolutamente equivalentes.
Exemplo 5
Encontre a derivada de uma função
Este é um exemplo de solução independente, na amostra é resolvido pelo primeiro método.
Vejamos exemplos semelhantes com frações.
Exemplo 6
Encontre a derivada de uma função 
Existem várias maneiras de acessar aqui:
Ou assim:
Mas a solução será escrita de forma mais compacta se usarmos primeiro a regra de diferenciação do quociente 
, tomando para todo o numerador:
Em princípio o exemplo está resolvido e se ficar como está não será um erro. Mas se tiver tempo, é sempre aconselhável verificar um rascunho para ver se a resposta pode ser simplificada.
Vamos reduzir a expressão do numerador a um denominador comum e nos livrar da estrutura de três andares da fração:
A desvantagem das simplificações adicionais é que existe o risco de cometer um erro não ao encontrar a derivada, mas durante as transformações escolares banais. Por outro lado, os professores muitas vezes rejeitam a tarefa e pedem para “lembrar” a derivada.
Um exemplo mais simples para resolver sozinho:
Exemplo 7
Encontre a derivada de uma função
Continuamos a dominar os métodos para encontrar a derivada e agora consideraremos um caso típico em que um logaritmo “terrível” é proposto para diferenciação
A operação de encontrar a derivada é chamada de diferenciação.
Como resultado da resolução de problemas para encontrar derivadas das funções mais simples (e não muito simples), definindo a derivada como o limite da razão entre o incremento e o incremento do argumento, surgiu uma tabela de derivadas e regras de diferenciação definidas com precisão. . Os primeiros a trabalhar na área de determinação de derivadas foram Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Portanto, em nosso tempo, para encontrar a derivada de qualquer função, não é necessário calcular o limite mencionado acima da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento, mas você só precisa usar a tabela de derivadas e as regras de diferenciação. O algoritmo a seguir é adequado para encontrar a derivada.
Para encontrar a derivada, você precisa de uma expressão sob o sinal principal dividir funções simples em componentes e determinar quais ações (produto, soma, quociente) essas funções estão relacionadas. A seguir, encontramos as derivadas das funções elementares na tabela de derivadas, e as fórmulas para as derivadas do produto, soma e quociente - nas regras de diferenciação. A tabela de derivadas e as regras de diferenciação são fornecidas após os dois primeiros exemplos.
Exemplo 1. Encontre a derivada de uma função
Solução. A partir das regras de diferenciação descobrimos que a derivada de uma soma de funções é a soma das derivadas de funções, ou seja,
Na tabela de derivadas descobrimos que a derivada de “x” é igual a um, e a derivada do seno é igual ao cosseno. Substituímos esses valores na soma das derivadas e encontramos a derivada exigida pela condição do problema:
Exemplo 2. Encontre a derivada de uma função
Solução. Diferenciamos como derivada de uma soma em que o segundo termo tem um fator constante; pode ser retirado do sinal da derivada:
Se ainda surgirem dúvidas sobre a origem de algo, elas geralmente serão esclarecidas depois de se familiarizar com a tabela de derivadas e as regras mais simples de diferenciação. Estamos passando para eles agora.
Tabela de derivadas de funções simples
| 1. Derivada de uma constante (número). Qualquer número (1, 2, 5, 200...) que esteja na expressão da função. Sempre igual a zero. É muito importante lembrar disso, pois muitas vezes é necessário | |
| 2. Derivada da variável independente. Na maioria das vezes "X". Sempre igual a um. Isso também é importante lembrar por muito tempo | |
| 3. Derivada de grau. Ao resolver problemas, você precisa converter raízes não quadradas em potências. | |
| 4. Derivada de uma variável elevada à potência -1 | |
| 5. Derivada da raiz quadrada | |
| 6. Derivada do seno | |
| 7. Derivada do cosseno |  |
| 8. Derivada da tangente |  |
| 9. Derivada da cotangente |  |
| 10. Derivada do arco seno |  |
| 11. Derivada do arco cosseno |  |
| 12. Derivada do arco tangente |  |
| 13. Derivada do arco cotangente |  |
| 14. Derivada do logaritmo natural | |
| 15. Derivada de uma função logarítmica |  |
| 16. Derivada do expoente | |
| 17. Derivada de uma função exponencial |
Regras de diferenciação
| 1. Derivada de uma soma ou diferença |  |
| 2. Derivada do produto |  |
| 2a. Derivada de uma expressão multiplicada por um fator constante | |
| 3. Derivada do quociente |  |
| 4. Derivada de uma função complexa |  |
Regra 1.Se as funções
são diferenciáveis em algum ponto, então as funções são diferenciáveis no mesmo ponto
e
aqueles. a derivada de uma soma algébrica de funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções.
Consequência. Se duas funções diferenciáveis diferem por um termo constante, então suas derivadas são iguais, ou seja
Regra 2.Se as funções
são diferenciáveis em algum ponto, então seu produto é diferenciável no mesmo ponto
e
aqueles. A derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções e a derivada da outra.
Corolário 1. O fator constante pode ser retirado do sinal da derivada:
Corolário 2. A derivada do produto de várias funções diferenciáveis é igual à soma dos produtos da derivada de cada fator e de todos os outros.
Por exemplo, para três multiplicadores:
Regra 3.Se as funções
diferenciável em algum ponto E , então neste ponto seu quociente também é diferenciávelvocê/v e
aqueles. a derivada do quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo numerador é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e o numerador e a derivada do denominador, e o denominador é o quadrado de o antigo numerador.
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Ao encontrar a derivada de um produto e o quociente em problemas reaisÉ sempre necessário aplicar várias regras de diferenciação ao mesmo tempo, por isso há mais exemplos sobre essas derivadas no artigo"Derivada do produto e quociente de funções".
Comente. Você não deve confundir uma constante (isto é, um número) como um termo em uma soma e como um fator constante! No caso de um termo, sua derivada é igual a zero e, no caso de um fator constante, é retirada do sinal das derivadas. Este é um erro típico que ocorre em Estado inicial estudando derivadas, mas como eles resolvem vários exemplos de uma e duas partes, o aluno médio não comete mais esse erro.
E se, ao diferenciar um produto ou quociente, você tiver um termo você"v, no qual você- um número, por exemplo, 2 ou 5, ou seja, uma constante, então a derivada desse número será igual a zero e, portanto, todo o termo será igual a zero (este caso é discutido no exemplo 10).
Outro erro comum- solução mecânica da derivada de uma função complexa como derivada de uma função simples. É por isso derivada de uma função complexa um artigo separado é dedicado. Mas primeiro aprenderemos a determinar derivadas de funções simples.
Ao longo do caminho, você não pode prescindir da transformação de expressões. Para fazer isso, pode ser necessário abrir o manual em novas janelas. Ações com poderes e raízes E Operações com frações .
Se você está procurando soluções para derivadas de frações com potências e raízes, ou seja, quando a função se parece com 
, depois siga a lição “Derivada de somas de frações com potências e raízes”.
Se você tem uma tarefa como 
, então você fará a lição “Derivadas de funções trigonométricas simples”.
Exemplos passo a passo - como encontrar a derivada
Exemplo 3. Encontre a derivada de uma função
Solução. Definimos as partes da expressão da função: toda a expressão representa um produto, e seus fatores são somas, na segunda das quais um dos termos contém um fator constante. Aplicamos a regra de diferenciação do produto: a derivada do produto de duas funções é igual à soma dos produtos de cada uma dessas funções pela derivada da outra:
A seguir, aplicamos a regra de diferenciação da soma: a derivada da soma algébrica das funções é igual à soma algébrica das derivadas dessas funções. No nosso caso, em cada soma o segundo termo possui um sinal negativo. Em cada soma vemos tanto uma variável independente, cuja derivada é igual a um, quanto uma constante (número), cuja derivada é igual a zero. Então, “X” se transforma em um e menos 5 se transforma em zero. Na segunda expressão, “x” é multiplicado por 2, então multiplicamos dois pela mesma unidade que a derivada de “x”. Obtemos os seguintes valores derivados:
Substituímos as derivadas encontradas na soma dos produtos e obtemos a derivada de toda a função exigida pela condição do problema:
Exemplo 4. Encontre a derivada de uma função
Solução. Somos obrigados a encontrar a derivada do quociente. Aplicamos a fórmula para diferenciar o quociente: a derivada do quociente de duas funções é igual a uma fração, cujo numerador é a diferença entre os produtos do denominador e a derivada do numerador e o numerador e a derivada do denominador, e o denominador é o quadrado do antigo numerador. Nós temos:
Já encontramos a derivada dos fatores no numerador no exemplo 2. Não esqueçamos também que o produto, que é o segundo fator no numerador no exemplo atual, é considerado com sinal de menos:
Se você está procurando soluções para problemas em que precisa encontrar a derivada de uma função, onde existe uma pilha contínua de raízes e potências, como, por exemplo, 
, então seja bem-vindo à aula "Derivada de somas de frações com potências e raízes" .
Se você precisa aprender mais sobre as derivadas de senos, cossenos, tangentes e outros funções trigonométricas, isto é, quando a função se parece com , então uma lição para você "Derivadas de funções trigonométricas simples" .
Exemplo 5. Encontre a derivada de uma função
Solução. Nesta função vemos um produto, um dos fatores do qual é a raiz quadrada da variável independente, cuja derivada conhecemos na tabela de derivadas. Usando a regra de diferenciação do produto e o valor tabular da derivada da raiz quadrada, obtemos:
Exemplo 6. Encontre a derivada de uma função
Solução. Nesta função vemos um quociente cujo dividendo é a raiz quadrada da variável independente. Utilizando a regra de diferenciação de quocientes, que repetimos e aplicamos no exemplo 4, e o valor tabulado da derivada da raiz quadrada, obtemos:
Para eliminar uma fração no numerador, multiplique o numerador e o denominador por .
