Εξήγηση του παραδόξου Monty Hall. Το Monty Hall Paradox είναι ένα λογικό παζλ που δεν απευθύνεται σε άτομα με λιποθυμία.

Την γνώρισα που ονομάζεται Monty Hall Paradox, και ουάου το έλυσε διαφορετικά, δηλαδή: απέδειξε ότι πρόκειται για ψευδοπαράδοξο.

Φίλοι, θα χαρώ να ακούσω κριτική για τη διάψευση αυτού του παραδόξου (ψευδοπαράδοξο, αν έχω δίκιο). Και μετά θα δω με τα μάτια μου ότι η λογική μου είναι κουτσή, θα πάψω να θεωρώ τον εαυτό μου στοχαστή και θα σκεφτώ να αλλάξω το είδος της δραστηριότητας σε πιο λυρικό: ο). Λοιπόν, εδώ είναι το περιεχόμενο της εργασίας. Η προτεινόμενη λύση και η αντίκρουσή μου είναι παρακάτω.

Φανταστείτε ότι έχετε γίνει συμμετέχων σε ένα παιχνίδι στο οποίο βρίσκεστε μπροστά σε τρεις πόρτες. Ο οικοδεσπότης, ο οποίος είναι γνωστός ότι είναι ειλικρινής, τοποθέτησε ένα αυτοκίνητο πίσω από τη μία από τις πόρτες και μια κατσίκα πίσω από τις άλλες δύο πόρτες. Δεν έχετε πληροφορίες για το τι υπάρχει πίσω από ποια πόρτα.

Ο συντονιστής σου λέει: «Πρώτα πρέπει να διαλέξεις μία από τις πόρτες. Μετά από αυτό, θα ανοίξω μια από τις πόρτες που έχουν απομείνει, πίσω από την οποία είναι μια κατσίκα. Στη συνέχεια θα σας προτείνω να αλλάξετε την αρχική σας επιλογή και να επιλέξετε την υπόλοιπη κλειστή πόρτα αντί για αυτήν που επιλέξατε στην αρχή. Μπορείτε να ακολουθήσετε τη συμβουλή μου και να επιλέξετε μια άλλη πόρτα ή μπορείτε να επιβεβαιώσετε την αρχική σας επιλογή. Μετά από αυτό, θα ανοίξω την πόρτα που επιλέξατε και θα κερδίσετε ό,τι βρίσκεται πίσω από αυτή την πόρτα».

Επιλέγετε την πόρτα νούμερο 3. Ο συντονιστής ανοίγει την πόρτα νούμερο 1 και δείχνει ότι υπάρχει μια κατσίκα πίσω της. Στη συνέχεια, ο οικοδεσπότης σας ζητά να επιλέξετε την πόρτα νούμερο 2.

Θα αυξηθούν οι πιθανότητές σας να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο αν ακολουθήσετε τις συμβουλές του;
Το παράδοξο του Monty Hall είναι ένα από τα γνωστά προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, η λύση του οποίου, με την πρώτη ματιά, έρχεται σε αντίθεση με την κοινή λογική.
Όταν λύνουν αυτό το πρόβλημα, συνήθως σκέφτονται κάτι τέτοιο: αφού ο οικοδεσπότης ανοίξει την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται η κατσίκα, το αυτοκίνητο μπορεί να βρίσκεται μόνο πίσω από μία από τις δύο πόρτες που απομένουν. Αφού ο παίκτης δεν μπορεί να λάβει κανένα Επιπλέον πληροφορίεςσχετικά με το ποια πόρτα είναι πίσω το αυτοκίνητο, τότε η πιθανότητα να βρεθεί ένα αυτοκίνητο πίσω από κάθε μία από τις πόρτες είναι η ίδια και η αλλαγή της αρχικής επιλογής της πόρτας δεν δίνει στον παίκτη κανένα πλεονέκτημα. Ωστόσο, αυτή η συλλογιστική είναι εσφαλμένη.
Εάν ο οικοδεσπότης γνωρίζει πάντα ποια πόρτα είναι πίσω, ανοίγει πάντα την υπόλοιπη πόρτα που περιέχει την κατσίκα και πάντα προτρέπει τον παίκτη να αλλάξει την επιλογή του, τότε η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα που έχει επιλέξει ο παίκτης είναι 1/3, και , κατά συνέπεια, η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την υπόλοιπη πόρτα είναι 2/3. Έτσι, η αλλαγή της αρχικής επιλογής διπλασιάζει τις πιθανότητες του παίκτη να κερδίσει το αυτοκίνητο. Αυτό το συμπέρασμα έρχεται σε αντίθεση με τη διαισθητική αντίληψη της κατάστασης από τους περισσότερους ανθρώπους, γι' αυτό και το περιγραφόμενο πρόβλημα ονομάζεται παράδοξο του Monty Hall.

Μου φαίνεται ότι οι πιθανότητες δεν θα αλλάξουν. δεν υπάρχει παράδοξο.

Και να γιατί: η πρώτη και η δεύτερη πόρτα είναι επιλογές ανεξάρτητοςεκδηλώσεις. Είναι σαν να πετάς ένα νόμισμα 2 φορές: αυτό που πέφτει έξω τη 2η φορά δεν εξαρτάται σε καμία περίπτωση από αυτό που έπεσε έξω την 1η.

Εδώ λοιπόν: αφού ανοίξει την πόρτα με μια κατσίκα, ο παίκτης βρίσκεται μέσα νέα κατάστασηόταν έχει 2 πόρτες και η πιθανότητα επιλογής αυτοκινήτου ή κατσίκας είναι 1/2.

Για άλλη μια φορά: μετά το άνοιγμα μιας πόρτας στις τρεις, η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την υπόλοιπη πόρτα, δεν ισούται με 2/3, επειδή Τα 2/3 είναι η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από οποιεσδήποτε 2 πόρτες. Δεν είναι σωστό να αποδίδεται αυτή η πιθανότητα σε μια πόρτα που δεν έχει ανοίξει και μια ανοιχτή. Πριντο άνοιγμα των θυρών ήταν μια τέτοια ευθυγράμμιση πιθανοτήτων, αλλά μετάανοίγοντας μια πόρτα, γίνονται όλες αυτές οι πιθανότητες άκυρο, γιατί η κατάσταση έχει αλλάξει, και επομένως χρειάζεται ένας νέος υπολογισμός πιθανοτήτων, οι οποίες απλοί άνθρωποιδιενεργήθηκε σωστά, απαντώντας ότι τίποτα δεν θα αλλάξει από μια αλλαγή επιλογής.

Προσθήκη: 1) αιτιολογώντας ότι:

α) η πιθανότητα να βρεθεί ένα αυτοκίνητο πίσω από την επιλεγμένη πόρτα είναι 1/3,

β) την πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από δύο άλλες μη επιλεγμένες πόρτες, 2/3,

γ) επειδή ο οικοδεσπότης άνοιξε την πόρτα με την κατσίκα, τότε η πιθανότητα των 2/3 πηγαίνει εξ ολοκλήρου σε μια μη επιλεγμένη (και μη ανοιγμένη) πόρτα,

και επομένως είναι απαραίτητο να αλλάξετε την επιλογή σε άλλη πόρτα, έτσι ώστε η πιθανότητα από το 1/3 να γίνει 2/3, όχι αληθές, αλλά ψευδές, συγκεκριμένα: στην παράγραφο «γ», γιατί αρχικά η πιθανότητα 2/3 αφορά οποιεσδήποτε δύο πόρτες, συμπεριλαμβανομένων των 2 που παραμένουν μη ανοιχτές, και εφόσον άνοιξε η μία πόρτα, τότε αυτή η πιθανότητα θα διαιρεθεί εξίσου μεταξύ 2 μη ανοιχτών, δηλ. η πιθανότητα θα είναι ίση και η επιλογή άλλης πόρτας δεν θα την αυξήσει.

2) Οι πιθανότητες υπό όρους υπολογίζονται εάν υπάρχουν 2 ή περισσότερα τυχαία συμβάντα και η πιθανότητα υπολογίζεται χωριστά για κάθε γεγονός και μόνο τότε υπολογίζεται η πιθανότητα κοινής εμφάνισης 2 ή περισσότερων γεγονότων. Εδώ, αρχικά, η πιθανότητα να μαντέψετε ήταν 1/3, αλλά για να υπολογίσετε την πιθανότητα το αυτοκίνητο να μην βρίσκεται πίσω από την πόρτα που επιλέχθηκε, αλλά πίσω από την άλλη που δεν είναι ανοιχτή, δεν χρειάζεται να υπολογίσετε την υπό όρους πιθανότητα, αλλά πρέπει να υπολογίσετε την απλή πιθανότητα, η οποία είναι 1 στις 2, αυτές. 1/2.

3) Επομένως, δεν πρόκειται για παράδοξο, αλλά για πλάνη! (19.11.2009)

Παράρτημα 2: Χθες κατέληξα στην πιο απλή εξήγηση αυτή η στρατηγική επανεκλογής εξακολουθεί να είναι πιο συμφέρουσα(το παράδοξο είναι αλήθεια!): με την πρώτη επιλογή, το να μπεις σε μια κατσίκα είναι 2 φορές πιο πιθανό από ό,τι σε ένα αυτοκίνητο, επειδή υπάρχουν δύο κατσίκες, και επομένως, με τη δεύτερη επιλογή, πρέπει να αλλάξεις την επιλογή. Είναι τόσο προφανές :o)

Ή με άλλα λόγια: είναι απαραίτητο να μην μαρκάρουμε στο αυτοκίνητο, αλλά να απορρίψουμε τις κατσίκες, και σε αυτό βοηθάει ακόμη και ο παρουσιαστής, ανοίγοντας την κατσίκα. Και στην αρχή του παιχνιδιού, με πιθανότητα 2 στα 3, ο παίκτης θα πετύχει επίσης, οπότε, έχοντας απορρίψει τις κατσίκες, πρέπει να αλλάξετε την επιλογή. Και έγινε επίσης πολύ προφανές ξαφνικά :o)

Οπότε όλα όσα έγραψα μέχρι τώρα ήταν μια ψευδοδιάψευση. Λοιπόν, εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα του γεγονότος ότι πρέπει να είστε πιο σεμνοί, να σέβεστε την άποψη κάποιου άλλου και να μην εμπιστεύεστε τις διαβεβαιώσεις της λογικής σας ότι οι αποφάσεις του είναι κρυστάλλινες λογικές.

Τον Δεκέμβριο του 1963, το αμερικανικό τηλεοπτικό κανάλι NBC μετέδωσε για πρώτη φορά το πρόγραμμα Let's Make a Deal ("Let's make a deal!"), στο οποίο οι συμμετέχοντες, επιλεγμένοι από το κοινό στο στούντιο, διαπραγματεύτηκαν μεταξύ τους και με τον οικοδεσπότη, έπαιξαν μικρά παιχνίδιαή απλά μαντέψτε την απάντηση στην ερώτηση. Στο τέλος της εκπομπής, οι συμμετέχοντες μπορούσαν να παίξουν το "deal of the day". Υπήρχαν τρεις πόρτες μπροστά τους, για τις οποίες ήταν γνωστό ότι πίσω από μία από αυτές ήταν το Μεγάλο Βραβείο (για παράδειγμα, ένα αυτοκίνητο) και πίσω από τις άλλες δύο υπήρχαν λιγότερο πολύτιμα ή εντελώς παράλογα δώρα (για παράδειγμα, ζωντανές κατσίκες) . Αφού ο παίκτης έκανε την επιλογή του, ο Monty Hall, ο οικοδεσπότης του προγράμματος, άνοιξε μία από τις δύο πόρτες που είχαν απομείνει, δείχνοντας ότι δεν υπήρχε έπαθλο πίσω από αυτό και άφησε τον συμμετέχοντα να χαρεί που είχε την ευκαιρία να κερδίσει.

Το 1975, ο επιστήμονας του UCLA Steve Selvin ρώτησε τι θα συνέβαινε εάν, εκείνη τη στιγμή, αφού άνοιγε την πόρτα χωρίς βραβείο, ζητηθεί από τον συμμετέχοντα να αλλάξει την επιλογή του. Θα αλλάξουν οι πιθανότητες του παίκτη να πάρει το Έπαθλο σε αυτή την περίπτωση και αν ναι, προς ποια κατεύθυνση; Έστειλε την αντίστοιχη ερώτηση με τη μορφή προβλήματος στον Αμερικανό Στατιστικό («American Statistician»), καθώς και στον ίδιο τον Monty Hall, ο οποίος έδωσε μια αρκετά περίεργη απάντηση σε αυτό. Παρά αυτή την απάντηση (ή ίσως εξαιτίας της), το πρόβλημα έγινε δημοφιλές με το όνομα "πρόβλημα Monty Hall".

Η πιο κοινή διατύπωση αυτού του προβλήματος, που δημοσιεύτηκε το 1990 στο Parade Magazine, είναι η εξής:

«Φανταστείτε ότι έχετε γίνει συμμετέχων σε ένα παιχνίδι στο οποίο πρέπει να επιλέξετε ένα από αυτά τρεις πόρτες. Πίσω από τη μια πόρτα είναι ένα αυτοκίνητο, πίσω από τις άλλες δύο πόρτες είναι κατσίκες. Επιλέγετε μια από τις πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 1, μετά ο οικοδεσπότης, που ξέρει πού είναι το αυτοκίνητο και πού είναι οι κατσίκες, ανοίγει μια από τις υπόλοιπες πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 3, πίσω από την οποία υπάρχει μια κατσίκα. Μετά από αυτό, σας ρωτά αν θέλετε να αλλάξετε την επιλογή σας και να επιλέξετε την πόρτα νούμερο 2. Θα αυξηθούν οι πιθανότητές σας να κερδίσετε το αυτοκίνητο εάν αποδεχτείτε την προσφορά του οικοδεσπότη και αλλάξετε την επιλογή σας;

Μετά τη δημοσίευση, έγινε αμέσως σαφές ότι το πρόβλημα διατυπώθηκε λανθασμένα: δεν ορίστηκαν όλες οι προϋποθέσεις. Για παράδειγμα, ο διαμεσολαβητής μπορεί να ακολουθήσει τη στρατηγική του «κολασμένου Monty»: να προσφέρει να αλλάξει την επιλογή εάν και μόνο εάν ο παίκτης έχει επιλέξει ένα αυτοκίνητο στην πρώτη κίνηση. Προφανώς, η αλλαγή της αρχικής επιλογής θα οδηγήσει σε εγγυημένη απώλεια σε μια τέτοια κατάσταση.

Το πιο δημοφιλές είναι το πρόβλημα με μια πρόσθετη συνθήκη - ο συμμετέχων στο παιχνίδι γνωρίζει εκ των προτέρων τους ακόλουθους κανόνες:

1. το αυτοκίνητο είναι εξίσου πιθανό να τοποθετηθεί πίσω από οποιαδήποτε από τις 3 πόρτες.
2. Σε κάθε περίπτωση, ο οικοδεσπότης είναι υποχρεωμένος να ανοίξει την πόρτα με την κατσίκα (αλλά όχι αυτή που έχει επιλέξει ο παίκτης) και να προσφέρει στον παίκτη να αλλάξει την επιλογή.
3. εάν ο ηγέτης έχει τη δυνατότητα να επιλέξει ποια από τις δύο πόρτες να ανοίξει, επιλέγει μία από αυτές με την ίδια πιθανότητα.

Ενδειξη

Προσπαθήστε να σκεφτείτε άτομα που επέλεξαν διαφορετικές πόρτες στην ίδια περίπτωση (δηλαδή όταν το Βραβείο βρίσκεται, για παράδειγμα, πίσω από την πόρτα νούμερο 1). Ποιος θα ωφεληθεί από την αλλαγή της επιλογής του και ποιος όχι;

Λύση

Όπως προτείνεται στην επεξήγηση εργαλείου, σκεφτείτε άτομα που έκαναν διαφορετικές επιλογές. Ας υποθέσουμε ότι το Βραβείο βρίσκεται πίσω από την πόρτα #1 και πίσω από τις πόρτες #2 και #3 είναι κατσίκες. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έξι άτομα, και κάθε πόρτα επιλέχθηκε από δύο άτομα, και από κάθε ζευγάρι ο ένας άλλαξε στη συνέχεια την απόφαση και ο άλλος όχι.

Σημειώστε ότι ο Οικοδεσπότης που θα επιλέξει την πόρτα Νο 1 θα ανοίξει μια από τις δύο πόρτες σύμφωνα με το γούστο του, ενώ, ανεξάρτητα από αυτό, το Αυτοκίνητο θα παραληφθεί από αυτόν που δεν αλλάζει την επιλογή του, αλλά αυτός που άλλαξε την αρχική του επιλογή θα παραμείνει χωρίς το Βραβείο. Τώρα ας δούμε αυτούς που επέλεξαν τις πόρτες #2 και #3. Εφόσον υπάρχει ένα Αυτοκίνητο πίσω από την πόρτα Νο. 1, ο Οικοδεσπότης δεν μπορεί να το ανοίξει, κάτι που δεν του αφήνει άλλη επιλογή - τους ανοίγει τις πόρτες Νο. 3 και Νο. 2, αντίστοιχα. Ταυτόχρονα, αυτός που άλλαξε την απόφαση σε κάθε ζευγάρι θα επιλέξει το Βραβείο ως αποτέλεσμα και αυτός που δεν άλλαξε θα μείνει χωρίς τίποτα. Έτσι, από τρία άτομα που αλλάζουν γνώμη, δύο θα πάρουν το Βραβείο και ένας θα πάρει την κατσίκα, ενώ από τους τρεις που άφησαν την αρχική τους επιλογή αμετάβλητη, μόνο ένας θα πάρει το Βραβείο.

Να σημειωθεί ότι αν το Αυτοκίνητο ήταν πίσω από την πόρτα #2 ή #3, το αποτέλεσμα θα ήταν το ίδιο, μόνο οι συγκεκριμένοι νικητές θα άλλαζαν. Έτσι, αν υποθέσουμε ότι αρχικά κάθε πόρτα επιλέγεται με ίση πιθανότητα, παίρνουμε ότι όσοι αλλάζουν την επιλογή τους κερδίζουν το Έπαθλο δύο φορές πιο συχνά, δηλαδή η πιθανότητα να κερδίσουν σε αυτή την περίπτωση είναι μεγαλύτερη.

Ας δούμε αυτό το πρόβλημα από τη σκοπιά της μαθηματικής θεωρίας των πιθανοτήτων. Θα υποθέσουμε ότι η πιθανότητα της αρχικής επιλογής καθεμιάς από τις πόρτες είναι η ίδια, καθώς και η πιθανότητα να βρεθείτε πίσω από κάθε μια από τις πόρτες του Αυτοκινήτου. Επιπλέον, είναι χρήσιμο να κάνουμε επιφύλαξη ότι ο Αρχηγός, όταν μπορεί να ανοίξει δύο πόρτες, επιλέγει την καθεμία από αυτές με ίση πιθανότητα. Τότε αποδεικνύεται ότι μετά την πρώτη απόφαση, η πιθανότητα το Βραβείο να βρίσκεται πίσω από την επιλεγμένη πόρτα είναι 1/3, ενώ η πιθανότητα να βρίσκεται πίσω από μία από τις άλλες δύο πόρτες είναι 2/3. Ταυτόχρονα, αφού ο Οικοδεσπότης άνοιξε μία από τις δύο «μη επιλεγμένες» πόρτες, ολόκληρη η πιθανότητα των 2/3 πέφτει μόνο σε μία από τις υπόλοιπες πόρτες, δημιουργώντας έτσι τη βάση για αλλαγή της απόφασης, η οποία θα αυξήσει την πιθανότητα νίκης κατά 2 φορές. Κάτι που φυσικά δεν το εγγυάται σε καμία περίπτωση σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, αλλά θα οδηγήσει σε πιο επιτυχημένα αποτελέσματα στην περίπτωση επαναλαμβανόμενης επανάληψης του πειράματος.

Επίλογος

Το πρόβλημα Monty Hall δεν είναι η πρώτη γνωστή διατύπωση αυτού του προβλήματος. Συγκεκριμένα, το 1959, ο Μάρτιν Γκάρντνερ δημοσίευσε στο Scientific American ένα παρόμοιο πρόβλημα «για τρεις φυλακισμένους» (Three Prisoners problem) με την ακόλουθη διατύπωση: «Από τους τρεις κρατούμενους, ένας πρέπει να αμνηστευτεί και δύο να εκτελεστούν. Ο κρατούμενος Α πείθει τον φρουρό να του πει το όνομα του ενός από τους άλλους δύο που θα εκτελεστούν (είτε εάν εκτελεστούν και οι δύο), μετά από αυτό, έχοντας λάβει το όνομα Β, θεωρεί ότι η πιθανότητα της δικής του σωτηρίας δεν έχει γίνει 1/3, αλλά 1/2. Παράλληλα, ο κρατούμενος Γ ισχυρίζεται ότι η πιθανότητα φυγής του έχει γίνει 2/3, ενώ για τον Α δεν έχει αλλάξει τίποτα. Ποιο είναι σωστό;"

Ωστόσο, ο Gardner δεν ήταν ο πρώτος, αφού το 1889, στον Λογισμό των Πιθανοτήτων, ο Γάλλος μαθηματικός Joseph Bertrand (δεν πρέπει να συγχέεται με τον Άγγλο Bertrand Russell!) προσφέρει ένα παρόμοιο πρόβλημα (βλ. το παράδοξο του Bertrand στο πλαίσιο): τρία κουτιά, καθένα από τα οποία περιέχει δύο νομίσματα: δύο χρυσά στο πρώτο, δύο ασημένια νομίσματα στο δεύτερο και δύο διαφορετικά στο τρίτο.

Εάν κατανοήσετε τις λύσεις και στα τρία προβλήματα, είναι εύκολο να παρατηρήσετε την ομοιότητα των ιδεών τους. μαθηματικά, όλα τα ενώνει η έννοια της υπό όρους πιθανότητας, δηλαδή η πιθανότητα του γεγονότος Α, εάν είναι γνωστό ότι έχει συμβεί το γεγονός Β. Το πιο απλό παράδειγμα: η πιθανότητα ένα κανονικό ζάρι να είναι 1/6. Ωστόσο, εάν ο κυλιόμενος αριθμός είναι γνωστό ότι είναι περιττός, τότε η πιθανότητα να είναι ένα είναι ήδη 1/3. Το πρόβλημα του Monty Hall, όπως και τα άλλα δύο προβλήματα που αναφέρθηκαν, δείχνει ότι οι πιθανότητες υπό όρους πρέπει να αντιμετωπίζονται με προσοχή.

Αυτά τα προβλήματα συχνά ονομάζονται και παράδοξα: το παράδοξο του Μόντι Χολ, το παράδοξο του Μπέρτραντ (το τελευταίο δεν πρέπει να συγχέεται με το πραγματικό παράδοξο του Μπέρτραντ που δίνεται στο ίδιο βιβλίο, το οποίο απέδειξε την ασάφεια της έννοιας της πιθανότητας που υπήρχε εκείνη την εποχή) - που υπονοεί κάποια αντίφαση (για παράδειγμα, στο «παράδοξο του ψεύτη» η φράση «αυτή η δήλωση είναι ψευδής» έρχεται σε αντίθεση με το νόμο του αποκλεισμένου μέσου). ΣΕ αυτή η υπόθεση, ωστόσο, δεν υπάρχει αντίφαση με αυστηρές δηλώσεις. Ωστόσο, υπάρχει μια σαφής αντίφαση με κοινή γνώμη» ή απλώς «μια προφανής λύση» στο πρόβλημα. Πράγματι, οι περισσότεροι, βλέποντας το πρόβλημα, πιστεύουν ότι μετά το άνοιγμα μιας από τις πόρτες, η πιθανότητα να βρεθεί το Βραβείο πίσω από οποιαδήποτε από τις δύο εναπομείνασες κλειστές είναι 1/2. Με αυτόν τον τρόπο, ισχυρίζονται ότι δεν έχει σημασία αν συμφωνούν ή διαφωνούν να αλλάξουν γνώμη. Επιπλέον, πολλοί άνθρωποι δυσκολεύονται να κατανοήσουν μια άλλη απάντηση εκτός από αυτή, ακόμη και αφού τους είπαν τη λεπτομερή λύση.

Η απάντηση του Monty Hall στον Steve Selwyn

Κύριε Steve Selvin,
επίκουρος καθηγητής βιοστατιστικής,
Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, Μπέρκλεϋ.

Αγαπητέ Steve,

Ευχαριστώ που μου στείλατε το πρόβλημα από το American Statistical.

Αν και δεν σπούδασα στατιστικά στο πανεπιστήμιο, ξέρω ότι οι αριθμοί μπορούν πάντα να χρησιμοποιηθούν προς όφελός μου αν ήθελα να τους χειραγωγήσω. Ο συλλογισμός σας δεν λαμβάνει υπόψη μια βασική περίσταση: αφού αδειάσει το πρώτο πλαίσιο, ο συμμετέχων δεν μπορεί πλέον να αλλάξει την επιλογή του. Άρα οι πιθανότητες παραμένουν οι ίδιες: ένας στους τρεις, σωστά; Και, φυσικά, αφού αδειάσει ένα από τα κουτιά, οι πιθανότητες δεν γίνονται 50/50, αλλά παραμένουν ίδιες - μία στις τρεις. Φαίνεται μόνο στον συμμετέχοντα ότι με το να απαλλαγεί από ένα κουτί, έχει περισσότερες πιθανότητες. Καθόλου. Δύο προς ένα εναντίον του, όπως ήταν, και παραμένει. Και αν έρθετε ξαφνικά στην παράστασή μου, οι κανόνες θα παραμείνουν οι ίδιοι για εσάς: χωρίς αλλαγή κουτιών μετά την επιλογή.

Φανταστείτε ότι έχετε γίνει συμμετέχων σε ένα παιχνίδι στο οποίο πρέπει να επιλέξετε μία από τις τρεις πόρτες. Πίσω από τη μια πόρτα είναι ένα αυτοκίνητο, πίσω από τις άλλες δύο πόρτες είναι κατσίκες. Επιλέγετε μια από τις πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 1, μετά ο οικοδεσπότης, που ξέρει πού είναι το αυτοκίνητο και πού είναι οι κατσίκες, ανοίγει μια από τις υπόλοιπες πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 3, πίσω από την οποία υπάρχει μια κατσίκα. Μετά από αυτό, σας ρωτά αν θέλετε να αλλάξετε την επιλογή σας και να επιλέξετε την πόρτα νούμερο 2. Θα αυξηθούν οι πιθανότητές σας να κερδίσετε το αυτοκίνητο εάν αποδεχτείτε την προσφορά του οικοδεσπότη και αλλάξετε την επιλογή σας;

Λύση.Ας σημειώσουμε αμέσως ότι αυτό το πρόβλημα δεν περιέχει κανένα παράδοξο. τακτική εργασία ( Πρώτο επίπεδο) στον τύπο Bayes, που προκύπτει από τον ορισμό της υπό όρους πιθανότητας.

Φόρμουλα Bayes

Σημειώστε με Α, το γεγονός - κερδίσατε ένα αυτοκίνητο.

Υποβάλλουμε δύο υποθέσεις: H 1 - δεν αλλάζετε την πόρτα και H 2 - αλλάζετε την πόρτα.

P(H 1)= 1/3 - a priori (a priori - σημαίνει πριν από το πείραμα, ο οικοδεσπότης δεν έχει ανοίξει ακόμα την πόρτα) η πιθανότητα της υπόθεσης ότι αλλάζετε την πόρτα.

P H1 (A) - υπό όρους πιθανότητα ότι θα μαντέψετε την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο, εάν συνέβη η πρώτη υπόθεση H 1

P H2 (A) - υπό όρους πιθανότητα να μαντέψετε την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο, εάν συνέβη η δεύτερη υπόθεση H 2

Βρείτε την πιθανότητα του γεγονότος Α εάν συνέβη η υπόθεση H 1 (η πιθανότητα να κερδίσετε το αυτοκίνητο εάν δεν αλλάξατε την πόρτα):

Βρείτε την πιθανότητα του γεγονότος Α εάν συνέβη η υπόθεση H 2 (η πιθανότητα να κερδίσετε το αυτοκίνητο εάν αλλάξατε την πόρτα):

Έτσι, ο συμμετέχων θα πρέπει να αλλάξει την αρχική του επιλογή - σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα να κερδίσει θα είναι ίση με 2 ⁄ 3 .

Στατιστική επαλήθευση του παραδόξου Monty Hall

Εδώ: "στρατηγική 1" - μην αλλάξετε την επιλογή, "στρατηγική 2" - αλλάξτε την επιλογή. Θεωρητικά, για την περίπτωση με 3 πόρτες, η κατανομή πιθανοτήτων είναι 33,(3)% και 66,(6)%. Οι αριθμητικές προσομοιώσεις πρέπει να δίνουν παρόμοια αποτελέσματα.

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που είναι έτοιμος να μπερδέψει τους ίδιους τους μαθηματικούς. Σε αντίθεση με τα υπόλοιπα, ακριβή και ακλόνητα δόγματα αυτής της επιστήμης, αυτή η περιοχή βρίθει από παραξενιές και ανακρίβειες. Μια νέα παράγραφος, ας πούμε έτσι, προστέθηκε πρόσφατα σε αυτήν την ενότητα - το παράδοξο του Monty Hall. Αυτό είναι, γενικά, μια εργασία, αλλά λύνεται με εντελώς διαφορετικό τρόπο από τους συνηθισμένους σχολικούς ή πανεπιστημιακούς.

Ιστορία προέλευσης

Οι άνθρωποι ταράζουν το μυαλό τους για το παράδοξο του Monty Hall από το μακρινό 1975. Αξίζει όμως να ξεκινήσετε το 1963. Τότε ήταν που εμφανίστηκε στις οθόνες μια τηλεοπτική εκπομπή με το όνομα Let's make a deal, που μεταφράζεται ως «Let's make a deal». Παρουσιαστής της δεν ήταν άλλος από τον Monty Hall, ο οποίος έριχνε στους θεατές μερικές φορές άλυτους γρίφους. Ένα από τα πιο εντυπωσιακά έγινε αυτό που παρουσίασε το 1975. Το πρόβλημα έχει γίνει μέρος της μαθηματικής θεωρίας των πιθανοτήτων και των παραδόξων που εντάσσονται στο πλαίσιό της. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι αυτό το φαινόμενοήταν η αιτία έντονων συζητήσεων και σκληρής κριτικής από τους επιστήμονες. Το παράδοξο του Monty Hall δημοσιεύτηκε στο περιοδικό Parade το 1990 και από τότε έχει γίνει ακόμη πιο συζητημένο και επίμαχο θέμαόλων των εποχών και των λαών. Λοιπόν, τώρα στραφούμε απευθείας στη διατύπωση και την ερμηνεία του.

Δήλωση προβλήματος

Υπάρχουν πολλές ερμηνείες αυτού του παραδόξου, αλλά αποφασίσαμε να σας παρουσιάσουμε την κλασική, που προβλήθηκε στο ίδιο το πρόγραμμα. Υπάρχουν λοιπόν τρεις πόρτες μπροστά σου. Πίσω από το ένα είναι ένα αυτοκίνητο, πίσω από τα άλλα δύο, ένα κατσίκι ο καθένας. Ο οικοδεσπότης σας προσκαλεί να διαλέξετε μια από τις πόρτες και ας πούμε ότι σταματήσατε στον αριθμό 1. Μέχρι στιγμής, δεν ξέρετε τι κρύβεται πίσω από αυτήν την πρώτη πόρτα, αφού σας ανοίγουν την τρίτη και δείχνουν ότι υπάρχει μια κατσίκα πίσω από αυτό. Επομένως, δεν έχετε χάσει ακόμα, γιατί δεν έχετε επιλέξει την πόρτα που κρύβει την επιλογή που χάνετε. Επομένως, οι πιθανότητές σας να αποκτήσετε αυτοκίνητο αυξάνονται.

Αλλά τότε ο οικοδεσπότης σας προτείνει να αλλάξετε γνώμη. Υπάρχουν ήδη δύο πόρτες μπροστά σου, πίσω από τη μία είναι μια κατσίκα, πίσω από την άλλη ένα πολυπόθητο έπαθλο. Αυτή ακριβώς είναι η ουσία του προβλήματος. Φαίνεται ότι όποια από τις δύο πόρτες και να διαλέξετε, οι πιθανότητες είναι 50/50, αλλά στην πραγματικότητα, αν αλλάξετε γνώμη, η πιθανότητα να κερδίσετε θα γίνει μεγαλύτερη. Πως και έτσι?

Η πρώτη επιλογή που κάνετε σε αυτό το παιχνίδι είναι τυχαία. Δεν μπορείτε καν να μαντέψετε από απόσταση ποια από τις τρεις πόρτες κρύβεται πίσω από το έπαθλο, οπότε τυχαία δείχνετε την πρώτη που θα συναντήσετε. Ο ηγέτης, με τη σειρά του, ξέρει πού βρίσκονται όλα. Έχει μια πόρτα με έπαθλο, μια πόρτα που έδειξες και μια τρίτη χωρίς έπαθλο, την οποία σου ανοίγει ως πρώτη ένδειξη. Ο δεύτερος υπαινιγμός βρίσκεται στην ίδια την πρότασή του να αλλάξει την επιλογή.

Τώρα δεν θα επιλέγετε πλέον ένα από τα τρία τυχαία και μπορείτε ακόμη και να αλλάξετε γνώμη για να πάρετε το βραβείο που επιθυμείτε. Είναι η πρόταση του οικοδεσπότη που δίνει στο άτομο την πεποίθηση ότι το αυτοκίνητο δεν βρίσκεται πραγματικά πίσω από την πόρτα που έχει επιλέξει, αλλά πίσω από μια άλλη. Αυτή είναι η όλη ουσία του παραδόξου, αφού, στην πραγματικότητα, πρέπει ακόμα να επιλέξετε (αν και από δύο, και όχι από τρεις) τυχαία, αλλά οι πιθανότητες να κερδίσετε αυξάνονται. Σύμφωνα με στατιστικά, από τους 30 παίκτες που άλλαξαν γνώμη, το μονοθέσιο κέρδισαν 18. Και αυτό είναι 60%. Και από τα ίδια 30 άτομα που δεν άλλαξαν την απόφασή τους - μόνο 11, δηλαδή το 36%.

Ερμηνεία σε αριθμούς

Τώρα ας δώσουμε περισσότερο το παράδοξο του Monty Hall ακριβής ορισμός. Η πρώτη επιλογή του παίκτη χωρίζει τις πόρτες σε δύο ομάδες. Η πιθανότητα το έπαθλο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα που επιλέξατε είναι 1/3 και πίσω από τις πόρτες που παραμένουν 2/3. Στη συνέχεια, ο οικοδεσπότης ανοίγει μια από τις πόρτες της δεύτερης ομάδας. Έτσι, μεταφέρει όλη την υπόλοιπη πιθανότητα, τα 2/3, σε μια πόρτα που δεν επιλέξατε και δεν άνοιξε. Είναι λογικό ότι μετά από τέτοιους υπολογισμούς θα είναι πιο κερδοφόρο να αλλάξετε γνώμη. Ταυτόχρονα, όμως, είναι σημαντικό να θυμάστε ότι υπάρχει ακόμα μια ευκαιρία να χάσετε. Μερικές φορές οι παρουσιαστές είναι πονηροί, αφού μπορείτε αρχικά να σπρώξετε τη σωστή, βραβευμένη πόρτα και μετά να την αρνηθείτε οικειοθελώς.

Όλοι έχουμε συνηθίσει στο γεγονός ότι τα μαθηματικά, ως ακριβής επιστήμη, συμβαδίζουν με την κοινή λογική. Εδώ οι αριθμοί κάνουν τη δουλειά, όχι οι λέξεις, οι ακριβείς τύποι, οι αόριστες σκέψεις, οι συντεταγμένες, όχι τα σχετικά δεδομένα. Αυτή όμως νέα ενότηταπου ονομάζεται θεωρία πιθανοτήτων ανατίναξε όλο το γνωστό μοτίβο. Τα καθήκοντα σε αυτόν τον τομέα, μας φαίνεται, δεν εντάσσονται στο πλαίσιο της κοινής λογικής και έρχονται σε πλήρη αντίθεση με όλους τους τύπους και τους υπολογισμούς. Παρακάτω προτείνουμε να εξοικειωθείτε με άλλα παράδοξα της θεωρίας πιθανοτήτων που έχουν κάτι κοινό με αυτό που περιγράφηκε παραπάνω.

Παράδοξο αγόρι και κορίτσι

Το εγχείρημα, με την πρώτη ματιά, είναι παράλογο, αλλά υπακούει αυστηρά σε έναν μαθηματικό τύπο και έχει δύο λύσεις. Έτσι, ένας συγκεκριμένος άντρας έχει δύο παιδιά. Ένα από αυτά πρέπει να είναι αγόρι. Ποια είναι η πιθανότητα το δεύτερο να είναι αγόρι;

Επιλογή 1.Λαμβάνουμε υπόψη όλους τους συνδυασμούς δύο παιδιών σε μια οικογένεια:

• Κορίτσι/κορίτσι.
• Κορίτσι αγόρι.
• Αγόρι κορίτσι.
• Αγόρι/αγόρι.

Ο πρώτος συνδυασμός προφανώς δεν μας ταιριάζει, επομένως, με βάση τους τρεις τελευταίους, έχουμε 1/3 πιθανότητα το δεύτερο παιδί να είναι μικρός άντρας.

Επιλογή 2.Αν φανταστούμε μια τέτοια περίπτωση στην πράξη, απορρίπτοντας κλάσματα και τύπους, τότε, με βάση το γεγονός ότι υπάρχουν μόνο δύο φύλα στη Γη, η πιθανότητα το δεύτερο παιδί να είναι αγόρι είναι 1/2.

Αυτή η εμπειρία μας δείχνει πόσο περίφημα μπορούν να χειραγωγηθούν τα στατιστικά στοιχεία. Έτσι, η «καλοκοιμωμένη» γίνεται ένεση με υπνωτικά χάπια και πετάει ένα νόμισμα. Αν τα κεφάλια σηκωθούν, ξυπνά και το πείραμα τελειώνει. Εάν πέσουν ουρές, τότε την ξυπνούν, κάνοντας αμέσως μια δεύτερη ένεση και ξεχνάει ότι ξύπνησε και μετά ξυπνούν ξανά μόνο τη δεύτερη μέρα. Μετά την πλήρη αφύπνιση, η «καλλονή» δεν γνωρίζει ποια μέρα άνοιξε τα μάτια της, ούτε ποια είναι η πιθανότητα να έπεσε ουρά το νόμισμα. Σύμφωνα με την πρώτη λύση, η πιθανότητα να πάρεις ουρές (ή κεφάλια) είναι 1/2. Η ουσία της δεύτερης επιλογής είναι ότι εάν το πείραμα πραγματοποιηθεί 1000 φορές, τότε στην περίπτωση ενός αετού, η "ομορφιά" θα ξυπνήσει 500 φορές, και με μια σπάνια - 1000. Τώρα η πιθανότητα να πάρει ουρές είναι 2/3.

Το παράδοξο του Monty Hall είναι ένα από τα γνωστά προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, η λύση του οποίου, με την πρώτη ματιά, έρχεται σε αντίθεση με την κοινή λογική. Το πρόβλημα διατυπώνεται ως περιγραφή ενός υποθετικού παιχνιδιού που βασίζεται στην αμερικανική τηλεοπτική εκπομπή Let's Make a Deal και φέρει το όνομα του παρουσιαστή αυτής της εκπομπής. Η πιο κοινή διατύπωση αυτού του προβλήματος, που δημοσιεύτηκε το 1990 στο Parade Magazine, είναι η εξής:

Φανταστείτε ότι έχετε γίνει συμμετέχων σε ένα παιχνίδι στο οποίο πρέπει να επιλέξετε μία από τις τρεις πόρτες. Πίσω από τη μια πόρτα είναι ένα αυτοκίνητο, πίσω από τις άλλες δύο πόρτες είναι κατσίκες. Επιλέγετε μια από τις πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 1, μετά ο οικοδεσπότης, που ξέρει πού είναι το αυτοκίνητο και πού είναι οι κατσίκες, ανοίγει μια από τις υπόλοιπες πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 3, πίσω από την οποία υπάρχει μια κατσίκα. Μετά από αυτό, σας ρωτά αν θέλετε να αλλάξετε την επιλογή σας και να επιλέξετε την πόρτα νούμερο 2. Θα αυξηθούν οι πιθανότητές σας να κερδίσετε το αυτοκίνητο εάν αποδεχτείτε την προσφορά του οικοδεσπότη και αλλάξετε την επιλογή σας;

Αν και αυτή η διατύπωση του προβλήματος είναι η πιο γνωστή, είναι κάπως προβληματική γιατί αφήνει απροσδιόριστες ορισμένες σημαντικές συνθήκες του προβλήματος. Ακολουθεί μια πληρέστερη δήλωση.

Όταν λύνουν αυτό το πρόβλημα, συνήθως σκέφτονται κάτι τέτοιο: αφού ο οικοδεσπότης ανοίξει την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται η κατσίκα, το αυτοκίνητο μπορεί να βρίσκεται μόνο πίσω από μία από τις δύο πόρτες που απομένουν. Δεδομένου ότι ο παίκτης δεν μπορεί να λάβει πρόσθετες πληροφορίες σχετικά με την πόρτα πίσω από το αυτοκίνητο, η πιθανότητα να βρει ένα αυτοκίνητο πίσω από κάθε μία από τις πόρτες είναι η ίδια και η αλλαγή της αρχικής επιλογής της πόρτας δεν δίνει στον παίκτη κανένα πλεονέκτημα. Ωστόσο, αυτή η συλλογιστική είναι εσφαλμένη. Εάν ο οικοδεσπότης γνωρίζει πάντα ποια πόρτα είναι πίσω, ανοίγει πάντα την υπόλοιπη πόρτα που περιέχει την κατσίκα και πάντα προτρέπει τον παίκτη να αλλάξει την επιλογή του, τότε η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα που έχει επιλέξει ο παίκτης είναι 1/3, και , κατά συνέπεια, η πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την υπόλοιπη πόρτα είναι 2/3. Έτσι, η αλλαγή της αρχικής επιλογής διπλασιάζει τις πιθανότητες του παίκτη να κερδίσει το αυτοκίνητο. Αυτό το συμπέρασμα έρχεται σε αντίθεση με τη διαισθητική αντίληψη της κατάστασης από τους περισσότερους ανθρώπους, γι' αυτό και το περιγραφόμενο πρόβλημα ονομάζεται παράδοξο του Monty Hall.

προφορική απόφαση

Η σωστή απάντηση σε αυτό το πρόβλημα είναι η εξής: ναι, οι πιθανότητες να κερδίσει ένα αυτοκίνητο διπλασιάζονται αν ο παίκτης ακολουθήσει τη συμβουλή του οικοδεσπότη και αλλάξει την αρχική του επιλογή.

Η απλούστερη εξήγηση για αυτήν την απάντηση είναι η ακόλουθη σκέψη. Για να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο χωρίς να αλλάξετε την επιλογή, ο παίκτης πρέπει αμέσως να μαντέψει την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο. Η πιθανότητα αυτού είναι 1/3. Εάν ο παίκτης χτυπήσει αρχικά την πόρτα με μια κατσίκα πίσω της (και η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι 2/3, αφού υπάρχουν δύο κατσίκες και μόνο ένα αυτοκίνητο), τότε σίγουρα μπορεί να κερδίσει το αυτοκίνητο αλλάζοντας γνώμη, αφού το αυτοκίνητο και μένει ένας τράγος, και ο οικοδεσπότης έχει ήδη ανοίξει την πόρτα με την κατσίκα.

Έτσι, χωρίς να αλλάξει η επιλογή, ο παίκτης παραμένει με την αρχική του πιθανότητα να κερδίσει το 1/3 και όταν αλλάζει την αρχική επιλογή, ο παίκτης στρέφεται προς όφελός του διπλάσια πιθανότητα να μην μάντεψε σωστά στην αρχή.

Επίσης, μια διαισθητική εξήγηση μπορεί να γίνει με την εναλλαγή των δύο γεγονότων. Το πρώτο γεγονός είναι η απόφαση του παίκτη να αλλάξει την πόρτα, το δεύτερο γεγονός είναι το άνοιγμα μιας επιπλέον πόρτας. Αυτό είναι αποδεκτό, αφού το άνοιγμα μιας επιπλέον πόρτας δεν δίνει στον παίκτη ΝΕΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ(το έγγραφο βλέπε σε αυτό το άρθρο).

Τότε το πρόβλημα μπορεί να περιοριστεί στην ακόλουθη διατύπωση. Την πρώτη στιγμή, ο παίκτης χωρίζει τις πόρτες σε δύο ομάδες: στην πρώτη ομάδα υπάρχει μία πόρτα (αυτή που επέλεξε), στη δεύτερη ομάδα υπάρχουν δύο πόρτες που απομένουν. Την επόμενη στιγμή, ο παίκτης κάνει μια επιλογή μεταξύ ομάδων. Είναι προφανές ότι για την πρώτη ομάδα η πιθανότητα νίκης είναι 1/3, για τη δεύτερη ομάδα 2/3. Ο παίκτης επιλέγει τη δεύτερη ομάδα. Στη δεύτερη ομάδα, μπορεί να ανοίξει και τις δύο πόρτες. Το ένα ανοίγει από τον οικοδεσπότη και το δεύτερο από τον ίδιο τον παίκτη.

Ας προσπαθήσουμε να δώσουμε την «πιο κατανοητή» εξήγηση. Επαναδιαμόρφωση του προβλήματος: Ένας ειλικρινής οικοδεσπότης ανακοινώνει στον παίκτη ότι υπάρχει ένα αυτοκίνητο πίσω από μία από τις τρεις πόρτες και τον προσκαλεί να δείξει πρώτα σε μία από τις πόρτες και μετά να επιλέξει μία από τις δύο ενέργειες: ανοίξτε την καθορισμένη πόρτα (στο παλιά διατύπωση, αυτό ονομάζεται "μην αλλάξετε την επιλογή σας") ή ανοίξτε τις άλλες δύο (στην παλιά διατύπωση, αυτό θα ήταν απλώς "αλλάξτε την επιλογή". Σκεφτείτε, αυτό είναι το κλειδί για την κατανόηση!). Είναι σαφές ότι ο παίκτης θα επιλέξει τη δεύτερη από τις δύο ενέργειες, αφού η πιθανότητα απόκτησης αυτοκινήτου σε αυτή την περίπτωση είναι διπλάσια. Και το μικρό πράγμα που ο αρχηγός "έδειξε μια κατσίκα" ακόμη και πριν επιλέξει τη δράση δεν βοηθά και δεν παρεμβαίνει στην επιλογή, γιατί πίσω από μια από τις δύο πόρτες υπάρχει πάντα μια κατσίκα και ο αρχηγός σίγουρα θα το δείξει σε οποιαδήποτε πορεία του παιχνιδιού, ώστε ο παίκτης να μπορεί σε αυτήν την κατσίκα και να μην παρακολουθεί. Η δουλειά του παίκτη, αν επέλεξε τη δεύτερη ενέργεια, είναι να πει «ευχαριστώ» στον οικοδεσπότη που του γλίτωσε από τον κόπο να ανοίξει ο ίδιος τη μία από τις δύο πόρτες και να ανοίξει την άλλη. Λοιπόν, ή ακόμα πιο εύκολο. Ας φανταστούμε αυτή την κατάσταση από την πλευρά του γηπεδούχου, ο οποίος κάνει παρόμοια διαδικασία με δεκάδες παίκτες. Αφού γνωρίζει πολύ καλά τι υπάρχει πίσω από τις πόρτες, τότε, κατά μέσο όρο, σε δύο περιπτώσεις στις τρεις, βλέπει εκ των προτέρων ότι ο παίκτης έχει επιλέξει τη «λάθος» πόρτα. Επομένως, γι' αυτόν σίγουρα δεν υπάρχει παράδοξο ότι η σωστή στρατηγική είναι να αλλάξει η επιλογή μετά το άνοιγμα της πρώτης πόρτας: τελικά, στις ίδιες δύο περιπτώσεις από τις τρεις ο παίκτης θα φύγει από το στούντιο για καινούριο αυτοκίνητο.

Τέλος, η πιο «αφελής» απόδειξη. Αυτός που στέκεται στην επιλογή του ας λέγεται «Πεισμωμένος», και αυτός που ακολουθεί τις οδηγίες του αρχηγού, «Προσεκτικός». Τότε ο Επίμονος κερδίζει αν αρχικά μάντεψε το αυτοκίνητο (1/3), και ο Προσεχτικός - αν πρώτα έχασε και χτύπησε την κατσίκα (2/3). Εξάλλου, μόνο σε αυτή την περίπτωση θα δείξει στη συνέχεια την πόρτα με το αυτοκίνητο.

Κλειδιά για την κατανόηση

Παρά την απλότητα της εξήγησης αυτού του φαινομένου, πολλοί άνθρωποι πιστεύουν διαισθητικά ότι η πιθανότητα νίκης δεν αλλάζει όταν ο παίκτης αλλάζει την επιλογή του. Συνήθως, η αδυναμία αλλαγής της πιθανότητας νίκης υποκινείται από το γεγονός ότι κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας, τα γεγονότα που συνέβησαν στο παρελθόν δεν έχουν σημασία, όπως συμβαίνει, για παράδειγμα, όταν πετάμε ένα κέρμα - η πιθανότητα να πάρει κεφάλια ή ουρές έχει σημασία δεν εξαρτάται από το πόσες φορές έπεσαν κεφάλια ή ουρές πριν. Ως εκ τούτου, πολλοί πιστεύουν ότι τη στιγμή που ο παίκτης επιλέγει μία πόρτα από τις δύο, δεν έχει πλέον σημασία ότι στο παρελθόν υπήρχε επιλογή μίας πόρτας από τις τρεις και η πιθανότητα να κερδίσει ένα αυτοκίνητο είναι η ίδια όταν αλλάζει την επιλογή , και αφήνοντας την αρχική επιλογή.

Ωστόσο, ενώ τέτοιες σκέψεις ισχύουν στην περίπτωση της ρίψης νομίσματος, δεν ισχύουν για όλα τα παιχνίδια. Σε αυτή την περίπτωση, το άνοιγμα της πόρτας από τον πλοίαρχο θα πρέπει να αγνοηθεί. Ο παίκτης ουσιαστικά επιλέγει μεταξύ της μίας πόρτας που διάλεξε πρώτη και των άλλων δύο - το άνοιγμα μιας από αυτές χρησιμεύει μόνο για να αποσπάσει την προσοχή του παίκτη. Είναι γνωστό ότι υπάρχει ένα αυτοκίνητο και δύο κατσίκες. Η αρχική επιλογή του παίκτη για μία από τις πόρτες χωρίζει τα πιθανά αποτελέσματα του παιχνιδιού σε δύο ομάδες: είτε το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την πόρτα που έχει επιλέξει ο παίκτης (η πιθανότητα είναι 1/3), είτε πίσω από μία από τις άλλες δύο (πιθανότητα από αυτό είναι τα 2/3). Ταυτόχρονα, είναι ήδη γνωστό ότι σε κάθε περίπτωση υπάρχει μια κατσίκα πίσω από μια από τις δύο πόρτες που έχουν απομείνει και ανοίγοντας αυτή την πόρτα, ο οικοδεσπότης δεν δίνει στον παίκτη καμία πρόσθετη πληροφορία για το τι υπάρχει πίσω από την πόρτα που επέλεξε ο παίχτης. Έτσι, το άνοιγμα της πόρτας με την κατσίκα από τον αρχηγό δεν αλλάζει την πιθανότητα (2/3) το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από μια από τις υπόλοιπες πόρτες. Και από τότε ανοιχτή πόρταο παίκτης δεν επιλέγει, τότε όλη αυτή η πιθανότητα συγκεντρώνεται στην περίπτωση που το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από την υπόλοιπη κλειστή πόρτα.

Πιο διαισθητικός συλλογισμός: Αφήστε τον παίκτη να ενεργήσει σύμφωνα με τη στρατηγική "αλλαγή επιλογής". Τότε θα χάσει μόνο αν αρχικά επιλέξει αυτοκίνητο. Και η πιθανότητα αυτού είναι το ένα τρίτο. Επομένως, η πιθανότητα νίκης: 1-1/3=2/3. Εάν ο παίκτης ενεργήσει σύμφωνα με τη στρατηγική "μην αλλάζεις την επιλογή", τότε θα κερδίσει εάν και μόνο εάν αρχικά επιλέξει το αυτοκίνητο. Και η πιθανότητα αυτού είναι το ένα τρίτο.

Ας φανταστούμε αυτή την κατάσταση από την πλευρά του γηπεδούχου, ο οποίος κάνει παρόμοια διαδικασία με δεκάδες παίκτες. Αφού γνωρίζει πολύ καλά τι υπάρχει πίσω από τις πόρτες, τότε, κατά μέσο όρο, σε δύο περιπτώσεις στις τρεις, βλέπει εκ των προτέρων ότι ο παίκτης έχει επιλέξει τη «λάθος» πόρτα. Επομένως, γι 'αυτόν δεν υπάρχει σίγουρα παράδοξο ότι η σωστή στρατηγική είναι να αλλάξει η επιλογή μετά το άνοιγμα της πρώτης πόρτας: τελικά, στις ίδιες δύο περιπτώσεις από τις τρεις, ο παίκτης θα φύγει από το στούντιο με ένα νέο αυτοκίνητο.

Ένας άλλος συνηθισμένος λόγος για τη δυσκολία κατανόησης της λύσης αυτού του προβλήματος είναι ότι συχνά οι άνθρωποι φαντάζονται ένα ελαφρώς διαφορετικό παιχνίδι - όπου δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων εάν ο οικοδεσπότης θα ανοίξει την πόρτα με μια κατσίκα και θα προτείνει στον παίκτη να αλλάξει την επιλογή του. Σε αυτήν την περίπτωση, ο παίκτης δεν γνωρίζει την τακτική του οικοδεσπότη (δηλαδή, στην ουσία, δεν γνωρίζει όλους τους κανόνες του παιχνιδιού) και δεν μπορεί να κάνει βέλτιστη επιλογή. Για παράδειγμα, εάν ο διαμεσολαβητής προσφέρει αλλαγή επιλογής μόνο εάν ο παίκτης επέλεξε αρχικά την πόρτα με το αυτοκίνητο, τότε προφανώς ο παίκτης θα πρέπει πάντα να αφήνει την αρχική απόφαση αμετάβλητη. Γι' αυτό είναι σημαντικό να έχουμε κατά νου την ακριβή διατύπωση του προβλήματος του Monty Hall. (με αυτή την επιλογή, ο ηγέτης με διαφορετικές στρατηγικές μπορεί να πετύχει οποιαδήποτε πιθανότητα μεταξύ των θυρών, στη γενική (μέση) περίπτωση θα είναι 1/2 επί 1/2).

Αύξηση του αριθμού των θυρών

Για να καταλάβουμε ευκολότερα την ουσία αυτού που συμβαίνει, μπορούμε να εξετάσουμε την περίπτωση που ο παίκτης δεν βλέπει μπροστά του τρεις πόρτες, αλλά, για παράδειγμα, εκατό. Ταυτόχρονα, πίσω από τη μία πόρτα υπάρχει ένα αυτοκίνητο και πίσω από τις άλλες 99 κατσίκες. Ο παίκτης επιλέγει μία από τις πόρτες, ενώ στο 99% των περιπτώσεων θα επιλέξει την πόρτα με κατσίκα και οι πιθανότητες να επιλέξει αμέσως την πόρτα με αυτοκίνητο είναι πολύ μικρές - είναι 1%. Μετά από αυτό, ο οικοδεσπότης ανοίγει 98 πόρτες με κατσίκες και ζητά από τον παίκτη να επιλέξει την υπόλοιπη πόρτα. Σε αυτήν την περίπτωση, στο 99% των περιπτώσεων, το αυτοκίνητο θα βρίσκεται πίσω από αυτήν την εναπομείνασα πόρτα, αφού οι πιθανότητες ο παίκτης να επιλέξει αμέσως τη σωστή πόρτα είναι πολύ μικρές. Είναι σαφές ότι σε αυτή την κατάσταση ένας λογικά σκεπτόμενος παίκτης πρέπει πάντα να αποδέχεται την πρόταση του ηγέτη.

Όταν εξετάζουμε έναν αυξημένο αριθμό θυρών, τίθεται συχνά το ερώτημα: εάν στο αρχικό πρόβλημα ο αρχηγός ανοίγει μία πόρτα στις τρεις (δηλαδή το 1/3 των σύνολοπόρτες), γιατί να υποθέσουμε ότι στην περίπτωση των 100 θυρών, ο οικοδεσπότης θα ανοίξει 98 πόρτες με κατσίκες και όχι 33; Αυτή η σκέψη είναι συνήθως ένας από τους σημαντικούς λόγους για τους οποίους το παράδοξο του Monty Hall συγκρούεται με τη διαισθητική αντίληψη της κατάστασης. Υποθέτοντας ότι το άνοιγμα 98 θυρών θα είναι σωστό γιατί ουσιαστική προϋπόθεσηΤο καθήκον είναι να έχετε μόνο μία εναλλακτική επιλογή για τον παίκτη, η οποία προσφέρεται από τον συντονιστή. Επομένως, για να είναι παρόμοια τα καθήκοντα, στην περίπτωση των 4 θυρών, ο αρχηγός πρέπει να ανοίξει 2 πόρτες, στην περίπτωση 5 θυρών - 3, και ούτω καθεξής, έτσι ώστε να υπάρχει πάντα μια άνοικτη πόρτα εκτός από αυτήν. που αρχικά επέλεξε ο παίκτης. Εάν ο συντονιστής ανοίξει λιγότερες πόρτες, τότε η εργασία δεν θα είναι πλέον παρόμοια με την αρχική εργασία του Monty Hall.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση πολλών θυρών, ακόμα κι αν ο οικοδεσπότης δεν αφήσει μια πόρτα κλειστή, αλλά πολλές και προσφέρει στον παίκτη να επιλέξει μία από αυτές, τότε κατά την αλλαγή της αρχικής επιλογής, οι πιθανότητες του παίκτη να κερδίσει το αυτοκίνητο θα εξακολουθούν να αυξάνονται, αν και όχι τόσο σημαντικά. Για παράδειγμα, σκεφτείτε μια κατάσταση όπου ένας παίκτης επιλέγει μία πόρτα από τις εκατό και μετά ο συντονιστής ανοίγει μόνο μία από τις υπόλοιπες πόρτες, καλώντας τον παίκτη να αλλάξει την επιλογή του. Ταυτόχρονα, οι πιθανότητες το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα που είχε αρχικά επιλέξει ο παίκτης παραμένουν οι ίδιες - 1/100, και για τις υπόλοιπες πόρτες οι πιθανότητες αλλάζουν: η συνολική πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από μια από τις υπόλοιπες πόρτες ( 99/100) διανέμεται τώρα όχι σε 99 πόρτες, αλλά 98. Επομένως, η πιθανότητα να βρεθεί ένα αυτοκίνητο πίσω από κάθε μία από αυτές τις πόρτες δεν θα είναι 1/100, αλλά 99/9800. Η αύξηση της πιθανότητας θα είναι περίπου 0,01%.

δέντρο απόφασης

Δέντρο ΠΙΘΑΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣπαίκτη και οικοδεσπότη, δείχνοντας την πιθανότητα κάθε αποτελέσματος

Πιο επίσημα, ένα σενάριο παιχνιδιού μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας ένα δέντρο αποφάσεων.

Στις δύο πρώτες περιπτώσεις, όταν ο παίκτης επέλεξε για πρώτη φορά την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται ο τράγος, η αλλαγή της επιλογής οδηγεί σε νίκη. Στις δύο τελευταίες περιπτώσεις, όταν ο παίκτης επέλεξε για πρώτη φορά την πόρτα με το αυτοκίνητο, η αλλαγή της επιλογής οδηγεί σε απώλεια.

Η συνολική πιθανότητα ότι μια αλλαγή στην επιλογή θα οδηγήσει σε νίκη ισοδυναμεί με το άθροισμα των πιθανοτήτων των δύο πρώτων αποτελεσμάτων, δηλαδή

Αντίστοιχα, η πιθανότητα ότι η άρνηση αλλαγής της επιλογής θα οδηγήσει σε νίκη είναι ίση με

Διεξαγωγή παρόμοιου πειράματος

Υπάρχει ένας εύκολος τρόπος για να βεβαιωθείτε ότι η αλλαγή της αρχικής επιλογής οδηγεί σε νίκη δύο στις τρεις φορές κατά μέσο όρο. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να προσομοιώσετε το παιχνίδι που περιγράφεται στο πρόβλημα του Monty Hall χρησιμοποιώντας τραπουλόχαρτα. Ένα άτομο (διανέμει κάρτες) παίζει το ρόλο του κορυφαίου Monty Hall και το δεύτερο - το ρόλο του παίκτη. Λαμβάνονται τρία φύλλα για το παιχνίδι, εκ των οποίων το ένα απεικονίζει μια πόρτα με ένα αυτοκίνητο (για παράδειγμα, ο άσσος των μπαστούνι) και δύο άλλες που είναι πανομοιότυπες (για παράδειγμα, δύο κόκκινες φύλλες) είναι πόρτες με κατσίκες.

Ο οικοδεσπότης απλώνει τρία κλειστά φύλλα, καλώντας τον παίκτη να πάρει ένα από τα φύλλα. Αφού ο παίκτης διαλέξει ένα φύλλο, ο αρχηγός κοιτάζει τα δύο εναπομείναντα φύλλα και αποκαλύπτει το κόκκινο δίδυμο. Μετά από αυτό, ανοίγουν τα χαρτιά που άφησε ο παίκτης και ο αρχηγός και αν το φύλλο που επιλέγει ο παίκτης είναι ο άσος των μπαστούνι, τότε καταγράφεται ένας βαθμός υπέρ της επιλογής όταν ο παίκτης δεν αλλάξει την επιλογή του και εάν ο παίκτης έχει ένα κόκκινο δίδυμο και ο αρχηγός έχει έναν άσο μπαστούνι, τότε βαθμολογείται ένας βαθμός υπέρ της επιλογής όταν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του. Αν παίξουμε πολλούς τέτοιους γύρους του παιχνιδιού, τότε η αναλογία μεταξύ των πόντων υπέρ των δύο επιλογών αντικατοπτρίζει αρκετά καλά την αναλογία των πιθανοτήτων αυτών των επιλογών. Σε αυτή την περίπτωση, αποδεικνύεται ότι ο αριθμός των πόντων υπέρ της αλλαγής της αρχικής επιλογής είναι περίπου διπλάσιος.

Ένα τέτοιο πείραμα όχι μόνο διασφαλίζει ότι η πιθανότητα να κερδίσετε όταν αλλάζετε την επιλογή είναι διπλάσια, αλλά επίσης δείχνει καλά γιατί συμβαίνει αυτό. Τη στιγμή που ο παίκτης έχει επιλέξει ένα φύλλο για τον εαυτό του, είναι ήδη καθορισμένο αν ο άσος μπαστούνι είναι στο χέρι του ή όχι. Το περαιτέρω άνοιγμα μιας από τις κάρτες από τον αρχηγό δεν αλλάζει την κατάσταση - ο παίκτης κρατά ήδη το φύλλο στο χέρι του και παραμένει εκεί ανεξάρτητα από τις ενέργειες του αρχηγού. Η πιθανότητα να επιλέξει ο παίκτης τον άσο μπαστούνι τρεις κάρτεςείναι προφανώς 1/3, και έτσι η πιθανότητα να μην το επιλέξει (και τότε ο παίκτης κερδίζει αν αλλάξει την αρχική επιλογή) είναι 2/3.

Αναφέρω

Στην ταινία Twenty-one, ο δάσκαλος, Miki Rosa, προκαλεί τον κύριο χαρακτήρα, τον Ben, να λύσει ένα παζλ: υπάρχουν δύο σκούτερ και ένα αυτοκίνητο πίσω από τρεις πόρτες· πρέπει να μαντέψετε την πόρτα για να κερδίσετε το αυτοκίνητο. Μετά την πρώτη επιλογή, ο Miki προσφέρεται να αλλάξει την επιλογή. Ο Μπεν συμφωνεί και δικαιολογεί μαθηματικά την απόφασή του. Έτσι άθελά του περνάει το τεστ για την ομάδα του Μίκη.

Στο μυθιστόρημα του Sergei Lukyanenko «Nedotepa», οι βασικοί χαρακτήρες, χρησιμοποιώντας αυτή την τεχνική, κερδίζουν μια άμαξα και την ευκαιρία να συνεχίσουν το ταξίδι τους.

Στην τηλεοπτική σειρά 4isla (επεισόδιο 13 της σεζόν 1 "Man Hunt"), ένας από τους βασικούς χαρακτήρες, ο Charlie Epps, σε μια δημοφιλή διάλεξη για τα μαθηματικά, εξηγεί το παράδοξο του Monty Hall, απεικονίζοντάς το ξεκάθαρα χρησιμοποιώντας πίνακες μαρκαδόρων. ανάποδες πλευρέςπου είναι βαμμένες κατσίκες και ένα αυτοκίνητο. Ο Τσάρλι βρίσκει το αυτοκίνητο αλλάζοντας την επιλογή. Ωστόσο, θα πρέπει να σημειωθεί ότι εκτελεί μόνο ένα πείραμα, ενώ το όφελος της στρατηγικής μετάβασης είναι στατιστικό και μια σειρά πειραμάτων θα πρέπει να εκτελεστεί για να απεικονιστεί σωστά.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146