So lösen Sie lineare Gleichungssysteme. Gleichungssysteme mit zwei Variablen, Lösungsmethoden

Erinnern wir uns zunächst an die Definition einer Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen.

Definition 1

Ein Zahlenpaar wird als Lösung eines Gleichungssystems in zwei Variablen bezeichnet, wenn deren Einsetzen in die Gleichung zu einer echten Gleichheit führt.

In Zukunft werden wir Systeme aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen betrachten.

Existieren vier grundlegende Möglichkeiten, Gleichungssysteme zu lösen: Substitutionsmethode, Additionsmethode, grafische Methode, Methode zur Pflege neuer Variablen. Schauen wir uns diese Methoden an konkrete Beispiele. Um das Prinzip der Verwendung der ersten drei Methoden zu beschreiben, betrachten wir ein Zweiersystem lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten:

Substitutionsmethode

Die Substitutionsmethode ist wie folgt: Nehmen Sie eine dieser Gleichungen und drücken Sie $y$ durch $x$ aus, dann wird $y$ in die Systemgleichung eingesetzt, aus der die Variable $x gefunden wird.$ Danach können wir Berechnen Sie einfach die Variable $y.$

Beispiel 1

Lassen Sie uns $y$ aus der zweiten Gleichung durch $x$ ausdrücken:

Setzen wir in die erste Gleichung ein und finden $x$:

\ \ \

Finden wir $y$:

Antwort: $(-2,\ 3)$

Additionsmethode.

Schauen wir uns diese Methode anhand eines Beispiels an:

Beispiel 2

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Wenn wir die zweite Gleichung mit 3 multiplizieren, erhalten wir:

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(array) \right.\]

Nun addieren wir beide Gleichungen:

\ \ \

Finden wir $y$ aus der zweiten Gleichung:

\[-6-y=-9\] \

Antwort: $(-2,\ 3)$

Anmerkung 1

Beachten Sie, dass es bei dieser Methode notwendig ist, eine oder beide Gleichungen mit solchen Zahlen zu multiplizieren, dass bei der Addition eine der Variablen „verschwindet“.

Grafische Methode

Die grafische Methode ist wie folgt: Beide Gleichungen des Systems werden auf der Koordinatenebene dargestellt und der Schnittpunkt ermittelt.

Beispiel 3

\[\left\( \begin(array)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(array) \right.\]

Lassen Sie uns $y$ aus beiden Gleichungen durch $x$ ausdrücken:

\[\left\( \begin(array)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(array) \right.\]

Lassen Sie uns beide Diagramme auf derselben Ebene darstellen:

Bild 1.

Antwort: $(-2,\ 3)$

Methode zur Einführung neuer Variablen

Schauen wir uns diese Methode anhand des folgenden Beispiels an:

Beispiel 4

\[\left\( \begin(array)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \right .\]

Lösung.

Dieses System entspricht dem System

\[\left\( \begin(array)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(array) \ Rechts.\]

Sei $2^x=u\ (u>0)$ und $3^y=v\ (v>0)$, wir erhalten:

\[\left\( \begin(array)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(array) \right.\]

Lösen wir das resultierende System mit der Additionsmethode. Addieren wir die Gleichungen:

\ \

Dann erhalten wir das aus der zweiten Gleichung

Zurück zum Ersatz erhalten wir neues System Exponentialgleichungen:

\[\left\( \begin(array)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(array) \right.\]

Wir bekommen:

\[\left\( \begin(array)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(array) \right.\]

Anweisungen

Additionsmethode.
Sie müssen zwei streng untereinander schreiben:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Fügen Sie in einer willkürlich gewählten (aus dem System) Gleichung die Zahl 11 anstelle des bereits gefundenen „Spiels“ ein und berechnen Sie die zweite Unbekannte:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Die Antwort auf dieses Gleichungssystem lautet x=116, y=11.

Grafische Methode.
Es besteht darin, praktisch die Koordinaten des Punktes zu finden, an dem die Linien mathematisch in ein Gleichungssystem geschrieben werden. Die Diagramme beider Linien sollten separat im selben Koordinatensystem gezeichnet werden. Gesamtansicht: – y=khx+b. Um eine Gerade zu konstruieren, reicht es aus, die Koordinaten zweier Punkte zu ermitteln, und x wird willkürlich gewählt.
Das System sei gegeben: 2x – y=4

Y=-3x+1.
Mit der ersten wird eine Gerade konstruiert, der Einfachheit halber sollte man sie aufschreiben: y=2x-4. Ermitteln Sie (einfachere) Werte für x, setzen Sie sie in die Gleichung ein, lösen Sie sie und finden Sie y. Wir erhalten zwei Punkte, entlang derer eine Gerade konstruiert wird. (siehe Bild)
x 0 1

y -4 -2
Eine gerade Linie wird mit der zweiten Gleichung konstruiert: y=-3x+1.
Konstruieren Sie außerdem eine gerade Linie. (siehe Bild)

Jahr 1 -5
Finden Sie die Koordinaten des Schnittpunkts zweier konstruierter Linien im Diagramm (wenn sich die Linien nicht schneiden, dann hat das Gleichungssystem keine - also).

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Hilfreicher Rat

Wenn das gleiche Gleichungssystem durch drei gelöst wird verschiedene Wege, wird die Antwort dieselbe sein (wenn die Lösung richtig ist).

Quellen:

• Algebra der 8. Klasse
• Lösen Sie online eine Gleichung mit zwei Unbekannten
• Beispiele für die Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei

System Gleichungen ist eine Sammlung mathematischer Datensätze, von denen jeder eine Reihe von Variablen enthält. Es gibt mehrere Möglichkeiten, sie zu lösen.

Du wirst brauchen

• -Lineal und Bleistift;
• -Taschenrechner.

Anweisungen

Betrachten wir die Reihenfolge der Lösung des Systems, das aus linearen Gleichungen der Form besteht: a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2. Dabei sind x und y unbekannte Variablen und b,c freie Terme. Bei der Anwendung dieser Methode stellt jedes System die Koordinaten der Punkte dar, die jeder Gleichung entsprechen. Drücken Sie zunächst jeweils eine Variable durch eine andere aus. Setzen Sie dann die Variable x auf eine beliebige Anzahl von Werten. Zwei reichen aus. Setzen Sie es in die Gleichung ein und finden Sie y. Konstruieren Sie ein Koordinatensystem, markieren Sie darauf die resultierenden Punkte und ziehen Sie eine Linie durch sie. Ähnliche Berechnungen müssen für andere Teile des Systems durchgeführt werden.

Das System hat eine eindeutige Lösung, wenn sich die konstruierten Linien schneiden und eins gemeinsamer Punkt. Es ist inkompatibel, wenn es parallel zueinander ist. Und es gibt unendlich viele Lösungen, wenn die Linien miteinander verschmelzen.

Diese Methode gilt als sehr visuell. Der Hauptnachteil besteht darin, dass die berechneten Unbekannten Näherungswerte haben. Genauere Ergebnisse liefern die sogenannten algebraischen Methoden.

Jede Lösung eines Gleichungssystems ist es wert, überprüft zu werden. Ersetzen Sie dazu die resultierenden Werte anstelle der Variablen. Sie können die Lösung auch mit verschiedenen Methoden finden. Wenn die Lösung des Systems richtig ist, sollten alle gleich ausfallen.

Oft gibt es Gleichungen, in denen einer der Terme unbekannt ist. Um eine Gleichung zu lösen, müssen Sie sich eine bestimmte Reihe von Aktionen mit diesen Zahlen merken und diese ausführen.

Du wirst brauchen

• - Blatt Papier;
• - Kugelschreiber oder Bleistift.

Anweisungen

Stellen Sie sich vor, vor Ihnen stehen 8 Kaninchen und Sie haben nur 5 Karotten. Denken Sie darüber nach, Sie müssen noch mehr Karotten kaufen, damit jedes Kaninchen eine bekommt.

Stellen wir dieses Problem in Form einer Gleichung dar: 5 + x = 8. Ersetzen wir x durch die Zahl 3. Tatsächlich ist 5 + 3 = 8.

Wenn Sie x durch eine Zahl ersetzt haben, haben Sie dasselbe getan, als hätten Sie 5 von 8 subtrahiert. Also, finden Unbekannt Term: Subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Nehmen wir an, Sie haben 20 Kaninchen und nur 5 Karotten. Lass es uns nachholen. Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die nur für bestimmte Werte der darin enthaltenen Buchstaben gilt. Die Buchstaben, deren Bedeutung gefunden werden muss, heißen . Schreiben Sie eine Gleichung mit einer Unbekannten und nennen Sie sie x. Wenn wir unser Kaninchenproblem lösen, erhalten wir die folgende Gleichung: 5 + x = 20.

Finden wir die Differenz zwischen 20 und 5. Beim Subtrahieren wird die Zahl, von der subtrahiert wird, reduziert. Die Zahl, die subtrahiert wird, heißt , und das Endergebnis heißt Differenz. Also, x = 20 – 5; x = 15. Sie müssen 15 Karotten für die Kaninchen kaufen.

Überprüfen Sie: 5 + 15 = 20. Die Gleichung ist richtig gelöst. Natürlich wann wir reden über Bei so einfachen Fällen ist eine Überprüfung nicht erforderlich. Wenn Sie jedoch Gleichungen mit dreistelligen, vierstelligen usw. Zahlen haben, müssen Sie diese unbedingt überprüfen, um absolut sicher zu sein, dass das Ergebnis Ihrer Arbeit sicher ist.

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Hilfreicher Rat

Um den unbekannten Minuenden zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz addieren.

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, müssen Sie die Differenz vom Minuend subtrahieren.

Tipp 4: So lösen Sie ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten

Ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten kann trotz einer ausreichenden Anzahl von Gleichungen keine Lösungen haben. Sie können versuchen, es mit der Substitutionsmethode oder der Cramer-Methode zu lösen. Mit der Cramer-Methode können Sie nicht nur das System lösen, sondern auch bewerten, ob das System lösbar ist, bevor Sie die Werte der Unbekannten ermitteln.

Anweisungen

Die Substitutionsmethode besteht darin, nacheinander eine Unbekannte durch zwei andere zu ersetzen und das resultierende Ergebnis in die Gleichungen des Systems einzusetzen. Gegeben sei ein System aus drei Gleichungen in allgemeiner Form:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Drücken Sie x aus der ersten Gleichung aus: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - und setzen Sie es in die zweite und dritte Gleichung ein. Drücken Sie dann y aus der zweiten Gleichung aus und setzen Sie es in die dritte ein. Über die Koeffizienten der Systemgleichungen erhalten Sie einen linearen Ausdruck für z. Gehen Sie nun „rückwärts“: Setzen Sie z in die zweite Gleichung ein und finden Sie y, setzen Sie dann z und y in die erste ein und lösen Sie nach x auf. Der Vorgang ist im Allgemeinen in der Abbildung dargestellt, bevor z. Weiteres Schreiben in allgemeiner Form wird zu umständlich sein; in der Praxis kann man durch Ersetzen von ganz einfach alle drei Unbekannten finden.

Die Methode von Cramer besteht aus der Konstruktion einer Systemmatrix und der Berechnung der Determinante dieser Matrix sowie drei weiterer Hilfsmatrizen. Die Systemmatrix besteht aus Koeffizienten für die unbekannten Terme der Gleichungen. Eine Spalte, die die Zahlen auf der rechten Seite von Gleichungen enthält, eine Spalte mit rechten Seiten. Es wird nicht im System verwendet, sondern beim Lösen des Systems.

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beachten Sie

Alle Gleichungen im System müssen unabhängig von anderen Gleichungen zusätzliche Informationen liefern. Andernfalls ist das System unterbestimmt und es kann keine eindeutige Lösung gefunden werden.

Hilfreicher Rat

Nachdem Sie das Gleichungssystem gelöst haben, setzen Sie die gefundenen Werte in das ursprüngliche System ein und prüfen Sie, ob sie alle Gleichungen erfüllen.

Von selbst Die gleichung mit drei Unbekannt hat viele Lösungen, daher wird es meistens durch zwei weitere Gleichungen oder Bedingungen ergänzt. Abhängig von den Ausgangsdaten wird der weitere Verlauf der Entscheidung maßgeblich abhängen.

Du wirst brauchen

• - ein System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten.

Anweisungen

Wenn zwei der drei Systeme nur zwei der drei Unbekannten haben, versuchen Sie, einige Variablen durch die anderen auszudrücken und sie durch diese zu ersetzen Die gleichung mit drei Unbekannt. Ihr Ziel ist es in diesem Fall, es wieder in den Normalzustand zu versetzen Die gleichung mit einer unbekannten Person. Wenn dies der Fall ist, ist die weitere Lösung ganz einfach: Setzen Sie den gefundenen Wert in andere Gleichungen ein und finden Sie alle anderen Unbekannten.

Einige Gleichungssysteme können von einer Gleichung durch eine andere subtrahiert werden. Prüfen Sie, ob es möglich ist, eine Variable oder eine Variable so zu multiplizieren, dass zwei Unbekannte gleichzeitig gelöscht werden. Wenn es eine solche Gelegenheit gibt, nutzen Sie sie; höchstwahrscheinlich wird die spätere Lösung nicht schwierig sein. Denken Sie daran, dass Sie beim Multiplizieren mit einer Zahl sowohl die linke als auch die rechte Seite multiplizieren müssen. Ebenso müssen Sie beim Subtrahieren von Gleichungen bedenken, dass auch die rechte Seite subtrahiert werden muss.

Wenn bisherige Methoden Hat nicht geholfen, verwenden Sie die allgemeine Methode zum Lösen von Gleichungen mit drei Unbekannt. Schreiben Sie dazu die Gleichungen in der Form a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3 um. Erstellen Sie nun eine Matrix aus Koeffizienten für x (A), eine Matrix aus Unbekannten (X) und eine Matrix aus freien Einsen (B). Bitte beachten Sie, dass Sie durch Multiplikation der Koeffizientenmatrix mit der Unbekanntenmatrix eine Matrix freier Terme erhalten, d. h. A*X=B.

Finden Sie die Matrix A hoch (-1), indem Sie zunächst finden. Beachten Sie, dass sie nicht gleich Null sein sollte. Anschließend multiplizieren Sie die resultierende Matrix mit der Matrix B. Als Ergebnis erhalten Sie die gewünschte Matrix X mit Angabe aller Werte.

Mit der Cramer-Methode können Sie auch eine Lösung für ein System aus drei Gleichungen finden. Finden Sie dazu die Determinante ∆ dritter Ordnung, die der Systemmatrix entspricht. Finden Sie dann nacheinander drei weitere Determinanten ∆1, ∆2 und ∆3 und ersetzen Sie die Werte der freien Terme anstelle der Werte der entsprechenden Spalten. Finden Sie nun x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Quellen:

• Lösungen für Gleichungen mit drei Unbekannten

Wenn Sie mit der Lösung eines Gleichungssystems beginnen, überlegen Sie, um welche Art von Gleichungen es sich handelt. Methoden zur Lösung linearer Gleichungen sind recht gut untersucht. Nichtlineare Gleichungen werden meist nicht gelöst. Es gibt nur einen Sonderfall, der praktisch jeweils individuell ist. Daher sollte das Studium der Lösungstechniken mit linearen Gleichungen beginnen. Solche Gleichungen können sogar rein algorithmisch gelöst werden.

Die Nenner der gefundenen Unbekannten sind genau gleich. Ja, und die Zähler weisen in ihrer Konstruktion einige Muster auf. Wenn die Dimension des Gleichungssystems größer als zwei wäre, würde die Eliminationsmethode zu sehr umständlichen Berechnungen führen. Um sie zu vermeiden, wurden rein algorithmische Lösungen entwickelt. Der einfachste davon ist der Cramer-Algorithmus (Cramer-Formeln). Denn Sie sollten es herausfinden allgemeines System Gleichungen aus n Gleichungen.

Ein System aus n linearen algebraischen Gleichungen mit n Unbekannten hat die Form (siehe Abb. 1a). Darin sind aij die Koeffizienten des Systems,
xj – Unbekannte, bi – freie Terme (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Ein solches System kann kompakt in der Matrixform AX=B geschrieben werden. Dabei ist A die Matrix der Systemkoeffizienten, X die Spaltenmatrix der Unbekannten und B die Spaltenmatrix der freien Terme (siehe Abbildung 1b). Nach der Methode von Cramer ist jedes Unbekannte xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Die Determinante ∆ der Koeffizientenmatrix wird als Hauptdeterminante und ∆i als Hilfsdeterminante bezeichnet. Für jede Unbekannte wird die Hilfsdeterminante ermittelt, indem die i-te Spalte der Hauptdeterminante durch eine Spalte mit freien Termen ersetzt wird. Das Cramer-Verfahren für den Fall von Systemen zweiter und dritter Ordnung ist in Abb. detailliert dargestellt. 2.

Das System ist eine Kombination aus zwei oder mehr Gleichheiten, von denen jede zwei oder mehr Unbekannte enthält. Es gibt zwei Hauptmethoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme, die darin verwendet werden Lehrplan. Eine davon heißt Methode, die andere Additionsmethode.

Standardform eines Systems aus zwei Gleichungen

Bei Standardform Die erste Gleichung hat die Form a1*x+b1*y=c1, die zweite Gleichung hat die Form a2*x+b2*y=c2 und so weiter. Im Fall von zwei Teilen des Systems sind beispielsweise a1, a2, b1, b2, c1, c2 einige numerische Koeffizienten, die in bestimmten Gleichungen dargestellt werden. x und y stellen wiederum Unbekannte dar, deren Werte bestimmt werden müssen. Die erforderlichen Werte verwandeln beide Gleichungen gleichzeitig in echte Gleichheiten.

Lösen des Systems mit der Additionsmethode

Um das System zu lösen, also die Werte von x und y zu finden, die sie in echte Gleichheiten umwandeln, müssen Sie mehrere einfache Schritte unternehmen. Die erste davon besteht darin, eine der beiden Gleichungen so umzuwandeln, dass die numerischen Koeffizienten für die Variable x oder y in beiden Gleichungen die gleiche Größe, aber unterschiedliche Vorzeichen haben.

Angenommen, es liegt ein System vor, das aus zwei Gleichungen besteht. Der erste davon hat die Form 2x+4y=8, der zweite die Form 6x+2y=6. Eine Möglichkeit, die Aufgabe zu lösen, besteht darin, die zweite Gleichung mit einem Koeffizienten von -2 zu multiplizieren, was zu der Form -12x-4y=-12 führt. Die richtige Wahl des Koeffizienten ist eine der Schlüsselaufgaben bei der Lösung eines Systems mit der Additionsmethode, da sie den gesamten weiteren Ablauf des Verfahrens zur Suche von Unbekannten bestimmt.

Nun müssen die beiden Gleichungen des Systems addiert werden. Offensichtlich führt die gegenseitige Zerstörung von Variablen mit Koeffizienten mit gleichem Wert, aber entgegengesetztem Vorzeichen zu der Form -10x=-4. Danach muss diese einfache Gleichung gelöst werden, aus der eindeutig folgt, dass x = 0,4.

Der letzte Schritt Im Lösungsprozess wird der gefundene Wert einer der Variablen durch eine der im System verfügbaren Anfangsgleichungen ersetzt. Wenn Sie beispielsweise x=0,4 in die erste Gleichung einsetzen, erhalten Sie den Ausdruck 2*0,4+4y=8, woraus y=1,8 resultiert. Somit sind x=0,4 und y=1,8 die Wurzeln des Beispielsystems.

Um sicherzustellen, dass die Wurzeln korrekt gefunden wurden, ist es sinnvoll, die gefundenen Werte durch Einsetzen in die zweite Gleichung des Systems zu überprüfen. Zum Beispiel in in diesem Fall wir erhalten eine Gleichheit der Form 0,4*6+1,8*2=6, was wahr ist.

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Das Lösen linearer algebraischer Gleichungssysteme (SLAEs) ist zweifellos das wichtigste Thema in einem Kurs über lineare Algebra. Bei einer Vielzahl von Problemen aus allen Bereichen der Mathematik geht es darum, lineare Gleichungssysteme zu lösen. Diese Faktoren erklären den Grund für diesen Artikel. Das Material des Artikels ist so ausgewählt und strukturiert, dass Sie es mit seiner Hilfe tun können

• Wählen Sie die optimale Methode zur Lösung Ihres Systems linearer algebraischer Gleichungen.
• die Theorie der gewählten Methode studieren,
• Lösen Sie Ihr lineares Gleichungssystem, indem Sie detaillierte Lösungen typischer Beispiele und Probleme berücksichtigen.

Kurze Beschreibung des Artikelmaterials.

Zunächst geben wir alle notwendigen Definitionen, Konzepte und führen Notationen ein.

Als nächstes betrachten wir Methoden zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl unbekannter Variablen ist und die eine eindeutige Lösung haben. Erstens konzentrieren wir uns auf die Cramer-Methode, zweitens zeigen wir die Matrixmethode zur Lösung solcher Gleichungssysteme und drittens analysieren wir die Gauß-Methode (die Methode der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen). Um die Theorie zu festigen, werden wir auf jeden Fall mehrere SLAEs auf unterschiedliche Weise lösen.

Danach werden wir mit der Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme fortfahren Gesamtansicht, bei dem die Anzahl der Gleichungen nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen übereinstimmt oder die Hauptmatrix des Systems singulär ist. Formulieren wir das Kronecker-Capelli-Theorem, das es uns ermöglicht, die Kompatibilität von SLAEs festzustellen. Lassen Sie uns die Lösung von Systemen (sofern sie kompatibel sind) anhand des Konzepts einer Basis-Minor-Matrix analysieren. Wir werden auch die Gauß-Methode betrachten und die Lösungen der Beispiele ausführlich beschreiben.

Wir werden uns auf jeden Fall mit der Struktur der allgemeinen Lösung homogener und inhomogener Systeme linearer algebraischer Gleichungen befassen. Geben wir das Konzept eines fundamentalen Lösungssystems und zeigen wir, wie die allgemeine Lösung eines SLAE unter Verwendung der Vektoren des fundamentalen Lösungssystems geschrieben wird. Zum besseren Verständnis schauen wir uns einige Beispiele an.

Abschließend betrachten wir Gleichungssysteme, die auf lineare reduziert werden können, sowie verschiedene Probleme, bei deren Lösung SLAEs entstehen.

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Definitionen, Konzepte, Bezeichnungen.

Wir betrachten Systeme von p linearen algebraischen Gleichungen mit n unbekannten Variablen (p kann gleich n sein) der Form

Unbekannte Variablen, - Koeffizienten (einige reelle oder komplexe Zahlen), - freie Terme (auch reelle oder komplexe Zahlen).

Diese Form der Aufzeichnung wird SLAE genannt Koordinate.

IN Matrixform Das Schreiben dieses Gleichungssystems hat die Form:
Wo - die Hauptmatrix des Systems, - eine Spaltenmatrix unbekannter Variablen, - eine Spaltenmatrix freier Terme.

Wenn wir der Matrix A als (n+1)-te Spalte eine Matrixspalte freier Terme hinzufügen, erhalten wir die sogenannte erweiterte Matrix Systeme linearer Gleichungen. Normalerweise wird die erweiterte Matrix mit dem Buchstaben T bezeichnet und die Spalte der freien Begriffe wird getrennt vertikale Linie aus den übrigen Spalten, also

Lösen eines Systems linearer algebraischer Gleichungen bezeichnet eine Menge von Werten unbekannter Variablen, die alle Gleichungen des Systems in Identitäten umwandelt. Auch die Matrixgleichung für gegebene Werte der unbekannten Variablen wird zu einer Identität.

Wenn ein Gleichungssystem mindestens eine Lösung hat, heißt es gemeinsam.

Wenn ein Gleichungssystem keine Lösungen hat, heißt es nicht gelenkig.

Wenn ein SLAE eine eindeutige Lösung hat, wird es aufgerufen bestimmt; wenn es mehr als eine Lösung gibt, dann – unsicher.

Wenn die freien Terme aller Gleichungen des Systems gleich Null sind , dann wird das System aufgerufen homogen, sonst - heterogen.

Lösung elementarer Systeme linearer algebraischer Gleichungen.

Wenn die Anzahl der Gleichungen eines Systems gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante seiner Hauptmatrix ungleich Null ist, werden solche SLAEs aufgerufen elementar. Solche Gleichungssysteme haben eine eindeutige Lösung, und im Fall eines homogenen Systems sind alle unbekannten Variablen gleich Null.

Wir begannen, solche SLAEs zu studieren weiterführende Schule. Als wir sie lösten, nahmen wir eine Gleichung, drückten eine unbekannte Variable durch andere aus und setzten sie in die übrigen Gleichungen ein, dann nahmen wir die nächste Gleichung, drückten die nächste unbekannte Variable aus und setzten sie in andere Gleichungen ein und so weiter. Oder sie verwendeten die Additionsmethode, das heißt, sie fügten zwei oder mehr Gleichungen hinzu, um einige unbekannte Variablen zu eliminieren. Wir werden nicht näher auf diese Methoden eingehen, da es sich im Wesentlichen um Modifikationen der Gauß-Methode handelt.

Die wichtigsten Methoden zur Lösung elementarer linearer Gleichungssysteme sind die Cramer-Methode, die Matrixmethode und die Gauß-Methode. Sortieren wir sie.

Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Cramer-Methode.

Angenommen, wir müssen ein System linearer algebraischer Gleichungen lösen

in dem die Anzahl der Gleichungen gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist und die Determinante der Hauptmatrix des Systems von Null verschieden ist, also .

Sei die Determinante der Hauptmatrix des Systems und - Determinanten von Matrizen, die aus A durch Ersetzung gewonnen werden 1., 2., …, n Spalte bzw. zur Spalte der freien Mitglieder:

Mit dieser Notation werden unbekannte Variablen mit den Formeln der Cramer-Methode berechnet als . Auf diese Weise wird die Lösung eines Systems linearer algebraischer Gleichungen mit der Methode von Cramer gefunden.

Beispiel.

Cramers Methode .

Lösung.

Die Hauptmatrix des Systems hat die Form . Berechnen wir seine Determinante (siehe ggf. den Artikel):

Da die Determinante der Hauptmatrix des Systems ungleich Null ist, verfügt das System über eine eindeutige Lösung, die mit der Cramer-Methode gefunden werden kann.

Lassen Sie uns die notwendigen Determinanten zusammenstellen und berechnen (Wir erhalten die Determinante, indem wir die erste Spalte in Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen, die Determinante, indem wir die zweite Spalte durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen und indem wir die dritte Spalte der Matrix A durch eine Spalte mit freien Termen ersetzen.) :

Unbekannte Variablen mithilfe von Formeln finden :

Antwort:

Der Hauptnachteil der Methode von Cramer (wenn man ihn überhaupt als Nachteil bezeichnen kann) ist die Komplexität der Berechnung von Determinanten, wenn die Anzahl der Gleichungen im System mehr als drei beträgt.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen mit der Matrixmethode (unter Verwendung einer inversen Matrix).

Es sei ein System linearer algebraischer Gleichungen in Matrixform gegeben, wobei die Matrix A die Dimension n mal n hat und ihre Determinante ungleich Null ist.

Da Matrix A invertierbar ist, liegt eine inverse Matrix vor. Wenn wir beide Seiten der Gleichheit mit links multiplizieren, erhalten wir eine Formel zum Finden einer Matrixspalte unbekannter Variablen. Auf diese Weise haben wir mithilfe der Matrixmethode eine Lösung für ein System linearer algebraischer Gleichungen erhalten.

Beispiel.

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Matrixmethode.

Lösung.

Schreiben wir das Gleichungssystem in Matrixform um:

Als

dann kann der SLAE mit der Matrixmethode gelöst werden. Mit der inversen Matrix kann die Lösung dieses Systems gefunden werden als .

Konstruieren wir eine inverse Matrix unter Verwendung einer Matrix aus algebraischen Additionen von Elementen der Matrix A (siehe ggf. den Artikel):

Es bleibt die Matrix unbekannter Variablen durch Multiplikation der inversen Matrix zu berechnen zu einer Matrixspalte freier Mitglieder (siehe ggf. den Artikel):

Antwort:

oder in einer anderen Notation x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Das Hauptproblem beim Finden von Lösungen für Systeme linearer algebraischer Gleichungen mithilfe der Matrixmethode ist die Komplexität des Findens der inversen Matrix, insbesondere für quadratische Matrizen mit einer höheren Ordnung als der dritten Ordnung.

Lösen linearer Gleichungssysteme mit der Gauß-Methode.

Angenommen, wir müssen eine Lösung für ein System aus n linearen Gleichungen mit n unbekannten Variablen finden
deren Determinante von Null verschieden ist.

Die Essenz der Gauß-Methode besteht aus dem sequentiellen Ausschluss unbekannter Variablen: Zuerst wird x 1 aus allen Gleichungen des Systems ausgeschlossen, beginnend mit der zweiten, dann wird x 2 aus allen Gleichungen ausgeschlossen, beginnend mit der dritten usw., bis nur noch die unbekannte Variable x n bleibt in der letzten Gleichung. Dieser Prozess der Transformation von Systemgleichungen zur sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen wird aufgerufen direkte Gaußsche Methode. Nach Abschluss des Vorwärtshubs der Gaußschen Methode wird x n aus der letzten Gleichung ermittelt, unter Verwendung dieses Werts aus der vorletzten Gleichung wird x n-1 berechnet und so weiter wird x 1 aus der ersten Gleichung ermittelt. Der Prozess der Berechnung unbekannter Variablen beim Übergang von der letzten Gleichung des Systems zur ersten wird aufgerufen Umkehrung der Gaußschen Methode.

Beschreiben wir kurz den Algorithmus zur Eliminierung unbekannter Variablen.

Wir gehen davon aus, dass wir dies immer erreichen können, indem wir die Gleichungen des Systems neu ordnen. Eliminieren wir die unbekannte Variable x 1 aus allen Gleichungen des Systems, beginnend mit der zweiten. Dazu addieren wir zur zweiten Gleichung des Systems die erste, multipliziert mit , zur dritten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die erste, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen

wo und .

Wir wären zum gleichen Ergebnis gekommen, wenn wir x 1 durch andere unbekannte Variablen in der ersten Gleichung des Systems ausgedrückt und den resultierenden Ausdruck in alle anderen Gleichungen eingesetzt hätten. Somit wird die Variable x 1 ab der zweiten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes gehen wir ähnlich vor, allerdings nur mit einem Teil des resultierenden Systems, der in der Abbildung markiert ist

Dazu addieren wir zur dritten Gleichung des Systems die zweite, multipliziert mit , zur vierten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit usw., zur n-ten Gleichung addieren wir die zweite, multipliziert mit . Das Gleichungssystem wird nach solchen Transformationen die Form annehmen

wo und . Somit wird die Variable x 2 ab der dritten aus allen Gleichungen ausgeschlossen.

Als nächstes eliminieren wir die Unbekannte x 3, während wir mit dem in der Abbildung markierten Teil des Systems ähnlich vorgehen

Also setzen wir die direkte Weiterentwicklung der Gaußschen Methode fort, bis das System die Form annimmt

Von diesem Moment an beginnen wir mit der Umkehrung der Gaußschen Methode: Wir berechnen x n aus der letzten Gleichung als , unter Verwendung des erhaltenen Werts von x n ermitteln wir x n-1 aus der vorletzten Gleichung und so weiter ermitteln wir x 1 aus der ersten Gleichung .

Beispiel.

Lösen Sie ein lineares Gleichungssystem Gauß-Methode.

Lösung.

Lassen Sie uns die unbekannte Variable x 1 aus der zweiten und dritten Gleichung des Systems ausschließen. Dazu addieren wir auf beiden Seiten der zweiten und dritten Gleichung die entsprechenden Teile der ersten Gleichung, multipliziert mit bzw. mit:

Jetzt eliminieren wir x 2 aus der dritten Gleichung, indem wir zu ihrer linken und rechten Seite die linke und rechte Seite der zweiten Gleichung addieren, multipliziert mit:

Damit ist der Vorwärtshub der Gauß-Methode abgeschlossen; wir beginnen mit dem Rückwärtshub.

Aus der letzten Gleichung des resultierenden Gleichungssystems finden wir x 3:

Aus der zweiten Gleichung erhalten wir .

Aus der ersten Gleichung ermitteln wir die verbleibende unbekannte Variable und vervollständigen damit die Umkehrung der Gauß-Methode.

Antwort:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Im Allgemeinen stimmt die Anzahl der Gleichungen des Systems p nicht mit der Anzahl der unbekannten Variablen n überein:

Solche SLAEs haben möglicherweise keine Lösungen, eine einzige Lösung oder unendlich viele Lösungen. Diese Aussage gilt auch für Gleichungssysteme, deren Hauptmatrix quadratisch und singulär ist.

Kronecker-Capelli-Theorem.

Bevor eine Lösung für ein lineares Gleichungssystem gefunden werden kann, muss dessen Kompatibilität festgestellt werden. Die Antwort auf die Frage, wann SLAE kompatibel und wann inkonsistent ist, lautet: Kronecker-Capelli-Theorem:
Damit ein System von p Gleichungen mit n Unbekannten (p kann gleich n sein) konsistent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der Hauptmatrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist , Rang(A)=Rang(T).

Betrachten wir als Beispiel die Anwendung des Kronecker-Capelli-Theorems zur Bestimmung der Kompatibilität eines linearen Gleichungssystems.

Beispiel.

Finden Sie heraus, ob das System linearer Gleichungen hat Lösungen.

Lösung.

. Lassen Sie uns die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen anwenden. Moll zweiter Ordnung verschieden von Null. Schauen wir uns die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung an:

Da alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung gleich Null sind, ist der Rang der Hauptmatrix gleich zwei.

Im Gegenzug der Rang der erweiterten Matrix ist gleich drei, da das Moll dritter Ordnung ist

verschieden von Null.

Auf diese Weise, Rang(A) können wir daher unter Verwendung des Kronecker-Capelli-Theorems schlussfolgern, dass das ursprüngliche System linearer Gleichungen inkonsistent ist.

Antwort:

Das System hat keine Lösungen.

Wir haben also gelernt, die Inkonsistenz eines Systems mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems festzustellen.

Aber wie findet man eine Lösung für ein SLAE, wenn dessen Kompatibilität festgestellt wurde?

Dazu benötigen wir das Konzept einer Basis-Minor-Matrix und einen Satz über den Rang einer Matrix.

Der Minor der höchsten Ordnung der Matrix A, der von Null verschieden ist, wird aufgerufen Basic.

Aus der Definition einer Basis Minor folgt, dass ihre Ordnung gleich dem Rang der Matrix ist. Für eine Matrix A ungleich Null kann es mehrere Basis-Minor-Matrixen geben; es gibt immer eine Basis-Minor-Matrix.

Betrachten Sie zum Beispiel die Matrix .

Alle Minderjährigen dritter Ordnung dieser Matrix sind gleich Null, da die Elemente der dritten Zeile dieser Matrix die Summe der entsprechenden Elemente der ersten und zweiten Zeile sind.

Die folgenden Minderjährigen zweiter Ordnung sind einfach, da sie ungleich Null sind

Minderjährige sind nicht grundlegend, da sie gleich Null sind.

Matrixrangsatz.

Wenn der Rang einer Matrix der Ordnung p mal n gleich r ist, werden alle Zeilen- (und Spalten-) Elemente der Matrix, die nicht die gewählte Basis-Minor bilden, linear durch die entsprechenden bildenden Zeilen- (und Spalten-) Elemente ausgedrückt das Basis-Moll.

Was sagt uns der Matrixrangsatz?

Wenn wir gemäß dem Kronecker-Capelli-Theorem die Kompatibilität des Systems festgestellt haben, wählen wir eine beliebige Basisminor der Hauptmatrix des Systems (ihre Ordnung ist gleich r) und schließen alle Gleichungen, die dies tun, aus dem System aus nicht das gewählte Basis-Moll bilden. Der auf diese Weise erhaltene SLAE entspricht dem ursprünglichen, da die verworfenen Gleichungen immer noch redundant sind (gemäß dem Matrixrangsatz handelt es sich um eine Linearkombination der verbleibenden Gleichungen).

Infolgedessen sind nach dem Verwerfen unnötiger Gleichungen des Systems zwei Fälle möglich.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden System gleich der Anzahl der unbekannten Variablen ist, dann ist es eindeutig und die einzige Lösung kann mit der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode gefunden werden.

Beispiel.

.

Lösung.

Rang der Hauptmatrix des Systems ist gleich zwei, da das Moll zweiter Ordnung ist verschieden von Null. Erweiterter Matrixrang ist ebenfalls gleich zwei, da das einzige Moll dritter Ordnung Null ist

und der oben betrachtete Moll zweiter Ordnung ist von Null verschieden. Basierend auf dem Kronecker-Capelli-Theorem können wir die Kompatibilität des ursprünglichen linearen Gleichungssystems behaupten, da Rang(A)=Rang(T)=2.

Als Basis-Moll nehmen wir . Sie wird durch die Koeffizienten der ersten und zweiten Gleichung gebildet:


Die dritte Gleichung des Systems ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt, daher schließen wir sie basierend auf dem Satz über den Rang der Matrix aus dem System aus:


Auf diese Weise haben wir ein elementares System linearer algebraischer Gleichungen erhalten. Lösen wir es mit der Cramer-Methode:


Antwort:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Wenn die Anzahl der Gleichungen r im resultierenden SLAE ist weniger Zahl unbekannte Variablen n, dann belassen wir auf der linken Seite der Gleichungen die Terme, die die Basis Minor bilden, und übertragen die restlichen Terme mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite der Gleichungen des Systems.

Die auf der linken Seite der Gleichungen verbleibenden unbekannten Variablen (r davon) werden aufgerufen hauptsächlich.

Es werden unbekannte Variablen (es gibt n - r Stücke) aufgerufen, die auf der rechten Seite liegen frei.

Nun glauben wir, dass freie unbekannte Variablen beliebige Werte annehmen können, während die r wichtigsten unbekannten Variablen auf einzigartige Weise durch freie unbekannte Variablen ausgedrückt werden. Ihr Ausdruck kann durch Lösen des resultierenden SLAE mithilfe der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode ermittelt werden.

Schauen wir es uns anhand eines Beispiels an.

Beispiel.

Lösen Sie ein System linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix des Systems ermitteln durch die Methode der Grenzüberschreitung von Minderjährigen. Nehmen wir a 1 1 = 1 als Moll erster Ordnung ungleich Null. Beginnen wir mit der Suche nach einem Moll zweiter Ordnung ungleich Null, das an dieses Moll grenzt:


Auf diese Weise haben wir ein Moll zweiter Ordnung ungleich Null gefunden. Beginnen wir mit der Suche nach einem ungleich Null angrenzenden Moll dritter Ordnung:


Somit beträgt der Rang der Hauptmatrix drei. Der Rang der erweiterten Matrix ist ebenfalls gleich drei, das heißt, das System ist konsistent.

Als Basis nehmen wir das gefundene Nicht-Null-Moll dritter Ordnung.

Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir die Elemente, die das Basis-Moll bilden:


Wir belassen die in der Basis Minor beteiligten Terme auf der linken Seite der Systemgleichungen und übertragen den Rest mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten:


Geben wir den freien unbekannten Variablen x 2 und x 5 beliebige Werte, das heißt, wir akzeptieren , wo sind beliebige Zahlen. In diesem Fall nimmt das SLAE das Formular an


Lösen wir das resultierende Elementarsystem linearer algebraischer Gleichungen mit der Cramer-Methode:


Somit, .

Vergessen Sie in Ihrer Antwort nicht, freie unbekannte Variablen anzugeben.

Antwort:

Wo sind beliebige Zahlen?

Zusammenfassen.

Um ein System allgemeiner linearer algebraischer Gleichungen zu lösen, bestimmen wir zunächst seine Kompatibilität mithilfe des Kronecker-Capelli-Theorems. Wenn der Rang der Hauptmatrix nicht dem Rang der erweiterten Matrix entspricht, schließen wir daraus, dass das System inkompatibel ist.

Wenn der Rang der Hauptmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist, wählen wir eine Basis-Minor aus und verwerfen die Gleichungen des Systems, die nicht an der Bildung der ausgewählten Basis-Minor beteiligt sind.

Wenn die Ordnung der Basis Minor gleich der Anzahl unbekannter Variablen ist, dann hat das SLAE eine eindeutige Lösung, die mit jeder uns bekannten Methode gefunden werden kann.

Wenn die Ordnung der Basis kleiner ist als die Anzahl der unbekannten Variablen, dann belassen wir auf der linken Seite des Gleichungssystems die Terme mit den wichtigsten unbekannten Variablen, übertragen die restlichen Terme auf die rechten Seiten und geben beliebige Werte an die freien unbekannten Variablen. Aus dem resultierenden linearen Gleichungssystem ermitteln wir die wichtigsten unbekannten Variablen mithilfe der Cramer-Methode, der Matrixmethode oder der Gauß-Methode.

Gauß-Methode zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme allgemeiner Form.

Mit der Gauß-Methode lassen sich Systeme linearer algebraischer Gleichungen jeglicher Art lösen, ohne sie vorher auf Konsistenz zu prüfen. Der Prozess der sequentiellen Eliminierung unbekannter Variablen ermöglicht es, Rückschlüsse sowohl auf die Kompatibilität als auch auf die Inkompatibilität des SLAE zu ziehen und, falls eine Lösung existiert, diese zu finden.

Aus rechnerischer Sicht ist die Gaußsche Methode vorzuziehen.

Schau es dir an detaillierte Beschreibung und analysierte Beispiele im Artikel die Gauß-Methode zur Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen allgemeiner Form.

Schreiben einer allgemeinen Lösung für homogene und inhomogene lineare algebraische Systeme unter Verwendung von Vektoren des fundamentalen Lösungssystems.

In diesem Abschnitt werden wir über gleichzeitige homogene und inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen sprechen, die unendlich viele Lösungen haben.

Befassen wir uns zunächst mit homogenen Systemen.

Grundlegendes Lösungssystem Ein homogenes System p linearer algebraischer Gleichungen mit n unbekannten Variablen ist eine Sammlung von (n – r) linear unabhängigen Lösungen dieses Systems, wobei r die Ordnung der Basisminor der Hauptmatrix des Systems ist.

Wenn wir linear unabhängige Lösungen eines homogenen SLAE als X (1), X (2), ..., X (n-r) bezeichnen, sind (X (1), X (2), ..., X (n-r) säulenförmig Matrizen der Dimension n um 1) , dann wird die allgemeine Lösung dieses homogenen Systems als lineare Kombination von Vektoren des grundlegenden Lösungssystems mit beliebigen konstanten Koeffizienten C 1, C 2, ..., C (n-r) dargestellt, das Ist, .

Was bedeutet der Begriff allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen (Oroslau)?

Die Bedeutung ist einfach: Die Formel legt alles fest mögliche Lösungen das ursprüngliche SLAE, mit anderen Worten, wenn wir einen beliebigen Satz von Werten beliebiger Konstanten C 1, C 2, ..., C (n-r) nehmen, erhalten wir unter Verwendung der Formel eine der Lösungen des ursprünglichen homogenen SLAE.

Wenn wir also ein grundlegendes Lösungssystem finden, können wir alle Lösungen dieses homogenen SLAE als definieren.

Lassen Sie uns den Prozess der Konstruktion eines grundlegenden Lösungssystems für ein homogenes SLAE zeigen.

Wir wählen die Basis Minor des ursprünglichen linearen Gleichungssystems aus, schließen alle anderen Gleichungen aus dem System aus und übertragen alle Terme, die freie unbekannte Variablen enthalten, mit entgegengesetzten Vorzeichen auf die rechten Seiten der Gleichungen des Systems. Geben wir Unbekannte frei variable Werte 1,0,0,…,0 und berechnen Sie die Hauptunbekannten, indem Sie das resultierende elementare System linearer Gleichungen auf beliebige Weise lösen, beispielsweise mit der Cramer-Methode. Dies führt zu X (1) – der ersten Lösung des Fundamentalsystems. Wenn wir den freien Unbekannten die Werte 0,1,0,0,…,0 geben und die Hauptunbekannten berechnen, erhalten wir X (2) . Usw. Wenn wir den freien unbekannten Variablen die Werte 0,0,…,0,1 zuweisen und die Hauptunbekannten berechnen, erhalten wir X (n-r) . Auf diese Weise wird ein grundlegendes Lösungssystem für ein homogenes SLAE konstruiert und seine allgemeine Lösung kann in der Form geschrieben werden.

Für inhomogene Systeme linearer algebraischer Gleichungen wird die allgemeine Lösung in der Form dargestellt, wobei die allgemeine Lösung des entsprechenden homogenen Systems und die besondere Lösung des ursprünglichen inhomogenen SLAE sind, die wir erhalten, indem wir den freien Unbekannten die Werte geben ​0,0,...,0 und Berechnen der Werte der Hauptunbekannten.

Schauen wir uns Beispiele an.

Beispiel.

Finden Sie das grundlegende Lösungssystem und die allgemeine Lösung eines homogenen Systems linearer algebraischer Gleichungen .

Lösung.

Der Rang der Hauptmatrix homogener linearer Gleichungssysteme ist immer gleich dem Rang der erweiterten Matrix. Lassen Sie uns den Rang der Hauptmatrix mithilfe der Methode der angrenzenden Nebenmatrix ermitteln. Als Nicht-Null-Minor erster Ordnung nehmen wir das Element a 1 1 = 9 der Hauptmatrix des Systems. Suchen wir das angrenzende Nicht-Null-Moll zweiter Ordnung:

Es wurde ein von Null verschiedenes Moll zweiter Ordnung gefunden. Gehen wir die angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung auf der Suche nach einem Nicht-Null-Wert durch:

Alle angrenzenden Minderjährigen dritter Ordnung sind gleich Null, daher ist der Rang der Haupt- und erweiterten Matrix gleich zwei. Lass uns nehmen . Der Klarheit halber notieren wir uns die Elemente des Systems, aus denen es besteht:

Die dritte Gleichung des ursprünglichen SLAE ist nicht an der Bildung der Basis Minor beteiligt und kann daher ausgeschlossen werden:

Wir belassen die Terme mit den Hauptunbekannten auf der rechten Seite der Gleichungen und übertragen die Terme mit freien Unbekannten auf die rechte Seite:

Konstruieren wir ein grundlegendes Lösungssystem für das ursprüngliche homogene System linearer Gleichungen. Das grundlegende Lösungssystem dieses SLAE besteht aus zwei Lösungen, da das ursprüngliche SLAE vier unbekannte Variablen enthält und die Ordnung seiner Basis-Minor-Variablen gleich zwei ist. Um X (1) zu finden, geben wir den freien unbekannten Variablen die Werte x 2 = 1, x 4 = 0, dann finden wir die wichtigsten Unbekannten aus dem Gleichungssystem
.

1. Substitutionsmethode: Aus jeder Gleichung des Systems drücken wir eine Unbekannte durch eine andere aus und setzen sie in die zweite Gleichung des Systems ein.

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Lösung. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir aus bei durch X und setze es in die zweite Gleichung des Systems ein. Holen wir uns das System entspricht dem Original.

Nach Eingabe ähnlicher Begriffe nimmt das System die Form an:

Aus der zweiten Gleichung finden wir: . Setzen Sie diesen Wert in die Gleichung ein bei = 2 - 2X, wir bekommen bei= 3. Daher ist die Lösung dieses Systems ein Zahlenpaar.

2. Algebraische Additionsmethode: Durch Addition zweier Gleichungen erhält man eine Gleichung mit einer Variablen.

Aufgabe. Lösen Sie die Systemgleichung:

Lösung. Wenn wir beide Seiten der zweiten Gleichung mit 2 multiplizieren, erhalten wir das System entspricht dem Original. Addiert man die beiden Gleichungen dieses Systems, gelangt man zum System

Nachdem ähnliche Begriffe eingeführt wurden, sieht dieses System wie folgt aus: Aus der zweiten Gleichung finden wir . Setzen Sie diesen Wert in Gleichung 3 ein X + 4bei= 5, wir bekommen , Wo . Daher ist die Lösung dieses Systems ein Zahlenpaar.

3. Methode zur Einführung neuer Variablen: Wir suchen nach sich wiederholenden Ausdrücken im System, die wir durch neue Variablen bezeichnen und so das Erscheinungsbild des Systems vereinfachen.

Aufgabe. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Lösung. Schreiben wir dieses System anders:

Lassen x + y = Du, xy = v. Dann bekommen wir das System

Lösen wir es mit der Substitutionsmethode. Aus der ersten Gleichung des Systems drücken wir aus u durch v und setze es in die zweite Gleichung des Systems ein. Holen wir uns das System diese.

Aus der zweiten Gleichung des Systems finden wir v 1 = 2, v 2 = 3.

Einsetzen dieser Werte in die Gleichung u = 5 - v, wir bekommen u 1 = 3,
u 2 = 2. Dann haben wir zwei Systeme

Wenn wir das erste System lösen, erhalten wir zwei Zahlenpaare (1; 2), (2; 1). Das zweite System hat keine Lösungen.

Übungen zum selbstständigen Arbeiten

1. Lösen Sie Gleichungssysteme mit der Substitutionsmethode.

Unterrichtsinhalte

Lineare Gleichungen in zwei Variablen

Ein Schulkind hat 200 Rubel, um in der Schule zu Mittag zu essen. Ein Kuchen kostet 25 Rubel und eine Tasse Kaffee kostet 10 Rubel. Wie viele Kuchen und Tassen Kaffee kann man für 200 Rubel kaufen?

Bezeichnen wir die Anzahl der Kuchen mit X, und die Anzahl der Tassen Kaffee durch j. Dann werden die Kosten für die Kuchen mit dem Ausdruck 25 bezeichnet X und die Kosten für Tassen Kaffee in 10 j .

25X- Preis X Kuchen
10y – Preis j Tassen Kaffee

Der Gesamtbetrag sollte 200 Rubel betragen. Dann erhalten wir eine Gleichung mit zwei Variablen X Und j

25X+ 10j= 200

Wie viele Wurzeln hat diese Gleichung?

Es hängt alles vom Appetit des Schülers ab. Wenn er 6 Kuchen und 5 Tassen Kaffee kauft, sind die Wurzeln der Gleichung die Zahlen 6 und 5.

Das Wertepaar 6 und 5 soll die Wurzeln der Gleichung 25 sein X+ 10j= 200 . Geschrieben als (6; 5), wobei die erste Zahl der Wert der Variablen ist X und der zweite - der Wert der Variablen j .

6 und 5 sind nicht die einzigen Wurzeln, die Gleichung 25 umkehren X+ 10j= 200 zur Identität. Auf Wunsch kann ein Student für die gleichen 200 Rubel 4 Kuchen und 10 Tassen Kaffee kaufen:

In diesem Fall sind die Wurzeln der Gleichung 25 X+ 10j= 200 ist ein Wertepaar (4; 10).

Außerdem kauft ein Schulkind vielleicht überhaupt keinen Kaffee, dafür aber Kuchen für die ganzen 200 Rubel. Dann sind die Wurzeln der Gleichung 25 X+ 10j= 200 werden die Werte 8 und 0 sein

Oder umgekehrt: Kaufen Sie keine Kuchen, sondern Kaffee für die gesamten 200 Rubel. Dann sind die Wurzeln der Gleichung 25 X+ 10j= 200 sind die Werte 0 und 20

Versuchen wir, alle möglichen Wurzeln der Gleichung 25 aufzulisten X+ 10j= 200 . Lassen Sie uns die Werte vereinbaren X Und j gehören zur Menge der ganzen Zahlen. Und seien diese Werte größer oder gleich Null:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Dies ist für den Schüler selbst praktisch. Es ist bequemer, ganze Kuchen zu kaufen, als beispielsweise mehrere ganze Kuchen und einen halben Kuchen. Außerdem ist es bequemer, Kaffee in ganzen Tassen zu sich zu nehmen, als beispielsweise mehrere ganze Tassen und eine halbe Tasse.

Beachten Sie das für ungerade X Es ist unter keinen Umständen möglich, Gleichberechtigung zu erreichen j. Dann die Werte X Die folgenden Zahlen sind 0, 2, 4, 6, 8. Und wissend X lässt sich leicht ermitteln j

Somit haben wir die folgenden Wertepaare erhalten (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Diese Paare sind Lösungen oder Wurzeln von Gleichung 25 X+ 10j= 200. Sie verwandeln diese Gleichung in eine Identität.

Gleichung des Formulars Axt + by = c angerufen lineare Gleichung mit zwei Variablen. Die Lösung bzw. Wurzeln dieser Gleichung sind ein Wertepaar ( X; j), was daraus Identität macht.

Beachten Sie auch, dass, wenn eine lineare Gleichung mit zwei Variablen in die Form geschrieben wird ax + by = c , dann sagen sie, dass es geschrieben steht kanonisch(Normal-)Form.

Einige lineare Gleichungen in zwei Variablen können auf die kanonische Form reduziert werden.

Zum Beispiel die Gleichung 2(16X+ 3y − 4) = 2(12 + 8X − j) kann in Erinnerung gerufen werden Axt + by = c. Öffnen wir die Klammern auf beiden Seiten dieser Gleichung und erhalten 32X + 6j − 8 = 24 + 16X − 2j . Wir gruppieren Terme, die Unbekannte enthalten, auf der linken Seite der Gleichung und Terme, die keine Unbekannten enthalten, auf der rechten Seite. Dann bekommen wir 32x− 16X+ 6j+ 2j = 24 + 8 . Wenn wir auf beiden Seiten ähnliche Terme darstellen, erhalten wir Gleichung 16 X+ 8j= 32. Diese Gleichung wird auf die Form reduziert Axt + by = c und ist kanonisch.

Gleichung 25 wurde zuvor besprochen X+ 10j= 200 ist ebenfalls eine lineare Gleichung mit zwei Variablen in kanonischer Form. In dieser Gleichung sind die Parameter A , B Und C entsprechen den Werten 25, 10 bzw. 200.

Eigentlich die Gleichung Axt + by = c hat unzählige Lösungen. Lösung der Gleichung 25X+ 10j= 200, Wir haben nach seinen Wurzeln nur auf der Menge der ganzen Zahlen gesucht. Als Ergebnis erhielten wir mehrere Wertepaare, die diese Gleichung in eine Identität verwandelten. Aber auf der Menge der rationalen Zahlen gilt Gleichung 25 X+ 10j= 200 wird unendlich viele Lösungen haben.

Um neue Wertepaare zu erhalten, müssen Sie einen beliebigen Wert für annehmen X, dann ausdrücken j. Nehmen wir zum Beispiel die Variable X Wert 7. Dann erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 25×7 + 10j= 200 in dem man sich ausdrücken kann j

Lassen X= 15. Dann die Gleichung 25X+ 10j= 200 wird zu 25 × 15 + 10j= 200. Von hier aus finden wir das j = −17,5

Lassen X= −3 . Dann die Gleichung 25X+ 10j= 200 wird zu 25 × (−3) + 10j= 200. Von hier aus finden wir das j = −27,5

System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen

Für die Gleichung Axt + by = c Sie können beliebige Werte beliebig oft annehmen X und finde Werte für j. Für sich genommen wird es für eine solche Gleichung unzählige Lösungen geben.

Es kommt aber auch vor, dass die Variablen X Und j nicht durch eine, sondern durch zwei Gleichungen verbunden. In diesem Fall bilden sie die sogenannten System linearer Gleichungen in zwei Variablen. Ein solches Gleichungssystem kann ein Wertepaar (oder anders gesagt: „eine Lösung“) haben.

Es kann auch vorkommen, dass das System überhaupt keine Lösungen hat. Ein System linearer Gleichungen kann in seltenen Ausnahmefällen unzählige Lösungen haben.

Zwei lineare Gleichungen bilden ein System, wenn die Werte X Und j Geben Sie in jede dieser Gleichungen ein.

Kehren wir zur allerersten Gleichung 25 zurück X+ 10j= 200 . Eines der Wertepaare für diese Gleichung war das Paar (6; 5). Dies ist der Fall, wenn man für 200 Rubel 6 Kuchen und 5 Tassen Kaffee kaufen könnte.

Formulieren wir das Problem so, dass das Paar (6; 5) wird die einzige Lösung für Gleichung 25 X+ 10j= 200 . Erstellen wir dazu eine weitere Gleichung, die dasselbe verbindet X Kuchen und j Tassen Kaffee.

Lassen Sie uns den Text des Problems wie folgt formulieren:

„Der Student kaufte mehrere Kuchen und mehrere Tassen Kaffee für 200 Rubel. Ein Kuchen kostet 25 Rubel und eine Tasse Kaffee kostet 10 Rubel. Wie viele Kuchen und Tassen Kaffee hat der Schüler gekauft, wenn bekannt ist, dass die Anzahl der Kuchen eine Einheit größer ist als die Anzahl der Tassen Kaffee?

Wir haben bereits die erste Gleichung. Das ist Gleichung 25 X+ 10j= 200 . Lassen Sie uns nun eine Gleichung für die Bedingung erstellen „Die Anzahl der Kuchen ist eine Einheit größer als die Anzahl der Tassen Kaffee“ .

Die Anzahl der Kuchen beträgt X, und die Anzahl der Tassen Kaffee beträgt j. Sie können diesen Satz mithilfe der Gleichung schreiben x−y= 1. Diese Gleichung bedeutet, dass der Unterschied zwischen Kuchen und Kaffee 1 beträgt.

x = y+ 1 . Diese Gleichung bedeutet, dass die Anzahl der Kuchen um eins größer ist als die Anzahl der Tassen Kaffee. Um Gleichheit zu erreichen, wird daher eins zur Anzahl der Tassen Kaffee addiert. Dies lässt sich leicht verstehen, wenn wir das Skalenmodell verwenden, das wir bei der Untersuchung der einfachsten Probleme berücksichtigt haben:

Wir haben zwei Gleichungen: 25 X+ 10j= 200 und x = y+ 1. Da die Werte X Und j, nämlich 6 und 5 sind in jeder dieser Gleichungen enthalten, dann bilden sie zusammen ein System. Schreiben wir dieses System auf. Bilden die Gleichungen ein System, so werden sie durch das Systemzeichen eingerahmt. Das Systemsymbol ist eine geschweifte Klammer:

Lassen Sie uns dieses System lösen. Dadurch können wir sehen, wie wir zu den Werten 6 und 5 kommen. Es gibt viele Methoden zur Lösung solcher Systeme. Schauen wir uns die beliebtesten davon an.

Substitutionsmethode

Der Name dieser Methode spricht für sich. Sein Wesen besteht darin, eine Gleichung durch eine andere zu ersetzen, nachdem zuvor eine der Variablen ausgedrückt wurde.

In unserem System muss nichts ausgedrückt werden. In der zweiten Gleichung X = j+ 1 Variable X schon geäußert. Diese Variable entspricht dem Ausdruck j+ 1 . Dann können Sie diesen Ausdruck anstelle der Variablen in die erste Gleichung einsetzen X

Nach dem Ersetzen des Ausdrucks j+ 1 stattdessen in die erste Gleichung ein X, wir erhalten die Gleichung 25(j+ 1) + 10j= 200 . Dies ist eine lineare Gleichung mit einer Variablen. Diese Gleichung ist ganz einfach zu lösen:

Wir haben den Wert der Variablen gefunden j. Setzen wir nun diesen Wert in eine der Gleichungen ein und ermitteln wir den Wert X. Hierzu ist es zweckmäßig, die zweite Gleichung zu verwenden X = j+ 1 . Ersetzen wir den Wert darin j

Das bedeutet, dass das Paar (6; 5) eine Lösung des Gleichungssystems ist, wie wir es beabsichtigt haben. Wir prüfen und stellen sicher, dass das Paar (6; 5) das System erfüllt:

Beispiel 2

Ersetzen wir die erste Gleichung X= 2 + j in die zweite Gleichung 3 x− 2j= 9. In der ersten Gleichung die Variable X gleich dem Ausdruck 2 + j. Setzen wir diesen Ausdruck stattdessen in die zweite Gleichung ein X

Lassen Sie uns nun den Wert ermitteln X. Ersetzen wir dazu den Wert j in die erste Gleichung ein X= 2 + j

Dies bedeutet, dass die Lösung des Systems der Paarwert (5; 3) ist.

Beispiel 3. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:

Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen wird hier eine der Variablen nicht explizit ausgedrückt.

Um eine Gleichung durch eine andere zu ersetzen, benötigen Sie zunächst .

Es empfiehlt sich, die Variable auszudrücken, die einen Koeffizienten von eins hat. Die Variable hat einen Koeffizienten von eins X, die in der ersten Gleichung enthalten ist X+ 2j= 11. Lassen Sie uns diese Variable ausdrücken.

Nach Variablenausdruck X, unser System wird die folgende Form annehmen:

Setzen wir nun die erste Gleichung in die zweite ein und ermitteln wir den Wert j

Lasst uns ersetzen j X

Dies bedeutet, dass die Lösung des Systems ein Wertepaar (3; 4) ist.

Natürlich können Sie auch eine Variable ausdrücken j. Die Wurzeln werden dadurch nicht verändert. Aber wenn Sie es ausdrücken ja, Das Ergebnis ist keine sehr einfache Gleichung, deren Lösung mehr Zeit in Anspruch nehmen wird. Es wird so aussehen:

Wir sehen das darin in diesem Beispiel ausdrücken X viel bequemer als auszudrücken j .

Beispiel 4. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:

Lassen Sie uns in der ersten Gleichung ausdrücken X. Dann nimmt das System die Form an:

j

Lasst uns ersetzen j in die erste Gleichung einsetzen und finden X. Sie können die ursprüngliche Gleichung 7 verwenden X+ 9j= 8, oder verwenden Sie die Gleichung, in der die Variable ausgedrückt wird X. Wir werden diese Gleichung verwenden, weil sie praktisch ist:

Dies bedeutet, dass die Lösung des Systems ein Wertepaar (5; −3) ist.

Additionsmethode

Die Additionsmethode besteht darin, die im System enthaltenen Gleichungen Term für Term zu addieren. Diese Addition führt zu einer neuen Gleichung mit einer Variablen. Und die Lösung einer solchen Gleichung ist ganz einfach.

Lösen wir das folgende Gleichungssystem:

Addieren wir die linke Seite der ersten Gleichung mit der linken Seite der zweiten Gleichung. Und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite der zweiten Gleichung. Wir erhalten die folgende Gleichheit:

Schauen wir uns ähnliche Begriffe an:

Als Ergebnis erhielten wir die einfachste Gleichung 3 X= 27, deren Wurzel 9 ist. Den Wert kennen X Sie können den Wert finden j. Ersetzen wir den Wert X in die zweite Gleichung x−y= 3 . Wir erhalten 9 − j= 3 . Von hier j= 6 .

Dies bedeutet, dass die Lösung des Systems ein Wertepaar (9; 6) ist.

Beispiel 2

Addieren wir die linke Seite der ersten Gleichung mit der linken Seite der zweiten Gleichung. Und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite der zweiten Gleichung. In der resultierenden Gleichheit präsentieren wir ähnliche Begriffe:

Als Ergebnis erhielten wir die einfachste Gleichung 5 X= 20, dessen Wurzel 4 ist. Den Wert kennen X Sie können den Wert finden j. Ersetzen wir den Wert X in die erste Gleichung 2 x+y= 11. Lass uns 8+ bekommen j= 11. Von hier j= 3 .

Dies bedeutet, dass die Lösung des Systems ein Wertepaar (4;3) ist.

Der Additionsprozess wird nicht im Detail beschrieben. Es muss mental geschehen. Beim Addieren müssen beide Gleichungen auf die kanonische Form zurückgeführt werden. Das ist übrigens so ac + by = c .

Aus den betrachteten Beispielen wird deutlich, dass der Hauptzweck des Hinzufügens von Gleichungen darin besteht, eine der Variablen zu entfernen. Allerdings ist es nicht immer möglich, ein Gleichungssystem mit der Additionsmethode sofort zu lösen. Meistens wird das System zunächst in eine Form gebracht, in der die in diesem System enthaltenen Gleichungen hinzugefügt werden können.

Zum Beispiel das System kann sofort durch Addition gelöst werden. Bei der Addition beider Gleichungen ergeben sich die Terme j Und −y verschwinden, weil ihre Summe Null ist. Als Ergebnis wird die einfachste Gleichung 11 gebildet X= 22, dessen Wurzel 2 ist. Dann lässt sich bestimmen j gleich 5.

Und das Gleichungssystem Die Additionsmethode kann nicht sofort gelöst werden, da dies nicht zum Verschwinden einer der Variablen führt. Die Addition ergibt Gleichung 8 X+ j= 28, was unendlich viele Lösungen hat.

Wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, erhält man eine Gleichung, die der angegebenen entspricht. Diese Regel gilt auch für ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen. Eine der Gleichungen (oder beide Gleichungen) kann mit einer beliebigen Zahl multipliziert werden. Das Ergebnis wird ein äquivalentes System sein, dessen Wurzeln mit dem vorherigen übereinstimmen.

Kehren wir zum allerersten System zurück, das beschrieb, wie viele Kuchen und Tassen Kaffee ein Schulkind kaufte. Die Lösung dieses Systems war ein Wertepaar (6; 5).

Lassen Sie uns beide in diesem System enthaltenen Gleichungen mit einigen Zahlen multiplizieren. Nehmen wir an, wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2 und die zweite mit 3

Als Ergebnis haben wir ein System bekommen
Die Lösung dieses Systems ist immer noch das Wertepaar (6; 5)

Dies bedeutet, dass die im System enthaltenen Gleichungen auf eine für die Anwendung der Additionsmethode geeignete Form reduziert werden können.

Kehren wir zum System zurück , was wir mit der Additionsmethode nicht lösen konnten.

Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 6 und die zweite mit −2

Dann erhalten wir das folgende System:

Addieren wir die in diesem System enthaltenen Gleichungen. Komponenten hinzufügen 12 X und −12 X ergibt 0, Addition 18 j und 4 j wird 22 geben j, und die Addition von 108 und −20 ergibt 88. Dann erhalten wir Gleichung 22 j= 88, von hier j = 4 .

Wenn es Ihnen zunächst schwerfällt, Gleichungen im Kopf zu addieren, können Sie aufschreiben, wie sich die linke Seite der ersten Gleichung mit der linken Seite der zweiten Gleichung und die rechte Seite der ersten Gleichung mit der rechten Seite addiert zweite Gleichung:

Wissen, dass der Wert der Variablen j gleich 4 ist, können Sie den Wert ermitteln X. Lasst uns ersetzen j in eine der Gleichungen, zum Beispiel in die erste Gleichung 2 X+ 3j= 18. Dann erhalten wir eine Gleichung mit einer Variablen 2 X+ 12 = 18. Bewegen wir 12 nach rechts und ändern das Vorzeichen, erhalten wir 2 X= 6, von hier X = 3 .

Beispiel 4. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Lassen Sie uns die zweite Gleichung mit −1 multiplizieren. Dann nimmt das System die folgende Form an:

Addieren wir beide Gleichungen. Komponenten hinzufügen X Und −x ergibt 0, Addition 5 j und 3 j gebe 8 j und die Addition von 7 und 1 ergibt 8. Das Ergebnis ist Gleichung 8 j= 8, deren Wurzel 1 ist. Wissen, dass der Wert j gleich 1 ist, können Sie den Wert ermitteln X .

Lasst uns ersetzen j in die erste Gleichung erhalten wir X+ 5 = 7, daher X= 2

Beispiel 5. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Es ist wünschenswert, dass Begriffe, die dieselben Variablen enthalten, untereinander stehen. Daher sind in der zweiten Gleichung die Terme 5 j und −2 X Lasst uns die Plätze tauschen. Als Ergebnis wird das System die Form annehmen:

Multiplizieren wir die zweite Gleichung mit 3. Dann nimmt das System die Form an:

Nun addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition erhalten wir Gleichung 8 j= 16, dessen Wurzel 2 ist.

Lasst uns ersetzen j In die erste Gleichung erhalten wir 6 X− 14 = 40. Verschieben wir den Term −14 auf die rechte Seite, ändern das Vorzeichen und erhalten 6 X= 54 . Von hier X= 9.

Beispiel 6. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Lassen Sie uns Brüche loswerden. Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 36 ​​und die zweite mit 12

Im resultierenden System Die erste Gleichung kann mit −5 multipliziert werden, die zweite mit 8

Addieren wir die Gleichungen im resultierenden System. Dann erhalten wir die einfachste Gleichung −13 j= −156 . Von hier j= 12. Lasst uns ersetzen j in die erste Gleichung einsetzen und finden X

Beispiel 7. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Bringen wir beide Gleichungen in die Normalform. Hier bietet es sich an, die Proportionsregel in beiden Gleichungen anzuwenden. Wenn in der ersten Gleichung die rechte Seite als dargestellt wird und die rechte Seite der zweiten Gleichung als , dann nimmt das System die Form an:

Wir haben einen Anteil. Lassen Sie uns seine Extrem- und Mittelterme multiplizieren. Dann nimmt das System die Form an:

Lassen Sie uns die erste Gleichung mit −3 multiplizieren und die Klammern in der zweiten öffnen:

Nun addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition dieser Gleichungen erhalten wir eine Gleichheit mit Null auf beiden Seiten:

Es stellt sich heraus, dass das System unzählige Lösungen bietet.

Aber wir können nicht einfach beliebige Werte vom Himmel nehmen X Und j. Wir können einen der Werte angeben, der andere wird abhängig von dem von uns angegebenen Wert bestimmt. Lassen Sie zum Beispiel X= 2 . Ersetzen wir diesen Wert in das System:

Als Ergebnis der Lösung einer der Gleichungen wird der Wert für j, was beide Gleichungen erfüllt:

Das resultierende Wertepaar (2; −2) erfüllt das System:

Suchen wir ein anderes Wertepaar. Lassen X= 4. Setzen wir diesen Wert in das System ein:

Sie können den Wert mit dem Auge erkennen j gleich Null. Dann erhalten wir ein Wertepaar (4; 0), das unser System erfüllt:

Beispiel 8. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Additionsmethode:

Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit 6 und die zweite mit 12

Schreiben wir um, was noch übrig ist:

Lassen Sie uns die erste Gleichung mit −1 multiplizieren. Dann nimmt das System die Form an:

Nun addieren wir beide Gleichungen. Als Ergebnis der Addition wird Gleichung 6 gebildet B= 48, dessen Wurzel 8 ist. Ersatz B in die erste Gleichung einsetzen und finden A

System linearer Gleichungen mit drei Variablen

Eine lineare Gleichung mit drei Variablen enthält drei Variablen mit Koeffizienten sowie einen Achsenabschnittsterm. In kanonischer Form lässt es sich wie folgt schreiben:

ax + by + cz = d

Diese Gleichung hat unzählige Lösungen. Geben Sie zwei Variablen an unterschiedliche Bedeutungen, kann ein dritter Wert gefunden werden. Die Lösung ist in diesem Fall ein Wertetripel ( X; y; z), was die Gleichung in eine Identität umwandelt.

Wenn die Variablen x, y, z durch drei Gleichungen miteinander verbunden sind, dann entsteht ein System aus drei linearen Gleichungen mit drei Variablen. Um ein solches System zu lösen, können Sie dieselben Methoden verwenden, die auch für lineare Gleichungen mit zwei Variablen gelten: die Substitutionsmethode und die Additionsmethode.

Beispiel 1. Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit der Substitutionsmethode:

Lassen Sie uns in der dritten Gleichung ausdrücken X. Dann nimmt das System die Form an:

Jetzt machen wir die Substitution. Variable X ist gleich dem Ausdruck 3 − 2j − 2z . Setzen wir diesen Ausdruck in die erste und zweite Gleichung ein:

Öffnen wir die Klammern in beiden Gleichungen und stellen ähnliche Begriffe dar:

Wir sind zu einem linearen Gleichungssystem mit zwei Variablen gelangt. In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Additionsmethode zu verwenden. Als Ergebnis die Variable j verschwindet und wir können den Wert der Variablen finden z

Lassen Sie uns nun den Wert ermitteln j. Hierzu ist es zweckmäßig, die Gleichung − zu verwenden j+ z= 4. Setzen Sie den Wert darin ein z

Lassen Sie uns nun den Wert ermitteln X. Hierzu ist es zweckmäßig, die Gleichung zu verwenden X= 3 − 2j − 2z . Ersetzen wir die Werte darin j Und z

Somit ist das Wertetripel (3; −2; 2) eine Lösung für unser System. Durch die Prüfung stellen wir sicher, dass diese Werte dem System genügen:

Beispiel 2. Lösen Sie das System mit der Additionsmethode

Addieren wir die erste Gleichung mit der zweiten, multipliziert mit −2.

Wenn die zweite Gleichung mit −2 multipliziert wird, erhält sie die Form −6X+ 6y − 4z = −4 . Fügen wir es nun zur ersten Gleichung hinzu:

Wir sehen, dass als Ergebnis elementarer Transformationen der Wert der Variablen bestimmt wurde X. Es ist gleich eins.

Gehen wir zurück zu Hauptsystem. Addieren wir die zweite Gleichung mit der dritten, multipliziert mit −1. Wenn die dritte Gleichung mit −1 multipliziert wird, erhält sie die Form −4X + 5j − 2z = −1 . Fügen wir es nun zur zweiten Gleichung hinzu:

Wir haben die Gleichung x− 2j= −1 . Ersetzen wir den Wert darin X was wir früher gefunden haben. Dann können wir den Wert ermitteln j

Jetzt kennen wir die Bedeutungen X Und j. Dadurch können Sie den Wert ermitteln z. Verwenden wir eine der im System enthaltenen Gleichungen:

Somit ist das Wertetripel (1; 1; 1) die Lösung unseres Systems. Durch die Prüfung stellen wir sicher, dass diese Werte dem System genügen:

Probleme beim Aufbau linearer Gleichungssysteme

Die Aufgabe, Gleichungssysteme zusammenzustellen, wird durch die Eingabe mehrerer Variablen gelöst. Als nächstes werden Gleichungen basierend auf den Bedingungen des Problems zusammengestellt. Aus den aufgestellten Gleichungen bilden sie ein System und lösen es. Nachdem das System gelöst wurde, muss überprüft werden, ob seine Lösung die Bedingungen des Problems erfüllt.

Problem 1. Ein Wolga-Wagen fuhr aus der Stadt zur Kolchose. Sie kehrte auf einer anderen Straße zurück, die 5 km kürzer war als die erste. Insgesamt legte das Auto 35 km Hin- und Rückfahrt zurück. Wie viele Kilometer ist jede Straße lang?

Lösung

Lassen X- Länge der ersten Straße, j- Länge der Sekunde. Wenn das Auto 35 km Hin- und Rückfahrt zurückgelegt hat, kann die erste Gleichung wie folgt geschrieben werden: X+ j= 35. Diese Gleichung beschreibt die Summe der Längen beider Straßen.

Es wird gesagt, dass das Auto auf einer Straße zurückkam, die 5 km kürzer war als die erste. Dann kann die zweite Gleichung geschrieben werden als X− j= 5. Diese Gleichung zeigt, dass der Unterschied zwischen den Straßenlängen 5 km beträgt.

Oder die zweite Gleichung kann geschrieben werden als X= j+ 5. Wir werden diese Gleichung verwenden.

Weil die Variablen X Und j in beiden Gleichungen die gleiche Zahl bezeichnen, dann können wir daraus ein System bilden:

Lassen Sie uns dieses System mit einigen der zuvor untersuchten Methoden lösen. In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Substitutionsmethode zu verwenden, da in der zweiten Gleichung die Variable X schon geäußert.

Setze die zweite Gleichung in die erste ein und finde j

Ersetzen wir den gefundenen Wert j in der zweiten Gleichung X= j+ 5 und wir werden es finden X

Durch die Variable wurde die Länge der ersten Straße angegeben X. Jetzt haben wir seine Bedeutung gefunden. Variable X ist gleich 20. Das bedeutet, dass die Länge der ersten Straße 20 km beträgt.

Und die Länge der zweiten Straße wurde durch angegeben j. Der Wert dieser Variablen beträgt 15. Dies bedeutet, dass die Länge der zweiten Straße 15 km beträgt.

Lass uns das Prüfen. Stellen wir zunächst sicher, dass das System richtig gelöst ist:

Prüfen wir nun, ob die Lösung (20; 15) die Bedingungen des Problems erfüllt.

Es wurde gesagt, dass das Auto insgesamt 35 km Hin- und Rückfahrt zurückgelegt habe. Wir addieren die Längen beider Straßen und stellen sicher, dass die Lösung (20; 15) erfüllt dieser Zustand: 20 km + 15 km = 35 km

Folgende Bedingung: Das Auto fuhr auf einer anderen Straße zurück, die 5 km kürzer war als die erste . Wir sehen, dass Lösung (20; 15) auch diese Bedingung erfüllt, da 15 km um 5 km kürzer als 20 km sind: 20 km − 15 km = 5 km

Beim Zusammenstellen eines Systems ist es wichtig, dass die Variablen in allen in diesem System enthaltenen Gleichungen die gleichen Zahlen darstellen.

Unser System enthält also zwei Gleichungen. Diese Gleichungen enthalten wiederum Variablen X Und j, die in beiden Gleichungen die gleichen Zahlen darstellen, nämlich Straßenlängen von 20 km und 15 km.

Problem 2. Auf den Bahnsteig wurden Eichen- und Kiefernschwellen geladen, insgesamt 300 Schwellen. Es ist bekannt, dass alle Eichenschwellen 1 Tonne weniger wogen als alle Kiefernschwellen. Bestimmen Sie, wie viele Eichen- und Kiefernschwellen es getrennt gab, wenn jede Eichenschwelle 46 kg und jede Kiefernschwelle 28 kg wog.

Lösung

Lassen X Eiche und j Kiefernschwellen wurden auf den Bahnsteig geladen. Wenn es insgesamt 300 Schwellen gäbe, kann die erste Gleichung wie folgt geschrieben werden: x+y = 300 .

Alle Eichenschwellen wogen 46 X kg, und die aus Kiefernholz wogen 28 j kg. Da Eichenschwellen 1 Tonne weniger wogen als Kiefernschwellen, kann die zweite Gleichung wie folgt geschrieben werden: 28y − 46X= 1000 . Diese Gleichung zeigt, dass der Massenunterschied zwischen Eichen- und Kiefernschwellen 1000 kg beträgt.

Tonnen wurden in Kilogramm umgerechnet, da die Masse von Eichen- und Kiefernschwellen in Kilogramm gemessen wurde.

Als Ergebnis erhalten wir zwei Gleichungen, die das System bilden

Lassen Sie uns dieses System lösen. Lassen Sie uns in der ersten Gleichung ausdrücken X. Dann nimmt das System die Form an:

Setze die erste Gleichung in die zweite ein und finde j

Lasst uns ersetzen j in die Gleichung ein X= 300 − j und finde heraus, was es ist X

Das bedeutet, dass 100 Eichen- und 200 Kiefernholzschwellen auf den Bahnsteig geladen wurden.

Überprüfen wir, ob die Lösung (100; 200) die Bedingungen des Problems erfüllt. Stellen wir zunächst sicher, dass das System richtig gelöst ist:

Es hieß, es seien insgesamt 300 Schläfer gewesen. Wir addieren die Anzahl der Eichen- und Kiefernschwellen und stellen sicher, dass die Lösung (100; 200) diese Bedingung erfüllt: 100 + 200 = 300.

Folgende Bedingung: Alle Eichenschwellen wogen 1 Tonne weniger als alle Kiefernschwellen . Wir sehen, dass die Lösung (100; 200) auch diese Bedingung erfüllt, da 46 × 100 kg Eichenschwellen leichter sind als 28 × 200 kg Kiefernschwellen: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problem 3. Wir haben drei Stücke einer Kupfer-Nickel-Legierung im Gewichtsverhältnis 2:1, 3:1 und 5:1 genommen. Daraus wurde ein 12 kg schweres Stück mit einem Verhältnis von Kupfer- und Nickelgehalt von 4:1 erschmolzen. Ermitteln Sie die Masse jedes Originalstücks, wenn die Masse des ersten doppelt so groß ist wie die Masse des zweiten.