Hem › Recensioner › Logaritmer är en enkel förklaring. Logga formler

Logaritmer är en enkel förklaring. Logga formler

Vad är en logaritm?

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som starkt "inte särskilt..."
Och för dem som "väldigt mycket...")

Vad är en logaritm? Hur löser man logaritmer? Dessa frågor förvirrar många akademiker. Traditionellt anses ämnet logaritmer vara komplext, obegripligt och skrämmande. Speciellt - ekvationer med logaritmer.

Detta är absolut inte sant. Absolut! Tror du inte? Bra. Nu, i cirka 10 - 20 minuter:

1. Förstå vad är en logaritm.

2. Lär dig att lösa en hel klass exponentiella ekvationer. Även om du inte har hört talas om dem.

3. Lär dig att beräkna enkla logaritmer.

Dessutom, för detta behöver du bara känna till multiplikationstabellen och hur ett tal höjs till en potens ...

Jag känner att du tvivlar... Tja, håll tid! Gå!

Lös först följande ekvation i ditt sinne:

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Lär dig - med intresse!)

du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

Instruktion

Skriv ner det givna logaritmiska uttrycket. Om uttrycket använder logaritmen 10, förkortas dess notation och ser ut så här: lg b är decimallogaritmen. Om logaritmen har talet e som bas, så skrivs uttrycket: ln b är den naturliga logaritmen. Det är underförstått att resultatet av någon är den potens till vilken bastalet måste höjas för att få talet b.

När du hittar summan av två funktioner behöver du bara skilja dem åt en efter en och lägga till resultaten: (u+v)" = u"+v";

När man hittar derivatan av produkten av två funktioner är det nödvändigt att multiplicera derivatan av den första funktionen med den andra och addera derivatan av den andra funktionen, multiplicerad med den första funktionen: (u*v)" = u"* v+v"*u;

För att hitta derivatan av kvoten av två funktioner är det nödvändigt, från produkten av derivatan av utdelningen multiplicerat med divisorfunktionen, att subtrahera produkten av derivatan av divisorn multiplicerad med divisorfunktionen och dividera allt detta med divisorfunktionen i kvadrat. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Om en komplex funktion ges, är det nödvändigt att multiplicera derivatan av den inre funktionen och derivatan av den yttre. Låt y=u(v(x)), sedan y"(x)=y"(u)*v"(x).

Med hjälp av ovanstående kan du skilja nästan vilken funktion som helst. Så låt oss titta på några exempel:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Det finns också uppgifter för att beräkna derivatan vid en punkt. Låt funktionen y=e^(x^2+6x+5) ges, du måste hitta värdet på funktionen i punkten x=1.
1) Hitta derivatan av funktionen: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Beräkna värdet på funktionen vid den givna punkten y"(1)=8*e^0=8

Relaterade videoklipp

Användbara råd

Lär dig tabellen över elementära derivator. Detta kommer att spara mycket tid.

Källor:

konstant derivata

Så vad är skillnaden mellan en irrationell ekvation och en rationell? Om den okända variabeln är under kvadratrottecknet, anses ekvationen vara irrationell.

Instruktion

Den huvudsakliga metoden för att lösa sådana ekvationer är metoden att höja båda sidor ekvationer till en kvadrat. Dock. detta är naturligt, det första steget är att bli av med skylten. Tekniskt sett är denna metod inte svår, men ibland kan den leda till problem. Till exempel, ekvationen v(2x-5)=v(4x-7). Genom att kvadrera båda sidor får du 2x-5=4x-7. En sådan ekvation är inte svår att lösa; x=1. Men siffran 1 kommer inte att ges ekvationer. Varför? Ersätt enheten i ekvationen istället för värdet x. Och höger och vänster sida kommer att innehålla uttryck som inte är vettiga, det vill säga. Ett sådant värde är inte giltigt för en kvadratrot. Därför är 1 en främmande rot, och därför har denna ekvation inga rötter.

Så den irrationella ekvationen löses med metoden att kvadrera båda dess delar. Och efter att ha löst ekvationen är det nödvändigt att skära av främmande rötter. För att göra detta, ersätt de hittade rötterna i den ursprungliga ekvationen.

Överväg en annan.
2x+vx-3=0
Naturligtvis kan denna ekvation lösas med samma ekvation som den föregående. Överföringsföreningar ekvationer, som inte har en kvadratrot, till höger sida och använd sedan kvadratmetoden. lösa den resulterande rationella ekvationen och rötter. Men en annan, mer elegant. Ange en ny variabel; vx=y. Följaktligen kommer du att få en ekvation som 2y2+y-3=0. Det vill säga det vanliga andragradsekvation. Hitta dess rötter; y1=1 och y2=-3/2. Lös sedan två ekvationer vx=1; vx \u003d -3/2. Den andra ekvationen har inga rötter, från den första finner vi att x=1. Glöm inte behovet av att kontrollera rötterna.

Att lösa identiteter är ganska enkelt. Detta kräver att man gör identiska transformationer tills målet uppnås. Med hjälp av de enklaste aritmetiska operationerna kommer alltså uppgiften att lösas.

Du kommer behöva

- papper;
- penna.

Instruktion

De enklaste sådana transformationerna är algebraiska förkortade multiplikationer (som summans kvadrat (skillnad), skillnaden av kvadrater, summan (skillnaden), kuben av summan (skillnaden)). Dessutom finns det många trigonometriska formler som i huvudsak är samma identiteter.

Faktum är att kvadraten på summan av två termer är lika med kvadraten på det första plus två gånger produkten av det första och det andra plus kvadraten på det andra, det vill säga (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Förenkla båda

Allmänna principer för lösning

Upprepa från en lärobok om matematisk analys eller högre matematik, vilket är en bestämd integral. Som ni vet, lösningen bestämd integral det finns en funktion vars derivata ger en integrand. Denna funktion kallas primitiv. Enligt denna princip konstrueras de grundläggande integralerna.
Bestäm genom integrandens form vilken av tabellintegralerna som passar in det här fallet. Det är inte alltid möjligt att fastställa detta omedelbart. Ofta blir tabellformen märkbar först efter flera transformationer för att förenkla integranden.

Variabel substitutionsmetod

Om integranden är trigonometrisk funktion, vars argument är något polynom, försök sedan använda variabelsubstitutionsmetoden. För att göra detta, ersätt polynomet i integrandens argument med någon ny variabel. Baserat på förhållandet mellan den nya och gamla variabeln, bestäm de nya gränserna för integration. Genom att differentiera detta uttryck, hitta en ny differential i . Således kommer du att få en ny form av den gamla integralen, nära eller till och med motsvarande vilken som helst i tabellform.

Lösning av integraler av det andra slaget

Om integralen är en integral av det andra slaget, vektorformen för integranden, måste du använda reglerna för att gå från dessa integraler till skalära. En sådan regel är förhållandet Ostrogradsky-Gauss. Denna lag gör det möjligt att övergå från rotorflödet för någon vektorfunktion till en trippelintegral över divergensen för ett givet vektorfält.

Substitution av integrationsgränser

Efter att ha hittat antiderivatet är det nödvändigt att ersätta integrationens gränser. Byt först ut värdet på den övre gränsen med uttrycket för antiderivatan. Du kommer att få ett nummer. Subtrahera sedan ett annat tal från det resulterande talet, den resulterande nedre gränsen till antiderivatan. Om en av integrationsgränserna är oändlighet, då när man ersätter den med antiderivatfunktionen, är det nödvändigt att gå till gränsen och hitta vad uttrycket tenderar till.
Om integralen är tvådimensionell eller tredimensionell, måste du representera de geometriska gränserna för integration för att förstå hur man beräknar integralen. Faktum är att i fallet med, säg, en tredimensionell integral, kan integrationens gränser vara hela plan som begränsar volymen som ska integreras.

Som du vet, när du multiplicerar uttryck med potenser, summeras deras exponenter alltid (a b * a c = a b + c). Denna matematiska lag härleddes av Arkimedes, och senare, på 800-talet, skapade matematikern Virasen en tabell med heltalsindikatorer. Det var de som tjänade för vidare upptäckt av logaritmer. Exempel på användning av denna funktion finns nästan överallt där det krävs för att förenkla besvärlig multiplikation till enkel addition. Om du lägger 10 minuter på att läsa den här artikeln kommer vi att förklara för dig vad logaritmer är och hur du arbetar med dem. Enkelt och lättillgängligt språk.

Definition i matematik

Logaritmen är ett uttryck av följande form: log a b=c, det vill säga logaritmen för alla icke-negativa tal (det vill säga alla positiva) "b" enligt dess bas "a" anses vara potensen av "c ", till vilken det är nödvändigt att höja basen "a", så att i slutändan få värdet "b". Låt oss analysera logaritmen med hjälp av exempel, låt oss säga att det finns ett uttryck log 2 8. Hur hittar man svaret? Det är väldigt enkelt, du måste hitta en sådan grad att du får 8 från 2 till önskad grad. Efter att ha gjort några beräkningar i ditt sinne får vi siffran 3! Och med rätta, eftersom 2 i 3 potens ger talet 8 i svaret.

Variationer av logaritmer

För många elever och studenter verkar detta ämne komplicerat och obegripligt, men i själva verket är logaritmer inte så skrämmande, det viktigaste är att förstå deras allmänna betydelse och komma ihåg deras egenskaper och vissa regler. Det finns tre vissa typer logaritmiska uttryck:

Naturlig logaritm ln a, där basen är Eulertalet (e = 2,7).
Decimal a, där basen är 10.
Logaritmen för valfritt tal b till basen a>1.

Var och en av dem löses på ett standardsätt, inklusive förenkling, reduktion och efterföljande reduktion till en logaritm med hjälp av logaritmiska satser. För att erhålla de korrekta värdena på logaritmer bör man komma ihåg deras egenskaper och ordningen för åtgärder i sina beslut.

Regler och vissa restriktioner

I matematik finns det flera regler-begränsningar som accepteras som ett axiom, det vill säga de är inte föremål för diskussion och är sanna. Det är till exempel omöjligt att dividera tal med noll, och det är också omöjligt att extrahera roten till en jämn grad från negativa tal. Logaritmer har också sina egna regler, efter vilka du enkelt kan lära dig hur du arbetar även med långa och rymliga logaritmiska uttryck:

basen "a" måste alltid vara större än noll och samtidigt inte vara lika med 1, annars kommer uttrycket att förlora sin betydelse, eftersom "1" och "0" i någon grad alltid är lika med deras värden;
om a > 0, då a b > 0, visar det sig att "c" måste vara större än noll.

Hur löser man logaritmer?

Till exempel, uppgiften gavs för att hitta svaret på ekvationen 10 x \u003d 100. Det är väldigt enkelt, du måste välja en sådan makt, höja talet tio till vilket vi får 100. Detta är naturligtvis 10 2 \u003d 100.

Låt oss nu representera detta uttryck som ett logaritmiskt uttryck. Vi får log 10 100 = 2. När man löser logaritmer konvergerar praktiskt taget alla åtgärder för att hitta i vilken grad basen för logaritmen måste anges för att få ett givet tal.

För att exakt bestämma värdet av en okänd grad måste du lära dig hur man arbetar med en tabell över grader. Det ser ut så här:

Som du kan se kan vissa exponenter gissas intuitivt om du har ett tekniskt tänkesätt och kunskap om multiplikationstabellen. Men för stora värden du behöver en tabell över grader. Det kan användas även av de som inte förstår någonting alls i komplexa matematiska ämnen. Den vänstra kolumnen innehåller siffror (bas a), den översta raden av siffror är värdet av potensen c, till vilken talet a höjs. Vid skärningspunkten i cellerna bestäms värdena på talen, vilket är svaret (a c =b). Låt oss ta till exempel den allra första cellen med talet 10 och kvadrera den, vi får värdet 100, som indikeras i skärningspunkten mellan våra två celler. Allt är så enkelt och lätt att även den mest verkliga humanist kommer att förstå!

Ekvationer och ojämlikheter

Det visar sig att under vissa förhållanden är exponenten logaritmen. Därför kan alla matematiska numeriska uttryck skrivas som en logaritmisk ekvation. Till exempel kan 3 4 =81 skrivas som logaritmen av 81 till bas 3, vilket är fyra (log 3 81 = 4). För negativa potenser är reglerna desamma: 2 -5 = 1/32 skriver vi som en logaritm, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerande delarna av matematiken är ämnet "logaritmer". Vi kommer att överväga exempel och lösningar på ekvationer lite lägre, omedelbart efter att ha studerat deras egenskaper. Låt oss nu titta på hur ojämlikheter ser ut och hur man kan skilja dem från ekvationer.

Ett uttryck av följande form ges: log 2 (x-1) > 3 - det är logaritmisk ojämlikhet eftersom det okända värdet "x" står under logaritmens tecken. Och även i uttrycket jämförs två kvantiteter: logaritmen för det önskade talet i bas två är större än talet tre.

Den viktigaste skillnaden mellan logaritmiska ekvationer och ojämlikheter är att ekvationer med logaritmer (till exempel logaritmen 2 x = √9) innebär ett eller flera specifika numeriska värden i svaret, medan vid lösning av olikheten, både intervallet av acceptabla värden och de punkter som bryter denna funktion. Som en konsekvens är svaret inte en enkel uppsättning enskilda tal, som i svaret på ekvationen, utan en kontinuerlig serie eller uppsättning tal.

Grundläggande satser om logaritmer

När man löser primitiva uppgifter för att hitta värdena för logaritmen, kanske dess egenskaper inte är kända. Men när det kommer till logaritmiska ekvationer eller olikheter är det först och främst nödvändigt att tydligt förstå och tillämpa i praktiken alla de grundläggande egenskaperna hos logaritmer. Vi kommer att bekanta oss med exempel på ekvationer senare, låt oss först analysera varje egenskap mer detaljerat.

Den grundläggande identiteten ser ut så här: a logaB =B. Det gäller bara om a är större än 0, inte lika med ett, och B är större än noll.
Produktens logaritm kan representeras i följande formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I detta fall är förutsättningen: d, s 1 och s 2 > 0; a≠1. Du kan ge ett bevis för denna logaritmformel, med exempel och en lösning. Låt log a s 1 = f 1 och log a s 2 = f 2 , sedan a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Vi får att s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (gradegenskaper ), och vidare per definition: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, vilket skulle bevisas.
Logaritmen för kvoten ser ut så här: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Satsen i form av en formel har följande form: log a q b n = n/q log a b.

Denna formel kallas "egenskapen för graden av logaritmen". Det liknar egenskaperna hos vanliga grader, och det är inte förvånande, eftersom all matematik vilar på vanliga postulat. Låt oss titta på beviset.

Låt logga a b \u003d t, det visar sig a t \u003d b. Om du höjer båda delarna till potensen m: a tn = b n ;

men eftersom a tn = (a q) nt/q = b n, därav log a q b n = (n*t)/t, då log a q b n = n/q log a b. Teoremet har bevisats.

Exempel på problem och ojämlikheter

De vanligaste typerna av logaritmproblem är exempel på ekvationer och ojämlikheter. De finns i nästan alla problemböcker, och ingår även i den obligatoriska delen av prov i matematik. För att komma in på ett universitet eller klara antagningsprov i matematik måste du veta hur du löser sådana uppgifter korrekt.

Tyvärr finns det ingen enskild plan eller schema för att lösa och bestämma det okända värdet på logaritmen, men vissa regler kan tillämpas på varje matematisk olikhet eller logaritmisk ekvation. Först och främst bör du ta reda på om uttrycket kan förenklas eller reduceras till allmän syn. Förenkla lång logaritmiska uttryck Du kan, om du använder deras egenskaper på rätt sätt. Låt oss snart lära känna dem.

När man löser logaritmiska ekvationer är det nödvändigt att bestämma vilken typ av logaritm vi har framför oss: ett exempel på ett uttryck kan innehålla en naturlig logaritm eller en decimal.

Här är exempel ln100, ln1026. Deras lösning kokar ner till det faktum att du måste bestämma i vilken grad basen 10 kommer att vara lika med 100 respektive 1026. För lösningar naturliga logaritmer man måste tillämpa logaritmiska identiteter eller deras egenskaper. Låt oss titta på exempel på att lösa logaritmiska problem av olika slag.

Hur man använder logaritmformler: med exempel och lösningar

Så låt oss titta på exempel på hur man använder huvudsatserna på logaritmer.

Egenskapen för produktens logaritm kan användas i uppgifter där det är nödvändigt att expandera stor betydelse siffror b till enklare faktorer. Till exempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret är 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, med hjälp av den fjärde egenskapen för logaritmens grad, lyckades vi vid första anblicken lösa ett komplext och olösligt uttryck. Det är bara nödvändigt att faktorisera basen och sedan ta exponentvärdena ur logaritmens tecken.

Uppgifter från tentamen

Logaritmer finns ofta i inträdesprov, särskilt många logaritmiska problem i Unified State Exam (statsprov för alla skolutexaminerade). Vanligtvis finns dessa uppgifter inte bara i del A (den enklaste testdel tentamen), men också i del C (de svåraste och mest omfattande uppgifterna). Provet innebär en korrekt och perfekt kunskap om ämnet "Naturliga logaritmer".

Exempel och problemlösningar är hämtade från tjänsteman ANVÄND alternativ. Låt oss se hur sådana uppgifter löses.

Givet log 2 (2x-1) = 4. Lösning:
låt oss skriva om uttrycket och förenkla det lite log 2 (2x-1) = 2 2 , enligt logaritmens definition får vi att 2x-1 = 2 4 , därför 2x = 17; x = 8,5.

Alla logaritmer reduceras bäst till samma bas så att lösningen inte blir krånglig och förvirrande.
Alla uttryck under logaritmens tecken indikeras som positiva, därför, när man tar ut exponenten för exponenten för uttrycket, som är under logaritmens tecken och som dess bas, måste uttrycket som finns kvar under logaritmen vara positivt.

\(a^(b)=c\) \(\vänsterpil\) \(\log_(a)(c)=b\)

Låt oss förklara det lättare. Till exempel är \(\log_(2)(8)\) lika med makten \(2\) måste höjas till för att få \(8\). Av detta är det tydligt att \(\log_(2)(8)=3\).

Exempel:	\(\log_(5)(25)=2\)	därför att \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	därför att \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	därför att \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument och bas för logaritmen

Vilken logaritm som helst har följande "anatomi":

Argumentet för logaritmen skrivs vanligtvis på dess nivå, och basen skrivs i sänkt skrift närmare logaritmens tecken. Och denna post läses så här: "logaritmen av tjugofem till basen av fem."

Hur räknar man ut logaritmen?

För att beräkna logaritmen måste du svara på frågan: i vilken grad ska basen höjas för att få argumentet?

Till exempel, beräkna logaritmen: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Till vilken effekt måste \(4\) höjas för att få \(16\)? Uppenbarligen den andra. Det är därför:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Till vilken effekt måste \(\sqrt(5)\) höjas för att få \(1\)? Och vilken grad gör ett tal till en enhet? Noll såklart!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Till vilken effekt måste \(\sqrt(7)\) höjas för att få \(\sqrt(7)\)? I den första - vilket tal som helst i den första graden är lika med sig själv.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Till vilken effekt måste \(3\) höjas för att få \(\sqrt(3)\)? Från vi vet att det är en bråkpotens, och därför är kvadratroten potensen av \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Exempel : Beräkna logaritmen \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösning :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Vi måste hitta värdet på logaritmen, låt oss beteckna det som x. Låt oss nu använda definitionen av logaritmen: \(\log_(a)(c)=b\) \(\vänsterpil\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Vad länkar \(4\sqrt(2)\) och \(8\)? Två, eftersom båda talen kan representeras av tvåor: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Till vänster använder vi gradegenskaperna: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) och \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Baserna är lika, vi fortsätter till indikatorernas jämlikhet
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplicera båda sidor av ekvationen med \(\frac(2)(5)\)
		Den resulterande roten är värdet på logaritmen

Svar : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Varför uppfanns logaritmen?

För att förstå detta, låt oss lösa ekvationen: \(3^(x)=9\). Matcha bara \(x\) för att få jämställdheten att fungera. Naturligtvis \(x=2\).

Lös nu ekvationen: \(3^(x)=8\) Vad är x lika med? Det är poängen.

Den mest geniala kommer att säga: "X är lite mindre än två." Hur exakt ska detta nummer skrivas? För att svara på denna fråga kom de fram till logaritmen. Tack vare honom kan svaret här skrivas som \(x=\log_(3)(8)\).

Jag vill betona att \(\log_(3)(8)\), liksom vilken logaritm som helst är bara ett tal. Ja, det ser ovanligt ut, men det är kort. För om vi ville skriva det som en decimal skulle det se ut så här: \(1.892789260714.....\)

Exempel : Lös ekvationen \(4^(5x-4)=10\)

Lösning :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) och \(10\) kan inte reduceras till samma bas. Så här kan du inte klara dig utan logaritmen. Låt oss använda definitionen av logaritmen: \(a^(b)=c\) \(\vänsterpil\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Vänd på ekvationen så att x är till vänster
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Före oss. Flytta \(4\) åt höger. Och var inte rädd för logaritmen, behandla den som ett vanligt tal.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Dividera ekvationen med 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Här är vår rot. Ja, det ser ovanligt ut, men svaret är inte valt.

Svar : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimala och naturliga logaritmer

Som anges i definitionen av logaritmen kan dess bas vara vilken som helst Positivt nummer, förutom enheten \((a>0, a\neq1)\). Och bland alla möjliga baser finns det två som förekommer så ofta att en speciell kort notation uppfanns för logaritmer med dem:

Naturlig logaritm: en logaritm vars bas är Eulertalet \(e\) (lika med ungefär \(2,7182818...\)), och logaritmen skrivs som \(\ln(a)\).

Det är, \(\ln(a)\) är samma som \(\log_(e)(a)\)

Decimallogaritm: En logaritm vars bas är 10 skrivs \(\lg(a)\).

Det är, \(\lg(a)\) är samma som \(\log_(10)(a)\), där \(a\) är ett tal.

Grundläggande logaritmisk identitet

Logaritmer har många egenskaper. En av dem heter "Main logaritmisk identitet' och ser ut så här:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Denna egenskap följer direkt av definitionen. Låt oss se hur denna formel kom till.

Låt oss komma ihåg kort anteckning logaritmdefinitioner:

om \(a^(b)=c\), då \(\log_(a)(c)=b\)

Det vill säga \(b\) är detsamma som \(\log_(a)(c)\). Då kan vi skriva \(\log_(a)(c)\) istället för \(b\) i formeln \(a^(b)=c\) . Det visade sig \(a^(\log_(a)(c))=c\) - den huvudsakliga logaritmiska identiteten.

Du kan hitta resten av egenskaperna hos logaritmer. Med deras hjälp kan du förenkla och beräkna värdena för uttryck med logaritmer, som är svåra att beräkna direkt.

Exempel : Hitta värdet för uttrycket \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösning :

Svar : \(25\)

Hur skriver man ett tal som en logaritm?

Som nämnts ovan är vilken logaritm som helst bara ett tal. Det omvända är också sant: vilket tal som helst kan skrivas som en logaritm. Till exempel vet vi att \(\log_(2)(4)\) är lika med två. Då kan du skriva \(\log_(2)(4)\) istället för två.

Men \(\log_(3)(9)\) är också lika med \(2\), så du kan också skriva \(2=\log_(3)(9)\) . På samma sätt med \(\log_(5)(25)\), och med \(\log_(9)(81)\), etc. Det vill säga, visar det sig

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Således, om vi behöver, kan vi skriva de två som en logaritm med vilken bas som helst var som helst (även i en ekvation, även i ett uttryck, även i en olikhet) - vi skriver bara den kvadratiska basen som ett argument.

Det är samma sak med en trippel - den kan skrivas som \(\log_(2)(8)\), eller som \(\log_(3)(27)\), eller som \(\log_(4)( 64) \) ... Här skriver vi basen i kuben som ett argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Och med fyra:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Och med minus ett:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Och med en tredjedel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Alla tal \(a\) kan representeras som en logaritm med basen \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Exempel : Hitta värdet på ett uttryck \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7)))\)

Lösning :

Svar : \(1\)

Med samhällsutvecklingen, produktionens komplexitet utvecklades också matematiken. Rörelse från enkel till komplex. Från den vanliga redovisningsmetoden med addition och subtraktion, med sin upprepade upprepning, kom man till begreppet multiplikation och division. Reduktionen av den multiplicera upprepade operationen blev begreppet exponentiering. De första tabellerna över talens beroende av basen och antalet exponentiering sammanställdes redan på 800-talet av den indiske matematikern Varasena. Från dem kan du räkna tidpunkten för förekomsten av logaritmer.

Historisk översikt

Väckelsen av Europa på 1500-talet stimulerade också mekanikens utveckling. T krävde en stor mängd beräkningar i samband med multiplikation och division av flersiffriga tal. De gamla borden gjorde en stor tjänst. De gjorde det möjligt att ersätta komplexa operationer med enklare - addition och subtraktion. Ett stort steg framåt var matematikern Michael Stiefels arbete, publicerat 1544, där han förverkligade idén om många matematiker. Detta gjorde det möjligt att använda tabeller inte bara för grader i form av primtal, utan också för godtyckliga rationella.

År 1614 introducerade skotten John Napier, som utvecklade dessa idéer, den nya termen "logaritm av ett tal." Nya komplexa tabeller sammanställdes för att beräkna logaritmerna för sinus och cosinus, samt tangenter. Detta minskade kraftigt astronomernas arbete.

Nya tabeller började dyka upp, som framgångsrikt användes av forskare för tre århundraden. Det tog lång tid innan ny operation i algebra fått sin färdiga form. Logaritmen definierades och dess egenskaper studerades.

Först på 1900-talet, med tillkomsten av kalkylatorn och datorn, övergav mänskligheten de uråldriga tabellerna som framgångsrikt hade fungerat under 1200-talet.

Idag kallar vi logaritmen för b för att basera a för talet x, vilket är potensen av a, för att få talet b. Detta skrivs som en formel: x = log a(b).

Till exempel kommer log 3(9) att vara lika med 2. Detta är uppenbart om du följer definitionen. Om vi höjer 3 till 2 får vi 9.

Den formulerade definitionen sätter alltså bara en begränsning, talen a och b måste vara reella.

Variationer av logaritmer

Den klassiska definitionen kallas den reella logaritmen och är egentligen en lösning på ekvationen a x = b. Alternativet a = 1 är på gränsen och är inte av intresse. Obs: 1 till valfri effekt är 1.

Realvärdet av logaritmen definieras endast om basen och argumentet är större än 0, och basen får inte vara lika med 1.

Särskild plats inom området matematik spela logaritmer, som kommer att namnges beroende på värdet på deras bas:

Regler och begränsningar

Den grundläggande egenskapen hos logaritmer är regeln: logaritmen för en produkt är lika med den logaritmiska summan. log abp = log a(b) + log a(p).

Som en variant av detta uttalande kommer det att vara: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), kvotfunktionen är lika med skillnaden mellan funktionerna.

Det är lätt att se från de två föregående reglerna att: log a(b p) = p * log a(b).

Andra fastigheter inkluderar:

Kommentar. Gör inte ett vanligt misstag - logaritmen av summan är inte lika med summan av logaritmerna.

Under många århundraden var operationen att hitta logaritmen en ganska tidskrävande uppgift. Matematiker använde den välkända formeln för den logaritmiska teorin om expansion till ett polynom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), där n är ett naturligt tal större än 1, vilket bestämmer beräkningens noggrannhet.

Logaritmer med andra baser beräknades med hjälp av satsen om övergången från en bas till en annan och egenskapen för produktens logaritm.

Eftersom denna metod är mycket mödosam och när man löser praktiska problem svåra att implementera använde de förkompilerade tabeller med logaritmer, vilket påskyndade hela arbetet kraftigt.

I vissa fall användes speciellt sammanställda grafer av logaritmer, vilket gav mindre noggrannhet, men avsevärt snabbade upp sökningen efter det önskade värdet. Kurvan för funktionen y = log a(x), byggd på flera punkter, gör det möjligt att använda den vanliga linjalen för att hitta funktionens värden vid vilken annan punkt som helst. Ingenjörer länge sedan för dessa ändamål användes det så kallade millimeterpapperet.

På 1600-talet uppträdde de första hjälpanaloga beräkningsvillkoren, som till XIX århundradet fått ett färdigt utseende. Den mest framgångsrika enheten kallades skjutregeln. Trots enhetens enkelhet påskyndade dess utseende avsevärt processen för alla tekniska beräkningar, och detta är svårt att överskatta. För närvarande är det få människor som känner till den här enheten.

Tillkomsten av miniräknare och datorer gjorde det meningslöst att använda andra enheter.

Ekvationer och ojämlikheter

Följande formler används för att lösa olika ekvationer och olikheter med hjälp av logaritmer:

Övergång från en bas till en annan: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Som en konsekvens av den tidigare versionen: log a(b) = 1 / log b(a).

För att lösa ojämlikheter är det användbart att veta:

Värdet på logaritmen kommer bara att vara positivt om både basen och argumentet är större än eller mindre än ett; om minst ett villkor överträds kommer värdet på logaritmen att vara negativt.
Om logaritmfunktionen appliceras på höger och vänster sida av olikheten, och basen för logaritmen är större än en, så bevaras olikhetens tecken; annars ändras det.

Uppgiftsexempel

Överväg flera alternativ för att använda logaritmer och deras egenskaper. Exempel på att lösa ekvationer:

Överväg alternativet att placera logaritmen i graden:

Uppgift 3. Beräkna 25^log 5(3). Lösning: under problemets förhållanden liknar notationen följande (5^2)^log5(3) eller 5^(2 * log 5(3)). Låt oss skriva det annorlunda: 5^log 5(3*2), eller kvadraten på ett tal som funktionsargument kan skrivas som kvadraten på själva funktionen (5^log 5(3))^2. Med hjälp av logaritmers egenskaper är detta uttryck 3^2. Svar: som ett resultat av beräkningen får vi 9.

Praktisk användning

Eftersom det är ett rent matematiskt verktyg verkar det långt ifrån verkliga livet att logaritmen plötsligt fick stor betydelse för att beskriva föremål verkliga världen. Det är svårt att hitta en vetenskap där den inte används. Detta gäller till fullo inte bara de naturliga, utan också de humanistiska kunskapsområdena.

Logaritmiska beroenden

Här är några exempel på numeriska beroenden:

Mekanik och fysik

Historiskt har mekanik och fysik alltid utvecklats med hjälp av matematiska metoder forskning och samtidigt fungerade som ett incitament för utveckling av matematik, inklusive logaritmer. Teorin om de flesta fysikens lagar är skriven på matematikens språk. Vi ger bara två exempel på beskrivningen av fysiska lagar med hjälp av logaritmen.

Det är möjligt att lösa problemet med att beräkna en så komplex kvantitet som hastigheten på en raket med hjälp av Tsiolkovsky-formeln, som lade grunden för teorin om rymdutforskning:

V = I * ln(Ml/M2), där

V är flygplanets sluthastighet.
I är motorns specifika impuls.
M 1 är raketens initiala massa.
M 2 - slutlig massa.

Ett annat viktigt exempel- detta är användningen i formeln för en annan stor vetenskapsman, Max Planck, som tjänar till att utvärdera jämviktstillståndet i termodynamiken.

S = k * ln (Ω), där

S är en termodynamisk egenskap.
k är Boltzmann-konstanten.
Ω är den statistiska vikten av olika tillstånd.

Kemi

Mindre uppenbart skulle vara användningen av formler i kemi som innehåller förhållandet mellan logaritmer. Här är bara två exempel:

Nernst-ekvationen, tillståndet för mediets redoxpotential i förhållande till ämnens aktivitet och jämviktskonstanten.
Beräkningen av sådana konstanter som autoprolysindex och lösningens surhet är inte heller komplett utan vår funktion.

Psykologi och biologi

Och det är helt obegripligt vad psykologin har med det att göra. Det visar sig att känslans styrka beskrivs väl av denna funktion som det omvända förhållandet mellan stimulansintensitetsvärdet och det lägre intensitetsvärdet.

Efter ovanstående exempel är det inte längre förvånande att temat logaritmer också används flitigt inom biologin. Hela volymer kan skrivas om biologiska former som motsvarar logaritmiska spiraler.

Andra områden

Det verkar som om världens existens är omöjlig utan samband med denna funktion, och den styr alla lagar. Speciellt när naturlagarna är kopplade till geometrisk progression. Det är värt att hänvisa till MatProfis webbplats, och det finns många sådana exempel inom följande verksamhetsområden: