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Como encontrar os maiores e menores valores de uma função em uma área fechada delimitada? Investigação do gráfico de uma função.

Neste artigo falarei sobre como aplicar a habilidade de encontrar ao estudo de uma função: encontrar seu maior ou o menor valor. E então resolveremos alguns problemas da Tarefa B15 de banco aberto atribuições para.

Como de costume, vamos começar com a teoria primeiro.

No início de qualquer estudo de uma função, encontramos

Para encontrar o maior ou o menor valor da função, você precisa investigar em quais intervalos a função aumenta e em quais ela diminui.

Para fazer isso, você precisa encontrar a derivada da função e estudar seus intervalos de sinal constante, ou seja, os intervalos nos quais a derivada mantém seu sinal.

Os intervalos em que a derivada de uma função é positiva são intervalos de função crescente.

Os intervalos em que a derivada de uma função é negativa são intervalos de função decrescente.

1 . Vamos resolver a tarefa B15 (nº 245184)

Para resolvê-lo, seguiremos o seguinte algoritmo:

a) Encontre o domínio da função

b) Encontre a derivada da função .

c) Igual a zero.

d) Encontremos os intervalos de sinal constante da função.

e) Encontre o ponto em que a função assume o maior valor.

f) Encontre o valor da função neste ponto.

Conto a solução detalhada desta tarefa na VÍDEO AULA:

Provavelmente seu navegador não é compatível. Para usar o simulador "Unified State Examination Hour", tente baixar
Raposa de fogo

2. Vamos resolver a tarefa B15 (nº 282862)

Encontrar o maior valor de uma função no segmento

É óbvio que a função assume o maior valor do segmento no ponto máximo, em x=2. Encontre o valor da função neste ponto:

Resposta: 5

3 . Vamos resolver a tarefa B15 (nº 245180):

Encontrar o maior valor de uma função

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Como o escopo da função original title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. O numerador é zero em . Vamos verificar se o ODZ pertence à função. Para fazer isso, verifique se a condição title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Título="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

então o ponto pertence ao ODZ da função

Examinamos o sinal da derivada à direita e à esquerda do ponto:

Vemos que a função assume o maior valor no ponto . Agora vamos encontrar o valor da função em:

Nota 1. Note que neste problema não encontramos o domínio da função: apenas fixamos as restrições e verificamos se o ponto em que a derivada é igual a zero pertence ao domínio da função. Neste problema, isso acabou sendo suficiente. No entanto, nem sempre é esse o caso. Depende da tarefa.

Observação 2. Ao estudar o comportamento de uma função complexa, pode-se usar a seguinte regra:

se a função externa de uma função composta é crescente, então a função assume seu maior valor no mesmo ponto em que a função interna assume seu maior valor. Isso decorre da definição de uma função crescente: uma função aumenta no intervalo I se maior valor um argumento desse intervalo corresponde a um valor maior da função.
se a função externa de uma função complexa está diminuindo, então a função assume o maior valor no mesmo ponto em que a função interna assume o menor valor . Isso decorre da definição de uma função decrescente: a função diminui no intervalo I se o maior valor do argumento desse intervalo corresponder ao menor valor da função

Em nosso exemplo, a função externa - aumenta em todo o domínio de definição. Sob o sinal do logaritmo está uma expressão - um trinômio quadrado, que, com um coeficiente sênior negativo, assume o maior valor no ponto . Em seguida, substituímos esse valor de x na equação da função e encontre seu maior valor.

Seja a função $z=f(x,y)$ definida e contínua em algum domínio fechado limitado $D$. Deixe nesta área para dada função tem derivadas parciais finitas de primeira ordem (com a possível exceção de um número finito de pontos). Para encontrar os maiores e menores valores de uma função de duas variáveis em uma determinada região fechada, são necessários três passos de um algoritmo simples.

Algoritmo para encontrar os maiores e menores valores da função $z=f(x,y)$ no domínio fechado $D$.

Encontre os pontos críticos da função $z=f(x,y)$ que pertencem à região $D$. Calcular valores de função em pontos críticos.
Investigue o comportamento da função $z=f(x,y)$ na fronteira da região $D$ encontrando os pontos de máximos e mínimos possíveis. Calcule os valores da função nos pontos obtidos.
Dos valores de função obtidos nos dois parágrafos anteriores, escolha o maior e o menor.

O que são pontos críticos? aparecer esconder

Sob Pontos críticos implicam pontos onde ambas as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero (ou seja, $\frac(\parcial z)(\parcial x)=0$ e $\frac(\parcial z)(\parcial y)=0 $) ou pelo menos uma derivada parcial não existe.

Freqüentemente, os pontos nos quais as derivadas parciais de primeira ordem são iguais a zero são chamados pontos estacionários. Assim, os pontos estacionários são um subconjunto dos pontos críticos.

Exemplo 1

Encontre os valores máximo e mínimo da função $z=x^2+2xy-y^2-4x$ na região fechada delimitada pelas linhas $x=3$, $y=0$ e $y=x +1 $.

Seguiremos o exposto, mas primeiro trataremos do desenho de uma determinada área, que denotaremos pela letra $D$. São dadas as equações de três retas, que limitam essa área. A reta $x=3$ passa pelo ponto $(3;0)$ paralela ao eixo y (eixo Oy). A reta $y=0$ é a equação do eixo das abcissas (eixo Ox). Bem, para construir uma linha reta $y=x+1$ vamos encontrar dois pontos através dos quais traçamos essa linha reta. Você pode, é claro, substituir alguns valores arbitrários em vez de $x$. Por exemplo, substituindo $x=10$, obtemos: $y=x+1=10+1=11$. Encontramos o ponto $(10;11)$ na reta $y=x+1$. No entanto, é melhor encontrar os pontos onde a linha $y=x+1$ cruza com as linhas $x=3$ e $y=0$. Por que é melhor? Porque vamos matar alguns pássaros com uma cajadada só: obteremos dois pontos para construir a linha reta $y=x+1$ e ao mesmo tempo descobrir em que pontos essa linha reta cruza outras linhas que limitam o dado área. A linha $y=x+1$ intercepta a linha $x=3$ no ponto $(3;4)$, e a linha $y=0$ - no ponto $(-1;0)$. Para não sobrecarregar o curso da solução com explicações auxiliares, colocarei em nota a questão da obtenção desses dois pontos.

Como foram obtidos os pontos $(3;4)$ e $(-1;0)$? aparecer esconder

Vamos começar do ponto de interseção das linhas $y=x+1$ e $x=3$. As coordenadas do ponto desejado pertencem tanto à primeira quanto à segunda linha, portanto, para encontrar as coordenadas desconhecidas, você precisa resolver o sistema de equações:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

A solução de tal sistema é trivial: substituindo $x=3$ na primeira equação teremos: $y=3+1=4$. O ponto $(3;4)$ é o ponto de interseção desejado das linhas $y=x+1$ e $x=3$.

Agora vamos encontrar o ponto de interseção das linhas $y=x+1$ e $y=0$. Novamente, compomos e resolvemos o sistema de equações:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Substituindo $y=0$ na primeira equação, obtemos: $0=x+1$, $x=-1$. O ponto $(-1;0)$ é o ponto de interseção desejado das retas $y=x+1$ e $y=0$ (eixo das abcissas).

Está tudo pronto para construir um desenho que ficará assim:

A questão da nota parece óbvia, pois tudo pode ser visto pela figura. Porém, vale lembrar que o desenho não pode servir de prova. A figura é apenas uma ilustração para maior clareza.

Nossa área foi definida usando as equações de linhas que a limitam. É óbvio que essas linhas definem um triângulo, não é? Ou não muito óbvio? Ou talvez nos seja dada uma área diferente, delimitada pelas mesmas linhas:

Claro, a condição diz que a área está fechada, então a imagem mostrada está errada. Mas para evitar tais ambigüidades, é melhor definir regiões por desigualdades. Estamos interessados na parte do avião localizada sob a linha $y=x+1$? Ok, então $y ≤ x+1$. Nossa área deve estar localizada acima da linha $y=0$? Ótimo, então $y ≥ 0$. A propósito, as duas últimas desigualdades são facilmente combinadas em uma: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Essas desigualdades definem o domínio $D$ e o definem de forma única, sem ambiguidades. Mas como isso nos ajuda na pergunta do início da nota de rodapé? Também vai ajudar :) Precisamos verificar se o ponto $M_1(1;1)$ pertence à região $D$. Substituamos $x=1$ e $y=1$ no sistema de desigualdades que definem esta região. Se ambas as desigualdades forem satisfeitas, então o ponto está dentro da região. Se pelo menos uma das desigualdades não for satisfeita, então o ponto não pertence à região. Então:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Ambas as desigualdades são verdadeiras. O ponto $M_1(1;1)$ pertence à região $D$.

Agora é a vez de investigar o comportamento da função na fronteira do domínio, ou seja, Vá para. Vamos começar com a reta $y=0$.

A reta $y=0$ (eixo das abcissas) limita a região $D$ sob a condição $-1 ≤ x ≤ 3$. Substitua $y=0$ na função dada $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. A função de substituição resultante de uma variável $x$ será denotada como $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Agora para a função $f_1(x)$ precisamos encontrar o maior e o menor valor no intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Encontre a derivada dessa função e iguale-a a zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

O valor $x=2$ pertence ao segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, então adicionamos também $M_2(2;0)$ à lista de pontos. Além disso, calculamos os valores da função $z$ nas extremidades do segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, ou seja, nos pontos $M_3(-1;0)$ e $M_4(3;0)$. A propósito, se o ponto $M_2$ não pertencesse ao segmento em questão, é claro que não haveria necessidade de calcular o valor da função $z$ nele.

Então, vamos calcular os valores da função $z$ nos pontos $M_2$, $M_3$, $M_4$. Você pode, é claro, substituir as coordenadas desses pontos na expressão original $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Por exemplo, para o ponto $M_2$ obtemos:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

No entanto, os cálculos podem ser um pouco simplificados. Para isso, vale lembrar que no segmento $M_3M_4$ temos $z(x,y)=f_1(x)$. Vou explicar detalhadamente:

\begin(alinhado) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cponto 3=-3. \end(alinhado)

Obviamente, geralmente não há necessidade de tais entradas detalhadas e, no futuro, começaremos a anotar todos os cálculos de maneira mais curta:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Agora vamos passar para a reta $x=3$. Esta linha limita o domínio $D$ sob a condição $0 ≤ y ≤ 4$. Substitua $x=3$ na função dada $z$. Como resultado dessa substituição, obtemos a função $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Para a função $f_2(y)$, você precisa encontrar o maior e o menor valor no intervalo $0 ≤ y ≤ 4$. Encontre a derivada dessa função e iguale-a a zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

O valor $y=3$ pertence ao segmento $0 ≤ y ≤ 4$, portanto adicionamos $M_5(3;3)$ aos pontos encontrados anteriormente. Além disso, é necessário calcular o valor da função $z$ nos pontos das extremidades do segmento $0 ≤ y ≤ 4$, ou seja, nos pontos $M_4(3;0)$ e $M_6(3;4)$. No ponto $M_4(3;0)$ já calculamos o valor de $z$. Calculemos o valor da função $z$ nos pontos $M_5$ e $M_6$. Deixe-me lembrar que no segmento $M_4M_6$ temos $z(x,y)=f_2(y)$, portanto:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(alinhado)

E, finalmente, considere o último limite de $D$, ou seja, linha $y=x+1$. Esta linha limita a região $D$ na condição $-1 ≤ x ≤ 3$. Substituindo $y=x+1$ na função $z$, teremos:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Mais uma vez temos uma função de uma variável $x$. E novamente, você precisa encontrar os maiores e menores valores desta função no segmento $-1 ≤ x ≤ 3$. Encontre a derivada da função $f_(3)(x)$ e iguale-a a zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

O valor $x=1$ pertence ao intervalo $-1 ≤ x ≤ 3$. Se $x=1$, então $y=x+1=2$. Vamos adicionar $M_7(1;2)$ à lista de pontos e descobrir qual é o valor da função $z$ neste ponto. Os pontos nas extremidades do segmento $-1 ≤ x ≤ 3$, ou seja, pontos $M_3(-1;0)$ e $M_6(3;4)$ foram considerados anteriormente, já encontramos o valor da função neles.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

A segunda etapa da solução está concluída. Temos sete valores:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Vamos recorrer. Escolhendo os maiores e menores valores desses números que foram obtidos no terceiro parágrafo, teremos:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

O problema está resolvido, resta apenas anotar a resposta.

Responder: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Exemplo #2

Encontre o maior e o menor valor da função $z=x^2+y^2-12x+16y$ na região $x^2+y^2 ≤ 25$.

Vamos construir um desenho primeiro. A equação $x^2+y^2=25$ (esta é a linha de limite da área dada) define um círculo com um centro na origem (isto é, no ponto $(0;0)$) e um raio de 5. A desigualdade $x^2 +y^2 ≤ 25$ satisfaz todos os pontos dentro e sobre o círculo mencionado.

Nós vamos agir. Vamos encontrar derivadas parciais e descobrir os pontos críticos.

$$ \frac(\parcial z)(\parcial x)=2x-12; \frac(\parcial z)(\parcial y)=2y+16. $$

Não há pontos em que as derivadas parciais encontradas não existam. Vamos descobrir em que pontos ambas as derivadas parciais são simultaneamente iguais a zero, ou seja, encontrar pontos estacionários.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(alinhado) \right.$$

Obtemos um ponto estacionário $(6;-8)$. Porém, o ponto encontrado não pertence à região $D$. Isso é fácil de mostrar, mesmo sem recorrer ao desenho. Vamos verificar se a desigualdade $x^2+y^2 ≤ 25$, que define nosso domínio $D$, é válida. Se $x=6$, $y=-8$, então $x^2+y^2=36+64=100$, ou seja, a desigualdade $x^2+y^2 ≤ 25$ não é satisfeita. Conclusão: o ponto $(6;-8)$ não pertence à região $D$.

Assim, não há pontos críticos dentro de $D$. Vamos seguir em frente, para. Precisamos investigar o comportamento da função no limite da área dada, ou seja, no círculo $x^2+y^2=25$. Você pode, é claro, expressar $y$ em termos de $x$ e então substituir a expressão resultante em nossa função $z$. Da equação do círculo obtemos: $y=\sqrt(25-x^2)$ ou $y=-\sqrt(25-x^2)$. Substituindo, por exemplo, $y=\sqrt(25-x^2)$ na função dada, teremos:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

A solução adicional será completamente idêntica ao estudo do comportamento da função no limite da região no exemplo anterior nº 1. No entanto, parece-me mais razoável nesta situação aplicar o método de Lagrange. Estamos interessados apenas na primeira parte deste método. Depois de aplicar a primeira parte do método de Lagrange, obteremos pontos nos quais e examinaremos a função $z$ para os valores mínimo e máximo.

Compomos a função de Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Encontramos as derivadas parciais da função de Lagrange e compomos o sistema de equações correspondente:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (alinhado) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(alinhado) \ direita. \;\; \esquerda \( \begin(alinhado) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( alinhado)\certo.$$

Para resolver este sistema, vamos indicar imediatamente que $\lambda\neq -1$. Por que $\lambda\neq -1$? Vamos tentar substituir $\lambda=-1$ na primeira equação:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

A contradição resultante $0=6$ diz que o valor $\lambda=-1$ é inválido. Saída: $\lambda\neq -1$. Vamos expressar $x$ e $y$ em termos de $\lambda$:

\begin(alinhado) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(alinhado)

Acredito que fica óbvio aqui porque estipulamos especificamente a condição $\lambda\neq -1$. Isso foi feito para ajustar a expressão $1+\lambda$ aos denominadores sem interferência. Ou seja, para ter certeza de que o denominador é $1+\lambda\neq 0$.

Substituamos as expressões obtidas por $x$ e $y$ na terceira equação do sistema, ou seja, em $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Segue da igualdade resultante que $1+\lambda=2$ ou $1+\lambda=-2$. Assim, temos dois valores do parâmetro $\lambda$, a saber: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Assim, obtemos dois pares de valores $x$ e $y$:

\begin(alinhado) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(alinhado)

Então, temos dois pontos de um possível extremo condicional, ou seja, $M_1(3;-4)$ e $M_2(-3;4)$. Encontre os valores da função $z$ nos pontos $M_1$ e $M_2$:

\begin(alinhado) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(alinhado)

Devemos escolher o maior e o menor valores daqueles que obtivemos na primeira e segunda etapas. Mas em este caso a escolha é pequena :) Temos:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Responder: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

Neste artigo falarei sobre algoritmo para encontrar o maior e o menor valor função, pontos mínimos e máximos.

Da teoria, definitivamente precisaremos tabela de derivativos E regras de diferenciação. Está tudo nesta placa:

Algoritmo para encontrar os maiores e menores valores.

acho mais facil de explicar exemplo específico. Considerar:

Exemplo: Encontre o maior valor da função y=x^5+20x^3–65x no segmento [–4;0].

Passo 1. Tomamos a derivada.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Passo 2 Encontrar pontos extremos.

ponto extremo nomeamos os pontos nos quais a função atinge seu valor máximo ou mínimo.

Para encontrar os pontos extremos, é necessário igualar a derivada da função a zero (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Agora resolvemos esta equação biquadrada e as raízes encontradas são nossos pontos extremos.

Eu resolvo essas equações substituindo t = x^2, então 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Reduza a equação em 5, obtemos: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + quadrado(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Fazemos a substituição inversa x^2 = t:

X_(1 e 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 e 4) = ±sqrt(-13) (excluímos, não pode haver números negativos sob a raiz, a menos que estejamos falando de números complexos)

Total: x_(1) = 1 e x_(2) = -1 - esses são nossos pontos extremos.

etapa 3 Determine o maior e o menor valor.

Método de substituição.

Na condição, recebemos o segmento [b][–4;0]. O ponto x=1 não está incluído neste segmento. Então não consideramos. Mas além do ponto x=-1, também precisamos considerar as bordas esquerda e direita do nosso segmento, ou seja, os pontos -4 e 0. Para fazer isso, substituímos todos esses três pontos na função original. Observe que o original é aquele dado na condição (y=x^5+20x^3–65x), alguns começam substituindo na derivada...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Isso significa que o valor máximo da função é [b]44 e é alcançado nos pontos [b]-1, que é chamado de ponto máximo da função no segmento [-4; 0].

Decidimos e obtivemos uma resposta, estamos ótimos, pode relaxar. Mas pare! Você não acha que contar y(-4) é muito complicado? Em condições de tempo limitado, é melhor usar outro método, chamo assim:

Através de intervalos de constância.

Essas lacunas são encontradas para a derivada da função, ou seja, para nossa equação biquadrada.

Eu faço da seguinte maneira. Eu desenho uma linha direcional. Eu defino os pontos: -4, -1, 0, 1. Apesar de 1 não estar incluído no segmento dado, ainda deve ser anotado para determinar corretamente os intervalos de constância. Vamos pegar um número muitas vezes maior que 1, digamos 100, substituí-lo mentalmente em nossa equação biquadrada 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Mesmo sem contar nada, fica óbvio que no ponto 100 a função tem sinal de mais. Isso significa que para intervalos de 1 a 100 tem um sinal de mais. Ao passar por 1 (vamos da direita para a esquerda), a função mudará o sinal para menos. Ao passar pelo ponto 0, a função manterá seu sinal, pois este é apenas o limite do segmento, e não a raiz da equação. Ao passar por -1, a função mudará novamente o sinal para mais.

Pela teoria, sabemos que onde está a derivada da função (e desenhamos isso para ela) muda o sinal de mais para menos (ponto -1 no nosso caso) função atinge seu máximo local (y(-1)=44 conforme calculado anteriormente) neste segmento (isso é logicamente muito claro, a função deixou de aumentar, pois atingiu seu máximo e começou a diminuir).

Assim, onde a derivada da função muda o sinal de menos para mais, alcançou mínimo local de uma função. Sim, sim, também encontramos o ponto de mínimo local, que é 1, e y(1) é o valor mínimo da função no intervalo, digamos de -1 a +∞. Observe que este é apenas um MÍNIMO LOCAL, ou seja, um mínimo em um determinado segmento. Como a função mínima real (global) chegará a algum lugar lá, em -∞.

Na minha opinião, o primeiro método é mais simples teoricamente, e o segundo é mais simples em termos de operações aritméticas, mas muito mais difícil em termos teóricos. Afinal, às vezes há casos em que a função não muda de sinal ao passar pela raiz da equação e, de fato, você pode se confundir com esses máximos e mínimos locais e globais, embora tenha que dominá-lo bem de qualquer maneira se planejar para entrar em uma universidade técnica (e para o que mais dar exame de perfil e resolver este problema). Mas a prática, e somente a prática, ensinará como resolver esses problemas de uma vez por todas. E você pode treinar em nosso site. Aqui .

Se você tiver alguma dúvida ou algo não estiver claro, não deixe de perguntar. Terei o maior prazer em responder e fazer alterações, acréscimos ao artigo. Lembre-se de que estamos fazendo este site juntos!

Vamos ver como explorar uma função usando um gráfico. Acontece que olhando o gráfico, você pode descobrir tudo o que nos interessa, a saber:

escopo da função
faixa de função
zeros de função
períodos de aumento e diminuição
pontos altos e baixos
o maior e o menor valor da função no segmento.

Vamos esclarecer a terminologia:

Abscissaé a coordenada horizontal do ponto.
ordenar- coordenada vertical.
abscissa- o eixo horizontal, geralmente chamado de eixo.
eixo Y- eixo vertical, ou eixo.

Argumentoé uma variável independente da qual dependem os valores da função. Mais frequentemente indicado.
Em outras palavras, nós mesmos escolhemos , substituímos na fórmula da função e obtemos .

Domínio funções - o conjunto desses (e apenas esses) valores do argumento para o qual a função existe.
Denotado: ou .

Em nossa figura, o domínio da função é um segmento. É neste segmento que o gráfico da função é desenhado. Só aqui esta função existe.

Faixa de funçãoé o conjunto de valores que a variável assume. Em nossa figura, este é um segmento - do menor ao maior valor.

zeros de função- pontos onde o valor da função é igual a zero, ou seja, . Em nossa figura, esses são os pontos e .

Os valores da função são positivos onde . Em nossa figura, esses são os intervalos e .
Os valores da função são negativos onde . Temos esse intervalo (ou intervalo) de até.

Os conceitos mais importantes - função crescente e decrescente em algum conjunto. Como um conjunto, você pode pegar um segmento, um intervalo, uma união de intervalos ou toda a linha numérica.

Função aumenta

Ou seja, quanto mais , mais , ou seja, o gráfico vai para a direita e para cima.

Função diminuindo sobre o conjunto se para algum e pertencente ao conjunto a desigualdade implica a desigualdade .

Para uma função decrescente, um valor maior corresponde a um valor menor. O gráfico vai para a direita e para baixo.

Em nossa figura, a função aumenta no intervalo e diminui nos intervalos e .

Vamos definir o que é pontos de máximo e mínimo da função.

ponto máximo- este é um ponto interno do domínio de definição, tal que o valor da função nele é maior do que em todos os pontos suficientemente próximos dele.
Em outras palavras, o ponto máximo é tal ponto, o valor da função na qual mais do que nas vizinhas. Esta é uma "colina" local no gráfico.

Em nossa figura - o ponto máximo.

Ponto baixo- um ponto interno do domínio de definição, tal que o valor da função nele seja menor do que em todos os pontos suficientemente próximos dele.
Ou seja, o ponto mínimo é tal que o valor da função nele é menor do que nos vizinhos. No gráfico, este é um “buraco” local.

Em nossa figura - o ponto mínimo.

O ponto é o limite. Não é um ponto interior do domínio de definição e, portanto, não se enquadra na definição de ponto máximo. Afinal, ela não tem vizinhos à esquerda. Da mesma forma, não pode haver ponto mínimo em nosso gráfico.

Os pontos máximos e mínimos são chamados coletivamente pontos extremos da função. No nosso caso, isso é e .

Mas e se você precisar encontrar, por exemplo, função mínima no corte? Neste caso, a resposta é: Porque função mínimaé o seu valor no ponto mínimo.

Da mesma forma, o máximo da nossa função é . É alcançado no ponto .

Podemos dizer que os extremos da função são iguais a e .

Às vezes, em tarefas que você precisa encontrar os maiores e menores valores da função em um determinado segmento. Eles não necessariamente coincidem com extremos.

No nosso caso menor valor da função no intervalo é igual e coincide com o mínimo da função. Mas seu maior valor neste segmento é igual a . É alcançado na extremidade esquerda do segmento.

Em qualquer caso, os maiores e menores valores de uma função contínua em um segmento são alcançados nos pontos extremos ou nas extremidades do segmento.

Uma tarefa em miniatura e bastante simples, do tipo que serve de tábua de salvação para um aluno flutuante. Na natureza, o reino sonolento de meados de julho, então é hora de relaxar com um laptop na praia. Jogou de madrugada raio de Sol teoria para logo focar na prática, que, apesar da pretensa leveza, contém cacos de vidro na areia. A este respeito, recomendo considerar conscienciosamente alguns exemplos desta página. Para resolver tarefas práticas, você precisa ser capaz de encontrar derivados e entender o material do artigo Intervalos de monotonicidade e extremos de uma função.

Primeiro, brevemente sobre o principal. Em uma aula sobre continuidade da função Eu dei a definição de continuidade em um ponto e continuidade em um intervalo. O comportamento exemplar de uma função em um segmento é formulado de forma similar. Uma função é contínua em um segmento se:

1) é contínua no intervalo ;
2) contínua em um ponto na direita e no ponto esquerda.

O segundo parágrafo trata do chamado continuidade unilateral funções em um ponto. Existem várias abordagens para sua definição, mas vou me ater à linha iniciada anteriormente:

A função é contínua em um ponto na direita, se for definido em um determinado ponto e seu limite à direita coincidir com o valor da função em um determinado ponto: . é contínua no ponto esquerda, se definido em um determinado ponto e seu limite esquerdo for igual ao valor naquele ponto:

Imagine que os pontos verdes são os pregos nos quais o elástico mágico está preso:

Pegue mentalmente a linha vermelha em suas mãos. Obviamente, não importa o quanto estiquemos o gráfico para cima e para baixo (ao longo do eixo), a função ainda permanecerá limitado- uma sebe em cima, uma sebe em baixo e o nosso produto pasta num prado. Por isso, uma função contínua em um segmento é limitada por ele. No curso da análise matemática, este fato aparentemente simples é declarado e rigorosamente provado Primeiro teorema de Weierstrass.... Muitas pessoas ficam aborrecidas com o fato de afirmações elementares serem tediosamente fundamentadas em matemática, mas há significado importante. Suponha que um certo habitante da Terry Idade Média puxasse o gráfico para o céu além dos limites da visibilidade, isso foi inserido. Antes da invenção do telescópio, a função limitada no espaço não era nada óbvia! De fato, como você sabe o que nos espera além do horizonte? Afinal, uma vez que a Terra era considerada plana, hoje até o teletransporte comum requer prova =)

De acordo com segundo teorema de Weierstrass, contínua no segmentofunção atinge seu borda superior exata e ele borda inferior exata .

O número também é chamado o valor máximo da função no segmento e denotado por , e o número - o valor mínimo da função no segmento marcado .

No nosso caso:

Observação : em teoria, os registros são comuns .

Grosso modo, o maior valor está localizado onde o mais ponto alto gráficos e o menor - onde é o ponto mais baixo.

Importante! Como já apontado no artigo sobre extremo da função, o maior valor da função E menor valor da função – NÃO É O MESMO, O que função máxima E função mínima. Portanto, neste exemplo, o número é o mínimo da função, mas não o valor mínimo.

A propósito, o que acontece fora do segmento? Sim, mesmo o dilúvio, no contexto do problema em questão, isso não nos interessa em nada. A tarefa envolve apenas encontrar dois números e é isso!

Além disso, a solução é puramente analítica, portanto, não precisa desenhar!

O algoritmo está na superfície e sugere-se a partir da figura acima:

1) Encontre os valores da função em Pontos críticos, que pertencem a este segmento.

Pega mais uma boa: não há necessidade de verificar uma condição suficiente para um extremo, pois, como acabamos de mostrar, a presença de um mínimo ou máximo ainda não garantido qual é o valor mínimo ou máximo. A função de demonstração atinge seu máximo e por vontade do destino o mesmo número é valor mais alto funções no intervalo. Mas, claro, tal coincidência nem sempre ocorre.

Assim, na primeira etapa, fica mais rápido e fácil calcular os valores da função nos pontos críticos pertencentes ao segmento, sem se preocupar se eles possuem extremos ou não.

2) Calculamos os valores da função nas extremidades do segmento.

3) Dentre os valores da função encontrados no 1º e 2º parágrafos, selecionamos o menor e o maior grande número, anote a resposta.

Sentamo-nos na margem do mar azul e batemos os calcanhares em águas rasas:

Exemplo 1

Encontre os maiores e menores valores de uma função em um segmento

Solução:
1) Calcule os valores da função nos pontos críticos pertencentes a este segmento:

Calculamos o valor da função no segundo ponto crítico:

2) Calcule os valores da função nas extremidades do segmento:

3) Resultados "negritos" foram obtidos com exponenciais e logaritmos, o que complica significativamente sua comparação. Por isso, vamos nos armar de uma calculadora ou Excel e calcular os valores aproximados, não esquecendo que: