Як розв'язувати системи лінійних рівнянь. Системи рівнянь із двома змінними, способи розв'язання

Нагадаємо для початку визначення рішення системи рівнянь із двома змінними.

Визначення 1

Пара чисел називається рішенням системи рівнянь із двома змінними, якщо за їх підстановки рівняння виходить правильну рівність.

Надалі розглядатимемо системи із двох рівнянь із двома змінними.

Існують чотири основні способи вирішення систем рівнянь: спосіб підстановки, спосіб додавання, графічний спосіб, спосіб ведення нових змінних. Розглянемо ці методи на конкретні приклади. Для опису принципу використання перших трьох способів будемо розглядати систему двох лінійних рівняньз двома невідомими:

Спосіб підстановки

Спосіб підстановки полягає в наступному: береться будь-яке з даних рівнянь і виражається $y$ через $x$, потім $y$ підставляється в рівняння системи, звідки і знаходиться змінна $x.$ Після цього ми легко можемо обчислити змінну $y.$

Приклад 1

Виразимо з другого рівняння $y$ через $x$:

Підставимо у перше рівняння, знайдемо $x$:

\ \ \

Знайдемо $y$:

Відповідь: $(-2,\ 3)$

Спосіб складання.

Розглянемо цей спосіб з прикладу:

Приклад 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Помножимо друге рівняння на 3, отримаємо:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Тепер складемо обидва рівняння між собою:

\ \ \

Знайдемо $y$ з другого рівняння:

\[-6-y=-9\] \

Відповідь: $(-2,\ 3)$

Зауваження 1

Зазначимо, що в даному способі необхідно множити одне або обидва рівняння на такі числа, щоб при додаванні одна зі змінних «зникла».

Графічний спосіб

Графічний спосіб полягає в наступному: обидва рівняння системи зображується на координатній площині і знаходиться їх точка перетину.

Приклад 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Висловимо з обох рівнянь $y$ через $x$:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Зобразимо обидва графіки на одній площині:

Малюнок 1.

Відповідь: $(-2,\ 3)$

Спосіб введення нових змінних

Цей спосіб розглянемо на прикладі:

Приклад 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Рішення.

Ця система рівносильна системі

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ right.\]

Нехай $2^x=u\ (u>0)$, а $3^y=v\ (v>0)$, отримаємо:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Вирішимо отриману систему шляхом додавання. Складемо рівняння:

\ \

Тоді з другого рівняння отримаємо, що

Повертаючись до заміни, отримаємо нову системупоказових рівнянь:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Отримуємо:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Інструкція

Спосіб складання.
Потрібно записати два строго один під одним:

549+45у+4у=-7, 45у+4у=549-7, 49у=542, у=542:49, у≈11.
У довільно обране (із системи) рівняння вставити замість вже знайденого «гравця» число 11 та обчислити друге невідоме:

Х = 61 +5 * 11, х = 61 +55, х = 116.
Відповідь цієї системи рівнянь: х=116, у=11.

Графічний метод.
Полягає у практичному знаходженні координати точки, у якій прямі, математично записані у системі рівнянь. Слід накреслити графіки обох прямих окремо в одній системі координат. Загальний вигляд: - у = kх + b. Щоб побудувати пряму, достатньо знайти координати двох точок, причому х вибирається довільно.
Нехай дана система: 2х - у = 4

У = -3х +1.
Будується пряма по першому, для зручності його потрібно записати: у = 2х-4. Придумати (легше) значення для ікс, підставляючи його на рівняння, вирішивши його, знайти гравець. Виходять дві точки, якими будується пряма. (Див рис.)
х 0 1

у -4 -2
Будується пряма за другим рівнянням: у = -3х +1.
Так само збудувати пряму. (Див рис.)

у 1 -5
Знайти координати точки перетину двох побудованих прямих графіку (якщо прямі не перетинаються, то система рівнянь немає – так ).

Відео на тему

Корисна порада

Якщо ту саму систему рівнянь вирішити трьома різними способами, відповідь вийде однаковий (якщо рішення правильне).

Джерела:

• Алгебра 8 класу
• вирішити рівняння з двома невідомими онлайн
• Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь із двома

Система рівняньє сукупність математичних записів, кожна з яких містить кілька змінних. Існує кілька способів їх вирішення.

Вам знадобиться

• -Лінійка та олівець;
• -Калькулятор.

Інструкція

Розглянемо послідовність розв'язання системи, що складається з лінійних рівнянь, що мають вигляд: a1x + b1y = c1 та a2x + b2y = c2. Де x та y – невідомі змінні, а b,c – вільні члени. При застосуванні даного способу кожна система являє собою координати точок , що відповідають кожному рівнянню. Для початку в кожному випадку висловіть одну змінну через іншу. Потім задайте змінною х кілька будь-яких значень. Достатньо два. Підставте в рівняння та знайдіть y. Побудуйте систему координат, позначте на ній отримані точки та проведіть через них пряму. Аналогічні розрахунки необхідно провести й інших частин системи.

Система має єдине рішення, якщо збудовані прямі перетинаються і одну загальну точку. Вона несумісна, якщо паралельні одна одній. І має безліч рішень, коли прямі зливаються один з одним.

Цей спосіб вважається дуже наочним. Головним недоліком є ​​те, що обчислені невідомі мають наближені значення. Точніший результат дають звані алгебраїчні методи.

Будь-яке рішення системи рівнянь варто перевірити. Для цього підставте замість змінних отримані значення. Також можна знайти його рішення кількома методами. Якщо рішення системи правильне, всі повинні вийти однаковими.

Часто зустрічаються рівняння, у яких одне із доданків невідомо. Щоб вирішити рівняння, потрібно запам'ятати і зробити з цими числами певний набір дій.

Вам знадобиться

• - аркуш паперу;
• - Ручка або олівець.

Інструкція

Уявіть, що перед вами 8 кроликів, а у вас є лише 5 морквин. Подумайте, моркву вам потрібно ще купити, щоб кожному кролику дісталося по моркві.

Подамо це завдання у вигляді рівняння: 5 + x = 8. Підставимо на місце x число 3. Дійсно, 5 + 3 = 8.

Коли ви підставляли число на місце x, ви проробляли ту ж операцію, що і при відніманні 5 з 8. Таким чином, щоб знайти невідомедоданок, відніміть із суми відомий доданок.

Припустимо, у вас 20 кроликів і лише 5 морквин. Складемо. Рівняння – це рівність, яке виконується лише за деяких значеннях літер, що входять до нього. Літери, значення яких потрібно знайти, називаються . Складіть рівняння з одним невідомим, назвіть x. При розв'язанні нашої задачі для кролів виходить наступне рівняння: 5 + x = 20.

Знайдемо різницю між 20 і 5. При відніманні те число, з якого віднімають, що зменшується. Те число, яке віднімають, називається , а кінцевий результат називається різницею. Отже, x = 20 - 5; x = 15. Потрібно купити 15 морквин для кроликів.

Перевірте: 5 + 15 = 20. Рівняння вирішено правильно. Зрозуміло, коли мова йдепро таких простих перевірку виконувати необов'язково. Однак коли доводиться рівняння з тризначними, чотиризначними тощо, обов'язково потрібно виконувати перевірку, щоб бути абсолютно впевненим у результаті своєї роботи.

Відео на тему

Корисна порада

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

Щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відібрати різницю.

Порада 4: Як вирішити систему з трьох рівнянь із трьома невідомими

Система із трьох рівнянь із трьома невідомими може й мати рішень, попри достатню кількість рівнянь. Можна намагатися вирішити її за допомогою методу підстановки або методу Крамера. Метод Крамера крім розв'язання системи дозволяє оцінити, чи є система розв'язною, як знайти значення невідомих.

Інструкція

Метод підстановки полягає в послідовному одному невідомому через два інших і підстановці отриманого результату рівняння системи. Нехай дана система із трьох рівнянь у загальному вигляді:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Виразіть з першого рівняння x: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - і підставте в друге і третє рівняння, потім другого рівняння виразіть y і підставте в третє. Ви отримаєте лінійний вираз для z через коефіцієнти рівнянь системи. Тепер йдіть "назад": підставте z у друге рівняння і знайдіть y, а потім z та y підставте в перше і знайдіть x. Процес у загальному вигляді відображений малюнку до знаходження z. Далі запис у загальному вигляді буде надто громіздким, на практиці, підставивши ви досить легко знайдете всі три невідомі.

Метод Крамера полягає у складанні матриці системи та обчисленні визначника цієї матриці, а також ще трьох допоміжних матриць. Матриця системи складається з коефіцієнтів за невідомих членів рівнянь. Стовпець, що містить числа, що стоять у правих частинах рівнянь, стовпцем правих частин. У системі він не використовується, але використовується під час вирішення системи.

Відео на тему

Зверніть увагу

Усі рівняння у системі мають постачати додаткову незалежну від інших рівнянь інформацію. Інакше система буде недовизначена і однозначного рішення знайти буде неможливо.

Корисна порада

Після розв'язання системи рівнянь підставте знайдені значення у вихідну систему та перевірте, що вони задовольняють усі рівняння.

Само по собі рівнянняз трьома невідомимимає безліч рішень, тому найчастіше воно доповнюється ще двома рівняннями чи умовами. Залежно від цього, які вихідні дані, багато в чому залежатиме хід рішення.

Вам знадобиться

• - система з трьох рівнянь із трьома невідомими.

Інструкція

Якщо дві з трьох системи мають лише дві невідомі з трьох, спробуйте висловити одні змінні через інші та підставити їх у рівнянняз трьома невідомими. Ваша мета при цьому – перетворити його на звичайне рівнянняз невідомою. Якщо це, подальше рішення досить просто - підставте знайдене значення в інші рівняння і знайдіть решту невідомих.

Деякі системи рівнянь можна віднімати з одного рівняння іншого. Подивіться, чи немає можливості помножити одне з або змінну так, щоб скоротилися відразу дві невідомі. Якщо така можливість є, скористайтеся нею, швидше за все, наступне рішення не складе труднощів. Не забувайте, що при множенні на число необхідно множити як ліву, так і праву. Так само при відніманні рівнянь необхідно пам'ятати про те, що права частина повинна також відніматися.

Якщо попередні способине допомогли, скористайтеся загальним способом вирішення будь-яких рівнянь з трьома невідомими. Для цього перепишіть рівняння у вигляді а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Тепер складіть матрицю коефіцієнтів при х (А), матрицю невідомих (Х) та матрицю вільних (В). Зверніть увагу, множачи матрицю коефіцієнтів на матрицю невідомих, ви отримаєте матрицю, матриці вільних членів, тобто А * Х = В.

Знайдіть матрицю А в ступені (-1) попередньо відшукавши , зверніть увагу, він не повинен дорівнювати нулю. Після цього помножте отриману матрицю на матрицю, в результаті ви отримаєте шукану матрицю Х, із зазначенням всіх значень.

Знайти рішення системи із трьох рівнянь можна також за допомогою методу Крамера. Для цього знайдіть визначник третього порядку ∆, який відповідає матриці системи. Потім послідовно знайдіть ще три визначники ∆1, ∆2 та ∆3, підставляючи замість значень відповідних стовпців значення вільних членів. Тепер знайдіть х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Джерела:

• рішень рівнянь із трьома невідомими

Починаючи вирішення системи рівнянь, розберіться з тим, які це рівняння. Досить добре вивчені способи розв'язання лінійних рівнянь. Нелінійні рівняння найчастіше вирішуються. Є лише одні окремі випадки, кожен з яких практично індивідуальний. Тому вивчення прийомів рішення слід розпочати з рівнянь саме лінійних. Такі рівняння можна вирішувати навіть суто алгоритмічно.

знаменники при знайдених невідомих абсолютно однакові. Та й у чисельників проглядаються деякі закономірності їхньої побудови. Якщо розмірність системи рівнянь була б більшою за два, то метод виключення приводив би до дуже громіздких викладок. Щоб їх уникнути, розроблено суто алгоритмічні способи розв'язання. Найпростіший їх алгоритм Крамера (формули Крамера). Для слід дізнатися, загальна системарівнянь із n рівнянь.

Система n лінійних рівнянь алгебри з n невідомими має вигляд (див. рис. 1a). У ній аij - коефіцієнти системи,
хj - невідомі, bi - вільні члени (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., п). Компактно таку систему можна записувати матричної формі АХ=B. Тут А – матриця коефіцієнтів системи, Х – матриця-стовпець невідомих, B – матриця-стовпець вільних членів (див. рис 1b). За методом Крамера кожне невідоме xi = ∆i/∆ (i = 1,2 ..., n). Визначник матриці коефіцієнтів називають головним, а ∆i допоміжним. Для кожної невідомої допоміжний визначник знаходять за допомогою заміни i стовпця головного визначника на стовпець вільних членів. Детально метод Крамера для випадку систем другого та третього порядку представлено на рис. 2.

Система є об'єднання двох або більше рівностей, у кожному з яких є по дві або більше невідомих. Існують два основні способи вирішення систем лінійних рівнянь, що використовуються в рамках шкільної програми. Один з них носить назву методу, інший – методу складання.

Стандартний вид системи із двох рівнянь

При стандартному виглядіперше рівняння має вигляд a1 * x + b1 * y = с1, друге рівняння має вигляд a2 * x + b2 * y = c2 і так далі. Наприклад, у разі двох частин системи в обох наведених a1, a2, b1, b2, c1, c2 - деякі числові коефіцієнти, представлені в конкретних рівняннях. У свою чергу, x і у є невідомими, значення яких потрібно визначити. Шукані значення звертають обидва рівняння одночасно у вірні рівності.

Рішення системи способом додавання

Для того щоб вирішити систему , тобто знайти ті значення x і y, які перетворять їх на правильні рівності, необхідно зробити кілька нескладних кроків. Перший полягає в перетворенні будь-якого з рівнянь таким чином, щоб числові коефіцієнти для змінної x або y в обох рівняннях збігалися по модулю, але розрізнялися по знаку.

Наприклад, нехай задана система, що складається із двох рівнянь. Перше має вигляд 2x+4y=8, друге має вигляд 6x+2y=6. Одним із варіантів виконання поставленої задачі є домноження другого рівняння на коефіцієнт -2, яке приведе його до вигляду -12x-4y=-12. Вірний вибір коефіцієнта є одним із ключових завдань у процесі вирішення системи способом додавання, оскільки він визначає весь подальший хід процедури знаходження невідомих.

Тепер необхідно здійснити складання двох рівнянь системи. Очевидно, взаємне знищення змінних із рівними за значенням, але протилежними за знаком коефіцієнтами приведе його до вигляду -10x=-4. Після цього необхідно вирішити це просте рівняння, з якого однозначно випливає, що x = 0,4.

Останнім крокомв процесі рішення є підстановка знайденого значення однієї зі змінних у будь-яку з початкових рівностей, що є в системі. Наприклад, підставляючи x=0,4 перше рівняння, можна отримати вираз 2*0,4+4y=8, звідки y=1,8. Таким чином, x=0,4 та y=1,8 є корінням наведеної в прикладі системи.

Щоб переконатися, що коріння було знайдено правильно, корисно провести перевірку, підставивши знайдені значення у друге рівняння системи. Наприклад, в даному випадкувиходить рівність виду 0,4*6+1,8*2=6, що є вірним.

Відео на тему

Рішення систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ), безсумнівно, є найважливішою темою курсу лінійної алгебри. Величезна кількість завдань із усіх розділів математики зводиться до вирішення систем лінійних рівнянь. Цими чинниками пояснюється причина створення цієї статті. Матеріал статті підібраний та структурований так, що за його допомогою Ви зможете

• підібрати оптимальний метод вирішення Вашої системи лінійних рівнянь алгебри,
• вивчити теорію обраного методу,
• вирішити Вашу систему лінійних рівнянь, розглянувши докладно розібрані рішення характерних прикладів та завдань.

Короткий опис статті.

Спочатку дамо всі необхідні визначення, поняття та введемо позначення.

Далі розглянемо методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних і які мають єдине рішення. По-перше, зупинимося на методі Крамера, по-друге, покажемо матричний метод розв'язання таких систем рівнянь, по-третє, розберемо метод Гауса (метод послідовного виключення невідомих змінних). Для закріплення теорії обов'язково вирішимо кілька СЛАУ у різний спосіб.

Після цього перейдемо до вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального вигляду, В яких число рівнянь не збігається з числом невідомих змінних або основна матриця системи є виродженою. Сформулюємо теорему Кронекера – Капеллі, яка дозволяє встановити спільність СЛАУ. Розберемо рішення систем (у разі їхньої спільності) за допомогою поняття базисного мінору матриці. Також розглянемо метод Гауса і докладно опишемо рішення прикладів.

Обов'язково зупинимося на структурі загального рішення однорідних та неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри. Дамо поняття фундаментальної системи рішень та покажемо, як записується загальне рішення СЛАУ за допомогою векторів фундаментальної системи рішень. Для найкращого розуміння розберемо кілька прикладів.

Наприкінці розглянемо системи рівнянь, що зводяться до лінійних, і навіть різні завдання, під час вирішення яких виникають СЛАУ.

Навігація на сторінці.

Визначення, поняття, позначення.

Розглянемо системи з p лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими змінними (p може дорівнювати n ) виду

Невідомі змінні, - коефіцієнти (деякі дійсні чи комплексні числа), - вільні члени (також дійсні чи комплексні числа).

Таку форму запису СЛАУ називають координатною.

У матричній формізапису ця система рівнянь має вигляд ,
де - основна матриця системи, - матриця-стовпець невідомих змінних, - матриця-стовпець вільних членів.

Якщо до матриці А додати як (n+1)-ого ​​стовпця матрицю-стовпець вільних членів, то отримаємо так звану розширену матрицюсистеми лінійних рівнянь Зазвичай розширену матрицю позначають буквою Т, а стовпець вільних членів відокремлюють вертикальною лінієювід інших стовпців, тобто,

Рішенням системи лінійних рівнянь алгебриназивають набір значень невідомих змінних , що обертає всі рівняння системи у тотожності. Матричне рівняння за даних значень невідомих змінних також перетворюється на тотожність .

Якщо система рівнянь має хоча одне рішення, вона називається спільної.

Якщо система рівнянь рішень немає, вона називається несумісний.

Якщо СЛАУ має єдине рішення, її називають певною; якщо рішень більше одного, то – невизначеною.

Якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю , то система називається однорідний, в іншому випадку - неоднорідний.

Розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь алгебри.

Якщо число рівнянь системи дорівнює кількості невідомих змінних і визначник її основної матриці не дорівнює нулю, то такі СЛАУ будемо називати елементарними. Такі системи рівнянь мають єдине рішення, причому у разі однорідної системи всі невідомі змінні дорівнюють нулю.

Такі СЛАУ ми починали вивчати у середній школі. При їх вирішенні ми брали якесь одне рівняння, висловлювали одну невідому змінну через інші і підставляли її в рівняння, що залишилися, потім брали наступне рівняння, висловлювали наступну невідому змінну і підставляли в інші рівняння і так далі. Або користувалися методом додавання, тобто складали два або більше рівнянь, щоб виключити деякі невідомі змінні. Не будемо докладно зупинятися цих методах, оскільки вони насправді є модифікаціями методу Гаусса.

Основними методами розв'язання елементарних систем лінійних рівнянь є метод Крамера, матричний метод та метод Гаусса. Розберемо їх.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Крамера.

Нехай нам потрібно вирішити систему лінійних рівнянь алгебри

в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих змінних та визначник основної матриці системи відмінний від нуля, тобто .

Нехай – визначник основної матриці системи, а - визначники матриць, що виходять з А заміною 1-го, 2-го, …, n-огостовпця відповідно на стовпець вільних членів:

За таких позначень невідомі змінні обчислюються за формулами методу Крамера як . Так знаходиться рішення системи лінійних рівнянь алгебри методом Крамера.

приклад.

Методом Крамера .

Рішення.

Основна матриця системи має вигляд . Обчислимо її визначник (при необхідності дивіться статтю):

Так як визначник основної матриці системи відмінний від нуля, система має єдине рішення, яке може бути знайдено методом Крамера.

Складемо та обчислимо необхідні визначники (визначник отримуємо, замінивши в матриці А перший стовпець на стовпець вільних членів, визначник - замінивши другий стовпець на стовпець вільних членів, - замінивши третій стовпець матриці А на стовпець вільних членів):

Знаходимо невідомі змінні за формулами :

Відповідь:

Основним недоліком методу Крамера (якщо можна назвати недоліком) є трудомісткість обчислення визначників, коли кількість рівнянь системи більше трьох.

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом (за допомогою зворотної матриці).

Нехай система лінійних рівнянь алгебри задана в матричній формі , де матриця A має розмірність n на n і її визначник відмінний від нуля.

Оскільки , то матриця А – оборотна, тобто існує зворотна матриця . Якщо помножити обидві частини рівності на ліворуч, то отримаємо формулу для знаходження матриці-стовпця невідомих змінних. Так ми отримали рішення системи лінійних рівнянь алгебри матричним методом.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь матричним способом.

Рішення.

Перепишемо систему рівнянь у матричній формі:

Так як

то СЛАУ можна вирішувати матричним методом. За допомогою зворотної матриці рішення цієї системи може бути знайдено як .

Побудуємо зворотну матрицю за допомогою матриці з додатків алгебри елементів матриці А (при необхідності дивіться статтю ):

Залишилося обчислити - матрицю невідомих змінних, помноживши зворотну матрицю на матрицю-стовпець вільних членів (при необхідності дивіться статтю):

Відповідь:

або в іншому записі x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Основна проблема при знаходженні рішення систем лінійних рівнянь алгебри матричним методом полягає в трудомісткості знаходження зворотної матриці, особливо для квадратних матриць порядку вище третього.

Вирішення систем лінійних рівнянь методом Гаусса.

Нехай нам потрібно знайти рішення системи з n лінійних рівнянь із n невідомими змінними
визначник основної матриці якої відмінний від нуля.

Суть методу Гаусаполягає у послідовному виключенні невідомих змінних: спочатку виключається x 1 з усіх рівнянь системи, починаючи з другого, далі виключається x 2 зі всіх рівнянь, починаючи з третього, і так далі, поки в останньому рівнянні залишиться тільки невідома змінна x n . Такий процес перетворення рівнянь системи для послідовного виключення невідомих змінних називається прямим ходом методу Гауса. Після завершення прямого ходу методу Гауса з останнього рівняння знаходиться x n, за допомогою цього значення з передостаннього рівняння обчислюється x n-1 і так далі з першого рівняння знаходиться x 1 . Процес обчислення невідомих змінних під час руху від останнього рівняння системи до першого називається зворотним ходом методу Гауса.

Коротко опишемо алгоритм виключення невідомих змінних.

Вважатимемо, що , оскільки ми можемо цього домогтися перестановкою місцями рівнянь системи. Виключимо невідому змінну x 1 зі всіх рівнянь системи, починаючи з другого. Для цього до другого рівняння системи додамо перше, помножене на , до третього рівняння додамо перше, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо перше, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а .

До такого ж результату ми дійшли б, якби висловили x 1 через інші невідомі змінні в першому рівнянні системи і отриманий вираз підставили у всі інші рівняння. Таким чином, змінна x 1 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з другого.

Далі діємо аналогічно, але лише з частиною отриманої системи, яка зазначена на малюнку

Для цього до третього рівняння системи додамо друге, помножене на , до четвертого рівняння додамо друге, помножене на , і так далі, до n-го рівняння додамо друге, помножене на . Система рівнянь після таких перетворень набуде вигляду

де , а . Таким чином, змінна x 2 виключена зі всіх рівнянь, починаючи з третього.

Далі приступаємо до виключення невідомої x 3 при цьому діємо аналогічно з зазначеною на малюнку частиною системи

Так продовжуємо прямий хід методу Гаусса доки система не набуде вигляду

З цього моменту починаємо зворотний хід методу Гауса: обчислюємо x n з останнього рівняння як за допомогою отриманого значення x n знаходимо x n-1 з передостаннього рівняння, і так далі, знаходимо x 1 з першого рівняння.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних рівнянь методом Гауса.

Рішення.

Виключимо невідому змінну x 1 з другого та третього рівняння системи. Для цього до обох частин другого та третього рівнянь додамо відповідні частини першого рівняння, помножені на і відповідно:

Тепер із третього рівняння виключимо x 2 , додавши до його лівої та правої частин ліву та праву частини другого рівняння, помножені на :

На цьому прямий хід методу Гауса закінчено, починаємо зворотний хід.

З останнього рівняння отриманої системи рівнянь знаходимо x 3 :

З другого рівняння отримуємо.

З першого рівняння знаходимо невідому змінну, що залишилася, і цим завершуємо зворотний хід методу Гауса.

Відповідь:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.

У загальному випадку кількість рівнянь системи p не збігається з числом невідомих змінних n:

Такі СЛАУ можуть мати рішень, мати єдине рішення чи мати нескінченно багато рішень. Це твердження відноситься до систем рівнянь, основна матриця яких квадратна і вироджена.

Теорема Кронекер - Капеллі.

Перш ніж знаходити розв'язання системи лінійних рівнянь, необхідно встановити її спільність. Відповідь на питання, коли СЛАУ спільна, а коли несумісна, дає теорема Кронекера - Капеллі:
для того, щоб система з p рівнянь з n невідомими (p може бути одно n ) була спільна необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці, тобто Rank (A) = Rank (T) .

Розглянемо з прикладу застосування теореми Кронекера – Капеллі визначення спільності системи лінійних рівнянь.

приклад.

З'ясуйте, чи має система лінійних рівнянь рішення.

Рішення.

. Скористаємося методом обрамляють мінорів. Мінор другого порядку відмінний від нуля. Переберемо його мінори третього порядку:

Так як всі мінори третього порядку, що облямовують, дорівнюють нулю, то ранг основної матриці дорівнює двом.

У свою чергу ранг розширеної матриці дорівнює трьом, оскільки мінор третього порядку

відмінний від нуля.

Таким чином, Rang(A) , отже, по теоремі Кронекера – Капеллі можна дійти невтішного висновку, що вихідна система лінійних рівнянь несовместна.

Відповідь:

Система рішень немає.

Отже, ми навчилися встановлювати несумісність системи з допомогою теореми Кронекера – Капеллі.

А як же знаходити рішення СЛАУ, якщо встановлено її спільність?

Для цього нам знадобиться поняття базисного мінору матриці та теорема про ранг матриці.

Мінор найвищого порядку матриці А, відмінний від нуля, називається базисним.

З визначення базисного мінору випливає, що його порядок дорівнює рангу матриці. Для ненульової матриці базисних мінорів А може бути кілька, один базисний мінор є завжди.

Наприклад розглянемо матрицю .

Всі мінори третього порядку цієї матриці дорівнюють нулю, так як елементи третього рядка цієї матриці є сумою відповідних елементів першого і другого рядків.

Базисними є такі мінори другого порядку, оскільки вони відмінні від нуля

Мінори базисними є, оскільки рівні нулю.

Теорема про ранг матриці.

Якщо ранг матриці порядку p на n дорівнює r то всі елементи рядків (і стовпців) матриці, що не утворюють обраний базисний мінор, лінійно виражаються через відповідні елементи рядків (і стовпців), що утворюють базисний мінор.

Що нам дає теорема про ранг матриці?

Якщо з теоремі Кронекера – Капеллі ми встановили спільність системи, то вибираємо будь-який базисний мінор основний матриці системи (його порядок дорівнює r ), і виключаємо з системи всі рівняння, які утворюють обраний базисний мінор. Отримана таким чином СЛАУ буде еквівалентна вихідної, оскільки відкинуті рівняння все одно зайві (вони згідно з теоремою про ранг матриці є лінійною комбінацією рівнянь, що залишилися).

У результаті після відкидання зайвих рівнянь системи можливі два випадки.

Якщо кількість рівнянь r в отриманій системі дорівнюватиме кількості невідомих змінних, то вона буде певною і єдине рішення можна буде знайти методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.

приклад.

.

Рішення.

Ранг основної матриці системи дорівнює двом, оскільки мінор другого порядку відмінний від нуля. Ранг розширеної матриці також дорівнює двом, оскільки єдиний мінор третього порядку дорівнює нулю

а розглянутий вище мінор другого порядку відмінний від нуля. З теореми Кронекера – Капеллі можна стверджувати спільність вихідної системи лінійних рівнянь, оскільки Rank(A)=Rank(T)=2 .

Як базисний мінор візьмемо . Його утворюють коефіцієнти першого та другого рівнянь:


Третє рівняння системи не бере участі в освіті базисного мінору, тому виключимо його із системи на підставі теореми про ранг матриці:


Так ми отримали елементарну систему лінійних рівнянь алгебри. Вирішимо її методом Крамера:


Відповідь:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Якщо число рівнянь r отриманої СЛАУ менше числаневідомих змінних n , то лівих частинах рівнянь залишаємо доданки, утворюють базисний мінор, інші доданки переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежним знаком.

Невідомі змінні (їх r штук), що залишилися в лівих частинах рівнянь, називаються основними.

Невідомі змінні (їх n - r штук), які опинилися у правих частинах, називаються вільними.

Тепер вважаємо, що вільні невідомі змінні можуть набувати довільних значень, при цьому r основних невідомих змінних висловлюватимуться через вільні невідомі змінні єдиним чином. Їх вираз можна знайти, вирішуючи отриману СЛАУ методом Крамера, матричним методом або методом Гауса.

Розберемо з прикладу.

приклад.

Розв'яжіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь .

Рішення.

Знайдемо ранг основної матриці системи методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо a 1 1 = 1 . Почнемо пошук ненульового мінору другого порядку, що облямовує даний мінор:


Так ми знайшли ненульовий мінор другого порядку. Почнемо пошук ненульового мінера третього порядку, що облямовує:


Таким чином, ранг основної матриці дорівнює трьом. Ранг розширеної матриці також дорівнює трьом, тобто система спільна.

Знайдений ненульовий мінор третього порядку візьмемо як базисний.

Для наочності покажемо елементи, що утворюють базовий мінор:


Залишаємо в лівій частині рівнянь системи доданки, що беруть участь у базисному мінорі, інші переносимо з протилежними знаками у праві частини:


Надамо вільним невідомим змінним x 2 і x 5 довільні значення, тобто, приймемо де - довільні числа. При цьому СЛАУ набуде вигляду


Отриману елементарну систему лінійних рівнянь алгебри вирішимо методом Крамера:


Отже, .

У відповіді не забуваємо зазначити вільні невідомі змінні.

Відповідь:

Де – довільні числа.

Підведемо підсумок.

Щоб вирішити систему лінійних рівнянь алгебри загального виду, спочатку з'ясовуємо її спільність, використовуючи теорему Кронекера - Капеллі. Якщо ранг основної матриці не дорівнює рангу розширеної матриці, то робимо висновок про несумісність системи.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці, вибираємо базисний мінор і відкидаємо рівняння системи, які беруть участь у освіті обраного базисного мінора.

Якщо порядок базисного мінору дорівнює кількості невідомих змінних, то СЛАУ має єдине рішення, яке знаходимо будь-яким відомим нам методом.

Якщо порядок базисного мінору менше числа невідомих змінних, то лівої частини рівнянь системи залишаємо доданки з основними невідомими змінними, інші доданки переносимо у праві частини і надаємо вільним невідомим змінним довільні значення. З отриманої системи лінійних рівнянь знаходимо основні невідомі змінні методом Крамера, матричним методом чи методом Гаусса.

Метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду.

Методом Гауса можна вирішувати системи лінійних рівнянь алгебри будь-якого виду без попереднього їх дослідження на спільність. Процес послідовного виключення невідомих змінних дозволяє дійти невтішного висновку як про спільності, і про несумісності СЛАУ, а разі існування рішення дає можливість знайти його.

З погляду обчислювальної роботи метод Гауса є кращим.

Дивіться його докладний описі розібрані приклади у статті метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду .

Запис загального рішення однорідних та неоднорідних систем алгебраїчних ліній за допомогою векторів фундаментальної системи рішень.

У цьому розділі мова піде про спільні однорідні і неоднорідні системи лінійних рівнянь алгебри, що мають безліч рішень.

Розберемося спочатку з однорідними системами.

Фундаментальною системою рішеньоднорідної системи з p лінійних рівнянь алгебри з n невідомими змінними називають сукупність (n – r) лінійно незалежних рішень цієї системи, де r – порядок базисного мінору основної матриці системи.

Якщо визначити лінійно незалежні рішення однорідної СЛАУ як X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) – це матриці стовпці розмірності n на 1 ) , то загальне рішення цієї однорідної системи представляється як лінійної комбінації векторів фундаментальної системи рішень з довільними постійними коефіцієнтами З 1 , З 2 , …, З (n-r) , тобто, .

Що означає термін загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри (орослау)?

Сенс простий: формула задає все можливі рішеннявихідною СЛАУ, іншими словами, взявши будь-який набір значень довільних постійних С 1 , З 2 , …, С (n-r) , за формулою ми отримаємо одне з рішень вихідної однорідної СЛАУ.

Таким чином, якщо ми знайдемо фундаментальну систему рішень, ми зможемо задати всі рішення цієї однорідної СЛАУ як .

Покажемо процес побудови фундаментальної системи рішень однорідної СЛАУ.

Вибираємо базовий мінор вихідної системи лінійних рівнянь, виключаємо всі інші рівняння із системи та переносимо у праві частини рівнянь системи з протилежними знаками всі складові, що містять вільні невідомі змінні. Надамо вільним невідомим змінним значення 1,0,0,…,0 і обчислимо основні невідомі, вирішивши отриману елементарну систему лінійних рівнянь будь-яким способом, наприклад методом Крамера. Так буде отримано X(1) – перше рішення фундаментальної системи. Якщо надати вільним невідомим значення 0,1,0,0,…,0 і обчислити у своїй основні невідомі, отримаємо X (2) . І так далі. Якщо вільним невідомим змінним надамо значення 0,0, ..., 0,1 і обчислимо основні невідомі, то отримаємо X (n-r). Так буде побудовано фундаментальну систему рішень однорідної СЛАУ і може бути записано її загальне рішення у вигляді.

Для неоднорідних систем лінійних рівнянь алгебри загальне рішення подається у вигляді , де - загальне рішення відповідної однорідної системи, а - приватне рішення вихідної неоднорідної СЛАУ, яке ми отримуємо, надавши вільним невідомим значення 0,0, ..., 0 і обчисливши значення основних невідомих.

Розберемо з прикладів.

приклад.

Знайдіть фундаментальну систему рішень та загальне рішення однорідної системи лінійних рівнянь алгебри .

Рішення.

Ранг основної матриці однорідних систем лінійних рівнянь завжди дорівнює рангу розширеної матриці. Знайдемо ранг основної матриці методом обрамляють мінорів. Як ненульовий мінор першого порядку візьмемо елемент a 1 1 = 9 основний матриці системи. Знайдемо ненульовий мінор другого порядку, що облямовує:

Мінор другого порядку, відмінний від нуля, знайдено. Переберемо його мінори третього порядку в пошуках ненульового:

Всі обрамляють мінори третього порядку дорівнюють нулю, отже, ранг основної і розширеної матриці дорівнює двом. Базисним мінором візьмемо. Зазначимо для наочності елементи системи, що його утворюють:

Третє рівняння вихідної СЛАУ не бере участі в утворенні базисного мінору, тому може бути виключено:

Залишаємо у правих частинах рівнянь доданки, що містять основні невідомі, а у праві частини переносимо доданки з вільними невідомими:

Побудуємо фундаментальну систему розв'язків вихідної однорідної системи лінійних рівнянь. Фундаментальна система рішень даної СЛАУ складається з двох рішень, оскільки вихідна СЛАУ містить чотири невідомі змінні, а порядок її базисного мінору дорівнює двом. Для знаходження X (1) надамо вільним невідомим змінним значення x 2 = 1, x 4 = 0 тоді основні невідомі знайдемо з системи рівнянь
.

1. Метод підстановки: з будь-якого рівняння системи виражаємо одне невідоме через інше і підставляємо друге рівняння системи.

Завдання.Розв'язати систему рівнянь:

Рішення.З першого рівняння системи виражаємо учерез хта підставляємо у друге рівняння системи. Отримаємо систему рівносильну вихідній.

Після приведення подібних членів система набуде вигляду:

З другого рівняння знаходимо: . Підставивши це значення рівняння у = 2 - 2х, отримаємо у= 3. Отже, розв'язком цієї системи є пара чисел .

2. Метод алгебраїчної складання: шляхом складання двох рівнянь отримати рівняння з однією змінною

Завдання.Розв'язати систему рівняння:

Рішення.Помноживши обидві частини другого рівняння на 2, отримаємо систему рівносильну вихідній. Склавши два рівняння цієї системи, прийдемо до системи

Після приведення подібних членів дана система набуде вигляду: З другого рівняння знаходимо. Підставивши це значення рівняння 3 х + 4у= 5, отримаємо звідки. Отже, рішенням цієї системи є пара чисел .

3. Метод запровадження нових змінних: шукаємо в системі деякі вирази, що повторюються, які позначимо новими змінними, тим самим спрощуючи вид системи.

Завдання.Розв'язати систему рівнянь:

Рішення.Запишемо цю систему інакше:

Нехай х + у = u, ху = v.Тоді отримаємо систему

Вирішимо її методом підстановки. З першого рівняння системи висловимо uчерез vі підставимо на друге рівняння системи. Отримаємо систему тобто.

З другого рівняння системи знаходимо v 1 = 2, v 2 = 3.

Підставивши ці значення до рівняння u = 5 - v, отримаємо u 1 = 3,
u 2 = 2. Тоді маємо дві системи

Вирішуючи першу систему, отримаємо дві пари чисел (1; 2), (2; 1). Друга система рішень немає.

Вправи для самостійної роботи

1. Вирішити системи рівнянь шляхом підстановки.

Зміст уроку

Лінійні рівняння із двома змінними

У школяра є 200 рублів, щоб пообідати у школі. Тістечко коштує 25 рублів, а чашка кави 10 рублів. Скільки тістечок та чашок кави можна накупити на 200 рублів?

Позначимо кількість тістечок через x, а кількість чашок кави через y. Тоді вартість тістечок позначатиметься через вираз 25 x, а вартість чашок кави через 10 y .

25x -вартість xтістечок
10y -вартість yчашок кави

Підсумкова сума повинна дорівнювати 200 рублів. Тоді вийде рівняння із двома змінними xі y

25x+ 10y= 200

Скільки коренів має це рівняння?

Все залежить від апетиту школяра. Якщо він придбає 6 тістечок і 5 чашок кави, то корінням рівняння будуть числа 6 і 5.

Кажуть, що пара значень 6 і 5 є корінням рівняння 25 x+ 10y= 200. Записується як (6; 5), при цьому перше число є значенням змінної x, а друге - значенням змінної y .

6 і 5 не єдине коріння, яке обертає рівняння 25 x+ 10y= 200 на тотожність. За бажання на ті ж 200 рублів школяр може купити 4 тістечка і 10 чашок кави:

У цьому випадку корінням рівняння 25 x+ 10y= 200 є пара значень (4; 10).

Понад те, школяр може взагалі купувати кави, а купити тістечка на всі 200 рублів. Тоді корінням рівняння 25 x+ 10y= 200 будуть значення 8 та 0

Або навпаки, не купувати тістечка, а купити каву на всі 200 рублів. Тоді корінням рівняння 25 x+ 10y= 200 будуть значення 0 та 20

Спробуємо перерахувати всі можливі корені рівняння 25 x+ 10y= 200. Умовимося, що значення xі yналежать безлічі цілих чисел. І нехай ці значення будуть більшими або рівними нулю:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Так буде зручно і самому школяреві. Тістечка зручніше купувати цілими, ніж наприклад кілька цілих тістечок і половину тістечка. Каву також зручніше брати цілими чашками, ніж кілька цілих чашок і половину чашки.

Зауважимо, що при непарному xнеможливо досягти рівності за жодного y. Тоді значеннями xбудуть наступні числа 0, 2, 4, 6, 8. А знаючи xможна легко визначити y

Таким чином, ми отримали наступні пари значень (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ці пари є рішеннями або корінням рівняння 25 x+ 10y= 200. Вони звертають це рівняння в тотожність.

Рівняння виду ax + by = cназивають лінійним рівнянням із двома змінними. Рішенням або корінням цього рівняння називають пару значень ( x; y), яка перетворює його на тотожність.

Зазначимо також, що якщо лінійне рівняння із двома змінними записано у вигляді ax + b y = c ,то кажуть, що воно записано в канонічному(Нормальному) вигляді.

Деякі лінійні рівняння із двома змінними можуть бути приведені до канонічного вигляду.

Наприклад, рівняння 2(16x+ 3y − 4) = 2(12 + 8x − y) можна привести до вигляду ax + by = c. Розкриємо дужки в обох частинах цього рівняння, отримаємо 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Доданки, які містять невідомі, згрупуємо в лівій частині рівняння, а доданки вільні від невідомих — у правій. Тоді отримаємо 32x − 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Наведемо подібні доданки в обох частинах, отримаємо рівняння 16 x+ 8y= 32. Це рівняння наведено до виду ax + by = cта є канонічним.

Розглянуте раніше рівняння 25 x+ 10y= 200 є лінійним рівнянням з двома змінними в канонічному вигляді. У цьому рівнянні параметри a , bі cрівні значенням 25, 10 та 200 відповідно.

Насправді рівняння ax + by = cмає безліч рішень. Вирішуючи рівняння 25x+ 10y= 200, ми шукали його коріння тільки на безлічі цілих чисел. В результаті отримали кілька пар значень, які перетворювали це рівняння на тотожність. Але на безлічі раціональних чисел рівняння 25 x+ 10y= 200 матиме безліч рішень.

Для отримання нових пар значень потрібно взяти довільне значення для x, потім висловити y. Наприклад, візьмемо для змінної xзначення 7. Тоді отримаємо рівняння з однією змінною 25 × 7 + 10y= 200 в якому можна висловити y

Нехай x= 15 . Тоді рівняння 25x+ 10y= 200 набуде вигляду 25 × 15 + 10y= 200. Звідси знаходимо, що y = −17,5

Нехай x= −3. Тоді рівняння 25x+ 10y= 200 набуде вигляду 25 × (−3) + 10y= 200. Звідси знаходимо, що y = −27,5

Система двох лінійних рівнянь із двома змінними

Для рівняння ax + by = cможна скільки завгодно раз брати довільні значення для xі знаходити значення для y. Окремо взяте таке рівняння матиме безліч рішень.

Але буває й так, що змінні xі yпов'язані не одним, а двома рівняннями. У цьому випадку вони утворюють так звану систему лінійних рівнянь із двома змінними. Така система рівнянь може мати одну пару значень (або інакше: одне рішення).

Може статися так, що система зовсім не має рішень. Безліч рішень система лінійних рівнянь може мати в рідкісних і у виняткових випадках.

Два лінійних рівняння утворюють систему тоді, коли значення xі yвходять до кожного з цих рівнянь.

Повернемося до першого рівняння 25 x+ 10y= 200. Однією з пар значень при цьому рівняння була пара (6; 5) . Це випадок, коли на 200 рублів можна було купити 6 тістечок і 5 чашок кави.

Складемо завдання так, щоб пара (6; 5) стала єдиним рішеннямдля рівняння 25 x+ 10y= 200. Для цього складемо ще одне рівняння, яке пов'язувало б ті ж xтістечок і yчашки кави.

Поставимо текст завдання так:

«Школяр купив на 200 рублів кілька тістечок і кілька чашок кави. Тістечко коштує 25 рублів, а чашка кави 10 рублів. Скільки тістечок і чашок кави купив школяр, якщо відомо, що кількість тістечок на одну одиницю більша за кількість чашок кави?»

Перше рівняння ми вже маємо. Це рівняння 25 x+ 10y= 200. Тепер складемо рівняння до умови «кількість тістечок на одну одиницю більша за кількість чашок кави» .

Кількість тістечок це x, а кількість чашок кави це y. Можна записати цю фразу за допомогою рівняння x − y= 1. Це рівняння означатиме, що різниця між тістечками та кавою становить 1.

x = y+1. Це рівняння означає, що кількість тістечок на одиницю більша, ніж кількість чашок кави. Тому для здобуття рівності, до кількості чашок кави додана одиниця. Це легко можна зрозуміти, якщо скористатися моделлю терезів, які ми розглядали щодо найпростіших завдань:

Отримали два рівняння: 25 x+ 10y= 200 та x = y+ 1. Оскільки значення xі y, а саме 6 і 5 входять у кожне з цих рівнянь, разом вони утворюють систему. Запишемо цю систему. Якщо рівняння утворюють систему, вони обрамляються знаком системи. Знак системи це фігурна дужка:

Давайте вирішимо цю систему. Це дозволить побачити, як ми прийдемо до значень 6 та 5. Існує багато методів вирішення таких систем. Розглянемо найпопулярніші з них.

Метод підстановки

Назва цього методу говорить сама за себе. Суть його полягає в тому, щоб одне рівняння підставити в інше, заздалегідь висловивши одну із змінних.

У нашій системі нічого не потрібно висловлювати. У другому рівнянні x = y+ 1 змінна xвже виражена. Ця змінна дорівнює виразу y+1. Тоді можна підставити цей вислів у перше рівняння замість змінної x

Після підстановки виразу y+ 1 у перше рівняння замість x, отримаємо рівняння 25(y+ 1) + 10y= 200 . Це лінійне рівняння з однією змінною. Таке рівняння вирішити досить просто:

Ми знайшли значення змінної y. Тепер підставимо це значення в одне із рівнянь і знайдемо значення x. Для цього зручно використовувати друге рівняння x = y+1. У нього і підставимо значення y

Отже пара (6; 5) є рішенням системи рівнянь, як і задумували. Виконуємо перевірку та переконуємось, що пара (6; 5) задовольняє системі:

Приклад 2

Підставимо перше рівняння x= 2 + yу друге рівняння 3 x − 2y= 9. У першому рівнянні змінна xдорівнює виразу 2 + y. Це вираз і підставимо у друге рівняння замість x

Тепер знайдемо значення x. Для цього підставимо значення yу перше рівняння x= 2 + y

Отже рішенням системи є пара значення (5; 3)

Приклад 3. Вирішити методом підстановки таку систему рівнянь:

Тут, на відміну від попередніх прикладів, одна із змінних не виражена явно.

Щоб підставити одне рівняння до іншого, спочатку потрібно .

Висловлювати бажано ту змінну, що має коефіцієнт одиницю. Коефіцієнт має одиницю змінна x, яка міститься у першому рівнянні x+ 2y= 11 . Цю змінну та виразний.

Після вираження змінної x, наша система набуде наступного вигляду:

Тепер підставимо перше рівняння до другого і знайдемо значення y

Підставимо y x

Отже рішенням системи є пара значень (3; 4)

Звичайно, можна висловлювати і змінну y. Коріння від цього не зміниться. Але якщо висловити y,вийде не дуже й просте рівняння, на вирішення якого піде більше часу. Виглядати це буде так:

Бачимо, що в даному прикладівисловлювати xнабагато зручніше, ніж висловлювати y .

Приклад 4. Вирішити методом підстановки таку систему рівнянь:

Виразимо у першому рівнянні x. Тоді система набуде вигляду:

y

Підставимо yу перше рівняння та знайдемо x. Можна скористатися початковим рівнянням 7 x+ 9y= 8 , чи скористатися рівнянням , у якому виражена змінна x. Цим рівнянням і скористаємося, оскільки це зручно:

Отже рішенням системи є пара значень (5; −3)

Метод складання

Метод складання у тому, щоб почленно скласти рівняння, які входять у систему. Це додавання призводить до того, що утворюється нове рівняння з однією змінною. А розв'язати таке рівняння досить просто.

Розв'яжемо наступну систему рівнянь:

Складемо ліву частину першого рівняння з лівою частиною другого рівняння. А праву частину першого рівняння із правою частиною другого рівняння. Отримаємо таку рівність:

Наведемо такі складові:

В результаті отримали найпростіше рівняння 3 x= 27 корінь якого дорівнює 9. Знаючи значення xможна знайти значення y. Підставимо значення xу друге рівняння x − y= 3. Отримаємо 9 − y= 3. Звідси y= 6 .

Отже рішенням системи є пара значень (9; 6)

Приклад 2

Складемо ліву частину першого рівняння з лівою частиною другого рівняння. А праву частину першого рівняння із правою частиною другого рівняння. У рівності, що вийшла, наведемо подібні доданки:

В результаті отримали найпростіше рівняння 5 x= 20, корінь якого дорівнює 4. Знаючи значення xможна знайти значення y. Підставимо значення xу перше рівняння 2 x + y= 11 . Отримаємо 8+ y= 11 . Звідси y= 3 .

Отже рішенням системи є пара значень (4; 3)

Процес додавання докладно не розписують. Його потрібно виконувати в умі. При додаванні обидва рівняння повинні бути приведені до канонічного вигляду. Тобто, на вигляд ac + by = c .

З розглянутих прикладів видно, основна мета складання рівнянь це позбавлення однієї зі змінних. Не завжди вдається відразу вирішити систему рівнянь шляхом складання. Найчастіше систему попередньо приводять до вигляду, при якому можна скласти рівняння, що входять до цієї системи.

Наприклад, систему можна відразу вирішити шляхом додавання. При додаванні обох рівнянь, доданки yі −yзникнуть, оскільки їхня сума дорівнює нулю. В результаті утворюється найпростіше рівняння 11 x= 22 , корінь якого дорівнює 2. Потім можна буде визначити yрівний 5.

А систему рівнянь шляхом додавання відразу вирішити не можна, оскільки це призведе до зникнення однієї зі змінних. Додавання приведе до того, що утворюється рівняння 8 x+ y= 28 , що має безліч рішень.

Якщо обидві частини рівняння помножити або розділити на те саме число, не рівне нулю, то вийде рівняння рівносильне даному. Це справедливо і для системи лінійних рівнянь із двома змінними. Одне з рівнянь (або обидва рівняння) можна помножити на якесь число. В результаті вийде рівносильна система, коріння якої співпадатиме з попередньою.

Повернемося до найпершої системи, яка описувала скільки тістечок і чашок кави купив школяр. Рішенням цієї системи була пара значень (6; 5).

Помножимо обидва рівняння, що входять до цієї системи на якісь числа. Скажімо перше рівняння помножимо на 2, а друге на 3

В результаті отримали систему
Рішенням цієї системи, як і раніше, є пара значень (6; 5)

Це означає, що рівняння, що входять до системи, можна привести до вигляду, придатного для застосування методу складання.

Повернемося до системи , яку ми змогли вирішити шляхом складання.

Помножимо перше рівняння на 6, а друге на −2

Тоді отримаємо таку систему:

Складемо рівняння, що входять до цієї системи. Додавання компонентів 12 xта −12 xдасть в результаті 0, додавання 18 yта 4 yдасть 22 y, а додавання 108 і −20 дасть 88. Тоді вийде рівняння 22 y= 88 , звідси y = 4 .

Якщо перший час важко складати рівняння в умі, можна записувати як складається ліва частина першого рівняння з лівою частиною другого рівняння, а права частина першого рівняння з правою частиною другого рівняння:

Знаючи, що значення змінної yодно 4, можна знайти значення x. Підставимо yв одне з рівнянь, наприклад, у перше рівняння 2 x+ 3y= 18 . Тоді отримаємо рівняння з однією змінною 2 x+ 12 = 18. Перенесемо 12 у праву частину, змінивши знак, отримаємо 2 x= 6 , звідси x = 3 .

Приклад 4. Розв'язати таку систему рівнянь шляхом складання:

Помножимо друге рівняння на −1. Тоді система набуде наступного вигляду:

Складемо обидва рівняння. Складання компонентів xі −xдасть в результаті 0, додавання 5 yта 3 yдасть 8 y, а додавання 7 і 1 дасть 8. У результаті вийде рівняння 8 y= 8 , корінь якого дорівнює 1. Знаючи, що значення yодно 1, можна знайти значення x .

Підставимо yу перше рівняння, отримаємо x+ 5 = 7 , звідси x= 2

Приклад 5. Розв'язати таку систему рівнянь шляхом складання:

Бажано, щоб доданки, що містять однакові змінні, розташовувалися один під одним. Тому в другому рівнянні доданки 5 yта −2 xпоміняємо місцями. В результаті система набуде вигляду:

Помножимо друге рівняння на 3. Тоді система набуде вигляду:

Тепер складемо обидва рівняння. В результаті складання отримаємо рівняння 8 y= 16, корінь якого дорівнює 2.

Підставимо yу перше рівняння, отримаємо 6 x− 14 = 40 . Перенесемо доданок −14 у праву частину, змінивши знак, отримаємо 6 x= 54 . Звідси x= 9.

Приклад 6. Розв'язати таку систему рівнянь шляхом складання:

Позбавимося дробів. Помножимо перше рівняння на 36, а друге на 12

У системі, що вийшла перше рівняння можна помножити на −5, а друге на 8

Складемо рівняння в системі, що вийшла. Тоді отримаємо найпростіше рівняння -13 y= −156. Звідси y= 12 . Підставимо yу перше рівняння та знайдемо x

Приклад 7. Розв'язати таку систему рівнянь шляхом складання:

Наведемо обидва рівняння до нормального вигляду. Тут зручно застосувати правило пропорції обох рівняннях. Якщо першому рівнянні праву частину уявити як , а праву частину другого рівняння як , то система набуде вигляду:

У нас вийшла пропорція. Перемножимо її крайні та середні члени. Тоді система набуде вигляду:

Перше рівняння помножимо на −3, а у другому розкриємо дужки:

Тепер складемо обидва рівняння. В результаті складання цих рівнянь ми отримаємо рівність, в обох частинах якої буде нуль:

Виходить, що система має безліч рішень.

Але ми не можемо просто так взяти з неба довільні значення для xі y. Ми можемо вказати одне із значень, а інше визначиться залежно від значення, вказаного нами. Наприклад, нехай x= 2. Підставимо це значення в систему:

В результаті вирішення одного з рівнянь, визначиться значення для y, яке задовольнятиме обох рівнянь:

Пара значень (2; −2), що вийшла, задовольнятиме системі:

Знайдемо ще одну пару значень. Нехай x= 4. Підставимо це значення до системи:

На око можна визначити, що значення yодно нулю. Тоді отримаємо пару значень (4; 0), яка задовольняє нашій системі:

Приклад 8. Розв'язати таку систему рівнянь шляхом складання:

Помножимо перше рівняння на 6, а друге на 12

Перепишемо те, що залишилося:

Перше рівняння помножимо на -1. Тоді система набуде вигляду:

Тепер складемо обидва рівняння. В результаті додавання утворюється рівняння 6 b= 48 , корінь якого дорівнює 8. bу перше рівняння та знайдемо a

Система лінійних рівнянь із трьома змінними

У лінійне рівняння із трьома змінними входить три змінні з коефіцієнтами, а також вільний член. У канонічному вигляді його можна записати так:

ax + by + cz = d

Дане рівняння має безліч рішень. Надаючи двом змінним різні значення, Ви можете знайти третє значення. Рішенням у цьому випадку є трійка значень ( x; y; z) яка звертає рівняння у тотожність.

Якщо змінні x, y, zпов'язані між собою трьома рівняннями, то утворюється система трьох лінійних рівнянь із трьома змінними. Для вирішення такої системи можна застосовувати ті ж методи, що застосовуються до лінійних рівнянь із двома змінними: метод підстановки та метод складання.

Приклад 1. Розв'язати таку систему рівнянь методом підстановки:

Виразимо у третьому рівнянні x. Тоді система набуде вигляду:

Тепер виконаємо підстановку. Змінна xдорівнює виразу 3 − 2y − 2z . Підставимо цей вислів у перше і друге рівняння:

Розкриємо дужки в обох рівняннях і наведемо такі складові:

Ми прийшли до системи лінійних рівнянь із двома змінними. У разі зручно застосувати метод складання. В результаті змінна yзникне, і ми зможемо знайти значення змінної z

Тепер знайдемо значення y. Для цього зручно скористатися рівнянням - y+ z= 4. Підставимо до нього значення z

Тепер знайдемо значення x. Для цього зручно скористатися рівнянням x= 3 − 2y − 2z . Підставимо в нього значення yі z

Таким чином, трійка значень (3; -2; 2) є рішенням нашої системи. Перевіркою переконуємось, що ці значення задовольняють системі:

Приклад 2. Вирішити систему шляхом додавання

Складемо перше рівняння з другим, помноженим на −2.

Якщо друге рівняння помножити на −2, воно набуде вигляду −6x+ 6y − 4z = −4 . Тепер складемо його з першим рівнянням:

Бачимо, що в результаті елементарних перетворень визначилося значення змінної x. Воно дорівнює одиниці.

Повернемося до головній системі. Складемо друге рівняння з третім, помноженим на −1. Якщо третє рівняння помножити на −1, то воно набуде вигляду −4x + 5y − 2z = −1 . Тепер складемо його з другим рівнянням:

Здобули рівняння x − 2y= −1. Підставимо в нього значення x, що ми знаходили раніше. Тоді ми зможемо визначити значення y

Тепер нам відомі значення xі y. Це дозволяє визначити значення z. Скористаємося одним із рівнянь, що входять до системи:

Отже, трійка значень (1; 1; 1) є рішенням нашої системи. Перевіркою переконуємось, що ці значення задовольняють системі:

Завдання на складання систем лінійних рівнянь

Завдання складання систем рівнянь вирішується шляхом введення кількох змінних. Далі складаються рівняння виходячи з умов завдання. Зі складених рівнянь утворюють систему і вирішують її. Вирішивши систему, необхідно виконати перевірку те що, задовольняє її рішення умовам завдання.

Завдання 1. З міста до колгоспу виїхала машина «Волга». Назад вона поверталася іншою дорогою, яка була на 5 км коротша за першу. Всього в обидва кінці машина проїхала 35 км. Скільки кілометрів становить довжина кожної дороги?

Рішення

Нехай x -довжина першої дороги, y- Довжина другий. Якщо обидва кінці машина проїхала 35 км, то перше рівняння можна записати як x+ y= 35. Це рівняння визначає суму довжин обох доріг.

Сказано, що назад машина поверталася дорогою, яка була коротшою за першу на 5 км. Тоді друге рівняння можна записати як x− y= 5. Це рівняння показує, що різниця між довжинами доріг становить 5 км.

Або друге рівняння можна записати як x= y+ 5 . Цим рівнянням і скористаємось.

Оскільки змінні xі yв обох рівняннях позначають те саме число, то ми можемо утворити з них систему:

Вирішимо цю систему якимось із вивчених раніше методів. В даному випадку зручно скористатися методом підстановки, оскільки у другому рівнянні змінна xвже виражена.

Підставимо друге рівняння до першого і знайдемо y

Підставимо знайдене значення yу друге рівняння x= y+ 5 і знайдемо x

Довжина першої дороги була позначена через змінну x. Тепер ми знайшли її значення. Змінна xдорівнює 20. Отже, довжина першої дороги становить 20 км.

А довжина другої дороги була позначена через y. Значення цієї змінної дорівнює 15. Значить, довжина другої дороги становить 15 км.

Виконаємо перевірку. Для початку переконаємось, що система вирішена правильно:

Тепер перевіримо, чи задовольняє рішення (20; 15) умов задачі.

Було сказано, що всього обидва кінці машина проїхала 35 км. Складаємо довжини обох доріг і переконуємось, що рішення (20; 15) задовольняє даною умовою: 20 км + 15 км = 35 км

Наступна умова: назад машина поверталася іншою дорогою, яка була на 5 км коротша за першу . Бачимо, що рішення (20; 15) задовольняє й цій умові, оскільки 15 км коротше, ніж 20 км на 5 км: 20 км − 15 км = 5 км

При складанні системи важливо, щоб змінні позначали одні й самі числа у всіх рівняннях, які входять у цю систему.

Так наша система містить два рівняння. Ці рівняння, у свою чергу, містять змінні. xі y, які позначають одні й самі числа в обох рівняннях, саме довжини доріг, рівних 20 км і 15 км.

Завдання 2. На платформу були занурені дубові та соснові шпали, лише 300 шпал. Відомо, що всі дубові шпали важили на 1 т менше, ніж усі соснові. Визначити, скільки було дубових та соснових шпал окремо, якщо кожна дубова шпала важила 46 кг, а кожна соснова – 28 кг.

Рішення

Нехай xдубових та yсоснових шпал було занурено на платформу. Якщо всього шпал було 300, то перше рівняння можна записати як x + y = 300 .

Усі дубові шпали важили 46 xкг, а соснові важили 28 yкг. Оскільки дубові шпали важили на 1 т менше, ніж соснові, друге рівняння можна записати, як 28y − 46x= 1000 . Це рівняння показує, що різниця мас між дубовими та сосновими шпалами становить 1000 кг.

Тони були переведені в кілограми, оскільки маса дубових та соснових шпал виміряна у кілограмах.

В результаті одержуємо два рівняння, які утворюють систему

Вирішимо цю систему. Виразимо у першому рівнянні x. Тоді система набуде вигляду:

Підставимо перше рівняння у друге і знайдемо y

Підставимо yу рівняння x= 300 − yі дізнаємося чому одно x

Значить на платформу було занурено 100 дубових та 200 соснових шпал.

Перевіримо, чи задовольняє рішення (100; 200) умов задачі. Для початку переконаємось, що система вирішена правильно:

Було сказано, що всього було 300 шпал. Складаємо кількість дубових та соснових шпал і переконуємося, що рішення (100; 200) задовольняє цій умові: 100 + 200 = 300.

Наступна умова: усі дубові шпали важили на 1 т менше, ніж усі соснові . Бачимо, що рішення (100; 200) задовольняє й цій умові, оскільки 46×100 кг дубових шпал легше, ніж 28×200 кг соснових шпал: 5600 кг – 4600 кг = 1000 кг.

Завдання 3. Взяли три шматки сплаву міді з нікелем у відносинах 2: 1, 3: 1 та 5: 1 за масою. З них сплавлений шматок масою 12 кг із ставленням вмісту міді та нікелю 4: 1 . Знайдіть масу кожного вихідного шматка, якщо маса першого з них удвічі більша за масу другого.