Die Hauptelemente des Dreiecks abc. Was ist die Winkelhalbierende eines Dreiecks: Eigenschaften im Zusammenhang mit dem Seitenverhältnis

Zu den zahlreichen Fächern der weiterführenden Schule gehört beispielsweise „Geometrie“. Traditionell wird angenommen, dass die Begründer dieser systematischen Wissenschaft die Griechen sind. Heute wird die griechische Geometrie als elementar bezeichnet, da sie mit dem Studium der einfachsten Formen begann: Ebenen, Linien und Dreiecke. Wir werden uns auf Letzteres konzentrieren, oder besser gesagt auf die Winkelhalbierende dieser Figur. Für diejenigen, die es bereits vergessen haben: Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist ein Segment der Winkelhalbierenden eines der Winkel des Dreiecks, das es in zwei Hälften teilt und den Scheitelpunkt mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet.

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks hat eine Reihe von Eigenschaften, die Sie beim Lösen bestimmter Probleme kennen müssen:

• Die Winkelhalbierende ist der Ort der Punkte, die von den an den Winkel angrenzenden Seiten gleich weit entfernt sind.
• Die Winkelhalbierende in einem Dreieck teilt die gegenüberliegende Seite des Winkels in Segmente, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind. Zum Beispiel gegebenes Dreieck MKB, bei dem aus dem Winkel K eine Winkelhalbierende hervorgeht, die den Scheitelpunkt dieses Winkels mit Punkt A auf der gegenüberliegenden Seite von MB verbindet. Nachdem wir diese Eigenschaft und unser Dreieck analysiert haben, haben wir MA/AB=MK/KB.
• Der Punkt, an dem sich die Winkelhalbierenden aller drei Winkel eines Dreiecks schneiden, ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in dasselbe Dreieck eingeschrieben ist.
• Die Basis der Winkelhalbierenden eines Außen- und zweier Innenwinkel liegen auf derselben Linie, vorausgesetzt, dass die Winkelhalbierende des Außenwinkels nicht parallel zur gegenüberliegenden Seite des Dreiecks verläuft.
• Wenn zwei Winkelhalbierende von eins, dann dies

Es ist zu beachten, dass es bei gegebenen drei Winkelhalbierenden unmöglich ist, daraus ein Dreieck zu bilden, selbst mit Hilfe eines Zirkels.

Sehr oft ist bei der Lösung von Problemen die Winkelhalbierende eines Dreiecks unbekannt, es ist jedoch notwendig, ihre Länge zu bestimmen. Um ein solches Problem zu lösen, ist es notwendig, den Winkel zu kennen, der durch die Winkelhalbierende in zwei Hälften geteilt wird, und die an diesen Winkel angrenzenden Seiten. In diesem Fall ist die gewünschte Länge definiert als das Verhältnis des Doppelprodukts der an die Ecke angrenzenden Seiten und des Kosinus des in zwei Hälften geteilten Winkels zur Summe der an die Ecke angrenzenden Seiten. Zum Beispiel gegeben das gleiche Dreieck MKB. Die Winkelhalbierende verlässt den Winkel K und schneidet die gegenüberliegende Seite von MB im Punkt A. Der Winkel, den die Winkelhalbierende verlässt, wird mit y bezeichnet. Schreiben wir nun alles, was in Worten gesagt wird, in Form einer Formel auf: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Wenn der Wert des Winkels, aus dem die Winkelhalbierende des Dreiecks hervorgeht, unbekannt ist, aber alle Seiten bekannt sind, verwenden wir zur Berechnung der Länge der Winkelhalbierenden eine zusätzliche Variable, die wir Halbumfang nennen und bezeichnen durch den Buchstaben P: P=1/2*(MK+KB+MB). Danach werden wir einige Änderungen an der vorherigen Formel vornehmen, nach der die Länge der Winkelhalbierenden bestimmt wurde, nämlich im Zähler des Bruchs das Doppelte des Produkts der Längen der an die Ecke angrenzenden Seiten durch den Halbumfang zu setzen und der Quotient, bei dem die Länge der dritten Seite vom Halbumfang abgezogen wird. Wir lassen den Nenner unverändert. In Form einer Formel sieht das so aus: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Die Winkelhalbierende eines gleichschenkligen Dreiecks hat neben gemeinsamen Eigenschaften auch mehrere eigene. Erinnern wir uns daran, was ein Dreieck ist. In einem solchen Dreieck sind zwei Seiten gleich und die Winkel neben der Grundfläche sind gleich. Daraus folgt, dass die Winkelhalbierenden, die zu den Seiten eines gleichschenkligen Dreiecks hinabsteigen, einander gleich sind. Darüber hinaus ist die zur Basis abgesenkte Winkelhalbierende zugleich Höhe und Median.

Der Innenwinkel eines Dreiecks wird als Winkelhalbierende des Dreiecks bezeichnet.
Unter der Winkelhalbierenden eines Dreiecks versteht man auch die Strecke zwischen seinem Scheitelpunkt und dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der gegenüberliegenden Seite des Dreiecks.
Satz 8. Die drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Betrachten Sie zunächst den Punkt Р des Schnittpunkts zweier Winkelhalbierenden, zum Beispiel AK 1 und VC 2. Dieser Punkt ist von den Seiten AB und AC gleich weit entfernt, da er auf der Winkelhalbierenden von Winkel A liegt, und ist von den Seiten AB und BC gleich weit entfernt, da sie zur Winkelhalbierenden von Winkel B gehören. Daher ist er von der Winkelhalbierenden gleich weit entfernt Seiten AC und BC und gehört somit zur dritten Winkelhalbierenden SK 3 , d. h. im Punkt P schneiden sich alle drei Winkelhalbierenden.
Eigenschaften der Winkelhalbierenden der Innen- und Außenwinkel eines Dreiecks
Satz 9. Die Winkelhalbierende des Innenwinkels eines Dreiecks teilt die gegenüberliegende Seite in Teile, die proportional zu den benachbarten Seiten sind.
Nachweisen. Betrachten Sie das Dreieck ABC und die Winkelhalbierende B. Zeichnen wir eine Gerade CM durch den Scheitelpunkt C parallel zur Winkelhalbierenden BK, bis sie sich im Punkt M als Verlängerung der Seite AB schneidet. Da VC die Winkelhalbierende des Winkels ABC ist, gilt ∠ ABK=∠ KBC. Außerdem gilt ∠ ABK=∠ VMS als entsprechende Winkel an parallelen Linien und ∠ KBC=∠ VCM als kreuzweise liegende Winkel an parallelen Linien. Daher ist ∠ VCM=∠ VMS, und daher ist das VMS-Dreieck gleichschenklig, daher BC=VM. Nach dem Satz über parallele Geraden, die die Seiten eines Winkels schneiden, gilt AK:K C=AB:VM=AB:BC, was bewiesen werden musste.
Satz 10 Die Winkelhalbierende des Außenwinkels B des Dreiecks ABC hat eine ähnliche Eigenschaft: Die Strecken AL und CL von den Eckpunkten A und C bis zum Schnittpunkt L der Winkelhalbierenden mit der Verlängerung der Seite AC sind proportional zu den Seiten von das Dreieck: AL: CL=AB :BC .
Diese Eigenschaft wird auf die gleiche Weise wie die vorherige bewiesen: In der Abbildung wird eine Hilfsgerade CM parallel zur Winkelhalbierenden BL eingezeichnet. Die Winkel BMC und BCM sind gleich, was bedeutet, dass die Seiten BM und BC des Dreiecks BMC gleich sind. Daraus kommen wir zu der Schlussfolgerung AL:CL=AB:BC.

Satz d4. (die erste Formel für die Winkelhalbierende): Wenn im Dreieck ABC die Strecke AL ​​die Winkelhalbierende des Winkels A ist, dann AL? = AB AC - LB LC.

Nachweisen: Sei M der Schnittpunkt der Geraden AL mit dem um das Dreieck ABC umschriebenen Kreis (Abb. 41). Der BAM-Winkel ist vereinbarungsgemäß gleich dem MAC-Winkel. Die Winkel BMA und BCA sind als eingeschriebene Winkel gleich, die auf derselben Sehne basieren. Daher sind die Dreiecke BAM und LAC in zwei Winkeln ähnlich. Daher gilt AL: AC = AB: AM. Also AL AM = AB AC<=>AL (AL + LM) = AB AC<=>AL? = AB AC – AL LM = AB AC – BL LC. Was genau bewiesen werden musste. Hinweis: Den Satz über Segmente sich schneidender Sehnen in einem Kreis und über eingeschriebene Winkel finden Sie im Thema Kreis und Kreis.

Satz d5. (zweite Formel für die Winkelhalbierende): Im Dreieck ABC mit den Seiten AB=a, AC=b und dem Winkel A gleich 2? und der Winkelhalbierenden l findet die Gleichheit statt:
l = (2ab / (a+b)) · cos?.

Nachweisen: Sei ABC ein gegebenes Dreieck, AL seine Winkelhalbierende (Abb. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Dann ist S ABC = S ALB + S ALC . Daher Absin2? = alsin? +blsin?<=>2Absin? Weil? = (a + b)lsin?<=>l = 2 (ab / (a+b)) cos?. Der Satz ist bewiesen.

Was ist die Winkelhalbierende eines Dreiecks? Auf diese Frage rennt bei manchen die berüchtigte Ratte um die Ecke und teilt die Ecke in zwei Hälften. „Wenn die Antwort „mit Humor“ lauten muss, dann ist sie vielleicht richtig. Aber aus wissenschaftlicher Sicht ist die Antwort auf Diese Frage hätte ungefähr so ​​klingen sollen: Beginnen Sie am oberen Ende der Ecke und teilen Sie diese in zwei gleiche Teile. In der Geometrie wird diese Figur auch als Segment der Winkelhalbierenden wahrgenommen, bis sie die gegenüberliegende Seite des Dreiecks schneidet. Das ist nicht falsche Meinung. Und was ist außer ihrer Definition noch über die Winkelhalbierende bekannt?

Wie jeder Ort von Punkten hat er seine eigenen Eigenschaften. Der erste von ihnen ist eher nicht einmal ein Zeichen, sondern ein Satz, der kurz wie folgt ausgedrückt werden kann: „Wenn die gegenüberliegende Seite durch eine Winkelhalbierende in zwei Teile geteilt wird, dann entspricht ihr Verhältnis dem Verhältnis der Seiten einer großen.“ Dreieck."

Die zweite Eigenschaft, die es hat: Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden aller Winkel wird Mittelpunkt genannt.

Das dritte Zeichen: Die Winkelhalbierenden eines Innen- und zweier Außenwinkel eines Dreiecks schneiden sich in der Mitte eines der drei darin eingeschriebenen Kreise.

Die vierte Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks besteht darin, dass, wenn jeder von ihnen gleich ist, der letzte gleichschenklig ist.

Das fünfte Zeichen betrifft ebenfalls ein gleichschenkliges Dreieck und ist die Hauptrichtlinie für dessen Erkennung in der Zeichnung durch Winkelhalbierende, nämlich: In einem gleichschenkligen Dreieck fungiert es gleichzeitig als Mittelwert und Höhe.

Mit Zirkel und Lineal lässt sich eine Winkelhalbierende konstruieren:

Die sechste Regel besagt, dass es unmöglich ist, ein Dreieck allein mit den verfügbaren Winkelhalbierenden zu konstruieren, ebenso wie es unmöglich ist, auf diese Weise eine Verdoppelung eines Würfels, ein Quadrat eines Kreises und eine Dreiteilung eines Winkels zu konstruieren. Streng genommen sind dies alle Eigenschaften der Winkelhalbierenden eines Dreiecks.

Wenn Sie den vorherigen Absatz sorgfältig gelesen haben, interessiert Sie vielleicht ein Satz. „Was ist die Dreiteilung eines Winkels?“ - Sie werden sicherlich fragen. Die Trisectrix ähnelt ein wenig der Winkelhalbierenden, aber wenn man letztere zeichnet, wird der Winkel in zwei gleiche Teile geteilt und bei der Konstruktion einer Dreiteilung in drei. Natürlich kann man sich die Winkelhalbierende leichter merken, da die Dreiteilung in der Schule nicht gelehrt wird. Aber der Vollständigkeit halber werde ich Ihnen davon erzählen.

Die Dreisektoren lassen sich, wie gesagt, nicht nur mit Zirkel und Lineal konstruieren, sondern man kann sie mit den Fujita-Regeln und einigen Kurven erstellen: Pascalschen Schnecken, Quadratiken, Nikomedes-Konchoiden, Kegelschnitten,

Probleme bei der Dreiteilung eines Winkels lassen sich mit Hilfe von Nevsis ganz einfach lösen.

In der Geometrie gibt es einen Satz über die Dreisektoren eines Winkels. Es wird das Morley-Theorem (Morley-Theorem) genannt. Sie gibt an, dass die Schnittpunkte der Dreisektoren in der Mitte jedes Winkels Eckpunkte sind

Ein kleines schwarzes Dreieck innerhalb eines großen Dreiecks ist immer gleichseitig. Dieser Satz wurde 1904 vom britischen Wissenschaftler Frank Morley entdeckt.

So viel können Sie über die Teilung eines Winkels lernen: Die Drei- und Winkelhalbierende eines Winkels bedürfen immer einer ausführlichen Erklärung. Aber hier wurden viele Definitionen gegeben, die ich noch nicht preisgegeben habe: Pascals Schnecke, Nikomedes-Muschel usw. Zweifellos lässt sich noch mehr über sie schreiben.

EIGENSCHAFTEN DES BISSECTOR

Eigenschaft der Winkelhalbierenden: In einem Dreieck teilt die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite in Segmente, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind.

Winkelhalbierende eines Außenwinkels Die Winkelhalbierende eines Außenwinkels eines Dreiecks schneidet die Verlängerung seiner Seite in einem Punkt, dessen Abstände zu den Enden dieser Seite jeweils proportional zu den angrenzenden Seiten des Dreiecks sind. C B A D

Formeln für die Winkelhalbierende:

Die Formel zum Ermitteln der Längen der Segmente, in die die Winkelhalbierende die gegenüberliegende Seite des Dreiecks teilt

Die Formel zum Ermitteln des Verhältnisses der Längen der Segmente, in die die Winkelhalbierende geteilt wird, durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

Aufgabe 1. Eine der Winkelhalbierenden eines Dreiecks wird durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Verhältnis 3:2 geteilt, vom Scheitelpunkt aus gezählt. Ermitteln Sie den Umfang eines Dreiecks, wenn die Länge der Seite des Dreiecks, zu der diese Winkelhalbierende gezogen wird, 12 cm beträgt.

Lösung Wir verwenden die Formel, um das Verhältnis der Längen der Segmente, in die die Winkelhalbierende geteilt wird, durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden im Dreieck zu ermitteln: 30. Antwort: P = 30 cm.

Aufgabe 2 . Die Winkelhalbierenden BD und CE ∆ ABC schneiden sich im Punkt O. AB=14, BC=6, AC=10. Finden Sie O D .

Lösung. Verwenden wir die Formel zum Ermitteln der Länge der Winkelhalbierenden: Wir haben: BD = BD = = Gemäß der Formel für das Verhältnis der Segmente, in die die Winkelhalbierende durch den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden geteilt wird: l = . 2 + 1 = 3 Teile von allem.

das ist Teil 1  OD = Antwort: OD =

Probleme In ∆ ABC werden die Winkelhalbierenden AL und BK gezeichnet. Finden Sie die Länge des Segments KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7,5, BL \u003d 5. In ∆ ABC wird die Winkelhalbierende AD gezeichnet und durch Punkt D verläuft eine gerade Linie parallel zu AC, die AB am Punkt E schneidet. Ermitteln Sie das Verhältnis der Flächen ∆ ABC und ∆ BDE, wenn AB = 5, AC = 7. Ermitteln Sie die Winkelhalbierenden der spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Schenkellängen 24 cm und 18 cm. Winkelhalbierende in einem rechtwinkligen Dreieck spitzer Winkel teilt das gegenüberliegende Bein in 4 und 5 cm lange Segmente und bestimmt die Fläche des Dreiecks.

5. In einem gleichschenkligen Dreieck betragen die Basis und die Seite 5 bzw. 20 cm. Ermitteln Sie die Winkelhalbierende an der Basis des Dreiecks. 6. Finden Sie die Winkelhalbierende eines Dreiecks, dessen Schenkel gleich a und b sind. 7. Berechnen Sie die Länge der Winkelhalbierenden A des Dreiecks ABC mit den Seitenlängen a = 18 cm, b = 15 cm, c = 12 cm. Finden Sie das Verhältnis, in dem sich die Winkelhalbierenden der Innenwinkel am Schnittpunkt teilen.

Antworten: Antwort: Antwort: Antwort: Antwort: Antwort: Antwort: Antwort: Antwort: AP = 6 AP = 10 siehe KL = CP =

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist ein gängiges geometrisches Konzept, das beim Erlernen keine großen Schwierigkeiten bereitet. Wenn man seine Eigenschaften kennt, können viele Probleme ohne große Schwierigkeiten gelöst werden. Was ist eine Winkelhalbierende? Wir werden versuchen, den Leser mit allen Geheimnissen dieser mathematischen Linie vertraut zu machen.

In Kontakt mit

Die Essenz des Konzepts

Der Name des Konzepts stammt von der Verwendung lateinischer Wörter, deren Bedeutung „bi“ – zwei, „sectio“ – geschnitten ist. Sie weisen ausdrücklich auf die geometrische Bedeutung des Konzepts hin – das Aufbrechen des Raums zwischen den Strahlen in zwei gleiche Teile.

Die Winkelhalbierende eines Dreiecks ist ein Segment, das von der Oberseite der Figur ausgeht und dessen anderes Ende auf der gegenüberliegenden Seite liegt, während es den Raum in zwei identische Teile teilt.

Viele Lehrer verwenden zum schnellen assoziativen Auswendiglernen mathematischer Konzepte durch Schüler unterschiedliche Terminologien, die in Versen oder Assoziationen dargestellt werden. Für ältere Kinder empfiehlt sich diese Definition natürlich.

Wie ist diese Zeile markiert? Dabei stützen wir uns auf die Regeln zur Bezeichnung von Segmenten bzw. Strahlen. Wenn wir redenÜber die Bezeichnung der Winkelhalbierenden einer Dreiecksfigur wird sie meist als Segment geschrieben, dessen Enden sind Scheitelpunkt und der Schnittpunkt mit der gegenüberliegenden Seite des Scheitelpunkts. Darüber hinaus wird der Beginn der Bezeichnung genau von oben geschrieben.

Aufmerksamkeit! Wie viele Winkelhalbierende hat ein Dreieck? Die Antwort liegt auf der Hand: so viele wie es Eckpunkte gibt – drei.

Eigenschaften

Zusätzlich zur Definition, Schulbuch Man kann nicht so viele Eigenschaften dieses geometrischen Konzepts finden. Die erste Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks, die Schülern vorgestellt wird, ist der eingeschriebene Mittelpunkt, und die zweite, direkt damit verbundene Eigenschaft ist die Proportionalität der Segmente. Das Fazit lautet:

1. Was auch immer die Trennlinie sein mag, es gibt Punkte darauf, die es sind im gleichen Abstand von den Seiten, die den Raum zwischen den Strahlen bilden.
2. Um einen Kreis in eine dreieckige Figur einzuschreiben, muss der Punkt bestimmt werden, an dem sich diese Segmente schneiden. Dies ist der Mittelpunkt des Kreises.
3. Teile einer Dreiecksseite geometrische Figur, in die seine Trennlinie teilt, sind im Verhältnis zu den Seiten, die den Winkel bilden.

Wir werden versuchen, die restlichen Merkmale in ein System zu bringen und zusätzliche Fakten zu präsentieren, die dazu beitragen, die Vorzüge dieses geometrischen Konzepts besser zu verstehen.

Länge

Eine der Aufgaben, die Schulkindern Schwierigkeiten bereiten, ist das Ermitteln der Länge der Winkelhalbierenden eines Dreiecks. Die erste Option, in der sich ihre Länge befindet, enthält folgende Daten:

• die Größe des Raumes zwischen den Strahlen, aus dessen Spitze das gegebene Segment hervortritt;
• die Längen der Seiten, die diesen Winkel bilden.

Um das Problem zu lösen die Formel wird verwendet, dessen Bedeutung darin besteht, das Verhältnis des doppelten Produkts der Werte der Seiten, aus denen der Winkel besteht, durch den Kosinus seiner Hälfte zur Summe der Seiten zu ermitteln.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an. Angenommen, wir erhalten eine Figur ABC, in der das Segment vom Winkel A aus gezeichnet wird und die Seite BC am Punkt K schneidet. Wir bezeichnen den Wert von A mit Y. Basierend darauf gilt AK = (2 * AB * AC * cos ( Y / 2)) / (AB + AS).

Die zweite Version des Problems, bei der die Länge der Winkelhalbierenden eines Dreiecks bestimmt wird, enthält folgende Daten:

• die Werte aller Seiten der Figur sind bekannt.

Bei der Lösung eines solchen Problems zunächst einmal Bestimmen Sie den Halbumfang. Addieren Sie dazu die Werte aller Seiten und teilen Sie sie in zwei Hälften: p = (AB + BC + AC) / 2. Als nächstes wenden wir die Berechnungsformel an, die zur Bestimmung der Länge dieses Segments im vorherigen Problem verwendet wurde. Es müssen lediglich einige Änderungen am Wesen der Formel entsprechend den neuen Parametern vorgenommen werden. Daher ist es notwendig, das Verhältnis der doppelten Wurzel zweiten Grades aus dem Produkt der Längen der an die Oberseite angrenzenden Seiten zum Halbumfang und der Differenz zwischen dem Halbumfang und der Länge von zu ermitteln die entgegengesetzte Seite zur Summe der Seiten, aus denen der Winkel besteht. Das heißt, AK \u003d (2٦AB * AC * p * (r-BC)) / (AB + AC).

Aufmerksamkeit! Um die Beherrschung des Materials zu erleichtern, können Sie auf die im Internet verfügbaren Informationen zurückgreifen komische Geschichten, erzählt von den „Abenteuern“ dieser Linie.