Logaritmalar basit bir açıklamadır. Günlük formülleri

Logaritma nedir?

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Logaritma nedir? Logaritmalar nasıl çözülür? Bu sorular birçok mezunun kafasını karıştırıyor. Geleneksel olarak, logaritma konusu karmaşık, anlaşılmaz ve korkutucu kabul edilir. Özellikle - logaritma içeren denklemler.

Bu kesinlikle doğru değil. Kesinlikle! İnanmıyor musun? İyi. Şimdi, yaklaşık 10 - 20 dakika boyunca:

1. Anlayın logaritma nedir.

2. Bütün bir sınıfı çözmeyi öğrenin üstel denklemler. Onları duymamış olsanız bile.

3. Basit logaritma hesaplamayı öğrenin.

Üstelik bunun için sadece çarpım tablosunu ve bir sayının nasıl bir kuvvete yükseltildiğini bilmeniz yeterli olacak...

Şüphelendiğini hissediyorum ... Pekala, zaman ayır! Gitmek!

Öncelikle aşağıdaki denklemi aklınızdan çözün:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Talimat

Verilen logaritmik ifadeyi yazınız. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şöyle görünür: lg b ondalık logaritmadır. Logaritmanın tabanında e sayısı varsa, o zaman şu ifade yazılır: ln b doğal logaritmadır. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için taban sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.

İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini almanız ve sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";

İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken birinci fonksiyonun türevini ikinci ile çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevini birinci fonksiyonla çarparak eklemek gerekir: (u*v)" = u"* v+v"*u;

İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölenin türevi ile bölen fonksiyonun çarpımının çarpımından, bölenin türevinin bölen fonksiyonuyla çarpımının çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonun karesi ile. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Karmaşık bir fonksiyon verilirse, iç fonksiyonun türevi ile dış fonksiyonun türevinin çarpılması gerekir. y=u(v(x)), sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.

Yukarıda elde edilenleri kullanarak, hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevi hesaplamak için görevler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Verilen noktada fonksiyonun değerini hesaplayın y"(1)=8*e^0=8

İlgili videolar

Yararlı tavsiye

Temel türev tablosunu öğrenin. Bu çok zaman kazandıracak.

kaynaklar:

• sabit türev

Öyleyse, irrasyonel bir denklem ile rasyonel bir denklem arasındaki fark nedir? Bilinmeyen değişken karekök işaretinin altındaysa, denklem irrasyonel kabul edilir.

Talimat

Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi, her iki tarafı da yükseltme yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, ilk adım işaretten kurtulmaktır. Teknik olarak bu yöntem zor değil ama bazen sıkıntıya yol açabiliyor. Örneğin, v(2x-5)=v(4x-7) denklemi. Her iki tarafın karesini alarak 2x-5=4x-7 elde ederiz. Böyle bir denklemi çözmek zor değildir; x=1. Ama 1 numara verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x değeri yerine birimi koyunuz ve sağ ve sol taraflar anlamsız yani anlamsız ifadeler içerecektir. Böyle bir değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle, 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle bu denklemin kökü yoktur.

Böylece irrasyonel denklem, her iki parçasının da karesini alma yöntemi kullanılarak çözülür. Ve denklemi çözdükten sonra, yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için, orijinal denklemde bulunan kökleri değiştirin.

Bir tane daha düşün.
2x+vx-3=0
Tabii ki, bu denklem bir öncekiyle aynı denklem kullanılarak çözülebilir. Transfer Bileşikleri denklemler, karekökü olmayan sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve kökleri çözer. Ama bir diğeri, daha zarif olanı. Yeni bir değişken girin; vx=y. Buna göre 2y2+y-3=0 gibi bir denklem elde edeceksiniz. Yani, olağan ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra, iki tane çöz denklemler vx=1; vx \u003d -3/2. İkinci denklemin kökü yoktur, birinciden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etme gereğini unutmayın.

Kimlikleri çözmek oldukça kolaydır. Bu, hedefe ulaşılana kadar özdeş dönüşümler yapmayı gerektirir. Böylece en basit aritmetik işlemlerin yardımıyla görev çözülecektir.

İhtiyacın olacak

• - kağıt;
• - dolma kalem.

Talimat

Bu tür en basit dönüşümler cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ek olarak, temelde aynı kimlikler olan birçok trigonometrik formül vardır.

Aslında, iki terimin toplamının karesi, birincinin karesi artı birinci ve ikincinin çarpımının iki katı artı ikincinin karesine eşittir, yani (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

İkisini de Basitleştirin

Genel çözüm ilkeleri

Belirli bir integral olan matematiksel analiz veya daha yüksek matematik üzerine bir ders kitabından tekrarlayın. Bildiğiniz gibi çözüm kesin integral türevi bir tamsayı verecek bir fonksiyon var. Bu fonksiyon ilkel denir. Bu prensibe göre, temel integraller inşa edilir.
İntegral formuna göre tablo integrallerinden hangisinin uyduğunu belirleyin bu durum. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün değildir. Çoğu zaman, tablo formu yalnızca integrali basitleştirmek için birkaç dönüşümden sonra fark edilir hale gelir.

Değişken ikame yöntemi

eğer integral ise trigonometrik fonksiyon argümanı bir polinom olan değişken değiştirme yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için, integralin bağımsız değişkenindeki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişken arasındaki orana bağlı olarak, entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak, içinde yeni bir diferansiyel bulun. Böylece, eski integralin yeni bir formunu elde edeceksiniz, hatta herhangi bir tabloya yakın veya ona karşılık gelen.

İkinci tür integrallerin çözümü

İntegral, ikinci türden bir integral ise, integralin vektör formu, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçmek için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural, Ostrogradsky-Gauss oranıdır. Bu yasa, bir vektör fonksiyonunun rotor akışından belirli bir vektör alanının ıraksaması üzerinden üçlü bir integrale geçmeyi mümkün kılar.

Entegrasyon sınırlarının ikamesi

Ters türevi bulduktan sonra, integralin sınırlarını yerine koymak gerekir. İlk olarak, üst limitin değerini terstürevin ifadesine yerleştirin. Bir numara alacaksınız. Ardından, elde edilen sayıdan başka bir sayı çıkarın, bu da ters türevin elde edilen alt sınırıdır. İntegrasyon limitlerinden biri sonsuz ise, o zaman ters türev fonksiyonunda yerine koyarken, limite gitmek ve ifadenin neye eğilimli olduğunu bulmak gerekir.
İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl hesaplanacağını anlamak için integralin geometrik sınırlarını temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral söz konusu olduğunda, entegrasyonun sınırları, entegre edilecek hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.

Bildiğiniz gibi, ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri her zaman toplanır (a b * a c = a b + c). Bu matematiksel yasa Arşimet tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen bir tamsayı göstergeleri tablosu oluşturdu. Logaritmaların daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevi kullanma örnekleri, hantal çarpmayı basit toplamaya basitleştirmenin gerekli olduğu hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumak için 10 dakika ayırırsanız, size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir dil.

matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani negatif olmayan herhangi bir sayının (yani herhangi bir pozitif) logaritması "a" tabanına göre "b", "c'nin kuvveti olarak kabul edilir ", sonunda "b" değerini elde etmek için "a" tabanını yükseltmek gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, log 2 8 ifadesi var diyelim. Cevabı nasıl bulacağız? Çok basit, öyle bir derece bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli dereceye kadar 8 elde ediyorsunuz. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve haklı olarak, çünkü 2 üzeri 3, cevapta 8 sayısını verir.

logaritma çeşitleri

Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar korkutucu değil, asıl mesele genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamak. Üç vardır belirli türler logaritmik ifadeler:

1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2.7).
2. Ondalık a, tabanı 10'dur.
3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Her biri, logaritmik teoremler kullanılarak basitleştirme, indirgeme ve müteakip bir logaritmaya indirgeme dahil olmak üzere standart bir şekilde çözülür. Doğru logaritma değerlerini elde etmek için, kararlarındaki özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamak gerekir.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte, aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve doğru olan birkaç kural-sınırlama vardır. Örneğin, sayıları sıfıra bölmek imkansız olduğu gibi, negatif sayılardan çift derecenin kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların ayrıca uzun ve geniş logaritmik ifadelerle bile nasıl çalışılacağını kolayca öğrenebileceğiniz kendi kuralları vardır:

• "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
• a > 0 ise, a b > 0 ise, "c"nin sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin, 10 x \u003d 100 denkleminin cevabını bulmak için görev verildi. Çok kolay, böyle bir güç seçmeniz gerekiyor, on sayısını 100'e yükseltiyoruz. Bu, elbette, 10'dur. 2 \u003d 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik olarak gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritma çözerken, tüm eylemler pratik olarak belirli bir sayıyı elde etmek için logaritma tabanının girilmesi gereken dereceyi bulmaya yakınsar.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmelisiniz. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, teknik bir zihniyetiniz ve çarpım tablosu bilginiz varsa bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak, için büyük değerler bir derece tablosuna ihtiyacınız var. Karmaşık matematiksel konularda hiçbir şey anlamayanlar tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı, a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Hücrelerdeki kesişme noktasında cevap olan sayıların (a c=b) değerleri belirlenir. Örneğin 10 numaralı ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesiştiği noktada gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolay ki en gerçek hümanist bile anlayacak!

denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, herhangi bir matematiksel sayısal ifade, logaritmik bir denklem olarak yazılabilir. Örneğin, 3 4 =81, 81'in dört olan 3 tabanına göre logaritması olarak yazılabilir (log 3 81 = 4). Negatif güçler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazarız, log 2 (1/32) = -5 elde ederiz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri de "logaritmalar" konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra, denklemlerin örneklerini ve çözümlerini biraz daha aşağıda ele alacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayırt edeceğimize bakalım.

Aşağıdaki formun bir ifadesi verilir: log 2 (x-1) > 3 - logaritmik eşitsizlik, çünkü bilinmeyen değer "x" logaritmanın işaretinin altındadır. Ve ayrıca ifadede iki miktar karşılaştırılır: iki tabanında istenen sayının logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ile eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritma içeren denklemlerin (örneğin, 2 x = √9'un logaritması) cevapta bir veya daha fazla belirli sayısal değeri ima ederken, eşitsizliği çözerken hem aralığın hem de kabul edilebilir değerler ve bu işlevi bozan noktalar. Sonuç olarak, cevap, denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar kümesi değil, sürekli bir dizi veya sayılar kümesidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma konusundaki ilkel görevleri çözerken, özellikleri bilinmeyebilir. Ancak logaritmik denklemler veya eşitsizlikler söz konusu olduğunda, öncelikle logaritmaların tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örnekleriyle tanışacağız, önce her bir özelliği daha ayrıntılı olarak inceleyelim.

1. Temel kimlik şuna benzer: a logaB =B. Yalnızca a 0'dan büyükse, birden eşit değilse ve B sıfırdan büyükse geçerlidir.
2. Çarpımın logaritması aşağıdaki formülle gösterilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda ön koşul şudur: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritma formülünün ispatını örneklerle ve çözümlü olarak verebilirsiniz. log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 , sonra a f1 = s 1 , a f2 = s 2 olsun. s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (derece özellikleri) ) ve ayrıca tanım gereği: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log as 2, ki bu kanıtlanacaktı.
3. Bölümün logaritması şöyle görünür: log a (s 1 / s 2) = log as 1 - log as 2.
4. Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle "logaritma derecesinin özelliği" denir. Sıradan derecelerin özelliklerini andırıyor ve bu şaşırtıcı değil, çünkü tüm matematik düzenli varsayımlara dayanıyor. Kanıta bakalım.

a b \u003d t günlüğüne izin verin, a t \u003d b çıkıyor. Her iki parçayı da m kuvvetine yükseltirseniz: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlanmıştır.

Problem ve eşitsizlik örnekleri

En yaygın logaritma problemi türleri, denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Hemen hemen tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca matematik sınavlarının zorunlu bölümünde yer alırlar. Bir üniversiteye girmek veya matematikte giriş sınavlarını geçmek için bu tür görevleri doğru bir şekilde nasıl çözeceğinizi bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip azaltılamayacağını öğrenmelisiniz. Genel görünüm. Uzun basitleştirin logaritmik ifadelerÖzelliklerini doğru kullanırsanız yapabilirsiniz. Bir an önce onları tanıyalım.

Logaritmik denklemleri çözerken, önümüzde ne tür bir logaritma olduğunu belirlemek gerekir: bir ifade örneği, doğal bir logaritma veya ondalık bir sayı içerebilir.

İşte örnekler ln100, ln1026. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı dereceyi belirlemeniz gerektiği gerçeğine indirgenir. çözümler için doğal logaritmalar logaritmik kimlikler veya özellikleri uygulanmalıdır. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Öyleyse, ana teoremleri logaritmalarda kullanma örneklerine bakalım.

1. Çarpımın logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük önem b sayıları daha basit çarpanlara bölünür. Örneğin log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - görebileceğiniz gibi, logaritma derecesinin dördüncü özelliğini kullanarak karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi ilk bakışta çözmeyi başardık. Sadece tabanı çarpanlara ayırmak ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmak gerekir.

Sınavdaki görevler

Logaritmalara genellikle giriş sınavlarında, özellikle Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problem bulunur. Genellikle bu görevler yalnızca A bölümünde mevcut değildir (en kolayı deneme bölümü sınav), aynı zamanda C bölümünde (en zor ve hacimli görevler). Sınav, "Doğal logaritmalar" konusunda doğru ve mükemmel bir bilgi anlamına gelir.

Örnekler ve problem çözümleri resmi kaynaklardan alınmıştır. KULLANIM seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Verilen log 2 (2x-1) = 4. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2 , logaritmanın tanımından şunu elde ederiz 2x-1 = 2 4 , dolayısıyla 2x = 17; x = 8.5

• Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmalar en iyi şekilde aynı tabana indirgenir.
• Logaritmanın işareti altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, bu nedenle ifadenin logaritmanın işareti altındaki üssünün üssünü ve tabanını çıkarırken, logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.

\(a^(b)=c\) \(\Solsağok\) \(\log_(a)(c)=b\)

Daha kolay açıklayalım. Örneğin, \(\log_(2)(8)\), \(8\) elde etmek için \(2\)'nin yükseltilmesi gereken güce eşittir. Buradan, \(\log_(2)(8)=3\) olduğu açıktır.

Örnekler:		\(\log_(5)(25)=2\)		Çünkü \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		Çünkü \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		Çünkü \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argüman ve logaritmanın tabanı

Herhangi bir logaritma aşağıdaki "anatomiye" sahiptir:

Logaritmanın argümanı genellikle seviyesinde yazılır ve taban, logaritmanın işaretine daha yakın bir alt simge olarak yazılır. Ve bu giriş şu şekilde okunur: "yirmi beş üzeri beşin logaritması."

Logaritma nasıl hesaplanır?

Logaritmayı hesaplamak için şu soruyu cevaplamanız gerekir: argümanı elde etmek için taban ne dereceye kadar yükseltilmelidir?

Örneğin, logaritmayı hesaplayın: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) elde etmek için \(4\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Açıkçası ikincisi. Bu yüzden:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) elde etmek için \(\sqrt(5)\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Ve hangi derece herhangi bir sayıyı bir birim yapar? Tabii ki sıfır!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)'yi elde etmek için \(\sqrt(7)\)'nin hangi kuvvete yükseltilmesi gerekir? İlkinde - birinci dereceden herhangi bir sayı kendisine eşittir.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)'ü elde etmek için \(3\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Bunun kesirli bir kuvvet olduğunu biliyoruz ve bu nedenle karekök \(\frac(1)(2)\) 'nin kuvvetidir.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Örnek : Logaritmayı hesaplayın \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Çözüm :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Logaritmanın değerini bulmamız gerekiyor, bunu x olarak gösterelim. Şimdi logaritmanın tanımını kullanalım: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Solsağok\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\) ve \(8\) arasındaki bağlantılar nelerdir? İki, çünkü her iki sayı da ikişer ile temsil edilebilir: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Solda, derece özelliklerini kullanıyoruz: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) ve \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazlar eşittir, göstergelerin eşitliğine geçiyoruz
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Denklemin her iki tarafını da \(\frac(2)(5)\) ile çarpın
		Ortaya çıkan kök, logaritmanın değeridir

Cevap : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Logaritma neden icat edildi?

Bunu anlamak için denklemi çözelim: \(3^(x)=9\). Eşitliğin çalışması için sadece \(x\) ile eşleştirin. Tabii ki, \(x=2\).

Şimdi denklemi çözün: \(3^(x)=8\).x neye eşittir? Mesele bu.

En dahice, "X, ikiden biraz daha azdır" diyecektir. Bu sayı tam olarak nasıl yazılacak? Bu soruyu cevaplamak için logaritmayı buldular. Onun sayesinde buradaki cevap \(x=\log_(3)(8)\) şeklinde yazılabilir.

\(\log_(3)(8)\)'nin yanı sıra şunu vurgulamak istiyorum: herhangi bir logaritma sadece bir sayıdır. Evet, alışılmadık görünüyor ama kısa. Çünkü ondalık olarak yazmak isteseydik şöyle görünürdü: \(1.892789260714.....\)

Örnek : \(4^(5x-4)=10\) denklemini çözün

Çözüm :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) ve \(10\) aynı tabana indirgenemez. Yani burada logaritma olmadan yapamazsınız. Logaritmanın tanımını kullanalım: \(a^(b)=c\) \(\Solsağok\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Denklemi x solda olacak şekilde çevirin
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Bizden önce. \(4\) öğesini sağa taşı. Ve logaritmadan korkmayın, ona normal bir sayı gibi davranın.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Denklemi 5'e bölün
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		İşte kökümüz. Evet, alışılmadık görünüyor, ancak cevap seçilmedi.

Cevap : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Ondalık ve doğal logaritmalar

Logaritmanın tanımında belirtildiği gibi, tabanı herhangi bir olabilir. pozitif sayı, \((a>0, a\neq1)\) birimi hariç. Ve tüm olası tabanlar arasında, o kadar sık ​​meydana gelen iki tane vardır ki onlarla logaritmalar için özel bir kısa notasyon icat edilmiştir:

Doğal logaritma: tabanı Euler sayısı \(e\) olan (yaklaşık olarak \(2,7182818…\)'ye eşit) olan ve logaritması \(\ln(a)\) şeklinde yazılan bir logaritma.

Yani, \(\ln(a)\), \(\log_(e)(a)\) ile aynıdır

Ondalık logaritma: Tabanı 10 olan bir logaritma \(\lg(a)\) şeklinde yazılır.

Yani, \(\lg(a)\), \(\log_(10)(a)\) ile aynıdır, burada \(a\) bir sayıdır.

Temel logaritmik kimlik

Logaritmaların birçok özelliği vardır. Bunlardan biri "Ana logaritmik kimlik' ve şöyle görünür:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Bu özellik doğrudan tanımdan gelir. Bu formülün tam olarak nasıl ortaya çıktığını görelim.

Hatırlayalım Kısa not logaritma tanımları:

\(a^(b)=c\), ise \(\log_(a)(c)=b\)

Yani \(b\), \(\log_(a)(c)\) ile aynıdır. O zaman \(a^(b)=c\) formülünde \(b\) yerine \(\log_(a)(c)\) yazabiliriz. Ana logaritmik kimlik olan \(a^(\log_(a)(c))=c\) ortaya çıktı.

Logaritmaların geri kalan özelliklerini bulabilirsiniz. Onların yardımıyla, doğrudan hesaplanması zor olan logaritmalarla ifadelerin değerlerini basitleştirebilir ve hesaplayabilirsiniz.

Örnek : \(36^(\log_(6)(5))\) ifadesinin değerini bulun

Çözüm :

Cevap : \(25\)

Bir sayıyı logaritma olarak nasıl yazarız?

Yukarıda belirtildiği gibi, herhangi bir logaritma sadece bir sayıdır. Tersi de doğrudur: herhangi bir sayı bir logaritma olarak yazılabilir. Örneğin, \(\log_(2)(4)\) öğesinin ikiye eşit olduğunu biliyoruz. O zaman iki yerine \(\log_(2)(4)\) yazabilirsiniz.

Ancak \(\log_(3)(9)\) aynı zamanda \(2\)'ye eşittir, dolayısıyla \(2=\log_(3)(9)\) yazabilirsiniz. \(\log_(5)(25)\) ve \(\log_(9)(81)\) ile benzer şekilde, vb. Yani, ortaya çıkıyor

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ günlük_(7)(49)...\)

Bu nedenle, ihtiyacımız olursa, ikisini herhangi bir yerde herhangi bir tabana sahip bir logaritma olarak yazabiliriz (bir denklemde, hatta bir ifadede, hatta bir eşitsizlikte bile) - argüman olarak sadece kareli tabanı yazarız.

Üçlü ile aynıdır - \(\log_(2)(8)\) veya \(\log_(3)(27)\) veya \(\log_(4)() olarak yazılabilir 64) \) ... Burada küpteki tabanı argüman olarak yazıyoruz:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ günlük_(7)(343)...\)

Ve dört ile:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ günlük_(7)(2401)...\)

Ve eksi bir ile:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Ve üçte biriyle:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Herhangi bir \(a\) sayısı, \(b\) tabanına sahip bir logaritma olarak temsil edilebilir: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Örnek : Bir ifadenin değerini bulun \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Çözüm :

Cevap : \(1\)

Toplumun gelişmesiyle birlikte üretimin karmaşıklığı, matematik de gelişti. Basitten karmaşığa doğru hareket. Her zamanki toplama ve çıkarma muhasebe yönteminden, tekrarlanan tekrarlarıyla, çarpma ve bölme kavramına geldiler. Çarpılarak tekrarlanan işlemin indirgenmesi, üstel alma kavramı haline geldi. Sayıların tabana bağımlılığı ve üs alma sayısına ilişkin ilk tablolar, 8. yüzyılda Hintli matematikçi Varasena tarafından derlendi. Onlardan logaritmaların oluşma zamanını sayabilirsiniz.

tarihsel anahat

16. yüzyılda Avrupa'nın yeniden canlanması da mekaniğin gelişimini teşvik etti. T büyük miktarda hesaplama gerektiriyorduçok basamaklı sayıların çarpma ve bölme işlemleriyle ilişkilidir. Eski masalar harika bir hizmet yaptı. Karmaşık işlemleri daha basit olanlarla - toplama ve çıkarma - değiştirmeyi mümkün kıldılar. İleriye doğru büyük bir adım, matematikçi Michael Stiefel'in 1544'te yayınlanan ve birçok matematikçinin fikrini gerçekleştirdiği çalışmasıydı. Bu, tabloların yalnızca asal sayılar biçimindeki dereceler için değil, aynı zamanda keyfi rasyonel olanlar için de kullanılmasını mümkün kıldı.

1614'te, bu fikirleri geliştiren İskoçyalı John Napier, ilk olarak "bir sayının logaritması" adlı yeni terimi tanıttı. Sinüs ve kosinüslerin ve teğetlerin logaritmalarını hesaplamak için yeni karmaşık tablolar derlendi. Bu, astronomların çalışmalarını büyük ölçüde azalttı.

Bilim adamları tarafından başarıyla kullanılan yeni tablolar ortaya çıkmaya başladı. üç yüzyıl. önce uzun zaman aldı yeni operasyon cebirde bitmiş halini aldı. Logaritma tanımlandı ve özellikleri incelendi.

Ancak 20. yüzyılda, hesap makinesinin ve bilgisayarın ortaya çıkmasıyla birlikte, insanlık 13. yüzyıl boyunca başarılı bir şekilde işleyen eski tabloları terk etti.

Bugün, b sayısını elde etmek için a'nın kuvveti olan x sayısını a tabanına göre b'nin logaritmasına diyoruz. Bu bir formül olarak yazılır: x = log a(b).

Örneğin, log 3(9) 2'ye eşit olacaktır. Tanımı izlerseniz bu açıktır. 3'ü 2'nin kuvvetine yükseltirsek 9 elde ederiz.

Bu nedenle, formüle edilen tanım yalnızca bir kısıtlama getirir, a ve b sayıları gerçek olmalıdır.

logaritma çeşitleri

Klasik tanım gerçek logaritma olarak adlandırılır ve aslında a x = b denkleminin bir çözümüdür. a = 1 seçeneği sınırdadır ve ilgi çekici değildir. Not: 1'in herhangi bir kuvveti 1'dir.

Logaritmanın gerçek değeri yalnızca taban ve bağımsız değişken 0'dan büyükse tanımlanır ve taban 1'e eşit olmamalıdır.

Matematik alanında özel bir yer tabanlarının değerine bağlı olarak adlandırılacak logaritmalar oynayın:

Kurallar ve kısıtlamalar

Logaritmaların temel özelliği şu kuraldır: Bir çarpımın logaritması, logaritmik toplama eşittir. log abp = log a(b) + log a(p).

Bu ifadenin bir çeşidi olarak şöyle olacaktır: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), bölüm fonksiyonu, fonksiyonların farkına eşittir.

Önceki iki kuraldan şunu görmek kolaydır: log a(b p) = p * log a(b).

Diğer özellikler şunları içerir:

Yorum. Yaygın bir hata yapmayın - toplamın logaritması, logaritmaların toplamına eşit değildir.

Yüzyıllar boyunca, logaritmayı bulma işlemi oldukça zaman alan bir işti. Matematikçiler, bir polinomda logaritmik genişleme teorisinin iyi bilinen formülünü kullandılar:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), burada n, hesaplamanın doğruluğunu belirleyen 1'den büyük bir doğal sayıdır.

Diğer tabanlarla logaritmalar, bir tabandan diğerine geçiş teoremi ve çarpım logaritmasının özelliği kullanılarak hesaplandı.

Bu yöntem çok zahmetli olduğundan ve pratik problemleri çözerken uygulanması zor, tüm işi büyük ölçüde hızlandıran önceden derlenmiş logaritma tabloları kullandılar.

Bazı durumlarda, daha az doğruluk sağlayan, ancak istenen değerin aranmasını önemli ölçüde hızlandıran, özel olarak derlenmiş logaritma grafikleri kullanıldı. Birkaç nokta üzerine inşa edilmiş y = log a(x) fonksiyonunun eğrisi, başka herhangi bir noktadaki fonksiyonun değerlerini bulmak için normal cetvelin kullanılmasına izin verir. mühendisler uzun zaman bu amaçlar için sözde grafik kağıdı kullanıldı.

17. yüzyılda, ilk yardımcı analog hesaplama koşulları ortaya çıktı. XIX yüzyıl bitmiş bir görünüm kazandı. En başarılı cihaz hesap cetveli olarak adlandırıldı. Cihazın sadeliğine rağmen, görünümü tüm mühendislik hesaplamaları sürecini önemli ölçüde hızlandırdı ve bunu abartmak zor. Şu anda, çok az kişi bu cihaza aşinadır.

Hesap makinelerinin ve bilgisayarların ortaya çıkışı, başka herhangi bir cihazı kullanmayı anlamsız hale getirdi.

denklemler ve eşitsizlikler

Logaritma kullanarak çeşitli denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için aşağıdaki formüller kullanılır:

• Bir tabandan diğerine geçiş: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Önceki sürümün bir sonucu olarak: log a(b) = 1 / log b(a).

Eşitsizlikleri çözmek için şunları bilmek yararlıdır:

• Logaritmanın değeri yalnızca hem taban hem de bağımsız değişken birden büyük veya birden küçükse pozitif olacaktır; en az bir koşul ihlal edilirse, logaritmanın değeri negatif olacaktır.
• Eşitsizliğin sağ ve sol taraflarına logaritma fonksiyonu uygulanırsa ve logaritmanın tabanı birden büyükse eşitsizliğin işareti korunur; yoksa değişir.

Görev örnekleri

Logaritma ve özelliklerini kullanmak için birkaç seçeneği göz önünde bulundurun. Denklem çözme örnekleri:

Logaritmayı dereceye yerleştirme seçeneğini göz önünde bulundurun:

• Görev 3. 25^log 5(3) hesaplayın. Çözüm: problemin koşullarında gösterim şuna benzer (5^2)^log5(3) veya 5^(2 * log 5(3)). Farklı bir şekilde yazalım: 5^log 5(3*2) veya bir fonksiyon argümanı olarak bir sayının karesi, fonksiyonun kendisinin karesi olarak da yazılabilir (5^log 5(3))^2. Logaritmaların özelliklerini kullanarak, bu ifade 3^2'dir. Cevap: Hesaplama sonucunda 9 elde ederiz.

Pratik kullanım

Tamamen matematiksel bir araç olarak, olmaktan çok uzak görünüyor. gerçek hayat nesneleri tanımlamada logaritmanın birdenbire büyük önem kazandığını gerçek dünya. Kullanılmadığı bir bilim bulmak zordur. Bu tamamen sadece doğal olan için değil, aynı zamanda beşeri bilimler bilgi alanları için de geçerlidir.

logaritmik bağımlılıklar

Sayısal bağımlılıklara bazı örnekler:

Mekanik ve fizik

Tarihsel olarak, mekanik ve fizik her zaman kullanarak gelişmiştir. matematiksel yöntemler araştırma ve aynı zamanda logaritmalar da dahil olmak üzere matematiğin gelişimi için bir teşvik görevi gördü. Fizik yasalarının çoğunun teorisi matematik dilinde yazılmıştır. Logaritmayı kullanarak fiziksel yasaların açıklamasına sadece iki örnek veriyoruz.

Uzay araştırma teorisinin temelini oluşturan Tsiolkovsky formülünü kullanarak bir roketin hızı gibi karmaşık bir miktarı hesaplama problemini çözmek mümkündür:

V = ben * ln(M1/M2), burada

• V, uçağın son hızıdır.
• I, motorun özgül dürtüsüdür.
• M 1, roketin ilk kütlesidir.
• M 2 - son kütle.

Bir diğer önemli örnek- bu, başka bir büyük bilim adamı olan Max Planck'ın termodinamikte denge durumunu değerlendirmeye yarayan formülündeki kullanımdır.

S = k * ln (Ω), burada

• S termodinamik bir özelliktir.
• k, Boltzmann sabitidir.
• Ω, farklı durumların istatistiksel ağırlığıdır.

Kimya

Kimyada logaritma oranını içeren formüllerin kullanılması daha az belirgin olacaktır. İşte sadece iki örnek:

• Nernst denklemi, maddelerin aktivitesi ve denge sabiti ile ilgili olarak ortamın redoks potansiyelinin durumu.
• Otoproliz indeksi ve çözeltinin asitliği gibi sabitlerin hesaplanması da fonksiyonumuz olmadan tamamlanmış sayılmaz.

Psikoloji ve biyoloji

Ve psikolojinin bununla ne ilgisi olduğu tamamen anlaşılmaz. Duyusal gücün, uyaran yoğunluk değerinin alt yoğunluk değerine ters oranı olarak bu fonksiyon tarafından iyi bir şekilde tanımlandığı ortaya çıktı.

Yukarıdaki örneklerden sonra artık logaritma temasının biyolojide de yaygın olarak kullanılması şaşırtıcı değildir. Logaritmik spirallere karşılık gelen biyolojik formlar hakkında ciltler dolusu yazı yazılabilir.

Diğer alanlar

Görünen o ki, bu işlevle bağlantısı olmadan dünyanın varlığı mümkün değildir ve tüm kanunları o yönetir. Özellikle doğa kanunları ile bağlantılı olduğunda geometrik ilerleme. MatProfi web sitesine atıfta bulunmaya değer ve aşağıdaki faaliyet alanlarında buna benzer pek çok örnek var:

Liste sonsuz olabilir. Bu işlevin temel yasalarına hakim olduktan sonra, sonsuz bilgelik dünyasına dalabilirsiniz.