शून्य से भाग देना क्यों असंभव है? केवल विस्तार से! पिताजी, आप शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते।

पहली कक्षा में सभी लोगों को शून्य से भाग देने का गणितीय नियम बताया गया था। माध्यमिक विद्यालय. "आप शून्य से विभाजित नहीं हो सकते," उन्होंने हम सभी को सिखाया और मना किया, पीठ में एक थप्पड़ के दर्द के तहत, शून्य से विभाजित करने और आम तौर पर इस विषय पर चर्चा करने के लिए। हालांकि कुछ शिक्षक निम्न ग्रेडआखिरकार, उन्होंने सबसे सरल उदाहरणों से यह समझाने की कोशिश की कि शून्य से भाग देना असंभव क्यों है, लेकिन ये उदाहरण इतने अतार्किक थे कि इस नियम को याद रखना और अनावश्यक प्रश्न न पूछना आसान था। लेकिन ये सभी उदाहरण इस कारण से अतार्किक थे कि पहली कक्षा में शिक्षक हमें तार्किक रूप से इसकी व्याख्या नहीं कर सके, क्योंकि पहली कक्षा में हमें यह भी नहीं पता था कि एक समीकरण क्या होता है, और तार्किक रूप से इस गणितीय नियम को केवल के साथ समझाया जा सकता है समीकरणों की मदद

सभी जानते हैं कि किसी भी संख्या को शून्य से भाग देने पर एक शून्य निकलता है। बिल्कुल खालीपन क्यों, हम बाद में विचार करेंगे।

सामान्य तौर पर, गणित में, संख्याओं वाली केवल दो प्रक्रियाओं को स्वतंत्र माना जाता है। यह जोड़ और गुणा है। शेष प्रक्रियाओं को इन दो प्रक्रियाओं का डेरिवेटिव माना जाता है। आइए इसे एक उदाहरण के साथ देखें।

मुझे बताओ, यह कितना होगा, उदाहरण के लिए, 11-10? हम सभी तुरंत उत्तर देंगे कि यह 1 होगा। और हमें ऐसा उत्तर कैसे मिला? कोई कहेगा कि यह पहले से ही स्पष्ट है कि यह 1 होगा, कोई कहेगा कि उसने 11 सेबों में से 10 लिया और गणना की कि यह एक सेब निकला। तर्क की दृष्टि से तो सब कुछ सही है, लेकिन गणित के नियमों के अनुसार इस समस्या को अलग तरीके से हल किया जाता है। यह याद रखना चाहिए कि जोड़ और गुणा को मुख्य प्रक्रिया माना जाता है, इसलिए आपको निम्नलिखित समीकरण बनाने की आवश्यकता है: x + 10 \u003d 11, और उसके बाद ही x \u003d 11-10, x \u003d 1। ध्यान दें कि जोड़ पहले आता है, और उसके बाद ही, समीकरण के आधार पर, हम घटा सकते हैं। ऐसा लगता है, इतनी सारी प्रक्रियाएँ क्यों? आखिर, उत्तर इतना स्पष्ट है। लेकिन केवल ऐसी प्रक्रियाएं ही शून्य से विभाजित करने की असंभवता की व्याख्या कर सकती हैं।

उदाहरण के लिए, हम निम्नलिखित गणितीय कार्य कर रहे हैं: हम 20 को शून्य से विभाजित करना चाहते हैं। अतः 20:0=x. यह पता लगाने के लिए कि यह कितना होगा, आपको यह याद रखना होगा कि विभाजन प्रक्रिया गुणन से होती है। दूसरे शब्दों में, विभाजन गुणन की व्युत्पन्न प्रक्रिया है। इसलिए, आपको गुणन से समीकरण बनाने की आवश्यकता है। तो, 0*x=20। यहाँ मृत अंत है। हम जिस भी संख्या को शून्य से गुणा करते हैं, वह अभी भी 0 होगी, लेकिन 20 नहीं। यह वह जगह है जहाँ नियम इस प्रकार है: आप शून्य से भाग नहीं दे सकते। शून्य को किसी भी संख्या से विभाजित किया जा सकता है, लेकिन एक संख्या को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

इससे एक और सवाल उठता है: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है? तो 0:0=x मतलब 0*x=0। इस समीकरण को हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, x=4 लें, जिसका अर्थ है 0*4=0। यह पता चला है कि यदि आप शून्य को शून्य से विभाजित करते हैं, तो आपको 4 मिलते हैं। लेकिन यहाँ भी सब कुछ इतना सरल नहीं है। यदि हम, उदाहरण के लिए, x=12 या x=13 लें, तो वही उत्तर (0*12=0) निकलेगा। सामान्य तौर पर, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम किस संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं, फिर भी 0 निकलेगा। इसलिए, यदि 0: 0 है, तो अनंत निकलेगा। यहाँ कुछ सरल गणित है। दुर्भाग्य से, शून्य को शून्य से विभाजित करने की प्रक्रिया भी अर्थहीन है।

सामान्य तौर पर, गणित में शून्य संख्या सबसे दिलचस्प होती है। उदाहरण के लिए, हर कोई जानता है कि शून्य शक्ति के लिए कोई भी संख्या एक देती है। बेशक, इस तरह के एक उदाहरण के साथ वास्तविक जीवनहम मिलते नहीं हैं, लेकिन शून्य से विभाजन के साथ जीवन की स्थितियाँबहुत बार मिलना। इसलिए याद रखें कि आप शून्य से भाग नहीं दे सकते।

शून्य अपने आप में एक बहुत ही रोचक संख्या है। अपने आप में, इसका अर्थ है शून्यता, अर्थ की अनुपस्थिति, और एक अन्य संख्या के आगे इसका महत्व 10 गुना बढ़ जाता है। शून्य डिग्री की कोई भी संख्या हमेशा 1 देती है। इस चिन्ह का उपयोग माया सभ्यता में किया गया था, और उन्होंने "शुरुआत, कारण" की अवधारणा को भी निरूपित किया। यहां तक ​​कि कैलेंडर भी जीरो डे से शुरू होता है। और यह आंकड़ा सख्त प्रतिबंध से जुड़ा है।

शुरुआत से ही स्कूल वर्षहम सभी ने नियम को स्पष्ट रूप से सीखा है "आप शून्य से विभाजित नहीं हो सकते।" लेकिन अगर बचपन में आप विश्वास पर बहुत कुछ लेते हैं और एक वयस्क के शब्द शायद ही कभी संदेह पैदा करते हैं, तो समय के साथ, कभी-कभी आप अभी भी कारणों को समझना चाहते हैं, यह समझने के लिए कि कुछ नियम क्यों स्थापित किए गए थे।

आप शून्य से भाग क्यों नहीं कर सकते? मैं इस सवाल को समझना चाहता हूं तार्किक व्याख्या. पहली कक्षा में शिक्षक ऐसा नहीं कर सकते थे, क्योंकि गणित में नियमों को समीकरणों की मदद से समझाया जाता है और उस उम्र में हमें पता नहीं था कि यह क्या है। और अब यह पता लगाने का समय आ गया है कि आप शून्य से विभाजित क्यों नहीं कर सकते हैं इसका एक स्पष्ट तार्किक स्पष्टीकरण प्राप्त करें।

तथ्य यह है कि गणित में संख्याओं के साथ चार बुनियादी संक्रियाओं (+, -, x, /) में से केवल दो को ही स्वतंत्र माना जाता है: गुणा और जोड़। शेष परिचालनों को डेरिवेटिव माना जाता है। आइए एक साधारण उदाहरण पर विचार करें।

बताओ, अगर 20 में से 18 घटाया जाए तो कितना होगा? स्वाभाविक रूप से, हमारे सिर में तुरंत जवाब उठता है: यह 2 होगा। और हम इस नतीजे पर कैसे पहुंचे? कुछ के लिए, यह सवाल अजीब लगेगा - आखिरकार, सब कुछ स्पष्ट है कि यह 2 निकलेगा, कोई यह समझाएगा कि उसने 20 कोपेक में से 18 लिए और उसे दो कोपेक मिले। तार्किक रूप से, इन सभी उत्तरों में कोई संदेह नहीं है, लेकिन गणित की दृष्टि से इस समस्या को अलग तरीके से हल किया जाना चाहिए। आइए एक बार फिर याद करें कि गणित में मुख्य संक्रियाएँ गुणा और जोड़ हैं, और इसलिए हमारे मामले में उत्तर निम्नलिखित समीकरण को हल करने में निहित है: x + 18 = 20। जिससे यह पता चलता है कि x = 20 - 18, x = 2 . ऐसा लगता है, सब कुछ इतने विस्तार से क्यों चित्रित किया गया है? आखिरकार, सबकुछ इतना आसान है। हालांकि, इसके बिना यह समझाना मुश्किल है कि शून्य से भाग देना क्यों असंभव है।

अब देखते हैं कि क्या होता है यदि हम 18 को शून्य से विभाजित करना चाहते हैं। आइए फिर से समीकरण बनाते हैं: 18: 0 = x। चूँकि विभाजन संक्रिया गुणन प्रक्रिया का व्युत्पन्न है, तो हमारे समीकरण को बदलने से हमें x * 0 = 18 मिलता है। यहीं से गतिरोध शुरू होता है। किसी भी संख्या को x के स्थान पर शून्य से गुणा करने पर 0 प्राप्त होता है और हम 18 प्राप्त करने में सफल नहीं होंगे। अब यह अत्यंत स्पष्ट हो जाता है कि आप शून्य से भाग क्यों नहीं कर सकते। शून्य को स्वयं किसी भी संख्या से विभाजित किया जा सकता है, लेकिन इसके विपरीत - अफसोस, यह असंभव है।

क्या होता है जब शून्य को स्वयं से विभाजित किया जाता है? इसे इस रूप में लिखा जा सकता है: 0: 0 = x, या x * 0 = 0। इस समीकरण के अनंत समाधान हैं। तो अंतिम परिणाम अनंत है। इसलिए, इस मामले में ऑपरेशन का भी कोई मतलब नहीं है।

0 से भाग देना कई काल्पनिक गणितीय चुटकुलों के मूल में है, जो अगर चाहें तो किसी भी अज्ञानी व्यक्ति को पहेली बना सकते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें: 4 * x - 20 \u003d 7 * x - 35। हम बाईं ओर कोष्ठक में से 4 और दाईं ओर 7 लेंगे। हमें मिलता है: 4 * (x - 5) \u003d 7 * (एक्स - 5)। अब हम समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को अंश 1 / (x - 5) से गुणा करते हैं। समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा: 4 * (x - 5) / (x - 5) \u003d 7 * (x - 5) / (x - 5)। हम अंशों को (x - 5) से घटाते हैं और हमें वह 4 \u003d 7 मिलता है। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि 2 * 2 \u003d 7! बेशक, यहाँ पकड़ यह है कि यह 5 के बराबर है और भिन्नों को कम करना असंभव था, क्योंकि इससे विभाजन शून्य से हुआ। इसलिए, अंशों को कम करते समय, आपको हमेशा यह देखना चाहिए कि शून्य गलती से भाजक में समाप्त न हो जाए, अन्यथा परिणाम पूरी तरह से अप्रत्याशित हो जाएगा।

बहुत बार, बहुत से लोग आश्चर्य करते हैं कि शून्य से विभाजन का उपयोग करना असंभव क्यों है? इस लेख में, हम इस बारे में बहुत विस्तार से जानेंगे कि यह नियम कहाँ से आया है, साथ ही शून्य के साथ क्या कार्य किए जा सकते हैं।

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शून्य को सबसे दिलचस्प संख्याओं में से एक कहा जा सकता है। इस संख्या का कोई अर्थ नहीं है, इसका अर्थ है खालीपन अक्षरशःशब्द। हालाँकि, यदि आप किसी अंक के आगे शून्य लगाते हैं, तो उस अंक का मान कई गुना बड़ा हो जाएगा।

यह संख्या अपने आप में बहुत रहस्यमयी है। इसका प्रयोग भी किया गया है प्राचीन लोगमायन। माया के लिए, शून्य का अर्थ "शुरुआत" था, और कैलेंडर दिनों की उलटी गिनती भी शून्य से शुरू हुई।

बहुत दिलचस्प तथ्ययह है कि शून्य चिह्न और अनिश्चितता चिह्न समान थे। इसके द्वारा, माया दिखाना चाहती थी कि शून्य अनिश्चितता के समान समान चिन्ह है। यूरोप में, शून्य का पदनाम अपेक्षाकृत हाल ही में दिखाई दिया।

साथ ही, बहुत से लोग शून्य से जुड़े निषेध को जानते हैं। कोई भी व्यक्ति यही कहेगा शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता. यह स्कूल में शिक्षकों द्वारा कहा जाता है, और बच्चे आमतौर पर इसके लिए अपना शब्द लेते हैं। आम तौर पर, बच्चों को या तो यह जानने में कोई दिलचस्पी नहीं होती है, या वे जानते हैं कि क्या होगा अगर, एक महत्वपूर्ण निषेध सुनने पर, वे तुरंत पूछते हैं "आप शून्य से विभाजित क्यों नहीं कर सकते?"। लेकिन जब आप बूढ़े हो जाते हैं, रुचि जागती है, और आप इस तरह के प्रतिबंध के कारणों के बारे में और जानना चाहते हैं। हालाँकि, इसके वाजिब सबूत हैं।

शून्य के साथ क्रियाएँ

पहले आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि शून्य के साथ क्या क्रियाएं की जा सकती हैं। मौजूद कई प्रकार की गतिविधियाँ:

• जोड़ना;
• गुणन;
• घटाव;
• विभाजन (संख्या से शून्य);
• घातांक।

महत्वपूर्ण!यदि जोड़ने के दौरान किसी भी संख्या में शून्य जोड़ दिया जाए तो यह संख्या वही रहेगी और इसके संख्यात्मक मान में कोई परिवर्तन नहीं होगा। किसी भी संख्या में से शून्य घटाने पर भी यही बात होती है।

गुणा और भाग के साथ, चीजें थोड़ी भिन्न होती हैं। अगर किसी भी संख्या को शून्य से गुणा करें, तो गुणनफल भी शून्य हो जाएगा।

एक उदाहरण पर विचार करें:

इसे एक जोड़ के रूप में लिखते हैं:

कुल पाँच शून्य जोड़े गए हैं, तो यह पता चला है

आइए एक को शून्य से गुणा करने का प्रयास करें. परिणाम भी शून्य होगा।

शून्य को किसी अन्य संख्या से भी विभाजित किया जा सकता है जो इसके बराबर नहीं है। इस मामले में, यह निकलेगा, जिसका मूल्य भी शून्य होगा। ऋणात्मक संख्याओं पर भी यही नियम लागू होता है। यदि आप शून्य को ऋणात्मक संख्या से विभाजित करते हैं, तो आपको शून्य मिलता है।

आप कोई संख्या बढ़ा भी सकते हैं शून्य शक्ति के लिए. इस मामले में, आपको 1 मिलता है। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि अभिव्यक्ति "शून्य से शून्य शक्ति" बिल्कुल अर्थहीन है। यदि आप शून्य को किसी भी शक्ति तक बढ़ाने का प्रयास करते हैं, तो आपको शून्य मिलता है। उदाहरण:

हम गुणन नियम का उपयोग करते हैं, हमें 0 मिलता है।

क्या शून्य से विभाजित करना संभव है

तो, यहाँ हम मुख्य प्रश्न पर आते हैं। क्या शून्य से विभाजित करना संभव हैबिलकुल? और किसी संख्या को शून्य से विभाजित करना क्यों असंभव है, यह देखते हुए कि शून्य के साथ अन्य सभी संक्रियाएँ पूरी तरह से मौजूद हैं और लागू होती हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको उच्च गणित की ओर मुड़ने की आवश्यकता है।

आइए अवधारणा की परिभाषा से शुरू करें, शून्य क्या है? स्कूल के शिक्षकों का दावा है कि शून्य कुछ भी नहीं है। खालीपन। यानी जब आप कहते हैं कि आपके पास 0 पेन हैं, तो इसका मतलब है कि आपके पास कोई पेन नहीं है।

उच्च गणित में, "शून्य" की अवधारणा व्यापक है। इसका मतलब बिल्कुल भी खाली नहीं है। यहां शून्य को अनिश्चितता कहा जाता है, क्योंकि यदि आप थोड़ा शोध करते हैं, तो यह पता चलता है कि शून्य को शून्य से विभाजित करने पर, हम परिणाम के रूप में कोई अन्य संख्या प्राप्त कर सकते हैं, जो जरूरी नहीं कि शून्य हो।

क्या आप जानते हैं कि स्कूल में आपने जिन सरल अंकगणितीय क्रियाओं का अध्ययन किया है, वे आपस में इतनी समान नहीं हैं? सबसे बुनियादी चरण हैं जोड़ और गुणा.

गणितज्ञों के लिए, "" और "घटाव" की अवधारणा मौजूद नहीं है। मान लीजिए: यदि पाँच में से तीन घटाया जाए, तो दो बचेंगे। यह घटाव कैसा दिखता है। हालाँकि, गणितज्ञ इसे इस तरह लिखेंगे:

इस प्रकार, यह पता चला है कि अज्ञात अंतर एक निश्चित संख्या है जिसे 5. प्राप्त करने के लिए 3 में जोड़ने की आवश्यकता है। अर्थात, आपको कुछ भी घटाना नहीं है, आपको बस एक उपयुक्त संख्या खोजने की आवश्यकता है। यह नियम जोड़ पर लागू होता है।

साथ चीजें थोड़ी अलग हैं गुणन और विभाजन नियम।यह ज्ञात है कि शून्य से गुणा करने पर परिणाम शून्य हो जाता है। उदाहरण के लिए, अगर 3:0=x, तो अगर आप रिकॉर्ड पलटते हैं, तो आपको 3*x=0 मिलता है। और जिस संख्या को 0 से गुणा किया जाता है, वह गुणनफल में शून्य देती है। यह पता चला है कि शून्य के साथ उत्पाद में शून्य के अलावा कोई भी मूल्य देने वाली संख्या मौजूद नहीं है। इसका अर्थ है कि शून्य से भाग देना अर्थहीन है, अर्थात यह हमारे नियम के अनुकूल है।

लेकिन क्या होता है यदि आप शून्य को उसी से विभाजित करने का प्रयास करते हैं? आइए x को कुछ अनिश्चित संख्या के रूप में लें। यह समीकरण 0 * x \u003d 0 निकला। इसे सुलझाया जा सकता है।

यदि हम x के स्थान पर शून्य लेने का प्रयास करें तो हमें 0:0=0 प्राप्त होता है। यह तार्किक प्रतीत होगा? लेकिन यदि हम x के स्थान पर कोई अन्य संख्या लेने का प्रयास करते हैं, उदाहरण के लिए, 1, तो हमें 0:0=1 प्राप्त होता है। यही स्थिति तब होगी यदि आप कोई अन्य संख्या और लें इसे समीकरण में डालें.

इस मामले में, यह पता चला है कि हम कारक के रूप में किसी अन्य संख्या को ले सकते हैं। परिणाम विभिन्न संख्याओं की अनंत संख्या होगी। कभी-कभी, फिर भी, उच्च गणित में 0 से विभाजन समझ में आता है, लेकिन आमतौर पर एक निश्चित स्थिति होती है जिसके कारण हम अभी भी एक उपयुक्त संख्या चुन सकते हैं। इस क्रिया को "अनिश्चितता प्रकटीकरण" कहा जाता है। सामान्य अंकगणित में, शून्य से विभाजन फिर से अपना अर्थ खो देगा, क्योंकि हम सेट से किसी एक संख्या का चयन नहीं कर पाएंगे।

महत्वपूर्ण!शून्य को शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता।

शून्य और अनंत

उच्च गणित में अनंतता बहुत आम है। चूँकि स्कूली बच्चों के लिए यह जानना महत्वपूर्ण नहीं है कि अभी भी अनंत के साथ गणितीय संक्रियाएँ हैं, शिक्षक बच्चों को ठीक से समझा नहीं सकते हैं कि शून्य से भाग देना असंभव क्यों है।

छात्र संस्थान के पहले वर्ष में ही बुनियादी गणितीय रहस्य सीखना शुरू कर देते हैं। उच्च गणित प्रदान करता है बड़ा परिसरऐसी समस्याएं जिनका कोई समाधान नहीं है। सबसे प्रसिद्ध समस्याएं अनंत की समस्याएं हैं। से उनका समाधान किया जा सकता है गणितीय विश्लेषण।

आप अनंत पर भी आवेदन कर सकते हैं प्रारंभिक गणितीय संचालन:इसके अलावा, एक संख्या से गुणा। घटाव और विभाजन का भी आमतौर पर उपयोग किया जाता है, लेकिन अंत में वे अभी भी दो सरल ऑपरेशनों के लिए नीचे आते हैं।

आप शून्य से भाग क्यों नहीं कर सकते?

आरेखण © ई.वी.
"आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!" - अधिकांश स्कूली बच्चे इस नियम को दिल से याद करते हैं, बिना सवाल पूछे। सभी बच्चे जानते हैं कि "नहीं" क्या है और अगर आप इसके जवाब में पूछेंगे तो क्या होगा: "क्यों?" लेकिन वास्तव में, यह जानना बहुत ही रोचक और महत्वपूर्ण है कि यह असंभव क्यों है।

बात यह है कि अंकगणित की चार संक्रियाएँ - जोड़, घटाव, गुणा और भाग - वास्तव में असमान हैं। गणितज्ञ उनमें से केवल दो को पूर्ण - जोड़ और गुणन के रूप में पहचानते हैं। ये संक्रियाएँ और उनके गुण संख्या की अवधारणा की परिभाषा में ही शामिल हैं। अन्य सभी क्रियाएं इन्हीं दोनों से किसी न किसी रूप में निर्मित होती हैं।

उदाहरण के लिए, घटाव पर विचार करें। 5 - 3 का क्या मतलब है? छात्र इसका उत्तर सरलता से देगा: आपको पाँच वस्तुएँ लेने की आवश्यकता है, उनमें से तीन को हटा दें (निकालें) और देखें कि कितने शेष हैं। लेकिन गणितज्ञ इस समस्या को बिल्कुल अलग तरीके से देखते हैं। कोई घटाव नहीं है, केवल जोड़ है। इसलिए, 5 - 3 लिखने का मतलब एक संख्या है, जो संख्या 3 में जोड़ने पर, संख्या 5 देती है। अर्थात, 5 - 3 समीकरण का संक्षिप्त अंकन है: x + 3 = 5। इसमें कोई घटाव नहीं है। यह समीकरण। केवल एक कार्य है - एक उपयुक्त संख्या खोजना।

गुणा और भाग के साथ भी यही सच है। अभिलेख 8:4 को आठ वस्तुओं के चार बराबर ढेरों में विभाजन के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है। लेकिन वास्तव में, यह समीकरण 4 x = 8 का संक्षिप्त रूप है।

यहीं पर यह स्पष्ट हो जाता है कि क्यों शून्य से विभाजित करना असंभव (या बल्कि असंभव) है। रिकॉर्ड 5: 0, 0 x = 5 के लिए छोटा है। यानी, यह कार्य एक संख्या को खोजने के लिए है, जब 0 से गुणा करने पर, 5 देगा। लेकिन हम जानते हैं कि जब 0 से गुणा किया जाता है, तो आपको हमेशा 0 मिलता है। यह एक है शून्य की अंतर्निहित संपत्ति, सख्ती से बोलना, इसकी परिभाषा का हिस्सा।

ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसे 0 से गुणा करने पर शून्य के अलावा कुछ और मिले। यानी हमारी समस्या का कोई समाधान नहीं है। (हां, ऐसा होता है, हर समस्या का समाधान नहीं होता है।) इसलिए, 5: 0 लिखना किसी विशिष्ट संख्या के अनुरूप नहीं है, और यह बस किसी भी चीज़ के लिए खड़ा नहीं होता है और इसलिए इसका कोई मतलब नहीं है। इस प्रविष्टि की अर्थहीनता को संक्षेप में यह कहकर व्यक्त किया गया है कि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते।

इस बिंदु पर सबसे चौकस पाठक निश्चित रूप से पूछेंगे: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है? दरअसल, समीकरण 0 · x = 0 सफलतापूर्वक हल हो गया है। उदाहरण के लिए, हम x = 0 ले सकते हैं, और फिर हमें 0 · 0 = 0 मिलता है। तो, 0: 0=0? लेकिन जल्दी मत करो। आइए x = 1 लेने का प्रयास करें। हमें 0 1 = 0 प्राप्त होता है। ठीक है? तो 0: 0 = 1? लेकिन आप इस तरह कोई भी संख्या ले सकते हैं और 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, आदि प्राप्त कर सकते हैं।

लेकिन यदि कोई संख्या उपयुक्त है, तो हमारे पास उनमें से किसी एक को चुनने का कोई कारण नहीं है। अर्थात्, हम यह नहीं कह सकते कि प्रविष्टि 0: 0 किस संख्या से मेल खाती है और यदि ऐसा है, तो हमें यह स्वीकार करने के लिए मजबूर किया जाता है कि यह प्रविष्टि भी समझ में नहीं आती है। यह पता चला है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है। (गणितीय विश्लेषण में, ऐसे मामले होते हैं, जब समस्या की अतिरिक्त स्थितियों के कारण, कोई किसी एक को वरीयता दे सकता है विकल्पसमीकरण के समाधान 0 x = 0; ऐसे मामलों में, गणितज्ञ "अनिश्चितता के प्रकटीकरण" की बात करते हैं, लेकिन अंकगणित में ऐसे मामले नहीं होते हैं।)

यह डिवीजन ऑपरेशन की विशेषता है। अधिक सटीक होने के लिए, गुणन संक्रिया और उससे जुड़ी संख्या शून्य होती है।

ठीक है, सबसे सावधानीपूर्वक, इस बिंदु तक पढ़ने के बाद, पूछ सकता है: ऐसा क्यों है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप शून्य घटा सकते हैं? एक मायने में, यहीं से असली गणित शुरू होता है। इसका उत्तर संख्यात्मक समुच्चयों की औपचारिक गणितीय परिभाषाओं और उन पर संक्रियाओं से परिचित होकर ही दिया जा सकता है। यह इतना कठिन नहीं है, लेकिन किसी कारण से स्कूल में इसकी पढ़ाई नहीं होती है। लेकिन विश्वविद्यालय में गणित के व्याख्यानों में आपको सबसे पहले यही पढ़ाया जाएगा।

"आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते!" - अधिकांश छात्र इस नियम को दिल से याद करते हैं, बिना प्रश्न पूछे। सभी बच्चे जानते हैं कि "नहीं" क्या है और अगर आप इसके जवाब में पूछेंगे तो क्या होगा: "क्यों? लेकिन यह जानना वास्तव में बहुत दिलचस्प और महत्वपूर्ण है कि यह असंभव क्यों है।

बात यह है कि अंकगणित की चार संक्रियाएँ - जोड़, घटाव, गुणा और भाग - वास्तव में असमान हैं। गणितज्ञ उनमें से केवल दो को पूर्ण - जोड़ और गुणन के रूप में पहचानते हैं। ये संक्रियाएँ और उनके गुण संख्या की अवधारणा की परिभाषा में ही शामिल हैं। अन्य सभी क्रियाएं इन्हीं दोनों से किसी न किसी रूप में निर्मित होती हैं।

उदाहरण के लिए, हम घटाव पर विचार करेंगे। 5 - 3 का क्या मतलब है? छात्र इसका उत्तर सरलता से देगा: आपको पाँच वस्तुएँ लेने की आवश्यकता है, उनमें से तीन को हटा दें (निकालें) और देखें कि कितने शेष हैं। लेकिन गणितज्ञ इस समस्या को बिल्कुल अलग तरीके से देखते हैं। कोई घटाव नहीं है, केवल जोड़ है। इसलिए, 5 - 3 लिखने का अर्थ है एक संख्या, जो संख्या 3 में जोड़ने पर, संख्या 5 देगी। अर्थात, 5 - 3 समीकरण का संक्षिप्त अंकन है: x 3 \u003d 5. इसमें कोई घटाव नहीं है यह समीकरण। केवल एक कार्य है - एक उपयुक्त संख्या खोजना।

गुणा और भाग के साथ भी यही सच है। अभिलेख 8:4 को आठ वस्तुओं के चार बराबर ढेरों में विभाजन के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है। लेकिन वास्तव में, यह समीकरण 4 * x = 8 का संक्षिप्त रूप है।

यहीं पर यह स्पष्ट हो जाता है कि क्यों शून्य से विभाजित करना असंभव (या बल्कि असंभव) है। रिकॉर्ड 5: 0 0 * x = 5 के लिए छोटा है। यानी, यह कार्य एक संख्या को खोजने के लिए है, जब 0 से गुणा किया जाता है, तो 5 देता है। लेकिन हम जानते हैं कि जब 0 से गुणा किया जाता है, तो यह हमेशा 0 निकलता है। .यह शून्य की एक अंतर्निहित संपत्ति है, सख्ती से बोलना, इसकी परिभाषा का हिस्सा है।

ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसे 0 से गुणा करने पर शून्य के अलावा कुछ और मिले। यानी हमारी समस्या का कोई समाधान नहीं है। (हां, ऐसा होता है, हर समस्या का समाधान नहीं होता है।) इसलिए, 5: 0 लिखना किसी विशिष्ट संख्या के अनुरूप नहीं है, और यह बस किसी भी चीज़ के लिए खड़ा नहीं होता है, और इसलिए इसका कोई मतलब नहीं है। इस प्रविष्टि की अर्थहीनता को संक्षेप में यह कहकर व्यक्त किया गया है कि आप शून्य से भाग नहीं कर सकते।

इस बिंदु पर सबसे चौकस पाठक निश्चित रूप से पूछेंगे: क्या शून्य को शून्य से विभाजित करना संभव है? दरअसल, समीकरण 0 * x = 0 सफलतापूर्वक हल हो गया है। उदाहरण के लिए, आप x = 0 ले सकते हैं, और फिर हमें 0 * 0 = 0 मिलता है। तो, 0: 0=0? लेकिन जल्दी मत करो। आइए x = 1 लेने का प्रयास करें। हमें 0 * 1 = 0. सही मिलता है? तो 0: 0 = 1? लेकिन आप इस तरह कोई भी संख्या ले सकते हैं और 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, आदि प्राप्त कर सकते हैं।

लेकिन यदि कोई संख्या उपयुक्त है, तो हमारे पास उनमें से किसी एक को चुनने का कोई कारण नहीं है। अर्थात्, हम यह नहीं कह सकते हैं कि प्रविष्टि 0: 0 किस संख्या से मेल खाती है और यदि ऐसा है, तो हमें यह स्वीकार करने के लिए मजबूर किया जाता है कि इस प्रविष्टि का भी कोई मतलब नहीं है। यह पता चला है कि शून्य को भी शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है। (गणितीय विश्लेषण में ऐसे मामले होते हैं, जब समस्या की अतिरिक्त स्थितियों के कारण, समीकरण 0 * x = 0 के संभावित समाधानों में से एक को वरीयता दी जा सकती है; ऐसे मामलों में, गणितज्ञ "अनिश्चितता के प्रकटीकरण" के बारे में बात करते हैं, लेकिन ऐसे मामले अंकगणित में नहीं होते हैं।यह एक ऐसी विशेषता है जिसमें विभाजन संक्रियाएँ होती हैं, या यूँ कहें कि गुणन की संक्रिया और उससे जुड़ी संख्या शून्य होती है।

ठीक है, सबसे सावधानीपूर्वक, इस बिंदु तक पढ़ने के बाद, पूछ सकता है: ऐसा क्यों है कि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, लेकिन आप शून्य घटा सकते हैं? एक मायने में, यहीं से असली गणित शुरू होता है। इसका उत्तर संख्यात्मक समुच्चयों की औपचारिक गणितीय परिभाषाओं और उन पर संक्रियाओं से परिचित होकर ही दिया जा सकता है। यह इतना कठिन नहीं है, लेकिन किसी कारण से स्कूल में इसकी पढ़ाई नहीं होती है। लेकिन विश्वविद्यालय में गणित पर व्याख्यान में, सबसे पहले, वे आपको ठीक यही सिखाएंगे।