Entri yang diberi tag "contoh tentang sifat-sifat gelar dengan eksponen alami". Persamaan daya atau eksponensial

Formula kekuatan digunakan dalam proses pengurangan dan penyederhanaan ekspresi kompleks, dalam menyelesaikan persamaan dan ketidaksetaraan.

Nomor C adalah N-th kekuatan nomor A Kapan:

Operasi dengan derajat.

1. Mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya bertambah:

sayaa n = a m + n .

2. Dalam pembagian derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi:

3. Derajat perkalian 2 faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor berikut:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Derajat pecahan sama dengan rasio derajat pembagi dan pembagi:

(a/b) n = a n / b n .

5. Menaikkan pangkat menjadi pangkat, eksponennya dikalikan:

(am) n = a m n .

Setiap rumus di atas benar dengan arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Misalnya. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Akar hasil kali beberapa faktor sama dengan hasil kali akar faktor berikut:

2. Akar rasio sama dengan rasio dividen dan pembagi akar:

3. Saat menaikkan akar menjadi pangkat, cukup menaikkan bilangan akar menjadi pangkat ini:

4. Jika kita meningkatkan derajat root in N sekali dan pada saat yang sama naikkan menjadi N pangkat th adalah bilangan akar, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika kita menurunkan derajat root in N akar secara bersamaan N derajat th dari bilangan radikal, maka nilai akarnya tidak akan berubah:

Derajat dengan eksponen negatif. Derajat suatu bilangan dengan eksponen non-positif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan derajat bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen non-positif:

Rumus saya:a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk M> N, tetapi juga pada M< N.

Misalnya. A4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

untuk formula saya:a n = a m - n menjadi adil di m=n, Anda membutuhkan kehadiran derajat nol.

Gelar dengan eksponen nol. Kekuatan angka bukan nol dengan eksponen nol sama dengan satu.

Misalnya. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Gelar dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan real A sampai taraf tertentu M N, Anda perlu mengekstrak root N derajat th M th kekuatan nomor ini A.

Jelas, angka dengan kekuatan dapat ditambahkan seperti jumlah lainnya , dengan menambahkannya satu per satu dengan tandanya.

Jadi, jumlah dari a 3 dan b 2 adalah a 3 + b 2 .
Jumlah dari a 3 - b n dan h 5 -d 4 adalah a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Kemungkinan kekuatan yang sama dari variabel yang sama dapat ditambah atau dikurangi.

Jadi, jumlah dari 2a 2 dan 3a 2 adalah 5a 2 .

Juga jelas bahwa jika kita mengambil dua kotak a, atau tiga kotak a, atau lima kotak a.

Tapi derajat berbagai variabel Dan berbagai derajat variabel identik, harus ditambahkan dengan menambahkannya ke tanda mereka.

Jadi, jumlah dari a 2 dan a 3 adalah jumlah dari a 2 + a 3 .

Jelas bahwa kuadrat a, dan pangkat tiga a, bukanlah dua kali kuadrat a, tetapi dua kali pangkat tiga a.

Jumlah dari a 3 b n dan 3a 5 b 6 adalah a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Pengurangan kekuatan dilakukan dengan cara yang sama seperti penjumlahan, kecuali bahwa tanda pengurangan harus diubah sesuai dengan itu.

Atau:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3j 2 b 6 - 4j 2 b 6 = -j 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

perkalian kekuatan

Bilangan dengan pangkat dapat dikalikan seperti besaran lain dengan menuliskannya satu per satu, dengan atau tanpa tanda perkalian di antaranya.

Jadi, hasil perkalian a 3 dengan b 2 adalah a 3 b 2 atau aaabb.

Atau:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Hasil di contoh terakhir dapat dipesan dengan menambahkan variabel sejenis.
Ekspresi akan berbentuk: a 5 b 5 y 3 .

Dengan membandingkan beberapa bilangan (variabel) dengan pangkat, kita dapat melihat bahwa jika salah satu dari keduanya dikalikan, maka hasilnya adalah bilangan (variabel) yang pangkatnya sama dengan jumlah derajat istilah.

Jadi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Di sini 5 adalah pangkat dari hasil perkalian, sama dengan 2 + 3, jumlah pangkat dari suku-sukunya.

Jadi, a n .a m = a m+n .

Untuk a n , a diambil sebagai faktor sebanyak pangkat n;

Dan a m , diambil sebagai faktor sebanyak derajat m sama dengan;

Itu sebabnya, kekuatan dengan basis yang sama dapat dikalikan dengan menambahkan eksponen.

Jadi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Dan x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Atau:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Kalikan (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Jawab: x 4 - y 4.
Kalikan (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Aturan ini juga berlaku untuk angka yang eksponennya adalah - negatif.

1. Jadi, a -2 .a -3 = a -5 . Ini dapat ditulis sebagai (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jika a + b dikalikan dengan a - b, hasilnya adalah a 2 - b 2: yaitu

Hasil perkalian jumlah atau selisih dua bilangan sama dengan jumlah atau selisih kuadratnya.

Jika jumlah dan selisih dua bilangan dipangkatkan menjadi persegi, hasilnya akan sama dengan jumlah atau selisih angka-angka ini keempat derajat.

Jadi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Pembagian kekuasaan

Bilangan dengan pangkat dapat dibagi seperti bilangan lain dengan mengurangkan pembaginya, atau dengan menempatkannya dalam bentuk pecahan.

Jadi a 3 b 2 dibagi b 2 adalah 3 .

Atau:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Menulis 5 dibagi dengan 3 terlihat seperti $\frac(a^5)(a^3)$. Tapi ini sama dengan 2 . Dalam deretan angka
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
angka apa pun dapat dibagi dengan yang lain, dan eksponennya akan sama dengan perbedaan indikator bilangan yang dapat dibagi.

Saat membagi kekuatan dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi..

Jadi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Yaitu, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Dan a n+1:a = a n+1-1 = a n . Yaitu, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Atau:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

Aturan ini juga berlaku untuk angka dengan negatif nilai derajat.
Hasil pembagian a -5 dengan a -3 adalah a -2 .
Juga, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 atau $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Perkalian dan pembagian pangkat perlu dikuasai dengan sangat baik, karena operasi semacam itu sangat banyak digunakan dalam aljabar.

Contoh soal contoh soal pecahan yang mengandung bilangan berpangkat

1. Kurangi eksponen dalam $\frac(5a^4)(3a^2)$ Jawaban: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Kurangi eksponen dalam $\frac(6x^6)(3x^5)$. Jawaban: $\frac(2x)(1)$ atau 2x.

3. Kurangi eksponen a 2 / a 3 dan a -3 / a -4 dan jadikan penyebut yang sama.
a 2 .a -4 adalah -2 pembilang pertama.
a 3 .a -3 adalah 0 = 1, pembilang kedua.
a 3 .a -4 adalah a -1 , pembilang umum.
Setelah penyederhanaan: a -2 /a -1 dan 1/a -1 .

4. Kurangi eksponen 2a 4 /5a 3 dan 2 /a 4 dan jadikan penyebut yang sama.
Jawab: 2a 3 / 5a 7 dan 5a 5 / 5a 7 atau 2a 3 / 5a 2 dan 5/5a 2.

5. Kalikan (a 3 + b)/b 4 dengan (a - b)/3.

6. Kalikan (a 5 + 1)/x 2 dengan (b 2 - 1)/(x + a).

7. Kalikan b 4 /a -2 dengan h -3 /x dan a n /y -3 .

8. Bagilah 4 /y 3 dengan 3 /y 2 . Jawaban: a/y.

9. Bagi (h 3 - 1)/h 4 dengan (d n + 1)/h.

Tingkat pertama

Gelar dan sifat-sifatnya. Panduan komprehensif (2019)

Mengapa gelar diperlukan? Di mana Anda membutuhkannya? Mengapa Anda perlu meluangkan waktu untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari semua tentang gelar, untuk apa gelar itu, bagaimana menggunakan pengetahuan Anda Kehidupan sehari-hari baca artikel ini.

Dan, tentu saja, mengetahui derajat akan membawa Anda lebih dekat pengiriman sukses OGE atau GUNAKAN dan untuk memasuki universitas impian Anda.

Ayo ayo!)

Catatan penting! Jika alih-alih formula Anda melihat omong kosong, kosongkan cache Anda. Untuk melakukannya, tekan CTRL+F5 (di Windows) atau Cmd+R (di Mac).

TINGKAT PERTAMA

Perpangkatan adalah operasi matematika yang sama dengan penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.

Sekarang saya akan menjelaskan semuanya dalam bahasa manusia dengan sangat contoh sederhana. Hati-hati. Contohnya sederhana, tetapi jelaskan hal-hal penting.

Mari kita mulai dengan tambahan.

Tidak ada yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segalanya: kami ada delapan orang. Masing-masing memiliki dua botol cola. Berapa banyak cola? Benar - 16 botol.

Sekarang perkalian.

Contoh yang sama dengan cola dapat ditulis dengan cara yang berbeda: . Matematikawan adalah orang yang licik dan malas. Mereka pertama-tama memperhatikan beberapa pola, dan kemudian menemukan cara untuk "menghitungnya" lebih cepat. Dalam kasus kami, mereka memperhatikan bahwa masing-masing dari delapan orang memiliki jumlah botol cola yang sama dan menghasilkan teknik yang disebut perkalian. Setuju, itu dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk menghitung lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesalahan, Anda hanya perlu mengingatnya tabel perkalian. Tentu saja, Anda dapat melakukan semuanya dengan lebih lambat, lebih keras, dan dengan kesalahan! Tetapi…

Ini tabel perkaliannya. Mengulang.

Dan satu lagi, lebih cantik:

Dan trik menghitung rumit apa lagi yang dibuat oleh matematikawan malas? Benar - menaikkan angka menjadi kekuatan.

Meningkatkan angka menjadi kekuatan

Jika Anda perlu mengalikan suatu bilangan dengan dirinya sendiri sebanyak lima kali, ahli matematika mengatakan bahwa Anda perlu menaikkan bilangan ini menjadi pangkat lima. Misalnya, . Matematikawan ingat bahwa pangkat dua sampai kelima adalah. Dan mereka memecahkan masalah seperti itu dalam pikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah, dan tanpa kesalahan.

Untuk melakukan ini, Anda hanya perlu ingat apa yang disorot dengan warna di tabel kekuatan angka. Percayalah, itu akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah.

Ngomong-ngomong, kenapa disebut derajat kedua persegi angka, dan ketiga kubus? Apa artinya? Sangat Pertanyaan bagus. Sekarang Anda akan memiliki kotak dan kubus.

Contoh kehidupan nyata #1

Mari kita mulai dengan kuadrat atau pangkat dua dari sebuah angka.

Bayangkan sebuah kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam renang ada di halaman belakang Anda. Panas dan saya sangat ingin berenang. Tapi ... kolam tanpa dasar! Bagian bawah kolam harus ditutup dengan ubin. Berapa banyak ubin yang Anda butuhkan? Untuk menentukannya, Anda perlu mengetahui luas dasar kolam.

Anda cukup menghitung dengan menusuk jari Anda bahwa dasar kolam terdiri dari kubus meter demi meter. Jika ubin Anda meter demi meter, Anda akan membutuhkan potongan. Mudah... Tapi di mana Anda melihat ubin seperti itu? Ubinnya akan berukuran cm demi cm, dan kemudian Anda akan tersiksa dengan “menghitung dengan jari Anda”. Maka Anda harus memperbanyak. Jadi, di satu sisi dasar kolam, kita akan memasang ubin (potongan) dan di sisi lain juga ubin. Mengalikan dengan, Anda mendapatkan ubin ().

Apakah Anda memperhatikan bahwa kami mengalikan angka yang sama dengan angka itu sendiri untuk menentukan luas dasar kolam? Apa artinya? Karena bilangan yang sama dikalikan, kita dapat menggunakan teknik eksponensial. (Tentu saja, ketika Anda hanya memiliki dua angka, Anda masih perlu mengalikannya atau menaikkannya menjadi pangkat. Tetapi jika Anda memiliki banyak angka, menaikkannya menjadi pangkat jauh lebih mudah dan kesalahan perhitungannya juga lebih sedikit . Untuk ujian, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh derajat kedua adalah (). Atau Anda dapat mengatakan bahwa tiga puluh kuadrat akan menjadi. Dengan kata lain, pangkat dua suatu bilangan selalu dapat direpresentasikan sebagai kuadrat. Dan sebaliknya, jika Anda melihat kotak, itu SELALU pangkat dua dari suatu angka. Persegi adalah gambar pangkat dua suatu bilangan.

Contoh kehidupan nyata #2

Ini tugas untuk Anda, hitung berapa kotak yang ada di papan catur menggunakan kuadrat dari angka ... Di satu sisi sel dan di sisi lain juga. Untuk menghitung jumlahnya, Anda perlu mengalikan delapan dengan delapan, atau ... jika Anda memperhatikan bahwa papan catur adalah bujur sangkar dengan satu sisi, maka Anda dapat menguadratkan delapan. Dapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan nyata #3

Sekarang kubus atau kekuatan ketiga dari sebuah angka. Kolam yang sama. Tapi sekarang Anda perlu mencari tahu berapa banyak air yang harus dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu menghitung volumenya. (Omong-omong, volume dan cairan diukur dalam meter kubik. Tidak terduga, bukan?) Gambarlah kolam: dasar berukuran satu meter dan kedalaman satu meter dan coba hitung berapa banyak kubus berukuran satu meter kali satu meter yang akan masuk ke kolam.

Cukup tunjuk jari Anda dan hitung! Satu, dua, tiga, empat… dua puluh dua, dua puluh tiga… Berapa hasilnya? Tidak tersesat? Apakah sulit untuk menghitung dengan jari Anda? Sehingga! Ambil contoh dari matematikawan. Mereka malas, jadi mereka memperhatikan bahwa untuk menghitung volume kolam, Anda perlu mengalikan panjang, lebar, dan tingginya satu sama lain. Dalam kasus kami, volume kolam akan sama dengan kubus ... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan liciknya matematikawan jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangi semuanya menjadi satu tindakan. Mereka memperhatikan bahwa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan angka yang sama dikalikan dengan dirinya sendiri ... Dan apa artinya ini? Ini berarti Anda dapat menggunakan gelar tersebut. Jadi, apa yang pernah Anda hitung dengan satu jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus sama. Itu tertulis seperti ini:

Hanya tersisa menghafal tabel derajat. Kecuali, tentu saja, Anda malas dan licik seperti ahli matematika. Jika Anda suka bekerja keras dan membuat kesalahan, Anda bisa terus menghitung dengan jari Anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan Anda bahwa gelar diciptakan oleh pemalas dan orang licik untuk menyelesaikannya masalah hidup, dan bukan untuk membuat masalah bagi Anda, berikut adalah beberapa contoh lagi dari kehidupan.

Contoh kehidupan nyata #4

Anda memiliki satu juta rubel. Di awal setiap tahun, Anda mendapatkan satu juta lagi untuk setiap satu juta. Artinya, setiap juta Anda di awal setiap tahun berlipat ganda. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam beberapa tahun? Jika Anda sekarang duduk dan "menghitung dengan jari", maka Anda adalah orang yang sangat pekerja keras dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar Anda akan memberikan jawaban dalam beberapa detik, karena Anda pintar! Jadi, di tahun pertama - dua kali dua ... di tahun kedua - apa yang terjadi, dua kali lagi, di tahun ketiga ... Berhenti! Anda perhatikan bahwa angka tersebut dikalikan dengan sendirinya satu kali. Jadi dua pangkat lima adalah sejuta! Sekarang bayangkan Anda memiliki kompetisi dan orang yang menghitung lebih cepat akan mendapatkan jutaan ini ... Apakah perlu mengingat derajat angka, bagaimana menurut Anda?

Contoh kehidupan nyata #5

Anda memiliki satu juta. Di awal setiap tahun, Anda mendapat dua lagi untuk setiap satu juta. Ini bagus kan? Setiap juta dikalikan tiga kali lipat. Berapa banyak uang yang akan Anda miliki dalam setahun? Mari berhitung. Tahun pertama - kalikan dengan, lalu hasilnya dengan yang lain ... Ini sudah membosankan, karena Anda sudah mengerti segalanya: tiga kali dikalikan dengan sendirinya. Jadi kekuatan keempat adalah satu juta. Anda hanya perlu mengingat bahwa pangkat tiga pangkat empat adalah atau.

Sekarang Anda tahu bahwa dengan menaikkan angka menjadi kekuatan, Anda akan membuat hidup Anda jauh lebih mudah. Mari kita lihat lebih jauh apa yang dapat Anda lakukan dengan gelar dan apa yang perlu Anda ketahui tentangnya.

Istilah dan konsep...agar tidak bingung

Jadi, pertama, mari kita definisikan konsepnya. Bagaimana menurutmu, apa itu eksponen? Ini sangat sederhana - ini adalah angka yang "di atas" dari kekuatan angka tersebut. Tidak ilmiah, tapi jelas dan mudah diingat ...

Nah, pada saat yang sama, apa dasar gelar seperti itu? Yang lebih sederhana adalah angka yang ada di bawah, di dasar.

Ini gambarnya agar Anda yakin.

Baik dan masuk pandangan umum untuk menggeneralisasi dan mengingat dengan lebih baik ... Gelar dengan basis "" dan eksponen "" dibaca sebagai "hingga derajat" dan ditulis sebagai berikut:

Kekuatan angka dengan indikator alami

Anda mungkin sudah menebak: karena eksponennya adalah bilangan asli. Ya, tapi apa bilangan asli? Dasar! Bilangan asli adalah bilangan yang digunakan dalam penghitungan saat mencantumkan item: satu, dua, tiga ... Saat kami menghitung item, kami tidak mengatakan: "minus lima", "minus enam", "minus tujuh". Kami juga tidak mengatakan "sepertiga" atau "nol koma lima per sepuluh". Ini bukan bilangan asli. Menurut Anda apa angka-angka ini?

Nomor seperti "minus lima", "minus enam", "minus tujuh" mengacu pada bilangan bulat. Secara umum, bilangan bulat mencakup semua bilangan asli, bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli (yaitu, diambil dengan tanda minus), dan bilangan. Nol mudah dipahami - ini adalah saat tidak ada apa-apa. Dan apa arti angka negatif ("minus")? Tetapi mereka diciptakan terutama untuk menunjukkan hutang: jika Anda memiliki saldo di ponsel Anda dalam rubel, ini berarti Anda berutang rubel kepada operator.

Semua pecahan adalah bilangan rasional. Bagaimana mereka muncul, menurut Anda? Sangat sederhana. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita menemukan bahwa mereka tidak memiliki bilangan asli yang cukup untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan angka rasional… Menarik, bukan?

Ada juga bilangan irasional. Apa angka-angka ini? Singkatnya, pecahan desimal tak terbatas. Misalnya, jika Anda membagi keliling lingkaran dengan diameternya, Anda mendapatkan bilangan irasional.

Ringkasan:

Mari kita definisikan konsep derajat, yang eksponennya adalah bilangan asli (yaitu, bilangan bulat dan positif).

1. Setiap angka pangkat pertama sama dengan dirinya sendiri:
2. Menguadratkan suatu bilangan berarti mengalikannya dengan bilangan itu sendiri:
3. Mengkubus suatu bilangan adalah mengalikannya dengan bilangan itu sendiri sebanyak tiga kali:

Definisi. Menaikkan bilangan menjadi pangkat alami berarti mengalikan bilangan dengan bilangan itu sendiri dikalikan:
.

Sifat derajat

Dari mana sifat-sifat ini berasal? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari kita lihat apa itu Dan ?

A-priori:

Berapa banyak pengganda yang ada secara total?

Ini sangat sederhana: kami menambahkan faktor ke faktor, dan hasilnya adalah faktor.

Tetapi menurut definisi, ini adalah derajat suatu bilangan dengan eksponen, yaitu: , yang harus dibuktikan.

Contoh: Menyederhanakan ekspresi.

Larutan:

Contoh: Sederhanakan ekspresi.

Larutan: Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami Perlu pasti sama alasannya!
Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:

hanya untuk produk kekuatan!

Dalam situasi apa pun Anda tidak boleh menulis itu.

2. itu -th kekuatan nomor

Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Ternyata ungkapan tersebut dikalikan dengan sendirinya satu kali, yaitu menurut definisinya, ini adalah pangkat ke-th dari angka tersebut:

Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing the indicator". Tetapi Anda tidak pernah dapat melakukan ini secara total:

Mari kita ingat kembali rumus perkalian singkat: berapa kali kita ingin menulis?

Tapi itu tidak benar, sungguh.

Gelar dengan basis negatif

Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya menjadi eksponen.

Tapi apa yang harus menjadi dasar?

Dalam derajat dari indikator alami dasar mungkin nomor apapun. Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap.

Mari kita pikirkan tentang tanda apa (" " atau "") yang memiliki derajat angka positif dan negatif?

Misalnya, apakah angkanya positif atau negatif? A? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak bilangan positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagipula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai tambah." Yaitu, atau. Tapi kalau kita kalikan dengan, ternyata.

Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki ekspresi berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Apakah Anda berhasil?

Inilah jawabannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram kelihatannya: tidak masalah berapa basisnya sama - derajatnya genap, yang artinya hasilnya akan selalu positif.

Ya, kecuali jika basisnya nol. Basisnya tidak sama, bukan? Jelas tidak, sejak (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu!

6 contoh latihan

Analisis solusi 6 contoh

Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Inilah rumus perkalian yang disingkat yaitu selisih kuadrat! Kita mendapatkan:

Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tetapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika mereka ditukar, aturan itu bisa berlaku.

Tapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: derajat penyebut yang genap membantu kita di sini.

Istilah-istilah itu secara ajaib mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada waktu yang sama!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

utuh kami memberi nama bilangan asli, kebalikannya (yaitu, diambil dengan tanda "") dan nomornya.

bilangan bulat positif, dan tidak ada bedanya dengan natural, maka semuanya terlihat persis seperti di bagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kasus baru. Mari kita mulai dengan indikator yang sama dengan.

Setiap angka dengan pangkat nol sama dengan satu:

Seperti biasa, kami bertanya pada diri sendiri: mengapa demikian?

Pertimbangkan beberapa kekuatan dengan basis. Ambil, misalnya, dan kalikan dengan:

Jadi, kami mengalikan angkanya dengan, dan hasilnya sama dengan -. Angka berapa yang harus dikalikan agar tidak ada yang berubah? Benar, terus. Cara.

Kita dapat melakukan hal yang sama dengan nomor arbitrer:

Mari ulangi aturannya:

Setiap angka dengan pangkat nol sama dengan satu.

Tetapi ada pengecualian untuk banyak aturan. Dan di sini juga ada - ini adalah angka (sebagai basis).

Di satu sisi, itu harus sama dengan derajat apa pun - tidak peduli berapa banyak Anda mengalikan nol dengan dirinya sendiri, Anda tetap mendapatkan nol, ini jelas. Tetapi di sisi lain, seperti angka nol derajat apa pun, itu harus sama. Jadi apa kebenarannya? Matematikawan memutuskan untuk tidak terlibat dan menolak untuk menaikkan nol ke pangkat nol. Artinya, sekarang kita tidak hanya dapat membagi dengan nol, tetapi juga menaikkannya menjadi pangkat nol.

Mari melangkah lebih jauh. Selain bilangan asli dan bilangan bulat, bilangan bulat termasuk bilangan negatif. Untuk memahami apa itu derajat negatif, mari lakukan hal yang sama seperti sebelumnya: kita mengalikan beberapa bilangan normal dengan yang sama dalam derajat negatif:

Dari sini sudah mudah untuk mengungkapkan yang diinginkan:

Sekarang kami memperluas aturan yang dihasilkan ke tingkat yang sewenang-wenang:

Jadi, mari kita rumuskan aturannya:

Bilangan pangkat negatif adalah kebalikan dari bilangan yang sama pangkat positif. Tapi diwaktu yang sama basis tidak boleh nol:(karena tidak mungkin dibagi).

Mari kita rangkum:

I. Ekspresi tidak didefinisikan dalam kasus. Jika kemudian.

II. Setiap angka pangkat nol sama dengan satu: .

AKU AKU AKU. Bilangan yang tidak sama dengan nol pangkat negatif adalah kebalikan dari bilangan yang sama pangkat positif: .

Tugas untuk solusi independen:

Nah, seperti biasa, contoh untuk solusi independen:

Analisis tugas untuk solusi independen:

Saya tahu, saya tahu, angkanya menakutkan, tetapi pada ujian Anda harus siap untuk apa saja! Pecahkan contoh-contoh ini atau analisis solusinya jika Anda tidak dapat menyelesaikannya dan Anda akan belajar cara mengatasinya dengan mudah dalam ujian!

Mari terus kembangkan lingkaran angka "cocok" sebagai eksponen.

Sekarang pertimbangkan angka rasional. Bilangan apa yang disebut rasional?

Jawab: semua itu dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat, terlebih lagi.

Untuk memahami apa itu "derajat pecahan" Mari pertimbangkan pecahan:

Mari kita naikkan kedua sisi persamaan menjadi pangkat:

Sekarang ingat aturannya "derajat ke derajat":

Angka berapa yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan?

Rumusan ini adalah definisi dari akar derajat th.

Izinkan saya mengingatkan Anda: akar dari pangkat ke suatu angka () adalah angka yang, jika dipangkatkan, sama.

Artinya, akar derajat th adalah operasi kebalikan dari eksponensial: .

Ternyata itu. Jelas ini kasus spesial dapat diperpanjang: .

Sekarang tambahkan pembilangnya: apa itu? Jawabannya mudah didapat dengan aturan power-to-power:

Tetapi bisakah basisnya berupa angka apa pun? Lagi pula, root tidak dapat diekstraksi dari semua angka.

Tidak ada!

Ingat aturannya: angka apa pun yang dipangkatkan genap adalah angka positif. Artinya, tidak mungkin mengekstraksi akar derajat genap dari bilangan negatif!

Dan ini berarti bahwa bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dipangkatkan menjadi pecahan dengan penyebut genap, artinya, ungkapan tersebut tidak masuk akal.

Bagaimana dengan ekspresi?

Tapi di sini muncul masalah.

Angka tersebut dapat direpresentasikan sebagai pecahan lain yang dikurangi, misalnya, atau.

Dan ternyata itu ada, tapi tidak ada, dan ini hanyalah dua record berbeda dengan nomor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, baru bisa ditulis. Tetapi segera setelah kami menulis indikator dengan cara yang berbeda, kami mendapat masalah lagi: (yaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeda!).

Untuk menghindari paradoks seperti itu, pertimbangkan hanya eksponen basis positif dengan eksponen pecahan.

Jadi jika:

• - bilangan asli;
• adalah bilangan bulat;

Contoh:

Pangkat dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mengubah ekspresi dengan akar, misalnya:

5 contoh latihan

Analisis 5 contoh untuk pelatihan

Nah, sekarang - yang paling sulit. Sekarang kita akan menganalisis derajat dengan eksponen irasional.

Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, kecuali

Memang, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan adalah bilangan bulat (yaitu, bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab.

Misalnya, eksponen natural adalah bilangan yang dikalikan dengan bilangan itu sendiri beberapa kali;

...daya nol- ini, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri sekali, yaitu, belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri bahkan belum muncul - oleh karena itu hasilnya hanya "bilangan kosong" tertentu , yaitu jumlah;

...eksponen bilangan bulat negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, jumlahnya tidak dikalikan dengan sendirinya, tetapi dibagi.

Ngomong-ngomong, sains sering menggunakan gelar dengan eksponen kompleks, yaitu eksponen bahkan bukan bilangan real.

Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu, Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

DI MANA KAMI YAKIN ANDA AKAN PERGI! (jika Anda belajar bagaimana menyelesaikan contoh seperti itu :))

Misalnya:

Putuskan sendiri:

Analisis solusi:

1. Mari kita mulai dengan aturan biasa untuk menaikkan gelar ke gelar:

Sekarang lihat skornya. Apakah dia mengingatkan Anda pada sesuatu? Kami mengingat rumus perkalian singkat dari selisih kuadrat:

Pada kasus ini,

Ternyata:

Menjawab: .

2. Kami membawa pecahan dalam eksponen ke bentuk yang sama: baik desimal atau keduanya biasa. Kami mendapatkan, misalnya:

Jawaban: 16

3. Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan sifat derajat yang biasa:

TINGKAT LANJUT

Definisi gelar

Derajat adalah ekspresi dari bentuk: , di mana:

• — dasar gelar;
• - eksponen.

Gelar dengan eksponen alami (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan angka ke kekuatan alami n berarti mengalikan angka dengan kali itu sendiri:

Pangkat dengan eksponen bilangan bulat (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponen adalah bilangan bulat positif nomor:

pemasangan ke nol daya:

Ungkapannya tidak pasti, karena, di satu sisi, ini adalah derajat apa pun, dan di sisi lain, bilangan apa pun hingga derajat th adalah ini.

Jika eksponen adalah bilangan bulat negatif nomor:

(karena tidak mungkin dibagi).

Sekali lagi tentang nol: ekspresi tidak ditentukan dalam kasus ini. Jika kemudian.

Contoh:

Gelar dengan eksponen rasional

• - bilangan asli;
• adalah bilangan bulat;

Contoh:

Sifat derajat

Agar lebih mudah menyelesaikan soal, mari kita coba pahami: dari mana asalnya properti ini? Mari kita buktikan.

Mari kita lihat: apa itu dan?

A-priori:

Jadi, di sisi kanan ungkapan ini, produk berikut diperoleh:

Tapi menurut definisi, ini adalah kekuatan angka dengan eksponen, yaitu:

Q.E.D.

Contoh : Menyederhanakan ekspresi.

Larutan : .

Contoh : Menyederhanakan ekspresi.

Larutan : Penting untuk dicatat bahwa dalam aturan kami Perlu harus memiliki dasar yang sama. Oleh karena itu, kami menggabungkan derajat dengan basis, tetapi tetap menjadi faktor terpisah:

Catatan penting lainnya: aturan ini - hanya untuk produk kekuasaan!

Dalam situasi apa pun saya tidak boleh menulis itu.

Sama seperti properti sebelumnya, mari kita beralih ke definisi derajat:

Mari kita atur ulang seperti ini:

Ternyata ekspresi tersebut dikalikan dengan sendirinya satu kali, yaitu menurut definisi, ini adalah pangkat -th dari angka tersebut:

Sebenarnya, ini bisa disebut "bracketing the indicator". Tapi Anda tidak pernah bisa melakukan ini secara total :!

Mari kita ingat kembali rumus perkalian singkat: berapa kali kita ingin menulis? Tapi itu tidak benar, sungguh.

Kekuasaan dengan basis negatif.

Sampai saat ini, kita hanya membahas apa yang seharusnya indeks derajat. Tapi apa yang harus menjadi dasar? Dalam derajat dari alami indikator dasar mungkin nomor apapun .

Memang, kita dapat mengalikan angka apa pun dengan satu sama lain, apakah itu positif, negatif, atau genap. Mari kita pikirkan tentang tanda apa (" " atau "") yang memiliki derajat angka positif dan negatif?

Misalnya, apakah angkanya positif atau negatif? A? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak peduli berapa banyak bilangan positif yang kita kalikan satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagipula, kita ingat aturan sederhana dari kelas 6: "minus dikalikan minus memberi nilai tambah." Yaitu, atau. Tetapi jika kita kalikan dengan (), kita mendapatkan -.

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap perkalian berikutnya, tandanya akan berubah. Anda dapat merumuskan aturan sederhana ini:

1. bahkan derajat, - angka positif.
2. Bilangan negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - angka negatif.
3. nomor positif pangkat apapun adalah bilangan positif.
4. Nol ke daya apa pun sama dengan nol.

Tentukan sendiri tanda apa yang akan dimiliki ekspresi berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Apakah Anda berhasil? Inilah jawabannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat basis dan eksponen, dan menerapkan aturan yang sesuai.

Dalam contoh 5), semuanya juga tidak seseram kelihatannya: tidak masalah berapa basisnya sama - derajatnya genap, yang artinya hasilnya akan selalu positif. Ya, kecuali jika basisnya nol. Basisnya tidak sama, bukan? Jelas tidak, sejak (karena).

Contoh 6) tidak lagi sesederhana itu. Di sini Anda perlu mencari tahu mana yang lebih kecil: atau? Jika Anda mengingatnya, menjadi jelas bahwa, yang berarti basisnya kurang dari nol. Artinya, kami menerapkan aturan 2: hasilnya negatif.

Dan lagi kami menggunakan definisi derajat:

Semuanya seperti biasa - kami menuliskan definisi derajat dan membaginya satu sama lain, membaginya menjadi pasangan dan mendapatkan:

Sebelum dibongkar aturan terakhir Mari kita lihat beberapa contoh.

Hitung nilai ekspresi:

Solusi :

Jika kita tidak memperhatikan derajat kedelapan, apa yang kita lihat di sini? Mari kita lihat program kelas 7. Jadi, ingat? Inilah rumus perkalian yang disingkat yaitu selisih kuadrat!

Kita mendapatkan:

Kami dengan hati-hati melihat penyebutnya. Ini sangat mirip dengan salah satu faktor pembilang, tetapi apa yang salah? Urutan istilah yang salah. Jika dibalik, aturan 3 bisa diterapkan. Tapi bagaimana melakukannya? Ternyata sangat mudah: derajat penyebut yang genap membantu kita di sini.

Jika Anda mengalikannya dengan, tidak ada yang berubah, bukan? Tapi sekarang terlihat seperti ini:

Istilah-istilah itu secara ajaib mengubah tempat. "Fenomena" ini berlaku untuk ekspresi apa pun hingga tingkat genap: kita dapat dengan bebas mengubah tanda dalam tanda kurung. Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada saat bersamaan! Itu tidak dapat diganti dengan hanya mengubah satu minus yang tidak menyenangkan bagi kita!

Mari kita kembali ke contoh:

Dan lagi rumusnya:

Jadi sekarang aturan terakhir:

Bagaimana kita akan membuktikannya? Tentu saja, seperti biasa: mari kita perluas konsep derajat dan sederhanakan:

Nah, sekarang mari kita buka tanda kurung. Berapa banyak huruf yang akan ada? dikalikan dengan pengganda - seperti apa bentuknya? Ini tidak lain adalah definisi operasi perkalian: total ternyata ada pengganda. Artinya, menurut definisi, kekuatan angka dengan eksponen:

Contoh:

Gelar dengan eksponen irasional

Selain informasi tentang derajat untuk tingkat rata-rata, kami akan menganalisis derajat dengan indikator irasional. Semua aturan dan sifat derajat di sini persis sama dengan derajat dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipula, menurut definisi, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan, di mana dan merupakan bilangan bulat (yaitu , bilangan irasional adalah semua bilangan real kecuali bilangan rasional).

Saat mempelajari derajat dengan indikator alami, bilangan bulat, dan rasional, setiap kali kami membuat "gambar", "analogi", atau deskripsi tertentu dalam istilah yang lebih akrab. Misalnya, eksponen natural adalah bilangan yang dikalikan dengan bilangan itu sendiri beberapa kali; angka ke derajat nol adalah, seolah-olah, angka yang dikalikan dengan dirinya sendiri satu kali, yaitu, belum mulai dikalikan, yang berarti bahwa angka itu sendiri belum muncul - oleh karena itu, hasilnya hanya a “penyusunan angka” tertentu, yaitu angka; derajat dengan indikator negatif bilangan bulat - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah terjadi, yaitu, angka tersebut tidak dikalikan dengan sendirinya, tetapi dibagi.

Sangat sulit untuk membayangkan gelar dengan eksponen irasional (sama seperti sulit membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, itu adalah objek matematika murni yang dibuat oleh matematikawan untuk memperluas konsep gelar ke seluruh ruang angka.

Ngomong-ngomong, sains sering menggunakan gelar dengan eksponen kompleks, yaitu eksponen bahkan bukan bilangan real. Tetapi di sekolah kami tidak memikirkan kesulitan seperti itu, Anda akan memiliki kesempatan untuk memahami konsep-konsep baru ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat eksponen irasional? Kami mencoba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Misalnya:

Putuskan sendiri:

1)

2)

3)

Jawaban:

1. Ingat rumus selisih kuadrat. Menjawab: .
2. Kami membawa pecahan ke bentuk yang sama: baik desimal, atau keduanya biasa. Kami mendapatkan, misalnya: .
3. Tidak ada yang istimewa, kami menerapkan properti derajat yang biasa:

RINGKASAN BAGIAN DAN RUMUS DASAR

Derajat disebut ekspresi bentuk: , di mana:

Gelar dengan eksponen bilangan bulat

derajat, eksponennya adalah bilangan asli (yaitu bilangan bulat dan positif).

Gelar dengan eksponen rasional

derajat, indikatornya adalah bilangan negatif dan pecahan.

Gelar dengan eksponen irasional

eksponen yang eksponennya merupakan pecahan atau akar desimal tak terhingga.

Sifat derajat

Fitur derajat.

• Bilangan negatif dinaikkan menjadi bahkan derajat, - angka positif.
• Bilangan negatif dinaikkan menjadi aneh derajat, - angka negatif.
• Bilangan positif pangkat berapa pun adalah bilangan positif.
• Nol sama dengan kekuatan apa pun.
• Angka apa pun dengan pangkat nol sama.

SEKARANG ANDA PUNYA KATA...

Bagaimana Anda menyukai artikel itu? Beri tahu saya di komentar di bawah jika Anda menyukainya atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman Anda dengan properti daya.

Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.

Tulis di komentar.

Dan semoga sukses dengan ujianmu!

Eksponen digunakan untuk memudahkan penulisan operasi perkalian suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri. Misalnya, alih-alih menulis, Anda bisa menulis 4 5 (\displaystyle 4^(5))(penjelasan tentang transisi semacam itu diberikan di bagian pertama artikel ini). Kekuatan memudahkan untuk menulis ekspresi atau persamaan yang panjang atau kompleks; juga, kekuatan mudah ditambahkan dan dikurangi, menghasilkan penyederhanaan ekspresi atau persamaan (misalnya, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Catatan: jika Anda perlu menyelesaikan persamaan eksponensial (dalam persamaan seperti itu, yang tidak diketahui ada di eksponen), baca.

Langkah

Memecahkan masalah sederhana dengan kekuatan

Kalikan basis eksponen dengan dirinya sendiri beberapa kali sama dengan eksponen. Jika Anda perlu menyelesaikan soal eksponen secara manual, tulis ulang eksponen sebagai operasi perkalian, di mana basis eksponen dikalikan dengan dirinya sendiri. Misalnya diberi gelar 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Dalam hal ini, basis derajat 3 harus dikalikan dengan dirinya sendiri sebanyak 4 kali: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Berikut adalah contoh lainnya:

Pertama, gandakan dua angka pertama. Misalnya, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Jangan khawatir - proses perhitungannya tidak serumit kelihatannya pada pandangan pertama. Pertama gandakan dua kali lipat pertama, lalu ganti dengan hasilnya. Seperti ini:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Kalikan hasilnya (16 dalam contoh kita) dengan angka berikutnya. Setiap hasil selanjutnya akan meningkat secara proporsional. Dalam contoh kita, kalikan 16 dengan 4. Seperti ini:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Teruslah mengalikan hasil perkalian dua angka pertama dengan angka berikutnya hingga Anda mendapatkan jawaban akhir. Untuk melakukan ini, kalikan dua angka pertama, lalu kalikan hasilnya dengan angka berikutnya dalam deret. Metode ini berlaku untuk semua gelar. Dalam contoh kami, Anda harus mendapatkan: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Selesaikan soal-soal berikut. Periksa jawaban Anda dengan kalkulator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Di kalkulator, cari kunci berlabel "exp", atau " x n (\displaystyle x^(n))", atau "^". Dengan kunci ini Anda akan menaikkan angka menjadi kekuatan. Secara praktis tidak mungkin menghitung derajat secara manual dengan eksponen besar (misalnya, derajat 9 15 (\displaystyle 9^(15))), tetapi kalkulator dapat dengan mudah mengatasi tugas ini. Di Windows 7, kalkulator standar dapat dialihkan ke mode teknik; untuk melakukan ini, klik "Lihat" -\u003e "Teknik". Untuk beralih ke mode normal, klik "Lihat" -\u003e "Normal".

   • Periksa jawaban yang diterima menggunakan mesin pencari (Google atau Yandex). Dengan menggunakan tombol "^" pada keyboard komputer, masukkan ekspresi ke dalam mesin pencari, yang akan langsung menampilkan jawaban yang benar (dan mungkin menyarankan ekspresi serupa untuk dipelajari).

   Penjumlahan, pengurangan, perkalian pangkat

   1. Anda dapat menambah dan mengurangi kekuatan hanya jika mereka memiliki basis yang sama. Jika Anda perlu menjumlahkan pangkat dengan basis dan eksponen yang sama, Anda dapat mengganti operasi penjumlahan dengan operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ingat bahwa gelar 4 5 (\displaystyle 4^(5)) dapat direpresentasikan sebagai 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); Dengan demikian, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(di mana 1 +1 = 2). Artinya, hitung jumlah derajat yang serupa, lalu gandakan derajat tersebut dan angka ini. Dalam contoh kita, naikkan 4 pangkat lima, lalu kalikan hasilnya dengan 2. Ingatlah bahwa operasi penjumlahan dapat diganti dengan operasi perkalian, misalnya, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Berikut adalah contoh lainnya:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya ditambahkan (basis tidak berubah). Misalnya, diberikan ekspresi x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Dalam hal ini, Anda hanya perlu menambahkan indikator, membiarkan basisnya tidak berubah. Dengan demikian, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Berikut adalah penjelasan visual dari aturan ini:

      Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, eksponen dikalikan. Misalnya diberi gelar. Karena eksponen dikalikan, maka (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Arti dari aturan ini adalah Anda melipatgandakan kekuatan (x 2) (\displaystyle (x^(2))) sendiri sebanyak lima kali. Seperti ini:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Karena basisnya sama, eksponennya dijumlahkan saja: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Eksponen dengan eksponen negatif harus diubah menjadi pecahan (pangkat terbalik). Tidak masalah jika Anda tidak tahu apa itu timbal balik. Jika Anda diberi gelar dengan eksponen negatif, misalnya, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), tulis pangkat ini di penyebut pecahan (masukkan 1 di pembilangnya), dan jadikan eksponennya positif. Dalam contoh kami: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Berikut adalah contoh lainnya:

      Saat membagi kekuatan dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi (basis tidak berubah). Operasi pembagian merupakan kebalikan dari operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Kurangi eksponen di penyebut dari eksponen di pembilang (jangan ubah basis). Dengan demikian, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Derajat penyebut dapat ditulis sebagai berikut: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ingatlah bahwa pecahan adalah angka (pangkat, ekspresi) dengan eksponen negatif.

   4. Di bawah ini adalah beberapa ungkapan untuk membantu Anda mempelajari cara mengatasi masalah daya. Ungkapan di atas mencakup materi yang disajikan pada bagian ini. Untuk melihat jawabannya, sorot saja ruang kosong setelah tanda sama dengan.

   Memecahkan masalah dengan eksponen pecahan

   Gelar dengan eksponen pecahan (misalnya, ) diubah menjadi operasi ekstraksi akar. Dalam contoh kami: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Tidak masalah angka apa yang ada di penyebut eksponen pecahan. Misalnya, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) adalah akar keempat dari "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Jika eksponen adalah pecahan biasa, maka eksponen tersebut dapat didekomposisi menjadi dua pangkat untuk menyederhanakan penyelesaian soal. Tidak ada yang rumit tentang ini - ingat saja aturan untuk mengalikan kekuatan. Misalnya diberi gelar. Ubah eksponen tersebut menjadi akar yang eksponennya sama dengan penyebut eksponen pecahan, lalu naikkan akar tersebut menjadi eksponen yang sama dengan pembilang eksponen pecahan. Untuk melakukan ini, ingat itu 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Dalam contoh kami:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Beberapa kalkulator memiliki tombol untuk menghitung eksponen (pertama Anda harus memasukkan basis, lalu tekan tombol, lalu masukkan eksponen). Ini dilambangkan sebagai ^ atau x^y.
   3. Ingatlah bahwa angka apa pun sama dengan pangkat pertama, misalnya, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Selain itu, angka apa pun yang dikalikan atau dibagi satu sama dengan dirinya sendiri, misalnya, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) Dan 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Ketahuilah bahwa derajat 0 0 tidak ada (derajat seperti itu tidak memiliki penyelesaian). Saat Anda mencoba menyelesaikan gelar seperti itu di kalkulator atau di komputer, Anda akan mendapatkan kesalahan. Tapi ingat bahwa angka apa pun yang dipangkatkan nol sama dengan 1, misalnya, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Dalam matematika yang lebih tinggi, yang beroperasi dengan bilangan imajiner: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Di mana i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e adalah konstanta kira-kira sama dengan 2,7; a adalah konstanta arbitrer. Bukti persamaan ini dapat ditemukan di buku pelajaran mana pun tentang matematika yang lebih tinggi.

   Peringatan

   • Saat eksponen meningkat, nilainya sangat meningkat. Karena itu, jika jawabannya tampak salah bagi Anda, sebenarnya itu bisa jadi benar. Anda dapat memeriksanya dengan memplot apa saja Fungsi eksponensial, misalnya, 2 x .

Salah satu ciri utama dalam aljabar, dan memang dalam semua matematika, adalah gelar. Tentu saja, di abad ke-21, semua perhitungan dapat dilakukan dengan kalkulator online, tetapi lebih baik mempelajari cara melakukannya sendiri untuk perkembangan otak.

Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan masalah terpenting terkait definisi ini. Yaitu kita akan mengerti apa itu secara umum dan apa fungsi utamanya, sifat apa yang ada dalam matematika.

Mari kita lihat contoh seperti apa perhitungannya, apa saja rumus dasarnya. Kami akan menganalisis jenis besaran utama dan perbedaannya dari fungsi lain.

Kami akan memahami bagaimana menyelesaikan berbagai masalah menggunakan nilai ini. Kami akan menunjukkan dengan contoh cara menaikkan ke derajat nol, irasional, negatif, dll.

Kalkulator eksponensial online

Berapakah derajat suatu bilangan

Apa yang dimaksud dengan ungkapan "naikkan angka menjadi kekuatan"?

Derajat n dari suatu bilangan a adalah perkalian faktor-faktor yang besarnya a n kali berturut-turut.

Secara matematis terlihat seperti ini:

a n = a * a * a * … a n .

Misalnya:

• 2 3 = 2 pada langkah ketiga. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 langkah. dua = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 langkah. empat = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 10 dalam 5 langkah. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 10 dalam 4 langkah. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10.000.

Di bawah ini adalah tabel kotak dan kubus dari 1 sampai 10.

Tabel derajat dari 1 sampai 10

Di bawah ini adalah hasil dari bilangan asli pangkat positif - "dari 1 sampai 100".

Ch-lo	kelas 2	kelas 3
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Sifat derajat

Apa karakteristik dari fungsi matematika seperti itu? Mari kita lihat properti dasarnya.

Para ilmuwan telah menetapkan yang berikut ini tanda karakteristik dari semua derajat:

• a n * am = (a) (n+m) ;
• a n: am = (a) (n-m) ;
• (a b) m = (a) (b*m) .

Mari kita periksa dengan contoh:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Sebaliknya 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Demikian pula: 2 3: 2 2 = 8/4 = 2. Jika tidak, 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Bagaimana jika berbeda? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Seperti yang Anda lihat, aturannya berfungsi.

Tapi bagaimana menjadi dengan penjumlahan dan pengurangan? Semuanya sederhana. Pengangkatan pertama dilakukan, dan baru kemudian penambahan dan pengurangan.

Mari kita lihat contoh:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Tetapi dalam hal ini, Anda harus menghitung penjumlahan terlebih dahulu, karena ada tindakan dalam tanda kurung: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Bagaimana cara memproduksi komputasi lebih kasus yang sulit ? Urutannya sama:

• jika ada tanda kurung, Anda harus memulainya;
• kemudian eksponensial;
• kemudian melakukan operasi perkalian, pembagian;
• setelah penjumlahan, pengurangan.

Ada sifat khusus yang bukan karakteristik dari semua derajat:

1. Akar derajat ke-n dari bilangan a ke derajat m ditulis sebagai: a m / n .
2. Saat menaikkan pecahan menjadi pangkat: pembilang dan penyebutnya tunduk pada prosedur ini.
3. Saat menaikkan hasil kali dari angka yang berbeda ke pangkat, ekspresi akan sesuai dengan hasil kali angka ini dengan pangkat yang diberikan. Yaitu: (a * b) n = a n * b n .
4. Saat menaikkan angka ke pangkat negatif, Anda perlu membagi 1 dengan angka pada langkah yang sama, tetapi dengan tanda "+".
5. Jika penyebut pecahan memiliki pangkat negatif, maka ungkapan ini akan sama dengan hasil kali pembilang dan penyebut pangkat positif.
6. Angka apa pun dengan pangkat 0 = 1, dan ke langkah. 1 = untuk dirinya sendiri.

Aturan ini penting dalam kasus individu, kami akan mempertimbangkannya lebih detail di bawah.

Derajat dengan eksponen negatif

Apa yang harus dilakukan dengan derajat negatif, yaitu bila indikatornya negatif?

Berdasarkan sifat 4 dan 5(lihat poin di atas) ternyata:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Dan sebaliknya:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Bagaimana jika pecahan?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Gelar dengan indikator alami

Ini dipahami sebagai gelar dengan eksponen sama dengan bilangan bulat.

Hal-hal untuk diingat:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1… dst.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3… dst.

Juga, jika (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…maka hasilnya akan bertanda “+”. Jika bilangan negatif dipangkatkan ganjil, maka sebaliknya.

Properti umum dan semuanya fitur spesifik dijelaskan di atas juga karakteristik dari mereka.

Gelar pecahan

Pandangan ini dapat ditulis sebagai skema: A m / n. Dibaca sebagai: akar derajat ke-n dari bilangan A pangkat m.

Dengan indikator pecahan, Anda dapat melakukan apa saja: mengurangi, menguraikan menjadi beberapa bagian, menaikkan ke tingkat lain, dll.

Gelar dengan eksponen irasional

Biarkan α menjadi bilangan irasional dan А ˃ 0.

Untuk memahami esensi gelar dengan indikator seperti itu, Mari kita lihat kemungkinan kasus yang berbeda:

• A \u003d 1. Hasilnya akan sama dengan 1. Karena ada aksioma - 1 sama dengan satu di semua pangkat;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 adalah bilangan rasional;

• 0˂А˂1.

Dalam hal ini, sebaliknya: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 dalam kondisi yang sama seperti pada paragraf kedua.

Misalnya, eksponen adalah bilangan π. Itu rasional.

r 1 - dalam hal ini sama dengan 3;

r 2 - akan sama dengan 4.

Kemudian, untuk A = 1, 1 π = 1.

A = 2, lalu 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, lalu (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Derajat seperti itu dicirikan oleh semua operasi matematika dan sifat spesifik yang dijelaskan di atas.

Kesimpulan

Mari kita rangkum - untuk apa nilai-nilai ini, apa keuntungan dari fungsi tersebut? Tentu saja, pertama-tama, mereka menyederhanakan kehidupan matematikawan dan pemrogram saat memecahkan contoh, karena memungkinkan meminimalkan perhitungan, mengurangi algoritme, mensistematisasikan data, dan banyak lagi.

Di mana lagi pengetahuan ini bisa berguna? Dalam spesialisasi pekerjaan apa pun: kedokteran, farmakologi, kedokteran gigi, konstruksi, teknologi, teknik, desain, dll.