Ev › Çarpışma Testi Otomatik › Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri. Bir fonksiyonun en büyük değeri nasıl bulunur?

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri. Bir fonksiyonun en büyük değeri nasıl bulunur?

işleve izin ver y=F(X) aralıkta sürekli [ bir, b]. Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segment üzerinde ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri ya segmentin bir iç noktasında alabilir [ bir, b] veya segmentin sınırında.

Aralıktaki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ bir, b] gerekli:

1) Aralıktaki fonksiyonun kritik noktalarını bulun ( bir, b);

2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;

3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;

4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun

segment üzerinde.

Kritik noktaları bulma:

Bu noktalar segmentin içinde yer alır; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

noktada X= 3 ve noktada X= 0.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.

İşlev y = F (X) isminde dışbükey arasında (A, B) , grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen bir teğetin altında bulunuyorsa ve denir aşağı dışbükey (içbükey) grafiği teğetin üzerindeyse.

Dışbükeyliğin içbükeylikle değiştirildiği veya tam tersi geçiş noktasındaki noktaya denir. dönüm noktası.

Dışbükeylik ve bükülme noktası için çalışma algoritması:

1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.

2. Sayı doğrusuna kritik noktaları aralıklara ayırarak koyun. Her aralıkta ikinci türevin işaretini bulun; eğer , o zaman fonksiyon yukarı doğru dışbükeydir, eğer, o zaman fonksiyon aşağı doğru dışbükeydir.

3. İkinci türden kritik bir noktadan geçerken işaret değiştirirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. ordinatını bulun.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Bir fonksiyonun asimptotlara incelenmesi.

Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotu denir dümdüz, grafiğin herhangi bir noktasından bu çizgiye olan mesafenin, grafik noktasının orijinden sınırsız olarak çıkarılmasıyla sıfıra yaklaşma özelliğine sahiptir.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.

Tanım. Doğrudan arandı dikey asimptot fonksiyon grafiği y = f(x), fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani

fonksiyonun süreksizlik noktası neresidir, yani tanım alanına ait değildir.

Örnek.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - kırılma noktası.

Tanım. Dümdüz y=A isminde Yatay asimptot fonksiyon grafiği y = f(x) de, eğer

Örnek.

X
y

Tanım. Dümdüz y=kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafiği y = f(x) nerede

Fonksiyonların incelenmesi ve çizim için genel şema.

fonksiyon araştırma algoritmasıy = f(x) :

1. Fonksiyonun etki alanını bulun D (y).

2. Grafiğin koordinat eksenleriyle (mümkünse) kesişme noktalarını bulun (ile X= 0 ve y = 0).

3. Çift ve tek fonksiyonları araştırın ( y (‒ X) = y (X) ‒ parite; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ garip).

4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun uç noktasını bulun.

7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve bükülme noktalarını bulun.

8. Yürütülen araştırmaya dayanarak, fonksiyonun bir grafiğini oluşturun.

Örnek. Fonksiyonu araştırın ve grafiğini çizin.

1) D (y) =

X= 4 - kırılma noktası.

2) Ne zaman X = 0,

(0; – 5) – ile kesişme noktası oy.

-de y = 0,

3) y(‒ X)= işlev Genel görünüm(ne çift ne de tek).

4) Asimptotları araştırıyoruz.

a) dikey

b) yatay

c) burada eğik asimptotları bulun

‒eğik asimptot denklemi

5) Bu denklemde fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmak gerekli değildir.

Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığında böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.

Genellikle fizik ve matematikte bulmak gerekir en küçük değer fonksiyonlar. Bunu nasıl yapacağımızı şimdi anlatacağız.

Bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur: talimat

Belirli bir aralıktaki sürekli bir fonksiyonun en küçük değerini hesaplamak için şu algoritmayı izlemeniz gerekir:
Bir fonksiyonun türevini bulun.
Belirli bir segmentte türevin sıfıra eşit olduğu noktaları ve tüm kritik noktaları bulun. Daha sonra fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini bulun, yani x'in sıfıra eşit olduğu denklemi çözün. Değerlerden hangisinin en küçük olduğunu bulun.
Fonksiyonun uç noktalarda hangi değere sahip olduğunu bulun. Bu noktalarda fonksiyonun en küçük değerini belirleyiniz.
Alınan verileri en küçük değerle karşılaştırın. Alınan sayıların küçük olanı, işlevin en küçük değeri olacaktır.

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en küçük noktaları olmaması durumunda, bu segment üzerinde arttığı veya azaldığı anlamına gelir. Bu nedenle, fonksiyonun sonlu segmentleri üzerinde en küçük değer hesaplanmalıdır.

Diğer tüm durumlarda, fonksiyonun değeri verilen algoritmaya göre hesaplanır. Algoritmanın her adımında, basit bir sorunu çözmeniz gerekecek. Doğrusal Denklem bir kök ile. Hatalardan kaçınmak için çizimi kullanarak denklemi çözün.

Yarı açık bir segmentte bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur? Yarı açık veya açık dönem fonksiyonu için en küçük değer aşağıdaki gibi bulunmalıdır. Fonksiyon değerinin bitiş noktalarında, fonksiyonun tek taraflı limitini hesaplayın. Başka bir deyişle, eğilim noktalarının a+0 ve b+0 değeriyle verildiği, a ve b'nin kritik noktaların adları olduğu bir denklemi çözün.

Artık bir fonksiyonun en küçük değerini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Ana şey, tüm hesaplamaları doğru, doğru ve hatasız yapmaktır.

Ve bunu çözmek için konu hakkında minimum bilgiye ihtiyacınız var. Önümüzdeki akademik yıl bitiyor, herkes tatile gitmek istiyor ve bu anı yakınlaştırmak için hemen işe koyuluyorum:

Alanla başlayalım. Koşulda belirtilen alan sınırlı kapalı düzlemdeki noktalar kümesi. Örneğin, TÜM üçgen dahil olmak üzere bir üçgenle sınırlanan bir dizi nokta (eğer gelen sınırlar En az bir noktayı "dışarı çıkarın", ardından alan artık kapalı olmayacaktır). Uygulamada ayrıca dikdörtgen, yuvarlak ve biraz daha fazla alanlar vardır. karmaşık şekiller. Matematiksel analiz teorisinde katı tanımların verildiğine dikkat edilmelidir. sınırlamalar, izolasyon, sınırlar vb., ama bence herkes sezgisel düzeyde bu kavramların farkında ve artık daha fazlasına gerek yok.

Düz alan standart olarak harfle gösterilir ve kural olarak analitik olarak verilir - birkaç denklemle (doğrusal olması gerekmez); daha az sıklıkla eşitsizlikler. Tipik bir sözlü geçiş: "çizgilerle sınırlı kapalı alan".

Söz konusu görevin ayrılmaz bir parçası, çizimdeki alanın inşasıdır. Nasıl yapılır? Listelenen tüm satırları çizmek gerekir (içinde bu durum 3 dümdüz) ve ne olduğunu analiz edin. İstenen alan genellikle hafifçe taranır ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulanır:

Aynı alan ayarlanabilir doğrusal eşitsizlikler: , bazı nedenlerden dolayı daha çok bir numaralandırma listesi olarak yazılır ve değil sistem.
Sınır bölgeye ait olduğu için, o zaman tüm eşitsizlikler, elbette, katı olmayan.

Ve şimdi meselenin püf noktası. Eksenin koordinatların başlangıç noktasından size doğru gittiğini hayal edin. Bir fonksiyon düşünün ki sürekli her birinde alan noktası. Bu fonksiyonun grafiği yüzey ve küçük mutluluk şu ki, bugünün problemini çözmek için bu yüzeyin neye benzediğini hiç bilmemize gerek yok. Yukarıda, aşağıda yer alabilir, düzlemi geçebilir - tüm bunlar önemli değil. Ve aşağıdakiler önemlidir: göre Weierstrass teoremleri, sürekli V sınırlı kapalı alan, fonksiyon maksimum değerine ulaşır ("en yüksek" arasında) ve en az ("en düşük" olanlardan) bulunan değerlerdir. Bu değerler elde edilir veya V sabit noktalar, bölgeye aitD , veya bu bölgenin sınırında kalan noktalarda. Buradan basit ve şeffaf bir çözüm algoritması gelir:

örnek 1

Sınırlı kapalı alan

Çözüm: Öncelikle çizimde alanı tasvir etmeniz gerekiyor. Ne yazık ki, problemin etkileşimli bir modelini yapmak teknik olarak benim için zor ve bu nedenle çalışma sırasında bulunan tüm "şüpheli" noktaları gösteren son resmi hemen vereceğim. Genellikle bulundukça birbiri ardına konurlar:

Önsöze dayanarak, karar uygun bir şekilde iki noktaya ayrılabilir:

I) Durağan noktaları bulalım. Bu, derste defalarca gerçekleştirdiğimiz standart bir eylemdir. birkaç değişkenin uç noktaları hakkında:

Durağan nokta bulundu aittir alanlar: (çizim üzerinde işaretleyin), bu, işlevin değerini belirli bir noktada hesaplamamız gerektiği anlamına gelir:

- makaledeki gibi Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri, Önemli sonuçları kalın harflerle vurgulayacağım. Bir defterde, bunları bir kalemle daire içine almak uygundur.

İkinci mutluluğumuza dikkat edin - kontrol etmenin bir anlamı yok bir ekstremum için yeterli koşul. Neden? Örneğin fonksiyonun ulaştığı noktada, yerel minimum, o zaman bu, sonuçtaki değerin olacağı ANLAMINA GELMEZ. en az bölge genelinde (bkz: dersin başlangıcı) koşulsuz aşırılıklar hakkında) .

Durağan nokta alana ait DEĞİLSE ne olur? Hemen hemen hiçbir şey! Buna dikkat edilmeli ve bir sonraki paragrafa geçilmelidir.

II) Bölgenin sınırını araştırıyoruz.

Bordür bir üçgenin kenarlarından oluştuğu için çalışmayı 3 alt paragrafa bölmek uygundur. Ama yine de yapmamak daha iyidir. Benim açımdan, ilk başta koordinat eksenlerine paralel segmentleri ve her şeyden önce eksenlerin üzerinde yatanları dikkate almak daha avantajlıdır. Eylemlerin tüm sırasını ve mantığını yakalamak için, "tek nefeste" sonunu incelemeye çalışın:

1) Üçgenin alt tarafını ele alalım. Bunu yapmak için, doğrudan işlevin yerine koyarız:

Alternatif olarak, bunu şu şekilde yapabilirsiniz:

Geometrik olarak bu, koordinat düzleminin (bu da denklem tarafından verilir) dan "kesip" yüzeyler Tepesi hemen şüphe altına giren "uzaysal" parabol. Hadi bulalım O nerede:

- sonuç olarak, alanda "vuruş" değeri ve bu noktada pekala olabilir (çizim üzerinde işaretleyin) fonksiyon tüm alandaki en büyük veya en küçük değere ulaşır. Her neyse, hesaplamaları yapalım:

Diğer "adaylar" elbette segmentin sonlarıdır. Fonksiyonun noktalardaki değerlerini hesaplayın (çizim üzerinde işaretleyin):

Burada, bu arada, "soyulmuş" versiyon üzerinde sözlü bir mini kontrol yapabilirsiniz:

2) Üçgenin sağ tarafını incelemek için, onu fonksiyonda yerine koyarız ve “işleri oraya yerleştiririz”:

Burada, segmentin önceden işlenmiş ucunu "çalarak" hemen kaba bir kontrol gerçekleştiriyoruz:
, Harika.

Geometrik durum bir önceki nokta ile ilgilidir:

- ortaya çıkan değer aynı zamanda "ilgi alanımıza girdi", yani ortaya çıkan noktada fonksiyonun neye eşit olduğunu hesaplamamız gerekiyor:

Segmentin ikinci ucunu inceleyelim:

işlevi kullanma , Hadi kontrol edelim:

3) Muhtemelen herkes kalan tarafı nasıl keşfedeceğini biliyor. Fonksiyonun yerine koyuyoruz ve basitleştirmeler yapıyoruz:

Satır biter zaten araştırıldı, ancak taslakta işlevi doğru bulup bulmadığımızı hala kontrol ediyoruz :
– 1. alt paragrafın sonucuyla çakışıyorsa;
– 2. alt paragrafın sonucuyla çakıştı.

Segmentin içinde ilginç bir şey olup olmadığını öğrenmek için kalır :

- Orada! Düz bir çizgiyi denklemde değiştirerek, bu "ilginçliğin" ordinatını elde ederiz:

Çizimde bir noktayı işaretliyoruz ve fonksiyonun karşılık gelen değerini buluyoruz:

Hesaplamaları "bütçe" versiyonuna göre kontrol edelim :
, emir.

Ve son adım: Tüm "şişman" sayıları DİKKATLİCE gözden geçirin, yeni başlayanların bile tek bir liste yapmasını öneririm:

içinden en büyük ve en küçük değerleri seçiyoruz. Cevap bulma sorunu tarzında yazmak aralıktaki fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri:

Her ihtimale karşı, sonucun geometrik anlamı hakkında bir kez daha yorum yapacağım:
- işte en çok yüksek nokta alandaki yüzeyler;
- burası, alandaki yüzeyin en alçak noktasıdır.

Analiz edilen problemde 7 "şüpheli" nokta bulduk, ancak sayıları görevden göreve değişiyor. Üçgen bir bölge için minimum "keşif seti" üç noktadan oluşur. Bu, örneğin işlev ayarlandığında gerçekleşir. uçak- durağan noktaların olmadığı ve fonksiyonun maksimum / minimum değerlere yalnızca üçgenin köşelerinde ulaşabileceği oldukça açıktır. Ancak bir kez, iki kez böyle bir örnek yoktur - genellikle bir tür uğraşmanız gerekir. 2. dereceden yüzey.

Bu tür görevleri biraz çözerseniz üçgenler başınızı döndürebilir ve bu nedenle kare yapmak için alışılmadık örnekler hazırladım :))

Örnek 2

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun çizgilerle sınırlanmış kapalı bir alanda

Örnek 3

Sınırlı bir kapalı alanda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

Alan sınırını keşfetmenin rasyonel düzenine ve tekniğine ve ayrıca hesaplama hatalarını neredeyse tamamen önleyecek ara kontroller zincirine özel dikkat gösterin. Genel olarak konuşursak, onu istediğiniz gibi çözebilirsiniz, ancak bazı problemlerde, örneğin aynı Örnek 2'de, hayatınızı önemli ölçüde karmaşıklaştırma şansı vardır. Örnek Örnek dersin sonunda ödevleri bitirmek.

Çözüm algoritmasını sistematik hale getiriyoruz, aksi takdirde, bir örümceğin titizliğimle, bir şekilde 1. örneğin uzun bir yorum dizisinde kayboldu:

- İlk adımda bir alan oluşturuyoruz, onu gölgelendirmek ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulamak arzu edilir. Çözüm sırasında, çizime eklenmesi gereken noktalar görünecektir.

– Durağan noktaları bulun ve fonksiyonun değerlerini hesaplayın sadece onlarda, bölgeye ait olan . Elde edilen değerler metinde vurgulanmıştır (örneğin, kalemle daire içine alınmış). Durağan nokta alana ait DEĞİLSE, bu durumu bir simge ile veya sözlü olarak işaretliyoruz. Hiç durağan nokta yoksa, bunların bulunmadığına dair yazılı bir sonuç çıkarırız. Her durumda, bu öğe atlanamaz!

– Sınır bölgesini keşfetmek. Birincisi, koordinat eksenlerine paralel olan düz çizgilerle uğraşmak avantajlıdır. (Eğer varsa). "Şüpheli" noktalarda hesaplanan fonksiyon değerleri de vurgulanmıştır. Yukarıdaki çözüm tekniği hakkında çok şey söylendi ve aşağıda başka bir şey söylenecek - okuyun, yeniden okuyun, derinlemesine araştırın!

- Seçilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçin ve bir cevap verin. Bazen, işlev aynı anda birkaç noktada bu tür değerlere ulaşır - bu durumda, tüm bu noktalar cevaba yansıtılmalıdır. Örneğin, ve bunun en küçük değer olduğu ortaya çıktı. o zaman şunu yazalım

Son örnekler, pratikte kullanışlı olacak diğer faydalı fikirlere ayrılmıştır:

Örnek 4

Kapalı bir alanda bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun .

Alanın çift eşitsizlik olarak verildiği yazarın formülünü tuttum. Bu koşul, eşdeğer bir sistemde veya bu problem için daha geleneksel bir biçimde yazılabilir:

ile hatırlatırım doğrusal olmayanüzerinde eşitsizliklerle karşılaştık ve girişin geometrik anlamını anlamadıysanız lütfen gecikmeyin ve durumu hemen açıklığa kavuşturun ;-)

Çözüm, her zaman olduğu gibi, bir tür "taban" olan alanın inşasıyla başlar:

Hmm, bazen sadece bilimin granitini kemirmek zorunda değilsin ....

I) Sabit noktaları bulun:

Aptalın rüya sistemi :)

Durağan nokta bölgeye aittir, yani onun sınırındadır.

Ve böylece, hiçbir şey ... eğlenceli ders gitti - doğru çayı içmenin anlamı bu =)

II) Bölgenin sınırını araştırıyoruz. Daha fazla uzatmadan x ekseni ile başlayalım:

1) Eğer , öyleyse

Parabolün tepesinin nerede olduğunu bulun:
- Bu tür anları takdir edin - her şeyin zaten net olduğu noktaya "vurun". Ancak kontrol etmeyi unutmayın:

Fonksiyonun segmentin uçlarındaki değerlerini hesaplayalım:

2) "Taban" ın alt kısmını "tek oturuşta" ele alacağız - herhangi bir kompleks olmadan onu işleve yerleştireceğiz, ayrıca sadece segmentle ilgileneceğiz:

Kontrol:

Şimdi bu, tırtıklı bir pistte monoton sürüşe biraz canlanma getiriyor. Kritik noktaları bulalım:

biz karar veririz ikinci dereceden denklem bunu hatırlıyor musun? ... Bununla birlikte, elbette unutmayın, aksi takdirde bu satırları okumazdınız =) Önceki iki örnekte ondalık kesirlerde hesaplamalar uygun olsaydı (bu arada, nadirdir), o zaman burada bekliyoruz olağan ortak kesirler. "X" köklerini buluyoruz ve denklemi kullanarak "aday" noktaların karşılık gelen "oyun" koordinatlarını belirliyoruz:

Bulunan noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayalım:

İşlevi kendiniz kontrol edin.

Şimdi kazanılan kupaları dikkatlice inceliyoruz ve yazıyoruz cevap:

İşte "adaylar", yani "adaylar"!

Bağımsız bir çözüm için:

Örnek 5

Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun kapalı bir alanda

Kıvrık parantezli bir giriş şu şekilde okunur: "şöyle bir nokta kümesi".

Bazen bu tür örneklerde kullanırlar Lagrange çarpan yöntemi, ancak gerçek kullanım ihtiyacının ortaya çıkması pek olası değildir. Bu nedenle, örneğin, aynı "de" alanına sahip bir işlev verilirse, o zaman içine ikame edildikten sonra - türevi zorluk çekmeden; üstelik üst ve alt yarım daireleri ayrı ayrı düşünmeye gerek kalmadan her şey “tek satır” (işaretlerle) halinde çizilmiştir. Ama tabi daha çok var zor vakalar, burada Lagrange işlevi olmadan (burada, örneğin, aynı daire denklemidir) geçinmek zor - iyi bir dinlenme olmadan geçmek ne kadar zor!

Oturumu geçmek ve gelecek sezon yakında görüşmek üzere en iyisi!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: çizimdeki alanı çizin:

Bir fonksiyonun uç noktası nedir ve uç noktası için gerekli koşul nedir?

Bir fonksiyonun ekstremumu, fonksiyonun maksimum ve minimumudur.

Fonksiyonun maksimum ve minimum (ekstremum) değeri için gerekli koşul şu şekildedir: f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir uç noktası varsa, o zaman bu noktada türev ya sıfırdır ya da sonsuzdur veya yok

Bu koşul gereklidir, ancak yeterli değildir. x = a noktasındaki türev kaybolabilir, sonsuza gidebilir veya fonksiyonun bu noktada bir uç noktası olmadan var olmayabilir.

Fonksiyonun uç noktası (maksimum veya minimum) için yeterli koşul nedir?

Birinci koşul:

x = a noktasına yeterince yakınsa, f?(x) türevi a'nın solunda pozitif ve a'nın sağında negatif ise, o zaman x = a noktasında, f(x) fonksiyonunun kendisi maksimum

x = a noktasına yeterince yakınsa, f?(x) türevi a'nın solunda negatif ve a'nın sağında pozitif ise, o zaman x = a noktasında f(x) fonksiyonu minimum f(x) fonksiyonunun burada sürekli olması şartıyla.

Bunun yerine, işlevin uç noktası için ikinci yeterli koşulu kullanabilirsiniz:

x = noktasında birinci türev f?(x) yok olsun; f??(а) ikinci türevi negatif ise, f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir maksimumu, pozitif ise bir minimumu vardır.

Bir fonksiyonun kritik noktası nedir ve nasıl bulunur?

Bu, fonksiyonun bir ekstremuma (yani maksimum veya minimum) sahip olduğu fonksiyon bağımsız değişkeninin değeridir. Onu bulmak için ihtiyacınız var türevi bul f?(x) fonksiyonu ve sıfıra eşitleyerek, denklemi çözün f?(x) = 0. Bu denklemin kökleri ve bu fonksiyonun türevinin bulunmadığı noktalar kritik noktalardır, yani bir ekstremum olabileceği argümanın değerleridir. . Bakılarak kolayca tanımlanabilirler. türev grafiği: fonksiyonun grafiğinin apsis ekseniyle (Öküz ekseni) kesiştiği ve grafiğin kırıldığı argüman değerleriyle ilgileniyoruz.

Örneğin, bulalım parabolün uç noktası.

Fonksiyon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Fonksiyon türevi: y?(x) = 6x + 2

Denklemi çözüyoruz: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Bu durumda kritik nokta x0=-1/3'tür. Fonksiyonun sahip olduğu argümanın bu değeri içindir. aşırılık. Onu almak için bulmak, işlev ifadesinde "x" yerine bulunan sayıyı değiştiririz:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değeri nasıl belirlenir, örn. en büyük ve en küçük değerleri?

x0 kritik noktasından geçerken türevin işareti "artı"dan "eksi"ye değişirse, o zaman x0 maksimum nokta; türevin işareti eksiden artıya değişirse, o zaman x0 minimum nokta; işaret değişmezse, o zaman x0 noktasında ne maksimum ne de minimum vardır.

Ele alınan örnek için:

Solundaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz. kritik nokta: x = -1

x = -1 olduğunda, türevin değeri y (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (yani eksi işareti) olacaktır.

Şimdi kritik noktanın sağındaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = 1

x = 1 için türevin değeri y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (yani artı işareti) olacaktır.

Gördüğünüz gibi, kritik noktadan geçerken türev eksiden artıya işaret değiştirdi. Bu, x0'ın kritik değerinde bir minimum noktamız olduğu anlamına gelir.

Fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri aralıkta(segmentte) aynı prosedürle bulunur, yalnızca belki de tüm kritik noktaların belirtilen aralık içinde olmayacağı gerçeği dikkate alınır. Aralığın dışında kalan kritik noktalar dikkate alınmamalıdır. Aralık içinde yalnızca bir kritik nokta varsa, bu noktanın bir maksimumu veya bir minimumu olacaktır. Bu durumda fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini belirlemek için fonksiyonun aralığın uçlarındaki değerlerini de dikkate alıyoruz.

Örneğin, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım.

y (x) \u003d 3 günah (x) - 0,5x

aralıklarla:

Yani fonksiyonun türevi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

3cos(x) - 0,5 = 0 denklemini çözüyoruz

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± ark (0,16667) + 2πk.

[-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (aralığa dahil değildir)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (aralığa dahil değildir)

Fonksiyonun değerlerini argümanın kritik değerlerinde buluyoruz:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

[-9; 9] en yüksek değer fonksiyonun x = -4.88'de olması:

x = -4,88, y = 5,398,

ve en küçüğü - x = 4.88'de:

x = 4,88, y = -5,398.

[-6; -3] sadece bir kritik noktamız var: x = -4.88. Fonksiyonun x = -4,88'deki değeri y = 5,398'dir.

Fonksiyonun değerini aralığın sonunda buluyoruz:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

[-6; -3] fonksiyonun en büyük değerine sahibiz

x = -4,88'de y = 5,398

en küçük değer

x = -3'te y = 1,077

Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları nasıl bulunur ve dışbükey ve içbükey kenarları nasıl belirlenir?

Y \u003d f (x) çizgisinin tüm bükülme noktalarını bulmak için, ikinci türevi bulmanız, sıfıra eşitlemeniz (denklemi çözmeniz) ve ikinci türevi sıfır olan tüm x değerlerini test etmeniz gerekir. , sonsuz veya yok. Bu değerlerden birinden geçerken ikinci türev işaret değiştirirse, fonksiyonun grafiği bu noktada bir bükülmeye sahiptir. Değişmezse, bükülme olmaz.

Denklemin kökleri f ? (x) = 0, ayrıca fonksiyonun olası süreksizlik noktaları ve ikinci türev, fonksiyonun tanım alanını birkaç aralığa böler. Aralıklarının her birindeki dışbükeylik, ikinci türevin işareti ile belirlenir. İncelenen aralıktaki bir noktadaki ikinci türev pozitifse, o zaman y = f(x) doğrusu burada yukarıya doğru içbükeydir ve negatifse aşağıya doğru içbükeydir.

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumları nasıl bulunur?

Atama alanında farklılaştırılabilen f(x, y) fonksiyonunun ekstremumunu bulmak için ihtiyacınız olan:

1) kritik noktaları bulun ve bunun için denklem sistemini çözün

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) her P0(a;b) kritik noktası için, farkın işaretinin değişmeden kalıp kalmadığını araştırın

tüm noktalar için (x; y) P0'a yeterince yakın. Fark pozitif bir işareti koruyorsa, o zaman P0 noktasında bir minimuma sahibiz, eğer negatifse, o zaman bir maksimuma sahibiz. Fark işaretini korumuyorsa, Р0 noktasında ekstremum yoktur.

Benzer şekilde, fonksiyonun uç noktaları daha fazla sayıda bağımsız değişken için belirlenir.

Bir fonksiyonun uç noktası nedir ve uç noktası için gerekli koşul nedir?

Bir fonksiyonun ekstremumu, fonksiyonun maksimum ve minimumudur.

Bu koşul gereklidir, ancak yeterli değildir. x = a noktasındaki türev kaybolabilir, sonsuza gidebilir veya fonksiyonun bu noktada bir uç noktası olmadan var olmayabilir.

Fonksiyonun uç noktası (maksimum veya minimum) için yeterli koşul nedir?

Birinci koşul:

x = a noktasına yeterince yakınsa, f?(x) türevi a'nın solunda pozitif ve a'nın sağında negatif ise, o zaman x = a noktasında, f(x) fonksiyonunun kendisi maksimum

Bunun yerine, işlevin uç noktası için ikinci yeterli koşulu kullanabilirsiniz:

x = noktasında birinci türev f?(x) yok olsun; f??(а) ikinci türevi negatif ise, f(x) fonksiyonunun x = a noktasında bir maksimumu, pozitif ise bir minimumu vardır.

Bir fonksiyonun kritik noktası nedir ve nasıl bulunur?

Örneğin, bulalım parabolün uç noktası.

Fonksiyon y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Fonksiyon türevi: y?(x) = 6x + 2

Denklemi çözüyoruz: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değeri nasıl belirlenir, örn. en büyük ve en küçük değerleri?

Ele alınan örnek için:

Kritik noktanın solundaki bağımsız değişkenin keyfi bir değerini alıyoruz: x = -1

x = -1 olduğunda, türevin değeri y (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (yani eksi işareti) olacaktır.

Şimdi kritik noktanın sağındaki argümanın keyfi bir değerini alıyoruz: x = 1

x = 1 için türevin değeri y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (yani artı işareti) olacaktır.

Gördüğünüz gibi, kritik noktadan geçerken türev eksiden artıya işaret değiştirdi. Bu, x0'ın kritik değerinde bir minimum noktamız olduğu anlamına gelir.

Örneğin, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulalım.

y (x) \u003d 3 günah (x) - 0,5x

aralıklarla:

Yani fonksiyonun türevi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

3cos(x) - 0,5 = 0 denklemini çözüyoruz

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± ark (0,16667) + 2πk.

[-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (aralığa dahil değildir)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (aralığa dahil değildir)

Fonksiyonun değerlerini argümanın kritik değerlerinde buluyoruz:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

[-9; 9] fonksiyon x = -4,88'de en büyük değere sahiptir:

x = -4,88, y = 5,398,

ve en küçüğü - x = 4.88'de:

x = 4,88, y = -5,398.

[-6; -3] sadece bir kritik noktamız var: x = -4.88. Fonksiyonun x = -4,88'deki değeri y = 5,398'dir.

Fonksiyonun değerini aralığın sonunda buluyoruz:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

[-6; -3] fonksiyonun en büyük değerine sahibiz

x = -4,88'de y = 5,398

en küçük değer

x = -3'te y = 1,077

Bir fonksiyon grafiğinin bükülme noktaları nasıl bulunur ve dışbükey ve içbükey kenarları nasıl belirlenir?

İki değişkenli bir fonksiyonun ekstremumları nasıl bulunur?

Atama alanında farklılaştırılabilen f(x, y) fonksiyonunun ekstremumunu bulmak için ihtiyacınız olan:

1) kritik noktaları bulun ve bunun için denklem sistemini çözün

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) her P0(a;b) kritik noktası için, farkın işaretinin değişmeden kalıp kalmadığını araştırın

Benzer şekilde, fonksiyonun uç noktaları daha fazla sayıda bağımsız değişken için belirlenir.

Sonsuza Kadar Sonra Shrek Nedir?
Çizgi Film: Shrek Forever After Yayın Yılı: 2010 Prömiyer (Rusya): 20 Mayıs 2010 Ülke: ABD Yönetmen: Michael Pitchel Senaryo: Josh Klausner, Darren Lemke Tür: aile komedisi, fantezi, macera Resmi web sitesi: www.shrekforeverafter.com arsa katır

Regl dönemimde kan bağışlayabilir miyim?
Doktorlar adet döneminde kan bağışı yapılmasını önermezler çünkü. kan kaybı, önemli miktarda olmasa da, hemoglobin seviyelerinde azalma ve kadının sağlığında bozulma ile doludur. Kan bağışı prosedürü sırasında, sağlık durumu kanamanın keşfedilmesine kadar kötüleşebilir. Bu nedenle kadınlar adet döneminde kan bağışından kaçınmalıdır. Ve zaten bitirdikten sonraki 5. günde

Zeminleri yıkarken kaç kcal/saat tüketilir?
Çeşit fiziksel aktivite Enerji tüketimi, kcal/h Yemek yapma 80 Giyinme 30 Araba kullanma 50 Toz alma 80 Yemek yeme 30 Bahçe işleri 135 Ütü yapma 45 Yatak yapma 130 Alışveriş 80 Hareketsiz çalışma 75 Odun kesme 300 Yer yıkama 130 Seks 100-150 Düşük yoğunluklu aerobik dans

"haydut" kelimesinin anlamı nedir?
Dolandırıcı, küçük hırsızlıklarla uğraşan bir hırsız veya hileli numaralara eğilimli bir haydut kişidir. Bu tanımın teyidi, Krylov'un etimolojik sözlüğünde yer almaktadır; buna göre "dolandırıcı" kelimesi, &la fiiline benzer şekilde "dolandırıcı" (hırsız, dolandırıcı) kelimesinden oluşturulmuştur.

Strugatsky kardeşlerin son yayınlanan hikayesinin adı nedir?
küçük bir hikaye Arkady ve Boris Strugatsky "Siklotasyon konusunda" ilk olarak Nisan 2008'de bilim kurgu antolojisi "Noon. XXI Century" de yayınlandı (Boris Strugatsky'nin editörlüğünde yayınlanan "Vokrug sveta" dergisinin eki). Yayın, Boris Strugatsky'nin 75. yıldönümüne ithaf edildi.

Work And Travel USA programına katılanların hikayelerini nereden okuyabilirim?
Work and Travel USA (work and travel in the USA), yazı Amerika'da yasal olarak hizmet sektöründe çalışarak ve seyahat ederek geçirebileceğiniz popüler bir öğrenci değişim programıdır. Work & Travel programının tarihi, hükumetler arası değişimlerin yer aldığı Cultural Exchange Pro programının bir parçasıdır.

Kulak. Mutfak ve tarihsel referans İki buçuk yüzyıldan fazla bir süredir, "ukha" kelimesi çorbaları veya taze balık kaynatmalarını belirtmek için kullanılmıştır. Ancak bu kelimenin daha geniş bir şekilde yorumlandığı bir zaman vardı. Çorbayı gösterdiler - sadece balık değil, aynı zamanda et, bezelye ve hatta tatlı. Yani tarihsel belgede - "

Bilgi ve işe alma portalları Superjob.ru - işe alma portalı Superjob.ru üzerinde çalışır Rusya pazarı 2000 yılından bu yana çevrimiçi işe alım ve iş arama ve personel bulma sunan kaynaklar arasında liderdir. Site veritabanına her gün 80.000'den fazla uzman özgeçmişi ve 10.000'den fazla açık pozisyon eklenmektedir.

motivasyon nedir
Motivasyonun tanımı Motivasyon (lat. moveo'dan - hareket ediyorum) - harekete geçme dürtüsü; insan davranışını kontrol eden, yönünü, organizasyonunu, faaliyetini ve istikrarını belirleyen dinamik bir fizyolojik ve psikolojik plan süreci; insanın ihtiyaçlarını emek yoluyla karşılama yeteneği. motivasyon

Bob Dylan kimdir?
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, gerçek adı - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; 24 Mayıs 1941 doğumlu), Rolling Stone dergisi tarafından yapılan bir ankete göre ikinci (

İç mekan bitkileri nasıl taşınır
satın alma işleminden sonra kapalı bitkiler, bahçıvan, satın alınan egzotik çiçekleri zarar görmeden teslim etme görevi ile karşı karşıyadır. İç mekan bitkilerinin paketlenmesi ve taşınması için temel kuralları bilmek bu sorunu çözmeye yardımcı olacaktır. Bitkilerin taşınması veya taşınması için paketlenmesi gerekir. Bitkiler ne kadar kısa mesafe kat edilirse taşınsın zarar görebilir, kuruyabilir ve kışın &m

Kategoride popüler: