Quando k 0. Como encontrar a inclinação da equação

Função linearé uma função da forma

x-argumento (variável independente),

função y (variável dependente),

k e b são alguns números constantes

O gráfico da função linear é direto.

suficiente para traçar o gráfico. dois pontos, porque através de dois pontos você pode traçar uma linha reta e, além disso, apenas uma.

Se k˃0, então o gráfico está localizado no 1º e 3º trimestres de coordenadas. Se k˂0, então o gráfico está localizado no 2º e 4º trimestres de coordenadas.

O número k é chamado de inclinação do gráfico direto da função y(x)=kx+b. Se k˃0, então o ângulo de inclinação da reta y(x)= kx+b para a direção positiva Ox é agudo; se k˂0, então este ângulo é obtuso.

O coeficiente b mostra o ponto de interseção do gráfico com o eixo y (0; b).

y(x)=k∙x-- caso especial função típica é chamada de proporcionalidade direta. O gráfico é uma reta passando pela origem, então um ponto é suficiente para construir este gráfico.

Gráfico de função linear

Onde o coeficiente k = 3, portanto

O gráfico da função aumentará e terá canto afiado com o eixo Ox porque coeficiente k tem um sinal de mais.

OOF de uma função linear

FRF de uma função linear

Exceto o caso em que

Também uma função linear da forma

É uma função geral.

B) Se k=0; b≠0,

Neste caso, o gráfico é uma reta paralela ao eixo Ox e passando pelo ponto (0;b).

C) Se k≠0; b≠0, então a função linear tem a forma y(x)=k∙x+b.

Exemplo 1 . Plote a função y(x)= -2x+5

Exemplo 2 . Encontre os zeros da função y=3x+1, y=0;

são zeros da função.

Resposta: ou (;0)

Exemplo 3 . Determine o valor da função y=-x+3 para x=1 e x=-1

y(-1)=-(-1)+3=1+3=4

Resposta: y_1=2; y_2=4.

Exemplo 4 . Determine as coordenadas de seu ponto de interseção ou prove que os gráficos não se cruzam. Sejam dadas as funções y 1 =10∙x-8 e y 2 =-3∙x+5.

Se os gráficos das funções se cruzarem, então o valor das funções neste ponto é igual a

Substitua x=1, então y 1 (1)=10∙1-8=2.

Comente. Você também pode substituir o valor obtido do argumento na função y 2 =-3∙x+5, então obteremos a mesma resposta y 2 (1)=-3∙1+5=2.

y=2 - ordenada do ponto de interseção.

(1;2) - o ponto de interseção dos gráficos das funções y \u003d 10x-8 e y \u003d -3x + 5.

Resposta: (1;2)

Exemplo 5 .

Construir gráficos de funções y 1 (x)= x+3 e y 2 (x)= x-1.

Pode-se ver que o coeficiente k=1 para ambas as funções.

Segue-se do exposto que, se os coeficientes de uma função linear são iguais, então seus gráficos no sistema de coordenadas são paralelos.

Exemplo 6 .

Vamos construir dois gráficos da função.

O primeiro gráfico tem a fórmula

O segundo gráfico tem a fórmula

EM este caso diante de nós está um gráfico de duas retas que se cruzam no ponto (0; 4). Isso significa que o coeficiente b, que é responsável pela altura da elevação do gráfico acima do eixo x, se x=0. Assim, podemos assumir que o coeficiente b de ambos os gráficos é 4.

Editores: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Vamos considerar o problema. Um motociclista saindo da cidade A atualmente está localizado a 20 km de distância. A que distância s (km) de A estará o motociclista após t horas se ele se deslocar a uma velocidade de 40 km/h?

É óbvio que em t horas o motociclista percorrerá 50t km. Consequentemente, após t horas estará a uma distância de (20 + 50t) km de A, ou seja, s = 50t + 20, onde t ≥ 0.

Cada valor de t corresponde a um único valor de s.

A fórmula s = 50t + 20, onde t ≥ 0, define uma função.

Vamos considerar mais um problema. Para enviar um telegrama, é cobrada uma taxa de 3 copeques por cada palavra e mais 10 copeques. Quantos copeques (u) devem ser pagos pelo envio de um telegrama contendo n palavras?

Como o remetente deve pagar 3n copeques por n palavras, o custo de enviar um telegrama em n palavras pode ser encontrado pela fórmula u = 3n + 10, onde n é qualquer número natural.

Em ambos os problemas considerados, encontramos funções dadas por fórmulas da forma y \u003d kx + l, onde k e l são alguns números e x e y são variáveis.

Uma função que pode ser dada por uma fórmula da forma y = kx + l, onde k e l são alguns números, é chamada de linear.

Como a expressão kx + l faz sentido para qualquer x, o domínio de uma função linear pode ser o conjunto de todos os números ou qualquer um de seus subconjuntos.

Um caso especial de uma função linear é a proporcionalidade direta considerada anteriormente. Lembre-se de que para l \u003d 0 e k ≠ 0, a fórmula y \u003d kx + l assume a forma y \u003d kx, e esta fórmula, como você sabe, para k ≠ 0, é dada proporcionalidade direta.

Vamos precisar plotar uma função linear f dada pela fórmula
y \u003d 0,5x + 2.

Vamos pegar vários valores correspondentes da variável y para alguns valores de x:

Observemos os pontos com as coordenadas que recebemos: (-6; -1), (-4; 0); (-2; 1), (0; 2), (2; 3), (4; 4); (6; 5), (8; 6).

É óbvio que os pontos construídos estão em alguma linha reta. Ainda não segue disso que o gráfico dessa função é uma linha reta.

Para saber que forma tem o gráfico da função considerada f, vamos compará-lo com o gráfico de proporcionalidade direta x - y que nos é familiar, onde x \u003d 0,5.

Para qualquer x, o valor da expressão 0,5x + 2 é maior que o valor correspondente da expressão 0,5x em 2 unidades. Portanto, a ordenada de cada ponto do gráfico da função f é maior que a ordenada correspondente do gráfico de proporcionalidade direta em 2 unidades.

Portanto, o gráfico da função considerada f pode ser obtido a partir do gráfico de proporcionalidade direta por translação paralela por 2 unidades na direção do eixo y.

Como o gráfico da proporcionalidade direta é uma reta, então o gráfico da função linear considerada f também é uma reta.

Em geral, o gráfico de uma função dada por uma fórmula da forma y \u003d kx + l é uma linha reta.

Sabemos que para construir uma reta basta determinar a posição de seus dois pontos.

Deixe, por exemplo, você precisar plotar uma função que é dada pela fórmula
y \u003d 1,5x - 3.

Vamos pegar dois valores arbitrários de x, por exemplo, x 1 = 0 e x 2 = 4. Calcule os valores correspondentes da função y 1 = -3, y 2 = 3, construa pontos A (-3; 0) e B (4; 3) e trace uma linha passando por esses pontos. Esta reta é o gráfico desejado.

Se o domínio da função linear não for representado por todos mi números, então seu gráfico será um subconjunto de pontos em uma linha reta (por exemplo, um raio, um segmento, um conjunto de pontos individuais).

A localização do gráfico da função dada pela fórmula y \u003d kx + l depende dos valores de l e k. Em particular, o valor do ângulo de inclinação do gráfico de uma função linear ao eixo x depende do coeficiente k. Se k é número positivo, então este ângulo é agudo; se k é um número negativo, então o ângulo é obtuso. O número k é chamado de inclinação da reta.

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>>Matemática: função linear e seu gráfico

Função linear e seu gráfico

O algoritmo para construir um gráfico da equação ax + by + c = 0, que formulamos no § 28, por toda a sua clareza e certeza, os matemáticos realmente não gostam. Normalmente, eles apresentam reivindicações para as duas primeiras etapas do algoritmo. Por que, dizem eles, resolva a equação duas vezes com relação à variável y: primeiro ax1 + bu + c = O, depois axi + bu + c = O? Não seria melhor expressar imediatamente y da equação ax + by + c = 0, então será mais fácil fazer os cálculos (e, o mais importante, mais rápido)? Vamos checar. Considere primeiro a equação 3x - 2y + 6 = 0 (ver exemplo 2 do § 28).

Dando x valores específicos, é fácil calcular os valores de y correspondentes. Por exemplo, para x = 0 obtemos y = 3; em x = -2 temos y = 0; para x = 2 temos y = 6; para x = 4, obtemos: y = 9.

Você pode ver com que facilidade e rapidez foram encontrados os pontos (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) e (4; 9), que foram destacados no exemplo 2 do § 28.

Da mesma forma, a equação bx - 2y = 0 (ver exemplo 4 do § 28) poderia ser convertida para a forma 2y = 16 -3x. então y = 2,5x; é fácil encontrar pontos (0; 0) e (2; 5) que satisfaçam esta equação.

Finalmente, a equação 3x + 2y - 16 = 0 do mesmo exemplo pode ser convertida para a forma 2y = 16 -3x e então é fácil encontrar os pontos (0; 0) e (2; 5) que a satisfazem.

Consideremos agora as transformações indicadas em visão geral.

Assim, a equação linear (1) com duas variáveis ​​x e y sempre pode ser convertida para a forma
y = kx + m,(2) onde k,m são números (coeficientes), e .

Esta forma particular da equação linear será chamada de função linear.

Usando a igualdade (2), é fácil, especificando um valor específico de x, calcular o valor correspondente de y. Deixe, por exemplo,

y = 2x + 3. Então:
se x = 0, então y = 3;
se x = 1, então y = 5;
se x = -1, então y = 1;
se x = 3, então y = 9, etc.

Geralmente esses resultados são apresentados na forma mesas:

Os valores de y da segunda linha da tabela são chamados de valores da função linear y \u003d 2x + 3, respectivamente, nos pontos x \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d -1, x \u003d -3.

Na equação (1) as variáveis ​​xnu são iguais, mas na equação (2) não: atribuímos valores específicos a uma delas - a variável x, enquanto o valor da variável y depende do valor escolhido do variável x. Portanto, costuma-se dizer que x é a variável independente (ou argumento), y é a variável dependente.

Observe que uma função linear é um tipo especial de equação linear com duas variáveis. gráfico de equação y - kx + m, como qualquer equação linear com duas variáveis, é uma linha reta - também é chamada de gráfico de uma função linear y = kx + mp. Assim, o seguinte teorema é verdadeiro.

Exemplo 1 Construa um gráfico de uma função linear y \u003d 2x + 3.

Solução. Vamos fazer uma tabela:

Na segunda situação, a variável independente x, denotando, como na primeira situação, o número de dias, só pode assumir os valores 1, 2, 3, ..., 16. Com efeito, se x \u003d 16 , então pela fórmula y \u003d 500 - Z0x encontramos : y \u003d 500 - 30 16 \u003d 20. Isso significa que já no 17º dia não será possível retirar 30 toneladas de carvão do depósito, pois apenas 20 toneladas permanecerão no armazém até este dia e o processo de exportação de carvão terá que ser interrompido. Portanto, o modelo matemático refinado da segunda situação fica assim:

y \u003d 500 - ZOD:, onde x \u003d 1, 2, 3, .... 16.

Na terceira situação, independentes variável x pode teoricamente assumir qualquer valor não negativo (por exemplo, valor de x = 0, valor de x = 2, valor de x = 3,5, etc.), mas na prática um turista não pode andar a uma velocidade constante sem dormir e descansar por tanto tempo como ele quer. Então tivemos que fazer limites razoáveis ​​em x, digamos 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Lembre-se de que o modelo geométrico da dupla desigualdade não estrita 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Em vez da frase “x pertence ao conjunto X”, concordamos em escrever (eles lêem: “o elemento x pertence ao conjunto X”, e é o sinal de pertinência). Como você pode ver, nossa familiaridade com a linguagem matemática é constante.

Se a função linear y \u003d kx + m deve ser considerada não para todos os valores de x, mas apenas para valores de x de algum intervalo numérico X, então eles escrevem:

Exemplo 2. Faça o gráfico de uma função linear:

Solução, a) Faça uma tabela para a função linear y = 2x + 1

Vamos construir pontos (-3; 7) e (2; -3) no plano de coordenadas xOy e traçar uma linha reta através deles. Este é o gráfico da equação y \u003d -2x: + 1. Em seguida, selecione o segmento que conecta os pontos construídos (Fig. 38). Este segmento é o gráfico da função linear y \u003d -2x + 1, onde xe [-3, 2].

Normalmente eles dizem o seguinte: plotamos uma função linear y \u003d - 2x + 1 no segmento [- 3, 2].

b) Em que este exemplo difere do anterior? A função linear é a mesma (y \u003d -2x + 1), o que significa que a mesma linha reta serve como seu gráfico. Mas tenha cuidado! - desta vez x e (-3, 2), ou seja, os valores x = -3 e x = 2 não são considerados, eles não pertencem ao intervalo (-3, 2). Como marcamos as extremidades do intervalo na linha de coordenadas? Círculos de luz (Fig. 39), falamos sobre isso no § 26. Da mesma forma, os pontos (- 3; 7) e B; - 3) deverá ser marcado no desenho com círculos claros. Isso nos lembrará que apenas os pontos da linha reta y \u003d - 2x + 1 são considerados entre os pontos marcados com círculos (Fig. 40). No entanto, às vezes, nesses casos, não são usados ​​​​círculos claros, mas setas (Fig. 41). Isso não é fundamental, o principal é entender o que está em jogo.

Exemplo 3 Encontre os maiores e menores valores da função linear no segmento.
Solução. Vamos fazer uma tabela para uma função linear

Construímos pontos (0; 4) e (6; 7) no plano de coordenadas xOy e traçamos uma linha reta através deles - o gráfico da função x linear (Fig. 42).

Precisamos considerar essa função linear não como um todo, mas no segmento, ou seja, para x e.

O segmento correspondente do gráfico é destacado no desenho. Notamos que a maior ordenada dos pontos pertencentes à parte selecionada é 7 - isto é valor mais alto função linear no segmento. A seguinte notação é geralmente usada: y max = 7.

Notamos que a menor ordenada dos pontos pertencentes à parte da reta destacada na Figura 42 é 4 - este é o menor valor da função linear no segmento.
Normalmente, use a seguinte entrada: y name. = 4.

Exemplo 4 Encontre y naib e y naim. para função linear y = -1,5x + 3,5

a) no segmento; b) no intervalo (1,5);
c) no meio-intervalo.

Solução. Vamos fazer uma tabela para a função linear y \u003d -l, 5x + 3,5:

Construímos pontos (1; 2) e (5; - 4) no plano de coordenadas xOy e traçamos uma linha reta através deles (Fig. 43-47). Destaquemos na reta construída a parte correspondente aos valores de x do segmento (Fig. 43), do intervalo A, 5) (Fig. 44), do meio-intervalo (Fig. 47 ).

a) Usando a Figura 43, é fácil concluir que y max \u003d 2 (a função linear atinge esse valor em x \u003d 1) e y max. = - 4 (a função linear atinge este valor em x = 5).

b) Utilizando a Figura 44, concluímos que esta função linear não possui nem o maior nem o menor valor no intervalo dado. Por que? O fato é que, diferentemente do caso anterior, são excluídas da consideração as duas extremidades do segmento, em que foram atingidos os maiores e menores valores.

c) Com a ajuda da Figura 45 concluímos que y max. = 2 (como no primeiro caso), e o menor valor a função linear não (como no segundo caso).

d) Usando a Figura 46, concluímos: y max = 3,5 (a função linear atinge esse valor em x = 0) e y max. não existe.

e) Usando a Figura 47, concluímos: y max = -1 (a função linear atinge esse valor em x = 3), e y max não existe.

Exemplo 5. Plotar uma função linear

y \u003d 2x - 6. Usando o gráfico, responda às seguintes perguntas:

a) em que valor de x y = 0?
b) para quais valores de x y > 0?
c) para quais valores de x será y< 0?

Solução. Vamos fazer uma tabela para a função linear y \u003d 2x-6:

Desenhe uma linha reta através dos pontos (0; - 6) e (3; 0) - o gráfico da função y \u003d 2x - 6 (Fig. 48).

a) y \u003d 0 em x \u003d 3. O gráfico intercepta o eixo x no ponto x \u003d 3, este é o ponto com a ordenada y \u003d 0.
b) y > 0 para x > 3. De fato, se x > 3, então a linha está localizada acima do eixo x, o que significa que as ordenadas dos pontos correspondentes da linha são positivas.

gato< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Observe que neste exemplo, decidimos com a ajuda do gráfico:

a) equação 2x - 6 = 0 (tem x = 3);
b) desigualdade 2x - 6 > 0 (obtemos x > 3);
c) desigualdade 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Comente. Em russo, o mesmo objeto costuma ser chamado de maneira diferente, por exemplo: “casa”, “edifício”, “estrutura”, “casa de campo”, “mansão”, “quartel”, “cabana”, “cabana”. Em linguagem matemática, a situação é quase a mesma. Digamos que a igualdade com duas variáveis ​​y = kx + m, onde k, m são números específicos, pode ser chamada de função linear, pode ser chamada equação linear com duas variáveis ​​x e y (ou com duas incógnitas x e y), você pode chamar de fórmula, pode chamar de relação entre x e y, pode finalmente chamar de relação entre x e y. Não importa, o principal é entender que em todos os casos nós estamos falando sobre o modelo matemático y = kx + m

.

Considere o gráfico de uma função linear mostrada na Figura 49, a. Se nos movermos ao longo deste gráfico da esquerda para a direita, então as ordenadas dos pontos do gráfico aumentam o tempo todo, parece que “subimos a colina”. Nesses casos, os matemáticos usam o termo aumento e dizem o seguinte: se k>0, a função linear y \u003d kx + m aumenta.

Considere o gráfico de uma função linear mostrada na Figura 49, b. Se nos movermos ao longo deste gráfico da esquerda para a direita, então as ordenadas dos pontos do gráfico diminuem o tempo todo, parece que estamos “descendo a colina”. Nesses casos, os matemáticos usam o termo diminuir e dizem o seguinte: se k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Função linear na vida real

Agora vamos resumir este tópico. Já nos familiarizamos com o conceito de função linear, conhecemos suas propriedades e aprendemos a construir gráficos. Além disso, você considerou casos especiais de uma função linear e aprendeu do que depende a posição relativa dos gráficos de funções lineares. Mas acontece que em nosso Vida cotidiana também nos cruzamos constantemente com esse modelo matemático.

Vamos pensar sobre quais situações da vida real estão associadas a um conceito como funções lineares? Além disso, entre que quantidades ou situações da vida talvez estabelecer uma dependência linear?

Muitos de vocês provavelmente não entendem bem por que precisam estudar funções lineares, porque é improvável que isso seja útil em vida posterior. Mas aqui você está profundamente enganado, porque encontramos funções o tempo todo e em todos os lugares. Visto que, mesmo o aluguel mensal usual também é uma função que depende de muitas variáveis. E essas variáveis ​​incluem a metragem quadrada, o número de moradores, tarifas, uso de eletricidade, etc.

Claro, os exemplos mais comuns de funções de dependência linear que encontramos são aulas de matemática.

Você e eu resolvemos problemas onde descobrimos as distâncias que carros, trens ou pedestres percorriam a uma determinada velocidade. Estas são as funções lineares do tempo de movimento. Mas esses exemplos são aplicáveis ​​não apenas na matemática, eles estão presentes em nossa vida diária.

O teor calórico dos laticínios depende do teor de gordura e tal dependência, via de regra, é uma função linear. Assim, por exemplo, com o aumento do percentual de gordura no creme de leite, o teor calórico do produto também aumenta.

Agora vamos fazer os cálculos e encontrar os valores de k e b resolvendo o sistema de equações:

Agora vamos derivar a fórmula de dependência:

Como resultado, obtivemos uma relação linear.

Para saber a velocidade de propagação do som em função da temperatura, é possível descobrir aplicando a fórmula: v = 331 + 0,6t, onde v é a velocidade (em m/s), t é a temperatura. Se traçarmos um gráfico dessa dependência, veremos que ela será linear, ou seja, representará uma reta.

E tais usos práticos de conhecimento na aplicação da dependência funcional linear podem ser listados por um longo tempo. Começando com tarifas telefônicas, comprimento e altura do cabelo e até provérbios na literatura. E esta lista pode ser continuada indefinidamente.

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A. V. Pogorelov, Geometria para as séries 7-11, Livro didático para instituições educacionais

Instrução

Existem várias maneiras de resolver funções lineares. Vamos dar uma olhada na maioria deles. O método de substituição passo a passo mais comumente usado. Em uma das equações, é necessário expressar uma variável em termos de outra e substituí-la em outra equação. E assim por diante até que apenas uma variável permaneça em uma das equações. Para resolvê-lo, você precisa deixar a variável de um lado do sinal de igual (pode ser com um coeficiente), e do outro lado do sinal de igual todos os dados numéricos, não esquecendo de mudar o sinal do número para o oposto ao transferir. Tendo calculado uma variável, substitua-a em outras expressões, continue os cálculos de acordo com o mesmo algoritmo.

Para dê um exemplo linear funções, composto por duas equações:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
Da segunda equação é conveniente expressar x:
x=y+2.
Como você pode ver, ao transferir de uma parte da igualdade para outra, o sinal de e as variáveis ​​mudam, conforme descrito acima.
Substituímos a expressão resultante na primeira equação, excluindo assim a variável x dela:
2*(y+2)+y-7=0.
Expandindo os colchetes:
2a+4+a-7=0.
Nós compomos variáveis ​​e números, adicionamos:
3a-3=0.
Transferimos para o lado direito da equação, mudamos o sinal:
3 anos = 3.
Dividindo pelo coeficiente total, obtemos:
y=1.
Substitua o valor resultante na primeira expressão:
x=y+2.
Obtemos x=3.

Outra maneira de resolver as semelhantes é termo a termo duas equações para obter uma nova com uma variável. A equação pode ser multiplicada por um determinado coeficiente, o principal é multiplicar cada termo da equação e não esquecer, e depois somar ou subtrair uma equação. Este método economiza muito ao encontrar um linear funções.

Vamos pegar o já conhecido sistema de equações com duas variáveis:
2x+y-7=0;
x-y-2=0.
É fácil ver que o coeficiente da variável y é idêntico na primeira e na segunda equações e difere apenas no sinal. Isso significa que ao somar termo a termo essas duas equações, obtemos uma nova, mas com uma variável.
2x+x+y-y-7-2=0;
3x-9=0.
Transferimos os dados numéricos para o lado direito da equação, enquanto mudamos o sinal:
3x=9.
Encontramos um fator comum igual ao coeficiente em x e dividimos ambos os lados da equação por ele:
x=3.
O resultante pode ser substituído em qualquer uma das equações do sistema para calcular y:
x-y-2=0;
3-a-2=0;
-y+1=0;
-y=-1;
y=1.

Você também pode calcular os dados traçando um gráfico preciso. Para fazer isso, você precisa encontrar os zeros funções. Se uma das variáveis ​​for igual a zero, essa função é chamada de homogênea. Ao resolver essas equações, você obterá dois pontos necessários e suficientes para construir uma linha reta - um deles estará localizado no eixo x, o outro no eixo y.

Pegamos qualquer equação do sistema e substituímos o valor x \u003d 0 lá:
2*0+a-7=0;
Obtemos y = 7. Assim, o primeiro ponto, vamos chamá-lo de A, terá coordenadas A (0; 7).
Para calcular um ponto no eixo x, é conveniente substituir o valor y \u003d 0 na segunda equação do sistema:
x-0-2=0;
x=2.
O segundo ponto (B) terá as coordenadas B (2;0).
Marcamos os pontos obtidos na grade de coordenadas e traçamos uma linha reta através deles. Se você construí-lo com bastante precisão, outros valores x e y podem ser calculados diretamente a partir dele.