Rötterna till en andragradsekvation beräknas med formler. Lösa andragradsekvationer: rotformel, exempel

En andragradsekvation är en ekvation av formen a*x^2 +b*x+c=0, där a,b,c är några godtyckliga reella tal, och x är en variabel. Och siffran a=0.

Talen a,b,c kallas koefficienter. Talet a kallas den ledande koefficienten, talet b är koefficienten för x, och talet c kallas den fria termen.

Lösa andragradsekvationer

Att lösa en andragradsekvation innebär att hitta alla dess rötter eller fastställa det faktum att en andragradsekvation inte har några rötter. Roten till en andragradsekvation a*x^2 +b*x+c=0 är vilket värde som helst av variabeln x så att det andragradstrinomet a*x^2 +b*x+c försvinner. Ibland kallas detta värde på x roten till kvadrattrinomialet.

Det finns flera sätt att lösa andragradsekvationer. Tänk på en av dem - den mest universella. Den kan användas för att lösa vilken andragradsekvation som helst.

Formler för att lösa andragradsekvationer

Formeln för rötterna till en andragradsekvation är a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), där D =b^2-4*a*c.

Denna formel erhålls genom att lösa ekvationen a*x^2 +b*x+c=0 tum allmän syn, genom att isolera kvadraten på binomialet.

I formeln för rötterna till en andragradsekvation kallas uttrycket D (b^2-4*a*c) diskriminanten för andragradsekvationen a*x^2 +b*x+c=0. Detta namn kommer från det latinska språket, översatt som "diskriminator". Beroende på värdet på diskriminanten kommer andragradsekvationen att ha två eller en rot, eller inga rötter alls.

Om diskriminanten är större än noll, då har andragradsekvationen två rötter. (x=(-b±√D)/(2*a))

Om diskriminanten är noll, då har andragradsekvationen en rot. (x=(-b/(2*a))

Om diskriminanten är negativ, då har andragradsekvationen inga rötter.

Allmän algoritm för att lösa en andragradsekvation

Baserat på ovanstående formulerar vi en generell algoritm för att lösa andragradsekvationen a*x^2 +b*x+c=0 med hjälp av formeln:

1. Hitta värdet på diskriminanten med formeln D =b^2-4*a*c.

2. Beräkna rötterna med formlerna, beroende på värdet på diskriminanten:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Denna algoritm är universell och lämplig för att lösa alla andragradsekvationer. Fullständigt och ofullständigt, givet och inte givet.

Det här ämnet kan tyckas svårt i början på grund av att många inte är det enkla formler. Inte bara andragradsekvationerna i sig har långa notationer, utan rötterna hittas också genom diskriminanten. Totalt erhålls tre nya formler. Inte så lätt att komma ihåg. Detta är möjligt endast efter att ha löst sådana ekvationer ofta. Då kommer alla formler att komma ihåg av sig själva.

Allmän bild av en andragradsekvation

Här föreslår vi deras explicita registrering, när den största graden skrivs först, och sedan i fallande ordning. Det finns ofta situationer när villkoren är inkonsekventa. Då är det bättre att skriva om ekvationen i fallande ordning efter variabelns grad.

Låt oss introducera lite notation. De presenteras i tabellen nedan.

Om vi ​​accepterar dessa notationer reduceras alla andragradsekvationer till följande notation.

Dessutom är koefficienten a ≠ 0. Låt denna formel betecknas som nummer ett.

När en ekvation ges är det inte klart hur många rötter det kommer att finnas i svaret. Eftersom ett av tre alternativ alltid är möjligt:

• lösningen kommer att ha två rötter;
• svaret blir ett nummer;
• ekvationen kommer inte att ha några rötter alls.

Och tills beslutet är klart är det svårt att förstå vilket alternativ som kommer att dyka upp i ett särskilt fall.

Typer av registreringar av andragradsekvationer

Det kan finnas olika poster i uppgifter. De kommer inte alltid att se ut som den allmänna kvadratiska ekvationsformeln. Ibland kommer det att sakna några termer. Det som skrevs ovan är den fullständiga ekvationen. Om du tar bort den andra eller tredje termen i den får du något annat. Dessa poster kallas också andragradsekvationer, endast ofullständiga.

Dessutom kan endast termer med koefficienterna "b" och "c" försvinna. Siffran "a" kan under inga omständigheter vara lika med noll. För i det här fallet blir formeln linjär ekvation. Formlerna för den ofullständiga formen av ekvationer kommer att vara följande:

Så det finns bara två typer; förutom kompletta finns det också ofullständiga andragradsekvationer. Låt den första formeln vara nummer två och den andra - tre.

Diskriminerande och beroende av antalet rötter på dess värde

Du måste känna till detta tal för att kunna beräkna rötterna till ekvationen. Det går alltid att beräkna, oavsett vilken formel för andragradsekvationen är. För att räkna ut diskriminanten måste du använda jämställdheten nedan, som kommer att ha nummer fyra.

Efter att ha ersatt koefficientvärdena i denna formel kan du få siffror med olika tecken. Om svaret är ja, kommer svaret på ekvationen att vara två olika rötter. Om talet är negativt kommer det inte att finnas några rötter till andragradsekvationen. Om det är lika med noll blir det bara ett svar.

Hur löser man en komplett andragradsekvation?

Faktum är att övervägandet av denna fråga redan har börjat. För först måste du hitta en diskriminant. När det har fastställts att det finns rötter till andragradsekvationen, och deras antal är känt, måste du använda formler för variablerna. Om det finns två rötter måste du tillämpa följande formel.

Eftersom det innehåller ett "±"-tecken kommer det att finnas två betydelser. Uttrycket under kvadratrottecknet är diskriminanten. Därför kan formeln skrivas om annorlunda.

Formel nummer fem. Från samma post är det tydligt att om diskriminanten är lika med noll, kommer båda rötterna att ha samma värden.

Om lösningen av andragradsekvationer ännu inte har utarbetats, är det bättre att skriva ner värdena för alla koefficienter innan du använder diskriminant- och variabelformlerna. Senare kommer detta ögonblick inte att orsaka svårigheter. Men i början råder förvirring.

Hur löser man en ofullständig andragradsekvation?

Allt är mycket enklare här. Det finns inte ens behov av ytterligare formler. Och de som redan är nedskrivna för den diskriminerande och det okända kommer inte att behövas.

Låt oss först titta på ofullständig ekvation nummer två. I denna likhet är det nödvändigt att ta den okända kvantiteten ur parentes och lösa den linjära ekvationen, som kommer att förbli inom parentes. Svaret kommer att ha två rötter. Den första är nödvändigtvis lika med noll, eftersom det finns en multiplikator som består av själva variabeln. Den andra erhålls genom att lösa en linjär ekvation.

Ofullständig ekvation nummer tre löses genom att flytta talet från vänster sida av likheten till höger. Sedan måste du dividera med koefficienten mot det okända. Allt som återstår är att extrahera kvadratroten och kom ihåg att skriva ner den två gånger med motsatta tecken.

Nedan följer några steg som hjälper dig att lära dig hur du löser alla typer av likheter som förvandlas till andragradsekvationer. De kommer att hjälpa eleven att undvika misstag på grund av ouppmärksamhet. Dessa brister kan orsaka dåliga betyg när man studerar det omfattande ämnet "Quadratic Equations (8th Grade)." Därefter kommer dessa åtgärder inte att behöva utföras konstant. Eftersom en stabil färdighet kommer att dyka upp.

• Först måste du skriva ekvationen i standardform. Det vill säga först termen med den största graden av variabeln, och sedan - utan en grad, och sist - bara ett tal.

• Om ett minus visas före koefficienten "a", kan det komplicera arbetet för en nybörjare som studerar andragradsekvationer. Det är bättre att bli av med det. För detta ändamål måste all likhet multipliceras med "-1". Det betyder att alla termer kommer att ändra tecken till motsatt.

• Det rekommenderas att bli av med fraktioner på samma sätt. Multiplicera helt enkelt ekvationen med lämplig faktor så att nämnarna tar bort.

Exempel

Det krävs för att lösa följande andragradsekvationer:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Den första ekvationen: x 2 − 7x = 0. Den är ofullständig, därför löses den enligt beskrivningen för formel nummer två.

Efter att ha tagit den ur parentes visar det sig: x (x - 7) = 0.

Den första roten tar värdet: x 1 = 0. Den andra kommer att hittas från den linjära ekvationen: x - 7 = 0. Det är lätt att se att x 2 = 7.

Andra ekvationen: 5x 2 + 30 = 0. Återigen ofullständig. Bara det löses enligt beskrivningen för den tredje formeln.

Efter att ha flyttat 30 till höger sida av ekvationen: 5x 2 = 30. Nu måste du dividera med 5. Det visar sig: x 2 = 6. Svaren blir talen: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Den tredje ekvationen: 15 − 2x − x 2 = 0. Här och vidare börjar lösa andragradsekvationer med att skriva om dem i standardform: − x 2 − 2x + 15 = 0. Nu är det dags att använda den andra ekvationen användbart råd och multiplicera allt med minus ett. Det visar sig x 2 + 2x - 15 = 0. Med den fjärde formeln måste du beräkna diskriminanten: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Det är Positivt nummer. Av det som sägs ovan visar det sig att ekvationen har två rötter. De måste beräknas med den femte formeln. Det visar sig att x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Sedan x 1 = 3, x 2 = - 5.

Den fjärde ekvationen x 2 + 8 + 3x = 0 omvandlas till denna: x 2 + 3x + 8 = 0. Dess diskriminant är lika med detta värde: -23. Eftersom detta nummer är negativt kommer svaret på denna uppgift att vara följande post: "Det finns inga rötter."

Den femte ekvationen 12x + x 2 + 36 = 0 ska skrivas om enligt följande: x 2 + 12x + 36 = 0. Efter att ha tillämpat formeln för diskriminanten erhålls talet noll. Det betyder att den kommer att ha en rot, nämligen: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Den sjätte ekvationen (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) kräver transformationer, som består i det faktum att du måste ta med liknande termer, först öppna parenteserna. I stället för det första kommer följande uttryck: x 2 + 2x + 1. Efter likheten kommer denna post att visas: x 2 + 3x + 2. Efter att liknande termer har räknats kommer ekvationen att ha formen: x 2 - x = 0. Den har blivit ofullständig . Något liknande detta har redan diskuterats lite högre. Rötterna till detta kommer att vara siffrorna 0 och 1.

Kvadratisk ekvation. Diskriminerande. Lösning, exempel.

Uppmärksamhet!
Det finns ytterligare
material i specialavdelning 555.
För dem som är väldigt "inte särskilt..."
Och för dem som "mycket...")

Typer av andragradsekvationer

Vad är en andragradsekvation? Vad ser det ut som? I sikt andragradsekvation nyckelordet är "fyrkant". Det betyder att i ekvationen Nödvändigtvis det måste finnas ett x-kvadrat. Utöver det kan det i ekvationen finnas (eller kanske inte finns!) Bara x (till första graden) och bara ett tal (gratis medlem). Och det ska inte finnas några X till en potens som är större än två.

I matematiska termer är en andragradsekvation en ekvation av formen:

Här a, b och c- några siffror. b och c- absolut vilken som helst, men A– allt annat än noll. Till exempel:

Här A =1; b = 3; c = -4

Här A =2; b = -0,5; c = 2,2

Här A =-3; b = 6; c = -18

Tja, du förstår...

I dessa andragradsekvationer till vänster finns det hela uppsättningen medlemmar. X i kvadrat med en koefficient A, x till den första potensen med koefficient b Och gratis medlem s.

Sådana andragradsekvationer kallas full.

Och om b= 0, vad får vi? Vi har X kommer att förloras till den första makten. Detta händer när det multipliceras med noll.) Det visar sig till exempel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

Och så vidare. Och om båda koefficienterna b Och cär lika med noll, då är det ännu enklare:

2x 2 =0,

-0,3x2 =0

Sådana ekvationer där något saknas kallas ofullständiga andragradsekvationer. Vilket är ganska logiskt.) Observera att x i kvadrat finns i alla ekvationer.

Förresten, varför A kan inte vara lika med noll? Och du ersätter istället A noll.) Vår X-ruta försvinner! Ekvationen blir linjär. Och lösningen är en helt annan...

Det är alla huvudtyperna av andragradsekvationer. Komplett och ofullständig.

Lösa andragradsekvationer.

Lösa kompletta andragradsekvationer.

Andragradsekvationer är lätta att lösa. Enligt formler och tydliga, enkla regler. I det första steget är det nödvändigt att reducera den givna ekvationen till standardvy, dvs. till formuläret:

Om ekvationen redan ges till dig i det här formuläret, behöver du inte göra det första steget.) Det viktigaste är att korrekt bestämma alla koefficienter, A, b Och c.

Formeln för att hitta rötterna till en andragradsekvation ser ut så här:

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminerande. Men mer om honom nedan. Som du kan se använder vi för att hitta X endast a, b och c. De där. koefficienter från en andragradsekvation. Byt bara ut värdena försiktigt a, b och c i denna formel och räkna. Låt oss ersätta med dina tecken! Till exempel i ekvationen:

A =1; b = 3; c= -4. Här skriver vi:

Exempel nästan löst:

Detta är svaret.

Allt är väldigt enkelt. Och vad tror du att det är omöjligt att göra ett misstag? Ja, hur...

De vanligaste misstagen är förväxling med teckenvärden a, b och c. Eller snarare, inte med deras tecken (var ska man bli förvirrad?), utan med ersättning av negativa värden i formeln för att beräkna rötterna. Det som hjälper här är en detaljerad registrering av formeln med specifika siffror. Om det finns problem med beräkningar, gör det!

Anta att vi behöver lösa följande exempel:

Här a = -6; b = -5; c = -1

Låt oss säga att du vet att du sällan får svar första gången.

Var inte lat. Det tar cirka 30 sekunder att skriva en extra rad och antalet fel kommer att sjunka kraftigt. Så vi skriver i detalj, med alla parenteser och tecken:

Det verkar otroligt svårt att skriva ut så noggrant. Men det verkar bara så. Ge det ett försök. Tja, eller välj. Vad är bättre, snabbt eller rätt? Dessutom kommer jag att göra dig lycklig. Efter ett tag kommer det inte att behövas skriva ner allt så noga. Det kommer att lösa sig av sig självt. Speciellt om du använder praktiska tekniker som beskrivs nedan. Detta onda exempel med en massa minus kan lösas enkelt och utan fel!

Men ofta ser andragradsekvationer något annorlunda ut. Till exempel, så här:

Kände du igen det?) Ja! Detta ofullständiga andragradsekvationer.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer.

De kan också lösas med en allmän formel. Du behöver bara förstå rätt vad de är lika med här. a, b och c.

Har du kommit på det? I det första exemplet a = 1; b = -4; A c? Det finns inte alls! Jo, det stämmer. I matematik betyder det det c = 0 ! Det är allt. Ersätt noll i formeln istället c, och allt kommer att lösa sig för oss. Samma sak med det andra exemplet. Bara att vi inte har noll här Med, A b !

Men ofullständiga andragradsekvationer kan lösas mycket enklare. Utan några formler. Låt oss betrakta den första ofullständiga ekvationen. Vad kan du göra på vänster sida? Du kan ta X ur parentes! Låt oss ta ut den.

Och vad av detta? Och det faktum att produkten är lika med noll om och bara om någon av faktorerna är lika med noll! Tro mig inte? Okej, kom sedan på två icke-nolltal som, när de multipliceras, ger noll!
Fungerar inte? Det är allt...
Därför kan vi med tillförsikt skriva: x 1 = 0, x 2 = 4.

Allt. Dessa kommer att vara rötterna till vår ekvation. Båda är lämpliga. När vi substituerar någon av dem i den ursprungliga ekvationen får vi den korrekta identiteten 0 = 0. Som du kan se är lösningen mycket enklare än att använda den allmänna formeln. Låt mig förresten notera vilket X som kommer att vara det första och vilket som blir det andra - helt likgiltigt. Det är bekvämt att skriva i ordning, x 1- vad är mindre och x 2- det som är större.

Den andra ekvationen kan också lösas enkelt. Flytta 9 till höger sida. Vi får:

Allt som återstår är att extrahera roten från 9, och det är det. Det kommer att visa sig:

också två rötter . x 1 = -3, x 2 = 3.

Så här löses alla ofullständiga andragradsekvationer. Antingen genom att placera X inom parentes, eller genom att helt enkelt flytta numret åt höger och sedan extrahera roten.
Det är extremt svårt att blanda ihop dessa tekniker. Helt enkelt för att du i det första fallet måste extrahera roten till X, vilket på något sätt är obegripligt, och i det andra fallet finns det inget att ta ur parentes...

Diskriminerande. Diskriminerande formel.

magiskt ord diskriminerande ! Sällan har en gymnasieelev inte hört detta ord! Frasen "vi löser genom en diskriminant" inger förtroende och trygghet. För det finns ingen anledning att förvänta sig knep från diskriminanten! Det är enkelt och problemfritt att använda.) Jag påminner dig om den mest allmänna formeln för att lösa några Kvadratisk ekvation:

Uttrycket under rottecknet kallas diskriminant. Normalt betecknas diskriminanten med bokstaven D. Diskriminerande formel:

D = b 2 - 4ac

Och vad är det som är så anmärkningsvärt med detta uttryck? Varför förtjänade den ett speciellt namn? Vad betydelsen av diskriminanten? Trots allt -b, eller 2a i den här formeln kallar de det inte specifikt för någonting... Bokstäver och bokstäver.

Poängen är detta. När man löser en andragradsekvation med denna formel är det möjligt endast tre fall.

1. Diskriminanten är positiv. Detta innebär att roten kan extraheras från den. Om roten utvinns bra eller dåligt är en annan fråga. Det som är viktigt är vad som tas ut i princip. Då har din andragradsekvation två rötter. Två olika lösningar.

2. Diskriminanten är noll. Då har du en lösning. Eftersom att addera eller subtrahera noll i täljaren ändrar ingenting. Strängt taget är detta inte en rot, men två identiska. Men i en förenklad version är det vanligt att tala om en lösning.

3. Diskriminanten är negativ. Kvadratroten ur ett negativt tal kan inte tas. Okej. Det betyder att det inte finns några lösningar.

För att vara ärlig, när man helt enkelt löser andragradsekvationer, behövs egentligen inte konceptet med en diskriminant. Vi ersätter värdena på koefficienterna i formeln och räknar. Allt sker där av sig självt, två rötter, en och ingen. Dock när man löser mer svåra uppgifter, utan kunskap diskriminantens betydelse och formel inte tillräckligt. Speciellt i ekvationer med parametrar. Sådana ekvationer är aerobatics för State Examination och Unified State Examination!)

Så, hur man löser andragradsekvationer genom diskriminanten du kom ihåg. Eller så lärde du dig, vilket inte heller är dåligt.) Du vet hur man korrekt avgör a, b och c. Vet du hur? uppmärksamt ersätt dem i rotformeln och uppmärksamt räkna resultatet. Förstod du det där nyckelord Här - uppmärksamt?

Notera nu praktiska tekniker som dramatiskt minskar antalet fel. Samma som beror på ouppmärksamhet... För vilka det senare blir smärtsamt och kränkande...

Första mötet . Var inte lat innan du löser en andragradsekvation och för den till standardform. Vad betyder det här?
Låt oss säga att efter alla transformationer får du följande ekvation:

Skynda dig inte att skriva rotformeln! Du kommer nästan säkert att blanda ihop oddsen a, b och c. Bygg exemplet rätt. Först x kvadrat, sedan utan kvadrat, sedan en fri medlem. Så här:

Och återigen, skynda inte! Minuset före x-rutan kan störa dig mycket. Att glömma det är lätt... Bli av med minuset. Hur? Ja, som lärde ut i föregående ämne! Vi måste multiplicera hela ekvationen med -1. Vi får:

Men nu kan du säkert skriva ner formeln för rötterna, räkna ut diskriminanten och avsluta exemplet. Bestäm själv. Du bör sluta med rötterna 2 och -1.

Andra mottagningen. Kolla rötterna! Enligt Vietas sats. Oroa dig inte, jag ska förklara allt! Kontroll sista sak ekvationen. De där. den med vilken vi skrev ner formeln för rötterna. Om (som i detta exempel) koefficienten a = 1, det är lätt att kontrollera rötterna. Det räcker att multiplicera dem. Du bör få en fri termin, d.v.s. i vårt fall -2. Observera, inte 2, utan -2! Gratis medlem med din skylt . Om det inte fungerar betyder det att de redan har stökat till någonstans. Leta efter felet.

Om det fungerar måste du lägga till rötterna. Sista och sista kontrollen. Koefficienten bör vara b Med motsatt bekant. I vårt fall -1+2 = +1. En koefficient b, som är före X, är lika med -1. Så allt stämmer!
Det är synd att detta är så enkelt bara för exempel där x i kvadrat är rent, med en koefficient a = 1. Men kolla åtminstone in sådana ekvationer! Det blir färre och färre fel.

Mottagning tredje . Om din ekvation har bråkkoefficienter, bli av med bråken! Multiplicera ekvationen med en gemensam nämnare enligt beskrivningen i lektionen "Hur man löser ekvationer? Identitetstransformationer." När man arbetar med bråk, fortsätter fel smyga sig in av någon anledning...

Förresten, jag lovade att förenkla det onda exemplet med en massa minus. Snälla du! Här är han.

För att inte bli förvirrade i minusen multiplicerar vi ekvationen med -1. Vi får:

Det är allt! Att bestämma sig är kul!

Så låt oss sammanfatta ämnet.

Praktiskt råd:

1. Innan vi löser tar vi andragradsekvationen till standardform och bygger den Höger.

2. Om det finns en negativ koefficient framför X i kvadrat, eliminerar vi den genom att multiplicera hela ekvationen med -1.

3. Om koefficienterna är bråkdelar, eliminerar vi bråken genom att multiplicera hela ekvationen med motsvarande faktor.

4. Om x i kvadrat är ren, dess koefficient är lika med ett, kan lösningen enkelt verifieras med hjälp av Vietas sats. Gör det!

Nu kan du bestämma dig.)

Lös ekvationer:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Svar (i oordning):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - vilket nummer som helst

x 1 = -3
x 2 = 3

inga lösningar

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Stämmer allt? Bra! Andragradsekvationer är inte din huvudvärk. De tre första fungerade, men resten gjorde det inte? Då är problemet inte med andragradsekvationer. Problemet ligger i identiska transformationer av ekvationer. Ta en titt på länken, den är till hjälp.

Funkar det inte riktigt? Eller går det inte alls? Då hjälper dig Section 555. Alla dessa exempel är uppdelade där. Visad huvud fel i lösningen. Naturligtvis talar vi också om användningen av identiska transformationer för att lösa olika ekvationer. Hjälper mycket!

Om du gillar den här sidan...

Förresten, jag har ytterligare ett par intressanta webbplatser för dig.)

Du kan träna på att lösa exempel och ta reda på din nivå. Testning med omedelbar verifiering. Låt oss lära oss - med intresse!)

Du kan bekanta dig med funktioner och derivator.

För att fortsätta med ämnet "Lösa ekvationer" kommer materialet i den här artikeln att introducera dig till andragradsekvationer.

Låt oss titta på allt i detalj: essensen och notationen av en andragradsekvation, definiera de medföljande termerna, analysera schemat för att lösa ofullständiga och fullständiga ekvationer, bekanta oss med formeln för rötter och diskriminant, upprätta kopplingar mellan rötterna och koefficienterna, och givetvis ger vi en visuell lösning på praktiska exempel.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Andragradsekvationen, dess typer

Definition 1

Andragradsekvationär en ekvation skriven som a x 2 + b x + c = 0, Var x– variabel, a , b och c– några siffror, medan aär inte noll.

Ofta kallas andragradsekvationer också för ekvationer av andra graden, eftersom en andragradsekvation i huvudsak är en algebraisk ekvation av andra graden.

Låt oss ge ett exempel för att illustrera den givna definitionen: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0, etc. Dessa är andragradsekvationer.

Definition 2

Siffrorna a, b och cär koefficienterna för andragradsekvationen a x 2 + b x + c = 0, medan koefficienten a kallas den första, eller senior, eller koefficienten vid x 2, b - den andra koefficienten, eller koefficienten vid x, A c kallas gratis medlem.

Till exempel i andragradsekvationen 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 den ledande koefficienten är 6, den andra koefficienten är − 2 , och fritiden är lika med − 11 . Låt oss uppmärksamma det faktum att när koefficienterna b och/eller c är negativa, använd sedan kortform skivor som 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, men inte 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Låt oss också klargöra denna aspekt: ​​om koefficienterna a och/eller b likvärdig 1 eller − 1 , då får de inte ta en explicit del i att skriva andragradsekvationen, vilket förklaras av särdragen med att skriva de angivna numeriska koefficienterna. Till exempel i andragradsekvationen y 2 − y + 7 = 0 den ledande koefficienten är 1 och den andra koefficienten är − 1 .

Reducerade och oreducerade andragradsekvationer

Baserat på värdet av den första koefficienten delas andragradsekvationer in i reducerade och oreducerade.

Definition 3

Reducerad andragradsekvationär en andragradsekvation där den ledande koefficienten är 1. För andra värden på den ledande koefficienten är andragradsekvationen oreducerad.

Låt oss ge exempel: andragradsekvationer x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 reduceras, i var och en av dem är den ledande koefficienten 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- oreducerad andragradsekvation, där den första koefficienten skiljer sig från 1 .

Varje oreducerad andragradsekvation kan omvandlas till en reducerad ekvation genom att dividera båda sidor med den första koefficienten (ekvivalent transformation). Den transformerade ekvationen kommer att ha samma rötter som den givna oreducerade ekvationen eller kommer inte heller att ha några rötter alls.

Hänsyn konkret exempel kommer att tillåta oss att visuellt demonstrera övergången från en oreducerad andragradsekvation till en reducerad.

Exempel 1

Givet ekvationen 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Det är nödvändigt att konvertera den ursprungliga ekvationen till den reducerade formen.

Lösning

Enligt ovanstående schema dividerar vi båda sidor av den ursprungliga ekvationen med den ledande koefficienten 6. Då får vi: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, och det här är samma sak som: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 och vidare: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Härifrån: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Sålunda erhålls en ekvation ekvivalent med den givna.

Svar: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Kompletta och ofullständiga andragradsekvationer

Låt oss gå över till definitionen av en andragradsekvation. I den specificerade vi det a ≠ 0. Ett liknande villkor är nödvändigt för ekvationen a x 2 + b x + c = 0 var exakt fyrkantig, sedan a = 0 det förvandlas i huvudsak till en linjär ekvation b x + c = 0.

I fallet när koefficienterna b Och cär lika med noll (vilket är möjligt, både individuellt och gemensamt), kallas andragradsekvationen ofullständig.

Definition 4

Ofullständig andragradsekvation- en sådan andragradsekvation a x 2 + b x + c = 0, där minst en av koefficienterna b Och c(eller båda) är noll.

Komplett andragradsekvation– en andragradsekvation där alla numeriska koefficienter inte är lika med noll.

Låt oss diskutera varför typerna av andragradsekvationer ges exakt dessa namn.

När b = 0 tar andragradsekvationen formen a x 2 + 0 x + c = 0, vilket är detsamma som a x 2 + c = 0. På c = 0 andragradsekvationen skrivs som a x 2 + b x + 0 = 0, vilket är likvärdigt a x 2 + b x = 0. På b = 0 Och c = 0 ekvationen kommer att ta formen a x 2 = 0. Ekvationerna som vi fick skiljer sig från den fullständiga andragradsekvationen genom att deras vänstra sida inte innehåller vare sig en term med variabeln x, eller en fri term, eller båda. Egentligen gav detta faktum namnet till denna typ av ekvation – ofullständig.

Till exempel är x 2 + 3 x + 4 = 0 och − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 fullständiga andragradsekvationer; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – ofullständiga andragradsekvationer.

Lösa ofullständiga andragradsekvationer

Definitionen ovan gör det möjligt att särskilja följande typer av ofullständiga andragradsekvationer:

• a x 2 = 0, motsvarar denna ekvation koefficienterna b = 0 och c = O;
• a x 2 + c = 0 vid b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 vid c = 0.

Låt oss betrakta lösningen av varje typ av ofullständig andragradsekvation i följd.

Lösning av ekvationen a x 2 =0

Som nämnts ovan motsvarar denna ekvation koefficienterna b Och c, lika med noll. Ekvationen a x 2 = 0 kan omvandlas till en ekvivalent ekvation x 2 = 0, vilket vi får genom att dividera båda sidorna av den ursprungliga ekvationen med talet a, inte lika med noll. Det uppenbara faktum är att roten till ekvationen x 2 = 0 detta är noll eftersom 0 2 = 0 . Denna ekvation har inga andra rötter, vilket kan förklaras av gradens egenskaper: för vilket tal som helst p, inte lika med noll, är ojämlikheten sann p 2 > 0, varav följer att när p ≠ 0 jämlikhet p 2 = 0 kommer aldrig att uppnås.

Definition 5

Således, för den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 = 0 finns det en enda rot x = 0.

Exempel 2

Låt oss till exempel lösa en ofullständig andragradsekvation − 3 x 2 = 0. Det motsvarar ekvationen x 2 = 0, dess enda rot är x = 0, då har den ursprungliga ekvationen en enda rot - noll.

Lösningen sammanfattas enligt följande:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Lösa ekvationen a x 2 + c = 0

Nästa i raden är lösningen av ofullständiga andragradsekvationer, där b \u003d 0, c ≠ 0, det vill säga ekvationer av formen a x 2 + c = 0. Låt oss omvandla denna ekvation genom att flytta en term från den ena sidan av ekvationen till den andra, ändra tecknet till det motsatta och dividera båda sidorna av ekvationen med ett tal som inte är lika med noll:

• överföra c till höger, vilket ger ekvationen a x 2 = − c;
• dividera båda sidor av ekvationen med a, vi slutar med x = - c a .

Våra transformationer är likvärdiga; följaktligen är den resulterande ekvationen också likvärdig med den ursprungliga, och detta faktum gör det möjligt att dra slutsatser om ekvationens rötter. Från vilka värden är a Och c värdet på uttrycket - c a beror: det kan ha ett minustecken (till exempel if a = 1 Och c = 2, sedan - c a = - 2 1 = - 2) eller ett plustecken (till exempel if a = − 2 Och c = 6 sedan -ca = -6 - 2 = 3); det är inte noll eftersom c ≠ 0. Låt oss uppehålla oss mer i detalj vid situationer när - ca< 0 и - c a > 0 .

I det fall då - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа sid likheten p 2 = - c a kan inte vara sann.

Allt är annorlunda när - c a > 0: kom ihåg kvadratroten, och det blir uppenbart att roten till ekvationen x 2 = - c a kommer att vara talet - c a, eftersom - c a 2 = - c a. Det är inte svårt att förstå att talet - - c a också är roten till ekvationen x 2 = - c a: ja, - - c a 2 = - c a.

Ekvationen kommer inte att ha några andra rötter. Vi kan visa detta med hjälp av motsägelsemetoden. Till att börja med, låt oss definiera notationerna för rötterna som finns ovan som x 1 Och − x 1. Låt oss anta att ekvationen x 2 = - c a också har en rot x 2, som skiljer sig från rötterna x 1 Och − x 1. Det vet vi genom att substituera in i ekvationen x dess rötter omvandlar vi ekvationen till en rättvis numerisk likhet.

För x 1 Och − x 1 vi skriver: x 1 2 = - c a , och för x 2- x 2 2 = - c a . Baserat på egenskaperna hos numeriska likheter subtraherar vi en korrekt likhetsterm för term från en annan, vilket ger oss: x 1 2 − x 2 2 = 0. Vi använder egenskaperna för operationer med siffror för att skriva om den sista likheten som (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Det är känt att produkten av två tal är noll om och endast om minst ett av talen är noll. Av ovanstående följer att x 1 − x 2 = 0 och/eller x 1 + x 2 = 0, vilket är detsamma x 2 = x 1 och/eller x 2 = − x 1. En uppenbar motsägelse uppstod, eftersom man först var överens om att roten till ekvationen x 2 skiljer sig från x 1 Och − x 1. Så vi har bevisat att ekvationen inte har några andra rötter än x = - c a och x = - - c a.

Låt oss sammanfatta alla argumenten ovan.

Definition 6

Ofullständig andragradsekvation a x 2 + c = 0är ekvivalent med ekvationen x 2 = - c a, som:

• kommer inte ha några rötter vid - c a< 0 ;
• kommer att ha två rötter x = - c a och x = - - c a för - c a > 0.

Låt oss ge exempel på hur vi löser ekvationerna a x 2 + c = 0.

Exempel 3

Givet en andragradsekvation 9 x 2 + 7 = 0. Det är nödvändigt att hitta en lösning.

Lösning

Låt oss flytta den fria termen till höger sida av ekvationen, så kommer ekvationen att ta formen 9 x 2 = − 7.
Låt oss dividera båda sidorna av den resulterande ekvationen med 9 , kommer vi fram till x 2 = - 7 9 . På höger sida ser vi ett tal med ett minustecken, vilket betyder: den givna ekvationen har inga rötter. Sedan den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen 9 x 2 + 7 = 0 kommer inte att ha några rötter.

Svar: ekvationen 9 x 2 + 7 = 0 har inga rötter.

Exempel 4

Ekvationen måste lösas − x2 + 36 = 0.

Lösning

Låt oss flytta 36 till höger sida: − x 2 = − 36.
Låt oss dela båda delarna med − 1 , vi får x2 = 36. På höger sida finns ett positivt tal, från vilket vi kan dra slutsatsen att x = 36 eller x = -36.
Låt oss extrahera roten och skriva ner det slutliga resultatet: ofullständig andragradsekvation − x2 + 36 = 0 har två rötter x=6 eller x = -6.

Svar: x=6 eller x = -6.

Lösning av ekvationen a x 2 +b x=0

Låt oss analysera den tredje typen av ofullständiga andragradsekvationer, när c = 0. Att hitta en lösning på en ofullständig andragradsekvation a x 2 + b x = 0, kommer vi att använda faktoriseringsmetoden. Låt oss faktorisera polynomet som finns på vänster sida av ekvationen och ta den gemensamma faktorn ur parentes x. Detta steg kommer att göra det möjligt att omvandla den ursprungliga ofullständiga andragradsekvationen till dess ekvivalent x (a x + b) = 0. Och denna ekvation är i sin tur ekvivalent med en uppsättning ekvationer x = 0 Och a x + b = 0. Ekvationen a x + b = 0 linjär, och dess rot: x = − b a.

Definition 7

Alltså den ofullständiga andragradsekvationen a x 2 + b x = 0 kommer att ha två rötter x = 0 Och x = − b a.

Låt oss förstärka materialet med ett exempel.

Exempel 5

Det är nödvändigt att hitta en lösning på ekvationen 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Lösning

Vi tar ut den x utanför parentesen får vi ekvationen x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Denna ekvation är likvärdig med ekvationerna x = 0 och 2 3 x - 2 2 7 = 0. Nu ska du lösa den resulterande linjära ekvationen: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Skriv kortfattat lösningen till ekvationen så här:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 eller x = 3 3 7

Svar: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, formel för rötterna till en andragradsekvation

För att hitta lösningar på andragradsekvationer finns det en rotformel:

Definition 8

x = - b ± D2 · a, där D = b 2 − 4 a c– den så kallade diskriminanten i en andragradsekvation.

Att skriva x = - b ± D 2 · a betyder i huvudsak att x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Det skulle vara användbart att förstå hur denna formel härleddes och hur man tillämpar den.

Härledning av formeln för rötterna till en andragradsekvation

Låt oss ställas inför uppgiften att lösa en andragradsekvation a x 2 + b x + c = 0. Låt oss utföra ett antal motsvarande transformationer:

• dividera båda sidor av ekvationen med ett tal a, annorlunda än noll, får vi följande andragradsekvation: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• låt oss markera perfekt fyrkant på vänster sida av den resulterande ekvationen:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Efter detta kommer ekvationen att ha formen: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Nu är det möjligt att överföra de två sista termerna till höger sida, ändra tecknet till det motsatta, varefter vi får: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Slutligen transformerar vi uttrycket skrivet på höger sida av den sista jämlikheten:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Därmed kommer vi fram till ekvationen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalent med den ursprungliga ekvationen a x 2 + b x + c = 0.

Vi undersökte lösningen av sådana ekvationer i de föregående styckena (att lösa ofullständiga andragradsekvationer). De erfarenheter som redan vunnits gör det möjligt att dra en slutsats om rötterna till ekvationen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• med b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• när b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 är ekvationen x + b 2 · a 2 = 0, då är x + b 2 · a = 0.

Härifrån är den enda roten x = - b 2 · a uppenbar;

• för b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 kommer följande att vara sant: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , vilket är samma som x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , dvs. ekvationen har två rötter.

Det är möjligt att dra slutsatsen att närvaron eller frånvaron av rötter i ekvationen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (och därför den ursprungliga ekvationen) beror på tecknet för uttrycket b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 skrivet på höger sida. Och tecknet för detta uttryck ges av täljarens tecken, (nämnare 4 a 2 kommer alltid att vara positivt), det vill säga uttryckets tecken b 2 − 4 a c. Detta uttryck b 2 − 4 a c namnet ges - diskriminanten för andragradsekvationen och bokstaven D definieras som dess beteckning. Här kan du skriva ner essensen av diskriminanten - baserat på dess värde och tecken kan de dra slutsatsen om andragradsekvationen kommer att ha riktiga rötter, och i så fall vad är antalet rötter - en eller två.

Låt oss återgå till ekvationen x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Låt oss skriva om det med diskriminant notation: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Låt oss formulera våra slutsatser igen:

Definition 9

• på D< 0 ekvationen har inga egentliga rötter;
• på D=0 ekvationen har en enda rot x = - b 2 · a ;
• på D > 0 ekvationen har två rötter: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 eller x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Baserat på egenskaperna hos radikaler kan dessa rötter skrivas i formen: x = - b 2 · a + D 2 · a eller - b 2 · a - D 2 · a. Och när vi öppnar modulerna och bringar bråken till en gemensam nämnare får vi: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Så resultatet av vårt resonemang var härledningen av formeln för rötterna till en andragradsekvation:

x = - b + D2a, x = -b - D2a, diskriminant D beräknas med formeln D = b 2 − 4 a c.

Dessa formler gör det möjligt att bestämma båda reella rötter när diskriminanten är större än noll. När diskriminanten är noll, kommer tillämpning av båda formlerna att ge samma rot, som enda beslut andragradsekvation. I det fall där diskriminanten är negativ, om vi försöker använda formeln för roten till en andragradsekvation, kommer vi att ställas inför behovet av att extrahera Roten ur från ett negativt tal, vilket tar oss bortom de reella talen. Med en negativ diskriminant kommer andragradsekvationen inte att ha reella rötter, men ett par komplexa konjugerade rötter är möjliga, bestämt av samma rotformler som vi fick.

Algoritm för att lösa andragradsekvationer med hjälp av rotformler

Det är möjligt att lösa en andragradsekvation genom att omedelbart använda rotformeln, men detta görs vanligtvis när det är nödvändigt att hitta komplexa rötter.

I de flesta fall innebär det vanligtvis att man inte söker efter komplexa, utan efter verkliga rötter till en andragradsekvation. Då är det optimalt, innan du använder formlerna för rötterna i en andragradsekvation, att först bestämma diskriminanten och se till att den inte är negativ (annars kommer vi att dra slutsatsen att ekvationen inte har några riktiga rötter), och sedan fortsätta med att beräkna rötternas värde.

Resonemanget ovan gör det möjligt att formulera en algoritm för att lösa en andragradsekvation.

Definition 10

Att lösa en andragradsekvation a x 2 + b x + c = 0, nödvändigt:

• enligt formeln D = b 2 − 4 a c hitta det diskriminerande värdet;
• på D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• för D = 0, hitta den enda roten av ekvationen med formeln x = - b 2 · a ;
• för D > 0, bestäm två reella rötter av andragradsekvationen med formeln x = - b ± D 2 · a.

Observera att när diskriminanten är noll kan du använda formeln x = - b ± D 2 · a, det kommer att ge samma resultat som formeln x = - b 2 · a.

Tänk på exempel.

Exempel på att lösa andragradsekvationer

Låt oss ge en lösning på exemplen för olika betydelser diskriminerande.

Exempel 6

Vi måste hitta rötterna till ekvationen x 2 + 2 x − 6 = 0.

Lösning

Låt oss skriva ner de numeriska koefficienterna för andragradsekvationen: a = 1, b = 2 och c = − 6. Därefter agerar vi enligt algoritmen, d.v.s. Låt oss börja beräkna diskriminanten, för vilken vi ersätter koefficienterna a , b Och c i den diskriminerande formeln: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Så vi får D > 0, vilket betyder att den ursprungliga ekvationen kommer att ha två reella rötter.
För att hitta dem använder vi rotformeln x = - b ± D 2 · a och, ersätter motsvarande värden, får vi: x = - 2 ± 28 2 · 1. Låt oss förenkla det resulterande uttrycket genom att ta faktorn ur rottecknet och sedan reducera bråket:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 eller x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 eller x = - 1 - 7

Svar: x = -1 + 7, x = -1 - 7.

Exempel 7

Det är nödvändigt att lösa en andragradsekvation − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lösning

Låt oss definiera diskriminanten: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Med detta värde på diskriminanten kommer den ursprungliga ekvationen bara att ha en rot, bestämd av formeln x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Svar: x = 3,5.

Exempel 8

Ekvationen måste lösas 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Lösning

De numeriska koefficienterna för denna ekvation kommer att vara: a = 5, b = 6 och c = 2. Vi använder dessa värden för att hitta diskriminanten: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Den beräknade diskriminanten är negativ, så den ursprungliga andragradsekvationen har inga egentliga rötter.

I det fall då uppgiften är att indikera komplexa rötter, tillämpar vi rotformeln genom att utföra operationer med komplexa tal:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 eller x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i eller x = - 3 5 - 1 5 · i.

Svar: det finns inga riktiga rötter; de komplexa rötterna är som följer: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

I Läroplanen Det finns inget standardkrav på att leta efter komplexa rötter, därför, om diskriminanten under lösningen bestäms vara negativ, skrivs svaret omedelbart ner att det inte finns några riktiga rötter.

Rotformel för jämna andrakoefficienter

Rotformeln x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) gör det möjligt att få en annan formel, mer kompakt, som låter dig hitta lösningar på andragradsekvationer med en jämn koefficient vid x (eller med en koefficient av formen 2 a n, till exempel 2 3 eller 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Låt oss visa hur denna formel härleds.

Låt oss ställas inför uppgiften att hitta en lösning på andragradsekvationen a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Vi fortsätter enligt algoritmen: vi bestämmer diskriminanten D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), och använder sedan rotformeln:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Låt uttrycket n 2 − a · c betecknas som D 1 (ibland betecknas det D "). Då kommer formeln för rötterna till den andragradsekvation som är under övervägande med den andra koefficienten 2 · n att ha formen:

x \u003d - n ± D 1 a, där D 1 \u003d n 2 - a c.

Det är lätt att se att D = 4 · D 1, eller D 1 = D 4. D 1 är med andra ord en fjärdedel av diskriminanten. Uppenbarligen är tecknet för D 1 detsamma som tecknet för D, vilket betyder att tecknet för D 1 också kan fungera som en indikator på närvaron eller frånvaron av rötter i en andragradsekvation.

Definition 11

För att hitta en lösning på en andragradsekvation med en andra koefficient på 2 n är det alltså nödvändigt:

• hitta D 1 = n 2 − a c ;
• vid D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• för D 1 = 0, bestäm den enda roten av ekvationen med formeln x = - n a ;
• för D 1 > 0, bestäm två reella rötter med formeln x = - n ± D 1 a.

Exempel 9

Det är nödvändigt att lösa andragradsekvationen 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Lösning

Den andra koefficienten i den givna ekvationen kan representeras som 2 · (− 3) . Sedan skriver vi om den givna andragradsekvationen till 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , där a = 5 , n = − 3 och c = − 32 .

Låt oss beräkna den fjärde delen av diskriminanten: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Det resulterande värdet är positivt, vilket betyder att ekvationen har två reella rötter. Låt oss bestämma dem med hjälp av motsvarande rotformel:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 eller x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 eller x = - 2

Det skulle vara möjligt att utföra beräkningar med hjälp av den vanliga formeln för rötterna till en andragradsekvation, men i det här fallet skulle lösningen vara mer besvärlig.

Svar: x = 3 1 5 eller x = - 2 .

Förenkla formen av andragradsekvationer

Ibland är det möjligt att optimera formen på den ursprungliga ekvationen, vilket kommer att förenkla processen för att beräkna rötterna.

Till exempel är andragradsekvationen 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 klart mer bekväm att lösa än 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Oftare utförs förenklingen av formen av en kvadratisk ekvation genom att multiplicera eller dividera dess båda delar med ett visst tal. Till exempel, ovan har vi visat en förenklad registrering av ekvationen 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, erhållen genom att dividera båda dess delar med 100.

En sådan transformation är möjlig när koefficienterna för andragradsekvationen inte är coprimtal. Då brukar vi dividera båda sidor av ekvationen med den största gemensam divisor absoluta värden av dess koefficienter.

Som exempel använder vi andragradsekvationen 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Låt oss bestämma GCD för de absoluta värdena för dess koefficienter: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Låt oss dividera båda sidorna av den ursprungliga andragradsekvationen med 6 och få den ekvivalenta andragradsekvationen 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Genom att multiplicera båda sidor av en andragradsekvation blir man vanligtvis av med bråkkoefficienter. I det här fallet multiplicerar du med den minsta gemensamma multipeln av nämnarna för dess koefficienter. Till exempel, om varje del av andragradsekvationen 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 multipliceras med LCM (6, 3, 1) = 6, kommer det att skrivas i mer i enkel form x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Slutligen noterar vi att vi nästan alltid blir av med minus vid den första koefficienten i en andragradsekvation genom att ändra tecknen för varje term i ekvationen, vilket uppnås genom att multiplicera (eller dividera) båda sidor med − 1. Till exempel, från andragradsekvationen − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0, kan du gå till dess förenklade version 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Samband mellan rötter och koefficienter

Formeln för rötterna till andragradsekvationer, som vi redan känner till, x = - b ± D 2 · a, uttrycker ekvationens rötter genom dess numeriska koefficienter. Utifrån denna formel har vi möjlighet att specificera andra beroenden mellan rötterna och koefficienterna.

De mest kända och tillämpliga är formlerna för Vieta-satsen:

x 1 + x 2 \u003d - b a och x 2 \u003d c a.

Speciellt för den givna andragradsekvationen är summan av rötterna den andra koefficienten med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen. Till exempel, med formen av andragradsekvationen 3 · x 2 − 7 · x + 22 \u003d 0, är ​​det möjligt att omedelbart bestämma att summan av dess rötter är 7 3 och produkten av rötterna är 22 3.

Du kan också hitta ett antal andra samband mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation. Till exempel kan summan av kvadraterna av rötterna i en andragradsekvation uttryckas i termer av koefficienter:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter