मोंटी हॉल विरोधाभास स्पष्टीकरण। मोंटी हॉल विरोधाभास दिल के बेहोश होने के लिए नहीं एक तर्क पहेली है।

उसे मोंटी हॉल पैराडॉक्स कहा जाता है, और वाह इसे अलग तरह से हल किया, अर्थात्: साबित किया कि यह एक छद्म विरोधाभास है.

दोस्तों, मुझे इस विरोधाभास (छद्म-विरोधाभास, अगर मैं सही हूं) के अपने खंडन की आलोचना सुनकर खुशी होगी। और फिर मैं अपनी आंखों से देखूंगा कि मेरा तर्क लंगड़ा है, मैं खुद को एक विचारक के रूप में सोचना बंद कर दूंगा और गतिविधि के प्रकार को और अधिक गीतात्मक में बदलने के बारे में सोचूंगा: ओ)। तो, यहाँ कार्य की सामग्री है। प्रस्तावित समाधान और मेरा खंडन नीचे हैं।

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बन गए हैं जिसमें आप तीन दरवाजों के सामने हैं। मेज़बान, जिसे ईमानदार माना जाता है, ने एक दरवाज़े के पीछे एक कार और दूसरे दो दरवाज़ों के पीछे एक बकरी रख दी। किस दरवाजे के पीछे क्या है इसकी जानकारी आपको नहीं है।

सूत्रधार आपको बताता है: “पहले आपको दरवाजों में से एक को चुनना होगा। उसके बाद, मैं शेष दरवाजों में से एक खोलूंगा, जिसके पीछे एक बकरी है। फिर मैं सुझाव दूंगा कि आप अपनी मूल पसंद को बदल दें और शुरुआत में आपने जो चुना था, उसके बजाय शेष बंद दरवाजे को चुनें। आप मेरी सलाह का पालन कर सकते हैं और दूसरा दरवाजा चुन सकते हैं, या आप अपनी मूल पसंद की पुष्टि कर सकते हैं। उसके बाद, मैं आपके द्वारा चुने गए द्वार को खोलूंगा और आप उस द्वार के पीछे जो है उसे जीत लेंगे।"

आप दरवाजा संख्या 3 चुनें। सूत्रधार दरवाजा संख्या 1 खोलता है और दिखाता है कि उसके पीछे एक बकरी है। इसके बाद मेज़बान आपसे द्वार संख्या 2 चुनने के लिए कहता है।

अगर आप उसकी सलाह मानेंगे तो क्या आपके कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी?
मोंटी हॉल विरोधाभास संभाव्यता सिद्धांत की प्रसिद्ध समस्याओं में से एक है, जिसका समाधान, पहली नज़र में, सामान्य ज्ञान के विपरीत है।
इस समस्या को हल करते समय, वे आमतौर पर कुछ इस तरह का तर्क देते हैं: मेजबान द्वारा उस दरवाजे को खोलने के बाद जिसके पीछे बकरी स्थित है, कार केवल दो शेष दरवाजों में से एक के पीछे हो सकती है। चूंकि खिलाड़ी कोई प्राप्त नहीं कर सकता है अतिरिक्त जानकारीकार किस दरवाजे के पीछे है, इसके बारे में प्रत्येक दरवाजे के पीछे एक कार खोजने की संभावना समान है, और दरवाजे की प्रारंभिक पसंद को बदलने से खिलाड़ी को कोई फायदा नहीं होता है। हालाँकि, तर्क की यह पंक्ति गलत है।
यदि मेजबान हमेशा जानता है कि कौन सा दरवाजा पीछे है, हमेशा शेष दरवाजा खोलता है जिसमें बकरी होती है, और हमेशा खिलाड़ी को अपनी पसंद बदलने के लिए संकेत देता है, तो संभावना है कि कार खिलाड़ी द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे 1/3 है, और तदनुसार, संभावना है कि कार शेष दरवाजे के पीछे है 2/3 है। इस प्रकार, प्रारंभिक पसंद बदलने से खिलाड़ी के कार जीतने की संभावना दोगुनी हो जाती है। यह निष्कर्ष ज्यादातर लोगों द्वारा स्थिति की सहज धारणा का खंडन करता है, यही वजह है कि वर्णित समस्या को मोंटी हॉल विरोधाभास कहा जाता है।

मुझे ऐसा लगता है कि संभावना नहीं बदलेगी; कोई विरोधाभास नहीं है।

और यहाँ क्यों है: पहले और दूसरे दरवाजे के विकल्प हैं स्वतंत्रआयोजन। यह एक सिक्के को 2 बार उछालने जैसा है: जो दूसरी बार गिरता है वह किसी भी तरह से इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि पहली बार में क्या गिरा।

तो यहाँ: एक बकरी के साथ दरवाजा खोलने के बाद, खिलाड़ी खुद को अंदर पाता है नई स्थितिजब उसके पास 2 दरवाजे हों और कार या बकरी चुनने की प्रायिकता 1/2 हो।

एक बार फिर: तीन में से एक दरवाजा खोलने के बाद, कार के शेष दरवाजे के पीछे होने की प्रायिकता, 2/3 के बराबर नहीं, क्योंकि 2/3 संभावना है कि कार किन्हीं 2 दरवाजों के पीछे है। इस संभावना को एक खुले दरवाजे और एक खुले दरवाजे के लिए जिम्मेदार ठहराना गलत है। पहलेदरवाजों का खुलना संभावनाओं का ऐसा संरेखण था, लेकिन बादएक दरवाजा खोलना, ये सभी संभावनाएं बन जाती हैं शून्य, क्योंकि स्थिति बदल गई है, और इसलिए एक नई संभाव्यता गणना की आवश्यकता है, कौन आम लोगसही ढंग से किया गया, जवाब दिया कि पसंद बदलने से कुछ भी नहीं बदलेगा।

परिशिष्ट: 1) तर्क है कि:

ए) चुने हुए दरवाजे के पीछे एक कार मिलने की संभावना 1/3 है,

बी) संभावना है कि कार दो अन्य अचयनित दरवाजों के पीछे है, 2/3,

ग) क्योंकि मेजबान ने बकरी के साथ दरवाजा खोला, तो 2/3 की संभावना पूरी तरह से एक अचयनित (और बिना खुले) दरवाजे पर जाती है,

और इसलिए पसंद को दूसरे दरवाजे में बदलना जरूरी है, ताकि 1/3 से संभावना 2/3 हो जाए, सत्य नहीं, बल्कि असत्य, अर्थात्: पैराग्राफ "सी" में, क्योंकि शुरू में प्रायिकता 2/3 किसी भी दो दरवाजों से संबंधित है, जिसमें 2 खुले नहीं हैं, और चूंकि एक दरवाजा खोला गया था, तो यह संभावना 2 के बीच समान रूप से विभाजित की जाएगी जो खुली नहीं है, अर्थात। संभावना बराबर होगी, और दूसरा दरवाजा चुनने से यह नहीं बढ़ेगा।

2) सशर्त संभावनाओं की गणना की जाती है यदि 2 या अधिक यादृच्छिक घटनाएँ होती हैं, और प्रत्येक घटना के लिए अलग से संभावना की गणना की जाती है, और उसके बाद ही 2 या अधिक घटनाओं की संयुक्त घटना की संभावना की गणना की जाती है। यहां, पहले, अनुमान लगाने की संभावना 1/3 थी, लेकिन इस संभावना की गणना करने के लिए कि कार उस दरवाजे के पीछे नहीं है जिसे चुना गया था, लेकिन दूसरे के पीछे जो खुला नहीं है, आपको गणना करने की आवश्यकता नहीं है सशर्त संभाव्यता, लेकिन आपको साधारण संभावना की गणना करने की आवश्यकता है, जो कि 2 में से 1 है। 1/2।

3) इस प्रकार, यह एक विरोधाभास नहीं है, बल्कि एक भ्रम है! (19.11.2009)

परिशिष्ट 2: कल मैं सबसे सरल व्याख्या के साथ आया था फिर से चुनाव रणनीति अभी भी अधिक लाभप्रद है(विरोधाभास सत्य है!): पहली पसंद के साथ, एक कार की तुलना में बकरी में प्रवेश करने की संभावना 2 गुना अधिक है, क्योंकि दो बकरियां हैं, और इसलिए, दूसरी पसंद के साथ, आपको पसंद बदलने की आवश्यकता है। यह इतना स्पष्ट है : ओ)

या दूसरे शब्दों में: कार में चिह्नित करना जरूरी नहीं है, लेकिन बकरियों को अस्वीकार करने के लिए, और यहां तक ​​​​कि प्रस्तुतकर्ता बकरी को खोलने में भी मदद करता है। और खेल की शुरुआत में, 3 में से 2 की संभावना के साथ, खिलाड़ी भी सफल होगा, इसलिए, बकरियों को अस्वीकार करने के बाद, आपको विकल्प बदलने की आवश्यकता है। और यह भी अचानक बहुत स्पष्ट हो गया: ओ)

इसलिए मैंने अब तक जो कुछ भी लिखा है वह छद्म खंडन है। ठीक है, यहाँ इस तथ्य का एक और दृष्टांत है कि आपको अधिक विनम्र होने की आवश्यकता है, किसी और के दृष्टिकोण का सम्मान करें और अपने तर्क के आश्वासनों पर भरोसा न करें कि इसके निर्णय क्रिस्टल तार्किक हैं।

दिसंबर 1963 में, अमेरिकी टेलीविजन चैनल एनबीसी ने पहली बार लेट्स मेक ए डील ("लेट्स मेक ए डील!") कार्यक्रम प्रसारित किया, जिसमें स्टूडियो में दर्शकों में से चुने गए प्रतिभागियों ने एक-दूसरे के साथ और मेजबान के साथ मोलभाव किया। छोटे खेलया केवल प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाएं। प्रसारण के अंत में, प्रतिभागी "डील ऑफ द डे" खेल सकते थे। उनके सामने तीन दरवाजे थे, जिनके बारे में यह ज्ञात था कि उनमें से एक के पीछे ग्रैंड प्राइज़ (उदाहरण के लिए, एक कार) थी, और अन्य दो के पीछे कम मूल्यवान या पूरी तरह से बेतुके उपहार थे (उदाहरण के लिए, जीवित बकरियाँ) . खिलाड़ी द्वारा अपनी पसंद किए जाने के बाद, कार्यक्रम के मेजबान मोंटी हॉल ने शेष दो दरवाजों में से एक को खोला, यह दिखाते हुए कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं था और प्रतिभागी को खुश होने दिया कि उसके पास जीतने का मौका था।

1975 में, यूसीएलए के वैज्ञानिक स्टीव सेल्विन ने पूछा कि क्या होगा यदि उस समय, बिना पुरस्कार के दरवाजा खोलने के बाद, प्रतिभागी को अपनी पसंद बदलने के लिए कहा जाए। क्या इस मामले में खिलाड़ी के पुरस्कार पाने की संभावना बदल जाएगी, और यदि हां, तो किस दिशा में? उन्होंने द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन ("अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन") के साथ-साथ खुद मोंटी हॉल को एक समस्या के रूप में संबंधित प्रश्न भेजा, जिन्होंने इसका एक जिज्ञासु उत्तर दिया। इस उत्तर के बावजूद (या शायद इसके कारण), समस्या "मोंटी हॉल समस्या" के नाम से लोकप्रिय हो गई।

परेड पत्रिका में 1990 में प्रकाशित इस समस्या का सबसे आम सूत्रीकरण इस प्रकार है:

“कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बन गए हैं जिसमें आपको किसी एक को चुनना है तीन दरवाजे. एक दरवाजे के पीछे एक कार है, अन्य दो दरवाजों के पीछे बकरियां हैं। आप दरवाजों में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, नंबर 1, उसके बाद मेजबान, जो जानता है कि कार कहाँ है और बकरियाँ कहाँ हैं, शेष दरवाजों में से एक को खोलता है, उदाहरण के लिए, नंबर 3, जिसके पीछे एक बकरी है। उसके बाद, वह आपसे पूछता है कि क्या आप अपनी पसंद बदलना चाहते हैं और दरवाजा नंबर 2 चुनना चाहते हैं। क्या आपके कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी यदि आप मेजबान के प्रस्ताव को स्वीकार करते हैं और अपनी पसंद बदलते हैं?

प्रकाशन के बाद, यह तुरंत स्पष्ट हो गया कि समस्या गलत तरीके से तैयार की गई थी: सभी शर्तें निर्धारित नहीं की गई थीं। उदाहरण के लिए, सूत्रधार "नारकीय मोंटी" रणनीति का पालन कर सकता है: पसंद को बदलने की पेशकश करें यदि और केवल अगर खिलाड़ी ने पहली चाल पर कार चुनी है। जाहिर है, शुरुआती पसंद बदलने से ऐसी स्थिति में नुकसान की गारंटी होगी।

सबसे लोकप्रिय एक अतिरिक्त शर्त के साथ समस्या है - खेल के प्रतिभागी निम्नलिखित नियमों को पहले से जानते हैं:

1. कार के 3 दरवाजों में से किसी के पीछे रखे जाने की समान संभावना है;
2. किसी भी स्थिति में, मेजबान को बकरी के साथ दरवाजा खोलने के लिए बाध्य किया जाता है (लेकिन वह नहीं जिसे खिलाड़ी ने चुना है) और खिलाड़ी को पसंद बदलने की पेशकश करता है;
3. यदि नेता के पास दोनों में से कौन सा दरवाजा खोलने का विकल्प है, तो वह समान संभावना के साथ उनमें से किसी एक को चुनता है।

संकेत

उन लोगों पर विचार करने की कोशिश करें जिन्होंने एक ही मामले में अलग-अलग दरवाजे चुने (यानी, जब पुरस्कार, उदाहरण के लिए, दरवाजा नंबर 1 के पीछे हो)। अपनी पसंद बदलने से किसे फायदा होगा और किसे नहीं?

समाधान

जैसा कि टूलटिप में सुझाया गया है, उन लोगों पर विचार करें जिन्होंने अलग-अलग विकल्प चुने। मान लेते हैं कि पुरस्कार #1 दरवाजे के पीछे है, और दरवाजे #2 और #3 के पीछे बकरियां हैं। मान लीजिए कि हमारे पास छह लोग हैं, और प्रत्येक दरवाजे को दो लोगों द्वारा चुना गया था, और प्रत्येक जोड़ी में से एक ने बाद में निर्णय बदल दिया, और दूसरे ने नहीं किया।

ध्यान दें कि मेजबान जो दरवाजा नंबर 1 चुनता है, वह अपने स्वाद के लिए दो दरवाजों में से एक को खोलेगा, जबकि इस पर ध्यान दिए बिना, कार उसी को प्राप्त होगी जो अपनी पसंद नहीं बदलता है, लेकिन जिसने अपनी प्रारंभिक पसंद बदल दी है पुरस्कार के बिना रहेगा। अब उन लोगों पर नजर डालते हैं जिन्होंने नंबर 2 और नंबर 3 के दरवाजे चुने। चूंकि दरवाजे नंबर 1 के पीछे एक कार है, मेजबान इसे नहीं खोल सकता है, जो उसे कोई विकल्प नहीं छोड़ता है - वह क्रमशः उनके लिए दरवाजे नंबर 3 और नंबर 2 खोलता है। उसी समय, प्रत्येक जोड़ी में निर्णय बदलने वाले को पुरस्कार के रूप में चुना जाएगा, और जो नहीं बदला वह कुछ भी नहीं छोड़ेगा। इस प्रकार, अपना मन बदलने वाले तीन लोगों में से दो को पुरस्कार मिलेगा, और एक को बकरी मिलेगी, जबकि अपनी मूल पसंद को अपरिवर्तित छोड़ने वाले तीन में से केवल एक को पुरस्कार मिलेगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि कार #2 या #3 दरवाजे के पीछे थी, तो परिणाम समान होगा, केवल विशिष्ट विजेता बदलेंगे। इस प्रकार, यह मानते हुए कि शुरू में प्रत्येक दरवाजे को समान संभावना के साथ चुना जाता है, हम पाते हैं कि जो लोग अपनी पसंद बदलते हैं वे दो बार पुरस्कार जीतते हैं, यानी इस मामले में जीतने की संभावना अधिक होती है।

आइए इस समस्या को संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत के दृष्टिकोण से देखें। हम मान लेंगे कि प्रत्येक दरवाजे की प्रारंभिक पसंद की संभावना समान है, साथ ही कार के प्रत्येक दरवाजे के पीछे होने की संभावना भी है। इसके अलावा, यह आरक्षण करना उपयोगी है कि नेता, जब वह दो दरवाजे खोल सकता है, उनमें से प्रत्येक को समान संभावना के साथ चुनता है। फिर यह पता चलता है कि पहले निर्णय के बाद, संभावना है कि पुरस्कार चयनित दरवाजे के पीछे 1/3 है, जबकि संभावना है कि यह अन्य दो दरवाजों में से एक के पीछे 2/3 है। उसी समय, मेजबान द्वारा दो "अचयनित" दरवाजों में से एक को खोलने के बाद, 2/3 की पूरी संभावना शेष दरवाजों में से केवल एक पर पड़ती है, जिससे निर्णय बदलने का आधार बनता है, जिससे जीतने की संभावना बढ़ जाती है 2 बार से। जो, निश्चित रूप से, एक विशिष्ट मामले में किसी भी तरह से इसकी गारंटी नहीं देता है, लेकिन प्रयोग को बार-बार दोहराने के मामले में अधिक सफल परिणाम देगा।

अंतभाषण

मोंटी हॉल समस्या इस समस्या का पहला ज्ञात सूत्रीकरण नहीं है। विशेष रूप से, 1959 में, मार्टिन गार्डनर ने साइंटिफिक अमेरिकन में "तीन कैदियों के बारे में" (तीन कैदियों की समस्या) के समान समस्या को निम्नलिखित शब्दों के साथ प्रकाशित किया: "तीन कैदियों में से एक को क्षमा किया जाना चाहिए, और दो को मृत्युदंड दिया जाना चाहिए। कैदी ए ने गार्ड को अन्य दो में से एक का नाम बताने के लिए राजी किया, जिसे निष्पादित किया जाएगा (या तो यदि दोनों को निष्पादित किया जाता है), जिसके बाद, बी नाम प्राप्त करने के बाद, वह मानता है कि उसके स्वयं के उद्धार की संभावना नहीं बन गई है 1/3, लेकिन 1/2। वहीं, कैदी सी का दावा है कि उसके बचने की संभावना 2/3 हो गई है, जबकि ए के लिए कुछ भी नहीं बदला है। कौन सा सही है?"

हालांकि, गार्डनर पहले नहीं थे, 1889 के बाद से, उनकी प्रायिकता की गणना में, फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ बर्ट्रेंड (अंग्रेज बर्ट्रेंड रसेल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए!) एक समान समस्या पेश करते हैं (देखें बर्ट्रेंड का बॉक्स विरोधाभास): "वहाँ हैं तीन बक्से, जिनमें से प्रत्येक में दो सिक्के हैं: पहले में दो सोने के सिक्के, दूसरे में दो चांदी के सिक्के और तीसरे में दो अलग-अलग सिक्के।

यदि आप तीनों समस्याओं के समाधान को समझते हैं, तो उनके विचारों की समानता को नोटिस करना आसान है; गणितीय रूप से, वे सभी सशर्त संभाव्यता की अवधारणा से एकजुट हैं, अर्थात घटना A की संभावना, यदि यह ज्ञात है कि घटना B हुई है। सबसे सरल उदाहरण: प्रायिकता कि एक नियमित पासा फेंका जाता है 1/6 है; हालाँकि, यदि लुढ़का हुआ नंबर विषम के रूप में जाना जाता है, तो संभावना है कि यह पहले से ही 1/3 है। द मॉन्टी हॉल समस्या, उद्धृत अन्य दो समस्याओं की तरह, यह दर्शाती है कि सशर्त संभावनाओं को सावधानी से संभाला जाना चाहिए।

इन समस्याओं को अक्सर विरोधाभास भी कहा जाता है: मोंटी हॉल का विरोधाभास, बर्ट्रेंड का बॉक्स विरोधाभास (उत्तरार्द्ध को उसी पुस्तक में दिए गए वास्तविक बर्ट्रेंड के विरोधाभास के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो उस समय मौजूद संभाव्यता की अवधारणा की अस्पष्टता को साबित करता है) - जो कुछ विरोधाभास का अर्थ है (उदाहरण के लिए, "झूठे का विरोधाभास" वाक्यांश "यह कथन झूठा है" बहिष्कृत मध्य के कानून का खंडन करता है)। में इस मामले मेंहालांकि, सख्त बयानों के साथ कोई विरोधाभास नहीं है। हालांकि, के साथ एक स्पष्ट विरोधाभास है जनता की रायया बस समस्या का "एक स्पष्ट समाधान"। वास्तव में, अधिकांश लोग, समस्या को देखते हुए, मानते हैं कि किसी एक दरवाजे को खोलने के बाद, शेष दो में से किसी एक के पीछे पुरस्कार खोजने की संभावना 1/2 है। ऐसा करके, वे दावा करते हैं कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे अपना मन बदलने के लिए सहमत हैं या असहमत हैं। इसके अलावा, बहुत से लोगों को विस्तृत समाधान बताए जाने के बाद भी इसके अलावा कोई अन्य उत्तर समझने में कठिनाई होती है।

स्टीव सेल्विन को मोंटी हॉल की प्रतिक्रिया

श्री स्टीव सेल्विन,
बायोस्टैटिस्टिक्स के सहायक प्रोफेसर,
यूनिवर्सिटी ऑफ कैलिफोर्निया, बर्केले।

प्रिय स्टीव,

मुझे अमेरिकी सांख्यिकी से समस्या भेजने के लिए धन्यवाद।

हालांकि मैंने विश्वविद्यालय में आंकड़ों का अध्ययन नहीं किया, लेकिन मुझे पता है कि अगर मैं उन्हें हेरफेर करना चाहता हूं तो संख्याओं का हमेशा मेरे लाभ के लिए उपयोग किया जा सकता है। आपका तर्क एक आवश्यक परिस्थिति को ध्यान में नहीं रखता है: पहला बॉक्स खाली होने के बाद, प्रतिभागी अब अपनी पसंद नहीं बदल सकता है। तो संभावनाएँ समान रहती हैं: तीन में से एक, है ना? और, ज़ाहिर है, एक बॉक्स के खाली होने के बाद, संभावना 50/50 नहीं बनती है, लेकिन वही रहती है - तीन में से एक। प्रतिभागी को केवल यह लगता है कि एक बॉक्स से छुटकारा पाने से उसे अधिक मौके मिलते हैं। बिल्कुल नहीं। उसके खिलाफ दो से एक, जैसा कि था, और रहता है। और अगर आप अचानक मेरे शो पर आ जाते हैं, तो आपके लिए नियम वही रहेंगे: चयन के बाद कोई चेंजिंग बॉक्स नहीं।

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बन गए हैं जिसमें आपको तीन दरवाजों में से एक को चुनना है। एक दरवाजे के पीछे एक कार है, अन्य दो दरवाजों के पीछे बकरियां हैं। आप दरवाजों में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, नंबर 1, उसके बाद मेजबान, जो जानता है कि कार कहाँ है और बकरियाँ कहाँ हैं, शेष दरवाजों में से एक को खोलता है, उदाहरण के लिए, नंबर 3, जिसके पीछे एक बकरी है। उसके बाद, वह आपसे पूछता है कि क्या आप अपनी पसंद बदलना चाहते हैं और दरवाजा नंबर 2 चुनना चाहते हैं। क्या आपके कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी यदि आप मेजबान के प्रस्ताव को स्वीकार करते हैं और अपनी पसंद बदलते हैं?

समाधान।आइए हम तुरंत ध्यान दें कि इस समस्या में कोई विरोधाभास नहीं है। नियमित कार्य ( प्रथम स्तर) बेयस सूत्र के लिए, जो सशर्त संभाव्यता की परिभाषा से अनुसरण करता है।

बेयस सूत्र

घटना को ए से निरूपित करें - आपने एक कार जीती है।

हम दो परिकल्पनाओं को सामने रखते हैं: एच 1 - आप दरवाजा नहीं बदलते हैं, और एच 2 - आप दरवाजा बदलते हैं।

P(H 1)= 1/3 - एक प्राथमिकता (प्राथमिकता - इसका मतलब प्रयोग से पहले, मेजबान ने अभी तक दरवाजा नहीं खोला है) परिकल्पना की संभावना है कि आप दरवाजा बदल रहे हैं।

पी एच 1 (ए) - सशर्त संभावना है कि आप उस दरवाजे का अनुमान लगाएंगे जिसके पीछे कार स्थित है, अगर पहली परिकल्पना एच 1 हुई

पी एच 2 (ए) - सशर्त संभावना है कि आप उस दरवाजे का अनुमान लगाते हैं जिसके पीछे कार स्थित है, अगर दूसरी परिकल्पना एच 2 हुई

घटना A की संभावना का पता लगाएं यदि परिकल्पना H 1 हुई है (यदि आपने दरवाजा नहीं बदला है तो आपने कार जीती है) की संभावना है:

घटना ए की संभावना का पता लगाएं यदि परिकल्पना एच 2 हुई (संभावना है कि आपने कार जीती है यदि आपने दरवाजा बदल दिया है):

इस प्रकार, प्रतिभागी को अपनी प्रारंभिक पसंद बदलनी चाहिए - इस मामले में, उसके जीतने की संभावना 2 ⁄ 3 के बराबर होगी।

मोंटी हॉल विरोधाभास का सांख्यिकीय सत्यापन

यहां: "रणनीति 1" - पसंद को न बदलें, "रणनीति 2" - पसंद को बदलें। सैद्धांतिक रूप से, 3 दरवाजों वाले मामले के लिए, प्रायिकता वितरण 33.(3)% और 66.(6)% है। संख्यात्मक सिमुलेशन को समान परिणाम देना चाहिए।

संभाव्यता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो स्वयं गणितज्ञों को भ्रमित करने के लिए तैयार है। इस विज्ञान के बाकी, सटीक और अटल हठधर्मिता के विपरीत, यह क्षेत्र विषमताओं और अशुद्धियों से भरा है। एक नया पैराग्राफ, बोलने के लिए, हाल ही में इस खंड में जोड़ा गया है - मोंटी हॉल का विरोधाभास। यह सामान्य तौर पर एक कार्य है, लेकिन इसे सामान्य स्कूल या विश्वविद्यालय की तुलना में पूरी तरह से अलग तरीके से हल किया जाता है।

मूल कहानी

लोग 1975 के बाद से मोंटी हॉल विरोधाभास पर अपने दिमाग की रैकिंग कर रहे हैं। लेकिन यह 1963 में शुरू होने लायक है। यह तब था जब लेट्स मेक अ डील नामक एक टीवी शो स्क्रीन पर दिखाई दिया, जिसका अनुवाद "चलो एक सौदा करते हैं।" इसका मेजबान मोंटी हॉल के अलावा और कोई नहीं था, जिसने दर्शकों को कभी-कभी अनसुलझी पहेलियों को फेंक दिया। 1975 में उनके द्वारा प्रस्तुत की गई सबसे हड़ताली में से एक थी। समस्या संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत और इसके ढांचे में फिट होने वाले विरोधाभासों का हिस्सा बन गई है। यह भी ध्यान देने योग्य है कि यह घटनावैज्ञानिकों की कड़ी चर्चा और कठोर आलोचना का कारण था। मोंटी हॉल विरोधाभास 1990 में परेड पत्रिका में प्रकाशित हुआ था, और तब से यह और भी अधिक चर्चा में आ गया है विवादित मसलाहर समय और लोग। खैर, अब हम सीधे इसके सूत्रीकरण और व्याख्या की ओर मुड़ते हैं।

समस्या का विवरण

इस विरोधाभास की कई व्याख्याएं हैं, लेकिन हमने आपको क्लासिक एक पेश करने का फैसला किया, जिसे कार्यक्रम में ही दिखाया गया था। तो आपके सामने तीन दरवाजे हैं। उनमें से एक के पीछे एक कार है, अन्य दो के पीछे एक-एक बकरी है। मेज़बान आपको दरवाजों में से किसी एक को चुनने के लिए आमंत्रित करता है, और मान लीजिए कि आप नंबर 1 पर रुकते हैं। अब तक, आप नहीं जानते कि इस पहले दरवाजे के पीछे क्या है, क्योंकि वे आपके लिए तीसरा दरवाजा खोलते हैं और दिखाते हैं कि एक बकरी है इसके पीछे। इसलिए, आप अभी तक नहीं हारे हैं, क्योंकि आपने उस दरवाजे को नहीं चुना है जो हारने के विकल्प को छुपाता है। ऐसे में आपको कार मिलने की संभावना बढ़ जाती है।

लेकिन तब मेज़बान सुझाव देते हैं कि आप अपना विचार बदल लें। आपके सामने पहले से ही दो दरवाजे हैं, एक के पीछे एक बकरी है, दूसरे के पीछे एक प्रतिष्ठित पुरस्कार है। यही समस्या की जड़ है। ऐसा लगता है कि आप जो भी दो दरवाजे चुनते हैं, संभावना 50/50 है। लेकिन वास्तव में, यदि आप अपना विचार बदलते हैं, तो आपके जीतने की संभावना अधिक हो जाएगी। ऐसा कैसे?

इस गेम में आप जो पहली पसंद करते हैं वह यादृच्छिक है। आप दूरस्थ रूप से यह भी अनुमान नहीं लगा सकते हैं कि पुरस्कार के तीन दरवाजों में से कौन सा पीछे छिपा है, इसलिए आप बेतरतीब ढंग से पहले वाले को इंगित करते हैं। नेता, बदले में, जानता है कि सब कुछ कहाँ है। उसके पास पुरस्कार के साथ एक दरवाजा है, एक दरवाजा जिसकी ओर आपने इशारा किया है, और तीसरा बिना पुरस्कार के है, जिसे वह आपके लिए पहले सुराग के रूप में खोलता है। दूसरा संकेत पसंद बदलने के उनके प्रस्ताव में निहित है।

अब आप यादृच्छिक रूप से तीन में से किसी एक को नहीं चुनेंगे, और वांछित पुरस्कार प्राप्त करने के लिए आप अपना विचार भी बदल सकते हैं। यह मेजबान का प्रस्ताव है जो व्यक्ति को यह विश्वास दिलाता है कि कार वास्तव में उसके द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे नहीं है, बल्कि दूसरे के पीछे है। यह विरोधाभास का संपूर्ण सार है, वास्तव में, आपको अभी भी यादृच्छिक रूप से (यद्यपि दो में से, और तीन में से नहीं) चुनना है, लेकिन जीतने की संभावना बढ़ जाती है। आंकड़ों के अनुसार, 30 खिलाड़ियों में से जिन्होंने अपना मन बदल लिया, 18 ने कार जीती और यह 60% है। और उन्हीं 30 लोगों में से जिन्होंने अपना निर्णय नहीं बदला - केवल 11, यानी 36%।

संख्या में व्याख्या

अब आइए मोंटी हॉल विरोधाभास को और अधिक दें सटीक परिभाषा. खिलाड़ी की पहली पसंद दरवाजों को दो समूहों में विभाजित करती है। संभावना है कि पुरस्कार आपके द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे 1/3 है, और दरवाजे के पीछे 2/3 रहता है। मेजबान तब दूसरे समूह के दरवाजों में से एक को खोलता है। इस प्रकार, वह शेष सभी संभावना, 2/3 को एक दरवाजे पर स्थानांतरित कर देता है जिसे आपने नहीं चुना था और जिसे उसने नहीं खोला था। यह तर्कसंगत है कि इस तरह की गणनाओं के बाद अपना मन बदलना अधिक लाभदायक होगा। लेकिन साथ ही, यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि अभी भी हारने का मौका है। कभी-कभी प्रस्तुतकर्ता चालाक होते हैं, क्योंकि आप शुरू में सही, पुरस्कार विजेता दरवाजे पर प्रहार कर सकते हैं और फिर स्वेच्छा से इसे मना कर सकते हैं।

हम सभी इस तथ्य के अभ्यस्त हैं कि गणित, एक सटीक विज्ञान के रूप में, सामान्य ज्ञान के साथ-साथ चलता है। यहाँ संख्याएँ काम करती हैं, शब्द नहीं, सटीक सूत्र, अस्पष्ट विचार नहीं, निर्देशांक, सापेक्ष डेटा नहीं। लेकिन उसे नया खंडसंभाव्यता सिद्धांत ने पूरे परिचित पैटर्न को उड़ा दिया। इस क्षेत्र में कार्य, यह हमें लगता है, सामान्य ज्ञान के ढांचे में फिट नहीं होता है और सभी सूत्रों और गणनाओं का पूरी तरह से खंडन करता है। नीचे हम सुझाव देते हैं कि आप स्वयं को संभाव्यता सिद्धांत के अन्य विरोधाभासों से परिचित कराएं जिनमें ऊपर वर्णित विरोधाभास के साथ कुछ समानता है।

लड़का और लड़की विरोधाभास

कार्य, पहली नज़र में, बेतुका है, लेकिन यह एक गणितीय सूत्र का कड़ाई से पालन करता है और इसके दो समाधान हैं। तो, एक निश्चित आदमी के दो बच्चे हैं। उनमें से एक लड़का होना चाहिए। क्या संभावना है कि दूसरा लड़का है?

विकल्प 1।हम एक परिवार में दो बच्चों के सभी संयोजनों पर विचार करते हैं:

• लड़की/लड़की।
• लडकी लडका।
• लडका लडकी।
• लड़का।

पहला संयोजन स्पष्ट रूप से हमारे अनुरूप नहीं है, इसलिए, अंतिम तीन के आधार पर, हमें 1/3 संभावना मिलती है कि दूसरा बच्चा एक छोटा आदमी होगा।

विकल्प 2।यदि हम व्यवहार में ऐसे मामले की कल्पना करते हैं, अंशों और सूत्रों को त्यागते हैं, तो इस तथ्य के आधार पर कि पृथ्वी पर केवल दो लिंग हैं, संभावना है कि दूसरा बच्चा एक लड़का होगा 1/2।

यह अनुभव हमें दिखाता है कि कैसे प्रसिद्ध आँकड़ों में हेरफेर किया जा सकता है। तो, "स्लीपिंग ब्यूटी" को नींद की गोलियां दी जाती हैं और एक सिक्का फेंका जाता है। यदि सिर ऊपर आते हैं, तो उसे जगाया जाता है और प्रयोग समाप्त हो जाता है। यदि पूंछ बाहर गिर जाती है, तो वे उसे जगाते हैं, तुरंत दूसरा इंजेक्शन लगाते हैं, और वह भूल जाती है कि वह जाग गई थी, और उसके बाद वे दूसरे दिन ही फिर से उठे। पूरी तरह से जागने के बाद, "सौंदर्य" को नहीं पता कि उसने किस दिन अपनी आँखें खोलीं, या क्या संभावना है कि सिक्का गिर गया। पहले हल के अनुसार, पट (या चित) आने की प्रायिकता 1/2 है। दूसरे विकल्प का सार यह है कि यदि प्रयोग 1000 बार किया जाता है, तो एक बाज के मामले में, "सौंदर्य" को 500 बार जगाया जाएगा, और एक दुर्लभ - 1000 के साथ। अब पूंछ मिलने की संभावना है 2/3।

मोंटी हॉल विरोधाभास संभाव्यता सिद्धांत की प्रसिद्ध समस्याओं में से एक है, जिसका समाधान, पहली नज़र में, सामान्य ज्ञान के विपरीत है। समस्या को अमेरिकी टीवी शो लेट्स मेक ए डील पर आधारित एक काल्पनिक खेल के विवरण के रूप में तैयार किया गया है और इस शो के मेजबान के नाम पर रखा गया है। परेड पत्रिका में 1990 में प्रकाशित इस समस्या का सबसे आम सूत्रीकरण इस प्रकार है:

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बन गए हैं जिसमें आपको तीन दरवाजों में से एक को चुनना है। एक दरवाजे के पीछे एक कार है, अन्य दो दरवाजों के पीछे बकरियां हैं। आप दरवाजों में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, नंबर 1, उसके बाद मेजबान, जो जानता है कि कार कहाँ है और बकरियाँ कहाँ हैं, शेष दरवाजों में से एक को खोलता है, उदाहरण के लिए, नंबर 3, जिसके पीछे एक बकरी है। उसके बाद, वह आपसे पूछता है कि क्या आप अपनी पसंद बदलना चाहते हैं और दरवाजा नंबर 2 चुनना चाहते हैं। क्या आपके कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी यदि आप मेजबान के प्रस्ताव को स्वीकार करते हैं और अपनी पसंद बदलते हैं?

हालांकि समस्या का यह सूत्रीकरण सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है, यह कुछ हद तक समस्याग्रस्त है क्योंकि यह समस्या की कुछ महत्वपूर्ण स्थितियों को अपरिभाषित छोड़ देता है। निम्नलिखित एक अधिक संपूर्ण कथन है।

इस समस्या को हल करते समय, वे आमतौर पर कुछ इस तरह का तर्क देते हैं: मेजबान द्वारा उस दरवाजे को खोलने के बाद जिसके पीछे बकरी स्थित है, कार केवल दो शेष दरवाजों में से एक के पीछे हो सकती है। चूंकि खिलाड़ी को कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं मिल सकती है कि कार किस दरवाजे के पीछे है, प्रत्येक दरवाजे के पीछे एक कार मिलने की संभावना समान है, और दरवाजे की प्रारंभिक पसंद को बदलने से खिलाड़ी को कोई फायदा नहीं होता है। हालाँकि, तर्क की यह पंक्ति गलत है। यदि मेजबान हमेशा जानता है कि कौन सा दरवाजा पीछे है, हमेशा शेष दरवाजा खोलता है जिसमें बकरी होती है, और हमेशा खिलाड़ी को अपनी पसंद बदलने के लिए संकेत देता है, तो संभावना है कि कार खिलाड़ी द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे 1/3 है, और तदनुसार, संभावना है कि कार शेष दरवाजे के पीछे है 2/3 है। इस प्रकार, प्रारंभिक पसंद बदलने से खिलाड़ी के कार जीतने की संभावना दोगुनी हो जाती है। यह निष्कर्ष ज्यादातर लोगों द्वारा स्थिति की सहज धारणा का खंडन करता है, यही वजह है कि वर्णित समस्या को मोंटी हॉल विरोधाभास कहा जाता है।

मौखिक निर्णय

इस समस्या का सही उत्तर निम्नलिखित है: हां, यदि खिलाड़ी मेजबान की सलाह का पालन करता है और अपनी प्रारंभिक पसंद बदलता है तो कार जीतने की संभावना दोगुनी हो जाती है।

इस उत्तर के लिए सबसे सरल व्याख्या निम्नलिखित विचार है। पसंद बदले बिना कार जीतने के लिए, खिलाड़ी को तुरंत उस दरवाजे का अनुमान लगाना चाहिए जिसके पीछे कार खड़ी है। इसकी संभावना 1/3 है। यदि खिलाड़ी शुरू में उसके पीछे एक बकरी के साथ दरवाजा मारता है (और इस घटना की संभावना 2/3 है, क्योंकि दो बकरियां हैं और केवल एक कार है), तो वह निश्चित रूप से अपना मन बदलकर कार जीत सकता है, क्योंकि कार और एक बकरी बची है, और मेज़बान बकरी के साथ द्वार खोल चुका है।

इस प्रकार, पसंद को बदले बिना, खिलाड़ी 1/3 जीतने की अपनी प्रारंभिक संभावना के साथ बना रहता है, और प्रारंभिक पसंद को बदलते समय, खिलाड़ी शेष संभावना से दो बार अपने लाभ में बदल जाता है कि उसने शुरुआत में सही ढंग से अनुमान नहीं लगाया था।

साथ ही, दो घटनाओं की अदला-बदली करके एक सहज व्याख्या की जा सकती है। पहली घटना दरवाजे को बदलने का खिलाड़ी का निर्णय है, दूसरी घटना एक अतिरिक्त द्वार खोलने की है। यह स्वीकार्य है, क्योंकि एक अतिरिक्त दरवाजा खोलने से खिलाड़ी को कुछ नहीं मिलता है नई जानकारी(दस्तावेज़ इस लेख में देखें)।

तब समस्या को निम्न सूत्रीकरण में कम किया जा सकता है। समय के पहले क्षण में, खिलाड़ी दरवाजों को दो समूहों में विभाजित करता है: पहले समूह में एक द्वार होता है (जिसे उसने चुना है), दूसरे समूह में दो शेष द्वार होते हैं। समय के अगले क्षण में, खिलाड़ी समूहों के बीच चुनाव करता है। यह स्पष्ट है कि पहले समूह के जीतने की संभावना 1/3 है, दूसरे समूह के लिए 2/3। खिलाड़ी दूसरे समूह को चुनता है। दूसरे समूह में वह दोनों दरवाजे खोल सकता है। एक मेजबान द्वारा खोला जाता है, और दूसरा खुद खिलाड़ी द्वारा।

आइए "सबसे अधिक समझने योग्य" स्पष्टीकरण देने का प्रयास करें। समस्या को सुधारें: एक ईमानदार मेजबान खिलाड़ी को घोषणा करता है कि तीन दरवाजों में से एक के पीछे एक कार है, और उसे पहले दरवाजों में से एक को इंगित करने के लिए आमंत्रित करता है, और फिर दो क्रियाओं में से एक का चयन करता है: निर्दिष्ट दरवाजा खोलें (में) पुराने फॉर्मूलेशन, इसे "अपनी पसंद न बदलें" कहा जाता है) या अन्य दो को खोलें (पुराने फॉर्मूलेशन में, यह सिर्फ "पसंद बदलें" होगा। सोचें, यह समझने की कुंजी है!) यह स्पष्ट है कि खिलाड़ी दो कार्यों में से दूसरे का चयन करेगा, क्योंकि इस मामले में कार प्राप्त करने की संभावना दोगुनी है। और छोटी सी बात यह है कि कार्रवाई चुनने से पहले भी नेता ने "बकरी दिखाई" मदद नहीं करता है और पसंद में हस्तक्षेप नहीं करता है, क्योंकि दो दरवाजों में से एक के पीछे हमेशा एक बकरी होती है और नेता इसे किसी भी पाठ्यक्रम में निश्चित रूप से दिखाएगा खेल का, तो खिलाड़ी इस बकरी पर कर सकते हैं और नहीं देखते हैं। खिलाड़ी का व्यवसाय, यदि उसने दूसरी कार्रवाई को चुना है, तो उसे दो दरवाजों में से एक को खोलने की परेशानी से बचाने के लिए मेजबान को "धन्यवाद" कहना है, और दूसरे को खोलना है। अच्छा, या और भी आसान। आइए इस स्थिति की कल्पना मेजबान के दृष्टिकोण से करें, जो दर्जनों खिलाड़ियों के साथ इसी तरह की प्रक्रिया कर रहा है। चूंकि वह पूरी तरह से जानता है कि दरवाजों के पीछे क्या है, औसतन, तीन में से दो मामलों में, वह पहले से देखता है कि खिलाड़ी ने "गलत" दरवाजा चुना है। इसलिए, उसके लिए निश्चित रूप से कोई विरोधाभास नहीं है कि पहला दरवाजा खोलने के बाद पसंद को बदलना सही रणनीति है: आखिरकार, तीन में से दो मामलों में खिलाड़ी स्टूडियो छोड़ देगा नई कार.

अंत में, सबसे "भोला" प्रमाण। जो अपनी पसंद से खड़ा होता है उसे "जिद्दी" कहा जाता है, और जो नेता के निर्देशों का पालन करता है उसे "चौकस" कहा जाता है। फिर जिद्दी जीतता है अगर उसने शुरू में कार (1/3) का अनुमान लगाया, और चौकस - अगर वह पहली बार चूक गया और बकरी (2/3) को मारा। आखिरकार, केवल इस मामले में वह कार के साथ दरवाजे की ओर इशारा करेगा।

समझने की कुंजी

इस घटना की व्याख्या करने की सरलता के बावजूद, बहुत से लोग सहज रूप से मानते हैं कि जब खिलाड़ी अपनी पसंद बदलता है तो जीतने की संभावना नहीं बदलती है। आमतौर पर, जीतने की संभावना को बदलने की असंभवता इस तथ्य से प्रेरित होती है कि संभावना की गणना करते समय, अतीत में घटित होने वाली घटनाएं कोई मायने नहीं रखती हैं, जैसा कि होता है, उदाहरण के लिए, जब एक सिक्का उछाला जाता है - तो हेड या टेल आने की संभावना होती है यह इस बात पर निर्भर नहीं है कि पहले कितनी बार सिर या पूंछ गिरे। इसलिए, कई लोग मानते हैं कि जिस समय खिलाड़ी दो में से एक दरवाजा चुनता है, यह अब मायने नहीं रखता है कि अतीत में तीन में से एक दरवाजे का विकल्प था, और पसंद बदलने पर कार जीतने की संभावना समान होती है , और मूल पसंद को छोड़कर।

हालाँकि, जबकि इस तरह के विचार एक सिक्के के टॉस के मामले में सही हैं, वे सभी खेलों के लिए सही नहीं हैं। ऐसे में गुरु द्वारा द्वार खोलने पर ध्यान नहीं देना चाहिए। खिलाड़ी अनिवार्य रूप से पहले चुने गए एक दरवाजे और अन्य दो के बीच चयन करता है - उनमें से एक को खोलने से केवल खिलाड़ी को विचलित करने में मदद मिलती है। पता चला है कि एक कार और दो बकरियां हैं। दरवाजे में से एक के लिए खिलाड़ी की प्रारंभिक पसंद खेल के संभावित परिणामों को दो समूहों में विभाजित करती है: या तो कार खिलाड़ी द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे है (इसकी संभावना 1/3 है), या अन्य दो में से एक के पीछे (संभावना) इसका 2/3 है)। उसी समय, यह पहले से ही ज्ञात है कि किसी भी मामले में शेष दो दरवाजों में से एक के पीछे एक बकरी है, और इस दरवाजे को खोलकर, मेजबान खिलाड़ी को इस बारे में कोई अतिरिक्त जानकारी नहीं देता है कि उसके द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे क्या है। खिलाड़ी। इस प्रकार, नेता द्वारा बकरी के साथ दरवाजा खोलने से प्रायिकता (2/3) नहीं बदलती है कि कार शेष दरवाजों में से एक के पीछे है। और पहले से ही खुला दरवाज़ाखिलाड़ी नहीं चुनता है, तो यह सारी संभावना इस घटना में केंद्रित है कि कार शेष बंद दरवाजे के पीछे है।

अधिक सहज तर्क: खिलाड़ी को "चयन बदलें" रणनीति पर कार्य करने दें। तब वह तभी हारेगा जब वह शुरू में कार चुनता है। और इसकी संभावना एक तिहाई है। इसलिए, जीतने की संभावना: 1-1/3=2/3। यदि खिलाड़ी "पसंद न बदलें" रणनीति के अनुसार कार्य करता है, तो वह तभी जीतेगा जब उसने शुरुआत में कार को चुना हो। और इसकी संभावना एक तिहाई है।

आइए इस स्थिति की कल्पना मेजबान के दृष्टिकोण से करें, जो दर्जनों खिलाड़ियों के साथ इसी तरह की प्रक्रिया कर रहा है। चूंकि वह पूरी तरह से जानता है कि दरवाजों के पीछे क्या है, औसतन, तीन में से दो मामलों में, वह पहले से देखता है कि खिलाड़ी ने "गलत" दरवाजा चुना है। इसलिए, उसके लिए निश्चित रूप से कोई विरोधाभास नहीं है कि पहला दरवाजा खोलने के बाद पसंद को बदलने के लिए सही रणनीति है: आखिरकार, तीन में से दो मामलों में, खिलाड़ी एक नई कार में स्टूडियो छोड़ देगा।

इस समस्या के समाधान को समझने में कठिनाई का एक अन्य सामान्य कारण यह है कि अक्सर लोग थोड़े अलग खेल की कल्पना करते हैं - जहां यह पहले से ज्ञात नहीं होता है कि मेजबान बकरी के साथ दरवाजा खोलेगा और खिलाड़ी को अपनी पसंद बदलने का सुझाव देगा। इस मामले में, खिलाड़ी मेजबान की रणनीति नहीं जानता है (अर्थात, खेल के सभी नियमों को नहीं जानता है) और नहीं कर सकता इष्टतम विकल्प. उदाहरण के लिए, यदि सुविधाकर्ता केवल विकल्प में बदलाव की पेशकश करेगा यदि खिलाड़ी ने शुरू में कार के साथ दरवाजा चुना था, तो स्पष्ट रूप से खिलाड़ी को हमेशा मूल निर्णय को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। इसलिए मोंटी हॉल समस्या के सटीक सूत्रीकरण को ध्यान में रखना महत्वपूर्ण है। (इस विकल्प के साथ, विभिन्न रणनीतियों वाला नेता दरवाजे के बीच किसी भी संभावना को प्राप्त कर सकता है, सामान्य (औसत) मामले में यह 1/2 1/2 होगा)।

दरवाजों की संख्या में वृद्धि

क्या हो रहा है इसका सार समझना आसान बनाने के लिए, हम उस मामले पर विचार कर सकते हैं जब खिलाड़ी उसके सामने तीन दरवाजे नहीं देखता, लेकिन, उदाहरण के लिए, सौ। उसी समय, दरवाजों में से एक के पीछे एक कार है, और अन्य 99 के पीछे बकरियाँ हैं। खिलाड़ी दरवाजों में से एक को चुनता है, जबकि 99% मामलों में वह एक बकरी के साथ दरवाजा चुनता है, और तुरंत कार के साथ दरवाजा चुनने की संभावना बहुत कम होती है - वे 1% होती हैं। उसके बाद, मेजबान बकरियों के साथ 98 दरवाजे खोलता है और खिलाड़ी को शेष दरवाजे को चुनने के लिए कहता है। इस मामले में, 99% मामलों में, कार इस शेष दरवाजे के पीछे होगी, क्योंकि खिलाड़ी द्वारा तुरंत सही दरवाजा चुने जाने की संभावना बहुत कम है। यह स्पष्ट है कि इस स्थिति में एक तार्किक सोच वाले खिलाड़ी को हमेशा नेता के प्रस्ताव को स्वीकार करना चाहिए।

दरवाजों की बढ़ी हुई संख्या पर विचार करते समय, अक्सर यह सवाल उठता है: यदि मूल समस्या में नेता तीन में से एक दरवाजा खोलता है (अर्थात, 1/3) कुलदरवाजे), हमें यह क्यों मानना ​​​​चाहिए कि 100 दरवाजों के मामले में, मेजबान बकरियों के साथ 98 दरवाजे खोलेगा, न कि 33? यह विचार आमतौर पर महत्वपूर्ण कारणों में से एक है कि क्यों मोंटी हॉल का विरोधाभास स्थिति की सहज धारणा के साथ संघर्ष करता है। 98 दरवाजों को खोलना सही होगा क्योंकि आवश्यक शर्तकार्य खिलाड़ी के लिए केवल एक वैकल्पिक विकल्प है, जो मॉडरेटर द्वारा पेश किया जाता है। इसलिए, कार्य समान होने के लिए, 4 दरवाजों के मामले में, नेता को 2 दरवाजे खोलने चाहिए, 5 दरवाजों के मामले में - 3, और इसी तरह, ताकि एक के अलावा हमेशा एक बंद दरवाजा हो जिसे खिलाड़ी ने शुरू में चुना था। यदि सूत्रधार कम दरवाजे खोलता है, तो कार्य अब मूल मोंटी हॉल कार्य के समान नहीं होगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई दरवाजों के मामले में, भले ही मेजबान एक दरवाजे को बंद नहीं करता है, लेकिन कई, और खिलाड़ी को उनमें से एक को चुनने की पेशकश करता है, फिर प्रारंभिक पसंद को बदलते समय, खिलाड़ी की कार जीतने की संभावना होगी अभी भी वृद्धि हुई है, यद्यपि इतनी अधिक नहीं है। उदाहरण के लिए, एक ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां एक खिलाड़ी सौ में से एक दरवाजा चुनता है, और फिर सूत्रधार शेष दरवाजों में से केवल एक को खोलता है, खिलाड़ी को अपनी पसंद बदलने के लिए आमंत्रित करता है। उसी समय, संभावना है कि कार मूल रूप से खिलाड़ी द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे है - 1/100, और शेष दरवाजों के लिए संभावनाएं बदल जाती हैं: कुल संभावना है कि कार शेष दरवाजों में से एक के पीछे है ( 99/100) अब 99 दरवाजों पर नहीं, बल्कि 98 पर वितरित किया जाता है। इसलिए, इनमें से प्रत्येक दरवाजे के पीछे एक कार मिलने की संभावना 1/100 नहीं, बल्कि 99/9800 होगी। संभाव्यता में वृद्धि लगभग 0.01% होगी।

निर्णय वृक्ष

पेड़ संभव समाधानखिलाड़ी और मेजबान, प्रत्येक परिणाम की संभावना दिखाते हुए

अधिक औपचारिक रूप से, एक निर्णय वृक्ष का उपयोग करके एक खेल परिदृश्य का वर्णन किया जा सकता है।

पहले दो मामलों में, जब खिलाड़ी पहले उस दरवाजे को चुनता है जिसके पीछे बकरी होती है, पसंद बदलने से जीत होती है। पिछले दो मामलों में, जब खिलाड़ी ने पहली बार कार के साथ दरवाजा चुना, पसंद बदलने से नुकसान हुआ।

कुल संभावना है कि पसंद में बदलाव से जीत होगी, पहले दो परिणामों की संभावनाओं के योग के बराबर है, अर्थात

तदनुसार, संभावना है कि पसंद को बदलने से इनकार करने से जीत होगी बराबर है

इसी तरह का एक प्रयोग करते हुए

यह सुनिश्चित करने का एक आसान तरीका है कि मूल पसंद को बदलने से औसतन तीन में से दो बार जीत होती है। ऐसा करने के लिए, आप मोंटी हॉल समस्या में वर्णित गेम का अनुकरण कर सकते हैं ताश का खेल. एक व्यक्ति (कार्ड बांटने वाला) अग्रणी मोंटी हॉल की भूमिका निभाता है, और दूसरा - खिलाड़ी की भूमिका। खेल के लिए तीन कार्ड लिए जाते हैं, जिनमें से एक कार के साथ एक दरवाजे को दर्शाता है (उदाहरण के लिए, हुकुम का इक्का), और दो अन्य जो समान हैं (उदाहरण के लिए, दो लाल ड्यूस) बकरियों के साथ दरवाजे हैं।

मेजबान तीन कार्ड नीचे की ओर रखता है, खिलाड़ी को एक कार्ड लेने के लिए आमंत्रित करता है। खिलाड़ी द्वारा एक कार्ड चुनने के बाद, लीडर बाकी बचे दो कार्डों को देखता है और लाल ड्यूस दिखाता है। उसके बाद, खिलाड़ी और नेता द्वारा छोड़े गए कार्ड खोले जाते हैं, और यदि खिलाड़ी द्वारा चुना गया कार्ड हुकुम का इक्का है, तो विकल्प के पक्ष में एक बिंदु दर्ज किया जाता है जब खिलाड़ी अपनी पसंद नहीं बदलता है, और यदि खिलाड़ी के पास एक लाल ड्यूस होता है, और नेता के पास हुकुम का इक्का होता है, फिर खिलाड़ी द्वारा अपनी पसंद बदलने पर विकल्प के पक्ष में एक बिंदु बनाया जाता है। यदि हम खेल के ऐसे कई दौर खेलते हैं, तो दो विकल्पों के पक्ष में अंकों के बीच का अनुपात इन विकल्पों की संभावनाओं के अनुपात को अच्छी तरह से दर्शाता है। इस मामले में, यह पता चला है कि प्रारंभिक पसंद को बदलने के पक्ष में अंकों की संख्या लगभग दोगुनी है।

ऐसा प्रयोग न केवल यह सुनिश्चित करता है कि पसंद बदलने पर जीतने की संभावना दोगुनी हो, बल्कि यह भी अच्छी तरह से दिखाता है कि ऐसा क्यों होता है। उस समय जब खिलाड़ी ने अपने लिए एक कार्ड चुना है, यह पहले से ही निर्धारित है कि हुकुम का इक्का उसके हाथ में है या नहीं। नेता द्वारा कार्डों में से किसी एक को आगे खोलने से स्थिति में बदलाव नहीं होता है - खिलाड़ी पहले से ही अपने हाथ में कार्ड रखता है, और नेता के कार्यों की परवाह किए बिना यह वहीं रहता है। हुकुम का इक्का चुनने के लिए खिलाड़ी की संभावना तीन कार्डस्पष्ट रूप से 1/3 है, और इस प्रकार इसे न चुनने की संभावना (और फिर खिलाड़ी जीतता है यदि वह मूल विकल्प बदलता है) 2/3 है।

उल्लेख

फिल्म इक्कीस में, शिक्षक, मिकी रोजा, मुख्य पात्र, बेन को एक पहेली हल करने की चुनौती देता है: तीन दरवाजों के पीछे दो स्कूटर और एक कार है; कार जीतने के लिए आपको दरवाजे का अनुमान लगाना होगा। पहली पसंद के बाद, मिकी पसंद बदलने की पेशकश करता है। बेन सहमत है और गणितीय रूप से अपने फैसले को सही ठहराता है। इसलिए वह अनजाने में मिक्की की टीम के लिए परीक्षा पास कर लेता है।

सर्गेई लुक्यानेंको के उपन्यास "नेदोटेपा" में, मुख्य पात्र, इस तकनीक का उपयोग करते हुए, एक गाड़ी और अपनी यात्रा जारी रखने का अवसर जीतते हैं।

टेलीविजन श्रृंखला 4isla (सीज़न 1 "मैन हंट" का एपिसोड 13) में, मुख्य पात्रों में से एक, चार्ली एप्स, गणित पर एक लोकप्रिय व्याख्यान में, मोंटी हॉल विरोधाभास की व्याख्या करता है, इसे स्पष्ट रूप से मार्कर बोर्डों का उपयोग करके दिखाता है। विपरीत पक्षजिन पर पेंट की हुई बकरियां और एक कार है। चार्ली चयन बदलकर कार ढूंढता है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि वह केवल एक प्रयोग चलाता है, जबकि बदलाव की रणनीति का लाभ सांख्यिकीय है, और प्रयोगों की एक श्रृंखला को सही ढंग से प्रदर्शित करने के लिए चलाया जाना चाहिए।

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146