Wörtliche Ausdrücke. Ausdrucksumwandlung
Jede Sprache kann die gleichen Informationen ausdrücken verschiedene Wörter und Umsätze. Die mathematische Sprache ist keine Ausnahme. Derselbe Ausdruck kann jedoch auf unterschiedliche Weise äquivalent geschrieben werden. Und in manchen Situationen ist einer der Einträge einfacher. In dieser Lektion werden wir über die Vereinfachung von Ausdrücken sprechen.
Menschen kommunizieren weiter verschiedene Sprachen. Ein für uns wichtiger Vergleich ist das Paar „Russische Sprache – mathematische Sprache“. Dieselben Informationen können in verschiedenen Sprachen gemeldet werden. Darüber hinaus kann es jedoch in einer Sprache unterschiedlich ausgesprochen werden.
Zum Beispiel: „Peter ist mit Vasya befreundet“, „Vasya ist mit Petya befreundet“, „Peter und Vasya sind Freunde“. Anders ausgedrückt, aber ein und dasselbe. Mit jedem dieser Sätze würden wir verstehen, worum es geht.
Schauen wir uns diesen Satz an: „Der Junge Petja und der Junge Wasja sind Freunde.“ Wir verstehen was fraglich. Uns gefällt jedoch nicht, wie dieser Satz klingt. Können wir es nicht vereinfachen, das Gleiche sagen, aber einfacher? „Junge und Junge“ – man kann einmal sagen: „Die Jungs Petya und Vasya sind Freunde.“
„Jungs“ ... Geht aus ihren Namen nicht klar hervor, dass es sich nicht um Mädchen handelt? Wir entfernen die „Jungs“: „Petya und Vasya sind Freunde.“ Und das Wort „Freunde“ kann durch „Freunde“ ersetzt werden: „Petya und Vasya sind Freunde.“ Infolgedessen wurde der erste, lange, hässliche Satz durch eine gleichwertige Aussage ersetzt, die einfacher auszusprechen und leichter zu verstehen ist. Wir haben diesen Satz vereinfacht. Vereinfachen bedeutet, es einfacher auszudrücken, aber die Bedeutung nicht zu verlieren oder zu verzerren.
Das Gleiche passiert in der mathematischen Sprache. Das Gleiche kann man anders sagen. Was bedeutet es, einen Ausdruck zu vereinfachen? Das bedeutet, dass es zum ursprünglichen Ausdruck viele äquivalente Ausdrücke gibt, also solche, die dasselbe bedeuten. Und aus all dieser Menge müssen wir unserer Meinung nach das einfachste oder für unsere weiteren Zwecke am besten geeignete auswählen.
Betrachten Sie beispielsweise einen numerischen Ausdruck. Es wird äquivalent sein.
Es wird auch den ersten beiden entsprechen: 
.
Es stellt sich heraus, dass wir unsere Ausdrücke vereinfacht und den kürzesten äquivalenten Ausdruck gefunden haben.
Bei numerischen Ausdrücken müssen Sie immer die ganze Arbeit erledigen und den entsprechenden Ausdruck als einzelne Zahl erhalten.
Betrachten Sie ein Beispiel für einen wörtlichen Ausdruck . Natürlich wird es einfacher sein.
Beim Vereinfachen von Literalausdrücken müssen Sie alle möglichen Aktionen ausführen.
Ist es immer notwendig, einen Ausdruck zu vereinfachen? Nein, manchmal ist eine äquivalente, aber längere Notation für uns bequemer.
Beispiel: Subtrahiere die Zahl von der Zahl.
Es ist möglich, eine Berechnung durchzuführen, aber wenn die erste Zahl durch die entsprechende Schreibweise dargestellt würde: , dann würden die Berechnungen sofort erfolgen: .
Das heißt, ein vereinfachter Ausdruck ist für uns für weitere Berechnungen nicht immer von Vorteil.
Dennoch stehen wir sehr oft vor einer Aufgabe, die einfach nach „Vereinfachen des Ausdrucks“ klingt.
Den Ausdruck vereinfachen: .
Lösung
1) Führen Sie Aktionen in der ersten und zweiten Klammer aus: .
2) Berechnen Sie die Produkte: .
Offensichtlich hat der letzte Ausdruck eine einfachere Form als der Anfangsausdruck. Wir haben es vereinfacht.
Um den Ausdruck zu vereinfachen, muss er durch ein Äquivalent (gleich) ersetzt werden.
Um den äquivalenten Ausdruck zu bestimmen, müssen Sie:
1) alle möglichen Aktionen ausführen,
2) Nutzen Sie die Eigenschaften der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division, um Berechnungen zu vereinfachen.
Eigenschaften der Addition und Subtraktion:
1. Kommutative Eigenschaft der Addition: Die Summe ändert sich durch die Neuanordnung der Terme nicht.
2. Assoziative Eigenschaft der Addition: Um eine dritte Zahl zur Summe zweier Zahlen zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren.
3. Die Eigenschaft, eine Summe von einer Zahl zu subtrahieren: Um die Summe von einer Zahl zu subtrahieren, können Sie jeden Term einzeln subtrahieren.
Eigenschaften der Multiplikation und Division
1. Die kommutative Eigenschaft der Multiplikation: Das Produkt ändert sich durch eine Permutation von Faktoren nicht.
2. Assoziative Eigenschaft: Um eine Zahl mit dem Produkt zweier Zahlen zu multiplizieren, können Sie sie zunächst mit dem ersten Faktor und dann das resultierende Produkt mit dem zweiten Faktor multiplizieren.
3. Die Verteilungseigenschaft der Multiplikation: Um eine Zahl mit einer Summe zu multiplizieren, müssen Sie sie mit jedem Term einzeln multiplizieren.
Mal sehen, wie wir tatsächlich mentale Berechnungen durchführen.
Berechnung:
Lösung
1) Stellen Sie sich vor, wie
2) Stellen wir den ersten Multiplikator als Summe der Bitterme dar und führen die Multiplikation durch:
3) Sie können sich vorstellen, wie und Multiplikation durchführen:
4) Ersetzen Sie den ersten Faktor durch eine äquivalente Summe:
Das Distributivgesetz kann auch in verwendet werden Rückseite: .
Folge diesen Schritten:
1) 
2) 
Lösung
1) Der Einfachheit halber können Sie das Verteilungsgesetz verwenden, verwenden Sie es einfach in die entgegengesetzte Richtung – entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus Klammern.
2) Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus den Klammern
Es ist notwendig, Linoleum für Küche und Flur zu kaufen. Küchenbereich - Flur -. Es gibt drei Arten von Linoleum: für und für Rubel. Wie viel kostet jeder? drei Typen Linoleum? (Abb. 1)
Reis. 1. Veranschaulichung des Zustands des Problems
Lösung
Methode 1. Sie können separat ermitteln, wie viel Geld Sie für den Kauf von Linoleum in der Küche benötigen, es dann im Flur hinzufügen und die resultierenden Arbeiten addieren.
Zu Beginn der Lektion werden wir die grundlegenden Eigenschaften von Quadratwurzeln besprechen und uns dann einige davon ansehen schwierige Beispiele um Ausdrücke zu vereinfachen, die Quadratwurzeln enthalten.
Thema:Funktion. Eigenschaften Quadratwurzel
Lektion:Konvertieren und Vereinfachen komplexerer Ausdrücke mit Wurzeln
1. Wiederholung der Eigenschaften von Quadratwurzeln
Wiederholen wir kurz die Theorie und erinnern uns an die Haupteigenschaften von Quadratwurzeln.
Eigenschaften von Quadratwurzeln:
1. , also ;
3. 
;
4. 
.
2. Beispiele zur Vereinfachung von Ausdrücken mit Wurzeln
Kommen wir zu Beispielen für die Verwendung dieser Eigenschaften.
Beispiel 1: Einen Ausdruck vereinfachen 
.
Lösung. Zur Vereinfachung muss die Zahl 120 in Primfaktoren zerlegt werden:
Wir öffnen das Quadrat der Summe nach der entsprechenden Formel:
Beispiel 2: Einen Ausdruck vereinfachen 
.
Lösung. Wir berücksichtigen, dass dieser Ausdruck nicht für alle möglichen Werte der Variablen sinnvoll ist, da dieser Ausdruck Quadratwurzeln und Brüche enthält, was zu einer „Einengung“ des Bereichs akzeptabler Werte führt. ODZ: 
().
Wir bringen den Klammerausdruck auf einen gemeinsamen Nenner und schreiben den Zähler des letzten Bruchs als Differenz der Quadrate:
Antworten. bei.
Beispiel 3: Einen Ausdruck vereinfachen 
.
Lösung. Es ist ersichtlich, dass die zweite Klammer des Zählers eine unangenehme Form hat und vereinfacht werden muss. Versuchen wir, sie mithilfe der Gruppierungsmethode zu faktorisieren.
Um den gemeinsamen Faktor herausnehmen zu können, haben wir die Wurzeln vereinfacht, indem wir sie faktorisiert haben. Ersetzen Sie den resultierenden Ausdruck durch den ursprünglichen Bruch:
Nachdem wir den Bruch reduziert haben, wenden wir die Quadratdifferenzformel an.
3. Ein Beispiel für die Beseitigung der Irrationalität
Beispiel 4. Irrationalität (Wurzeln) im Nenner loswerden: a) ; B) .
Lösung. a) Um die Irrationalität im Nenner zu beseitigen, wird die Standardmethode der Multiplikation von Zähler und Nenner eines Bruchs mit dem konjugierten Faktor zum Nenner verwendet (derselbe Ausdruck, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen). Dies geschieht, um den Nenner des Bruchs mit der Differenz der Quadrate zu ergänzen, wodurch Sie die Wurzeln im Nenner entfernen können. Machen wir das in unserem Fall:
b) ähnliche Aktionen durchführen:
4. Ein Beispiel für den Beweis und für die Auswahl eines vollständigen Quadrats in einem komplexen Radikal
Beispiel 5. Beweisen Sie die Gleichheit 
.
Nachweisen. Verwenden wir die Definition der Quadratwurzel, woraus folgt, dass das Quadrat des rechten Ausdrucks gleich dem Wurzelausdruck sein muss:
. Öffnen wir die Klammern nach der Formel des Quadrats der Summe:
, erhalten wir die richtige Gleichung.
Bewährt.
Beispiel 6. Vereinfachen Sie den Ausdruck.
Lösung. Dieser Ausdruck wird allgemein als komplexes Radikal (Wurzel unter der Wurzel) bezeichnet. IN dieses Beispiel Man muss raten, um das vollständige Quadrat aus dem Wurzelausdruck zu extrahieren. Dazu stellen wir fest, dass es sich bei den beiden Termen um einen Anwärter auf die Rolle eines Doppelprodukts in der Formel für das Quadrat der Differenz (Differenz, da es ein Minus gibt) handelt. Wir schreiben es in Form eines solchen Produkts: , dann für die Rolle eines der Begriffe volles Quadrat Ansprüche und für die Rolle des zweiten - 1.
Ersetzen wir diesen Ausdruck unter der Wurzel.
Abschnitt 5 AUSDRÜCKE UND GLEICHUNGEN
Im Abschnitt erfahren Sie:
ü o Ausdrücke und ihre Vereinfachungen;
ü Was sind die Eigenschaften von Gleichheiten?
ü wie man Gleichungen basierend auf den Eigenschaften von Gleichheiten löst;
ü welche Arten von Problemen werden mit Hilfe von Gleichungen gelöst? Was sind senkrechte Linien und wie baut man sie auf?
ü welche Linien werden parallel genannt und wie baut man sie auf?
ü Was ist eine Koordinatenebene?
ü wie man die Koordinaten eines Punktes auf einer Ebene bestimmt;
ü Was ist ein Abhängigkeitsdiagramm zwischen Größen und wie wird es erstellt?
ü wie man das Gelernte in der Praxis anwendet
§ 30. Ausdrücke und ihre Vereinfachung
Sie wissen bereits, was wörtliche Ausdrücke sind und wissen, wie Sie sie mithilfe der Additions- und Multiplikationsgesetze vereinfachen können. Zum Beispiel 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Im resultierenden Ausdruck wird die Zahl -8 als Koeffizient des Ausdrucks bezeichnet.
Tut den Ausdruck CD Koeffizient? So. Es ist gleich 1, weil cd - 1 ∙ cd .
Denken Sie daran, dass das Konvertieren eines Ausdrucks mit Klammern in einen Ausdruck ohne Klammern als Klammererweiterung bezeichnet wird. Zum Beispiel: 5(2x + 4) = 10x + 20.
Die umgekehrte Aktion in diesem Beispiel besteht darin, den gemeinsamen Faktor aus Klammern zu setzen.
Begriffe, die die gleichen wörtlichen Faktoren enthalten, werden als ähnliche Begriffe bezeichnet. Durch Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern ergeben sich ähnliche Begriffe:
5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =
= (5x - 2x) + (y + 6y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5=
B x + 7y - 5.
Regeln zur Klammererweiterung
1. Wenn vor den Klammern ein „+“-Zeichen steht, bleiben beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen der in Klammern stehenden Begriffe erhalten;
2. Wenn vor den Klammern ein „-“-Zeichen steht, werden beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen der in Klammern stehenden Begriffe umgekehrt.
Aufgabe 1 . Den Ausdruck vereinfachen:
1) 4x+(-7x + 5);
2) 15 Jahre -(-8 + 7 Jahre).
Lösungen. 1. Vor den Klammern steht ein „+“-Zeichen, daher bleiben beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen aller Begriffe erhalten:
4x + (-7x + 5) = 4x - 7x + 5 = -3x + 5.
2. Vor den Klammern steht ein „-“-Zeichen, daher sind beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen aller Begriffe vertauscht:
15 - (- 8 + 7 Jahre) = 15 Jahre + 8 - 7 Jahre = 8 Jahre +8.
Um Klammern zu öffnen, verwenden Sie die Verteilungseigenschaft der Multiplikation: a( b + c) = ab + ac. Wenn a > 0, dann die Vorzeichen der Terme B und mit nicht ändern. Wenn ein< 0, то знаки слагаемых B und von sind vertauscht.
Aufgabe 2. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1) 2(6J -8) + 7J;
2) -5 (2-5x) + 12.
Lösungen. 1. Der Faktor 2 vor der Klammer e ist positiv, daher behalten wir beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen aller Terme bei: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.
2. Der Faktor -5 vor den Klammern e ist negativ, daher ändern wir beim Öffnen der Klammern die Vorzeichen aller Terme in die entgegengesetzten:
5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.
Finde mehr heraus
1. Das Wort „Summe“ kommt aus dem Lateinischen summa , was „insgesamt“, „insgesamt“ bedeutet.
2. Das Wort „plus“ kommt aus dem Lateinischen Plus , was „mehr“ bedeutet, und das Wort „minus“ kommt aus dem Lateinischen Minus, was „weniger“ bedeutet. Die Zeichen „+“ und „-“ werden verwendet, um die Operationen der Addition und Subtraktion anzuzeigen. Diese Zeichen wurden 1489 vom tschechischen Wissenschaftler J. Vidman in dem Buch „Ein schneller und angenehmer Bericht für alle Kaufleute“ eingeführt.(Abb. 138).
Reis. 138
Denken Sie an die wichtigsten Dinge
1. Welche Begriffe werden als ähnlich bezeichnet? Wie sind ähnliche Begriffe aufgebaut?
2. Wie öffnet man Klammern mit vorangestelltem „+“-Zeichen?
3. Wie öffnet man Klammern mit vorangestelltem „-“-Zeichen?
4. Wie öffnet man Klammern, denen ein positiver Faktor vorangestellt ist?
5. Wie öffnet man Klammern, denen ein negativer Faktor vorangestellt ist?
1374". Nennen Sie den Koeffizienten des Ausdrucks:
1) 12 a; 3) -5,6 xy;
2)4 6; 4)-s.
1375". Nennen Sie die Begriffe, die sich nur durch den Koeffizienten unterscheiden:
1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m -4n + 4;
2) v. Chr. -4d - v. Chr. + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.
Wie heißen diese Begriffe?
1376". Gibt es ähnliche Begriffe im Ausdruck:
1) 11a + 10a; 3)6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;
2) 14s-12; 4)12 m + m; 6) 8k +10k - n?
1377". Ist es notwendig, die Vorzeichen der Begriffe in Klammern zu ändern, indem man die Klammern im Ausdruck öffnet:
1)4 + (a + 3b); 2)-c +(5-d ); 3) 16-(5m-8n)?
1378°. Vereinfachen Sie den Ausdruck und unterstreichen Sie den Koeffizienten:
1379°. Vereinfachen Sie den Ausdruck und unterstreichen Sie den Koeffizienten:
1380°. Ähnliche Begriffe reduzieren:
1) 4a – Po + 6a – 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4d;
2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a – 12b – 7a + 5b;
3)-7ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.
1381°. Ähnliche Begriffe reduzieren:
1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;
2)9 b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.
1382°. Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:
1) 1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;
2) 0,5 s + 5d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.
1383°. Entfernen Sie den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:
1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;
2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3p - 0,9k + 2,7t.
1384°. Klammern öffnen und ähnliche Begriffe kürzen;
1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);
2) 17x-(4x-5); 5) (n – m) – (–2 m – 3 n);
3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).
1385°. Öffnen Sie die Klammern und reduzieren Sie ähnliche Begriffe:
1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5s);
2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m -5 n).
1386°. Erweitern Sie die Klammern und finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);
2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).
1387°. Erweitern Sie die Klammern und finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:
1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);
2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).
1388°. Öffnen Sie die Klammer:
1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);
2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 T);
3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).
1389°. Öffnen Sie die Klammer:
1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );
2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).
1390. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1391. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1392. Ähnliche Begriffe reduzieren:
1393. Ähnliche Begriffe reduzieren:
1394. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);
2) -12 ∙ (8 - 2, durch) + 4,5 ∙ (-6 Jahre - 3,2);
4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.
1395. Vereinfachen Sie den Ausdruck:
1396. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks;
1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), wenn a \u003d -5;
2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), wenn = -0,8;
m = 0,25, n = 5,7.
1397. Finden Sie den Wert des Ausdrucks:
1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), wenn x = -0,25;
1398*. Finden Sie den Fehler in der Lösung:
1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;
2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.
1399*. Erweitern Sie die Klammern und vereinfachen Sie den Ausdruck:
1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;
1400*. Ordnen Sie die Klammern an, um die richtige Gleichheit zu erhalten:
1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.
1401*. Beweisen Sie das für beliebige Zahlen a und b, wenn a > b , dann gilt folgende Gleichheit:
1) (a + b) + (a-b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.
Ist diese Gleichheit korrekt, wenn: a) a< B; b) a = 6?
1402*. Beweisen Sie, dass für jede natürliche Zahl a das arithmetische Mittel der vorhergehenden und folgenden Zahlen gleich a ist.
Bewerben Sie sich in der Praxis
1403. Um ein Fruchtdessert für drei Personen zuzubereiten, benötigen Sie: 2 Äpfel, 1 Orange, 2 Bananen und 1 Kiwi. Wie kann man wörtlich die Menge an Obst bestimmen, die für die Zubereitung eines Desserts für Gäste benötigt wird? Helfen Sie Marin, zu berechnen, wie viele Früchte sie kaufen muss, wenn sie zu Besuch kommt: 1) 5 Freunde; 2) 8 Freunde.
1404. Machen Sie einen wörtlichen Ausdruck, um die Zeit zu bestimmen, die zum Erledigen von Hausaufgaben in Mathematik erforderlich ist, wenn:
1) eine Minute wurde für die Lösung von Problemen aufgewendet; 2) Die Vereinfachung von Ausdrücken ist doppelt so hoch wie die der Lösung von Problemen. Wie lange hat es gedauert Hausaufgaben Vasilko, wenn er 15 Minuten damit verbringen würde, Probleme zu lösen?
1405. Das Mittagessen in der Schulkantine besteht aus Salat, Borschtsch, Kohlrouladen und Kompott. Die Kosten für Salat betragen 20 %, für Borschtsch 30 %, für Kohlrouladen 45 %, für Kompott 5 % der Gesamtkosten der gesamten Mahlzeit. Schreiben Sie einen Ausdruck, um die Kosten für das Mittagessen in der Schulkantine zu ermitteln. Wie viel kostet das Mittagessen, wenn der Preis für einen Salat 2 UAH beträgt?
WIEDERHOLUNGSAUFGABEN
1406. Lösen Sie die Gleichung:
1407. Tanya verbrachte Eisalles verfügbare Geld und für Süßigkeiten -der Rest. Wie viel Geld hat Tanya?
Wenn Süßigkeiten 12 UAH kosten?
§ 1 Das Konzept der Vereinfachung eines wörtlichen Ausdrucks
In dieser Lektion machen wir uns mit dem Konzept „ähnlicher Begriffe“ vertraut und lernen anhand von Beispielen, wie man die Reduktion ähnlicher Begriffe durchführt und so wörtliche Ausdrücke vereinfacht.
Lassen Sie uns die Bedeutung des Begriffs „Vereinfachung“ herausfinden. Das Wort „Vereinfachung“ leitet sich vom Wort „vereinfachen“ ab. Vereinfachen bedeutet, einfacher und einfacher zu machen. Daher bedeutet die Vereinfachung eines Literalausdrucks, ihn mit einer minimalen Anzahl von Aktionen kürzer zu machen.
Betrachten Sie den Ausdruck 9x + 4x. Dies ist ein wörtlicher Ausdruck, der eine Summe darstellt. Die Begriffe werden hier als Produkte einer Zahl und eines Buchstabens dargestellt. Der numerische Faktor solcher Terme wird Koeffizient genannt. In diesem Ausdruck sind die Koeffizienten die Zahlen 9 und 4. Bitte beachten Sie, dass der durch den Buchstaben dargestellte Multiplikator in beiden Termen dieser Summe gleich ist.
Erinnern Sie sich an das Verteilungsgesetz der Multiplikation:
Um die Summe mit einer Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.
IN Gesamtansicht wird wie folgt geschrieben: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.
Dieses Gesetz gilt in beiden Richtungen ac + bc = (a + b) ∙ c
Wenden wir es auf unseren wörtlichen Ausdruck an: Die Summe der Produkte von 9x und 4x ist gleich dem Produkt, dessen erster Faktor die Summe von 9 und 4 ist, dessen zweiter Faktor x ist.
9 + 4 = 13 ergibt 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Anstelle von drei Aktionen im Ausdruck blieb eine Aktion übrig – die Multiplikation. Das bedeutet, dass wir unseren wörtlichen Ausdruck einfacher gemacht haben, d. h. habe es vereinfacht.
§ 2 Kürzung gleichartiger Begriffe
Die Terme 9x und 4x unterscheiden sich nur in ihren Koeffizienten – solche Terme werden als ähnlich bezeichnet. Der Buchstabenteil ähnlicher Begriffe ist derselbe. Ähnliche Begriffe umfassen auch Zahlen und gleiche Begriffe.
Beispielsweise sind im Ausdruck 9a + 12 - 15 die Zahlen 12 und -15 ähnliche Terme, und in der Summe der Produkte von 12 und 6a sind die Zahlen 14 und die Produkte von 12 und 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), gleiche Terme werden ähnlich sein, dargestellt durch das Produkt von 12 und 6a.
Es ist wichtig zu beachten, dass Terme mit gleichen Koeffizienten und unterschiedlichen Literalfaktoren nicht ähnlich sind, obwohl es manchmal nützlich ist, das Verteilungsgesetz der Multiplikation auf sie anzuwenden, z. B. ist die Summe der Produkte von 5x und 5y gleich Produkt der Zahl 5 und der Summe von x und y
5x + 5y = 5(x + y).
Vereinfachen wir den Ausdruck -9a + 15a - 4 + 10.
Ähnliche Begriffe in dieser Fall sind die Terme -9a und 15a, da sie sich nur in ihren Koeffizienten unterscheiden. Sie haben den gleichen Buchstabenmultiplikator und auch die Begriffe -4 und 10 sind ähnlich, da es sich um Zahlen handelt. Wir fügen ähnliche Begriffe hinzu:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Wir erhalten: 6a + 6.
Um den Ausdruck zu vereinfachen, fanden wir die Summen gleicher Terme; in der Mathematik nennt man das die Reduktion gleicher Terme.
Wenn es schwierig ist, solche Begriffe zu vermitteln, können Sie sich Wörter dafür ausdenken und Objekte hinzufügen.
Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck:
Für jeden Buchstaben nehmen wir unser eigenes Objekt: b-Apfel, c-Birne, dann ergibt sich: 2 Äpfel minus 5 Birnen plus 8 Birnen.
Können wir Birnen von Äpfeln abziehen? Natürlich nicht. Aber wir können 8 Birnen zu minus 5 Birnen hinzufügen.
Wir geben die gleichen Bedingungen an: -5 Birnen + 8 Birnen. Gleiche Terme haben den gleichen wörtlichen Teil, daher reicht es beim Reduzieren gleicher Terme aus, die Koeffizienten zu addieren und den wörtlichen Teil zum Ergebnis hinzuzufügen:
(-5 + 8) Birnen – Sie erhalten 3 Birnen.
Zurück zu unserem wörtlichen Ausdruck: -5s + 8s = 3s. Nachdem wir ähnliche Terme reduziert haben, erhalten wir den Ausdruck 2b + 3c.
In dieser Lektion haben Sie sich mit dem Konzept „ähnlicher Begriffe“ vertraut gemacht und gelernt, wie Sie wörtliche Ausdrücke vereinfachen können, indem Sie ähnliche Begriffe verwenden.
Liste der verwendeten Literatur:
- Mathematik. Klasse 6: Unterrichtspläne zum Lehrbuch von I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // Autor-Compiler L.A. Topilin. Mnemosyne 2009.
- Mathematik. Klasse 6: ein Lehrbuch für Studierende von Bildungseinrichtungen. I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
- Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für Bildungseinrichtungen / G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suworow und andere / herausgegeben von G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygin; Russische Akademie der Wissenschaften, Russische Akademie für Pädagogik. M.: „Aufklärung“, 2010.
- Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen / N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Tschesnokow, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemozina, 2013.
- Mathematik. Klasse 6: Lehrbuch / G.K. Muravin, O.V. Ameise. – M.: Bustard, 2014.
Verwendete Bilder:
Erste Ebene
Ausdrucksumwandlung. Detaillierte Theorie (2019)
Ausdrucksumwandlung
Oft hören wir diesen unangenehmen Satz: „Vereinfachen Sie den Ausdruck.“ Normalerweise haben wir in diesem Fall eine Art Monster wie dieses:
„Ja, viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert meist nicht.
Jetzt werde ich Ihnen beibringen, vor solchen Aufgaben keine Angst zu haben. Darüber hinaus werden Sie am Ende der Lektion dieses Beispiel selbst auf eine (gerade!) gewöhnliche Zahl vereinfachen (ja, zum Teufel mit diesen Buchstaben).
Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie in der Lage sein, mit Brüchen und Faktorpolynomen umzugehen. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher zunächst die Themen „“ und „“ beherrschen.
Lesen? Wenn ja, dann sind Sie bereit.
Grundlegende Vereinfachungsoperationen
Jetzt analysieren wir die wichtigsten Techniken, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.
Die einfachste davon ist
1. Ähnliches mitbringen
Was ist ähnlich? Das haben Sie in der 7. Klasse erlebt, als in der Mathematik zum ersten Mal Buchstaben anstelle von Zahlen auftauchten. Ähnlich sind Begriffe (Monome) mit demselben Buchstabenteil. In der Summe sind ähnliche Begriffe beispielsweise und.
Fiel ein?
Ähnliche Begriffe zu bringen bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe einander hinzuzufügen und einen Begriff zu erhalten.
Aber wie können wir Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.
Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn man sich vorstellt, dass es sich bei den Buchstaben um Gegenstände handelt. Der Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Wie lautet dann der Ausdruck? Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viel wird es kosten? Genau, Stühle: .
Versuchen Sie es nun mit diesem Ausdruck:
Um Verwirrung zu vermeiden, bezeichnen unterschiedliche Buchstaben unterschiedliche Objekte. Zum Beispiel – das ist (wie üblich) ein Stuhl und – das ist ein Tisch. Dann:
Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische
Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten. Im Monom ist der Koeffizient beispielsweise gleich. Und er ist gleich.
Also, die Regel, um Ähnliches zu bringen:
Beispiele:
Ähnliches mitbringen:
Antworten:
2. (und sind ähnlich, da diese Begriffe daher den gleichen Buchstabenteil haben).
2. Faktorisierung
Das ist normalerweise das Meiste Ein wichtiger Teil bei der Vereinfachung von Ausdrücken. Nachdem Sie ähnliche Werte angegeben haben, muss der resultierende Ausdruck meist faktorisiert, also als Produkt dargestellt werden. Dies ist besonders bei Brüchen wichtig: Denn um einen Bruch zu reduzieren, müssen Zähler und Nenner als Produkt dargestellt werden.
Sie haben die detaillierten Methoden zur Faktorisierung von Ausdrücken im Thema „“ besprochen, Sie müssen sich also hier nur noch daran erinnern, was Sie gelernt haben. Lösen Sie dazu einige Beispiele(muss herausgerechnet werden):
Lösungen:
3. Fraktionsreduzierung.
Was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners zu streichen und aus Ihrem Leben zu verbannen?
Das ist das Schöne an der Abkürzung.
Es ist einfach:
Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können diese gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.
Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:
Das heißt, das Wesentliche der Reduktionsoperation ist Folgendes Wir dividieren Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).
Um einen Bruch zu kürzen, benötigen Sie:
1) Zähler und Nenner faktorisieren
2) wenn Zähler und Nenner enthalten übliche Faktoren, sie können gelöscht werden.
Das Prinzip ist meiner Meinung nach klar?
Ich möchte Sie auf einen typischen Fehler bei der Abkürzung aufmerksam machen. Obwohl dieses Thema einfach ist, machen viele Menschen alles falsch, ohne sich dessen bewusst zu sein schneiden- das heisst teilen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.
Keine Abkürzungen, wenn der Zähler oder Nenner die Summe ist.
Zum Beispiel: Sie müssen vereinfachen.
Manche machen das: was absolut falsch ist.
Ein weiteres Beispiel: reduzieren.
„Der Klügste“ wird dies tun:.
Sag mir, was hier los ist? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, den Sie reduzieren können.
Aber nein: - Dies ist ein Faktor von nur einem Term im Zähler, aber der Zähler selbst wird als Ganzes nicht in Faktoren zerlegt.
Hier ist ein weiteres Beispiel: .
Dieser Ausdruck wird in Faktoren zerlegt, was bedeutet, dass Sie den Zähler und den Nenner reduzieren, also durch dividieren können, und dann durch:
Sie können sofort dividieren durch:
Um solche Fehler zu vermeiden, denken Sie daran einfacher Weg So ermitteln Sie, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:
Die arithmetische Operation, die bei der Berechnung des Werts des Ausdrucks zuletzt ausgeführt wird, ist die „Hauptoperation“. Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben ersetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist, ein Produkt (der Ausdruck wird in Faktoren zerlegt). Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).
Um das Problem zu beheben, lösen Sie es selbst ein paar Mal Beispiele:
Antworten:
1. Ich hoffe, Sie haben es nicht sofort mit dem Schneiden eilig und? Es reichte immer noch nicht aus, Einheiten wie diese zu „reduzieren“:
Der erste Schritt sollte darin bestehen, Folgendes zu faktorisieren:
4. Addition und Subtraktion von Brüchen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.
Das Addieren und Subtrahieren gewöhnlicher Brüche ist eine bekannte Operation: Wir suchen nach einem gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren/subtrahieren die Zähler. Lass uns erinnern:
Antworten:
1. Die Nenner und sind teilerfremd, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Faktoren. Daher ist der kgV dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:
2. Hier ist der gemeinsame Nenner:
3. Das Erste hier gemischte Brüche verwandle sie in falsche und dann - nach dem üblichen Schema:
Eine ganz andere Sache ist es, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:
Fangen wir ganz einfach an:
a) Nenner enthalten keine Buchstaben
Hier ist alles wie bei gewöhnlichen Zahlenbrüchen: Wir finden einen gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren/subtrahieren die Zähler:
Jetzt können Sie, falls vorhanden, ähnliche in den Zähler einfügen und sie faktorisieren:
Versuch es selber:
b) Nenner enthalten Buchstaben
Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:
Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;
Dann schreiben wir alle gemeinsamen Faktoren einmal auf;
und multiplizieren Sie sie mit allen anderen Faktoren, nicht mit den üblichen.
Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu ermitteln, zerlegen wir sie zunächst in einfache Faktoren:
Wir betonen die gemeinsamen Faktoren:
Nun schreiben wir die gemeinsamen Faktoren einmal aus und addieren dazu alle nicht-gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren:
Das ist der gemeinsame Nenner.
Kommen wir zurück zu den Briefen. Die Nenner werden genauso angegeben:
Wir zerlegen die Nenner in Faktoren;
gemeinsame (identische) Multiplikatoren bestimmen;
alle gemeinsamen Faktoren einmal aufschreiben;
Wir multiplizieren sie mit allen anderen Faktoren, nicht mit den üblichen.
Also, der Reihe nach:
1) Zerlegen Sie die Nenner in Faktoren:
2) Bestimmen Sie die gemeinsamen (identischen) Faktoren:
3) Schreiben Sie alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multiplizieren Sie sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:
Der gemeinsame Nenner ist also hier. Der erste Bruch muss mit multipliziert werden, der zweite mit:
Übrigens gibt es einen Trick:
Zum Beispiel: .
Wir sehen in den Nennern die gleichen Faktoren, nur alle mit unterschiedlichen Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:
in dem Umfang
in dem Umfang
in dem Umfang
im Grad.
Machen wir die Aufgabe komplizierter:
Wie bringt man Brüche dazu, den gleichen Nenner zu haben?
Erinnern wir uns an die Grundeigenschaft eines Bruchs:
Nirgendwo heißt es, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!
Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zum Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was wurde gelernt?
Also noch eine unerschütterliche Regel:
Wenn Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!
Aber was muss man multiplizieren, um zu erhalten?
Hier weiter und multiplizieren. Und multiplizieren mit:
Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, werden als „Elementarfaktoren“ bezeichnet. Beispielsweise ist ein elementarer Faktor. - Dasselbe. Aber – nein: es wird in Faktoren zerlegt.
Wie sieht es mit Ausdruck aus? Ist es elementar?
Nein, weil es faktorisiert werden kann:
(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema „“) gelesen.
Die Elementarfaktoren, in die man einen Ausdruck mit Buchstaben zerlegt, sind also ein Analogon der einfachen Faktoren, in die man Zahlen zerlegt. Und wir werden dasselbe mit ihnen tun.
Wir sehen, dass beide Nenner einen Faktor haben. Es wird auf den gemeinsamen Nenner in der Potenz gehen (erinnern Sie sich, warum?).
Der Multiplikator ist elementar und sie haben ihn nicht gemeinsam, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:
Ein anderes Beispiel:
Lösung:
Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren? Beide repräsentieren:
Großartig! Dann:
Ein anderes Beispiel:
Lösung:
Wie üblich faktorisieren wir die Nenner. Im ersten Nenner setzen wir ihn einfach aus Klammern; im zweiten - die Quadratdifferenz:
Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie sich schon so ähnlich ... Und die Wahrheit ist:
Also lasst uns schreiben:
Das heißt, es kam so: Innerhalb der Klammer vertauschten wir die Begriffe und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies häufig tun müssen.
Nun bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:
Habe es? Lassen Sie uns nun überprüfen.
Aufgaben zur eigenständigen Lösung:
Antworten:
Hier müssen wir uns noch an etwas erinnern – den Unterschied der Würfel:
Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruchs nicht die Formel „Quadrat der Summe“ enthält! Das Quadrat der Summe würde so aussehen:
A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und letzten und nicht deren doppeltes Produkt. Das unvollständige Quadrat der Summe ist einer der Faktoren bei der Entwicklung der Kubikdifferenz:
Was ist, wenn es bereits drei Brüche gibt?
Ja das Gleiche! Zunächst stellen wir sicher, dass die maximale Anzahl der Faktoren im Nenner gleich ist:
Achtung: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch in das Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, wird das Vorzeichen vor dem Bruch wieder umgekehrt. Infolgedessen hat er (das Zeichen vor dem Bruch) sich nicht geändert.
Wir schreiben den ersten Nenner vollständig im gemeinsamen Nenner aus und addieren dann alle noch nicht geschriebenen Faktoren ab dem zweiten und dann ab dem dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es geht so:
Hmm ... Bei Brüchen ist klar, was zu tun ist. Aber was ist mit den beiden?
Es ist ganz einfach: Sie wissen, wie man Brüche addiert, oder? Sie müssen also sicherstellen, dass die Zwei zu einem Bruch wird! Denken Sie daran: Ein Bruch ist eine Divisionsoperation (der Zähler wird durch den Nenner geteilt, falls Sie es plötzlich vergessen haben). Und es gibt nichts einfacheres, als eine Zahl durch zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird in einen Bruch umgewandelt:
Genau das, was benötigt wird!
5. Multiplikation und Division von Brüchen.
Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber zugleich Wichtigste:
Verfahren
Wie wird ein numerischer Ausdruck berechnet? Denken Sie daran, wenn Sie den Wert eines solchen Ausdrucks berücksichtigen:
Hast du gezählt?
Es sollte funktionieren.
Also, ich erinnere Sie daran.
Der erste Schritt besteht darin, den Grad zu berechnen.
Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig erfolgen, können Sie diese in beliebiger Reihenfolge durchführen.
Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Auch hier wieder in beliebiger Reihenfolge.
Aber: Der in Klammern gesetzte Ausdruck wird nicht in der richtigen Reihenfolge ausgewertet!
Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, werten wir zunächst den Ausdruck in jeder der Klammern aus und multiplizieren oder dividieren sie dann.
Was ist, wenn innerhalb der Klammern weitere Klammern stehen? Nun, denken wir mal: Ein Ausdruck steht in den Klammern. Was ist bei der Auswertung eines Ausdrucks als Erstes zu tun? Richtig, Klammern berechnen. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.
Die Reihenfolge der Aktionen für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, also die Aktion, die ich gerade ausführe):
Okay, es ist alles einfach.
Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben, oder?
Nein, es ist das Gleiche! Nur müssen statt arithmetischer Operationen algebraische Operationen durchgeführt werden, also die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Operationen: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche reduzieren usw. Der einzige Unterschied besteht in der Funktion der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden sie oft, wenn wir mit Brüchen arbeiten). Am häufigsten müssen Sie zur Faktorisierung i verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen.
Normalerweise besteht unser Ziel darin, einen Ausdruck als Produkt oder Quotienten darzustellen.
Zum Beispiel:
Vereinfachen wir den Ausdruck.
1) Zuerst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir die Differenz von Brüchen und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotienten darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:
Es ist unmöglich, diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen, alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).
2) Wir erhalten:
Multiplikation von Brüchen: Was könnte einfacher sein?
3) Jetzt können Sie kürzen:
OK, jetzt ist alles vorbei. Nichts Kompliziertes, oder?
Ein anderes Beispiel:
Den Ausdruck vereinfachen.
Versuchen Sie zunächst, das Problem selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.
Definieren wir zunächst das Verfahren. Fügen wir zunächst die Brüche in Klammern hinzu, statt zwei Brüche erhalten wir einen. Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, wir addieren das Ergebnis mit dem letzten Bruch. Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:
Jetzt zeige ich den gesamten Vorgang und färbe die aktuelle Aktion rot:
Abschließend gebe ich Ihnen noch zwei nützliche Tipps:
1. Wenn es ähnliche gibt, müssen diese sofort mitgebracht werden. Wann immer wir ähnliche Exemplare haben, ist es ratsam, sie sofort mitzubringen.
2. Das Gleiche gilt für das Kürzen von Brüchen: Sobald sich eine Möglichkeit zum Kürzen ergibt, muss diese genutzt werden. Eine Ausnahme bilden Brüche, die Sie addieren oder subtrahieren: Wenn sie jetzt den gleichen Nenner haben, sollte die Reduktion für später aufgehoben werden.
Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:
Und gleich zu Beginn versprochen:
Lösungen (kurz):
Wenn Sie mindestens die ersten drei Beispiele gemeistert haben, dann haben Sie das Thema gemeistert.
Nun geht es ans Lernen!
AUSDRUCKKONVERTIERUNG. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL
Grundlegende Vereinfachungsoperationen:
- Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Begriffe hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
- Faktorisierung: Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Anwenden usw.
- Bruchreduktion: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, wobei sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
1) Zähler und Nenner faktorisieren
2) Wenn im Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren vorhanden sind, können diese durchgestrichen werden.WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!
- Addition und Subtraktion von Brüchen:
; - Multiplikation und Division von Brüchen:
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