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Logarithmen sind eine einfache Erklärung. Protokollformeln

Was ist ein Logarithmus?

Aufmerksamkeit!
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Material im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die stark „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr ...“

Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Insbesondere - Gleichungen mit Logarithmen.

Das ist absolut nicht wahr. Absolut! Glauben Sie nicht? Bußgeld. Nun, etwa 10 bis 20 Minuten lang:

1. Verstehen Was ist ein Logarithmus?.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse zu lösen Exponentialgleichungen. Auch wenn Sie noch nie davon gehört haben.

3. Lernen Sie, einfache Logarithmen zu berechnen.

Darüber hinaus müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie eine Zahl potenziert wird ...

Ich habe das Gefühl, dass Sie zweifeln ... Nun, halten Sie sich Zeit! Gehen!

Lösen Sie zunächst gedanklich die folgende Gleichung:

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Anweisung

Schreiben Sie den angegebenen logarithmischen Ausdruck auf. Wenn der Ausdruck den Logarithmus von 10 verwendet, wird seine Schreibweise verkürzt und sieht folgendermaßen aus: lg b ist der dezimale Logarithmus. Hat der Logarithmus die Zahl e als Basis, so lautet der Ausdruck: ln b ist der natürliche Logarithmus. Es versteht sich, dass das Ergebnis von any die Potenz ist, mit der die Basiszahl erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Wenn Sie die Summe zweier Funktionen ermitteln möchten, müssen Sie diese nur einzeln differenzieren und die Ergebnisse addieren: (u+v)" = u"+v";

Um die Ableitung des Produkts zweier Funktionen zu ermitteln, ist es notwendig, die Ableitung der ersten Funktion mit der zweiten zu multiplizieren und die Ableitung der zweiten Funktion multipliziert mit der ersten Funktion zu addieren: (u*v)“ = u“* v+v"*u;

Um die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen zu finden, ist es notwendig, vom Produkt der Ableitung des Dividenden multipliziert mit der Divisorfunktion das Produkt der Ableitung des Divisors multipliziert mit der Divisorfunktion zu subtrahieren und zu dividieren das alles durch die Divisorfunktion quadriert. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Wenn eine komplexe Funktion gegeben ist, muss die Ableitung der inneren Funktion mit der Ableitung der äußeren Funktion multipliziert werden. Sei y=u(v(x)), dann ist y"(x)=y"(u)*v"(x).

Mit den oben gewonnenen Erkenntnissen können Sie nahezu jede Funktion differenzieren. Schauen wir uns also ein paar Beispiele an:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Es gibt auch Aufgaben zur Berechnung der Ableitung an einem Punkt. Angenommen, die Funktion y=e^(x^2+6x+5) sei gegeben, Sie müssen den Wert der Funktion am Punkt x=1 finden.
1) Finden Sie die Ableitung der Funktion: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Berechnen Sie den Wert der Funktion am gegebenen Punkt y"(1)=8*e^0=8

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Lernen Sie die Tabelle der elementaren Ableitungen. Das spart viel Zeit.

Quellen:

konstante Ableitung

Was ist also der Unterschied zwischen einer irrationalen und einer rationalen Gleichung? Wenn die unbekannte Variable unter dem Quadratwurzelzeichen steht, gilt die Gleichung als irrational.

Anweisung

Die Hauptmethode zur Lösung solcher Gleichungen ist die Methode, beide Seiten zu erhöhen Gleichungen in ein Quadrat. Jedoch. Das ist natürlich, der erste Schritt besteht darin, das Schild loszuwerden. Technisch gesehen ist diese Methode nicht schwierig, kann aber manchmal zu Problemen führen. Zum Beispiel die Gleichung v(2x-5)=v(4x-7). Wenn man beide Seiten quadriert, erhält man 2x-5=4x-7. Eine solche Gleichung ist nicht schwer zu lösen; x=1. Aber die Nummer 1 wird nicht vergeben Gleichungen. Warum? Ersetzen Sie die Einheit in der Gleichung anstelle des x-Werts. Und die rechte und linke Seite enthalten Ausdrücke, die keinen Sinn ergeben. Ein solcher Wert gilt nicht für eine Quadratwurzel. Daher ist 1 eine Fremdwurzel und daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Die irrationale Gleichung wird also durch die Methode der Quadrierung beider Teile gelöst. Und nachdem die Gleichung gelöst ist, müssen überflüssige Wurzeln abgeschnitten werden. Ersetzen Sie dazu die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung.

Betrachten Sie einen anderen.
2x+vx-3=0
Natürlich kann diese Gleichung mit derselben Gleichung wie die vorherige gelöst werden. Verbindungen übertragen Gleichungen, die keine Quadratwurzel haben, auf die rechte Seite und verwenden Sie dann die Quadrierungsmethode. Lösen Sie die resultierende rationale Gleichung und Wurzeln. Aber eine andere, elegantere. Geben Sie eine neue Variable ein; vx=y. Dementsprechend erhalten Sie eine Gleichung wie 2y2+y-3=0. Das heißt, das Übliche quadratische Gleichung. Finden Sie seine Wurzeln; y1=1 und y2=-3/2. Als nächstes lösen Sie zwei Gleichungen vx=1; vx \u003d -3/2. Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln, aus der ersten finden wir, dass x=1. Vergessen Sie nicht, die Wurzeln zu überprüfen.

Identitäten zu lösen ist ganz einfach. Dies erfordert identische Transformationen, bis das Ziel erreicht ist. Somit wird die Aufgabe mit Hilfe einfachster Rechenoperationen gelöst.

Du wirst brauchen

- Papier;
- Griff.

Anweisung

Die einfachsten Transformationen dieser Art sind abgekürzte algebraische Multiplikationen (z. B. das Quadrat der Summe (Differenz), die Differenz von Quadraten, die Summe (Differenz), die Kubik der Summe (Differenz)). Darüber hinaus gibt es viele trigonometrische Formeln, die im Wesentlichen die gleichen Identitäten haben.

Tatsächlich ist das Quadrat der Summe zweier Terme gleich dem Quadrat des ersten plus dem Doppelten des Produkts aus dem ersten und dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten, also (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Vereinfachen Sie beides

Allgemeine Lösungsprinzipien

Wiederholen Sie aus einem Lehrbuch über mathematische Analyse oder höhere Mathematik, bei der es sich um ein bestimmtes Integral handelt. Wie Sie wissen, die Lösung bestimmtes Integral Es gibt eine Funktion, deren Ableitung einen Integranden ergibt. Diese Funktion heißt primitiv. Nach diesem Prinzip werden die Grundintegrale konstruiert.
Bestimmen Sie anhand der Form des Integranden, welches der Tabellenintegrale hineinpasst dieser Fall. Dies lässt sich nicht immer sofort feststellen. Oftmals macht sich die tabellarische Form erst nach mehreren Transformationen zur Vereinfachung des Integranden bemerkbar.

Variable Substitutionsmethode

Wenn der Integrand ist Trigonometrische Funktion, dessen Argument ein Polynom ist, dann versuchen Sie es mit der Variablensubstitutionsmethode. Ersetzen Sie dazu das Polynom im Argument des Integranden durch eine neue Variable. Bestimmen Sie anhand des Verhältnisses zwischen neuer und alter Variable die neuen Integrationsgrenzen. Finden Sie durch Differenzieren dieses Ausdrucks ein neues Differential in . Somit erhalten Sie eine neue Form des alten Integrals, die einer tabellarischen Form nahe kommt oder dieser sogar entspricht.

Lösung von Integralen zweiter Art

Wenn das Integral ein Integral zweiter Art ist, die Vektorform des Integranden, müssen Sie die Regeln für den Übergang von diesen Integralen zu skalaren Integralen verwenden. Eine solche Regel ist das Ostrogradsky-Gauss-Verhältnis. Dieses Gesetz ermöglicht den Übergang vom Rotorfluss einer Vektorfunktion zu einem Dreifachintegral über die Divergenz eines gegebenen Vektorfeldes.

Substitution von Integrationsgrenzen

Nachdem die Stammfunktion gefunden wurde, ist es notwendig, die Integrationsgrenzen zu ersetzen. Ersetzen Sie zunächst den Wert der Obergrenze in den Ausdruck für die Stammfunktion. Sie erhalten eine Nummer. Als nächstes subtrahieren Sie von der resultierenden Zahl eine weitere Zahl, die resultierende Untergrenze der Stammfunktion. Wenn eine der Integrationsgrenzen unendlich ist, muss man beim Einsetzen in die Stammfunktion bis zur Grenze gehen und herausfinden, wohin der Ausdruck tendiert.
Wenn das Integral zweidimensional oder dreidimensional ist, müssen Sie die geometrischen Grenzen der Integration darstellen, um zu verstehen, wie das Integral berechnet wird. Tatsächlich können beispielsweise im Fall eines dreidimensionalen Integrals die Integrationsgrenzen ganze Ebenen sein, die das zu integrierende Volumen begrenzen.

Wie Sie wissen, addieren sich bei der Multiplikation von Ausdrücken mit Potenzen immer deren Exponenten (a b * a c = a b + c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle ganzzahliger Indikatoren. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Beispiele für die Verwendung dieser Funktion finden sich fast überall dort, wo es darum geht, umständliche Multiplikationen durch einfache Additionen zu vereinfachen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie man mit ihnen arbeitet. Einfache und zugängliche Sprache.

Definition in der Mathematik

Der Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus jeder nicht negativen Zahl (d. h. jeder positiven Zahl) „b“ entsprechend ihrer Basis „a“ wird als Potenz von „c“ betrachtet ", auf die es notwendig ist, die Basis „a“ anzuheben, damit man am Ende den Wert „b“ erhält. Lassen Sie uns den Logarithmus anhand von Beispielen analysieren. Nehmen wir an, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist ganz einfach, Sie müssen einen solchen Abschluss finden, dass Sie von 2 bis zum erforderlichen Abschluss 8 erhalten. Nachdem wir einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das zu Recht, denn 2 hoch 3 ergibt in der Antwort die Zahl 8.

Sorten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten erscheint dieses Thema kompliziert und unverständlich, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich ihre Eigenschaften und einige Regeln zu merken. Dort sind drei bestimmte Typen logarithmische Ausdrücke:

Natürlicher Logarithmus ln a, wobei die Basis die Euler-Zahl (e = 2,7) ist.
Dezimalzahl a, wobei die Basis 10 ist.
Der Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen wird auf Standardmethode gelöst, einschließlich Vereinfachung, Reduktion und anschließender Reduktion auf einen Logarithmus unter Verwendung logarithmischer Theoreme. Um die korrekten Werte von Logarithmen zu erhalten, sollte man sich bei seinen Entscheidungen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regeln-Einschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie stehen nicht zur Diskussion und sind wahr. Beispielsweise ist es unmöglich, Zahlen durch Null zu dividieren, und es ist auch unmöglich, aus negativen Zahlen die Wurzel eines geraden Grades zu ziehen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, wie man auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken arbeitet:

die Basis „a“ muss immer größer als Null sein und darf gleichzeitig nicht gleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, denn „1“ und „0“ sind in jedem Grad immer gleich ihren Werten;
Wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass „c“ größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wurde die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x \u003d 100 zu finden. Es ist sehr einfach, Sie müssen eine solche Potenz wählen, indem Sie die Zahl zehn erhöhen, auf die wir 100 erhalten. Das ist natürlich 10 2 \u003d 100.

Stellen wir diesen Ausdruck nun als logarithmischen Ausdruck dar. Wir erhalten log 10 · 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen laufen alle Aktionen praktisch darauf hinaus, den Grad zu ermitteln, in dem die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grades genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle zu arbeiten. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über eine technische Denkweise und Kenntnisse der Multiplikationstabelle verfügen. Allerdings z große Werte Du brauchst eine Gradtabelle. Es kann sogar von denen verwendet werden, die von komplexen mathematischen Themen überhaupt nichts verstehen. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe ist der Wert der Potenz c, auf die die Zahl a erhöht wird. Am Schnittpunkt in den Zellen werden die Werte der Zahlen ermittelt, die die Antwort darstellen (a c =b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, wir erhalten den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der echteste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen numerischen Ausdrücke als logarithmische Gleichung geschrieben werden. Beispielsweise kann 3 4 =81 als Logarithmus von 81 zur Basis 3 geschrieben werden, was vier ist (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten dieselben Regeln: 2 -5 = 1/32 schreiben wir als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema „Logarithmen“. Wir werden Beispiele und Lösungen von Gleichungen etwas weiter unten betrachten, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Gegeben ist ein Ausdruck der folgenden Form: log 2 (x-1) > 3 – das ist es logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert „x“ unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gesuchten Zahl zur Basis zwei ist größer als der der Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (z. B. der Logarithmus von 2 x = √9) einen oder mehrere bestimmte numerische Werte in der Antwort implizieren, während bei der Lösung der Ungleichung beide den Bereich von akzeptable Werte und die Punkte, die diese Funktion unterbrechen. Folglich handelt es sich bei der Antwort nicht um eine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Lösung der Gleichung, sondern um eine kontinuierliche Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Bei der Lösung primitiver Aufgaben zum Ermitteln der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später mit Beispielen für Gleichungen vertraut machen. Lassen Sie uns zunächst jede Eigenschaft detaillierter analysieren.

Die grundlegende Identität sieht so aus: a logaB =B. Dies gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins und B größer als Null ist.
Der Logarithmus des Produkts kann in der folgenden Formel dargestellt werden: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Voraussetzung ist in diesem Fall: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Sie können einen Beweis für diese Logarithmenformel mit Beispielen und einer Lösung geben. Sei log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2 , dann a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (Gradeigenschaften). ), und weiter per Definition: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was bewiesen werden sollte.
Der Logarithmus des Quotienten sieht so aus: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Der Satz in Form einer Formel hat die folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird „Eigenschaft des Grades des Logarithmus“ genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und das ist nicht überraschend, da die gesamte Mathematik auf regelmäßigen Postulaten beruht. Schauen wir uns den Beweis an.

Sei log a b \u003d t, es ergibt sich a t \u003d b. Wenn man beide Teile mit m potenziert: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n , also log a q b n = (n*t)/t, dann gilt log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmusproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie finden sich in fast allen Aufgabenbüchern und sind auch im Pflichtteil von Prüfungen in Mathematik enthalten. Um an einer Universität zu studieren oder Aufnahmetests in Mathematik zu bestehen, müssen Sie wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider gibt es keinen einheitlichen Plan oder Schema zum Lösen und Bestimmen des unbekannten Werts des Logarithmus. Allerdings können bestimmte Regeln auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder reduziert werden kann Gesamtansicht. Lang vereinfachen logarithmische Ausdrücke Das ist möglich, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig nutzen. Lernen wir sie bald kennen.

Beim Lösen logarithmischer Gleichungen muss festgestellt werden, welche Art von Logarithmus wir vor uns haben: Ein Beispiel für einen Ausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass Sie den Grad bestimmen müssen, in dem die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Für Lösungen natürliche Logarithmen man muss logarithmische Identitäten oder ihre Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Art an.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Verwendung der Hauptsätze für Logarithmen an.

Die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Erweiterung erforderlich ist sehr wichtig Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 – wie Sie sehen, ist es uns mit der vierten Eigenschaft des Grades des Logarithmus gelungen, auf den ersten Blick einen komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Es ist lediglich erforderlich, die Basis zu faktorisieren und anschließend die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus zu entnehmen.

Aufgaben aus der Prüfung

Logarithmen kommen häufig in Aufnahmeprüfungen vor, insbesondere viele logarithmische Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabsolventen). Normalerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten) vorhanden Testteil Prüfung), aber auch in Teil C (die schwierigsten und umfangreichsten Aufgaben). Die Prüfung setzt genaue und perfekte Kenntnisse des Themas „Natürliche Logarithmen“ voraus.

Beispiele und Problemlösungen stammen aus offiziellen Quellen USE-Optionen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
Schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2 , durch die Definition des Logarithmus erhalten wir 2x-1 = 2 4 , also 2x = 17; x = 8,5.

Damit die Lösung nicht umständlich und unübersichtlich wird, reduziert man am besten alle Logarithmen auf die gleiche Basis.
Alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus werden als positiv angezeigt, daher muss beim Herausnehmen des Exponenten des Exponenten des Ausdrucks, der unter dem Vorzeichen des Logarithmus und als Basis steht, der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Lassen Sie es uns einfacher erklären. Beispielsweise ist \(\log_(2)(8)\) gleich der Potenz, auf die \(2\) erhöht werden muss, um \(8\) zu erhalten. Daraus ist klar, dass \(\log_(2)(8)=3\).

Beispiele:	\(\log_(5)(25)=2\)	Weil \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	Weil \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	Weil \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument und Basis des Logarithmus

Jeder Logarithmus hat die folgende „Anatomie“:

Das Argument des Logarithmus wird normalerweise auf seiner Ebene geschrieben, und die Basis wird tiefgestellt näher am Vorzeichen des Logarithmus geschrieben. Und dieser Eintrag liest sich so: „Der Logarithmus von fünfundzwanzig zur Basis fünf.“

Wie berechnet man den Logarithmus?

Um den Logarithmus zu berechnen, müssen Sie die Frage beantworten: Um wie viel muss die Basis erhöht werden, um das Argument zu erhalten?

Zum Beispiel, berechne den Logarithmus: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Auf welche Potenz muss \(4\) erhöht werden, um \(16\) zu erhalten? Offensichtlich das zweite. Deshalb:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(5)\) erhöht werden, um \(1\) zu erhalten? Und welcher Grad macht jede Zahl zu einer Einheit? Null, natürlich!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Auf welche Potenz muss \(\sqrt(7)\) erhöht werden, um \(\sqrt(7)\) zu erhalten? Im ersten Fall ist jede Zahl ersten Grades sich selbst gleich.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Auf welche Potenz muss \(3\) erhöht werden, um \(\sqrt(3)\) zu erhalten? Wir wissen, dass es sich um eine gebrochene Potenz handelt, und daher ist die Quadratwurzel die Potenz von \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Beispiel : Berechnen Sie den Logarithmus \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lösung :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Wir müssen den Wert des Logarithmus finden, bezeichnen wir ihn als x. Nutzen wir nun die Definition des Logarithmus: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Was verbindet \(4\sqrt(2)\) und \(8\)? Zwei, weil beide Zahlen durch Zweien dargestellt werden können: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Links verwenden wir die Gradeigenschaften: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) und \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Die Grundlagen sind gleich, wir gehen zur Gleichheit der Indikatoren über
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit \(\frac(2)(5)\)
		Die resultierende Wurzel ist der Wert des Logarithmus

Antworten : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Warum wurde der Logarithmus erfunden?

Um dies zu verstehen, lösen wir die Gleichung: \(3^(x)=9\). Passen Sie einfach \(x\) an, damit die Gleichheit funktioniert. Natürlich ist \(x=2\).

Lösen Sie nun die Gleichung: \(3^(x)=8\). Was ist x gleich? Das ist der Punkt.

Der Einfallsreichste wird sagen: „X ist etwas kleiner als zwei.“ Wie genau ist diese Zahl zu schreiben? Um diese Frage zu beantworten, haben sie den Logarithmus erfunden. Dank ihm kann die Antwort hier als \(x=\log_(3)(8)\) geschrieben werden.

Ich möchte betonen, dass \(\log_(3)(8)\) sowie Jeder Logarithmus ist nur eine Zahl. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber es ist kurz. Denn wenn wir es als Dezimalzahl schreiben wollten, würde es so aussehen: \(1.892789260714.....\)

Beispiel : Lösen Sie die Gleichung \(4^(5x-4)=10\)

Lösung :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) und \(10\) können nicht auf die gleiche Basis reduziert werden. Hier kann man also nicht auf den Logarithmus verzichten. Verwenden wir die Definition des Logarithmus: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Drehen Sie die Gleichung um, sodass x links liegt
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Vor uns. Bewegen Sie \(4\) nach rechts. Und haben Sie keine Angst vor dem Logarithmus, behandeln Sie ihn wie eine reguläre Zahl.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Teilen Sie die Gleichung durch 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Hier ist unsere Wurzel. Ja, es sieht ungewöhnlich aus, aber die Antwort ist nicht gewählt.

Antworten : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Dezimale und natürliche Logarithmen

Wie in der Definition des Logarithmus angegeben, kann seine Basis eine beliebige sein positive Zahl, mit Ausnahme der Einheit \((a>0, a\neq1)\). Und unter all den möglichen Basen gibt es zwei, die so häufig vorkommen, dass mit ihnen eine spezielle Kurzschreibweise für Logarithmen erfunden wurde:

Natürlicher Logarithmus: ein Logarithmus, dessen Basis die Euler-Zahl \(e\) ist (ungefähr gleich \(2,7182818…\)), und der Logarithmus wird als \(\ln(a)\) geschrieben.

Also, \(\ln(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(e)(a)\)

Dezimaler Logarithmus: Ein Logarithmus mit der Basis 10 wird als \(\lg(a)\) geschrieben.

Also, \(\lg(a)\) ist dasselbe wie \(\log_(10)(a)\), wobei \(a\) eine Zahl ist.

Grundlegende logarithmische Identität

Logarithmen haben viele Eigenschaften. Einer davon heißt „Main“. logarithmische Identität' und sieht so aus:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Diese Eigenschaft folgt direkt aus der Definition. Mal sehen, wie genau diese Formel aussah.

Lass uns erinnern kurze Anmerkung Logarithmus-Definitionen:

wenn \(a^(b)=c\), dann \(\log_(a)(c)=b\)

Das heißt, \(b\) ist dasselbe wie \(\log_(a)(c)\). Dann können wir \(\log_(a)(c)\) anstelle von \(b\) in die Formel \(a^(b)=c\) schreiben. Es stellte sich heraus, dass \(a^(\log_(a)(c))=c\) die wichtigste logarithmische Identität ist.

Die restlichen Eigenschaften von Logarithmen finden Sie hier. Mit ihrer Hilfe können Sie die Werte von Ausdrücken mit Logarithmen, die schwer direkt zu berechnen sind, vereinfachen und berechnen.

Beispiel : Finden Sie den Wert des Ausdrucks \(36^(\log_(6)(5))\)

Lösung :

Antworten : \(25\)

Wie schreibe ich eine Zahl als Logarithmus?

Wie oben erwähnt, ist jeder Logarithmus nur eine Zahl. Das Umgekehrte gilt auch: Jede Zahl kann als Logarithmus geschrieben werden. Wir wissen zum Beispiel, dass \(\log_(2)(4)\) gleich zwei ist. Dann können Sie \(\log_(2)(4)\) anstelle von zwei schreiben.

Aber \(\log_(3)(9)\) ist auch gleich \(2\), also kann man auch \(2=\log_(3)(9)\) schreiben. Ebenso mit \(\log_(5)(25)\) und mit \(\log_(9)(81)\) usw. Das heißt, es stellt sich heraus

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Bei Bedarf können wir die beiden also als Logarithmus mit beliebiger Basis an beliebiger Stelle schreiben (sogar in einer Gleichung, sogar in einem Ausdruck, sogar in einer Ungleichung) – wir schreiben einfach die quadrierte Basis als Argument.

Dasselbe gilt auch für ein Tripel – es kann als \(\log_(2)(8)\), oder als \(\log_(3)(27)\) oder als \(\log_(4)( 64) \) ... Hier schreiben wir die Basis im Würfel als Argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Und mit vier:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Und mit minus eins:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Und mit einem Drittel:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Jede Zahl \(a\) kann als Logarithmus mit der Basis \(b\) dargestellt werden: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Beispiel : Finden Sie den Wert eines Ausdrucks \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lösung :

Antworten : \(1\)

Mit der Entwicklung der Gesellschaft, der Komplexität der Produktion entwickelte sich auch die Mathematik. Bewegung vom Einfachen zum Komplexen. Von der üblichen Rechenmethode der Addition und Subtraktion mit ihrer wiederholten Wiederholung gelangten sie zum Konzept der Multiplikation und Division. Die Reduktion der mehrfach wiederholten Operation wurde zum Konzept der Potenzierung. Die ersten Tabellen zur Abhängigkeit von Zahlen von der Basis und zur Potenzierung wurden bereits im 8. Jahrhundert vom indischen Mathematiker Varasena erstellt. Daraus können Sie den Zeitpunkt des Auftretens von Logarithmen abzählen.

Historischer Abriss

Die Wiederbelebung Europas im 16. Jahrhundert förderte auch die Entwicklung der Mechanik. T erforderte einen großen Rechenaufwand im Zusammenhang mit der Multiplikation und Division mehrstelliger Zahlen. Die antiken Tische haben einen großen Dienst geleistet. Sie ermöglichten es, komplexe Operationen durch einfachere zu ersetzen – Addition und Subtraktion. Ein großer Fortschritt war das 1544 veröffentlichte Werk des Mathematikers Michael Stiefel, in dem er die Idee vieler Mathematiker verwirklichte. Dadurch war es möglich, Tabellen nicht nur für Grade in Form von Primzahlen, sondern auch für beliebige rationale Zahlen zu verwenden.

Im Jahr 1614 führte der Schotte John Napier, der diese Ideen entwickelte, erstmals den neuen Begriff „Logarithmus einer Zahl“ ein. Zur Berechnung der Logarithmen von Sinus- und Cosinuswerten sowie Tangenten wurden neue komplexe Tabellen erstellt. Dies reduzierte die Arbeit der Astronomen erheblich.

Es erschienen neue Tabellen, die von Wissenschaftlern erfolgreich eingesetzt wurden drei Jahrhunderte. Bis dahin hat es lange gedauert neuer Betrieb in der Algebra erhielt es seine fertige Form. Der Logarithmus wurde definiert und seine Eigenschaften untersucht.

Erst im 20. Jahrhundert, mit dem Aufkommen des Taschenrechners und des Computers, gab die Menschheit die alten Tabellen auf, die im 13. Jahrhundert erfolgreich funktioniert hatten.

Heute nennen wir den Logarithmus von b, um die Zahl x, die die Potenz von a darstellt, aus a zu bilden und so die Zahl b zu erhalten. Dies wird als Formel geschrieben: x = log a(b).

Beispielsweise ist log 3(9) gleich 2. Dies ist offensichtlich, wenn Sie der Definition folgen. Wenn wir 3 hoch 2 erhöhen, erhalten wir 9.

Somit stellt die formulierte Definition nur eine Einschränkung dar, die Zahlen a und b müssen reell sein.

Sorten von Logarithmen

Die klassische Definition heißt reeller Logarithmus und ist eigentlich eine Lösung der Gleichung a x = b. Die Option a = 1 ist grenzwertig und uninteressant. Hinweis: 1 hoch zu jeder Potenz ist 1.

Realwert des Logarithmus Nur definiert, wenn die Basis und das Argument größer als 0 sind und die Basis nicht gleich 1 sein darf.

Besonderer Platz im Bereich der Mathematik Spielen Sie Logarithmen, die nach dem Wert ihrer Basis benannt werden:

Regeln und Einschränkungen

Die grundlegende Eigenschaft von Logarithmen ist die Regel: Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der logarithmischen Summe. log abp = log a(b) + log a(p).

Als Variante dieser Aussage lautet sie: log c (b / p) = log c (b) – log c (p), die Quotientenfunktion ist gleich der Differenz der Funktionen.

Aus den beiden vorherigen Regeln lässt sich leicht erkennen, dass: log a(b p) = p * log a(b).

Weitere Eigenschaften sind:

Kommentar. Machen Sie keinen häufigen Fehler: Der Logarithmus der Summe ist nicht gleich der Summe der Logarithmen.

Viele Jahrhunderte lang war die Berechnung des Logarithmus eine ziemlich zeitaufwändige Aufgabe. Mathematiker verwendeten die bekannte Formel der logarithmischen Theorie der Entwicklung in ein Polynom:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), wobei n eine natürliche Zahl größer als 1 ist, die die Genauigkeit der Berechnung bestimmt.

Logarithmen mit anderen Basen wurden unter Verwendung des Satzes über den Übergang von einer Basis zur anderen und der Eigenschaft des Logarithmus des Produkts berechnet.

Da diese Methode sehr aufwendig ist und bei der Lösung praktischer Probleme Da die Implementierung schwierig war, verwendeten sie vorkompilierte Logarithmentabellen, was die gesamte Arbeit erheblich beschleunigte.

In einigen Fällen wurden speziell erstellte Logarithmendiagramme verwendet, die eine geringere Genauigkeit lieferten, aber die Suche nach dem gewünschten Wert erheblich beschleunigten. Die auf mehreren Punkten aufgebaute Kurve der Funktion y = log a(x) ermöglicht es, mit dem üblichen Lineal die Werte der Funktion an jedem anderen Punkt zu ermitteln. Ingenieure lange Zeit Für diese Zwecke wurde das sogenannte Millimeterpapier verwendet.

Im 17. Jahrhundert erschienen die ersten analogen Hilfsrechenbedingungen, die dazu dienten 19. Jahrhundert ein fertiges Aussehen erhalten. Das erfolgreichste Gerät hieß Rechenschieber. Trotz der Einfachheit des Geräts beschleunigte sein Aussehen den Prozess aller technischen Berechnungen erheblich, und das kann kaum überschätzt werden. Derzeit sind nur wenige Menschen mit diesem Gerät vertraut.

Mit dem Aufkommen von Taschenrechnern und Computern war der Einsatz anderer Geräte überflüssig geworden.

Gleichungen und Ungleichungen

Die folgenden Formeln werden verwendet, um verschiedene Gleichungen und Ungleichungen mithilfe von Logarithmen zu lösen:

Übergang von einer Basis zur anderen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Als Konsequenz aus der Vorgängerversion gilt: log a(b) = 1 / log b(a).

Um Ungleichungen zu lösen, ist es nützlich zu wissen:

Der Wert des Logarithmus ist nur dann positiv, wenn sowohl die Basis als auch das Argument größer oder kleiner als eins sind; Wenn mindestens eine Bedingung verletzt ist, ist der Wert des Logarithmus negativ.
Wenn die Logarithmusfunktion auf die rechte und linke Seite der Ungleichung angewendet wird und die Basis des Logarithmus größer als eins ist, bleibt das Vorzeichen der Ungleichung erhalten; andernfalls ändert es sich.

Aufgabenbeispiele

Betrachten Sie mehrere Möglichkeiten zur Verwendung von Logarithmen und ihren Eigenschaften. Beispiele zum Lösen von Gleichungen:

Erwägen Sie die Möglichkeit, den Logarithmus in den Grad zu stellen:

Aufgabe 3. Berechnen Sie 25^log 5(3). Lösung: Unter den Bedingungen des Problems ähnelt die Notation der folgenden (5^2)^log5(3) oder 5^(2 * log 5(3)). Schreiben wir es anders: 5^log 5(3*2), oder das Quadrat einer Zahl als Funktionsargument kann als Quadrat der Funktion selbst geschrieben werden (5^log 5(3))^2. Unter Verwendung der Eigenschaften von Logarithmen ist dieser Ausdruck 3^2. Antwort: Als Ergebnis der Berechnung erhalten wir 9.

Praktischer Nutzen

Da es sich um ein rein mathematisches Werkzeug handelt, scheint es weit davon entfernt zu sein wahres Leben dass der Logarithmus plötzlich eine große Bedeutung bei der Beschreibung von Objekten erlangte echte Welt. Es ist schwierig, eine Wissenschaft zu finden, in der sie nicht genutzt wird. Dies gilt in vollem Umfang nicht nur für die naturwissenschaftlichen, sondern auch für die geisteswissenschaftlichen Wissensgebiete.

Logarithmische Abhängigkeiten

Hier einige Beispiele für numerische Abhängigkeiten:

Mechanik und Physik

Historisch gesehen haben sich Mechanik und Physik immer mit Hilfe entwickelt mathematische Methoden Forschung und diente gleichzeitig als Anstoß für die Entwicklung der Mathematik, einschließlich der Logarithmen. Die Theorie der meisten Gesetze der Physik ist in der Sprache der Mathematik verfasst. Wir geben nur zwei Beispiele für die Beschreibung physikalischer Gesetze mit dem Logarithmus.

Das Problem der Berechnung einer so komplexen Größe wie der Geschwindigkeit einer Rakete lässt sich mit der Tsiolkovsky-Formel lösen, die den Grundstein für die Theorie der Weltraumforschung legte:

V = I * ln(M1/M2), wobei

V ist die Endgeschwindigkeit des Flugzeugs.
I ist der spezifische Impuls des Motors.
M 1 ist die Anfangsmasse der Rakete.
M 2 - Endmasse.

Ein weiteres wichtiges Beispiel- Dies ist die Verwendung in der Formel eines anderen großen Wissenschaftlers, Max Planck, die zur Bewertung des Gleichgewichtszustands in der Thermodynamik dient.

S = k * ln (Ω), wobei

S ist eine thermodynamische Eigenschaft.
k ist die Boltzmann-Konstante.
Ω ist das statistische Gewicht verschiedener Zustände.

Chemie

Weniger offensichtlich wäre die Verwendung von Formeln in der Chemie, die das Verhältnis von Logarithmen enthalten. Hier nur zwei Beispiele:

Die Nernst-Gleichung, der Zustand des Redoxpotentials des Mediums im Verhältnis zur Aktivität von Stoffen und der Gleichgewichtskonstante.
Auch die Berechnung von Konstanten wie dem Autoprolyseindex und dem Säuregehalt der Lösung ist ohne unsere Funktion nicht vollständig.

Psychologie und Biologie

Und es ist völlig unverständlich, was die Psychologie damit zu tun hat. Es stellt sich heraus, dass die Stärke der Empfindung durch diese Funktion gut als das umgekehrte Verhältnis des Reizintensitätswerts zum niedrigeren Intensitätswert beschrieben wird.

Nach den obigen Beispielen ist es nicht mehr verwunderlich, dass das Thema Logarithmen auch in der Biologie weit verbreitet ist. Über biologische Formen, die logarithmischen Spiralen entsprechen, können ganze Bände geschrieben werden.

Andere Gebiete

Es scheint, dass die Existenz der Welt ohne Verbindung mit dieser Funktion unmöglich ist, und sie regelt alle Gesetze. Besonders wenn die Naturgesetze damit verbunden sind geometrischer Verlauf. Es lohnt sich, auf die Website von MatProfi zu verweisen, dort gibt es viele solcher Beispiele in den folgenden Tätigkeitsbereichen: