rumah › Casis › Bagaimana cara menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di area tertutup yang dibatasi? Investigasi grafik fungsi.

Bagaimana cara menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di area tertutup yang dibatasi? Investigasi grafik fungsi.

Pada artikel ini saya akan berbicara tentang bagaimana menerapkan kemampuan untuk mempelajari suatu fungsi: untuk menemukan yang terbesar atau nilai terkecil. Dan kemudian kami akan menyelesaikan beberapa masalah dari Tugas B15 dari bank terbuka tugas untuk.

Seperti biasa, mari kita mulai dengan teorinya terlebih dahulu.

Pada awal setiap studi tentang suatu fungsi, kami menemukannya

Untuk menemukan nilai fungsi terbesar atau terkecil, Anda perlu menyelidiki pada interval mana fungsi bertambah dan berkurang.

Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan turunan dari fungsi dan mempelajari interval tanda konstanta, yaitu interval di mana turunan mempertahankan tandanya.

Interval di mana turunan suatu fungsi adalah positif adalah interval fungsi yang meningkat.

Interval di mana turunan suatu fungsi adalah negatif adalah interval penurunan fungsi.

1 . Ayo selesaikan tugas B15 (No. 245184)

Untuk mengatasinya, kami akan mengikuti algoritma berikut:

a) Carilah domain dari fungsi tersebut

b) Tentukan turunan dari fungsi .

c) Atur sama dengan nol.

d) Mari kita cari interval tanda konstan dari fungsi tersebut.

e) Temukan titik di mana fungsi mengambil nilai terbesar.

f) Temukan nilai fungsi pada titik ini.

Saya memberi tahu solusi terperinci dari tugas ini di PELAJARAN VIDEO:

Mungkin browser Anda tidak didukung. Untuk menggunakan simulator "Jam Ujian Negara Bersatu", coba unduh
Firefox

2. Ayo selesaikan tugas B15 (No. 282862)

Temukan nilai terbesar dari suatu fungsi pada segmen

Jelas bahwa fungsi tersebut mengambil nilai terbesar pada segmen pada titik maksimum, pada x=2. Temukan nilai fungsi pada titik ini:

Jawaban: 5

3 . Ayo selesaikan tugas B15 (No. 245180):

Temukan nilai terbesar dari suatu fungsi

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Sejak lingkup fungsi asli title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Pembilangnya nol di . Mari kita periksa apakah ODZ milik fungsi tersebut. Untuk melakukannya, periksa apakah kondisinya title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Judul="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

jadi intinya milik ODZ dari fungsi tersebut

Kami memeriksa tanda turunan ke kanan dan kiri titik:

Kita melihat bahwa fungsi mengambil nilai terbesar pada titik . Sekarang mari kita cari nilai fungsinya di :

Catatan 1. Perhatikan bahwa dalam soal ini kami tidak menemukan domain fungsi: kami hanya memperbaiki kendala dan memeriksa apakah titik di mana turunannya sama dengan nol termasuk dalam domain fungsi. Dalam masalah ini, ini ternyata cukup. Namun, ini tidak selalu terjadi. Itu tergantung pada tugas.

Catatan 2. Saat mempelajari perilaku fungsi kompleks, aturan berikut dapat digunakan:

jika fungsi luar dari fungsi majemuk meningkat, maka fungsi tersebut mengambil nilai terbesarnya pada titik yang sama di mana fungsi dalam mengambil nilai terbesarnya. Ini mengikuti dari definisi fungsi naik: sebuah fungsi naik pada interval I jika nilai yang lebih besar argumen dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar.
jika fungsi terluar dari fungsi kompleks menurun, maka fungsi mengambil nilai terbesar pada titik yang sama di mana fungsi dalam mengambil nilai terkecil . Ini mengikuti dari definisi fungsi menurun: fungsi menurun pada interval I jika nilai argumen yang lebih besar dari interval ini sesuai dengan nilai fungsi yang lebih kecil

Dalam contoh kita, fungsi luar - meningkat di seluruh domain definisi. Di bawah tanda logaritma terdapat ekspresi - trinomial persegi, yang, dengan koefisien senior negatif, mengambil nilai terbesar pada titik tersebut . Selanjutnya, kita substitusikan nilai x ini ke dalam persamaan fungsi dan temukan nilai terbesarnya.

Biarkan fungsi $z=f(x,y)$ didefinisikan dan kontinu dalam beberapa domain tertutup terbatas $D$. Biarkan di daerah ini untuk fungsi yang diberikan memiliki turunan parsial berhingga dari orde pertama (dengan kemungkinan pengecualian sejumlah titik berhingga). Untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi dari dua variabel di wilayah tertutup tertentu, diperlukan tiga langkah dari algoritma sederhana.

Algoritma untuk menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=f(x,y)$ dalam domain tertutup $D$.

Temukan titik kritis dari fungsi $z=f(x,y)$ yang termasuk dalam wilayah $D$. Hitung nilai fungsi pada titik kritis.
Selidiki perilaku fungsi $z=f(x,y)$ pada batas daerah $D$ dengan mencari titik nilai maksimum dan minimum yang mungkin. Hitung nilai fungsi pada titik yang diperoleh.
Dari nilai fungsi yang didapat pada dua paragraf sebelumnya, pilihlah yang terbesar dan terkecil.

Apa itu poin kritis? tunjukan Sembunyikan

Di bawah poin kritis menyiratkan poin di mana kedua turunan parsial orde pertama sama dengan nol (yaitu $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ dan $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) atau setidaknya satu turunan parsial tidak ada.

Seringkali titik di mana turunan parsial orde pertama sama dengan nol disebut titik stasioner. Dengan demikian, titik stasioner adalah himpunan bagian dari titik kritis.

Contoh 1

Temukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi $z=x^2+2xy-y^2-4x$ di wilayah tertutup yang dibatasi oleh garis $x=3$, $y=0$ dan $y=x +1$.

Kami akan mengikuti di atas, tetapi pertama-tama kami akan berurusan dengan menggambar area tertentu, yang akan kami tunjukkan dengan huruf $D$. Kami diberi persamaan tiga garis lurus, yang membatasi area ini. Garis lurus $x=3$ melewati titik $(3;0)$ sejajar dengan sumbu y (sumbu Oy). Garis lurus $y=0$ adalah persamaan sumbu absis (sumbu lembu). Nah, untuk membuat garis lurus $y=x+1$ mari kita cari dua titik yang melaluinya kita menggambar garis lurus ini. Anda dapat, tentu saja, mengganti beberapa nilai arbitrer alih-alih $x$. Misalnya, mengganti $x=10$, kita mendapatkan: $y=x+1=10+1=11$. Kita telah menemukan titik $(10;11)$ terletak pada garis $y=x+1$. Namun, lebih baik untuk menemukan titik-titik di mana garis $y=x+1$ berpotongan dengan garis $x=3$ dan $y=0$. Mengapa lebih baik? Karena kita akan meletakkan beberapa burung dengan satu batu: kita akan mendapatkan dua poin untuk membangun garis lurus $y=x+1$ dan pada saat yang sama mencari tahu di titik mana garis lurus ini memotong garis lain yang mengikat garis yang diberikan daerah. Garis $y=x+1$ memotong garis $x=3$ di titik $(3;4)$, dan garis $y=0$ - di titik $(-1;0)$. Agar tidak mengacaukan jalannya solusi dengan penjelasan tambahan, saya akan mengajukan pertanyaan untuk mendapatkan dua poin ini dalam sebuah catatan.

Bagaimana poin $(3;4)$ dan $(-1;0)$ diperoleh? tunjukan Sembunyikan

Mari kita mulai dari titik perpotongan garis $y=x+1$ dan $x=3$. Koordinat titik yang diinginkan milik baris pertama dan kedua, jadi untuk menemukan koordinat yang tidak diketahui, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Solusi dari sistem seperti itu sepele: mensubstitusi $x=3$ ke dalam persamaan pertama kita akan memiliki: $y=3+1=4$. Titik $(3;4)$ adalah titik persimpangan yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $x=3$.

Sekarang mari kita cari titik potong garis $y=x+1$ dan $y=0$. Sekali lagi, kami menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Mengganti $y=0$ ke persamaan pertama, kita mendapatkan: $0=x+1$, $x=-1$. Titik $(-1;0)$ adalah titik persimpangan yang diinginkan dari garis $y=x+1$ dan $y=0$ (sumbu absis).

Semuanya siap untuk membuat gambar yang akan terlihat seperti ini:

Pertanyaan tentang catatan itu tampak jelas, karena semuanya bisa dilihat dari gambarnya. Namun, perlu diingat bahwa gambar tersebut tidak dapat dijadikan sebagai bukti. Gambar hanya ilustrasi untuk kejelasan.

Area kami diatur menggunakan persamaan garis yang membatasinya. Jelas bahwa garis-garis ini mendefinisikan segitiga, bukan? Atau kurang jelas? Atau mungkin kita diberikan area yang berbeda, dibatasi oleh garis yang sama:

Tentu saja kondisinya mengatakan bahwa area tersebut tertutup, sehingga gambar yang ditampilkan salah. Tetapi untuk menghindari ambiguitas seperti itu, lebih baik mendefinisikan daerah dengan ketidaksetaraan. Kami tertarik pada bagian pesawat yang terletak di bawah garis $y=x+1$? Oke, jadi $y ≤ x+1$. Area kita harus terletak di atas garis $y=0$? Hebat, jadi $y ≥ 0$. Omong-omong, dua pertidaksamaan terakhir dengan mudah digabungkan menjadi satu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \kanan. $$

Ketidaksetaraan ini mendefinisikan domain $D$, dan mendefinisikannya secara unik, tanpa ambiguitas. Tapi bagaimana ini membantu kita dalam pertanyaan di awal catatan kaki? Ini juga akan membantu :) Kita perlu memeriksa apakah titik $M_1(1;1)$ milik wilayah $D$. Mari kita gantikan $x=1$ dan $y=1$ ke dalam sistem ketidaksetaraan yang menentukan wilayah ini. Jika kedua ketidaksetaraan terpenuhi, maka intinya terletak di dalam wilayah tersebut. Jika setidaknya salah satu ketidaksetaraan tidak terpenuhi, maka titik tersebut bukan milik daerah. Jadi:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

Kedua ketidaksetaraan itu benar. Titik $M_1(1;1)$ milik wilayah $D$.

Sekarang giliran untuk menyelidiki perilaku fungsi pada batas domain, yaitu pergi ke. Mari kita mulai dengan garis lurus $y=0$.

Garis lurus $y=0$ (sumbu absis) membatasi wilayah $D$ dengan kondisi $-1 ≤ x ≤ 3$. Gantikan $y=0$ ke dalam fungsi yang diberikan $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Fungsi substitusi yang dihasilkan dari satu variabel $x$ akan dilambangkan sebagai $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sekarang untuk fungsi $f_1(x)$ kita perlu mencari nilai terbesar dan terkecil pada interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Temukan turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Nilai $x=2$ milik segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, jadi kami juga menambahkan $M_2(2;0)$ ke daftar poin. Selain itu, kami menghitung nilai fungsi $z$ di ujung segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, mis. pada titik $M_3(-1;0)$ dan $M_4(3;0)$. Omong-omong, jika titik $M_2$ bukan milik segmen yang dipertimbangkan, maka, tentu saja, tidak perlu menghitung nilai fungsi $z$ di dalamnya.

Jadi, mari kita hitung nilai fungsi $z$ pada titik $M_2$, $M_3$, $M_4$. Anda dapat, tentu saja, mengganti koordinat titik-titik ini dalam ekspresi asli $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Misalnya, untuk poin $M_2$ kita dapatkan:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Namun, perhitungannya bisa sedikit disederhanakan. Untuk melakukan ini, perlu diingat bahwa pada segmen $M_3M_4$ kita memiliki $z(x,y)=f_1(x)$. Saya akan menjabarkannya secara rinci:

\begin(sejajar) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(sejajar)

Tentu saja, biasanya tidak diperlukan entri terperinci seperti itu, dan di masa mendatang kami akan mulai menuliskan semua perhitungan dengan cara yang lebih singkat:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sekarang mari beralih ke garis lurus $x=3$. Baris ini membatasi domain $D$ dengan syarat $0 ≤ y ≤ 4$. Gantikan $x=3$ ke dalam fungsi yang diberikan $z$. Sebagai hasil dari substitusi tersebut, kita mendapatkan fungsi $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Untuk fungsi $f_2(y)$, Anda perlu menemukan nilai terbesar dan terkecil pada interval $0 ≤ y ≤ 4$. Temukan turunan dari fungsi ini dan samakan dengan nol:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Nilai $y=3$ milik segmen $0 ≤ y ≤ 4$, jadi kita tambahkan $M_5(3;3)$ ke poin yang ditemukan sebelumnya. Selain itu, nilai fungsi $z$ perlu dihitung pada titik-titik di ujung segmen $0 ≤ y ≤ 4$, mis. pada titik $M_4(3;0)$ dan $M_6(3;4)$. Pada titik $M_4(3;0)$ kita sudah menghitung nilai $z$. Mari kita hitung nilai fungsi $z$ pada titik $M_5$ dan $M_6$. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa pada segmen $M_4M_6$ kami memiliki $z(x,y)=f_2(y)$, oleh karena itu:

\begin(sejajar) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(sejajar)

Dan, terakhir, pertimbangkan batas terakhir dari $D$, yaitu. baris $y=x+1$. Baris ini membatasi wilayah $D$ dengan syarat $-1 ≤ x ≤ 3$. Mengganti $y=x+1$ ke dalam fungsi $z$, kita akan memiliki:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Sekali lagi kita memiliki fungsi dari satu variabel $x$. Dan lagi, Anda perlu menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi ini di segmen $-1 ≤ x ≤ 3$. Temukan turunan dari fungsi $f_(3)(x)$ dan samakan dengan nol:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Nilai $x=1$ milik interval $-1 ≤ x ≤ 3$. Jika $x=1$, maka $y=x+1=2$. Mari tambahkan $M_7(1;2)$ ke daftar poin dan cari tahu apa nilai dari fungsi $z$ pada saat ini. Titik-titik di ujung segmen $-1 ≤ x ≤ 3$, mis. poin $M_3(-1;0)$ dan $M_6(3;4)$ dipertimbangkan sebelumnya, kami telah menemukan nilai fungsi di dalamnya.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Langkah kedua dari solusi selesai. Kami mendapat tujuh nilai:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Mari beralih ke. Memilih nilai terbesar dan terkecil dari angka-angka yang diperoleh di paragraf ketiga, kita akan mendapatkan:

$$z_(mnt)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Masalahnya terpecahkan, tinggal menuliskan jawabannya saja.

Menjawab: $z_(mnt)=-4; \; z_(maks)=6$.

Contoh #2

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi $z=x^2+y^2-12x+16y$ di wilayah $x^2+y^2 ≤ 25$.

Mari kita membuat gambar terlebih dahulu. Persamaan $x^2+y^2=25$ (ini adalah garis batas dari luas yang diberikan) mendefinisikan lingkaran dengan pusat pada titik asal (yaitu pada titik $(0;0)$) dan jari-jari 5. Pertidaksamaan $x^2 +y^2 ≤ 25$ memenuhi semua titik di dalam dan di lingkaran tersebut.

Kami akan bertindak. Mari kita temukan turunan parsial dan temukan titik kritisnya.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Tidak ada titik di mana turunan parsial yang ditemukan tidak ada. Mari kita cari tahu pada titik mana kedua turunan parsial secara bersamaan sama dengan nol, yaitu. menemukan titik stasioner.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right.\;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned) \right.$$

Kami mendapat titik stasioner $(6;-8)$. Namun, titik yang ditemukan bukan milik wilayah $D$. Ini mudah ditunjukkan bahkan tanpa menggunakan gambar. Mari kita periksa apakah pertidaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$, yang mendefinisikan domain kita $D$, berlaku. Jika $x=6$, $y=-8$, lalu $x^2+y^2=36+64=100$, mis. pertidaksamaan $x^2+y^2 ≤ 25$ tidak terpenuhi. Kesimpulan: titik $(6;-8)$ bukan milik wilayah $D$.

Jadi, tidak ada titik kritis di dalam $D$. Mari kita lanjutkan, ke. Kita perlu menyelidiki perilaku fungsi pada batas area tertentu, yaitu pada lingkaran $x^2+y^2=25$. Anda dapat, tentu saja, menyatakan $y$ dalam bentuk $x$, lalu mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam fungsi kita $z$. Dari persamaan lingkaran kita mendapatkan: $y=\sqrt(25-x^2)$ atau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Mengganti, misalnya, $y=\sqrt(25-x^2)$ ke dalam fungsi yang diberikan, kita akan mendapatkan:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Solusi selanjutnya akan sepenuhnya identik dengan studi tentang perilaku fungsi pada batas wilayah pada contoh sebelumnya No.1. Namun, menurut saya lebih masuk akal dalam situasi ini untuk menerapkan metode Lagrange. Kami hanya tertarik pada bagian pertama dari metode ini. Setelah menerapkan bagian pertama dari metode Lagrange, kita akan mendapatkan poin di mana dan memeriksa fungsi $z$ untuk nilai minimum dan maksimum.

Kami menyusun fungsi Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Kami menemukan turunan parsial dari fungsi Lagrange dan menyusun sistem persamaan yang sesuai:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (sejajar) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\end(sejajar) \ kanan. \;\; \kiri \( \begin(sejajar) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( selaras)\kanan.$$

Untuk mengatasi sistem ini, mari kita langsung menunjukkan bahwa $\lambda\neq -1$. Mengapa $\lambda\neq -1$? Mari coba gantikan $\lambda=-1$ ke persamaan pertama:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x = 6; \; 0=6. $$

Kontradiksi yang dihasilkan $0=6$ mengatakan bahwa nilai $\lambda=-1$ tidak valid. Keluaran: $\lambda\neq -1$. Mari nyatakan $x$ dan $y$ dalam bentuk $\lambda$:

\begin(sejajar) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(sejajar)

Saya percaya bahwa menjadi jelas di sini mengapa kami secara khusus menetapkan kondisi $\lambda\neq -1$. Ini dilakukan untuk memasukkan ekspresi $1+\lambda$ ke dalam penyebut tanpa interferensi. Artinya, untuk memastikan bahwa penyebutnya adalah $1+\lambda\neq 0$.

Mari kita gantikan ekspresi yang diperoleh untuk $x$ dan $y$ ke dalam persamaan ketiga dari sistem, yaitu dalam $x^2+y^2=25$:

$$ \kiri(\frac(6)(1+\lambda) \kanan)^2+\kiri(\frac(-8)(1+\lambda) \kanan)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Ini mengikuti dari persamaan yang dihasilkan bahwa $1+\lambda=2$ atau $1+\lambda=-2$. Oleh karena itu, kami memiliki dua nilai parameter $\lambda$, yaitu: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Karenanya, kami mendapatkan dua pasang nilai $x$ dan $y$:

\begin(sejajar) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(sejajar)

Jadi, kami mendapat dua poin dari kemungkinan ekstrem bersyarat, yaitu. $M_1(3;-4)$ dan $M_2(-3;4)$. Temukan nilai fungsi $z$ pada titik $M_1$ dan $M_2$:

\begin(sejajar) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(sejajar)

Kita harus memilih nilai terbesar dan terkecil dari nilai yang kita peroleh pada langkah pertama dan kedua. Tapi di kasus ini pilihannya kecil :) Kami punya:

$$z_(mnt)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Menjawab: $z_(mnt)=-75; \; z_(maks)=125$.

Pada artikel ini saya akan berbicara tentang algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi, poin minimum dan maksimum.

Dari teori, kita pasti membutuhkan tabel turunan Dan aturan diferensiasi. Semuanya ada di papan ini:

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil.

Saya merasa lebih mudah untuk menjelaskan contoh spesifik. Mempertimbangkan:

Contoh: Temukan nilai terbesar dari fungsi y=x^5+20x^3–65x pada segmen [–4;0].

Langkah 1. Kami mengambil turunannya.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Langkah 2 Menemukan titik ekstrim.

titik ekstrim kami menamai titik-titik di mana fungsi mencapai nilai maksimum atau minimumnya.

Untuk mencari titik ekstrim, perlu menyamakan turunan fungsi dengan nol (y"= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Sekarang kita selesaikan persamaan bikuadrat ini dan akar yang ditemukan adalah titik ekstrem kita.

Saya menyelesaikan persamaan tersebut dengan mengganti t = x^2, lalu 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Kurangi persamaan dengan 5, kita dapatkan: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + kuadrat(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - kuadrat(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Kami membuat substitusi terbalik x^2 = t:

X_(1 dan 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 dan 4) = ±sqrt(-13) (kami mengecualikan, tidak boleh ada angka negatif di bawah root, kecuali tentu saja kita berbicara tentang bilangan kompleks)

Total: x_(1) = 1 dan x_(2) = -1 - ini adalah titik ekstrem kita.

Langkah 3 Tentukan nilai terbesar dan terkecil.

Metode substitusi.

Dalam kondisi tersebut, kami diberi segmen [b][–4;0]. Titik x=1 tidak termasuk dalam segmen ini. Jadi kami tidak mempertimbangkannya. Namun selain titik x=-1, kita juga perlu mempertimbangkan batas kiri dan kanan segmen kita, yaitu titik -4 dan 0. Untuk melakukan ini, kita mengganti ketiga titik ini ke dalam fungsi aslinya. Perhatikan yang asli adalah yang diberikan dalam kondisi (y=x^5+20x^3–65x), beberapa mulai mensubstitusi ke turunan...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Artinya, nilai maksimum fungsi tersebut adalah [b]44 dan dicapai pada titik [b]-1, yang disebut titik maksimum fungsi pada ruas [-4; 0].

Kami memutuskan dan mendapat jawaban, kami hebat, Anda bisa santai. Tapi berhenti! Tidakkah menurut Anda menghitung y(-4) terlalu rumit? Dalam kondisi waktu yang terbatas, lebih baik menggunakan cara lain, saya menyebutnya seperti ini:

Melalui interval keteguhan.

Kesenjangan ini ditemukan untuk turunan dari fungsi, yaitu untuk persamaan biquadratic kita.

Saya melakukannya dengan cara berikut. Saya menggambar garis arah. Saya menetapkan poin: -4, -1, 0, 1. Terlepas dari kenyataan bahwa 1 tidak termasuk dalam segmen yang diberikan, tetap harus dicatat untuk menentukan interval keteguhan dengan benar. Mari kita ambil beberapa angka berkali-kali lebih besar dari 1, katakanlah 100, gantikan secara mental ke dalam persamaan biquadratic kita 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Bahkan tanpa menghitung apapun, menjadi jelas bahwa pada titik 100 fungsi memiliki tanda tambah. Artinya untuk interval dari 1 sampai 100 memiliki tanda plus. Saat melewati 1 (kita bergerak dari kanan ke kiri), fungsinya akan berubah tanda menjadi minus. Saat melewati titik 0, fungsinya akan mempertahankan tandanya, karena ini hanya batas segmen, dan bukan akar persamaan. Saat melewati -1, fungsi akan kembali berubah tanda menjadi plus.

Dari teori, kita tahu di mana turunan dari fungsinya (dan kita menggambarnya untuk itu) mengubah tanda plus menjadi minus (poin -1 dalam kasus kami) fungsi mencapai maksimum lokalnya (y(-1)=44 seperti yang dihitung sebelumnya) pada segmen ini (secara logis sangat jelas, fungsinya berhenti meningkat, karena mencapai maksimum dan mulai menurun).

Dengan demikian, di mana turunan dari fungsi perubahan tanda dari minus menjadi plus, tercapai minimum lokal suatu fungsi. Ya, ya, kami juga menemukan titik minimum lokal, yaitu 1, dan y(1) adalah nilai minimum dari fungsi tersebut pada interval, misalkan dari -1 hingga +∞. Harap dicatat bahwa ini hanya MINIMUM LOKAL, yaitu minimum pada segmen tertentu. Karena fungsi minimum aktual (global) akan mencapai suatu tempat di sana, di -∞.

Menurut pendapat saya, metode pertama lebih sederhana secara teori, dan yang kedua lebih sederhana dalam hal operasi aritmatika, tetapi jauh lebih sulit dalam hal teori. Lagi pula, kadang-kadang ada kasus ketika fungsi tidak berubah tanda ketika melewati akar persamaan, dan memang Anda bisa bingung dengan maxima dan minima lokal, global ini, meskipun Anda tetap harus menguasainya dengan baik jika Anda berencana untuk masuk universitas teknik (dan untuk apa lagi memberi ujian profil dan memecahkan masalah ini). Tetapi latihan dan hanya latihan yang akan mengajari Anda cara menyelesaikan masalah seperti itu untuk selamanya. Dan Anda dapat berlatih di situs web kami. Di Sini .

Jika Anda memiliki pertanyaan, atau ada sesuatu yang tidak jelas, pastikan untuk bertanya. Saya akan dengan senang hati menjawab Anda, dan membuat perubahan, tambahan pada artikel. Ingat kita membuat situs ini bersama-sama!

Mari kita lihat bagaimana mengeksplorasi fungsi menggunakan grafik. Ternyata dengan melihat grafiknya, Anda bisa mengetahui semua yang menarik minat kami, yaitu:

lingkup fungsi
rentang fungsi
fungsi nol
periode kenaikan dan penurunan
poin tinggi dan rendah
nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada ruas tersebut.

Mari kita perjelas terminologinya:

Absis adalah koordinat horizontal dari titik tersebut.
Ordinat- koordinat vertikal.
absis- sumbu horizontal, paling sering disebut sumbu.
Sumbu Y- sumbu vertikal, atau sumbu.

Argumen adalah variabel independen tempat nilai fungsi bergantung. Paling sering ditunjukkan.
Dengan kata lain, kita sendiri yang memilih , mengganti rumus fungsi dan mendapatkan .

Domain fungsi - himpunan nilai-nilai (dan hanya itu) dari argumen yang fungsinya ada.
Dilambangkan: atau .

Dalam gambar kami, domain dari fungsi adalah segmen. Di segmen inilah grafik fungsi digambar. Hanya di sini fungsi ini ada.

Rentang fungsi adalah himpunan nilai yang diambil oleh variabel. Dalam gambar kami, ini adalah segmen - dari nilai terendah hingga tertinggi.

Fungsi nol- poin di mana nilai fungsi sama dengan nol, yaitu . Dalam gambar kami, ini adalah poin dan .

Nilai fungsi positif Di mana . Dalam gambar kami, ini adalah interval dan .
Nilai fungsi negatif Di mana . Kami memiliki interval ini (atau interval) dari ke.

Konsep yang paling penting - fungsi naik dan turun pada beberapa set. Sebagai satu set, Anda dapat mengambil segmen, interval, gabungan interval, atau seluruh garis bilangan.

Fungsi meningkat

Dengan kata lain, semakin banyak , semakin banyak , yaitu grafik bergerak ke kanan dan ke atas.

Fungsi menurun di himpunan jika untuk setiap dan milik himpunan ketidaksetaraan menyiratkan ketidaksetaraan .

Untuk fungsi menurun, nilai yang lebih besar sesuai dengan nilai yang lebih kecil. Grafik bergerak ke kanan dan ke bawah.

Dalam gambar kami, fungsi meningkat pada interval dan menurun pada interval dan .

Mari kita tentukan apa itu titik maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.

Titik maksimum- ini adalah titik internal dari domain definisi, sedemikian rupa sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih besar daripada di semua titik yang cukup dekat dengannya.
Dengan kata lain, titik maksimum adalah suatu titik, nilai fungsi di mana lagi daripada di tetangga. Ini adalah "bukit" lokal di bagan.

Dalam gambar kami - titik maksimum.

Poin rendah- titik internal dari domain definisi, sehingga nilai fungsi di dalamnya kurang dari semua titik yang cukup dekat dengannya.
Artinya, titik minimumnya sedemikian rupa sehingga nilai fungsi di dalamnya lebih kecil daripada di tetangganya. Pada grafik, ini adalah "lubang" lokal.

Dalam gambar kami - titik minimum.

Intinya adalah batas. Ini bukan titik interior dari domain definisi dan karena itu tidak sesuai dengan definisi titik maksimum. Lagipula, dia tidak punya tetangga di sebelah kiri. Dengan cara yang sama, tidak ada titik minimum pada grafik kita.

Poin maksimum dan minimum secara kolektif disebut titik ekstrim dari fungsi. Dalam kasus kita, ini adalah dan .

Tetapi bagaimana jika Anda perlu menemukan, misalnya, fungsi minimal di potong? Dalam hal ini, jawabannya adalah: Karena fungsi minimal adalah nilainya pada titik minimum.

Demikian pula, maksimum fungsi kita adalah . Hal ini dicapai pada titik .

Kita dapat mengatakan bahwa ekstrem dari fungsi sama dengan dan .

Terkadang dalam tugas yang perlu Anda temukan nilai fungsi terbesar dan terkecil pada segmen tertentu. Mereka tidak selalu bertepatan dengan ekstrem.

Dalam kasus kami nilai fungsi terkecil pada interval sama dengan dan berimpit dengan fungsi minimum. Namun nilai terbesarnya pada segmen ini sama dengan . Itu dicapai di ujung kiri segmen.

Bagaimanapun, nilai terbesar dan terkecil dari fungsi kontinu pada suatu segmen dicapai baik di titik ekstrem atau di ujung segmen.

Tugas miniatur dan agak sederhana dari jenis yang berfungsi sebagai jalur kehidupan bagi siswa terapung. Di alam, alam mengantuk pertengahan Juli, jadi sudah waktunya untuk bersantai dengan laptop di pantai. Dimainkan pagi-pagi sekali sinar matahari teori agar segera fokus pada praktik, yang meski diklaim ringan, mengandung pecahan kaca di pasir. Dalam hal ini, saya sarankan dengan cermat mempertimbangkan beberapa contoh halaman ini. Untuk menyelesaikan tugas-tugas praktis, Anda harus bisa menemukan turunan dan memahami materi artikel Interval kemonotonan dan ekstrem suatu fungsi.

Pertama, secara singkat tentang hal utama. Dalam pelajaran tentang kontinuitas fungsi Saya memberikan definisi kesinambungan pada suatu titik dan kesinambungan pada suatu interval. Perilaku teladan dari fungsi pada segmen dirumuskan demikian pula. Suatu fungsi kontinu pada suatu ruas jika:

1) kontinu pada interval ;
2) kontinu di suatu titik di kanan dan pada intinya kiri.

Paragraf kedua membahas apa yang disebut kontinuitas sepihak berfungsi pada suatu titik. Ada beberapa pendekatan untuk definisinya, tetapi saya akan tetap berpegang pada garis yang dimulai sebelumnya:

Fungsi tersebut kontinu di suatu titik di kanan, jika didefinisikan pada titik tertentu dan batas kanannya bertepatan dengan nilai fungsi pada titik tertentu: . Hal ini terus menerus pada intinya kiri, jika didefinisikan pada titik tertentu dan limit kirinya sama dengan nilai pada titik tersebut:

Bayangkan titik-titik hijau adalah paku tempat karet gelang ajaib dipasang:

Ambil garis merah di tangan Anda secara mental. Jelas, tidak peduli seberapa jauh kita meregangkan grafik ke atas dan ke bawah (sepanjang sumbu), fungsinya akan tetap ada terbatas- pagar di atas, pagar di bawah, dan produk kami merumput di padang rumput. Dengan demikian, suatu fungsi yang kontinu pada suatu segmen dibatasi padanya. Dalam perjalanan analisis matematis, fakta yang tampaknya sederhana ini dinyatakan dan dibuktikan dengan ketat Teorema pertama Weierstrass.... Banyak orang kesal karena pernyataan dasar dibuktikan secara membosankan dalam matematika, tetapi ada arti penting. Misalkan seorang penduduk Abad Pertengahan terry menarik grafik ke langit di luar batas visibilitas, ini dimasukkan. Sebelum teleskop ditemukan, fungsi terbatas di ruang angkasa sama sekali tidak jelas! Memang, bagaimana Anda tahu apa yang menanti kita di luar cakrawala? Lagipula, dulu Bumi dianggap datar, jadi hari ini teleportasi biasa pun membutuhkan bukti =)

Berdasarkan teorema Weierstrass kedua, menerus pada segmen tersebutfungsinya mencapai tepi atas yang tepat dan miliknya tepi bawah yang tepat .

Nomornya juga disebut nilai maksimum fungsi pada segmen tersebut dan dilambangkan dengan , dan nomor - nilai minimum dari fungsi pada segmen tersebut ditandai.

Dalam kasus kami:

Catatan : dalam teori, catatan adalah hal biasa .

Secara kasar, nilai terbesar terletak di tempat yang paling banyak titik tinggi grafik, dan yang terkecil - di mana titik terendah.

Penting! Seperti yang sudah ditunjukkan dalam artikel tentang ekstrem dari fungsi, nilai terbesar dari fungsi tersebut Dan nilai fungsi terkecil – TIDAK SAMA, Apa berfungsi maksimal Dan fungsi minimal. Jadi, dalam contoh ini, angkanya adalah fungsi minimum, tetapi bukan nilai minimumnya.

Omong-omong, apa yang terjadi di luar segmen? Ya, bahkan banjir, dalam konteks masalah yang sedang dibahas, ini sama sekali tidak menarik bagi kami. Tugasnya hanya melibatkan menemukan dua angka dan hanya itu!

Selain itu, solusinya murni analitis, oleh karena itu, tidak perlu menggambar!

Algoritme terletak di permukaan dan menunjukkan dirinya dari gambar di atas:

1) Temukan nilai fungsi di poin kritis, yang termasuk dalam segmen ini.

Tangkap satu barang lagi: tidak perlu memeriksa kondisi yang cukup untuk ekstrem, karena, seperti yang baru saja ditunjukkan, adanya minimum atau maksimum belum dijamin berapa nilai minimum atau maksimumnya. Fungsi demo mencapai maksimumnya dan atas kehendak takdir nomor yang sama nilai tertinggi fungsi pada interval . Tapi, tentu saja, kebetulan seperti itu tidak selalu terjadi.

Jadi, pada langkah pertama, lebih cepat dan mudah menghitung nilai fungsi pada titik-titik kritis milik segmen, tanpa mempermasalahkan apakah ekstrem atau tidak.

2) Kami menghitung nilai fungsi di ujung segmen.

3) Di antara nilai fungsi yang ditemukan di paragraf 1 dan 2, kami memilih yang terkecil dan terbesar nomor besar, tulis jawabannya.

Kami duduk di tepi laut biru dan menabrak air dangkal:

Contoh 1

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen

Larutan:
1) Hitung nilai fungsi pada titik kritis milik segmen ini:

Kami menghitung nilai fungsi di detik titik kritis:

2) Hitung nilai fungsi di ujung segmen:

3) Hasil "Bold" diperoleh dengan eksponensial dan logaritma, yang secara signifikan memperumit perbandingannya. Untuk alasan ini, kami akan mempersenjatai diri dengan kalkulator atau Excel dan menghitung nilai perkiraan, tidak lupa bahwa: