Einträge mit dem Schlagwort "Beispiele zu Gradeigenschaften mit natürlichem Exponenten". Potenz- oder Exponentialgleichungen

Machtformeln Wird beim Reduzieren und Vereinfachen komplexer Ausdrücke, beim Lösen von Gleichungen und Ungleichungen verwendet.

Nummer C Ist N-te Potenz einer Zahl A Wenn:

Operationen mit Grad.

1. Durch Multiplizieren von Graden mit derselben Basis addieren sich ihre Indikatoren:

Binein n = ein m + n .

2. Bei der Aufteilung von Abschlüssen mit derselben Basis werden ihre Indikatoren subtrahiert:

3. Der Grad des Produkts von 2 oder mehr Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren:

(abc…) n = ein n b n c n …

4. Der Grad eines Bruchs ist gleich dem Verhältnis der Grade des Dividenden und des Divisors:

(a/b) n = ein n / b n .

5. Exponenten werden potenziert:

(am) n = am n .

Jede obige Formel ist in den Richtungen von links nach rechts und umgekehrt korrekt.

Zum Beispiel. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Betriebe mit Wurzeln.

1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:

2. Die Wurzel des Verhältnisses ist gleich dem Verhältnis des Dividenden und des Divisors der Wurzeln:

3. Wenn Sie eine Wurzel potenzieren, reicht es aus, die Wurzelzahl mit dieser Potenz zu potenzieren:

4. Wenn wir den Grad der Wurzel in erhöhen N einmal und gleichzeitig zu erhöhen N te Potenz eine Wurzelzahl ist, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

5. Wenn wir den Grad der Wurzel in verringern N Wurzel gleichzeitig N Grad von der Wurzelzahl, dann ändert sich der Wert der Wurzel nicht:

Grad mit negativem Exponenten. Der Grad einer Zahl mit einem nicht-positiven (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins dividiert durch den Grad derselben Zahl mit einem Exponenten, der gleich dem Absolutwert des nicht-positiven Exponenten ist:

Formel Bin:ein n = ein m - n kann nicht nur für verwendet werden M> N, sondern auch bei M< N.

Zum Beispiel. A4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Zur Formel Bin:ein n = ein m - n wurde fair bei m=n, benötigen Sie das Vorhandensein des Nullgrades.

Grad mit Exponent null. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit einem Exponenten von Null ist gleich Eins.

Zum Beispiel. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Grad mit gebrochenem Exponenten. Um eine reelle Zahl zu erhöhen A bis zu einem Grad m/n, müssen Sie die Wurzel extrahieren N Grad an M Potenz dieser Zahl A.

Offensichtlich können Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden , indem Sie sie nacheinander mit ihren Vorzeichen hinzufügen.

Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2 .
Die Summe von a 3 – b n und h 5 – d 4 ist a 3 – b n + h 5 – d 4 .

Chancen die gleichen Potenzen der gleichen Variablen können addiert oder subtrahiert werden.

Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also 5a 2 .

Es ist auch offensichtlich, dass, wenn wir zwei Quadrate a oder drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nehmen.

Aber Grad verschiedene Variablen Und verschiedene Abschlüsse identische Variablen, müssen hinzugefügt werden, indem sie zu ihren Zeichen hinzugefügt werden.

Die Summe von a 2 und a 3 ist also die Summe von a 2 + a 3 .

Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und der Würfel von a weder das Doppelte des Quadrats von a noch das Doppelte des Würfels von a ist.

Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur dass die Vorzeichen des Subtrahends entsprechend geändert werden müssen.

Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 Std. 2 b 6 - 4 Std. 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Potenzmultiplikation

Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie hintereinander schreibt, mit oder ohne Multiplikationszeichen dazwischen.

Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.

Oder:
x -3 ⋅ ein m = ein m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
ein 2 b 3 y 2 ⋅ ein 3 b 2 y = ein 2 b 3 y 2 ein 3 b 2 y

Ergebnis ein letztes Beispiel können durch Hinzufügen gleicher Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3 .

Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass, wenn zwei davon multipliziert werden, das Ergebnis eine Zahl (Variable) mit einer Potenz gleich ist Summe Grade von Begriffen.

Also a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Hier ist 5 die Potenz des Ergebnisses der Multiplikation, gleich 2 + 3, die Summe der Potenzen der Terme.

Also, ein n .am = ein m+n .

Für a n wird a so oft als Faktor genommen wie die Potenz von n;

Und a m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;

Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten multipliziert werden.

Also a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliziere (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multipliziere (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten - Negativ.

1. Also a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann geschrieben werden als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. ein -n .am = ein m-n .

Wenn a + b mit a - b multipliziert wird, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt

Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe oder Differenz ihrer Quadrate.

Wird die Summe und Differenz zweier Zahlen zu erhoben Quadrat, ist das Ergebnis gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.

Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(ein 2 - y 2)⋅(ein 2 + y 2) = ein 4 - y 4 .
(ein 4 - y 4)⋅(ein 4 + y 4) = ein 8 - y 8 .

Gewaltenteilung

Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Divisor subtrahiert oder sie in Form eines Bruchs darstellt.

Also a 3 b 2 dividiert durch b 2 ist a 3 .

Oder:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Das Schreiben einer 5 geteilt durch eine 3 sieht aus wie $\frac(a^5)(a^3)$. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Reihe von Zahlen
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.

Bei der Division von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..

Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Das heißt, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Und ein n+1:a = ein n+1-1 = ein n . Das heißt, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Oder:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Grad Werte.
Das Ergebnis der Division von a -5 durch a -3 ist a -2 .
Auch $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Es ist notwendig, die Multiplikation und Division von Potenzen sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.

Beispiele zum Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten

1. Reduziere die Exponenten in $\frac(5a^4)(3a^2)$ Antwort: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduziere die Exponenten in $\frac(6x^6)(3x^5)$. Antwort: $\frac(2x)(1)$ oder 2x.

3. Die Exponenten a 2 / a 3 und a -3 / a -4 kürzen und auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
a 2 .a -4 ist ein -2 erster Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .

4. Reduziere die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringe sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 / 5a 7 und 5a 5 / 5a 7 oder 2a 3 / 5a 2 und 5/5a 2.

5. Multipliziere (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.

6. Multipliziere (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliziere b 4 /a –2 mit h –3 /x und an /y –3 .

8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.

9. Teile (h 3 - 1)/d 4 durch (d n + 1)/h.

Erste Ebene

Grad und seine Eigenschaften. Umfassender Leitfaden (2019)

Warum braucht es Abschlüsse? Wo brauchen Sie sie? Warum müssen Sie Zeit damit verbringen, sie zu studieren?

Um alles über Abschlüsse zu erfahren, wofür sie sind und wie Sie Ihr Wissen einsetzen können Alltagsleben Lesen Sie diesen Artikel.

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ERSTE EBENE

Potenzierung ist die gleiche mathematische Operation wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.

Jetzt werde ich alles in sehr menschlicher Sprache erklären einfache Beispiele. Vorsichtig sein. Beispiele sind elementar, erklären aber wichtige Dinge.

Beginnen wir mit der Addition.

Hier gibt es nichts zu erklären. Ihr wisst schon alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola? Das ist richtig - 16 Flaschen.

Jetzt Multiplikation.

Dasselbe Beispiel mit Cola kann auch anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zuerst einige Muster und finden dann eine Möglichkeit, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall bemerkten sie, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl von Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.

Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht alles auch langsamer, härter und mit Fehlern! Aber…

Hier ist das Einmaleins. Wiederholen.

Und noch ein hübscher:

Und welche anderen kniffligen Zähltricks sind faulen Mathematikern eingefallen? Rechts - eine Zahl potenzieren.

Eine Zahl potenzieren

Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl in die fünfte Potenz erheben müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich, dass zwei hoch fünf ist. Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.

Dazu brauchen Sie nur Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farbig hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, es wird Ihr Leben viel einfacher machen.

Übrigens, warum heißt der zweite Grad Quadrat Nummern und die dritte Würfel? Was bedeutet das? Sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.

Beispiel #1 aus dem wirklichen Leben

Beginnen wir mit einem Quadrat oder der zweiten Potenz einer Zahl.

Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der Meter für Meter misst. Der Pool ist in Ihrem Hinterhof. Es ist heiß und ich möchte wirklich schwimmen. Aber ... ein Pool ohne Boden! Es ist notwendig, den Boden des Beckens mit Fliesen abzudecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu bestimmen, müssen Sie die Fläche des Beckenbodens kennen.

Sie können einfach zählen, indem Sie mit dem Finger hineinstecken, dass der Boden des Pools Meter für Meter aus Würfeln besteht. Wenn Ihre Fliesen Meter für Meter sind, benötigen Sie Stücke. Ganz einfach... Aber wo hast du so eine Kachel gesehen? Die Fliese wird eher cm für cm sein und dann wird man mit „Fingerzählen“ gequält. Dann musst du multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite auch Fliesen anbringen. Durch Multiplizieren mit erhalten Sie Kacheln ().

Haben Sie bemerkt, dass wir dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben, um die Fläche des Beckenbodens zu bestimmen? Was bedeutet das? Da dieselbe Zahl multipliziert wird, können wir die Potenzierungstechnik anwenden. (Wenn du nur zwei Zahlen hast, musst du sie natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn du viele davon hast, dann ist das Potenzieren viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler in den Berechnungen .Für die Prüfung ist dies sehr wichtig).
Also, dreißig bis zum zweiten Grad werden (). Oder Sie können sagen, dass dreißig zum Quadrat sein wird. Mit anderen Worten, die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.

Beispiel #2 aus dem wirklichen Leben

Hier ist eine Aufgabe für Sie, zählen Sie, wie viele Quadrate auf dem Schachbrett sind, indem Sie das Quadrat der Zahl verwenden ... Auf der einen Seite der Zellen und auf der anderen auch. Um ihre Anzahl zu zählen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren, oder ... wenn Sie feststellen, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, können Sie acht quadrieren. Zellen bekommen. () So?

Beispiel #3 aus dem wirklichen Leben

Jetzt der Würfel oder die dritte Potenz einer Zahl. Das gleiche Becken. Aber jetzt müssen Sie herausfinden, wie viel Wasser in diesen Pool gegossen werden muss. Du musst das Volumen berechnen. (Volumen und Flüssigkeiten werden übrigens in Kubikmetern gemessen. Unerwartet, oder?) Zeichne einen Pool: einen Meter großen und einen Meter tiefen Boden und versuche zu berechnen, wie viele Meter mal Meter große Würfel in deinen hineinkommen Schwimmbad.

Einfach mit dem Finger zeigen und zählen! Eins, zwei, drei, vier … zweiundzwanzig, dreiundzwanzig … Wie viel ist herausgekommen? Nicht verloren gegangen? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul, also haben sie bemerkt, dass man Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss, um das Volumen des Pools zu berechnen. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools Würfeln ... Einfacher, oder?

Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau Mathematiker sind, wenn sie sich das zu einfach machen. Alles auf eine Aktion reduziert. Sie bemerkten, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Und was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss verwenden können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, machen sie in einer Aktion: Drei in einem Würfel ist gleich. Es ist so geschrieben:

Bleibt nur die Gradtabelle auswendig lernen. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie mit dem Finger weiterzählen.

Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass Grade von Faulenzern und schlauen Leuten erfunden wurden, um ihre Probleme zu lösen Lebensprobleme, und um Ihnen keine Probleme zu bereiten, hier noch ein paar Beispiele aus dem Leben.

Beispiel #4 aus dem wirklichen Leben

Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million eine weitere Million. Das heißt, jede Ihrer Millionen verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld wirst du in Jahren haben? Wenn Sie jetzt dasitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und … dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr - zwei mal zwei ... im zweiten Jahr - was geschah, um zwei weitere, im dritten Jahr ... Halt! Sie haben bemerkt, dass die Zahl einmal mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich jetzt vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der schneller rechnet, bekommt diese Millionen ... Lohnt es sich, sich an die Zahlengrade zu erinnern, was denken Sie?

Beispiel #5 aus dem wirklichen Leben

Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie zwei weitere für jede Million. Es ist großartig, oder? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld wirst du in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr - mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen ... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mal mit sich selbst multipliziert. Die vierte Potenz ist also eine Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch vier oder ist.

Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen werden, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Lassen Sie uns einen weiteren Blick darauf werfen, was Sie mit Abschlüssen machen können und was Sie darüber wissen müssen.

Begriffe und Konzepte ... um nicht verwirrt zu werden

Lassen Sie uns also zuerst die Konzepte definieren. Wie denkst du, was ist exponent? Es ist ganz einfach – das ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...

Nun, gleichzeitig, was eine solche Studienbasis? Noch einfacher ist die Zahl, die ganz unten an der Basis steht.

Hier ist ein Bild, damit Sie sicher sein können.

Na und rein Gesamtansicht um zu verallgemeinern und sich besser zu merken ... Ein Grad mit einer Basis "" und einem Exponenten "" wird als "bis zum Grad" gelesen und wie folgt geschrieben:

Potenz einer Zahl mit natürlicher Indikator

Du hast es wahrscheinlich schon erraten: weil der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ja, aber was ist natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind diejenigen, die zum Zählen beim Auflisten von Artikeln verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Artikel zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht „ein Drittel“ oder „null Komma fünf Zehntel“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Was glauben Sie, was diese Zahlen sind?

Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (dh mit einem Minuszeichen genommen werden) und eine Zahl. Null ist leicht zu verstehen - das ist, wenn es nichts gibt. Und was bedeuten negative ("minus") Zahlen? Aber sie wurden hauptsächlich erfunden, um Schulden zu kennzeichnen: Wenn Sie ein Guthaben in Rubel auf Ihrem Telefon haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.

Alle Brüche sind rationale Zahlen. Wie sind sie entstanden, denken Sie? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass sie nicht genügend natürliche Zahlen hatten, um Länge, Gewicht, Fläche usw. Und sie kamen auf Rationale Zahlen… Interessant, nicht wahr?

Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, ein unendlicher Dezimalbruch. Wenn Sie beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser teilen, erhalten Sie eine irrationale Zahl.

Zusammenfassung:

Lassen Sie uns das Konzept des Grads definieren, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (dh ganzzahlig und positiv).

1. Jede Zahl hoch 1 ist gleich sich selbst:
2. Eine Zahl quadrieren heißt, sie mit sich selbst multiplizieren:
3. Eine Zahl in die dritte Potenz zu bringen heißt, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:

Definition. Eine Zahl mit einer natürlichen Potenz zu potenzieren heißt, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.

Grad Eigenschaften

Woher kommen diese Eigenschaften? Ich zeige es dir jetzt.

Mal sehen, was ist Und ?

A-Priorat:

Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?

Es ist ganz einfach: Wir haben Faktoren zu den Faktoren hinzugefügt, und das Ergebnis sind Faktoren.

Aber per Definition ist dies der Grad einer Zahl mit einem Exponenten, also: , der bewiesen werden musste.

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung:

Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig muss der selbe grund sein!
Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

nur für Potenzprodukte!

Das darfst du auf keinen Fall schreiben.

2. das heißt -te Potenz einer Zahl

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber Sie können dies niemals vollständig tun:

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben?

Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Abschluss mit negativer Basis

Bis zu diesem Punkt haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.

Aber was soll die Basis sein?

In Grad von natürlicher Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist.

Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen (" " oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? A? ? Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit multiplizieren, stellt sich heraus.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Hast du es geschafft?

Hier die Antworten: In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.

Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach!

6 Praxisbeispiele

Analyse der Lösung 6 Beispiele

Wenn wir den achten Grad nicht beachten, was sehen wir hier? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Das ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz von Quadraten! Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht sehr nach einem der Zählerfaktoren aus, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie ausgetauscht würden, könnte die Regel gelten.

Aber wie macht man das? Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist: Hier hilft uns der gerade Grad des Nenners.

Die Begriffe haben auf magische Weise die Plätze gewechselt. Dieses "Phänomen" gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Zeichen in Klammern frei ändern.

Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: Alle Vorzeichen ändern sich gleichzeitig!

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

ganz wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem Vorzeichen "") und die Zahl.

positive ganze Zahl, und es ist nicht anders als natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorigen Abschnitt.

Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.

Jede Zahl hoch null ist gleich eins:

Wie immer fragen wir uns: Warum ist das so?

Betrachten Sie etwas Macht mit einer Basis. Nimm zum Beispiel und multipliziere mit:

Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen dasselbe wie es war -. Mit welcher Zahl muss multipliziert werden, damit sich nichts ändert? Das ist richtig, auf. Bedeutet.

Wir können dasselbe mit einer beliebigen Zahl tun:

Wiederholen wir die Regel:

Jede Zahl hoch null ist gleich eins.

Aber von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da - das ist eine Zahl (als Basis).

Einerseits muss sie beliebig gleich sein – egal wie sehr man Null mit sich selbst multipliziert, man bekommt immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie, wie jede Zahl bis zum Nullgrad, gleich sein. Also, was ist die Wahrheit davon? Die Mathematiker beschlossen, sich nicht einzumischen und weigerten sich, Null mit Null zu potenzieren. Das heißt, jetzt können wir nicht nur durch Null dividieren, sondern auch mit Null potenzieren.

Gehen wir weiter. Zu den ganzen Zahlen gehören neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was ein negativer Grad ist, machen wir dasselbe wie beim letzten Mal: ​​Wir multiplizieren eine normale Zahl mit derselben in einem negativen Grad:

Von hier aus ist es bereits einfach, das Gewünschte auszudrücken:

Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:

Also formulieren wir die Regel:

Eine Zahl zu einer negativen Potenz ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz. Aber zur selben Zeit Basis darf nicht null sein:(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Fassen wir zusammen:

I. Ausdruck ist nicht in Groß-/Kleinschreibung definiert. Wenn, dann.

II. Jede Zahl hoch null ist gleich eins: .

III. Eine Zahl, die nicht gleich Null zu einer negativen Potenz ist, ist die Umkehrung derselben Zahl zu einer positiven Potenz: .

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Nun, wie üblich, Beispiele für eine unabhängige Lösung:

Aufgabenanalyse zur eigenständigen Lösung:

Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber bei der Prüfung muss man auf alles gefasst sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie deren Lösung, wenn Sie es nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, wie Sie in der Prüfung leicht damit umgehen können!

Erweitern wir den Bereich der als Exponent „geeigneten“ Zahlen weiter.

Jetzt bedenke Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?

Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und außerdem ganze Zahlen sind.

Zu verstehen, was ist "Bruchgrad" Betrachten wir einen Bruch:

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung potenzieren:

Erinnere dich jetzt an die Regel „Grad zu Grad“:

Welche Zahl muss potenziert werden, um zu erhalten?

Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des 1. Grades.

Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.

Das heißt, die Wurzel des . Grades ist die Umkehroperation der Potenzierung: .

Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich dies besonderer Fall Kann verlängert werden: .

Fügen Sie nun den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort ist mit der Power-to-Power-Regel leicht zu bekommen:

Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich kann die Wurzel nicht aus allen Zahlen gezogen werden.

Keiner!

Denke an die Regel: Jede gerade Potenzierte Zahl ist eine positive Zahl. Das heißt, es ist unmöglich, Wurzeln mit geradem Grad aus negativen Zahlen zu ziehen!

Und das bedeutet, dass solche Zahlen nicht mit einem geraden Nenner auf eine gebrochene Potenz erhoben werden können, dh der Ausdruck macht keinen Sinn.

Was ist mit dem Ausdruck?

Aber hier taucht ein Problem auf.

Die Zahl kann beispielsweise als andere, gekürzte Brüche oder dargestellt werden.

Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, und dies sind nur zwei verschiedene Datensätze mit derselben Nummer.

Oder ein anderes Beispiel: Einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber sobald wir den Indikator anders schreiben, bekommen wir wieder Ärger: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis!).

Um solche Paradoxien zu vermeiden, bedenken Sie nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.

Also wenn:

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Potenzen mit rationalem Exponenten sind sehr nützlich, um Ausdrücke mit Wurzeln umzuwandeln, zum Beispiel:

5 Praxisbeispiele

Analyse von 5 Beispielen für die Ausbildung

Nun, jetzt - das Schwierigste. Jetzt werden wir analysieren Grad mit einem irrationalen Exponenten.

Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für Grade mit einem rationalen Exponenten, mit Ausnahme von

In der Tat sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht.

Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird;

...Null Leistung- dies ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur eine bestimmte „Zahl leer“ , nämlich die Zahl;

...negativer ganzzahliger Exponent- es ist, als hätte ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.

Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

WO WIR SICHER SIND, DASS SIE GEHEN WERDEN! (wenn du lernst, wie man solche Beispiele löst :))

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

Analyse von Lösungen:

1. Beginnen wir mit der bereits üblichen Regel zur Anhebung eines Abschlusses auf einen Abschluss:

Sehen Sie sich jetzt die Partitur an. Erinnert er dich an etwas? Wir erinnern uns an die Formel zur abgekürzten Multiplikation der Differenz von Quadraten:

In diesem Fall,

Es stellt sich heraus, dass:

Antworten: .

2. Wir bringen Brüche in Exponenten auf die gleiche Form: entweder beide dezimal oder beide gewöhnlich. Wir bekommen zum Beispiel:

Antwort: 16

3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

FORTGESCHRITTENES LEVEL

Definition von Grad

Der Grad ist ein Ausdruck der Form: , wobei:

• — Basis des Abschlusses;
• - Exponent.

Grad mit natürlichem Exponenten (n = 1, 2, 3,...)

Eine Zahl mit der natürlichen Potenz n zu potenzieren bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:

Potenz mit ganzzahligem Exponenten (0, ±1, ±2,...)

Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Nummer:

Erektion auf Nullleistung:

Der Ausdruck ist unbestimmt, weil einerseits bis zu jedem Grad dies ist und andererseits jede Zahl bis zum ten Grad dies ist.

Wenn der Exponent ist Ganzzahl negativ Nummer:

(weil es unmöglich ist, zu teilen).

Noch einmal zu Nullen: Der Ausdruck ist im Fall nicht definiert. Wenn, dann.

Beispiele:

Grad mit rationalem Exponenten

• - natürliche Zahl;
• - ganze Zahl;

Beispiele:

Grad Eigenschaften

Um das Lösen von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Beweisen wir sie.

Mal sehen: was ist und?

A-Priorat:

Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhält man also das folgende Produkt:

Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:

Q.E.D.

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : .

Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.

Lösung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig müssen die gleiche Grundlage haben. Daher kombinieren wir die Grade mit der Basis, bleiben aber ein separater Faktor:

Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!

Das darf ich auf keinen Fall schreiben.

Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:

Ordnen wir es so um:

Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck einmal mit sich selbst multipliziert wird, das heißt, laut Definition ist dies die -te Potenz der Zahl:

Tatsächlich kann dies als "Einklammern des Indikators" bezeichnet werden. Aber das schaffst du nie im Ganzen:!

Erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das ist nicht wahr, wirklich.

Macht mit negativer Basis.

Bis zu diesem Punkt haben wir nur diskutiert, was sein sollte Index Grad. Aber was soll die Basis sein? In Grad von natürlich Indikator die Grundlage kann sein irgendeine Nummer .

Tatsächlich können wir jede Zahl miteinander multiplizieren, egal ob sie positiv, negativ oder gerade ist. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen (" " oder "") Grad positiver und negativer Zahlen haben werden?

Wird die Zahl beispielsweise positiv oder negativ sein? A? ?

Mit dem ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.

Aber die negativen sind ein wenig interessanter. Schließlich erinnern wir uns an eine einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus mal Minus ergibt Plus.“ Das heißt, bzw. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir -.

Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Sie können diese einfachen Regeln formulieren:

1. selbst Grad, - Zahl positiv.
2. Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
3. positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
4. Null hoch jede Potenz ist gleich Null.

Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

In den ersten vier Beispielen ist hoffentlich alles klar? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.

In Beispiel 5) ist auch nicht alles so beängstigend, wie es scheint: Es spielt keine Rolle, wie die Basis gleich ist - der Grad ist gleichmäßig, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht die gleiche, oder? Offensichtlich nicht, da (weil).

Beispiel 6) ist nicht mehr so ​​einfach. Hier müssen Sie herausfinden, was weniger ist: oder? Wenn Sie sich das merken, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.

Und wieder verwenden wir die Definition von Grad:

Alles ist wie immer - wir schreiben die Definition von Graden auf und teilen sie ineinander, teilen sie in Paare und erhalten:

Vor der Demontage letzte Regel Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Berechnen Sie die Werte von Ausdrücken:

Lösungen :

Wenn wir den achten Grad nicht beachten, was sehen wir hier? Werfen wir einen Blick auf das Programm der 7. Klasse. Also denk daran? Das ist die abgekürzte Multiplikationsformel, nämlich die Differenz von Quadraten!

Wir bekommen:

Wir schauen uns den Nenner genau an. Es sieht sehr nach einem der Zählerfaktoren aus, aber was ist falsch? Falsche Reihenfolge der Begriffe. Wenn sie umgekehrt wären, könnte Regel 3 angewendet werden, aber wie macht man das? Es stellt sich heraus, dass es sehr einfach ist: Hier hilft uns der gerade Grad des Nenners.

Wenn Sie es mit multiplizieren, ändert sich nichts, oder? Aber jetzt sieht es so aus:

Die Begriffe haben auf magische Weise die Plätze gewechselt. Dieses "Phänomen" gilt für jeden Ausdruck in gleichem Maße: Wir können die Zeichen in Klammern frei ändern. Aber es ist wichtig, sich daran zu erinnern: alle Zeichen ändern sich gleichzeitig! Es kann nicht durch Änderung ersetzt werden, nur ein beanstandetes Minus an uns!

Kommen wir zurück zum Beispiel:

Und nochmal die Formel:

Also jetzt die letzte Regel:

Wie werden wir es beweisen? Natürlich, wie immer: Erweitern wir das Konzept des Abschlusses und vereinfachen es:

Nun, lassen Sie uns jetzt die Klammern öffnen. Wie viele Buchstaben werden es sein? mal durch Multiplikatoren - wie sieht es aus? Dies ist nichts anderes als die Definition einer Operation Multiplikation: Insgesamt stellte sich heraus, dass es Multiplikatoren gab. Das heißt, es ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:

Beispiel:

Grad mit irrationalem Exponenten

Neben Informationen zu den Abschlüssen für das Durchschnittsniveau werden wir den Abschluss mit einem irrationalen Indikator analysieren. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d.h , irrationale Zahlen sind alle reelle Zahlen außer rationale).

Beim Studium von Abschlüssen mit einem natürlichen, ganzzahligen und rationalen Indikator haben wir uns jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen ausgedacht. Ein natürlicher Exponent ist beispielsweise eine Zahl, die mehrmals mit sich selbst multipliziert wird; eine Zahl bis zum Grad null ist sozusagen eine einmal mit sich selbst multiplizierte Zahl, das heißt, sie hat noch nicht begonnen, sich zu multiplizieren, was bedeutet, dass die Zahl selbst noch nicht einmal aufgetreten ist - daher ist das Ergebnis nur a bestimmte „Vorbereitung einer Nummer“, nämlich eine Nummer; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Indikator - es ist, als ob ein gewisser „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, dh die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern geteilt.

Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen 4-dimensionalen Raum vorzustellen). Vielmehr ist es ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept eines Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.

Übrigens verwendet die Wissenschaft oft einen Grad mit einem komplexen Exponenten, das heißt, ein Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach, Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte am Institut zu verstehen.

Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, um es loszuwerden! :)

Zum Beispiel:

Entscheide dich selbst:

1)

2)

3)

Antworten:

1. Erinnere dich an die Quadratdifferenz-Formel. Antworten: .
2. Wir bringen Brüche in dieselbe Form: entweder beide Dezimalzahlen oder beide gewöhnliche. Wir erhalten zum Beispiel: .
3. Nichts Besonderes, wir wenden die üblichen Eigenschaften von Graden an:

ABSCHNITT ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grad heißt ein Ausdruck der Form: , wobei:

Grad mit ganzzahligem Exponenten

Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).

Grad mit rationalem Exponenten

Grad, dessen Indikator negative und Bruchzahlen sind.

Grad mit irrationalem Exponenten

Exponent, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine Wurzel ist.

Grad Eigenschaften

Merkmale von Abschlüssen.

• Negative Zahl erhöht auf selbst Grad, - Zahl positiv.
• Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
• Eine positive Zahl zu jeder Potenz ist eine positive Zahl.
• Null ist gleich jeder Potenz.
• Jede Zahl hoch null ist gleich.

JETZT HAST DU EIN WORT...

Wie gefällt Ihnen der Artikel? Lassen Sie mich in den Kommentaren unten wissen, ob es Ihnen gefallen hat oder nicht.

Erzählen Sie uns von Ihren Erfahrungen mit den Power-Eigenschaften.

Vielleicht haben Sie Fragen. Oder Vorschläge.

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Und viel Erfolg bei deinen Prüfungen!

Der Exponent wird verwendet, um das Schreiben der Operation des Multiplizierens einer Zahl mit sich selbst zu vereinfachen. Anstatt zu schreiben, kannst du zum Beispiel schreiben 4 5 (\displaystyle 4^(5))(Eine Erläuterung eines solchen Übergangs finden Sie im ersten Abschnitt dieses Artikels). Potenzen erleichtern das Schreiben langer oder komplexer Ausdrücke oder Gleichungen; Außerdem lassen sich Potenzen leicht addieren und subtrahieren, was zu einer Vereinfachung eines Ausdrucks oder einer Gleichung führt (z. B. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Notiz: Wenn Sie eine Exponentialgleichung lösen müssen (in einer solchen Gleichung steht die Unbekannte im Exponenten), lesen Sie.

Schritte

Einfache Probleme mit Potenzen lösen

Multipliziere die Basis des Exponenten so oft mit sich selbst, wie der Exponent. Wenn Sie ein Problem mit Exponenten manuell lösen müssen, schreiben Sie den Exponenten als Multiplikationsoperation um, bei der die Basis des Exponenten mit sich selbst multipliziert wird. Zum Beispiel angesichts des Abschlusses 3 4 (\displaystyle 3^(4)). In diesem Fall muss die Basis von Grad 3 4-mal mit sich selbst multipliziert werden: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Hier sind weitere Beispiele:

Multiplizieren Sie zuerst die ersten beiden Zahlen. Zum Beispiel, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Keine Sorge – der Berechnungsprozess ist nicht so kompliziert, wie es auf den ersten Blick scheint. Multipliziere zuerst die ersten beiden Quadrupel und ersetze sie dann durch das Ergebnis. So:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Multiplizieren Sie das Ergebnis (in unserem Beispiel 16) mit der nächsten Zahl. Jedes nachfolgende Ergebnis erhöht sich proportional. Multiplizieren Sie in unserem Beispiel 16 mit 4. So:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Multiplizieren Sie das Ergebnis der Multiplikation der ersten beiden Zahlen mit der nächsten Zahl, bis Sie das endgültige Ergebnis erhalten. Multiplizieren Sie dazu die ersten beiden Zahlen und multiplizieren Sie dann das Ergebnis mit der nächsten Zahl in der Folge. Diese Methode gilt für alle Studiengänge. In unserem Beispiel sollten Sie Folgendes erhalten: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Löse die folgenden Probleme.Überprüfe deine Antwort mit einem Taschenrechner.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Suchen Sie auf dem Taschenrechner nach der Taste mit der Bezeichnung „exp“ oder „ xn (\displaystyle x^(n))“ oder „^“. Mit dieser Taste potenzieren Sie eine Zahl. Es ist praktisch unmöglich, den Grad mit einem großen Exponenten manuell zu berechnen (z 9 15 (\displaystyle 9^(15))), aber der Taschenrechner kann diese Aufgabe problemlos bewältigen. In Windows 7 kann der Standardrechner in den Engineering-Modus geschaltet werden; Klicken Sie dazu auf "Ansicht" -\u003e "Engineering". Um in den normalen Modus zu wechseln, klicken Sie auf "Ansicht" -\u003e "Normal".

   • Überprüfen Sie die erhaltene Antwort mit einer Suchmaschine (Google oder Yandex). Geben Sie den Ausdruck mit der Taste "^" auf der Computertastatur in die Suchmaschine ein, die sofort die richtige Antwort anzeigt (und möglicherweise ähnliche Ausdrücke zum Lernen vorschlägt).

   Addition, Subtraktion, Multiplikation von Potenzen

   1. Sie können Potenzen nur dann addieren und subtrahieren, wenn sie dieselbe Basis haben. Wenn Sie Potenzen mit denselben Basen und Exponenten addieren müssen, können Sie die Additionsoperation durch eine Multiplikationsoperation ersetzen. Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Denken Sie daran, dass der Grad 4 5 (\displaystyle 4^(5)) darstellen kann als 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); auf diese Weise, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(wobei 1 +1 =2). Das heißt, zähle die Anzahl ähnlicher Grade und multipliziere dann einen solchen Grad und diese Zahl. Potenzieren Sie in unserem Beispiel 4 mit der fünften Potenz und multiplizieren Sie das Ergebnis dann mit 2. Denken Sie daran, dass die Additionsoperation durch eine Multiplikationsoperation ersetzt werden kann, zum Beispiel: 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Hier sind weitere Beispiele:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Beim Multiplizieren von Potenzen mit derselben Basis werden ihre Exponenten addiert (die Basis ändert sich nicht). Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). In diesem Fall müssen Sie nur die Indikatoren hinzufügen und die Basis unverändert lassen. Auf diese Weise, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Hier ist eine visuelle Erklärung dieser Regel:

      Beim Potenzieren einer Potenz werden die Exponenten multipliziert. Zum Beispiel mit einem Abschluss. Da die Exponenten also multipliziert werden (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Die Bedeutung dieser Regel ist, dass Sie die Leistung multiplizieren (x 2) (\displaystyle (x^(2))) auf sich selbst fünfmal. So:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Da die Basis dieselbe ist, addieren sich die Exponenten einfach: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Ein Exponent mit einem negativen Exponenten sollte in einen Bruch umgewandelt werden (inverse Potenz). Es macht nichts, wenn Sie nicht wissen, was ein Kehrwert ist. Wenn Sie beispielsweise einen Abschluss mit negativem Exponenten erhalten, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), schreibe diese Potenz in den Nenner des Bruchs (setze 1 in den Zähler) und mache den Exponenten positiv. In unserem Beispiel: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Hier sind weitere Beispiele:

      Beim Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert (die Basis ändert sich nicht). Die Divisionsoperation ist das Gegenteil der Multiplikationsoperation. Zum Beispiel angesichts des Ausdrucks 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Subtrahiere den Exponenten im Nenner vom Exponenten im Zähler (verändere die Basis nicht). Auf diese Weise, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Der Grad im Nenner kann wie folgt geschrieben werden: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Denken Sie daran, dass ein Bruch eine Zahl (Potenz, Ausdruck) mit einem negativen Exponenten ist.

   4. Im Folgenden finden Sie einige Ausdrücke, die Ihnen helfen sollen, Energieprobleme zu lösen. Die obigen Ausdrücke decken das in diesem Abschnitt präsentierte Material ab. Um die Antwort zu sehen, markieren Sie einfach das leere Feld nach dem Gleichheitszeichen.

   Lösen von Problemen mit Bruchexponenten

   Ein Grad mit einem gebrochenen Exponenten (z. B. ) wird in eine Wurzelziehoperation umgewandelt. In unserem Beispiel: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Es spielt keine Rolle, welche Zahl im Nenner des Bruchexponenten steht. Zum Beispiel, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) ist die vierte Wurzel von "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Wenn der Exponent ein unechter Bruch ist, dann kann ein solcher Exponent in zwei Potenzen zerlegt werden, um die Lösung des Problems zu vereinfachen. Daran ist nichts Kompliziertes - denken Sie nur an die Regel zum Multiplizieren von Potenzen. Zum Beispiel mit einem Abschluss. Verwandle diesen Exponenten in eine Wurzel, deren Exponent gleich dem Nenner des Bruchexponenten ist, und erhöhe dann diese Wurzel auf den Exponenten, der gleich dem Zähler des Bruchexponenten ist. Denken Sie daran, um dies zu tun 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). In unserem Beispiel:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Einige Taschenrechner haben eine Schaltfläche zum Berechnen von Exponenten (zuerst müssen Sie die Basis eingeben, dann die Schaltfläche drücken und dann den Exponenten eingeben). Es wird als ^ oder x^y bezeichnet.
   3. Denken Sie daran, dass jede Zahl gleich sich selbst zur ersten Potenz ist, zum Beispiel, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Außerdem ist jede Zahl multipliziert oder dividiert mit eins gleich sich selbst, zum Beispiel 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Und 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Wisse, dass der Grad 0 0 nicht existiert (ein solcher Grad hat keine Lösung). Wenn Sie versuchen, einen solchen Abschluss auf einem Taschenrechner oder Computer zu lösen, erhalten Sie eine Fehlermeldung. Aber denken Sie daran, dass jede Zahl hoch Null gleich 1 ist, zum Beispiel, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. In der höheren Mathematik, die mit imaginären Zahlen operiert: e ein ich x = c o s ein x + ich s ich n ein x (\ displaystyle e ^ (a) ix = cosax + isinax), Wo ich = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e eine Konstante ist, die ungefähr gleich 2,7 ist; a ist eine beliebige Konstante. Den Beweis dieser Gleichheit findet man in jedem Lehrbuch der höheren Mathematik.

   Warnungen

   • Wenn der Exponent zunimmt, nimmt sein Wert stark zu. Wenn Ihnen also die Antwort falsch erscheint, kann sie sich tatsächlich als wahr herausstellen. Sie können dies überprüfen, indem Sie eine beliebige zeichnen Exponentialfunktion, zum Beispiel 2 x .

Eines der Hauptmerkmale in der Algebra und in der Tat in der gesamten Mathematik ist ein Abschluss. Natürlich können im 21. Jahrhundert alle Berechnungen auf einem Online-Rechner durchgeführt werden, aber für die Entwicklung des Gehirns ist es besser, zu lernen, wie man es selbst macht.

In diesem Artikel werden wir die wichtigsten Fragen zu dieser Definition betrachten. Wir werden nämlich verstehen, was es im Allgemeinen ist und was seine Hauptfunktionen sind, welche Eigenschaften in der Mathematik existieren.

Schauen wir uns Beispiele an, wie die Berechnung aussieht, was die grundlegenden Formeln sind. Wir werden die Haupttypen von Größen analysieren und wie sie sich von anderen Funktionen unterscheiden.

Wir werden verstehen, wie verschiedene Probleme mit diesem Wert gelöst werden können. Wir zeigen anhand von Beispielen, wie man auf null Grad anhebt, irrational, negativ usw.

Online Potenzierungsrechner

Was ist der grad einer zahl

Was versteht man unter dem Ausdruck „eine Zahl potenzieren“?

Der Grad n einer Zahl a ist das Produkt von Größenfaktoren a n mal hintereinander.

Mathematisch sieht das so aus:

ein n = ein * ein * ein * …ein n .

Zum Beispiel:

• 2 3 = 2 im dritten Schritt. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 im Schritt. zwei = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 im Schritt. vier = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 in 5 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 in 4 Schritten. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Unten ist eine Tabelle mit Quadraten und Würfeln von 1 bis 10.

Gradtabelle von 1 bis 10

Unten sind die Ergebnisse der Potenzierung natürlicher Zahlen - "von 1 bis 100".

Ch-lo	2. Klasse	3. Klasse
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Grad Eigenschaften

Was ist charakteristisch für eine solche mathematische Funktion? Schauen wir uns die grundlegenden Eigenschaften an.

Wissenschaftler haben Folgendes festgestellt Zeichen, die für alle Grade charakteristisch sind:

• ein n * ein m = (a) (n+m) ;
• ein n: ein m = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Lassen Sie uns anhand von Beispielen überprüfen:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Andererseits 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Ähnlich: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Sonst 2 3-2 = 2 1 = 2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Was ist, wenn es anders ist? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Wie Sie sehen können, funktionieren die Regeln.

Aber wie zu sein mit Addition und Subtraktion? Alles ist einfach. Zuerst wird potenziert und erst dann addiert und subtrahiert.

Schauen wir uns Beispiele an:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Aber in diesem Fall müssen Sie zuerst die Addition berechnen, da Aktionen in Klammern stehen: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Wie man produziert mehr einrechnen schwierige Fälle ? Die Reihenfolge ist die gleiche:

• Wenn Klammern vorhanden sind, müssen Sie mit ihnen beginnen.
• dann Potenzierung;
• dann führen Sie Multiplikations- und Divisionsoperationen durch;
• nach Addition, Subtraktion.

Es gibt bestimmte Eigenschaften, die nicht für alle Abschlüsse charakteristisch sind:

1. Die Wurzel des n-ten Grades von der Zahl a bis zum Grad m wird geschrieben als: a m / n .
2. Bei der Potenzierung eines Bruchs: Sowohl der Zähler als auch sein Nenner unterliegen diesem Verfahren.
3. Wenn das Produkt verschiedener Zahlen potenziert wird, entspricht der Ausdruck dem Produkt dieser Zahlen mit einer bestimmten Potenz. Das heißt: (a * b) n = ein n * b n .
4. Wenn Sie eine Zahl negativ potenzieren, müssen Sie im selben Schritt 1 durch eine Zahl teilen, jedoch mit einem „+“-Zeichen.
5. Wenn der Nenner eines Bruchs in einer negativen Potenz steht, dann ist dieser Ausdruck gleich dem Produkt aus Zähler und Nenner in einer positiven Potenz.
6. Jede Zahl hoch 0 = 1 und hochgerechnet auf den Schritt. 1 = für sich.

Diese Regeln sind wichtig in Einzelfälle, wir werden sie im Folgenden genauer betrachten.

Grad mit negativem Exponenten

Was tun mit einem negativen Abschluss, dh wenn der Indikator negativ ist?

Basierend auf Eigenschaften 4 und 5(siehe Punkt oben) es stellt sich heraus:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Umgekehrt:

1 / A (- n) \u003d Ein n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Was ist, wenn es ein Bruchteil ist?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Grad mit einem natürlichen Indikator

Es wird als Grad mit Exponenten gleich ganzen Zahlen verstanden.

Dinge, an die Sie sich erinnern sollten:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 … usw.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 … usw.

Auch wenn (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… dann wird das Ergebnis mit einem „+“ Zeichen sein. Wenn eine negative Zahl mit einer ungeraden Potenz potenziert wird, dann umgekehrt.

Allgemeine Eigenschaften und alle bestimmte Zeichen oben beschriebenen sind ebenfalls charakteristisch für sie.

Bruchgrad

Diese Ansicht kann als Schema geschrieben werden: A m / n. Es wird gelesen als: die Wurzel des n-ten Grades der Zahl A hoch m.

Mit einem Bruchindikator können Sie alles tun: reduzieren, in Teile zerlegen, auf einen anderen Grad erhöhen usw.

Grad mit irrationalem Exponenten

Sei α eine irrationale Zahl und À ˃ 0.

Um die Essenz des Abschlusses mit einem solchen Indikator zu verstehen, Schauen wir uns verschiedene mögliche Fälle an:

• A \u003d 1. Das Ergebnis ist gleich 1. Da es ein Axiom gibt, ist 1 in allen Potenzen gleich eins;

À r 1 ˂ À α ˂ À r 2 , r 1 ˂ r 2 sind rationale Zahlen;

• 0˂А˂1.

In diesem Fall umgekehrt: À r 2 ˂ À α ˂ À r 1 unter den gleichen Bedingungen wie im zweiten Absatz.

Der Exponent ist beispielsweise die Zahl π. Es ist vernünftig.

r 1 - in diesem Fall ist es gleich 3;

r 2 - wird gleich 4 sein.

Dann ist für A = 1 1 π = 1.

A = 2, dann 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, dann (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Solche Abschlüsse zeichnen sich durch alle oben beschriebenen mathematischen Operationen und spezifischen Eigenschaften aus.

Abschluss

Fassen wir zusammen - wofür sind diese Werte, was sind die Vorteile solcher Funktionen? Natürlich vereinfachen sie in erster Linie das Leben von Mathematikern und Programmierern beim Lösen von Beispielen, da sie es ermöglichen, Berechnungen zu minimieren, Algorithmen zu reduzieren, Daten zu systematisieren und vieles mehr.

Wo kann dieses Wissen noch nützlich sein? In allen Arbeitsgebieten: Medizin, Pharmakologie, Zahnmedizin, Bauwesen, Technologie, Ingenieurwesen, Design usw.