rumah › Transmisi (kotak roda gigi) › Penjelasan paradoks Monty Hall. The Monty Hall Paradox adalah teka-teki logika bukan untuk menjadi lemah hati.

Penjelasan paradoks Monty Hall. The Monty Hall Paradox adalah teka-teki logika bukan untuk menjadi lemah hati.

Bertemu dengannya disebut Monty Hall Paradox, dan wow memecahkannya secara berbeda, yaitu: membuktikan bahwa ini adalah paradoks semu.

Teman-teman, saya akan senang mendengar kritik atas sanggahan saya terhadap paradoks ini (pseudo-paradox, jika saya benar). Dan kemudian saya akan melihat dengan mata kepala sendiri bahwa logika saya lumpuh, saya akan berhenti menganggap diri saya sebagai pemikir dan berpikir untuk mengubah jenis aktivitas menjadi lebih liris: o). Jadi, inilah isi tugasnya. Solusi yang diusulkan dan bantahan saya ada di bawah.

Bayangkan Anda telah menjadi peserta dalam permainan di mana Anda berada di depan tiga pintu. Tuan rumah yang dikenal jujur menempatkan sebuah mobil di belakang salah satu pintu, dan seekor kambing di belakang dua pintu lainnya. Anda tidak memiliki informasi tentang apa yang ada di balik pintu yang mana.

Fasilitator memberi tahu Anda: “Pertama, Anda harus memilih salah satu pintu. Setelah itu, saya akan membuka salah satu pintu yang tersisa, di belakangnya ada seekor kambing. Kemudian saya akan menyarankan agar Anda mengubah pilihan awal Anda dan memilih pintu tertutup yang tersisa daripada yang Anda pilih di awal. Anda dapat mengikuti saran saya dan memilih pintu lain, atau Anda dapat mengonfirmasi pilihan awal Anda. Setelah itu, saya akan membuka pintu yang telah Anda pilih dan Anda akan memenangkan apa yang ada di balik pintu itu."

Anda memilih pintu nomor 3. Fasilitator membuka pintu nomor 1 dan menunjukkan ada seekor kambing di belakangnya. Tuan rumah kemudian meminta Anda untuk memilih pintu nomor 2.

Akankah peluang Anda memenangkan mobil meningkat jika Anda mengikuti sarannya?
Paradoks Monty Hall adalah salah satu masalah teori probabilitas yang terkenal, yang solusinya, pada pandangan pertama, bertentangan dengan akal sehat.
Saat memecahkan masalah ini, mereka biasanya beralasan seperti ini: setelah tuan rumah membuka pintu di belakang tempat kambing berada, mobil hanya dapat berada di belakang salah satu dari dua pintu yang tersisa. Karena pemain tidak dapat menerima apa pun informasi tambahan tentang pintu mana mobil itu berada, maka kemungkinan menemukan mobil di belakang masing-masing pintu adalah sama, dan mengubah pilihan awal pintu tidak memberikan keuntungan apa pun kepada pemain. Namun, alur penalaran ini tidak benar.
Jika tuan rumah selalu mengetahui pintu apa yang ada di belakang, selalu membuka pintu sisa yang berisi kambing, dan selalu meminta pemain untuk mengubah pilihannya, maka peluang mobil yang ada di belakang pintu yang dipilih pemain adalah 1/3, dan , dengan demikian, peluang mobil berada di belakang pintu yang tersisa adalah 2/3. Jadi, mengubah pilihan awal menggandakan peluang pemain untuk memenangkan mobil. Kesimpulan ini bertentangan dengan persepsi intuitif tentang situasi oleh kebanyakan orang, itulah sebabnya masalah yang dijelaskan disebut paradoks Monty Hall.

Bagi saya, peluangnya tidak akan berubah; tidak ada paradoks.

Dan inilah alasannya: pilihan pintu pertama dan kedua adalah mandiri acara. Ini seperti melempar koin 2 kali: apa yang jatuh pada kali ke-2 sama sekali tidak bergantung pada apa yang jatuh pada kali pertama.

Jadi di sini: setelah membuka pintu dengan seekor kambing, pemain itu masuk situasi baru jika memiliki 2 pintu dan peluang terambilnya mobil atau kambing adalah 1/2.

Sekali lagi: setelah membuka satu dari tiga pintu, kemungkinan mobil berada di belakang pintu yang tersisa, tidak sama dengan 2/3, Karena 2/3 adalah probabilitas bahwa mobil itu berada di balik 2 pintu mana pun. Tidak benar untuk mengaitkan probabilitas ini dengan pintu yang belum dibuka dan pintu yang terbuka. Sebelum pembukaan pintu adalah suatu keselarasan probabilitas, tapi setelah membuka satu pintu, semua probabilitas ini menjadi batal, karena situasinya telah berubah, dan oleh karena itu diperlukan perhitungan probabilitas baru, yang orang biasa dilakukan dengan benar, menjawab bahwa tidak ada yang akan berubah dari perubahan pilihan.

Tambahan: 1) dengan alasan bahwa:

a) peluang menemukan sebuah mobil di balik pintu yang dipilih adalah 1/3,

b) peluang bahwa mobil tersebut berada di balik dua pintu lain yang tidak dipilih, 2/3,

c) karena tuan rumah membuka pintu dengan kambing, maka probabilitas 2/3 sepenuhnya menjadi satu pintu yang tidak dipilih (dan tidak dibuka),

dan oleh karena itu perlu untuk mengubah pilihan ke pintu lain, sehingga probabilitas dari 1/3 menjadi 2/3, tidak benar, tetapi salah, yaitu: pada alinea “c”, karena pada awalnya probabilitas 2/3 menyangkut dua pintu mana pun, termasuk 2 pintu yang tersisa tidak terbuka, dan karena satu pintu dibuka, maka probabilitas ini akan dibagi rata antara 2 yang tidak terbuka, yaitu. probabilitasnya akan sama, dan memilih pintu lain tidak akan meningkatkannya.

2) probabilitas bersyarat dihitung jika ada 2 atau lebih peristiwa acak, dan probabilitas dihitung secara terpisah untuk setiap peristiwa, dan baru kemudian probabilitas terjadinya gabungan dari 2 peristiwa atau lebih dihitung. Di sini, pada awalnya probabilitas menebak adalah 1/3, tetapi untuk menghitung probabilitas bahwa mobil tersebut tidak berada di belakang pintu yang dipilih, tetapi di belakang pintu lain yang tidak terbuka, Anda tidak perlu menghitungnya. probabilitas bersyarat, tetapi Anda perlu menghitung probabilitas sederhana, yaitu 1 dari 2, yaitu. 1/2.

3) Jadi, ini bukan paradoks, tapi kekeliruan! (19.11.2009)

Lampiran 2: Kemarin saya datang dengan penjelasan paling sederhana itu strategi pemilihan ulang masih lebih menguntungkan(paradoksnya benar!): dengan pilihan pertama, naik kambing 2 kali lebih mungkin daripada masuk mobil, karena ada dua kambing, dan oleh karena itu, dengan pilihan kedua, Anda perlu mengubah pilihan. Udah jelas :o)

Atau dengan kata lain: tidak perlu menandai di dalam mobil, tetapi menolak kambing, dan bahkan presenter membantu dalam hal ini, membuka kambing. Dan di awal permainan, dengan probabilitas 2 dari 3, pemain juga akan berhasil, jadi setelah menolak kambing, Anda perlu mengubah pilihan. Dan itu juga menjadi sangat jelas secara tiba-tiba :o)

Jadi semua yang saya tulis sejauh ini merupakan sanggahan semu. Nah, inilah ilustrasi lain tentang fakta bahwa Anda harus lebih rendah hati, menghormati sudut pandang orang lain, dan tidak mempercayai jaminan logika Anda bahwa keputusannya sangat logis.

Pada bulan Desember 1963, saluran televisi Amerika NBC pertama kali menayangkan program Ayo Buat Kesepakatan ("Ayo buat kesepakatan!"), Di mana para peserta, yang dipilih dari penonton di studio, menawar satu sama lain dan dengan pembawa acara, bermain permainan kecil atau hanya menebak jawaban atas pertanyaan itu. Di akhir siaran, para peserta dapat memainkan "deal of the day". Di depan mereka ada tiga pintu, yang diketahui bahwa di belakang salah satunya ada Hadiah Utama (misalnya, mobil), dan di belakang dua lainnya ada hadiah yang kurang berharga atau sama sekali tidak masuk akal (misalnya, kambing hidup). . Setelah pemain menentukan pilihannya, Monty Hall, pembawa acara, membuka salah satu dari dua pintu yang tersisa, menunjukkan bahwa tidak ada Hadiah di baliknya dan membuat peserta senang bahwa dia memiliki kesempatan untuk menang.

Pada tahun 1975, ilmuwan UCLA Steve Selvin bertanya apa yang akan terjadi jika pada saat itu, setelah membuka pintu tanpa Hadiah, peserta diminta untuk mengubah pilihannya. Akankah peluang pemain untuk mendapatkan Hadiah berubah dalam kasus ini, dan jika ya, ke arah mana? Dia mengirimkan pertanyaan yang sesuai dalam bentuk masalah kepada The American Statistician ("American Statistician"), serta kepada Monty Hall sendiri, yang memberikan jawaban yang agak aneh. Terlepas dari jawaban ini (atau mungkin karena itu), masalahnya menjadi populer dengan nama "Masalah Monty Hall".

Rumusan paling umum dari masalah ini, yang diterbitkan pada tahun 1990 di Majalah Parade, adalah sebagai berikut:

“Bayangkan Anda telah menjadi peserta dalam permainan di mana Anda harus memilih salah satunya tiga pintu. Di belakang salah satu pintu ada mobil, di belakang dua pintu lainnya ada kambing. Anda memilih salah satu pintu, misalnya nomor 1, setelah itu tuan rumah yang tahu di mana mobil dan di mana kambingnya membuka salah satu pintu yang tersisa, misalnya nomor 3, di belakangnya ada seekor kambing. Setelah itu, dia bertanya apakah Anda ingin mengubah pilihan dan memilih pintu nomor 2. Apakah peluang Anda untuk memenangkan mobil akan meningkat jika Anda menerima tawaran tuan rumah dan mengubah pilihan Anda?

Setelah publikasi, segera menjadi jelas bahwa masalahnya dirumuskan secara tidak benar: tidak semua ketentuan ditetapkan. Misalnya, fasilitator dapat mengikuti strategi "hellish Monty": tawarkan untuk mengubah pilihan jika dan hanya jika pemain telah memilih mobil pada langkah pertama. Jelas, mengubah pilihan awal akan menyebabkan kerugian yang dijamin dalam situasi seperti itu.

Yang paling populer adalah masalah dengan kondisi tambahan - peserta permainan mengetahui aturan berikut sebelumnya:

mobil kemungkinan besar akan ditempatkan di belakang salah satu dari 3 pintu;
bagaimanapun juga, tuan rumah berkewajiban untuk membuka pintu dengan kambing (tetapi bukan yang dipilih pemain) dan menawarkan pemain untuk mengubah pilihan;
jika pemimpin memiliki pilihan yang mana dari dua pintu yang akan dibuka, dia memilih salah satunya dengan probabilitas yang sama.

Petunjuk

Cobalah untuk mempertimbangkan orang-orang yang memilih pintu berbeda dalam kasus yang sama (yaitu ketika Hadiahnya, misalnya, di balik pintu nomor 1). Siapa yang akan mendapat manfaat dari mengubah pilihan mereka, dan siapa yang tidak?

Larutan

Seperti yang disarankan di tooltip, pertimbangkan orang yang membuat pilihan berbeda. Mari kita asumsikan bahwa Hadiah ada di balik pintu #1, dan di balik pintu #2 dan #3 adalah kambing. Misalkan kita memiliki enam orang, dan setiap pintu dipilih oleh dua orang, dan dari setiap pasangan satu orang kemudian mengubah keputusannya, dan yang lainnya tidak.

Perhatikan bahwa Tuan Rumah yang memilih pintu No. 1 akan membuka salah satu dari dua pintu sesuai selera, sementara terlepas dari ini, Mobil akan diterima oleh orang yang tidak mengubah pilihannya, tetapi orang yang mengubah pilihan awalnya. akan tetap tanpa Hadiah. Sekarang mari kita lihat mereka yang memilih pintu #2 dan #3. Karena ada Mobil di belakang pintu No. 1, Tuan Rumah tidak dapat membukanya, yang membuatnya tidak punya pilihan - dia masing-masing membuka pintu No. 3 dan No. 2 untuk mereka. Pada saat yang sama, orang yang mengubah keputusan di setiap pasangan akan memilih Hadiah sebagai hasilnya, dan orang yang tidak mengubah keputusan tidak akan mendapatkan apa-apa. Jadi, dari tiga orang yang berubah pikiran, dua akan mendapatkan Hadiah, dan satu akan mendapatkan kambing, sedangkan dari tiga orang yang tidak mengubah pilihan awal mereka, hanya satu yang akan mendapatkan Hadiah.

Perlu dicatat bahwa jika Mobil berada di belakang pintu #2 atau #3, hasilnya akan sama, hanya pemenang tertentu yang akan berubah. Jadi, dengan asumsi bahwa pada awalnya setiap pintu dipilih dengan probabilitas yang sama, kita mendapatkan bahwa mereka yang mengubah pilihannya memenangkan Hadiah dua kali lebih sering, yaitu kemungkinan menang dalam kasus ini lebih besar.

Mari kita lihat masalah ini dari sudut pandang teori probabilitas matematika. Kami akan berasumsi bahwa probabilitas pilihan awal masing-masing pintu adalah sama, serta probabilitas berada di belakang setiap pintu Mobil. Selain itu, akan berguna untuk membuat reservasi bahwa Pemimpin, ketika dia dapat membuka dua pintu, memilih masing-masing pintu dengan probabilitas yang sama. Kemudian ternyata setelah keputusan pertama, kemungkinan Hadiah berada di belakang pintu yang dipilih adalah 1/3, sedangkan kemungkinan Hadiah berada di belakang salah satu dari dua pintu lainnya adalah 2/3. Pada saat yang sama, setelah Tuan Rumah membuka salah satu dari dua pintu yang "tidak dipilih", seluruh probabilitas 2/3 jatuh hanya pada salah satu pintu yang tersisa, sehingga menciptakan dasar untuk mengubah keputusan, yang akan meningkatkan kemungkinan menang. sebanyak 2 kali. Yang, tentu saja, tidak menjaminnya dengan cara apa pun dalam satu kasus tertentu, tetapi akan mengarah pada hasil yang lebih sukses jika percobaan diulang berulang kali.

Kata penutup

Masalah Monty Hall bukanlah formulasi pertama yang diketahui dari masalah ini. Secara khusus, pada tahun 1959, Martin Gardner menerbitkan di Scientific American masalah serupa “tentang tiga tahanan” (masalah Tiga Tahanan) dengan kata-kata berikut: “Dari tiga tahanan, satu harus diampuni, dan dua harus dieksekusi. Tahanan A membujuk penjaga untuk memberi tahu dia nama salah satu dari dua orang lainnya yang akan dieksekusi (baik jika keduanya dieksekusi), setelah itu, setelah menerima nama B, dia menganggap bahwa kemungkinan keselamatannya sendiri menjadi kecil. 1/3, tapi 1/2. Pada saat yang sama, tahanan C mengklaim bahwa kemungkinan melarikan diri menjadi 2/3, sementara A tidak berubah. Yang mana yang benar?"

Namun, Gardner bukanlah yang pertama, karena pada tahun 1889, dalam Kalkulus Probabilitasnya, ahli matematika Prancis Joseph Bertrand (jangan bingung dengan orang Inggris Bertrand Russell!) Menawarkan masalah serupa (lihat paradoks kotak Bertrand): “Ada tiga kotak, masing-masing berisi dua koin: dua koin emas di kotak pertama, dua koin perak di kotak kedua, dan dua kotak berbeda di kotak ketiga.

Jika Anda memahami solusi untuk ketiga masalah tersebut, mudah untuk melihat kesamaan ide mereka; secara matematis, semuanya disatukan oleh konsep probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas peristiwa A, jika diketahui peristiwa B telah terjadi. Contoh paling sederhana: peluang terlemparnya dadu biasa adalah 1/6; namun, jika angka yang digulir diketahui ganjil, maka kemungkinannya adalah satu sudah 1/3. Masalah Monty Hall, seperti dua masalah lainnya yang dikutip, menunjukkan bahwa probabilitas bersyarat harus ditangani dengan hati-hati.

Masalah-masalah ini juga sering disebut paradoks: paradoks Monty Hall, paradoks kotak Bertrand (yang terakhir tidak boleh disamakan dengan paradoks Bertrand yang sebenarnya diberikan dalam buku yang sama, yang membuktikan ambiguitas konsep probabilitas yang ada pada waktu itu) - yang mana menyiratkan beberapa kontradiksi (misalnya, dalam " paradoks Pembohong" frasa "pernyataan ini salah" bertentangan dengan hukum tengah yang dikecualikan). DI DALAM kasus ini, bagaimanapun, tidak ada kontradiksi dengan pernyataan tegas. Namun, ada kontradiksi yang jelas dengan opini publik” atau hanya “solusi yang jelas” untuk masalah tersebut. Memang, kebanyakan orang, melihat masalahnya, percaya bahwa setelah membuka salah satu pintu, kemungkinan menemukan Hadiah di belakang salah satu dari dua pintu tertutup lainnya adalah 1/2. Dengan melakukan itu, mereka menegaskan bahwa tidak ada bedanya apakah mereka setuju atau tidak setuju untuk berubah pikiran. Selain itu, banyak orang merasa sulit untuk memahami jawaban selain ini, bahkan setelah diberi tahu solusi yang mendetail.

Tanggapan Monty Hall terhadap Steve Selwyn

Tuan Steve Selvin,
asisten profesor biostatistik,
Universitas California, Berkeley.

Steve yang terhormat,

Terima kasih telah mengirimi saya soal dari American Statistical.

Meskipun saya tidak belajar statistik di universitas, saya tahu bahwa angka selalu dapat digunakan untuk keuntungan saya jika saya ingin memanipulasinya. Alasan Anda tidak memperhitungkan satu keadaan penting: setelah kotak pertama kosong, peserta tidak dapat lagi mengubah pilihannya. Jadi kemungkinannya tetap sama: satu dari tiga, kan? Dan, tentu saja, setelah salah satu kotak kosong, peluangnya tidak menjadi 50/50, tetapi tetap sama - satu dari tiga. Tampaknya bagi peserta bahwa dengan menyingkirkan satu kotak, dia mendapat lebih banyak peluang. Sama sekali tidak. Dua lawan satu melawannya, seperti dulu, dan tetap. Dan jika Anda tiba-tiba datang ke acara saya, aturannya akan tetap sama untuk Anda: tidak ada kotak ganti setelah pemilihan.

Bayangkan Anda menjadi peserta dalam permainan di mana Anda harus memilih salah satu dari tiga pintu. Di belakang salah satu pintu ada mobil, di belakang dua pintu lainnya ada kambing. Anda memilih salah satu pintu, misalnya nomor 1, setelah itu tuan rumah yang tahu di mana mobil dan di mana kambingnya membuka salah satu pintu yang tersisa, misalnya nomor 3, di belakangnya ada seekor kambing. Setelah itu, dia bertanya apakah Anda ingin mengubah pilihan dan memilih pintu nomor 2. Apakah peluang Anda untuk memenangkan mobil akan meningkat jika Anda menerima tawaran tuan rumah dan mengubah pilihan Anda?

Larutan. Mari kita segera perhatikan bahwa masalah ini tidak mengandung paradoks apapun. tugas rutin ( Tingkat pertama) ke rumus Bayes, yang mengikuti definisi probabilitas bersyarat.

rumus Bayes

Dilambangkan dengan A, acara - Anda memenangkan sebuah mobil.

Kami mengajukan dua hipotesis: H 1 - Anda tidak mengganti pintunya, dan H 2 - Anda mengganti pintunya.

P(H 1)= 1/3 - apriori (a priori - artinya sebelum percobaan, tuan rumah belum membuka pintu) probabilitas hipotesis bahwa Anda mengubah pintu.

P H1 (A) - probabilitas bersyarat bahwa Anda akan menebak pintu di belakang mobil itu berada, jika hipotesis pertama H 1 terjadi

P H2 (A) - probabilitas bersyarat bahwa Anda menebak pintu di belakang mobil itu berada, jika hipotesis kedua H 2 terjadi

Temukan probabilitas kejadian A jika hipotesis H 1 terjadi (probabilitas Anda memenangkan mobil jika Anda tidak mengganti pintunya):

Temukan probabilitas kejadian A jika hipotesis H 2 terjadi (probabilitas Anda memenangkan mobil jika Anda mengganti pintunya):

Jadi, peserta harus mengubah pilihan awalnya - dalam hal ini, kemungkinan menangnya akan sama dengan 2 ⁄ 3 .

Verifikasi statistik paradoks Monty Hall

Di sini: "strategi 1" - jangan ubah pilihan, "strategi 2" - ubah pilihan. Secara teoritis, untuk kasus dengan 3 pintu, distribusi probabilitasnya adalah 33.(3)% dan 66.(6)%. Simulasi numerik harus memberikan hasil yang serupa.

Teori probabilitas adalah salah satu cabang matematika yang siap membingungkan matematikawan itu sendiri. Tidak seperti dogma sains lainnya, tepat dan tak tergoyahkan, area ini penuh dengan keanehan dan ketidakakuratan. Sebuah paragraf baru, bisa dikatakan, baru-baru ini telah ditambahkan ke bagian ini - paradoks Monty Hall. Ini, secara umum, adalah tugas, tetapi diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeda dari sekolah atau universitas biasa.

Cerita asal

Orang-orang telah memeras otak mereka tentang paradoks Monty Hall sejak tahun 1975 yang jauh. Tapi itu layak dimulai pada tahun 1963. Saat itulah acara TV berjudul Ayo buat kesepakatan muncul di layar, yang diterjemahkan sebagai "Ayo buat kesepakatan." Pembawa acaranya tidak lain adalah Monty Hall, yang kadang-kadang melemparkan teka-teki yang tidak terpecahkan kepada penonton. Salah satu yang paling mencolok adalah yang dia presentasikan pada tahun 1975. Masalahnya telah menjadi bagian dari teori probabilitas matematika dan paradoks yang sesuai dengan kerangka kerjanya. Perlu juga dicatat bahwa fenomena ini adalah penyebab diskusi yang kuat dan kritik keras dari para ilmuwan. Paradoks Monty Hall diterbitkan di majalah Parade pada tahun 1990, dan sejak itu menjadi lebih banyak didiskusikan dan isu kontroversial semua waktu dan orang-orang. Nah, sekarang kita langsung beralih ke rumusan dan interpretasinya.

Pernyataan masalah

Ada banyak interpretasi dari paradoks ini, tetapi kami memutuskan untuk menyajikan kepada Anda yang klasik, yang ditampilkan dalam program itu sendiri. Jadi ada tiga pintu di depan Anda. Di belakang salah satunya ada sebuah mobil, di belakang dua lainnya, masing-masing satu kambing. Tuan rumah mengundang Anda untuk memilih salah satu pintu, dan katakanlah Anda berhenti di nomor 1. Sejauh ini, Anda tidak tahu apa yang ada di balik pintu pertama ini, karena pintu ketiga dibuka untuk Anda dan menunjukkan bahwa ada seekor kambing di belakangnya. Oleh karena itu, Anda belum kalah, karena Anda belum memilih pintu yang menyembunyikan opsi yang kalah. Oleh karena itu, peluang Anda untuk mendapatkan mobil meningkat.

Tapi kemudian tuan rumah menyarankan Anda berubah pikiran. Di depan Anda sudah ada dua pintu, di belakang satu ada kambing, di belakang yang lain ada hadiah yang didambakan. Justru inilah inti masalahnya. Tampaknya pintu mana pun yang Anda pilih, peluangnya adalah 50/50. Namun nyatanya, jika Anda berubah pikiran, kemungkinan Anda menang akan menjadi lebih besar. Bagaimana?

Pilihan pertama yang Anda buat dalam game ini adalah acak. Anda bahkan tidak dapat menebak dari jarak jauh mana dari tiga pintu yang tersembunyi di belakang hadiah, jadi Anda secara acak menunjuk ke pintu pertama yang muncul. Pemimpin, pada gilirannya, tahu di mana semuanya berada. Dia memiliki pintu dengan hadiah, pintu yang Anda tunjuk, dan pintu ketiga tanpa hadiah, yang dia buka untuk Anda sebagai petunjuk pertama. Petunjuk kedua terletak pada usulannya sendiri untuk mengubah pilihan.

Sekarang kamu tidak akan lagi memilih salah satu dari ketiganya secara acak, bahkan kamu bisa berubah pikiran untuk mendapatkan hadiah yang diinginkan. Proposal tuan rumahlah yang membuat orang tersebut percaya bahwa mobil itu sebenarnya bukan di belakang pintu yang dia pilih, tetapi di belakang pintu lain. Ini adalah inti dari paradoks, karena sebenarnya Anda masih harus memilih (meskipun dari dua, dan bukan dari tiga) secara acak, tetapi peluang untuk menang meningkat. Menurut statistik, dari 30 pemain yang berubah pikiran, 18 memenangkan mobil, dan ini adalah 60%. Dan dari 30 orang yang sama yang tidak mengubah keputusan mereka - hanya 11, yaitu 36%.

Interpretasi dalam angka

Sekarang mari kita berikan lebih banyak paradoks Monty Hall definisi yang tepat. Pilihan pertama pemain membagi pintu menjadi dua kelompok. Peluang hadiah terletak di belakang pintu yang Anda pilih adalah 1/3, dan di belakang pintu yang tersisa 2/3. Tuan rumah kemudian membuka salah satu pintu kelompok kedua. Jadi, dia mentransfer semua probabilitas yang tersisa, 2/3, ke satu pintu yang tidak Anda pilih dan tidak dia buka. Adalah logis bahwa setelah perhitungan seperti itu akan lebih menguntungkan untuk berubah pikiran. Namun di saat yang sama, penting untuk diingat bahwa masih ada peluang untuk kalah. Terkadang presenter licik, karena Anda awalnya dapat menyodok pintu pemenang hadiah yang benar, dan kemudian secara sukarela menolaknya.

Kita semua terbiasa dengan fakta bahwa matematika, sebagai ilmu pasti, sejalan dengan akal sehat. Di sini angka yang bekerja, bukan kata-kata, rumus yang tepat, bukan pemikiran yang kabur, koordinat, bukan data relatif. Tapi dia bagian baru disebut teori probabilitas meledakkan seluruh pola akrab. Tugas-tugas di bidang ini, menurut kami, tidak sesuai dengan kerangka akal sehat dan sepenuhnya bertentangan dengan semua rumus dan perhitungan. Di bawah ini kami menyarankan agar Anda membiasakan diri dengan paradoks lain dari teori probabilitas yang memiliki kesamaan dengan yang dijelaskan di atas.

Paradoks laki-laki dan perempuan

Tugas tersebut, pada pandangan pertama, tidak masuk akal, tetapi secara ketat mematuhi rumus matematika dan memiliki dua solusi. Jadi, seorang pria memiliki dua anak. Salah satunya pasti laki-laki. Berapa peluang yang kedua laki-laki?

Pilihan 1. Kami mempertimbangkan semua kombinasi dua anak dalam satu keluarga:

Gadis / gadis.
Perempuan laki-laki.
Laki-laki/Perempuan.
Laki-laki.

Kombinasi pertama jelas tidak cocok untuk kita, oleh karena itu, berdasarkan tiga kombinasi terakhir, kita mendapatkan probabilitas 1/3 bahwa anak kedua adalah laki-laki kecil.

Pilihan 2. Jika kita membayangkan kasus seperti itu dalam praktiknya, membuang pecahan dan rumus, maka berdasarkan fakta bahwa hanya ada dua jenis kelamin di Bumi, kemungkinan anak kedua adalah laki-laki adalah 1/2.

Pengalaman ini menunjukkan kepada kita betapa terkenalnya statistik dapat dimanipulasi. Jadi, "tidur cantik" disuntik dengan obat tidur dan dilempar koin. Jika kepala muncul, dia terbangun dan eksperimen berakhir. Jika ekornya rontok, maka mereka membangunkannya, segera melakukan suntikan kedua, dan dia lupa bahwa dia bangun, dan setelah itu baru bangun lagi di hari kedua. Setelah bangun sepenuhnya, "si cantik" tidak tahu pada hari apa dia membuka matanya, atau berapa kemungkinan koin itu jatuh. Menurut solusi pertama, kemungkinan mendapatkan ekor (atau kepala) adalah 1/2. Inti dari opsi kedua adalah jika percobaan dilakukan 1000 kali, maka dalam kasus elang, "kecantikan" akan terbangun 500 kali, dan dengan yang langka - 1000. Sekarang kemungkinan mendapatkan ekor adalah 2/3.

Paradoks Monty Hall adalah salah satu masalah teori probabilitas yang terkenal, yang solusinya, pada pandangan pertama, bertentangan dengan akal sehat. Masalahnya dirumuskan sebagai deskripsi dari permainan hipotetis berdasarkan acara TV Amerika Let's Make a Deal dan dinamai menurut nama pembawa acara ini. Rumusan paling umum dari masalah ini, yang diterbitkan pada tahun 1990 di Majalah Parade, adalah sebagai berikut:

Meskipun rumusan masalah ini adalah yang paling terkenal, ini agak bermasalah karena meninggalkan beberapa kondisi penting dari masalah yang tidak terdefinisi. Berikut pernyataan yang lebih lengkap.

Saat memecahkan masalah ini, mereka biasanya beralasan seperti ini: setelah tuan rumah membuka pintu di belakang tempat kambing berada, mobil hanya dapat berada di belakang salah satu dari dua pintu yang tersisa. Karena pemain tidak dapat memperoleh informasi tambahan tentang pintu mana yang ada di belakang mobil, kemungkinan menemukan mobil di belakang masing-masing pintu adalah sama, dan mengubah pilihan awal pintu tidak memberikan keuntungan apa pun kepada pemain. Namun, alur penalaran ini tidak benar. Jika tuan rumah selalu mengetahui pintu apa yang ada di belakang, selalu membuka pintu sisa yang berisi kambing, dan selalu meminta pemain untuk mengubah pilihannya, maka peluang mobil yang ada di belakang pintu yang dipilih pemain adalah 1/3, dan , dengan demikian, peluang mobil berada di belakang pintu yang tersisa adalah 2/3. Jadi, mengubah pilihan awal menggandakan peluang pemain untuk memenangkan mobil. Kesimpulan ini bertentangan dengan persepsi intuitif tentang situasi oleh kebanyakan orang, itulah sebabnya masalah yang dijelaskan disebut paradoks Monty Hall.

keputusan lisan

Jawaban yang benar untuk masalah ini adalah sebagai berikut: ya, peluang memenangkan mobil menjadi dua kali lipat jika pemain mengikuti saran tuan rumah dan mengubah pilihan awalnya.

Penjelasan paling sederhana untuk jawaban ini adalah pertimbangan berikut. Untuk memenangkan mobil tanpa mengubah pilihan, pemain harus segera menebak pintu di belakang mobil itu berdiri. Probabilitas ini adalah 1/3. Jika pemain awalnya menabrak pintu dengan seekor kambing di belakangnya (dan kemungkinan kejadian ini adalah 2/3, karena ada dua kambing dan hanya satu mobil), maka dia pasti dapat memenangkan mobil tersebut dengan berubah pikiran, karena mobil tersebut dan seekor kambing tersisa, dan tuan rumah telah membuka pintu dengan kambing itu.

Jadi, tanpa mengubah pilihan, pemain tetap dengan probabilitas awalnya untuk menang 1/3, dan ketika mengubah pilihan awal, pemain mendapatkan keuntungannya dua kali lipat dari kemungkinan yang tersisa bahwa dia tidak menebak dengan benar di awal.

Juga, penjelasan intuitif dapat dilakukan dengan menukar kedua peristiwa tersebut. Event pertama adalah keputusan pemain untuk mengganti pintu, event kedua adalah pembukaan pintu tambahan. Ini dapat diterima, karena membuka pintu tambahan tidak memberikan apa pun kepada pemain informasi baru(dokumen lihat di artikel ini).

Kemudian masalahnya dapat direduksi menjadi rumusan berikut. Pada saat pertama, pemain membagi pintu menjadi dua grup: di grup pertama ada satu pintu (yang dia pilih), di grup kedua ada dua pintu yang tersisa. Pada saat berikutnya, pemain membuat pilihan antar grup. Jelas bahwa untuk kelompok pertama kemungkinan menang adalah 1/3, untuk kelompok kedua 2/3. Pemain memilih kelompok kedua. Di kelompok kedua, dia bisa membuka kedua pintu. Satu dibuka oleh tuan rumah, dan yang kedua oleh pemain itu sendiri.

Mari kita coba berikan penjelasan yang "paling bisa dimengerti". Merumuskan ulang masalah: Tuan rumah yang jujur mengumumkan kepada pemain bahwa ada mobil di belakang salah satu dari tiga pintu, dan mengundangnya untuk pertama-tama menunjuk ke salah satu pintu, lalu memilih salah satu dari dua tindakan: buka pintu yang ditentukan (di formulasi lama, ini disebut "jangan ubah pilihan Anda ") atau buka dua lainnya (dalam formulasi lama, ini hanya akan menjadi "ubah pilihan". Pikirkan, ini adalah kunci untuk memahami!). Jelas bahwa pemain akan memilih tindakan kedua, karena kemungkinan mendapatkan mobil dalam hal ini dua kali lebih tinggi. Dan hal kecil bahwa pemimpin “menunjukkan seekor kambing” bahkan sebelum memilih tindakan tidak membantu dan tidak mengganggu pilihan, karena di balik salah satu dari dua pintu selalu ada seekor kambing dan pemimpin pasti akan menunjukkannya di jalan mana pun. permainan, jadi pemain bisa di atas kambing ini dan tidak menonton. Urusan pemain, jika dia memilih tindakan kedua, adalah mengucapkan "terima kasih" kepada tuan rumah karena telah menyelamatkannya dari kesulitan membuka salah satu dari dua pintu itu sendiri, dan membuka yang lain. Nah, atau bahkan lebih mudah. Bayangkan situasi ini dari sudut pandang tuan rumah, yang melakukan prosedur serupa dengan puluhan pemain. Karena dia tahu betul apa yang ada di balik pintu, maka, rata-rata, dalam dua dari tiga kasus, dia melihat sebelumnya bahwa pemain telah memilih pintu yang "salah". Oleh karena itu, baginya pasti tidak ada paradoks bahwa strategi yang tepat adalah mengubah pilihan setelah membuka pintu pertama: lagipula, dalam dua kasus yang sama dari tiga pemain akan meninggalkan studio untuk mobil baru.

Terakhir, bukti paling "naif". Biarlah orang yang mendukung pilihannya disebut "Keras Kepala", dan orang yang mengikuti instruksi pemimpin, disebut "Perhatian". Kemudian yang Keras Kepala menang jika dia awalnya menebak mobilnya (1/3), dan yang Penuh Perhatian - jika dia meleset dan menabrak kambing terlebih dahulu (2/3). Lagi pula, hanya dalam hal ini dia kemudian akan menunjuk ke pintu dengan mobil.

Kunci untuk memahami

Terlepas dari kesederhanaan menjelaskan fenomena ini, banyak orang secara intuitif percaya bahwa kemungkinan menang tidak berubah ketika pemain mengubah pilihannya. Biasanya, ketidakmungkinan mengubah probabilitas menang dimotivasi oleh fakta bahwa saat menghitung probabilitas, peristiwa yang terjadi di masa lalu tidak menjadi masalah, seperti yang terjadi, misalnya, saat melempar koin - kemungkinan mendapatkan kepala atau ekor tidak. tidak tergantung pada berapa kali kepala atau ekor rontok sebelumnya. Oleh karena itu, banyak yang percaya bahwa saat ini pemain memilih satu dari dua pintu, tidak masalah lagi bahwa di masa lalu ada pilihan satu dari tiga pintu, dan kemungkinan memenangkan mobil sama ketika mengubah pilihan. , dan meninggalkan pilihan awal.

Namun, meskipun pertimbangan seperti itu benar dalam kasus lemparan koin, itu tidak berlaku untuk semua game. Dalam hal ini, pembukaan pintu oleh tuannya harus diabaikan. Pemain pada dasarnya memilih antara satu pintu yang mereka pilih pertama dan dua lainnya - membuka salah satunya hanya berfungsi untuk mengalihkan perhatian pemain. Diketahui ada satu mobil dan dua ekor kambing. Pilihan awal pemain dari salah satu pintu membagi hasil yang mungkin dari permainan menjadi dua kelompok: apakah mobil berada di belakang pintu yang dipilih oleh pemain (probabilitasnya adalah 1/3), atau di belakang salah satu dari dua lainnya (probabilitas ini adalah 2/3). Pada saat yang sama, sudah diketahui bahwa bagaimanapun juga ada kambing di balik salah satu dari dua pintu yang tersisa, dan dengan membuka pintu ini, tuan rumah tidak memberikan informasi tambahan kepada pemain tentang apa yang ada di balik pintu yang dipilih oleh pemain. Jadi, membuka pintu dengan kambing oleh pemimpin tidak mengubah probabilitas (2/3) mobil berada di belakang salah satu pintu yang tersisa. Dan sejak sudah pintu terbuka pemain tidak memilih, maka semua kemungkinan ini terkonsentrasi jika mobil berada di belakang pintu tertutup yang tersisa.

Alasan yang lebih intuitif: Biarkan pemain bertindak berdasarkan strategi "ubah pilihan". Kemudian dia akan kalah hanya jika awalnya dia memilih mobil. Dan kemungkinan ini adalah sepertiga. Oleh karena itu, kemungkinan menang: 1-1/3=2/3. Jika pemain bertindak sesuai dengan strategi "jangan ubah pilihan", maka dia akan menang jika dan hanya jika dia awalnya memilih mobil tersebut. Dan kemungkinan ini adalah sepertiga.

Bayangkan situasi ini dari sudut pandang tuan rumah, yang melakukan prosedur serupa dengan puluhan pemain. Karena dia tahu betul apa yang ada di balik pintu, maka, rata-rata, dalam dua dari tiga kasus, dia melihat sebelumnya bahwa pemain telah memilih pintu yang "salah". Oleh karena itu, baginya pasti tidak ada paradoks bahwa strategi yang tepat adalah mengubah pilihan setelah membuka pintu pertama: lagipula, dalam dua dari tiga kasus yang sama, pemain akan meninggalkan studio dengan mobil baru.

Alasan umum lainnya dari kesulitan dalam memahami solusi untuk masalah ini adalah sering kali orang membayangkan permainan yang sedikit berbeda - di mana tidak diketahui sebelumnya apakah tuan rumah akan membuka pintu dengan kambing dan menyarankan agar pemain mengubah pilihannya. Dalam hal ini, pemain tidak mengetahui taktik tuan rumah (artinya, tidak mengetahui semua aturan permainan) dan tidak dapat membuat pilihan optimal. Misalnya, jika fasilitator hanya akan menawarkan perubahan opsi jika pemain awalnya memilih pintu dengan mobil, maka pemain harus selalu membiarkan keputusan awal tidak berubah. Itulah mengapa penting untuk mengingat formulasi yang tepat dari masalah Monty Hall. (dengan opsi ini, pemimpin dengan strategi berbeda dapat mencapai probabilitas apa pun di antara pintu, dalam kasus umum (rata-rata) akan menjadi 1/2 kali 1/2).

Menambah jumlah pintu

Agar lebih mudah memahami esensi dari apa yang terjadi, kita dapat mempertimbangkan kasus ketika pemain tidak melihat tiga pintu di depannya, tetapi, misalnya, seratus. Pada saat yang sama, ada sebuah mobil di belakang salah satu pintu, dan kambing di belakang 99 pintu lainnya. Pemain memilih salah satu pintu, sedangkan dalam 99% kasus dia akan memilih pintu dengan kambing, dan kemungkinan untuk segera memilih pintu dengan mobil sangat kecil - hanya 1%. Setelah itu, tuan rumah membuka 98 pintu dengan kambing dan meminta pemain untuk memilih pintu yang tersisa. Dalam hal ini, dalam 99% kasus, mobil akan berada di balik pintu yang tersisa ini, karena kemungkinan pemain segera memilih pintu yang benar sangat kecil. Jelas bahwa dalam situasi ini pemain yang berpikiran rasional harus selalu menerima usulan pemimpin.

Saat mempertimbangkan peningkatan jumlah pintu, pertanyaan yang sering muncul: jika dalam masalah awal pemimpin membuka satu dari tiga pintu (yaitu 1/3 dari total pintu), mengapa kita harus berasumsi bahwa dalam kasus 100 pintu, tuan rumah akan membuka 98 pintu dengan kambing, dan bukan 33? Pertimbangan ini biasanya menjadi salah satu alasan signifikan mengapa paradoks Monty Hall bertentangan dengan persepsi intuitif situasi. Dengan asumsi pembukaan 98 pintu akan benar karena kondisi esensial Tugasnya hanya memiliki satu pilihan alternatif untuk pemain, yang ditawarkan oleh moderator. Oleh karena itu, agar tugasnya serupa, dalam kasus 4 pintu, pemimpin harus membuka 2 pintu, dalam kasus 5 pintu - 3, dan seterusnya, sehingga selalu ada satu pintu yang belum dibuka selain yang satu. yang awalnya dipilih pemain. Jika fasilitator membuka lebih sedikit pintu, maka tugasnya tidak lagi sama dengan tugas Monty Hall yang asli.

Perlu dicatat bahwa dalam kasus banyak pintu, meskipun tuan rumah tidak menutup satu pintu, tetapi beberapa, dan menawarkan pemain untuk memilih salah satunya, maka ketika mengubah pilihan awal, peluang pemain untuk memenangkan mobil akan masih meningkat walaupun tidak terlalu signifikan. Misalnya, pertimbangkan situasi di mana seorang pemain memilih satu pintu dari seratus pintu, dan kemudian fasilitator hanya membuka satu pintu yang tersisa, mengundang pemain untuk mengubah pilihannya. Pada saat yang sama, peluang mobil berada di belakang pintu yang awalnya dipilih oleh pemain tetap sama - 1/100, dan untuk pintu yang tersisa peluangnya berubah: probabilitas total mobil berada di belakang salah satu pintu yang tersisa ( 99/100) sekarang didistribusikan bukan pada 99 pintu, tetapi 98. Oleh karena itu, kemungkinan menemukan mobil di balik masing-masing pintu ini bukanlah 1/100, tetapi 99/9800. Peningkatan probabilitas akan menjadi sekitar 0,01%.

pohon keputusan

Pohon solusi yang memungkinkan pemain dan tuan rumah, menunjukkan probabilitas dari setiap hasil

Secara lebih formal, skenario permainan dapat dijelaskan menggunakan pohon keputusan.

Dalam dua kasus pertama, saat pemain pertama kali memilih pintu di belakang kambing, mengubah pilihan menghasilkan kemenangan. Dalam dua kasus terakhir, saat pemain pertama kali memilih pintu dengan mobil, mengubah pilihan mengakibatkan kerugian.

Probabilitas total bahwa perubahan pilihan akan menghasilkan kemenangan setara dengan jumlah probabilitas dari dua hasil pertama, yaitu

Dengan demikian, probabilitas penolakan untuk mengubah pilihan akan menghasilkan kemenangan adalah sama dengan

Melakukan percobaan serupa

Ada cara mudah untuk memastikan bahwa mengubah pilihan awal menghasilkan kemenangan rata-rata dua dari tiga kali. Untuk melakukan ini, Anda dapat mensimulasikan permainan yang dijelaskan dalam masalah Monty Hall menggunakan bermain kartu. Satu orang (membagikan kartu) berperan sebagai Monty Hall terkemuka, dan yang kedua berperan sebagai pemain. Tiga kartu diambil untuk permainan, yang satu menggambarkan pintu dengan mobil (misalnya, kartu as sekop), dan dua lainnya yang identik (misalnya, dua kartu merah) adalah pintu dengan kambing.

Tuan rumah meletakkan tiga kartu tertutup, mengundang pemain untuk mengambil salah satu kartu. Setelah pemain memilih kartu, pemimpin melihat dua kartu yang tersisa dan mengungkapkan deuce merah. Setelah itu, kartu yang ditinggalkan oleh pemain dan pemimpin dibuka, dan jika kartu yang dipilih oleh pemain adalah kartu as sekop, maka satu poin dicatat untuk opsi ketika pemain tidak mengubah pilihannya, dan jika pemain memiliki deuce merah, dan pemimpin memiliki kartu as sekop, kemudian satu poin dicetak untuk opsi tersebut ketika pemain mengubah pilihannya. Jika kita memainkan banyak putaran permainan seperti itu, maka rasio antara poin yang mendukung kedua opsi mencerminkan rasio probabilitas opsi ini dengan cukup baik. Dalam hal ini, ternyata jumlah poin yang mendukung perubahan pilihan awal kira-kira dua kali lipat.

Eksperimen semacam itu tidak hanya memastikan bahwa kemungkinan menang saat mengubah pilihan menjadi dua kali lebih tinggi, tetapi juga menggambarkan dengan baik mengapa hal ini terjadi. Pada saat pemain telah memilih kartu untuk dirinya sendiri, sudah ditentukan apakah kartu as sekop ada di tangannya atau tidak. Pembukaan lebih lanjut dari salah satu kartu oleh pemimpin tidak mengubah situasi - pemain sudah memegang kartu di tangannya, dan tetap di sana terlepas dari tindakan pemimpin. Probabilitas bagi pemain untuk memilih as sekop tiga kartu jelas 1/3, dan dengan demikian kemungkinan tidak memilihnya (dan kemudian pemain menang jika dia mengubah pilihan aslinya) adalah 2/3.

Menyebutkan

Dalam film Twenty-one, gurunya, Miki Rosa, menantang tokoh utama, Ben, untuk memecahkan teka-teki: ada dua skuter dan satu mobil di balik tiga pintu; Anda harus menebak pintunya untuk memenangkan mobil. Setelah pilihan pertama, Miki menawarkan untuk mengubah pilihan tersebut. Ben setuju dan secara matematis membenarkan keputusannya. Jadi dia tanpa sadar lulus ujian untuk tim Miki.

Dalam novel Sergei Lukyanenko "Nedotepa", karakter utama, dengan menggunakan teknik ini, memenangkan kereta dan kesempatan untuk melanjutkan perjalanan mereka.

Dalam serial televisi 4isla (episode 13 season 1 "Man Hunt"), salah satu karakter utama, Charlie Epps, dalam kuliah populer tentang matematika, menjelaskan paradoks Monty Hall, dengan jelas mengilustrasikannya menggunakan papan penanda, di sisi terbalik yang dicat kambing dan mobil. Charlie menemukan mobil itu dengan mengubah pilihan. Namun, perlu dicatat bahwa dia hanya menjalankan satu percobaan, sedangkan keuntungan dari strategi pergantian bersifat statistik, dan serangkaian percobaan harus dijalankan untuk menggambarkan dengan benar.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

Populer dalam kategori: