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숫자의 로그 표현. 로그

a를 밑으로 하는 b(b > 0)의 로그(a > 0, a ≠ 1) b를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 지수입니다.

b의 밑이 10인 로그는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 로그(b), 그리고 e를 밑으로 하는 로그(자연 로그) - ln(비).

로그로 문제를 풀 때 자주 사용됩니다.

로그의 속성

네 가지 주요 로그의 속성.

a > 0, a ≠ 1, x > 0 및 y > 0으로 둡니다.

속성 1. 곱의 로그

곱의 로그로그의 합과 같습니다.

로그 a (x ⋅ y) = 로그 x + 로그 a y

속성 2. 몫의 로그

몫의 로그로그의 차이와 같습니다:

log a (x / y) = log a x – log a y

속성 3. 정도의 로그

도 로그차수와 로그의 곱과 같습니다.

로그의 밑이 지수에 있으면 다른 공식이 적용됩니다.

속성 4. 루트의 로그

이 속성은 n 차의 근이 1/n의 거듭제곱과 같기 때문에 차수의 로그 속성에서 얻을 수 있습니다.

한 밑의 로그에서 다른 밑의 로그로 가는 공식

이 공식은 로그에 대한 다양한 작업을 풀 때도 자주 사용됩니다.

특별한 경우:

대수 비교(부등식)

밑이 같은 로그 아래에 2개의 함수 f(x)와 g(x)가 있고 그들 사이에 부등호가 있다고 가정합니다.

이들을 비교하려면 먼저 로그 a의 밑을 살펴봐야 합니다.

a > 0이면 f(x) > g(x) > 0
0인 경우< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

대수 문제를 해결하는 방법: 예

대수가 있는 작업작업 5 및 작업 7의 11학년 수학 USE에 포함되어 있는 경우 웹 사이트의 해당 섹션에서 솔루션이 있는 작업을 찾을 수 있습니다. 또한 로그가 있는 작업은 수학 작업 은행에서 찾을 수 있습니다. 사이트를 검색하면 모든 예제를 찾을 수 있습니다.

대수란 무엇인가

로그는 항상 고려되어 왔습니다. 어려운 주제학교 수학에서. 로그에 대한 많은 다른 정의가 있지만 어떤 이유로 대부분의 교과서는 가장 복잡하고 불행한 것을 사용합니다.

로그를 간단하고 명확하게 정의하겠습니다. 이에 대한 테이블을 생성해 보겠습니다.

그래서, 우리는 2의 거듭제곱을 가집니다.

대수 - 속성, 수식, 해결 방법

밑줄에서 숫자를 가져오면 이 숫자를 얻기 위해 2를 올려야 하는 거듭제곱을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 16을 얻으려면 2의 4승을 올려야 합니다. 그리고 64를 얻으려면 2의 6제곱을 올려야 합니다. 이것은 테이블에서 볼 수 있습니다.

그리고 이제 - 사실 로그의 정의는 다음과 같습니다.

인수 x의 밑 a는 숫자 x를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 거듭제곱입니다.

표기법 : log a x \u003d b, 여기서 a는 밑, x는 인수, b는 실제로 로그와 같습니다.

예를 들어, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3(8의 밑이 2인 로그는 2 3 = 8이기 때문에 3입니다). 2 6 = 64이므로 2 64 = 6을 기록할 수도 있습니다.

주어진 밑수에 대한 로그를 찾는 연산을 호출합니다. 이제 테이블에 새 행을 추가해 보겠습니다.

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
로그 2 2 = 1	로그 2 4 = 2	로그 2 8 = 3	로그 216 = 4	로그 2 32 = 5	로그 264 = 6

불행히도 모든 로그가 그렇게 쉽게 고려되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 로그 2 5를 찾으십시오. 숫자 5는 테이블에 없지만 논리는 로그가 세그먼트 어딘가에 있을 것이라고 지시합니다. 왜냐하면 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 소수점 이하의 숫자는 무한정 쓸 수 있으며 반복되지 않습니다. 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 다음과 같이 두는 것이 좋습니다: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

로그는 두 개의 변수(밑과 인수)가 있는 표현식임을 이해하는 것이 중요합니다. 처음에는 많은 사람들이 근거가 어디에 있고 논증이 어디에 있는지 혼동합니다. 성가신 오해를 피하려면 사진을 살펴보십시오.

우리 앞에는 로그의 정의에 지나지 않습니다. 기억하다: 로그는 거듭제곱, 인수를 얻으려면 베이스를 올려야 합니다. 그것은 힘으로 올라간 기초입니다. 그림에서 빨간색으로 강조 표시됩니다. 기지는 항상 바닥에 있다는 것이 밝혀졌습니다! 나는 첫 번째 수업에서 학생들에게 이 놀라운 규칙을 말하며 혼란이 없습니다.

로그를 계산하는 방법

우리는 정의를 알아 냈습니다. 대수를 계산하는 방법을 배우는 것이 남아 있습니다. "로그" 표시를 제거하십시오. 우선 정의에서 두 가지 중요한 사실이 뒤따른다는 점에 유의하십시오.

인수와 기준은 항상 0보다 커야 합니다. 이것은 로그의 정의가 감소되는 합리적인 지수에 의한 정도의 정의에서 따릅니다.
어떤 권력에 대한 단위도 여전히 단위이기 때문에 기초는 통일성과는 달라야 합니다. 이 때문에 “둘을 얻으려면 어떤 권세로 높여야 하나”라는 질문은 무의미합니다. 그런 학위가 없습니다!

이러한 제한을 유효한 범위(ODZ). 로그의 ODZ는 다음과 같습니다: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

숫자 b(대수의 값)에 대한 제한이 없음에 유의하십시오. 예를 들어, 로그는 음수일 수 있습니다: log 2 0.5 = −1, 왜냐하면 0.5 = 2 -1 .

그러나 이제 우리는 로그의 ODZ를 알 필요가 없는 수치식만 고려하고 있습니다. 문제의 컴파일러는 모든 제한 사항을 이미 고려했습니다. 그러나 대수 방정식과 부등식이 작용하면 DHS 요구 사항이 의무 사항이 됩니다. 사실, 근거와 주장에는 위의 제한 사항에 반드시 일치하지 않는 매우 강력한 구성이 있을 수 있습니다.

이제 고려 일반 계획대수 계산. 세 단계로 구성됩니다.

밑수 a와 인수 x를 가능한 가장 작은 밑수가 1보다 큰 거듭제곱으로 표현하십시오. 그 과정에서 소수점 이하 자릿수를 제거하는 것이 좋습니다.
변수 b에 대한 방정식을 풉니다: x = a b ;
결과 숫자 b가 답이 됩니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이것은 이미 첫 번째 단계에서 볼 수 있습니다. 기준이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 관련이 있습니다. 이는 오류 가능성을 줄이고 계산을 크게 단순화합니다. 소수의 경우도 마찬가지입니다. 즉시 일반 분수로 변환하면 오류가 몇 배나 줄어듭니다.

이 체계가 구체적인 예와 함께 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

일. 대수 계산: log 5 25

밑과 인수를 5의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

방정식을 만들고 풀자:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

답변을 받았습니다: 2.

일. 로그를 계산합니다.

일. 대수 계산: log 4 64

밑과 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
방정식을 만들고 풀자:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
답변을 받았습니다: 3.

일. 대수 계산: log 16 1

밑과 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
방정식을 만들고 풀자:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
응답을 받았습니다: 0.

일. 대수 계산: log 7 14

밑과 인수를 7의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 나타내지 않습니다.< 14 < 7 2 ;
로그가 고려되지 않는다는 것은 이전 단락에서 이어집니다.
정답은 변화가 없다는 것입니다: log 7 14.

작은 메모 마지막 예. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌지 확인하는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 소인수로 분해하면 됩니다. 전개에 적어도 두 개의 구별되는 요인이 있는 경우 그 숫자는 정확한 거듭제곱이 아닙니다.

일. 숫자의 정확한 거듭제곱이 다음과 같은지 알아보십시오: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 -정확한 정도 승수는 하나뿐입니다.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4는 3과 2의 두 인수가 있기 때문에 정확한 거듭제곱이 아닙니다.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 -정확한 정도;
35 = 7 5 - 정확한 정도는 아닙니다.
14 \u003d 7 2 - 다시 정확한 정도는 아닙니다.

또한 소수 자체는 항상 정확한 거듭제곱이라는 점에 유의하십시오.

십진수 로그

일부 로그는 너무 일반적이어서 특별한 이름과 지정이 있습니다.

x 인수의 밑이 10인 로그, 즉 x를 얻기 위해 10을 올려야 하는 거듭제곱. 명칭: lgx.

예를 들어, log 10 = 1; 로그 100 = 2; lg 1000 = 3 - 등

이제부터 교과서에 "lg 0.01을 찾아라" 같은 문구가 나오면 오타가 아님을 알아두세요. 이것은 십진 로그입니다. 그러나 이러한 지정에 익숙하지 않은 경우 언제든지 다시 작성할 수 있습니다.
로그 x = 로그 10 x

일반 로그에 대해 참인 모든 것은 소수에 대해서도 참입니다.

자연 로그

자체 표기법이 있는 또 다른 로그가 있습니다. 어떤 의미에서는 십진수보다 훨씬 더 중요합니다. 그것은 관하여자연로그에 대해.

x 인수의 밑수 e에 대한 로그, 즉 숫자 x를 얻기 위해 숫자 e를 올려야 하는 거듭제곱입니다. 명칭: lnx.

많은 사람들이 묻습니다. 숫자 e는 무엇입니까? 이것은 무리수입니다 정확한 값찾아 기록할 수 없습니다. 다음은 첫 번째 숫자입니다.
전자 = 2.718281828459…

이 번호가 무엇이며 왜 필요한지는 조사하지 않겠습니다. e가 밑이라는 것만 기억하세요 자연 로그:
ln x = 로그 e x

따라서 ln e = 1; log e 2 = 2; ln 전자 16 = 16 - 등 반면에 ln 2는 무리수입니다. 일반적으로 모든 유리수의 자연 로그는 무리수입니다. 물론 단일성을 제외하고: ln 1 = 0.

자연 로그의 경우 일반 로그에 적용되는 모든 규칙이 유효합니다.

또한보십시오:

로그. 로그의 속성(로그의 거듭제곱).

숫자를 로그로 나타내는 방법은 무엇입니까?

로그의 정의를 사용합니다.

로그는 로그 기호 아래의 숫자를 얻기 위해 밑을 올려야 하는 거듭제곱의 지표입니다.

따라서 어떤 수 c를 밑수 a에 대한 로그로 표현하기 위해서는 로그의 밑이 같은 밑수를 가지는 정도를 로그의 부호 아래에 넣고 이 숫자 c를 지수에 쓰면 됩니다.

로그의 형태로 양수, 음수, 정수, 분수, 합리적, 비합리적인 모든 숫자를 절대적으로 나타낼 수 있습니다.

시험이나 시험의 스트레스가 많은 조건에서 a와 c를 혼동하지 않으려면 다음 규칙을 사용하여 기억할 수 있습니다.

아래에 있는 것은 내려가고 위에 있는 것은 올라간다.

예를 들어, 숫자 2를 밑이 3인 로그로 나타내려고 합니다.

2와 3이라는 두 개의 숫자가 있습니다. 이 숫자는 밑수와 지수이며 로그 기호 아래에 쓸 것입니다. 이 숫자 중 어느 것을 지수의 기준으로, 어떤 숫자를 위로 써야 하는지 결정해야 합니다.

로그의 기록에서 밑이 3은 맨 아래에 있습니다. 즉, 밑이 3인 데 듀스를 로그로 표시할 때 밑이 3이기도 합니다.

2는 3보다 높습니다. 그리고 정도의 표기법에서 우리는 셋 위에 2를 씁니다. 즉, 지수에:

로그. 첫 번째 수준.

대수

로그 정수 비이유에 의해 ㅏ, 어디 a > 0, a ≠ 1, 숫자를 올려야 하는 지수입니다. ㅏ, 얻기 위해 비.

로그의 정의다음과 같이 간단히 작성할 수 있습니다.

이 평등은 다음에 유효합니다. b > 0, a > 0, a ≠ 1.그는 보통 로그 아이덴티티.
숫자의 로그를 찾는 작업을 호출합니다. 로그.

대수의 속성:

곱의 로그:

나눗셈에서 얻은 몫의 로그:

대수의 밑을 바꾸기:

도 로그:

루트 로그:

밑이 멱인 로그:

십진수 및 자연 로그.

십진수 로그숫자는 해당 숫자의 밑이 10인 로그를 호출하고 lg라고 씁니다. 비
자연 로그숫자는 밑수에 대한 이 숫자의 로그를 호출합니다. 이자형, 어디 이자형는 대략 2.7과 같은 무리수입니다. 동시에 그들은 ln을 씁니다. 비.

대수학 및 기하학에 대한 기타 참고 사항

로그의 기본 속성

다른 숫자와 마찬가지로 로그도 가능한 모든 방법으로 더하고 빼고 변환할 수 있습니다. 그러나 로그는 일반적인 숫자가 아니기 때문에 여기에는 다음과 같은 규칙이 있습니다. 기본 속성.

이러한 규칙을 알아야 합니다. 이러한 규칙 없이는 심각한 로그 문제를 해결할 수 없습니다. 또한 그 수가 거의 없습니다. 하루 만에 모든 것을 배울 수 있습니다. 시작하겠습니다.

로그의 덧셈과 뺄셈

밑이 같은 두 개의 로그(log a x 및 log a y)를 고려하십시오. 그런 다음 더하고 뺄 수 있으며 다음과 같습니다.

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

따라서 로그의 합은 곱의 로그와 같고 차이는 몫의 로그입니다. 참고: 여기서 핵심은 - 같은 근거. 기준이 다르면 이 규칙이 적용되지 않습니다!

이 공식은 계산에 도움이 됩니다. 대수식개별 부분이 고려되지 않은 경우에도 마찬가지입니다("대수란 무엇인가" 단원 참조). 예제를 살펴보고 다음을 참조하십시오.

로그 6 4 + 로그 6 9.

로그의 밑이 같으므로 합계 공식을 사용합니다.
로그 6 4 + 로그 6 9 = 로그 6 (4 9) = 로그 6 36 = 2.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 2 48 − log 2 3.

기본은 동일하며 차이 공식을 사용합니다.
log248 - log23 = log2(48:3) = log216 = 4.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 3 135 − log 3 5.

다시 말하지만 기본은 동일하므로 다음과 같습니다.
log3135 - log35 = log3(135:5) = log327 = 3.

보시다시피 원래 표현식은 "나쁜" 로그로 구성되어 있으며 별도로 고려되지 않습니다. 그러나 변환 후 아주 정상적인 숫자가 나타납니다. 이러한 사실을 바탕으로 많은 시험지. 예, 제어 - 모든 진지함에서 유사한 표현 (때로는 거의 변경되지 않음)이 시험에서 제공됩니다.

로그에서 지수 제거

이제 작업을 조금 복잡하게 합시다. 로그의 밑수나 인수에 도가 있으면 어떻게 됩니까? 그런 다음 이 정도의 지수는 다음 규칙에 따라 로그의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

쉽게 볼 수 있습니다 마지막 규칙처음 두 개를 따릅니다. 그러나 어쨌든 기억하는 것이 좋습니다. 경우에 따라 계산량이 크게 줄어 듭니다.

물론, 이러한 모든 규칙은 ODZ 대수(a > 0, a ≠ 1, x > 0)가 관찰되면 의미가 있습니다. 로그 자체에 로그 부호 앞에 숫자를 입력할 수 있습니다.

로그를 푸는 방법

이것은 가장 자주 요구되는 것입니다.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 7 49 6 .

첫 번째 공식에 따라 인수에서 학위를 제거합시다.
로그 7 49 6 = 6 로그 7 49 = 6 2 = 12

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

분모는 밑과 인수가 정확한 거듭제곱인 로그임을 유의하십시오: 16 = 2 4 ; 49 = 72. 우리는:

마지막 예는 설명이 필요하다고 생각합니다. 로그는 어디로 갔습니까? 마지막 순간까지 우리는 분모로만 작업합니다. 그들은 도의 형태로 거기에 서있는 로그의 밑과 인수를 제시하고 지표를 꺼 냈습니다. 그들은 "3 층"분수를 얻었습니다.

이제 주요 부분을 살펴 보겠습니다. 분자와 분모는 log 2 7과 같은 숫자를 갖습니다. log 2 7 ≠ 0이므로 분수를 줄일 수 있습니다. 2/4는 분모에 남게 됩니다. 산술 규칙에 따라 4를 분자로 옮길 수 있습니다. 결과는 답입니다: 2.

새로운 재단으로의 전환

로그의 덧셈과 뺄셈에 대한 규칙에 대해 말하면서 나는 로그가 동일한 밑에서만 작동한다는 점을 특히 강조했습니다. 베이스가 다르다면? 동일한 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌 경우에는 어떻게 됩니까?

새로운 기지로의 전환을 위한 공식이 도움이 됩니다. 우리는 그것들을 정리의 형태로 공식화합니다.

로그 로그 a x를 지정하십시오. 그런 다음 c > 0 및 c ≠ 1인 임의의 숫자 c에 대해 등식은 참입니다.

특히 c = x를 넣으면 다음을 얻습니다.

두 번째 공식에서 로그의 밑과 인수를 교환할 수 있지만 이 경우 전체 표현이 "반복"됩니다. 로그는 분모에 있습니다.

이러한 공식은 일반적인 수치 표현에서는 거의 발견되지 않습니다. 대수 방정식과 부등식을 풀 때만 얼마나 편리한지 평가할 수 있습니다.

그러나 새로운 기반으로 옮기는 것 외에는 전혀 해결할 수 없는 과제가 있다. 다음 몇 가지를 고려해 보겠습니다.

일. 다음 식의 값을 찾으십시오: log 5 16 log 2 25.

두 로그의 인수는 정확한 지수입니다. 지표를 꺼내봅시다: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; 로그 2 25 = 로그 2 5 2 = 2로그 2 5;

이제 두 번째 로그를 뒤집어 보겠습니다.

곱이 요인의 순열에서 변하지 않기 때문에 침착하게 4와 2를 곱한 다음 로그를 계산했습니다.

일. 식의 값을 찾으십시오: log 9 100 lg 3.

첫 번째 로그의 밑과 인수는 정확한 거듭제곱입니다. 그것을 적어두고 지표를 제거합시다.

이제 새 밑으로 이동하여 십진수 로그를 제거해 보겠습니다.

기본 대수 항등식

푸는 과정에서 주어진 밑수에 대한 로그로 숫자를 나타내야 하는 경우가 종종 있습니다.

이 경우 수식이 도움이 될 것입니다.

첫 번째 경우에는 숫자 n이 인수의 지수가 됩니다. 숫자 n은 로그의 값이기 때문에 절대적으로 무엇이든 될 수 있습니다.

두 번째 공식은 실제로 의역된 정의입니다. 다음과 같이 불립니다.

실제로, 이 정도의 숫자 b가 숫자 a를 제공하는 정도로 숫자 b를 올리면 어떻게 될까요? 맞습니다. 이것은 같은 숫자 a입니다. 이 단락을 주의 깊게 다시 읽으십시오. 많은 사람들이 "매달려" 있습니다.

새로운 거점으로의 이동 공식처럼, 메인 대수 항등식때때로 그것은 유일한 가능한 해결책입니다.

일. 표현식의 값을 찾으십시오.

log 25 64 = log 5 8 - 밑에서 제곱과 로그의 인수를 빼낸 것입니다. 밑이 같은 거듭제곱에 대한 규칙이 주어지면 다음을 얻습니다.

모르는 사람이 있다면 이것은 통합 국가 시험의 실제 작업이었습니다 🙂

대수 단위 및 대수 0

결론적으로 속성을 호출하기 어려운 두 가지 항등식을 제공합니다. 오히려 로그 정의의 결과입니다. 그들은 끊임없이 문제에서 발견되며 놀랍게도 "고급"학생에게도 문제를 일으 킵니다.

log a a = 1 입니다. 한 번만 기억하세요: 어떤 밑수 a에 대한 로그 자체는 1과 같습니다.
로그 a 1 = 0입니다. 밑수 a는 무엇이든 될 수 있지만 인수가 1이면 로그는 0입니다! 0 = 1은 정의의 직접적인 결과이기 때문입니다.

그것이 모든 속성입니다. 실천에 옮기는 연습을 꼭 하세요! 수업 시작 부분에 있는 치트 시트를 다운로드하여 인쇄하고 문제를 해결하십시오.

대수 표현, 예의 솔루션. 이 기사에서는 대수 해결과 관련된 문제를 고려할 것입니다. 작업은 표현의 가치를 찾는 문제를 제기합니다. 로그의 개념은 많은 작업에서 사용되며 그 의미를 이해하는 것이 매우 중요합니다. USE의 경우 로그는 방정식 풀기, 응용 문제 및 함수 연구와 관련된 작업에 사용됩니다.

다음은 로그의 의미를 이해하는 예입니다.

기본 대수 항등식:

항상 기억해야 하는 로그의 속성:

*곱의 로그는 인수의 로그의 합과 같습니다.

* * *

* 몫(분수)의 로그는 인수의 로그 차이와 같습니다.

* * *

* 정도의 로그는 지수와 밑의 로그의 곱과 같습니다.

* * *

*새로운 기지로의 전환

* * *

더 많은 속성:

* * *

로그 계산은 지수의 속성을 사용하는 것과 밀접한 관련이 있습니다.

우리는 그들 중 일부를 나열합니다:

이 속성의 본질은 분자를 분모로 또는 그 반대로 옮길 때 지수의 부호가 반대로 변경된다는 것입니다. 예를 들어:

이 속성의 결과:

* * *

거듭제곱을 거듭제곱할 때 밑은 그대로 유지되지만 지수는 곱해집니다.

* * *

보시다시피 로그의 개념 자체는 간단합니다. 가장 중요한 것은 특정 기술을 제공하는 모범 사례가 필요하다는 것입니다. 물론 공식에 대한 지식은 필수입니다. 기본 로그 변환 기술이 형성되지 않으면 간단한 작업을 해결할 때 쉽게 실수 할 수 있습니다.

연습하고 수학 과정에서 가장 간단한 예를 먼저 풀고 더 복잡한 것으로 이동하십시오. 앞으로는 "추한"로그가 어떻게 해결되는지 확실히 보여줄 것입니다. 시험에는 그런 로그가 없을 것이지만 관심이 있으니 놓치지 마세요!

그게 다야! 행운을 빕니다!

진심으로, Alexander Krutitskikh

추신 : 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려 주시면 감사하겠습니다.

우리는 로그를 계속 연구합니다. 이 기사에서 우리는 대수 계산, 이 프로세스를 로그. 먼저, 정의에 의한 로그 계산을 다룰 것입니다. 다음으로 속성을 사용하여 로그 값을 찾는 방법을 고려하십시오. 그런 다음 처음에 주어진 다른 로그 값을 통해 로그 계산에 대해 설명합니다. 마지막으로 대수표를 사용하는 방법을 알아봅시다. 전체 이론은 자세한 솔루션과 함께 예제와 함께 제공됩니다.

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정의에 따라 로그 계산하기

가장 간단한 경우 빠르고 쉽게 수행할 수 있습니다. 정의로 로그 찾기. 이 프로세스가 어떻게 진행되는지 자세히 살펴보겠습니다.

그 본질은 숫자 b를 a c 형식으로 나타내는 것입니다. 여기서 로그의 정의에 따라 숫자 c는 로그 값입니다. 즉, 정의에 따라 로그를 찾는 것은 다음 등식 체인에 해당합니다: log a b=log a a c =c .

따라서 로그 계산은 정의에 따라 a c \u003d b와 같은 숫자 c를 찾는 것으로 귀결되며 숫자 c 자체는 원하는 로그 값입니다.

이전 단락의 정보가 주어지면 로그 기호 아래의 숫자가 로그 밑의 어느 정도 주어지면 로그가 무엇인지 즉시 나타낼 수 있습니다-지수와 같습니다. 예를 보여드리겠습니다.

예.

log 2 2 −3 을 구하고 e 5.3 의 자연 로그도 계산합니다.

해결책.

로그의 정의는 log 2 2 −3 = −3 이라고 바로 말할 수 있게 해줍니다. 실제로, 로그 부호 아래의 숫자는 밑이 2의 -3의 거듭제곱과 같습니다.

유사하게, 우리는 두 번째 로그를 찾습니다: lne 5.3 =5.3.

답변:

log 2 2 −3 = −3 및 ln 5.3 =5.3 .

로그 부호 아래의 숫자 b가 로그 밑의 거듭제곱으로 주어지지 않으면 숫자 b를 a c 형식으로 표현할 수 있는지 신중하게 고려해야 합니다. 종종 이 표현은 특히 로그 부호 아래의 숫자가 1, 2 또는 3의 거듭제곱과 같을 때 매우 분명합니다.

예.

로그 로그 5 25 , 및 를 계산합니다.

해결책.

25=5 2 임을 쉽게 알 수 있습니다. 이를 통해 첫 번째 로그를 계산할 수 있습니다: log 5 25=log 5 5 2 =2 .

두 번째 로그 계산을 진행합니다. 숫자는 7의 거듭제곱으로 나타낼 수 있습니다. (필요한 경우 참조). 따라서, .

세 번째 로그를 다음 형식으로 다시 작성해 봅시다. 이제 당신은 그것을 볼 수 있습니다 , 여기서 우리는 . 따라서 로그의 정의에 의해 .

간단히 말해서 솔루션은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

답변:

로그 5 25=2 , 그리고 .

충분히 큰 자연수가 대수 기호 아래에 있으면 소수로 분해해도 문제가 없습니다. 종종 이러한 숫자를 대수 밑의 일부 거듭제곱으로 나타내는 데 도움이 되므로 정의에 따라 이 대수를 계산하는 데 도움이 됩니다.

예.

로그 값을 찾으십시오.

해결책.

로그의 일부 속성을 사용하면 로그 값을 즉시 지정할 수 있습니다. 이러한 속성에는 1의 로그 속성과 밑과 같은 수의 로그 속성이 포함됩니다. log 1 1=log a a 0 =0 및 log a a=log a a 1 =1 . 즉, 숫자 1 또는 숫자 a가 로그의 밑과 같은 로그의 부호 아래에 있으면 이러한 경우 로그는 각각 0과 1입니다.

예.

로그와 lg10은 무엇입니까?

해결책.

이후, 로그의 정의에서 다음과 같습니다. .

두 번째 예에서 로그 기호 아래의 숫자 10은 밑과 일치하므로 10의 십진 로그는 1, 즉 lg10=lg10 1 =1 입니다.

답변:

그리고 lg10=1 .

정의에 의한 로그 계산(이전 단락에서 논의함)은 로그의 속성 중 하나인 등식 로그 a a p =p의 사용을 의미합니다.

실제로는 로그의 부호 아래의 숫자와 로그의 밑이 어떤 숫자의 거듭제곱으로 쉽게 표현될 때, 다음 공식을 사용하는 것이 매우 편리합니다. , 로그의 속성 중 하나에 해당합니다. 이 공식의 사용을 설명하는 로그를 찾는 예를 고려하십시오.

예.

의 로그를 계산합니다.

해결책.

답변:

위에서 언급하지 않은 로그의 속성도 계산에 사용되지만 다음 단락에서 이에 대해 이야기하겠습니다.

다른 알려진 로그의 관점에서 로그 찾기

이 단락의 정보는 계산에서 로그의 속성을 사용하는 주제를 계속합니다. 그러나 여기서 주요 차이점은 로그의 속성이 원래 로그를 다른 로그로 표현하는 데 사용되며 그 값이 알려져 있다는 것입니다. 설명을 위해 예를 들어 보겠습니다. log 2 3≈1.584963 이라는 것을 알고 있다고 가정해 보겠습니다. 그런 다음 로그의 속성을 사용하여 약간의 변환을 수행하여 예를 들어 log 2 6을 찾을 수 있습니다. 로그 2 6=로그 2 (2 3)=로그 2 2+로그 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

위의 예에서는 곱의 대수 속성을 사용하는 것으로 충분했습니다. 그러나 훨씬 더 자주 주어진 로그의 관점에서 원래 로그를 계산하기 위해 로그 속성의 더 넓은 무기고를 사용해야 합니다.

예.

log 60 2=a 및 log 60 5=b 임을 알고 있는 경우 밑이 60인 27의 로그를 계산합니다.

해결책.

따라서 우리는 log 60 27 을 찾아야 합니다. 27=3 3 임을 쉽게 알 수 있으며, 차수의 대수 속성으로 인해 원래 로그는 3·log 60 3 으로 다시 쓸 수 있습니다.

이제 log 60 3이 알려진 로그로 표현되는 방법을 살펴보겠습니다. 밑과 같은 숫자의 로그 속성을 사용하면 등식 로그를 작성할 수 있습니다 60 60=1 . 한편, log 60 60=log60(2 2 3 5)= 로그 60 2 2 +로그 60 3+로그 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . 따라서, 2 로그 60 2+로그 60 3+로그 60 5=1. 따라서, 로그 60 3=1−2 로그 60 2−로그 60 5=1−2 a−b.

마지막으로 원래 로그를 계산합니다. log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2a−b)=3−6a−3b.

답변:

log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.

별도로, 형식의 로그의 새로운 밑으로 전환하기 위한 공식의 의미를 언급할 가치가 있습니다. . 임의의 밑을 가진 로그에서 특정 밑을 가진 로그로 이동할 수 있으며 그 값은 알려져 있거나 찾을 수 있습니다. 일반적으로 원래 로그에서 전환 공식에 따라 기본 2, e 또는 10 중 하나에서 로그로 전환합니다. 이러한 기본에는 특정 정확도로 계산할 수 있는 로그 테이블이 있기 때문입니다. 다음 섹션에서는 이것이 어떻게 수행되는지 보여줍니다.

대수 표, 그 용도

대수 값의 대략적인 계산을 위해 다음을 사용할 수 있습니다. 로그 테이블. 가장 일반적으로 사용되는 것은 밑이 2인 로그 테이블, 자연 로그 테이블 및 십진 로그 테이블입니다. 십진수 체계에서 작업할 때 밑이 10인 로그표를 사용하는 것이 편리합니다. 그것의 도움으로 로그 값을 찾는 법을 배웁니다.

제시된 표를 사용하면 10,000분의 1의 정확도로 1.000에서 9.999(소수점 3자리 포함)의 소수점 로그 값을 찾을 수 있습니다. 십진대수표를 이용하여 로그값을 구하는 원리를 다음에서 분석한다. 구체적인 예- 훨씬 더 명확합니다. lg1,256을 찾아봅시다.

십진수 로그 표의 왼쪽 열에서 숫자 1.256의 처음 두 자리, 즉 1.2를 찾습니다(명확성을 위해 이 숫자는 파란색 원으로 표시됨). 숫자 1.256(숫자 5)의 세 번째 숫자는 이중선 왼쪽의 첫 번째 또는 마지막 줄에 있습니다(이 숫자는 빨간색 원으로 표시됨). 원래 숫자 1.256(숫자 6)의 네 번째 숫자는 이중선 오른쪽의 첫 번째 또는 마지막 줄에 있습니다(이 숫자는 녹색 원으로 표시됨). 이제 표시된 행과 표시된 열의 교차점에서 로그 테이블의 셀에서 숫자를 찾습니다(이 숫자는 강조 표시됨). 주황색). 표시된 숫자의 합계는 소수점 이하 네 번째 자리까지 원하는 소수점 로그 값을 제공합니다. 즉, log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

위의 표를 사용하여 소수점 이하 3 자리 이상이고 1에서 9.999까지의 한계를 넘는 숫자의 소수 로그 값을 찾을 수 있습니까? 그래 넌 할수있어. 예를 들어 이것이 어떻게 수행되는지 보여드리겠습니다.

lg102.76332를 계산해 봅시다. 먼저 작성해야합니다 번호 표준 양식 : 102.76332=1.0276332 10 2 . 그런 다음 가수는 소수점 셋째 자리에서 반올림해야 합니다. 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2, 원래 십진수 로그는 결과 숫자의 로그와 거의 같습니다. 즉, lg102.76332≈lg1.028·10 2 를 취합니다. 이제 로그의 속성을 적용합니다. lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. 마지막으로 십진수 로그 표 lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012에 따라 로그 lg1.028의 값을 찾습니다. 결과적으로 로그를 계산하는 전체 프로세스는 다음과 같습니다. lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2≈0.012+2=2.012.

결론적으로, 십진수 로그 표를 사용하면 모든 로그의 대략적인 값을 계산할 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 이렇게하려면 천이 공식을 사용하여 십진수 로그로 이동하고 표에서 해당 값을 찾은 다음 나머지 계산을 수행하면 충분합니다.

예를 들어, log 2 3 을 계산해 봅시다. 로그의 새로운 밑으로 전환하는 공식에 따르면 . 십진 로그 표에서 lg3≈0.4771 및 lg2≈0.3010을 찾습니다. 따라서, .

서지.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. 및 기타 대수학 및 분석의 시작: 일반 교육 기관의 10-11학년을 위한 교과서.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. 수학(기술학교 지원자를 위한 매뉴얼).

오늘 우리는 이야기 할 것입니다 대수 공식데모를 제공 솔루션 예시.

그 자체로 로그의 기본 속성에 따라 솔루션 패턴을 의미합니다. 솔루션에 대수 공식을 적용하기 전에 먼저 모든 속성을 기억합니다.

이제 이러한 공식(특성)을 기반으로 다음을 표시합니다. 대수 해결의 예.

공식을 기반으로 로그를 푸는 예.

로그밑수 a의 양수 b(로그 a b로 표시됨)는 b를 얻기 위해 a를 올려야 하는 지수이며 b > 0, a > 0 및 1입니다.

정의 log a b = x에 따르면 a x = b와 동일하므로 log a a x = x입니다.

대수, 예:

log 2 8 = 3, 왜냐하면 2 3 = 8

log 7 49 = 2 왜냐하면 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, 왜냐하면 5 -1 = 1/5

십진수 로그는 밑이 10인 상용 로그입니다. lg로 표시됩니다.

log 10 100 = 2 왜냐하면 10 2 = 100

자연 로그-또한 일반적인 로그 로그이지만 기본 e (e \u003d 2.71828 ... -비합리적인 숫자). 인이라고 합니다.

나중에 로그, 로그 방정식 및 부등식을 풀 때 필요하기 때문에 로그의 공식이나 속성을 기억하는 것이 바람직합니다. 예제를 통해 각 수식을 다시 살펴보겠습니다.

기본 대수 항등식
로그 a b = b
8 2로그 8 3 = (8 2로그 8 3) 2 = 3 2 = 9
곱의 로그는 로그의 합과 같습니다.
로그 a (bc) = 로그 a b + 로그 a c
로그 3 8.1 + 로그 3 10 = 로그 3(8.1*10) = 로그 3 81 = 4
몫의 로그는 로그의 차이와 같습니다
로그 a (b/c) = 로그 a b - 로그 a c
9 로그 5 50 /9 로그 5 2 = 9 로그 5 50- 로그 5 2 = 9 로그 5 25 = 9 2 = 81
대수 가능한 숫자의 정도와 대수의 밑의 특성
로그 수의 지수 log a b m = mlog a b

기본 지수 대수 로그 a n b =1/n*로그 a b

log a n b m = m/n*log a b,

m = n이면 log a n b n = log a b

로그 4 9 = 로그 2 2 3 2 = 로그 2 3
새로운 재단으로의 전환
로그 a b = 로그 c b / 로그 c a,
c = b이면 log b b = 1이 됩니다.

그러면 log a b = 1/log b a

로그 0.8 3*로그 3 1.25 = 로그 0.8 3*로그 0.8 1.25/로그 0.8 3 = 로그 0.8 1.25 = 로그 4/5 5/4 = -1

보시다시피 로그 공식은 보이는 것처럼 복잡하지 않습니다. 이제 대수 해결의 예를 고려한 후 대수 방정식으로 넘어갈 수 있습니다. ""기사에서 대수 방정식을 푸는 예를 더 자세히 고려할 것입니다. 놓치지 마세요!

솔루션에 대해 여전히 궁금한 점이 있으면 기사의 의견에 작성하십시오.

참고: 옵션으로 해외 유학을 다른 수업의 교육을 받기로 결정했습니다.

이 기사의 초점은 로그. 여기서 우리는 로그의 정의를 제공하고, 허용되는 표기법을 보여주고, 로그의 예를 제공하고, 자연 로그와 십진 로그에 대해 이야기할 것입니다. 그런 다음 기본 로그 항등식을 고려하십시오.

페이지 탐색.

로그의 정의

로그의 개념은 다음에서 문제를 풀 때 발생합니다. 어떤 의미에서반대로 알려진 정도 값과 알려진 밑수에서 지수를 찾아야 할 때.

그러나 서문은 충분합니다. 이제 "로그란 무엇입니까?"라는 질문에 답할 시간입니다. 적절한 정의를 내리자.

정의.

밑수 a에 대한 b의 로그, 여기서 a>0 , a≠1 및 b>0 은 결과로 b 를 얻기 위해 숫자 a 를 올려야 하는 지수입니다.

이 단계에서 우리는 "대수"라는 구어가 즉시 "어떤 수"와 "무슨 기준으로"라는 두 가지 질문을 제기해야 한다는 점에 주목합니다. 즉, 단순히 로그는 없지만 어떤 밑수에는 로그만 있습니다.

바로 소개해드리겠습니다 대수 표기법: 밑수 a에 대한 숫자 b의 로그는 일반적으로 log a b로 표시됩니다. 밑수 e에 대한 숫자 b의 로그와 밑수 10에 대한 로그는 각각 고유한 특수 지정 lnb 및 lgb를 갖습니다.

이제 가져올 수 있습니다: .
그리고 기록 첫 번째에는 로그 기호 아래에 음수가 있고 두 번째에는 밑의 음수가 있고 세 번째에는 로그 기호 아래에 음수가 있기 때문에 의미가 없습니다. 베이스에 있는 유닛.

이제 이야기하자 로그 읽기 규칙. 엔트리 로그 a b는 "a를 밑으로 하는 b의 로그"로 읽힙니다. 예를 들어, log 2 3은 밑이 2인 3의 로그이고 밑이 2.2/3인 로그입니다. 제곱근 5개 중. e를 밑으로 하는 로그는 다음과 같습니다. 자연 로그, 표기법 lnb는 "b의 자연 로그"로 읽습니다. 예를 들어, ln7은 7의 자연로그이고 파이의 자연로그로 읽겠습니다. 10을 밑으로 하는 로그도 특별한 이름이 있습니다. 십진 로그, 표기법 lgb는 "소수 로그 b"로 읽습니다. 예를 들어, lg1은 1의 십진 로그이고 lg2.75는 이.칠십오분의 일의 십진 로그입니다.

로그의 정의가 주어진 a>0, a≠1 및 b>0 조건에 대해 별도로 살펴볼 가치가 있습니다. 이러한 제한 사항이 어디에서 왔는지 설명하겠습니다. 이를 위해 위에서 주어진 로그의 정의에서 직접 따르는 이라는 형식의 평등에 의해 도움을 받을 것입니다.

a≠1부터 시작해 봅시다. 1은 1의 거듭제곱과 같기 때문에 b=1인 경우에만 등식일 수 있지만 log 1 1은 모든 실수가 될 수 있습니다. 이러한 모호성을 피하기 위해 a≠1이 허용됩니다.

a>0 조건의 타당성을 입증해 봅시다. a=0을 사용하면 로그의 정의에 따라 동등성을 가질 수 있으며 이는 b=0에서만 가능합니다. 그러나 log 0 0은 0에서 0이 아닌 모든 거듭제곱이 0이기 때문에 0이 아닌 실수일 수 있습니다. 이 모호성은 a≠0 조건으로 피할 수 있습니다. 그리고<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

마지막으로 b>0 조건은 부등식 a>0 , 이후 , 양의 밑이 a인 차수 값은 항상 양수입니다.

이 단락의 결론에서 우리는 로그의 음성 정의를 통해 로그 부호 아래의 숫자가 어느 정도 밑이 될 때 로그 값을 즉시 표시할 수 있다고 말합니다. 사실, 로그의 정의는 만약 b=ap 이라면 밑수 a 에 대한 숫자 b 의 로그는 p 와 같다고 주장할 수 있습니다. 즉, 등호 a a p =p가 참입니다. 예를 들어, 우리는 2 3 =8 이라는 것을 알고 2 8=3 을 기록합니다. 이 기사에서 이에 대해 더 자세히 이야기하겠습니다.