i j k vektörlerinin çapraz çarpımı. Koordinatlarla verilen vektörlerin vektör çarpımı

Vektör çarpımı kavramını vermeden önce, üç boyutlu uzayda sıralı bir a →, b →, c → vektör üçlüsünün yönelimi sorununa dönelim.

Başlangıç ​​olarak, bir noktadan itibaren a → , b → , c → vektörlerini bir kenara bırakalım. a → , b → , c → üçlüsünün yönelimi, c → vektörünün yönüne bağlı olarak sağa veya sola olabilir. a → , b → , c → üçlüsünün türü, a → vektöründen c → vektörünün sonundan b →'ye en kısa dönüşün yapıldığı yönden belirlenecektir.

En kısa dönüş saat yönünün tersine yapılırsa, a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü denir Sağ, saat yönünde ise – sol.

Daha sonra, doğrusal olmayan iki a → ve b → vektörünü alın. Daha sonra A noktasından A B → = a → ve A C → = b → vektörlerini çizelim. Hem A B → hem de A C →'ye aynı anda dik olan bir AD → = c → vektörü oluşturalım. Böylece, AD → = c → vektörünün kendisini oluştururken, ona bir yön veya tersi vererek iki şey yapabiliriz (resme bakın).

a → , b → , c → vektörlerinin sıralı üçlüsü, öğrendiğimiz gibi, vektörün yönüne bağlı olarak sağ veya sol olabilir.

Yukarıdakilerden bir vektör çarpımının tanımını tanıtabiliriz. Bu tanımüç boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan iki vektör için verilmiştir.

Tanım 1

İki vektörün vektör çarpımı a → ve b → üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan böyle bir vektörü şöyle adlandıracağız:

• a → ve b → vektörleri eşdoğrusal ise sıfır olacaktır;
• hem a vektörüne hem de b vektörüne dik olacaktır, yani. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• uzunluğu şu formülle belirlenir: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü verilen koordinat sistemiyle aynı yönelime sahiptir.

Vektör çizimleri a → ve b → vektörleri aşağıdaki gösterime sahiptir: a → × b → .

Vektör çarpımının koordinatları

Herhangi bir vektörün koordinat sisteminde belirli koordinatları olduğundan, vektör çarpımının ikinci bir tanımını sunabiliriz; bu, vektörlerin verilen koordinatlarını kullanarak koordinatlarını bulmamızı sağlayacaktır.

Tanım 2

Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde a → = (a x ; a y ; a z) ve b → = (b x ; b y ; b z) iki vektörünün vektör çarpımı bir vektör olarak adlandırılır c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , burada i → , j → , k → koordinat vektörleridir.

Vektör çarpımı üçüncü dereceden bir kare matrisin determinantı olarak temsil edilebilir; burada ilk satır i → , j → , k → vektör vektörlerini içerir, ikinci satır a → vektörünün koordinatlarını içerir ve üçüncü satır belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde b → vektörünün koordinatlarını içerir, bu matrisin determinantı şu şekilde görünür: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Bu determinantı ilk satırın elemanlarına genişleterek eşitliği elde ederiz: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · ben → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) ben → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Çapraz çarpımın özellikleri

Koordinatlardaki vektör çarpımının c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z matrisinin determinantı olarak temsil edildiği bilinmektedir. matris determinantının özellikleri aşağıdakiler görüntülenir bir vektör ürününün özellikleri:

1. antideğişme a → × b → = - b → × a → ;
2. dağılım a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → veya a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + bir → × b (2) → ;
3. ilişkilendirilebilirlik λ a → × b → = λ a → × b → veya a → × (λ b →) = λ a → × b →, burada λ isteğe bağlı bir gerçek sayıdır.

Bu özelliklerin basit kanıtları vardır.

Örnek olarak, bir vektör çarpımının anti-değişme özelliğini kanıtlayabiliriz.

Antideğişmenin kanıtı

Tanım gereği, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ve b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Ve eğer matrisin iki satırı değiştirilirse, matrisin determinantının değeri ters yönde değişmelidir, bu nedenle, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , bu da vektör çarpımının ters-değişmeli olduğunu kanıtlar.

Vektör çarpımı - örnekler ve çözümler

Çoğu durumda üç tür sorun vardır.

Birinci tür problemlerde genellikle iki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı verilir ve vektör çarpımının uzunluğunu bulmanız gerekir. Bu durumda aşağıdaki formülü kullanın c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

örnek 1

a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4'ü biliyorsanız, a → ve b → vektörlerinin vektör çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm

a → ve b → vektörlerinin vektör çarpımının uzunluğunu belirleyerek bu sorunu çözeriz: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2.

Cevap: 15 2 2 .

İkinci tip problemlerin vektörlerin koordinatları, vektör çarpımı, uzunluğu vb. ile bağlantısı vardır. Verilen vektörlerin bilinen koordinatları üzerinden arama yapılır bir → = (a x; a y; a z) Ve b → = (b x ; b y ; b z) .

Bu tür bir problem için birçok görev seçeneğini çözebilirsiniz. Örneğin, a → ve b → vektörlerinin koordinatları belirtilemez, ancak bunların formun koordinat vektörlerine açılımları belirtilebilir. b → = b x · ben → + b y · j → + b z · k → ve c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → veya a → ve b → vektörleri başlangıç ​​koordinatlarıyla belirtilebilir ve bitiş noktaları.

Aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun.

Örnek 2

Dikdörtgen koordinat sisteminde iki vektör verilir: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Çapraz çarpımlarını bulun.

Çözüm

İkinci tanıma göre, verilen koordinatlardaki iki vektörün vektör çarpımını buluruz: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · ben → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Vektör çarpımını matrisin determinantına göre yazarsak çözüm bu örnekşuna benzer: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Cevap: a → × b → = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Örnek 3

i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin vektör çarpımının uzunluğunu bulun; burada i →, j →, k → dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin birim vektörleridir.

Çözüm

İlk olarak, belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde belirli bir i → - j → × i → + j → + k → vektör çarpımının koordinatlarını bulalım.

i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin sırasıyla (1; - 1; 0) ve (1; 1; 1) koordinatlarına sahip olduğu bilinmektedir. Matrisin determinantını kullanarak vektör çarpımının uzunluğunu bulalım, o zaman i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Bu nedenle, i → - j → × i → + j → + k → vektör çarpımı verilen koordinat sisteminde (- 1 ; - 1 ; 2) koordinatlara sahiptir.

Vektör çarpımının uzunluğunu şu formülü kullanarak buluruz (bir vektörün uzunluğunu bulma bölümüne bakın): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Cevap: ben → - j → × ben → + j → + k → = 6 . .

Örnek 4

Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) üç noktasının koordinatları verilmektedir. A B → ve A C →'ye aynı anda dik olan bir vektör bulun.

Çözüm

A B → ve A C → vektörleri sırasıyla (- 1 ; 2 ; 2) ve (0 ; 4 ; 1) koordinatlarına sahiptir. A B → ve AC → vektörlerinin vektör çarpımını bulduktan sonra, bunun tanımı gereği hem A B → hem de AC →'ye dik bir vektör olduğu, yani sorunumuza bir çözüm olduğu açıktır. Bunu bulalım A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Cevap: - 6 ben → + j → - 4 k → . - dik vektörlerden biri.

Üçüncü tip problemler, vektörlerin vektör çarpımının özelliklerinin kullanılmasına odaklanmıştır. Bunu uyguladıktan sonra verilen soruna bir çözüm elde edeceğiz.

Örnek 5

a → ve b → vektörleri diktir ve uzunlukları sırasıyla 3 ve 4'tür. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → vektör çarpımının uzunluğunu bulun + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Çözüm

Bir vektör çarpımının dağılma özelliği ile 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 yazabiliriz. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

İlişkilendirilebilirlik özelliğiyle, son ifadedeki vektör çarpımlarının işaretinden sayısal katsayıları alıyoruz: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → ve b → × b → vektör çarpımları 0'a eşittir, çünkü a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ve b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, sonra 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Vektör çarpımının antideğişme özelliğinden şu sonuç çıkar: - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Vektör çarpımının özelliklerini kullanarak 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → eşitliğini elde ederiz.

Koşul gereği, a → ve b → vektörleri diktir, yani aralarındaki açı π 2'ye eşittir. Şimdi geriye kalan tek şey, bulunan değerleri uygun formüllerde değiştirmektir: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · günah (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · günah π 2 = 60 .

Cevap: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Tanım gereği vektörlerin vektör çarpımının uzunluğu şuna eşittir: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Zaten bilindiği için (okul kursundan), bir üçgenin alanının, iki kenarının uzunluğunun çarpımının yarısına, bu kenarlar arasındaki açının sinüsüne eşit olduğu bilinmektedir. Sonuç olarak, vektör ürününün uzunluğu paralelkenarın alanına eşittir - çift üçgen, yani kenarların a → ve b → vektörleri biçimindeki çarpımı, bir noktadan sinüs ile ortaya konur. aralarındaki açı sin ∠ a →, b →.

Bu bir vektör çarpımının geometrik anlamıdır.

Vektör çarpımının fiziksel anlamı

Fiziğin dallarından biri olan mekanikte vektör çarpımı sayesinde bir kuvvetin uzaydaki bir noktaya göre momenti belirlenebilmektedir.

Tanım 3

A noktasına göre B noktasına F → kuvveti uygulandığında, aşağıdaki A B → × F → vektör çarpımını anlayacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

cevrimici hesap makinesi Vektörlerin çapraz çarpımını hesaplar. Ayrıntılı bir çözüm verilmiştir. Vektörlerin çapraz çarpımını hesaplamak için vektörlerin koordinatlarını hücrelere girin ve "Hesapla" butonuna tıklayın.

×

Uyarı

Tüm hücreler temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri girişi talimatları. Sayılar tam sayı (örnek: 487, 5, -7623 vb.), ondalık sayı (örn. 67., 102,54 vb.) veya kesir olarak girilir. Kesir a/b biçiminde girilmelidir; burada a ve b (b>0) tam sayı veya ondalık sayıdır. Örnekler 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7, vb.

Vektörlerin vektör çarpımı

Vektörlerin vektör çarpımının tanımına geçmeden önce kavramları ele alalım. sıralı vektör üçlüsü, sol vektör üçlüsü, sağ vektör üçlüsü.

Tanım 1. Üç vektöre denir üçlü sipariş(veya üçlü), bu vektörlerden hangisinin birinci, hangisinin ikinci ve hangisinin üçüncü olduğu belirtilirse.

Kayıt cba- anlamına gelir - ilki bir vektördür C ikincisi vektördür B ve üçüncüsü vektördür A.

Tanım 2. Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü ABC ortak bir orijine indirgendiğinde bu vektörler büyük, bükülmemiş indeksle aynı şekilde konumlandırılırsa sağ (sol) olarak adlandırılır ve orta parmaklar sağ (sol) el.

Tanım 2 farklı şekilde formüle edilebilir.

Tanım 2". Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü ABC ortak bir orijine indirgendiğinde vektör sağ (sol) olarak adlandırılır. C vektörlerle tanımlanan düzlemin diğer tarafında bulunur A Ve B, nereden en kısa dönüş Aİle B saat yönünün tersine (saat yönünde) gerçekleştirilir.

Vektörlerin üçlüsü ABC, Şekil 2'de gösterilmiştir. 1 doğru ve üç ABCŞekil 2'de gösterilmiştir. 2 soldakidir.

Eğer iki üçlü vektör sağa veya sola ise, bunların aynı yönelimde olduğu söylenir. Aksi takdirde zıt yönelimli oldukları söylenir.

Tanım 3. Üç temel vektör bir sağ (sol) üçlü oluşturuyorsa, Kartezyen veya afin koordinat sistemine sağ (sol) denir.

Kesinlik sağlamak için, aşağıda yalnızca sağ koordinat sistemlerini ele alacağız.

Tanım 4. Vektör çizimleri vektör A vektöre B vektör denir İle, sembolüyle gösterilir c=[ab] (veya c=[a,b], veya c=a×b) ve aşağıdaki üç gereksinimi karşılıyor:

• vektör uzunluğu İle vektör uzunluklarının çarpımına eşit A Ve B açının sinüsü ile φ onların arasında:

|C|=|[ab]|=|A||B|günah;

(1)

• vektör İle vektörlerin her birine dik A Ve B;
• vektör Cöyle yönlendirildi ki üçü ABC doğrudur.

Vektörlerin çapraz çarpımı aşağıdaki özelliklere sahiptir:

• [ab]=−[ba] (anti-geçirgenlik faktörler);
• [(λa)B]=λ [ab] (kombinasyon sayısal faktöre göre);
• [(a+b)C]=[AC]+[BC] (dağıtıcılık vektörlerin toplamına göre);
• [aa Herhangi bir vektör için ]=0 A.

Vektörlerin vektör çarpımının geometrik özellikleri

Teorem 1. İki vektörün doğrusal olması için vektör çarpımlarının sıfıra eşit olması gerekli ve yeterlidir.

Kanıt. Gereklilik. Vektörler olsun A Ve B doğrusal. O zaman aralarındaki açı 0 veya 180° olur ve günah=günah180=günah 0=0. Bu nedenle ifade (1) dikkate alınarak vektörün uzunluğu C sıfıra eşittir. Daha sonra C sıfır vektör.

Yeterlilik. Vektörlerin vektör çarpımı olsun A Ve B açıkçası sıfır: [ ab]=0. Vektörlerin olduğunu kanıtlayalım. A Ve B doğrusal. Eğer vektörlerden en az biri A Ve B sıfır ise bu vektörler eşdoğrusaldır (çünkü sıfır vektörünün belirsiz bir yönü vardır ve herhangi bir vektörle eşdoğrusal kabul edilebilir).

Her iki vektör ise A Ve B sıfır değilse | A|>0, |B|>0. Daha sonra [ ab]=0 ve (1)'den şu sonuç çıkıyor günah=0. Bu nedenle vektörler A Ve B doğrusal.

Teorem kanıtlandı.

Teorem 2. Vektör çarpımının uzunluğu (modülü) [ ab] alana eşittir S Ortak bir kökene indirgenmiş vektörler üzerine oluşturulmuş paralelkenar A Ve B.

Kanıt. Bildiğiniz gibi bir paralelkenarın alanı, bu paralelkenarın bitişik kenarlarının çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir. Buradan:

O zaman bu vektörlerin vektör çarpımı şu şekildedir:

Determinantı ilk satırın elemanlarına genişleterek vektörün ayrışmasını elde ederiz. a×b temelde ben, j, k formül (3)'e eşdeğerdir.

Teorem 3'ün İspatı. Tüm olası temel vektör çiftlerini oluşturalım ben, j, k ve bunların vektör çarpımını hesaplayın. Temel vektörlerin birbirine dik olduğu, sağ yönlü bir üçlü oluşturduğu ve birim uzunluğa sahip olduğu dikkate alınmalıdır (başka bir deyişle, Ben={1, 0, 0}, J={0, 1, 0}, k=(0, 0, 1)). O zaman elimizde:

Son eşitlik ve ilişkilerden (4) şunu elde ederiz:

İlk satırı temel vektörler olan 3x3'lük bir matris oluşturalım ben, j, k, ve kalan çizgiler vektör elemanlarıyla doldurulur A Ve B:

Böylece vektörlerin vektör çarpımının sonucu A Ve B bir vektör olacak:

.

Örnek 2. Vektörlerin vektör çarpımını bulun [ ab], vektör nerede A iki nokta ile temsil edilir. a vektörünün başlangıç ​​noktası: , vektörün bitiş noktası A: , vektör B benziyor .

Çözüm: Birinci vektörü orijine taşıyın. Bunu yapmak için başlangıç ​​noktasının koordinatlarını bitiş noktasının karşılık gelen koordinatlarından çıkarın:

Bu matrisin determinantını ilk satır boyunca genişleterek hesaplayalım. Bu hesaplamaların sonucu vektörlerin vektör çarpımıdır. A Ve B.

Vektör çizimleriüç boyutlu Öklid uzayındaki vektörler üzerinde "vektör çarpımı" ikili işleminin sonucu olan, iki faktörden oluşturulan bir düzleme dik bir sözde vektördür. Vektör çarpımı değişme ve birleşme özelliklerine sahip değildir (anti-değişmelidir) ve vektörlerin skaler çarpımından farklı olarak bir vektördür. Birçok mühendislik ve fizik uygulamasında yaygın olarak kullanılır. Örneğin açısal momentum ve Lorentz kuvveti matematiksel olarak vektörel çarpım olarak yazılır. Çapraz çarpım, vektörlerin dikliğini "ölçmek" için kullanışlıdır - iki vektörün çapraz çarpımının modülü, bunlar dikse modüllerinin çarpımına eşittir ve vektörler paralel veya antiparalelse sıfıra düşer.

Vektör çarpımı farklı şekillerde tanımlanabilir ve teorik olarak herhangi bir n boyutlu uzayda n-1 vektörün çarpımı hesaplanabilir, böylece hepsine dik tek bir vektör elde edilebilir. Ancak çarpım, vektör sonuçları olan önemsiz ikili ürünlerle sınırlıysa, o zaman geleneksel vektör çarpımı yalnızca üç boyutlu ve yedi boyutlu uzaylarda tanımlanır. Bir vektör çarpımının sonucu, tıpkı bir skaler çarpım gibi, Öklid uzayının metriğine bağlıdır.

Üç boyutlu dikdörtgen koordinat sistemindeki koordinatlardan skaler çarpım vektörlerini hesaplama formülünden farklı olarak çapraz çarpım formülü, dikdörtgen koordinat sisteminin yönüne veya başka bir deyişle "kiralliğine" bağlıdır.

Tanım:
R3 uzayındaki a vektörü ile b vektörünün vektör çarpımı, aşağıdaki gereksinimleri karşılayan bir c vektörüdür:
c vektörünün uzunluğu, a ve b vektörlerinin uzunlukları ile aralarındaki φ açısının sinüsünün çarpımına eşittir:
|c|=|a||b|sin φ;
c vektörü a ve b vektörlerinin her birine diktir;
c vektörü, abc vektörlerinin üçlüsü sağ yönlü olacak şekilde yönlendirilir;
R7 uzayı durumunda, a, b, c vektörlerinin üçlüsünün ilişkilendirilebilirliği gereklidir.
Tanım:
c===a × b

Pirinç. 1. Paralelkenarın alanı vektör çarpımının modülüne eşittir

Çapraz çarpımın geometrik özellikleri:
Sıfırdan farklı iki vektörün doğrusallığı için gerekli ve yeterli koşul, bunların vektör çarpımının sıfıra eşit olmasıdır.

Çapraz Ürün Modülü alan eşittir S Ortak bir kökene indirgenmiş vektörler üzerine oluşturulmuş paralelkenar A Ve B(bkz. Şekil 1).

Eğer e- vektörlere dik birim vektör A Ve B ve üç tane olacak şekilde seçildi a,b,e- doğru ve Süzerlerine inşa edilen paralelkenarın alanı (ortak bir kökene indirgenmiş), o zaman vektör çarpımının formülü geçerlidir:
=S e

İncir. 2. Vektör ve vektörlerin skaler çarpımı kullanılarak bir paralelyüzün hacmi; noktalı çizgiler c vektörünün a × b'ye ve a vektörünün b × c'ye izdüşümlerini gösterin, ilk adım skaler çarpımları bulmaktır

Eğer C- bazı vektörler, π - bu vektörü içeren herhangi bir düzlem, e- düzlemde yer alan birim vektör π ve dik c,g- düzleme dik birim vektör π ve vektörlerin üçlüsü olacak şekilde yönlendirildi ekg doğru, o zaman uçakta yatan herkes için π vektör A formül doğrudur:
=Pr e a |c|g
burada Pr ea e vektörünün a'ya izdüşümüdür.
|c|-c vektörünün modülü

Vektör ve skaler çarpımları kullanırken, ortak bir kökene indirgenmiş vektörler üzerine kurulu bir paralelyüzün hacmini hesaplayabilirsiniz. a, b Ve C. Üç vektörün böyle bir çarpımına karışık denir.
V=|a (b×c)|
Şekil bu hacmin iki şekilde bulunabileceğini göstermektedir: "skaler" ve "vektör" çarpımları değiştirilse bile geometrik sonuç korunur:
V=a×b c=a b×c

Çapraz çarpımın büyüklüğü, orijinal vektörler arasındaki açının sinüsüne bağlıdır, dolayısıyla çapraz çarpım, vektörlerin "diklik" derecesi olarak algılanabilir, tıpkı skaler çarpımın "paralellik derecesi" olarak görülebilmesi gibi. ”. İki birim vektörün vektör çarpımı, orijinal vektörler dik ise 1'e (birim vektör), vektörler paralel veya antiparalel ise 0'a (sıfır vektör) eşittir.

Çapraz çarpımın Kartezyen koordinatlarda ifadesi
İki vektör ise A Ve B dikdörtgen Kartezyen koordinatlarıyla tanımlanır veya daha kesin olarak ortonormal temelde temsil edilir
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,bz)
ve koordinat sistemi sağ el ise, bunların vektör çarpımı şu şekildedir:
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Bu formülü hatırlamak için:
ben =∑ε ijk a j b k
Nerede ε ijk- Levi-Civita'nın sembolü.

Bu derste vektörlerle iki işleme daha bakacağız: vektörlerin vektör çarpımı Ve vektörlerin karışık çarpımı (İhtiyacı olanlar için hemen link). Sorun değil, bazen tam mutluluk için de olur vektörlerin skaler çarpımı giderek daha fazlasına ihtiyaç duyulmaktadır. Bu vektör bağımlılığıdır. Analitik geometri ormanına giriyormuşuz gibi görünebilir. Bu yanlış. Yüksek matematiğin bu bölümünde, belki Pinokyo'ya yetecek kadar olanın dışında, genellikle çok az tahta bulunur. Aslında materyal çok yaygın ve basittir; aynı materyalden neredeyse hiç karmaşık değildir. skaler çarpım hatta daha az tipik görev olacak. Analitik geometrideki en önemli şey, birçok kişinin ikna olacağı veya zaten ikna olduğu gibi, HESAPLAMALARDA HATA YAPMMAKTIR. Büyü gibi tekrarlayın, mutlu olacaksınız =)

Vektörler uzak bir yerde ufuktaki şimşek gibi parlıyorsa fark etmez, dersten başlayın Aptallar için vektörler vektörler hakkındaki temel bilgileri geri yüklemek veya yeniden edinmek. Daha hazırlıklı okuyucular bilgileri seçici olarak tanıyabilir; sıklıkla bulunan örneklerin en eksiksiz koleksiyonunu toplamaya çalıştım. pratik iş

Seni hemen ne mutlu edecek? Küçükken iki hatta üç topla hokkabazlık yapabilirdim. İyi sonuç verdi. Şimdi dikkate alacağımız için hokkabazlık yapmanıza gerek kalmayacak. yalnızca uzaysal vektörler ve iki koordinatlı düz vektörler dışarıda bırakılacaktır. Neden? Bu eylemler böyle doğdu - vektör ve vektörlerin karışık çarpımı tanımlanır ve üç boyutlu uzayda çalışır. Zaten daha kolay!

Bu işlem, tıpkı skaler çarpım gibi, şunları içerir: iki vektör. Bunlar ölümsüz harfler olsun.

Eylemin kendisi ile gösterilir Aşağıdaki şekilde: . Başka seçenekler de var, ancak ben vektörlerin vektör çarpımını bu şekilde köşeli parantez içinde ve çarpı işaretiyle göstermeye alışkınım.

Ve hemen soru: eğer içerideyse vektörlerin skaler çarpımı iki vektör söz konusudur ve burada iki vektör de çarpılır, o zaman fark ne? Bariz fark, her şeyden önce SONUÇ'tadır:

Vektörlerin skaler çarpımının sonucu SAYI'dır:

Vektörlerin çapraz çarpımının sonucu VEKTÖRdür: yani vektörleri çarpıyoruz ve tekrar bir vektör elde ediyoruz. Kapalı kulüp. Aslında operasyonun adı da buradan geliyor. Çeşitliliğinde eğitim literatürü Tanımlamalar da değişebilir, harfi kullanacağım.

Çapraz çarpımın tanımı

Önce resimli bir tanım olacak, sonra yorumlar.

Tanım: Vektör çarpımı doğrusal olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı VEKTÖR adı verilen, uzunluk sayısal olarak paralelkenarın alanına eşit, bu vektörler üzerine inşa edilmiş; vektör vektörlere dik, ve tabanın doğru yönelime sahip olacağı şekilde yönlendirilir:

Tanımı parça parça inceleyelim, burada pek çok ilginç şey var!

Dolayısıyla aşağıdaki önemli noktalar vurgulanabilir:

1) Tanım gereği kırmızı oklarla gösterilen orijinal vektörler doğrusal değil. Doğrusal vektörler durumunu biraz sonra ele almak uygun olacaktır.

2) Vektörler alınır katı bir şekilde belli bir sırayla : – "a" "olmak" ile çarpılır, “a” ile “olmak” değil. Vektör çarpımının sonucu mavi renkle gösterilen VEKTÖR'dür. Vektörler ters sırada çarpılırsa eşit uzunlukta ve zıt yönde (ahududu rengi) bir vektör elde ederiz. Yani eşitlik doğrudur .

3) Şimdi vektör çarpımının geometrik anlamını tanıyalım. Bu çok önemli bir konu! Mavi vektörün (ve dolayısıyla kırmızı vektörün) UZUNLUĞU sayısal olarak vektörler üzerine oluşturulan paralelkenarın ALANI'na eşittir. Şekilde bu paralelkenar siyahla gölgelendirilmiştir.

Not : çizim şematiktir ve doğal olarak vektör ürününün nominal uzunluğu paralelkenarın alanına eşit değildir.

Geometrik formüllerden birini hatırlayalım: Paralelkenarın alanı, bitişik kenarların çarpımına ve aralarındaki açının sinüsüne eşittir.. Bu nedenle, yukarıdakilere dayanarak, bir vektör çarpımının UZUNLUĞUNU hesaplamak için kullanılan formül geçerlidir:

Formülün vektörün kendisi ile değil, vektörün UZUNLUĞU ile ilgili olduğunu vurguluyorum. Pratik anlamı nedir? Ve bunun anlamı, analitik geometri problemlerinde paralelkenarın alanının genellikle bir vektör çarpımı kavramı aracılığıyla bulunmasıdır:

İkinci önemli formülü elde edelim. Paralelkenarın köşegeni (kırmızı noktalı çizgi) onu iki eşit üçgene böler. Bu nedenle, vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanı (kırmızı gölgeli) aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

4) Daha az değil önemli gerçek vektörün vektörlere dik olması, yani . Elbette zıt yönlü vektör (ahududu oku) da orijinal vektörlere diktir.

5) Vektör şu şekilde yönlendirilir: temel Var Sağ oryantasyon. Konuyla ilgili derste yeni bir temele geçiş hakkında yeterince ayrıntılı konuştum düzlem yönelimi ve şimdi uzay yöneliminin ne olduğunu bulacağız. Parmaklarınla ​​açıklayacağım sağ el. Zihinsel olarak birleştirin işaret parmağı vektör ile ve orta parmak vektör ile. Yüzük parmağı ve küçük parmak avucunuza bastırın. Sonuç olarak baş parmak– vektör çarpımı yukarı bakacak. Bu sağ odaklı bir temeldir (şekildeki budur). Şimdi vektörleri değiştirin ( işaret ve orta parmaklar) bazı yerlerde sonuç olarak başparmak dönecek ve vektör çarpımı zaten aşağıya bakacak. Bu aynı zamanda sağ odaklı bir temeldir. Bir sorunuz olabilir: Hangi temelin sola yönelimi var? Aynı parmaklara “atama” sol el vektörleri kullanın ve uzayın sol tabanını ve sol yönelimini elde edin (bu durumda başparmak alt vektör yönünde konumlandırılacaktır). Mecazi anlamda konuşursak, bu tabanlar uzayı farklı yönlere "büküyor" veya yönlendiriyor. Ve bu kavram abartılı veya soyut bir şey olarak görülmemelidir - örneğin, uzayın yönelimi en sıradan ayna tarafından değiştirilir ve eğer "yansıyan nesneyi aynanın dışına çekerseniz", o zaman genel durumda onu “orijinal” ile birleştirmek mümkün olmayacak. Bu arada, üç parmağınızı aynaya doğru tutun ve yansımayı analiz edin ;-)

...şimdi bunu biliyor olman ne kadar iyi sağ ve sol odaklıçünkü bazı hocaların yönelim değişikliğine dair açıklamaları korkutucu =)

Doğrusal vektörlerin çapraz çarpımı

Tanım ayrıntılı olarak tartışıldı, vektörler eşdoğrusal olduğunda ne olacağını bulmaya devam ediyor. Vektörler eşdoğrusal ise, o zaman tek bir düz çizgiye yerleştirilebilirler ve paralelkenarımız da tek bir düz çizgi halinde "katlanır". Matematikçilerin dediği gibi bunun alanı, dejenere paralelkenar sıfıra eşittir. Aynı şey formülden de gelir - sıfır veya 180 derecenin sinüsü sıfıra eşittir, bu da alanın sıfır olduğu anlamına gelir

Böylece eğer öyleyse Ve . Lütfen vektör çarpımının kendisinin sıfır vektörüne eşit olduğunu unutmayın, ancak pratikte bu genellikle ihmal edilir ve bunun da sıfıra eşit olduğu yazılır.

Özel durum– bir vektörün kendisiyle vektör çarpımı:

Vektör çarpımını kullanarak üç boyutlu vektörlerin eşdoğrusallığını kontrol edebilirsiniz; diğerlerinin yanı sıra bu sorunu da analiz edeceğiz.

İhtiyacınız olabilecek pratik örnekleri çözmek için trigonometrik tablo sinüslerin değerlerini ondan bulmak için.

Hadi ateşi yakalım:

örnek 1

a) Aşağıdaki durumlarda vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu bulunuz:

b) Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanını bulun, eğer

Çözüm: Hayır, bu bir yazım hatası değil, cümlelerdeki başlangıç ​​verilerini bilinçli olarak aynı yaptım. Çünkü çözümlerin tasarımı farklı olacak!

a) Koşula göre bulmanız gerekir uzunluk vektör (çapraz çarpım). İlgili formüle göre:

Cevap:

Uzunluk hakkında soru sorulursa, cevapta boyut birimlerini belirtiriz.

b) Koşula göre bulmanız gerekir kare Vektörler üzerine kurulu paralelkenar. Bu paralelkenarın alanı sayısal olarak vektör ürününün uzunluğuna eşittir:

Cevap:

Lütfen cevabın vektör çarpımı hakkında hiçbir şekilde konuşmadığını unutmayın; bize şunu sordular: şeklin alanı buna göre boyut birim karedir.

Her zaman duruma göre NE bulmamız gerektiğine bakarız ve buna dayanarak formüle ederiz. temizlemek cevap. Bu, gerçekçilik gibi görünebilir, ancak öğretmenler arasında çok sayıda gerçekçilik vardır ve ödevin gözden geçirilmek üzere geri gönderilme şansı yüksektir. Her ne kadar bu çok abartılı bir kelime oyunu olmasa da - eğer cevap yanlışsa, o zaman kişinin basit şeyleri anlamadığı ve/veya görevin özünü anlamadığı izlenimi edinilir. Yüksek matematikte ve diğer konularda herhangi bir problemi çözerken bu noktanın daima kontrol altında tutulması gerekir.

Büyük “en” harfi nereye gitti? Prensip olarak çözüme ek olarak eklenebilirdi ama girişi kısaltmak için bunu yapmadım. Umarım herkes bunu anlar ve bu da aynı şeyin tanımıdır.

Kendin Yap çözümü için popüler bir örnek:

Örnek 2

Eğer vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını bulun

Bir üçgenin alanını vektör çarpımı aracılığıyla bulma formülü, tanımın yorumlarında verilmiştir. Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Pratikte bu görev gerçekten çok yaygındır; üçgenler genellikle size eziyet edebilir.

Diğer sorunları çözmek için ihtiyacımız olacak:

Vektörlerin vektör çarpımının özellikleri

Vektör çarpımının bazı özelliklerini zaten değerlendirdik, ancak bunları bu listeye dahil edeceğim.

Rastgele vektörler ve rastgele bir sayı için aşağıdaki özellikler doğrudur:

1) Diğer bilgi kaynaklarında bu madde genellikle özelliklerde vurgulanmaz ancak pratik açıdan çok önemlidir. Bırak olsun.

2) – mülkiyet de yukarıda tartışılmıştır, bazen denir antideğişme. Başka bir deyişle vektörlerin sırası önemlidir.

3) – ilişkisel veya çağrışımsal vektör çarpım yasaları. Sabitler kolaylıkla vektör çarpımının dışına taşınabilir. Gerçekten orada ne yapmaları gerekiyor?

4) – dağıtım veya dağıtıcı vektör çarpım yasaları. Braketlerin açılmasında da herhangi bir sorun yoktur.

Göstermek için kısa bir örneğe bakalım:

Örnek 3

Eğer varsa bul

Çözüm: Koşul yine vektör çarpımının uzunluğunu bulmayı gerektirir. Minyatürümüzü çizelim:

(1) Birleşim yasalarına göre sabitleri vektör çarpımının kapsamı dışında tutuyoruz.

(2) Sabiti modülün dışına taşırız ve modül eksi işaretini “yer”. Uzunluk negatif olamaz.

(3) Gerisi açıktır.

Cevap:

Ateşe daha fazla odun eklemenin zamanı geldi:

Örnek 4

Aşağıdaki durumlarda vektörler üzerine kurulu bir üçgenin alanını hesaplayın:

Çözüm: Formülü kullanarak üçgenin alanını bulun . İşin püf noktası, "tse" ve "de" vektörlerinin kendilerinin vektörlerin toplamı olarak sunulmasıdır. Buradaki algoritma standarttır ve bir şekilde dersin 3 ve 4 numaralı örneklerini anımsatmaktadır. Vektörlerin nokta çarpımı. Netlik sağlamak için çözümü üç aşamaya ayıracağız:

1) İlk adımda vektör çarpımını vektör çarpımı üzerinden ifade ediyoruz, aslında, bir vektörü bir vektör cinsinden ifade edelim. Uzunluklarla ilgili henüz bir kelime yok!

(1) Vektörlerin ifadelerini değiştirin.

(2) Dağılım yasalarını kullanarak parantezleri polinomların çarpma kuralına göre açıyoruz.

(3) İlişkisel yasaları kullanarak tüm sabitleri vektör çarpımlarının ötesine taşırız. Biraz tecrübe ile 2. ve 3. adımlar aynı anda gerçekleştirilebilir.

(4) Nice özelliğinden dolayı ilk ve son terimler sıfıra (sıfır vektörü) eşittir. İkinci terimde bir vektör çarpımının antideğişme özelliğini kullanıyoruz:

(5) Benzer terimleri sunuyoruz.

Sonuç olarak, vektörün bir vektör aracılığıyla ifade edildiği ortaya çıktı; bu da başarılması gereken şeydi:

2) İkinci adımda ihtiyacımız olan vektör çarpımının uzunluğunu buluyoruz. Bu eylem Örnek 3'e benzer:

3) Gerekli üçgenin alanını bulun:

Çözümün 2-3. aşamaları tek satırda yazılabilirdi.

Cevap:

Ele alınan sorun oldukça yaygındır testler, işte bağımsız bir çözüm için bir örnek:

Örnek 5

Eğer varsa bul

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap. Bakalım önceki örnekleri incelerken ne kadar dikkatli davranmışsınız ;-)

Koordinatlardaki vektörlerin çapraz çarpımı

ortonormal bazda belirtilen, formülle ifade edilir:

Formül gerçekten basit: Determinantın üst satırına koordinat vektörlerini yazıyoruz, ikinci ve üçüncü satırlara vektörlerin koordinatlarını "koyuyoruz" ve şunu koyuyoruz: sıkı bir düzende– önce “ve” vektörünün koordinatları, ardından “çift-ve” vektörünün koordinatları. Vektörlerin farklı bir sırayla çarpılması gerekiyorsa satırların yeri değiştirilmelidir:

Örnek 10

Aşağıdaki uzay vektörlerinin doğrusal olup olmadığını kontrol edin:
A)
B)

Çözüm: Kontrol, bu dersteki ifadelerden birine dayanmaktadır: eğer vektörler doğrusalsa, vektör çarpımları sıfıra eşittir (sıfır vektör): .

a) Vektör çarpımını bulun:

Bu nedenle vektörler doğrusal değildir.

b) Vektör çarpımını bulun:

Cevap: a) doğrusal değil, b)

Burada belki de vektörlerin vektör çarpımına ilişkin tüm temel bilgiler yer almaktadır.

Vektörlerin karma çarpımının kullanıldığı yerlerde çok az sorun olduğundan bu bölüm çok büyük olmayacaktır. Aslında her şey tanıma, geometrik anlama ve birkaç çalışma formülüne bağlı olacaktır.

Vektörlerin karışık çarpımı üçün ürünü vektörler:

Yani bir tren gibi sıraya girdiler ve kimliklerinin tespit edilmesi için sabırsızlanıyorlar.

Öncelikle yine bir tanım ve resim:

Tanım: Karma çalışma eş düzlemli olmayan vektörler, bu sıraya göre alındı, isminde paralel yüzlü hacim, bu vektörler üzerine kuruludur ve taban doğruysa “+” işaretiyle, taban soldaysa “–” işaretiyle donatılmıştır.

Çizimi yapalım. Bizim için görünmeyen çizgiler noktalı çizgilerle çizilir:

Tanıma geçelim:

2) Vektörler alınır belli bir sırayla yani çarpımdaki vektörlerin yeniden düzenlenmesi tahmin edebileceğiniz gibi sonuçsuz olmuyor.

3) Geometrik anlam hakkında yorum yapmadan önce bariz bir gerçeğe dikkat çekeceğim: vektörlerin karışık çarpımı bir SAYIdır: . Eğitim literatüründe tasarım biraz farklı olabilir; karma bir ürünü ve hesaplamaların sonucunu “pe” harfiyle belirtmeye alışkınım.

A-tarikatı karışık ürün paralelyüzlü hacmidir, vektörler üzerine inşa edilmiştir (şekil kırmızı vektörler ve siyah çizgilerle çizilmiştir). Yani sayı, belirli bir paralel yüzün hacmine eşittir.

Not : Çizim şematiktir.

4) Tabanın ve mekanın yönelimi kavramını bir daha dert etmeyelim. Son kısmın anlamı ise hacme eksi işareti eklenebilmesidir. Basit kelimelerle, karışık çarpım negatif olabilir: .

Doğrudan tanımdan, vektörler üzerine kurulu bir paralel borunun hacmini hesaplamak için formül gelir.

Vektörler arasındaki açı

İki vektörün vektör çarpımı kavramını tanıtabilmemiz için öncelikle bu vektörler arasındaki açı gibi bir kavramı anlamamız gerekir.

Bize iki $\overline(α)$ ve $\overline(β)$ vektörü verilsin. Uzayda bir $O$ noktası alalım ve buradan $\overline(α)=\overline(OA)$ ve $\overline(β)=\overline(OB)$ vektörlerini çizelim, sonra $AOB$ açısını çizelim bu vektörler arasındaki açı olarak adlandırılacaktır (Şekil 1).

Gösterim: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Vektörlerin vektör çarpımı kavramı ve bulma formülü

Tanım 1

İki vektörün vektör çarpımı, verilen her iki vektöre dik bir vektördür ve uzunluğu, bu vektörlerin uzunluklarının bu vektörler arasındaki açının sinüsü ile çarpımına eşit olacaktır ve ayrıca bu vektörün iki başlangıç ​​noktası vardır: Kartezyen koordinat sistemiyle aynı yönelim.

Gösterim: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematiksel olarak şöyle görünür:

1. $|\overline(α)х\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ ve $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ aynı yönelimli (Şekil 2)

Açıkçası, iki durumda vektörlerin dış çarpımı sıfır vektörüne eşit olacaktır:

1. Bir veya her iki vektörün uzunluğu sıfır ise.
2. Bu vektörler arasındaki açı $180^\circ$ veya $0^\circ$'a eşitse (çünkü bu durumda sinüs sıfırdır).

Vektörlerin vektör çarpımının nasıl bulunduğunu açıkça görmek için aşağıdaki çözüm örneklerini göz önünde bulundurun.

örnek 1

$\overline(α)=(0,4,0)$ ve $\overline(β) koordinatlarına sahip vektörlerin vektör çarpımının sonucu olacak $\overline(δ)$ vektörünün uzunluğunu bulun. =(3,0,0 )$.

Çözüm.

Bu vektörleri Kartezyen koordinat uzayında gösterelim (Şekil 3):

Şekil 3. Kartezyen koordinat uzayındaki vektörler. Author24 - öğrenci çalışmalarının çevrimiçi değişimi

Bu vektörlerin sırasıyla $Ox$ ve $Oy$ eksenlerinde yer aldığını görüyoruz. Bu nedenle aralarındaki açı $90^\circ$ olacaktır. Bu vektörlerin uzunluklarını bulalım:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Daha sonra Tanım 1'e göre $|\overline(δ)|$ modülünü elde ederiz.

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Cevap: 12$.

Vektör koordinatlarından çapraz çarpımın hesaplanması

Tanım 1, iki vektörün vektör çarpımını bulmaya yönelik bir yöntemi hemen ima eder. Bir vektörün değerinin yanı sıra bir yönü de olduğundan, onu yalnızca skaler bir büyüklük kullanarak bulmak imkansızdır. Ama bunun yanında koordinatları kullanarak bize verilen vektörleri bulmanın da bir yolu var.

Bize sırasıyla $(α_1,α_2,α_3)$ ve $(β_1,β_2,β_3)$ koordinatlarına sahip $\overline(α)$ ve $\overline(β)$ vektörleri verilsin. Daha sonra çapraz çarpımın vektörü (yani koordinatları) aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Aksi takdirde determinantı genişleterek aşağıdaki koordinatları elde ederiz

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Örnek 2

$(0,3,3)$ ve $(-1,2,6)$ koordinatlarına sahip $\overline(α)$ ve $\overline(β)$ eşdoğrusal vektörlerinin vektör çarpımının vektörünü bulun.

Çözüm.

Yukarıda verilen formülü kullanalım. Aldık

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Cevap: $(12,-3,3)$.

Vektörlerin vektör çarpımının özellikleri

Rastgele karışık üç vektör $\overline(α)$, $\overline(β)$ ve $\overline(γ)$ ile $r∈R$ için aşağıdaki özellikler geçerlidir:

Örnek 3

Köşeleri $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ ve $(3,8,0) koordinatlarına sahip olan paralelkenarın alanını bulun $.

Çözüm.

Öncelikle bu paralelkenarı koordinat uzayında gösterelim (Şekil 5):

Şekil 5. Koordinat uzayında paralelkenar. Author24 - öğrenci çalışmalarının çevrimiçi değişimi

Bu paralelkenarın iki tarafının $\overline(α)=(3,0,0)$ ve $\overline(β)=(0,8,0)$ koordinatlarına sahip eşdoğrusal vektörler kullanılarak oluşturulduğunu görüyoruz. Dördüncü özelliği kullanarak şunları elde ederiz:

$S=|\overline(α)х\overline(β)|$

$\overline(α)х\overline(β)$ vektörünü bulalım:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Buradan

$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$