X y solução de um sistema de equações. Sistemas de equações lineares

Os sistemas de equações são amplamente utilizados na indústria econômica na modelagem matemática de diversos processos. Por exemplo, ao resolver problemas de gestão e planejamento da produção, rotas logísticas ( tarefa de transporte) ou colocação de equipamentos.

Os sistemas de equações são usados ​​não apenas no campo da matemática, mas também na física, química e biologia, ao resolver problemas de determinação do tamanho da população.

Um sistema de equações lineares é um termo para duas ou mais equações com várias variáveis ​​para as quais é necessário encontrar uma solução comum. Tal sequência de números para a qual todas as equações se tornam verdadeiras igualdades ou provam que a sequência não existe.

Equação linear

As equações da forma ax+by=c são chamadas lineares. As designações x, y são as incógnitas, cujo valor deve ser encontrado, b, a são os coeficientes das variáveis, c é o termo livre da equação.
Resolver a equação plotando seu gráfico parecerá uma linha reta, todos os pontos dos quais são a solução do polinômio.

Tipos de sistemas de equações lineares

Os mais simples são exemplos de sistemas de equações lineares com duas variáveis ​​X e Y.

F1(x, y) = 0 e F2(x, y) = 0, onde F1,2 são funções e (x, y) são variáveis ​​de função.

Resolver um sistema de equações - significa encontrar tais valores (x, y) para os quais o sistema se torna uma verdadeira igualdade, ou estabelecer que não há valores adequados de x e y.

Um par de valores (x, y), escritos como coordenadas de pontos, é chamado de solução para um sistema de equações lineares.

Se os sistemas tiverem uma solução comum ou não houver solução, eles são chamados de equivalentes.

Sistemas homogêneos de equações lineares são sistemas cujo lado direito é igual a zero. Se a parte direita após o sinal de "igual" tiver um valor ou for expressa por uma função, tal sistema não é homogêneo.

O número de variáveis ​​pode ser muito maior que dois, então devemos falar de um exemplo de sistema de equações lineares com três variáveis ​​ou mais.

Diante dos sistemas, os alunos assumem que o número de equações deve necessariamente coincidir com o número de incógnitas, mas não é assim. O número de equações no sistema não depende das variáveis, pode haver um número arbitrariamente grande delas.

Métodos simples e complexos para resolver sistemas de equações

Não existe uma maneira analítica geral de resolver tais sistemas, todos os métodos são baseados em soluções numéricas. O curso escolar de matemática descreve em detalhes métodos como permutação, adição algébrica, substituição, bem como o método gráfico e matricial, a solução pelo método de Gauss.

A principal tarefa no ensino de métodos de resolução é ensinar como analisar corretamente o sistema e encontrar o algoritmo de solução ideal para cada exemplo. O principal não é memorizar um sistema de regras e ações para cada método, mas entender os princípios de aplicação de um determinado método.

Resolução de exemplos de sistemas de equações lineares da 7ª aula do programa Ensino Médio bastante simples e explicado em grande detalhe. Em qualquer livro didático de matemática, esta seção recebe atenção suficiente. A solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss e Cramer é estudada com mais detalhes nos primeiros cursos de instituições de ensino superior.

Solução de sistemas pelo método da substituição

As ações do método de substituição visam expressar o valor de uma variável através da segunda. A expressão é substituída na equação restante e, em seguida, é reduzida a uma única forma de variável. A ação é repetida dependendo do número de incógnitas no sistema

Vamos dar um exemplo de um sistema de equações lineares da 7ª classe pelo método da substituição:

Como pode ser visto no exemplo, a variável x foi expressa através de F(X) = 7 + Y. A expressão resultante, substituída na 2ª equação do sistema no lugar de X, ajudou a obter uma variável Y na 2ª equação . Solução este exemplo não causa dificuldades e permite obter o valor de Y. Último passo este é um teste dos valores recebidos.

Nem sempre é possível resolver um exemplo de sistema de equações lineares por substituição. As equações podem ser complexas e a expressão da variável em termos da segunda incógnita será muito incômoda para cálculos posteriores. Quando há mais de 3 incógnitas no sistema, a solução de substituição também é impraticável.

Solução de um exemplo de um sistema de equações não homogêneas lineares:

Solução usando adição algébrica

Ao procurar uma solução para sistemas pelo método da adição, adição termo a termo e multiplicação de equações por vários números. O objetivo final das operações matemáticas é uma equação com uma variável.

Para aplicações este método requer prática e observação. Não é fácil resolver um sistema de equações lineares usando o método da adição com o número de variáveis ​​3 ou mais. A adição algébrica é útil quando as equações contêm frações e números decimais.

Algoritmo de ação da solução:

1. Multiplique ambos os lados da equação por algum número. Como resultado da operação aritmética, um dos coeficientes da variável deve se tornar igual a 1.
2. Some a expressão resultante termo por termo e encontre uma das incógnitas.
3. Substitua o valor resultante na 2ª equação do sistema para encontrar a variável restante.

Método de solução introduzindo uma nova variável

Uma nova variável pode ser introduzida se o sistema precisar encontrar uma solução para não mais que duas equações, o número de incógnitas também não deve ser maior que dois.

O método é usado para simplificar uma das equações, introduzindo uma nova variável. A nova equação é resolvida em relação à incógnita inserida e o valor resultante é usado para determinar a variável original.

Pode-se observar pelo exemplo que introduzindo uma nova variável t, foi possível reduzir a 1ª equação do sistema a um trinômio quadrado padrão. Você pode resolver um polinômio encontrando o discriminante.

É necessário encontrar o valor do discriminante usando a conhecida fórmula: D = b2 - 4*a*c, onde D é o discriminante desejado, b, a, c são os multiplicadores do polinômio. No exemplo dado, a=1, b=16, c=39, portanto D=100. Se o discriminante for maior que zero, então há duas soluções: t = -b±√D / 2*a, se o discriminante for menor que zero, então há apenas uma solução: x= -b / 2*a.

A solução para os sistemas resultantes é encontrada pelo método da adição.

Um método visual para resolver sistemas

Adequado para sistemas com 3 equações. O método consiste em plotar gráficos de cada equação incluída no sistema no eixo de coordenadas. As coordenadas dos pontos de interseção das curvas serão a solução geral do sistema.

O método gráfico tem várias nuances. Considere vários exemplos de resolução de sistemas de equações lineares de forma visual.

Como pode ser visto no exemplo, foram construídos dois pontos para cada linha, os valores da variável x foram escolhidos arbitrariamente: 0 e 3. Com base nos valores de x, foram encontrados os valores de y: 3 e 0. Pontos com coordenadas (0, 3) e (3, 0) foram marcados no gráfico e conectados por uma linha.

As etapas devem ser repetidas para a segunda equação. O ponto de interseção das retas é a solução do sistema.

No exemplo a seguir, é necessário encontrar uma solução gráfica para o sistema de equações lineares: 0,5x-y+2=0 e 0,5x-y-1=0.

Como pode ser visto no exemplo, o sistema não tem solução, pois os gráficos são paralelos e não se cruzam em todo o seu comprimento.

Os sistemas dos Exemplos 2 e 3 são semelhantes, mas quando construídos, torna-se óbvio que suas soluções são diferentes. Vale lembrar que nem sempre é possível dizer se o sistema tem solução ou não, é sempre necessário construir um gráfico.

Matrix e suas variedades

As matrizes são usadas para abreviação sistemas de equações lineares. Uma matriz é um tipo especial de tabela preenchida com números. n*m tem n - linhas e m - colunas.

Uma matriz é quadrada quando o número de colunas e linhas é igual. Um vetor-matriz é uma matriz de coluna única com um número infinitamente possível de linhas. Uma matriz com unidades ao longo de uma das diagonais e outros elementos nulos é chamada de identidade.

Uma matriz inversa é tal matriz, quando multiplicada pela qual a original se transforma em uma unidade, tal matriz existe apenas para o quadrado original.

Regras para transformar um sistema de equações em uma matriz

No que diz respeito aos sistemas de equações, os coeficientes e membros livres das equações são escritos como números da matriz, uma equação é uma linha da matriz.

Uma linha da matriz é chamada diferente de zero se pelo menos um elemento da linha não for igual a zero. Portanto, se em qualquer uma das equações o número de variáveis ​​for diferente, é necessário inserir zero no lugar da incógnita ausente.

As colunas da matriz devem corresponder estritamente às variáveis. Isso significa que os coeficientes da variável x só podem ser escritos em uma coluna, por exemplo, a primeira, o coeficiente da incógnita y - apenas na segunda.

Ao multiplicar uma matriz, todos os elementos da matriz são multiplicados sequencialmente por um número.

Opções para encontrar a matriz inversa

A fórmula para encontrar a matriz inversa é bem simples: K -1 = 1 / |K|, onde K -1 é a matriz inversa e |K| - determinante da matriz. |K| não deve ser igual a zero, então o sistema tem solução.

O determinante é facilmente calculado para uma matriz dois por dois, basta multiplicar os elementos na diagonal um pelo outro. Para a opção "três por três", existe a fórmula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Você pode usar a fórmula ou lembrar que precisa pegar um elemento de cada linha e cada coluna para que os números de coluna e linha dos elementos não se repitam no produto.

Solução de exemplos de sistemas de equações lineares pelo método matricial

O método matricial de encontrar uma solução permite reduzir entradas incômodas ao resolver sistemas com um grande número de variáveis ​​e equações.

No exemplo, a nm são os coeficientes das equações, a matriz é um vetor x n são as variáveis ​​e b n são os termos livres.

Solução de sistemas pelo método de Gauss

Na matemática superior, o método de Gauss é estudado junto com o método de Cramer, e o processo de encontrar uma solução para sistemas é chamado de método de resolução de Gauss-Cramer. Esses métodos são usados ​​para encontrar variáveis ​​do sistema com muitas equações lineares.

O método gaussiano é muito semelhante às soluções de substituição e adição algébrica, mas é mais sistemático. No curso escolar, a solução Gaussiana é utilizada para sistemas de 3 e 4 equações. O objetivo do método é trazer o sistema para a forma de um trapézio invertido. Por transformações e substituições algébricas, o valor de uma variável é encontrado em uma das equações do sistema. A segunda equação é uma expressão com 2 incógnitas e 3 e 4 - com 3 e 4 variáveis, respectivamente.

Depois de trazer o sistema para a forma descrita, a solução adicional é reduzida à substituição sequencial de variáveis ​​conhecidas nas equações do sistema.

EM livros escolares para o grau 7, um exemplo de solução pelo método de Gauss é descrito a seguir:

Como pode ser visto no exemplo, na etapa (3) foram obtidas duas equações 3x 3 -2x 4 =11 e 3x 3 +2x 4 =7. A solução de qualquer uma das equações permitirá que você descubra uma das variáveis ​​x n.

O Teorema 5, mencionado no texto, afirma que se uma das equações do sistema for substituída por uma equivalente, o sistema resultante também será equivalente ao original.

O método de Gauss é difícil para os alunos entenderem ensino médio, mas é um dos mais maneiras interessantes desenvolver a engenhosidade das crianças matriculadas no programa de estudos avançados nas aulas de matemática e física.

Para facilitar o registro dos cálculos, costuma-se fazer o seguinte:

Os coeficientes da equação e os termos livres são escritos na forma de uma matriz, onde cada linha da matriz corresponde a uma das equações do sistema. separa o lado esquerdo da equação do lado direito. Os algarismos romanos denotam o número de equações no sistema.

Primeiro, eles anotam a matriz com a qual trabalhar, depois todas as ações realizadas com uma das linhas. A matriz resultante é escrita após o sinal de "seta" e continua realizando as operações algébricas necessárias até que o resultado seja alcançado.

Como resultado, deve-se obter uma matriz na qual uma das diagonais é 1 e todos os outros coeficientes são iguais a zero, ou seja, a matriz é reduzida a uma única forma. Não devemos esquecer de fazer cálculos com os números de ambos os lados da equação.

Essa notação é menos incômoda e permite que você não se distraia listando inúmeras incógnitas.

A aplicação gratuita de qualquer método de solução exigirá cuidado e certa experiência. Nem todos os métodos são aplicados. Algumas formas de encontrar soluções são mais preferíveis em uma determinada área da atividade humana, enquanto outras existem para fins de aprendizado.

1. Método de substituição: a partir de qualquer equação do sistema, expressamos uma incógnita em termos de outra e a substituímos na segunda equação do sistema.

Tarefa. Resolva o sistema de equações:

Solução. Da primeira equação do sistema, expressamos no através x e substitua na segunda equação do sistema. Vamos pegar o sistema equivalente ao original.

Após trazer tais termos, o sistema ficará da seguinte forma:

Da segunda equação encontramos: . Substituindo esse valor na equação no = 2 - 2x, Nós temos no= 3. Portanto, a solução deste sistema é um par de números.

2. Método de adição algébrica: somando duas equações, obtém uma equação com uma variável.

Tarefa. Resolva a equação do sistema:

Solução. Multiplicando ambos os lados da segunda equação por 2, obtemos o sistema equivalente ao original. Somando as duas equações desse sistema, chegamos ao sistema

Depois de reduzir os termos semelhantes, esse sistema assumirá a forma: Da segunda equação encontramos . Substituindo este valor na Equação 3 x + 4no= 5, obtemos , onde . Portanto, a solução desse sistema é um par de números.

3. Método para introduzir novas variáveis: procuramos algumas expressões repetidas no sistema, que denotaremos por novas variáveis, simplificando assim a forma do sistema.

Tarefa. Resolva o sistema de equações:

Solução. Vamos escrever este sistema de forma diferente:

Deixar x + y = você, hein = v. Então obtemos o sistema

Vamos resolvê-lo pelo método da substituição. Da primeira equação do sistema, expressamos você através v e substitua na segunda equação do sistema. Vamos pegar o sistema aqueles.

Da segunda equação do sistema encontramos v 1 = 2, v 2 = 3.

Substituindo esses valores na equação você = 5 - v, Nós temos você 1 = 3,
você 2 = 2. Então temos dois sistemas

Resolvendo o primeiro sistema, obtemos dois pares de números (1; 2), (2; 1). O segundo sistema não tem soluções.

Exercícios para trabalho independente

1. Resolver sistemas de equações usando o método de substituição.

Sua privacidade é importante para nós. Por esse motivo, desenvolvemos uma Política de Privacidade que descreve como usamos e armazenamos suas informações. Por favor, leia nossa política de privacidade e nos avise se tiver alguma dúvida.

Coleta e uso de informações pessoais

Informações pessoais referem-se a dados que podem ser usados ​​para identificar ou entrar em contato com uma pessoa específica.

Você pode ser solicitado a fornecer suas informações pessoais a qualquer momento quando entrar em contato conosco.

A seguir estão alguns exemplos dos tipos de informações pessoais que podemos coletar e como podemos usar essas informações.

Quais informações pessoais coletamos:

• Quando você envia uma inscrição no site, podemos coletar várias informações, incluindo seu nome, número de telefone, endereço E-mail etc.

Como usamos suas informações pessoais:

• As informações pessoais que coletamos nos permitem contatá-lo e informá-lo sobre ofertas exclusivas, promoções e outros eventos e eventos futuros.
• De tempos em tempos, podemos usar suas informações pessoais para enviar avisos e mensagens importantes.
• Também podemos usar informações pessoais para fins internos, como a realização de auditorias, análise de dados e pesquisas diversas, a fim de melhorar os serviços que prestamos e fornecer recomendações sobre nossos serviços.
• Se você participar de um sorteio, concurso ou incentivo semelhante, poderemos usar as informações que você fornecer para administrar tais programas.

Divulgação a terceiros

Não divulgamos informações recebidas de você a terceiros.

Exceções:

• Caso seja necessário - de acordo com a lei, ordem judicial, em processos judiciais e / ou com base em solicitações públicas ou solicitações de órgãos estatais no território da Federação Russa - divulgar suas informações pessoais. Também podemos divulgar informações sobre você se determinarmos que tal divulgação é necessária ou apropriada para fins de segurança, aplicação da lei ou outros fins de interesse público.
• No caso de uma reorganização, fusão ou venda, podemos transferir as informações pessoais que coletamos para o terceiro sucessor relevante.

Proteção de informações pessoais

Tomamos precauções - incluindo administrativas, técnicas e físicas - para proteger suas informações pessoais contra perda, roubo e uso indevido, bem como contra acesso, divulgação, alteração e destruição não autorizados.

Manter sua privacidade no nível da empresa

Para garantir que suas informações pessoais estejam seguras, comunicamos as práticas de privacidade e segurança aos nossos funcionários e aplicamos rigorosamente as práticas de privacidade.

Instrução

Método de adição.
Você precisa escrever dois estritamente um sob o outro:

549+45a+4a=-7, 45a+4a=549-7, 49a=542, y=542:49, y≈11.
Em uma equação escolhida arbitrariamente (do sistema), insira o número 11 em vez do "jogo" já encontrado e calcule a segunda incógnita:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
A resposta deste sistema de equações: x=116, y=11.

Forma gráfica.
Consiste na descoberta prática das coordenadas do ponto em que as retas são escritas matematicamente no sistema de equações. Você deve desenhar gráficos de ambas as linhas separadamente no mesmo sistema de coordenadas. Visão geral: - y \u003d kx + b. Para construir uma linha reta, basta encontrar as coordenadas de dois pontos, e x é escolhido arbitrariamente.
Seja o sistema dado: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Uma linha reta é construída de acordo com a primeira, por conveniência ela precisa ser anotada: y \u003d 2x-4. Invente valores (mais fáceis) para x, substituindo-o na equação, resolvendo-o, encontre y. Dois pontos são obtidos, ao longo dos quais uma linha reta é construída. (veja a foto.)
x 0 1

y -4 -2
Uma linha reta é construída de acordo com a segunda equação: y \u003d -3x + 1.
Também construa uma linha. (veja a foto.)

1-5
Encontre as coordenadas do ponto de interseção de duas linhas construídas no gráfico (se as linhas não se cruzarem, o sistema de equações não possui - então).

Vídeos relacionados

Conselho util

Se o mesmo sistema de equações é resolvido por três jeitos diferentes, a resposta será a mesma (se a solução estiver correta).

Fontes:

• Álgebra 8ª série
• resolver uma equação com duas incógnitas online
• Exemplos de resolução de sistemas de equações lineares com dois

Sistema equaçõesé uma coleção de registros matemáticos, cada um dos quais contém um certo número de variáveis. Existem várias maneiras de resolvê-los.

você vai precisar

• -Régua e lápis;
• -calculadora.

Instrução

Considere a sequência de resolução do sistema, que consiste em equações lineares com a forma: a1x + b1y = c1 e a2x + b2y = c2. Onde x e y são variáveis ​​desconhecidas e b,c são membros livres. Ao aplicar este método, cada sistema é as coordenadas dos pontos correspondentes a cada equação. Primeiro, em cada caso, expresse uma variável em função da outra. Em seguida, defina a variável x para qualquer número de valores. Dois é o suficiente. Insira na equação e encontre y. Construa um sistema de coordenadas, marque os pontos obtidos nele e desenhe uma linha reta através deles. Cálculos semelhantes devem ser realizados para outras partes do sistema.

o sistema tem única decisão, se as linhas construídas se cruzam e uma ponto comum. É inconsistente se eles são paralelos entre si. E tem infinitas soluções quando as linhas se fundem.

Este método é considerado muito claro. A principal desvantagem é que as incógnitas calculadas têm valores aproximados. Um resultado mais preciso é dado pelos chamados métodos algébricos.

Qualquer solução para um sistema de equações vale a pena conferir. Para fazer isso, substitua os valores obtidos em vez das variáveis. Você também pode encontrar sua solução de várias maneiras. Se a solução do sistema estiver correta, todos devem ser iguais.

Muitas vezes, há equações em que um dos termos é desconhecido. Para resolver uma equação, você precisa se lembrar e realizar um determinado conjunto de ações com esses números.

você vai precisar

• - papel;
• - Caneta ou lápis.

Instrução

Imagine que você tem 8 coelhos à sua frente e apenas 5 cenouras. Pense que você precisa comprar mais cenouras para que cada coelho receba uma cenoura.

Vamos representar esse problema na forma de uma equação: 5 + x = 8. Vamos substituir o número 3 por x. De fato, 5 + 3 = 8.

Ao substituir x por um número, você estava fazendo a mesma operação que subtrair 5 de 8. Portanto, para encontrar desconhecido termo, subtraia o termo conhecido da soma.

Digamos que você tenha 20 coelhos e apenas 5 cenouras. Vamos compor. Uma equação é uma igualdade que vale apenas para certos valores das letras incluídas nela. As letras cujos valores você deseja encontrar são chamadas. Escreva uma equação com uma incógnita, chame-a de x. Ao resolver nosso problema sobre coelhos, a seguinte equação é obtida: 5 + x = 20.

Vamos encontrar a diferença entre 20 e 5. Ao subtrair, o número do qual é subtraído é reduzido. O número que é subtraído é chamado , e o resultado final é chamado de diferença. Assim, x = 20 - 5; x = 15. Você precisa comprar 15 cenouras para coelhos.

Verifique: 5 + 15 = 20. A equação está correta. Claro, quando nós estamos falando sobre tais simples, não é necessário realizar uma verificação. No entanto, quando se trata de equações com três dígitos, quatro dígitos e assim por diante, é imprescindível verificar para ter certeza absoluta do resultado do seu trabalho.

Vídeos relacionados

Conselho util

Para encontrar o minuendo desconhecido, você precisa adicionar o subtraendo à diferença.

Para encontrar o subtraendo desconhecido, é necessário subtrair a diferença do minuendo.

Dica 4: Como resolver um sistema de três equações com três incógnitas

Um sistema de três equações com três incógnitas pode não ter soluções, apesar de um número suficiente de equações. Você pode tentar resolvê-lo usando o método de substituição ou usando o método de Cramer. O método de Cramer, além de resolver o sistema, permite avaliar se o sistema é solúvel antes de encontrar os valores das incógnitas.

Instrução

O método da substituição consiste em sequencialmente uma incógnita por duas outras e substituindo o resultado obtido nas equações do sistema. Seja um sistema de três equações dado em visão geral:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Expresse x da primeira equação: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - e substitua na segunda e terceira equações, depois expresse y da segunda equação e substitua na terceira. Você obterá uma expressão linear para z através dos coeficientes das equações do sistema. Agora volte "voltar": insira z na segunda equação e encontre y, depois conecte z e y na primeira equação e encontre x. O processo geralmente é mostrado na figura até que z seja encontrado. Além disso, o registro em forma geral será muito complicado, na prática, substituindo , você pode facilmente encontrar todas as três incógnitas.

O método de Cramer consiste em compilar a matriz do sistema e calcular o determinante desta matriz, bem como mais três matrizes auxiliares. A matriz do sistema é composta pelos coeficientes nas incógnitas das equações. A coluna que contém os números do lado direito das equações, a coluna do lado direito. Não é usado no sistema, mas é usado ao resolver o sistema.

Vídeos relacionados

observação

Todas as equações do sistema devem fornecer informações adicionais independentemente de outras equações. Caso contrário, o sistema estará subdeterminado e não será possível encontrar uma solução inequívoca.

Conselho util

Depois de resolver o sistema de equações, substitua os valores encontrados no sistema original e verifique se eles satisfazem todas as equações.

Por si próprio a equação com três desconhecido tem muitas soluções, portanto, na maioria das vezes, é complementado por mais duas equações ou condições. Dependendo de quais são os dados iniciais, o rumo da decisão dependerá muito.

você vai precisar

• - um sistema de três equações com três incógnitas.

Instrução

Se dois dos três sistemas tiverem apenas duas das três incógnitas, tente expressar algumas variáveis ​​em função das outras e inseri-las em a equação com três desconhecido. Seu objetivo com isso é transformá-lo em um normal a equação com o desconhecido. Se for , a solução adicional é bastante simples - substitua o valor encontrado em outras equações e encontre todas as outras incógnitas.

Alguns sistemas de equações podem ser subtraídos de uma equação por outra. Veja se é possível multiplicar um de por ou uma variável para que duas incógnitas sejam reduzidas de uma só vez. Se houver tal oportunidade, use-a, provavelmente, a decisão subseqüente não será difícil. Não se esqueça que ao multiplicar por um número, você deve multiplicar tanto o lado esquerdo quanto o lado direito. Da mesma forma, ao subtrair equações, lembre-se de que o lado direito também deve ser subtraído.

Se maneiras anteriores não ajudou, use o método geral para resolver quaisquer equações com três desconhecido. Para fazer isso, reescreva as equações na forma a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Agora faça uma matriz de coeficientes em x (A), uma matriz de incógnitas (X) e uma matriz de coeficientes livres (B). Preste atenção, multiplicando a matriz de coeficientes pela matriz de incógnitas, você obterá uma matriz, uma matriz de membros livres, ou seja, A * X \u003d B.

Encontre a matriz A à potência (-1) depois de encontrar , observe que ela não deve ser igual a zero. Depois disso, multiplique a matriz resultante pela matriz B, como resultado você obterá a matriz X desejada, indicando todos os valores.

Você também pode encontrar uma solução para um sistema de três equações usando o método de Cramer. Para fazer isso, encontre o determinante de terceira ordem ∆ correspondente à matriz do sistema. Em seguida, encontre sucessivamente mais três determinantes ∆1, ∆2 e ∆3, substituindo os valores dos termos livres em vez dos valores das colunas correspondentes. Agora encontre x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Fontes:

• soluções de equações com três incógnitas

Começando a resolver um sistema de equações, descubra quais são essas equações. Os métodos de resolução de equações lineares são bem estudados. Equações não lineares geralmente não são resolvidas. Existem apenas casos especiais, cada um dos quais é praticamente individual. Portanto, o estudo dos métodos de solução deve começar com equações lineares. Tais equações podem ser resolvidas mesmo de forma puramente algorítmica.

os denominadores das incógnitas encontradas são exatamente os mesmos. Sim, e os numeradores são visíveis alguns padrões de sua construção. Se a dimensão do sistema de equações fosse maior que dois, o método de eliminação levaria a cálculos muito complicados. Para evitá-los, soluções puramente algorítmicas foram desenvolvidas. O mais simples deles é o algoritmo de Cramer (fórmulas de Cramer). Pois você deveria saber sistema geral equações de n equações.

O sistema de n equações algébricas lineares com n incógnitas tem a forma (ver Fig. 1a). Nela, aij são os coeficientes do sistema,
хj – incógnitas, bi – membros livres (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Tal sistema pode ser escrito de forma compacta na forma matricial AX=B. Aqui A é a matriz de coeficientes do sistema, X é a matriz coluna de incógnitas, B é a matriz coluna de termos livres (ver Fig. 1b). De acordo com o método de Cramer, cada incógnita xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). O determinante ∆ da matriz de coeficientes é denominado determinante principal, e ∆i é denominado auxiliar. Para cada incógnita, um determinante auxiliar é encontrado substituindo a i-ésima coluna do determinante principal por uma coluna de membros livres. O método de Cramer para o caso de sistemas de segunda e terceira ordem é apresentado em detalhes na Fig. 2.

Um sistema é uma união de duas ou mais igualdades, cada uma com duas ou mais incógnitas. Existem duas maneiras principais de resolver sistemas de equações lineares que são usadas na estrutura currículo escolar. Um deles é chamado de método, o outro é o método de adição.

Forma padrão de um sistema de duas equações

No forma padrão a primeira equação é a1*x+b1*y=c1, a segunda equação é a2*x+b2*y=c2 e assim por diante. Por exemplo, no caso de duas partes do sistema em ambos dados a1, a2, b1, b2, c1, c2 são alguns coeficientes numéricos apresentados em equações específicas. Por sua vez, x e y são incógnitas cujos valores precisam ser determinados. Os valores desejados transformam ambas as equações simultaneamente em verdadeiras igualdades.

Solução do sistema pelo método da adição

Para resolver o sistema, ou seja, encontrar os valores de x e y que os transformarão em verdadeiras igualdades, você precisa seguir alguns passos simples. A primeira delas é transformar qualquer uma das equações de tal forma que os coeficientes numéricos para a variável x ou y em ambas as equações coincidam em valor absoluto, mas difiram em sinal.

Por exemplo, seja dado um sistema que consiste em duas equações. A primeira delas tem a forma 2x+4y=8, a segunda tem a forma 6x+2y=6. Uma das opções para completar a tarefa é multiplicar a segunda equação por um fator de -2, o que a levará à forma -12x-4y=-12. A escolha correta do coeficiente é uma das tarefas-chave no processo de resolução do sistema pelo método da adição, pois determina todo o andamento do procedimento para encontrar incógnitas.

Agora é necessário somar as duas equações do sistema. Obviamente, a destruição mútua de variáveis ​​com coeficientes iguais em valor, mas opostos em sinais, a levará à forma -10x=-4. Depois disso, é necessário resolver esta equação simples, da qual resulta inequivocamente que x=0,4.

A última etapa do processo de solução é a substituição do valor encontrado de uma das variáveis ​​em qualquer uma das igualdades iniciais disponíveis no sistema. Por exemplo, substituindo x=0,4 na primeira equação, você pode obter a expressão 2*0,4+4y=8, da qual y=1,8. Assim, x=0,4 e y=1,8 são as raízes do sistema mostrado no exemplo.

Para garantir que as raízes foram encontradas corretamente, é útil verificar substituindo os valores encontrados na segunda equação do sistema. Por exemplo, em este caso uma igualdade da forma 0,4*6+1,8*2=6 é obtida, o que é correto.

Vídeos relacionados

Analisaremos dois tipos de sistemas de resolução de equações:

1. Solução do sistema pelo método da substituição.
2. Solução do sistema por adição (subtração) termo a termo das equações do sistema.

Para resolver o sistema de equações método de substituição você precisa seguir um algoritmo simples:
1. Nós expressamos. A partir de qualquer equação, expressamos uma variável.
2. Substituto. Substituímos em outra equação em vez da variável expressa, o valor resultante.
3. Resolvemos a equação resultante com uma variável. Encontramos uma solução para o sistema.

Resolver sistema por adição termo a termo (subtração) preciso:
1. Selecione uma variável para a qual faremos os mesmos coeficientes.
2. Adicionamos ou subtraímos as equações, como resultado obtemos uma equação com uma variável.
3. Resolvemos a equação linear resultante. Encontramos uma solução para o sistema.

A solução do sistema são os pontos de interseção dos gráficos da função.

Vamos considerar em detalhes a solução de sistemas usando exemplos.

Exemplo 1:

Vamos resolver pelo método da substituição

Resolvendo o sistema de equações pelo método de substituição

2x+5y=1 (1 equação)
x-10y=3 (2ª equação)

1. Expresso
Pode-se ver que na segunda equação existe uma variável x com um coeficiente de 1, portanto, é mais fácil expressar a variável x da segunda equação.
x=3+10y

2. Depois de expressar, substituímos 3 + 10y na primeira equação em vez da variável x.
2(3+10 anos)+5 anos=1

3. Resolvemos a equação resultante com uma variável.
2(3+10a)+5a=1 (colchetes abertos)
6+20a+5a=1
25 anos = 1-6
25a=-5 |: (25)
a=-5:25
y=-0,2

A solução do sistema de equações são os pontos de interseção dos gráficos, portanto precisamos encontrar x e y, porque o ponto de interseção consiste em x e y. Vamos encontrar x, no primeiro parágrafo onde expressamos, substituímos y lá.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Costuma-se escrever pontos em primeiro lugar, escrevemos a variável x e em segundo lugar a variável y.
Resposta: (1; -0,2)

Exemplo #2:

Vamos resolver por adição termo a termo (subtração).

Resolvendo um sistema de equações pelo método da adição

3x-2y=1 (1 equação)
2x-3y=-10 (2ª equação)

1. Selecione uma variável, digamos que selecionamos x. Na primeira equação, a variável x tem coeficiente 3, na segunda - 2. Precisamos igualar os coeficientes, para isso temos o direito de multiplicar as equações ou dividir por qualquer número. Multiplicamos a primeira equação por 2 e a segunda por 3 e obtemos um coeficiente total de 6.

3x-2a=1 |*2
6x-4a=2

2x-3a=-10 |*3
6x-9a=-30

2. Da primeira equação, subtraia a segunda para se livrar da variável x. Resolva a equação linear.
__6x-4a=2

5a=32 | :5
y=6,4

3. Encontre x. Substituímos o y encontrado em qualquer uma das equações, digamos na primeira equação.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

O ponto de interseção será x=4,6; y=6,4
Resposta: (4.6; 6.4)

Você quer se preparar para os exames de graça? Tutor online de graça. Sem brincadeiras.