Cara mencari luas trapesium if. Cara mencari luas trapesium sama kaki

DAN . Sekarang kita dapat mulai mempertimbangkan pertanyaan tentang bagaimana menemukan luas trapesium. Tugas ini dalam kehidupan sehari-hari sangat jarang terjadi, namun terkadang ternyata perlu, misalnya untuk mencari luas ruangan berupa trapesium yang semakin banyak digunakan dalam pembangunan apartemen modern, atau dalam proyek desain renovasi.

Trapesium adalah sosok geometris, dibentuk oleh empat segmen yang berpotongan, dua di antaranya sejajar satu sama lain dan disebut alas trapesium. Dua segmen lainnya disebut sisi trapesium. Selain itu, kita akan membutuhkan definisi lain nanti. Ini adalah garis tengah trapesium, yaitu ruas yang menghubungkan titik tengah sisi dan tinggi trapesium, yang sama dengan jarak antar alas.
Seperti halnya segitiga, trapesium memiliki jenis tertentu berupa trapesium sama kaki (sama kaki), yang panjang sisi-sisinya sama dan trapesium persegi panjang, yang salah satu sisinya membentuk sudut siku-siku dengan alasnya.

Trapesium memiliki beberapa sifat menarik:

1. Garis tengah trapesium adalah setengah dari jumlah alasnya dan sejajar dengan alasnya.
   
2. Trapesium sama kaki memiliki sisi dan sudut yang sama dengan alasnya.
   
3. Titik tengah diagonal trapesium dan titik potong diagonalnya berada pada satu garis lurus.
   
4. Jika jumlah sisi trapesium sama dengan jumlah alasnya, maka sebuah lingkaran dapat ditulisi di dalamnya
   
5. Jika jumlah sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi trapesium di salah satu alasnya adalah 90, maka panjang segmen yang menghubungkan titik tengah alasnya sama dengan setengah selisihnya.
   
6. Trapesium sama kaki dapat digambarkan dengan lingkaran. Dan sebaliknya. Jika trapesium tertulis dalam lingkaran, maka itu adalah sama kaki.
   
7. Segmen yang melewati titik tengah pangkalan trapesium sama kaki akan tegak lurus dengan alasnya dan mewakili sumbu simetri.
   

Cara mencari luas trapesium.

Luas trapesium adalah setengah jumlah alasnya dikalikan tingginya. Dalam bentuk rumus, ini ditulis sebagai ungkapan:

dimana S adalah luas trapesium, a,b adalah panjang masing-masing alas trapesium, h adalah tinggi trapesium.

Anda dapat memahami dan mengingat rumus ini sebagai berikut. Sebagai berikut dari gambar di bawah ini, trapesium yang menggunakan garis tengah dapat diubah menjadi persegi panjang yang panjangnya sama dengan setengah jumlah alasnya.

Anda juga dapat menguraikan trapesium apa pun menjadi lebih banyak figur sederhana: persegi panjang dan satu atau dua segitiga, dan jika lebih mudah bagi Anda, maka temukan luas trapesium sebagai jumlah dari luas bangun-bangun penyusunnya.

Ada satu lagi rumus sederhana untuk menghitung luasnya. Menurutnya, luas trapesium sama dengan hasil kali garis tengahnya dan tinggi trapesium dan ditulis sebagai: S \u003d m * h, dimana S adalah luasnya, m adalah panjang dari garis tengah, h adalah tinggi trapesium. Rumus ini lebih cocok untuk soal matematika daripada soal sehari-hari, karena dalam kondisi nyata Anda tidak akan mengetahui panjang garis tengah tanpa perhitungan awal. Dan Anda hanya akan mengetahui panjang alas dan sisinya.

Dalam hal ini, luas trapesium dapat dicari dengan menggunakan rumus:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

di mana S adalah luas, a,b adalah alas, c,d adalah sisi-sisi trapesium.

Ada beberapa cara lagi untuk mencari luas trapesium. Tapi, mereka sama tidak nyamannya dengan formula terakhir, yang berarti tidak masuk akal untuk memikirkannya. Oleh karena itu, kami menganjurkan agar Anda menggunakan rumus pertama dari artikel tersebut dan berharap Anda selalu mendapatkan hasil yang akurat.

Dalam matematika dikenal beberapa jenis segiempat: bujur sangkar, persegi panjang, belah ketupat, jajar genjang. Diantaranya adalah trapesium - sejenis segi empat cembung, di mana dua sisinya sejajar, dan dua lainnya tidak. Sisi berlawanan paralel disebut alas, dan dua lainnya disebut sisi trapesium. Segmen yang menghubungkan titik tengah sisi disebut garis tengah. Ada beberapa jenis trapesium: sama kaki, persegi panjang, lengkung. Untuk setiap jenis trapesium, terdapat rumus untuk mencari luasnya.

daerah trapesium

Untuk mencari luas trapesium, Anda perlu mengetahui panjang alas dan tingginya. Ketinggian trapesium adalah segmen yang tegak lurus dengan alasnya. Misalkan alas atas adalah a, alas bawah adalah b, dan tingginya adalah h. Kemudian Anda dapat menghitung luas S dengan rumus:

S = ½ * (a + b) * h

itu. ambil setengah dari jumlah basis dikalikan dengan tinggi.

Anda juga bisa menghitung luas trapesium jika mengetahui nilai tinggi dan garis tengahnya. Mari kita tunjukkan garis tengah - m. Kemudian

Mari kita selesaikan soal yang lebih rumit: kita mengetahui panjang keempat sisi trapesium - a, b, c, d. Kemudian luasnya dicari dengan rumus :

Jika panjang diagonal dan sudut di antara mereka diketahui, maka luasnya dicari sebagai berikut:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

di mana d dengan indeks 1 dan 2 adalah diagonal. Dalam rumus ini, sinus sudut diberikan dalam perhitungan.

Dengan panjang alas a dan b yang diketahui dan dua sudut di alas bawah, luasnya dihitung sebagai berikut:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Area trapesium sama kaki

Trapesium sama kaki adalah kasus spesial trapesium. Perbedaannya adalah bahwa trapesium semacam itu adalah segi empat cembung dengan sumbu simetri yang melewati titik tengah dua sisi yang berlawanan. Sisi-sisinya sama.

Ada beberapa cara untuk mencari luas trapesium sama kaki.

• Melalui panjang tiga sisi. Dalam hal ini, panjang sisi akan cocok, oleh karena itu ditunjukkan dengan satu nilai - c, a dan b - panjang alas:

• Jika panjang alas atas, sisi samping dan sudut alas bawah diketahui, maka luasnya dihitung sebagai berikut:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

di mana a adalah alas atas, c adalah sisi.

• Jika alih-alih alas atas, panjang alas bawah diketahui - b, luasnya dihitung dengan rumus:

S = c * sin α * (b - c * cos α)

• Jika diketahui dua alas dan sudut alas bawah, luas dihitung dengan menggunakan garis singgung sudut:

S = ½ * (b2 - a2) * tg α

• Juga, luas dihitung melalui diagonal dan sudut di antara mereka. Dalam hal ini, panjang diagonal sama, sehingga masing-masing dilambangkan dengan huruf d tanpa indeks:

S = ½ * d2 * sinα

• Hitung luas trapesium dengan mengetahui panjang sisi samping, garis tengah dan sudut alas bawah.

Biarkan sisi - c, garis tengah - m, sudut - a, lalu:

S = m * c * sinα

Kadang-kadang sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam trapesium sama sisi, yang jari-jarinya adalah - r.

Diketahui bahwa sebuah lingkaran dapat ditulisi dalam trapesium apa pun jika jumlah panjang alasnya sama dengan jumlah panjang sisi-sisinya. Kemudian luasnya ditemukan melalui jari-jari lingkaran bertulis dan sudut di alas bawah:

S = 4r2 / sinα

Perhitungan yang sama dilakukan melalui diameter D dari lingkaran bertulis (omong-omong, itu bertepatan dengan tinggi trapesium):

Mengetahui alas dan sudutnya, luas trapesium sama kaki dihitung sebagai berikut:

S = a*b/sinα

(rumus ini dan selanjutnya hanya berlaku untuk trapesium dengan lingkaran bertuliskan).

Melalui alas dan jari-jari lingkaran, dicari luasnya sebagai berikut:

Jika hanya basis yang diketahui, maka luasnya dihitung dengan rumus:

Melalui alas dan garis samping, luas trapesium dengan lingkaran bertulis dan melalui alas dan garis tengah - m dihitung sebagai berikut:

Luas trapesium persegi panjang

Trapesium disebut persegi panjang, di mana salah satu sisinya tegak lurus dengan alasnya. Dalam hal ini, panjang sisi sama dengan tinggi trapesium.

Trapesium persegi panjang adalah persegi dan segitiga. Setelah menemukan luas masing-masing bangun, jumlahkan hasilnya dan dapatkan luas keseluruhan bangun tersebut.

Rumus umum untuk menghitung luas trapesium juga cocok untuk menghitung luas trapesium persegi panjang.

• Jika panjang alas dan tinggi (atau sisi tegak lurus) diketahui, maka luasnya dihitung dengan rumus:

S = (a + b) * h / 2

As h (tinggi) bisa menjadi sisi dengan. Maka rumusnya terlihat seperti ini:

S = (a + b) * c / 2

• Cara lain untuk menghitung luas adalah mengalikan panjang garis tengah dengan tingginya:

atau dengan panjang sisi tegak lurus lateral:

• Metode perhitungan selanjutnya adalah melalui setengah produk diagonal dan sinus sudut di antara mereka:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

Jika diagonal tegak lurus, maka rumusnya disederhanakan menjadi:

S = ½ * d1 * d2

• Cara lain untuk menghitung adalah melalui setengah keliling (jumlah panjang dua sisi yang berlawanan) dan jari-jari lingkaran bertulisan.

Formula ini berlaku untuk basis. Jika kita ambil panjang sisinya, maka salah satunya akan sama dengan dua kali jari-jarinya. Rumusnya akan terlihat seperti ini:

S = (2r + c) * r

• Jika sebuah lingkaran bertuliskan trapesium, maka luasnya dihitung dengan cara yang sama:

di mana m adalah panjang garis tengah.

Area trapesium lengkung

Trapesium lengkung adalah bangun datar yang dibatasi oleh grafik fungsi kontinu tak negatif y = f(x) yang didefinisikan pada ruas , sumbu x dan garis lurus x = a, x = b. Faktanya, dua sisinya sejajar satu sama lain (basis), sisi ketiga tegak lurus dengan alas, dan sisi keempat adalah kurva yang sesuai dengan grafik fungsi.

Luas trapesium lengkung dicari melalui integral menggunakan rumus Newton-Leibniz:

Bagaimana area dihitung berbagai macam trapesium. Namun, selain sifat sisinya, trapesium memiliki sifat sudut yang sama. Seperti semua segiempat yang ada, jumlah sudut dalam trapesium adalah 360 derajat. Dan jumlah sudut yang berdekatan dengan sisi adalah 180 derajat.

Luas trapesium. Salam! Dalam publikasi ini, kami akan mempertimbangkan formula ini. Mengapa seperti itu dan bagaimana Anda bisa memahaminya? Jika ada pemahaman, maka Anda tidak perlu mempelajarinya. Jika Anda hanya ingin melihat rumus ini dan yang mendesak, maka Anda dapat langsung menggulir ke bawah halaman))

Sekarang secara detail dan teratur.

Trapesium adalah segiempat, dua sisi segiempat ini sejajar, dua lainnya tidak. Yang tidak sejajar adalah alas trapesium. Dua lainnya disebut sisi.

Jika sisi-sisinya sama, maka trapesium disebut sama kaki. Jika salah satu sisinya tegak lurus dengan alasnya, maka trapesium semacam itu disebut persegi panjang.

Dalam bentuk klasik, trapesium digambarkan sebagai berikut - alas yang lebih besar di bagian bawah, masing-masing, yang lebih kecil di bagian atas. Namun tidak ada yang melarang untuk menggambarkannya dan sebaliknya. Berikut sketsanya:

Konsep penting berikutnya.

Garis median trapesium adalah ruas yang menghubungkan titik tengah sisi-sisinya. Garis median sejajar dengan alas trapesium dan sama dengan jumlah setengahnya.

Sekarang mari kita selami lebih dalam. Kenapa tepatnya?

Pertimbangkan trapesium dengan basis a dan b dan dengan garis tengah l, dan lakukan beberapa konstruksi tambahan: gambar garis lurus melalui alas, dan garis tegak lurus melalui ujung garis tengah hingga berpotongan dengan alas:

* Penunjukan huruf simpul dan titik lainnya tidak dimasukkan dengan sengaja untuk menghindari penunjukan yang tidak perlu.

Lihat, segitiga 1 dan 2 sama menurut tanda kedua persamaan segitiga, segitiga 3 dan 4 sama. Persamaan segitiga mengikuti persamaan unsur-unsurnya, yaitu kaki-kaki (masing-masing ditunjukkan dengan warna biru dan merah).

Sekarang perhatian! Jika kita secara mental "memotong" segmen biru dan merah dari alas bawah, maka kita akan memiliki segmen (ini adalah sisi persegi panjang) yang sama dengan garis tengah. Selanjutnya, jika kita "merekatkan" bagian biru dan merah yang terpotong ke dasar atas trapesium, maka kita juga akan mendapatkan bagian (ini juga sisi persegi panjang) yang sama dengan garis tengah trapesium.

Mengerti? Ternyata jumlah alasnya akan sama dengan dua median trapesium:

Lihat penjelasan lain

Mari lakukan hal berikut - buat garis lurus yang melewati alas bawah trapesium dan garis lurus yang akan melewati titik A dan B:

Kami mendapatkan segitiga 1 dan 2, mereka memiliki sisi yang sama dan sudut yang berdekatan (tanda kedua persamaan segitiga). Artinya ruas yang dihasilkan (pada sketsa ditandai dengan warna biru) sama dengan alas atas trapesium.

Sekarang pertimbangkan sebuah segitiga:

*Garis median trapesium ini dan garis median segitiga bertepatan.

Diketahui bahwa segitiga tersebut sama dengan setengah alas yang sejajar dengannya, yaitu:

OK saya mengerti. Sekarang tentang luas trapesium.

Rumus luas trapesium:

Mereka berkata: luas trapesium sama dengan hasil kali setengah dari jumlah alas dan tingginya.

Artinya, ternyata sama dengan hasil kali garis tengah dan tinggi:

Anda mungkin sudah memperhatikan bahwa ini sudah jelas. Secara geometris, ini dapat dinyatakan sebagai berikut: jika kita secara mental memotong segitiga 2 dan 4 dari trapesium dan meletakkannya masing-masing pada segitiga 1 dan 3:

Kemudian kita mendapatkan persegi panjang dengan luas yang sama dengan luas trapesium kita. Luas persegi panjang ini akan sama dengan hasil kali garis tengah dan tinggi, yaitu kita dapat menulis:

Tapi intinya di sini tentu saja bukan pada tulisan, tapi pada pemahaman.

Unduh (lihat) materi artikel dalam format *pdf

Itu saja. Semoga beruntung untukmu!

Hormat kami, Alexander.

Bagian berisi soal-soal geometri (bagian planimetri) tentang trapesium. Jika Anda tidak menemukan solusi untuk masalah tersebut - tulis tentang itu di forum. Tentu saja akan diperbarui pasti.

Rekstok gantung. Definisi, rumus dan properti

Sebuah trapesium (dari bahasa Yunani lainnya τραπέζιον - "meja"; τράπεζα - "meja, makanan") adalah segiempat dengan tepat satu pasang sisi yang berlawanan sejajar.

Trapesium adalah segiempat dengan dua sisi yang berhadapan sejajar.

Catatan. Dalam hal ini, jajaran genjang adalah kasus khusus dari trapesium.

Sisi berlawanan paralel disebut alas trapesium, dan dua lainnya disebut sisi.

Trapesium adalah:

- serbaguna ;

- sama kaki;

- persegi panjang

.
merah dan bunga coklat sisi lateral ditunjukkan, hijau dan biru adalah alas trapesium.

A - trapesium sama kaki (sama kaki, sama kaki).
B - trapesium persegi panjang
C - trapesium serbaguna

Trapesium serbaguna memiliki semua sisi dengan panjang yang berbeda, dan alasnya sejajar.

Sisi-sisinya sama dan alasnya sejajar.

Mereka sejajar dengan alas, satu sisi tegak lurus dengan alas, dan sisi kedua condong ke arah alas.

Properti Trapesium

• Garis tengah trapesium sejajar dengan basis dan sama dengan setengah jumlah mereka
• Ruas garis yang menghubungkan titik tengah diagonal, sama dengan setengah selisih alas dan terletak di garis tengah. Panjangnya
• Garis paralel yang memotong sisi sudut mana pun dari trapesium memotong segmen proporsional dari sisi sudut (lihat teorema Thales)
• Titik potong diagonal trapesium, titik perpotongan perpanjangan sisi sampingnya dan titik tengah alasnya terletak pada satu garis lurus (lihat juga sifat segiempat)
• Segitiga di pangkalan trapesium yang simpulnya merupakan titik perpotongan diagonalnya adalah serupa. Rasio luas segitiga tersebut sama dengan kuadrat rasio alas trapesium
• Segitiga di sisi trapesium yang simpulnya merupakan titik potong diagonal-diagonalnya sama luasnya (sama luasnya)
• ke dalam trapesium Anda dapat menulis lingkaran jika jumlah panjang alas trapesium sama dengan jumlah panjang sisi-sisinya. Garis median dalam hal ini sama dengan jumlah sisi dibagi 2 (karena garis median trapesium sama dengan setengah jumlah alasnya)
• Sebuah segmen sejajar dengan pangkalan dan melewati titik persimpangan diagonal, dibagi dengan yang terakhir menjadi dua dan sama dengan dua kali hasil kali alas dibagi dengan jumlahnya 2ab / (a ​​​​+ b) (rumus Burakov)

Sudut trapesium

Sudut trapesium adalah tajam, lurus dan tumpul.
Hanya ada dua sudut siku-siku.

Trapesium persegi panjang memiliki dua sudut siku-siku, dan dua lainnya akut dan tumpul. Jenis trapesium lainnya memiliki: dua sudut tajam dan dua orang bodoh.

Sudut tumpul trapesium termasuk yang terkecil sepanjang alas, dan tajam - lebih dasar.

Trapesium apa pun dapat dipertimbangkan seperti segitiga terpotong, yang garis penampangnya sejajar dengan alas segitiga.
Penting. Harap dicatat bahwa dengan cara ini (dengan konstruksi tambahan dari trapesium ke segitiga) beberapa masalah tentang trapesium dapat diselesaikan dan beberapa teorema dapat dibuktikan.

Cara mencari sisi dan diagonal trapesium

Menemukan sisi dan diagonal trapesium dilakukan dengan menggunakan rumus yang diberikan di bawah ini:

Dalam rumus ini, notasi digunakan, seperti pada gambar.

a - alas trapesium terkecil
b - alas trapesium terbesar
c,d - sisi
h 1 h 2 - diagonal

Jumlah kuadrat diagonal trapesium sama dengan dua kali perkalian alas trapesium ditambah jumlah kuadrat sisi-sisinya (Rumus 2)

Rekstok gantung disebut segi empat hanya dua sisinya sejajar satu sama lain.

Mereka disebut alas gambar, sisanya - sisi. Jajaran genjang dianggap sebagai kasus khusus dari sebuah gambar. Ada juga trapesium lengkung, yang mencakup grafik fungsi. Rumus luas trapesium mencakup hampir semua elemennya, dan solusi terbaik dipilih tergantung pada nilai yang diberikan.
Peran utama dalam trapesium diberikan pada tinggi dan garis tengah. garis tengah- ini adalah garis yang menghubungkan titik tengah sisi. Tinggi trapesium diadakan di sudut kanan dari pojok atas ke pangkalan.
Luas trapesium melalui tingginya sama dengan hasil kali setengah jumlah panjang alasnya, dikalikan tingginya:

Jika garis median diketahui sesuai dengan kondisinya, maka rumus ini sangat disederhanakan, karena sama dengan setengah jumlah panjang alasnya:

Jika sesuai dengan ketentuan, panjang semua sisi diberikan, maka kita dapat mempertimbangkan contoh penghitungan luas trapesium melalui data berikut:

Diketahui sebuah trapesium dengan alas a = 3 cm, b = 7 cm dan sisi c = 5 cm, d = 4 cm, tentukan luas bangun tersebut:

Area trapesium sama kaki

Kasing terpisah adalah sama kaki atau, seperti juga disebut, trapesium sama kaki.
Kasus khusus juga menemukan luas trapesium sama kaki (sama kaki). Formula diturunkan cara yang berbeda- melalui diagonal, melalui sudut yang berdekatan dengan alas dan jari-jari lingkaran bertulis.
Jika panjang diagonal ditentukan oleh kondisi dan sudut di antaranya diketahui, Anda dapat menggunakan rumus berikut:

Ingat bahwa diagonal trapesium sama kaki sama satu sama lain!

Artinya, mengetahui salah satu alas, sisi, dan sudutnya, Anda dapat dengan mudah menghitung luasnya.

Area trapesium lengkung

Kasus terpisah adalah trapesium lengkung. Itu terletak pada sumbu koordinat dan terbatas pada grafik fungsi positif kontinu.

Basisnya terletak pada sumbu X dan terbatas pada dua titik:
Integral membantu menghitung luas trapesium lengkung.
Formulanya ditulis seperti ini:

Perhatikan contoh penghitungan luas trapesium lengkung. Rumusnya membutuhkan pengetahuan tertentu untuk dikerjakan integral tertentu. Pertama, mari kita analisis nilai integral tertentu:

Di sini F(a) adalah nilai antiturunan fungsi f(x) di titik a , F(b) adalah nilai fungsi yang sama f(x) di titik b .

Sekarang mari kita selesaikan masalahnya. Gambar tersebut menunjukkan trapesium lengkung, fungsi terbatas. Fungsi
Kita perlu mencari luas gambar yang dipilih, yaitu trapesium lengkung yang dibatasi di atas oleh grafik, di sebelah kanan adalah garis lurus x = (-8), di sebelah kiri adalah garis lurus x = (- 10) dan sumbu OX di bawah.
Kami akan menghitung luas gambar ini menggunakan rumus:

Kami diberi fungsi oleh kondisi masalah. Dengan menggunakannya, kami akan menemukan nilai antiturunan di setiap poin kami:


Sekarang
Menjawab: luas trapesium lengkung yang diberikan adalah 4.

Tidak ada yang sulit dalam menghitung nilai ini. Hanya kehati-hatian dalam perhitungan yang penting.