rumah › peralatan listrik › Ada tiga pintu di depan Anda. Paradoks Monty Hall - penjelasan untuk peningkatan kemungkinan pilihan

Ada tiga pintu di depan Anda. Paradoks Monty Hall - penjelasan untuk peningkatan kemungkinan pilihan

Tentang lotere

Game ini telah lama memperoleh karakter massal dan telah menjadi bagian integral dari kehidupan modern. Dan meskipun lotre semakin memperluas kemampuannya, banyak orang masih melihatnya hanya sebagai cara untuk menjadi kaya. Biarkan dan tidak gratis dan tidak dapat diandalkan. Di sisi lain, seperti yang dicatat oleh salah satu pahlawan Jack London, di berjudi orang tidak bisa tidak memperhitungkan fakta - orang terkadang beruntung.

Matematika kasus. Sejarah teori probabilitas

Alexander Bufetov

Transkrip dan rekaman video kuliah oleh Doctor of Physical and Mathematical Sciences, pembawa acara peneliti Institut Matematika Steklov, Rekan Riset Terkemuka, IPTP RAS, Profesor, Fakultas Matematika, Sekolah Tinggi Ekonomi, Direktur Riset Pusat Nasional penelitian ilmiah di Prancis (CNRS) oleh Alexander Bufetov, disampaikan sebagai bagian dari seri Kuliah Umum Polit.ru pada 6 Februari 2014.

Ilusi Keteraturan: Mengapa Keacakan Tampak Tidak Wajar

Gagasan kami tentang acak, teratur, dan tidak mungkin sering menyimpang dari data statistik dan teori probabilitas. dalam "Peluang Tidak Sempurna. Bagaimana peluang mengatur hidup kita” Fisikawan Amerika dan pemopuler sains Leonard Mlodinov berbicara tentang mengapa algoritme acak terlihat begitu aneh, apa yang menarik dari pengacakan lagu secara “acak” di iPod, dan apa yang menentukan keberhasilan seorang analis saham. Theories and Practices menerbitkan kutipan dari buku tersebut.

Determinisme

Determinisme adalah konsep ilmiah umum dan filsafat tentang kausalitas, pola, hubungan genetik, interaksi dan kondisionalitas dari semua fenomena dan proses yang terjadi di dunia.

Tuhan adalah statistik

Deborah Nolan, profesor statistik di University of California di Berkeley, meminta murid-muridnya untuk melakukan tugas yang sangat aneh pada pandangan pertama. Kelompok pertama harus melempar koin sebanyak seratus kali dan menuliskan hasilnya: kepala atau ekor. Yang kedua harus membayangkan bahwa dia sedang melempar koin - dan juga membuat daftar ratusan hasil "imajiner".

Apa itu determinisme

Jika kondisi awal sistem diketahui, dimungkinkan, dengan menggunakan hukum alam, untuk memprediksi keadaan akhirnya.

Masalah pengantin pemilih

Huseyn-Zade S.M.

Paradoks Zeno

Apakah mungkin untuk berpindah dari satu titik di ruang angkasa ke titik lainnya? Filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea percaya bahwa gerakan itu tidak dapat dilakukan sama sekali, tetapi bagaimana dia memperdebatkannya? Colm Keller berbicara tentang bagaimana memecahkan paradoks Zeno yang terkenal.

Paradoks himpunan tak terhingga

Bayangkan sebuah hotel dengan jumlah kamar yang tak terbatas. Sebuah bus tiba dengan jumlah tamu masa depan yang tak terbatas. Tetapi menempatkan semuanya tidaklah mudah. Ini adalah kerumitan yang tak ada habisnya, dan para tamu lelah tanpa henti. Dan jika Anda gagal mengatasi tugas tersebut, Anda dapat kehilangan uang dalam jumlah tak terbatas! Apa yang harus dilakukan?

Ketergantungan tinggi anak pada tinggi badan orang tua

Para orang tua muda tentunya ingin mengetahui tinggi badan anaknya saat dewasa nanti. Statistik matematika dapat menawarkan hubungan linier sederhana untuk memperkirakan secara kasar tinggi anak, hanya berdasarkan tinggi ayah dan ibu, dan juga menunjukkan keakuratan perkiraan tersebut.

Paradoks Monty Hall mungkin merupakan paradoks paling terkenal dalam teori probabilitas. Variasinya banyak, misalnya paradoks ketiga napi. Dan ada banyak interpretasi dan penjelasan dari paradoks ini. Namun di sini, saya ingin memberikan tidak hanya penjelasan formal, tetapi juga untuk menunjukkan dasar "fisik" dari apa yang terjadi dalam paradoks Monty Hall dan orang lain seperti dia.

Ungkapan klasiknya adalah:

“Kamu dalam permainan. Ada tiga pintu di depan Anda. Salah satunya memiliki hadiah. Tuan rumah mengundang Anda untuk mencoba menebak di mana hadiahnya. Anda menunjuk ke salah satu pintu (secara acak).

Perumusan Paradoks Monty Hall

Tuan rumah tahu di mana sebenarnya hadiah itu. Dia, sementara, tidak membuka pintu yang telah Anda tunjukkan. Tapi itu membuka satu lagi pintu yang tersisa untuk Anda, di belakangnya tidak ada hadiah. Pertanyaannya adalah, haruskah Anda mengubah pilihan Anda, atau tetap dengan keputusan yang sama?

Ternyata jika Anda mengubah pilihan Anda, maka peluang Anda untuk menang akan meningkat!

Paradoks situasinya jelas. Segala sesuatu yang terjadi tampaknya acak. Tidak masalah jika Anda berubah pikiran atau tidak. Tapi ternyata tidak.

Penjelasan "fisik" tentang sifat paradoks ini

Mari, pertama-tama, jangan masuk ke seluk-beluk matematika, tetapi lihat saja situasinya tanpa prasangka.

Dalam game ini, Anda hanya melakukan yang pertama seleksi acak. Tuan rumah kemudian memberi tahu Anda Informasi tambahan , yang memungkinkan Anda untuk meningkatkan peluang Anda untuk menang.

Bagaimana fasilitator memberi Anda informasi tambahan? Sangat sederhana. Perhatikan bahwa itu terbuka tidak ada pintu.

Mari, untuk kesederhanaan (walaupun ada unsur kelicikan dalam hal ini), pertimbangkan situasi yang lebih mungkin terjadi: Anda telah menunjuk ke sebuah pintu yang tidak memiliki hadiah. Kemudian, di balik salah satu pintu yang tersisa, hadiahnya Ada. Artinya, pemimpin tidak punya pilihan. Ini membuka pintu yang sangat spesifik. (Anda menunjuk ke satu, ada hadiah di belakang yang lain, hanya ada satu pintu tersisa yang bisa dibuka tuan rumah.)

Pada saat pilihan yang bermakna inilah dia memberi Anda informasi yang dapat Anda gunakan.

DI DALAM kasus ini, penggunaan informasi adalah Anda mengubah keputusan.

Omong-omong, pilihan kedua Anda sudah terlalu tidak disengaja(atau lebih tepatnya, tidak acak seperti pilihan pertama). Lagi pula, Anda memilih dari pintu tertutup, dan satu sudah terbuka dan itu tidak sewenang-wenang.

Sebenarnya, setelah pertengkaran ini, Anda mungkin merasa lebih baik berubah pikiran. Benar-benar. Mari kita tunjukkan lebih formal.

Penjelasan Lebih Formal tentang Paradoks Monty Hall

Nyatanya, pilihan acak pertama Anda membagi semua pintu menjadi dua kelompok. Di belakang pintu yang Anda pilih, hadiahnya terletak dengan probabilitas 1/3, di belakang dua lainnya - dengan probabilitas 2/3. Sekarang tuan rumah membuat perubahan: dia membuka satu pintu di grup kedua. Dan sekarang seluruh probabilitas 2/3 hanya berlaku untuk pintu tertutup dalam kelompok dua pintu.

Jelas bahwa sekarang lebih menguntungkan bagi Anda untuk berubah pikiran.

Meskipun, tentu saja, Anda masih memiliki peluang untuk kalah.

Namun, mengubah pilihan Anda meningkatkan peluang Anda untuk menang.

Paradoks Monty Hall

Paradoks Monty Hall adalah masalah probabilistik, yang solusinya (menurut beberapa) bertentangan dengan akal sehat. Perumusan Tugas:

Bayangkan Anda menjadi peserta dalam permainan di mana Anda harus memilih salah satu dari tiga pintu. Di belakang salah satu pintu ada mobil, di belakang dua pintu lainnya ada kambing.
Anda memilih salah satu pintu, misalnya nomor 1, setelah itu tuan rumah yang tahu di mana mobil dan di mana kambingnya membuka salah satu pintu yang tersisa, misalnya nomor 3, di belakangnya ada seekor kambing.

Paradoks Monty Hall. Matematika paling tidak akurat yang pernah ada

Setelah itu, dia menanyakan apakah Anda ingin mengubah pilihan dan memilih pintu nomor 2.
Akankah peluang Anda untuk memenangkan mobil meningkat jika Anda menerima tawaran tuan rumah dan mengubah pilihan Anda?

Saat memecahkan masalah, sering keliru diasumsikan bahwa kedua pilihan itu independen dan, oleh karena itu, probabilitasnya tidak akan berubah ketika pilihannya berubah. Faktanya, tidak demikian, seperti yang dapat Anda lihat dengan mengingat rumus Bayes atau melihat hasil simulasi di bawah ini:

Di sini: "strategi 1" - jangan ubah pilihan, "strategi 2" - ubah pilihan. Secara teoritis, untuk kasus dengan 3 pintu, distribusi probabilitasnya adalah 33.(3)% dan 66.(6)%. Simulasi numerik harus memberikan hasil yang serupa.

Tautan

Paradoks Monty Hall- tugas dari bagian teori probabilitas, yang penyelesaiannya bertentangan dengan akal sehat.

Asal[sunting | edit teks wiki]

Pada akhir tahun 1963, ditayangkan acara bincang-bincang baru berjudul "Let's Make A Deal" ("Ayo Buat Kesepakatan"). Menurut skenario kuis, penonton dari penonton menerima hadiah untuk jawaban yang benar, memiliki kesempatan untuk melipatgandakannya dengan memasang taruhan baru, tetapi mempertaruhkan kemenangan yang ada. Pendiri acara tersebut adalah Stefan Hatosu dan Monty Hall, yang terakhir menjadi pembawa acara tetapnya selama bertahun-tahun.

Salah satu tugas peserta adalah pengundian Grand Prize yang terletak di belakang salah satu dari tiga pintu. Untuk dua orang sisanya ada hadiah insentif, secara bergiliran presenter mengetahui urutan lokasinya. Kontestan harus menentukan pintu kemenangan dengan mempertaruhkan semua kemenangan mereka dari pertunjukan.

Ketika penebak memutuskan nomornya, tuan rumah membuka salah satu pintu yang tersisa, di belakangnya ada hadiah insentif, dan menawarkan pemain untuk mengganti pintu yang dipilih semula.

Formulasi[sunting | edit teks wiki]

Sebagai masalah khusus, paradoks ini pertama kali dikemukakan oleh Steve Selvin pada tahun 1975, yang mengajukan kepada The American Statistician dan pembawa acara Monty Hall pertanyaan: Akankah peluang kontestan untuk memenangkan Hadiah Utama berubah jika, setelah membuka pintu dengan insentif dia akan berubah? pilihannya? Setelah kejadian ini, konsep "Monty Hall Paradox" muncul.

Pada tahun 1990, versi paradoks yang paling umum diterbitkan di Majalah Parade (Majalah "Parade") dengan contoh:

“Bayangkan diri Anda dalam permainan TV di mana Anda harus memberi preferensi pada salah satu dari tiga pintu: kambing di belakang dua pintu, dan mobil di belakang pintu ketiga. Ketika Anda membuat pilihan, dengan asumsi, misalnya, pintu pemenang adalah nomor satu, tuan rumah membuka salah satu dari dua pintu yang tersisa, misalnya nomor tiga, di belakangnya adalah seekor kambing. Apakah Anda kemudian diberi kesempatan untuk mengubah pilihan Anda ke pintu lain? Bisakah Anda meningkatkan peluang memenangkan mobil dengan mengubah pilihan Anda dari pintu nomor satu ke pintu nomor dua?”

Kata-kata ini adalah versi yang disederhanakan, karena tetap ada faktor pengaruh tuan rumah yang tahu persis di mana mobil itu dan tertarik untuk kehilangan peserta.

Agar soal menjadi murni matematis, faktor manusia perlu dihilangkan dengan memperkenalkan bukaan pintu dengan hadiah insentif dan kemampuan mengubah pilihan awal sebagai syarat integral.

Solusi[sunting | edit teks wiki]

Jika sekilas membandingkan peluang, mengubah nomor pintu tidak akan memberikan keuntungan apa pun, karena. ketiga opsi memiliki peluang 1/3 untuk menang (sekitar 33,33% di masing-masing dari tiga pintu). Pada saat yang sama, membuka salah satu pintu tidak akan memengaruhi peluang dua pintu yang tersisa, yang peluangnya akan menjadi 1/2 hingga 1/2 (50% untuk masing-masing dari dua pintu yang tersisa). Penilaian ini didasarkan pada asumsi bahwa pemilihan pintu oleh pemain dan pemilihan pintu oleh tuan rumah adalah dua peristiwa independen yang tidak saling mempengaruhi. Bahkan, perlu untuk mempertimbangkan seluruh rangkaian peristiwa secara keseluruhan. Sesuai dengan teori probabilitas, peluang pintu yang dipilih pertama dari awal hingga akhir permainan selalu 1/3 (sekitar 33,33%), dan dua pintu yang tersisa memiliki total 1/3 + 1 /3 = 2/3 (sekitar 66,66%). Ketika salah satu dari dua pintu yang tersisa dibuka, peluangnya menjadi 0% (hadiah insentif tersembunyi di baliknya), dan sebagai hasilnya, peluang pintu tertutup yang tidak dipilih menjadi 66,66%, yaitu. dua kali lipat dari yang asli.

Untuk memudahkan memahami hasil pilihan, kita dapat mempertimbangkan situasi alternatif di mana jumlah pilihan akan lebih banyak, misalnya seribu. Probabilitas untuk memilih opsi yang menang adalah 1/1000 (0,1%). Asalkan sembilan ratus sembilan puluh delapan yang salah kemudian dibuka dari sembilan ratus sembilan puluh sembilan pilihan yang tersisa, menjadi jelas bahwa kemungkinan satu pintu yang tersisa dari sembilan ratus sembilan puluh sembilan tidak dipilih lebih tinggi daripada peluang. hanya satu yang dipilih di awal.

Sebutan[sunting | edit teks wiki]

Anda dapat menemukan penyebutan Monty Hall Paradox dalam "Twenty-one" (film oleh Robert Luketich), "Kluttyop" (novel oleh Sergei Lukyanenko), serial TV "4isla" (serial TV), "The Mysterious Nighttime Killing of a Anjing" (novel oleh Mark Haddon), "XKCD" (buku komik), MythBusters (acara TV).

Lihat juga[sunting | edit teks wiki]

Dalam gambar tersebut, proses memilih antara dua pintu tertutup dari tiga pintu yang awalnya diusulkan

Contoh solusi untuk masalah dalam kombinatorik

Kombinatorik adalah ilmu yang ditemui semua orang Kehidupan sehari-hari: berapa banyak cara memilih 3 petugas untuk membersihkan kelas atau berapa banyak cara membuat kata dari huruf-huruf yang diberikan.

Secara umum, kombinatorik memungkinkan Anda menghitung berapa banyak kombinasi berbeda, menurut kondisi tertentu, yang dapat dibuat dari objek tertentu (sama atau berbeda).

Sebagai ilmu, kombinatorika muncul kembali pada abad ke-16, dan sekarang setiap siswa (dan bahkan anak sekolah) mempelajarinya. Mereka mulai belajar dengan konsep permutasi, penempatan, kombinasi (dengan atau tanpa pengulangan), Anda akan menemukan masalah pada topik di bawah ini. Aturan kombinatorik yang paling terkenal adalah aturan penjumlahan dan perkalian, yang paling sering digunakan dalam masalah kombinatorial biasa.

Di bawah ini Anda akan menemukan beberapa contoh tugas dengan solusi untuk konsep dan aturan kombinatorial yang akan membantu Anda menangani tugas-tugas umum. Jika ada kesulitan dengan tugas, pesanlah tes kombinatorik.

Masalah dalam kombinatorik dengan solusi online

Tugas 1. Ibu punya 2 apel dan 3 pir. Setiap hari selama 5 hari berturut-turut, dia membagikan satu potong buah. Dalam berapa cara hal ini dapat dilakukan?

Pemecahan Masalah Kombinatorika 1 (pdf, 35 Kb)

Tugas 2. Suatu perusahaan dapat memberikan pekerjaan dalam satu spesialisasi kepada 4 wanita, di spesialisasi lain - hingga 6 pria, di sepertiga - hingga 3 karyawan, apa pun jenis kelaminnya. Berapa banyak cara lowongan dapat diisi jika ada 14 pelamar: 6 perempuan dan 8 laki-laki?

Pemecahan masalah dalam kombinatorik 2 (pdf, 39 Kb)

Tugas 3. Ada 9 mobil di kereta penumpang. Berapa banyak cara 4 orang dapat duduk di sebuah kereta api, asalkan mereka semua bepergian dengan gerbong yang berbeda?

Pemecahan Masalah Kombinatorika 3 (pdf, 33 Kb)

Tugas 4. Ada 9 orang dalam grup. Berapa banyak subkelompok berbeda yang dapat dibentuk, asalkan subkelompok tersebut terdiri dari paling sedikit 2 orang?

Pemecahan masalah dalam kombinatorika 4 (pdf, 34 Kb)

Tugas 5. Sekelompok 20 siswa harus dibagi menjadi 3 tim, dan tim pertama harus terdiri dari 3 orang, yang kedua - 5 dan yang ketiga - 12. Berapa banyak cara yang dapat dilakukan?

Pemecahan masalah dalam kombinatorika 5 (pdf, 37 Kb)

Tugas 6. Untuk berpartisipasi dalam tim, pelatih memilih 5 anak laki-laki dari 10. Berapa banyak cara dia dapat membentuk tim jika 2 anak laki-laki tertentu harus dimasukkan ke dalam tim?

Soal kombinatorik dengan solusi 6 (pdf, 33 Kb)

Tugas 7. Turnamen catur diikuti oleh 15 pecatur, dan masing-masing dari mereka hanya memainkan satu permainan satu sama lain. Berapa banyak pertandingan yang dimainkan di turnamen ini?

Soal kombinatorik dengan solusi 7 (pdf, 37 Kb)

Tugas 8. Berapa banyak pecahan berbeda yang dapat dibentuk dari bilangan 3, 5, 7, 11, 13, 17 sehingga setiap pecahan terdiri dari 2 berbagai nomor? Berapa banyak dari mereka akan menjadi pecahan yang tepat?

Soal kombinatorik dengan solusi 8 (pdf, 32 Kb)

Tugas 9. Berapa banyak kata yang dapat diperoleh dengan menyusun ulang huruf-huruf pada kata Horus and Institute?

Soal kombinatorik dengan solusi 9 (pdf, 32 Kb)

Tugas 10. Angka apa dari 1 sampai 1.000.000 yang lebih besar: angka yang memiliki satuan, atau angka yang tidak memiliki satuan?

Soal kombinatorik dengan solusi 10 (pdf, 39 Kb)

Contoh siap

Perlu memecahkan masalah dalam kombinatorik? Temukan di panduan:

Solusi lain untuk masalah dalam teori probabilitas

Bayangkan seorang bankir tertentu menawarkan Anda untuk memilih salah satu dari tiga kotak tertutup. Di salah satunya 50 sen, di yang lain - satu dolar, di yang ketiga - 10 ribu dolar. Siapa pun yang Anda pilih, Anda akan mendapatkannya sebagai hadiah.

Anda memilih secara acak, misalkan kotak nomor 1. Dan kemudian bankir (yang, tentu saja, tahu di mana semuanya berada) tepat di depan mata Anda membuka sebuah kotak dengan satu dolar (katakanlah ini No. 2), setelah itu dia menawarkan Anda untuk mengubah kotak No. 1 ke kotak No.3.

Haruskah Anda berubah pikiran? Apakah ini akan meningkatkan peluang Anda untuk mendapatkan 10 ribu?

Ini adalah paradoks Monty Hall - masalah teori probabilitas, yang solusinya, pada pandangan pertama, bertentangan dengan akal sehat. Orang-orang telah menggaruk-garuk kepala karena masalah ini sejak 1975.

Paradoks itu dinamai pembawa acara TV Amerika yang populer, Let's Make a Deal. Acara TV ini memiliki aturan yang serupa, hanya peserta yang memilih pintu, dua di antaranya adalah kambing persembunyian, dan yang ketiga adalah Cadillac.

Sebagian besar pemain beralasan setelah ada dua pintu tertutup dan ada Cadillac di belakang salah satunya, maka peluang mendapatkannya adalah 50-50.Jelas, saat tuan rumah membuka satu pintu dan mengajak Anda berubah pikiran, dia dimulai permainan baru. Apakah Anda berubah pikiran atau tidak, peluang Anda tetap 50 persen. Benar sekali?

Ternyata tidak. Nyatanya, dengan mengubah pikiran Anda, Anda menggandakan peluang sukses Anda. Mengapa?

Penjelasan paling sederhana untuk jawaban ini adalah pertimbangan berikut. Untuk memenangkan mobil tanpa mengubah pilihan, pemain harus segera menebak pintu di belakang mobil itu berdiri. Probabilitas ini adalah 1/3. Jika pemain awalnya menabrak pintu dengan seekor kambing di belakangnya (dan kemungkinan kejadian ini adalah 2/3, karena ada dua kambing dan hanya satu mobil), maka dia pasti dapat memenangkan mobil tersebut dengan berubah pikiran, karena mobil tersebut dan seekor kambing tersisa, dan tuan rumah telah membuka pintu dengan kambing itu.

Jadi, tanpa mengubah pilihan, pemain tetap dengan probabilitas awalnya untuk menang 1/3, dan ketika mengubah pilihan awal, pemain mendapatkan keuntungannya dua kali lipat dari kemungkinan yang tersisa bahwa dia tidak menebak dengan benar di awal.

Juga, penjelasan intuitif dapat dilakukan dengan menukar kedua peristiwa tersebut. Event pertama adalah keputusan pemain untuk mengganti pintu, event kedua adalah pembukaan pintu tambahan. Ini dapat diterima, karena membuka pintu tambahan tidak memberikan apa pun kepada pemain informasi baru(dokumen lihat di artikel ini). Kemudian masalahnya dapat direduksi menjadi rumusan berikut. Pada saat pertama, pemain membagi pintu menjadi dua grup: di grup pertama ada satu pintu (yang dia pilih), di grup kedua ada dua pintu yang tersisa. Pada saat berikutnya, pemain membuat pilihan antar grup. Jelas bahwa untuk kelompok pertama kemungkinan menang adalah 1/3, untuk kelompok kedua 2/3. Pemain memilih kelompok kedua. Di kelompok kedua, dia bisa membuka kedua pintu. Satu dibuka oleh tuan rumah, dan yang kedua oleh pemain itu sendiri.

Mari kita coba berikan penjelasan yang "paling bisa dimengerti". Merumuskan ulang masalah: Tuan rumah yang jujur mengumumkan kepada pemain bahwa ada mobil di belakang salah satu dari tiga pintu, dan menyarankan agar dia pertama-tama menunjuk ke salah satu pintu, lalu memilih salah satu dari dua tindakan: buka pintu yang ditunjukkan (di formulasi lama, ini disebut "jangan ubah pilihan Anda") atau buka dua lainnya (dalam kata-kata lama, ini hanya akan menjadi "ubah pilihan". Pikirkanlah, ini adalah kunci untuk memahami!). Jelas bahwa pemain akan memilih tindakan kedua, karena kemungkinan mendapatkan mobil dalam hal ini dua kali lebih tinggi. Dan hal kecil yang tuan rumah bahkan sebelum memilih tindakan "menunjukkan seekor kambing" tidak membantu dan tidak mengganggu pilihan, karena di balik salah satu dari dua pintu selalu ada seekor kambing dan tuan rumah pasti akan menunjukkannya kapan saja selama pertandingan, jadi pemain bisa di atas kambing ini dan tidak menonton. Urusan pemain, jika dia memilih tindakan kedua, adalah mengatakan "terima kasih" kepada tuan rumah karena telah menyelamatkannya dari kesulitan membuka salah satu dari dua pintu itu sendiri, dan membuka yang lain. Nah, atau bahkan lebih mudah. Bayangkan situasi ini dari sudut pandang tuan rumah, yang melakukan prosedur serupa dengan puluhan pemain. Karena dia tahu betul apa yang ada di balik pintu, maka, rata-rata, dalam dua dari tiga kasus, dia melihat sebelumnya bahwa pemain telah memilih pintu yang "salah". Oleh karena itu, baginya pasti tidak ada paradoks bahwa strategi yang tepat adalah mengubah pilihan setelah membuka pintu pertama: lagipula, dalam dua dari tiga kasus yang sama, pemain akan meninggalkan studio dengan mobil baru.

Terakhir, bukti paling "naif". Biarlah orang yang mendukung pilihannya disebut "Keras Kepala", dan orang yang mengikuti instruksi pemimpin, disebut "Perhatian". Kemudian yang Keras Kepala menang jika dia awalnya menebak mobilnya (1/3), dan yang Penuh Perhatian - jika dia meleset dan menabrak kambing terlebih dahulu (2/3). Lagi pula, hanya dalam hal ini dia kemudian akan menunjuk ke pintu dengan mobil.

Monty Hall, produser dan pembawa acara Ayo Buat Kesepakatan dari tahun 1963 hingga 1991.

Pada tahun 1990, masalah ini dan solusinya diterbitkan di majalah Amerika Parade. Publikasi tersebut menimbulkan banyak ulasan marah dari para pembaca, banyak di antaranya memiliki gelar ilmiah.

Keluhan utamanya adalah tidak semua kondisi masalah ditentukan, dan nuansa apa pun dapat memengaruhi hasil. Misalnya, tuan rumah dapat menawarkan untuk mengubah keputusan hanya jika pemain memilih mobil pada langkah pertama. Jelas, mengubah pilihan awal dalam situasi seperti itu akan menyebabkan kerugian yang dijamin.

Namun, sepanjang keberadaan acara TV Monty Hall, orang-orang yang berubah pikiran menang dua kali lebih sering:

Dari 30 pemain yang berubah pikiran, Cadillac memenangkan 18 - yaitu 60%

Dari 30 pemain yang tersisa dengan pilihannya, Cadillac memenangkan 11 - yaitu sekitar 36%

Jadi alasan yang diberikan dalam keputusan, betapapun tidak logisnya kelihatannya, dikonfirmasi oleh praktik.

Menambah jumlah pintu

Agar lebih mudah memahami esensi dari apa yang terjadi, kita dapat mempertimbangkan kasus ketika pemain tidak melihat tiga pintu di depannya, tetapi, misalnya, seratus. Pada saat yang sama, ada sebuah mobil di belakang salah satu pintu, dan kambing di belakang 99 pintu lainnya. Pemain memilih salah satu pintu, sedangkan dalam 99% kasus dia akan memilih pintu dengan kambing, dan kemungkinan untuk segera memilih pintu dengan mobil sangat kecil - hanya 1%. Setelah itu, tuan rumah membuka 98 pintu dengan kambing dan meminta pemain untuk memilih pintu yang tersisa. Dalam hal ini, dalam 99% kasus, mobil akan berada di balik pintu yang tersisa ini, karena kemungkinan pemain segera memilih pintu yang benar sangat kecil. Jelas bahwa dalam situasi ini pemain yang berpikiran rasional harus selalu menerima usulan pemimpin.

Saat mempertimbangkan peningkatan jumlah pintu, pertanyaan yang sering muncul: jika dalam masalah awal pemimpin membuka satu dari tiga pintu (yaitu 1/3 dari total pintu), mengapa kita harus berasumsi bahwa dalam kasus 100 pintu, tuan rumah akan membuka 98 pintu dengan kambing, dan bukan 33? Pertimbangan ini biasanya menjadi salah satu alasan signifikan mengapa paradoks Monty Hall bertentangan dengan persepsi intuitif situasi. Dengan asumsi pembukaan 98 pintu akan benar karena kondisi esensial Tugasnya hanya memiliki satu pilihan alternatif untuk pemain, yang ditawarkan oleh moderator. Oleh karena itu, agar tugasnya serupa, dalam kasus 4 pintu, pemimpin harus membuka 2 pintu, dalam kasus 5 pintu - 3, dan seterusnya, sehingga selalu ada satu pintu yang belum dibuka selain yang satu. yang awalnya dipilih pemain. Jika fasilitator membuka lebih sedikit pintu, maka tugasnya tidak lagi sama dengan tugas Monty Hall yang asli.

Perlu dicatat bahwa dalam kasus banyak pintu, meskipun tuan rumah tidak menutup satu pintu, tetapi beberapa, dan menawarkan pemain untuk memilih salah satunya, maka ketika mengubah pilihan awal, peluang pemain untuk memenangkan mobil akan masih meningkat walaupun tidak terlalu signifikan. Misalnya, pertimbangkan situasi di mana seorang pemain memilih satu pintu dari seratus pintu, dan kemudian fasilitator hanya membuka satu pintu yang tersisa, mengundang pemain untuk mengubah pilihannya. Pada saat yang sama, peluang mobil berada di belakang pintu yang awalnya dipilih oleh pemain tetap sama - 1/100, dan untuk pintu yang tersisa peluangnya berubah: probabilitas total mobil berada di belakang salah satu pintu yang tersisa ( 99/100) sekarang didistribusikan bukan pada 99 pintu, tetapi 98. Oleh karena itu, kemungkinan menemukan mobil di balik masing-masing pintu ini bukanlah 1/100, tetapi 99/9800. Peningkatan probabilitas akan menjadi sekitar 1%.

Pohon solusi yang memungkinkan pemain dan tuan rumah, menunjukkan kemungkinan setiap hasil Lebih formal, skenario permainan dapat dijelaskan dengan menggunakan pohon keputusan. Dalam dua kasus pertama, saat pemain pertama kali memilih pintu di belakang kambing, mengubah pilihan menghasilkan kemenangan. Dalam dua kasus terakhir, saat pemain pertama kali memilih pintu dengan mobil, mengubah pilihan mengakibatkan kerugian.

Jika Anda masih tidak mengerti, ludahi rumusnya dan adilperiksa semuanya secara statistik. Penjelasan lain yang mungkin:

Seorang pemain yang strateginya selalu mengubah pintu yang dipilih hanya akan kalah jika dia awalnya memilih pintu di belakang tempat mobil itu berada.
Karena peluang untuk memilih mobil pada percobaan pertama adalah satu dari tiga (atau 33%), peluang untuk tidak memilih mobil jika pemain mengubah pilihannya juga adalah satu dari tiga (atau 33%).
Artinya pemain yang menggunakan strategi pergantian pintu akan menang dengan probabilitas 66% atau dua banding tiga.
Ini akan menggandakan peluang memenangkan pemain yang strateginya tidak mengubah pilihan mereka setiap saat.

Masih tidak percaya? Katakanlah Anda memilih pintu #1. Ini semua opsi yang memungkinkan apa yang mungkin terjadi dalam kasus ini.

“Ada tiga jenis kebohongan: kebohongan, kebohongan terang-terangan dan statistik. Frasa ini, yang diatributkan oleh Mark Twain kepada Perdana Menteri Inggris Benjamin Disraeli, mencerminkan dengan baik sikap mayoritas terhadap hukum matematika. Memang, teori probabilitas terkadang melempar fakta menakjubkan, yang sulit dipercaya pada pandangan pertama - dan yang, bagaimanapun, dikonfirmasi oleh sains. "Teori dan Praktek" mengenang paradoks paling terkenal.

Masalah Monty Hall

Tugas inilah yang ditawarkan profesor MIT yang licik kepada para siswa di film Twenty-One. Memberikan jawaban yang tepat karakter utama bergabung dengan tim matematikawan muda brilian yang mengalahkan kasino di Las Vegas.

Kata-kata klasiknya seperti ini: “Katakanlah seorang pemain tertentu ditawari untuk berpartisipasi dalam acara TV Amerika yang terkenal Let's Make a Deal, yang dibawakan oleh Monty Hall, dan dia harus memilih salah satu dari tiga pintu. Di belakang dua pintu ada kambing, di belakang satu ada hadiah utama, mobil, presenter tahu lokasi hadiahnya. Setelah pemain menentukan pilihannya, fasilitator membuka salah satu pintu yang tersisa, di belakangnya ada seekor kambing, dan mengajak pemain untuk berubah pikiran. Haruskah pemain setuju atau lebih baik mempertahankan pilihan awal mereka?”

Inilah alur penalaran yang khas: setelah tuan rumah membuka salah satu pintu dan menunjukkan kambingnya, pemain harus memilih di antara dua pintu. Mobil itu berada di belakang salah satunya, jadi peluang untuk menebaknya adalah ½. Jadi tidak ada perbedaan - untuk mengubah pilihan Anda atau tidak. Namun, teori probabilitas mengatakan bahwa Anda dapat meningkatkan peluang Anda untuk menang dengan mengubah keputusan Anda. Mari kita lihat mengapa demikian.

Untuk melakukan ini, mari mundur selangkah. Pada saat kami membuat pilihan awal, kami membagi pintu menjadi dua bagian: yang kami pilih dan dua lainnya. Jelas, probabilitas mobil itu bersembunyi di balik pintu "kita" adalah ⅓ - masing-masing, mobil itu berada di belakang salah satu dari dua pintu yang tersisa dengan probabilitas ⅔. Ketika fasilitator menunjukkan ada kambing di balik salah satu pintu tersebut, ternyata ⅔ peluang tersebut jatuh pada pintu kedua. Dan ini mengurangi pilihan pemain menjadi dua pintu, di belakang salah satunya (awalnya dipilih) mobil dengan probabilitas ⅓, dan di belakang yang lain dengan probabilitas ⅔. Pilihannya menjadi jelas. Yang tentunya tidak meniadakan fakta bahwa sejak awal pemain bisa memilih pintu dengan mobil.

Tugas ketiga napi

Paradoks Tiga Tahanan mirip dengan masalah Monty Hall, meskipun aksinya berlangsung dalam latar yang lebih dramatis. Tiga narapidana (A, B dan C) dijatuhi hukuman mati dan ditempatkan di sel isolasi. Gubernur secara acak memilih salah satu dari mereka dan memberinya pengampunan. Sipir tahu yang mana dari ketiganya yang diampuni, tapi dia disuruh merahasiakannya. Narapidana A meminta penjaga untuk memberitahukan nama narapidana kedua (selain dirinya) yang pasti akan dieksekusi: “jika B diampuni, beri tahu saya bahwa C akan dieksekusi. Jika C diampuni, beri tahu saya bahwa B akan dieksekusi Jika keduanya dieksekusi , tapi saya kasihan, lempar koin, dan sebutkan salah satu dari dua nama ini. Sipir mengatakan bahwa tahanan B akan dieksekusi. Haruskah tahanan A bahagia?

Tampaknya, ya. Lagi pula, sebelum menerima informasi ini, kemungkinan kematian narapidana A adalah ⅔, dan sekarang dia tahu bahwa salah satu dari dua narapidana lainnya akan dieksekusi, yang berarti kemungkinan eksekusinya berkurang menjadi ½. Namun nyatanya, narapidana A tidak mengetahui hal baru: jika dia tidak diampuni, dia akan diberi tahu nama narapidana lain, dan dia sudah tahu bahwa salah satu dari dua yang tersisa akan dieksekusi. Jika dia beruntung, dan eksekusi dibatalkan, dia akan mendengar nama acak B atau C. Oleh karena itu, peluang keselamatannya tidak berubah sama sekali.

Sekarang bayangkan salah satu narapidana yang tersisa mengetahui tentang pertanyaan narapidana A dan jawaban yang diterima. Ini akan mengubah idenya tentang kemungkinan pengampunan.

Jika tahanan B tidak sengaja mendengar percakapan tersebut, dia akan tahu bahwa dia pasti akan dieksekusi. Dan jika narapidana itu B, maka kemungkinan pengampunannya adalah ⅔. Kenapa ini terjadi? Narapidana A belum mendapat informasi apapun dan peluangnya untuk diampuni masih ⅓. Tahanan B pasti tidak akan diampuni, dan peluangnya nol. Artinya, peluang narapidana ketiga dibebaskan adalah ⅔.

Paradoks dua amplop

Paradoks ini diketahui berkat ahli matematika Martin Gardner, dan dirumuskan sebagai berikut: “Misalkan Anda dan seorang teman ditawari dua amplop, salah satunya berisi sejumlah uang X, dan yang lainnya berisi sejumlah dua kali lipat. Anda membuka amplop secara mandiri, menghitung uang, setelah itu Anda dapat menukarnya. Amplopnya sama, jadi ada ½ kemungkinan Anda mendapatkan amplop dengan jumlah yang lebih kecil. Katakanlah Anda membuka sebuah amplop dan menemukan $10 di dalamnya. Oleh karena itu, amplop teman Anda kemungkinan besar berisi $5 atau $20. Jika Anda memutuskan untuk menukar, maka Anda dapat menghitung ekspektasi matematis dari jumlah akhir - yaitu, nilai rata-ratanya. Ini adalah 1/2x$5+1/2x20=$12,5. Dengan demikian, pertukaran itu bermanfaat bagi Anda. Dan, kemungkinan besar, teman Anda akan berdebat dengan cara yang persis sama. Tetapi jelas bahwa pertukaran itu tidak menguntungkan bagi Anda berdua. Apa kesalahannya?

Paradoksnya adalah sampai Anda membuka amplop Anda, probabilitas berlaku adil: Anda sebenarnya memiliki peluang 50 persen untuk menemukan X di amplop Anda dan peluang 50 persen untuk menemukan 2X di amplop Anda. Dan akal sehat menyatakan bahwa informasi tentang jumlah yang Anda miliki tidak dapat memengaruhi isi amplop kedua.

Namun, segera setelah Anda membuka amplopnya, situasinya berubah secara dramatis (paradoks ini agak mirip dengan cerita kucing Schrödinger, di mana kehadiran pengamat memengaruhi keadaan). Faktanya adalah bahwa untuk memenuhi kondisi paradoks, kemungkinan menemukan jumlah yang lebih besar atau lebih kecil di amplop kedua harus sama. Tetapi nilai apa pun dari jumlah ini dari nol hingga tak terhingga memiliki kemungkinan yang sama. Dan jika ada jumlah kemungkinan yang sama, mereka menambahkan hingga tak terhingga. Dan ini tidak mungkin.

Untuk lebih jelasnya, Anda dapat membayangkan bahwa Anda menemukan satu sen di dalam amplop Anda. Jelas, amplop kedua tidak dapat memuat setengah dari jumlah tersebut.

Sangat mengherankan bahwa diskusi mengenai penyelesaian paradoks terus berlanjut hingga saat ini. Pada saat yang sama, upaya dilakukan baik untuk menjelaskan paradoks dari dalam maupun untuk mengembangkannya strategi terbaik perilaku dalam situasi seperti itu. Secara khusus, Profesor Thomas Cover mengusulkan pendekatan orisinal untuk pembentukan strategi - untuk mengubah atau tidak mengubah amplop, dipandu oleh ekspektasi intuitif. Katakanlah jika Anda membuka amplop dan menemukan $10 di dalamnya - jumlah yang kecil menurut perkiraan Anda - ada baiknya menukarnya. Dan jika amplop itu berisi, katakanlah, $1.000, yang melebihi ekspektasi terliar Anda, maka tidak perlu mengubahnya. Strategi intuitif ini, jika Anda secara teratur ditawari untuk memilih dua amplop, memberi Anda kesempatan untuk meningkatkan total kemenangan lebih banyak daripada strategi mengubah amplop secara konstan.

Paradoks laki-laki dan perempuan

Paradoks ini juga dikemukakan oleh Martin Gardner dan dirumuskan sebagai berikut: “Tuan Smith memiliki dua orang anak. Setidaknya satu anak laki-laki. Berapa peluang bahwa yang kedua juga laki-laki?

Tampaknya tugasnya sederhana. Namun, jika Anda mulai memahami, keadaan yang aneh terungkap: jawaban yang benar akan berbeda tergantung pada bagaimana kita menghitung kemungkinan jenis kelamin anak lain.

Pilihan 1

Pertimbangkan semua kemungkinan kombinasi dalam keluarga dengan dua anak:

Gadis / Gadis

Perempuan laki-laki

Laki-laki/Perempuan

Laki-laki/Laki-laki

Opsi cewek/cewek tidak cocok untuk kita sesuai dengan kondisi masalahnya. Oleh karena itu, untuk keluarga Tuan Smith, ada tiga kemungkinan pilihan yang sama - yang berarti kemungkinan bahwa anak lainnya juga laki-laki adalah ⅓. Inilah jawaban yang diberikan oleh Gardner sendiri pada awalnya.

pilihan 2

Bayangkan kita bertemu Tuan Smith di jalan saat dia berjalan dengan putranya. Berapa peluang anak kedua juga laki-laki? Karena jenis kelamin anak kedua tidak bergantung pada jenis kelamin anak pertama, jawaban yang jelas (dan benar) adalah ½.

Mengapa ini terjadi, karena sepertinya tidak ada yang berubah?

Itu semua tergantung pada bagaimana kita mendekati masalah penghitungan probabilitas. Dalam kasus pertama, kami mempertimbangkan semua kemungkinan varian dari keluarga Smith. Yang kedua - kami mempertimbangkan semua keluarga yang termasuk dalam kondisi wajib "harus ada satu anak laki-laki". Perhitungan probabilitas jenis kelamin anak kedua dilakukan dengan kondisi ini (dalam teori probabilitas disebut "probabilitas bersyarat"), yang menyebabkan hasil berbeda dari yang pertama.

Pada bulan Desember 1963 di saluran TV Amerika NBC program pertama kali dirilis Ayo Buat Kesepakatan("Ayo Buat Kesepakatan!"), di mana peserta yang dipilih dari penonton di studio saling tawar-menawar dan dengan pembawa acara, bermain permainan kecil atau hanya menebak jawaban atas pertanyaan itu. Di akhir siaran, para peserta dapat memainkan "deal of the day". Di depan mereka ada tiga pintu, yang diketahui bahwa di belakang salah satunya ada Hadiah Utama (misalnya, mobil), dan di belakang dua lainnya ada hadiah yang kurang berharga atau sama sekali tidak masuk akal (misalnya, kambing hidup). . Setelah pemain menentukan pilihannya, Monty Hall, pembawa acara, membuka salah satu dari dua pintu yang tersisa, menunjukkan bahwa tidak ada Hadiah di baliknya dan membuat peserta senang bahwa dia memiliki kesempatan untuk menang.

Pada tahun 1975, ilmuwan UCLA Steve Selvin bertanya apa yang akan terjadi jika pada saat itu, setelah membuka pintu tanpa Hadiah, peserta diminta untuk mengubah pilihannya. Akankah peluang pemain untuk mendapatkan Hadiah berubah dalam kasus ini, dan jika ya, ke arah mana? Dia menyerahkan pertanyaan yang relevan sebagai masalah ke jurnal Ahli Statistik Amerika("The American Statistician"), dan juga kepada Monty Hall sendiri, yang memberinya jawaban yang agak aneh. Terlepas dari jawaban ini (atau mungkin karena itu), masalahnya menjadi populer dengan nama "Masalah Monty Hall".

Tugas

Anda berakhir di acara Monty Hall sebagai peserta - dan di saat-saat terakhir, membuka pintu dengan seekor kambing, pembawa acara menyarankan agar Anda mengubah pilihan. Akankah keputusan Anda - setuju atau tidak - memengaruhi kemungkinan menang?

Petunjuk

Cobalah untuk mempertimbangkan orang-orang yang memilih pintu berbeda dalam kasus yang sama (yaitu ketika Hadiahnya, misalnya, di balik pintu nomor 1). Siapa yang akan mendapat manfaat dari mengubah pilihan mereka, dan siapa yang tidak?

Larutan

Seperti yang disarankan di tooltip, pertimbangkan orang yang membuat pilihan berbeda. Mari kita asumsikan bahwa Hadiah ada di balik pintu #1, dan di balik pintu #2 dan #3 adalah kambing. Misalkan kita memiliki enam orang, dan setiap pintu dipilih oleh dua orang, dan dari setiap pasangan satu orang kemudian mengubah keputusannya, dan yang lainnya tidak.

Perhatikan bahwa Tuan Rumah yang memilih pintu No. 1 akan membuka salah satu dari dua pintu sesuai selera, sementara terlepas dari ini, Mobil akan diterima oleh orang yang tidak mengubah pilihannya, tetapi orang yang mengubah pilihan awalnya. akan tetap tanpa Hadiah. Sekarang mari kita lihat mereka yang memilih pintu #2 dan #3. Karena ada Mobil di belakang pintu No. 1, Tuan Rumah tidak dapat membukanya, yang membuatnya tidak punya pilihan - dia masing-masing membuka pintu No. 3 dan No. 2 untuk mereka. Pada saat yang sama, orang yang mengubah keputusan di setiap pasangan akan memilih Hadiah sebagai hasilnya, dan orang yang tidak mengubah keputusan tidak akan mendapatkan apa-apa. Jadi, dari tiga orang yang berubah pikiran, dua akan mendapatkan Hadiah, dan satu akan mendapatkan kambing, sedangkan dari tiga orang yang tidak mengubah pilihan awal mereka, hanya satu yang akan mendapatkan Hadiah.

Perlu dicatat bahwa jika Mobil berada di belakang pintu #2 atau #3, hasilnya akan sama, hanya pemenang tertentu yang akan berubah. Jadi, dengan asumsi bahwa pada awalnya setiap pintu dipilih dengan probabilitas yang sama, kita mendapatkan bahwa mereka yang mengubah pilihannya memenangkan Hadiah dua kali lebih sering, yaitu kemungkinan menang dalam kasus ini lebih besar.

Mari kita lihat masalah ini dari sudut pandang teori probabilitas matematika. Kami akan berasumsi bahwa probabilitas pilihan awal masing-masing pintu adalah sama, serta probabilitas berada di belakang setiap pintu Mobil. Selain itu, akan berguna untuk membuat reservasi bahwa Pemimpin, ketika dia dapat membuka dua pintu, memilih masing-masing pintu dengan probabilitas yang sama. Kemudian ternyata setelah keputusan pertama, kemungkinan Hadiah berada di belakang pintu yang dipilih adalah 1/3, sedangkan kemungkinan Hadiah berada di belakang salah satu dari dua pintu lainnya adalah 2/3. Pada saat yang sama, setelah Tuan Rumah membuka salah satu dari dua pintu yang "tidak dipilih", seluruh probabilitas 2/3 jatuh hanya pada salah satu pintu yang tersisa, sehingga menciptakan dasar untuk mengubah keputusan, yang akan meningkatkan kemungkinan menang. sebanyak 2 kali. Yang, tentu saja, tidak menjaminnya dengan cara apa pun dalam satu kasus tertentu, tetapi akan mengarah pada hasil yang lebih sukses jika percobaan diulang berulang kali.

Kata penutup

Masalah Monty Hall bukanlah formulasi pertama yang diketahui dari masalah ini. Secara khusus, pada tahun 1959, Martin Gardner menerbitkan jurnal tersebut Orang Amerika Ilmiah permasalahan serupa “tentang tiga narapidana” (Three Prisoners problem) dengan rumusan sebagai berikut: “ Dari tiga tahanan, satu harus diampuni, dan dua harus dieksekusi. Tahanan A membujuk penjaga untuk memberi tahu dia nama salah satu dari dua orang lainnya yang akan dieksekusi (baik jika keduanya dieksekusi), setelah itu, setelah menerima nama B, dia menganggap bahwa kemungkinan keselamatannya sendiri menjadi kecil. 1/3, tapi 1/2. Pada saat yang sama, tahanan C mengklaim bahwa kemungkinan melarikan diri menjadi 2/3, sementara A tidak berubah. Manakah dari mereka yang benar?»

Namun, Gardner bukanlah yang pertama, karena pada tahun 1889, dalam Kalkulus Probabilitasnya, ahli matematika Prancis Joseph Bertrand (jangan bingung dengan orang Inggris Bertrand Russell!) Menawarkan masalah serupa (lihat paradoks kotak Bertrand): “ Ada tiga kotak yang masing-masing berisi dua koin: dua kotak emas di kotak pertama, dua kotak perak di kotak kedua, dan dua kotak berbeda di kotak ketiga. Dari kotak yang dipilih secara acak, sebuah koin ditarik keluar secara acak, yang ternyata adalah emas. Berapa peluang koin yang tersisa di dalam kotak adalah emas?»

Jika Anda memahami solusi untuk ketiga masalah tersebut, mudah untuk melihat kesamaan ide mereka; secara matematis, semuanya disatukan oleh konsep probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas peristiwa A, jika diketahui peristiwa B telah terjadi. Contoh paling sederhana: peluang terlemparnya dadu biasa adalah 1/6; namun, jika angka yang digulir diketahui ganjil, maka kemungkinannya adalah satu sudah 1/3. Masalah Monty Hall, seperti dua masalah lainnya yang dikutip, menunjukkan bahwa probabilitas bersyarat harus ditangani dengan hati-hati.

Masalah-masalah ini juga sering disebut paradoks: paradoks Monty Hall, paradoks kotak Bertrand (yang terakhir tidak boleh disamakan dengan paradoks Bertrand yang sebenarnya diberikan dalam buku yang sama, yang membuktikan ambiguitas konsep probabilitas yang ada pada waktu itu) - yang mana menyiratkan beberapa kontradiksi (misalnya, dalam " paradoks Pembohong" frasa "pernyataan ini salah" bertentangan dengan hukum tengah yang dikecualikan). Namun, dalam hal ini, tidak ada kontradiksi dengan pernyataan keras. Namun, ada kontradiksi yang jelas dengan opini publik” atau hanya “solusi yang jelas” untuk masalah tersebut. Memang, kebanyakan orang, melihat masalahnya, percaya bahwa setelah membuka salah satu pintu, kemungkinan menemukan Hadiah di belakang salah satu dari dua pintu tertutup lainnya adalah 1/2. Dengan melakukan itu, mereka menegaskan bahwa tidak ada bedanya apakah mereka setuju atau tidak setuju untuk berubah pikiran. Selain itu, banyak orang merasa sulit untuk memahami jawaban selain ini, bahkan setelah diberi tahu solusi yang mendetail.

Pada bulan Desember 1963, saluran televisi Amerika NBC pertama kali menayangkan program Let's Make a Deal ("Ayo buat kesepakatan!"), Di mana para peserta, yang dipilih dari penonton di studio, menawar satu sama lain dan dengan pembawa acara, bermain kecil permainan atau sekadar menebak jawaban pertanyaan. Di akhir siaran, para peserta dapat memainkan "deal of the day". Di depan mereka ada tiga pintu, yang diketahui bahwa di belakang salah satunya ada Hadiah Utama (misalnya, mobil), dan di belakang dua lainnya ada hadiah yang kurang berharga atau sama sekali tidak masuk akal (misalnya, kambing hidup). . Setelah pemain menentukan pilihannya, Monty Hall, pembawa acara, membuka salah satu dari dua pintu yang tersisa, menunjukkan bahwa tidak ada Hadiah di baliknya dan membuat peserta senang bahwa dia memiliki kesempatan untuk menang.

Pada tahun 1975, ilmuwan UCLA Steve Selvin bertanya apa yang akan terjadi jika pada saat itu, setelah membuka pintu tanpa Hadiah, peserta diminta untuk mengubah pilihannya. Akankah peluang pemain untuk mendapatkan Hadiah berubah dalam kasus ini, dan jika ya, ke arah mana? Dia mengirimkan pertanyaan yang sesuai dalam bentuk masalah kepada The American Statistician ("American Statistician"), serta kepada Monty Hall sendiri, yang memberikan jawaban yang agak aneh. Terlepas dari jawaban ini (atau mungkin karena itu), masalahnya menjadi populer dengan nama "Masalah Monty Hall".

Rumusan paling umum dari masalah ini, yang diterbitkan pada tahun 1990 di Majalah Parade, adalah sebagai berikut:

“Bayangkan Anda telah menjadi peserta dalam permainan di mana Anda harus memilih salah satu dari tiga pintu. Di belakang salah satu pintu ada mobil, di belakang dua pintu lainnya ada kambing. Anda memilih salah satu pintu, misalnya nomor 1, setelah itu tuan rumah yang tahu di mana mobil dan di mana kambingnya membuka salah satu pintu yang tersisa, misalnya nomor 3, di belakangnya ada seekor kambing. Setelah itu, dia bertanya apakah Anda ingin mengubah pilihan dan memilih pintu nomor 2. Apakah peluang Anda untuk memenangkan mobil akan meningkat jika Anda menerima tawaran tuan rumah dan mengubah pilihan Anda?

Setelah publikasi, segera menjadi jelas bahwa masalahnya dirumuskan secara tidak benar: tidak semua ketentuan ditetapkan. Misalnya, fasilitator dapat mengikuti strategi "hellish Monty": tawarkan untuk mengubah pilihan jika dan hanya jika pemain telah memilih mobil pada langkah pertama. Jelas, mengubah pilihan awal akan menyebabkan kerugian yang dijamin dalam situasi seperti itu.

Yang paling populer adalah masalah dengan kondisi tambahan - peserta permainan mengetahui aturan berikut sebelumnya:

mobil kemungkinan besar akan ditempatkan di belakang salah satu dari 3 pintu;
bagaimanapun juga, tuan rumah berkewajiban untuk membuka pintu dengan kambing (tetapi bukan yang dipilih pemain) dan menawarkan pemain untuk mengubah pilihan;
jika pemimpin memiliki pilihan yang mana dari dua pintu yang akan dibuka, dia memilih salah satunya dengan probabilitas yang sama.

Petunjuk

Larutan

Kata penutup

Masalah Monty Hall bukanlah formulasi pertama yang diketahui dari masalah ini. Secara khusus, pada tahun 1959, Martin Gardner menerbitkan di Scientific American masalah serupa “tentang tiga tahanan” (masalah Tiga Tahanan) dengan kata-kata berikut: “Dari tiga tahanan, satu harus diampuni, dan dua harus dieksekusi. Tahanan A membujuk penjaga untuk memberi tahu dia nama salah satu dari dua orang lainnya yang akan dieksekusi (baik jika keduanya dieksekusi), setelah itu, setelah menerima nama B, dia menganggap bahwa kemungkinan keselamatannya sendiri menjadi kecil. 1/3, tapi 1/2. Pada saat yang sama, tahanan C mengklaim bahwa kemungkinan melarikan diri menjadi 2/3, sementara A tidak berubah. Yang mana yang benar?"

Jika Anda memahami solusi untuk ketiga masalah tersebut, mudah untuk melihat kesamaan ide mereka; secara matematis, semuanya disatukan oleh konsep probabilitas bersyarat, yaitu probabilitas peristiwa A, jika diketahui peristiwa B telah terjadi. Contoh paling sederhana: probabilitas sebuah unit jatuh pada dadu biasa adalah 1/6; namun, jika angka yang digulir diketahui ganjil, maka kemungkinannya adalah satu sudah 1/3. Masalah Monty Hall, seperti dua masalah lainnya yang dikutip, menunjukkan bahwa probabilitas bersyarat harus ditangani dengan hati-hati.

Masalah-masalah ini juga sering disebut paradoks: paradoks Monty Hall, paradoks kotak Bertrand (yang terakhir tidak boleh disamakan dengan paradoks Bertrand yang sebenarnya diberikan dalam buku yang sama, yang membuktikan ambiguitas konsep probabilitas yang ada pada waktu itu) - yang mana menyiratkan beberapa kontradiksi (misalnya, dalam " paradoks Pembohong" frasa "pernyataan ini salah" bertentangan dengan hukum tengah yang dikecualikan). Namun, dalam hal ini, tidak ada kontradiksi dengan pernyataan keras. Tetapi ada kontradiksi yang jelas dengan "opini publik" atau hanya "solusi yang jelas" dari masalah tersebut. Memang, kebanyakan orang, melihat masalahnya, percaya bahwa setelah membuka salah satu pintu, kemungkinan menemukan Hadiah di belakang salah satu dari dua pintu tertutup lainnya adalah 1/2. Dengan melakukan itu, mereka menegaskan bahwa tidak ada bedanya apakah mereka setuju atau tidak setuju untuk berubah pikiran. Selain itu, banyak orang merasa sulit untuk memahami jawaban selain ini, bahkan setelah diberi tahu solusi yang mendetail.

Tanggapan Monty Hall terhadap Steve Selwyn

Tuan Steve Selvin,
asisten profesor biostatistik,
Universitas California, Berkeley.

Steve yang terhormat,

Terima kasih telah mengirimi saya soal dari American Statistical.

Meskipun saya tidak belajar statistik di universitas, saya tahu bahwa angka selalu dapat digunakan untuk keuntungan saya jika saya ingin memanipulasinya. Alasan Anda tidak memperhitungkan satu keadaan penting: setelah kotak pertama kosong, peserta tidak dapat lagi mengubah pilihannya. Jadi kemungkinannya tetap sama: satu dari tiga, kan? Dan, tentu saja, setelah salah satu kotak kosong, peluangnya tidak menjadi 50/50, tetapi tetap sama - satu dari tiga. Tampaknya bagi peserta bahwa dengan menyingkirkan satu kotak, dia mendapat lebih banyak peluang. Sama sekali tidak. Dua lawan satu melawannya, seperti dulu, dan tetap. Dan jika Anda tiba-tiba datang ke acara saya, aturannya akan tetap sama untuk Anda: tidak ada kotak ganti setelah pemilihan.

Populer dalam kategori: