Σπίτι › ηλεκτρολογικός εξοπλισμός › Υπάρχουν τρεις πόρτες μπροστά σας. Το παράδοξο του Monty Hall - μια εξήγηση για την αύξηση της πιθανότητας επιλογής

Υπάρχουν τρεις πόρτες μπροστά σας. Το παράδοξο του Monty Hall - μια εξήγηση για την αύξηση της πιθανότητας επιλογής

Περί λαχειοφόρων αγορών

Αυτό το παιχνίδι έχει από καιρό αποκτήσει μαζικό χαρακτήρα και έχει γίνει αναπόσπαστο μέρος του μοντέρνα ζωή. Και παρόλο που η λοταρία επεκτείνει τις δυνατότητές της όλο και περισσότερο, πολλοί άνθρωποι εξακολουθούν να τη βλέπουν απλώς ως έναν τρόπο πλουτισμού. Αφήστε και όχι δωρεάν και όχι αξιόπιστο. Από την άλλη, όπως σημείωσε ένας από τους ήρωες του Jack London, στο ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑκανείς δεν μπορεί παρά να υπολογίζει με τα γεγονότα - οι άνθρωποι είναι μερικές φορές τυχεροί.

Μαθηματικά της υπόθεσης. Ιστορία της θεωρίας πιθανοτήτων

Αλεξάντερ Μπουφέτοφ

Απομαγνητοφώνηση και βιντεοσκόπηση διάλεξης από τον Διδάκτωρ Φυσικών και Μαθηματικών Επιστημών, οικοδεσπότη ερευνητήςΙνστιτούτο Μαθηματικών Steklov, Κορυφαίος Ερευνητής, IPTP RAS, Καθηγητής, Μαθηματική Σχολή, Ανώτατη Οικονομική Σχολή, Διευθυντής Έρευνας Εθνικό Κέντρο επιστημονική έρευναστη Γαλλία (CNRS) από τον Alexander Bufetov, που παραδόθηκε ως μέρος της σειράς Δημοσίων Διαλέξεων Polit.ru στις 6 Φεβρουαρίου 2014.

Η ψευδαίσθηση της κανονικότητας: Γιατί η τυχαιότητα φαίνεται αφύσικη

Οι ιδέες μας για το τυχαίο, το κανονικό και το αδύνατο συχνά αποκλίνουν από τα δεδομένα της στατιστικής και της θεωρίας πιθανοτήτων. Στο «Ατελής Ευκαιρία. Πώς η τύχη κυβερνά τις ζωές μας» Ο Αμερικανός φυσικός και εκλαϊκευτής της επιστήμης Leonard Mlodinov μιλά για το γιατί οι τυχαίοι αλγόριθμοι φαίνονται τόσο παράξενοι, ποια είναι η σημασία της «τυχαίας» ανακατεύθυνσης τραγουδιών στο iPod και τι καθορίζει την επιτυχία ενός αναλυτή μετοχών. Το Theories and Practices δημοσιεύει απόσπασμα από το βιβλίο.

Αιτιοκρατία

Ο ντετερμινισμός είναι μια γενική επιστημονική έννοια και φιλοσοφίασχετικά με την αιτιότητα, τα μοτίβα, τη γενετική σύνδεση, την αλληλεπίδραση και τις προϋποθέσεις όλων των φαινομένων και διαδικασιών που συμβαίνουν στον κόσμο.

Ο Θεός είναι στατιστική

Η Deborah Nolan, καθηγήτρια στατιστικής στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Μπέρκλεϋ, ζητά από τους μαθητές της να κάνουν ένα πολύ περίεργο έργο με την πρώτη ματιά. Η πρώτη ομάδα πρέπει να πετάξει ένα νόμισμα εκατό φορές και να γράψει το αποτέλεσμα: κεφάλια ή ουρές. Η δεύτερη πρέπει να φανταστεί ότι πετάει ένα νόμισμα - και επίσης να κάνει μια λίστα με εκατοντάδες «φανταστικά» αποτελέσματα.

Τι είναι ντετερμινισμός

Εάν είναι γνωστές οι αρχικές συνθήκες του συστήματος, είναι δυνατό, χρησιμοποιώντας τους νόμους της φύσης, να προβλέψουμε την τελική του κατάσταση.

Το πρόβλημα της επιλεκτικής νύφης

Huseyn-Zade S. M.

Το παράδοξο του Ζήνωνα

Είναι δυνατόν να φτάσουμε από το ένα σημείο του διαστήματος στο άλλο; Ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία πίστευε ότι το κίνημα δεν μπορούσε να πραγματοποιηθεί καθόλου, αλλά πώς το υποστήριξε αυτό; Ο Colm Keller μιλάει για το πώς να λύσετε το περίφημο παράδοξο του Ζήνωνα.

Παράδοξα άπειρων συνόλων

Φανταστείτε ένα ξενοδοχείο με άπειρα δωμάτια. Φτάνει ένα λεωφορείο με άπειρους μελλοντικούς επισκέπτες. Αλλά η τοποθέτηση όλων δεν είναι τόσο εύκολη. Αυτή είναι μια ατελείωτη ταλαιπωρία και οι καλεσμένοι είναι ατελείωτα κουρασμένοι. Και αν δεν καταφέρετε να αντεπεξέλθετε στην εργασία, τότε μπορείτε να χάσετε ένα άπειρο χρηματικό ποσό! Τι να κάνω?

Η εξάρτηση του ύψους του παιδιού από το ύψος των γονέων

Οι νέοι γονείς, φυσικά, θέλουν να ξέρουν πόσο ψηλό θα είναι το παιδί τους ως ενήλικας. Οι μαθηματικές στατιστικές μπορούν να προσφέρουν μια απλή γραμμική σχέση για την κατά προσέγγιση εκτίμηση του ύψους των παιδιών, με βάση μόνο το ύψος του πατέρα και της μητέρας, και επίσης να υποδεικνύουν την ακρίβεια μιας τέτοιας εκτίμησης.

Το παράδοξο του Monty Hall είναι ίσως το πιο διάσημο παράδοξο στη θεωρία πιθανοτήτων. Υπάρχουν πολλές παραλλαγές του, για παράδειγμα, το παράδοξο των τριών κρατουμένων. Και υπάρχουν πολλές ερμηνείες και εξηγήσεις αυτού του παραδόξου. Εδώ όμως, θα ήθελα να δώσω όχι μόνο μια επίσημη εξήγηση, αλλά να δείξω τη «φυσική» βάση του τι συμβαίνει στο παράδοξο του Μόντι Χολ και άλλων σαν αυτόν.

Η κλασική διατύπωση είναι:

«Είσαι στο παιχνίδι. Υπάρχουν τρεις πόρτες μπροστά σας. Ένας από αυτούς έχει βραβείο. Ο οικοδεσπότης σας προσκαλεί να προσπαθήσετε να μαντέψετε πού βρίσκεται το βραβείο. Δείχνεις μια από τις πόρτες (τυχαία).

Διατύπωση του παραδόξου Monty Hall

Ο οικοδεσπότης ξέρει πού βρίσκεται πραγματικά το έπαθλο. Εκείνος, ενώ, δεν ανοίγει εκείνη την πόρτα στην οποία δείξατε. Αλλά σου ανοίγει μια ακόμη από τις πόρτες που έχουν απομείνει, πίσω από τις οποίες δεν υπάρχει έπαθλο. Το ερώτημα είναι, πρέπει να αλλάξετε την επιλογή σας ή να μείνετε στην ίδια απόφαση;

Αποδεικνύεται ότι αν απλώς αλλάξετε την επιλογή σας, τότε οι πιθανότητές σας να κερδίσετε θα αυξηθούν!

Το παράδοξο της κατάστασης είναι προφανές. Όλα όσα συμβαίνουν φαίνεται να είναι τυχαία. Δεν έχει σημασία αν αλλάξεις γνώμη ή όχι. Αλλά δεν είναι.

«Φυσική» εξήγηση της φύσης αυτού του παραδόξου

Ας μην μπούμε αρχικά σε μαθηματικές λεπτότητες, αλλά απλώς ας δούμε την κατάσταση χωρίς προκατάληψη.

Σε αυτό το παιχνίδι, κάνετε μόνο πρώτοι τυχαία επιλογή. Ο οικοδεσπότης τότε σας λέει Επιπλέον πληροφορίες , που σας επιτρέπει να αυξήσετε τις πιθανότητές σας να κερδίσετε.

Πώς σας δίνει ο συντονιστής πρόσθετες πληροφορίες; Πολύ απλό. Σημειώστε ότι ανοίγει καθόλουθύρα.

Ας εξετάσουμε, για λόγους απλότητας (αν και υπάρχει ένα στοιχείο πονηρού σε αυτό), μια πιο πιθανή κατάσταση: δείξατε μια πόρτα που δεν έχει βραβείο. Στη συνέχεια, πίσω από μια από τις υπόλοιπες πόρτες, το έπαθλο Υπάρχει. Δηλαδή, ο ηγέτης δεν έχει άλλη επιλογή. Ανοίγει μια πολύ συγκεκριμένη πόρτα. (Δείξατε το ένα, υπάρχει ένα βραβείο πίσω από το άλλο, έχει μείνει μόνο μία πόρτα που μπορεί να ανοίξει ο οικοδεσπότης.)

Είναι σε αυτή τη στιγμή της ουσιαστικής επιλογής που σας δίνει πληροφορίες που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε.

ΣΕ αυτή η υπόθεση, η χρήση των πληροφοριών είναι ότι αλλάζετε την απόφαση.

Παρεμπιπτόντως, η δεύτερη επιλογή σας είναι ήδη επίσης όχι τυχαία(ή μάλλον όχι τόσο τυχαία όσο η πρώτη επιλογή). Μετά από όλα, επιλέγετε από τις κλειστές πόρτες, και μία είναι ήδη ανοιχτή και είναι όχι αυθαίρετο.

Στην πραγματικότητα, ήδη μετά από αυτά τα επιχειρήματα, μπορεί να έχετε την αίσθηση ότι είναι καλύτερο να αλλάξετε γνώμη. Είναι πραγματικά. Ας το δείξουμε πιο επίσημα.

Μια πιο επίσημη εξήγηση του παραδόξου του Monty Hall

Στην πραγματικότητα, η πρώτη, τυχαία επιλογή σας χωρίζει όλες τις πόρτες σε δύο ομάδες. Πίσω από την πόρτα που επιλέξατε, το έπαθλο βρίσκεται με πιθανότητα 1/3, πίσω από τα άλλα δύο - με πιθανότητα 2/3. Τώρα ο οικοδεσπότης κάνει μια αλλαγή: ανοίγει μια πόρτα στη δεύτερη ομάδα. Και τώρα ολόκληρη η πιθανότητα 2/3 ισχύει μόνο για την κλειστή πόρτα στην ομάδα των δύο θυρών.

Είναι σαφές ότι τώρα είναι πιο επικερδές για εσάς να αλλάξετε γνώμη.

Αν και, φυσικά, έχετε ακόμα μια ευκαιρία να χάσετε.

Ωστόσο, η αλλαγή της επιλογής σας αυξάνει τις πιθανότητές σας να κερδίσετε.

The Monty Hall Paradox

Το παράδοξο του Monty Hall είναι ένα πιθανολογικό πρόβλημα, η λύση του οποίου (σύμφωνα με ορισμένους) είναι αντίθετη με την κοινή λογική. Διατύπωση Εργασίας:

Φανταστείτε ότι έχετε γίνει συμμετέχων σε ένα παιχνίδι στο οποίο πρέπει να επιλέξετε μία από τις τρεις πόρτες. Πίσω από τη μια πόρτα είναι ένα αυτοκίνητο, πίσω από τις άλλες δύο πόρτες είναι κατσίκες.
Επιλέγετε μια από τις πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 1, μετά ο οικοδεσπότης, που ξέρει πού είναι το αυτοκίνητο και πού είναι οι κατσίκες, ανοίγει μια από τις υπόλοιπες πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 3, πίσω από την οποία υπάρχει μια κατσίκα.

Το παράδοξο του Monty Hall. Τα πιο ανακριβή μαθηματικά όλων των εποχών

Μετά από αυτό, σας ρωτά αν θέλετε να αλλάξετε την επιλογή σας και να επιλέξετε την πόρτα νούμερο 2.
Θα αυξηθούν οι πιθανότητές σας να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο εάν αποδεχτείτε την προσφορά του οικοδεσπότη και αλλάξετε την επιλογή σας;

Κατά την επίλυση ενός προβλήματος, συχνά θεωρείται εσφαλμένα ότι οι δύο επιλογές είναι ανεξάρτητες και, επομένως, η πιθανότητα δεν θα αλλάξει όταν αλλάξει η επιλογή. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν συμβαίνει, όπως μπορείτε να δείτε αν θυμηθείτε τον τύπο Bayes ή κοιτάζοντας τα αποτελέσματα της προσομοίωσης παρακάτω:

Εδώ: "στρατηγική 1" - μην αλλάξετε την επιλογή, "στρατηγική 2" - αλλάξτε την επιλογή. Θεωρητικά, για την περίπτωση με 3 πόρτες, η κατανομή πιθανοτήτων είναι 33,(3)% και 66,(6)%. Οι αριθμητικές προσομοιώσεις πρέπει να δίνουν παρόμοια αποτελέσματα.

Συνδέσεις

The Monty Hall Paradox- μια εργασία από το τμήμα της θεωρίας πιθανοτήτων, στην επίλυση της οποίας υπάρχει αντίφαση με την κοινή λογική.

Προέλευση[επεξεργασία | επεξεργασία κειμένου wiki]

Στα τέλη του 1963 προβλήθηκε νέο talk showμε τίτλο "Let's Make a Deal" ("Let's make a deal"). Σύμφωνα με το σενάριο του κουίζ, οι θεατές από το κοινό έλαβαν έπαθλα για σωστές απαντήσεις, έχοντας την ευκαιρία να τα πολλαπλασιάσουν βάζοντας νέα στοιχήματα, αλλά ρισκάροντας τα υπάρχοντα κέρδη τους. Ιδρυτές του σόου ήταν ο Stefan Hatosu και ο Monty Hall, ο τελευταίος από τους οποίους έγινε μόνιμος οικοδεσπότης του για πολλά χρόνια.

Μία από τις εργασίες για τους συμμετέχοντες ήταν η κλήρωση του Μεγάλου Βραβείου, που βρισκόταν πίσω από μία από τις τρεις πόρτες. Για τους υπόλοιπους δύο υπήρξαν βραβεία κινήτρων, με τη σειρά του, ο παρουσιαστής γνώριζε τη σειρά της τοποθεσίας τους. Ο διαγωνιζόμενος έπρεπε να καθορίσει την πόρτα του νικητή ποντάροντας όλα τα κέρδη του από την παράσταση.

Όταν ο μαντευτής αποφάσισε τον αριθμό, ο οικοδεσπότης άνοιξε μια από τις υπόλοιπες πόρτες, πίσω από την οποία υπήρχε ένα έπαθλο κινήτρου, και πρόσφερε στον παίκτη να αλλάξει την αρχικά επιλεγμένη πόρτα.

Συνθέσεις[επεξεργασία | επεξεργασία κειμένου wiki]

Ως συγκεκριμένο πρόβλημα, το παράδοξο τέθηκε για πρώτη φορά από τον Steve Selvin το 1975, ο οποίος υπέβαλε στον Αμερικανό στατιστικολόγο και παρουσιαστή Monty Hall την ερώτηση: Θα αλλάξουν οι πιθανότητες του διαγωνιζόμενου να κερδίσει το Μεγάλο Βραβείο εάν, αφού ανοίξει την πόρτα με κίνητρο, αλλάξει η επιλογή του; Μετά από αυτό το περιστατικό, εμφανίστηκε η έννοια του «Monty Hall Paradox».

Το 1990, η πιο κοινή εκδοχή του παραδόξου δημοσιεύτηκε στο Parade Magazine (Περιοδικό "Parade") με ένα παράδειγμα:

«Φανταστείτε τον εαυτό σας σε ένα τηλεοπτικό παιχνίδι όπου πρέπει να προτιμάτε μία από τις τρεις πόρτες: κατσίκες πίσω από δύο από αυτές και ένα αυτοκίνητο πίσω από την τρίτη. Όταν κάνετε μια επιλογή, υποθέτοντας, για παράδειγμα, ότι η πόρτα που κερδίζει είναι η νούμερο ένα, ο οικοδεσπότης ανοίγει μία από τις υπόλοιπες δύο πόρτες, για παράδειγμα, την τρίτη, πίσω από την οποία βρίσκεται μια κατσίκα. Σας δίνεται τότε η ευκαιρία να αλλάξετε την επιλογή σας σε άλλη πόρτα; Μπορείτε να αυξήσετε τις πιθανότητές σας να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο αλλάζοντας την επιλογή σας από την πόρτα νούμερο ένα στην πόρτα νούμερο δύο;”

Αυτή η διατύπωση είναι μια απλοποιημένη εκδοχή, γιατί παραμένει ο παράγοντας επιρροής του οικοδεσπότη, ο οποίος γνωρίζει ακριβώς πού βρίσκεται το αυτοκίνητο και ενδιαφέρεται να χάσει τον συμμετέχοντα.

Για να γίνει το πρόβλημα καθαρά μαθηματικό, είναι απαραίτητο να εξαλειφθεί ο ανθρώπινος παράγοντας εισάγοντας το άνοιγμα μιας πόρτας με έπαθλο κινήτρου και τη δυνατότητα αλλαγής της αρχικής επιλογής ως αναπόσπαστες συνθήκες.

Λύση[επεξεργασία | επεξεργασία κειμένου wiki]

Κατά τη σύγκριση των αποδόσεων με την πρώτη ματιά, η αλλαγή του αριθμού της πόρτας δεν θα δώσει κανένα πλεονέκτημα, γιατί. Και οι τρεις επιλογές έχουν 1/3 πιθανότητες νίκης (περίπου 33,33% σε κάθε μία από τις τρεις πόρτες). Ταυτόχρονα, το άνοιγμα μιας από τις πόρτες δεν θα επηρεάσει τις πιθανότητες των υπόλοιπων δύο, των οποίων οι πιθανότητες θα γίνουν 1/2 προς 1/2 (50% για κάθε μία από τις δύο εναπομείνασες πόρτες). Αυτή η κρίση βασίζεται στην υπόθεση ότι η επιλογή της πόρτας από τον παίκτη και η επιλογή της πόρτας από τον οικοδεσπότη είναι δύο ανεξάρτητα γεγονότα που δεν επηρεάζουν το ένα το άλλο. Στην πραγματικότητα, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε ολόκληρη τη σειρά των γεγονότων ως σύνολο. Σύμφωνα με τη θεωρία των πιθανοτήτων, οι πιθανότητες της πρώτης επιλεγμένης πόρτας από την αρχή μέχρι το τέλος του παιχνιδιού είναι πάντα 1/3 (περίπου 33,33%), και οι δύο υπόλοιπες θύρες έχουν συνολικά 1/3 + 1 /3 = 2/3 (περίπου 66,66%). Όταν ανοίξει μία από τις δύο πόρτες που απομένουν, οι πιθανότητές της γίνονται 0% (το έπαθλο του κινήτρου κρύβεται πίσω από αυτήν) και ως αποτέλεσμα, οι πιθανότητες μιας κλειστής μη επιλεγμένης πόρτας θα είναι 66,66%, δηλ. διπλάσια από την αρχική.

Για να καταστεί ευκολότερη η κατανόηση των αποτελεσμάτων της επιλογής, μπορούμε να εξετάσουμε μια εναλλακτική κατάσταση στην οποία ο αριθμός των επιλογών θα είναι μεγαλύτερος, για παράδειγμα, χίλιες. Η πιθανότητα να επιλέξετε την επιλογή που θα κερδίσετε θα είναι 1/1000 (0,1%). Εφόσον στη συνέχεια ανοίξουν εννιακόσιες ενενήντα οκτώ λανθασμένες από τις υπόλοιπες εννιακόσιες ενενήντα εννέα επιλογές, καθίσταται προφανές ότι η πιθανότητα να απομείνει μία πόρτα από τις εννιακόσιες ενενήντα εννέα που δεν έχουν επιλεγεί είναι υψηλότερη από αυτή της μόνο ένα επιλεγμένο στην αρχή.

Αναφορές[επεξεργασία | επεξεργασία κειμένου wiki]

Μπορείτε να συναντήσετε την αναφορά του Monty Hall Paradox στα "Twenty-one" (ταινία του Robert Luketich), "Kluttyop" (μυθιστόρημα του Sergei Lukyanenko), τηλεοπτική σειρά "4isla" (τηλεοπτική σειρά), "The Mysterious Nighttime Killing of a Dog" (μυθιστορήματα του Mark Haddon), "XKCD" (κόμικ), MythBusters (τηλεοπτική εκπομπή).

Δείτε επίσης[επεξεργασία | επεξεργασία κειμένου wiki]

Στην εικόνα, η διαδικασία επιλογής ανάμεσα σε δύο κλειστές πόρτες από τις τρεις που προτάθηκαν αρχικά

Παραδείγματα λύσεων σε προβλήματα συνδυαστικής

Συνδυαστικήείναι μια επιστήμη που όλοι συναντούν Καθημερινή ζωή: πόσοι τρόποι να επιλέξετε 3 συνοδούς για να καθαρίσετε την τάξη ή πόσους τρόπους για να φτιάξετε μια λέξη από τα γράμματα που δίνονται.

Γενικά, η συνδυαστική σάς επιτρέπει να υπολογίσετε πόσοι διαφορετικοί συνδυασμοί, σύμφωνα με ορισμένες συνθήκες, μπορούν να γίνουν από δεδομένα αντικείμενα (τα ίδια ή διαφορετικά).

Ως επιστήμη, η συνδυαστική προέκυψε τον 16ο αιώνα και τώρα κάθε μαθητής (και συχνά ακόμη και μαθητής) τη μελετά. Ξεκινούν τη μελέτη με τις έννοιες των μεταθέσεων, των τοποθετήσεων, των συνδυασμών (με ή χωρίς επαναλήψεις), θα βρείτε προβλήματα σε αυτά τα θέματα παρακάτω. Οι πιο διάσημοι κανόνες συνδυαστικής είναι οι κανόνες του αθροίσματος και του προϊόντος, οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνότερα σε τυπικά συνδυαστικά προβλήματα.

Παρακάτω θα βρείτε πολλά παραδείγματα εργασιών με λύσεις για συνδυαστικές έννοιες και κανόνες που θα σας βοηθήσουν να αντιμετωπίσετε τυπικές εργασίες. Εάν υπάρχουν δυσκολίες με τις εργασίες, παραγγείλετε ένα τεστ συνδυαστικής.

Προβλήματα συνδυαστικής με λύσεις online

Εργασία 1.Η μαμά έχει 2 μήλα και 3 αχλάδια. Κάθε μέρα για 5 συνεχόμενες μέρες, δίνει ένα φρούτο. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;

Λύση του προβλήματος στη συνδυαστική 1 (pdf, 35 Kb)

Εργασία 2.Μια επιχείρηση μπορεί να παρέχει εργασία σε μια ειδικότητα σε 4 γυναίκες, σε άλλη - σε 6 άνδρες, σε μια τρίτη - σε 3 υπαλλήλους, ανεξαρτήτως φύλου. Με πόσους τρόπους μπορούν να καλυφθούν οι κενές θέσεις εάν υπάρχουν 14 υποψήφιοι: 6 γυναίκες και 8 άνδρες;

Λύση του προβλήματος στη συνδυαστική 2 (pdf, 39 Kb)

Εργασία 3.Σε ένα επιβατικό τρένο υπάρχουν 9 αυτοκίνητα. Με πόσους τρόπους μπορούν να καθίσουν 4 άτομα σε ένα τρένο, με την προϋπόθεση ότι όλοι ταξιδεύουν με διαφορετικά αυτοκίνητα;

Λύση του προβλήματος στη συνδυαστική 3 (pdf, 33 Kb)

Εργασία 4.Η ομάδα είναι 9 άτομα. Πόσες διαφορετικές υποομάδες μπορούν να σχηματιστούν, με την προϋπόθεση ότι η υποομάδα περιλαμβάνει τουλάχιστον 2 άτομα;

Λύση του προβλήματος στη συνδυαστική 4 (pdf, 34 Kb)

Εργασία 5.Μια ομάδα 20 μαθητών θα πρέπει να χωριστεί σε 3 ομάδες και η πρώτη ομάδα να περιλαμβάνει 3 άτομα, η δεύτερη - 5 και η τρίτη - 12. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό.

Λύση του προβλήματος στη συνδυαστική 5 (pdf, 37 Kb)

Εργασία 6.Για να συμμετάσχει στην ομάδα, ο προπονητής επιλέγει 5 αγόρια από τα 10. Με πόσους τρόπους μπορεί να σχηματίσει ομάδα εάν πρέπει να συμπεριληφθούν 2 συγκεκριμένα αγόρια στην ομάδα;

Πρόβλημα συνδυαστικής με λύση 6 (pdf, 33 Kb)

Εργασία 7.Στο σκακιστικό τουρνουά συμμετείχαν 15 σκακιστές και ο καθένας από αυτούς έπαιξε μόνο ένα παιχνίδι με τον καθένα από τους άλλους. Πόσα παιχνίδια παίχτηκαν σε αυτό το τουρνουά;

Πρόβλημα συνδυαστικής με λύση 7 (pdf, 37 Kb)

Εργασία 8.Πόσα διαφορετικά κλάσματα μπορούν να σχηματιστούν από τους αριθμούς 3, 5, 7, 11, 13, 17 ώστε κάθε κλάσμα να περιλαμβάνει 2 διάφορους αριθμούς? Πόσα από αυτά θα είναι σωστά κλάσματα;

Πρόβλημα συνδυαστικής με λύση 8 (pdf, 32 Kb)

Εργασία 9.Πόσες λέξεις μπορούν να ληφθούν με την αναδιάταξη των γραμμάτων στη λέξη Horus και Institute;

Πρόβλημα συνδυαστικής με λύση 9 (pdf, 32 Kb)

Εργασία 10.Ποιοι αριθμοί από το 1 έως το 1.000.000 είναι μεγαλύτεροι: αυτοί στους οποίους εμφανίζεται η μονάδα ή αυτοί στους οποίους δεν εμφανίζεται;

Πρόβλημα συνδυαστικής με λύση 10 (pdf, 39 Kb)

Έτοιμα παραδείγματα

Χρειάζεστε λυμένα προβλήματα στη συνδυαστική; Βρείτε στον οδηγό:

Άλλες λύσεις σε προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων

Φανταστείτε ότι ένας συγκεκριμένος τραπεζίτης σας προτείνει να επιλέξετε ένα από τα τρία κλειστά κουτιά. Σε ένα από αυτά 50 σεντς, στο άλλο - ένα δολάριο, στο τρίτο - 10 χιλιάδες δολάρια. Όποιο κι αν επιλέξετε, θα το πάρετε ως έπαθλο.

Επιλέγετε τυχαία, ας πούμε το πλαίσιο αριθμό 1. Και τότε ο τραπεζίτης (που, φυσικά, ξέρει πού είναι όλα) ακριβώς μπροστά στα μάτια σας ανοίγει ένα κουτί με ένα δολάριο (ας πούμε αυτό είναι το Νο. 2), μετά από το οποίο σας προτείνει να αλλάξετε το αρχικά επιλεγμένο κουτί No. 1 στο κουτί Νο. 3.

Πρέπει να αλλάξετε γνώμη; Αυτό θα αυξήσει τις πιθανότητές σας να πάρετε 10 χιλιάδες;

Αυτό είναι το παράδοξο του Monty Hall - ένα πρόβλημα της θεωρίας πιθανοτήτων, η λύση του οποίου, με την πρώτη ματιά, έρχεται σε αντίθεση με την κοινή λογική. Οι άνθρωποι έχουν ξύσει το κεφάλι τους για αυτό το πρόβλημα από το 1975.

Το παράδοξο πήρε το όνομά του από τον παρουσιαστή της δημοφιλούς αμερικανικής τηλεοπτικής εκπομπής Let's Make a Deal. Αυτή η τηλεοπτική εκπομπή είχε παρόμοιους κανόνες, μόνο οι συμμετέχοντες επέλεξαν πόρτες, δύο από τις οποίες κρύβονταν κατσίκες και η τρίτη ήταν μια Cadillac.

Οι περισσότεροι παίκτες σκέφτηκαν ότι αφού υπήρχαν δύο κλειστές πόρτες και πίσω από μία ήταν μια Cadillac, τότε οι πιθανότητες να το πάρει ήταν 50-50. Προφανώς, όταν ο οικοδεσπότης ανοίγει μια πόρτα και σε καλεί να αλλάξεις γνώμη, ξεκινά νέο παιχνίδι. Είτε αλλάξετε γνώμη είτε όχι, οι πιθανότητές σας θα εξακολουθούν να είναι 50 τοις εκατό. Τόσο δίκαιο?

Αποδεικνύεται ότι δεν το κάνει. Στην πραγματικότητα, αλλάζοντας γνώμη, διπλασιάζεις τις πιθανότητές σου για επιτυχία. Γιατί;

Η απλούστερη εξήγηση για αυτήν την απάντηση είναι η ακόλουθη σκέψη. Για να κερδίσετε ένα αυτοκίνητο χωρίς να αλλάξετε την επιλογή, ο παίκτης πρέπει αμέσως να μαντέψει την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο. Η πιθανότητα αυτού είναι 1/3. Εάν ο παίκτης χτυπήσει αρχικά την πόρτα με μια κατσίκα πίσω της (και η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι 2/3, αφού υπάρχουν δύο κατσίκες και μόνο ένα αυτοκίνητο), τότε σίγουρα μπορεί να κερδίσει το αυτοκίνητο αλλάζοντας γνώμη, αφού το αυτοκίνητο και μένει ένας τράγος, και ο οικοδεσπότης έχει ήδη ανοίξει την πόρτα με την κατσίκα.

Έτσι, χωρίς να αλλάξει η επιλογή, ο παίκτης παραμένει με την αρχική του πιθανότητα να κερδίσει το 1/3 και όταν αλλάζει την αρχική επιλογή, ο παίκτης στρέφεται προς όφελός του διπλάσια πιθανότητα να μην μάντεψε σωστά στην αρχή.

Επίσης, μια διαισθητική εξήγηση μπορεί να γίνει με την εναλλαγή των δύο γεγονότων. Το πρώτο γεγονός είναι η απόφαση του παίκτη να αλλάξει την πόρτα, το δεύτερο γεγονός είναι το άνοιγμα μιας επιπλέον πόρτας. Αυτό είναι αποδεκτό, αφού το άνοιγμα μιας επιπλέον πόρτας δεν δίνει στον παίκτη ΝΕΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑ(το έγγραφο βλέπε σε αυτό το άρθρο). Τότε το πρόβλημα μπορεί να περιοριστεί στην ακόλουθη διατύπωση. Την πρώτη στιγμή, ο παίκτης χωρίζει τις πόρτες σε δύο ομάδες: στην πρώτη ομάδα υπάρχει μία πόρτα (αυτή που επέλεξε), στη δεύτερη ομάδα υπάρχουν δύο πόρτες που απομένουν. Την επόμενη στιγμή, ο παίκτης κάνει μια επιλογή μεταξύ ομάδων. Είναι προφανές ότι για την πρώτη ομάδα η πιθανότητα νίκης είναι 1/3, για τη δεύτερη ομάδα 2/3. Ο παίκτης επιλέγει τη δεύτερη ομάδα. Στη δεύτερη ομάδα, μπορεί να ανοίξει και τις δύο πόρτες. Το ένα ανοίγει από τον οικοδεσπότη και το δεύτερο από τον ίδιο τον παίκτη.

Ας προσπαθήσουμε να δώσουμε την «πιο κατανοητή» εξήγηση. Επαναδιαμόρφωση του προβλήματος: Ένας ειλικρινής οικοδεσπότης ανακοινώνει στον παίκτη ότι υπάρχει ένα αυτοκίνητο πίσω από μία από τις τρεις πόρτες και του προτείνει να δείξει πρώτα σε μία από τις πόρτες και μετά να επιλέξει μία από τις δύο ενέργειες: ανοίξτε την υποδεικνυόμενη πόρτα (στο παλιά διατύπωση, αυτό ονομάζεται "μην αλλάξεις την επιλογή σου") ή ανοίξτε τις άλλες δύο (με την παλιά διατύπωση, αυτό θα ήταν απλώς "αλλάξτε την επιλογή". Σκεφτείτε το, αυτό είναι το κλειδί για την κατανόηση!). Είναι σαφές ότι ο παίκτης θα επιλέξει τη δεύτερη από τις δύο ενέργειες, αφού η πιθανότητα απόκτησης αυτοκινήτου σε αυτή την περίπτωση είναι διπλάσια. Και το μικρό πράγμα που ο οικοδεσπότης ακόμη και πριν επιλέξει τη δράση "έδειξε μια κατσίκα" δεν βοηθά και δεν παρεμβαίνει στην επιλογή, γιατί πίσω από μια από τις δύο πόρτες υπάρχει πάντα μια κατσίκα και ο οικοδεσπότης σίγουρα θα το δείξει ανά πάσα στιγμή κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού, ώστε ο παίκτης να μπορεί σε αυτήν την κατσίκα και να μην παρακολουθεί. Η δουλειά του παίκτη, αν επέλεξε τη δεύτερη ενέργεια, είναι να πει «ευχαριστώ» στον οικοδεσπότη που του γλίτωσε από τον κόπο να ανοίξει ο ίδιος τη μία από τις δύο πόρτες και να ανοίξει την άλλη. Λοιπόν, ή ακόμα πιο εύκολο. Ας φανταστούμε αυτή την κατάσταση από την πλευρά του γηπεδούχου, ο οποίος κάνει παρόμοια διαδικασία με δεκάδες παίκτες. Αφού γνωρίζει πολύ καλά τι υπάρχει πίσω από τις πόρτες, τότε, κατά μέσο όρο, σε δύο περιπτώσεις στις τρεις, βλέπει εκ των προτέρων ότι ο παίκτης έχει επιλέξει τη «λάθος» πόρτα. Επομένως, γι 'αυτόν δεν υπάρχει σίγουρα παράδοξο ότι η σωστή στρατηγική είναι να αλλάξει η επιλογή μετά το άνοιγμα της πρώτης πόρτας: τελικά, στις ίδιες δύο περιπτώσεις από τις τρεις, ο παίκτης θα φύγει από το στούντιο με ένα νέο αυτοκίνητο.

Τέλος, η πιο «αφελής» απόδειξη. Αυτός που στέκεται στην επιλογή του ας λέγεται «Πεισμωμένος», και αυτός που ακολουθεί τις οδηγίες του αρχηγού, «Προσεκτικός». Τότε ο Επίμονος κερδίζει αν αρχικά μάντεψε το αυτοκίνητο (1/3), και ο Προσεχτικός - αν πρώτα έχασε και χτύπησε την κατσίκα (2/3). Εξάλλου, μόνο σε αυτή την περίπτωση θα δείξει στη συνέχεια την πόρτα με το αυτοκίνητο.

Monty Hall, παραγωγός και παρουσιαστής της εκπομπής Ας κάνουμε μια συμφωνίααπό το 1963 έως το 1991.

Το 1990, αυτό το πρόβλημα και η λύση του δημοσιεύτηκαν στο αμερικανικό περιοδικό Parade. Η δημοσίευση προκάλεσε σωρεία αγανακτισμένων κριτικών από αναγνώστες, πολλοί από τους οποίους είχαν επιστημονικά πτυχία.

Το κύριο παράπονο ήταν ότι δεν προσδιορίζονταν όλες οι συνθήκες του προβλήματος και οποιαδήποτε απόχρωση θα μπορούσε να επηρεάσει το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, ο οικοδεσπότης θα μπορούσε να προσφερθεί να αλλάξει την απόφαση μόνο εάν ο παίκτης επέλεγε αυτοκίνητο στην πρώτη κίνηση. Προφανώς, η αλλαγή της αρχικής επιλογής σε μια τέτοια κατάσταση θα οδηγήσει σε εγγυημένη απώλεια.

Ωστόσο, σε όλη τη διάρκεια της τηλεοπτικής εκπομπής του Monty Hall, οι άνθρωποι που άλλαξαν γνώμη κέρδισαν δύο φορές πιο συχνά:

Από τους 30 παίκτες που άλλαξαν γνώμη, η Cadillac κέρδισε 18 - δηλαδή 60%

Από τους 30 παίκτες που έμειναν με την επιλογή τους, η Cadillac κέρδισε 11 - δηλαδή περίπου το 36%

Άρα το σκεπτικό που δίνεται στην απόφαση, όσο παράλογο και αν φαίνονται, επιβεβαιώνεται από την πράξη.

Αύξηση του αριθμού των θυρών

Για να καταλάβουμε ευκολότερα την ουσία αυτού που συμβαίνει, μπορούμε να εξετάσουμε την περίπτωση που ο παίκτης δεν βλέπει μπροστά του τρεις πόρτες, αλλά, για παράδειγμα, εκατό. Ταυτόχρονα, πίσω από τη μία πόρτα υπάρχει ένα αυτοκίνητο και πίσω από τις άλλες 99 κατσίκες. Ο παίκτης επιλέγει μία από τις πόρτες, ενώ στο 99% των περιπτώσεων θα επιλέξει την πόρτα με κατσίκα και οι πιθανότητες να επιλέξει αμέσως την πόρτα με αυτοκίνητο είναι πολύ μικρές - είναι 1%. Μετά από αυτό, ο οικοδεσπότης ανοίγει 98 πόρτες με κατσίκες και ζητά από τον παίκτη να επιλέξει την υπόλοιπη πόρτα. Σε αυτήν την περίπτωση, στο 99% των περιπτώσεων, το αυτοκίνητο θα βρίσκεται πίσω από αυτήν την εναπομείνασα πόρτα, αφού οι πιθανότητες ο παίκτης να επιλέξει αμέσως τη σωστή πόρτα είναι πολύ μικρές. Είναι σαφές ότι σε αυτή την κατάσταση ένας λογικά σκεπτόμενος παίκτης πρέπει πάντα να αποδέχεται την πρόταση του ηγέτη.

Όταν εξετάζουμε έναν αυξημένο αριθμό θυρών, τίθεται συχνά το ερώτημα: εάν στο αρχικό πρόβλημα ο αρχηγός ανοίγει μία πόρτα στις τρεις (δηλαδή το 1/3 των σύνολοπόρτες), γιατί να υποθέσουμε ότι στην περίπτωση των 100 θυρών, ο οικοδεσπότης θα ανοίξει 98 πόρτες με κατσίκες και όχι 33; Αυτή η σκέψη είναι συνήθως ένας από τους σημαντικούς λόγους για τους οποίους το παράδοξο του Monty Hall συγκρούεται με τη διαισθητική αντίληψη της κατάστασης. Υποθέτοντας ότι το άνοιγμα 98 θυρών θα είναι σωστό γιατί ουσιαστική προϋπόθεσηΤο καθήκον είναι να έχετε μόνο μία εναλλακτική επιλογή για τον παίκτη, η οποία προσφέρεται από τον συντονιστή. Επομένως, για να είναι παρόμοια τα καθήκοντα, στην περίπτωση των 4 θυρών, ο αρχηγός πρέπει να ανοίξει 2 πόρτες, στην περίπτωση 5 θυρών - 3, και ούτω καθεξής, έτσι ώστε να υπάρχει πάντα μια άνοικτη πόρτα εκτός από αυτήν. που αρχικά επέλεξε ο παίκτης. Εάν ο συντονιστής ανοίξει λιγότερες πόρτες, τότε η εργασία δεν θα είναι πλέον παρόμοια με την αρχική εργασία του Monty Hall.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στην περίπτωση πολλών θυρών, ακόμα κι αν ο οικοδεσπότης δεν αφήσει μια πόρτα κλειστή, αλλά πολλές και προσφέρει στον παίκτη να επιλέξει μία από αυτές, τότε κατά την αλλαγή της αρχικής επιλογής, οι πιθανότητες του παίκτη να κερδίσει το αυτοκίνητο θα εξακολουθούν να αυξάνονται, αν και όχι τόσο σημαντικά. Για παράδειγμα, σκεφτείτε μια κατάσταση όπου ένας παίκτης επιλέγει μία πόρτα από τις εκατό και μετά ο συντονιστής ανοίγει μόνο μία από τις υπόλοιπες πόρτες, καλώντας τον παίκτη να αλλάξει την επιλογή του. Ταυτόχρονα, οι πιθανότητες το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από την πόρτα που είχε αρχικά επιλέξει ο παίκτης παραμένουν οι ίδιες - 1/100, και για τις υπόλοιπες πόρτες οι πιθανότητες αλλάζουν: η συνολική πιθανότητα το αυτοκίνητο να βρίσκεται πίσω από μια από τις υπόλοιπες πόρτες ( 99/100) διανέμεται τώρα όχι σε 99 πόρτες, αλλά 98. Επομένως, η πιθανότητα να βρεθεί ένα αυτοκίνητο πίσω από κάθε μία από αυτές τις πόρτες δεν θα είναι 1/100, αλλά 99/9800. Η αύξηση της πιθανότητας θα είναι περίπου 1%.

Δέντρο ΠΙΘΑΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣπαίκτης και οικοδεσπότης, δείχνοντας την πιθανότητα κάθε αποτελέσματος Πιο τυπικά, το σενάριο του παιχνιδιού μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας ένα δέντρο αποφάσεων. Στις δύο πρώτες περιπτώσεις, όταν ο παίκτης επέλεξε για πρώτη φορά την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται ο τράγος, η αλλαγή της επιλογής οδηγεί σε νίκη. Στις δύο τελευταίες περιπτώσεις, όταν ο παίκτης επέλεξε για πρώτη φορά την πόρτα με το αυτοκίνητο, η αλλαγή της επιλογής οδηγεί σε απώλεια.

Αν πάλι δεν καταλαβαίνεις, φτύσε τους τύπους και απλάελέγξτε τα πάντα στατιστικά. Μια άλλη πιθανή εξήγηση:

Ένας παίκτης του οποίου η στρατηγική θα ήταν να αλλάζει την επιλεγμένη πόρτα κάθε φορά θα έχανε μόνο αν αρχικά επιλέξει την πόρτα πίσω από την οποία βρίσκεται το αυτοκίνητο.
Δεδομένου ότι η πιθανότητα να επιλέξετε αυτοκίνητο με την πρώτη προσπάθεια είναι μία στις τρεις (ή 33%), η πιθανότητα να μην επιλέξετε αυτοκίνητο εάν ο παίκτης αλλάξει την επιλογή του είναι επίσης μία στις τρεις (ή 33%).
Αυτό σημαίνει ότι ο παίκτης που χρησιμοποίησε τη στρατηγική για να αλλάξει την πόρτα θα κερδίσει με πιθανότητα 66% ή δύο προς τρία.
Αυτό θα διπλασιάσει τις πιθανότητες να κερδίσει έναν παίκτη του οποίου η στρατηγική δεν είναι να αλλάζει την επιλογή του κάθε φορά.

Ακόμα δεν πιστεύετε; Ας υποθέσουμε ότι επιλέγετε την πόρτα #1. Εδώ είναι όλα πιθανές επιλογέςτι μπορεί να συμβεί σε αυτή την περίπτωση.

«Υπάρχουν τρία είδη ψέματος: ψέματα, κραυγαλέο ψέμακαι στατιστικές. Αυτή η φράση, που αποδόθηκε από τον Mark Twain στον Βρετανό πρωθυπουργό Benjamin Disraeli, αντανακλά καλά τη στάση της πλειοψηφίας στους μαθηματικούς νόμους. Πράγματι, η θεωρία των πιθανοτήτων μερικές φορές ρίχνει καταπληκτικά γεγονότα, που είναι δύσκολο να πιστέψουμε εκ πρώτης όψεως - και που, ωστόσο, επιβεβαιώνονται από την επιστήμη. «Θεωρίες και πρακτικές» υπενθύμισε τα πιο διάσημα παράδοξα.

Πρόβλημα Monty Hall

Ήταν αυτό το καθήκον που ο πανούργος καθηγητής του MIT πρόσφερε στους φοιτητές στην ταινία Twenty-One. Δίνοντας τη σωστή απάντηση κύριος χαρακτήραςσυμμετέχει σε μια ομάδα λαμπρών νεαρών μαθηματικών που κτυπούν τα καζίνο στο Λας Βέγκας.

Η κλασική διατύπωση έχει ως εξής: «Ας πούμε ότι ένας συγκεκριμένος παίκτης προσφέρθηκε να συμμετάσχει στη διάσημη αμερικανική τηλεοπτική εκπομπή Let’s Make a Deal, με παρουσιαστή τον Monty Hall, και πρέπει να επιλέξει μία από τις τρεις πόρτες. Πίσω από δύο πόρτες είναι κατσίκες, πίσω από τη μία είναι το κύριο βραβείο, ένα αυτοκίνητο, ο παρουσιαστής ξέρει την τοποθεσία των βραβείων. Αφού ο παίκτης κάνει την επιλογή του, ο συντονιστής ανοίγει μια από τις πόρτες που έχουν απομείνει, πίσω από την οποία βρίσκεται μια κατσίκα, και καλεί τον παίκτη να αλλάξει γνώμη. Πρέπει ο παίκτης να συμφωνήσει ή είναι καλύτερα να διατηρήσει την αρχική του επιλογή;»

Ακολουθεί μια τυπική συλλογιστική: αφού ο οικοδεσπότης ανοίξει μια από τις πόρτες και δείξει την κατσίκα, ο παίκτης πρέπει να επιλέξει ανάμεσα σε δύο πόρτες. Το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από ένα από αυτά, οπότε η πιθανότητα να το μαντέψετε είναι ½. Επομένως, δεν υπάρχει διαφορά - να αλλάξετε την επιλογή σας ή όχι. Κι όμως, η θεωρία των πιθανοτήτων λέει ότι μπορείτε να αυξήσετε τις πιθανότητές σας να κερδίσετε αλλάζοντας την απόφασή σας. Ας δούμε γιατί συμβαίνει αυτό.

Για να το κάνουμε αυτό, ας πάμε ένα βήμα πίσω. Τη στιγμή που κάναμε την αρχική μας επιλογή, χωρίσαμε τις πόρτες σε δύο μέρη: αυτό που επιλέξαμε και τα άλλα δύο. Προφανώς, η πιθανότητα το αυτοκίνητο να κρύβεται πίσω από την πόρτα "μας" είναι ⅓ - αντίστοιχα, το αυτοκίνητο βρίσκεται πίσω από μία από τις δύο υπόλοιπες πόρτες με πιθανότητα ⅔. Όταν ο συντονιστής υποδείξει ότι υπάρχει μια κατσίκα πίσω από μια από αυτές τις πόρτες, αποδεικνύεται ότι αυτές οι πιθανότητες πέφτουν στη δεύτερη πόρτα. Και αυτό μειώνει την επιλογή του παίκτη σε δύο πόρτες, πίσω από τη μία από τις οποίες (αρχικά επιλέχθηκε) το αυτοκίνητο είναι με πιθανότητα ⅓ και πίσω από την άλλη με πιθανότητα ⅔. Η επιλογή γίνεται προφανής. Κάτι που φυσικά δεν αναιρεί το γεγονός ότι από την αρχή ο παίκτης μπορούσε να επιλέξει πόρτα με αυτοκίνητο.

Το έργο των τριών κρατουμένων

Το The Three Prisoners Paradox είναι παρόμοιο με το πρόβλημα του Monty Hall, αν και η δράση λαμβάνει χώρα σε πιο δραματικά περιβάλλοντα. Τρεις κρατούμενοι (Α, Β και Γ) καταδικάζονται σε θάνατο και τίθενται σε απομόνωση. Ο κυβερνήτης επιλέγει τυχαία έναν από αυτούς και του δίνει χάρη. Ο αρχιφύλακας ξέρει ποιος από τους τρεις έχει πάρει χάρη, αλλά του λένε να το κρατήσει μυστικό. Ο κρατούμενος Α ζητά από τον φρουρό να του πει το όνομα του δεύτερου κρατούμενου (εκτός από τον ίδιο) που θα εκτελεστεί οπωσδήποτε: «αν ο Β έχει χάρη, πες μου ότι θα εκτελεστεί ο Γ. Αν ο Γ έχει χάρη, πες μου ότι ο Β θα εκτελεστεί Αν εκτελεστούν και οι δύο, αλλά έχω έλεος, πέτα ένα νόμισμα και πείτε κάποιο από αυτά τα δύο ονόματα. Ο φύλακας λέει ότι ο κρατούμενος Β θα εκτελεστεί. Πρέπει ο κρατούμενος Α να είναι ευτυχισμένος;

Φαίνεται, ναι. Άλλωστε, πριν λάβει αυτές τις πληροφορίες, η πιθανότητα θανάτου του κρατούμενου Α ήταν ⅔ και τώρα γνωρίζει ότι ένας από τους άλλους δύο κρατούμενους θα εκτελεστεί, πράγμα που σημαίνει ότι η πιθανότητα εκτέλεσής του έχει μειωθεί στο ½. Αλλά στην πραγματικότητα, ο κρατούμενος Α δεν έμαθε τίποτα καινούργιο: αν δεν του χορηγούνταν χάρη, θα του έλεγαν το όνομα ενός άλλου κρατουμένου και ήξερε ήδη ότι ο ένας από τους δύο που είχαν απομείνει θα εκτελούνταν. Αν ήταν τυχερός και η εκτέλεση ακυρώθηκε, θα ακούσει τυχαίο όνομαΒ ή Γ. Επομένως, οι πιθανότητες σωτηρίας του δεν έχουν αλλάξει σε καμία περίπτωση.

Τώρα φανταστείτε ότι ένας από τους υπόλοιπους κρατούμενους μαθαίνει για την ερώτηση του κρατούμενου Α και την απάντηση που έλαβε. Αυτό θα αλλάξει τις ιδέες του σχετικά με την πιθανότητα της χάρης.

Αν ο κρατούμενος Β ακούσει τη συνομιλία, θα ξέρει ότι σίγουρα θα εκτελεστεί. Και αν ο κρατούμενος είναι ο Β, τότε η πιθανότητα της χάρης του θα είναι ⅔. Γιατί συνέβη? Ο κρατούμενος Α δεν έχει λάβει καμία πληροφορία και οι πιθανότητές του να του δοθεί χάρη είναι ακόμη ⅓. Ο κρατούμενος Β σίγουρα δεν θα του δοθεί χάρη και οι πιθανότητές του είναι μηδενικές. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να αποφυλακιστεί ο τρίτος κρατούμενος είναι ⅔.

Το παράδοξο των δύο φακέλων

Αυτό το παράδοξο έγινε γνωστό χάρη στον μαθηματικό Μάρτιν Γκάρντνερ και διατυπώνεται ως εξής: «Ας υποθέσουμε ότι σε εσάς και σε έναν φίλο σας προσφέρονται δύο φάκελοι, ο ένας περιέχει ένα συγκεκριμένο χρηματικό ποσό Χ και ο άλλος περιέχει ένα διπλάσιο ποσό. Ανοίγετε ανεξάρτητα φακέλους, μετράτε χρήματα και μετά μπορείτε να τους ανταλλάξετε. Οι φάκελοι είναι ίδιοι, επομένως υπάρχει ½ πιθανότητα να λάβετε έναν φάκελο με μικρότερη ποσότητα. Ας υποθέσουμε ότι ανοίξατε έναν φάκελο και βρήκατε 10 $ σε αυτόν. Επομένως, ο φάκελος του φίλου σας ενδέχεται να περιέχει 5 $ ή 20 $. Εάν αποφασίσετε να ανταλλάξετε, τότε μπορείτε να υπολογίσετε τη μαθηματική προσδοκία του τελικού ποσού - δηλαδή τη μέση τιμή του. Είναι 1/2x$5+1/2x20=12,5$. Έτσι, η ανταλλαγή είναι επωφελής για εσάς. Και, πιθανότατα, ο φίλος σας θα μαλώσει με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Αλλά είναι προφανές ότι η ανταλλαγή δεν μπορεί να είναι επωφελής και για τους δυο σας. Ποιο είναι το λάθος;

Το παράδοξο είναι ότι μέχρι να ανοίξετε τον φάκελο σας, οι πιθανότητες συμπεριφέρονται δίκαια: στην πραγματικότητα έχετε 50 τοις εκατό πιθανότητα να βρείτε Χ στον φάκελο σας και 50 τοις εκατό πιθανότητα να βρείτε 2Χ στον φάκελο σας. Και η κοινή λογική υπαγορεύει ότι οι πληροφορίες σχετικά με το ποσό που έχετε δεν μπορούν να επηρεάσουν το περιεχόμενο του δεύτερου φακέλου.

Ωστόσο, μόλις ανοίξετε το φάκελο, η κατάσταση αλλάζει δραματικά (αυτό το παράδοξο μοιάζει κάπως με την ιστορία με τη γάτα του Schrödinger, όπου η ίδια η παρουσία ενός παρατηρητή επηρεάζει την κατάσταση των πραγμάτων). Γεγονός είναι ότι για να συμμορφωθείτε με τις προϋποθέσεις του παραδόξου, η πιθανότητα να βρείτε στον δεύτερο φάκελο μεγαλύτερη ή μικρότερη ποσότητα από τη δική σας πρέπει να είναι η ίδια. Αλλά τότε οποιαδήποτε τιμή αυτού του αθροίσματος από το μηδέν έως το άπειρο είναι εξίσου πιθανή. Και αν υπάρχει ένας εξίσου πιθανός αριθμός πιθανοτήτων, αθροίζονται στο άπειρο. Και αυτό είναι αδύνατο.

Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να φανταστείτε ότι βρίσκετε ένα σεντ στον φάκελο σας. Προφανώς, ο δεύτερος φάκελος δεν μπορεί να περιέχει τη μισή ποσότητα.

Είναι αξιοπερίεργο ότι οι συζητήσεις για την επίλυση του παραδόξου συνεχίζονται αυτή τη στιγμή. Ταυτόχρονα, επιχειρείται τόσο να εξηγηθεί το παράδοξο εκ των έσω όσο και να αναπτυχθεί καλύτερη στρατηγικήσυμπεριφορά σε μια τέτοια κατάσταση. Συγκεκριμένα, ο καθηγητής Thomas Cover πρότεινε μια πρωτότυπη προσέγγιση για τη διαμόρφωση μιας στρατηγικής - να αλλάξει ή να μην αλλάξει το φάκελο, με γνώμονα κάποια διαισθητική προσδοκία. Ας πούμε ότι αν ανοίξετε έναν φάκελο και βρείτε 10 $ σε αυτόν - ένα μικρό ποσό σύμφωνα με τις εκτιμήσεις σας - αξίζει να τον ανταλλάξετε. Και αν ο φάκελος περιέχει, ας πούμε, 1.000 $, που ξεπερνά τις πιο τρελές προσδοκίες σας, τότε δεν χρειάζεται να αλλάξετε. Αυτή η διαισθητική στρατηγική, εάν σας προσφέρεται τακτικά να επιλέξετε δύο φακέλους, σας δίνει την ευκαιρία να αυξήσετε τα συνολικά κέρδη περισσότερο από τη στρατηγική της συνεχούς αλλαγής φακέλων.

Παράδοξο αγόρι και κορίτσι

Αυτό το παράδοξο προτάθηκε και από τον Μάρτιν Γκάρντνερ και διατυπώνεται ως εξής: «Ο κύριος Σμιθ έχει δύο παιδιά. Τουλάχιστον ένα παιδί είναι αγόρι. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και ο δεύτερος αγόρι;

Φαίνεται ότι το έργο είναι απλό. Ωστόσο, αν αρχίσετε να καταλαβαίνετε, αποκαλύπτεται μια περίεργη περίσταση: η σωστή απάντηση θα διαφέρει ανάλογα με το πώς υπολογίζουμε την πιθανότητα του φύλου του άλλου παιδιού.

Επιλογή 1

Εξετάστε όλους τους πιθανούς συνδυασμούς σε οικογένειες με δύο παιδιά:

Κορίτσι/Κορίτσι

Κορίτσι αγόρι

Αγόρι κορίτσι

Αγόρι/Αγόρι

Η επιλογή girl/girl δεν μας ταιριάζει σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος. Επομένως, για την οικογένεια του κ. Σμιθ, υπάρχουν τρεις εξίσου πιθανές επιλογές - που σημαίνει ότι η πιθανότητα το άλλο παιδί να είναι επίσης αγόρι είναι ⅓. Αυτή ήταν η απάντηση που έδωσε αρχικά ο ίδιος ο Γκάρντνερ.

Επιλογή 2

Ας φανταστούμε ότι συναντάμε τον κύριο Σμιθ στο δρόμο όταν περπατάει με τον γιο του. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι και το δεύτερο παιδί αγόρι; Δεδομένου ότι το φύλο του δεύτερου παιδιού είναι ανεξάρτητο από το φύλο του πρώτου, η προφανής (και σωστή) απάντηση είναι ½.

Γιατί συμβαίνει αυτό, επειδή, όπως φαίνεται, τίποτα δεν έχει αλλάξει;

Όλα εξαρτώνται από το πώς θα προσεγγίσουμε το θέμα του υπολογισμού της πιθανότητας. Στην πρώτη περίπτωση, εξετάσαμε όλες τις πιθανές παραλλαγές της οικογένειας Smith. Στο δεύτερο - θεωρήσαμε όλες τις οικογένειες που εμπίπτουν στην υποχρεωτική προϋπόθεση "πρέπει να υπάρχει ένα αγόρι". Ο υπολογισμός της πιθανότητας του φύλου του δεύτερου παιδιού πραγματοποιήθηκε με αυτή τη συνθήκη (στη θεωρία των πιθανοτήτων αυτό ονομάζεται «υπό όρους πιθανότητα»), που οδήγησε σε ένα αποτέλεσμα διαφορετικό από το πρώτο.

Τον Δεκέμβριο του 1963 στο αμερικανικό τηλεοπτικό κανάλι NBCπρόγραμμα που κυκλοφόρησε για πρώτη φορά Ας κάνουμε μια συμφωνία("Let's Make a Deal!"), στο οποίο οι συμμετέχοντες που επιλέχθηκαν από το κοινό στο στούντιο διαπραγματεύτηκαν μεταξύ τους και με τον οικοδεσπότη, έπαιξαν μικρά παιχνίδιαή απλά μαντέψτε την απάντηση στην ερώτηση. Στο τέλος της εκπομπής, οι συμμετέχοντες μπορούσαν να παίξουν το "deal of the day". Υπήρχαν τρεις πόρτες μπροστά τους, για τις οποίες ήταν γνωστό ότι πίσω από μία από αυτές ήταν το Μεγάλο Βραβείο (για παράδειγμα, ένα αυτοκίνητο) και πίσω από τις άλλες δύο υπήρχαν λιγότερο πολύτιμα ή εντελώς παράλογα δώρα (για παράδειγμα, ζωντανές κατσίκες) . Αφού ο παίκτης έκανε την επιλογή του, ο Monty Hall, ο οικοδεσπότης του προγράμματος, άνοιξε μία από τις δύο πόρτες που είχαν απομείνει, δείχνοντας ότι δεν υπήρχε έπαθλο πίσω από αυτό και άφησε τον συμμετέχοντα να χαρεί που είχε την ευκαιρία να κερδίσει.

Το 1975, ο επιστήμονας του UCLA Steve Selvin ρώτησε τι θα συνέβαινε εάν, εκείνη τη στιγμή, αφού άνοιγε την πόρτα χωρίς βραβείο, ζητηθεί από τον συμμετέχοντα να αλλάξει την επιλογή του. Θα αλλάξουν οι πιθανότητες του παίκτη να πάρει το Έπαθλο σε αυτή την περίπτωση και αν ναι, προς ποια κατεύθυνση; Υπέβαλε τη σχετική ερώτηση ως τεύχος στο περιοδικό Ο Αμερικανός στατιστικολόγος(«The American Statistician»), αλλά και στον ίδιο τον Monty Hall, ο οποίος του έδωσε μια αρκετά περίεργη απάντηση. Παρά αυτή την απάντηση (ή ίσως εξαιτίας της), το πρόβλημα έγινε δημοφιλές με το όνομα "πρόβλημα Monty Hall".

Εργο

Καταλήξατε στο σόου του Monty Hall ως συμμετέχων - και την τελευταία στιγμή, ανοίγοντας την πόρτα με μια κατσίκα, ο οικοδεσπότης πρότεινε να αλλάξετε την επιλογή σας. Θα επηρεάσει η απόφασή σας - συμφωνείτε ή όχι - την πιθανότητα να κερδίσετε;

Ενδειξη

Προσπαθήστε να σκεφτείτε άτομα που επέλεξαν διαφορετικές πόρτες στην ίδια περίπτωση (δηλαδή όταν το Βραβείο βρίσκεται, για παράδειγμα, πίσω από την πόρτα νούμερο 1). Ποιος θα ωφεληθεί από την αλλαγή της επιλογής του και ποιος όχι;

Λύση

Όπως προτείνεται στην επεξήγηση εργαλείου, σκεφτείτε άτομα που έκαναν διαφορετικές επιλογές. Ας υποθέσουμε ότι το Βραβείο βρίσκεται πίσω από την πόρτα #1 και πίσω από τις πόρτες #2 και #3 είναι κατσίκες. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έξι άτομα, και κάθε πόρτα επιλέχθηκε από δύο άτομα, και από κάθε ζευγάρι ο ένας άλλαξε στη συνέχεια την απόφαση και ο άλλος όχι.

Σημειώστε ότι ο Οικοδεσπότης που θα επιλέξει την πόρτα Νο 1 θα ανοίξει μια από τις δύο πόρτες σύμφωνα με το γούστο του, ενώ, ανεξάρτητα από αυτό, το Αυτοκίνητο θα παραληφθεί από αυτόν που δεν αλλάζει την επιλογή του, αλλά αυτός που άλλαξε την αρχική του επιλογή θα παραμείνει χωρίς το Βραβείο. Τώρα ας δούμε αυτούς που επέλεξαν τις πόρτες #2 και #3. Εφόσον υπάρχει ένα Αυτοκίνητο πίσω από την πόρτα Νο. 1, ο Οικοδεσπότης δεν μπορεί να το ανοίξει, κάτι που δεν του αφήνει άλλη επιλογή - τους ανοίγει τις πόρτες Νο. 3 και Νο. 2, αντίστοιχα. Ταυτόχρονα, αυτός που άλλαξε την απόφαση σε κάθε ζευγάρι θα επιλέξει το Βραβείο ως αποτέλεσμα και αυτός που δεν άλλαξε θα μείνει χωρίς τίποτα. Έτσι, από τρία άτομα που αλλάζουν γνώμη, δύο θα πάρουν το Βραβείο και ένας θα πάρει την κατσίκα, ενώ από τους τρεις που άφησαν την αρχική τους επιλογή αμετάβλητη, μόνο ένας θα πάρει το Βραβείο.

Να σημειωθεί ότι αν το Αυτοκίνητο ήταν πίσω από την πόρτα #2 ή #3, το αποτέλεσμα θα ήταν το ίδιο, μόνο οι συγκεκριμένοι νικητές θα άλλαζαν. Έτσι, αν υποθέσουμε ότι αρχικά κάθε πόρτα επιλέγεται με ίση πιθανότητα, παίρνουμε ότι όσοι αλλάζουν την επιλογή τους κερδίζουν το Έπαθλο δύο φορές πιο συχνά, δηλαδή η πιθανότητα να κερδίσουν σε αυτή την περίπτωση είναι μεγαλύτερη.

Ας δούμε αυτό το πρόβλημα από τη σκοπιά της μαθηματικής θεωρίας των πιθανοτήτων. Θα υποθέσουμε ότι η πιθανότητα της αρχικής επιλογής καθεμιάς από τις πόρτες είναι η ίδια, καθώς και η πιθανότητα να βρεθείτε πίσω από κάθε μια από τις πόρτες του Αυτοκινήτου. Επιπλέον, είναι χρήσιμο να κάνουμε επιφύλαξη ότι ο Αρχηγός, όταν μπορεί να ανοίξει δύο πόρτες, επιλέγει την καθεμία από αυτές με ίση πιθανότητα. Τότε αποδεικνύεται ότι μετά την πρώτη απόφαση, η πιθανότητα το Βραβείο να βρίσκεται πίσω από την επιλεγμένη πόρτα είναι 1/3, ενώ η πιθανότητα να βρίσκεται πίσω από μία από τις άλλες δύο πόρτες είναι 2/3. Ταυτόχρονα, αφού ο Οικοδεσπότης άνοιξε μία από τις δύο «μη επιλεγμένες» πόρτες, ολόκληρη η πιθανότητα των 2/3 πέφτει μόνο σε μία από τις υπόλοιπες πόρτες, δημιουργώντας έτσι τη βάση για αλλαγή της απόφασης, η οποία θα αυξήσει την πιθανότητα νίκης κατά 2 φορές. Κάτι που φυσικά δεν το εγγυάται σε καμία περίπτωση σε μια συγκεκριμένη περίπτωση, αλλά θα οδηγήσει σε πιο επιτυχημένα αποτελέσματα στην περίπτωση επαναλαμβανόμενης επανάληψης του πειράματος.

Επίλογος

Το πρόβλημα Monty Hall δεν είναι η πρώτη γνωστή διατύπωση αυτού του προβλήματος. Συγκεκριμένα, το 1959, ο Μάρτιν Γκάρντνερ δημοσίευσε στο περιοδικό Scientific Americanπαρόμοιο πρόβλημα «περίπου τρεις κρατούμενοι» (πρόβλημα Τρεις κρατούμενοι) με την εξής διατύπωση: « Από τους τρεις κρατούμενους, ένας πρέπει να αμνηστευτεί και δύο να εκτελεστούν. Ο κρατούμενος Α πείθει τον φρουρό να του πει το όνομα του ενός από τους άλλους δύο που θα εκτελεστούν (είτε εάν εκτελεστούν και οι δύο), μετά από αυτό, έχοντας λάβει το όνομα Β, θεωρεί ότι η πιθανότητα της δικής του σωτηρίας δεν έχει γίνει 1/3, αλλά 1/2. Παράλληλα, ο κρατούμενος Γ ισχυρίζεται ότι η πιθανότητα φυγής του έχει γίνει 2/3, ενώ για τον Α δεν έχει αλλάξει τίποτα. Ποιος από αυτούς έχει δίκιο;»

Ωστόσο, ο Gardner δεν ήταν ο πρώτος, αφού το 1889, στον Λογισμό των Πιθανοτήτων, ο Γάλλος μαθηματικός Joseph Bertrand (δεν πρέπει να συγχέεται με τον Άγγλο Bertrand Russell!) προσφέρει ένα παρόμοιο πρόβλημα (δείτε το παράδοξο του κουτιού Bertrand): Υπάρχουν τρία κουτιά, το καθένα από τα οποία περιέχει δύο νομίσματα: δύο χρυσά στο πρώτο, δύο ασημένια στο δεύτερο και δύο διαφορετικά στο τρίτο. Από ένα τυχαία επιλεγμένο κουτί, βγήκε τυχαία ένα νόμισμα, το οποίο αποδείχθηκε ότι ήταν χρυσό. Ποια είναι η πιθανότητα το νόμισμα που απομένει στο κουτί να είναι χρυσό;»

Εάν κατανοήσετε τις λύσεις και στα τρία προβλήματα, είναι εύκολο να παρατηρήσετε την ομοιότητα των ιδεών τους. μαθηματικά, όλα τα ενώνει η έννοια της υπό όρους πιθανότητας, δηλαδή η πιθανότητα του γεγονότος Α, εάν είναι γνωστό ότι έχει συμβεί το γεγονός Β. Το πιο απλό παράδειγμα: η πιθανότητα ένα κανονικό ζάρι να είναι 1/6. Ωστόσο, εάν ο κυλιόμενος αριθμός είναι γνωστό ότι είναι περιττός, τότε η πιθανότητα να είναι ένα είναι ήδη 1/3. Το πρόβλημα του Monty Hall, όπως και τα άλλα δύο προβλήματα που αναφέρθηκαν, δείχνει ότι οι πιθανότητες υπό όρους πρέπει να αντιμετωπίζονται με προσοχή.

Αυτά τα προβλήματα συχνά ονομάζονται και παράδοξα: το παράδοξο του Μόντι Χολ, το παράδοξο του Μπέρτραντ (το τελευταίο δεν πρέπει να συγχέεται με το πραγματικό παράδοξο του Μπέρτραντ που δίνεται στο ίδιο βιβλίο, το οποίο απέδειξε την ασάφεια της έννοιας της πιθανότητας που υπήρχε εκείνη την εποχή) - που υπονοεί κάποια αντίφαση (για παράδειγμα, στο «παράδοξο του ψεύτη» η φράση «αυτή η δήλωση είναι ψευδής» έρχεται σε αντίθεση με το νόμο του αποκλεισμένου μέσου). Σε αυτή την περίπτωση, ωστόσο, δεν υπάρχει αντίφαση με αυστηρούς ισχυρισμούς. Ωστόσο, υπάρχει μια σαφής αντίφαση με κοινή γνώμη» ή απλώς «μια προφανής λύση» στο πρόβλημα. Πράγματι, οι περισσότεροι, βλέποντας το πρόβλημα, πιστεύουν ότι μετά το άνοιγμα μιας από τις πόρτες, η πιθανότητα να βρεθεί το Βραβείο πίσω από οποιαδήποτε από τις δύο εναπομείνασες κλειστές είναι 1/2. Με αυτόν τον τρόπο, ισχυρίζονται ότι δεν έχει σημασία αν συμφωνούν ή διαφωνούν να αλλάξουν γνώμη. Επιπλέον, πολλοί άνθρωποι δυσκολεύονται να κατανοήσουν μια άλλη απάντηση εκτός από αυτή, ακόμη και αφού τους είπαν τη λεπτομερή λύση.

Τον Δεκέμβριο του 1963, το αμερικανικό τηλεοπτικό κανάλι NBC μετέδωσε για πρώτη φορά το πρόγραμμα Let's Make a Deal («Ας κάνουμε μια συμφωνία!»), στο οποίο οι συμμετέχοντες, επιλεγμένοι από το κοινό στο στούντιο, διαπραγματεύτηκαν μεταξύ τους και με τον οικοδεσπότη, έπαιξαν μικρά παιχνίδια ή απλά μαντέψατε την απάντηση στην ερώτηση. Στο τέλος της εκπομπής, οι συμμετέχοντες μπορούσαν να παίξουν το "deal of the day". Υπήρχαν τρεις πόρτες μπροστά τους, για τις οποίες ήταν γνωστό ότι πίσω από μία από αυτές ήταν το Μεγάλο Βραβείο (για παράδειγμα, ένα αυτοκίνητο) και πίσω από τις άλλες δύο υπήρχαν λιγότερο πολύτιμα ή εντελώς παράλογα δώρα (για παράδειγμα, ζωντανές κατσίκες) . Αφού ο παίκτης έκανε την επιλογή του, ο Monty Hall, ο οικοδεσπότης του προγράμματος, άνοιξε μία από τις δύο πόρτες που είχαν απομείνει, δείχνοντας ότι δεν υπήρχε έπαθλο πίσω από αυτό και άφησε τον συμμετέχοντα να χαρεί που είχε την ευκαιρία να κερδίσει.

Το 1975, ο επιστήμονας του UCLA Steve Selvin ρώτησε τι θα συνέβαινε εάν, εκείνη τη στιγμή, αφού άνοιγε την πόρτα χωρίς βραβείο, ζητηθεί από τον συμμετέχοντα να αλλάξει την επιλογή του. Θα αλλάξουν οι πιθανότητες του παίκτη να πάρει το Έπαθλο σε αυτή την περίπτωση και αν ναι, προς ποια κατεύθυνση; Έστειλε την αντίστοιχη ερώτηση με τη μορφή προβλήματος στον Αμερικανό Στατιστικό («American Statistician»), καθώς και στον ίδιο τον Monty Hall, ο οποίος έδωσε μια αρκετά περίεργη απάντηση σε αυτό. Παρά αυτή την απάντηση (ή ίσως εξαιτίας της), το πρόβλημα έγινε δημοφιλές με το όνομα "πρόβλημα Monty Hall".

Η πιο κοινή διατύπωση αυτού του προβλήματος, που δημοσιεύτηκε το 1990 στο Parade Magazine, είναι η εξής:

«Φανταστείτε ότι έχετε γίνει συμμετέχων σε ένα παιχνίδι στο οποίο πρέπει να επιλέξετε μία από τις τρεις πόρτες. Πίσω από τη μια πόρτα είναι ένα αυτοκίνητο, πίσω από τις άλλες δύο πόρτες είναι κατσίκες. Επιλέγετε μια από τις πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 1, μετά ο οικοδεσπότης, που ξέρει πού είναι το αυτοκίνητο και πού είναι οι κατσίκες, ανοίγει μια από τις υπόλοιπες πόρτες, για παράδειγμα, τον αριθμό 3, πίσω από την οποία υπάρχει μια κατσίκα. Μετά από αυτό, σας ρωτά αν θέλετε να αλλάξετε την επιλογή σας και να επιλέξετε την πόρτα νούμερο 2. Θα αυξηθούν οι πιθανότητές σας να κερδίσετε το αυτοκίνητο εάν αποδεχτείτε την προσφορά του οικοδεσπότη και αλλάξετε την επιλογή σας;

Μετά τη δημοσίευση, έγινε αμέσως σαφές ότι το πρόβλημα διατυπώθηκε λανθασμένα: δεν ορίστηκαν όλες οι προϋποθέσεις. Για παράδειγμα, ο διαμεσολαβητής μπορεί να ακολουθήσει τη στρατηγική του «κολασμένου Monty»: να προσφέρει να αλλάξει την επιλογή εάν και μόνο εάν ο παίκτης έχει επιλέξει ένα αυτοκίνητο στην πρώτη κίνηση. Προφανώς, η αλλαγή της αρχικής επιλογής θα οδηγήσει σε εγγυημένη απώλεια σε μια τέτοια κατάσταση.

Το πιο δημοφιλές είναι το πρόβλημα με μια πρόσθετη συνθήκη - ο συμμετέχων στο παιχνίδι γνωρίζει εκ των προτέρων τους ακόλουθους κανόνες:

το αυτοκίνητο είναι εξίσου πιθανό να τοποθετηθεί πίσω από οποιαδήποτε από τις 3 πόρτες.
Σε κάθε περίπτωση, ο οικοδεσπότης είναι υποχρεωμένος να ανοίξει την πόρτα με την κατσίκα (αλλά όχι αυτή που έχει επιλέξει ο παίκτης) και να προσφέρει στον παίκτη να αλλάξει την επιλογή.
εάν ο ηγέτης έχει τη δυνατότητα να επιλέξει ποια από τις δύο πόρτες να ανοίξει, επιλέγει μία από αυτές με την ίδια πιθανότητα.

Ενδειξη

Λύση

Επίλογος

Το πρόβλημα Monty Hall δεν είναι η πρώτη γνωστή διατύπωση αυτού του προβλήματος. Συγκεκριμένα, το 1959, ο Μάρτιν Γκάρντνερ δημοσίευσε στο Scientific American ένα παρόμοιο πρόβλημα «για τρεις φυλακισμένους» (Three Prisoners problem) με την ακόλουθη διατύπωση: «Από τους τρεις κρατούμενους, ένας πρέπει να αμνηστευτεί και δύο να εκτελεστούν. Ο κρατούμενος Α πείθει τον φρουρό να του πει το όνομα του ενός από τους άλλους δύο που θα εκτελεστούν (είτε εάν εκτελεστούν και οι δύο), μετά από αυτό, έχοντας λάβει το όνομα Β, θεωρεί ότι η πιθανότητα της δικής του σωτηρίας δεν έχει γίνει 1/3, αλλά 1/2. Παράλληλα, ο κρατούμενος Γ ισχυρίζεται ότι η πιθανότητα φυγής του έχει γίνει 2/3, ενώ για τον Α δεν έχει αλλάξει τίποτα. Ποιο είναι σωστό;"

Εάν κατανοήσετε τις λύσεις και στα τρία προβλήματα, είναι εύκολο να παρατηρήσετε την ομοιότητα των ιδεών τους. μαθηματικά, όλα τα ενώνει η έννοια της υπό όρους πιθανότητας, δηλαδή η πιθανότητα του γεγονότος Α, εάν είναι γνωστό ότι έχει συμβεί το γεγονός Β. Το απλούστερο παράδειγμα: η πιθανότητα μια μονάδα να πέσει έξω σε ένα κανονικό ζάρι είναι 1/6. Ωστόσο, εάν ο κυλιόμενος αριθμός είναι γνωστό ότι είναι περιττός, τότε η πιθανότητα να είναι ένα είναι ήδη 1/3. Το πρόβλημα του Monty Hall, όπως και τα άλλα δύο προβλήματα που αναφέρθηκαν, δείχνει ότι οι πιθανότητες υπό όρους πρέπει να αντιμετωπίζονται με προσοχή.

Αυτά τα προβλήματα συχνά ονομάζονται και παράδοξα: το παράδοξο του Μόντι Χολ, το παράδοξο του Μπέρτραντ (το τελευταίο δεν πρέπει να συγχέεται με το πραγματικό παράδοξο του Μπέρτραντ που δίνεται στο ίδιο βιβλίο, το οποίο απέδειξε την ασάφεια της έννοιας της πιθανότητας που υπήρχε εκείνη την εποχή) - που υπονοεί κάποια αντίφαση (για παράδειγμα, στο «παράδοξο του ψεύτη» η φράση «αυτή η δήλωση είναι ψευδής» έρχεται σε αντίθεση με το νόμο του αποκλεισμένου μέσου). Σε αυτή την περίπτωση, ωστόσο, δεν υπάρχει αντίφαση με αυστηρούς ισχυρισμούς. Υπάρχει όμως σαφής αντίφαση με την «κοινή γνώμη» ή απλώς την «προφανή λύση» του προβλήματος. Πράγματι, οι περισσότεροι, βλέποντας το πρόβλημα, πιστεύουν ότι μετά το άνοιγμα μιας από τις πόρτες, η πιθανότητα να βρεθεί το Βραβείο πίσω από οποιαδήποτε από τις δύο εναπομείνασες κλειστές είναι 1/2. Με αυτόν τον τρόπο, ισχυρίζονται ότι δεν έχει σημασία αν συμφωνούν ή διαφωνούν να αλλάξουν γνώμη. Επιπλέον, πολλοί άνθρωποι δυσκολεύονται να κατανοήσουν μια άλλη απάντηση εκτός από αυτή, ακόμη και αφού τους είπαν τη λεπτομερή λύση.

Η απάντηση του Monty Hall στον Steve Selwyn

Κύριε Steve Selvin,
επίκουρος καθηγητής βιοστατιστικής,
Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια, Μπέρκλεϋ.

Αγαπητέ Steve,

Ευχαριστώ που μου στείλατε το πρόβλημα από το American Statistical.

Αν και δεν σπούδασα στατιστικά στο πανεπιστήμιο, ξέρω ότι οι αριθμοί μπορούν πάντα να χρησιμοποιηθούν προς όφελός μου αν ήθελα να τους χειραγωγήσω. Ο συλλογισμός σας δεν λαμβάνει υπόψη μια βασική περίσταση: αφού αδειάσει το πρώτο πλαίσιο, ο συμμετέχων δεν μπορεί πλέον να αλλάξει την επιλογή του. Άρα οι πιθανότητες παραμένουν οι ίδιες: ένας στους τρεις, σωστά; Και, φυσικά, αφού αδειάσει ένα από τα κουτιά, οι πιθανότητες δεν γίνονται 50/50, αλλά παραμένουν ίδιες - μία στις τρεις. Φαίνεται μόνο στον συμμετέχοντα ότι με το να απαλλαγεί από ένα κουτί, έχει περισσότερες πιθανότητες. Καθόλου. Δύο προς ένα εναντίον του, όπως ήταν, και παραμένει. Και αν έρθετε ξαφνικά στην παράστασή μου, οι κανόνες θα παραμείνουν οι ίδιοι για εσάς: χωρίς αλλαγή κουτιών μετά την επιλογή.

Δημοφιλή στην κατηγορία: