Log por base. Expressões logarítmicas

Então, temos potências de dois. Se você pegar o número da linha inferior, poderá encontrar facilmente a potência à qual deve aumentar um dois para obter esse número. Por exemplo, para obter 16, você precisa elevar dois à quarta potência. E para chegar a 64, você precisa elevar dois à sexta potência. Isso pode ser visto na tabela.

E agora - de fato, a definição do logaritmo:

O logaritmo para a base a do argumento x é a potência à qual o número a deve ser elevado para obter o número x .

Notação: log a x \u003d b, onde a é a base, x é o argumento, b é realmente o que o logaritmo é igual.

Por exemplo, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (o logaritmo de base 2 de 8 é três porque 2 3 = 8). Pode muito bem logar 2 64 = 6 porque 2 6 = 64 .

A operação de encontrar o logaritmo de um número para uma determinada base é chamada de logaritmo. Então, vamos adicionar uma nova linha à nossa tabela:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Infelizmente, nem todos os logaritmos são considerados tão facilmente. Por exemplo, tente encontrar log 2 5 . O número 5 não está na tabela, mas a lógica determina que o logaritmo ficará em algum lugar do segmento. Porque 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Esses números são chamados de irracionais: os números após o ponto decimal podem ser escritos indefinidamente e nunca se repetem. Se o logaritmo for irracional, é melhor deixar assim: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

É importante entender que o logaritmo é uma expressão com duas variáveis ​​(base e argumento). A princípio, muitas pessoas confundem onde está a base e onde está o argumento. Para evitar mal-entendidos irritantes, basta dar uma olhada na foto:

Diante de nós nada mais é do que a definição do logaritmo. Lembrar: o logaritmo é a potência, para o qual você precisa aumentar a base para obter o argumento. É a base que é elevada a uma potência - na foto ela está destacada em vermelho. Acontece que a base está sempre no fundo! Eu conto essa regra maravilhosa para meus alunos logo na primeira aula - e não há confusão.

Descobrimos a definição - resta aprender a contar logaritmos, ou seja, livre-se do sinal de "log". Para começar, notamos que dois fatos importantes decorrem da definição:

1. O argumento e a base devem ser sempre maiores que zero. Isso decorre da definição do grau por um expoente racional, ao qual se reduz a definição do logaritmo.
2. A base deve ser diferente da unidade, pois uma unidade para qualquer potência ainda é uma unidade. Por causa disso, a questão “a que potência um deve ser elevado para obter dois” não tem sentido. Não existe tal grau!

Tais restrições são chamadas intervalo válido(ODZ). Acontece que o ODZ do logaritmo se parece com isto: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Observe que não há restrições quanto ao número b (o valor do logaritmo) não é imposto. Por exemplo, o logaritmo pode ser negativo: log 2 0,5 \u003d -1, porque 0,5 = 2 −1 .

No entanto, agora estamos considerando apenas expressões numéricas, onde não é necessário saber o ODZ do logaritmo. Todas as restrições já foram levadas em consideração pelos compiladores dos problemas. Mas quando equações e desigualdades logarítmicas entram em jogo, os requisitos do DHS se tornam obrigatórios. De fato, na base e no argumento pode haver construções muito fortes, que não correspondem necessariamente às restrições acima.

Agora considere esquema geral cálculos logarítmicos. Consiste em três etapas:

1. Expresse a base a e o argumento x como uma potência com a menor base possível maior que um. Ao longo do caminho, é melhor se livrar das frações decimais;
2. Resolva a equação para a variável b: x = a b ;
3. O número b resultante será a resposta.

Isso é tudo! Se o logaritmo for irracional, isso será visto já na primeira etapa. A exigência de que a base seja maior que um é muito relevante: isso reduz a probabilidade de erro e simplifica muito os cálculos. Da mesma forma com frações decimais: se você as converter imediatamente em frações comuns, haverá muito menos erros.

Vamos ver como esse esquema funciona com exemplos específicos:

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 5 25

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de cinco: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Vamos fazer e resolver a equação:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Recebeu uma resposta: 2.

Tarefa. Calcule o logaritmo:

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 4 64

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Vamos fazer e resolver a equação:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Recebeu uma resposta: 3.

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 16 1

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de dois: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Vamos fazer e resolver a equação:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Recebeu uma resposta: 0.

Tarefa. Calcule o logaritmo: log 7 14

1. Vamos representar a base e o argumento como uma potência de sete: 7 = 7 1 ; 14 não é representado como uma potência de sete, porque 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Resulta do parágrafo anterior que o logaritmo não é considerado;
3. A resposta é nenhuma mudança: log 7 14.

Uma pequena nota para último exemplo. Como ter certeza de que um número não é uma potência exata de outro número? Muito simples - basta decompô-lo em fatores primos. Se houver pelo menos dois fatores distintos na expansão, o número não é uma potência exata.

Tarefa. Descubra se as potências exatas do número são: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - o grau exato, porque existe apenas um multiplicador;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 não é uma potência exata porque existem dois fatores: 3 e 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - grau exato;
35 = 7 5 - novamente não é um grau exato;
14 \u003d 7 2 - novamente não é um grau exato;

Observe também que os próprios números primos são sempre potências exatas de si mesmos.

Logaritmo decimal

Alguns logaritmos são tão comuns que têm um nome e uma designação especiais.

O logaritmo decimal do argumento x é o logaritmo de base 10, ou seja, a potência à qual você precisa elevar o número 10 para obter o número x. Designação: lg x .

Por exemplo, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - etc.

A partir de agora, quando aparecer uma frase como “Find lg 0.01” no livro didático, saiba que não se trata de um erro de digitação. Este é o logaritmo decimal. No entanto, se você não estiver acostumado com essa designação, sempre poderá reescrevê-la:
log x = log 10 x

Tudo o que é verdade para logaritmos comuns também é verdade para decimais.

Logaritmo natural

Existe outro logaritmo que tem sua própria notação. Em certo sentido, é ainda mais importante do que decimal. É sobre sobre o logaritmo natural.

O logaritmo natural de x é o logaritmo de base e, ou seja, a potência à qual o número e deve ser elevado para obter o número x. Designação: ln x .

Muitos perguntarão: o que mais é o número e? Este é um número irracional valor exato impossível de encontrar e gravar. Aqui estão apenas os primeiros números:
e = 2,718281828459...

Não vamos nos aprofundar em qual é esse número e por que ele é necessário. Apenas lembre-se de que e é a base do logaritmo natural:
ln x = log e x

Assim ln e = 1 ; log e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - etc. Por outro lado, ln 2 é um número irracional. Em geral, o logaritmo natural de qualquer número racional é irracional. Exceto, é claro, a unidade: ln 1 = 0.

Para logaritmos naturais todas as regras que são verdadeiras para logaritmos comuns são válidas.

Os logaritmos, como qualquer número, podem ser adicionados, subtraídos e convertidos de todas as maneiras possíveis. Mas como os logaritmos não são números comuns, existem regras aqui, chamadas propriedades básicas.

Você deve conhecer essas regras - nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido sem elas. Além disso, são muito poucos - tudo pode ser aprendido em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com a mesma base: log a x e logar a y. Então eles podem ser adicionados e subtraídos, e:

1. registro a x+log a y= registro a (x · y);
2. registro a x−log a y= registro a (x : y).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é o logaritmo do quociente. Observe: o ponto chave aqui é - mesmos motivos. Se as bases forem diferentes, essas regras não funcionam!

Essas fórmulas o ajudarão a calcular a expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são consideradas (consulte a lição "O que é um logaritmo"). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

log 6 4 + log 6 9.

Como as bases dos logaritmos são iguais, usamos a fórmula da soma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 2 48 − log 2 3.

As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 3 135 − log 3 5.

Novamente, as bases são as mesmas, então temos:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas por logaritmos "ruins", que não são considerados separadamente. Mas depois que as transformações resultam números bastante normais. Com base nesse fato, muitos papéis de teste. Sim, controle - expressões semelhantes com toda a seriedade (às vezes - praticamente sem alterações) são oferecidas no exame.

Removendo o expoente do logaritmo

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se houver um grau na base ou argumento do logaritmo? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É fácil ver que última regra segue os dois primeiros. Mas é melhor lembrar de qualquer maneira - em alguns casos, reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o logaritmo ODZ for observado: a > 0, a ≠ 1, x> 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não apenas da esquerda para a direita, mas também vice-versa, ou seja, você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isso é o que é mais frequentemente necessário.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 7 49 6 .

Vamos nos livrar do grau no argumento de acordo com a primeira fórmula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

[Legenda da figura]

Observe que o denominador é um logaritmo cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Nós temos:

[Legenda da figura]

Acho que o último exemplo precisa de esclarecimento. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento, trabalhamos apenas com o denominador. Eles apresentaram a base e o argumento do logaritmo parado ali na forma de graus e retiraram os indicadores - obtiveram uma fração de “três andares”.

Agora vamos ver a fração principal. O numerador e o denominador têm o mesmo número: log 2 7. Como log 2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. Pelas regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, o que foi feito. O resultado é a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras de adição e subtração de logaritmos, enfatizei especificamente que eles só funcionam com as mesmas bases. E se as bases forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

As fórmulas de transição para uma nova base vêm em socorro. Nós os formulamos na forma de um teorema:

Que seja dado registro de logaritmo a x. Então para qualquer número c de tal modo que c> 0 e c≠ 1, a igualdade é verdadeira:

[Legenda da figura]

Em particular, se colocarmos c = x, Nós temos:

[Legenda da figura]

Segue-se da segunda fórmula que é possível trocar a base e o argumento do logaritmo, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo está no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar a conveniência deles apenas na resolução de equações e inequações logarítmicas.

No entanto, existem tarefas que não podem ser resolvidas, exceto pela mudança para uma nova fundação. Vamos considerar alguns deles:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 5 16 log 2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos são expoentes exatos. Vamos retirar os indicadores: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Agora vamos inverter o segundo logaritmo:

[Legenda da figura]

Como o produto não muda com a permutação de fatores, multiplicamos calmamente quatro e dois e depois calculamos os logaritmos.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log 9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar e nos livrar dos indicadores:

[Legenda da figura]

Agora vamos nos livrar logaritmo decimal, movendo-se para uma nova base:

[Legenda da figura]

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes, no processo de resolução, é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Nesse caso, as fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente do argumento. Número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas o valor do logaritmo.

A segunda fórmula é, na verdade, uma definição parafraseada. É chamada de identidade logarítmica básica.

De fato, o que acontecerá se o número b eleve a potência para que b nesta medida dá um número a? Isso mesmo: este é o mesmo número a. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas "penduram" nele.

Como as novas fórmulas de conversão de base, a identidade logarítmica básica às vezes é a única solução possível.

Tarefa. Encontre o valor da expressão:

[Legenda da figura]

Observe que log 25 64 = log 5 8 - apenas retirou o quadrado da base e o argumento do logaritmo. Dadas as regras para multiplicar potências com a mesma base, obtemos:

[Legenda da figura]

Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do exame :)

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Concluindo, darei duas identidades que são difíceis de chamar de propriedades - ao contrário, são consequências da definição do logaritmo. Eles são constantemente encontrados em problemas e, surpreendentemente, criam problemas até mesmo para alunos "avançados".

1. registro a a= 1 é a unidade logarítmica. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo para qualquer base a desta base em si é igual a um.
2. registro a 1 = 0 é zero logarítmico. Base a pode ser qualquer coisa, mas se o argumento for um, o logaritmo é zero! Porque a 0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Não deixe de praticar colocando-os em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.

Com o desenvolvimento da sociedade, a complexidade da produção, a matemática também se desenvolveu. Movimento do simples ao complexo. Do método usual de contabilidade de adição e subtração, com sua repetição repetida, eles chegaram ao conceito de multiplicação e divisão. A redução da operação repetida multiplicada tornou-se o conceito de exponenciação. As primeiras tabelas da dependência dos números na base e o número da exponenciação foram compiladas no século VIII pelo matemático indiano Varasena. A partir deles, você pode contar o tempo de ocorrência dos logaritmos.

Contorno histórico

O renascimento da Europa no século XVI também estimulou o desenvolvimento da mecânica. T exigiu uma grande quantidade de computação relacionados à multiplicação e divisão de números de vários dígitos. As mesas antigas prestaram um grande serviço. Eles possibilitaram a substituição de operações complexas por outras mais simples - adição e subtração. Um grande avanço foi o trabalho do matemático Michael Stiefel, publicado em 1544, no qual ele realizou a ideia de muitos matemáticos. Isso possibilitou o uso de tabelas não apenas para graus na forma números primos, mas também para os racionais arbitrários.

Em 1614, o escocês John Napier, desenvolvendo essas ideias, introduziu pela primeira vez o novo termo "logaritmo de um número". Novas tabelas complexas foram compiladas para calcular os logaritmos de senos e cossenos, bem como tangentes. Isso reduziu muito o trabalho dos astrônomos.

Novas tabelas começaram a aparecer, que foram usadas com sucesso pelos cientistas para três séculos. Demorou muito antes nova operação na álgebra adquiriu sua forma acabada. O logaritmo foi definido e suas propriedades foram estudadas.

Somente no século 20, com o advento da calculadora e do computador, a humanidade abandonou as antigas tabelas que funcionaram com sucesso ao longo do século 13.

Hoje chamamos o logaritmo de b para base a o número x, que é a potência de a, para obter o número b. Isso é escrito como uma fórmula: x = log a(b).

Por exemplo, log 3(9) será igual a 2. Isso é óbvio se você seguir a definição. Se elevarmos 3 à potência de 2, obtemos 9.

Assim, a definição formulada coloca apenas uma restrição, os números aeb devem ser reais.

Variedades de logaritmos

A definição clássica é chamada de logaritmo real e é, na verdade, uma solução para a equação a x = b. A opção a = 1 é limítrofe e não tem interesse. Nota: 1 elevado a qualquer potência é 1.

Valor real do logaritmo definido somente se a base e o argumento for maior que 0, e a base não deve ser igual a 1.

Lugar especial no campo da matemática jogar logaritmos, que serão nomeados dependendo do valor de sua base:

Regras e restrições

A propriedade fundamental dos logaritmos é a regra: o logaritmo de um produto é igual à soma logarítmica. log abp = log a(b) + log a(p).

Como uma variante desta declaração, será: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), a função quociente é igual à diferença das funções.

É fácil ver pelas duas regras anteriores que: log a(b p) = p * log a(b).

Outras propriedades incluem:

Comente. Não cometa um erro comum - o logaritmo da soma não é igual à soma dos logaritmos.

Por muitos séculos, a operação de encontrar o logaritmo foi uma tarefa bastante demorada. Os matemáticos usaram a conhecida fórmula da teoria logarítmica da expansão em um polinômio:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), onde n é um número natural maior que 1, que determina a precisão do cálculo.

Logaritmos com outras bases foram calculados usando o teorema da transição de uma base para outra e a propriedade do logaritmo do produto.

Como esse método é muito trabalhoso e ao resolver problemas práticos difíceis de implementar, eles usaram tabelas pré-compiladas de logaritmos, o que acelerou muito todo o trabalho.

Em alguns casos, foram utilizados gráficos de logaritmos especialmente compilados, que deram menos precisão, mas aceleraram significativamente a busca pelo valor desejado. A curva da função y = log a(x), construída sobre vários pontos, permite usar a régua usual para encontrar os valores da função em qualquer outro ponto. engenheiros muito tempo para esses fins, foi utilizado o chamado papel quadriculado.

No século XVII, surgiram as primeiras condições de computação analógica auxiliar, que para século XIX adquiriu uma aparência finalizada. O dispositivo de maior sucesso foi chamado de régua de cálculo. Apesar da simplicidade do dispositivo, sua aparência acelerou significativamente o processo de todos os cálculos de engenharia, e isso é difícil de superestimar. Atualmente, poucas pessoas estão familiarizadas com este dispositivo.

O advento das calculadoras e computadores tornou inútil o uso de qualquer outro dispositivo.

Equações e desigualdades

As seguintes fórmulas são usadas para resolver várias equações e inequações usando logaritmos:

• Transição de uma base para outra: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Como consequência da versão anterior: log a(b) = 1 / log b(a).

Para resolver inequações, é útil saber:

• O valor do logaritmo só será positivo se tanto a base quanto o argumento forem ambos maiores ou menores que um; se pelo menos uma condição for violada, o valor do logaritmo será negativo.
• Se a função logarítmica for aplicada aos lados direito e esquerdo da desigualdade e a base do logaritmo for maior que um, o sinal da desigualdade será preservado; caso contrário, ele muda.

Exemplos de tarefas

Considere várias opções para usar logaritmos e suas propriedades. Exemplos com resolução de equações:

Considere a opção de colocar o logaritmo no grau:

• Tarefa 3. Calcule 25^log 5(3). Solução: nas condições do problema, a notação é semelhante à seguinte (5^2)^log5(3) ou 5^(2 * log 5(3)). Vamos escrever de forma diferente: 5^log 5(3*2), ou o quadrado de um número como um argumento de função pode ser escrito como o quadrado da própria função (5^log 5(3))^2. Usando as propriedades dos logaritmos, essa expressão é 3^2. Resposta: como resultado do cálculo, obtemos 9.

Uso pratico

Sendo uma ferramenta puramente matemática, parece longe de ser Vida real que o logaritmo de repente adquiriu grande importância para descrever objetos mundo real. É difícil encontrar uma ciência onde ela não seja utilizada. Isso se aplica plenamente não apenas ao natural, mas também aos campos de conhecimento das humanidades.

dependências logarítmicas

Aqui estão alguns exemplos de dependências numéricas:

Mecânica e física

Historicamente, a mecânica e a física sempre se desenvolveram usando métodos matemáticos pesquisa e ao mesmo tempo serviu de incentivo para o desenvolvimento da matemática, inclusive dos logaritmos. A teoria da maioria das leis da física é escrita na linguagem da matemática. Damos apenas dois exemplos da descrição das leis físicas usando o logaritmo.

É possível resolver o problema de calcular uma quantidade tão complexa quanto a velocidade de um foguete usando a fórmula de Tsiolkovsky, que lançou as bases para a teoria da exploração espacial:

V = I * ln(M1/M2), onde

• V é a velocidade final da aeronave.
• I é o impulso específico do motor.
• M 1 é a massa inicial do foguete.
• M 2 - massa final.

Outro exemplo importante- este é o uso na fórmula de outro grande cientista, Max Planck, que serve para avaliar o estado de equilíbrio na termodinâmica.

S = k * ln (Ω), onde

• S é uma propriedade termodinâmica.
• k é a constante de Boltzmann.
• Ω é o peso estatístico de diferentes estados.

Química

Menos óbvio seria o uso de fórmulas em química contendo a razão de logaritmos. Aqui estão apenas dois exemplos:

• A equação de Nernst, a condição do potencial redox do meio em relação à atividade das substâncias e a constante de equilíbrio.
• O cálculo de tais constantes como o índice de autoprólise e a acidez da solução também não está completo sem nossa função.

psicologia e biologia

E é completamente incompreensível o que a psicologia tem a ver com isso. Acontece que a força da sensação é bem descrita por essa função como a razão inversa do valor da intensidade do estímulo para o valor da intensidade mais baixa.

Após os exemplos acima, não é mais surpreendente que o tema dos logaritmos também seja amplamente utilizado na biologia. Volumes inteiros podem ser escritos sobre formas biológicas correspondentes a espirais logarítmicas.

Outras áreas

Parece que a existência do mundo é impossível sem conexão com esta função, e ela rege todas as leis. Especialmente quando as leis da natureza estão conectadas com progressão geométrica. Vale a pena consultar o site MatProfi, e existem muitos exemplos nas seguintes áreas de atividade:

A lista pode ser interminável. Tendo dominado as leis básicas desta função, você pode mergulhar no mundo da sabedoria infinita.

O que é um logaritmo?

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito ..."
E para quem "muito...")

O que é um logaritmo? Como resolver logaritmos? Essas perguntas confundem muitos graduados. Tradicionalmente, o tema dos logaritmos é considerado complexo, incompreensível e assustador. Especialmente - equações com logaritmos.

Isso não é absolutamente verdade. Absolutamente! Não acredita? Multar. Agora, por cerca de 10 a 20 minutos você:

1. Entenda o que é um logaritmo.

2. Aprenda a resolver uma aula inteira equações exponenciais. Mesmo que você nunca tenha ouvido falar deles.

3. Aprenda a calcular logaritmos simples.

Além disso, para isso você só precisa saber a tabuada e como um número é elevado a uma potência ...

Eu sinto que você duvida ... Bem, mantenha o tempo! Ir!

Primeiro, resolva mentalmente a seguinte equação:

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Teste com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

Como você sabe, ao multiplicar expressões com potências, seus expoentes sempre somam (a b * a c = a b + c). Essa lei matemática foi derivada por Arquimedes e, mais tarde, no século VIII, o matemático Virasen criou uma tabela de indicadores inteiros. Foram eles que serviram para a descoberta posterior dos logaritmos. Exemplos de uso desta função podem ser encontrados em quase todos os lugares onde é necessário simplificar a multiplicação incômoda para uma adição simples. Se você gastar 10 minutos lendo este artigo, explicaremos o que são logaritmos e como trabalhar com eles. Linguagem simples e acessível.

Definição em matemática

O logaritmo é uma expressão da seguinte forma: log a b=c, ou seja, o logaritmo de qualquer número não negativo(ou seja, qualquer positivo) "b" à sua base "a" é considerado a potência de "c" à qual a base "a" deve ser elevada para finalmente obter o valor "b". Vamos analisar o logaritmo usando exemplos, digamos que existe uma expressão log 2 8. Como encontrar a resposta? É muito simples, você precisa encontrar um grau tal que de 2 ao grau necessário você obtenha 8. Tendo feito alguns cálculos em sua mente, obtemos o número 3! E com razão, porque 2 elevado a 3 dá o número 8 na resposta.

Variedades de logaritmos

Para muitos alunos e alunos, esse assunto parece complicado e incompreensível, mas na verdade os logaritmos não são tão assustadores, o principal é entender seu significado geral e lembrar de suas propriedades e algumas regras. Há três certos tipos expressões logarítmicas:

1. Logaritmo natural ln a, onde a base é o número de Euler (e = 2,7).
2. Decimal a, onde a base é 10.
3. O logaritmo de qualquer número b elevado à base a>1.

Cada um deles é resolvido de maneira padrão, incluindo simplificação, redução e subsequente redução a um logaritmo usando teoremas logarítmicos. Para obter os valores corretos dos logaritmos, deve-se lembrar de suas propriedades e da ordem das ações em suas decisões.

Regras e algumas restrições

Na matemática, existem várias regras-limitações que são aceitas como axioma, ou seja, não são passíveis de discussão e são verdadeiras. Por exemplo, é impossível dividir números por zero e também é impossível extrair a raiz de um grau par de números negativos. Os logaritmos também têm suas próprias regras, seguindo as quais você pode aprender facilmente como trabalhar mesmo com expressões logarítmicas longas e amplas:

• a base "a" deve ser sempre maior que zero, e ao mesmo tempo não ser igual a 1, caso contrário a expressão perderá o sentido, pois "1" e "0" em qualquer grau são sempre iguais aos seus valores;
• se a > 0, então a b > 0, verifica-se que "c" deve ser maior que zero.

Como resolver logaritmos?

Por exemplo, a tarefa foi dada para encontrar a resposta para a equação 10 x \u003d 100. É muito fácil, você precisa escolher tal potência, elevando o número dez para o qual obtemos 100. Isso, claro, é 10 2 \u003d 100.

Agora vamos representar essa expressão como logarítmica. Obtemos log 10 100 = 2. Ao resolver logaritmos, todas as ações praticamente convergem para encontrar o grau em que a base do logaritmo deve ser inserida para obter um determinado número.

Para determinar com precisão o valor de um grau desconhecido, você deve aprender a trabalhar com uma tabela de graus. Se parece com isso:

Como você pode ver, alguns expoentes podem ser adivinhados intuitivamente se você tiver uma mentalidade técnica e conhecimento da tabuada. No entanto, para grandes valores você precisa de uma tabela de graus. Pode ser usado mesmo por quem não entende nada em tópicos matemáticos complexos. A coluna da esquerda contém números (base a), a linha superior de números é o valor da potência c, à qual o número a é elevado. Na interseção nas células, são determinados os valores dos números, que são a resposta (a c = b). Vamos pegar, por exemplo, a primeira célula com o número 10 e elevá-la ao quadrado, obtemos o valor 100, que é indicado na interseção de nossas duas células. Tudo é tão simples e fácil que até o mais verdadeiro humanista entenderá!

Equações e desigualdades

Acontece que, sob certas condições, o expoente é o logaritmo. Portanto, qualquer expressão numérica matemática pode ser escrita como uma equação logarítmica. Por exemplo, 3 4 =81 pode ser escrito como o logaritmo de 81 na base 3, que é quatro (log 3 81 = 4). Para potências negativas, as regras são as mesmas: 2 -5 = 1/32 escrevemos como logaritmo, obtemos log 2 (1/32) = -5. Uma das seções mais fascinantes da matemática é o tópico "logaritmos". Vamos considerar exemplos e soluções de equações um pouco mais abaixo, logo após estudar suas propriedades. Agora vamos ver como são as desigualdades e como distingui-las das equações.

Uma expressão da seguinte forma é dada: log 2 (x-1) > 3 - é desigualdade logarítmica, pois o valor desconhecido "x" está sob o sinal do logaritmo. E também na expressão duas quantidades são comparadas: o logaritmo do número desejado na base dois é maior que o número três.

A diferença mais importante entre equações logarítmicas e desigualdades é que equações com logaritmos (por exemplo, o logaritmo de 2 x = √9) implicam um ou mais valores numéricos específicos na resposta, enquanto ao resolver a desigualdade, tanto o intervalo de valores aceitáveis ​​e os pontos quebrando essa função. Como consequência, a resposta não é um simples conjunto de números individuais, como na resposta da equação, mas uma série contínua ou conjunto de números.

Teoremas básicos sobre logaritmos

Ao resolver tarefas primitivas para encontrar os valores do logaritmo, suas propriedades podem não ser conhecidas. No entanto, quando se trata de equações ou inequações logarítmicas, antes de tudo, é necessário entender claramente e aplicar na prática todas as propriedades básicas dos logaritmos. Vamos nos familiarizar com exemplos de equações mais tarde, vamos primeiro analisar cada propriedade com mais detalhes.

1. A identidade básica se parece com isto: a logaB =B. Aplica-se apenas se a for maior que 0, diferente de um, e B for maior que zero.
2. O logaritmo do produto pode ser representado na seguinte fórmula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Nesse caso, o pré-requisito é: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Você pode dar uma prova para esta fórmula de logaritmos, com exemplos e uma solução. Seja log a s 1 = f 1 e log a s 2 = f 2 , então a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obtemos que s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (propriedades de grau ), e ainda por definição: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, que deveria ser provado.
3. O logaritmo do quociente é assim: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. O teorema na forma de uma fórmula assume a seguinte forma: log a q b n = n/q log a b.

Esta fórmula é chamada de "propriedade do grau do logaritmo". Assemelha-se às propriedades dos graus comuns, e não é surpreendente, porque toda a matemática se baseia em postulados regulares. Vejamos a prova.

Deixe log a b \u003d t, acontece um t \u003d b. Se você elevar ambas as partes à potência m: a tn = b n ;

mas como a tn = (a q) nt/q = b n , portanto log a q b n = (n*t)/t, então log a q b n = n/q log a b. O teorema foi provado.

Exemplos de problemas e desigualdades

Os tipos mais comuns de problemas de logaritmo são exemplos de equações e inequações. Eles são encontrados em quase todos os livros de problemas e também estão incluídos na parte obrigatória dos exames de matemática. Para entrar em uma universidade ou passar no vestibular de matemática, você precisa saber como resolver essas tarefas corretamente.

Infelizmente, não existe um plano ou esquema único para resolver e determinar o valor desconhecido do logaritmo; no entanto, certas regras podem ser aplicadas a cada desigualdade matemática ou equação logarítmica. Antes de tudo, você deve descobrir se a expressão pode ser simplificada ou reduzida a visão geral. Você pode simplificar expressões logarítmicas longas se usar suas propriedades corretamente. Vamos conhecê-los em breve.

Ao resolver equações logarítmicas, é necessário determinar que tipo de logaritmo temos diante de nós: um exemplo de expressão pode conter um logaritmo natural ou decimal.

Aqui estão os exemplos ln100, ln1026. A solução deles se resume ao fato de que você precisa determinar o grau em que a base 10 será igual a 100 e 1026, respectivamente. Para soluções de logaritmos naturais, é preciso aplicar identidades logarítmicas ou suas propriedades. Vejamos exemplos de resolução de problemas logarítmicos de vários tipos.

Como usar fórmulas logarítmicas: com exemplos e soluções

Então, vamos ver exemplos de uso dos principais teoremas em logaritmos.

1. A propriedade do logaritmo do produto pode ser utilizada em tarefas onde é necessário decompor um grande valor do número b em fatores mais simples. Por exemplo, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. A resposta é 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - como você pode ver, usando a quarta propriedade do grau do logaritmo, conseguimos resolver à primeira vista uma expressão complexa e insolúvel. É necessário apenas fatorar a base e depois tirar os valores dos expoentes do sinal do logaritmo.

Tarefas do exame

Os logaritmos são freqüentemente encontrados em exames de admissão, especialmente muitos problemas logarítmicos no Exame Estadual Unificado (exame estadual para todos os graduados da escola). Geralmente essas tarefas estão presentes não apenas na parte A (a mais fácil parte de teste exame), mas também na parte C (as tarefas mais difíceis e volumosas). O exame implica um conhecimento preciso e perfeito do tópico "Logaritmos naturais".

Exemplos e soluções de problemas são retirados de USE opções. Vamos ver como essas tarefas são resolvidas.

Dado log 2 (2x-1) = 4. Solução:
vamos reescrever a expressão, simplificando um pouco log 2 (2x-1) = 2 2 , pela definição do logaritmo obtemos que 2x-1 = 2 4 , portanto 2x = 17; x = 8,5.

• Todos os logaritmos são melhor reduzidos à mesma base para que a solução não seja incômoda e confusa.
• Todas as expressões sob o sinal do logaritmo são indicadas como positivas, portanto, ao retirar o expoente do expoente da expressão, que está sob o sinal do logaritmo e como sua base, a expressão restante sob o logaritmo deve ser positiva.