Die Fläche eines Trapezes mit dem Sinus des Winkels. So finden Sie die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

UND . Jetzt können wir mit der Frage beginnen, wie man die Fläche eines Trapezes findet. Diese Aufgabe kommt im Alltag sehr selten vor, manchmal erweist es sich jedoch als notwendig, beispielsweise die Fläche eines Raumes in Form eines Trapezes zu ermitteln, das beim Bau moderner Wohnungen immer häufiger zum Einsatz kommt. oder bei Renovierungsprojekten.

Trapez ist geometrische Figur, gebildet aus vier sich kreuzenden Segmenten, von denen zwei parallel zueinander sind und als Basis eines Trapezes bezeichnet werden. Die anderen beiden Segmente werden als Seiten des Trapezes bezeichnet. Darüber hinaus werden wir später noch eine weitere Definition benötigen. Dies ist die Mittellinie des Trapezes, ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten und die Höhe des Trapezes verbindet, die dem Abstand zwischen den Basen entspricht.
Wie bei Dreiecken gibt es auch bei einem Trapez bestimmte Typen: ein gleichschenkliges (gleichschenkliges) Trapez, bei dem die Längen der Seiten gleich sind, und ein rechteckiges Trapez, bei dem eine der Seiten einen rechten Winkel mit den Grundflächen bildet.

Trapeze haben einige interessante Eigenschaften:

1. Die Mittellinie eines Trapezes ist halb so groß wie die Summe der Grundflächen und verläuft parallel zu diesen.
   
2. Gleichschenklige Trapeze haben gleiche Seiten und Winkel, die sie mit den Basen bilden.
   
3. Die Mittelpunkte der Diagonalen eines Trapezes und der Schnittpunkt seiner Diagonalen liegen auf derselben Geraden.
   
4. Wenn die Summe der Seiten eines Trapezes gleich der Summe der Grundflächen ist, kann darin ein Kreis eingeschrieben werden
   
5. Wenn die Summe der Winkel, die die Seiten eines Trapezes an einer seiner Basen bilden, 90 beträgt, dann ist die Länge des Segments, das die Mittelpunkte der Basen verbindet, gleich ihrer halben Differenz.
   
6. Ein gleichschenkliges Trapez kann durch einen Kreis beschrieben werden. Umgekehrt. Wenn ein Trapez in einen Kreis eingeschrieben ist, dann ist es gleichschenklig.
   
7. Ein Segment, das durch die Mittelpunkte der Basen verläuft gleichschenkliges Trapez steht senkrecht zu seinen Basen und stellt die Symmetrieachse dar.
   

So finden Sie die Fläche eines Trapezes.

Die Fläche eines Trapezes ist die Hälfte der Summe seiner Grundflächen multipliziert mit seiner Höhe. In Form einer Formel wird dies als Ausdruck geschrieben:

Dabei ist S die Fläche des Trapezes, a,b die Länge jeder Basis des Trapezes und h die Höhe des Trapezes.

Sie können diese Formel wie folgt verstehen und sich merken. Wie aus der folgenden Abbildung hervorgeht, kann ein Trapez mithilfe der Mittellinie in ein Rechteck umgewandelt werden, dessen Länge der Hälfte der Summe der Basen entspricht.

Sie können jedes Trapez auch in mehrere zerlegen einfache Figuren: ein Rechteck und ein oder zwei Dreiecke, und wenn es für Sie einfacher ist, dann ermitteln Sie die Fläche des Trapezes als Summe der Flächen seiner Bestandteile.

Es gibt noch einen einfache Formel um seine Fläche zu berechnen. Demnach ist die Fläche des Trapezes gleich dem Produkt seiner Mittellinie und der Höhe des Trapezes und wird wie folgt geschrieben: S = m * h, wobei S die Fläche und m die Länge von ist die Mittellinie, h ist die Höhe des Trapezes. Diese Formel eignet sich eher für mathematische Probleme als für alltägliche Probleme, da Sie unter realen Bedingungen ohne vorherige Berechnungen die Länge der Mittellinie nicht kennen. Und Sie kennen nur die Längen der Basen und Seiten.

In diesem Fall lässt sich die Fläche des Trapezes mit der Formel ermitteln:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

Dabei ist S die Fläche, a,b die Basen und c,d die Seiten des Trapezes.

Es gibt mehrere weitere Möglichkeiten, die Fläche eines Trapezes zu ermitteln. Sie sind jedoch ungefähr so ​​unbequem wie die letzte Formel, sodass es keinen Sinn macht, sich weiter mit ihnen zu befassen. Daher empfehlen wir Ihnen, die erste Formel aus dem Artikel zu verwenden und wünschen Ihnen stets genaue Ergebnisse.

Bevor die Fläche eines Trapezes ermittelt wird, müssen die bekannten Elemente des Trapezes bestimmt werden. Ein Trapez ist ein geometrisches Objekt, nämlich ein Viereck mit zwei parallelen Seiten (zwei Grundflächen). Die anderen beiden Seiten sind seitlich. Wenn auch diese beiden Seiten des Vierecks parallel sind, dann handelt es sich nicht mehr um ein Trapez, sondern um ein Parallelogramm. Wenn mindestens ein Winkel eines Trapezes 90 Grad beträgt, wird ein solches Trapez als rechtwinkliges Trapez bezeichnet. Wie man die Fläche eines rechteckigen Trapezes findet, werden wir später betrachten. Es gibt auch ein gleichschenkliges Trapez, dessen Name für sich spricht: Die Seiten eines solchen Trapezes sind gleich. Der Abstand zwischen den Grundflächen eines Trapezes wird als Höhe bezeichnet, die Höhe wird sehr oft zur Bestimmung der Fläche verwendet. Die Mittellinie eines Trapezes ist ein Segment, das die Mittelpunkte der Seiten verbindet.

Grundformeln zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes

• S=h*(a+b)/2
  Dabei ist h die Höhe des Trapezes und a,b die Basen. Die am häufigsten verwendete Formel zum Ermitteln der Fläche eines Trapezes ist die Hälfte der Summe der Grundflächen multipliziert mit der Höhe.
• S=m*h
  Dabei ist m die Mittellinie des Trapezes und h die Höhe. Die Fläche eines Trapezes ist auch gleich dem Produkt aus der Mittellinie des Trapezes und seiner Höhe.
• S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
  Wobei d1, d2 die Diagonalen des Trapezes sind, ist sin(d1^d2) der Sinus des Winkels zwischen den Diagonalen des Trapezes.

Es gibt auch verschiedene Formeln, die von den Hauptformeln abgeleitet werden, sowie eine Formel zur Berechnung der Fläche eines Trapezes, wenn alle seine Seiten bekannt sind. Allerdings ist diese Formel recht umständlich und wird selten verwendet, denn wenn man alle Seiten eines Trapezes kennt, kann man einfach die Höhe oder seine Mittellinie bestimmen. Sie können einem gleichschenkligen Trapez auch einen Kreis einschreiben. In diesem Fall wird die Fläche des Trapezes nach der Formel berechnet: 8 * Radius des Kreises im Quadrat.

So finden Sie die Fläche eines rechteckigen Trapezes

Wie bereits erwähnt, heißt ein Trapez rechteckig, wenn es mindestens einen rechten Winkel hat. Die Fläche eines solchen Trapezes zu finden ist sehr einfach. Um die Fläche eines rechteckigen Trapezes zu ermitteln, werden grundsätzlich dieselben Formeln verwendet wie für ein gewöhnliches Trapez. Es ist jedoch zu beachten, dass eine der Seiten eines solchen Trapezes die Höhe sein wird. Außerdem wird die Lösung von Problemen beim Ermitteln der Fläche eines rechteckigen Trapezes häufig auf das Ermitteln der Fläche eines Rechtecks ​​​​und eines Dreiecks reduziert, die durch die abgesenkte Höhe gebildet werden. Solche Aufgaben sind recht einfach.

Anweisung

Um beide Methoden verständlicher zu machen, können einige Beispiele aufgeführt werden.

Beispiel 1: Die Länge der Mittellinie eines Trapezes beträgt 10 cm, seine Fläche beträgt 100 cm². Um die Höhe dieses Trapezes zu ermitteln, müssen Sie Folgendes tun:

h = 100/10 = 10 cm

Antwort: Die Höhe dieses Trapezes beträgt 10 cm

Beispiel 2: Die Fläche eines Trapezes beträgt 100 cm², die Längen der Grundflächen betragen 8 cm und 12 cm. Um die Höhe dieses Trapezes zu ermitteln, müssen Sie die Aktion ausführen:

h = (2 * 100) / (8 + 12) = 200/20 = 10 cm

Antwort: Die Höhe dieses Trapezes beträgt 20 cm

beachten Sie

Es gibt verschiedene Arten von Trapezen:
Ein gleichschenkliges Trapez ist ein Trapez, dessen Seiten einander gleich sind.
Ein rechtes Trapez ist ein Trapez, dessen Innenwinkel 90 Grad beträgt.
Es ist erwähnenswert, dass bei einem rechteckigen Trapez die Höhe mit der Länge der Seite im rechten Winkel übereinstimmt.
Ein Kreis kann um ein Trapez herum beschrieben oder in eine bestimmte Figur eingeschrieben werden. Ein Kreis kann nur dann eingeschrieben werden, wenn die Summe seiner Grundflächen gleich der Summe seiner gegenüberliegenden Seiten ist. Ein Kreis kann nur um ein gleichschenkliges Trapez beschrieben werden.

Hilfreicher Rat

Ein Parallelogramm ist ein Sonderfall eines Trapezes, da die Definition eines Trapezes nicht im Widerspruch zur Definition eines Parallelogramms steht. Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Bei der Definition eines Trapezes sprechen wir nur von einem Paar seiner Seiten. Daher ist jedes Parallelogramm auch ein Trapez. Das Gegenteil ist nicht der Fall.

Quellen:

• wie man die Fläche einer Trapezformel findet

Tipp 2: So ermitteln Sie die Höhe eines Trapezes, wenn Sie die Fläche kennen

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei seiner vier Seiten parallel zueinander sind. Die parallelen Seiten sind die Grundlagen davon, die anderen beiden sind die Seiten des Gegebenen Trapez. Finden Höhe Trapez wenn es bekannt ist Quadrat, wird sehr einfach sein.

Anweisung

Wir müssen herausfinden, wie man berechnet Quadrat Original Trapez. Dafür gibt es je nach Ausgangsdaten mehrere Formeln: S = ((a + b) * h) / 2, wobei a und b Basen sind Trapez, und h ist seine Höhe (Height Trapez- eine Senkrechte, die von einer Basis herabfällt Trapez zum anderen);
S = m*h, wobei m eine Linie ist Trapez(Mittellinie - Segment, Basen Trapez und die Mittelpunkte seiner Seiten verbinden).

Zur Verdeutlichung können folgende Aufgaben betrachtet werden: Beispiel 1: Gegeben sei ein Trapez, in dem Quadrat 68 cm², dessen durchschnittliche Linie 8 cm beträgt, müssen Sie finden Höhe gegeben Trapez. Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie die zuvor abgeleitete Formel verwenden:
h = 68/8 = 8,5 cm Antwort: die Höhe davon Trapez beträgt 8,5 cm Beispiel 2: Sei y Trapez Quadrat entspricht 120 cm², die Längen der Basen davon Trapez 8 cm bzw. 12 cm müssen Sie finden Höhe Das Trapez. Wenden Sie dazu eine der abgeleiteten Formeln an:
h = (2 * 120) / (8 + 12) = 240/20 = 12 cm Antwort: die Höhe des Gegebenen Trapez gleich 12 cm

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beachten Sie

Jedes Trapez hat eine Reihe von Eigenschaften:

Die Mittellinie eines Trapezes ist die Hälfte der Summe seiner Grundflächen;

Die Strecke, die die Diagonalen eines Trapezes verbindet, ist gleich der halben Differenz seiner Grundflächen;

Zieht man eine Gerade durch die Mittelpunkte der Grundflächen, so schneidet sie den Schnittpunkt der Diagonalen des Trapezes;

Ein Kreis kann in ein Trapez eingeschrieben werden, wenn die Summe der Grundflächen dieses Trapezes gleich der Summe seiner Seiten ist.

Nutzen Sie diese Eigenschaften beim Lösen von Problemen.

Tipp 3: So ermitteln Sie die Fläche eines Trapezes, wenn die Basen bekannt sind

Nach geometrischer Definition ist ein Trapez ein Viereck mit nur einem Paar paralleler Seiten. Diese Seiten sind sie Gründe. Abstand zwischen Gründe Höhe genannt Trapez. Finden Quadrat Trapez kann mit geometrischen Formeln durchgeführt werden.

Anweisung

Messen Sie die Basen und Trapez ABSD. Normalerweise werden sie als Aufgaben gestellt. Einlassen dieses Beispiel Problembasis AD (a) Trapez beträgt 10 cm, Basis BC (b) - 6 cm, Höhe Trapez BK (h) - 8 cm. Wenden Sie die Geometrie an, um den Bereich zu ermitteln Trapez, wenn die Längen seiner Basen und Höhen bekannt sind - S= 1/2 (a+b)*h, wobei: - a - der Wert der AD-Basis Trapez ABCD, - b - der Wert der Basis BC, - h - der Wert der Höhe BK.

Der Abschnitt enthält Probleme in der Geometrie (Schnittplanimetrie) über Trapeze. Wenn Sie keine Lösung für das Problem gefunden haben, schreiben Sie im Forum darüber. Der Kurs wird auf jeden Fall aktualisiert.

Trapez. Definition, Formeln und Eigenschaften

Ein Trapez (vom anderen griechischen τραπέζιον – „Tisch“; τράπεζα – „Tisch, Essen“) ist ein Viereck mit genau einem Paar gegenüberliegender Seiten parallel.

Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Notiz. In diesem Fall ist das Parallelogramm ein Sonderfall eines Trapezes.

Die parallelen gegenüberliegenden Seiten werden als Basen des Trapezes bezeichnet, die anderen beiden als Seiten.

Trapeze sind:

- vielseitig ;

- gleichschenklig;

- rechteckig

.
Rot und braune Blüten die seitlichen Seiten sind angedeutet, grün und blau sind die Basen des Trapezes.

A - gleichschenkliges (gleichschenkliges, gleichschenkliges) Trapez
B - rechteckiges Trapez
C – vielseitiges Trapez

Bei einem vielseitigen Trapez sind alle Seiten unterschiedlich lang und die Grundflächen sind parallel.

Die Seiten sind gleich und die Basen sind parallel.

Sie sind an der Basis parallel, eine Seite steht senkrecht zu den Basen und die zweite Seite ist zu den Basen hin geneigt.

Trapezeigenschaften

• Mittellinie des Trapezes parallel zu den Basen und gleich der Hälfte ihrer Summe
• Ein Liniensegment, das die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet, entspricht der halben Differenz der Basen und liegt auf der Mittellinie. Seine Länge
• Parallele Linien, die die Seiten eines beliebigen Winkels des Trapezes schneiden, schneiden proportionale Segmente von den Seiten des Winkels ab (siehe Satz von Thales).
• Schnittpunkt der Diagonalen eines Trapezes, der Schnittpunkt der Verlängerungen seiner Seiten und die Mittelpunkte der Grundflächen liegen auf einer Geraden (siehe auch Eigenschaften eines Vierecks)
• Dreiecke auf Sockeln Trapeze, deren Scheitelpunkte der Schnittpunkt ihrer Diagonalen sind, sind ähnlich. Das Verhältnis der Flächen solcher Dreiecke ist gleich dem Quadrat des Verhältnisses der Grundflächen des Trapezes
• Dreiecke an den Seiten Trapeze, deren Scheitelpunkte der Schnittpunkt ihrer Diagonalen sind, sind flächengleich (flächengleich)
• in ein Trapez Sie können einen Kreis einschreiben wenn die Summe der Grundlängen eines Trapezes gleich der Summe der Seitenlängen ist. Die Mittellinie ist in diesem Fall gleich der Summe der Seiten geteilt durch 2 (da die Mittellinie des Trapezes gleich der Hälfte der Summe der Basen ist).
• Ein Segment parallel zu den Basen und durch den Schnittpunkt der Diagonalen verläuft, wird durch diese in zwei Hälften geteilt und ist gleich dem Doppelten des Produkts der Basen dividiert durch ihre Summe 2ab / (a ​​​​+ b) (Burakovs Formel)

Trapezwinkel

Trapezwinkel sind scharf, gerade und stumpf.
Es gibt nur zwei rechte Winkel.

Ein rechteckiges Trapez hat zwei rechte Winkel und die anderen beiden sind spitz und stumpf. Andere Arten von Trapezen haben: zwei scharfe Kanten und zwei dumme.

Die stumpfen Winkel eines Trapezes gehören zu den kleinsten entlang der Länge der Basis und scharf - mehr Basis.

Es kann jedes Trapez berücksichtigt werden wie ein abgeschnittenes Dreieck, dessen Schnittlinie parallel zur Basis des Dreiecks verläuft.
Wichtig. Bitte beachten Sie, dass auf diese Weise (durch zusätzliche Konstruktion eines Trapezes zu einem Dreieck) einige Probleme über ein Trapez gelöst und einige Theoreme bewiesen werden können.

So finden Sie die Seiten und Diagonalen eines Trapezes

Das Ermitteln der Seiten und Diagonalen eines Trapezes erfolgt mithilfe der folgenden Formeln:

In diesen Formeln wird die Notation wie in der Abbildung verwendet.

a - die kleinste der Basen des Trapezes
b – die größte der Basen des Trapezes
c,d – Seiten
h 1 h 2 - Diagonalen

Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Trapezes ist gleich dem doppelten Produkt der Grundflächen des Trapezes plus der Summe der Quadrate der Seiten (Formel 2)

Trapez heißt Viereck nur zwei Seiten sind parallel zueinander.

Sie werden als Basen der Figur bezeichnet, der Rest als Seiten. Ein Parallelogramm wird als Sonderfall einer Figur betrachtet. Es gibt auch ein krummliniges Trapez, das einen Funktionsgraphen enthält. Die Formeln für die Fläche eines Trapezes umfassen fast alle seine Elemente und die beste Lösung wird in Abhängigkeit von den angegebenen Werten ausgewählt.
Die Hauptrollen beim Trapez sind der Höhe und der Mittellinie zuzuordnen. Mittellinie- Dies ist eine Linie, die die Mittelpunkte der Seiten verbindet. Höhe Das Trapez wird im rechten Winkel gehalten obere Ecke zur Basis.
Die Fläche eines Trapezes durch die Höhe ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Grundlängen multipliziert mit der Höhe:

Wenn die Mittellinie gemäß den Bedingungen bekannt ist, wird diese Formel stark vereinfacht, da sie gleich der halben Summe der Basenlängen ist:

Wenn gemäß den Bedingungen die Längen aller Seiten angegeben sind, können wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines Trapezes anhand dieser Daten betrachten:

Angenommen, ein Trapez sei mit den Grundflächen a = 3 cm, b = 7 cm und den Seiten c = 5 cm, d = 4 cm gegeben. Finden Sie die Fläche der Figur:

Fläche eines gleichschenkligen Trapezes

Ein separater Fall ist ein gleichschenkliges oder, wie es auch genannt wird, gleichschenkliges Trapez.
Ein Sonderfall ist auch die Ermittlung der Fläche eines gleichschenkligen (gleichschenkligen) Trapezes. Formel abgeleitet verschiedene Wege- durch die Diagonalen, durch die an die Grundfläche angrenzenden Winkel und den Radius des eingeschriebenen Kreises.
Wenn die Länge der Diagonalen durch die Bedingungen vorgegeben ist und der Winkel zwischen ihnen bekannt ist, können Sie die folgende Formel verwenden:

Denken Sie daran, dass die Diagonalen eines gleichschenkligen Trapezes einander gleich sind!

Das heißt, wenn Sie eine ihrer Basen, Seiten und Winkel kennen, können Sie die Fläche leicht berechnen.

Fläche eines krummlinigen Trapezes

Ein separater Fall ist krummliniges Trapez. Es liegt auf der Koordinatenachse und ist auf einen Graphen einer stetigen positiven Funktion beschränkt.

Seine Basis liegt auf der X-Achse und ist auf zwei Punkte begrenzt:
Integrale helfen bei der Berechnung der Fläche eines krummlinigen Trapezes.
Die Formel ist so geschrieben:

Betrachten Sie ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines krummlinigen Trapezes. Die Formel erfordert bestimmte Kenntnisse, um damit arbeiten zu können bestimmte Integrale. Lassen Sie uns zunächst den Wert des bestimmten Integrals analysieren:

Hier ist F(a) der Wert der Stammfunktion f(x) am Punkt a , F(b) ist der Wert derselben Funktion f(x) am Punkt b .

Lassen Sie uns nun das Problem lösen. Die Abbildung zeigt ein krummliniges Trapez, Funktion eingeschränkt. Funktion
Wir müssen die Fläche der ausgewählten Figur finden, die ein krummliniges Trapez ist, das oben durch einen Graphen begrenzt wird, rechts eine gerade Linie x = (-8), links eine gerade Linie x = (- 10) und die Achse OX liegt unten.
Wir berechnen die Fläche dieser Figur mit der Formel:

Durch die Bedingungen des Problems erhalten wir eine Funktion. Damit finden wir die Werte der Stammfunktion an jedem unserer Punkte:


Jetzt
Antworten: die Fläche eines gegebenen krummlinigen Trapezes beträgt 4.

Die Berechnung dieses Wertes ist nicht schwierig. Bei den Berechnungen kommt es nur auf höchste Sorgfalt an.