Σπίτι › ηλεκτρολογικός εξοπλισμός › Κανόνας πολλαπλασιασμού κλασμάτων και παραδείγματα. Πολλαπλασιασμός απλών και μικτών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Κανόνας πολλαπλασιασμού κλασμάτων και παραδείγματα. Πολλαπλασιασμός απλών και μικτών κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

ΠΑΡΑΚΑΜΠΤΩΣΤΕ ΑΥΤΕΣ ΤΙΣ ΤΣΟΥΡΓΙΕΣ ΗΔΗ! 🙂

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι δυνατοί «όχι πολύ. »
Και για όσους «πολύ άρτια. "")

Αυτή η πράξη είναι πολύ πιο ωραία από την πρόσθεση-αφαίρεση! Γιατί είναι πιο εύκολο. Σας υπενθυμίζω: για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές (αυτός θα είναι ο αριθμητής του αποτελέσματος) και οι παρονομαστές (αυτός θα είναι ο παρονομαστής). Αυτό είναι:

Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Και παρακαλώ μην ψάχνετε για κοινό παρονομαστή! Δεν χρειάζεται εδώ...

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, πρέπει να αναστρέψετε δεύτερος(αυτό είναι σημαντικό!) κλάσμα και πολλαπλασιάστε το, δηλ.:

Εάν συλληφθεί ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση με ακέραιους αριθμούς και κλάσματα, δεν πειράζει. Όπως και με την πρόσθεση, κάνουμε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό με μια μονάδα στον παρονομαστή - και πάμε! Για παράδειγμα:

Στο γυμνάσιο, συχνά πρέπει να ασχοληθείς με τριώροφα (ή και τετραώροφα!) κλάσματα. Για παράδειγμα:

Πώς να φέρετε αυτό το κλάσμα σε μια αξιοπρεπή μορφή; Ναι, πολύ εύκολο! Χρησιμοποιήστε τη διαίρεση σε δύο σημεία:

Αλλά μην ξεχνάτε τη σειρά διαίρεσης! Σε αντίθεση με τον πολλαπλασιασμό, αυτό είναι πολύ σημαντικό εδώ! Φυσικά, δεν θα μπερδεύουμε το 4:2 ή το 2:4. Αλλά σε ένα τριώροφο κλάσμα είναι εύκολο να κάνεις λάθος. Σημειώστε, για παράδειγμα:

Στην πρώτη περίπτωση (έκφραση στα αριστερά):

Στο δεύτερο (έκφραση στα δεξιά):

Νιώθεις τη διαφορά; 4 και 1/9!

Ποια είναι η σειρά διαίρεσης; Ή αγκύλες, ή (όπως εδώ) το μήκος των οριζόντιων παύλων. Αναπτύξτε ένα μάτι. Και αν δεν υπάρχουν αγκύλες ή παύλες, όπως:

μετά διαιρέστε-πολλαπλασιάστε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά!

Και άλλο ένα πολύ απλό και σημαντικό κόλπο. Σε δράσεις με πτυχία θα σου φανεί χρήσιμο! Ας διαιρέσουμε τη μονάδα με οποιοδήποτε κλάσμα, για παράδειγμα, με το 13/15:

Ο πυροβολισμός ανατράπηκε! Και συμβαίνει πάντα. Όταν διαιρούμε το 1 με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανεστραμμένο.

Αυτές είναι όλες οι ενέργειες με τα κλάσματα. Το πράγμα είναι αρκετά απλό, αλλά δίνει περισσότερα από αρκετά λάθη. Σημείωση πρακτικές συμβουλές, και αυτά (λάθη) θα είναι λιγότερα!

1. Το πιο σημαντικό πράγμα όταν εργάζεστε με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή! Δεν είναι κοινές λέξεις, δεν είναι καλές ευχές! Αυτή είναι μια σοβαρή ανάγκη! Κάντε όλους τους υπολογισμούς στις εξετάσεις ως μια ολοκληρωμένη εργασία, με συγκέντρωση και σαφήνεια. Είναι προτιμότερο να γράψετε δύο επιπλέον γραμμές σε ένα προσχέδιο παρά να μπερδεύετε κατά τον υπολογισμό στο κεφάλι σας.

2. Στα παραδείγματα με ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα - μεταβείτε σε συνηθισμένα κλάσματα.

3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα στο τέλος.

4. Μειώνουμε τις πολυεπίπεδες κλασματικές εκφράσεις σε συνηθισμένες χρησιμοποιώντας διαίρεση σε δύο σημεία (ακολουθούμε τη σειρά διαίρεσης!).

Εδώ είναι οι εργασίες που πρέπει να ολοκληρώσετε. Οι απαντήσεις δίνονται μετά από όλες τις εργασίες. Χρησιμοποιήστε τα υλικά αυτού του θέματος και πρακτικές συμβουλές. Υπολογίστε πόσα παραδείγματα θα μπορούσατε να λύσετε σωστά. Η πρώτη φορά! Χωρίς αριθμομηχανή! Και βγάλτε τα σωστά συμπεράσματα.

Θυμηθείτε τη σωστή απάντηση που λαμβάνεται από τη δεύτερη (ειδικά την τρίτη) φορά - δεν μετράει!Τέτοια είναι η σκληρή ζωή.

Ετσι, επίλυση σε λειτουργία εξέτασης ! Παρεμπιπτόντως, πρόκειται για προετοιμασία για τις εξετάσεις. Λύνουμε ένα παράδειγμα, ελέγχουμε, λύνουμε τα παρακάτω. Αποφασίσαμε τα πάντα - ελέγξαμε ξανά από τον πρώτο έως τον τελευταίο. Αλλά μόνο Επειτακοιτάξτε τις απαντήσεις.

Ψάχνετε για απαντήσεις που ταιριάζουν με τις δικές σας. Τα έγραψα επίτηδες σαστισμένοι, μακριά από πειρασμούς, θα λέγαμε. Εδώ είναι, οι απαντήσεις, χωρισμένες με ερωτηματικό.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Και τώρα βγάζουμε συμπεράσματα. Αν όλα πήγαν καλά - χαρούμενος για εσάς! Οι στοιχειώδεις υπολογισμοί με κλάσματα δεν είναι δικό σου πρόβλημα! Μπορείς να κάνεις πιο σοβαρά πράγματα. Αν όχι.

Άρα έχετε ένα από τα δύο προβλήματα. Ή και τα δύο ταυτόχρονα.) Έλλειψη γνώσης και (ή) απροσεξία. Αλλά. Αυτό διαλυτός Προβλήματα.

Στην Ειδική Ενότητα 555 «Κλάσματα» αναλύονται όλα αυτά (και όχι μόνο!) παραδείγματα. Με λεπτομερείς εξηγήσεις για το τι, γιατί και πώς. Μια τέτοια ανάλυση βοηθάει πολύ στην έλλειψη γνώσεων και δεξιοτήτων!

Ναι, και για το δεύτερο πρόβλημα υπάρχει κάτι.) Πολύ πρακτικές συμβουλές, πώς να γίνεις πιο προσεκτικός. Ναι ναι! Συμβουλές που μπορούν να εφαρμοστούν κάθε.

Εκτός από τη γνώση και την προσοχή, απαιτείται ένας ορισμένος αυτοματισμός για την επιτυχία. Πού να το πάρετε; Ακούω έναν βαρύ αναστεναγμό... Ναι, μόνο στην πράξη, πουθενά αλλού.

Μπορείτε να μεταβείτε στον ιστότοπο 321start.ru για εκπαίδευση. Εκεί, στην επιλογή «Δοκιμάστε», υπάρχουν 10 παραδείγματα προς χρήση από όλους. Με άμεση επαλήθευση. Για εγγεγραμμένους χρήστες - 34 παραδείγματα από απλά έως σοβαρά. Είναι μόνο για κλάσματα.

Αν σας αρέσει αυτός ο ιστότοπος.

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Εδώ μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθετε με ενδιαφέρον!

Και εδώ μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παράγωγα.

Κανόνας 1

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Κανόνας 2

Για να πολλαπλασιάσουμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα:

1. να βρείτε το γινόμενο των αριθμητών και το γινόμενο των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων

2. Γράψτε το πρώτο γινόμενο ως αριθμητή και το δεύτερο ως παρονομαστή.

Κανόνας 3

Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει να τους γράψετε ως ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων.

Κανόνας 4

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μέρισμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Παράδειγμα 1

Υπολογίζω

Παράδειγμα 2

Υπολογίζω

Παράδειγμα 3

Υπολογίζω

Παράδειγμα 4

Υπολογίζω

Μαθηματικά. Άλλα υλικά

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε μια λογική δύναμη. (

Αύξηση ενός αριθμού σε φυσική δύναμη. (

Μέθοδος γενικευμένων διαστημάτων για την επίλυση αλγεβρικών ανισώσεων (Συγγραφέας Kolchanov A.V.)

Μέθοδος αντικατάστασης παραγόντων για την επίλυση αλγεβρικών ανισοτήτων (Συγγραφέας Kolchanov A.V.)

Σημάδια διαιρετότητας (Lungu Alena)

Δοκιμάστε τον εαυτό σας στο θέμα «Πολλαπλασιασμός και διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων»

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Θα εξετάσουμε τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων με διάφορους πιθανούς τρόπους.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με ένα κλάσμα

Αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση, στην οποία πρέπει να χρησιμοποιήσετε τα παρακάτω κανόνες πολλαπλασιασμού κλασμάτων.

Προς την πολλαπλασιάζουμε ένα κλάσμα με ένα κλάσμα, απαραίτητη:

πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον αριθμητή του νέου κλάσματος.

πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και γράψτε το γινόμενο τους στον παρονομαστή του νέου κλάσματος.

Πριν πολλαπλασιάσουμε αριθμητές και παρονομαστές, ελέγξτε αν τα κλάσματα μπορούν να μειωθούν. Η μείωση των κλασμάτων στους υπολογισμούς θα διευκολύνει πολύ τους υπολογισμούς σας.

Πολλαπλασιασμός κλάσματος με φυσικό αριθμό

Σε κλάσμα πολλαπλασιάστε με έναν φυσικό αριθμόπρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή του κλάσματος.

Εάν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, μην ξεχάσετε να το μετατρέψετε σε μικτό αριθμό, δηλαδή επιλέξτε ολόκληρο το μέρος.

Πολλαπλασιασμός μικτών αριθμών

Για να πολλαπλασιάσετε μεικτούς αριθμούς, πρέπει πρώτα να τους μετατρέψετε σε ακατάλληλα κλάσματα και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.

Ένας άλλος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό

Μερικές φορές στους υπολογισμούς είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μια διαφορετική μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν αριθμό.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, πρέπει να διαιρέσετε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον αριθμητή ίδιο.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε αυτήν την έκδοση του κανόνα εάν ο παρονομαστής του κλάσματος διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με έναν φυσικό αριθμό.

Διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό

Ποιος είναι ο πιο γρήγορος τρόπος για να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με έναν αριθμό; Ας αναλύσουμε τη θεωρία, ας βγάλουμε ένα συμπέρασμα και ας χρησιμοποιήσουμε παραδείγματα για να δούμε πώς μπορεί να γίνει η διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό σύμφωνα με έναν νέο σύντομο κανόνα.

Συνήθως, η διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό γίνεται σύμφωνα με τον κανόνα της διαίρεσης των κλασμάτων. Ο πρώτος αριθμός (κλάσμα) πολλαπλασιάζεται με το αντίστροφο του δεύτερου. Δεδομένου ότι ο δεύτερος αριθμός είναι ακέραιος, η αμοιβαία του είναι ένα κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι ίσος με ένα και ο παρονομαστής είναι δεδομένου αριθμού. Σχηματικά, η διαίρεση ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό μοιάζει με αυτό:

Από αυτό συμπεραίνουμε:

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό και αφήστε τον αριθμητή ίδιο. Ο κανόνας μπορεί να διατυπωθεί ακόμη πιο συνοπτικά:

Όταν διαιρείτε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, ο αριθμός πηγαίνει στον παρονομαστή.

Διαιρέστε ένα κλάσμα με έναν αριθμό:

Για να διαιρέσουμε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, ξαναγράφουμε τον αριθμητή αμετάβλητο και πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό. Μειώνουμε το 6 και το 3 κατά 3.

Όταν διαιρούμε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, ξαναγράφουμε τον αριθμητή και πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με αυτόν τον αριθμό. Μειώνουμε το 16 και το 24 κατά 8.

Όταν διαιρούμε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, ο αριθμός πηγαίνει στον παρονομαστή, οπότε αφήνουμε τον αριθμητή ίδιο και πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον διαιρέτη. Μειώνουμε το 21 και το 35 κατά 7.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

Την τελευταία φορά μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα (δείτε το μάθημα «Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων»). Η πιο δύσκολη στιγμή σε αυτές τις ενέργειες ήταν να φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.

Τώρα ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Τα καλά νέα είναι ότι αυτές οι πράξεις είναι ακόμα πιο εύκολες από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Για να ξεκινήσετε, σκεφτείτε απλούστερη περίπτωση, όταν υπάρχουν δύο θετικά κλάσματα χωρίς διακεκριμένο ακέραιο μέρος.

Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Ο πρώτος αριθμός θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος και ο δεύτερος ο παρονομαστής.

Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι η διαίρεση των κλασμάτων ανάγεται σε πολλαπλασιασμό. Για να αναστρέψετε ένα κλάσμα, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Επομένως, ολόκληρο το μάθημα θα εξετάσουμε κυρίως τον πολλαπλασιασμό.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού, μπορεί να προκύψει ένα μειωμένο κλάσμα (και συχνά προκύπτει) - φυσικά, πρέπει να μειωθεί. Εάν, μετά από όλες τις μειώσεις, το κλάσμα αποδείχθηκε λανθασμένο, θα πρέπει να διακρίνεται ολόκληρο το τμήμα σε αυτό. Αλλά αυτό που ακριβώς δεν θα συμβεί με τον πολλαπλασιασμό είναι η αναγωγή σε έναν κοινό παρονομαστή: χωρίς διασταυρούμενες μεθόδους, μέγιστους συντελεστές και ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια.

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Εξ ορισμού έχουμε:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων με ακέραιο μέρος και αρνητικά κλάσματα

Εάν υπάρχει ένα ακέραιο μέρος στα κλάσματα, πρέπει να μετατραπούν σε ακατάλληλα - και μόνο τότε να πολλαπλασιαστούν σύμφωνα με τα σχήματα που περιγράφονται παραπάνω.

Εάν υπάρχει μείον στον αριθμητή ενός κλάσματος, στον παρονομαστή ή μπροστά από αυτό, μπορεί να αφαιρεθεί από τα όρια πολλαπλασιασμού ή να αφαιρεθεί εντελώς σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Συν φορές το μείον δίνει μείον?
Δύο αρνητικά κάνουν ένα καταφατικό.

Μέχρι τώρα, αυτοί οι κανόνες συναντώνται μόνο κατά την πρόσθεση και αφαίρεση αρνητικών κλασμάτων, όταν απαιτούνταν να απαλλαγούμε από ολόκληρο το μέρος. Για ένα προϊόν, μπορούν να γενικευθούν για να «κάψουν» πολλά μειονεκτήματα ταυτόχρονα:

Σταυρώνουμε ανά δύο τα μειονεκτήματα μέχρι να εξαφανιστούν τελείως. Σε μια ακραία περίπτωση, ένα μείον μπορεί να επιβιώσει - αυτό που δεν βρήκε ταίριασμα.
Εάν δεν απομένουν μείον, η λειτουργία ολοκληρώνεται - μπορείτε να ξεκινήσετε τον πολλαπλασιασμό. Αν δεν διαγραφεί το τελευταίο μείον, αφού δεν βρήκε ζεύγος, το βγάζουμε από τα όρια πολλαπλασιασμού. Παίρνεις αρνητικό κλάσμα.

Μεταφράζουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά βγάζουμε τα μείον έξω από τα όρια πολλαπλασιασμού. Ό,τι απομένει πολλαπλασιάζεται επί συνήθεις κανόνες. Παίρνουμε:

Να σας υπενθυμίσω για άλλη μια φορά ότι το μείον που έρχεται πριν από ένα κλάσμα με τονισμένο ακέραιο μέρος αναφέρεται συγκεκριμένα σε ολόκληρο το κλάσμα και όχι μόνο στο ακέραιο μέρος του (αυτό ισχύει για τα δύο τελευταία παραδείγματα).

Προσοχή επίσης στους αρνητικούς αριθμούς: όταν πολλαπλασιάζονται, περικλείονται σε αγκύλες. Αυτό γίνεται για να διαχωριστούν τα μείον από τα πρόσημα πολλαπλασιασμού και να γίνει πιο ακριβής η όλη σημειογραφία.

Μείωση κλασμάτων εν κινήσει

Ο πολλαπλασιασμός είναι μια πολύ επίπονη πράξη. Οι αριθμοί εδώ είναι αρκετά μεγάλοι και για να απλοποιήσετε την εργασία, μπορείτε να προσπαθήσετε να μειώσετε ακόμη περισσότερο το κλάσμα πριν τον πολλαπλασιασμό. Πράγματι, στην ουσία, οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι συνηθισμένοι παράγοντες και, επομένως, μπορούν να μειωθούν χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα:

Σε όλα τα παραδείγματα, οι αριθμοί που έχουν μειωθεί και ό,τι έχει απομείνει από αυτούς σημειώνονται με κόκκινο χρώμα.

Σημείωση: στην πρώτη περίπτωση, οι πολλαπλασιαστές μειώθηκαν εντελώς. Οι μονάδες παρέμειναν στη θέση τους, οι οποίες, σε γενικές γραμμές, μπορούν να παραλειφθούν. Στο δεύτερο παράδειγμα πλήρης μείωσηδεν ήταν δυνατό να επιτευχθεί, αλλά το συνολικό ποσό των υπολογισμών εξακολουθεί να μειώνεται.

Ωστόσο, σε καμία περίπτωση μην χρησιμοποιείτε αυτήν την τεχνική όταν προσθέτετε και αφαιρείτε κλάσματα! Ναι, μερικές φορές υπάρχουν παρόμοιοι αριθμοί που απλά θέλετε να μειώσετε. Ορίστε, δείτε:

Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό!

Το σφάλμα προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι κατά την προσθήκη ενός κλάσματος, το άθροισμα εμφανίζεται στον αριθμητή ενός κλάσματος και όχι στο γινόμενο των αριθμών. Επομένως, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος, αφού σε αυτήν την ιδιότητα μιλαμεΠρόκειται για τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.

Δεν υπάρχει απλώς κανένας άλλος λόγος για τη μείωση των κλασμάτων, επομένως η σωστή λύση στο προηγούμενο πρόβλημα μοιάζει με αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, η σωστή απάντηση αποδείχθηκε ότι δεν ήταν και τόσο όμορφη. Σε γενικές γραμμές, να είστε προσεκτικοί.

Διαίρεση κλασμάτων.

Διαίρεση κλάσματος με φυσικό αριθμό.

Παραδείγματα διαίρεσης κλάσματος με φυσικό αριθμό

Διαίρεση φυσικού αριθμού με κλάσμα.

Παραδείγματα διαίρεσης φυσικού αριθμού με κλάσμα

Διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων.

Παραδείγματα διαίρεσης συνηθισμένων κλασμάτων

Διαίρεση μικτών αριθμών.

μετατροπή μικτών κλασμάτων σε ακατάλληλα.
πολλαπλασιάστε το πρώτο κλάσμα με το αντίστροφο του δεύτερου.
μειώστε το προκύπτον κλάσμα.
Εάν λάβετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, μετατρέψτε το ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό.

Παραδείγματα διαίρεσης μικτών αριθμών

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Τυχόν άσεμνο σχόλιο θα αφαιρεθεί και οι συντάκτες τους θα μπουν στη μαύρη λίστα!

Καλώς ήρθατε στο OnlineMSchool.
Το όνομά μου είναι Dovzhik Mikhail Viktorovich. Είμαι ο ιδιοκτήτης και ο συγγραφέας αυτού του ιστότοπου, έγραψα ολόκληρο θεωρητικό υλικό, καθώς και διαδικτυακές ασκήσεις και αριθμομηχανές που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για τη μελέτη των μαθηματικών.

Κλάσματα. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με ένα κλάσμα.

Για να πολλαπλασιάσουμε τα συνηθισμένα κλάσματα, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή με τον αριθμητή (παίρνουμε τον αριθμητή του γινομένου) και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή (παίρνουμε τον παρονομαστή του γινομένου).

Τύπος πολλαπλασιασμού κλασμάτων:

Πριν προχωρήσετε στον πολλαπλασιασμό αριθμητών και παρονομαστών, είναι απαραίτητο να ελέγξετε για τη δυνατότητα μείωσης του κλάσματος. Εάν καταφέρετε να μειώσετε το κλάσμα, τότε θα είναι πιο εύκολο για σας να συνεχίσετε να κάνετε υπολογισμούς.

Σημείωση! Δεν χρειάζεται να ψάχνουμε για κοινό παρονομαστή!!

Διαίρεση συνηθισμένου κλάσματος με κλάσμα.

Η διαίρεση ενός συνηθισμένου κλάσματος με ένα κλάσμα έχει ως εξής: αναποδογυρίστε το δεύτερο κλάσμα (δηλαδή αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή κατά τόπους) και μετά πολλαπλασιάζονται τα κλάσματα.

Ο τύπος για τη διαίρεση συνηθισμένων κλασμάτων:

Πολλαπλασιασμός κλάσματος με φυσικό αριθμό.

Σημείωση!Όταν πολλαπλασιάζουμε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, ο αριθμητής του κλάσματος πολλαπλασιάζεται με τον φυσικό μας αριθμό και ο παρονομαστής του κλάσματος παραμένει ο ίδιος. Εάν το αποτέλεσμα του προϊόντος είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε φροντίστε να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα μετατρέποντας το ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό.

Διαίρεση κλασμάτων που περιλαμβάνουν φυσικό αριθμό.

Δεν είναι τόσο τρομακτικό όσο φαίνεται. Όπως και στην περίπτωση της πρόσθεσης, μετατρέπουμε έναν ακέραιο σε κλάσμα με μονάδα στον παρονομαστή. Για παράδειγμα:

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων.

Κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων (μικτοί):

μετατροπή μικτών κλασμάτων σε ακατάλληλα.
πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων.
μειώνουμε το κλάσμα?
αν πάρουμε ένα ακατάλληλο κλάσμα, τότε μετατρέπουμε το ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό.

Σημείωση!Για να πολλαπλασιάσετε ένα μικτό κλάσμα με ένα άλλο μικτό κλάσμα, πρέπει πρώτα να τα φέρετε στη μορφή ακατάλληλων κλασμάτων και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων.

Ο δεύτερος τρόπος πολλαπλασιασμού ενός κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.

Είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο πολλαπλασιασμού ενός συνηθισμένου κλάσματος με έναν αριθμό.

Σημείωση!Για να πολλαπλασιάσουμε ένα κλάσμα με έναν φυσικό αριθμό, είναι απαραίτητο να διαιρέσουμε τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσουμε τον αριθμητή αμετάβλητο.

Από το παραπάνω παράδειγμα, είναι σαφές ότι αυτή η επιλογή είναι πιο βολική για χρήση όταν ο παρονομαστής ενός κλάσματος διαιρείται χωρίς υπόλοιπο με έναν φυσικό αριθμό.

Πολυεπίπεδα κλάσματα.

Στο γυμνάσιο, συχνά συναντώνται τριώροφα (ή περισσότερα) κλάσματα. Παράδειγμα:

Για να φέρει ένα τέτοιο κλάσμα στη συνηθισμένη του μορφή, χρησιμοποιείται διαίρεση σε 2 σημεία:

Σημείωση!Κατά τη διαίρεση των κλασμάτων, η σειρά διαίρεσης είναι πολύ σημαντική. Προσέξτε, είναι εύκολο να μπερδευτείτε εδώ.

Σημείωση, Για παράδειγμα:

Κατά τη διαίρεση ενός με οποιοδήποτε κλάσμα, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο κλάσμα, μόνο ανεστραμμένο:

Πρακτικές συμβουλές για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση κλασμάτων:

1. Το πιο σημαντικό πράγμα στην εργασία με κλασματικές εκφράσεις είναι η ακρίβεια και η προσοχή. Κάντε όλους τους υπολογισμούς προσεκτικά και με ακρίβεια, συγκεντρωμένα και καθαρά. Είναι καλύτερα να γράψετε μερικές επιπλέον γραμμές σε ένα προσχέδιο παρά να μπερδευτείτε στους υπολογισμούς στο κεφάλι σας.

2. Σε εργασίες με διαφορετικούς τύπους κλασμάτων, πηγαίνετε στον τύπο των συνηθισμένων κλασμάτων.

3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα μέχρι να μην είναι πλέον δυνατή η μείωση.

4. Φέρνουμε κλασματικές εκφράσεις πολλαπλών επιπέδων σε συνηθισμένες, χρησιμοποιώντας διαίρεση σε 2 σημεία.

Κάτω και όχι μέχρι- Επανασχεδιασμένο τραγούδι "Spring Tango" (Η ώρα έρχεται - πουλιά από το νότο φτάνουν) - μουσική. Valery Milyaev άκουσα λάθος, παρεξήγησα, δεν πρόλαβα, με την έννοια ότι δεν μάντεψα, έγραψα όλα τα ρήματα με όχι ξεχωριστά, δεν ήξερα για το πρόθεμα nedo-. Συμβαίνει, […]
Η σελίδα δεν βρέθηκε Στην τρίτη τελική ανάγνωση, εγκρίθηκε μια δέσμη κυβερνητικών εγγράφων που προβλέπουν τη δημιουργία ειδικών διοικητικών περιφερειών (ΕΔΠ). Λόγω της εξόδου από την Ευρωπαϊκή Ένωση, το Ηνωμένο Βασίλειο δεν θα συμπεριληφθεί στον ευρωπαϊκό χώρο ΦΠΑ και […]
Η Μικτή Ερευνητική Επιτροπή θα εμφανιστεί το φθινόπωρο
Ένα δίπλωμα ευρεσιτεχνίας αλγορίθμου Πώς μοιάζει ένα δίπλωμα ευρεσιτεχνίας αλγορίθμου Πώς προετοιμάζεται ένα δίπλωμα ευρεσιτεχνίας αλγορίθμου τεχνικές περιγραφέςτρόποι αποθήκευσης, επεξεργασίας και μετάδοσης σημάτων ή/και δεδομένων ειδικά για τους σκοπούς της κατοχύρωσης διπλωμάτων ευρεσιτεχνίας συνήθως δεν παρουσιάζουν ιδιαίτερες δυσκολίες και […]
ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ ΝΑ ΓΝΩΡΙΖΕΤΕ ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΣΥΝΤΑΞΕΙΣ 12 Δεκεμβρίου 1993 ΤΟ ΣΥΝΤΑΓΜΑ ΤΗΣ ΡΩΣΙΚΗΣ ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΣ (με την επιφύλαξη τροποποιήσεων που έγιναν από τους νόμους της Ρωσικής Ομοσπονδίας σχετικά με τροποποιήσεις στο Σύνταγμα της Ρωσικής Ομοσπονδίας με ημερομηνία 30-20 Δεκεμβρίου 2008 FKZ, με ημερομηνία 30 Δεκεμβρίου 2008 N 7-FKZ, […]
Οι κουβέντες σχετικά με τη συνταξιοδότηση για μια γυναίκα είναι ωραίες για τον ήρωα της ημέρας για έναν άνδρα για τον ήρωα της ημέρας - στη χορωδία για τον ήρωα της ημέρας μιας γυναίκας - η αφιέρωση σε συνταξιούχους γυναίκες είναι κωμική Οι διαγωνισμοί για συνταξιούχους θα έχουν ενδιαφέρον Αγαπητοί φίλοι και φίλες! Μια στιγμή προσοχής! Αίσθηση! Μόνο […]

Στην πορεία του μέσου όρου και ΛύκειοΟι μαθητές πέρασαν από το θέμα «Κλάσματα». Ωστόσο, αυτή η έννοια είναι πολύ ευρύτερη από ό,τι δίνεται στη μαθησιακή διαδικασία. Σήμερα, η έννοια του κλάσματος συναντάται αρκετά συχνά και δεν μπορούν όλοι να υπολογίσουν οποιαδήποτε έκφραση, για παράδειγμα, πολλαπλασιάζοντας κλάσματα.

Τι είναι ένα κλάσμα;

Συνέβη ιστορικά ότι οι κλασματικοί αριθμοί εμφανίστηκαν λόγω της ανάγκης μέτρησης. Όπως δείχνει η πρακτική, υπάρχουν συχνά παραδείγματα για τον προσδιορισμό του μήκους ενός τμήματος, του όγκου ενός ορθογώνιου ορθογωνίου.

Αρχικά, οι μαθητές εισάγονται σε μια τέτοια έννοια ως μετοχή. Για παράδειγμα, αν χωρίσετε ένα καρπούζι σε 8 μέρη, τότε το καθένα θα πάρει το ένα όγδοο του καρπουζιού. Αυτό το ένα μέρος των οκτώ ονομάζεται μετοχή.

Μια μετοχή ίση με το ½ οποιασδήποτε αξίας ονομάζεται μισό. ⅓ - τρίτο; ¼ - ένα τέταρτο. Εγγραφές όπως 5/8, 4/5, 2/4 ονομάζονται κοινά κλάσματα. Ένα συνηθισμένο κλάσμα χωρίζεται σε αριθμητή και παρονομαστή. Ανάμεσά τους υπάρχει μια κλασματική γραμμή ή κλασματική γραμμή. Μια κλασματική ράβδος μπορεί να σχεδιαστεί είτε ως οριζόντια είτε ως λοξή γραμμή. ΣΕ αυτή η υπόθεσησημαίνει το σύμβολο της διαίρεσης.

Ο παρονομαστής αντιπροσωπεύει σε πόσα ίσα μερίδια χωρίζεται η τιμή, το αντικείμενο. και ο αριθμητής είναι πόσα ίσα μερίδια λαμβάνονται. Ο αριθμητής γράφεται πάνω από την κλασματική γραμμή, ο παρονομαστής κάτω από αυτήν.

Είναι πιο βολικό να εμφανίζονται συνηθισμένα κλάσματα σε μια ακτίνα συντεταγμένων. Εάν ένα μεμονωμένο τμήμα χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη, ορίστε κάθε μετοχή Λατινικό γράμμα, τότε ως αποτέλεσμα μπορείτε να πάρετε ένα εξαιρετικό οπτικό υλικό. Έτσι, το σημείο Α δείχνει ένα μερίδιο ίσο με το 1/4 ολόκληρου του τμήματος μονάδας και το σημείο Β σημειώνει τα 2/8 αυτού του τμήματος.

Ποικιλίες κλασμάτων

Τα κλάσματα είναι κοινοί, δεκαδικοί και μικτοί αριθμοί. Επιπλέον, τα κλάσματα μπορούν να χωριστούν σε σωστά και ακατάλληλα. Αυτή η ταξινόμηση είναι πιο κατάλληλη για συνηθισμένα κλάσματα.

Σωστό κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Κατά συνέπεια, ακατάλληλο κλάσμα είναι ένας αριθμός του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Το δεύτερο είδος γράφεται συνήθως ως μικτός αριθμός. Μια τέτοια έκφραση αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλασματικό μέρος. Για παράδειγμα, 1½. 1 - ακέραιο μέρος, ½ - κλασματικό. Ωστόσο, εάν χρειάζεται να εκτελέσετε κάποιους χειρισμούς με την έκφραση (διαίρεση ή πολλαπλασιασμός κλασμάτων, μείωση ή μετατροπή τους), ο μεικτός αριθμός μετατρέπεται σε ακατάλληλο κλάσμα.

Μια σωστή κλασματική έκφραση είναι πάντα μικρότερη από ένα και μια λανθασμένη είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση με 1.

Όσο για αυτή την έκφραση, κατανοούν μια εγγραφή στην οποία αναπαρίσταται οποιοσδήποτε αριθμός, ο παρονομαστής της κλασματικής έκφρασης του οποίου μπορεί να εκφραστεί μέσω ενός με πολλά μηδενικά. Εάν το κλάσμα είναι σωστό, τότε το ακέραιο μέρος στον δεκαδικό συμβολισμό θα είναι μηδέν.

Για να γράψετε ένα δεκαδικό, πρέπει πρώτα να γράψετε το ακέραιο μέρος, να το διαχωρίσετε από το κλασματικό με κόμμα και μετά να γράψετε την κλασματική έκφραση. Πρέπει να θυμόμαστε ότι μετά το κόμμα ο αριθμητής πρέπει να περιέχει τόσους αριθμούς χαρακτήρες όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή.

Παράδειγμα. Αντιπροσωπεύστε το κλάσμα 7 21 / 1000 με δεκαδικό συμβολισμό.

Αλγόριθμος για τη μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό και αντίστροφα

Είναι λάθος να γράψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα στην απάντηση του προβλήματος, επομένως πρέπει να μετατραπεί σε μικτό αριθμό:

διαιρέστε τον αριθμητή με τον υπάρχοντα παρονομαστή.
V συγκεκριμένο παράδειγμαατελές πηλίκο - ολόκληρο;
και το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους, με τον παρονομαστή να παραμένει αμετάβλητος.

Παράδειγμα. Μετατροπή ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό: 47 / 5 .

Λύση. 47: 5. Το ημιτελές πηλίκο είναι 9, το υπόλοιπο = 2. Επομένως, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Μερικές φορές χρειάζεται να αναπαραστήσετε έναν μικτό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα. Στη συνέχεια, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο αλγόριθμο:

το ακέραιο μέρος πολλαπλασιάζεται με τον παρονομαστή της κλασματικής έκφρασης.
το προϊόν που προκύπτει προστίθεται στον αριθμητή.
το αποτέλεσμα γράφεται στον αριθμητή, ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος.

Παράδειγμα. Εκφράστε τον αριθμό σε μικτή μορφή ως ακατάλληλο κλάσμα: 9 8 / 10 .

Λύση. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 είναι ο αριθμητής.

Απάντηση: 98 / 10.

Πολλαπλασιασμός κοινών κλασμάτων

Μπορείτε να εκτελέσετε διάφορες αλγεβρικές πράξεις σε συνηθισμένα κλάσματα. Για να πολλαπλασιάσετε δύο αριθμούς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον παρονομαστή. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστέςδεν διαφέρει από το γινόμενο των κλασματικών αριθμών με τους ίδιους παρονομαστές.

Συμβαίνει ότι αφού βρείτε το αποτέλεσμα, πρέπει να μειώσετε το κλάσμα. Είναι επιτακτική ανάγκη να απλοποιηθεί όσο το δυνατόν περισσότερο η προκύπτουσα έκφραση. Φυσικά, δεν μπορεί να ειπωθεί ότι ένα ακατάλληλο κλάσμα στην απάντηση είναι λάθος, αλλά είναι επίσης δύσκολο να το ονομάσουμε σωστή απάντηση.

Παράδειγμα. Να βρείτε το γινόμενο δύο συνηθισμένων κλασμάτων: ½ και 20/18.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, μετά την εύρεση του προϊόντος, λαμβάνεται ένας αναγόμενος κλασματικός συμβολισμός. Τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής σε αυτή την περίπτωση διαιρούνται με το 4 και το αποτέλεσμα είναι η απάντηση 5/9.

Πολλαπλασιασμός δεκαδικών κλασμάτων

Το γινόμενο των δεκαδικών κλασμάτων είναι αρκετά διαφορετικό από το γινόμενο των συνηθισμένων κλασμάτων στην αρχή του. Έτσι, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων έχει ως εξής:

δύο δεκαδικά κλάσματα πρέπει να γράφονται το ένα κάτω από το άλλο έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα κάτω από το άλλο.
πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους γραπτούς αριθμούς, παρά τα κόμματα, δηλαδή ως φυσικούς αριθμούς.
μετρήστε τον αριθμό των ψηφίων μετά το κόμμα σε κάθε έναν από τους αριθμούς.
στο αποτέλεσμα που προκύπτει μετά τον πολλαπλασιασμό, πρέπει να μετρήσετε τόσους ψηφιακούς χαρακτήρες στα δεξιά όσοι περιέχονται στο άθροισμα και στους δύο παράγοντες μετά την υποδιαστολή και να βάλετε ένα διαχωριστικό σύμβολο.
αν υπάρχουν λιγότερα ψηφία στο γινόμενο, τότε πρέπει να γραφτούν τόσα μηδενικά μπροστά τους για να καλύψουν αυτόν τον αριθμό, να βάλουμε κόμμα και να αντιστοιχίσουμε ένα ακέραιο μέρος ίσο με μηδέν.

Παράδειγμα. Να υπολογίσετε το γινόμενο δύο δεκαδικών: 2,25 και 3,6.

Λύση.

Πολλαπλασιασμός μικτών κλασμάτων

Για να υπολογίσετε το γινόμενο δύο μικτών κλασμάτων, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων:

μετατροπή μικτών αριθμών σε ακατάλληλα κλάσματα.
βρείτε το γινόμενο των αριθμητών.
βρείτε το γινόμενο των παρονομαστών.
γράψτε το αποτέλεσμα.
απλοποιήστε την έκφραση όσο το δυνατόν περισσότερο.

Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 4½ και 6 2 / 5.

Πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό με ένα κλάσμα (κλάσματα με έναν αριθμό)

Εκτός από την εύρεση του γινόμενου δύο κλασμάτων, μικτών αριθμών, υπάρχουν εργασίες όπου πρέπει να πολλαπλασιάσετε με ένα κλάσμα.

Έτσι, για να βρείτε το γινόμενο ενός δεκαδικού κλάσματος και ενός φυσικού αριθμού, χρειάζεστε:

γράψτε τον αριθμό κάτω από το κλάσμα έτσι ώστε τα δεξιά ψηφία να είναι το ένα πάνω από το άλλο.
βρείτε το έργο, παρά το κόμμα.
Στο αποτέλεσμα που προκύπτει, διαχωρίστε το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος χρησιμοποιώντας κόμμα, μετρώντας προς τα δεξιά τον αριθμό των χαρακτήρων που βρίσκεται μετά την υποδιαστολή στο κλάσμα.

Να πολλαπλασιαστούν κοινό κλάσμαμε έναν αριθμό, θα πρέπει να βρείτε το γινόμενο του αριθμητή και του φυσικού παράγοντα. Εάν η απάντηση είναι ένα αναγώγιμο κλάσμα, θα πρέπει να μετατραπεί.

Παράδειγμα. Υπολογίστε το γινόμενο των 5/8 και 12.

Λύση. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Απάντηση: 7 1 / 2.

Όπως μπορείτε να δείτε από το προηγούμενο παράδειγμα, ήταν απαραίτητο να μειωθεί το αποτέλεσμα που προέκυψε και να μετατραπεί η εσφαλμένη κλασματική έκφραση σε μικτό αριθμό.

Επίσης, ο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων ισχύει και για την εύρεση του γινομένου ενός αριθμού σε μικτή μορφή και ενός φυσικού παράγοντα. Για να πολλαπλασιάσετε αυτούς τους δύο αριθμούς, θα πρέπει να πολλαπλασιάσετε το ακέραιο μέρος του μικτού παράγοντα με τον αριθμό, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή με την ίδια τιμή και να αφήσετε αμετάβλητο τον παρονομαστή. Εάν είναι απαραίτητο, πρέπει να απλοποιήσετε το αποτέλεσμα όσο το δυνατόν περισσότερο.

Παράδειγμα. Βρείτε το γινόμενο των 9 5 / 6 και 9.

Λύση. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Απάντηση: 88 1 / 2.

Πολλαπλασιασμός με τους παράγοντες 10, 100, 1000 ή 0,1. 0,01; 0,001

Ο ακόλουθος κανόνας προκύπτει από την προηγούμενη παράγραφο. Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 10, 100, 1000, 10000, κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά με τόσους ψηφιακούς χαρακτήρες όσα μηδενικά υπάρχουν στον πολλαπλασιαστή μετά το ένα.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο 0,065 και 1000.

Λύση. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Απάντηση: 65.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 3,9 και 1000.

Λύση. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Απάντηση: 3900.

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν φυσικό αριθμό και 0,1. 0,01; 0,001; 0,0001, κ.λπ., θα πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά στο γινόμενο που προκύπτει κατά τόσους ψηφιακούς χαρακτήρες όσα μηδενικά πριν από το ένα. Εάν είναι απαραίτητο, ένας επαρκής αριθμός μηδενικών γράφεται μπροστά από έναν φυσικό αριθμό.

Παράδειγμα 1. Βρείτε το γινόμενο των 56 και 0,01.

Λύση. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Απάντηση: 0,56.

Παράδειγμα 2. Βρείτε το γινόμενο των 4 και 0,001.

Λύση. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Απάντηση: 0,004.

Έτσι, η εύρεση του γινομένου διαφόρων κλασμάτων δεν πρέπει να προκαλεί δυσκολίες, εκτός ίσως από τον υπολογισμό του αποτελέσματος. Σε αυτή την περίπτωση, απλά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς αριθμομηχανή.

Περιεχόμενο μαθήματος

Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Η προσθήκη κλασμάτων είναι δύο τύπων:

Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:

Παράδειγμα 2Προσθέστε κλάσματα και .

Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Εάν έρθει το τέλος της εργασίας, τότε είναι συνηθισμένο να απαλλαγείτε από ακατάλληλα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό. Στην περίπτωσή μας, το ακέραιο μέρος κατανέμεται εύκολα - δύο διαιρούμενο με δύο ισούται με ένα:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:

Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .

Και πάλι, προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα λάβετε πίτσες:

Παράδειγμα 4Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.

Όπως μπορείτε να δείτε, η προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές δεν είναι δύσκολη. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Τώρα θα μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές αυτών των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.

Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν ταυτόχρονα, επειδή αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο ένα από αυτά, καθώς οι υπόλοιπες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.

Η ουσία αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι αναζητείται πρώτα (LCM) από τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Κάνουν το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.

Τότε οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1. Προσθέστε κλάσματα και

Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6

LCM (2 και 3) = 6

Τώρα πίσω στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.

Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώνουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:

Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.

Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:

Τώρα είμαστε έτοιμοι να προσθέσουμε. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Έτσι τελειώνει το παράδειγμα. Για να προσθέσω αποδεικνύεται.

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο της πίτσας:

Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).

Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Συνδυάζοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι λανθασμένο, επομένως έχουμε επισημάνει το ακέραιο μέρος σε αυτό. Το αποτέλεσμα ήταν (μία ολόκληρη πίτσα και άλλη έκτη πίτσα).

Σημειώστε ότι έχουμε βάψει δεδομένο παράδειγμαπολύ λεπτομερής. ΣΕ Εκπαιδευτικά ιδρύματαδεν συνηθίζεται να γράφουμε με τόσο λεπτομερή τρόπο. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν από τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:

Αλλά υπάρχει επίσης πίσω πλευράμετάλλια. Εάν δεν γίνονται αναλυτικές σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε ερωτήσεις του είδους «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.

Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:

Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα.
Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος του.

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Ας χρησιμοποιήσουμε τις παραπάνω οδηγίες.

Βήμα 1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων

Βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4

Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα

Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Πήραμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Πήραμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:

Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές σας

Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές μας:

Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Απομένει να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέτω:

Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν ταιριάζει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή μιας νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.

Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος σε αυτό

Η απάντησή μας είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να ξεχωρίσουμε ολόκληρο το κομμάτι του. Τονίζουμε:

Πήρε μια απάντηση

Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:

Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Ας το κάνουμε:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.

Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Για παράδειγμα, ένα κλάσμα μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, αφού αυτά τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά ένα κλάσμα δεν μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, γιατί αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται σύμφωνα με την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο δεύτερο κλάσμα.

Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης:

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Αρχικά, βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12

LCM (3 και 4) = 12

Τώρα πίσω στα κλάσματα και

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράφουμε τα τέσσερα στο πρώτο κλάσμα:

Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε ένα τριπλό στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα είμαστε όλοι έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Πήρε μια απάντηση

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Αν κόψεις πίτσες από πίτσα, παίρνεις πίτσες.

Αυτή είναι η λεπτομερής έκδοση της λύσης. Όντας στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα με πιο σύντομο τρόπο. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:

Η αναγωγή των κλασμάτων και σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν στα ίδια κλάσματα (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):

Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Βρείτε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.

Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:

Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.

Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:

Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα πρέπει να το κάνουμε πιο εύκολο. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να μειώσετε αυτό το κλάσμα.

Για να μειώσετε ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με (gcd) τους αριθμούς 20 και 30.

Έτσι, βρίσκουμε το GCD των αριθμών 20 και 30:

Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το GCD που βρέθηκε, δηλαδή με το 10

Πήρε μια απάντηση

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο.

Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε το κλάσμα με τον αριθμό 1.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1

Η είσοδος μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη μισού 1 χρόνου. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα 1 φορά, θα πάρετε πίτσα

Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού, γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστής ανταλλάσσονται, τότε το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου και ενός κλάσματος λειτουργεί:

Αυτή η καταχώρηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη του μισού της μονάδας. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4

Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:

Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσες 4 φορές, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες.

Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή σε θέσεις, παίρνουμε την έκφραση. Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Πήρε μια απάντηση. Είναι επιθυμητό να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:

Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:

Θα πάρουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει μια πίτσα χωρισμένη σε τρία μέρη:

Μια φέτα από αυτή την πίτσα και οι δύο φέτες που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:

Μιλάμε δηλαδή για το ίδιο μέγεθος πίτσας. Επομένως, η αξία της έκφρασης είναι

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:

Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα, αλλά θα είναι καλό αν μειωθεί. Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με το μεγαλύτερο κοινός διαιρέτης(gcd) αριθμοί 105 και 450.

Ας βρούμε λοιπόν το GCD των αριθμών 105 και 450:

Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας στο GCD που βρήκαμε τώρα, δηλαδή, με το 15

Αναπαράσταση ακέραιου ως κλάσματος

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Από αυτό, το πέντε δεν θα αλλάξει το νόημά του, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα", και αυτό, όπως γνωρίζετε, είναι ίσο με πέντε:

Αντίστροφοι αριθμοί

Τώρα θα εξοικειωθούμε με ενδιαφέρον θέμαστα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».

Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμόένα είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί μεένα δίνει μια μονάδα.

Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για μια μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:

Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει μια μονάδα.

Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι μπορείτε. Ας αντιπροσωπεύσουμε το πέντε ως κλάσμα:

Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, ας πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανεστραμμένο:

Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα από αυτό; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:

Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν το 5 πολλαπλασιαστεί με ένα, προκύπτει ένα.

Το αντίστροφο μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.

Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο για οποιοδήποτε άλλο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να το αναποδογυρίσετε.

Διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό

Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Ας το χωρίσουμε εξίσου στα δύο. Πόσες πίτσες θα πάρει ο καθένας;

Μπορεί να φανεί ότι μετά το χωρισμό της μισής πίτσας, προέκυψαν δύο ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία αποτελεί μια πίτσα. Έτσι όλοι παίρνουν μια πίτσα.

Η διαίρεση των κλασμάτων γίνεται με τη χρήση αντίστροφων. Τα αντίστροφα σάς επιτρέπουν να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό.

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτό το κλάσμα με το αντίστροφο του διαιρέτη.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον κανόνα, θα γράψουμε τη διαίρεση της μισής μας πίτσας σε δύο μέρη.

Επομένως, πρέπει να διαιρέσετε το κλάσμα με τον αριθμό 2. Εδώ το μέρισμα είναι κλάσμα και ο διαιρέτης είναι 2.

Για να διαιρέσετε ένα κλάσμα με τον αριθμό 2, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτό το κλάσμα με το αντίστροφο του διαιρέτη 2. Το αντίστροφο του διαιρέτη 2 είναι ένα κλάσμα. Πρέπει λοιπόν να πολλαπλασιάσετε με

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Για παράδειγμα:

Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Και παρακαλώ μην ψάχνετε για κοινό παρονομαστή! Δεν χρειάζεται εδώ...

Για παράδειγμα:

Στο γυμνάσιο, συχνά πρέπει να ασχοληθείς με τριώροφα (ή και τετραώροφα!) κλάσματα. Για παράδειγμα:

Στην πρώτη περίπτωση (έκφραση στα αριστερά):

Στο δεύτερο (έκφραση στα δεξιά):

Νιώθεις τη διαφορά; 4 και 1/9!

μετά διαιρέστε-πολλαπλασιάστε με τη σειρά, από αριστερά προς τα δεξιά!

Αυτές είναι όλες οι ενέργειες με τα κλάσματα. Το πράγμα είναι αρκετά απλό, αλλά δίνει περισσότερα από αρκετά λάθη. Λάβετε υπόψη τις πρακτικές συμβουλές, και θα είναι λιγότερα από αυτά (λάθη)!

Πρακτικές συμβουλές:

2. Σε παραδείγματα με διαφορετικούς τύπους κλασμάτων - πηγαίνετε στα συνηθισμένα κλάσματα.

3. Μειώνουμε όλα τα κλάσματα στο τέλος.

5. Χωρίζουμε τη μονάδα σε κλάσμα στο μυαλό μας, απλώς αναποδογυρίζοντας το κλάσμα.

Υπολογίζω:

Αποφασίσατε;

Ψάχνετε για απαντήσεις που ταιριάζουν με τις δικές σας. Τα έγραψα συγκεκριμένα σε χάλια, μακριά από τον πειρασμό, ας πούμε... Εδώ είναι οι απαντήσεις, γραμμένες με ερωτηματικό.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Άρα έχετε ένα από τα δύο προβλήματα. Ή και τα δύο ταυτόχρονα.) Έλλειψη γνώσης και (ή) απροσεξία. Αλλά αυτό διαλυτός Προβλήματα.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Την τελευταία φορά μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε κλάσματα (δείτε το μάθημα «Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων»). Η πιο δύσκολη στιγμή σε αυτές τις ενέργειες ήταν να φέρουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.

Τώρα ήρθε η ώρα να ασχοληθούμε με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση. Τα καλά νέα είναι ότι αυτές οι πράξεις είναι ακόμα πιο εύκολες από την πρόσθεση και την αφαίρεση. Αρχικά, εξετάστε την απλούστερη περίπτωση, όταν υπάρχουν δύο θετικά κλάσματα χωρίς διακεκριμένο ακέραιο μέρος.

Για να πολλαπλασιάσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε χωριστά τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Ο πρώτος αριθμός θα είναι ο αριθμητής του νέου κλάσματος και ο δεύτερος ο παρονομαστής.

Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο.

Ονομασία:

Εξ ορισμού έχουμε:

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων με ακέραιο μέρος και αρνητικά κλάσματα

Συν φορές το μείον δίνει μείον?
Δύο αρνητικά κάνουν ένα καταφατικό.

Σταυρώνουμε ανά δύο τα μειονεκτήματα μέχρι να εξαφανιστούν τελείως. Σε μια ακραία περίπτωση, ένα μείον μπορεί να επιβιώσει - αυτό που δεν βρήκε ταίριασμα.
Εάν δεν απομένουν μείον, η λειτουργία ολοκληρώνεται - μπορείτε να ξεκινήσετε τον πολλαπλασιασμό. Αν δεν διαγραφεί το τελευταίο μείον, αφού δεν βρήκε ζεύγος, το βγάζουμε από τα όρια πολλαπλασιασμού. Παίρνεις αρνητικό κλάσμα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Μεταφράζουμε όλα τα κλάσματα σε ακατάλληλα και μετά βγάζουμε τα μείον έξω από τα όρια πολλαπλασιασμού. Ό,τι απομένει πολλαπλασιάζεται σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες. Παίρνουμε:

Μείωση κλασμάτων εν κινήσει

Εργο. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

Εξ ορισμού έχουμε:

Σημείωση: στην πρώτη περίπτωση, οι πολλαπλασιαστές μειώθηκαν εντελώς. Οι μονάδες παρέμειναν στη θέση τους, οι οποίες, σε γενικές γραμμές, μπορούν να παραλειφθούν. Στο δεύτερο παράδειγμα, δεν ήταν δυνατό να επιτευχθεί πλήρης μείωση, αλλά το συνολικό ποσό των υπολογισμών εξακολουθεί να μειώνεται.

Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό!

Το σφάλμα προκύπτει λόγω του γεγονότος ότι κατά την προσθήκη ενός κλάσματος, το άθροισμα εμφανίζεται στον αριθμητή ενός κλάσματος και όχι στο γινόμενο των αριθμών. Επομένως, είναι αδύνατο να εφαρμοστεί η κύρια ιδιότητα ενός κλάσματος, καθώς αυτή η ιδιότητα ασχολείται ειδικά με τον πολλαπλασιασμό των αριθμών.